A2 jegyzet építőmérnök mérnök hallgatóknak Többváltozós deriválás
|
|
- Etelka Hegedüsné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A jegyzet építőmérnök mérnök hallgatóknak Többváltozós deriválás Simon Károly 7.4.4
2 BA.. Többváltozós valósértékű függvények integrálása... Normáltartományok Normáltartományok síkban A normáltartományok pontosan azok a tartományok, amelyeken könnyű integrálni. Mivel a síkban az és y tengelyek szerepe azonos, ezért két fajta normál tartományt különböztetünk meg: { { a b c y d : u () y u () ; : v (y) v (y) Vagyis: = {(, y) a b és u () y u ()} = {(, y) c y d és v (y) v (y)} y y = u () d y = v(y) = v(y) a y = u () b c. ábra. = {(, y) : a b és u () y u ()} továbbá = {(, y) : c y d és v (y) v (y)}. A esetében az -szel futunk az a -tól a b -ig, és egy ilyen felett akkor vagyunk a -ben, amikor u () y u ().. PÉLA: (a) u () = ; u () = és (L.. ábra) {, ha (b) u () = ; u () =, ha < és (L. 3. ábra)
3 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA y = y = ábra. Az y = és y = közötti terület. y y = u y = u 3. ábra. Az y = és az egységkör első negyedbe eső darabjának metszete.
4 4 BA Normáltartományok térben Egy tartomány akkor normált tartomány a térben, ha olyan mint egy krumpli. z E z = z (, y) z = z (, y) y = y() b a y y = y () E y 4. ábra. A deformált gömb szerű tartomány "egyenlítője" az E. A test felületének az E görbe feletti része a z = z (, y) és az E alatti része a z = z (, y) felületek. Az E görbe vetülete az y síkra (ugyanaz mint a vetülete) az E y görbe. Ennek (az tengely szempontjából) "alsó" része az y = y (, y), felső része pedig az y = y (, y) görbék. : a b y () y y () z (, y) z z (, y) (L. 4. ábra.). PÉLA: Az origó középpontú, R sugarú gömb: R R : R y R R y z R y (L. 5. ábra) 3. PÉLA: Legyen a z = + y kúp, és a z = 4 y forgási paraboloid által határolt korlátos tartomány. : 4 y 4 (L. 6. ábra) + y z 4 y
5 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA5 z z = y y = R y y = R E = E y z = y 5. ábra. Gömb mint normáltartomány.
6 6 BA 4 z z = 4 y y = 4 y = 4 y z = + y 6. ábra. Felül gömb alul kúp.
7 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA7... f : R R függvény Riemann integrálja normáltartományon Legyen egy síkbeli normáltartomány. Legyen f egy olyan korlátos függvény, amely értelmezve van és folytonos a majdnem minden pontjában. Ez biztosan teljesül, ha a rossz pontok (vagyis ahol f nincs is értelmezve vagy ha értelmezve van akkor nem folytonos), lefedhetőek véges sok egyenessel. Vegyünk egy tetszőleges n N számot, és tekintsük az oldalú négyzetrácsot. Legyen {K,...,K m } azon négyzetek a fenti négyzetrácsból, me- n lyeknek van közös pontja -vel. Legyen u i egy tetszőleges eleme a K i halmaznak. (L. 7. ábra.) Ekkor : terület(k i ) f (u i ) = f (u n i ) az f függvény által meghatározott felület K i feletti, és a felület alatti rész térfogatával. Az f felület alatti térfogat közel egyenlő, ha ezen kis térfogatok összegével. Azaz m f (u n i ) az f (, y) alatti térfogat. Tehát az f (, y) alatti i= térfogatot mint a f (, y)ddy = lim n n m f (u i ) határértékkel (ami belátható, hogy létezik) értelmezzük.. EFINÍCIÓ: A fenti határértéket azf függvény tartományra vonatkozó kettős integráljának nevezzük. Néha pedig mint az f Riemann integrálját a -n emlegetjük. Tehát a f (, y)ddy az f függvény grafikonja alatti térfogat a tartományon. Fontos speciális eset: Mivel f (, y) konstans függvény alatti térfogat a tartományon értelemszerűen a tartomány területe kell legyen, ezért: terület() = ddy. Mivel az m f (, y)ddy = lim f (u n n i ), (ahol {K,...,K m } az -es n i= négyzetrács azon négyzetei, melyek metszik -t és u i K i ) ezért az integrál, mint terület() (az f értékeinek átlaga -n) kifejezéssel szemléltethető. Ez nem pontos matematikai kifejezés, csak szemléltetés. Tehát az integrál tulajdonságai az átlag tulajdonságaiból jönnek. i=
8 8 BA y u i n 7. ábra. Az u i a K i négyzet egy tetszőleges pontja.
9 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA9 A Riemann integrál tulajdonságai. Cf (, y)ddy = C f (, y)ddy, C R. [f (, y) + g (, y)]ddy = f (, y)ddy + g (, y)ddy 3. = továbbá =, akkor f (, y)ddy = f (, y)ddy+ f (, y)ddy 4. Ha p f (, y) q, (, y), akkor területp () f (, y)ddy q terület() 5. Integrálszámítás középérték tétele: Ha f folytonos a egy összefüggő korlátos tartomány, akkor minden pontjában, úgy (u, v), hogy f (, y)ddy = terület () f (u, v), összefüggő. Az integrálszámítás középérték tétele szerint tehát ha f folytonos, akkor olyan (u, v), hogy a alapú f (u, v) magasságú test térfogata éppen f (, y) ddy-nal egyenlő. Az f (, y)ddy szemléletesen azt jelenti, hogyha van egy sziget a tengerben, melynek alapja, és a tengerszint feletti magasságot az (, y) pontban az f (, y) adja meg, akkor ha egy nagy buldózerrel ezt a szigetet teljesen símára gyaluljuk (azaz minden pont tengerszint feletti magassága ugyanaz az M szám), akkor f (, y)ddy = M terület(). A Riemann integrál kiszámítása normáltartományon. TÉTEL: f (, y)ddy = b =a u () y=u () f (, y)dy d,
10 BA { } a b ha : és az f a minden (kivéve esetleg véges sok) pontjában értelmezett korlátos függvény, amely a minden u () y u () (kivéve esetleg véges sok) { pontjában folytonos. c y d Megjegyzés: Ha :=, akkor f (, y)ddy = v (y) v (y) ( ) d v () f (, y)d dy. y=c =v () Tehát ha = [a, b] [c, d] téglalap (L. 8. ábra): y d c a b 8. ábra. Téglalap mint két intervallum szorzata. ( ) ( b d d b ) f (, y)ddy = f (, y)dy d = f (, y)d dy. Vagyis az integrálás sorrendje felcserélhető mert függetlenek a =a y=c y=c =a határai. 4. PÉLA: Legyen = [, 3] [, ] téglalap. Mivel egyenlő ( + 8y)ddy? Megoldás: ( ) 3 3 ( + 8y)ddy = ( + 8y)dy d = [y + 4y ] y= d = = y= = 3 3 ( + 6 4) d = ( + )d = [ + 6 ] 3 = 57. = = 5. PÉLA: Legyen f : R R egy tetszőleges folytonos függvény és legyen a 9. ábrán látható tartomány. Feladat: határozzuk meg az integrálás határait az alábbi kettes integrálban: f(, y)ddy =?
11 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA Megoldás: Látható, hogy egy normál tartomány, ahol és egy ilyen -re y +. Tehát + f(, y)ddy = d = y= f(, y)dy 6. PÉLA: Legyen f : R R egy tetszőleges folytonos függvény és legyen a. ábrán látható tartomány. Feladat: határozzuk meg az integrálás határait az alábbi kettes integrálban: f(, y)ddy =? Megoldás: Az alsó kör egyenlete: + y =. A felső kör egyenlete: + (y ) =. A két kör metszéspontjainak koordinátái: 3 ; 3. Tehát egy 3 3 -re y. Vagyis: f(, y)ddy = 3 = 3 y= f(, y)dy d. 7. PÉLA: Legyen f : R R egy tetszőleges folytonos függvény és legyen a. ábrán látható tartomány. Feladat: határozzuk meg az integrálás határait az alábbi kettes integrálban: f(, y)ddy =? Megoldás: Noha a tartomány nem normáltartomány, de előáll mint a és a normáltartományok diszjunkt uniója. Ezért f(, y)ddy = f(, y)ddy + f(, y)ddy. Tehát elég a jobb oldalon alló két integrált kiszámítani. = + y=+ d = f(, y)ddy = f(, y)dy + y= f(, y)dy d
12 BA Továbbá: f(, y)ddy = = y= f(, y)dy d+ = + y= + f(, y)dy d. 8. PÉLA: Határozzuk meg az + y + z = 4 sík alatti trérfogatot az y síkbeli R = [, ] [, ] téglalap feletti részen. (L.. ábra) = Megoldás: térf ogat = (8 )d = = = ( y= (4 y)dy ) d = (6 ) d = [6 ] = 5. = [ 4y y y ] d = 9. PÉLA: Mivel egyenlő az yddy, ha R az a korlátos tartomány, R amit az y = ; y = ; = ; = 4 határolnak? (L. 3. ábra.) Megoldás: ( ) 4 4 [ ] y yddy = ydy d = 4 ( ) = 3 d = R = y= = y= 8 = [ ] = PÉLA: Legyen f : R R tetszőleges függvény, amely integrálható az ábrán látható tartományon. Irjuk fel az integrálási határokat:
13 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA3 5 y 4 y = + y = y ábra. az ábrán jelölt tartomány.
14 4 BA y. ábra. az ábrán jelölt tartomány.
15 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA5 y y = + y = y = y = + y = y = y = + y = + =. ábra. = az integrálási tartomány.
16 BA z 4 z = 4 y y. ábra. Test melyet alúról a [, ] [, ] téglalap, felűről pedig az +y+z = 4 sík határol. y = R y = y = ábra. Az y =, és az = görbék által határolt R tartomány
17 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA7..3. Helyettesítéses integrál f : R R függvényekre Gyakran előfordul, hogy az integrálás határai már önmagukban is olyan komplikált függvények, hogy emiatt az integrál kiszámítása a fenti módon túl sok munkát igényelne. Sokat egyszerűsödhet a dolog, ha megfelelő helyettesítést vezetünk be melynek hatására az ingrálási tartomány egy téglalap, vagy egy háromszög lesz. Az új változók helyettesítésének szabályait mutatja a következő tétel, melynek talán ilyesztően általános fogalmazását ellensúlyozza, a sok példa, amelyek a tétel alkalmazását mutatják be. R f G f R T G (, y) (u, v) Γ 4. ábra. T f(, y)ddy = Γ f(g(u, v)) det (G (u, v)) dudv. TÉTEL: Legyen f : R R integrálható a T R tartományon, továbbá legyen G : Γ T - értelmű és folytonosan differenciálható, ahol
18 8 BA Γ R. Ekkor f (, y)ddy = T Γ f (G (u, v)) det (G (u, v)) }{{} dudv () Jacobi determináns Leggyakrabban az ún. polárkoordinátás helyettesítést használjuk. Itt a tételbeli u, v szerepét az r (origótól vett távolság) és a ϕ (az tengely pozitív felével, az óramutató járásával ellentétes irányban felmért szög). A polár koordinátás helyettsítés estén: G(r, ϕ) = r cos(ϕ), r sin(ϕ) és det (G (r, ϕ)) = r. }{{}}{{} y. PÉLA: Írjuk fel poolárkoordinátassan az (5, ) középpontú és R = 4 egységsugarú zárt körlemezt! Megoldás: = 5 + r cos(ϕ) y = + r sin(ϕ), ahol ϕ π és r 4. Tehát a paraméter tartomány az r, ϕ síkon egy téglalap: [, 4] [, π].. PÉLA: Írjuk fel poolárkoordinátassan az ( 4) + 9 (y 7) 4 egyenlettel meghatározott zárt ellipszis lemezt. Megoldás: Az ellipszis középpontja: P = (4, 7), az tengellyel párhuzamos tengelyének hossza: a = 3 az y tengellyel párhuzamos tengely hossza b =. Ezért: = 4 + ar cos(ϕ) y = 7 + br sin(ϕ), ahol r és ϕ π. 3. PÉLA: Legyen f (, y) = y és legyen T a 5. ábrán látható negyedkör lemez tartomány. Mivel egyenlő f (, y)ddy? T =
19 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA T ábra. A T tartomány
20 BA Megoldás: G (r, ϕ) = r cosϕ, r sin ϕ }{{}}{{} }{{} polárkoordinátás helyettesítés Ekkor a G a Γ-t - értelműen képezi a T-re, és G folytonosan differenciálható. Ezért a tétel [ feltételei teljesülnek. ] cosϕ r sin ϕ G (r, ϕ) = det (G sin ϕ r cosϕ (r, ϕ)) = r det (G (r, ϕ)) = r. Tehát T f (, y)ddy = = Γ r= = π y f(g(r,ϕ)), és Γ = { (r, ϕ) r ; ϕ π }. (r cosϕ) (r sin ϕ) r }{{}}{{} drdϕ det(g (r,ϕ)) ( π ϕ= r rdϕ dr [ ( r )3 3 ] r= 4. PÉLA: Legyen A = {(, y) + y 4, y }. Mivel egyenlő ( + y + ) ddy? A }{{} f(,y) Megoldás: G (r, ϕ) = r cosϕ, r sin ϕ és Γ = {(r, ϕ) r ; ϕ π}. }{{}}{{} y G : Γ A - értelmű folytonosan differenciálható. ) = π 6 ( + y + ) ddy = A }{{} Γ (r cosϕ) + (r sin ϕ) + }{{} r f r } {{} f(g(r,ϕ)) ( π ) π [ ] π (r 3 + r)drdϕ = (r r + r)dr dϕ = 4 + r dϕ = 4 Γ π6. ϕ= r= ϕ= }{{} det(g (r,ϕ)) ϕ= drdϕ = ( ) dϕ =
21 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA 5. PÉLA: Legyen A = {(, y) ; y { } } és B = (, y) ; y 4. Kérdés: ddy =? y Megoldás: Először megkeressük a megfelelő helyettesítést. t = y } u = y. Innen: = y és = y. A második egyenletet elosztva t u az elsővel kapjuk, hogy: 3 = t, vagyis = 3u u t 3. Ebből és a fenti első egyenletből: y = t = t 4 3u 3. Vagyis Könnyen látható, hogy A B G (t, u) = t t 3, t 3 }{{ u }}{{ u ; } y { Γ := u } 4 t det(g (t, u)) = 6 9 tu, továbbá: y = u. Vagyis a keresett integrál: 3 u= t= 4 u tu dtdu = 3 u= 4 u 3 t= tdt = 5. Az () egyenletben szereplő f(g(u, v)) det(g (u, v)) kiejezés értékének kiszámításában segít a következő Maple parancs: > with(student): > changevar({=t^(/3)*u^(-/3),y=t^(4/3)*u^(-/3)}, oubleint(^/y,,y),[t,u] ); /3 t u dt du u
22 BA { } 6. PÉLA: Legyen M = (, y) :, y 4 és M = { (, y) : >, < y < } 4. Mivel egyenlő sin(y) ddy? y (L. 6. ábra.) M M 5 y y = y = 4 y = 4 y = 4 y 3 M M M M M M ábra. Az M és M tartományok metszete. Megoldás: Először megfelelő helyettesítést keresünk. (L. 7. ábra) 5 y y = t y = u ábra. A t u paraméterek jelentése.
23 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA3 t = y u = y } = u 3t 3 y = u 3t 3 ; vagyis és Γ := 4 t u 4 G (t, u) = u 3 t 3 }{{}, u 3 t 3 }{{} y A [ G (t, u) = u 3t u 3t 3 3 f(,y) {}}{ sin y ddy = y Γ 3 t= 4 t dt 4 u= f(g(t,u)) {}}{ sin (u) t 3t 3 u 3 3t 3 u 3 det(g (t,u)) {}}{ ] det (G (t, u)) = 3t. 3t dudt = 3 t= 4 ( 4 ) sin (u) du dt = t u= sin (u) du Ez innen egyszerű számolással befejezhető. Az () egyenletben szereplő f(g(u, v)) det(g (u, v)) kiejezés értékének kiszámításában segít a következő Maple parancs: > with(student): > changevar({=t^(-/3)*u^(/3),y=t^(/3)*u^(/3)}, oubleint((^/y)*sin(**y),,y),[t,u] ); 7. PÉLA: Az L y= Megoldás: y= y== ( ( R ) e 3y d dy = = /3 sin (u)cos (u) dtdu t t e 3y ddy mivel egyenlő? e 3y d = L y= ) dy = lim L R [ e 3y] R dy L y= ( R ) e 3y d dy = =
24 4 BA L y= ( e R 3y + e 3y) dy = [ 6 e R 3y e 3y] L = ( 6 6 e R 3L e 3L) ( ) ( 6 e R e ). Tehát ( ) 6 } e R {{} e = e 6. y== e 3y ddy = lim L 6 R 8. PÉLA: Mivel egyenlő az I = e ( +y )? Megoldás: G (r, ϕ) = r cosϕ, r sin ϕ ; }{{}}{{} y + y = r cos ϕ + r sin ϕ = r. I = lim e (+y ) ddy; R R e R L }{{} R = { (, y), y, + y R } e 3L }{{} és Γ R = { (r, ϕ) r R, ϕ π } ; G : Γ R R. y R R R 8. ábra. A R tartomány.
25 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA5 I = lim ( lim R π 4 = y= R R r= e R }{{} ( π ) e r rdϕ dr = lim ϕ= ) = π 4. = R π R r= y= π R e r rdr = lim Tehát e ( +y ) ddy = π e d e y dy = π. Tehát 4 4 ( ) [ ] R e r = e d = π Vagyis e d = π = (ez használható a normális eloszlás sűrűség függvényével kapcsolatban). e d nem adható meg zárt alakban, ezért fontos a fenti eredmény. 9. PÉLA: Mivel egyenlő az I = R y +y ddy? y r = ( + cos(ϕ)) R ± ± 3 4 ± ± 9. ábra. A kardioid és kör által közrezárt tartomány fele.
26 6 BA Megoldás: G (r, ϕ) = r cosϕ, r sin ϕ és y }{{}}{{} = r sinϕ +y r = sin ϕ (= f (G (r, ϕ))), y Γ = { ( (r, ϕ) r ) ( + cosϕ) ; ϕ } π, G : Γ R. Tehát I = π π π (+cos ϕ) [ ] (+cos ϕ) [( sin ϕrdr dϕ = sin ϕ dϕ = ( + cosϕ) sin ϕ sin ϕ )] dϕ ϕ= r= ϕ= [ ( + 3 cosϕ)3 + cos ϕ ] π = [ ( )] = 8. 3 r ϕ=. PÉLA: Határozzuk meg a háromlevelű lóhere területét, melynek egyenlete: r = sin 3ϕ. (L.. ábra.) Megoldás: terület (R) = ddy. R { (r, ϕ) ϕ π 3 r sin 3ϕ G (r, ϕ) = r cosϕ, r sin ϕ, Γ = }{{}}{{} y G : Γ R. Így a keresett egy lóhere területe: ( ) π π 3 sin3ϕ 3 terület (R) = rdr dϕ = sin 3ϕdϕ = 4 ϕ= r= [ 4 ϕ 4 sin 6ϕ] π 3 = π 3 4 = π. ϕ= π 3 ϕ= } és ( cos 6ϕ)dϕ =. PÉLA: Határozzuk meg az R sugarú gömb térfogatát! Megoldás: Elég meghatározni a felső félgömb {(, y, z) + y + z = R, z } V térfogatát.
27 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA7 V = R y ddy, ahol = {(, y) + y R }. G (r, ϕ) = { r cosϕ, r sin ϕ, Γ = (r, ϕ) r R, }, G : Γ. Tehát }{{}}{{} ϕ π y V = R = π π r }{{} r=ϕ= det(g (r,ϕ)) ( ) R ( = (π) = πr3 3 r= ) 3 R r dϕdr ( r) R r dr [ (R r ) 3 ] R ez a félgömb térfogata, így az R sugarú gömb térfogata: 4πR3 3.
28 8 BA ϕ = π 3 y.4. R ±.8 ±.6 ±.4 ± ±. ±.4 ±.6 ±.8 ±. ábra. Háromlevelű lóhere.
29 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA9..4. f : R 3 R függvény Riemann integrálja normáltartományon Az ilyen függvények integrálját az. efinícióban (7. oldalon) az f : R R estére leírtak mintájára definiáljuk. Az eltérés csak annyi, hogy itt minden négyzet helyett kockát kell mondani. A hármas integrál tulajdonságai ugyanazok mint a 9. oldalon leírt kettes integrál tulajdonságai. Legfőképpen az. tétel analógiájára teljesül, hogy: 3. TÉTEL: Legyen egy normál tartomány, a következő határokkal: a b := y () y y (). (L. 4. ábra.) z (, y) z z (, y) Ekkor b y () z (,y) f(, y, z)ddydz = f(, y, z)dz dy d. =a y=y () z=z (,y). PÉLA: Legyen az a tetraéder, melynek csúcsa az origó és az (,, ), (,, ), (,, ) pontok. Kérdés: ddydz ( + + y + z) 3 =? Megoldás: Vegyük észre, hogy egy normál tartomány a következő határokkal: = y. z y Tehát I := f(, y, z)ddydz = = y y= ( + + y + z) 3dz dy d. z= }{{} I }{{} I
30 3 BA Most kiszámoljuk az I -et. Ezt úgy kapjuk meg, hogy csak a z-t tekintjük változónak, az -et és az y-t viszont konstansnak tekintjük az I kiszámolásakor: I = y z= ( + + y + z) 3dz = [( + + y + z) ] y z= = 4 + ( + + y). A z változót tehát kiküszöböltük. Most az I kiszámolásához csak az y-t tekintjük változónak az -et konstansnak tekintjük: I = y= ( 8 + ) ( + + y) = Tehát a keresett hármas integrál: I = = d = ln().34. Vagyis a normál tartományon vett hármas integrál kiszámítását a tartomány határai által meghatározott három darab egyváltozós függvény integrálására vezettük vissza.
31 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA3..5. Helyettesítéses integrál f : R 3 R függvényekre R f G f R 3 T G (, y, z) (u, v, w) Γ. ábra. f(, y, z)ddydz = det (G (u, v, w)) dudvdw T Γ f(g(u, v, w)) 4. TÉTEL: Legyen f : R 3 R integrálható a T R 3 tartományon, továbbá legyen G : Γ T - értelmű és folytonosan differenciálható, ahol Γ R 3. Ekkor f (, y, z)ddydz = f (G (u, v, w)) det (G (u, v, w)) }{{} dudvdw. T Γ Jacobi determináns
32 3 BA Leggyakrabban használt változó transzformációk Hengerkoordinátás helyettesítés (L.. ábra) z P = (, y, z) z y ϕ r P = (, y, ). ábra. Hengerkoordinátás helyettesítés = r cosϕ y = rsin(ϕ) z = z
33 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA33 Vagyis a fenti jelölésekkel: G(r, ϕ, z) = (r cosϕ, r sin ϕ, z). A hengerkoordinátás helyettesítés Jacobi determinánsának abszolút értéke (meg kell tanulni fejből): det (G(r, ϕ, z)) = det cosϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ = r. 3. PÉLA: Legyen S az a test, melyet alulról a z = y elliptikus paraboloid határol és amelyet felülről a z = + y elliptikus paraboloid határol. Kérdés: ( + )ddydz =? + y S Megoldás: { z (, y) = + y z (, y) = y } Most megkeressük azt a kört amiben a két parabola metszi egymást, vagyis ahol z (, y) = z (, y): + y = y + y =. Ezt vissza helyettesítve akár a z akár a z képletébe kapjuk, hogy a z (, y) és a z (, y) felületek egy olyan / sugarú körben metszik egymást, melynek síkja az y síkkal párhuzamosan annál /-el magasabban halad. A hengerkoordinátás helyettesítést alkalmazzuk és felhasználjuk, hogy ekkor = r cosϕ és + y = r.
34 34 BA Ezzel ( ) + ddydz = + y S = π ϕ= π ϕ= / r= r ( + r cosϕ ) rdz dr dϕ r z=r } {{} ( r )(+cos(ϕ))r ( + cosϕ)dϕ / r= ( r )rdr = π 4.
35 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA35 Gömbkoordinátás helyettesítés (L. 3. ábra) z P = (, y, z) u r u y v rsin u P = (, y, ) 3. ábra. Gömbkoordinátás helyettesítés Vagyis a fenti jelölésekkel: = r sin u cosv y = r sin u sin v z = r cosu () G(r, u, v) = (r sin u cosv, r sin u sin v, r cos u). (3) Egyszerű számolás mutatja, hogy a Jacobi mátri abszolút értéke: det (G (r, u, v)) = r sin u.
36 36 BA 4. PÉLA: Legyen S az +y +z 9 gömbnek az I. térnyolcadba eső darabja. Vagyis:, y, z. Kérdés + y + z ddydz =? S Megoldás: A gömbkoordinátás helyettesítést alkalmazzuk. Ekkor + y + z = r. Továbbá vegyük észre, hogy a () jelöléseivel: Tehát S = u π/ v π/ r 3. + y + z ddydz = S = π/ π/ 3 v= u= r= π/ dv }{{} r (r sin u) }{{} +y +z Jacobi det. π/ r 3 dr sin udu 3 drdudv v= = π 3 r= r 3 dr π/ u= sin udu r= = π 8 4 = 8π 8. u= 5. PÉLA: Számítsuk ki az R sugarú gömb térfogatát gömbkoordinátás helyettesítéssel!
37 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA37 Megoldás: Legyen G az origó középpontú R sugarú gömb. Ekkor π π R térfogat(g) = ddydz = r sin(u)dr du dv G = π π v= u= R sin(u)du r dr r= u= } {{ } r= = π R3 3 = 4 3 R3 π }{{} R 3 3 A fentiektől különböző változó transzformációk: 6. PÉLA: Határozzuk meg az ellipszoid térfogatát. + y + 4 z Általánosságban egy H R 3 halmaz térfogata: térfogat(h) = ddydz. (4) Megoldás: Általánosságban az H a + y b + z c = ellipszoid esetén a következő változó transzformációt alkalmazzuk: = ar sin u cosv y = br sin u sin v z = cr cosu (5) Vagyis ahol G(r, u, v) = (ar sin u cosv, br sin u sin v, cr cosu), u π, v π, r.
38 38 BA Ebben az esetben könnyű számolással kapjuk, hogy: det (G (r, u, v)) = abcr sin u. A fenti példa esetén: a =, b =, c =. Tehát a Jacobi determináns abszolút értéke a példában: r sin u. térfogat(ellipszoid) = = π π v= u= r= π π dv r } {{ sin u} Jacobi det. sin udu dudv r dr v= u= = π 3 = 8π 3. r= Alkalmazások Legyen T egy test, melynek az (, y, z) T pontban a sűrűsége a ρ(, y, z) függvénnyel adott.. Ekkor a T test M tömegét kiszámolhatjuk: M = ρ(, y, z)ddydz. T. A T test S = (s, s, s 3 ) súlypontjának koordinátái: i ρ(,, 3 )d d d 3 T s i =, i =,, 3. M 3. A z koordináta tengelyre vonatkozó impulzus momentum: I z = ( + y )ρ(, y, z)ddydz. T 7. PÉLA: Legyen G egy csonkakúp, melynek alsó és felső fedőlapjának sugara: és 4, magassága pedig. A csonkakúp helyezzük el úgy, hogy
39 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA39 alapköre az y síkon legyen és alapkörének középpontja az origó. Felezzük meg a csonkakúpoz. Vagyis vágjuk szét két egybevágó darabra az z koordináta síkkal. Az így kapott testet nevezzük T-nek. (L. 4. ábra.) Tegyük fel, hogy T sűrűsége egyenlő -el a T minden pontjában. Határozzuk meg a T súlypontjának koordinátáit.
40 4 BA 8 z y 8-4. ábra. Félbevágott csonka kúp
41 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA4 Megoldás: T-t hengerkoordináta rendszerben megadhatjuk: r z/ T = ϕ π. z Használva, hogy a hengerkoordinátás helyettesítésnél a Jacobi determináns abszolút értéke r-el egyenlő kapjuk, hogy a T térfogata (és így tömege hiszen a sűrűség egyenlő eggyel:) M = ddydz = z/ π rdϕdrdz = 3π. T z= r= ϕ= Legyen a súlypont S = (s, s, s 3 ). Szimmetriai okokból azonnal látható, hogy s =. Az s meghatározásához használjuk, hogy a tömeg M = 3π és hogy y = r sin ϕ továbbá a Jacobi determináns abszolút értéke r-el egyenlő a hengerkoordinátás helyettesítésnél: s = yddydz T = 3π z/ r drdz z= π z/ r= π ϕ= sin ϕdϕ (r sin ϕ) }{{}}{{} r y Jacobi det. 3π dϕdrdz z= r= ϕ= }{{}}{{} 64 = 3π = 64 3π = 46 39π = Az utolsó előtti lépésben a z= r drdz = 64 számolását megkaphatjuk a következő Maple sorral is: z/ r= int((int(r^,r=..-z/)),z=..); 64
42 4 BA Most kiszámoljuk az s 3 -at. s 3 = zddydz z= T = 3π z/ z rdrdz z/ r= π dϕ π ϕ= z }{{} r Jacobi det. 3π dϕdrdz = z= r= } {{ } 368 3π = 57 3 = ϕ= }{{} π Az utolsó előtti lépést a következő Maple sorral számoltuk ki: > int((int(r*z,r=..-z/)),z=..); Tehát a súlypont koordinátái: 368 S = (, 3.3, 4.38) [ 8. PÉLA: Határozzuk meg a konstans ρ sűrűségű (tehát homogén) T := a, ] [ a b, ] [ b c, c ] téglatestnek az -tengelyre vonatkozó impulzus momentumát! Megoldás: I = (y + z ) ρddydz. Szimmetriai okokból ha T T + = [, a ] [, b ] [, c ], akkor I = 8 (y + z ) ρddydz. T +
43 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA43 I = 8ρ c/ b/ a/ (y + z )ddydz = 8 a c/ b/ ρ (y + z )dydz = 4aρ c/ = 4aρ = 4aρ [ y z y c/( b z b ( ) b 3 c 48 + c3 b 48 ] y=b/ y= ) dz dz = abc (b + c ) = M (b + c ). 9. PÉLA: Egy -sugarú gömböt átfúrunk úgy, hogy a fúró középpontja a gömb középpontjától egy egység távolságra halad el. Mekkora a keletkezett test térfogata, ha a fúró keresztmetszetének átmérője? Megoldás: Helyezzük a koordináta rendszer origóját a gömb középpontjába és válasszuk meg a koordináta tengelyeket úgy, hogy a fúró tengelye párhuzamos legyen a z tengellyel és a fúró az y sík P = (, ) középpontú egység sugarú kör lemezére (jelelöljök ezt a körlemezt -vel) merőlegesen halad. A feladatot úgy oldjuk meg, hogy a gömb térfogatából kivonjuk a fúróval eltávolított rész térfogatát. térfogat gömb = π = 3π 3. (6) Most tehát ki kell számolni a fúróval eltávolított térfogatot. Ehhez integrálni kell a z = 4 y függvényt a körlemez felett. Jelöljük ezt az integrált I-vel. A kifúrt térfogat nyilván I-vel egyenlő. I = ( 4 y )ddy. Áttérve polár koordinátákra: I = π π cos ϕ ( 4 r ) rdrdϕ
44 44 BA A kettes integrál kiszámítása normáltartományon fejezetben tanult módszerrel a π cos ϕ ( 4 r ) rdrdϕ = 8 3 π 3 9. (7) π Ezt leellenőrizhetjük, ha a Maple-be a következő kódot beírjuk: > int((int(r*sqrt(4-r^),r=..*cos(phi))),phi=-pi/..pi/); 8 3 π 3 9 A gömb térfogata ezen érték duplájával csökken: térfogat(kifúrt gömb) = 3π 3 ( 8 3 π 3 9 ) = 6 3 π PÉLA: Számítsuk ki a következő felület által bezárt térrész térfogatát (l. 5. ábra)! z = ( + y + z ) (8) Megoldás: Nevezzük a fenti térrészt T-nek. helyettesítésnél + y + z = r Mivel a gömbkoordinátás és mivel a feladatban adott felület egyenletének jobb oldalán éppen ez a képlet szerepel kézenfekvő, hogy gömbkoordinátás helyettesítéssel (l. 35. oldal) próbálkozunk. A gömbkoordinátás helyettesítésnél (3) egyenletben vagyis G(r, u, v) = (r} sin{{ u cosv}, } r sin{{ u sinv}, } r cosu {{}). y z A (8) egyenlet gömb koordinátásan: r cos(u) }{{} z = ( r }{{} +y +z ) = r 4. Vagyis ha r : r = 3 cos(u). (9)
45 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA45,8,6 z,4, -,8,8,4 y,4 -,4,8 -,8 -,4 5. ábra. z = ( + y + z ) Itt felhasználtuk, hogy (8)-ből következően z tehát u π. Vegyük észre, hogy (9) azt is eredményezi, hogy minden origóból induló félegyenesen egyetlen pontban metszi a T testet határoló (8) egyenlettel adott felületet.
46 46 BA A gömbkoordinátás helyettesítésnél az yz koordináta rendszerbeli T tartománynak megfelelő Γ térrész (l.. ábra): v π Γ = u π r 3 cos(u) A T térfogatának meghatározásához tehát gömbkoordinátás helyettesítést kell alkalmazni az I = térfogat(t) = ddydz hármas integrálban. Vagyis f(, y, z) = függvényre alkalmazni kell a f (, y, z)ddydz = f (G (u, v, w)) det (G (u, v, w)) }{{} dudvdw. T Γ T Jacobi determináns szabályt. Emlékezzünk, hogy gömbkoordinátás helyettesítés esetén a Jacobi determináns: r sin(u). Ezzel I = ddydz = r sin(u) drdudv }{{} T Γ Jacobi determináns 3 π π/ cos(u) = r sin(u)dr du dv = = π 3. v= u= r= A fenti integrálást a következő Maple kód azonnal elvégzi: > int((int((int(r^*sin(u),r=..(cos(u))^(/3))),u=..pi/)),v=..*pi); π 3 3. PÉLA: Számítsuk ki a következő felület által határolt test térfogatát! (L. 6. ábra.) ( + y ) + z 4 = y. ()
47 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA47,5 z -,5 -,5 -,5,8,6,4 y, - 6. ábra. ( + y ) + z 4 = y Megoldás: Megintcsak nevezzük a felület által határolt testet T-nek és megintcsak gömbkoordinátákra célszerű áttérni. Ekkor ugyanis ( + y ) + z 4 = r 4 (sin 4 (u) + cos 4 (u)), y = r sin(u) sin(v).
48 48 BA Vagyis Innen r 4 (sin 4 (u) + cos 4 (u)) = r sin(u) sin(v). () sin(u) sin(v) r = 3 sin 4 (u) + cos 4 (u). () Vegyük észre () egyenletből, hogy y mindig teljesül, ami gömbkoordináták esetén azt jelenti, hogy v π. Tehát a gömbkoordinátás helyettesítésnél a T tartomány átmegy a Γ = v π u π r 3 sin(u)sin(v) sin 4 (u)+cos 4 (u). A T térfogatának meghatározásához tehát gömbkoordinátás helyettesítést kell alkalmazni az I = térfogat(t) = ddydz hármas integrálban. Vagyis f(, y, z) = függvényre alkalmazni kell a f (, y, z)ddydz = f (G (u, v, w)) det (G (u, v, w)) }{{} dudvdw. T Γ T Jacobi determináns szabályt. Emlékezzünk, hogy gömbkoordinátás helyettesítés esetén a Jacobi determináns: r sin(u). Az egyszerűbb jelölések érdekében írjunk: sin(u) sin(v) ϕ(u, v) := 3 sin 4 (u) + cos 4 (u). Ezzel I = π π ϕ(u,v) r sin(u)dr du dv. v= u= r=
49 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA49 Ezt kibontva kapjuk, hogy I = 3 π v= sin(v)dv } {{ } Ugyanis Maple használatával: π sin (u) sin 4 (u) + cos 4 (u) du. }{{} π u= > int((sin(u))^/((sin(u))^4+(cos(u))^4),u=..pi); Tehát a keresett térfogat: π. π I = PÉLA: Határozzuk meg annak a térrésznek a térfogatát, melyet a következő három felület határol (l. 7. ábra): + y = z, 4 + y 4 = + y, z =. Megoldás: Nevezzük a fent leírt testet megint T-nek. T térfogatát nyílván a térfogat(t) = ddydz formulával igyekszünk meghatározni. Ehhez használjunk hengerkoordinátás helyettesítést! Vagyis most G(r, ϕ, z) = (r cosϕ, r sin ϕ, z). }{{}}{{} y és a Jacobi determináns abszolút értéke r, továbbá r = + y. Először felírjuk az y síkon az 4 + y 4 = + y görbét polárkoordinátásan: r 4 (cos 4 (ϕ) + sin 4 (ϕ)) = r, T vagyis: r = cos 4 (ϕ) + sin 4 (ϕ). (3)
50 5 BA,5 z,5 - - y ábra. + y = z, 4 + y 4 = + y, z =. Az egyszerűbb írásmód kedvéért vezessük be a g(ϕ) := cos 4 (ϕ) + sin 4 (ϕ)
51 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA5 jelölést. Ekkor tehát a T test a hengerkoordinátás helyettesítésnél átmegy a v π Γ = r g(ϕ) z r. A legutolsó határ abból származik, hogy minden, y-ra a z a és az +y = r között fut. Vagyis a T test térfogata: ddydz = rdrdϕdz T = Γ π g(ϕ) r rdz dr dϕ ϕ= r= = 3 π. 4 Ezt Maple-el a következő kóddal kapjuk: z= > g:=t->/(sqrt((cos(t))^4+(sin(t))^4)): > int((int((int(r,z=..r^)),r=..g(t))),t=..*pi); 33. PÉLA: Határozzuk meg a 3 π 4 ( π z = cos ) ( π + y, z =, y = tg, y = tg 7) felületek által közrezárt tartomány (l. 9. ábra) térfogatát! Megoldás: Vegyük észre először is, hogy R 3 -ban az ( ( ) π 3π y = tg, y = tg 7) 7 ( ) 3π 7 egyenletek olyan síkokat határoznak meg, melyek merőlegesek az y síkra. Ugyanis az mindenkinek világos, hogy az y síkban ezen egyenletek origón
52 5 BA 8. ábra. z = cos( π + y ), z =, y = tg ( ( π 7), y = tg 3π ) 7 átmenő egyeneseket adnak. Az R 3 -ban viszont ez azt jelenti, hogy mivel ezen egyenletekben nincs feltétel (vagyis megszorítás) a z változóra ezért a fenti egyenletek által az y síkban adott egyenesek "felett" minden pont megfelel így ezen egyenletek a R 3 -ban síkokat határoznak meg. A 9. ábrán zöld
53 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA53 színnel van rajzolva az y = tg ( ) ( ) π 7 síknak a z = és z = cos π + y felületek közötti részének pozitív térnyolcadba eső része. Az ábráról látszik, hogy a T testnek az y síkba eső része az origó középpontú egység sugarú körnek az y = tg ( ( π 7), y = tg 3π ) 7 egyenesek ( közé eső körcikke. Az π egység kör úgy jelenik meg, hogy a z = cos ) + y = az egységkörön. Tehát hengerkoordinátás helyettesítést alkalmazva a T tartománynak megfelel: π ϕ 3π 7 7 Γ = r ( π z cos ) + y. Mivel a Jacobi determináns abszolút értéke hengerkoordinátás helyettesítésnél r ezért térfogat(t) = ddydz = T = π 7 Γ r= rdzdrdϕ = 3π 7 ϕ= π 7 r= r cos(r π/)dr = } {{ } (π ) π cos(r π/) z= 4(π ). 7π r }{{} Jacobi det. dz dr dϕ Ez utóbbi integrál kiszámítása A-be tartozó tananyag (parciális integrálás). Az eredményt a következő Maple kód is megadja: > int(*cos(*pi/),=..); (π ) π 34. PÉLA: Határozzuk meg a 9. ábrán látható kereszt térfogatát. A keresztet alkotó, egymást merőlegesen metsző rudak olyan tömör hengerek, amelyek alapkörének sugara és magasságuk 8 egység.
54 54 BA ,5 -,5-9. ábra. A kereszt mindkét rúdjának sugara és hossza 8. Megoldás: Mindegyik rúd térfogata külön-külön 8π Tehát térfogat(kereszt) = 8π térfogat(rudak metszete), (4) hiszen a 6π-ben a rudak metszetét mindegyik rúdban figyelembe vettük ezért ezt le kell vonni. A továbbiakban tehát azt a kérdést válaszoljuk meg,
55 .. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓSÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA55 hogy térfogat(rudak metszete) =? Vegyük fel a koordináta rendszerünket úgy, hogy annak origója a kereszt centruma legyen, az és az y koordináta tengelyek pedig a kereszt rúdjainak közép vonalai. Vegyük észre, hogy minden < z < -re a rudak metszetének a z = z síkkal vett metszete egy négyzet, melynek oldala (Pitagorasz tétel miatt) z. Tehát ezen szám négyzete: 4( z ) lesz a rudak metszetének z = z síkba eső részének területe. Így ezt a 4( z ) értéket kell integrálni amint z fut -től -ig, hogy megkapjuk a rudak metszetének térfogatát: térfogat(rudak metszete) = 4( z )dz z= = 6 3. Ezt a nagyon könnyű integrált a következő Maple kód is megadja: > int(4*(-z^),z=-..); Tehát 6 3 térfogat(kereszt) = 8π 6 3 =
Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.
Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenMegjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor
. Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem
polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen
RészletesebbenT obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.
Többváltozós függvények integrálja. 3. rész. 2018. április 19. Kettős integrál Kettős integrál téglalap alakú tartományon. Ismétlés Ha = [a, b] [c, d] téglalap-tartomány, f : I integrálható függvény, akkor
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 19 XIX A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI 1 TERÜLET ÉS ÍVHOSSZ SZÁmÍTÁSA Területszámítás Ha f az [a,b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény, akkor az görbe, az x tengely,
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
RészletesebbenKoordinátarendszerek
Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek
RészletesebbenKettős és többes integrálok
Kettős és többes integrálok ) f,) + + kettős integrálja az, tartománon Megoldás: + + dd 6 + 6 + 8 + 9 + ] + + ] d 8 + 8 + ) f,) sin + ) integrálja a, tartománon Megoldás: ] d + 9 + d + + 68 8 7,5 + sin
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
RészletesebbenTehetetlenségi nyomatékok
Tehetetlenségi nyomtékok 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd trtóegyenesét metsző tetszőleges egyenesre vontkozón, h rúd és z egyenes hjlásszöge α, rúd középpontjánk
RészletesebbenTerületszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd
Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 2015 november 30. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 1 / 12 Az el adás vázlata Területszámítás
RészletesebbenMatematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére
Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenHármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál
Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató A hármas és háromszoros integrál Definició A fizikai meggondolások előzményeként jutunk el a hármas integrál következő értelmezéséhez. Legyen értelmezve
RészletesebbenFeladatok matematikából 3. rész
Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
Részletesebben9. előadás. Térbeli koordinátageometria
9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
Részletesebben0, különben. 9. Függvények
9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenEGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA
EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA Írta: Hajdu Endre A számítógépemhez tartozó két hangfal egy-egy négyzet keresztmetszetű hasáb hely - szűke miatt az ablakpárkányon van elhelyezve (. ábra).. ábra Hogy az
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
Részletesebben2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)
. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenGeometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül
RészletesebbenMatematika A1. 8. feladatsor. Dierenciálás 2. Trigonometrikus függvények deriváltja. A láncszabály. 1. Határozzuk meg a dy/dx függvényt.
Matematika A 8. feladatsor Dierenciálás Trigonometrikus függvények deriváltja. Határozzuk meg a dy/d függvényt. a) y = 0 + 3 cos 0 3 sin b) y = sin 4 + 7 cos sin c) y = ctg +ctg sin )+ctg ) d) y = tg cos
RészletesebbenTöbbes integrálok matematikai és fizikai alkalmazásai
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Többes integrálok matematikai és fizikai alkalmazásai Témavezető: Fehér László Egyetemi docens nalízis Tanszék Készítette: Boda Lívia Matematika BSc
RészletesebbenAz integrálszámítás néhány alkalmazása
Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenIntegr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12.
Integrálszámítás. 1. rész. 2018. április 12. Területszámítás f : [a, b] IR + korlátos függvény. Mennyi a függvény grafikonja és az x tengely közti terület? Riemann integrál, ismétlés F: Az összes lehetséges
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
RészletesebbenLengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
RészletesebbenTöbbváltozós analízis gyakorlat, megoldások
Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.
Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)
RészletesebbenMatematika példatár 5.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 5 MAT5 modul Integrálszámítás alkalmazása SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999
RészletesebbenMatematika példatár 5.
Matematika példatár 5 Integrálszámítás alkalmazása Csabina, Zoltánné Created by XMLmind XSL-FO Converter Matematika példatár 5: Integrálszámítás alkalmazása Csabina, Zoltánné Lektor: PhD Vigné dr Lencsés,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hatévfolyamos képzés Matematika 8. osztály VI. rész: Térgeometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék VI.
Részletesebben3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
RészletesebbenMinden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz 0 pont, ha üresen hagyja a válaszmezőt, 1 pont.
1. 1. Név: NEPTUN kód: Tanult középiskolai matematika szintje: közép, emelt szint. Munkaidő: 50 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. A feladatlap üresen
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
Részletesebben10. Differenciálszámítás
0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =
RészletesebbenEllipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához
1 Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához Előző dolgozatunkkal melynek címe: A ferde körkúp palástfelszínének meghatározásához már mintegy megágyaztunk a jelen írásnak. Több mindent
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
RészletesebbenKét körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra
Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) Egy korábbi dolgozatunkban címe: Két egyenes körhenger a merőlegesen metsződő tengelyű körhengerek áthatási feladatával foglalkoztunk. Most
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenHenger és kúp metsződő tengelyekkel
Henger és kúp metsződő tengelyekkel Ebben a dolgozatban egy forgáshenger és egy forgáskúp áthatását tanulmányozzuk abban az egyszerűbb esetben, amikor a két test tengelye egyazon síkban fekszik, vagyis
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
Részletesebben7. Kétváltozós függvények
Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenMATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!
MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenKlár Gergely 2010/2011. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták
Részletesebben