MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Átírás

1 MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV

2 A kiadvány KHF/46-/009. engedélyszámon időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program... központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a sulinova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: címen. Szakmai vezető: Oláh Vera Szakmai tanácsadó: Somfai Zsuzsa Alkotószerkesztő: Csatár Katalin, Oláh Judit, Széplaki Györgyné, dr. Fried Katalin Grafika: Birloni Szilvia, Csákvári Ágnes, Darabos Noémi Ágnes, Gidófalvi Zsuzsa, Király és Társai Kkt, Vidra Gábor Lektor: Pálmay Lóránt Felelős szerkesztő: Teszár Edit H-AMAT090 Szerzők: Birloni Szilvia, Csákvári Ágnes, Darabos Noémi Ágnes, Gidófalvi Zsuzsa, Lövey Éva, Vidra Gábor Educatio Kht Tömeg: 560 gramm Terjedelem: 0,66 (A/5 ív) A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgypedagógiai szakértő: Kónya István Tudományos-szakmai szakértő: dr. Marosváry Erika Technológiai szakértő: Zarubay Attila

3 tartalom IV. FÜGGVÉNYEK. modul: Lineáris függvények (Csákvári Ágnes) modul: Abszolútérték-függvény (Csákvári Ágnes) modul: Másodfokú függvény (Csákvári Ágnes) V. VEKTOROK 4. modul: Vektorok (Vidra Gábor) modul: Egybevágósági transzformációk (Birloni Szilvia) VI. Algebrai azonosságok, egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek 6. modul: Algebrai azonosságok (Darabos Noémi Ágnes és Vidra Gábor) modul: Egyenletek, egyenlőtlenségek, kétismeretlenes egyenletek (Darabos Noémi Ágnes)... 4 VII. statisztika 8. modul: Statisztika (Lövey Éva, Gidófalvi Zsuzsa)... 7 VIII. kör és részei 9. modul: A kör (Vidra Gábor)... 0 A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek a tananyag megértésében. A FELADATOK szintjét a sorszám előtti házikó mutatja: alapszintű feladatok: középszintű feladatok: emelt szintű feladatok: Ahol nincs ilyen jelzés, azt a példát mindenkinek ajánljuk.

4

5 . MODUL lineáris függvények Készítette: Csákvári Ágnes

6 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda A csapból percenként 5 l víz folyik a fürdőkádba, melynek befogadó képessége 80 liter. Mennyi idő alatt telik meg az eredetileg üres kád? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a kádban levő vízmennyiséget az eltelt idő függvényében! Megoldás: 80. Válasz a kérdésre: 6 perc alatt telik meg a kád, mert = Értéktáblázat készítése: T (perc) L (liter) Ábrázolás grafikonnal: 4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: Az eltelt időt az tengelyen, a térfogatot (literben) az y tengelyen ábrázoltuk, tehát: a 5 vagy f () = 5.

7 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 7 Mintapélda Egy 0 cm hosszú gyertyát meggyújtunk. A gyertya 4 óra alatt ég el. Fél óra alatt hány centimétert csökken? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a gyertya hosszának alakulását az eltelt időtől függően! Megoldás: 0. Válasz a kérdésre: A gyertya óra alatt = 5 cm-t csökken, fél óra alatt,5 cm-rel 4 lesz alacsonyabb.. Értéktáblázat készítése: T (h) 0 0,5,5 4 M (cm) 0 7,5 5, Ábrázolás grafikonnal: 4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: Az eltelt időt az tengelyen, a gyertya magasságát az y tengelyen ábrázoltuk, tehát: a 5 0. vagy f () = 5 0.

8 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Egy személygépkocsi az autópálya 50 km-es szakaszán 0 km/h sebességgel halad. Mennyi idő alatt teszi meg ezt az utat? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a sebességet az út függvényében! Megoldás: v. Válasz a kérdésre: Az autó 0,45 óra alatt teszi meg az utat, mert t = = 50 = 0, 4 & 5 &. s 0. Értéktáblázat készítése: s (km) km v h Ábrázolás grafikonnal: 4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: A megtett utat az tengelyen, az autó sebességét az y tengelyen ábrázoltuk, így: a 0, vagyis f () = 0.

9 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 9 II. A lineáris függvény Azokat a függvényeket, amelyeknek grafikonja egyenes, lineáris függvényeknek nevezzük, és az f() = m b képlettel adhatjuk meg, ahol m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel való metszéspont második koordinátája. Ha m = 0, akkor az f ( ) = b. f() = m b hozzárendelést kapjuk, melyet konstans (nulladfokú) függvénynek nevezünk. Ekkor a függvény képe az tengellyel párhuzamos egyenes.. f() = b Ha m 0, akkor ez a lineáris függvény elsőfokú.. f() = m, ha m > 0 4. f() = m, ha m < 0 Ha m > 0, akkor a függvény szigorúan növő, vagyis növekvő értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. Ha m < 0, akkor a függvény szigorúan csökkenő, vagyis növekvő értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Minden f() = m függvény az egyenes arányosság függvénye, az arányossági tényező az m. (Minden érték esetén az f() érték m-szerese az -nek). A grafikonról leolvashatjuk, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet megyünk az y tengely mentén pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé.

10 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 4 Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( ) = 5 hozzárendeléssel megadott függvényt! Megoldás: Ábrázolása:. Az y tengelyt a 5 pontban metszi.. Ebből a pontból kiindulva a meredekség miatt egy egységnyi jobbra haladás esetén egységet lépünk felfelé az y tengely mentén.. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját. Jellemzése:. É.T.: R.. É.K.: R.. Zérushely: =,5. 4. Szigorúan növekvő (mivel a meredeksége pozitív előjelű). Mintapélda 5 Ábrázoljuk és jellemezzük a g ( ) = hozzárendeléssel megadott függvényt! 4 Megoldás: Ábrázolása:. Az y tengelyt a pontban metszi.. Ebből a pontból kiindulva a meredekség miatt 4 4 egységnyi jobbra haladás esetén egységet lépünk lefelé az y tengely mentén.. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját. Jellemzése:. É.T.: R.. É.K.: R.. Zérushely: = Szigorúan csökkenő (mivel a meredeksége negatív előjelű).

11 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Feladatok. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! a) f () = ; b) () = f ; c) f () = ; d) f () =.. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! a) () = 5 f ; b) f () = 4 ; c) f () = 5 ; d) f () = 4.. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! f ; b) () f = ; c) () f = ; d) f () = a) () = 5 4. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! a) () = 4 f ; b) () = 5 f ; c) () = 6 f =. f ; d) ()

12 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 6, Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f() = 8, megadott függvény grafikonját! ha ha 5 > 5 hozzárendelési utasítással Megoldás: Ábrázoljuk először az () = f függvény grafikonját a ] ; 5] intervallumon, majd folytassuk az () = 8 f függvény grafi- konjával az ] 5; [ intervallumon. Közben megfigyelhetjük, hogy az = 5 helyen ugyanazt az értéket veszik fel a függvények: () 5 = 5 f, f () 5 = 5 8. = = Mintapélda 7 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f() = függvény grafikonját! Megoldás: 5 5 hozzárendelési utasítással megadott Egyszerűsítsük a törtet! 5 f () = = ( 5 ) ( 5 ) = 5, 5 ( 5) 5. Ábrázoláskor figyeljünk arra, hogy a függvény az = 5 helyen nincs értelmezve. Ezt a szakadási pontot üres karikával jelöljük.

13 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Feladatok 5. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! 6 a) f ( ) = ; b) f ( ) = ; c) f ( ) = ( ) ; d) f ( ) = ; e) f ( ) = ; f) f ( ) =, ha ; 4, ha <, ha, ha > g) f ( ) = ; h) f ( ) =. 6, ha > 4, ha Mintapélda 8 Adjuk meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha az a) átmegy a P( ; 5) ponton és az y tengelyt a 0 helyen metszi! b) átmegy a P( ; ) ponton és grafikonja párhuzamos az () = 6 utasítással megadott függvény grafikonjával! Megoldás: f hozzárendelési a) A lineáris függvény hozzárendelési utasításának általános alakja: f () m b =. Adott: P( ; 5), valamint b = 0. f () az helyen felvett függvényérték. Mivel a P pont rajta van a grafikonon, így = és f ( ) = 5. Ezeket behelyettesítve az általános egyenletbe kapjuk: 5 = m 0 m = 5. A keresett hozzárendelési utasítás: f () = 5 0. b) A lineáris függvény hozzárendelési utasításának általános alakja: f () m b Adott: P( ; ). Az előző példához hasonlóan = és f () =. Ha a keresett függvény grafikonja párhuzamos az () = 6 =. f függvény képével, akkor a meredekségük megegyezik. A keresett hozzárendelési szabályban a meredekség tehát szintén. Ezeket behelyettesítve az általános képletbe kapjuk: = () b, ebből b = 5. A keresett hozzárendelési utasítás: () = 5 g.

14 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 6. Add meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha az a) átmegy a P( 7; 4) ponton, és a meredeksége! b) átmegy a P( ; ) ponton és az tengelyt a 6 pontban metszi! c) átmegy a P( ; 6) ponton, és meredeksége 0! d) átmegy a P( 00; ) ponton és párhuzamos az tengellyel! e) átmegy a P(; 4) és a Q( 4; ) pontokon! 7. a) Az alábbi hozzárendelési utasításoknak megfelelően rajzold be a koordinátatengelyeket! () = 5 f ; () = f ; () f = ; b) Írd fel a következő grafikonok hozzárendelési utasításait. Add meg az értelmezési tartományt is!

15 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 5 II. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek és lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek megoldása Mintapélda 8 Jancsi bankszámlát szeretne nyitni. Az egyik bank havi számlafenntartási díja 00 Ft, de havonta tranzakció (pénz felvétele, egyenleg lekérdezése, utalás stb.) ingyenes, minden további tranzakció 00 Ft. A másik banknál a havi számlafenntartási díj 00 Ft, de minden tranzakció 50 Ft. Melyik bankot érdemes választania, ha havonta 5 tranzakció történik? Havonta hány tranzakció esetén éri meg az első bank, illetve a második? Válaszaidat indokold! Megoldás: Értéktáblázat készítése: Egyik bank: Havonta a tranzakciók száma Díj (Ft) Másik bank: Havonta a tranzakciók száma Díj (Ft) Hozzárendelési szabályok: -szel jelöljük a tranzakciók számát. ( ) 00 00, Egyik bank: e () = ; 00, { ;} Másik bank: m() =.

16 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Grafikon készítése: Szöveges válasz: Havi 5 tranzakció esetén az első bankot érdemes választani, mert itt csak 650 Ft-ot kell fizetnie, míg az másik banknál 850 Ft-ot. Havi egy tranzakció esetén a második bankban, de vagy annál több tranzakció esetén az elsőben éri meg számlát nyitni. Feladatok Útmutató a következő 4 feladat megoldásához: Oldd meg a szöveges feladatokat a következőképpen: töltsd ki az értéktáblázatokat, határozd meg minden feladatban a két értéktáblázat értékpárjai közötti hozzárendelési utasítást! Ábrázold az ezek által meghatározott függvények grafikonjait közös koordináta-rendszerben! 8. Egy új autó 500 eft-ba kerül, de 6 évig garantáltan nem hibásodik meg, azaz rá fordított költségek elhanyagolhatóak. Utána minden évben 00 eft-ot kell ráköltenünk. Egy 8 éves használt autó ára csak 800 eft, de az éves szervizdíja átlagosan 00 eft. Melyik autóra kell többet költenünk, ha a költségeket az autók 0 éves koráig összeszámoljuk? Melyik az a legkésőbbi időpont, amikor még megéri a használt autót fenntartani? Válaszaidat indokold!

17 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 7 Kitöltendő értéktáblázatok: Új autó év költség (eft) Használt autó év költség (eft) 9. Reggel a munkahelyemre villamossal és busszal egyaránt mehetek. A villamos azonnal indul, a buszra még várni kell 8 percet. Ha villamossal megyek, akkor a 4 km-es út 5 percbe telik, a busszal csak 7 perc. Melyikkel menjek, hogy minél hamarabb beérjek? Mennyi idő alatt tesz meg a busz, ill. a villamos km utat? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Villamos s (km) 0 0,5 4 5 t (min) Busz s (km) 0 0,5 4 5 t (min) 0. A soltvadkerti nyári táborba a csoport néhány tagja biciklivel megy, a többiek autóbusszal. A táv 00 km, a biciklisták 5 km/h óra sebességgel képesek haladni, és reggel 7 órakor indulnak az iskola elől. A busz 9-kor indul ugyanerről a helyről, de 80 km-t tesz meg óránként. Melyik csapat éri hamarabb a célt? Hány órával később ér le a másik? Hány km megtétele után és hány órakor éri utol az egyik a másikat? Válaszaidat indokold!

18 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kitöltendő értéktáblázatok: Bicikli s (km) t (h; perc) Autóbusz s (km) t (h; perc). Kati szeretne beiratkozni könyvtárba. Az egyik könyvtárban 500 Ft az éves tagsági díj, és minden kölcsönzés 50 Ft. A másik könyvtárban 00 Ft a tagsági díj, de a kölcsönzési díj 50 Ft. Ha egy éven keresztül havonta 8 könyvet szeretne kikölcsönözni, akkor melyik könyvtárba érdemes beiratkoznia? Egy évben hány könyvet kölcsönözzön ki, hogy ugyanannyit fizessen? Hány könyv kölcsönzése esetén érdemes az első, illetve a második könyvtárat választania? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Egyik könyvtár Könyv(db) Összeg(Ft) Másik könyvtár Könyv(db) Összeg(Ft)

19 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 9. Lineáris egyenlőtlenségek Mintapélda 0 Hol találhatók a síkban azok a pontok, amelyek koordinátáira teljesül az y 4 < egyenlőtlenség? Megoldás: Az egyenlőtlenséget y-ra rendezve kapjuk az y < 4 egyenlőtlenséget. Ha a < jel helyett = jelet írunk, akkor egy egyenest kapunk. Azokat a síkbeli pontokat keressük, amelyeknek y koordinátája kisebb, mint a baloldali kifejezés, vagyis az egyenes alatt találhatók. A megoldáshalmaz tehát az egyenes alatti félsík. Az egyenes pontjai nem tartoznak a megoldáshalmazba (ezt szaggatott vonallal jelöljük).. Hol találhatók a síkban azok a pontok, amelyek koordinátáira teljesül, hogy a) y < ; b) y 4; c) y ; e) y > 4?. Határozd meg a pontok y koordinátáit úgy, hogy az így kapott pont az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonjai felett illetve alatt legyenek! Hozzárendelési utasítások: f () = 4 g () = h () = 4 i () = Pontok: P( ; ) Q(5; ) R( ; ) S(; ) T( 6; ) U(0; ) V(,5 ; ) 4. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenlőtlenségeket! Színezd ki a megoldási halmazt! a) y ; b) 4 > 0,5, c) y < 5, d) Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenlőtlenségeket! Színezd ki a megoldási halmazt! a) 4 > ; b) 5; c) 5 7 < 5 ; d).

20 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 6. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenlőtlenségeket! Színezd ki a megoldási halmazt! a) y > ; b) y és < ; c) y < és < < Jellemezd az adott ponthalmazokat! a) b)

21 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK IV. Előjel-, törtrész és egészrész függvény. Előjelfüggvény Azt a függvényt, amely a negatív valós számokhoz -et, a pozitív valós számokhoz -et, a 0-hoz pedig 0-át rendel, előjelfüggvénynek (szignum függvénynek) nevezzük., ha > 0 A valós számok halmazán értelmezett sgn( ) = 0, ha = 0 hozzárendelési utasítással, ha < 0 megadott függvény grafikonja a következő: Jellemzés: É.T.: R. É.K.: { ; 0; }. Zérushely: = 0. Monotonitás: monoton növekvő. Szélsőérték: minimumhely: minden < 0 esetén; minimumérték: ; maimumhely: minden > 0 esetén; maimumérték:. Paritás: páratlan, mert sgn( ) = sgn().. Egészrész-függvény Az valós számnak az egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb -nél. Az egészrész jele: [] A valós számok halmazán értelmezett f() = [] hozzárendelési utasítással megadott függvényt egészrész-függvénynek nevezzük. Grafikonja a következő:

22 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Jellemzés: É.T.: R. É.K.: Z. Zérushely: 0 <. Monotonitás: Az értelmezési tartományán monoton növekvő, de szakaszonként állandó. Ha k egész szám, akkor k < k helyeken k értéket veszi fel. Szélsőérték: nincs szélsőértéke.. Törtrész-függvény Ha egy számból elveszük az egészrészét, akkor a törtrésze marad. Jelölése: [] = {} A valós számok halmazán értelmezett f() = {} hozzárendelési utasítással megadott függvényt törtrész-függvénynek nevezzük. Grafikonja a következő: Jellemzés: É.T: R. É.K: [0; [. Zérushely: Z. Monotonitás: Ha k Z, akkor a [k; k[ intervallumon szigorúan növekvő. Szélsőérték: minimumhely: Z; minimumérték: 0; maimuma nincs. A függvény periodikus, vagyis tetszőleges helyen ugyanazt a függvényértéket veszi fel, mint az -gyel, vagy bármely egész számmal nagyobb helyen. Az a legkisebb ilyen pozitív egész szám, ezt nevezzük a periódus hosszának. Jelöléssel: f( ) = f(), tetszőleges k Z esetén f() = f( k).

23 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Mintapélda Ábrázold a következő függvényeket! a) f() = []; b) g() = {}; c) h() = sgn ( ). Megoldás: a) A függvény a 0 értéket a [0; 0,5[ intervallumon veszi fel, pl.: [0 [ = 0, de [0,5 [ =. Az értéket a [0,5; [ intervallumon veszi fel, pl.: [0,5 [ =, de [ [ = stb. A grafikon: b) Az alapfüggvény minden függvényértéke kétszeresére nő: c) A függvény grafikonját eltoljuk az tengely mentén egységgel:

24 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 8. Ábrázold a következő függvényeket! a) f() = []; b) f() = [ ]; c) f() = [] ; d) f() = [] ; e) f() = [ ] ; f) f() = [ ]; g) f() = [ ]. 9. Ábrázold a következő függvényeket! a) f() = {}; b) f() = { }; c) f() = d) f() = {} ; e) f() = { }. ; 0. Ábrázold a következő függvényeket! a) f() = sgn(); b) f() = sgn( ); c) f() = sgn( ); d) f() = sgn() ; e) f() = sgn().

25 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 5 Kisleikon Lineáris függvény: a konstans (nulladfokú) és az elsőfokú függvények összessége. Grafikonja egyenes. Lineáris függvény hozzárendelési utasítása (képlete) mindig megadható f () = m b alakban, ahol m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel vett metszéspont. koordinátája. b = 0 esetén a grafikon átmegy az origón. Ha m = 0, akkor a függvény konstans függvény, grafikonja párhuzamos az tengellyel. Lineáris függvény grafikonjának meredeksége: megmutatja, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet kell az y tengely mentén lépni pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé. Lineáris függvény monotonitása: ha m > 0, akkor a függvény szigorúan növő, vagyis ha az helyébe bármely két különböző valós számot helyettesítünk, akkor a nagyobb értékhez nagyobb függvényérték tartozik. ha m < 0, akkor a függvény szigorúan csökkenő, vagyis ha az helyébe bármely két különböző valós számot helyettesítünk, akkor a nagyobb értékhez kisebb függvényérték tartozik. Pont és egyenes illeszkedése: A P( 0 ;y 0 ) pont rajta van az f () m b = hozzárendelési utasítással megadott lineáris függvény grafikonján, ha helyébe -t; 0 f() helyébe y-t 0 helyettesítve az egyenlőség teljesül. Ha y 0 > m0 b, akkor a P pont az egyenes felett helyezkedik el, ha y 0 < m0 b, akkor pedig alatta van. Egyenes arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó, akkor azok egyenesen arányosak. Az egyenes arányosságot az f () = m, m 0 függvény írja le, ahol m az arányossági tényező. lineáris

26 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Előjelfüggvénynek (szignumfüggvénynek) nevezzük a valós számok halmazán értelmezett, ha > 0 sgn( ) = 0, ha = 0 hozzárendelési utasítással megadott függvényt., ha < 0 Az valós számnak az egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb nél. Az egészrész jele: []. A valós számok halmazán értelmezett f() = [] hozzárendelési utasítással megadott függvényt egészrész-függvénynek nevezzük. Ha egy számból elveszük az egész részét, akkor a törtrésze marad. Jelölése: [] = {}. A valós számok halmazán értelmezett f() = {} hozzárendelési utasítással megadott függvényt törtrész-függvénynek nevezzük.

27 . MODUL abszolútérték- függvény Készítette: Csákvári Ágnes

28 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Az abszolútérték-függvény definíciója Pozitív szám abszolútértéke maga a szám, negatív szám abszolútértéke a szám ellentettje, ami pozitív szám. 0 =0 a, ha a 0 a = a, ha a < 0 A valós számok halmazán értelmezett abszolútérték-függvényt az, ha 0 f () = =, ha < 0 hozzárendelési utasítással definiáljuk. Ez szemléletesen azt mutatja meg, hogy a szám milyen messze van a 0-tól a számegyenesen. Az abszolútérték-függvény ( f () = ) tulajdonságai 5 0,5 5 4 f() 5 0, ,6. 0 0,6. 0,6,6. Monotonitás: Ha < 0, akkor növekvő értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Ezért az f () = függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökkenő. Ha 0, akkor növekvő értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. Így a függvény ezen a tartományon szigorúan monoton növekvő.. Zérushely: Az f() = függvénynek az = 0 pontban van zérushelye. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ebben a pontban van közös pontja az tengellyel.. Szélsőérték: Az f () = függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az = 0-ban szélsőértéke, nevezetesen minimuma van.

29 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 9 (Látható, hogy az f függvény negatív -ek esetén szigorúan monoton csökkenő, pozitív -ekre pedig szigorúan monoton növekvő.) Másképp: az f függvény az értelmezési tartományának = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét, ekkor f() = 0. A g () = függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen negatív. Ezért a g függvénynek az = 0-ban szélsőértéke, nevezetesen maimuma van. (Látható, hogy a g függvény negatív -ek esetén szigorúan monoton növekvő, pozitív -ekre pedig szigorúan monoton csökkenő.) Másképp: a g függvény az értelmezési tartományának = 0 helyén veszi fel a legnagyobb értékét, ekkor g ()=0. Megállapításainkat értéktáblázattal is alátámasztjuk: 5 0,5 5 4 g() 5 0, ,6. 0 0,6. 0,6,6 4. A h () = függvénynek az = 0-ban helyi (lokális) maimuma van, és mai- mumértéke h(0)=. Ez azt jelenti, hogy az értelmezési tartományának az = 0 hely egy környezetében van olyan valódi részhalmaza, amelyen a h függvény nem vesz fel -nál nagyobb értéket, de ez a teljes értelmezési tartományra természetesen nem feltétlenül igaz h() 0 0

30 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Az f () = 5 hozzárendelési szabály alapján töltsük ki az értéktáblázatot, illetve használjuk a tanult jelöléseket! Számítás előtt tippeljük meg az adott függvényértékhez tartozó helyek számát! 0 f() ; ; Megoldás: Függvényértékek számítása: f ( 0 ) = 0 5 = 5 f ( ) = 5 = 5 = 5 = f ( ) = 5 = 5 = 5 = = Adott függvényértékek esetén az értékek számítása: f () = 6 Tipp az helyek számára: 0 5 = 6 A tipp indoklása: a sohasem lehet pozitív, így a függvény 5 nél nagyobb értéket nem vehet fel. = = Ellentmondás, mert az abszolútérték-függvény értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. f () = 5 Tipp az helyek számára: 5 = 5 = 0 = 0 = 0

31 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY f () = 0 Tipp az helyek számára: 5 = 0 = 5 0 = = 0 = 0 = A többi függvényértékhez tartozó helye(ke)t is ugyanígy kell kiszámolni. Feladatok Az.,.,., feladatok megoldásánál figyelj arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, vagy helyen is felvehet. Számítás előtt próbáld megtippelni az adott függvényértékhez tartozó helyek számát! Számításodat grafikonon ellenőrizheted.. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a tanult jelöléseket! a) a () = 0 / a() 6 0 b) b () = b() c) c () = 0 4 c() 0 4 d) d () = ,75 d() 0 5 0

32 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a tanult jelöléseket! a) a () = a ( 8 ) =?; a ( ) =?; a ( 4 ) =? =?, ha a () = 4; ; 0; ; 4 b) b () = b ( 0,5 ) =?; b ( 0 ) =?; b ( 5 ) =? =?, ha b () = ; 0; ; ;. c) c () = 4 c ( ) =?; c ( 0 ) =?; c (,4 ) =? =?, ha c () = 5; 4; ; 0; 0,5. d) d () = 4 5 d ( 8 ) =?; d ( ) =?; d ( ) =? =?, ha d () = 4; 0; ; 5; 6.

33 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a tanult jelöléseket! a) a () = 6 8 a ( ) =?; a ( ) =?; a ( 0 ) =? =?, ha a () = 0; 6; 4; 0;. b) b () = b ( 5 ) =?; b ( ) =?; b ( ) =? =?, ha b () = 4; ; 0; ; 5. c) c () = c ( ) =?; c ( 0 ) =?; c ( 0, ) =? =?, ha c () = ; ; 4 ; 0; 0,5. d) d () = d ( ) =?; d ( 0 ) =?; d (,75 ) =? =?, ha d () = ; ; ; 0; 4.

34 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Az abszolútérték-függvény transzformálása Az abszolútérték-függvény transzformálása: y tengely menti eltolás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f () =, a g () = illetve a () = hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. 5 4, 0 g(), 0 h() 7 6, g () =,, ha ha 0 < 0 h () =,, ha ha 0 < 0 Ha az f függvény értékeiből -at vonunk ki, akkor a g függvény megfelelő értékeit kapjuk meg, ha pedig -t adunk hozzá, akkor a h függvény megfelelő értéke lesz az eredmény. Ez a grafikonon az f () függvény grafikonjának eltolását eredményezi az y tengely mentén illetve egységgel. Általánosságban: a g () = a ( a 0 tól különböző, tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az f () = függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén a egységgel a < 0 esetén lefelé, a > 0 esetén felfelé.

35 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 5 Az abszolútérték-függvény transzformálása: tengely menti eltolás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f () =, a g () = illetve a h () = hozzárendelési utasítással megadott függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. 5 4, 0 f() 5 4, 0 g() 4, , 0 4 f() 5 4, 0 4 h() 7 6, g () = h () =, ha, ha, ha, ha < < Az értéktáblázatból is látható, hogy a g függvény ugyanazokat az értékeit egységgel korábban veszi fel, mint az f függvény. Ez azt is jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy

36 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az tengely mentén egységgel, másképp fogalmazva, negatív irányba egységgel. A h függvény ugyanazokat az értékeit egységgel később veszi fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját pedig az f függvény grafikonjának tengely menti egységgel, pozitív irányba történő eltolásával kapjuk meg. Általánosságban: a g () = a ( a 0 tól különböző, tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az f () = függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az tengely mentén a egységgel a előjelével ellentétes irányba: a < 0 esetén pozitív, a > 0 esetén negatív irányba. Az abszolútérték-függvény transzformálása: y tengely menti zsugorítás/nyújtás. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonját! f () = ; g () = ; h () =. Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték definícióját! 0, g() 9 6 0,9 6 9,5 0 h(),5 0 g()=, ha, ha 0 < 0, ha h()=, ha 0 < 0

37 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 7. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonját: f () = ; g () = ; h () =! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték definícióját! 0, 0, g() 9 6 0,9 6 9,5 0,5 0 h(),5 0, ha 0, ha 0 g()= h()=, ha < 0, ha < 0 Észrevehetjük, hogy. az és az függvények grafikonja és tulajdonságaik megegyeznek. az f függvény értékeit -mal szorozva, a g függvény értékeit, míg del szorozva, a h függvény értékeit kapjuk meg. A definíciót felhasználva láthatjuk, hogy a megfelelő lineáris függvény meredekségét változtatta meg ez a szorzótényező. Ezeknek a függvényeknek a grafikonját megkaphatjuk az abszolútérték definíciójából is két lineáris függvény ábrázolásával. Általánosságban: az f () = függvényből a g () = a függvényt úgy kapjuk, hogy minden függvényértéket a-szorosára változtatunk. Szemléletesen: ha az a szorzótényező 0 és között van, akkor az abszolútérték-függvény grafikonja szétnyílik, -nél nagyobb, akkor a grafikon meredekebb lesz, negatív, akkor a grafikon az tengelyre is tükröződik. Megjegyzés: Ezeknek a függvényeknek a grafikonját megkaphatjuk egyetlen lineáris függvényből is a következő módon: először a lineáris függvény grafikonját nyújtjuk vagy zsugorítjuk, majd az tengely alatti (ahol a függvény negatív értékeket vesz fel) részt tükrözzük az tengelyre. Ezek a transzformációk megjelennek a lineáris függvényeknél is.

38 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Válaszolj a következő kérdésekre!. Mit értünk egy szám abszolútértékén? Mit jelent szemléletesen?. Mi az abszolútérték-függvény definíciója?. A függvény legyen adott f () = b hozzárendelési utasítással, ahol b egy tetszőleges valós szám. Ez a függvény mely y értékeket veszi fel 0, ill. helyen? 4. A függvény legyen adott f () = b hozzárendelési utasítással, ahol b egy tetszőleges valós szám. Milyen b értékek esetén lesz a függvénynek 0, ill. zérushelye? 5. Mi a különbség az f () = 5, illetve az f () = 5 hozzárendelési utasítással megadott függvények grafikonja között? 6. Az f () = függvénynek hol van szélsőértéke? Maimuma vagy minimuma van? Mekkora ez a függvényérték? 7. Hogyan változik az f () = függvény szélsőértéke a 6. feladatban található függvény szélsőértékéhez képest? 8. Az f () = c függvénynek milyen c értékek esetén van minimuma, illetve maimuma? 9. Hogyan változik az f () = függvény grafikonja, ha az t megszorozzuk egy ]0;[ intervallumbeli számmal? 0. Jellemezd az f () = c hozzárendelési utasítással megadott függvény monotonitását negatív, illetve pozitív c értékek esetén!

39 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 9 Mintapélda Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () =, [ 4;6 [ hozzárende- 4 lési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Értéktáblázattal: ,9 9 9 f() 0 4,75 4, Transzformációs lépések:. h () =. g () = 4. f () = 4 Definíció szerint: f () = 4 4, ha, ha 0 < 0 Jellemzés: É.T.: 4 < 6, ahol valós. É.K.: 4,5 < f () 0. Zérushely: = 0. Monotonitás: 4 < 0 intervallumon szigorúan monoton növekvő. 0 <6 intervallumon szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: = 0 helyen maimuma van. A maimum értéke: f ( 0 ) = 0.

40 40 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Értéktáblázattal: f() Transzformációs lépések:. h () =. g () =. f () = Definíció szerint:, ha f () =, ha 0 < 0 Jellemzés: É.T.: R. É.K.: f (). Zérushely: nincs. Monotonitás: 0 esetén szigorúan monoton növekvő. 0 < esetén szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: = 0 helyen maimuma van. A maimum értéke: f ( 0 ) =.

41 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 4 Mintapélda 4 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = 6 hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Értéktáblázattal: f() Transzformációs lépések:. h () =. g () = 6. f () = 6 Definíció szerint: 6 = 5 f () = 6 = 7, ha, ha 6 < 6 Jellemzés: É.T.: R. É.K.: f (). Zérushely: nincs. Monotonitás: < 6 esetén szigorúan monoton csökkenő. 6 esetén szigorúan monoton növekvő. Szélsőérték: = 6 helyen minimuma van. A minimum értéke: f ( 6 ) =.

42 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 5 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Transzformációs lépések:. l () =. h () =. g () = 4. f () = Definíció szerint:, ha f () =, ha < Jellemzés: É.T.: R. É.K.: f () 0. Zérushely: = 0. Monotonitás: < esetén szigorúan monoton növekvő. esetén szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: = helyen maimuma van. A maimum értéke: f ( ) = 0.

43 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 4 Mintapélda 6 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = 8, [ ; 5 [ hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Transzformációs lépések:. l () =. h () =. g () = 4. f () = 8 Definíció szerint: 9 5 ( ) 8 = 8 = f () = 9 7 ( ) 8 = 8 = Jellemzés: É.T.: [ ; 5 [, ahol valós. É.K.: f () 8., ha, ha < 5 < Zérushely: nincs. Monotonitás: < 5 intervallumon szigorúan monoton csökkenő. < intervallumon szigorúan monoton növekvő. Szélsőérték: = helyen maimuma van. A maimum értéke: f ( ) = 8. = helyen minimuma van. A minimum értéke: f ( ) =.

44 44 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 7 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = 5 4 hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Jellemzés: É.T.: R. É.K.: 0 f (). Zérushely: = 9 és = helyeken. Monotonitás: Transzformációs lépések:. l () =. h () = 5. g () = f () = 5 4 Definíció szerint:, ha, ha f ()= 9, ha 9, ha esetén szigorúan monoton növekvő. 5 < 9 < 5 < 9 5 < intervallumon szigorúan monoton csökkenő. 9 < 5 intervallumon szigorúan monoton növekvő < 9 esetén szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: = 9 és = helyeken minimuma van. A minimum értéke: f ( 9 ) = f ( ) = 0. = 5 helyen lokális maimuma van. A maimum értéke: f ( 5 ) = 4.

45 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 45 Mintapélda 8 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = 5, [ 5;0[ hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Definíció szerint: g () = =, ha, ha < h () = 5 = 5 5, ha, ha 5 < 5 Két függvény összege szerepel. Az egyik grafikonjának csúcspontja -nál, a másiké 5-nél van, ezért a számegyenest részre tagoljuk, és eszerint vizsgáljuk a függvényt. Összegezve: f () = 8 8, ha, ha, ha 5 < 0 < 5 5 <

46 46 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Jellemzés: É.T: [ 5; 0 [. É.K: f () 8. Zérushely: nincs. Monotonitás: 5 < 0 intervallumon szigorúan monoton növekvő. < 5 intervallumon állandó (konstans) értéket vesz fel. 5 < intervallumon szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: < 5 intervallumon minimuma van. A minimum értéke: f () =. = 5 helyen maimuma van. A maimum értéke: f ( 5 ) = 8. Feladatok 5. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f () = 5, 8 ; b) f () = 7 ; c) f () = ; d) f () = 4, 6 4; e) f () = ; 4 f) f () =, 5 [ 4; 8 [; g) f () =, ] 6; ]; h) f () = ; i) f () = ; j) f () = 4, 5 < < ; k) f () = ; l) f () = ; m) f () = Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f () = 4, < < 7; b) f () = ; c) f () = 4; d) f () =, [ 6;4]; e) f () =, < 5; f) f () = ; 4 g) f () = 5, < < 4; h) f () = 0; i) f () = ; 4 j) f () = 4, ] ; 5 ]; k) f () = ; l) f () =.

47 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. 5 a) f () = 4 ; b) f () = 5 8, [ ; 8 [; c) f () = 5 ; d) f () = 5, [ 8; ]; e) f () = 4, [ 0;0[; f) f () = 4 8, [ ; 7 ]; 4 g) f () = 5 ; h) f () =, ] 5; 6 ]; i) f () = 4 5 ; j) f () =, 5 < Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f ( ) = 5 ; b) f () = ; c) f () = ; [ 6; 4 ]; d) f ( ) = ; ] 8; [; e) f () = 6 ; [ 5; 0 [; f) f () = ; g) f () = 4 ; h) f () =. 9. Rajzold be az ábrákba a grafikon és a hozzárendelési utasítás alapján a koordinátarendszer tengelyeit! a) f () = b) f () =

48 48 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE c) f () = 5 d) f () = 8 e) f () = 4 f) f () = g) f () = 6 h) f () = 4 i) f () = j) f () = 4

49 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 49 Mintapélda 9 Állítsuk sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy az m () = 0 7 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az alapfüggvény grafikonjából! Megoldás: Egyik lehetőség: Másik lehetőség:. tengely menti eltolás. tengelyre történő tükrözés. tengelyre történő tükrözés. tengely menti eltolás. y tengely menti eltolás. y tengely menti eltolás Feladat 0. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következő hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk: tengely menti eltolás y tengely menti eltolás tengelyre tükrözés y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a () = ; b () = ; c () = ; d () = ; e () = ; f () = ; g () = ; h () = 4.

50 50 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 0 Állítsuk sorrendbe az előbbi geometriai transzformációkat úgy, hogy az m () = 6 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az alapfüggvény grafikonjából! Megoldás: Első lehetőség: (ez a sorrend általános érvényű). tengely menti eltolás. tengelyre történő tükrözés. y tengely menti zsugorítás, nyújtás (Megjegyzés: a sablon használata miatt célszerű előbb tükrözni, s csak utána zsugorítani vagy nyújtani) 4. y tengely menti eltolás Többi lehetőség: az első három transzformáció sorrendje tetszőlegesen felcserélhető. Ez további 5 lehetséges sorrendet eredményez. ( =! = 5 ) Feladat. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következő hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk: tengely menti eltolás y tengely menti eltolás tengelyre tükrözés y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a) a () = ; b) b () = ; c) c () = ; 4 d) d () = 4 ; e) e () = ; f) f () =.

51 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 5 III. Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Mintapélda Oldjuk meg grafikusan a 5 = egyenletet! Megoldás: A keresett értékek: = 8, illetve =. Mintapélda Oldjuk meg grafikusan a 5 Megoldás: egyenlőtlenséget! A keresett intervallum: 8. Mintapélda Oldjuk meg grafikusan a 5 > egyenlőtlenséget! Megoldás: A keresett intervallumok: < 8 vagy >. Feladat. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket! a) ; b) > 4; c) 4 < 5 ; d) ; e) =.

52 5 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 4 Oldjuk meg az 4 = egyenletet!. megoldás (grafikus): A keresett értékek: = 8, 5.. megoldás (algebrai): Az abszolútérték definícióját alkalmazzuk (esetszétválasztás): I. 0 eset: = behelyettesítéssel adódik: 4 =, ebből = 6 = 5 II. < 0 eset: = ( ) behelyettesítéssel adódik: ( ) 4 =, ebből = 8 A megoldás tehát = 5, = 8. Mintapélda 5 Oldjuk meg grafikusan a 4 egyenlőtlenséget! Megoldás: A metszéspontok koordinátáját az előző mintapéldában már meghatároztuk. A keresett intervallumok: < 8 vagy 5 <

53 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 5 Mintapélda 6 Oldjuk meg grafikusan a 4 < egyenlőtlenséget! Megoldás: A metszéspontok koordinátáját a. mintapéldában már meghatároztuk. A keresett intervallumok: 8 5. Feladatok. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket, egyenletet! a) 5 < ; b) ; c) 4 = ; d) >. 4. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket, egyenlőtlenségeket! a) = 5; b) 5 = 5; c) < 5 5 ; 5. Színezd ki a megadott tartományokat úgy, hogy ha az egyenlőség megengedett, akkor a tartomány határa a tartomány színe legyen, mivel a tartomány határvonala is beletartozik a megoldáshalmazba. Ha nem megengedett, akkor fekete színű legyen! a) < és y 4; b) és y < 4; c) és y > 4. Mintapélda 6 Színezzük ki azon pontok halmazát, melyek koordinátáira teljesül, hogy < 4 és y <! A színezéshez használjuk fel a 5. feladatban leírtakat! Megoldás:

54 54 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 6. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket, egyenlőtlenségeket! a) 8 = ; b) = ; c) 8 < ; d) 8 > vagy. 7. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket, egyenlőtlenségeket! a) 5 > 6 ; b) ; c) 8 7 < 5 ; d) 4 5 ; e) =. 8. Színezd ki a megadott tartományokat úgy, hogy ha az egyenlőség megengedett, akkor a tartomány határa a tartomány színe legyen, mivel a tartomány határvonala is beletartozik a megoldáshalmazba. Ha nem megengedett, akkor fekete színű legyen! a) < 4 és y ; b) 4 és y > ; c) 4 és y.

55 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 55 Kisleikon Pozitív szám abszolútértéke maga a szám, negatív szám abszolútértéke a szám ellentettje, ami pozitív szám. 0 =0. a, ha a 0 a = a, ha a < 0 Legyen tetszőleges valós szám. Ekkor az abszolútérték-függvény:, ha 0 f () = =, ha < 0 Tulajdonságai:. Monotonitás Ha < 0, akkor növekvő értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Ezért az f () = függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökkenő. Ha 0, akkor növekvő értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. Így a függvényt ezen a tartományon szigorúan monoton növekvőnek nevezzük.. Zérushely: Az f () = függvénynek az = 0 pontban van zérushelye. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ebben a pontban van közös pontja az tengellyel.. Szélsőérték: Az f () = függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az = 0-ban szélsőértéke, nevezetesen minimuma van. (Látható, hogy az f függvény negatív -ek esetén szigorúan monoton csökkenő, pozitív -ekre pedig szigorúan monoton növekvő.) Másképp: az f függvény az értelmezési tartományának = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét, ekkor f () = 0

56

57 . MODUL másodfokú függvények Készítette: Csákvári Ágnes

58 58 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A másodfokú alapfüggvény definíciója, grafikonja és tulajdonságai A másodfokú alapfüggvény Minden valós számhoz rendeljük hozzá a négyzetét! Ekkor a hozzárendelési utasítás f () = alakban írható fel. Adjunk meg táblázatban néhány értéket : 6 0,5 5 4 f () 56 0, ,6 0 0, , 4 9 7,69 Mivel minden szám négyzete nemnegatív, ezért az f () = függvény értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. Ha koordináta-rendszerben ábrázoljuk az összes olyan értékpárt, amelynek első tagja egy tetszőleges valós szám, második tagja pedig annak négyzete, a következő görbét kapjuk: Ennek a görbének a neve parabola. Az ábrán látható, hogy a másodfokú függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre, hiszen = ( ). A parabola szimmetriatengelyén lévő pontját tengelypontnak nevezzük. Másodfokú hozzárendelési utasítással találkozhatunk az a oldalú négyzet területének, ill. az a oldalú kocka felszínének kiszámításakor, de a fizikában is találkozunk vele a szabadesés és az egyenletesen gyorsuló test mozgását leíró út idő kapcsolatnál. A másodfokú alapfüggvény tulajdonságai. Monotonitás Ha 0, akkor növekvő értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Ezért a függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökkenő. Ha 0, akkor növekvő értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. Így a függvényt ezen a tartományon szigorúan monoton növekvőnek nevezzük.

59 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 59. Zérushely Az értelmezési tartománynak azon eleme, ahol a függvényérték 0. Az f () = függvénynek az = 0 pontban zérushelye van. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ezen a helyen közös pontja van az tengellyel.. Szélsőérték Az f () = függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az = 0-ban szélsőértéke, nevezetesen minimuma van. Másképpen: az f függvény az értelmezési tartományának = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét. Tekintsük a g () = függvényt! Adjunk meg táblázatban néhány értéket, és ezek segítségével ábrázoljuk a függvényt! 6 0,5 5 4 g () 56 0, ,6 0 0, , 4 9 7,69 A g függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen negatív. Ezért a g függvénynek az = 0 helyen szélsőértéke, nevezetesen maimuma van. A g függvény nempozitív -ek esetén szigorúan monoton növekvő, nemnegatív -ekre pedig szigorúan monoton csökkenő. Másképpen: a g függvény az értelmezési tartományának = 0 pontjában veszi fel a legnagyobb értékét. Mintapélda Az f () = ( ) hozzárendelési utasítás alapján töltsük ki az értéktáblázatot, illetve használjuk a tanult jelöléseket! Figyeljünk arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, vagy helyen is felvehet. Számítás előtt tippeljük meg az adott függvényértékhez tartozó helyek számát!

60 60 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE a) b) 0 4,5 6 f () f () 4,5 6 Megoldás: a) Függvényértékek kiszámítása: f ( 0 ) = ( 0 ) = ( ) = 9 = f ( 4,5 ) = ( 4,5 ) = (,5 ) =,5 = 4,5 A többi függvényértéket is ehhez hasonlóan kell kiszámítani. Az eredmény: 0 4,5 6 f () 8 4,5 b) értékek kiszámítása: f () = Tipp az helyek számára: 0 Gondolkozzunk! Az ( ) előjele pozitív, ezért a függvény grafikonja felfelé nyílik. Ez mutatja, hogy minimuma van. Az utána következő miatt ez a minimumérték, tehát ennél kisebb értéket nem vehet fel. Így f () = függvényértéket egyetlen helyen fogja felvenni, a többit két helyen. ( ) = ( ) = Ellentmondás, mert egy szám négyzete 0 vagy pozitív. f () = ( ) = ( ) = 0 = 0 = A fenti tipp ellenőrzése

61 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 6 f () = A fenti tipp ellenőrzése ( ) = ( ) = = = = 4 = A további értékeket is ehhez hasonlóan lehet kiszámítani. Az eredmény: 0,5; 4,5 4; 5; f () 4,5 6 Feladatok A. és a. feladatban figyelj arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, vagy helyen is felvehet. Számítás előtt tippeld meg az adott függvényértékhez tartozó helyek számát! Számításodat grafikonon ellenőrizheted.. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve a tanult jelöléseket használva számítsd ki a függvényértékeket a megadott helyeken! a) a () = a() b) b () = ( 4 ) 0 4 4,5 6 b() c) c () = 8 c ( ) =?; c ( ) =?; c ( ) =?; c ( ) =?; c ( ) =? d) d () = 4 d ( ) =?; d ( 0 ) =?; d ( ) =?; d ( ) =?; d ( 4 ) =?

62 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE e) e () = 4 e ( ) =?; e ( 0 ) =? ; e (,4) =? f) f () = ( ) f ( ) =?; f ( 0 ) =?; f (0,) =? g) g () = ( ) g ( 6) =?; g ( 5 ) =?; g ( ) =?; g ( 0 ) =?; g ( ) =? h) h () = ( ) h ( 6) =?; h ( 5) =?; h ( ) =?; h ( 0 ) =?; h ( ) =? i) k () = ( 4) 5 k ( 8) =?; k ( ) =?; k ( ) =? j) l () = ( ) l ( ) =?; l ( 0 ) =?; l (,75 ) =?. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve a tanult jelöléseket használva számítsd ki a függvényértékekhez tartozó helyeket! a) a () = a () b) b () = ( 4) b () 4,5 6 c) c () = 8 =?, ha c () = 0; 0; 8; 4,5; 9. d) d () = 4 =?, ha d () = 0; 4; ; ;. 6

63 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 6 e) e () = 4 =?, ha e () = 5; 4; ; 0; 0,5. f) f () = ( ) =?, ha f () = 5; ; 0; ;. g) g ( ) = ( ) 4 =?, ha g () = ; ; ; 0; 0,5. h) h () = ( ) 5 =?, ha h () = ; 0; ; ;. 9 i) k () = ( 4) 5 =?, ha k ( ) = 4; 0; ; 5; 6. j) l () = ( ) =?, ha l () = ; ; ; 0; 4.. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot! a) f () = ( ) 0 4 f () 0 4 b) g () = ( ) ,75 g () 0 5 0

64 64 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Egy 4 m széles, m magas kamion szeretne áthajtani az alagúton, mégpedig az autóút közepén haladva. Az alagút formája követi az f () = 4 másodfokú függvény grafikonját, ha az egység mindkét koordinátatengelyen méter. Át tud-e menni a kamion az alagúton? 5. Egy 0 m magas árbocú vitorlás megkísérelné az átkelést a 8 m széles folyón átívelő híd alatt. A vitorlás szélessége m. A híd íve követi az f () = másodfokú függvény grafikonját, ha az egység mindkét koordinátatengelyen méter. Át tud-e úszni a vitorlás a híd alatt a folyó közepén? Át tud e kelni a folyó partjától 0 m-re? (A vitorlás árboca 0 m-re van a parttól.) 6. A Lucullus tengerjáró hajó át szeretne kelni a Seholsincs-szoroson. A hajó 7 méterre süllyed a tenger szintje alá. A szélessége pedig 0 m a tengerszinten. Át tud-e kelni a hajó a szoroson, ha a tengerszoros medrének íve követi az f () = 8 függvény grafikonját, és az egység mindkét koordinátatengelyen méter? 7. Peti elhajítja a labdáját. A labda mozgásának íve az f () = másodfokú 4 függvény grafikonját követi, és az egység mindkét koordinátatengelyen méter. Peti 80 cm magas, és a fejével egy magasságból indítja a labdát, vagyis,8 méter magasságból. Hány métert repül előre a labda, amikor ismét olyan magasságba kerül, ahonnét elindult? 8. Egy műugró bajnok 0 m magasból ugrik a vízbe. Hány másodperce van a gyakorlata végrehajtására, mielőtt beleesne a vízbe? (s = (g/) t, ahol g = 9,8 m/s ) 9. Egy ember vitorlázórepülővel szeretne leereszkedni a domb tetejéről a völgybe. Milyen magas (km-ben megadva) a domb, ha a domb oldala és a völgy az f () = ( 5) függvény grafikonját követi, és az egység mindkét koordinátatengelyen kilométer? A domb tetőpontjának talppontja (tetőpont tengelyre való vetülete) és a völgy aljának a távolsága 0,5 km. 0. Hányszorosára változik a négyzet területe, ha az oldalait másfélszeresére növeljük? Készíts értéktáblázatot, illetve grafikont a változás mértéke és a terület kapcsolatáról!

65 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 65 II. A másodfokú alapfüggvény transzformációi. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve értéktáblázattal az f () =, a g () =, illetve h () = függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot. Összehasonlítjuk a megfelelő függvényértékeket: g() 6 6 h() Ha az f függvény értékeiből -at vonunk ki, akkor a g függvény értékeit kapjuk meg, ha pedig -t adunk hozzá, akkor a h függvény lesz az eredmény. Ez egyben a grafikon y tengely menti eltolását is jelent, illetve egységgel. Általánosságban: a g () = v ( v 0 tól különböző, tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az f () = függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén v egységgel v < 0 esetén lefelé, v > 0 esetén felfelé.. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f () =, a g () = ( ), illetve a h () = ( ) függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot.

66 66 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Összehasonlítjuk a megfelelő függvényértékeket: f () g () f () h () Az értéktáblázatból látható, hogy a g függvény az értékeit egységgel korábban veszi fel, mint az f függvény. Ez azt jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az tengely mentén egységgel, másképp fogalmazva, negatív irányba egységgel. A h függvény az értékeit egységgel később veszi fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját pedig az f függvény grafikonjának tengely menti egységgel, pozitív irányba történő eltolásával kapjuk meg. Általánosságban: a g () = ( u) ( u 0 tól különböző tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az f () = függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az tengely mentén u egységgel u előjelével ellentétes irányba: u < 0 esetén pozitív, u > 0 esetén negatív irányba.

67 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 67. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait! f () = ; g () = ; h () = 4. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait! f () = ( ) ; g () = ( ) ; h ( ) = ( ) Észrevehetjük, hogy. az f () = és a f () = ( ) függvények grafikonjai és tulajdonságaik megegyeznek, hiszen = ( ).. az f függvény értékeit -mal szorozva a g függvény megfelelő értékeit, míg -del szorozva a h függvény megfelelő értékeit kapjuk meg. Általánosságban: a függvény az f () = a hozzárendelési utasítással adható meg, ahol a 0 valós számot jelöl. Az f () = függvényből a g () = a függvényt úgy kapjuk, hogy minden függvényértéket a- szorosára változtatunk. Szemléletesen: ha az a szorzótényező 0 és között van, akkor a másodfokú függvény grafikonja szétnyílik; nél nagyobb, akkor a grafikon szűkül; negatív, akkor a grafikont az tengelyre tükröznünk is kell.

68 68 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = ( ) hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: A transzformáció lépései:. h () = alapfüggvény ábrázolása. g () = ( ) h eltolása az tengely mentén balra, egységgel.. f () = ( ) g tükrözése az tengelyre. Értéktáblázattal: f () Jellemzés: É.T.: R. É.K.: f () R {0} (vagy: a nempozitív számok halmaza). Zérushely: = helyen. Monotonitás: 0 esetén szigorúan monoton növekvő. 0 esetén szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: = helyen maimuma van. A maimumérték: f ( ) = 0.

69 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 69 Mintapélda Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = megadott függvényt! hozzárendelési utasítással Megoldás: A transzformáció lépései:. g () = alapfüggvény ábrázolása. f () = g minden függvényérté- kének - szorosára változtatása (y tengely menti zsugorítás) Értéktáblázattal: f () 0 Jellemzés: É.T.: R. É.K.: f () R: f ( ) 0 (vagy f () [ 0; [ ). Zérushely: = 0 helyen. Monotonitás: 0 esetén szigorúan monoton csökkenő. 0 < esetén szigorúan monoton növekvő. Szélsőérték: = 0 helyen minimuma van. A minimumérték: f ( 0 ) = 0.

70 70 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 4 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = utasítással megadott függvényt! hozzárendelési Megoldás: A transzformáció lépései:. l () = alapfüggvény ábrázolása /a. h () = minden függvényértéket szeresére változtatunk. (y tengely menti nyújtás) vagy /b. h () = tengelyre tükrözés. g () = a. lépéstől függően a h függvény grafikonját vagy tükrözzük az tengelyre, vagy szeresére nyújtjuk. 4. f () = g függvény grafikonjának eltolása az y tengely mentén pozitív irányba egységgel. Értéktáblázattal: f () 4 4 Jellemzés: É.T.: R. É.K.: f () R: f ( ). Zérushely: = illetve = helyen. Monotonitás: 0 esetén szigorúan monoton növekvő. 0 esetén szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: = 0 helyen maimuma van. A maimumérték: f ( 0 ) =.

71 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 7 Mintapélda 5 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = ( 6) 8 hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: A transzformáció lépései:. l() = alapfüggvény ábrázolása. h() = ( 6) az l függvény grafikonjának eltolása tengely mentén pozitív irányba 6 egységgel.. g() = ( 6) a h függvény grafikonjának -szeresére változtatása, majd tükrözése az tengelyre. 4. f() = ( 6) 8 a g függvény grafikonjának eltolása az tengely mentén 8 egységgel felfelé Jellemzés: É.T.: R. É.K.: f () R: f ( ) 8. Zérushely: =, illetve = 0 helyen. Monotonitás: 6 esetén szigorúan monoton növekvő. 6 esetén szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: = 6 helyen maimuma van. A maimumérték: f ( 6 ) = 8.

72 7 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok. Az alábbi csoportokban állítást olvashatsz ugyanarról a tulajdonságról vagy transzformációról. Döntsd el, melyik közülük a hamis! Válaszodat indokold! a) Tekintsük az f () = függvényt!. Az f függvény grafikonját a lineáris függvény grafikonjából, az tengely alatti részének az tengelyre történő tükrözésével kapjuk.. Az f függvény grafikonját parabolának hívjuk.. Az f függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. b) Tekintsük az f () = hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvényt!.. Az f függvény a értéket pontosan egy helyen, mégpedig az = 0 ban veszi fel.. Az f függvény sohasem vehet fel negatív függvényértéket.. Az f függvény a értéket pontosan helyen veszi fel. c) Tekintsük az f () = b hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvényt!.. Az f függvénynek pozitív b esetén nincs közös pontja az tengellyel.. Az f függvénynek pozitív b esetén pontosan egy közös pontja van az tengellyel.. Az f függvény negatív b esetén pontosan két közös pontja van az tengellyel. d) Tekintsük az f () =, a g () = ( 5), illetve a h () = 5 hozzárendelési utasítással megadott függvényeket!. Az g függvényt az f ből annak tengely menti 5 tel való eltolásával kapjuk.. A h függvényt az f ből annak y tengely menti, 5 tel való eltolásával kapjuk.. Az g függvényt az f ből annak tengely menti, 5 tel való eltolásával kapjuk. e) Tekintsük az f () = ( ) hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvényt!. Az f függvénynek a helyen van szélsőértéke. Az ebben a pontban felvett függvényérték.. Az f függvénynek a P ( ; ) pontban minimuma van.. Az f függvénynek a P ( ; ) pontban maimuma van. f) Tekintsük az f () = a hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvényt! Az f függvénynek negatív a értékek esetén minimuma van. Az f függvénynek negatív a értékek esetén maimuma van. Az f függvénynek pozitív a értékek esetén minimuma van.

73 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 7. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz használhatsz értéktáblázatot is. a) f () = ; b) f () = ; c) f () = ; d) f () = ( ) ; e) f () = 7; f) f () = ( 5) ; g) f () = ( ) ; h) f () = ; i) f () = ; j) f () = 4.. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz használhatsz értéktáblázatot is. a) f () = ( ) ; b) f () = 4 ( 5) ; c) f () = ( ) 5; g) f () = ( ) 6; h) f () = ( 6 ) ; i) f () = ( ). 4. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz használhatsz értéktáblázatot is. a) f () = ( ) ; b) f () = 4 ( 5) ; c) f () = ( ) 6; d) f () = ( 4) ; e) f () = ( ) ; f) f () = ( ) 0 ; g) f () = 4 ; h) f () = 4 ; i) f () = 6. Mintapélda 6 Állítsuk sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy az g () = ( 0) 7 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az alapfüggvény grafikonjából! Megoldás: Egyik lehetőség: Másik lehetőség:. tengely menti eltolás. tengelyre történő tükrözés. tengelyre történő tükrözés. tengely menti eltolás. y tengely menti eltolás. y tengely menti eltolás

74 74 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Megjegyzés: Az első lehetőség egy általános érvényű sorrend. Ha a behelyettesítési lépések sorrendjét követjük a megfelelő geometriai transzformációban, akkor biztosan jó az eljárás. 5. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következő hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk: tengely menti eltolás y tengely menti eltolás tengelyre tükrözés y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a () = 5; b () = ( 5) ; c () = ; d () = ; e () = 6; f () = ( 6). Mintapélda 7 Állítsuk sorba az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a g() = ( ) 6 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az alapfüggvény grafikonjából! Megoldás: Első lehetőség: (ez a sorrend általános érvényű). tengely menti eltolás. tengelyre történő tükrözés. y tengely menti zsugorítás, nyújtás (Megjegyzés: a sablon használata miatt célszerű előbb tükrözni, s csak utána zsugorítani vagy nyújtani.) 4. y tengely menti eltolás Többi lehetőség: az első három transzformáció sorrendje tetszőlegesen felcserélhető. Ez további 5 lehetséges sorrendet eredményez. ( =! = 5 )

75 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következő hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk: tengely menti eltolás y tengely menti eltolás tengelyre tükrözés y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a () = ( 4) 7; b () = ( ) 6; c () = ; d () = ( 4) ; e () = ( ) ; f () = 4 ( ) 8. 4

76 76 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Mintapélda 8 Oldjuk meg grafikusan a = 6 egyenlőséget! Megoldás: A megoldások a grafikonról leolvashatók: = ; =. Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a megoldást. Mintapélda 9 Oldjuk meg grafikusan az 6 egyenlőtlenséget! Megoldás: A keresett intervallumok: vagy. Mintapélda 0 Oldjuk meg grafikusan a > 6 egyenlőtlenséget! Megoldás: A keresett intervallum: < <.

77 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 77 Feladat 7. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket! a) < ; b) 6 ; c) ( 5) = ; d) ( ) < 4; e). Mintapélda Oldjuk meg grafikusan a 6 = egyenlőséget! Megoldás: A megoldások a grafikonról leolvashatók: = = Mintapélda Oldjuk meg grafikusan a 6 egyenlőtlenséget! Megoldás: A keresett intervallumok: vagy Mintapélda Oldjuk meg grafikusan a 6 > egyenlőtlenséget! Megoldás: A keresett intervallum: < <

78 78 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 8. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket! a) ( ) 4 8 b) ( ) 4 <,5 4 c) 8 d) ( ) > e) < ( ) 5 < 4 9. Színezd ki a megadott tartományokat úgy, hogy ha az egyenlőség megengedett, akkor a tartomány határa a tartomány színe legyen, mivel a tartomány határvonala is beletartozik a megoldáshalmazba. Ha nem megengedett, akkor eltérő színű legyen! a) y b) > y Mintapélda 4 Oldjuk meg grafikusan a 4 = egyenlőséget! Megoldás: a) A megoldás a grafikonról leolvasható: = ; = b) Ezt az egyenletet algebrai úton is könnyű megoldani: átrendezéssel kapjuk: = = ebből = ; = Mintapélda 5 Oldjuk meg grafikusan a 4 egyenlőtlenséget! Megoldás: A keresett intervallumok:, illetve Szintén jó megoldást kapunk, ha ábrázolás előtt nullára rendezzük az egyenlőtlenséget. Ekkor csak egyetlen másodfokú függvényt kell ábrázolnunk, és azt vizsgáljuk, hogy hol vesz fel nem negatív (pozitív vagy 0) függvényértékeket.

79 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 79 Feladatok 0. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket! a) ( 4) 4 ( 4) b) 6 < c) ( ) = 5. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket! a) ( 4) < 4 b) ( ) ( ) 7. Színezd ki a megadott tartományokat úgy, hogy ha az egyenlőség megengedett, akkor a tartomány határa a tartomány színe legyen, mivel a tartomány határvonala is beletartozik a megoldáshalmazba. Ha nem megengedett, akkor eltérő színű legyen! a) ( ) > y b) 5 < y 0

80 80 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kisleikon A másodfokú alapfüggvény: Minden valós számhoz rendeljük hozzá a négyzetét! Ekkor a hozzárendelési utasítás f() = alakban írható fel. A kapott görbe neve parabola. Az ábrán látható, hogy a másodfokú függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. A parabola szimmetria tengelyén lévő pontját tengelypontnak nevezzük. A függvénytranszformációkról általánosan: Eltolás az y tengely mentén: A g() = f ( c) (c > 0) függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy a görbét eltoljuk az tengely mentén c egységgel. (Ha c > 0 pozitív irányba, ha c < 0, akkor negatív irányba.) Eltolás az tengely mentén: A g() = f () c (c > 0) függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy a görbét eltoljuk az y tengely mentén c egységgel. (c > 0 esetén pozitív irányba, c < 0 esetén negatív irányba.) Tükrözés az y tengelyre: A g() = f () függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy a görbét tükrözzük az tengelyre. Tükrözés az y tengelyre: A g() = f () függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azokat a görbedarabokat, ahol f negatív értéket vesz fel, tükrözzük az tengelyre. Nyújtás, zsugorítás: A g() = c f () (c > 0) függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy a görbe minden pontjának y koordinátáját c-szeresére változtatjuk.

81 4. MODUL vektorok Készítette: Vidra Gábor

82 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Vektor fogalma, tulajdonságai Vektornak nevezzük az irányított szakaszt. A vektorokat írásban aláhúzással (a), nyomtatásban megvastagítva (a) jelöljük. A vektor meghatározása után áttekintjük a vektorok tulajdonságait. Vektor abszolútértéke: A vektorok kezdőpontjukkal és végpontjukkal kijelölnek egy irányt és egy távolságot. A távolságot a vektor hosszának vagy abszolútértékének nevezzük (jele a ), és mindig valamilyen hoszszúságegységhez viszonyítjuk. Mintapélda Számítsuk ki az ábrán szereplő vektorok abszolútértékét! Megoldás: A koordináta-rendszer derékszögű négyzetrácsa és a Pitagorasz-tétel segítségével végezzük a számítást: 6 = 7, azaz a = 7 6, egység. Hasonlóan számítva b = 50 7, egység. Vektor állása, iránya Ha két vektor egyenese párhuzamos, akkor megegyező állásúnak mondjuk őket. Ezek az egyállású vektorok lehetnek azonos vagy ellentett irányúak, irányításúak.

83 4. modul: VEKTOROK 8 Vektorok egyenlősége: Két vektor egyenlő, ha hosszuk és irányuk megegyezik. A vektorok egyenlősége és azonossága különböző fogalmak. Két vektor azonos, ha kezdőpontjaik és végpontjaik páronként megegyeznek, jelölés: a b. Egy adott vektorral azonos vektor a síkon vagy a térben ugyanott helyezkedik el. Ezzel szemben egy adott vektorral egyenlő vektort a sík vagy tér bármely pontjából felmérhetünk, így egy adott vektorral egyenlő vektorból végtelen sok van. Egységvektor (e): egységnyi hosszúságú vektor. Nullvektor (0): 0 hosszúságú vektor. Definíciója: olyan vektor, amelynek megegyezik a kezdőpontja és a végpontja. Irányát tetszőlegesnek tekintjük. Az a vektor ellentettjének nevezzük azt a vektort, amelyik vele egyenlő abszolútértékű, egyező állású, de vele ellentétes irányú. Jelölése: a. Feladatok. Keress egyenlő, ellentett és azonos vektorokat a kockán és a szabályos hatszögön!

84 84 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Keress egyenlő, egyenlő hosszúságú, illetve ellentett vektorokat az ábrán!

85 4. modul: VEKTOROK 85 II. Vektorműveletek Vektorok összeadása Toljuk el az ABC háromszöget előbb az a, majd a b vektorral! a b ab A két eltolás egymásutánját helyettesíthetjük egyetlen eltolással is. Ennek vektorát a két vektor összegének nevezzük. Két vektor összegét kétféle módszer szerint szerkeszthetjük meg: a) háromszög módszer: az a végpontjából mérjük fel a b vektort; ekkor az a b vektor az a kezdőpontjából a b végpontjába mutat. b) paralelogramma módszer: az a és b vektorokat közös kezdőpontból mérjük fel, kiegészítjük paralelogrammává; ekkor az a b vektor a paralelogramma közös kezdőpontból kiinduló átló vektora.

86 86 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Több vektor összeadásánál használható a láncszabály: Egy a vektor és a nullvektor összege az a vektorral egyenlő: a 0 = a. Mintapélda Másold át a füzetedbe az a, a b és a c vektort, és szerkeszd meg az alábbi vektorokat: a) a b; b) b a; c) a b c; d) a (b c); e) (a b) c! Megoldás: a) b) c) d) e) Tapasztalat: a vektorok összeadása kommutatív: a b = b a, és asszociatív: a b c = ( a b ) c = a ( b c ) művelet.

87 4. modul: VEKTOROK 87 A vektorok összeadását használjuk például vektor összetevőkre bontásakor a fizikában. A szánkót húzó személy a kötélen keresztül F erőt gyakorol a szánkóra. Ennek az erőnek a vízszintes komponense (F v ) a gyorsításra fordítódik, függőleges komponense (F F ) a test talajra ható nyomóerejét csökkenti. F felbontható erre a két komponensre! Vektorok kivonása Laci Párizsból Budapestre repül, Berlin érintésével. Útjának vektorait bejelöltük. Felírhatjuk, hogy a = b c. Ha a c vektort akarjuk kifejezni a és b segítségével, vagyis az összeg és az egyik összeadandó segítségével írjuk fel a másik összeadandót, akkor a két vektor különbségét képezzük: c = a b. Az a b vektort úgy is megszerkeszthetjük, hogy az a vektorhoz hozzáadjuk b ellentett vektorát ( b vektort). Az a és b vektorok különbségét úgy képezzük, hogy közös kezdőpontból mérjük fel őket. A végpontjaikat összekötő, a végpontja felé mutató vektor az a b vektor. A vektorok kivonására nem teljesül sem a kommutativitás, sem az asszociativitás.

88 88 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Vektor szorzása számmal Az ábrán az a, b és c vektorok között összefüggések állapíthatók meg. Az ellenetett vektor definíciójánál láttuk, hogy b = a. c és b vektorok között a számmal való szorzás teremt kapcsolatot: c vektor két b összeadásával keletkezett, így is írhatjuk: c = b. Az ellentett vektor helyett szorzással a b = a összefüggést is felírhatjuk. Így tehát c = ( a) = a További példák vektorok szorzására: Az a vektor k-szorosa (k R, vagyis k egy valós szám) az a vektor, amelynek hossza k a, iránya pedig k > 0 esetén a irányával megegyező, k < 0 esetén a irányával ellentétes. k = 0 esetén nullvektort kapunk. Ha 0-val szorzunk egy vektort, nullvektort kapunk. -nél nagyobb abszolútértékű számmal megszorozva a vektor hossza növekszik (nyújtás), 0 és közé eső abszolútértékű számmal megszorozva csökken (összenyomás). A csupán szorzótényezőjükben különböző vektorokat egyneműeknek tekintjük, így azok öszszevonhatók: a a = a. Feladatok. Mi az összefüggés a b és b a között? 4. Adj meg három vektort, és rajzold fel a b c, (a b ) c és a (b c) vektorokat! Segítségükkel igazold, hogy a vektorok kivonására nem teljesül az asszociativitás (felcserélhetőség)!

89 4. modul: VEKTOROK Vegyél fel egy tetszőleges a vektort, és szerkeszd meg a következő vektorokat! a) a a b) a a c) a a d) 5 a a a e) a f) a a g) a a h) a a 6. Adott az ábra szerint az a, b és c vektor. Szerkeszd meg a következő vektorokat! a) a b b) a b c) b c d) a e) ( a b) b f) b c a b c 7. Add meg a vektorműveletek eredményét (összevonás után): a b a b a) a b b) a b c) a b a b b(a b) d) a ( a b) b e) b a b a Adott egy szabályos hatszög egy csúcsából kiinduló a és b vektor. Írd fel ezek segítségével a következő vektorokat: a) AG ; b) AD ; c) BE ; d) FB ; e) CE ; f) BD ; g) DF ; 9. A paralelogramma oldalvektorainak (a és b ) segítségével írd fel a következő vektorokat, ha a = A D, b = AB! a) AH ; b) AG ; c) EB ; d) BH. Melyik vektort adja meg: e) a b; f) a b; g) a b?

90 90 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 0. Adott egy két négyzetből álló téglalap, és egy csúcsából kiinduló a = AF és b = AB vektor. Írd fel az a és a b segítségével a következő vektorokat (G, M és H felezőpontok): a) AD ; b) AG ; c) AH ; d) JL ; e) IF ; f) HK ; g) CK ; h) HJ.. Az a és b vektorok egység hosszúak, egymással 60 -os szöget zárnak be. Mekkora az a b vektor hossza?. Az a és b vektorok 5 egység hosszúak, egymással 90 -os szöget zárnak be. Mekkora az a b vektor hossza?. Egy testre ható erők eredőjét úgy szerkesztjük meg, hogy a súlypontjába mérjük fel a testre ható összes erőt, majd ott összeadjuk az erővektorokat. Szerkeszd meg a testekre ható eredő erőt! a) b) c)

91 4. modul: VEKTOROK 9 Mintapélda A testek mozgásának vizsgálatakor (dinamikai és kinematikai feladatokban) a következő modellt használjuk: a testet a tömegközéppontjával helyettesítjük, és vizsgáljuk az erre ható erők eredőjét. A tömegpontok nyugalomban vannak, vagyis a rá ható erők eredője zérus (Newton I. törvénye miatt; összegük nullvektor). Szerkeszd meg a következő testre ható hiányzó erőt! Megoldás: Megszerkesztjük a piros és a kék erő összegét (lila vektor), és a megoldást ennek az ellentett vektora adja (zöld). Feladatok 4. Szerkeszd meg a következő, nyugalomban levő testekre ható hiányzó erőt! 5. A méhecskék koordináta-rendszerében állítsuk elő az i és j vektorok segítségével a következő vektorokat! Segítségképpen határozd meg a hatszög átlóinak és oldalainak vektorait! Például BD vektor: BD = (-j) (- (ij)) = -5j i. a) AC ; b) CE ; c) HI ; d) AG ; e) FC ; f) IE.

92 9 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 6. Az oszlopdiagramokon azokat a lépéseket látod, amelyeket egymás után meg kell tenned a koordináta-rendszerben i és j vektorokkal (piros: i, zöld: j; i az irányú egységvektor, j az y irányú egységvektor). Indulj ki az origóból, és mérd fel a megfelelő lépéseket! A végén add meg annak a pontnak a koordinátáit, ahová érkeztél! Példa: lépések A diagram szerint i-vel lépés jobbra (i), j-vel lépés le ( j) stb. A végén megérkezünk a (6; 0) pontba. a) b) 4 4 lépések lépések

93 4. modul: VEKTOROK 9 7. Állítsd elő az i, j és k (az A csúcsból az élfelező pontokba mutató) vektorokkal az A csúcsból a kocka két lapátlójának negyedelő pontjaiba mutató vektorokat! 8. O-ból az A pontba az a vektor, B pontba a b vektor mutat. Előállítjuk az O-ból az AB szakaszt : arányban osztó C pontba mutató c vektort: b a 5a ( b a) a b c = a AC = a = = Hasonló módon állítsd elő (írd fel) az a és b vektorok segítségével AB-t a megadott arányban osztó pontok koordinátáit (készíts ábrákat is): a) : (felezőpont) b) : (A-hoz közelebbi harmadoló pont) c) : d) : e) : f) 4 : 5 g) : 7 h) : 4 9. Igazold, hogy tetszőleges négyszög középvonalának a b vektorára felírható a k = összefüggés.

94 94 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kisleikon Vektor: irányított szakasz, vagy az azzal jellemezhető mennyiség. Vektor abszolútértéke ( a ): a vektor hossza. Két vektor egyenlő, ha hosszuk és irányuk megegyezik. Egységvektor (e): egységnyi hosszúságú vektor. Nullvektor (0): 0 hosszúságú vektor. Definíciója: olyan vektor, amelynek megegyezik a kezdőpontja és a végpontja. Iránya tetszőleges. Vektor ellentettje: az a vektor, amelyik az adott vektorral egyenlő abszolútértékű, egyező állású, de vele ellentétes irányú. Két vektor összegét kétféle módszer szerint szerkeszthetjük meg: a) háromszög-módszer: az a végpontjából mérjük fel a b vektort; ekkor a b az a kezdőpontjából a b végpontjába mutat; b) paralelogramma módszer: az a és a b vektorokat közös kezdőpontból mérjük fel, kiegészítjük paralelogrammává. a b a paralelogramma közös kezdőpontból kiinduló átló vektora. A vektorok összeadása kommutatív és asszociatív művelet. a és b vektorok különbségét úgy képezzük, hogy közös kezdőpontból mérjük fel őket. A végpontjaikat összekötő, a végpontja felé mutató vektor az a b vektor. A vektorok kivonása nem kommutatív és nem asszociatív művelet. v vektor k-szorosa (k R, vagyis k egy valós szám) az a vektor, amelynek hossza k v, iránya pedig k > 0 esetén v irányával megegyező, k < 0 esetén v irányával ellentétes. k = 0 esetén nullvektort kapunk.

95 5. MODUL egybevágósági transzformációk Készítette: Birloni Szilvia

96 96 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A geometriai transzformáció fogalma A geometriai transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, melyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ebben a fejezetben az értelmezési tartomány és az értékkészlet is egy sík, illetve annak egy része. Hozzárendelési szabályok:. Tengelyes tükrözés: Adott egy t egyenes, a tengely, melynek minden pontjához önmagát rendeljük. A t egyenesre nem illeszkedő P ponthoz azt a P pontot rendeljük, amelyre igaz, hogy a tengely merőlegesen felezi a PP szakaszt. Középpontos tükrözés: Adott egy O pont, a középpont, melynek képe önmaga. A sík O-tól különböző P pontjához azt a P pontot rendeli, amely az OP egyenesen van, és az O felezi a PP szakaszt.. Eltolás: Adott egy v vektor, azaz irányított szakasz. A sík egy adott P pontjának képe az a P pont, amelyre igaz, hogy a PP' irányított szakasz egyenlő a megadott v vektorral. 4. Merőleges vetítés: Adott a síkban egy e egyenes (tengely), melynek minden pontjához önmagát rendeli. Az e egyenesre nem illeszkedő bármely P pont képe (vetülete) a P pontból az e egyenesre bocsátott merőleges P talppontja. 5. Identitás (azonos leképezés): Minden ponthoz önmagát rendeli. Ilyen például a v = 0 vektorral való eltolás.

97 5. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK 97 Feladatok. Végezd el a tengelyes és a középpontos tükrözést a négyzetrács segítségével!. Legyen a hozzárendelés szabálya: ( ; y) a ( 5; y )! Ábrázold az így kapott zászló képét! Melyik geometriai transzformációt adtuk meg?

98 98 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Legyen a hozzárendelés szabálya: ( ; y) a ( ; y)! Ábrázold az így kapott háromszög képét! Milyen geometriai transzformációt végeztél? 4. Vetítsd merőlegesen a v egyenesre a P pontot és az AB szakaszt! 5. Adott a házikó három pontjának képe. Találd ki a hozzárendelés szabályát és rajzold meg a teljes alakzat képét! Fogalmazd meg a hozzárendelés szabályát!

99 5. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Egy geometriai transzformáció a piros négyszöget a kékbe viszi. Keresd meg a betűkkel jelölt mozaiklapok képét! Milyen transzformációt végeztél?.

100 00 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Transzformációk rendszerezése A geometriai transzformációk tulajdonságai Egy geometriai transzformáció egyenestartó, ha bármely egyenes képe is egyenes. Távolságtartó az olyan geometriai transzformáció, amelynél bármely szakasz és képének a hossza egyenlő. Az ilyen transzformációkat egybevágósági transzformációknak nevezzük. Egy geometriai transzformáció szögtartó, ha bármely szög és képe egyenlő nagyságú. Megfordíthatónak mondjuk a geometriai transzformációt, ha a hozzárendelési szabály és a kép ismeretében egyértelműen előállítható az eredeti alakzat. A hasonlósági transzformációk esetében az alakzatok formája változatlan marad, csak a méretük változik. Körüljárási irányt megtartó vagy körüljárási irányt megváltoztató egy geometriai transzformáció aszerint, hogy alakzatnak és képének körüljárási iránya azonos vagy ellentétes. Azokat a geometriai transzformációkat, amelyeknél nemcsak az alakzat mérete, hanem formája is megváltozik torzítónak mondjuk. Egy geometriai transzformáció esetén fipontnak nevezzük azt a pontot, amelynek képe önmaga. Fialakzatnak az olyan alakzatot mondjuk, amelynek minden pontja fipont. Azokat az alakzatokat, melyeknek képe önmaga, invariáns alakzatoknak nevezzük. Az invariáns alakzatnak nem feltétlenül minden pontja fipont.

101 5. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK 0 Egybevágósági transzformációk tulajdonságai:. Tengelyes tükrözés: Távolságtartó, szögtartó. A tengely pontjai fipontok, a tengely fialakzat. A tengelyre merőleges egyenesek invariáns alakzatok. Az alakzatok körüljárási iránya megváltozik.. Középpontos tükrözés: Távolságtartó, szögtartó. A középpont fipont. A középponton áthaladó egyenesek invariáns alakzatok. A középponton át nem haladó egyenes és képe párhuzamos egymással. Az alakzatok körüljárási iránya nem változik.. Eltolás: Távolságtartó, szögtartó. Az eltolás vektorával párhuzamos egyenesek invariáns alakzatok. Bármely egyenes és képe párhuzamos egymással. Az alakzatok körüljárási iránya nem változik. Amennyiben az eltolás vektora 0 (nullvektor), akkor minden pontja fipont, más esetben nincs fipontja. 4. Identitás (azonos leképezés): Minden pontja fipont. Nem egybevágósági transzformációk tulajdonságai:. Merőleges vetítés: Nem távolságtartó és nem szögtartó. A tengely pontjai fipontok, az egyenes maga fialakzat. Nem egyenestartó, mert a tengelyre merőleges egyenes képe egy pont. Torzító transzformáció. Nem megfordítható.. Középpontos hasonlóság: Nem távolságtartó, de szögtartó geometriai transzformáció. Fipontja a középpont. A középponton áthaladó egyenesek invariáns alakzatok. A középponton át nem haladó egyenes és képe párhuzamos egymással. Megfordítható hozzárendelés. Az alakzatok körüljárási iránya nem változik.

102 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Elforgatás A pont körüli elforgatás Hozzárendelési szabály: Adott egy O pont, a középpont, valamint az elforgatás szöge (nagysággal és iránnyal). Az O pont képe önmaga. A sík O-tól különböző bármely P pontjának a képe az a P pont, amelyre OP = OP' és a POP ' szög nagysága és iránya az elforgatás szöge. Tulajdonságok: Távolságtartó (egybevágósági transzformáció) Szögtartó A középpont fipont Megfordítható Alakzat és képe azonos körüljárási irányú Hegyesszögű vagy derékszögű elforgatáskor bármely egyenes és képe az elforgatás szögével azonos szöget zár be A 0 -kal, 60 -kal vagy egész számú többszörösével történő elforgatás azonos leképezés Feladatok 7. Végezd el a pont körüli elforgatást másolópapír segítségével a zászlós mutató szerint!

103 5. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK 0 8. Forgasd el az alakzatokat az O középpont körül a megadott forgásszöggel! Színezz egymásnak megfelelő szakaszokat illetve szögeket a képen! a) b) 9. Forgasd el az ábrán látható hatszögeket az O pont körül 60 -kal másolópapír segítségével!

104 04 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE IV. Elforgatást, szimmetriát alkalmazó feladatok Feladatok 0. Forgasd el a megadott O pont körül a T pontot és az NL szakaszt a megadott szöggel!. Forgasd el a szabályos háromszöget az O pont körül 45 -kal! O. Forgasd el a szöget a csúcsa körül 90 -kal! Figyeld meg a szögszárakat! Milyen szögpárfajtát látsz? Mire emlékszel ezzel kapcsolatosan?

105 5. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK 05. Valamilyen pont körüli elforgatás a T pontot a T -be vitte. Hol lehet a forgatás középpontja? T T 4. Az AB szakasz elforgatott képe A B. Határozd meg az elforgatás középpontját és szögét!

106 06 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE V. Forgásszimmetrikus alakzatok Egy alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan 0 -tól különböző szögű pont körüli elforgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át. A forgásszimmetria rendjét az határozza meg, hogy hány olyan szög van a 0 < α 60 tartományban, melyre nézve az alakzat forgásszimmetrikus. A szabályos hatszög például hatodrendben, míg a szabályos háromszög harmadrendben forgásszimmetrikus. A feladata: Add meg az alábbi alakzatok, illetve minták forgásszimmetriájának rendjét, és azokat a szögeket, amivel elforgatva önmagukba mennek át! B feladata: Színezd a parkettát úgy, hogy forgásszimmetrikus legyen! Keress több megoldást! Add meg a szimmetria rendjét is!

107 5. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK 07 C feladata: Szerkessz négyzetet, melynek középpontja O és két szomszédos csúcsa rajta van egy-egy egyenesen! Használj másolópapírt! D feladata: Szerkessz szabályos háromszöget, ha középpontja O és két csúcs rajta van a szög egy-egy szárán! Használj másolópapírt!

108 08 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VI. Térbeli transzformációk, szimmetriák Feladatok 5. Geometriai transzformációt értelmezhetünk a tér pontjaira is. A térben tükrözhetünk síkra, egyenesre vagy pontra. Emiatt térbeli alakzatok is lehetnek szimmetrikusak (síkra, egyenesre vagy pontra). Állapítsd meg, mire szimmetrikusak az alábbi testek! 6. Páros munka: Tartsátok úgy egy-egy kezeteket, hogy egyik a másiknak tükörképe legyen! Használjátok ehhez mindkettőtök bal kezét, majd egy jobb és egy bal kezet! 7. Egy térbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan tengely körüli forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át. Ilyen például a kocka vagy a szabályos sokszög alapú egyenes hasáb. Keress forgásszimmetrikus alakzatokat a környezetedben! Határozd meg, milyen tengely körül, és hány fokos szöggel kell elforgatni őket, hogy önmagába menjenek át!

109 5. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK A felső sorban szereplő síkidomok elforgatásával testek származtathatók. Párosítsd össze a megfelelő testet a hozzá tartozó síkidommal! Keress forgással származtatható testeket! Rajzold le, milyen síkidomból származtathatók! Térbeli szimmetriák Geometriai transzformációk értelmezhetők a tér pontjain is. Ilyenek például a síkra vonatkozó tükrözés, az egyenesre való térbeli tükrözés és az egyenes körüli elforgatás is. Egy térbeli alakzat síkszimmetrikus, ha van olyan sík, amelyre tükrözve, az alakzat képe önmaga. Például a kocka és a gömb síkszimmetrikus testek. Egy térbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan tengely körüli forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át. A négyzetes oszlop, a körhenger és a forgáskúp forgásszimmetrikus testek.

110 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Geometriai transzformációk szorzata Két geometriai transzformáció elvégzését egymás után a két transzformáció szorzatának nevezzük. Feladatok 9. Rajzolj egy háromszöget és két egymással párhuzamos egyenest! Tükrözd egymás után a háromszöget a két egyenesre. Mit tapasztalsz? (Lehet-e helyettesíteni a két tükrözést egyetlen transzformációval? 0. Rajzolj egy téglalapot! Forgasd el valamely csúcsa körül először 45 -kal, majd 0 -kal! Milyen transzformációval helyettesíthető a két elforgatás?. Rajzolj egy kört! Told el először az a majd a b vektorral! Tudnád-e egyetlen transzformációval helyettesíteni a két eltolást? a b. Rajzolj egyenlőszárú háromszöget és két, egymást metsző egyenest! Tükrözd a háromszöget egymás után a két egyenesre tengelyesen! Helyettesítsd a két transzformációt egyetlennel!

111 5. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Kisleikon A geometriai transzformációk olyan függvények, melyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Két geometriai transzformáció elvégzését egymás után a két transzformáció szorzatának nevezzük. Egybevágósági transzformációk: Tengelyes tükrözés: Adott egy t egyenes, a tengely, melynek minden pontjához önmagát rendeljük. A t egyenesre nem illeszkedő P ponthoz azt a P pontot rendeljük, amelyre igaz, hogy a tengely merőlegesen felezi a PP szakaszt Középpontos tükrözés: Adott egy O pont, a középpont, melynek képe önmaga. A sík O-tól különböző P pontjához azt a P pontot rendeli, amely az OP egyenesen van, és az O felezi a PP szakaszt. Eltolás: Adott egy v vektor, azaz irányított szakasz. A sík egy adott P pontjának képe az a P pont, amelyre igaz, hogy a PP' irányított szakasz egyenlő a megadott v vektorral. Pont körüli elforgatás: A pont körüli elforgatásnál adott egy O pont, a középpont, valamint az elforgatás szöge (nagysággal és iránnyal). Az O pont képe önmaga. A sík O-tól különböző bármely P pontjának a képe az a P pont, amelyre szög nagysága és iránya az elforgatás szöge. Identitás (azonos leképezés): Minden ponthoz önmagát rendeli. Ilyen például a v = 0 vektorral való eltolás. OP = OP' és a POP '

112 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Nem egybevágósági transzformációk például: merőleges vetítés, középpontos hasonlóság. Egy síkbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan 0 -tól különböző szögű pont körüli elforgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át. Egy térbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan tengely körüli forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át. Egy térbeli alakzat síkszimmetrikus, ha van olyan sík, amelyre tükrözve, az alakzat képe önmaga.

113 6. MODUL algebrai azonosságok Készítette: Darabos Noémi Ágnes és Vidra Gábor

114 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ I. Ismétlő feladatok Sokszor előfordul a mindennapok során, hogy valamit tervezünk, de konkrét adataink még nincsenek. Például vásárláskor bemegyünk - boltba körülnézni, utána kivesszünk pénzt az automatából. Hogy mennyi pénzt veszünk ki, az több dologtól is függhet: milyenek az igényeink, mennyi pénz van a számlán, sikerült-e akciót kifogni. A fizikában az összefüggéseket m képletek írják le, amelyekben állandók (például g 0 ), mennyiségek jelei (pl. t: idő) és s műveletek találhatók: g t s =. A betűk használatát már megszoktuk a matematikában is (gondoljunk például a területképletekre). A számokat, betűket és műveleteket tartalmazó képleteket kifejezéseknek nevezzük. Amikor a betűknek értéket adunk, akkor a kifejezés helyettesítési értékét számoljuk ki (például a kerület nagyságát, ha adottak az oldalak). Bonyolultabb kifejezéseket egyszerűbbé is tehetünk, ha azokat a szabályok alapján átalakítjuk. Ezekkel az alapszabályokkal foglalkozunk ebben a modulban. Megismerkedünk a nevezetes azonosságokkal, amelyek alkalmazásával sok feladat megoldása leegyszerűsödik. Az egyenletek megoldása szinte lehetetlen nélkülük. A műveleteknek van három tulajdonsága, amelyekkel a valós számkör tárgyalásakor (4. modul) már találkoztunk. Ezek a kommutativitás, az asszociativitás és a disztributivitás. Az összeadás és a szorzás kommutatív műveletek. A kommutativitás felcserélhetőséget jelent: tetszőleges sorrendben adhatjuk, illetve szorozhatjuk össze a számokat, betűket. Összeadáskor a tagok, szorzáskor pedig a tényezők sorrendje felcserélhető. Kommutativitás: a, b R a b = b a a b = b a Az összeadás és a szorzás egy másik tulajdonsága az asszociativitás. Az asszociáció szó társítást, összekapcsolást, képzettársítást jelent. Az elemeket (tagokat, tényezőket) tetszőlegesen csoportosíthatjuk, zárójelezhetjük. Ne felejtsük el, hogy a zárójel a műveleti sorrend kijelölésére szolgál! Asszocativitás: ( a b) c = a ( b c) = a b c ( a b) c = a ( b c) = a b c a, b, c R

115 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK 5 A harmadik tulajdonság a disztributivitás, ami elosztást, felosztást, osztályozást jelent, de ez a szó nem fejezi ki a tulajdonság lényegét. A szabályon kívül azt érdemes megjegyezni, hogy ez a tulajdonság egyik irányban kiemelésről, másik irányban zárójelfelbontásról szól, és összekapcsolja az összeadást és a szorzást. kijelölt szorzás elvégzése Disztributivitás: ( a b) c = a c b c a, b, c R kiemelés A következő feladatokkal felelevenítjük a tanultakat a kifejezésekről, törtekről, műveletekről. Feladatok. Végezd el a következő műveleteket! a) ( a b) ; b) c ( a) ; c) ( y) ; d) ( a b) c ; e) ( 5) ; f) ( ) d (5d 4).. Végezd el a kijelölt műveleteket és a lehetséges összevonásokat! a) ( 6) 4 4 ; b) 6 ( ) ; c) (5a b) 7a ; d) ( d 5d ) d 4 ; e) ( 4) ( 9) 9 d. Összevonni csak egynemű tagokat lehet. Egyneműek azok a tagok, amelyek legfeljebb együtthatóikban különböznek.. Keress egynemű tagokat a következő kifejezések között! a) ; 4; az; 5y; 4y; by; a ; ( a ); ( a b); ( 4a y) ; b) c) 4,7 ;5by; 4a ;( b a) ; y; 0y; 5,4 ; ay ; b( a 4) y;00y; ay ;( a) by;( a) by.

116 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 4. Vond össze a következő kifejezéseket! a) a ( 5a) 0a 6 ; b) ( y y) 4y y ; ; d) a a ; c) [( 4a 5b 6c) (a b) ] 4a c e) Végezd el a kijelölt műveleteket, a kijelölt szorzásokat és a lehetséges összevonásokat! a) 4 4b 5a (a b) ; b) b 7a ( a) ( a) 5a b ; ; d) ( y) 5( y) ; c) 8a [ 6b (4a b) 4a] 5b e ) 9a (b a) ( ) ( 9b 6a 4) ( 5) ; f) 4(5 ) 5( ) ( 5). 6. A következő kifejezésekben végezd el a lehetséges kiemeléseket! a) a 40 b) y y ; c) 6 9 ; d) 0 a 0b 5 ; e) a b a ; f) 6 y a y ; g) 4 y 8y ; h) 4 a 4 a ; i) a 5 d Egészítsd ki a bővítést a változók lehetséges értékei mellett! a) a = y e) = 9 4 b) 6 = 6 c) a = 7 d) 5 y = 6y A törtekkel való számolás során nagyon kell figyelni az egyszerűsítésre. Könnyen megérthető a helyes egyszerűsítés, ha megjegyzed a következő szabályt: Egyszerűsíteni csak azzal a kifejezéssel lehet, ami a számlálóban és a nevezőben egyaránt kiemelhető. ab 6 ( / ab ) Ezért a fenti példát így is fel lehet írni: = = ab. /

117 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK 7 Az esetek többségében a törteket azért célszerű egyszerűsíteni, hogy könnyebb legyen velük számolni. A feladatok végeredményében lehetőleg mindig leegyszerűsített törtek álljanak! A törtek összeadásakor vagy kivonásakor az egyszerűsítést a műveletek elvégzése közben akkor nem szoktuk végrehajtani, ha a bővített alakkal könnyebb számolni. Például 9a 4 9a 4a 5a = = a a a A következő feladatokban olyan törtek is előfordulnak, amelyek nevezőjében betű (változó) is található. Ilyen esetben figyelni kell arra, hogy a nevező nem lehet nulla. Feladatok 8. Egyszerűsítsd a következő kifejezéseket! a) ab 9b ; b) 4 6 ; c) 8 4ab ac ; d) ac 5a ; 5a 0b e) a 4b 8 ; f) 4a 6a a a. 9. Végezd el a következő műveleteket, figyelj a törtekre! a) 5 7 b) a b 5 a 0 a a b 6 b a c) Végezd el a következő műveleteket, ahol lehet, egyszerűsíts! 6 a) : y y b 6 ; b) 5b 8b : ; c) : 0a 4y ; d) 6a b : ; 4y a a e) : 6 a ; f) 4b y 8a b 6b 6 y : ; g) y b ; h) 6 9 : 5 y 4 y ; i) a ay 5ab a b a a j) b a b b

118 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ. Végezd el a következő műveleteket! a) ( p )( p ) ; b) ( )( 7) ; c) ( p )( p ) ; d) a 6 a ; 4 e) ( )( ) ; f) ( a )(a ) ; g) ( d )( d ).. Végezd el a következő műveleteket! a) 4a ( a ) a (4 a) a(a ) ; b) ( 6) 8 ( ) (4 4) ; a c) a a 7a a. 9 Mintapélda Hozd közös nevezőre az alábbi kifejezéseket, és végezd el a lehetséges összevonásokat! y 5y a) y Megoldás: a) ; b) 0 7 y 5 5 y b) ; c) y. 6 c) 5 y 6y 6 Feladatok. Hozd közös nevezőre az alábbi kifejezéseket, és végezd el a lehetséges összevonásokat! a) d) y y 5 ; b) 5 4 y 5 4y y 7y ; c) y ; Hozd közös nevezőre az alábbi kifejezéseket, és végezd el a lehetséges összevonásokat! ( ) a) ; b) ; c) y y. 6 8

119 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK 9 Mintapélda Hozd közös nevezőre az alábbi kifejezéseket, és végezd el a lehetséges összevonásokat! 4( a 4b) 4a 9b a) ; b) 5b 5b y y 7 y ; c) y y y ( a ) 5( a) ; a 7 a 7 d) ( 4) (5 ) 5 y a 7 Megoldás: a) 5; b) ; c) ; d). y a 7 5 Feladatok 5. Végezd el a műveleteket, és hozd közös nevezőre az alábbi kifejezéseket (az egész számokat is)! 9 a b ab y a) 4 y ; b) ab ; c) y y a b 6y ; d) ab ; e) a b a b 4 d 6d. d d 6. Végezd el a műveleteket, és hozd közös nevezőre az alábbi kifejezéseket (az egész a számokat is)! a) ; b) ; c). 5 a 5 Mintapélda a = és b = esetén mennyi a következő kifejezések helyettesítési értéke: a) a b Az érték ( ) = 9 =. 6a b 0 b) 4 kiemelhető a : Egyszerűsíthetünk, mert a számlálóból és a nevezőből is 6a b 0 (a b 5) a b 5 ( ) 5 5 = = = =. 4

120 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Feladatok 7. Mennyi a következő kifejezések helyettesítési értéke, ha a) = ; 6 ; b) y = 5; 6 4 ; y y z (4 y) y a 5a a c) z = ; y = ; ; d) a = ; b = 5;. y 8y ab ab 8. Írd fel változókat tartalmazó kifejezésekkel a következőket: a) -nek a 9 4 -e; b) y-nak a 0 %-a; c) a (a-nak a 0 %-a); d) a-ból az a 5 %-a; e) kétharmadából az 0%-a.

121 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK II. Törtes kifejezések értelmezési tartománya A kifejezéseket mindig az alaphalmazukon értelmezzük, amelyet a feladat szövege határoz meg. Ha az alaphalmaz meghatározása hiányzik, akkor a valós számok (R) halmaza az alaphalmaz. A tiltott műveletek általában kizárják az alaphalmaz egyes elemeit, és az ezekkel szűkített alaphalmazt a kifejezés értelmezési tartományának nevezzük. Régen megtanultuk a szigorú tiltást: nullával nem lehet osztani, mert ez a művelet nem értelmezhető. A törtekre nézve ez azt jelenti, hogy amennyiben a nevező tartalmaz változót, ki kell kötni, hogy a nevező nem lehet nulla, majd meg kell határozni, hogy mi NEM lehet a változó értéke Mintapélda 4 Mi a következő kifejezés értelmezési tartománya, ha alaphalmaza a valós számok halmaza: Megoldás: A nevező nem lehet 0, ezért Tehát a feladat megoldása: R és, amit így is szoktunk írni: R\. Feladatok 9. Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát: 4y 5 a) ; b) ; c) ; d) ; y 5 a e) ; f) ; g) y a Írj fel olyan kifejezéseket, amelyek nem értelmezhetők a következő számokra: a) ; b) 0; c),5; d) ; e) 0, 6 ; f) ; g) és ; h) 0 és ; i), és.

122 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Ha több változó is van a nevezőben, a kikötést ezek kapcsolataként írjuk le. Például: esetén a nevező nem lehet nulla, így y 0, vagyis y. y Ha több tört is van egy kifejezésben, akkor összevonjuk a kikötéseket, hiszen egyik nevező sem lehet 0. Például esetén a 0 és a, az értelmezési tartomány: R \ {0; }. a a Vizsgáljuk meg azt az esetet is, amikor a nevezőben szorzat áll, vagy ha a nevező szorzattá alakítható. Tudjuk, hogy egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha legalább az egyik tényezője nulla. Ezt használjuk ki. Mintapélda 5 Határozzuk meg az kifejezés értelmezési tartományát! ( ) Megoldás: ( ) = 0, amiből = 0 vagy =. Ennek tagadása: 0 és, vagyis az értelmezési tartomány: R \ {0; }. Feladatok. Határozd meg, hogy milyen kikötéseket kell tenni a következő kifejezések esetében! A feladatokban írd fel a kifejezések értelmezési tartományát is, ha az alaphalmaz a valós számok halmaza! 4y 4 a 6 a) ; b) ; c) ; d). a a Határozd meg, hogy milyen kikötéseket kell tenni a következő kifejezések esetében! A feladatokban írd fel a kifejezések értelmezési tartományát is, ha az alaphalmaz a valós számok halmaza! z 4 a a) ; b) ; c) ; d) ; y y 4 s 4z 5a a e) ; f) ; g) ; h). 9. Végezd el a következő műveleteket! Állapítsd meg a változók értelmezési tartományát is! a) 5 5y ; b) y y 7( a ) a 4a a 6 ; c) 5a 0 a 6a 9 a a ; a d) 0a 5b 6b a : ; e) 6b 8a 4a 8b 4 8y 6y : 5 5y 9y ; d f) ( )( ) ( )( ) ; g) d 4 d d. 4

123 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK III. Polinomok Néhány elnevezés Ha számok és számokat helyettesítő betűk egész kitevőjű hatványát és gyökét a négy alapművelet véges számú alkalmazásával kapcsoljuk össze, algebrai kifejezést kapunk. A polinomok olyan algebrai kifejezések, amelyekben nem fordul elő gyökvonás és változót tartalmazó kifejezéssel való osztás. A polinom másik neve: racionális egész kifejezés. Ha legalább elsőfokú polinommal való osztás is szerepel a kifejezésben, akkor racionális törtkifejezésről beszélünk. A feladatokban sokszor találkozhatunk ilyen jellegű kifejezésekkel: 4 Egytagú kifejezések: a, 5, 4,, 6 7,. 5 Kéttagú kifejezések: 4, a b, 5. 5 Kétváltozós hetedfokú polinom: 9 y y. 4 Egy változós, negyedfokú polinom: 4 5. Az előforduló legmagasabb kitevő: 5 = 7. Az előforduló legmagasabb kitevő: 4. Együtthatók: A negyedfokú polinomban az 4 -es tagé, az -os tagé 0, az -es tagé 4, az -es tag együtthatója 5, a konstans pedig (szintén együttható, az -nek, azaz a nulladfokú tagnak az együtthatója). -et változónak vagy ismeretlennek nevezzük. Az együtthatók az előjeleiket is tartalmazzák. Egy polinom fokszámát úgy határozzuk meg, hogy előbb maghatározzuk az egyes tagok fokát (összeadjuk a tagjaiban található ismeretlenek kitevőit), majd ezekből a legnagyobbat vesszük. Óriási könnyebbséget jelentett az algebrai leírásokban a XIX. század végére kialakult, mai algebrai jelölésmód. René Descartes ( ) javasolta először a változó mennyiségek

124 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ bevezetését, korábban az ismeretlent nem jelölték külön betűvel. Descartes nevét őrzi egyébként a derékszögű koordináta-rendszer is. A középkori matematikusok a latin szavak rövidítéseit és ma már szokatlan jelöléseket használtak a problémák leírására. Pl.: = 5 régen így nézett ki: 6 p ~ 4 m ~ p ~ egaul m ~ 5 ; a D B = E D egyenlet őse: D quadratum B planum aequabitur E ; D bis a B = C egyenlet akkori alakja: A cubus B latus in A quadratum aequatur C solido Feladatok 4. Határozd meg a következő polinomok fokszámát! 4 4 a) a ab ; b) a b ab b ; c) 4 pq p p q Rendezd fokszám szerint csökkenő sorrendbe a következő polinomokat! a) 6 4 ; b) 5 ab ; c) a b a ; d) Végezd el a kijelölt műveleteket és a lehetséges összevonásokat, majd rendezd csökkenő fokszám szerint a polinomokat! Számítsd ki a kifejezések helyettesítési értékét is a megadott értékek mellett! a) ( ) ; = b) (5 ) ; = 0 c) (4 ) ; =,4 d) ( ) 8( ) 5( 5) ; = e) a b a a b 6a ; a = ; b =.

125 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK 5 IV. Nevezetes azonosságok Mintapélda 6 Négyzet alapú irodába m mélységű vitrines sarokszekrényt hoztak, ami teljes két falat (és három sarkot) elfoglal. Így az iroda alapterülete 5 m -rel csökkent. Mekkora az iroda falának hossza? Megoldás: Jelölje az iroda eredeti falának hosszát. A vitrin elhelyezése előtt az alapterület volt, utóbb ez ( ) -re csökkent. Felírhatjuk a következő egyenletet: ( ) = 5 A megoldáshoz el kell végezni az ( )( ) szorzást: ( )( ) = = ( ) = 5 Ellenőrzés: 8 = 64; 7 = 49; = 5. Az iroda fala 8 méter hosszú. = 5 =6 = 8 A számolást meggyorsíthatjuk, ha begyakoroljuk a nevezetes azonosságok használatát. Ezek közül leggyakrabban a következő három fordul elő (a b) = a ab b (a b) = a ab b a b = (a b)(a b) a, b R Ezeket legegyszerűbben a több tag szorzása több taggal műveleti szabályai szerint bizonyíthatjuk: (a b) = (a b)(a b) = a ba ab b = a ab b (a b) = (a b)(a b) = a ba ab b = a ab b (a b)(a b) = a ba ab b = a b

126 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Szavakkal megfogalmazva: Két tag összegének négyzete a két tag négyzetének összege, hozzáadva a két tag kétszeres szorzatát, vagy első tag négyzete az első és második tag kétszeres szorzata a második tag négyzete. Két tag különbségének négyzete a két tag négyzetének összege, kivonva a két tag kétszeres szorzatát. Két tag összegének és különbségének szorzata egyenlő a kisebbítendő négyzetének és a kivonandó négyzetének különbségével. Mintapélda 7 Végezzük el a következő műveleteket! a) ( ) ; b) ( 4) ; c) ( a b) ; d) ( a b ) ; e) ( ) ; f) ( 7 4 ) ; g) ( )( ) ; h) ( a )( a) ; i) ( a c) b ; j) ( y ) ; k) ( z y ) ; l). Megoldás: a) e) 4 i) a k) 9 6 9; b) 4 ; f) b c 4y 8 6; c) a ab ac bc; z ; g) j) 4 y 6z 4yz; l) ab b ; h) 4a ; 9 y. ; d) b 6ab 9a 4y 6y; ; Mintapélda 8 Végezzük el a következő műveleteket! a) ( ) ( ) ; b) ( p q q) ( p ) ; c) b. b Megoldás: a) ( ) ( ) = 9 4 (9 4) = 4 ; b) q) ( p q) = ( p ) p q q ( p ) 4 [ p q q ] = p p q ( p q c) b = b b = b. b b b b ;

127 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK 7 Feladatok 7. Végezd el a következő műveleteket: a) (a ) (a ) ( a )( a ) ; b) (a ) (6a ) (a )(a ) ; c) s s. s s 8. Végezd el a következő műveleteket! a) a 4 a ; b) 4 b ( b) a a ; c) a b a b ; d) y y 4 ; n n e) ( a b ) ; f) ( n n ). 9. Párosítsd az azonosságokhoz a megfelelő ábrákat! a) a( b c) = a b a c ; b) ( a b)( c d) = ac bc ad bd ; c) b) = a ab ; d) a b)( c d) = ac bc ad bd ( a b ( ; e) ( a b b)( a b) = a ; f) ( a b b) = a ab.

128 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 0. Egészítsd ki a következő kifejezéseket úgy, hogy az két tag összegének vagy különbségének négyzetét adja! a) 9a... 49; b) ; c) 4d d...; d)... 80y 00 ; e) 6a 4a... ; f)... 0t 69 ; g) (...) = ; h) (... 4) =... 48d... ; i) (......) = 4s s...; j) (a...) =... 48a...

129 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK 9 V. Kifejezések szorzattá alakítása A matematikai problémák kezelése során többször találkozunk azzal, hogy az összegek, különbségek szorzattá alakítása egyszerűsíti a feladat megoldását. Többször előfordul, hogy szorzattá alakítás nélkül nem is jutunk végeredményre. Ilyenkor, ha sikerül szorzattá alakítanunk az egyenletben szereplő kifejezéseket, meg tudjuk oldani az egyenletet. Néhány példa, amikor segíthet a szorzattá alakítás: = egyenletet (ahol ) a nevezőjével szorozva másodfokú egyenletet kapnánk, amelyet 0. évfolyamon tanulunk megoldani. Azonban ha észrevesszük, hogy = ( )( ), akkor egyszerűsíthetünk: ( )( ) = = = esetén a nevező nem válik nullává és visszahelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy valóban megoldás = 0 egyenlet bal oldalát szorzattá alakíthatjuk: 4 ( 5) = 0. Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha legalább az egyik tényezője nulla, ezért vagy 4 nulla (és ekkor = 0), vagy ( 5) = 0, ekkor = 5. Vagyis két megoldást kaptunk: = 0 és = 5. A példákból látható, hogy a szorzattá alakításnak valóban nagy jelentősége lehet a feladatok megoldásában. A szorzattá alakítás három módszerével ismerkedünk meg:

130 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda 9 Alakítsuk szorzattá következő kifejezéseket a megadott módszerekkel! a) Kiemeléssel: 4 5 = ( 5) ; a ( b 4) (4 b) = a( b 4) ( b 4) = ( a )( b 4). b) Csoportosítással: y y = ( y) ( y) = ( )( y). A csoportosítás tulajdonképpen nem más, mint többszöri kiemelés. c) Nevezetes azonosságokkal: 6 9 = ( 4) = (4 )(4 ) 6 9 = ( ) = ( = ( 7) = ( ) 7). Alakítsd szorzattá kiemeléssel a következő kifejezéseket: a) ; b) 4 6 ; c) 5 4 a a a ; d) a ( ) b( ) ; e) a( y) ( y ) ; f) a( d ) ( d) ; g) a( b 5) (5 b) ; h) 4 y 6 y 9 y ; i) d d d.

131 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK. Alakítsd szorzattá csoportosítással a következő kifejezéseket! a) a ( y) y ; b) y y a ay ; c) 4 ; d) d d s sd.. Alakítsd szorzattá nevezetes azonosságok felhasználásával a következő kifejezéseket! a) a 6a 64 ; b) p 6 p 9 ; c) ; d) d 0d 5 ; e) 4a 4a ; f) Alakítsd szorzattá nevezetes azonosságok felhasználásával a következő kifejezéseket! a) b) e) a 9a. 4 a 4s c) 9 t 9 s d) 6 y 5. Alakítsd szorzattá nevezetes azonosságok felhasználásával a következő kifejezéseket! a) ( a a b) 4 ; b) 4( y y) 9( ) ; c) ( 5 y y) 4 ; d) 49(d c c) 9( d ) ; e) 4a b (a ) ; f) ( ) 4 ; g) ( a b 4b) 6 ; h) 4 0y 5y 6 ; i) a 4 8; j) 6 4 8; k) a ; l) 6 y Alakítsd szorzattá tetszőleges módszerrel a következő kifejezéseket! a) ( y ) y ; b) d ( d) d ; c) s 4s 4 s ; d) t 5a at 5t ; e) s d s d 6 ; f) 0,09 0,5d ; 9 4 g) 7 p q ; h) 0a 45b ; i) y ; 6 9 j) 4 0,0d ; k) 6 ( 9) ; l) y y ; m) y y ; n) 4 4 y. 7. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) 5 6 ; b) 5 6 ; c) a a ; d) d d 5 ; e) m 8 4m 4 5 ; f) 4 7 ; g) 9 i) 6. 4 ; h) 4 ;

132 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ VI. Algebrai műveletek alkalmazásai Mintapélda 0 Egészítsd ki teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé a következő kifejezést: 6 5, azaz a kifejezésben egy két tagú összeg (vagy különbség) négyzete, és egy állandó tag szerepeljen! Megoldás: Két tag összegének és különbségének négyzetre emelésekor a kétszeres szorzat jelenik meg: ( a) = a ± a ±, ezért az elsőfokú (-es) tagból indulunk ki: megfelezzük az együtthatóját ( 6 -ot) = ( ) 4 Felírjuk a kifejezés négyzetét, és korrigálunk ( 9 helyett nekünk 5-re van szükségünk, ezért elveszünk 9-ből 4-et). Mintapélda Határozd meg az 8 kifejezés minimális értékét és azt is, hogy milyen érték esetén veszi azt fel! Megoldás: A kifejezést teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítjuk: 8 = ( 4) 8 A kapott alakból kiolvasható a megoldás. A kifejezés értéke értékétől függ. Az egy változó: ha változik, nyilván az egész kifejezés értéke is változni fog. = 4 esetén ( 4) értéke nulla, így értéke, ugyanis ha nem 4, akkor ( 4) is nulla. Ekkor a legkisebb a kifejezés ( 4) értéke pozitív (nullánál nagyobb). Tehát az átalakított kifejezésből megállapítható, hogy az 8 kifejezés a legkisebb értékét = 4 esetén veszi fel, és ez az érték 8.

133 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Az előbbi feladathoz hasonlóan lehet megállapítani azt, hogy a ( ) kifejezés legnagyobb értéke (maimuma), és ezt = esetén veszi fel. Azokat a feladatokat, amelyekben egy kifejezés legnagyobb vagy legkisebb értékét kell megállapítani, szélsőérték-feladatoknak nevezzük. A másodfokúra visszavezethető szélsőértékfeladatok megoldásának egyik módja a teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás. Feladatok 8. Egészítsd ki teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé a következő kifejezéseket! Határozd meg legnagyobb, illetve legkisebb értéküket is! a) 8 ; b) a 4a 0 ; c) 4 6 ; d) s s 5; e) 5 ; f) i) 6 ; j) 4. 9 a 7a ; g) 0 ; h) 8 0 ; 4 9. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) ( 4 y y) ( ) ; b) ( y 7y) ( 5 ) ; c) ( p ) ( p 4)( p 4) p( p ) ; Mintapélda Végezzük el a következő műveleteket és határozd meg a kifejezések értelmezési tartományát! a b a b 4 4y 5 a) ; b) ; c) :. a b a b y 5 4y 5 Megoldás: a) Egyik nevező sem lehet nulla, ezért a ± b. A nevezők különbözőek, ezért a megoldást közös nevezőre hozással kezdjük: a b a b ( a b)( a b) ( a b)( a b) a = = a b a b ( a b)( a b) = 4ab 4ab = ( a b)( a b) a b. b) A nevezők szorzattá alakíthatók: ab b ( a ab b ( a b)( a b) ) =

134 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ ) )( ( ) ( 4 4 =. Egyik nevező sem lehet nulla, ezért ±. A közös nevező a nevezők legkisebb közös többszöröse: ) )( (. A közös nevezőre hozás után a számlálóban alakítjuk a kifejezést:. ) ( 4 ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( (4 ) )( ( ) ( 4 4 = = = = = c) Szorzattá alakítás és kikötés meghatározása után közös nevezőre hozunk a zárójelben: 5 ± y ; = = ) 5 5)( ( 5 : 5 5) ( : 5 4 y y y y y y y y 0 4 5) ( 5) 5( 5) 5)( 0( 5 5) 5)( ( = = = = y y y y y y y y y y. Feladatok 40. Végezd el a következő műveleteket és határozd meg a kifejezések értelmezési tartományát! a) y y y y ; b) q p p q p p ; c) 5 0 ; d) 4 a a a a ; e) 4 ; f) y y y y ; g) a a a a ; h) Végezd el a következő műveleteket! a) : ; b) : d d d d d d ; c) ( ) a a a a ; d) 4 : ab a b b a b a b ; e) 4 4 : y y y y ; f)

135 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK 5 4. Végezd el a következő műveleteket! a) 9 5 : 5 a a a a a ; b) y y ; c) 4 y y y ; d) 9 5 ) (5 a a ; e) ( ) 4 4 ) 6)( (6 5 c c c c c ; f) ) ( 4 : p q p q p q p q ; g) 4 : 9 4 y y y ; h) ( ) 4 : y y y. 4. Végezd el a következő műveleteket! a) ; b) ; c) a a a a a ; d) ( ) d d d d ; e) : a a a a a a a ; f) a a a a a a a a ; g) a a a a a a Mintapélda A szferométer (gömbmérő) olyan műszer, mellyel vékony lemezek, drótok, üveglencsék görbületi sugarát, gömbfelületsugarát lehet meghatározni. A hengeres szferométer egy körhengerrel összekötött mikrométercsavar. Pontos illesztéssel ráhelyezik a görbe felületre és a csavart addig tekerik a henger alapsíkja felé, amíg vége a felületet el nem éri. A műszer alapsíkja és az alaphenger tengelyében elhelyezkedő csavar végének síkja közötti távolságot a mikrométercsavarhoz kapcsolódó skálán olvassák le és ebből számítható ki például egy gömbfelület sugara. János édesapja hazahozott a műhelyből egy hengeres szferométert, melynek alapköre 5 cm sugarú. Meghatározták János földgömbjének sugarát. Mennyit kaptak eredményül, ha a szferométer skálája 6, mm-t mutatott?

136 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Megoldás: A megoldás kulcseleme a megfelelő ábra elkészítése. r a gömb sugara. Az ábrán látható derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tételt felírva kapjuk az alábbi egyenletet: r = r 5 ( 0,6) r,4r = 5,844 r = 0,47 0 cm A gömb sugara 0 cm. = 5. Négyzetre emelés és összevonás után r,4r 0,6 Feladatok 44. Egy derékszögű háromszög átfogója 0 cm-rel hosszabb az egyik befogójánál. A másik befogó hossza 0 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? 45. Naomi az egyenlítőn él. Egy legenda szerint ősei nagyon régen kiszámolták a Föld sugarát. Utánajárt a számításnak, és elvégezte a hozzá tartozó kísérletet (persze mai eszközökkel): a víz felszínétől 5 méter magasban egy nagy hajóról nézte távcsővel, hogy mikor tűnik el az a csónak, amely az egyenlítő mentén távolodott az ő hajójuktól. Amikor eltűnt a horizonton, a távolságmérős távcső,8 km-t mutatott. Mekkorának számította Naomi a Föld sugarát? 46. A planetárium körfolyosójának középvonala a középponttól mérve 7 méter sugarú kör, a körfolyosó területe 94 m. Mekkora a terem és a külső fal köreinek sugara? 47. Sok középkori monostorban építettek kerengőt: kis belső kertet körbevevő, árkádos folyosót. Mekkora területű négyzet alapú udvart vesz körül az a kerengő, amelynek szélessége,8 méter, területe 65,76 m?

137 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Egy körgyűrű belső és külső sugarának összege cm, a körgyűrű területe 44 π. Mekkora a két sugár? 49. Egy kör alakú rét egyik átmérőjének két végpontjához érkezik egy darázs és egy méhecske. Észrevesznek a rét szélén egy színpompás virágot, és egyszerre indulnak el feléje. A méhecske sebessége 6,8 m/s, a darázsé 8 m/s. A darázs útja a virágig 78,46 méter, a méhecske útja a rét átmérőjénél 8 méterrel kevesebb. Melyikük ér előbb a virághoz? Számelméleti feladatok A 4. modulban már találkoztunk az osztó, a többszörös, a prímek és az összetett számok fogalmával, valamint a legnagyobb közös osztó, a legkisebb közös többszörös és a relatív prímek definíciójával. A következő feladatokban többek között ezeket alkalmazzuk. Mintapélda 4 Három egymást követő természetes szám összege 998. Mekkora közülük a legnagyobb szám? Megoldás: Jelölje a középső számot. Ekkor ( ) ( ) = 998 = 998 = 666 A legnagyobb szám: = 667 Megjegyzés: A feladat akkor is megoldható, ha nem a középső számot vesszük ismeretlennek. Azonban ez az ötlet leegyszerűsítheti a feladatok megoldását, érdemes megjegyezni. 50. Három egymást követő páros szám összege 998. Mekkora közülük a legnagyobb szám? 5. Négy egymást követő természetes szám összege 00. Melyik közülük a legnagyobb szám?

138 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 5. Írj fel olyan számokat, amelyek 4-gyel osztva maradékot adnak. Írd fel ezek általános alakját! Mintapélda 5 Ha egy pozitív egész szám -mal osztva maradékot ad, akkor milyen maradékot ad -mal osztva a 4-szerese? Megoldás: 4 ( ) = k 4 = ( 4k ) k azaz -mal osztva maradékot ad. Feladatok 5. Ha egy pozitív egész szám -mal osztva maradékot ad, akkor milyen maradékot ad -mal osztva a négyzete? 54. Ha egy pozitív egész szám 5-tel osztva maradékot ad, akkor milyen maradékot ad 5- tel osztva a négyzete? 55. Ha egy pozitív egész szám 5-tel osztva maradékot ad, akkor milyen maradékot ad 5- tel osztva a 4-szerese?

139 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK 9 VII. Vegyes feladatok 56. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket és számítsd ki a helyettesítési értékeket! a) y y y ; = 6; y = 5; b) b b ; b = Végezd el a következő műveleteket! a) 4a ( a ) a( a a ) 4( a ) ; b) 5 a (a ) ( a ) Végezd el a következő műveleteket! Állapítsd meg a változók értelmezési tartományát is! d 5d 0 6w 4 8w a) ; b) : ; 8d 6 8 4d 45 7w 5 9w 6a 6a c) : ; d) y. a 6 5a Hozd közös nevezőre az alábbi kifejezéseket, és végezd el a lehetséges összevonásokat! 6a b 5 4a 6b a 6b 4a b a b a b a) ; b) 8 ; c) Hozd közös nevezőre az alábbi kifejezéseket, és végezd el a lehetséges összevonásokat! y 4y a a 7 4t 5t 9t 4 a) ; b) ; c). a 5 5 a t t t 6. Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát: 5 8 a) ; b) ; c). 4y 4 4

140 40 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 6. Végezd el a következő műveleteket! a) ( z y ) ; b) a. a 6. Végezd el a következő műveleteket: d t 5 d t dt dt Az alábbi kifejezések közül melyik egyenértékű a ( ) kifejezéssel? a) ( ) 6 ; b) ( ) 8 ; c) [( ) ] ; d) Az alábbi kifejezések közül melyik egyenértékű a a) [ ( ) 8( y )] ( y ) kifejezéssel? ; b) ( y) y ; y ( )( y ) ( ) ; d) c) ( ) ( y ) ( y). 66. Végezzük el a következő műveleteket: a) ( a b b) ( a b)( a b) ( a ) ; b) ( ) ( ) ( )( ) ; c) e) g) i) ( a b b) ( a ) ; d) ( a ) ( a ) ; f) ( ) ( ) ; h) ( n ) ( n ). ( b a b) (5a ) ; ( y y) ( ) ; ( m m ) ( ) ; 67. Alakítsd szorzattá csoportosítással a következő kifejezéseket! a) t 6st s ; b) d 8 6d e 4e ; c) a b b a. 68. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) 8 ( 4) ; b) ( a ) ( a 4) ; c) 9 b a ab ; d) 5p q 4 p pq 9 ; e) 4 6.

141 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) a 8a 5 ; b) 6 y y ; c) ; d) 7 ; e) 6 6 ; f) Végezd el a következő műveleteket! a 4b a) ; b) ; 9 ( )( ) a b b b b 5y c) : ; d) ( y) ; a a b 4a ab y 9y 4 9y y a a 6a 0a e) : ; f) : 5y 9 5y a a 6a 9a 8 6 g) Lehet-e három egymást követő páratlan szám összege 006? ; 7. Melyik négy egymást követő páratlan szám összege a 000? 7. Öt egymást követő természetes szám összege 000. Melyik közülük a legnagyobb szám? 74. Igaz-e, hogy ha nem osztható -mal, akkor osztható lesz -mal? 75. Igazold, hogy az kifejezés osztható 0-szal, ha természetes szám!

142 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Kisleikon Alaphalmaz: az a számhalmaz, amelyet a feladat szövege ad meg, ennek hiányában a valós számok (R). Bővítés: törtekkel végezhető művelet, a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal vagy kifejezéssel szorozzuk (a szám illetve a kifejezés értéke nem lehet nulla). Több tagú számláló illetve nevező esetén bővítéskor minden tagot megszorzunk. A bővítés ellentéte az egyszerűsítés. Egyneműek tagok: legfeljebb együtthatójukban különböznek. Egyszerűsítés: törtekkel végezhető művelet, a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a nullától különböző számmal vagy kifejezéssel osztjuk. Több tagú számláló illetve nevező esetén egyszerűsíteni csak azzal a kifejezéssel vagy számmal lehet, ami kiemelhető a számláló illetve a nevező minden tagjából. Kifejezés értelmezési tartománya: kikötésekkel szűkített alaphalmaz. Kifejezés helyettesítési értékét úgy kapjuk, hogy a betűknek értéket adunk. Nevezetes másodfokú azonosságok: ( a b b) = a ab, ( a b b) = a ab, a b = ( a b)( a b), ahol a R, b R. Polinom: olyan algebrai kifejezés, amelyekben nem szerepel gyökvonás és változót tartalmazó kifejezéssel való osztás. A polinom másik neve: racionális egész kifejezés. Polinom fokszáma: a legmagasabb fokú tagjának foka.

143 7. MODUL Egyenletek, egyenlőtleségek, kétismeretlenes egyenletek Készítette: Darabos Noémi Ágnes

144 44 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyszerű egyenletek Mintapélda Egy könyvszekrény felső polcán háromszor annyi és még 6 könyv van, mint az alsó polcon. Dani a felső polcról 8 könyvet áttesz az alsó polcra, így ott a felső polcon található könyvek felénél -mal több könyv lesz. Hány darab könyv van most az alsó, ill. a felső polcon? Hány könyve van Daninak összesen? Megoldás: Jelöljük az alsó polcon található könyvek számát -szel. Ekkor a felső polcon: 6 darab könyv van. 6 8 = 8 6 = 6 = 4 Daninak jelenleg az alsó polcon: 8 = 4 8 =, a felső polcon: = 70 darab könyve van, így összesen 0 darab könyve van. Ellenőrzés: 70 fele: 5 tényleg -mal több a -nél. Mintapélda Egy 6 éves anyának 6 éves fia van. Hány év múlva lesz az anya háromszor annyi idős, mint a fia? Megoldás: Anya Fia Most 6 6 év múlva = ( 6 ) 8 = = 9 9 év múlva lesz az anya háromszor annyi idős, mint a fia. Ellenőrzés: 9 év múlva az anya 45 éves, a fia 5 éves lesz és 5 = 45.

145 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 45 Minden egyenlethez hozzátartozik egy alaphalmaz, ebben a halmazban keressük a megoldásokat. Ha a feladat szövege nem adja meg előre az alaphalmazt, akkor az általunk ismert legbővebb számhalmazt, azaz a valós számok halmazát tekintjük annak. Az alaphalmaz azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az egyenletben szereplő kifejezések értelmesek, az egyenlet értelmezési tartományának nevezzük. Az egyenlet megoldásakor meg kell keresnünk azokat a számokat az értelmezési tartományból, amelyek kielégítik az egyenletet. Ezeket a számokat hívjuk az egyenlet megoldásainak, vagy az egyenlet gyökeinek és ezek a számok alkotják az egyenlet megoldáshalmazát. Amennyiben nincs olyan szám, amelyik igazzá teszi az egyenletet, akkor az egyenletnek nincsen megoldása, azaz a megoldáshalmaz az üres halmaz. Az egyenlet megoldása során úgy kell átalakítanunk az egyenletet, hogy egyre egyszerűbb egyenlethez jussunk. Célunk, hogy végül az egyenlet egyik oldalán csak az ismeretlen álljon, a másik oldalon egy konkrét szám. Ehhez a következő átalakításokat végezhetjük: Az egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatjuk, illetve mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot. Az egyenlet mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a nullától különböző számmal. Ismeretlent tartalmazó kifejezéseket is hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk az egyenlet mindkét oldalából. Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk, akkor hamis gyököket kaphatunk, ha osztunk, akkor gyököket veszthetünk. Ennek elkerülésére az ismeretlent tartalmazó kifejezésről, ekkor mindig fel kell tételeznünk, hogy nem 0.

146 46 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok. Oldd meg a 7 = egyenletet a racionális számok halmazán!. Oldd meg a ( 4 7) = 6 egyenletet az egész számok halmazán!. Egy bankjegykiadó automatát az ünnepek előtt szinte teljesen kifosztottak. Összesen 6000 Ft maradt benne 000-es és 5000-es címletekben. Hány darab 000-es és 5000-es maradt az automatában, ha egy híján kétszer annyi 000-es van, mint 5000-es? 4. Meg tudja-e venni Tibor a 600 Ft-os feltöltőkártyát, ha pénzének harmada 400 Ft-tal kevesebb, mint a feltöltőkártya árának a fele? 5. Tudjuk, hogy egy dobozban ötször annyi szög van, mint egy másikban. Az egyikből átraktunk a másikba db szöget, így mindkét dobozban ugyanannyi szög lett. Mennyi szög volt a dobozokban eredetileg és a pakolás után? 6. Enikőnek kétszer annyi gyűrűje van, mint Szandinak, Vikinek azonban -gyel kevesebb van, mint Szandinak és 4-gyel több, mint Anettnek. Ha összeszámolnánk Szandi, Viki és Anett gyűrűit, az pontosan annyi lenne mint amennyi Enikőnek van. Hány gyűrűje van külön-külön a lányoknak?

147 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 47 II. Törtegyütthatós egyenletek Mintapélda Zoli, Krisztián, Laci és István szeretnék megvenni a kedvenc Play Station játékukat. Zoli beleadott 50 Ft-ot, Krisztián feleannyit, Laci harmadannyit, István negyed annyit fizetett, mint a többiek összesen. Mennyibe került a játék? Megoldás: Jelöljük -szel a játék árát. Krisztián feleannyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette a harmadát. Laci harmadannyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette a negyedét. István negyed annyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette a ötödét. 50 = = = A játék 5000 Ft-ba került. Ellenőrzés: a szöveg alapján. Mintapélda 4 Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 5 5 Megoldás: Alaphalmaz: R. ( ) 5 ( 7) = 5 ( 4 4) = = 4 = = 0, Ellenőrzés:Bal oldal értéke: = ; jobb oldal értéke: = A eleme az egyenlet alaphalmazának, és az ellenőrzésnél a két oldal helyettesítési értéke egyenlő, ezért az = valóban megoldás. Megoldáshalmaz: M =.

148 48 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 7. Egy osztály tanulóinak -a jár gyalog az iskolába, -a jár valamilyen tömeg- 6 közlekedési eszközzel, a többi 5 diákot kocsival hozzák. Hány tanulója van az osztálynak? Hányan jönnek gyalog, és hányan valamilyen járművel? 8. Oldd meg a = 4 7 egyenletet a pozitív számok halmazán! 9. Egy órás hétfőn eladta az óráinak felét és még 6 darabot. Kedden a maradék készlet harmadát és még darabot, szerdán 7 darab órát adott el, így kifogyott a készlete. Hány darab óra volt az üzletben hétfő reggel? 0. Oldd meg az egyenletet a racionális számok halmazán! = 4. Elutazás előtt zoknikat csomagolok. A fiókból kivettem három pár zoknit, majd a maradék egyharmadát. Később kivettem a fiókból még egyet, ekkor a zoknik fele maradt a fiókban. Hány pár zoknim van? Mennyit vittem magammal az utazásra?. Fejtsd meg Diophantosz, görög matematikus sírfeliratát! Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad, megtanította a sírt, mondja el élte sorát. Évei egy hatodát tölté ki a gyönge gyerekkor, még feleannyi lefolyt, s álla szakálla kinőtt. Egy heted eltelt még, és nászágy várta a férfit, elmúlt újra öt év, és fia megszületett. Ez feleannyi napig láthatta a fényt idefenn, mint atyja, mivel neki így szabta az isteni sors. Őt gyászolva a sír felé hajlott agg Diophantosz, négy évvel később ő is elérte a célt. Mondd, hány esztendőt élt hát meg gyászban, örömben, S itta az édes fényt, míg hona lett ez a sír?

149 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 49 III. Algebrai törtes egyenletek Mintapélda 5 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! Megoldás: = 4 4 Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 4-től különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ 4 }. Szorozzunk a közös nevezővel, ( 4) -gyel! ( 8 5) ( 4) = ( 6 5) = 6 5 = 4 =,5 Ellenőrzés: 8,5 5 6,5 5 Bal oldal értéke: = 8; jobb oldal értéke: = 8.,5 4,5 4 Megoldáshalmaz: = {,5} M. Mintapélda 6 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 4 6 = Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ }. Észrevétel: ( ) -nak a ( ) -szerese a ( ). 4 = 6 Szorozzunk a közös nevezővel, ( ) 4 = = 8 = 4 ( ) ( 6) 4 = 6 6 -mal!

150 50 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Ellenőrzés: Bal oldal értéke: ( ) ( ) = = =. Jobb oldal értéke: ( ) ( ) = = =. Megoldáshalmaz: { } 4 = M. Mintapélda 7 Oldjuk meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! = Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól és -tól különböző racionális számok halmaza. Röviden: Q \{ } ;. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = Szorozzunk a közös nevezővel, ( )( ) 9 = -cel! ( )( ) ( )( ) = = = Azonosság. Az értelmezési tartomány minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: M = Q \{ } ;. Feladatok. Oldd meg az egyenletet a természetes számok halmazán! 7 = 4. Oldd meg az egyenletet az egész számok halmazán! 4 4 = 5. Oldd meg az egyenletet a valós számok halmazán! 9 5 =

151 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 5 Mintapélda 8 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! = 4 4 Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 4-től különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ 4 }. Szorozzunk a közös nevezővel, ( 4) -gyel! ( 8 5) ( 4) = ( 6 5) = 6 5 = 4 =,5 Ellenőrzés: 8,5 5 6,5 5 Bal oldal értéke: = 8; jobb oldal értéke: = 8.,5 4,5 4 Megoldáshalmaz: = {,5} M. Mintapélda 9 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! Megoldás: 4 6 = Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ }. Észrevétel: ( ) -nak a ( ) -szerese a ( ). 4 = 6 Szorozzunk a közös nevezővel, ( ) 4 = = 8 = 4 ( ) ( 6) 4 = 6 6 -mal!

152 5 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Ellenőrzés: Bal oldal értéke: ( ) ( ) = = =. Jobb oldal értéke: ( ) ( ) = = =. Megoldáshalmaz: { } 4 = M. Mintapélda 0 Oldjuk meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! = Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól és -tól különböző racionális számok halmaza. Röviden: Q \{ } ;. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = Szorozzunk a közös nevezővel, ( )( ) 9 = -cel! ( )( ) ( )( ) = = = Azonosság. Az értelmezési tartomány minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: M = Q \{ } ;. Feladatok 6. Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 4 8 = 7. Oldd meg a következő egyenletet a pozitív számok halmazán! ( ) 7 6 = 8. Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! = 4 4

153 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 5 9. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! = 0. Oldd meg a következő egyenletet a természetes számok halmazán! =. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! =. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! =. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! 4 = 4. Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! =

154 54 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE IV. Egyenlőtlenségek Mintapélda Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázoljuk számegyenesen! Megoldás: 7 < 0 Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 0-tól különböző valós számok halmaza. Röviden: R \{ 0 }. Egy tört akkor és csak akkor negatív, ha a számlálója és a nevezője különböző előjelű. I. eset Ha a számláló pozitív és a nevező negatív. VAGY II. eset Ha a számláló negatív és a nevező pozitív. 7 > 0 ÉS < 0 7 < 0 ÉS > 0 > 7 < > < A kettő együtt sohasem teljesül, A kettő együtt akkor teljesül, ha ebből az esetből nem kapunk 7 7 > 0 és <, azaz 0 < <. megoldást. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összegezve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: 7 M = 0 < <, más módon jelölve 7 M = 0;.

155 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 55 Mintapélda Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! A megoldáshalmazt ábrázoljuk számegyenesen! > 0 6. megoldas:. megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a valós számok halmaza. Röviden: R \. Szorozzuk meg az egyenlőtlenséget ( 6 ) -mal! I. eset Ha 6 > 0, azaz > Ha pozitív számmal szorzunk, az egyenlőtlenség iránya változatlan marad. > > > 0 / / : Ez valóban a vizsgált tartományba esik, mert > >. VAGY -től különböző II. eset Ha 6 < 0, azaz < Ha negatív számmal szorzunk, az egyenlőtlenség iránya megváltozik, megfordul a relációs jel. < < < 0 / / : Ennek csak egy része esik a vizsgált tartományba, ezért csak ezek a jó megoldások: < <.

156 56 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összegezve. megoldás: azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M = < vagy >. Értelmezési tartomány: R \. Egy tört akkor és csak akkor pozitív, ha a számlálója és a nevezője azonos előjelű. I. eset Ha a számláló és a nevező is pozitív VAGY II. eset Ha a számláló és a nevező is negatív 6 > 0 ÉS > 0 6 < 0 ÉS < 0 6 > > 6 < < > > > < A kettő együtt akkor teljesül, ha A kettő együtt akkor teljesül, ha >. <. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összegezve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M = < vagy >. Feladatok 5. Isi és Marcsi az esküvőjüket szervezik. Két zenekartól kaptak ajánlatot. Az egyik zenekar 5000 Ft-ot kér előre, és utána óránként 500 Ft-ot, a másik 0000 Ft előleget kér, és óránként 000 Ft-ot. Mit tanácsolnál Isinek és Marcsinak, melyik zenekart válassza, ha mindkét zenekar ugyanolyan jól játszik. Válaszodat indokold, készíts ábrát! 6. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! 7

157 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Oldd meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! > Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! 5 7 Az egyenlőtlenségek megoldásakor a következő műveleteket végezhetjük: Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk, illetve mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot. Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a pozitív számmal. Ismeretlent tartalmazó kifejezéseket is hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk az egyenlőtlenség mindkét oldalából. Ha negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk az egyenlőtlenséget, akkor megváltozik az egyenlőtlenség iránya. Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk vagy osztunk, akkor figyelnünk kell arra, hogy az lehet pozitív, negatív, illetve nulla is.

158 58 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE V. Abszolútértékes egyenletek Mintapélda Oldjuk meg a valós számok halmazán az = 4 egyenletet!.megoldás (grafikus):. megoldás (algebrai): I. eset Feltétel: 0 Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés nem negatív, akkor a szám abszolútértéke önmaga, azaz elhagyhatjuk az abszolútérték jelet: = 4 0 = 4 Ellentmondás. Ebben a tartományban nem kaptunk megoldást. VAGY Feltétel: < 0 II. eset Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés negatív, akkor a szám abszolútértéke a szám ellentettje: = 4 = 4 = Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, mert = < 0. Ellenőrzés: Bal oldal értéke: = ; jobb oldal értéke: 4 ( ) = A két esetet összegezve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M = { }..

159 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 59 Mintapélda 4 Oldjuk meg a = egyenletet! Megoldás: I. eset VAGY Feltétel: Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés nem negatív, akkor a szám abszolútértéke önmaga, azaz elhagyhatjuk az abszolútérték jelet: = = Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyenletnek is gyöke. II. eset Feltétel: < Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés negatív, akkor a szám abszolútértéke a szám ellentettje: ( ) = = 4 = 5 4 = 5 Ez az érték nem felel meg az < feltételnek, így az eredeti egyenletnek sem lesz gyöke. Ellenőrzés: Bal oldal értéke: = ; jobb oldal értéke: =. A két esetet összegezve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: = { } M. Egy valós szám abszolútértékén a nullától mért távolságát értjük. a, ha a 0 Legyen a tetszőleges algebrai kifejezés, ekkor a = a, ha a < 0

160 60 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok. Jelöld számegyenesen azokat a számokat, a) amelyeknek 0-tól való távolsága kisebb 4-nél;. b) amelyeknek -tól való távolsága nagyobb -nél; c) amelyeknek abszolútértéke nagyobb -nál; d) amelyeknek abszolútértéke kisebb 5-nél.. Melyik az a szám, amelynek az abszolútértéke?. Oldd meg az = 5 egyenletet! 4. Oldd meg a racionális számok halmazán a = 4 egyenletet! 5. Oldd meg a = 7 egyenletet! 6. Oldd meg az egész számok halmazán az 4 = 9 egyenletet! 7. Oldd meg az 5 7 = egyenletet! 8. Oldd meg az 5 = egyenletet!

161 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 6 VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Behelyettesítő módszer Mintapélda 5 Két testvér a bérletpénztárnál jegyet vásárol. Az egyik vonaljegyért és egy átszálló jegyért 60 Ft-ot, a másik 6 vonaljegyért és 4 átszállójegyért 80 Ft-ot fizet. Mennyibe kerül egy vonaljegy és egy átszállójegy? Megoldás: Jelöljük a vonaljegyek árát -szel, az átszálló jegyekét y-nal. Így a következő egyenletrendszert kell megoldanunk: y = y = 80 Az első egyenletből fejezzük ki y-t: y = 60 Ezt helyettesítsük be a második egyenletbe, y helyére: ( 60 ) = = 80 = 40 = 70 Az -et ismerve, y-t visszahelyettesítéssel kiszámíthatjuk: y = 60 = = = 90 Egy vonaljegy 70 Ft, míg egy átszállójegy 90 Ft-ba kerül. Ellenőrzés: a szöveg alapján. Behelyettesítő módszer A kétismeretlenes egyenletrendszer egyik egyenletéből kifejezzük valamelyik ismeretlent és a kapott kifejezést, behelyettesítjük a másik egyenletbe. Így egy egyismeretlenes egyenletet kapunk, ezt megoldva megkapjuk az egyik ismeretlent. Ennek segítségével kiszámítjuk a másik ismeretlent is.

162 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 9. 7 perc múlva kezdődik a U együttes koncertje. A 4 fős társaságnak már csak egy hídon kell átkelnie, hogy odaérjen. Viszont a híd egyszerre csak embert bír el. Azonkívül sötét van és világítás nélkül egy tapodtat sem tudnak megtenni, de szerencsére van egy zseblámpájuk. Tehát valaki világít és átkísér egy embert, aztán vissza kell vinni a zseblámpát (átdobni nem tudják), stb. Az egyik ember perc alatt ér át a hídon, a másik perc alatt, a harmadik 5 perc alatt, a negyedik 0 perc alatt. Milyen sorrendben menjenek át, hogy 7 perc múlva mind a négyen a híd túloldalán legyenek? 40. Űrlények két faja érkezett a földre. Az egyik fajnak feje és 7 lába, a másiknak feje és egy lába van. Összesen 46 fejük és 89 lábuk van. Hány űrlény érkezett az egyes fajokból? 4. Oldd meg a következő egyenletrendszert! 5y = 7 y = 4. Oldd meg a következő egyenletrendszert! y = 9 5y = 4. Három szám közül a középső ugyanannyival nagyobb a legkisebbnél, mint a legnagyobb a középsőnél. A két kisebb szám szorzata 85, a két nagyobbé 5. Melyek ezek a számok? 44. Egy háromszög oldalainak hossza cm, 9 cm és 6 cm. Rajzoljunk köröket a háromszög mindhárom csúcsa körül úgy, hogy ezek a körök páronként érintsék egymást. Mekkorák a körök sugarai?

163 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 6 Egyenlő együtthatók módszere Mintapélda 6 Oldjuk meg a következő egyenletrendszert! 5 y = 4 7y = 0 Megoldás: Az első egyenletet szorozzuk 4-gyel, a másodikat 5-tel. 0 y = 8 0 5y = 00 Kivonjuk az első egyenletből a második egyenletet: y = 9 y = 4 Visszahelyettesítve valamelyik eredeti egyenletbe: 5 4 = = Ellenőrzés: 5 ( ) 4 = 4 ( ) 7 4 = 0 A megoldás a ( ; 4) rendezett számpár. Egyenlő együtthatók módszere Úgy szorozzuk az egyenleteket, hogy valamelyik ismeretlenünk együtthatója mindkét egyenletben egyenlő, vagy egymás ellentettje legyen. Ezután a két egyenletet összeadva vagy egyiket a másikból kivonva, egy egyismeretlenes egyenlethez jutunk. Ezt megoldva megkapjuk az egyik ismeretlen értékét. Ennek segítségével kiszámítjuk a másik ismeretlen értékét is.

164 64 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 45. Ádám négy évvel ezelőtt háromszor annyi idős volt, mint Dávid. Öt év múlva pedig kétszer annyi idős lesz. Hány évesek most? 46. Oldd meg a következő egyenletrendszert! 6 8y = 9 5 9y = A piacon valaki 4 kg krumplit és kg hagymát vásárolt 440 Ft-ért. A sorban mögötte álló 5 kg hagymáért és kg krumpliért 500 Ft-ot fizetett. Mennyibe kerül ennél a zöldségesnél a krumpli és a hagyma? Egyenletrendszerek megoldhatósága Mintapélda 7 Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket! y = 4 6,0000y = 7,99998 y = 6 a) b) c) 6y = 8 5,99999y = 8,0000 4y = 4 Megoldás: a) Az egyik egyenlet következménye a másiknak, így az egyenletrendszer megoldásainak elég az első egyenletet kielégítenie. Ez azt jelenti, hogy az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. (Bármely értékhez kiszámíthatjuk, hogy mennyi a hozzátartozó y.) Például: Ha y = = 4 y =. Ha y = = 4 y = 0. b) Alkalmazzuk az egyenlő együtthatók módszerét, vonjuk ki az első egyenletből a másodikat 0, 0000y = 0, y =. Ezt visszahelyettesítve az eredetibe kapjuk: = 0. A megoldás a ( 0; ) rendezett számpár. c) A második egyenletet kettővel egyszerűsítve kapjuk: y =, ami ellentmond az első egyenletnek. Ekkor az egyenletrendszernek nincsen megoldása.

165 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 65 Új ismeretlen bevezetése Mintapélda 8 Oldjuk meg a. megoldás: 0, y y 7 y = 7 = 5 egyenletrendszert! 6y 5 = 7y y 7 = 5y Az első egyenletet a másodikkal elosztva az kapjuk, hogy: 6y 5 = y y 75 = 8y 89 4 = 7y = y Visszahelyettesítünk az eredeti egyenletrendszer egyik egyenletébe: 6 5 = 7 y y 6 5 = 7 5 = 8y 7 = 8y 7 y = = 8 Ekkor = y = =. y

166 66 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. megoldás: Vezessük be az a =, b = ismeretleneket, ez megkönnyíti az egyenletrendszerünk y megoldását. Az új egyenletrendszer: 6a 5b = 7 a 7b = 5 Az egyenlő együtthatók módszerével megoldva az egyenletrendszert a = és b = adódik. Most már kiszámíthatjuk és y értékét: = = ; y = y =. A ; rendezett számpár eleme az egyenletrendszer alaphalmazának, és az ellenőrzésnél a két oldal helyettesítési értéke egyenlő, ezért ez valóban megoldás. Új ismeretlen bevezetése Akkor célszerű ezt a módszert alkalmazni, ha egyenleteinkben hasonló kifejezéseket fedezünk fel, így egyszerűbbé tehetjük a megoldandó feladatot. Feladatok 48. Oldd meg a következő egyenletrendszert! 4 5 = 7 y 8 5 = y

167 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Oldd meg a következő egyenletrendszert! 4 = 7 y 5 = 8 y Két autó egyenlő teljesítményű motorjának gazdaságosságát vizsgálva kiderül, hogy adott idő alatt az egyik 60 liter benzint fogyasztott, a másik két órával kevesebb idő alatt 8,4 litert. Ha az első motor annyit fogyasztott volna óránként, mint a második, a második pedig annyit mint az első, akkor az előbbi idők alatt egyenlő lett volna a fogyasztásuk. Óránként hány litert fogyasztott az. és mennyit a. motor?

168 68 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VII. Vegyes feladatok Mintapélda 9 Brigi kétféle (kék és fekete) tollból 7 darabot vásárolt a boltban 85 Ft értékben. A kék tollak 5 Ft, a fekete tollak 5 Ft-ba kerülnek. Hány darabot vett Brigi a kék illetve a fekete tollakból?. megoldás: Legyen a kék tollak száma:. Ekkor a fekete tollak száma: 7. A kék tollakért fizetett pénz: 5. A fekete tollakért fizetett pénz: 5 ( 7 ). A kettő összege a kifizetett pénz: 5 5 ( 7 ) = = 85 0 = 0 = 7 = 6. Ellenőrzés: Brigi kék tollat vett, (75 Ft), valamint 6 feketét (80 Ft) ez összesen 85 Ft. Brigi tehát kék és 6 fekete tollat vásárolt.. megoldás: Ha az összes toll kék lett volna, akkor 7 5 = 5 Ft-ot kellett volna fizetni. A különbözet: 60 Ft. Ha egy kék tollat kicserélünk egy feketére, akkor 0 Ft-tal kell többet fizetnie Briginek. A 60 Ft többlet tehát 60 :0 = 6 cserét jelent. Így a fekete tollak száma 6, a kék tollaké, pedig. Feladatok 5. LÁGYTOJÁS (Matematika határok nélkül verseny) A lágytojást, mint az közismert, percig kell főzni forró vízben. Sajnos csak két homokóra áll rendelkezésünkre. Egyik 6 percet, a másik 7 percet tud mérni. Hogyan járjunk el, ha lágyra szeretnénk főzni a tojást?

169 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK HIXE ASSZONY ÉLETKORA (Matematika határok nélkül verseny) Egy tapintatlan ember Hie asszony életkora iránt érdeklődik. Íme Hie asszony válasza: Életkorom éppen 4/-a a hátralevő időm felének, ha száz évig élek. Hány éves Hie asszony? 5. Egy lakásban javításra szorul a vízvezeték. Két szerelőnél érdeklődtek: az egyik 5000 forint a kiszállási díjat és 500 forint az óradíjat, míg a másiknál 500 forint a kiszállási díjat és 000 forint az órabért kért. Melyik szerelővel dolgoztassanak, ha előreláthatólag órás munka vár rá? Becsüld meg, nagyjából mennyi pénz kell ahhoz, hogy biztosan ki tudják fizetni a szerelőt! Kivel dolgoztatnál, ha nem tudod mennyi időbe telik a javítás? Ábrázold grafikonon! Mitől függ? 54. Egy kétjegyű szám számjegyeinek az összege. Ha a számjegyeit felcseréljük, akkor az eredeti kétszeresénél 0-szal kisebb számot kapunk. Melyik ez a szám? liter 64%-os alkoholhoz hány liter vizet öntsünk, hogy a keverék 8%-os legyen? 56. A Rózsaszirom lakópark építésén három festő dolgozik. Az eddigi tapasztalatok alapján ugyanakkora lakást az első festő 8 óra alatt, a második 7,5 óra alatt, a harmadik 7 óra alatt fest ki egyedül. Mennyi idő alatt végeznek az utolsó lakással, ha együtt dolgoznak? Be tudják-e fejezni a munkát, mire előreláthatólag óra múlva a munkafelügyelő megérkezik? 57. Egy uszodában leeresztették a vizet. Három csapon keresztül töltik újra a medencét. Az első csap egyedül óra alatt, a második 5 óra alatt, a harmadik 6 óra alatt tölti tele a medencét. Mit mondjanak a vendégeknek, mennyi idő múlva úszhatnak újra a medencében, ha csak a teljesen feltöltött medencébe engedik be az úszni vágyókat? 58. Egy kerékpáros a faluból a városba 0 km/h sebességgel megy. Egy órával később utána indul egy másik kerékpáros km/h sebességgel és egyszerre érkeznek a városba. Hány km-re van a város a falutól?

170 70 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 59. Az állatkert két elefántja Fáni és Fáncsi. Fáni 4 évvel korábban született, és így négyszer annyi idős, mint Fáncsi. Hány évesek az elefántok? 60. Egy anya évvel idősebb a gyermekénél. év múlva 4-szer annyi idős lesz, mint gyermeke. Mennyi idős az anya és a gyermeke most? 6. Otthon alkoholmentes koktélt akarunk készíteni. Az Apricot Shake nevű koktélhoz összekevertünk háromféle gyümölcslevet. liter 40%-os ananászlevet, liter 00%-os cseresznyelevet, liter %-os sárgabaracklevet. Az alapanyagokat turmigépben tört jéggel simára turmioljuk. Hűtött pohárba töltjük, és citromszelettel díszítjük. A koktélban hány % a gyümölcstartalom? Számolás előtt becsüld meg az eredményt! 6. Egy 90 km/h sebességű gyorsvonat az egyik városból a másikba megy. Egy órával később utána indult egy 0 km/h-val nagyobb sebességű InterCity vonat. A két vonat egyszerre érkezik az állomásra. Mekkora a két város távolsága? 6. Szandi, Ditta és Betti testvérek. Szandi a lakást egyedül óra alatt, Ditta 90 perc alatt, Betti 5 perc alatt takarítja ki. Mennyi idő alatt végeznek együtt? Szerinted be tudják fejezni a takarítást még mielőtt a szüleik hazaérnek, ha a szülők várhatóan fél óra múlva lesznek otthon, és csak most tudják elkezdeni a munkát?

171 8. MODUL statisztika Készítette: Lövey Éva (Gidófalvi Zsuzsa moduljának felhasználásával)

172 7 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Ismerkedés a grafikonokkal Az újságokban, plakátokon, reklámkiadványokban nagyon sok grafikon található, ezért szükséges, hogy mindenki értelmezni tudja azokat, értse meg a nyelvüket. Néhány grafikon ismerős nekünk, hiszen a függvények ábrázolásánál is hasonlókkal találkozhattunk. A grafikonoknál megengedhető az, hogy közös koordináta-rendszerben ábrázoljunk különböző adatsorokat. Mintapélda Egy cég közös grafikonban ábrázolja a teljesítményét és az alkalmazottak létszámát. Le tudnánk-e olvasni, mekkora volt a cég teljesítménye és a dolgozók létszáma 000-ben, ha csak az 996- os adatokat ismernénk? Megoldás: Az ilyen típusú grafikonokat oszlopdiagramnak hívják, és a diagram magassága egyenesen arányos az ábrázolt mennyiséggel, de észrevehetjük, hogy itt egy kis csalás történt. A cég forgalmát szemléltető 006-os adat ugyanis 5,7-szerese az 996-osénak, de az oszlop magassága csak négyszerese az első oszlop magasságának. A létszámmal fordított a helyzet.,-szeres adatot 4-szeres oszloppal szemléltettek. Az mindenesetre teljesül, hogy nagyobb adathoz nagyobb oszlop tartozik. Az ilyen csalás megengedhető, ha az adatokat feltüntetik az oszlopnál. A 000-es adatokat tehát nem tudnánk megbízhatóan leolvasni a grafikonról, ha az adatok nem szerepelnének ott. Mintapélda A Központi Statisztikai Hivatal közölte ezt a grafikont. Állapítsuk meg, melyik negyedévben látogatott Magyarországra a legtöbb turista! Olvassuk le, melyik negyedévben költöttek a legtöbbet a külföldiek!

173 8. modul: STATISZTIKA 7 Becsüljük meg, hogy mennyi az egy látogatóra eső kiadás 007 második és harmadik negyedévében! Megoldás: 006 harmadik negyedévében érkezett a legtöbb külföldi, körülbelül millió fő. A vizsgált időszakokban 9,5, illetve millió külföldi érkezett, és 40 milliárd forintot, illetve 0 milliárd forintot költöttek , ezer, ezer. Az első időszakban az egy főre eső költség körülbelül 5 ezer Ft, a másodikban 9 ezer Ft volt. Megfigyeltük, hogy itt is két teljesen különböző jellegű adat változását ábrázolták ugyanabban a grafikonban. Mintapélda Nézzük meg a diagramot és válaszoljunk a Nappali oktatásban résztvevő középiskolások aránya vizsgált időszakra vonatkozó kérdésekre! a) Melyik tanévben járt a középiskolások legnagyobb része nappali oktatásra? b) Melyik tanévben jártak a legkevesebben nappali oktatásra? Megoldás: a) Az 996/997-es tanévben a középiskolások körülbelül 8,8%-a járt nappali tagozatra. Ez a legmagasabb érték. b) Erre a kérdésre nem tudunk válaszolni annak ismerete nélkül, hány középiskolás diák volt az egyes években. Csupán a grafikont ismerve azt olvashatjuk le, hogy az 990/99-es tanévben járt a középiskolások legkisebb része a nappali tagozatra. 006/ / /005 00/004 00/00 00/00 000/00 999/ / / / / /995 99/994 99/99 99/99 990/99 79,00 80,00 8,00 8,00 8,00 84,00 85,00 százalék

174 74 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Az egyes években a középiskolások száma ismeretében a nappali tagozatosok számát is meg tudjuk becsülni: (Az adatok a KSH (Központi Statisztikai Hivatal) adatbázisából valók.) Tanév 990/99 99/99 99/99 99/ / / / / /999 Tanuló Tanév 999/ /00 00/00 00/00 00/ / / /007 Tanuló Ennek ismeretében kiszámítható, hány tanuló is járt az egyes években a nappali képzésre: Tanév 990/99 99/99 99/99 99/ / / / / /999 % 8, 8,6 8,4 8,8 8,4 8, 8,8 8,5 8,7 nappalis Tanév 999/ /00 00/00 00/00 00/ / / /007 % 8,5 8,0 8,6 8, 8,4 8,9 8, 8,0 nappalis Mivel a diagramról leolvasható százalékértékek kerekítettek, a számított tanulói létszámot ezresekre kerekítettük. Ez a diagram is rokona az oszlopdiagramnak, csak az oszlopok vízszintes hosszával jellemzi az adatokatl. Mintapélda 4 Ez a térhatású oszlopdiagram egy kozmetikai termékcsalád hatóanyag-összetételét mutatja. A függőleges tengely felirata: Hatóanyag g/500ml. Melyik termék tartalmazza a legtöbb fahéj és narancshéjolaj hatóanyagot? Melyik termék tartalmazza a legtöbbet a felsorolt hatóanyagok közül? Melyik terméket ne javasoljuk annak, aki amúgy is hajlamos a pirulásra?

175 8. modul: STATISZTIKA 75 Megoldás: A négy oszlop azonos színű részeinek hosszúságát kell vizsgálnunk. A grafikonról tehát úgy tűnik, hogy a B termékben a legtöbb a fahéj és narancshéjolaj hatóanyag, vagy legalábbis nem kevesebb, mint a többiben. A legtöbb hatóanyagot a negyedik termék tartalmazza. A vérbőséget fokozó komple hatóanyag pirulást okoz, tehát az erre hajlamosaknak csak az A terméket javasolnánk. Mintapélda 5 Ez a grafikon egy útkezelő társaság honlapján található. Értelmezzük a grafikont! Mi a hiba? Megoldás: Az ábrán három kördiagramot láthatunk. Három úttípus esetén azt akarja mutatni, hogy az azon haladó járművek milyen összetételben használják az utat. Az egyértelmű, hogy mindhárom utat a személygépkocsi-forgalom uralja 7%, 8%, illetve 8% arányban. Egy-egy kördiagramon belül és a különböző úttípusoknál megmondható az egyes járműtípusok arányszáma is. Ha megnézzük, az első ábrán 5 körcikk van, körötte 4 járműtípus, a. ábrán 4 körcikk van és három fajta jármű, a. ábrán pedig 5 körcikk és 4 jármű van. Tehát egy közlekedési járműfajtát mindegyik ábráról lefelejtett a rajzolója!

176 76 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 6 Az ábrán egy korfa látható. Ausztrália lakosságának összetételét mutatja. A függőleges tengelyen az életkor látható, a vízszintes tengelyen pedig a lakosok száma (600k=600 ezer). a) Mit jelent a sárga és piros szín? b) Melyik grafikonfajtára hasonlít legjobban ez a grafikon? c) Hány 80 év fölötti lakosa van Ausztráliának? d) Fiú, vagy lány születik több? Megoldás: a) A grafikon sarkaiban levő jelek szerint a sárga oldal a férfiakra, a piros pedig a nőkre vonatkozó adatokat szemlélteti. b) Ez igazából két vízszintes oszlopdiagram. c) Össze kell adni a 80 év fölötti férfiak és nők számát. Ezt a férfi és a női oldalakról lehet leolvasni: 00ezer 80eze r= 580ezer. d) Körülbelül 50 ezerrel több fiú születik, mint lány. Feladatok:. A következő grafikon úgy keletkezett, hogy 006. március 9-én Törökországban a napfogyatkozás idején 75 fotót készítettek a Napról, majd megállapították azok átlagos fényességét. Meg tudod-e mondani, pontosan hány órakor volt a napfogyatkozás?

177 8. modul: STATISZTIKA 77. a) Olvasd le a grafikonról, hogy mekkora volt az egyes adók hallgatottsága 007-ben Szolnokon? b) Add össze az a) részben kapott %-okat. Mit tapasztalsz? Mi lehet a magyarázata? c) Melyik évben lett több hallgatója az R000 adónak, mint a Danubius rádiónak?. Az oszlopdiagram az egyes országokban érvényes telefonálási tarifákat mutatja. Foglalkozzunk most csak a hívásindítás árával. a) Melyik országban kell a legtöbbet fizetni a hívásindításkor? b) Melyik országban kell a legkevesebbet fizetni a hívásindításkor? c) Hány százalékkal nagyobb a hívásindítás költsége abban az országban, ahol a legtöbbet fizetnek érte, mint ahol a legkevesebbet?

178 78 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Megkérdeztek sok-sok embert, hogy a könnyűzene melyik ágát hallgatja a legszívesebben. Mindenki csak egy választ adhatott. A válaszokat leolvashatod az oszlopdiagramról. Hány ember válaszolt? A válaszadók hány százaléka számára volt a legnépszerűbb a rock? 5. A két kördiagram Európa energiafelhasználását mutatja. A második grafikon szemlélteti a különböző megújuló energiaforrásokat. a) Az összes energiafogyasztásunk hány százaléka származik a biomassza elégetéséből? b) Az összes energiafogyasztásunk hány százaléka geotermikus eredetű? c) Az atomenergiából vagy a vízi energiából származó energiát használjuk nagyobb mértékben? 6. Idézet egy újságcikkből: A grafikon a drogambulancia forgalmának alakulását mutatja, és önmagáért beszél. A kiemelt három csoport ugyanis azok arányát mutatja klienseink között, akik nemcsak maguk vannak a legnagyobb veszélyben, hanem súlyos veszélyforrást jelentenek másokra, egész

179 8. modul: STATISZTIKA 79 korosztályukra nézve is. Az ópium típusú szerek (ópiátok) függősége ugyanis rosszindulatú, makacs, és terjedésre hajlamos kórkép. A kérdések a fenti ambulanciára vonatkoznak. (A grafikonon az i.v. rövidítés: az intravénásan beadott kábítószer.) a) Hány olyan betegük van, akik jelenleg is használnak intravénásan beadott kábítószert? b) Hány ópiátfogyasztó nőbetegük van? c) Összesen hány betegük van? 7. A grafikon az arany árát mutatja dollárban. a) Mit gondolsz, mit jelenthet az, hogy az egyes időpontokban nem kis pont, hanem kis vonal jelzi az arany árát? b) Olvasd le, mikor volt az arany ára a legalacsonyabb, illetve a legmagasabb? c) Hányszorosa a legalacsonyabb ár a legmagasabb árnak? 8. A grafikon alapján válaszolj a következő kérdésekre: a) Melyik típusú betegségekre van rossz hatással az alacsony páratartalom? b) Melyik típusú betegségekre van rossz hatással a magas páratartalom? c) Írd le, milyen hatással van az allergiás betegre a páratartalom változása?

180 80 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 9. A grafikon egy tanulmányi verseny népszerűségének növekedését mutatja. a) Melyik tanévben indult a verseny? b) Melyik tanévben készült a grafikon? c) Hányszorosára nőtt a résztvevők létszáma a verseny beindítása óta? 0. Az alábbi vonaldiagram az éves forgalom alakulását mutatja ezer Ft-ban egy kereskedelmi vállalat három telephelyén. Egy kereskedelmi vállalat három telephelyének forgalma hó.hó.hó 4.hó 5.hó 6.hó 7.hó 8.hó 9.hó 0.hó.hó.hó A B C Határozd meg az egyes telephelyek havi forgalmának értékeit, és készíts belőle táblázatot! Határozd meg telephelyenként, hogy melyik volt a leggyengébb és melyik volt a legerősebb hónap forgalom szempontjából!

181 8. modul: STATISZTIKA 8. A következő oldalon található a) diagram 0 tanuló testmagasságát ábrázolja, a b) diagram pedig Pistike testmagasságának változását mutatja. Matematikailag melyik helyes és melyik nem? Miért? Tanulók testmagassága Ádám Bernadett Éva Ferenc István József Mária Piroska Sándor Sarolta Testmagasság(cm) a) diagram Pistike testmagasságának változása az utóbbi öt évben b) diagram

182 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Tömegjelenségek és a statisztika A statisztika szót ma kétféle értelemben használjuk: egyrészt információk valamilyen szempontból rendezett összessége, másrészt tömegjelenségek vizsgálatához szükséges módszerek összessége. Tömegjelenségnek nevezzük azokat a jelenségeket, amelyek tetszőlegesen sokszor, lényegében azonos feltételek mellett mennek végbe. Például egy autó motorja üzemanyag nélkül soha nem működik, vagy esőhöz mindig felhőre van szükség. Persze, ha feldobunk egy szabályos pénzérmét, nem tudjuk, melyik oldalára fog esni, vagy esetleg megáll az élén, de az kétségtelen, hogy a három lehetséges eset közül az egyik biztosan bekövetkezik. Ilyenkor véletlen tömegjelenségről beszélünk. Erről van szó pl. akkor is, amikor egy játékkockát feldobunk, és megfigyeljük, melyik oldalára esett. Mintapélda 7 Minden tanuló kap egy-egy játékkockát. Mindenki 0-szer dob a kockával. Az alábbi táblázatokat másoljuk a füzetbe, és a kapott eredményeket írjuk bele! Egy dobás lehetséges kimenetei:,,, 4, 5, 6. Dobás Kimenet Bizonyos társasjátékokban (például: Ne nevess korán) csak akkor indulhatunk el a bábunkkal, ha -est vagy 6-ost dobtunk. Vizsgáljuk meg, hány -es és hány 6-os dobás történt? -es dobása Dobások száma Gyakoriság Dobások száma Gyakoriság Dobások száma Gyakoriság

183 8. modul: STATISZTIKA 8 6-os dobása Dobások száma Gyakoriság Dobások száma Gyakoriság Dobások száma Gyakoriság Ha a kapott eredményeket összegyűjtjük, rendezzük, és valamilyen formában (táblázatban, grafikonon, diagramon stb.) ábrázoljuk, akkor statisztikát készítettünk. Az ilyen típusú felméréseket leíró statisztikának nevezzük. A leíró statisztika tehát egy adott, meghatározott elemekből álló információhalmazt értékel ki. A kiválasztott egyedekre vonatkozó adatokat összegyűjti, rendezi, esetleg még táblázatosan vagy grafikusan ábrázolja is. A megfigyelés tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük. Gyakoriság, relatív gyakoriság szemléltetése A gyakoriság azt mutatja meg, hogy az egyes jelenségek a felmérés során hányszor fordulnak elő. A statisztikában alapsokaságnak vagy adatsokaságnak nevezik a vizsgálat tárgyát képező adatok (egyedek) összességét. Ezek tulajdonságára egy részük, az úgynevezett minta alapján következtetünk. A mintát a sokaságból általában véletlenszerűen választjuk ki. Ha egy kisérletet amelynek az eredménye az, hogy egy A esemény bekövetkezik-e vagy sem n-szer megismételünk, és az n közül k esetben bekövetkezik az A esemény, akkor k-t az A esemény gyakoriságának nevezzük. (k n.)

184 84 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A gyakoriságot szemléltehetjük grafikonon is. Egy diagramnak vagy grafikonnak általában a következőket kell tartalmaznia : legyen címe, szerepeljen jelmagyarázat, legyen neve a koordinátatengelyeknek (az ábrázolt adat megnevezése), legyenek egységek a koordinátatengelyeken. Ha két, eltérő elemszámú statisztikai sokaságot szeretnénk összehasonlítani, akkor a gyakoriság nem megfelelő mutatószám. Például az, hogy az egyik osztályból 0-en, a másikból pedig -en röplabdáznak, nem mond sokat. Kifejezőbb, ha azt mondjuk meg, hogy az osztály hányadrésze (hány százaléka) röplabdázik. Definíció: Ha a gyakoriságot elosztjuk a statisztikai sokaság elemszámával, akkor a relatív gyakoriságot kapjuk. A relatív gyakoriságok összege, ha százalékos formában adjuk meg, akkor 00%. Megjegyzés: A kerekítések miatt ettől egy kis eltérés lehetséges. (Lásd az 5. és 4. feladatot.) Mintapélda 8 A 004-ben megrendezésre kerülő megyei informatika verseny első tizenöt helyezettjének a középiskola típusa szerinti megoszlását mutatja a következő táblázat. 9. évfolyam 0.évfolyam. évfolyam. évfolyam Gimnázium Szakközépiskola 9 0 Összesen Ábrázoljuk az eredményt különböző diagramokon! Megoldás: Ebben az ábrázolási módban az adatokat mint téglalapokat jelenítjük meg. A téglalapok magassága arányos az adat nagyságával. (A negatív adatokat lehet lefelé rajzolni.)

185 8. modul: STATISZTIKA 85 Ábrázolás oszlopdiagrammal Megyei informatika verseny helyezettjei évfolyam 0.évfolyam. évfolyam. évfolyam Gimnázium Szakközépiskola Megyei informatika verseny helyezettjei évfolyam 0.évfolyam. évfolyam. évfolyam Gimnázium Szakközépiskola Oszlopdiagramok esetében térbeli ábrákat is készíthetünk: Megyei informatika verseny helyezettjei évfolyam 0.évfolyam. évfolyam. évfolyam Gimnázium Szakközépiskola

186 86 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Ábrázolás vonaldiagrammal (grafikonnal) A vonalas ábrázolási mód hasonlít az oszlopdiagramos módszerhez. Koordináta-rendszerben ábrázoljuk az adatok nagyságának megfelelő pontokat, majd ezeket egy töröttvonallal összekötjük. Ezt az adatsort így ábrázolni például teljesen értelmetlen, hiszen a 9. és a 0. évfolyam értékei között hiába van vonal, az nem jelent semmit. Ennek az ábrázolási módnak csupán csak az az előnye, hogy a leolvasást könnyíti. (Pontról pontra vezeti a szemet. Főként akkor alkalmazzák, ha sok diszkrét pont szerepel valamilyen változás vagy egyszeri mérés esetén.) Ezt az ábrázolási módot leginkább valamely adat változásának szemléltetésére használjuk. A vonaldiagram (grafikon) hátránya, hogy folytonos változást érzékeltet, pl. azt, hogy egy kisebb értékről egy nagyobb értékre folyamatos növekedéssel jutottunk el. Ez nem feltétlenül igaz, hiszen ha pl. a minden második évben szerzett adatokat ábrázoljuk, akkor a közbenső években az előző adatsor növekedésétől függetlenül is bekövetkezhetett relatív csökkenés a korábbi évek eredményéhez képest. Ilyen diagram a kórházi lázgörbe is. Mintapélda 9 Játsszunk kockapókert 5 dobókockával a következő szabályok szerint! Egy pár: egyforma szám (pl., 4, 5,, ) Két pár: egyforma egyforma szám (pl., 5, 4,, 5) Terc vagy drill: egyforma szám (pl.,, 4,, ) Sor: 5 egymást követő szám, tetszőleges sorrendben (pl.,,, 4, 5)

187 8. modul: STATISZTIKA 87 Full: egyforma egyforma szám (pl.,,,, ) Póker: 4 egyforma szám (pl., 4,,, ) Royal póker: 5 egyforma szám Lehetséges eredmény Egy pár Két pár Terc Sor Full Póker Royal póker Gyakoriság Relatív gyakoriság Melyik esemény bekövetkezése valószínűbb? A relatív gyakoriságok szemléltetésére különösen alkalmas a kördiagram és a sávdiagram. Ábrázolás kördiagrammal, gyűrűdiagrammal A kördiagram segítségével általában a rész és az egész arányát ábrázoljuk. A teljes kör jelképezi a 00%-ot, és az egyes részek arányát ábrázoló körcikkhez tartozó középponti szög arányos a relatív gyakorisággal. A gyűrűdiagram tulajdonképpen a kördiagram egy részlete. Mintapélda 0 Ábrázoljuk most kördiagramon a 8-as mintapéldában szereplő verseny gimnáziumi résztvevőinek évfolyamonkénti relatív gyakoriságát! (Összesen 8 gimnáziumi tanulóról volt szó.) 9. évfolyam 0.évfolyam. évfolyam. évfolyam Gimnázium relatív gyakoriság /9 / /6 5/8 középponti szög 80 o 0 o 60 o 00 o

188 88 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Gimnáziumi résztvevők relatív gyakorisága 8% 7% % % 9. évfolyam 0.évfolyam. évfolyam. évfolyam Ábrázolás sávdiagrammal A rész és az egész arányának szemléltetésére, azaz a relatív gyakoriság ábrázolására használhatunk sávdiagramot is. A sávdiagramon a rész és az egész viszonya ugyan jól látható, azonban az egyes részek egymáshoz való viszonya nem igazán szemléletes. Példa: Informatika verseny gimnáziumi helyezettjeinek megoszlása évfolyamonként, sávdiagramon: % % 7 % 8 % % ( 9. évfolyam ), % (0. évfolyam), 7 % (. évfolyam), 8% (. évfolyam). Feladatok. Véletlenszerűen választottunk ki 00 családot, és felmértük, hogy a családok hány százaléka nézi az általunk kiválasztott témájú műsorokat a televízióban. A felmérés eredményét tartalmazza az alábbi táblázat. TV műsor Családok %-a Híradó 75 Fókusz 55 Vetélkedők 85 Sorozatok 80 Természetfilmek 50 Történelmi filmek 5 Romantikus filmek 5 A véletlenszerűen kiválasztott 00 családban melyik a legkedveltebb és melyik a kevésbé kedvelt műsor?

189 8. modul: STATISZTIKA 89 A százalékok alapján határozd meg a családok számát, és ábrázold oszlopdiagramon az alábbiak szerint: a diagram címe: Televízió műsorok nézettsége. A vízszintes tengelyen a műsorok neve, a függőleges tengelyen pedig a családok száma szerepeljen.. Az alábbi táblázat egy adott évben a magyarországi autóértékesítés adatait tartalmazza a legkedveltebb nyolc autómárka esetén: Márka Suzuki Opel Renault VW Peugeot Fiat Ford Skoda Darab Számítsd ki az egyes márkák esetén a relatív gyakoriságot és ábrázold sávdiagramon! 4. Egy műveltségi teszt maimális pontszáma 00 pont. A tesztet 5 tanuló írta meg. Az eredményeket tartalmazza a következő táblázat: Pontszám Gyakoriság Készíts oszlop-, sáv- és gyűrűdiagramot a relatív gyakoriságból! 5. Egy 0 fős osztály tanulóinak lakhely szerinti megoszlását ábrázolja az alábbi kördiagram. Egy osztály tanulóinak lakhely szerinti megoszlása Debrecen Hajdúszoboszló Kaba Újfehértó Ebes Szögmérő felhasználásával határozd meg a százalékokat (a relatív gyakoriságokat)! Számítsd ki, az osztályból hány tanuló lakik az egyes városokban! Az adatokból készíts táblázatot!

190 90 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 6. Az internetes játékok közül öt játékot választottunk ki: sakk, pasziansz, póker, foci, autóverseny. Megvizsgáltuk, hogy az elmúlt napon hányan játszották ezeket a játékokat, és az eredményeket tartalmazza az alábbi diagram. Játékosok száma Sakk Pasziansz Póker Foci Autóverseny Olvasd le az értékeket, és készíts belőle táblázatot! Készíts kördiagramot a relatív gyakoriságok alapján! 7. Megkérdeztük egy 40 fős osztály tanulóit, hogy melyek a kedvenc ételeik, és a kapott válaszok alapján készítettük el az alábbi sávdiagramot.. Lila: pizza, szürke: hamburger, sötétzöld: milánói makaróni, világoszöld: rántott sajt, sárga: palacsinta, barna: hot dog. a) Olvasd le a relatív gyakoriságokat! b) Ezek ismeretében határozd meg a gyakoriságokat! c) A gyakoriságok alapján készíts oszlopdiagramot! d) Határozd meg, hogy melyik a legnépszerűbb étel az osztályban!

191 8. modul: STATISZTIKA 9 8. Az itt látható grafikon öt tizenkettedikes osztály három tanévre vonatkozó hiányzási átlagait (nap/fő) mutatja. Két táblázatot mellékeltünk. Döntsd el, hogy melyik a grafikonhoz tartozó táblázat! Ha már döntöttél az egyik táblázat mellett, ábrázold kördiagramon, hogy az egyes osztályoknak mekkora részük volt a. évfolyam hiányzásaiból 00/004-ben! Három tanév hiányzási átlagai a.b.c.d.e 00/00 00/00 00/004 Év/osztály.a.b.c.d.e 00/ / / Év/osztály.a.b.c.d.e 00/ / /

192 9 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Középértékek (módusz, medián, átlag) Mintapélda Bergengócia királyának ellopták a jogarát. A térfigyelő kamerák felvétele alapján a lopással erősen gyanúsítható X.Y. nagykorú, foglalkozását tekintve udvari bolond. A jogart azonban nem találták a gyanúsított lakásán. A királyi rendőrség a helyi telefontársaságtól lekérte X.Y. telefonvonaláról indított hívások listáját. A lista a következő volt: (A szám a telefonos ébresztésé.) Mit olvashatunk ki ebből a táblázatból? Mennyiben segít ez a jogar megtalálásában? Megoldás: A hívott számok gyakoriságát a következő táblázat mutatja: A legtöbbször előforduló adat jellemzi leginkább ezt a sokaságot. A leggyakrabban hívott szám valószínűleg a tettestársé lehet. (Így lelepleződött a szakács.) A sokaságot jellemezhetjük a leggyakrabban előforduló elemével, ezt módusznak nevezzük. Ha több olyan elem van, ami egyforma gyakorisággal fordul elő, akkor ezek a móduszok halmazát alkotják. Ha minden elem csak egyszer-kétszer fordul elő a sokaságban, akkor a móduszok halmazának megadásával elég kevés, és viszonylag rosszul kezelhető információhoz jutunk. Mintapélda A Galaktikus Elhárítás emberszabású robotokat alkalmaz kémnek. Problémát okoz azonban, hogy a robot intelligenciája általában meghaladja a társaságában levő emberekét, így gyorsan lebukik. Hogyan állítsák be a robot IQ szintjét, ha azt akarják, hogy a társaságában levő embereknek pontosan a fele legyen nála okosabb? A robot most egy konferenciára megy, ahol a résztvevők IQ szintje a következő:

193 8. modul: STATISZTIKA 9 Megoldás: Állítsuk nagyság szerinti sorrendbe a résztvevők IQ értékeit, majd válasszuk ki a középső adatot! Most mivel az adatok száma páros nincs középső adat. Ha a két középső adat átlagát vesszük, ugyanannyi lesz a résztvevők között a nála okosabb, mint a butább. A robot IQ-ját tehát 4,5-re érdemes beállítani. Bizonyos sokaságokról elég sokat elárul a sokaság középső értéke (természetesen ez megkívánja, hogy az adatok rendezhetőek legyenek.) Vagyis rendezzük nagyság szerinti sorrendbe az adatokat, és válasszuk ki a középső elemet; ha nincs középső elem, mert páros számú adatunk van, akkor a középső két elem számtani közepét vegyük. Az így kapott elemet mediánnak nevezzük. A medián is viszonylag kevés információt hordoz a sokaságról, hiszen az elemek sorának elején és végén a mediántól nagyon eltérő elemek is állhatnak. A mediánt csak a sokaság többi tagjának a sorrendje határozza meg, de azok nagyságáról nem ad képet. Mintapélda Egy elemeket gyártó cégnél két terméket is előkészítettek gyártásra. Úgy döntöttek, hogy a két termék közül azt fogják valóban gyártani, amelynek az élettartama hosszabb. Mindkét fajtából megmérték, hogy 0-0 elem mennyi ideig működik egy lámpában, és utána döntöttek. Hogyan lehet összehasonlítani a két termék élettartamát? A mért időtartamokat (órákban) az alábbi táblázat mutatja. Az adatokból grafikont is készítettek. A elem B elem óra Elemek élettartama elemek A elem B elem

194 94 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Megoldás: Sem a grafikon, sem a táblázat most nem segít a döntésben. Érdemes a működési idők átlagát (számtani közepét) venni. A = 0 = 76,7 B = = 70,9 0 Az A jelű elemet fogják tehát gyártani, mert annak az átlagos élettartama nagyobb. Ha a sokaság számokból áll, akkor több tájékoztatást kaphatunk a sokaságról, ha minden benne szereplő számot figyelembe veszünk, tehát a számok összegét osztjuk a darabszámukkal. Az így kapott értéket nevezzük a sokaság aritmetikai átlagának vagy számtani közepének. Ez azonban megint csalóka lehet: ha van egy, a többiekhez képest nagyon nagy, vagy nagyon kicsi szám a sokaságban, akkor az adatok jelentős része döntően eltérhet az átlagként kapott adattól. A móduszt, a mediánt és az átlagot statisztikai középértékeknek nevezzük. Feladatok 9. Valaki megvizsgálta, melyik betű hányszor szerepel Ady Endre: Lédával a bálban című versében. Az eredményt a vers alatt található táblázat mutatja. (A vers címét és a kettős betűket nem vettük figyelembe.) Sikolt a zene, tornyosul, omlik Parfümös, boldog, forró, ifju pára S a rózsakoszorús ifjak, leányok Rettenve néznek egy fekete párra. Kik ezek? S mi bús csöndben belépünk. Halál-arcunk sötét fátyollal óvjuk S hervadt, régi rózsa-koszoruinkat A víg teremben némán szerte-szórjuk. Elhal a zene s a víg teremben Téli szél zúg s elalusznak a lángok. Mi táncba kezdünk és sírva, dideregve Rebbennek szét a boldog mátka-párok.

195 8. modul: STATISZTIKA 95 a á b c d e é f g h i í j k l m n o ó ö ő p q r s t u ú ü ű v w y z A táblázat alapján készíts grafikont az alábbiak szerint: a vízszintes tengelyen a betűk szerepeljenek, a függőleges tengelyen pedig a gyakoriságok! Állapítsd, meg milyen statisztikai középértékkel lehet jellemezni ezt a sokaságot. Add is meg ezt a középértéket! 0. Egy oszályból kiválasztottunk 0 tanulót. A csoportot megvizsgáltuk nemük, lakhelyük, születési dátumuk, testmagasságuk, és hajszínük szerint. (Az egyszerűség kedvéért a tanulókat sorszámmal azonosítjuk.) A tanulók adatai az alábbi táblázatokban láthatók. Határozzuk meg az egyes ismérvek gyakoriságát! Az egyes ismérvek esetében állapítsuk meg a lehetséges és jellemző statisztikai közepeket! Tanuló T T Nem lány lány Lakhely Debrecen Debrecen Sz_dátum Testmagasság 65 6 Hajszín szőke szőke

196 96 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Tanuló T T4 Nem lány lány Lakhely Ebes Kaba Sz_dátum Testmagasság Hajszín vörös barna Tanuló T5 T6 Nem lány lány Lakhely Kaba Szolnok Sz_dátum Testmagasság 6 6 Hajszín fekete szőke Tanuló T7 T8 Nem lány lány Lakhely Debrecen Ebes Sz_dátum Testmagasság 65 6 Hajszín szőke vörös Tanuló T9 T0 Nem lány lány Lakhely Szolnok Derecske Sz_dátum Testmagasság 58 6 Hajszín vörös vörös Tanuló T T Nem lány lány Lakhely Kaba Ebes Sz_dátum Testmagasság Hajszín szőke barna Tanuló T T4 Nem lány fiú Lakhely Debrecen Debrecen Sz_dátum Testmagasság 6 68 Hajszín szőke barna

197 8. modul: STATISZTIKA 97 Tanuló T5 T6 Nem fiú fiú Lakhely Ebes Szolnok Sz_dátum Testmagasság 65 7 Hajszín fekete barna Tanuló T7 T8 Nem fiú fiú Lakhely Derecske Ebes Sz_dátum Testmagasság 7 75 Hajszín barna fekete Tanuló T9 T0 Nem fiú fiú Lakhely Ebes Debrecen Sz_dátum Testmagasság Hajszín szőke fekete. Testnevelésórán felmérés volt távolugrásból. A 9.b osztály tanulóinak eredményei méterben megadva a következők:,5;,;,6;,;,;,6;,8;,0;,;,5;,6;,6;,8;,8;,9;,0;,;,;,8;,5;,6;,;,;,0;,6;,9;,. a) A kapott eredményeket rendezd növekvő sorrendbe! b) Készítsd el az eredmények gyakorisági sorát! c) Válaszd ki a rendezett számsor mediánját (középső elemét) és írd le, hogyan jellemzi a sokaságot! d) A gyakorisági sorból válaszd ki a móduszt (azt az eredményt, amely a leggyakrabban fordul elő) és írd le, hogyan jellemzi a sokaságot! e) Határozd meg, hogy hány méter a tanulók ugrásának átlaga és írd le, hogyan jellemzi a sokaságot!. A nyári egyhetes osztálytábor előtt felmérjük, hogy a gyerekek közül kinek mi a kedvenc étele. Milyen adattal jellemezhetjük a kapott adathalmazt?

198 98 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Egy munkahelyen összeírjuk mindenkinek az iskolai végzettségét. Arra a kérdésre szeretnénk választ kapni, hogy ez magasan kvalifikált emberekből álló hely-e vagy sem. Milyen adattal jellemezhetjük a kapott adathalmazt? 4. Felmérjük egy budapesti iskolában, hogy a tanulók melyik kerületben laknak. Milyen adattal jellemezhetjük a kapott adathalmazt? 5. Egy kis helység cipőkészítő üzemének csak arra van lehetősége, hogy egyféle méretű cipőt készítsen. A tulajdonosának milyen cipőméretet célszerű kiválasztania? 6. Egy gazdasági társaságnál a dolgozók fizetésére és létszámára vonatkozó adatokat tartalmazza a következő táblázat. Dogozók Létszám (fő) Átlagfizetés (ft/fő) Vezetők Adminisztratív dolgozók Alkalmazottak Takarítók Határozd meg, mennyi a dolgozók átlagos keresete a társaságnál! Mennyi az átlagfizetések módusza és mediánja? Értelmezd ezeket a statisztikai jellemzőket!

199 8. modul: STATISZTIKA 99 Kisleikon Statisztika :. Információk valamilyen szempontból rendezett összessége.. Tömegjelenségek vizsgálatához szükséges módszerek összessége. Leíró statisztika: statisztikai adatok feldolgozása és kiértékelése. Statisztikai sokaság: a megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége. Statisztikai ismérv: a megfigyelés szempontja(i). Gyakoriság: megmutatja, hogy az egyes jelenségek a felmérés (a kisérlet) során hányszor fordulnak elő. Relatív gyakoriság: a gyakoriság és a statisztikai sokaság elemszámának hányadosa. Módusz: a sokaság legtöbbször előforduló eleme. (Ha több ilyen elem is van, akkor a móduszok halmazáról beszélünk.) Medián: a nagyság szerint rendezett sokaság középső eleme (ha az elemek száma páratlan), ill. a két középső elem számtani közepe (ha az elemek száma páros). Átlag: számokból álló sokaságban a számok összegének és az elemek darabszámának hányadosa.

200

201 9. MODUL kör és részei Készítette: Vidra Gábor

202 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A kör szerepe mindennapi életünkben (olvasmány) A kör az egyik leggyakoribb és legharmonikusabbnak tartott forma. Kör alakú pénzzel fizetünk, kör alakú gyűrűt, karkötőt, láncot viselünk, látjuk a virágok szirmainak elrendeződésében, kanyarodás közben sokszor köríven mozgunk, ruháinkon is sok kör alakú nyílás van. Természetes, hogy a körrel kapcsolatos számítások az ókor óta izgatták az embereket. A Holdat, a Napot is korong alakúnak látták az égen. Tibetben mandalákat alkottak, hogy például a rajtuk elhelyezkedő ábrákkal tanítsák a buddhizmus tanát, vagy gyógyítsanak, meditáljanak vele. A mandala jelentése: kör, az Univerzumot és annak energiáját szimbolizálja. A kör megtalálható az összes vallás szimbólumai között. Leonardo da Vinci jól ismert grafikája (A vitruviuszi férfi) is utal az emberi test felépítésének és a körnek a kapcsolatára. Azt is megtudhatjuk belőle, hogy az ember körülbelül olyan magas, mint a kiterjesztett karján levő ujjvégek távolsága. A történetéről (olvasmány) A kör kerületének és sugarának arányszámával sokan foglalkoztak, története több ezer évre nyúlik vissza. A π jelet 79 óta használjuk, Leonhard Euler (707 78) javaslatára. Értékét a különböző korokban és kultúrákban ily módon becsülték: a) sumérek, i.e. 4000: 8 4,605; 9 6 b) egyiptomiak, i. e. 000: 9,605; c) Arkhimédész Kr. e. 50-ben a kör kerületét a körbe írt, illetve köré írt sokszögek kerületével közelítette: kiszámította a két 96 oldalú szabályos sokszög kerületét, és eredményül azt kapta, hogy < π <, azaz,408<π <,49; d) Ptolemaiosz i. sz. 50-ben: azaz körülbelül,47; 0

203 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 0 e) Árjabhata hindu matematikus, VI. század: a 64 oldalú szabályos sokszöggel számolva,46-ot kapott; f) Adrian Metius, XVI. század: 96 oldalú szabályos sokszöggel számolva 9 tizedes jegyig pontos számot kapott;. g) Ludolf van Ceulen, XVI. század, Hollandia: az első 5 jegyét határozta meg a π- nek, tiszteletére hívjuk más néven Ludolf-féle számnak. Síremlékére végakaratának megfelelően felvésték. Közelítették még 0, 6 értékével, vagy, 46 összeggel is az idők folyamán. Napjaink számítógépes technikai hátterével 6 millió jegyig számították ki az értékét. Érdekes megjegyezni, hogy a π-nek nincs pontos értéke: irracionális szám, sőt nem jön ki semmilyen algebrai egyenlet gyökeként (transzcendens szám). Számjegyeinek memorizálására úgynevezett π verseket írtak (a szavak betűinek száma adta a számjegyeket). (A π értékét jó pontossággal közelíthetjük hatványsorokkal, vagy statisztikai eszközökkel is.) Hatszögek beleírásával és köré írásával mi is kiszámíthatjuk π közelítő értékét: A beleírt hatszög oldalai: r, kerülete: 6r. A köré írt hatszög egy központi szabályos háromszögének magassága r, oldalára r =, így = r. A köré írt hatszög kerülete 6 = r 6, 98 r. Így a kerületre 6 r < K < 6, 98r adódik. Mivel K = rπ, π értékére kapott közelítés: < π <,464.

204 04 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A kör területe, kerülete A jól ismert képletek szerint: A kör kerülete: K = rπ A kör területe: T = r π Mintapélda Kör alakú asztallapot akarunk készíteni bútorlapból úgy, hogy a szélére élfóliát ragasztunk. A lapszabászatban csak négyzet alakú lapot tudnak levágni, a kör alakot otthon kell elkészíteni dekopírfűrésszel. a) Mennyi élfóliát kell vásárolni, ha azt csak egész méterben árulják? b) Mennyi az anyagköltség (a bútorlap és az élfólia ára együtt), ha az asztal átmérője,7 méter, egy m bútorlap ára 700 Ft és egy méter élfólia 40 forintba kerül? c) A levágatott bútorlap hány százaléka szemét? Megoldás: Egy,7,7 méteres négyzetet kell levágatni, ami,7 = 7, 9 (m ). A bútorlap költsége 7,9 700 = 968 Ft. Az élfólia hossza a kör kerületének egészre felkerekített értékéből számítható: K = d π = 8,48 (m), felkerekítve 9m, aminek a költsége 9 40 = 60 Ft. Az összes költség tehát = 004 Ft. A hulladék arányát úgy kapjuk, hogy a fölösleg területét elosztjuk a négyzet területével. A fölösleg a négyzet és a kör területének különbsége. d A kör területe π 5, 7,5 % a hulladék. (m,7 5,7 ), így a hulladék aránya = 0, 5,7, vagyis

205 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 05 Mintapélda Számítsuk ki, mennyi a fekete, a piros és a bordó körök területeinek összege! A kisebb körök cm átmérőjűek. Megoldás: A sugarak: cm és cm, a négyzetek oldalhosszai cm és 4 cm. Fekete: kis kör, és egy négyzet körből kimaradó része: T = π π = π 0,8 (cm ). = Piros: a kis piros körök és a mellettük található piros négyzetdarabok egymásba illenek, így a piros esetében két négyzet és egy nagy kör összegét kell számítani: T = π 0,56 (cm ). = Bordó: egy kis négyzet és két nagy négyzet körön kívüli része: ( 4 ) 0, 88 T = π = (cm ). Feladatok. Mekkora annak a körnek a sugara, amelynek kerülete a) 68 cm; b) 00 cm; c) 89 m; d) 75 dm?. Mekkora a kör kerülete, ha területe a) 00 cm ; b),85 dm ; c) 00 m ; d) 0,56 m?. Mekkora oldalú négyzet írható abba a körbe, amelynek területe a) 5 m ; b) 0 cm ; c) 45 m ; d) 0,4 m? 4. Számítsd ki a félkörökkel lezárt téglalap alakú idom hiányzó adatait! T jelenti az egész alak területét, K az egész kerületét. K T d s a) 5 cm 5 cm b) 00 cm 0 cm c) 70 m 5 m d) 400 m 00 m

206 06 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 5. Egy motoros 90 m sugarú, félkör alakú úton halad. Mennyi idő alatt teszi meg a félkört, ha sebessége a) 8 km/h; b) 0 km/h; c) 80 km/h; d) 0 km/h? 6. Számítsd ki a színezett részek területét és kerületét (a = 0 mm)! 7. Számítsd ki a színezett részek területét és kerületét (a =,4 cm)!

207 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI Hány százaléka a színezett rész területe az egész (félkör, illetve háromszög) területének? 9. a) Bizonyítsd be, hogy a piros félkörök területeinek összege megegyezik a kék félkör területével! b) Hippokratész holdacskái: bizonyítsd be, hogy a piros holdacskák területeinek összege megegyezik a derékszögű háromszög területével! c) Bizonyítsd be, hogy a piros holdacskák területeinek összege megegyezik a négyzet területével!

208 08 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE d) Bizonyítsd be, hogy a narancs és a kék rész területe egyenlő! Azt is igazold, hogy a zöld rész területe egyenlő a négyzet területének negyedével! 0. Számítsd ki π közelítő értékét úgy, hogy a kör köré illetve a körbe írható négyzetet használod!. Az építészetben gyakoriak az alábbi ablakformák, díszítő motívumok. Számítsd ki a kerületüket és a területüket a feltüntetett adatok alapján! A kerületbe minden határoló vonal beleszámít.. Számítsd ki, hogy a szabályos háromszög beleírt körén kívül eső részének területe hány százaléka a szabályos háromszög területének!

209 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 09. Az ABCD és az EFGH négyzet között a kék vagy a piros részek területösszege nagyobb? Ha segít, AB szakasz hossza 0 cm. 4. Egy pizzéria kétféle kerek pizzát szolgál fel: mindkettő ugyanolyan vastag, de más méretű. A kisebbik 0 cm átmérőjű és 0 tallérba kerül. A nagyobbik 40 cm átmérőjű és 40 tallérba kerül. Melyik pizza éri meg jobban? Válaszodat indokold! 5. A diákoknak különböző átmérőjű, kör alakú ezüstérméket kell tervezniük, melyek együtt sorozatot alkotnak: valamennyi érme átmérője 5 45 mm; mindegyik érménél 0%-kal nagyobb átmérőjű a sorozatban utána következő; a gép csak egész számú milliméter átmérőjű érméket tud verni. Tervezz érmesorozatot, amely megfelel a fent leírt követelményeknek! Egy 5 mm-es átmérőjű érmével kezdd, sorozatod annyi érmét tartalmazzon, amennyi csak lehetséges! 6. Egyetlen egyenes vonallal felezd meg a színezett rész területét!

210 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 7. Ahhoz, hogy mobiltelefonjainkat használni tudjuk, szükség van arra, hogy a telefonjainkról kimenő és az azon fogadott jeleket antennák, úgynevezett bázisállomások továbbítsák. Minden ilyen telepített bázisállomás egy meghatározott sugarú körben képes hívásokat fogadni és továbbítani. Azt a területet, amely a bázisállomások hatósugarába esik, lefedett területnek nevezzük, csak ilyen területen tudunk mobilhívásokat folytatni. Az alábbi ábrán egy példa látható a lefedettségre. a) Egy négyzet alakú, km-es oldalú területnek legfeljebb hányad részét fedheti le darab km hatósugarú bázisállomás? Úgy dolgozz, hogy számításod nyomon követhető legyen! b) A következő ábrák ugyanannak a területnek (négyzet) kétféle lefedését mutatják. Az A vagy a B esetben nagyobb a lefedettség? Válaszodat indokold! 8. A játék kezdetén a biliárdgolyókat egymás mellett, egy szabályos háromszög alakú keretbe kell elhelyezni. Lemértük a keret magasságát. Mekkora egy biliárdgolyó sugara?

211 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI II. Szögperc, szögmásodperc A szögeket eddig fokban mértük. A részfokokat vagy szögpercben és szögmásodpercben fejeztük ki, vagy tized fokban. Az újabb számológépek közvetlenül elvégzik az átváltást a tizedfok és a szögperc között: egyes gépeken DMS (degree, minute, second angol szavakból), más gépeken feliratú billentyűvel, kezelését meg kell tanulni. Gyakorolni kell az átváltást akkor is, ha számológépet nem használhatunk. Mintapélda a) Határozd meg, mennyi a 0,5 szögpercben! = 60 / 0,5 0,5 = 0,5 60 = 5 A szögpercet úgy kapjuk, hogy a tizedfokot megszorozzuk 60-nal. b) Váltsd át a 5 -et fokba! = 60 / : 60 = 60 o 5 = o 5 = 0,4 60 A tizedfokot úgy kapjuk, hogy a szögpercet elosztjuk 60-nal. Feladatok 9. Végezd el a következő átváltásokat: a) 0 b) 5 c) 45 d) e) 6 f) 7 g) 6 5 h) 55 4 i) j) Végezd el a következő átváltásokat: a) 4,4 b) 85,5 c) 8,9 d) 6,8 e),75 f) 4,04 g),87 h) 68, i) 7,68 j) 44,

212 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Egyenes arányosságok a körben Talán már feltűnt, hogy a negyed kör és a félkör között felírható néhány kapcsolat: a félkör középponti szöge (80 ) kétszerese a negyed kör középponti szögének (90 ); a félkör ívhossza kétszerese a negyed kör ívhosszának; a félkör területe kétszerese a negyed kör területének. Ezek az összefüggések nemcsak a derékszög és az egyenesszög kapcsolatában találhatók meg. Ha a kört egy foknyi szeletekre bontjuk, kiderül, miért található egyenes arányosság a középponti szögek, az ívek és a körcikk területeinek arányában: az -os körcikket többször egymás mellé mérve a középponti szög is, a körív is és a terület is megtöbbszöröződik. A következő ábra egy 4 mm sugarú, 6 középponti szöghöz tartozó körcikk területének és ívhosszának kiszámítását mutatja. T az -hoz tartozó körcikk területét jelöli. A 6 középponti szögű körcikket felbonthatjuk 6 darab, -os középponti szögű körcikkre, és ezek területeit összegezzük. Az ívhossz kiszámítása hasonlóan történik. A számított értékek: T6 = 49, 5mm, i6 = 9, 5mm. A körív hossza is, a körcikk területe is egyenesen arányos a középponti szöggel.

213 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI Az -hoz tartozó körív hosszát úgy határozzuk meg, hogy az -hoz tartozó körív hosszát megszorozzuk -val. Az -hoz tartozó köcikk területét úgy határozzuk meg, hogy az -hoz tartozó körcikk területét megszorozzuk -val. A körcikk területét kiszámíthatjuk a i r T = összefüggéssel is. Mintapélda 4 Geom bolygó lakosai a kör iránti tiszteletük jeléül 60 napos évet használnak. Naptáruk is olyan kör, amelyet fokonként osztottak be 60 egyenlő körcikkre. Fővárosuk főterén óriásnaptár található,5 méteres sugárral, amelyen minden körcikk különböző színű. Számítsuk ki, hogy mennyi festék kell egy körcikkre, és mekkora egy körcikket szegélyező körív hossza! A festék kiadóssága 8 l/m. Megoldás: A körcikkek középponti szöge. Az ehhez tartozó körcikk területe a kör területének r π 60-ad része, vagyis. A körcikk körívének hossza a kör kerületének 60-ad része, 60 ami rπ rπ =. A példában r =,5 m, ezért a körcikk területe 0,0545 m, a körív hosz sza 0,044 méter, illetve 4,4 cm. A szükséges festék m felülethez 8 liter, 0,055 m - hez ennek 0,0545-szöröse: 0,0068 liter = 6,8 cm.

214 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok. Mekkora körcikk és körív tartozik ahhoz a 4 cm-es sugarú körcikkhez, melynek középponti szöge a teljesszög 5 %-a?. Töltsd ki a következő táblázat hiányzó celláit! r 5 cm 5 mm 0 cm 5 dm α i 600 mm 0 cm 08 dm,775mm T 00 cm 0 cm 5 cm 9,4 mm. Körcikk alakú asztallapot készítünk úgy, hogy egy 90 -os körcikk hiányzik a teljes körből. Számítsd ki az anyagköltséget, ha az asztal sugara,6 méter, a kerületére ragasztható bevonó szalag métere 400 Ft, és az asztallap anyagából m -nyi 00 Ft-ba kerül! 4. Melyik a nagyobb? Tedd ki a megfelelő relációjeleket (T: a körcikk területe, i a körcikk teljes kerülete)! a) A: 0 cm sugarú körben 65 -os körcikk B: 0 cm sugarú körben 50 -os körcikk T A i A?? T B i B b) A: 50 dm sugarú körben 00 -os körcikk B: 00 dm sugarú körben 5 -os körcikk 5. Egy 5 cm sugarú körben a körcikk területe a kör területének 45%-a. Számítsd ki a középponti szöget, a körcikk területét, és a határoló ív hosszát!

215 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 5 IV. Ívmérték, radián Mivel a középponti szög egyenesen arányos a körív hosszával, a szögeket körívvel is jellemezhetjük. Ezt a mértéket ívmértéknek, radiánnak nevezzük. A műszaki életben sokszor nem fokokban számolnak, hanem radiánban. Ha a szöget fokokban mérjük, a teljes szög 60. Ívmértékkel mérve a teljes szög π radián (a radiánt nem szoktuk kiírni). Vagyis 80 -nak megfelel π radián: A 80-nak rengeteg osztója van, és ez segítséget nyújt az átszámításhoz. Például 0 éppen a π 5π hatoda 80 -nak, így π-nek is: 0 =. 50 a 0 -nak ötszöröse, ezért 50 =, vagy π formában szoktuk felírni. Mivel π irracionális, a legpontosabb szögértéket akkor adhat- 6 juk meg, ha meghagyjuk a szögben a π szimbólumot. A tartozó 57,. π = π (rad) ; = (rad) ; (rad) = 57,. 80 π 80 pontosabb, mint az radiánhoz π Mit gondolsz, melyik a régebbi mértékegység, a radián vagy a fok? A szögek ívhosszal történő mérése Roger Cotes (68 76, angol fizikus és csillagász) ötlete volt 74-ben, de a radián kifejezés James Thomson (8 89, ír mérnök és fizikus) nevéhez fűződik: ő használta először nyomtatásban, 87-ban. A kör 60 egységre osztása több mint háromezer éves találmány, a babiloniaknál jelent meg, még az ékírásos időkben.

216 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Felmerülhet, hogy miért hívják ívmértéknek ezt a szög-mértékegységet. Azért, mert ha radiánban adjuk meg a szögeket, a körív hosszát az i = r ) α szorzattal számíthatjuk ki. Fok Körív hossza Körcikk területe Egész kör 60 rπ r π Félkör 80 rπ = rπ Negyed kör 90 rπ r = π 4 Egy fok rπ r = π r π r π 4 r π 60 rπ r π α fokos szög α i = α T = α α radián ) α i = r ) α r ) α T = Feladatok 6. Alakítsd át a fokokat radiánná! a) 80 ; b) 90 ; c) 60 ; d) 45 ; e) 0 ; f) 40 ; g) 5 ; h) 70 ; i) 40 ; j) 70 ; k) 5 ; l) 7 ; m) 0 ; n) 000 ; o) 00 ; p) Számítsd át a radiánokat fokokká! π 5π 7π a) π ; b) ; c) ; d) ; 9 4π e) ; 5 5π f) ; 6 8π g) ; π h) ; 0 i) rad; j),56 rad; k) 0 rad; l) 8, rad.

217 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 7 V. A kör részeinek területe Az előző részben volt már szó a körcikkről, de a kör más részeivel is megismerkedünk. A következő ábrák ezek gyakorlati felhasználásából mutatnak példákat. A hétköznapi életben sok helyen alkalmazzák a kör részeit: a gumi- és betongyűrűk, csövek keresztmetszete körgyűrű alakú; a körgyűrűcikket az építészetben: a megfelelően faragott kövekből összeállított boltozat akár kötőanyag nélkül is megtart falakat (például korai gótikus épületekben), hidakat, födémeket.

218 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Elnevezések A kör részeivel kapcsolatban az alábbi elnevezéseket használjuk: középponti szög (α ) körcikk körszelet körgyűrű körgyűrűcikk Területüket általában területek kivonásával számítjuk ki: T körcikk i r = T körszelet = T körcikk T háromszög R, T T körgyűrű = ( R )π R R, T T = T T

219 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 9 Mintapélda 5 Rajzolj egy 8 cm sugarú kört! Becsüld meg a négyzetrácsok segítségével, hogy mekkora területű körcikk tartozik radián középponti szöghöz? Mérd le a körcikket határoló körív hosszát is (például cérnával)! Végezz számításokat is, utána vizsgáld meg, hány százalékos volt az eltérés a becsült és a mért adatok között! Megoldás: radiánhoz tartozó körcikk területe a teljes kör területének -ed része: r π = r π = cm. Egy négyzetrácsban egy kis négyzet területe 0,5 = 0,5 cm, vagyis = 8 kis négyzet az eredmény. 0,5 Ha például 98 kis négyzetet számoltál meg, az eltérés 0 kis négyzet, ami =,4% eltérés (hiba). rπ A körív hossza a teljes kör kerületének -ed része: = r = 8cm. π Ha 7,6 cm-t mértél, a hiba az eltérés/jó eredmény, százalékban kifejezve képlet szerint 8 7,6 00 = 5%. 8 Feladatok 8. Egy műanyagcső külső átmérője ¾ coll, az anyagvastagság,5 mm ( coll =,45 cm.). A cső keresztmetszetén a belső kör területének hány százaléka a műanyagot tartalmazó körgyűrű területe? 9. Adott a körgyűrű belső (r) és külső (R) sugara. Mekkora a körgyűrű területe? a) r = 45 mm, R = 50 mm; b) r = 7 cm; R = 78 cm; c) r = 6 cm; R = 6,4 cm.

220 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 0. Egy 0 cm külső átmérőjű cső keresztmetszetének 7 %-a a cső anyaga. Mekkora az anyagvastagság?. Egy 50 cm külső átmérőjű cső keresztmetszetének 8%-a a cső anyaga. Mekkora a belső keresztmetszet területe?. A planetárium körfolyosóját le kell burkolni. A burkoló az ábrán látható távolságot mérte le. Miért elegendő ez az adat a burkolat anyagmennyiségének meghatározásához? Mennyibe kerül a burkolás, ha a burkoló anyaggal együtt 600 Ft-ot kér m burkolatért?. Biztos láttál már olyan vadnyugati filmeket, amelyben postakocsi szerepel, és észrevetted, hogy néha állni látszik a kocsi küllős kereke. Ez azért van, mert másodpercenként 4 képet vetítenek a filmen, és ennyi idő alatt fordul egy küllőnyit a kerék. Mekkora annak a postakocsinak a sebessége, amelyiknek a kereke 0 cm átmérőjű, a kerék állni látszik, és a küllők száma a) 0; b) ; c) 6; d) 8. Mintapélda 6 π Számítsuk ki a radiánú középponti szöghöz tartozó körszelet területét és kerületét, ha a kör sugara 0 cm! Megoldás: π a 0 -os szögnek felel meg (harmad kör), így készítünk egy ábrát. A körszelet területét úgy számoljuk ki, hogy kivonjuk a körcikk területéből a középen levő háromszög területét. A háromszög kiegészíthető a oldalú szabályos háromszöggé, aminek a területe a 4. r π r Így a körszelete területe: T = = = 55 cm. 4

221 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI A kerülete a kör kerületének harmada, hozzáadva kétszer a szabályos háromszög r π magasságát: K = r = 6,8 5,96 = 4, 8 cm. Ismétlés: az a oldalú szabályos háromszög területe a Egy kör sugara 5 cm. Számítsuk ki a következő középponti szögekhez tartozó körszeletek területét: π π a) 60 ; b) ; c) ; d) Mekkora a színezett rész területe?

222 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VI. A kör érintője Mintapélda 7 Végezzük el a következő szerkesztéseket, és az eredmény alapján válaszoljunk a kérdésekre!. Szerkesszünk derékszögű háromszöget, melynek befogói: AC = cm és BC = 4 cm!. Tükrözzük a háromszöget az AB átfogóra!. Szerkesszük meg a háromszög köré írható k kört! Középpontját jelöljük F-fel. 4. Szerkesszük meg az A középpontú, AC sugarú k kört! a) Mi a kapcsolat a k kör és a BC egyenese között? b) Mit mondhatunk BC és BD hosszáról? c) Milyen összefüggést állapíthatunk meg a kör érintője és sugara között? Megoldás: a) BC a k kör érintője. b) Egyenlők, mert az ABC és az ABD háromszögek egybevágók. c) A sugár (AC) merőleges az érintőre (BC) az érintési pontban (C). A kör érintője merőleges az érintési ponthoz tartozó sugárra. Egy körhöz egy külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. Thalész-tétel megfordítása: a derékszögű háromszög köré írható kör középpontja épp az átfogó felezőpontja.

223 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI Mintapélda 8 Vegyünk fel egy C a középpontú kört és rajta kívül egy P pontot! Szerkesszük meg a körhöz a P pontból húzott érintőket! Megoldás: A CP szakasz Thalész-körén (k Thalész ) helyezkednek el azok a pontok, amelyek a C és P pontokkal derékszögű háromszöget alkotnak. Mivel az érintő merőleges a sugárra az érintési pontban, az adott kör és a Thalész-kör metszéspontjai (A és B) az érintési pontok. Feladatok 6. A k körhöz P külső pontból húzott érintők A és B pontokban érintik a kört az ábrán látható módon. Egy további érintő egyenes a C és D pontokban metszi a szögszárakat. Igazold, hogy a PCD háromszög kerülete egyenlő a PA szakasz hosszának kétszeresével!

224 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 7. a és b a derékszögű háromszög befogói, c az átfogó, r a köré írt kör sugara. Töltsd ki a táblázat hiányzó celláit! a 5 cm dm,7 dm b 0 cm,4 cm 54 cm c m 5,8 dm 589 cm r cm 8. C a kör középpontja, P egy külső pont, és E a P-ből a körhöz húzható érintő érintési pontja. Készíts rajzot, és töltsd ki a táblázat hiányzó celláit! CP 4, dm 49 cm 6 cm 5, dm EP cm 6 dm r 5 cm 0,4 m 5,8 dm 45 cm 9. Szerkeszd meg a C középpontú, r sugarú körhöz húzható érintőket P pontból, ha a) r = 4 cm, CP = 8 cm; b) r =,5 cm, CP = 7 cm; c) r = 5 cm, CP = 7 cm. 40. Ebbe a derékszögű trapézba kör írható. Milyen kapcsolat van a szemben fekvő oldalak összege között? Mekkora a beleírható kör sugara, ha az alapok hossza 4 és, a nem derékszögű szár hossza 0 egység? További szerkesztések 4. Kőrácsos ablak. Ezt a rozetta alakot 0 körül tervezte Jean d Orbais a Reimsben található székesegyházban, és innen terjedt el Európa szerte.

225 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 5 4. Szabályos sokszögek (négyzet, szabályos hatszög, szabályos nyolcszög) szerkesztése. 4. Román-kori ablak szerkesztése. 44. Gótikus ablak szerkesztése.

226 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kisleikon A kör kerülete K = rπ, a kör területe T = r π A szögpercet úgy kapjuk tizedfokból, hogy a tizedfokot megszorozzuk 60-nal. A tizedfokot úgy kapjuk szögpercből, hogy a szögpercet elosztjuk 60-nal. A körív hossza és a körcikk területe egyenesen arányos a középponti szöggel. A fokhoz tartozó körcikk területét úgy határozzuk meg, hogy az -hoz tartozó körcikk területét megszorozzuk -val. A körcikk területét kiszámíthatjuk a T i r = képlettel is. A fokhoz tartozó körív hosszát úgy határozzuk meg, hogy az -hoz tartozó körívet megszorozzuk -val. A kör érintője merőleges az érintési ponthoz tartozó sugárra. Egy körhöz egy külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. Thalész-tétel megfordítása: a derékszögű háromszög köré írható kör középpontja épp az átfogó felezőpontja.