MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A"

Átírás

1 MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV

2 A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési Terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program... központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült. Szakmai vezetők Pála Károly szakmai igazgató Puskás Aurél fejlesztési igazgatóhelyettes Rápli Györgyi, a programfejlesztési központ vezetője Matematika szakmai vezető Oláh Vera Szakmai tanácsadó Somfai Zsuzsa Pálmay Lóránt Alkotószerkesztők Csatár Katalin Oláh Judit Felelős szerkesztő Teszár Edit Educatio Társadalmi Szolgáltató Közhasznú Társaság A kiadvány ingyenes, kizárólag zárt körben, az NFT HEFOP.-es és..-es intézkedés pályázati komponensében nyertes intézmények körében használható fel. Kereskedelmi forgalomba nem kerülhet. Másolása, terjesztése szigorúan tilos! Kiadja az Educatio Társadalmi Szolgáltató Közhasznú Társaság 4 Budapest, Váci út 7. A kiadásért felel: Kerekes Gábor ügyvezető igazgató Nyomdai munkák: Pátria Nyomda Zrt.

3 tartalom IV. FÜGGVÉNYEK. modul: Lineáris függvények (Csákvári Ágnes) modul: Abszolútérték-függvény (Csákvári Ágnes) modul: Másodfokú függvény (Csákvári Ágnes) V. VEKTOROK 4. modul: Vektorok (Vidra Gábor) modul: Egybevágósági transzformációk (Birloni Szilvia) VI. Algebrai azonosságok, egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek 6. modul: Algebrai azonosságok (Darabos Noémi Ágnes és Vidra Gábor) modul: Egyenletek, egyenlőtlenségek, kétismeretlenes egyenletek (Darabos Noémi Ágnes)... 5 VII. statisztika 8. modul: Statisztika (Lövey Éva, Gidófalvi Zsuzsa) VIII. kör és részei 9. modul: A kör (Vidra Gábor) A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek a tananyag megértésében. A FELADATOK szintjét a sorszám előtti házikó mutatja: alapszintű feladatok: középszintű feladatok: emelt szintű feladatok: Ahol nincs ilyen jelzés, azt a példát mindenkinek ajánljuk.

4

5 . MODUL lineáris függvények Készítette: Csákvári Ágnes

6 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda A csapból percenként 5 l víz folyik a fürdőkádba, melynek befogadó képessége 80 liter. Mennyi idő alatt telik meg az eredetileg üres kád? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a kádban levő vízmennyiséget az eltelt idő függvényében! Megoldás: 80. Válasz a kérdésre: 6 perc alatt telik meg a kád, mert = Értéktáblázat készítése: T (perc) L (liter) Ábrázolás grafikonnal: 4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: Az eltelt időt az tengelyen, a térfogatot (literben) az y tengelyen ábrázoltuk, tehát: a 5 vagy f () = 5. Mintapélda Egy 0 cm hosszú gyertyát meggyújtunk. A gyertya 4 óra alatt ég el. Fél óra alatt hány centimétert csökken? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a gyertya hosszának alakulását az eltelt időtől függően! Megoldás: 0. Válasz a kérdésre: A gyertya óra alatt = 5 cm-t csökken, fél óra alatt,5 cm-rel 4 lesz alacsonyabb.

7 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 7. Értéktáblázat készítése: T (h) 0 0,5,5 4 M (cm) 0 7,5 5, Ábrázolás grafikonnal: 4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: Az eltelt időt az tengelyen, a gyertya magasságát az y tengelyen ábrázoltuk, tehát: a vagy f () = Mintapélda Egy személygépkocsi az autópálya 50 km-es szakaszán 0 km/h sebességgel halad. Mennyi idő alatt teszi meg ezt az utat? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a sebességet az út függvényében! Megoldás: v. Válasz a kérdésre: Az autó 0,45 óra alatt teszi meg az utat, mert t = = 50 = 0, 4 & 5 &. s 0. Értéktáblázat készítése: s (km) km v h Ábrázolás grafikonnal: 4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: A megtett utat az tengelyen, az autó sebességét az y tengelyen ábrázoltuk, így: a 0, vagyis f () = 0.

8 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok. Egy csiga hajnalban útnak indul. A m széles járda egyik oldaláról szeretne átjutni a másikra. Óránként fél métert képes megtenni. Mennyi idő múlva ér át a túloldalra? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a megtett utat az eltelt idő függvényében!. Egy autó lakott területhez közeledvén lassítani kezdett. 5 km-re volt a falu szélétől, amikor 0 km/h sebességét elkezdte egyenletesen csökkenteni. A falu határán belül 50 km/h a megengedett maimum. Hány km/h-val kellett csökkenteni a sebességét kilométerenként? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon az autó sebességének csökkenését a megtett út függvényében!. Egy macska felmászik a 4 m magas fa tetejére, miközben 5 N állandó erővel húzza felfelé magát. (s = 4 m, F = 5N.) Számold ki, mennyi munkát végez a macska, míg feljut a fa tetejére! (W = F s) Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon az erő és a magasság kapcsolatát! 4. A Jánoshegyi libegő 040 m hosszú kötélpályán mozog. Az utasokat 4 km/h sebességgel szállítja. Mennyi ideig (percig) tart egy utazás a libegővel? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a megtett út hosszát az idő függvényében! 5. A Jánoshegyi libegő 040 m hosszú kötélpályán mozog. Az utasokat 4 km/h sebességgel szállítja. Mennyi ideig (percig) tart egy utazás a libegővel? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a visszafele vivő út hosszát az eltelt idő függvényében! 6. Egy gyerek az 00 Watt teljesítményű hajszárítójával 0,5 órán keresztül szárítja a haját. (P = 00 Watt.) Mennyi a hajszárító fogyasztása? (W = P t = kwh) Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a teljesítményt az idő függvényében! 7. Válaszolj az alábbi kérdésekre!. Milyen kapcsolat van a Mintapéldák táblázatainak értékpárjai között?. Hogyan helyezkednek el a koordináta-rendszerben az ezekhez az értékpárokhoz tartozó pontok? Milyen alakzatot alkotnak?. Milyen viszonyban van a végeredményül kapott pont ezzel az egyenessel? 4. Tudsz-e szabályt mondani, aminek alapján könnyedén folytatható a táblázat kitöltése?

9 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 9 5. Az előző szabályt próbáld meg általánosságban is megfogalmazni! 6. Ez a szabály egyben a lineáris függvény hozzárendelési szabálya is. A függvény grafikonjában milyen szerepet játszik m és b? 7. Milyen kapcsolatot fedezel fel az arányossági tényező és a grafikon meredeksége között? 8. A lineáris függvény grafikonjának meredeksége milyen értékeket vehet fel? Ennek az értékétől hogyan függ a grafikon? 9. A szöveges feladatok alapján többnyire csak a pozitív értékeknek van értelme, a grafikont is ennek megfelelően ábrázoltuk. A szabály alapján folytatható lenne-e az egyenes negatív -ek esetén? (Értelmezhetjük-e negatív számokra is?) 0. Mi az a legbővebb halmaz, ami a függvény értelmezési tartománya és értékkészlete lehet?. A koordináta-rendszerbe rajzoljunk egyeneseket. Igaz-e, hogy minden lineáris függvény grafikonja egyenes?. A koordináta-rendszerbe rajzoljunk egyeneseket. A koordináta-rendszer minden egyeneséhez tartozik lineáris függvény? 8. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy melyik igaz, melyik hamis. Válaszodat indokold!. Az. és. feladat táblázatának értékpárjai közötti kapcsolat egyenes arányossággal jellemezhető.. Ezek az értékpárok szétszórva, rendszertelenül helyezkednek el a koordinátarendszerben.. A feladat végeredményét megadó értékpárnak megfelelő pont a koordináta-rendszerben mindig az egyenes alatti síkrészben található. 4. A hozzárendelési szabály mindig f () = m + b alakú, amely egyben a lineáris függvény hozzárendelési utasítása is, ahol a hozzárendelési szabályban szereplő m és b értékek tetszőleges valós számok lehetnek. 5. A b érték a lineáris függvény grafikonjának meredekségét határozza meg. 6. Az arányossági tényező és a lineáris függvény meredeksége megegyezik. 7. Ha a lineáris függvény meredeksége 0, akkor képe párhuzamos az y tengellyel. 8. Ha a lineáris függvény meredeksége negatív, akkor a függvényt monoton csökkenőnek nevezzük. Ha pozitív, akkor monoton növekvőnek.

10 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 9. A lineáris függvény legbővebb értékkészlete és értelmezési tartománya egyaránt a valós számok halmaza, vagy annak egy valódi részhalmaza lehet. 0. Minden lineáris függvény grafikonja egyenes.. A koordináta-rendszer minden egyeneséhez tartozik lineáris függvény.

11 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK II. Lineáris függvények f() = m+b Azokat a függvényeket, amelyeknek grafikonja egyenes, lineáris függvényeknek nevezzük. A lineáris függvények megadhatók az f () = m + b képlettel, ahol m és b valós számok. Jelentésük: m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel való metszéspontjának. koordinátája. A lineáris függvények más lehetséges jelölései: a m + b, vagy y = m + b. Ha m = 0, akkor az f () = b (vagy a b, vagy y = b) hozzárendelést kapjuk, melyet konstans függvénynek nevezünk. f() = b Ekkor a függvény képe az tengellyel párhuzamos egyenes. Ha m 0, akkor a függvény elsőfokú. f() = m, ha m > 0 f() = m, ha m < 0 Ha m > 0, akkor a lineáris függvény szigorúan monoton növő, vagyis növekvő értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak.

12 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Ha m < 0, akkor a lineáris függvény szigorúan monoton csökkenő, vagyis növekvő értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Általában minden f () = m függvény egyenes arányosságot fejez ki, ahol az arányosság tényezője m. Ábrázoláskor pedig azt mutatja meg, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet megyünk az y tengely mentén pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé. Mintapélda 4 A megrajzolt grafikon alapján állapítsuk meg a hozzárendelési szabályt és adjuk meg az értéktáblázat hiányzó adatait! Számítsuk ki a már ismert jelöléssel megadott helyeken a függvényértékeket! F () =? f ( ) = f ( ) = f () = f(),8 0,4 Megoldás:. A lineáris függvény általános hozzárendelési utasítása: f () = m + b, ahol m a függvény meredeksége, b pedig az y tengellyel vett metszéspontja. Mivel a grafikonról leolvasva ez a metszéspont (+)-nél található, így b = +. A meredekséget megmutatja, hogy egy egységnyi jobbra haladásra hány egységet lépünk függőlegesen. A grafikonról leolvasva ez az érték A hozzárendelési utasítás: f () = + +. Tehát m =.

13 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Függvényértékek kiszámítása, értéktáblázat kitöltése: f ( ) =? A hozzárendelési utasításban helyére behelyettesítjük a -t: f ( ) = ( ) 4 0 Hasonlóan : f ( ) = ; f () =. Az értéktáblázat első 5 oszlopának kitöltése, melyekben az érték adott, és f ()-et keressük, szintén ehhez hasonló. Az eredmények: + = f() 0 A 6 0. oszlopokban f () értéke adott, és -et keressük: 6. oszlop: f () = f () helyére írjuk a hozzárendelési utasítást: + =. Ezt az egyenletet megoldva kapjuk: = 7,5. A 7 0. oszlopok kitöltése is hasonló. Az eredmények összefoglalva: 7,5 7,,5, f(),8 0,4 9. A megrajzolt grafikonok alapján állapítsd meg a hozzárendelési szabályt és add meg az értéktáblázat hiányzó adatait! Számítsd ki a már ismert jelöléssel megadott helyeken a függvényértékeket! a) g () =? g ( ) = g () = g () = 0 7 g() 6 0 5

14 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE b) h () =? h ( ) = h ( 5) = h (8) =,5 5,5 h() 0,5 6 c) l () =? l (0) = l (0,6) = l ( 5,5) = 4,5 8 9 l()

15 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 5 d) m () =? 6 97 m() e) n () =? 4,75 0 4,66 &,84 n() Mintapélda 5 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f () = + 7 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját! Megoldás: Mivel az adott függvény lineáris, ezért képe egyenes. Az egyenest két pontja egyértelműen meghatározza, tehát számítsuk ki a függvény két különböző helyen vett függvényértékét, hogy meghatározzuk a koordinátasík két pontját, P-t és Q-t, ami rajta van a függvény grafikonján.

16 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A legegyszerűbb, ha először kiszámoljuk a függvényértéket a 0 helyen. Ez legyen a P pont, ez rajta van az y tengelyen. A P pont második, y koordinátája: f (0) = = 7, ebből következik, hogy a pont koordinátái: P (0; 7) A Q pont pedig legyen az egyenesnek az a pontja, amely rajta van az tengelyen, vagyis ahol a függvényérték 0. Itt + 7 = 0, azaz = 7, ebből következik: Q (7; 0) A P és Q pontokat összekötő egyenes lesz a függvény grafikonja. Mintapélda 6 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben a f () = + 4 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját! Megoldás: A hozzárendelési utasítás általános alakja f () = m + b. Ebben az esetben b = 4, m =. A b a koordinátasík azon pontjának. koordinátája, ahol a grafikon az y tengelyt metszi. Ez a P (0; 4) pont. m ismerete segít a függvény képének megrajzolásában: m az egyenes meredeksége, egy. egységnyi jobbra haladásra m egységet lépünk az y tengellyel párhuzamosan, m előjelétől függően lefelé vagy felfelé. Jelen esetben egy egységnyi jobbra haladás után 0,5 egységet haladunk lefelé a előjel miatt. A kapott pontot a P-vel összekötő egyenes lesz a keresett grafikon.

17 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 7 Mintapélda 7 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f () = függvény grafikonját! 5 5 hozzárendelési utasítással megadott Megoldás: Egyszerűsítsük a törtet! 5 f () = = ( + 5 ) ( 5 ) = ( 5) Az előző két módszer valamelyikével ábrázoljuk f grafikonját. Figyeljünk arra, hogy a függvény az = 5 helyen nincs értelmezve. Ezt a szakadási pontot üres karikával jelöljük. Mintapélda 8, Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f () = 8, megadott függvény grafikonját! ha ha 5 > 5 hozzárendelési utasítással Megoldás: Ábrázoljuk először az f () = függvény grafikonját a ] ; 5] intervallumon, majd folytassuk az f () = 8 függvény grafikonjával az ] 5; [ intervallumon.

18 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Közben észrevehetjük, hogy az = 5 helyen ugyanazt az értéket veszik-e fel a függvények: f (5) = 5 = f (5) = 5 8 = 0. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! a) f () = ; b) f () = ; c) f () = ; d) f () = ; e) f () = + ; f) f () = 4; g) f () = + 4; h) f () = ; i) f () = ; j) f () =.. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! a) f () = + 5; b) f () = 5; c) f () = 5 + ; + 4 d) f () =,5; e) f () = ; f) f () = ; g) f () = ; h) f () = ; i) f () = ( + 4 ); + j) f () = ( ); k) f () = 7 ; l) f () = ( ) +.. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! + a) f ()) = ( + ) ; b) f () = ( 5) ; c) f () = ( + 4) + ; 4 d) f () = ( ) 6 + ; e) f () = ; f) f () = ( ) ; , ha g) f () = ; h) f () = ; i) f () = ; + 4, ha <

19 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 9, j) f () = 6, ha ha, ; k) f () = > 4, ha ha >.. Keresd meg az összetartozó négyeseket! (Egy összetartozó négyest alkot a függvény hozzárendelési utasítása, a grafikonja, és a rá illeszkedő két pontja.) 8 f () = + 5; g () = ; h () = 4 P ; 6 ; Q(;); R(; 5 ); S(0;); T(;); U( ; i () = ; ;); V(4;0); Z ;. 7 I. II. III. IV. Mintapélda 9 Adjuk meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha grafikonja a) átmegy a P( ; 5) ponton és az y tengelyt a 0 helyen metszi! b) átmegy a P( ; ) ponton és párhuzamos az f ( ) = + 6 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonjával! Megoldás: a) A lineáris függvény hozzárendelési utasításának általános alakja: f ( ) = m + b. Adott: P( ; 5), valamint b = 0. f ( ) az helyen felvett függvényérték. Mivel a P pont rajta van a grafikonon, így = és f ( ) = 5 Ezeket behelyettesítve az általános egyenletbe, kapjuk: 5 = m 0. Ebből: m = 5 A keresett hozzárendelési utasítás: f ( ) = 5 0.

20 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE b) A lineáris függvény hozzárendelési utasításának általános alakja: f ( ) = m + b. Adott: P ( ; ). Az előző példához hasonlóan = és f ( ) =. Ha a keresett függvény grafikonja párhuzamos az f ( ) = + 6, akkor az azt jelenti, hogy a meredekségük megegyezik. Vagyis a keresett hozzárendelési szabályban is a meredekség. Ezeket behelyettesítve az általános képletbe, kapjuk: = () + b, ebből b = 5. A keresett hozzárendelési utasítás: g ( ) = Add meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha grafikonja a) átmegy a P ( 7; 4) ponton, és a meredeksége ½! b) átmegy a P ( ; ) ponton és az tengelyt a 6 pontban metszi! c) átmegy a P ( ; 4) és a Q ( 4; ) pontokon! d) átmegy a P ( 5; ) ponton és merőleges az f () = hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonjára! e) átmegy a P (; 6) ponton, és meredeksége 0! f) átmegy a P (00; ) ponton és párhuzamos az tengellyel! 4. Állapítsd meg, hogy az alábbiak közül mely geometriai transzformációkat, milyen sorrendben kell alkalmazni, hogy az f () = függvény grafikonjából kiindulva az a) f () = ; b) f () = 4; c) f () = + 4; d) f () =. függvény grafikonját kapjad? Geometriai transzformációk: tükrözés, eltolás, nyújtás.

21 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK III. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek és lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek Mintapélda 0 Jancsi bankszámlát szeretne nyitni. Az egyik bank éves számlafenntartási díja 000 Ft, de havonta tranzakció (pénz felvétele, egyenleg lekérdezése, utalás stb.) ingyenes, minden további tranzakció 70 Ft-ba kerül. A másik banknál az éves számlafenntartási díj 00 Ft, de minden tranzakció 70 Ft. Melyik bankot érdemes választania, ha az első hónapban 5 tranzakció történik? Az első hónapban hány tranzakció esetén éri meg, hogy az első, illetve a második bankot válassza? Az első hónapban hány tranzakció esetén fizet ugyanannyit a bankoknak? Válaszaidat indokold! Megoldás: Értéktáblázat készítése: Egyik bank tranzakciók száma díj (Ft) Másik bank tranzakciók száma díj (Ft) Hozzárendelési szabályok: Grafikon készítése: Egyik bank: e ( ) = 000 ( ) Másik bank: m ( ) = ,, { ;}

22 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Szöveges válasz: Az első hónapban 5 tranzakció esetén a. bankot célszerű választani, mert itt csak 50 Ft-ot kell fizetnie, míg az első banknál 0 Ft-ot. Az első hónapban 5,6 tranzakció esetén kellene ugyanakkora díjat fizetnünk mindkét banknál. A tranzakciók száma csak természetes szám lehet, ezért 5 ill. annál kevesebb tranzakció esetén a. bankot érdemes választani, 6 vagy annál több tranzakció esetén pedig az elsőt. Útmutató a 5 8. feladatok megoldásához: Oldd meg a szöveges feladatokat! Töltsd ki az értéktáblázatokat, határozd meg minden feladatnál a két értéktáblázat értékpárjai közötti hozzárendelési utasítást! Ábrázold az ezek által meghatározott függvények grafikonjait közös koordináta-rendszerben! 5. Egy új autó Ft-ban kerül, de 6 évig garantáltan nem hibásodik meg, azaz a ráfordított költségek elhanyagolhatóak. Utána minden évben Ft-ot kell ráköltenünk. Egy 8 éves használt autó csak Ft, de az éves szerviz díja Ft. Hosszú távon melyiket érdemes megvenni? Melyik az a legkésőbbi időpont, amikor még megéri a használt autót fenntartani? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Új autó év költség Használt autó év költség

23 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 6. Mónika a munkahelyére villamossal és busszal egyaránt mehet. A villamos azonnal indul, a buszra még várni kell 8 percet. Ha villamossal megy, akkor a 4 km-es út 5 percbe telik, a busszal csak 7 perc. Melyikkel menjen, hogy minél hamarabb beérjen? Mennyi idő alatt tesz meg a busz, ill. a villamos km utat? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Villamos s(km) 0 0,5 4 5 t(min) Busz s(km) 0 0,5 4 5 t(min) 7. A soltvadkerti nyári táborba a csoport néhány tagja biciklivel megy, a többiek autóbusszal. A táv 00 km, a biciklisták 5 km/h óra sebességgel képesek haladni, és reggel 7 órakor indulnak az iskola elől. A busz 9-kor indul ugyanerről a helyről, de 80 km-t tesz meg óránként. Melyik csapat ér le hamarabb? Hány órával később ér le a másik? Hány km megtétele után és hány órakor éri utol az egyik a másikat? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Bicikli s(km) t(h; perc) Autóbusz s(km) t(h; perc)

24 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 8. Kati könyvtárba szeretne beiratkozni. Az egyik könyvtárban 500 Ft az éves tagsági díj, és minden kölcsönzés 50 Ft. A másik könyvtárban 00 Ft a tagsági díj, de a kölcsönzési díj 50 Ft. Ha egy éven keresztül havonta 8 könyvet szeretne kikölcsönözni, akkor melyik könyvtárba érdemes beiratkoznia? Egy évben hány könyvet kölcsönözzön ki, hogy ugyanannyit fizessen? Hány könyv kölcsönzése esetén érdemes az első, illetve a második könyvtárat választania? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Egyik könyvtár Könyv(db) Összeg(Ft) Másik könyvtár Könyv(db) Összeg(Ft). Lineáris egyenlőtlenségek Mintapélda Határozzuk meg a P( ; ) és Q( ; ), illetve az R(; ) és S(; ). koordinátáit úgy, hogy az így kapott pont az f() = hozzárendelési utasítással megadott függvények grafikonjai felett illetve alatt legyenek! Megoldás: Több megoldás van, az ábra mutat egy lehetőséget.

25 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 5 9. Határozd meg a pontok y koordinátáit úgy, hogy az így kapott pont az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonjai felett illetve alatt legyenek! Hozzárendelési utasítások: f () = 4 g () = + h () = + 4 i () = Pontok: P( ; ) Q(5; ) R( ; ) S(; ) T( 6; ) U(0; ) V(,5 ; ) Mintapélda Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenlőtlenségeket! a) + 6 b) + 6 > Megoldás: 8 a) b) > 8 Megjegyzés: A 0. feladat a) és c) példáihoz valamint a. és. feladatokhoz idézd fel az Összefüggések, képletek, grafikonok, tájékozódás a koordináta-rendszerben modulban szerzett ismereteidet. Ha a határvonal fekete, akkor az < illetve >, ha a határvonal színe megegyezik a kitöltési színnel, akkor az illetve relációs jelet jelent. 0. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenlőtlenségeket! Színezd ki a megoldási halmazt! a) y ; b) + 4 > 0,5, c) y < 5, d) 4.. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenlőtlenségeket! Színezd ki a megoldási halmazt! a) + 4 > ; b) + 5; c) 5 7 < 5 + ; d).

26 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenlőtlenségeket! Színezd ki a megoldási halmazt! a) y > ; b) y és < ; c) y < + és < < 5.. Jellemezd az adott ponthalmazokat! a) b)

27 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 7 Kisleikon Lineáris függvény: a konstans (nulladfokú) és az elsőfokú függvények összessége. Grafikonja egyenes. Lineáris függvény hozzárendelési utasítása (képlete): f () = m + b, ahol m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel vett metszéspont. koordinátája. (b = 0 esetén a grafikon átmegy az origón, m = 0 esetén konstans függvény, párhuzamos az tengellyel.) Lineáris függvény grafikonjának meredeksége: megmutatja, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet kell az y tengely mentén lépünk pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé. Lineáris függvény monotonitása: ha m > 0, akkor a függvény szigorúan monoton növő, vagyis növekvő értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. ha m < 0, akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő, vagyis növekvő értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Pont és egyenes illeszkedése: A P( 0 ;y 0 ) pont rajta van az f () = m + b hozzárendelési utasítással megadott lineáris függvény grafikonján, ha helyébe 0 -at; f () helyébe y 0 -at helyettesítve az egyenlőség teljesül. (Ha y 0 > m 0 + b, akkor a P pont az egyenes felett helyezkedik el. Ha y 0 < m 0 + b, akkor pedig alatta van) Egyenes arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó, akkor azok egyenesen arányosak. Az egyenes arányosságot az f () = m, m 0 lineáris függvény írja le, ahol m az arányossági tényező.

28

29 . MODUL abszolútérték- függvény Készítette: Csákvári Ágnes

30 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Az abszolútérték-függvény definíciója Pozitív szám abszolútértéke maga a szám, negatív szám abszolútértéke a szám ellentettje, ami pozitív szám. 0 =0 a, ha a 0 a = a, ha a < 0 Legyen tetszőleges valós szám. Ekkor az abszolútérték-függvény:, ha 0 f () = =, ha < 0 Ez szemléletesen azt mutatja meg, hogy a szám milyen messze van a 0-tól a számegyenesen. Az abszolútérték-függvény ( f () = ) tulajdonságai 5 0,5 5 4 f() 5 0, ,6. 0 0,6. 0,6,6. Monotonitás: Ha < 0, akkor növekvő értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Ezért az f () = függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökkenő. Ha 0, akkor növekvő értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. Így a függvény ezen a tartományon szigorúan monoton növekvő.. Zérushely: Az f() = függvénynek az = 0 pontban van zérushelye. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ebben a pontban van közös pontja az tengellyel.

31 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY. Szélsőérték: Az f () = függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az = 0-ban szélsőértéke, nevezetesen minimuma van. (Látható, hogy az f függvény negatív -ek esetén szigorúan monoton csökkenő, pozitív -ekre pedig szigorúan monoton növekvő.) Másképp: az f függvény az értelmezési tartományának = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét, ekkor f() = 0. A g () = függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen negatív. Ezért a g függvénynek az = 0-ban szélsőértéke, nevezetesen maimuma van. (Látható, hogy a g függvény negatív -ek esetén szigorúan monoton növekvő, pozitív -ekre pedig szigorúan monoton csökkenő.) Másképp: a g függvény az értelmezési tartományának = 0 helyén veszi fel a legnagyobb értékét, ekkor g ()=0. Megállapításainkat értéktáblázattal is alátámasztjuk: 5 0,5 5 4 g() 5 0, ,6. 0 0,6. 0,6,6 A h () = függvénynek az = 0-ban helyi (lokális) maimuma van, és mai- mumértéke h(0)=. Ez azt jelenti, hogy az értelmezési tartományának az = 0 hely egy környezetében van olyan valódi részhalmaza, amelyen a h függvény nem vesz fel -nál nagyobb értéket, de ez a teljes értelmezési tartományra természetesen nem feltétlenül igaz.

32 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE h() 0 0 Mintapélda Az f () = + 5 hozzárendelési szabály alapján töltsük ki az értéktáblázatot, illetve használjuk a tanult jelöléseket! Számítás előtt tippeljük meg az adott függvényértékhez tartozó helyek számát! 0 f() ; ; Megoldás: Függvényértékek számítása: f ( 0 ) = = 5 f ( ) = + 5 = + 5 = + 5 = f ( ) = + 5 = + 5 = + 5 = + = Adott függvényértékek esetén az értékek számítása: f () = 6 Tipp az helyek számára: = 6 = A tipp indoklása: a sohasem lehet pozitív, így a függvény 5 nél nagyobb értéket nem vehet fel.

33 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY = Ellentmondás, mert az abszolútérték-függvény értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. f () = 5 Tipp az helyek számára: + 5 = 5 = 0 = 0 = 0 f () = 0 Tipp az helyek számára: + 5 = 0 = 5 0 = = 0 = 0 = A többi függvényértékhez tartozó helye(ke)t is ugyanígy kell kiszámolni. Feladatok Az.,.,., feladatok megoldásánál figyelj arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, vagy helyen is felvehet. Számítás előtt próbáld megtippelni az adott függvényértékhez tartozó helyek számát! Számításodat grafikonon ellenőrizheted.. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a tanult jelöléseket! a) a () = 0 / a() 6 0 b) b () = b() 0 6 4

34 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE c) c () = 0 4 c() 0 4 d) d () = ,75 d() Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a tanult jelöléseket! a) a () = a ( 8 ) =?; a ( ) =?; a ( 4 ) =? =?, ha a () = 4; ; 0; ; 4 b) b () = + b ( 0,5 ) =?; b ( 0 ) =?; b ( 5 ) =? =?, ha b () = ; 0; ; ;. c) c () = + 4 c ( ) =?; c ( 0 ) =?; c (,4 ) =? =?, ha c () = 5; 4; ; 0; 0,5. d) d () = 4 5 d ( 8 ) =?; d ( ) =?; d ( ) =? =?, ha d () = 4; 0; ; 5; 6.

35 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 5. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a tanult jelöléseket! a) a () = a ( ) =?; a ( ) =?; a ( 0 ) =? =?, ha a () = 0; 6; 4; 0;. b) b () = + b ( 5 ) =?; b ( ) =?; b ( ) =? =?, ha b () = 4; ; 0; ; 5. c) c () = + c ( ) =?; c ( 0 ) =?; c ( 0, ) =? =?, ha c () = ; ; 4 ; 0; 0,5. d) d () = + + d ( ) =?; d ( 0 ) =?; d (,75 ) =? =?, ha d () = ; ; ; 0; 4.

36 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Az abszolútérték-függvény transzformálása Az abszolútérték-függvény transzformálása: y tengely menti eltolás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f () =, a g () = illetve a () = + hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. 5 4, 0 g(), 0 h() 7 6, g () =,, ha ha 0 < 0 h () = +, +, ha ha 0 < 0 Ha az f függvény értékeiből -at vonunk ki, akkor a g függvény megfelelő értékeit kapjuk meg, ha pedig -t adunk hozzá, akkor a h függvény megfelelő értéke lesz az eredmény. Ez a grafikonon az f () függvény grafikonjának eltolását eredményezi az y tengely mentén illetve + egységgel. Általánosságban: a g () = + a ( a 0 tól különböző, tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az f () = függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén a egységgel a < 0 esetén lefelé, a > 0 esetén felfelé.

37 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 7 Az abszolútérték-függvény transzformálása: tengely menti eltolás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f () =, a g () = + és a h () = hozzárendelési utasítással megadott függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. 5 4, 0 f() 5 4, 0 g() 4, , 0 4 f() 5 4, 0 4 h() 7 6, g () = h () = +, ha, ha, ha +, ha < < Az értéktáblázatból is látható, hogy a g függvény ugyanazokat az értékeit egységgel korábban veszi fel, mint az f függvény. Ez azt is jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az tengely mentén egységgel, másképp fogalmazva, negatív irányba egységgel. A h függvény ugyanazokat az értékeit egységgel később veszi fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját pedig az f függvény grafikonjának tengely menti egységgel, pozitív irányba történő eltolásával kapjuk meg.

38 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Általánosságban: a g () = + a ( a 0 tól különböző, tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az f () = függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az tengely mentén a egységgel a előjelével ellentétes irányba: a < 0 esetén pozitív, a > 0 esetén negatív irányba. Az abszolútérték-függvény transzformálása: y tengely menti zsugorítás/nyújtás. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonját! f () = ; g () = ; h () =. Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték definícióját! 0, g() 9 6 0,9 6 9,5 0 h(),5 0 g()=, ha, ha 0 < 0 h()=, ha, ha 0 < 0. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonját: f () = ; g () = ; h () =! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték definícióját!

39 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 9 0, 0, g() 9 6 0,9 6 9,5 0,5 0 h(),5 0, ha 0, ha 0 g()= h()=, ha < 0, ha < 0 Észrevehetjük, hogy. az és az függvények grafikonja és tulajdonságaik megegyeznek. az f függvény értékeit -mal szorozva, a g függvény értékeit, míg del szorozva, a h függvény értékeit kapjuk meg. A definíciót felhasználva láthatjuk, hogy a megfelelő lineáris függvény meredekségét változtatta meg ez a szorzótényező. Ezeknek a függvényeknek a grafikonját megkaphatjuk az abszolútérték definíciójából is két lineáris függvény ábrázolásával. Általánosságban: az f () = függvényből a g () = a függvényt úgy kapjuk, hogy minden függvényértéket a-szorosára változtatunk. Szemléletesen: ha az a szorzótényező 0 és között van, akkor az abszolútérték-függvény grafikonja szétnyílik, -nél nagyobb, akkor a grafikon meredekebb lesz, negatív, akkor a grafikon az tengelyre is tükröződik. Megjegyzés: Ezeknek a függvényeknek a grafikonját megkaphatjuk egyetlen lineáris függvényből is a következő módon: először a lineáris függvény grafikonját nyújtjuk vagy zsugorítjuk, majd az tengely alatti (ahol a függvény negatív értékeket vesz fel) részt tükrözzük az tengelyre. Ezek a transzformációk megjelennek a lineáris függvényeknél is.

40 40 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Válaszolj a következő kérdésekre!. Mit értünk egy szám abszolútértékén? Mit jelent szemléletesen?. Mi az abszolútérték-függvény definíciója?. A függvény legyen adott f () = + b hozzárendelési utasítással, ahol b egy tetszőleges valós szám. Ez a függvény mely y értékeket veszi fel 0, ill. helyen? 4. A függvény legyen adott f () = + b hozzárendelési utasítással, ahol b egy tetszőleges valós szám. Milyen b értékek esetén lesz a függvénynek 0, ill. zérushelye? 5. Mi a különbség az f () = + 5, illetve az f () = + 5 hozzárendelési utasítással megadott függvények grafikonja között? 6. Az f () = + függvénynek hol van szélsőértéke? Maimuma vagy minimuma van? Mekkora ez a függvényérték? 7. Hogyan változik az f () = + + függvény szélsőértéke a 6. feladatban található függvény szélsőértékéhez képest? 8. Az f () = c függvénynek milyen c értékek esetén van minimuma, illetve maimuma? 9. Hogyan változik az f () = függvény grafikonja, ha az t megszorozzuk egy ]0;[ intervallumbeli számmal? 0. Jellemezd az f () = c hozzárendelési utasítással megadott függvény monotonitását negatív, illetve pozitív c értékek esetén!

41 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 4 Mintapélda Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () =, [ 4;6 [ hozzárende- 4 lési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Értéktáblázattal: ,9 f() ,75 4,45 Transzformációs lépések:. h () =. g () = 4. f () = 4 Definíció szerint: f () = 4 4, ha, ha 0 < 0 Jellemzés: É.T.: 4 < 6, ahol valós. É.K.: 4,5 < f () 0. Zérushely: = 0. Monotonitás: 4 < 0 intervallumon szigorúan monoton növekvő. 0 <6 intervallumon szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: = 0 helyen maimuma van. A maimum értéke: f ( 0 ) = 0.

42 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Értéktáblázattal: f() Transzformációs lépések:. h () =. g () =. f () = Definíció szerint: f () =, ha, ha 0 < 0 Jellemzés: É.T.: R. É.K.: f (). Zérushely: nincs. Monotonitás: 0 esetén szigorúan monoton növekvő. 0 < esetén szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: = 0 helyen maimuma van. A maimum értéke: f ( 0 ) =.

43 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 4 Mintapélda 4 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = 6 + hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Értéktáblázattal: f() Transzformációs lépések:. h () =. g () = 6. f () = 6 + Definíció szerint: 6 + = 5 f () = = + 7, ha, ha 6 < 6 Jellemzés: É.T.: R. É.K.: f (). Zérushely: nincs. Monotonitás: < 6 esetén szigorúan monoton csökkenő. 6 esetén szigorúan monoton növekvő. Szélsőérték: = 6 helyen minimuma van. A minimum értéke: f ( 6 ) =.

44 44 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 5 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = + hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Transzformációs lépések:. l () =. h () = +. g () = + 4. f () = + Definíció szerint:, ha f () = +, ha < Jellemzés: É.T.: R. É.K.: f () 0. Zérushely: = 0. Monotonitás: < esetén szigorúan monoton növekvő. esetén szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: = helyen maimuma van. A maimum értéke: f ( ) = 0.

45 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 45 Mintapélda 6 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = + 8, [ ; 5 [ hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Transzformációs lépések:. l () =. h () =. g () = 4. f () = + 8 Definíció szerint: 9 5 ( ) + 8 = = + f () = 9 7 ( ) + 8 = + 8 = + Jellemzés: É.T.: [ ; 5 [, ahol valós. É.K.: f () 8., ha, ha < 5 < Zérushely: nincs. Monotonitás: < 5 intervallumon szigorúan monoton csökkenő. < intervallumon szigorúan monoton növekvő. Szélsőérték: = helyen maimuma van. A maimum értéke: f ( ) = 8. = helyen minimuma van. A minimum értéke: f ( ) =.

46 46 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 7 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Jellemzés: É.T.: R. Transzformációs lépések:. l () =. h () = + 5. g () = f () = Definíció szerint: +, ha, ha f ()= + 9, ha 9, ha É.K.: 0 f (). Zérushely: = 9 és = helyeken. Monotonitás: 5 < 9 < 5 < 9 esetén szigorúan monoton növekvő. 5 < intervallumon szigorúan monoton csökkenő. 9 < 5 intervallumon szigorúan monoton növekvő < 9 esetén szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: = 9 és = helyeken minimuma van. A minimum értéke: f ( 9 ) = f ( ) = 0. = 5 helyen lokális maimuma van. A maimum értéke: f ( 5 ) = 4.

47 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 47 Mintapélda 8 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = + 5, [ 5;0[ hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Definíció szerint: g () = = +, ha, ha < h () = 5 = 5 + 5, ha, ha 5 < 5 Két függvény összege szerepel. Az egyik grafikonjának csúcspontja -nál, a másiké 5-nél van, ezért a számegyenest részre tagoljuk, és eszerint vizsgáljuk a függvényt. Összegezve: f () = 8 + 8, ha, ha, ha 5 < 0 < 5 5 <

48 48 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Jellemzés: É.T: [ 5; 0 [. É.K: f () 8. Zérushely: nincs. Monotonitás: 5 < 0 intervallumon szigorúan monoton növekvő. < 5 intervallumon állandó (konstans) értéket vesz fel. 5 < intervallumon szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: < 5 intervallumon minimuma van. A minimum értéke: f () =. = 5 helyen maimuma van. A maimum értéke: f ( 5 ) = Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f () = + 5, 8 ; b) f () = 7 ; c) f () = + ; d) f () = 4, 6 4; e) f () = ; f) f () = 5 4, [ 4; 8 [; g) f () =, ] 6; ]; h) f () = ; i) f () = ; j) f () = + 4, 5 < < ; k) f () = ; l) f () = ; m) f () = Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f () = 4, < < 7; b) f () = + ; c) f () = + 4; d) f () = +, [ 6;4]; e) f () = +, < 5; f) f () = ; 4 g) f () = 5, < < 4; 4 h) f () = + 0; i) f () = + ; j) f () = 4, ] ; 5 ]; k) f () = ; l) f () = + +.

49 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. 5 a) f () = + 4 ; b) f () = 5 + 8, [ ; 8 [; c) f () = ; d) f () = + 5 +, [ 8; ]; e) f () = + 4, [ 0;0[; 4 f) f () = , [ ; 7 ]; g) f () = 5 ; h) f () =, ] 5; 6 ]; i) f () = ; j) f () = +, 5 < Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f ( ) = 5 + ; b) f () = + ; c) f () = ; [ 6; 4 ]; d) f ( ) = + + ; ] 8; [; e) f () = + 6 ; [ 5; 0 [; f) f () = + ; g) f () = + 4 ; h) f () = Rajzold be az ábrákba a grafikon és a hozzárendelési utasítás alapján a koordinátarendszer tengelyeit! a) f () = b) f () =

50 50 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE c) f () = + 5 d) f () = + 8 e) f () = 4 f) f () = g) f () = + 6 h) f () = 4 i) f () = + j) f () = + + 4

51 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 5 Mintapélda 9 Állítsuk sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy az m () = hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az alapfüggvény grafikonjából! Megoldás: Egyik lehetőség: Másik lehetőség:. tengely menti eltolás. tengelyre történő tükrözés. tengelyre történő tükrözés. tengely menti eltolás. y tengely menti eltolás. y tengely menti eltolás 0. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következő hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk: tengely menti eltolás y tengely menti eltolás tengelyre tükrözés y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a () = + ; b () = + ; c () = ; d () = ; e () = ; f () = + + ; g () = ; h () = + 4. Mintapélda 0 Állítsuk sorrendbe az előbbi geometriai transzformációkat úgy, hogy az m () = + 6 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az alapfüggvény grafikonjából! Megoldás: Első lehetőség: (ez a sorrend általános érvényű). tengely menti eltolás. tengelyre történő tükrözés

52 5 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. y tengely menti zsugorítás, nyújtás (Megjegyzés: a sablon használata miatt célszerű előbb tükrözni, s csak utána zsugorítani vagy nyújtani) 4. y tengely menti eltolás Többi lehetőség: az első három transzformáció sorrendje tetszőlegesen felcserélhető. Ez további 5 lehetséges sorrendet eredményez. ( =! = 5 ). Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következő hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk: tengely menti eltolás y tengely menti eltolás tengelyre tükrözés y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a) a () = + ; b) b () = ; c) c () = + ; 4 d) d () = + 4 ; e) e () = + ; f) f () = +.

53 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 5 III. Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Mintapélda Oldjuk meg grafikusan a + 5 = egyenlőséget! Megoldás: A keresett értékek: = 8, illetve =. Behelyettesítéssel ellenőrizzük! Mintapélda Oldjuk meg grafikusan a + 5 egyenlőtlenséget! Megoldás: A keresett intervallum: 8. Behelyettesítéssel ellenőrizzük! Mintapélda Oldjuk meg grafikusan a + 5 > egyenlőtlenséget! Megoldás: A keresett intervallumok: < 8 vagy >. Behelyettesítéssel ellenőrizzük!. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket! a) ; b) + > 4; c) + 4 < 5; d) ; e) =.

54 54 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kisleikon Pozitív szám abszolútértéke maga a szám, negatív szám abszolútértéke a szám ellentettje, ami pozitív szám. 0 =0. a, ha a 0 a = a, ha a < 0 Legyen tetszőleges valós szám. Ekkor az abszolútérték-függvény:, ha 0 f () = =, ha < 0 Tulajdonságai:. Monotonitás Ha < 0, akkor növekvő értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Ezért az f () = függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökkenő. Ha 0, akkor növekvő értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. Így a függvényt ezen a tartományon szigorúan monoton növekvőnek nevezzük.. Zérushely: Az f () = függvénynek az = 0 pontban van zérushelye. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ebben a pontban van közös pontja az tengellyel.. Szélsőérték: Az f () = függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az = 0-ban szélsőértéke, nevezetesen minimuma van. (Látható, hogy az f függvény negatív -ek esetén szigorúan monoton csökkenő, pozitív -ekre pedig szigorúan monoton növekvő.) Másképp: az f függvény az értelmezési tartományának = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét, ekkor f () = 0

55 . MODUL másodfokú függvények Készítette: Csákvári Ágnes

56 56 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A másodfokú alapfüggvény definíciója, grafikonja és tulajdonságai A másodfokú alapfüggvény Minden valós számhoz rendeljük hozzá a négyzetét! Ekkor a hozzárendelési utasítás f () = alakban írható fel. Adjunk meg táblázatban néhány értéket : 6 0,5 5 4 f () 56 0, ,6 0 0, , 4 9 7,69 Mivel minden szám négyzete nemnegatív, ezért az f () = függvény értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. Ha koordináta-rendszerben ábrázoljuk az összes olyan értékpárt, amelynek első tagja egy tetszőleges valós szám, második tagja pedig annak négyzete, a következő görbét kapjuk: Ennek a görbének a neve parabola. Az ábrán látható, hogy a másodfokú függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre, hiszen = ( ). A parabola szimmetriatengelyén lévő pontját tengelypontnak nevezzük. Másodfokú hozzárendelési utasítással találkozhatunk az a oldalú négyzet területének, ill. az a oldalú kocka felszínének kiszámításakor, de a fizikában is találkozunk vele a szabadesés és az egyenletesen gyorsuló test mozgását leíró út idő kapcsolatnál.

57 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 57 A másodfokú alapfüggvény tulajdonságai. Monotonitás Ha 0, akkor növekvő értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Ezért a függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökkenő. Ha 0, akkor növekvő értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. Így a függvényt ezen a tartományon szigorúan monoton növekvőnek nevezzük.. Zérushely Az értelmezési tartománynak azon eleme, ahol a függvényérték 0. Az f () = függvénynek az = 0 pontban zérushelye van. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ezen a helyen közös pontja van az tengellyel.. Szélsőérték Az f () = függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az = 0-ban szélsőértéke, nevezetesen minimuma van. Másképpen: az f függvény az értelmezési tartományának = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét. Tekintsük a g () = függvényt! Adjunk meg táblázatban néhány értéket, és ezek segítségével ábrázoljuk a függvényt! 6 0,5 5 4 g () 56 0, ,6 0 0, , 4 9 7,69

58 58 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A g függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen negatív. Ezért a g függvénynek az = 0 helyen szélsőértéke, nevezetesen maimuma van. A g függvény nempozitív -ek esetén szigorúan monoton növekvő, nemnegatív -ekre pedig szigorúan monoton csökkenő. Másképpen: a g függvény az értelmezési tartományának = 0 pontjában veszi fel a legnagyobb értékét. Mintapélda Az f () = ( ) + hozzárendelési utasítás alapján töltsük ki az értéktáblázatot, illetve használjuk a tanult jelöléseket! Figyeljünk arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, vagy helyen is felvehet. Számítás előtt tippeljük meg az adott függvényértékhez tartozó helyek számát! a) 0 4,5 6 f () b) f () 4,5 6 Megoldás: a) Függvényértékek kiszámítása: f ( 0 ) = ( 0 ) + = ( ) + = 9 + = f ( 4,5 ) = ( 4,5 ) + = (,5 ) + =,5 + = 4,5 A többi függvényértéket is ehhez hasonlóan kell kiszámítani. Az eredmény: 0 4,5 6 f () 8 4,5

59 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 59 b) értékek kiszámítása: f () = Tipp az helyek számára: 0 Gondolkozzunk! Az ( ) előjele pozitív, ezért a függvény grafikonja felfelé nyílik. Ez mutatja, hogy minimuma van. Az utána következő + miatt ez a minimumérték +, tehát ennél kisebb értéket nem vehet fel. Így f () = függvényértéket egyetlen helyen fogja felvenni, a többit két helyen. ( ) + = ( ) = Ellentmondás, mert egy szám négyzete 0 vagy pozitív. f () = ( ) + = ( ) = 0 = 0 = A fenti tipp ellenőrzése f () = A fenti tipp ellenőrzése ( ) + = ( ) = = = = 4 = A további értékeket is ehhez hasonlóan lehet kiszámítani. Az eredmény: 0,5; 4,5 4; 5; f () 4,5 6

60 60 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok A. és a. feladatban figyelj arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, vagy helyen is felvehet. Számítás előtt tippeld meg az adott függvényértékhez tartozó helyek számát! Számításodat grafikonon ellenőrizheted.. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve a tanult jelöléseket használva számítsd ki a függvényértékeket a megadott helyeken! a) a () = a() b) b () = ( 4 ) ,5 6 b() c) c () = 8 c ( ) =?; c ( ) =?; c ( ) =?; c ( ) =?; c ( ) =? d) d () = 4 d ( ) =?; d ( 0 ) =?; d ( ) =?; d ( ) =?; d ( 4 ) =? e) e () = + 4 e ( ) =?; e ( 0 ) =? ; e (,4) =? f) f () = ( + ) f ( ) =?; f ( 0 ) =?; f (0,) =? g) g () = ( + ) g ( 6) =?; g ( 5 ) =?; g ( ) =?; g ( 0 ) =?; g ( ) =? h) h () = ( + ) h ( 6) =?; h ( 5) =?; h ( ) =?; h ( 0 ) =?; h ( ) =?

61 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 6 i) k () = ( 4) 5 k ( 8) =?; k ( ) =?; k ( ) =? j) l () = ( + ) + l ( ) =?; l ( 0 ) =?; l (,75 ) =?. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve a tanult jelöléseket használva számítsd ki a függvényértékekhez tartozó helyeket! a) a () = + a () b) b () = ( 4) + b () 4,5 6 c) c () = 8 =?, ha c () = 0; 0; 8; 4,5; 9. d) d () = 4 =?, ha d () = 0; 4; ; e) e () = + 4 ;. 6 =?, ha e () = 5; 4; ; 0; 0,5. f) f () = ( + ) =?, ha f () = 5; ; 0; ;. g) g ( ) = ( + ) 4 =?, ha g () = ; ; ; 0; 0,5. h) h () = ( + ) =?, ha h () = ; 0; ; ; 9 5.

62 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE i) k () = ( 4) 5 =?, ha k ( ) = 4; 0; ; 5; 6. j) l () = ( + ) + =?, ha l () = ; ; ; 0; 4.. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot! a) f () = ( ) 0 4 f () 0 4 b) g () = ( ) ,75 g () Egy 4 m széles, m magas kamion szeretne áthajtani az alagúton, mégpedig az autóút közepén haladva. Az alagút formája követi az f () = + 4 másodfokú függvény grafikonját, ha az egység mindkét koordinátatengelyen méter. Át tud-e menni a kamion az alagúton? 5. Egy 0 m magas árbocú vitorlás megkísérelné az átkelést a 8 m széles folyón átívelő híd alatt. A vitorlás szélessége m. A híd íve követi az f () = + másodfokú függvény grafikonját, ha az egység mindkét koordinátatengelyen méter. Át tud-e úszni a vitorlás a híd alatt a folyó közepén? Át tud e kelni a folyó partjától 0 m-re? (A vitorlás árboca 0 m-re van a parttól.) 6. A Lucullus tengerjáró hajó át szeretne kelni a Seholsincs-szoroson. A hajó 7 méterre süllyed a tenger szintje alá. A szélessége pedig 0 m a tengerszinten. Át tud-e kelni a hajó a szoroson, ha a tengerszoros medrének íve követi az f () = 8 függvény grafikonját, és az egység mindkét koordinátatengelyen méter?

63 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 6 7. Peti elhajítja a labdáját. A labda mozgásának íve az f () = + másodfokú 4 függvény grafikonját követi, és az egység mindkét koordinátatengelyen méter. Peti 80 cm magas, és a fejével egy magasságból indítja a labdát, vagyis,8 méter magasságból. Hány métert repül előre a labda, amikor ismét olyan magasságba kerül, ahonnét elindult? 8. Egy műugró bajnok 0 m magasból ugrik a vízbe. Hány másodperce van a gyakorlata végrehajtására, mielőtt beleesne a vízbe? (s = (g/) t, ahol g = 9,8 m/s ) 9.Egy ember vitorlázórepülővel szeretne leereszkedni a domb tetejéről a völgybe. Milyen magas (km-ben megadva) a domb, ha a domb oldala és a völgy az f () = ( 5) függvény grafikonját követi, és az egység mindkét koordinátatengelyen kilométer? A domb tetőpontjának talppontja (tetőpont tengelyre való vetülete) és a völgy aljának a távolsága 0,5 km. 0. Hányszorosára változik a négyzet területe, ha az oldalait másfélszeresére növeljük? Készíts értéktáblázatot, illetve grafikont a változás mértéke és a terület kapcsolatáról!

64 64 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A másodfokú alapfüggvény transzformációi. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve értéktáblázattal az f () =, a g () =, illetve h () = + függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot. Összehasonlítjuk a megfelelő függvényértékeket: g () 6 6 h () Ha az f függvény értékeiből -at vonunk ki, akkor a g függvény értékeit kapjuk meg, ha pedig - t adunk hozzá, akkor a h függvény lesz az eredmény. Ez egyben a grafikon y tengely menti eltolását is jelenti, illetve + egységgel. Általánosságban: a g () = + v ( v 0 tól különböző, tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az f () = függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén v egységgel v < 0 esetén lefelé, v > 0 esetén felfelé.. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f () =, a g () = ( + ), illetve a h () = ( ) függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot.

65 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 65 Összehasonlítjuk a megfelelő függvényértékeket: f () g () f () h () Az értéktáblázatból látható, hogy a g függvény az értékeit egységgel korábban veszi fel, mint az f függvény. Ez azt jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az tengely mentén egységgel, másképp fogalmazva, negatív irányba egységgel. A h függvény az értékeit egységgel később veszi fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját pedig az f függvény grafikonjának tengely menti egységgel, pozitív irányba történő eltolásával kapjuk meg. Általánosságban: a g () = ( + u) ( u 0 tól különböző tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az f () = függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az tengely mentén u egységgel u előjelével ellentétes irányba: u < 0 esetén pozitív, u > 0 esetén negatív irányba.

66 66 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait! f () = ; g () = ; h () = 4. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait! f () = ( ) ; g () = ( ) ; h ( ) = ( ) Észrevehetjük, hogy. az f () = és a f () = ( ) függvények grafikonjai és tulajdonságaik megegyeznek, hiszen = ( ).. az f függvény értékeit -mal szorozva a g függvény megfelelő értékeit, míg -del szorozva a h függvény megfelelő értékeit kapjuk meg.. Általánosságban: a függvény az f () = a hozzárendelési utasítással adható meg, ahol a 0 valós számot jelöl. Szemléletesen: ha az a szorzótényező 0 és között van, akkor a másodfokú függvény grafikonja szétnyílik; nél nagyobb, akkor a grafikon szűkül; negatív, akkor a grafikont az tengelyre tükröznünk is kell.

67 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 67. Az alábbi csoportokban állítást olvashatsz ugyanarról a tulajdonságról vagy transzformációról. Döntsd el, melyik közülük a hamis! Válaszodat indokold! a) Tekintsük az f () = függvényt!. Az f függvény grafikonját a lineáris függvény grafikonjából, az tengely alatti részének az tengelyre történő tükrözésével kapjuk.. Az f függvény grafikonját parabolának hívjuk.. Az f függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. b) Tekintsük az f () = + hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvényt!.. Az f függvény a értéket pontosan egy helyen, mégpedig az = 0 ban veszi fel.. Az f függvény sohasem vehet fel negatív függvényértéket.. Az f függvény a értéket pontosan helyen veszi fel. c) Tekintsük az f () = + b hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvényt!.. Az f függvénynek pozitív b esetén nincs közös pontja az tengellyel.. Az f függvénynek pozitív b esetén pontosan egy közös pontja van az tengellyel.. Az f függvény negatív b esetén pontosan két közös pontja van az tengellyel. d) Tekintsük az f () =, a g () = ( + 5), illetve a h () = + 5 hozzárendelési utasítással megadott függvényeket!. Az g függvényt az f ből annak tengely menti +5 tel való eltolásával kapjuk.. A h függvényt az f ből annak y tengely menti, +5 tel való eltolásával kapjuk.. Az g függvényt az f ből annak tengely menti, 5 tel való eltolásával kapjuk. e) Tekintsük az f () = ( ) + hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvényt!. Az f függvénynek a helyen van szélsőértéke. Az ebben a pontban felvett függvényérték.. Az f függvénynek a P ( ; ) pontban minimuma van.. Az f függvénynek a P ( ; ) pontban maimuma van. f) Tekintsük az f () = a hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvényt! Az f függvénynek negatív a értékek esetén minimuma van. Az f függvénynek negatív a értékek esetén maimuma van. Az f függvénynek pozitív a értékek esetén minimuma van.

68 68 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = ( + ) hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: A transzformáció lépései:. h () = alapfüggvény ábrázolása. g () = ( + ) h eltolása az tengely mentén balra, egységgel.. f () = ( + ) g tükrözése az tengelyre. Értéktáblázattal: f () Jellemzés: É.T.: R. É.K.: f () R {0} (vagy: a nempozitív számok halmaza). Zérushely: = helyen. Monotonitás: 0 esetén szigorúan monoton növekvő. 0 esetén szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: = helyen maimuma van. A maimumérték: f ( ) = 0.

69 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 69 Mintapélda Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = megadott függvényt! hozzárendelési utasítással Megoldás: A transzformáció lépései:. g () = alapfüggvény ábrázolása. f () = g minden függvényérté- kének - szorosára változtatása (y tengely menti zsugorítás) Értéktáblázattal: f () 0 Jellemzés: É.T.: R. É.K.: f () R: f ( ) 0 (vagy f () [ 0; + [ ). Zérushely: = 0 helyen. Monotonitás: 0 esetén szigorúan monoton csökkenő. 0 < esetén szigorúan monoton növekvő. Szélsőérték: = 0 helyen minimuma van. A minimumérték: f ( 0 ) = 0.

70 70 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 4 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = ( + ) 6 hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: A transzformáció lépései:. h ( ) = alapfüggvény ábrázolása. g () = ( + ) h függvény grafikonjának tengely menti eltolása negatív irányba egységgel.. f () = ( + ) 6 g függvény grafikonjának y tengely menti eltolása negatív irányba 6 egységgel Értéktáblázattal: f () Jellemzés: É.T.: R. É.K.: f () R: f () 6. Zérushely: = 6, illetve = 6 helyen. Monotonitás: esetén szigorúan monoton csökkenő. esetén szigorúan monoton növekvő. Szélsőérték: = helyen minimuma van. A minimumérték: f ( ) = 6.

71 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 7 Mintapélda 5 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = utasítással megadott függvényt! + hozzárendelési Megoldás: A transzformáció lépései:. l () = alapfüggvény ábrázolása /a. h () = minden függvényértéket szeresére változtatunk. (y tengely menti nyújtás) vagy /b. h () = tengelyre tükrözés. g () = a. lépéstől függően a h függvény grafikonját vagy tükrözzük az tengelyre, vagy szeresére nyújtjuk. 4. f () = + g függvény grafikonjának eltolása az y tengely mentén pozitív irányba egységgel. Értéktáblázattal: f () 4 4 Jellemzés: É.T.: R. É.K.: f () R: f ( ). Zérushely: = illetve = helyen. Monotonitás: 0 esetén szigorúan monoton növekvő. 0 esetén szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: = 0 helyen maimuma van. A maimumérték: f ( 0 ) =.

72 7 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 6 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f () = ( 6) 8 + hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: A transzformáció lépései:. l () = alapfüggvény ábrázolása. h () = ( 6) l függvény grafikonjának eltolása tengely mentén pozitív irányba 6 egységgel.. g () = ( 6) h függvény grafikon- jának -szeresére változtatása, majd tükrözése az tengelyre. 4. f () = ( 6) 8 + g függvény grafikonjának eltolása az tengely mentén 8 egységgel felfelé Jellemzés: É.T.: R. É.K.: f () R: f ( ) 8. Zérushely: =, illetve = 0 helyen. Monotonitás: 6 esetén szigorúan monoton növekvő. 6 esetén szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: = 6 helyen maimuma van. A maimumérték: f ( 6 ) = 8.. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz használhatsz értéktáblázatot is. a) f () = + ; b) f () = ; c) f () = ; d) f () = ( + ) ; e) f () = + 7; f) f () = ( + 5) ; g) f () = ( ) ; h) f () = ; i) f () = ; j) f () = 4.

73 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 7. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz használhatsz értéktáblázatot is. a) f () = ( + ) + ; b) f () = 4 ( 5) ; c) f () = ( + ) 5; g) f () = ( ) 6; h) f () = ( + 6 ) ; i) f () = ( ) Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz használhatsz értéktáblázatot is. a) f () = ( + ) + ; b) f () = 4 ( 5) + ; c) f () = ( + ) 6; d) f () = ( 4) ; e) f () = ( + ) ; f) f () = ( ) 0 + ; g) f () = 4 ; h) f () = 4 ; i) f () = + 6. Mintapélda 7 Állítsuk sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy az g () = ( 0) + 7 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az alapfüggvény grafikonjából! Megoldás: Egyik lehetőség: Másik lehetőség:. tengely menti eltolás. tengelyre történő tükrözés. tengelyre történő tükrözés. tengely menti eltolás. y tengely menti eltolás. y tengely menti eltolás Megjegyzés: Az első lehetőség egy általános érvényű sorrend. Ha a behelyettesítési lépések sorrendjét követjük a megfelelő geometriai transzformációban, akkor biztosan jó az eljárás.

74 74 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 5. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következő hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk: tengely menti eltolás y tengely menti eltolás tengelyre tükrözés y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a () = 5; b () = ( 5) ; c () = + ; d () = ; e () = + 6; f () = ( + 6). Mintapélda 8 Állítsuk sorba az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a g() = ( + ) 6 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az alapfüggvény grafikonjából! Megoldás: Első lehetőség: (ez a sorrend általános érvényű). tengely menti eltolás. tengelyre történő tükrözés. y tengely menti zsugorítás, nyújtás (Megjegyzés: a sablon használata miatt célszerű előbb tükrözni, s csak utána zsugorítani vagy nyújtani.) 4. y tengely menti eltolás Többi lehetőség: az első három transzformáció sorrendje tetszőlegesen felcserélhető. Ez további 5 lehetséges sorrendet eredményez. ( =! = 5 )

75 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következő hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk: tengely menti eltolás y tengely menti eltolás tengelyre tükrözés y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a () = ( + 4) + 7; b () = ( ) 6; c () = ; d () = ( 4) ; e () = ( ) + ; f () = 4 ( + ) 8. 4

76 76 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Mintapélda 9 Oldjuk meg grafikusan a + = 6 egyenlőséget! Megoldás: A megoldások a grafikonról leolvashatók: = ; =. Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a megoldást. Mintapélda 0 Oldjuk meg grafikusan az 6 egyenlőtlenséget! Megoldás: A keresett intervallumok: vagy.

77 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 77 Mintapélda Oldjuk meg grafikusan a + > 6 egyenlőtlenséget! Megoldás: A keresett intervallum: < <. 7. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket! a) < ; b) + 6 ; c) ( + 5) = ; d) ( ) < 4; e).

78 78 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kisleikon A másodfokú alapfüggvény: Minden valós számhoz rendeljük hozzá a négyzetét! Ekkor a hozzárendelési utasítás f () = alakban írható fel. Ha koordináta-rendszerben ábrázoljuk az összes olyan értékpárt, amelynek első tagja egy tetszőleges valós szám, második tagja pedig annak négyzete, parabolát kapunk. Tengelypont: A parabola szimmetriatengelyén levő pontja. Az alapfüggvény transzformációi: Eltolás az y tengely mentén : f () = + a, ahol a valós szám. Eltolás az tengely mentén : f () = ( + b), ahol b valós szám. Zsugorítás / Nyújtás : f () = c, ahol c nem nulla, valós szám.

79 4. MODUL vektorok Készítette: Vidra Gábor

80 80 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Vektor fogalma, tulajdonságai Vektor: irányított szakasz, vagy azzal jellemezhető mennyiség. A vektorokat írásban aláhúzással (a), nyomtatásban megvastagítva (a) jelöljük. A vektor meghatározása után áttekintjük a vektorok tulajdonságait. Vektor abszolútértéke: A vektorok kezdőpontjukkal és végpontjukkal kijelölnek egy irányt és egy távolságot. A távolságot a vektor hosszának vagy abszolútértékének nevezzük (jele a ), és mindig valamilyen hosszúságegységhez viszonyítjuk. Mintapélda Számítsuk ki az ábrán szereplő vektorok abszolútértékét! Megoldás: A koordináta-rendszer derékszögű négyzetrácsa és a Pitagorasz-tétel segítségével végezzük a számítást: + 6 = 7, azaz a = 7 6, egység. Hasonlóan számítva b = 50 7, egység. Vektor állása, iránya Ha két vektor egyenese párhuzamos, akkor megegyező állásúnak mondjuk őket. Ezek az egyállású vektorok lehetnek azonos vagy ellentett irányúak, irányításúak.

81 4. modul: VEKTOROK 8 Vektorok egyenlősége: Két vektor egyenlő, ha hosszuk és irányuk megegyezik. A vektorok egyenlősége és azonossága különböző fogalmak. Két vektor azonos, ha kezdőpontjaik és végpontjaik páronként megegyeznek, jelölés: a b. Egy adott vektorral azonos vektor a síkon vagy a térben ugyanott helyezkedik el. Ezzel szemben egy adott vektorral egyenlő vektort a sík vagy tér bármely pontjából felmérhetünk, így egy adott vektorral egyenlő vektorból végtelen sok van. Egységvektor (e): egységnyi hosszúságú vektor. Nullvektor (0): 0 hosszúságú vektor. Definíciója: olyan vektor, amelynek megegyezik a kezdőpontja és a végpontja. Irányát tetszőlegesnek tekintjük. Az a vektor ellentettjének nevezzük azt a vektort, amelyik vele egyenlő abszolútértékű, egyező állású, de vele ellentétes irányú. Jelölése: a. Feladatok. Keress egyenlő, ellentett és azonos vektorokat a kockán és a szabályos hatszögön!

82 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Keress egyenlő, egyenlő hosszúságú, illetve ellentett vektorokat az ábrán!

83 4. modul: VEKTOROK 8 II. Vektorműveletek Vektorok összeadása Toljuk el az ABC háromszöget előbb az a, majd a b vektorral! a b a+b A két eltolás egymásutánját helyettesíthetjük egyetlen eltolással is. Ennek vektorát a két vektor összegének nevezzük. Két vektor összegét kétféle módszer szerint szerkeszthetjük meg:

84 84 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE a) háromszög módszer: az a végpontjából mérjük fel a b vektort; ekkor az a + b vektor az a kezdőpontjából a b végpontjába mutat. b) paralelogramma módszer: az a és b vektorokat közös kezdőpontból mérjük fel, kiegészítjük paralelogrammává; ekkor az a + b vektor a paralelogramma közös kezdőpontból kiinduló átló vektora. Több vektor összeadásánál használható a láncszabály: Egy a vektor és a nullvektor összege az a vektorral egyenlő: a + 0 = a.

85 4. modul: VEKTOROK 85 Mintapélda A vektorok összeadásának milyen (műveleti) tulajdonságait tudod leolvasni a következő ábrákról? Megoldás: kommutativitás: a + b = b + a, asszociativitás: a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c ). A vektorok összeadását használjuk például vektor összetevőkre bontásakor a fizikában. A szánkót húzó személy a kötélen keresztül F erőt gyakorol a szánkóra. Ennek az erőnek a vízszintes komponense (F v ) a gyorsításra fordítódik, függőleges komponense (F F ) a test talajra ható nyomóerejét csökkenti. F felbontható erre a két komponensre! Vektorok kivonása

86 86 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Laci Párizsból Budapestre repül, Berlin érintésével. Útjának vektorait bejelöltük. Felírhatjuk, hogy a = b + c. Ha a c vektort akarjuk kifejezni a és b segítségével, vagyis az összeg és az egyik összeadandó segítségével írjuk fel a másik összeadandót, akkor a két vektor különbségét képezzük: c = a b. Az a és b vektorok különbségét úgy képezzük, hogy közös kezdőpontból mérjük fel őket. A végpontjaikat összekötő, a végpontja felé mutató vektor az a b vektor. Az a b vektort úgy is megszerkeszthetjük, hogy az a vektorhoz hozzáadjuk b ellentett vektorát ( b vektort). A vektorok kivonására nem teljesül sem a kommutativitás, sem az asszociativitás. Vektor szorzása számmal Az ábrán az a, b és c vektorok között összefüggések állapíthatók meg. Az ellenetett vektor definíciójánál láttuk, hogy b = a. c és b vektorok között a számmal való szorzás teremt kapcsolatot: c vektor két b összeadásával keletkezett, így is írhatjuk: c = b. Az ellentett vektor helyett szorzással a b = a összefüggést is felírhatjuk. Így tehát c = ( a) = a További példák vektorok szorzására:

87 4. modul: VEKTOROK 87 Az a vektor k-szorosa (k R, vagyis k egy valós szám) az a vektor, amelynek hossza k a, iránya pedig k > 0 esetén a irányával megegyező, k < 0 esetén a irányával ellentétes. k = 0 esetén nullvektort kapunk. Ha 0-val szorzunk egy vektort, nullvektort kapunk. -nél nagyobb abszolútértékű számmal megszorozva a vektor hossza növekszik (nyújtás), 0 és közé eső abszolútértékű számmal megszorozva csökken (összenyomás). A csupán szorzótényezőjükben különböző vektorokat egyneműeknek tekintjük, így azok öszszevonhatók: a + a = a. Feladatok. Mi az összefüggés a b és b a között? 4. Adj meg három vektort, és rajzold fel a b c, (a b ) c és a (b c) vektorokat! Segítségükkel igazold, hogy a vektorok kivonására nem teljesül az asszociativitás (felcserélhetőség)! 5. Vegyél fel egy tetszőleges a vektort, és szerkeszd meg a következő vektorokat! a) a + a b) a a c) a a d) 5 a a a e) + a f) a a g) a + a h) a + a 6. Adott az ábra szerint az a, b és c vektor. Szerkeszd meg a következő vektorokat! a) a + b b) a b c) b c d) a e) ( a + b) b f) b + c a b + c

88 88 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 7. Add meg a vektorműveletek eredményét (összevonás után): a + b a b a) a + b b) a + b c) a + b a b + b(a b) d) a + ( a b) b b a b e) a Adott egy szabályos hatszög egy csúcsából kiinduló a és b vektor. Írd fel ezek segítségével a következő vektorokat: a) AG ; b) AD ; c) BE ; d) FB ; e) CE ; f) BD ; g) DF ; 9. A paralelogramma oldalvektorainak (a és b ) segítségével írd fel a következő vektorokat, ha a = A D, b = AB! a) AH ; b) AG ; c) EB ; d) BH. Melyik vektort adja meg: e) a b; f) a b; g) a b? 0. Adott egy két négyzetből álló téglalap, és egy csúcsából kiinduló a = AF és b = AB vektor. Írd fel az a és a b segítségével a következő vektorokat (G, M és H felezőpontok): a) AD ; b) AG ; c) AH ; d) JL ; e) IF ; f) HK ; g) CK ; h) HJ.

89 4. modul: VEKTOROK 89. Az a és b vektorok egység hosszúak, egymással 60 -os szöget zárnak be. Mekkora az a + b vektor hossza?. Az a és b vektorok 5 egység hosszúak, egymással 90 -os szöget zárnak be. Mekkora az a + b vektor hossza?. Egy testre ható erők eredőjét úgy szerkesztjük meg, hogy a súlypontjába mérjük fel a testre ható összes erőt, majd ott összeadjuk az erővektorokat. Szerkeszd meg a testekre ható eredő erőt! a) b) c)

90 90 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda A testek mozgásának vizsgálatakor (dinamikai és kinematikai feladatokban) a következő modellt használjuk: a testet a tömegközéppontjával helyettesítjük, és vizsgáljuk az erre ható erők eredőjét. A tömegpontok nyugalomban vannak, vagyis a rá ható erők eredője zérus (Newton I. törvénye miatt; összegük nullvektor). Szerkeszd meg a következő testre ható hiányzó erőt! Megoldás: Megszerkesztjük a piros és a kék erő összegét (lila vektor), és a megoldást ennek az ellentett vektora adja (zöld). Feladatok 4. Szerkeszd meg a következő, nyugalomban levő testekre ható hiányzó erőt! 5. A méhecskék koordináta-rendszerében állítsuk elő az i és j vektorok segítségével a következő vektorokat! Segítségképpen határozd meg a hatszög átlóinak és oldalainak vektorait! Például BD vektor: BD = (-j) + (- (i+j)) = -5j i. a) AC ; b) CE ; c) HI ; d) AG ; e) FC ; f) IE.

91 4. modul: VEKTOROK 9 6. Az oszlopdiagramokon azokat a lépéseket látod, amelyeket egymás után meg kell tenned a koordináta-rendszerben i és j vektorokkal (piros: i, zöld: j; i az irányú egységvektor, j az y irányú egységvektor). Indulj ki az origóból, és mérd fel a megfelelő lépéseket! A végén add meg annak a pontnak a koordinátáit, ahová érkeztél! Példa: lépések A diagram szerint i-vel lépés jobbra (i), j-vel lépés le ( j) stb. A végén megérkezünk a (6; 0) pontba. a) b) 4 4 lépések lépések

92 9 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 7. Állítsd elő az i, j és k (az A csúcsból az élfelező pontokba mutató) vektorokkal az A csúcsból a kocka két lapátlójának negyedelő pontjaiba mutató vektorokat! 8. O-ból az A pontba az a vektor, B pontba a b vektor mutat. Előállítjuk az O-ból az AB szakaszt : arányban osztó C pontba mutató c vektort: b a 5a + ( b a) a + b c = a + AC = a + = = Hasonló módon állítsd elő (írd fel) az a és b vektorok segítségével AB-t a megadott arányban osztó pontok koordinátáit (készíts ábrákat is): a) : (felezőpont) b) : (A-hoz közelebbi harmadoló pont) c) : d) : e) : f) 4 : 5 g) : 7 h) : 4 9. Igazold, hogy tetszőleges négyszög középvonalának a + b vektorára felírható a k = összefüggés.

93 4. modul: VEKTOROK 9 Kisleikon Vektor: irányított szakasz, vagy az azzal jellemezhető mennyiség. Vektor abszolútértéke ( a ): a vektor hossza. Két vektor egyenlő, ha hosszuk és irányuk megegyezik. Egységvektor (e): egységnyi hosszúságú vektor. Nullvektor (0): 0 hosszúságú vektor. Definíciója: olyan vektor, amelynek megegyezik a kezdőpontja és a végpontja. Iránya tetszőleges. Vektor ellentettje: az a vektor, amelyik az adott vektorral egyenlő abszolútértékű, egyező állású, de vele ellentétes irányú. Két vektor összegét kétféle módszer szerint szerkeszthetjük meg: a) háromszög-módszer: az a végpontjából mérjük fel a b vektort; ekkor a + b az a kezdőpontjából a b végpontjába mutat; b) paralelogramma módszer: az a és a b vektorokat közös kezdőpontból mérjük fel, kiegészítjük paralelogrammává. a + b a paralelogramma közös kezdőpontból kiinduló átló vektora. A vektorok összeadása kommutatív és asszociatív művelet. a és b vektorok különbségét úgy képezzük, hogy közös kezdőpontból mérjük fel őket. A végpontjaikat összekötő, a végpontja felé mutató vektor az a b vektor. A vektorok kivonása nem kommutatív és nem asszociatív művelet. v vektor k-szorosa (k R, vagyis k egy valós szám) az a vektor, amelynek hossza k v, iránya pedig k > 0 esetén v irányával megegyező, k < 0 esetén v irányával ellentétes. k = 0 esetén nullvektort kapunk.

94

95 5. MODUL egybevágósági transzformációk Készítette: Birloni Szilvia

96 96 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A geometriai transzformáció fogalma A geometriai transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, melyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ebben a fejezetben az értelmezési tartomány és az értékkészlet is egy sík, illetve annak egy része. Hozzárendelési szabályok:. Tengelyes tükrözés: Adott egy t egyenes, a tengely, melynek minden pontjához önmagát rendeljük. A t egyenesre nem illeszkedő P ponthoz azt a P pontot rendeljük, amelyre igaz, hogy a tengely merőlegesen felezi a PP szakaszt. Középpontos tükrözés: Adott egy O pont, a középpont, melynek képe önmaga. A sík O-tól különböző P pontjához azt a P pontot rendeli, amely az OP egyenesen van, és az O felezi a PP szakaszt.. Eltolás: Adott egy v vektor, azaz irányított szakasz. A sík egy adott P pontjának képe az a P pont, amelyre igaz, hogy a PP' irányított szakasz egyenlő a megadott v vektorral. 4. Merőleges vetítés: Adott a síkban egy e egyenes (tengely), melynek minden pontjához önmagát rendeli. Az e egyenesre nem illeszkedő bármely P pont képe (vetülete) a P pontból az e egyenesre bocsátott merőleges P talppontja. 5. Identitás (azonos leképezés): Minden ponthoz önmagát rendeli. Ilyen például a v = 0 vektorral való eltolás.

97 5. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK 97 Feladatok. Végezd el a tengelyes és a középpontos tükrözést a négyzetrács segítségével!. Legyen a hozzárendelés szabálya: ( ; y) a ( + 5; y )! Ábrázold a zászló képét piros színnel! Melyik geometriai transzformációt adtuk meg?. Legyen a hozzárendelés szabálya: ( ; y) a ( ; y)! Ábrázold a háromszög képét zöld színnel! Milyen geometriai transzformációt végeztél?

98 98 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Vetítsd merőlegesen a v egyenesre a P pontot és az AB szakaszt! 5. Megadtam egy alakzat három pontjának képét. Találd ki a hozzárendelés szabályát és rajzold meg a teljes alakzat képét! Fogalmazd meg a hozzárendelés szabályát! 6. Egy geometriai transzformáció a piros négyszöget a kékbe viszi. Keresd meg a betűkkel jelölt mozaiklapok képét! Milyen transzformációt végeztél?.

99 5. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK 99 II. Transzformációk rendszerezése A geometriai transzformációk tulajdonságai Egy geometriai transzformáció egyenestartó, ha bármely egyenes képe is egyenes. Távolságtartó az olyan geometriai transzformáció, amelynél bármely szakasz és képének a hossza egyenlő. Az ilyen transzformációkat egybevágósági transzformációknak nevezzük. Egy geometriai transzformáció szögtartó, ha bármely szög és képe egyenlő nagyságú. Megfordíthatónak mondjuk a geometriai transzformációt, ha a hozzárendelési szabály és a kép ismeretében egyértelműen előállítható az eredeti alakzat. A hasonlósági transzformációk esetében az alakzatok formája változatlan marad, csak a méretük változik. Körüljárási irányt megtartó vagy körüljárási irányt megváltoztató egy geometriai transzformáció aszerint, hogy alakzatnak és képének körüljárási iránya azonos vagy ellentétes. Azokat a geometriai transzformációkat, amelyeknél nemcsak az alakzat mérete, hanem formája is megváltozik torzítónak mondjuk. Egy geometriai transzformáció esetén fipontnak nevezzük azt a pontot, amelynek képe önmaga. Fialakzatnak az olyan alakzatot mondjuk, amelynek minden pontja fipont. Azokat az alakzatokat, melyeknek képe önmaga, invariáns alakzatoknak nevezzük. Az invariáns alakzatnak nem feltétlenül minden pontja fipont.

100 00 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Egybevágósági transzformációk tulajdonságai:. Tengelyes tükrözés: Távolságtartó, szögtartó. A tengely pontjai fipontok, a tengely fialakzat. A tengelyre merőleges egyenesek invariáns alakzatok. Az alakzatok körüljárási iránya megváltozik.. Középpontos tükrözés: Távolságtartó, szögtartó. A középpont fipont. A középponton áthaladó egyenesek invariáns alakzatok. A középponton át nem haladó egyenes és képe párhuzamos egymással. Az alakzatok körüljárási iránya nem változik.. Eltolás: Távolságtartó, szögtartó. Az eltolás vektorával párhuzamos egyenesek invariáns alakzatok. Bármely egyenes és képe párhuzamos egymással. Az alakzatok körüljárási iránya nem változik. Amennyiben az eltolás vektora 0 (nullvektor), akkor minden pontja fipont, más esetben nincs fipontja. 4. Identitás (azonos leképezés): Minden pontja fipont. Nem egybevágósági transzformációk tulajdonságai:. Merőleges vetítés: Nem távolságtartó és nem szögtartó. A tengely pontjai fipontok, az egyenes maga fialakzat. Nem egyenestartó, mert a tengelyre merőleges egyenes képe egy pont. Torzító transzformáció. Nem megfordítható.. Középpontos hasonlóság: Nem távolságtartó, de szögtartó geometriai transzformáció. Fipontja a középpont. A középponton áthaladó egyenesek invariáns alakzatok. A középponton át nem haladó egyenes és képe párhuzamos egymással. Megfordítható hozzárendelés. Az alakzatok körüljárási iránya nem változik.

101 5. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK 0 III. Elforgatás A pont körüli elforgatás Meghatározás: A pont körüli elforgatásnál adott egy O pont, a középpont, valamint az elforgatás szöge (nagysággal és iránnyal). Az O pont képe önmaga. A sík O-tól különböző bármely P pontjának a képe az a P pont, amelyre OP = OP' és a POP ' szög nagysága és iránya az elforgatás szöge. Tulajdonságok: Távolságtartó (egybevágósági transzformáció) Szögtartó A középpont fipont Megfordítható Alakzat és képe azonos körüljárási irányú Hegyesszögű vagy derékszögű elforgatáskor bármely egyenes és képe az elforgatás szögével azonos szöget zár be A 0 -kal, 60 -kal vagy egész számú többszörösével történő elforgatás azonos leképezés

102 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 7. Végezd el a pont körüli elforgatást másolópapír segítségével a zászlós mutató szerint! A B 8. Forgasd el az alakzatokat az O középpont körül a megadott forgásszöggel! Színezz egymásnak megfelelő szakaszokat illetve szögeket a képen! A B 9. Egészítsd ki az alábbi szöveget! A pont körüli elforgatásnál adott egy., valamint egy. (nagysággal és iránnyal). A képe önmaga. A sík bármely O-tól különböző P pontjának a képe az a...., amelyre szög nagysága és iránya egyenlő a.. OP = OP' és az POP '

103 5. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK 0 IV. Elforgatást, szimmetriát alkalmazó feladatok 0. Forgasd el a megadott O pont körül a T pontot és az NL szakaszt a megadott szöggel!. Forgasd el a szabályos háromszöget az O pont körül 45 -kal! O. Forgasd el a szöget a csúcsa körül 90 -kal! Figyeld meg a szögszárakat! Milyen szögpárfajtát látsz? Mire emlékszel ezzel kapcsolatosan?

104 04 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Valamilyen pont körüli elforgatás a T pontot a T -be vitte. Hol lehet a forgatás középpontja? T T 4. Az AB szakasz elforgatott képe A B. Határozd meg az elforgatás középpontját és szögét!

105 5. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK 05 V. Forgásszimmetrikus alakzatok Egy alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan 0 -tól különböző szögű pont körüli elforgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át. A forgásszimmetria rendjét az határozza meg, hogy hány olyan szög van a 0 < α 60 tartományban, melyre nézve az alakzat forgásszimmetrikus. A szabályos hatszög például hatodrendben, míg a szabályos háromszög harmadrendben forgásszimmetrikus. A feladata: Add meg az alábbi alakzatok, illetve minták forgásszimmetriájának rendjét, és azokat a szögeket, amivel elforgatva önmagukba mennek át! B feladata: Színezd a parkettát úgy, hogy forgásszimmetrikus legyen! Keress több megoldást! Add meg a szimmetria rendjét is!

106 06 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE C feladata: Szerkessz négyzetet, melynek középpontja O és két szomszédos csúcsa rajta van egy-egy egyenesen! Használj másolópapírt! D feladata: Szerkessz szabályos háromszöget, ha középpontja O és két csúcs rajta van a szög egy-egy szárán! Használj másolópapírt!

107 5. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK 07 VI. Térbeli transzformációk, szimmetriák Feladatok 5. Geometriai transzformációt értelmezhetünk a tér pontjaira is. A térben tükrözhetünk síkra, egyenesre vagy pontra. Emiatt térbeli alakzatok is lehetnek szimmetrikusak (síkra, egyenesre vagy pontra). Állapítsd meg, mire szimmetrikusak az alábbi testek! 6. Páros munka: Tartsátok úgy egy-egy kezeteket, hogy egyik a másiknak tükörképe legyen! Használjátok ehhez mindkettőtök bal kezét, majd egy jobb és egy bal kezet! 7. Egy térbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan tengely körüli forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át. Ilyen például a kocka vagy a szabályos sokszög alapú egyenes hasáb. Keress forgásszimmetrikus alakzatokat a környezetedben! Határozd meg, milyen tengely körül, és hány fokos szöggel kell elforgatni őket, hogy önmagába menjenek át!

108 08 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 8. A felső sorban szereplő síkidomok elforgatásával testek származtathatók. Párosítsd össze a megfelelő testet a hozzá tartozó síkidommal! Keress forgással származtatható testeket! Rajzold le, milyen síkidomból származtathatók! Térbeli szimmetriák Geometriai transzformációk értelmezhetők a tér pontjain is. Ilyenek például a síkra vonatkozó tükrözés, az egyenesre való térbeli tükrözés és az egyenes körüli elforgatás is. Egy térbeli alakzat síkszimmetrikus, ha van olyan sík, amelyre tükrözve, az alakzat képe önmaga. Például a kocka és a gömb síkszimmetrikus testek. Egy térbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan tengely körüli forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át. A négyzetes oszlop, a körhenger és a forgáskúp forgásszimmetrikus testek.

109 5. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK 09 Geometriai transzformációk szorzata Két geometriai transzformáció elvégzését egymás után a két transzformáció szorzatának nevezzük. Feladatok 9. Rajzolj egy háromszöget és két egymással párhuzamos egyenest! Tükrözd egymás után a háromszöget a két egyenesre. Mit tapasztalsz? (Lehet-e helyettesíteni a két tükrözést egyetlen transzformációval? 0. Rajzolj egy téglalapot! Forgasd el valamely csúcsa körül először 45 -kal, majd 0 -kal! Milyen transzformációval helyettesíthető a két elforgatás?. Rajzolj egy kört! Told el először az a majd a b vektorral! Tudnád-e egyetlen transzformációval helyettesíteni a két eltolást? a b. Rajzolj egyenlőszárú háromszöget és két, egymást metsző egyenest! Tükrözd a háromszöget egymás után a két egyenesre tengelyesen! Helyettesítsd a két transzformációt egyetlennel!

110 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kisleikon A geometriai transzformációk olyan függvények, melyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Két geometriai transzformáció elvégzését egymás után a két transzformáció szorzatának nevezzük. Egybevágósági transzformációk: Tengelyes tükrözés: Adott egy t egyenes, a tengely, melynek minden pontjához önmagát rendeljük. A t egyenesre nem illeszkedő P ponthoz azt a P pontot rendeljük, amelyre igaz, hogy a tengely merőlegesen felezi a PP szakaszt Középpontos tükrözés: Adott egy O pont, a középpont, melynek képe önmaga. A sík O-tól különböző P pontjához azt a P pontot rendeli, amely az OP egyenesen van, és az O felezi a PP szakaszt. Eltolás: Adott egy v vektor, azaz irányított szakasz. A sík egy adott P pontjának képe az a P pont, amelyre igaz, hogy a PP' irányított szakasz egyenlő a megadott v vektorral. Pont körüli elforgatás: A pont körüli elforgatásnál adott egy O pont, a középpont, valamint az elforgatás szöge (nagysággal és iránnyal). Az O pont képe önmaga. A sík O-tól különböző bármely P pontjának a képe az a P pont, amelyre szög nagysága és iránya az elforgatás szöge. Identitás (azonos leképezés): Minden ponthoz önmagát rendeli. Ilyen például a v = 0 vektorral való eltolás. OP = OP' és a POP '

111 5. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Nem egybevágósági transzformációk például: merőleges vetítés, középpontos hasonlóság. Egy síkbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan 0 -tól különböző szögű pont körüli elforgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át. Egy térbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan tengely körüli forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át. Egy térbeli alakzat síkszimmetrikus, ha van olyan sík, amelyre tükrözve, az alakzat képe önmaga.

112

113 6. MODUL algebrai azonosságok Készítette: Darabos Noémi Ágnes és Vidra Gábor

114 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Törtes kifejezések értelmezési tartománya Régen megtanultuk a szigorú tiltást: nullával nem lehet osztani, mert ez a művelet nem értelmezhető. A törtekre nézve ez azt jelenti, hogy amennyiben a nevező tartalmaz változót, ki kell kötni, hogy a nevező nem lehet nulla, majd meg kell határozni, hogy mi NEM lehet a változó értéke. A kifejezések mindig az alaphalmazukon értelmezettek, amelyet a feladat szövege határoz meg. Ha az alaphalmaz meghatározása hiányzik, a legbővebb számhalmazra, vagyis a valós számok (R) halmazára gondolunk. Az alaphalmazt szűkítik a kikötések. A kikötésekkel szűkített alaphalmazt a kifejezés értelmezési tartományának nevezzük. Mintapélda Mi a következő kifejezés értelmezési tartománya, ha alaphalmaza a valós számok halmaza? Megoldás: A nevező nem lehet 0, ezért Tehát a feladat megoldása: R és, amit így is szoktunk írni: R\. Feladatok:. Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát: 4y + 5 a) ; b) ; c) ; d) ; y a e) ; f) ; g) y a

115 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK 5. Írj fel olyan kifejezéseket, amelyek nem értelmezhetők a következő számokra: a) ; b) 0; c),5; d) ; e) 0, 6 ; f) ; g) és ; h) 0 és ; i), és. Ha több ismeretlen is van a nevezőben, a kikötést az ismeretlenek kapcsolataként írjuk le. + Például: esetén a nevező nem lehet nulla, így y 0, vagyis y. y Ha több tört is van egy kifejezésben, akkor összevonjuk a kikötéseket, hiszen egyik nevező sem lehet 0. Például esetén a 0 és a, az értelmezési tartomány: R \ {0; }. a a Vizsgáljuk meg azt az esetet is, amikor a nevezőben szorzat áll, vagy ha a nevező szorzattá alakítható. Tudjuk, hogy egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha legalább az egyik tényezője nulla. Ezt használjuk ki. Mintapélda Határozzuk meg az kifejezés értelmezési tartományát! ( ) Megoldás: ( ) = 0, amiből = 0 vagy =. Ennek tagadása: 0 és, vagyis az értelmezési tartomány: R \ {0; }. A nevezőben álló kifejezést y-nal jelölve az y = 0 egyenlet megoldásai tehát nincsenek a feladat értelmezési tartományában.

116 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok. Határozd meg, hogy milyen kikötést kell tenni a következő kifejezések esetében! A feladatokban írd fel a kifejezések értelmezési tartományát is, ha az alaphalmaz a valós számok halmaza! a) y y 4 + ; b) 4 + a a a ; c) ; d) Határozd meg, hogy milyen kikötést kell tenni a következő kifejezések esetében! A feladatokban írd fel a kifejezések értelmezési tartományát is, ha az alaphalmaz a valós számok halmaza! a) y + + ; b) y 4 ; c) z s z 4 + ; d) a a a ; e) + ; f) ; g) ; h)

117 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK 7 II. Polinomok Néhány elnevezés Ha számok és számokat helyettesítő betűk egész kitevőjű hatványát és gyökét a négy alapművelet véges számú alkalmazásával kapcsoljuk össze, algebrai kifejezést kapunk. A polinomok olyan algebrai kifejezések, amelyekben nem fordul elő gyökvonás és betűs kifejezéssel való osztás. A polinom másik neve: racionális egész kifejezés. Ha legalább elsőfokú polinommal való osztás is szerepel a kifejezésben, akkor racionális törtkifejezésről beszélünk. A feladatokban sokszor találkozhatunk ilyen jellegű kifejezésekkel: 4 Egytagú kifejezések: a, 5, 4,, 6 7,. 5 Kéttagú kifejezések: 4, a b, Kétváltozós hetedfokú polinom: 9 y + y +. A legmagasabb kitevő: 5 + = 7. 4 Egyváltozós, negyedfokú polinom: A legmagasabb kitevő: 4. Együtthatók: A negyedfokú polinomban az 4 -es tagé, az -os tagé 0, az -es tagé 4, az -es tag együtthatója 5, a konstans pedig (szintén együttható, az -nek, azaz a nullad- fokú tagnak az együtthatója). -et változónak vagy ismeretlennek nevezzük. Az együtthatók az előjeleiket is tartalmazzák. Egy polinom fokszámát úgy határozzuk meg, hogy előbb kiszámoljuk a fokát (összeadjuk a tagjaiban található ismeretlenek kitevőit), majd ezekből a legnagyobbat vesszük. Óriási könnyebbséget jelentett az algebrai leírásokban a XIX. század végére kialakult, mai algebrai jelölésmód. René Descartes ( ) javasolta először a változó mennyiségek bevezetését, korábban az ismeretlent nem jelölték külön betűvel. Descartes nevét őrzi egyébként a derékszögű koordináta-rendszer is. A középkori matematikusok ilyen jelöléseket használtak:

118 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE = 5 régen így nézett ki: 6 ~ ~ ~ m ~ 0 0 p 4 m p egaul 5 ; D B a = E D egyenlet őse: D quadratum B planum aequabitur E ; D bis a B = C egyenlet akkori alakja: A cubus B latus in A quadratum aequatur C solido. Feladatok 5. Határozd meg a következő polinomok fokszámát! 4 4 a) a + ab + ; b) a b + ab b ; c) 4 pq + p + p q Rendezd fokszám szerint csökkenő sorrendbe a következő polinomokat! a) ; b) 5 ab ; c) a + b a ; d) Végezd el a kijelölt műveleteket és a lehetséges összevonásokat, majd rendezd csökkenő fokszám szerint a polinomokat! Számítsd ki a kifejezések helyettesítési értékét is a megadott értékek mellett! a) ( +) ; = b) (5 ) ; = 0 c) (4 + ) ; =,4 d) ( + ) + 8( ) 5( 5) ; = e) a b a a + b 6a ; a = ; b =.

119 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK 9 III. Nevezetes azonosságok Mintapélda Négyzet alapú irodába m mélységű vitrines szekrényt hoztak, ami teljes két falat (és három sarkat) elfoglal. Így az iroda alapterülete 5 m -rel csökkent. Mekkora az iroda fala? Megoldás: Jelölje az iroda eredeti falát. A vitrin elhelyezése előtt az alapterület volt, utóbb ez ( ) -re csökkent. Felírhatjuk a következő egyenletet: ( ) = 5 A megoldáshoz el kell végezni az ( )( ) szorzást: ( )( ) = ( + ) = = 5 =6 = 8 + = + Ellenőrzés: 8 = 64; 7 = 49; = 5. Az iroda fala 8 méter hosszú. A számolást meggyorsíthatjuk, ha begyakoroljuk a nevezetes azonosságok használatát. Három másodfokú nevezetes azonosságot tanulunk: (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b a b = (a + b)(a b) a, b R Bizonyításuk legegyszerűbben a több tag szorzása több taggal műveleti szabályai szerint történhet: (a + b) = (a + b)(a + b) = a + ba + ab + b = a + ab + b (a b) = (a b)(a b) = a ba ab + b = a ab + b (a + b)(a b) = a + ba ab b = a b

120 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Szavakkal megfogalmazva: Két tag összegének négyzete a két tag négyzetének összege, hozzáadva a két tag kétszeres szorzatát, vagy első tag négyzete + az első és második tag kétszeres szorzata + a második tag négyzete. Két tag különbségének négyzete a két tag négyzetének összege, kivonva a két tag kétszeres szorzatát. Két tag összegének és különbségének szorzata egyenlő a kisebbítendő négyzetének és a kivonandó négyzetének különbségével. Mintapélda 4 Végezzük el a következő műveleteket! a) ( + ) ; b) ( 4) ; c) ( a + b) ; d) ( a b ) ; e) ( ) ; f) ; g) ( + )( ) ( 7 4) ; h) ( a )( + a) ; i) ( a + c) + b ; j) ( y ) ; k) ( z + y ) ; l) +. Megoldás: a) e) 4 i) a k) ; b) 4 + ; f) b + c + 4y 8 + 6; c) a + ab + ac + bc; + z ; g) j) 4 y + 6z 4yz; l) + ab + b ; h) 4a ; y + +. ; d) b 6ab + 9a 4y + 6y; ; Mintapélda 5 Végezzük el a következő műveleteket! a) ( + ) ( ) ; b) ( p q + q) + ( p ) ; c) b +. b Megoldás: a) ( ) ( + ) = ( ) = 4 ; b) ( p ) + p q + q + ( p ) 4 { p q + q } = p p q ( p + q) + ( p q) = + q c) b + = b + b + = b + +. b b b b ;

121 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Feladatok 8. Végezd el a következő műveleteket: a) (a ) (a ) + ( a + )( a ) ; b) (a + ) (6a ) (a + )(a ) ; c) s + s. s s 9. Végezd el a következő műveleteket! a) a a ; b) 4 b ( ) a b a ; c) a + b + a b ; d) y y 4 ; n n e) ( a b ) ; f) ( n + n+ ). 0. Párosítsd az azonosságokhoz a megfelelő ábrákat! a) a( b + c) = a b + a c ; b) ( a + b)( c d) = ac + bc ad bd ; c) + b) = a + ab ; d) a b)( c d) = ac bc ad + bd ( a + b ( ; e) ( a b + b)( a b) = a ; f) ( a + b b) = a ab.

122 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Egészítsd ki a következő kifejezéseket úgy, hogy az két tag összegének vagy különbségének négyzetét adja! a) 9a ; b) ; c) 4d + d +...; d) y + 00 ; e) 6a 4a +... ; f)... 0t + 69 ; g) ( +...) = ; h) (... 4) =... 48d +... ; i) ( ) = 4s + s +...; j) (a...) =... 48a +...

123 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK IV. Kifejezések szorzattá alakítása A matematikai problémák kezelése során többször találkozunk azzal, hogy az összegek, különbségek szorzattá alakítása egyszerűsíti a feladat megoldását. Többször előfordul, hogy szorzattá alakítás nélkül nem is jutunk végeredményre. (Például a magasabb fokú egyenletek megoldásakor bajban lennénk: bizonyítható, hogy a legalább ötödfokú egyenletre nincs általános megoldóképlet.) Azonban, ha sikerül szorzattá alakítanunk az egyenletben szereplő kifejezéseket, meg tudjuk oldani az egyenletet. Néhány példa, amikor segíthet a szorzattá alakítás: + = egyenlet (ahol ) a nevezőjével szorozva másodfokú egyenletet kapnánk, amelyet 0. évfolyamon tanulunk megoldani. Azonban ha észrevesszük, hogy + = ( )( + ), akkor egyszerűsíthetünk: ( )( + ) = + = = esetén a nevező nem válik nullává és visszahelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy valóban megoldás = 0 egyenlet bal oldalát szorzattá alakíthatjuk: 4 ( 5) = 0. Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha legalább az egyik tényezője nulla, ezért vagy 4 nulla (és ekkor = 0), vagy ( 5) = 0, ekkor = 5. Vagyis két megoldást kaptunk: = 0 és = 5. A példákból látható, hogy a szorzattá alakításnak nagy jelentősége lehet a feladatok megoldásában. A szorzattá alakítás három módszerével ismerkedünk meg:

124 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 6 Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket a megadott módszerekkel! a) Kiemeléssel: 4 5 = ( 5) a ( b 4) (4 b) = a( b 4) + ( b 4) = ( a + )( b 4) b) Csoportosítással: + y + y + = ( + y) + ( + y) = ( + )( + y) A csoportosítás tulajdonképpen nem más, mint többszöri kiemelés. c) Nevezetes azonosságokkal: 6 9 = ( 4) = (4 )(4 + ) = ( ) = ( = ( + 7) = ( ) 7). Alakítsd szorzattá kiemeléssel a következő kifejezéseket: a) ; b) 4 6 ; c) 5 4 a a a + ; d) a ( + ) + b( + ) ; e) a( y) ( y ) ; f) a( d ) + ( d) ; g) a( b 5) + (5 b) ; h) 4 y 6 y + 9 y ; i) d + d d.. Alakítsd szorzattá csoportosítással a következő kifejezéseket! a) a ( + y) + + y ; b) y y a + ay ; c) 4 + ; d) d + d s sd. 4. Alakítsd szorzattá nevezetes azonosságok felhasználásával a következő kifejezéseket! a) a + 6a + 64 ; b) p 6 p + 9 ; c) + ; d) d + 0d + 5 ; e) 4a + 4a + ; f) Alakítsd szorzattá nevezetes azonosságok felhasználásával a következő kifejezéseket! a) ; b) d) 6 y ; e) a 9a. 4 a 4s ; c) 9 t 9 s ;

125 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK 5 6. Alakítsd szorzattá nevezetes azonosságok felhasználásával a következő kifejezéseket! a) ( a a + b) 4 ; b) 4( y + y) 9( ) ; c) ( 5 y + y) 4 ; d) 49(d + c c) 9( d ) ; e) 4a b (a ) ; f) ( + ) 4 ; g) ( a b + 4b) 6 ; h) 4 0y + 5y 6 ; i) a 4 8; j) 6 4 8; k) a ; l) 6 y Alakítsd szorzattá tetszőleges módszerrel a következő kifejezéseket! a) ( y ) + y ; b) d ( d) + d ; c) s 4s + 4 s ; d) t 5a + at 5t ; e) s d s d + 6 ; f) 0,09 0,5d ; 9 4 g) 7 p q ; h) 0a 45b ; i) y ; 6 9 j) 4 0,0d ; k) 6 ( + 9) ; l) y y ; m) y y ; n) 4 4 y. 8. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) ; b) ; c) a a ; d) d d 5 ; e) m 8 4m 4 5 ; f) 4 7 ; g) 9 i) ; h) 4 + ;

126 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE V. Az algebrai műveletek alkalmazásai Mintapélda 7 Egészítsd ki teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé a következő kifejezést: 6 + 5, azaz a kifejezésben egy kéttagú összeg négyzete és egy állandó tag szerepeljen. Megoldás: Két tag összegének és különbségének négyzetre emelésekor a kétszeres szorzat jelenik meg: ( a) = + a ± a ±, ezért az elsőfokú (-es) tagból indulunk ki: megfelezzük az együtthatóját ( 6 -ot) = ( ) Felírjuk a kifejezés négyzetét, és korrigálunk (+ 9 helyett nekünk + 5-re van szükségünk, ezért elveszünk 9-ből 4-et). 4 Mintapélda 8 Határozd meg a következő kifejezés minimális értékét és azt is, hogy milyen érték esetén veszi azt fel: + 8 Megoldás: A kifejezést teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítjuk: + 8 = ( + 4) 8 A kapott alakból kiolvasható a megoldás. A kifejezés értéke értékétől függ. Az egy változó: ha változik, nyilván az egész kifejezés értéke is változni fog. = 4 esetén ( + 4) értéke nulla, így értéke, ugyanis ha nem 4, akkor ( + 4) is nulla. Ekkor a legnagyobb a kifejezés ( + 4) értéke pozitív (nullánál nagyobb). Tehát a teljes négyzetből megállapítható, hogy a kifejezés a legkisebb értékét = 4 esetén veszi fel, és ez az érték 8.

127 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK 7 Az előbbi feladathoz hasonlóan lehet megállapítani azt, hogy a 6 7 = ( + ) + kifejezés legnagyobb értéke (maimuma) +, és ezt = esetén veszi fel. Azokat a feladatokat, amelyekben egy kifejezés legnagyobb vagy legkisebb értékét kell megállapítani, szélsőérték-feladatoknak nevezzük. A másodfokúra visszavezethető szélsőértékfeladatok megoldásának egyik módja a teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás. Feladatok 9. Egészítsd ki teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé a következő kifejezéseket! Határozd meg legnagyobb, illetve legkisebb értéküket is! a) ; b) a 4a + 0 ; c) ; d) s s + 5; e) 5 + ; f) i) 6 ; j) 4. 9 a + 7a + ; g) + 0 ; h) ; 4 0. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) ( 4 y y) ( ) ; b) ( y + 7y) ( 5 ) ; c) ( p ) ( p 4)( p + 4) p( p + ) ; d) ( 5 + y) ( + y)( y) + ( y ). Mintapélda 9 Végezd el a következő műveleteket és határozd meg a kifejezések értelmezési tartományát! a + b a b 4 4y 5 a) ; b) ; c) :. a b a + b + y 5 4y 5 Megoldás: a) Egyik nevező sem lehet nulla, ezért a ± b. A nevezők különböznek, ezért a megoldást közös nevezőre hozással kezdjük: a + b a b ( a + b)( a + b) ( a b)( a b) a = = a b a + b ( a b)( a + b) 4ab 4ab = = ( a b)( a + b) a b + ab + b ( a ab + b ( a b)( a + b) ) =

128 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE b) A nevezők szorzattá alakíthatók, először ezt végezzük el: ) )( ( ) ( = +. Egyik nevező sem lehet nulla, ezért ±. A közös nevező a nevezők legkisebb közös többszöröse: ) )( ( +. A közös nevezőre hozás után a számlálóban alakítjuk a kifejezést: ) ( 4 ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( (4 ) )( ( ) ( = = = + = + + = + d) Szorzattá alakítás és kikötés után közös nevezőre hozunk a zárójelben: 5 ± y = + = ) 5 5)( ( 5 : 5 5) ( : 5 4 y y y y y y y y 0 4 5) ( 5) 5( 5) 5)( 0( 5 5) 5)( ( = + = + = + + = y y y y y y y y y y. Végezd el a következő műveleteket és határozd meg a kifejezések értelmezési tartományát! a) y y y y ; b) q p p q p p ; c) ; d) a a a a ; e) 4 + ; f) y y y y ; g) a a a a + + ; h) Végezd el a következő műveleteket! a) + + : ; b) : + + d d d d d d ; c) ( ) a a a a ; d) 4 : ab a b b a b a b + ; e) 4 4 : y y y y ; f)

129 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK 9. Végezd el a következő műveleteket! a) 9 5 : 5 + a a a a a ; b) y y ; c) 4 y y y + + ; d) 9 5 ) (5 + a a ; e) ( ) 4 4 ) 6)( (6 5 + c c c c c ; f) ) ( 4 : p q p q p q p q + + ; g) 4 : 9 4 y y y + ; h) ( ) 4 : y y y. 4. Végezd el a következő műveleteket! a) + + ; b) ; c) a a a a a ; d) ( ) d d d d ; e) : a a a a a a a ; f) a a a a a a a a ; g) a a a a a a Mintapélda 0 A szferométer (gömbmérő) olyan műszer, mellyel vékony lemezek, drótok, üveglencsék görbületi sugarát, gömbfelületsugarát lehet meghatározni. A hengeres szferométer egy körhengerrel összekötött mikrométercsavar. Pontos illesztéssel ráhelyezik a görbe felületre és a csavart addig tekerik a henger alapsíkja felé, amíg vége a felületet el nem éri. A műszer alapsíkja és az alaphenger tengelyében elhelyezkedő csavar végének síkja közötti távolságot a mikrométercsavarhoz kapcsolódó skálán olvassák le és ebből számítható ki például egy gömbfelület sugara.

130 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE János édesapja hazahozott a műhelyből egy hengeres szferométert, melynek alapköre 5 cm sugarú. Meghatározták János földgömbjének sugarát. Mennyit kaptak eredményül, ha a szferométer skálája 6, mm-t mutatott? Megoldás: A megoldás kulcseleme a megfelelő ábra elkészítése. r a gömb sugara. Az ábrán látható derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tételt felírva kapjuk az alábbi egyenletet: r = 5 + ( r 0,6). Négyzetre emelés és összevonás után r = 5,4r = 5,844 r = 0,47 0 A gömb sugara 0 cm. + r,4r + 0,6 Feladatok 5. Egy derékszögű háromszög egyik befogójánál 0 cm-rel hosszabb az átfogója. A másik befogó hossza 0 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? 6. Naomi az egyenlítőn él. Egy legenda szerint ősei nagyon régen kiszámolták a Föld sugarát. Utánajárt a számításnak, és elvégezte a hozzá tartozó kísérletet (persze mai eszközökkel): a víz felszínétől 5 méter magasban egy nagy hajóról nézte távcsővel, hogy mikor tűnik el az a csónak, amely az egyenlítő mentén távolodott az ő hajójuktól. Amikor eltűnt a horizonton, a távolságmérős távcső,8 km-t mutatott. Mekkorának számította Naomi a Föld sugarát? 7. A planetárium körfolyosójának középvonala a középponttól mérve 7 méter sugarú kör, a körfolyosó területe 94 m. Mekkora a terem és a külső fal köreinek sugara?

131 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK 8. Sok középkori monostorban építettek kerengőt: kis belső kertet körbevevő, árkádos folyosót. Mekkora területű négyzet alapú udvart vesz körül az a kerengő, amelynek szélessége,8 méter, területe 65,76 m? 9. Egy körgyűrű belső és külső sugarának összege cm, a körgyűrű területe 44 π. Mekkora a két sugár? 0. Egy kör alakú rét egyik átmérőjének két végpontjához érkezik egy darázs és egy méhecske. Észrevesznek a rét szélén egy színpompás virágot, és egyszerre indulnak el feléje. A méhecske sebessége 6,8 m/s, a darázsé 8 m/s. A darázs útja a virágig 78,46 méter, a méhecske útja a rét átmérőjénél 8 méterrel kevesebb. Melyikük ér előbb a virághoz? Számelméleti feladatok A 4. modulban már találkoztunk az osztó, a többszörös, a prímek és az összetett számok fogalmával, valamint a legnagyobb közös osztó, a legkisebb közös többszörös és a relatív prímek definíciójával. A következő feladatokban többek között ezeket alkalmazzuk. Mintapélda Három egymást követő természetes szám összege 998. Mekkora közülük a legnagyobb szám? Megoldás: Jelölje a középső számot. Ekkor ( ) + + ( + ) = 998 = 998 = 666 A legnagyobb szám: + = 667 Megjegyzés: A feladat akkor is megoldható, ha nem a középső számot vesszük ismeretlennek. Azonban ez az ötlet leegyszerűsítheti a feladatok megoldását, érdemes megjegyezni.

132 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Három egymást követő páros szám összege 998. Mekkora közülük a legnagyobb szám?. Négy egymást követő természetes szám összege 00. Melyik közülük a legnagyobb szám?. Írj fel olyan számokat, amelyek 4-gyel osztva maradékot adnak. Írd fel ezek általános alakját! Mintapélda Ha egy pozitív egész szám -mal osztva maradékot ad, akkor milyen maradékot ad -mal osztva a 4-szerese? Megoldás: 4 ( + ) = k + 4 = ( 4k + ) + k azaz -mal osztva maradékot ad. 4. Ha egy pozitív egész szám -mal osztva maradékot ad, akkor milyen maradékot ad -mal osztva a négyzete? 5. Ha egy pozitív egész szám 5-tel osztva maradékot ad, akkor milyen maradékot ad 5-tel osztva a négyzete? 6. Ha egy pozitív egész szám 5-tel osztva maradékot ad, akkor milyen maradékot ad 5-tel osztva a 4-szerese?

133 6. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Kisleikon Alaphalmaz: az a számhalmaz, amelyet a feladat szövege ad meg, ennek hiányában a valós számok (R). Bővítés: törtekkel végezhető művelet, a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal vagy kifejezéssel szorozzuk (a szám illetve a kifejezés értéke nem lehet nulla). Több tagú számláló illetve nevező esetén bővítéskor minden tagot megszorzunk. A bővítés ellentéte az egyszerűsítés. Egynemű tagok: legfeljebb együtthatójukban különböznek. Egyszerűsítés: törtekkel végezhető művelet, a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a nullától különböző számmal vagy kifejezéssel osztjuk. Több tagú számláló illetve nevező esetén egyszerűsíteni csak azzal a kifejezéssel vagy számmal lehet, ami kiemelhető a számláló illetve a nevező minden tagjából. Kifejezés értelmezési tartománya: kikötésekkel szűkített alaphalmaz. Kifejezés helyettesítési értékét úgy kapjuk, hogy a betűknek értéket adunk. Másodfokú nevezetes azonosságok: ( a + b + b) = a + ab, ( a + b b) = a ab, a b = ( a + b)( a b), ahol a R, b R. Polinom: olyan algebrai kifejezés, amelyekben nem szerepel gyökvonás és betűs kifejezéssel való osztás. A polinom másik neve: racionális egész kifejezés. Egy polinom fokszámát úgy határozzuk meg, hogy előbb kiszámoljuk a fokát (összeadjuk a tagjaiban található ismeretlenek kitevőit), majd ezekből a legnagyobbat vesszük.

134

135 7. MODUL Egyenletek, egyenlőtleségek, kétismeretlenes egyenletek Készítette: Darabos Noémi Ágnes

136 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyszerű egyenletek Mintapélda Egy könyvszekrény felső polcán háromszor annyi és még 6 könyv van, mint az alsó polcon. Dani a felső polcról 8 könyvet áttesz az alsó polcra, így ott a felső polcon található könyvek felénél -mal több könyv lesz. Hány darab könyv van most az alsó, ill. a felső polcon? Hány könyve van Daninak összesen? Megoldás: Jelöljük az alsó polcon található könyvek számát -szel. Ekkor a felső polcon: + 6 darab könyv van = = + 6 = 4 Daninak jelenleg az alsó polcon: + 8 = =, a felső polcon: = 70 darab könyve van, így összesen 0 darab könyve van. Ellenőrzés: 70 fele: 5 tényleg -mal több a -nél. Mintapélda Egy 6 éves anyának 6 éves fia van. Hány év múlva lesz az anya háromszor annyi idős, mint a fia? Megoldás: Anya Fia Most 6 6 év múlva = ( 6 + ) 8 = = 9 9 év múlva lesz az anya háromszor annyi idős, mint a fia. Ellenőrzés: 9 év múlva az anya 45 éves, a fia 5 éves lesz és 5 = 45.

137 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 7 Minden egyenlethez hozzátartozik egy alaphalmaz, ebben a halmazban keressük a megoldásokat. Ha a feladat szövege nem adja meg előre az alaphalmazt, akkor az általunk ismert legbővebb számhalmazt, azaz a valós számok halmazát tekintjük annak. Az alaphalmaz azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az egyenletben szereplő kifejezések értelmesek, az egyenlet értelmezési tartományának nevezzük. Az egyenlet megoldásakor meg kell keresnünk azokat a számokat az értelmezési tartományból, amelyek kielégítik az egyenletet. Ezeket a számokat hívjuk az egyenlet megoldásainak, vagy az egyenlet gyökeinek és ezek a számok alkotják az egyenlet megoldáshalmazát. Amennyiben nincs olyan szám, amelyik igazzá teszi az egyenletet, akkor az egyenletnek nincsen megoldása, azaz a megoldáshalmaz az üres halmaz. Az egyenlet megoldása során úgy kell átalakítanunk az egyenletet, hogy egyre egyszerűbb egyenlethez jussunk. Célunk, hogy végül az egyenlet egyik oldalán csak az ismeretlen álljon, a másik oldalon egy konkrét szám. Ehhez a következő átalakításokat végezhetjük: Az egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatjuk, illetve mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot. Az egyenlet mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a nullától különböző számmal. Ismeretlent tartalmazó kifejezéseket is hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk az egyenlet mindkét oldalából. Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk, akkor hamis gyököket kaphatunk, ha osztunk, akkor gyököket veszthetünk. Ennek elkerülésére az ismeretlent tartalmazó kifejezésről, ekkor mindig fel kell tételeznünk, hogy nem 0.

138 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok. Oldd meg a 7 = egyenletet a racionális számok halmazán!. Oldd meg a ( 4 7) = 6 + egyenletet az egész számok halmazán!. Egy bankjegykiadó automatát az ünnepek előtt szinte teljesen kifosztottak. Összesen 6000 Ft maradt benne 000-es és 5000-es címletekben. Hány darab 000-es és 5000-es maradt az automatában, ha egy híján kétszer annyi 000-es van, mint 5000-es? 4. Meg tudja-e venni Tibor a 600 Ft-os feltöltőkártyát, ha pénzének harmada 400 Ft-tal kevesebb, mint a feltöltőkártya árának a fele? 5. Tudjuk, hogy egy dobozban ötször annyi szög van, mint egy másikban. Az egyikből átraktunk a másikba db szöget, így mindkét dobozban ugyanannyi szög lett. Mennyi szög volt a dobozokban eredetileg és a pakolás után? 6. Enikőnek kétszer annyi gyűrűje van, mint Szandinak, Vikinek azonban -gyel kevesebb van, mint Szandinak és 4-gyel több, mint Anettnek. Ha összeszámolnánk Szandi, Viki és Anett gyűrűit, az pontosan annyi lenne mint amennyi Enikőnek van. Hány gyűrűje van külön-külön a lányoknak?

139 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 9 II. Törtegyütthatós egyenletek Mintapélda Zoli, Krisztián, Laci és István szeretnék megvenni a kedvenc Play Station játékukat. Zoli beleadott 50 Ft-ot, Krisztián feleannyit, Laci harmadannyit, István negyed annyit fizetett, mint a többiek összesen. Mennyibe került a játék? Megoldás: Jelöljük -szel a játék árát. Krisztián feleannyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette a harmadát. Laci harmadannyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette a negyedét. István negyed annyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette a ötödét = = = A játék 5000 Ft-ba került. Ellenőrzés: a szöveg alapján. Mintapélda 4 Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 5 5 Megoldás: Alaphalmaz: R. ( ) 5 ( 7) = 5 ( 4 + 4) = = 4 = = 0,5 Ellenőrzés: Bal oldal értéke: 7 5 = ; jobb oldal értéke: =

140 40 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A eleme az egyenlet alaphalmazának, és az ellenőrzésnél a két oldal helyettesítési értéke egyenlő, ezért az = valóban megoldás. Megoldáshalmaz: M =. Feladatok 7. Egy osztály tanulóinak -a jár gyalog az iskolába, -a jár valamilyen tömeg- 6 közlekedési eszközzel, a többi 5 diákot kocsival hozzák. Hány tanulója van az osztálynak? Hányan jönnek gyalog, és hányan valamilyen járművel? 8. Oldd meg a = 4 7 egyenletet a pozitív számok halmazán! 9. Egy órás hétfőn eladta az óráinak felét és még 6 darabot. Kedden a maradék készlet harmadát és még darabot, szerdán 7 darab órát adott el, így kifogyott a készlete. Hány darab óra volt az üzletben hétfő reggel? 0. Oldd meg az egyenletet a racionális számok halmazán! = 4. Elutazás előtt zoknikat csomagolok. A fiókból kivettem három pár zoknit, majd a maradék egyharmadát. Később kivettem a fiókból még egyet, ekkor a zoknik fele maradt a fiókban. Hány pár zoknim van? Mennyit vittem magammal az utazásra?

141 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 4. Fejtsd meg Diophantosz, görög matematikus sírfeliratát! Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad, megtanította a sírt, mondja el élte sorát. Évei egy hatodát tölté ki a gyönge gyerekkor, még feleannyi lefolyt, s álla szakálla kinőtt. Egy heted eltelt még, és nászágy várta a férfit, elmúlt újra öt év, és fia megszületett. Ez feleannyi napig láthatta a fényt idefenn, mint atyja, mivel neki így szabta az isteni sors. Őt gyászolva a sír felé hajlott agg Diophantosz, négy évvel később ő is elérte a célt. Mondd, hány esztendőt élt hát meg gyászban, örömben, S itta az édes fényt, míg hona lett ez a sír?

142 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Algebrai törtes egyenletek Mintapélda 5 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! = 4 4 Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 4-től különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ 4 }. Szorozzunk a közös nevezővel, ( 4) -gyel! ( 8 5) ( 4) = ( 6 5) = = 4 =,5 Ellenőrzés: 8,5 5 6,5 5 Bal oldal értéke: = 8; jobb oldal értéke: = 8.,5 4,5 4 Megoldáshalmaz: = {,5} M. Mintapélda 6 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! = + Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ }. Észrevétel: ( ) -nak a ( ) -szerese a ( ). 4 = + 6

143 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 4 Szorozzunk a közös nevezővel, ( ) -mal! 4 = = 8 = 4 ( ) ( + 6) 4 = 6 6 Ellenőrzés: Bal oldal értéke: ( 4) = = = ( 4) Jobb oldal értéke: ( 4 ) = + = = ( 4) Megoldáshalmaz: M = { 4}. 6. Mintapélda 7 Oldjuk meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! = + 9 Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól és -tól különböző racionális számok halmaza. Röviden: Q \{ ; }. ( )( + ) ( )( ) = ( )( + ) ( + )( ) 9 Szorozzunk a közös nevezővel, ( )( + ) = 9 ( )( + ) + ( )( ) = 7 9 = = 7 9 -cel! Azonosság. Az értelmezési tartomány minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: M = Q \{ ; }.

144 44 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok. Oldd meg az egyenletet a természetes számok halmazán! 7 + = 4. Oldd meg az egyenletet az egész számok halmazán! = Oldd meg az egyenletet a valós számok halmazán! 5 9 = + Mintapélda 8 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! = 4 4 Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 4-től különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ 4 }. Szorozzunk a közös nevezővel, ( 4) -gyel! ( 8 5) ( 4) = ( 6 5) = = 4 =,5 Ellenőrzés: 8,5 5 6,5 5 Bal oldal értéke: = 8; jobb oldal értéke: = 8.,5 4,5 4 Megoldáshalmaz: = {,5} M.

145 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 45 Mintapélda 9 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! = + Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \{ }. Észrevétel: ( ) -nak a ( ) -szerese a ( ). 4 = + 6 Szorozzunk a közös nevezővel, ( ) -mal! 4 = = 8 = 4 ( ) ( + 6) 4 = 6 6 Ellenőrzés: Bal oldal értéke: ( 4) = = = ( 4) Jobb oldal értéke: ( 4 ) = + = = ( 4) Megoldáshalmaz: M = { 4}. 6. Mintapélda 0 Oldjuk meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! Megoldás: = + 9 Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a -tól és -tól különböző racionális számok halmaza. Röviden: Q \{ ; }. ( )( + ) ( )( ) = ( )( + ) ( + )( ) 9 Szorozzunk a közös nevezővel, ( )( + ) = 9 -cel!

146 46 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE ( )( ) ( )( ) = = = + + Azonosság. Az értelmezési tartomány minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: M = Q \{ } ;. 6. Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! = 7. Oldd meg a következő egyenletet a pozitív számok halmazán! ( ) = Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! = Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! = + 0. Oldd meg a következő egyenletet a természetes számok halmazán! =. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! = Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! = Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! 4 + = Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! = + + +

147 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 47 IV. Egyenlőtlenségek Mintapélda Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázoljuk számegyenesen! Megoldás: 7 < 0 Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 0-tól különböző valós számok halmaza. Röviden: R \{ 0 }. Egy tört akkor és csak akkor negatív, ha a számlálója és a nevezője különböző előjelű. I. eset Ha a számláló pozitív és a nevező negatív. VAGY II. eset Ha a számláló negatív és a nevező pozitív. 7 > 0 ÉS < 0 7 < 0 ÉS > 0 > 7 < > < A kettő együtt sohasem teljesül, A kettő együtt akkor teljesül, ha ebből az esetből nem kapunk 7 7 > 0 és <, azaz 0 < <. megoldást. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összegezve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: 7 M = 0 < <, más módon jelölve 7 M = 0;.

148 48 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! A megoldáshalmazt ábrázoljuk számegyenesen! > megoldas:. megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a valós számok halmaza. Röviden: R \. Szorozzuk meg az egyenlőtlenséget ( 6 + ) -mal! I. eset Ha 6 + > 0, azaz > Ha pozitív számmal szorzunk, az egyenlőtlenség iránya változatlan marad. > > > 0 / + / : Ez valóban a vizsgált tartományba esik, mert > >. VAGY -től különböző II. eset Ha 6 + < 0, azaz < Ha negatív számmal szorzunk, az egyenlőtlenség iránya megváltozik, megfordul a relációs jel. < < < 0 / + / : Ennek csak egy része esik a vizsgált tartományba, ezért csak ezek a jó megoldások: < <.

149 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 49 A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összegezve. megoldás: azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M = < vagy >. Értelmezési tartomány: R \. Egy tört akkor és csak akkor pozitív, ha a számlálója és a nevezője azonos előjelű. I. eset Ha a számláló és a nevező is pozitív VAGY II. eset Ha a számláló és a nevező is negatív 6 + > 0 ÉS > < 0 ÉS < 0 6 > > 6 < < > > > < A kettő együtt akkor teljesül, ha A kettő együtt akkor teljesül, ha >. <. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összegezve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M = < vagy >. Feladatok 5. Isi és Marcsi az esküvőjüket szervezik. Két zenekartól kaptak ajánlatot. Az egyik zenekar 5000 Ft-ot kér előre, és utána óránként 500 Ft-ot, a másik 0000 Ft előleget kér, és óránként 000 Ft-ot. Mit tanácsolnál Isinek és Marcsinak, melyik zenekart válassza, ha mindkét zenekar ugyanolyan jól játszik. Válaszodat indokold, készíts ábrát! 6. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! + 7

150 50 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 7. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! + > Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk, illetve mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot. Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a pozitív számmal. Ismeretlent tartalmazó kifejezéseket is hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk az egyenlőtlenség mindkét oldalából. Ha negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk az egyenlőtlenséget, akkor megváltozik az egyenlőtlenség iránya. Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk vagy osztunk, akkor figyelnünk kell arra, hogy az lehet pozitív, negatív, illetve nulla is.

151 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 5 V. Abszolútértékes egyenletek Mintapélda Oldjuk meg a valós számok halmazán az = 4 + egyenletet!.megoldás (grafikus):. megoldás (algebrai): I. eset Feltétel: 0 Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés nem negatív, akkor a szám abszolútértéke önmaga, azaz elhagyhatjuk az abszolútérték jelet: = = 4 Ellentmondás. Ebben a tartományban nem kaptunk megoldást. VAGY Feltétel: < 0 II. eset Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés negatív, akkor a szám abszolútértéke a szám ellentettje: = 4 + = 4 = Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, mert = < 0. Ellenőrzés: Bal oldal értéke: = ; jobb oldal értéke: 4 ( ) = A két esetet összegezve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M = { }. +.

152 5 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 4 Oldjuk meg a = egyenletet! Megoldás: I. eset VAGY Feltétel: Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés nem negatív, akkor a szám abszolútértéke önmaga, azaz elhagyhatjuk az abszolútérték jelet: = = Ez a feltételben meghatározott tartományba esik, így az eredeti egyenletnek is gyöke. II. eset Feltétel: < Ha az abszolútérték jelen belül álló kifejezés negatív, akkor a szám abszolútértéke a szám ellentettje: ( ) = + = 4 = 5 4 = 5 Ez az érték nem felel meg az < feltételnek, így az eredeti egyenletnek sem lesz gyöke. Ellenőrzés: Bal oldal értéke: = ; jobb oldal értéke: =. A két esetet összegezve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M = {}. Egy valós szám abszolútértékén a nullától mért távolságát értjük. a, ha a 0 Legyen a tetszőleges algebrai kifejezés, ekkor a = a, ha a < 0

153 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 5 Feladatok. Jelöld számegyenesen azokat a számokat, a) amelyeknek 0-tól való távolsága kisebb 4-nél;. b) amelyeknek -tól való távolsága nagyobb -nél; c) amelyeknek abszolútértéke nagyobb -nál; d) amelyeknek abszolútértéke kisebb 5-nél.. Melyik az a szám, amelynek az abszolútértéke?. Oldd meg az = 5 + egyenletet! 4. Oldd meg a racionális számok halmazán a = 4 egyenletet! 5. Oldd meg a + = 7 egyenletet! 6. Oldd meg az egész számok halmazán az = 9 egyenletet! 7. Oldd meg az = egyenletet! 8. Oldd meg az 5 = egyenletet!

154 54 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mintapélda 5 Két testvér a bérletpénztárnál jegyet vásárol. Az egyik vonaljegyért és egy átszálló jegyért 60 Ft-ot, a másik 6 vonaljegyért és 4 átszállójegyért 80 Ft-ot fizet. Mennyibe kerül egy vonaljegy és egy átszállójegy? Megoldás: Jelöljük a vonaljegyek árát -szel, az átszálló jegyekét y-nal. Így a következő egyenletrendszert kell megoldanunk: + y = y = 80 Az első egyenletből fejezzük ki y-t: y = 60 Ezt helyettesítsük be a második egyenletbe, y helyére: ( 60 ) = = 80 = 40 = 70 Az -et ismerve, y-t visszahelyettesítéssel kiszámíthatjuk: y = 60 = = = 90 Egy vonaljegy 70 Ft, míg egy átszállójegy 90 Ft-ba kerül. Ellenőrzés: a szöveg alapján. Behelyettesítő módszer A kétismeretlenes egyenletrendszer egyik egyenletéből kifejezzük valamelyik ismeretlent és a kapott kifejezést, behelyettesítjük a másik egyenletbe. Így egy egyismeretlenes egyenletet kapunk, ezt megoldva megkapjuk az egyik ismeretlent. Ennek segítségével kiszámítjuk a másik ismeretlent is.

155 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 55 Feladatok 9. 7 perc múlva kezdődik a U együttes koncertje. A 4 fős társaságnak már csak egy hídon kell átkelnie, hogy odaérjen. Viszont a híd egyszerre csak embert bír el. Azonkívül sötét van és világítás nélkül egy tapodtat sem tudnak megtenni, de szerencsére van egy zseblámpájuk. Tehát valaki világít és átkísér egy embert, aztán vissza kell vinni a zseblámpát (átdobni nem tudják), stb. Az egyik ember perc alatt ér át a hídon, a másik perc alatt, a harmadik 5 perc alatt, a negyedik 0 perc alatt. Milyen sorrendben menjenek át, hogy 7 perc múlva mind a négyen a híd túloldalán legyenek? 40. Űrlények két faja érkezett a földre. Az egyik fajnak feje és 7 lába, a másiknak feje és egy lába van. Összesen 46 fejük és 89 lábuk van. Hány űrlény érkezett az egyes fajokból? 4. Oldd meg a következő egyenletrendszert! + 5y = 7 y = 4. Oldd meg a következő egyenletrendszert! + y = 9 5y = 4. Három szám közül a középső ugyanannyival nagyobb a legkisebbnél, mint a legnagyobb a középsőnél. A két kisebb szám szorzata 85, a két nagyobbé 5. Melyek ezek a számok? 44. Egy háromszög oldalainak hossza cm, 9 cm és 6 cm. Rajzoljunk köröket a háromszög mindhárom csúcsa körül úgy, hogy ezek a körök páronként érintsék egymást. Mekkorák a körök sugarai?

156 56 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Egyenlő együtthatók módszere Mintapélda 6 Oldjuk meg a következő egyenletrendszert! 5 + y = 4 + 7y = 0 Megoldás: Az első egyenletet szorozzuk 4-gyel, a másodikat 5-tel. 0 + y = y = 00 Kivonjuk az első egyenletből a második egyenletet: y = 9 y = 4 Visszahelyettesítve valamelyik eredeti egyenletbe: = = Ellenőrzés: 5 ( ) + 4 = 4 ( ) = 0 A megoldás a ( ; 4) rendezett számpár. Egyenlő együtthatók módszere Úgy szorozzuk az egyenleteket, hogy valamelyik ismeretlenünk együtthatója mindkét egyenletben egyenlő, vagy egymás ellentettje legyen. Ezután a két egyenletet összeadva vagy egyiket a másikból kivonva, egy egyismeretlenes egyenlethez jutunk. Ezt megoldva megkapjuk az egyik ismeretlen értékét. Ennek segítségével kiszámítjuk a másik ismeretlen értékét is.

157 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 57 Feladatok 45. Ádám négy évvel ezelőtt háromszor annyi idős volt, mint Dávid. Öt év múlva pedig kétszer annyi idős lesz. Hány évesek most? 46. Oldd meg a következő egyenletrendszert! 6 + 8y = 9 5 9y = A piacon valaki 4 kg krumplit és kg hagymát vásárolt 440 Ft-ért. A sorban mögötte álló 5 kg hagymáért és kg krumpliért 500 Ft-ot fizetett. Mennyibe kerül ennél a zöldségesnél a krumpli és a hagyma? Egyenletrendszerek megoldhatósága Mintapélda 7 Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket! + y = 4 + 6,0000y = 7, y = 6 a) b) c) + 6y = 8 + 5,99999y = 8, y = 4 Megoldás: a) Az egyik egyenlet következménye a másiknak, így az egyenletrendszer megoldásainak elég az első egyenletet kielégítenie. Ez azt jelenti, hogy az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. (Bármely értékhez kiszámíthatjuk, hogy mennyi a hozzátartozó y.) Például: Ha y = = 4 y =. Ha y = = 4 y = 0. b) Alkalmazzuk az egyenlő együtthatók módszerét, vonjuk ki az első egyenletből a másodikat 0, 0000y = 0, y =. Ezt visszahelyettesítve az eredetibe kapjuk: = 0. A megoldás a ( 0; ) rendezett számpár. c) A második egyenletet kettővel egyszerűsítve kapjuk: + y =, ami ellentmond az első egyenletnek. Ekkor az egyenletrendszernek nincsen megoldása.

158 58 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Új ismeretlen bevezetése Mintapélda 8 Oldjuk meg a. megoldás: 0, y y 7 y = 7 = 5 egyenletrendszert! 6y + 5 = 7y y 7 = 5y Az első egyenletet a másodikkal elosztva az kapjuk, hogy: 6y + 5 = y y 75 = 8y 89 4 = 7y = y Visszahelyettesítünk az eredeti egyenletrendszer egyik egyenletébe: = 7 y y = = 8y 7 = 8y 7 y = = 8 Ekkor = y = =. y

159 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 59. megoldás: Vezessük be az a =, b = ismeretleneket, ez megkönnyíti az egyenletrendszerünk y megoldását. Az új egyenletrendszer: 6a + 5b = 7 a 7b = 5 Az egyenlő együtthatók módszerével megoldva az egyenletrendszert a = és b = adódik. Most már kiszámíthatjuk és y értékét: = = ; y = y =. A ; rendezett számpár eleme az egyenletrendszer alaphalmazának, és az ellenőrzésnél a két oldal helyettesítési értéke egyenlő, ezért ez valóban megoldás. Új ismeretlen bevezetése Akkor célszerű ezt a módszert alkalmazni, ha egyenleteinkben hasonló kifejezéseket fedezünk fel, így egyszerűbbé tehetjük a megoldandó feladatot. Feladatok 48. Oldd meg a következő egyenletrendszert! = 7 y 8 5 = y

160 60 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 49. Oldd meg a következő egyenletrendszert! = 7 y + 5 = 8 y Két autó egyenlő teljesítményű motorjának gazdaságosságát vizsgálva kiderül, hogy adott idő alatt az egyik 60 liter benzint fogyasztott, a másik két órával kevesebb idő alatt 8,4 litert. Ha az első motor annyit fogyasztott volna óránként, mint a második, a második pedig annyit mint az első, akkor az előbbi idők alatt egyenlő lett volna a fogyasztásuk. Óránként hány litert fogyasztott az. és mennyit a. motor?

161 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 6 VII. Szöveges feladatok Mintapélda 9 Brigi kétféle (kék és fekete) tollból 7 darabot vásárolt a boltban 85 Ft értékben. A kék tollak 5 Ft, a fekete tollak 5 Ft-ba kerülnek. Hány darabot vett Brigi a kék illetve a fekete tollakból?. megoldás: Legyen a kék tollak száma:. Ekkor a fekete tollak száma: 7. A kék tollakért fizetett pénz: 5. A fekete tollakért fizetett pénz: 5 ( 7 ). A kettő összege a kifizetett pénz: ( 7 ) = = 85 0 = 0 = 7 = 6. Ellenőrzés: Brigi kék tollat vett, (75 Ft), valamint 6 feketét (80 Ft) ez összesen 85 Ft. Brigi tehát kék és 6 fekete tollat vásárolt.. megoldás: Ha az összes toll kék lett volna, akkor 7 5 = 5 Ft-ot kellett volna fizetni. A különbözet: 60 Ft. Ha egy kék tollat kicserélünk egy feketére, akkor 0 Ft-tal kell többet fizetnie Briginek. A 60 Ft többlet tehát 60 :0 = 6 cserét jelent. Így a fekete tollak száma 6, a kék tollaké, pedig. Feladatok 5. LÁGYTOJÁS (Matematika határok nélkül verseny) A lágytojást, mint az közismert, percig kell főzni forró vízben. Sajnos csak két homokóra áll rendelkezésünkre. Egyik 6 percet, a másik 7 percet tud mérni. Hogyan járjunk el, ha lágyra szeretnénk főzni a tojást?

162 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 5. HIXE ASSZONY ÉLETKORA (Matematika határok nélkül verseny) Egy tapintatlan ember Hie asszony életkora iránt érdeklődik. Íme Hie asszony válasza: Életkorom éppen 4/-a a hátralevő időm felének, ha száz évig élek. Hány éves Hie asszony? 5. Egy lakásban javításra szorul a vízvezeték. Két szerelőnél érdeklődtek: az egyik 5000 forint a kiszállási díjat és 500 forint az óradíjat, míg a másiknál 500 forint a kiszállási díjat és 000 forint az órabért kért. Melyik szerelővel dolgoztassanak, ha előreláthatólag órás munka vár rá? Becsüld meg, nagyjából mennyi pénz kell ahhoz, hogy biztosan ki tudják fizetni a szerelőt! Kivel dolgoztatnál, ha nem tudod mennyi időbe telik a javítás? Ábrázold grafikonon! Mitől függ? 54. Egy kétjegyű szám számjegyeinek az összege. Ha a számjegyeit felcseréljük, akkor az eredeti kétszeresénél 0-szal kisebb számot kapunk. Melyik ez a szám? liter 64%-os alkoholhoz hány liter vizet öntsünk, hogy a keverék 8%-os legyen? 56. A Rózsaszirom lakópark építésén három festő dolgozik. Az eddigi tapasztalatok alapján ugyanakkora lakást az első festő 8 óra alatt, a második 7,5 óra alatt, a harmadik 7 óra alatt fest ki egyedül. Mennyi idő alatt végeznek az utolsó lakással, ha együtt dolgoznak? Be tudják-e fejezni a munkát, mire előreláthatólag óra múlva a munkafelügyelő megérkezik? 57. Egy uszodában leeresztették a vizet. Három csapon keresztül töltik újra a medencét. Az első csap egyedül óra alatt, a második 5 óra alatt, a harmadik 6 óra alatt tölti tele a medencét. Mit mondjanak a vendégeknek, mennyi idő múlva úszhatnak újra a medencében, ha csak a teljesen feltöltött medencébe engedik be az úszni vágyókat? 58. Egy kerékpáros a faluból a városba 0 km/h sebességgel megy. Egy órával később utána indul egy másik kerékpáros km/h sebességgel és egyszerre érkeznek a városba. Hány km-re van a város a falutól?

163 7. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 6 VIII. Összefoglalás 59. Az állatkert két elefántja Fáni és Fáncsi. Fáni 4 évvel korábban született, és így négyszer annyi idős, mint Fáncsi. Hány évesek az elefántok? 60. Egy anya évvel idősebb a gyermekénél. év múlva 4-szer annyi idős lesz, mint gyermeke. Mennyi idős az anya és a gyermeke most? 6. Otthon alkoholmentes koktélt akarunk készíteni. Az Apricot Shake nevű koktélhoz összekevertünk háromféle gyümölcslevet. liter 40%-os ananászlevet, liter 00%-os cseresznyelevet, liter %-os sárgabaracklevet. Az alapanyagokat turmigépben tört jéggel simára turmioljuk. Hűtött pohárba töltjük, és citromszelettel díszítjük. A koktélban hány % a gyümölcstartalom? Számolás előtt becsüld meg az eredményt! 6. Egy 90 km/h sebességű gyorsvonat az egyik városból a másikba megy. Egy órával később utána indult egy 0 km/h-val nagyobb sebességű InterCity vonat. A két vonat egyszerre érkezik az állomásra. Mekkora a két város távolsága? 6. Szandi, Ditta és Betti testvérek. Szandi a lakást egyedül óra alatt, Ditta 90 perc alatt, Betti 5 perc alatt takarítja ki. Mennyi idő alatt végeznek együtt? Szerinted be tudják fejezni a takarítást még mielőtt a szüleik hazaérnek, ha a szülők várhatóan fél óra múlva lesznek otthon, és csak most tudják elkezdeni a munkát?

164

165 8. MODUL statisztika Készítette: Lövey Éva (Gidófalvi Zsuzsa moduljának felhasználásával)

166 66 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Ismerkedés a grafikonokkal Az újságokban, plakátokon, reklámkiadványokban nagyon sok grafikon található, ezért szükséges, hogy mindenki értelmezni tudja azokat, értse meg a nyelvüket. Néhány grafikon ismerős nekünk, hiszen a függvények ábrázolásánál is hasonlókkal találkozhattunk. A grafikonoknál megengedhető az, hogy közös koordináta-rendszerben ábrázoljunk különböző adatsorokat. Mintapélda Egy cég közös grafikonban ábrázolja a teljesítményét és az alkalmazottak létszámát. Le tudnánk-e olvasni, mekkora volt a cég teljesítménye és a dolgozók létszáma 000-ben, ha csak az 996- os adatokat ismernénk? Megoldás: Az ilyen típusú grafikonokat oszlopdiagramnak hívják, és a diagram magassága egyenesen arányos az ábrázolt mennyiséggel, de észrevehetjük, hogy itt egy kis csalás történt. A cég forgalmát szemléltető 006-os adat ugyanis 5,7-szerese az 996-osénak, de az oszlop magassága csak négyszerese az első oszlop magasságának. A létszámmal fordított a helyzet.,-szeres adatot 4-szeres oszloppal szemléltettek. Az mindenesetre teljesül, hogy nagyobb adathoz nagyobb oszlop tartozik. Az ilyen csalás megengedhető, ha az adatokat feltüntetik az oszlopnál. A 000-es adatokat tehát nem tudnánk megbízhatóan leolvasni a grafikonról, ha az adatok nem szerepelnének ott. Mintapélda A Központi Statisztikai Hivatal közölte ezt a grafikont. Állapítsuk meg, melyik negyedévben látogatott Magyarországra a legtöbb turista! Olvassuk le, melyik negyedévben költöttek a legtöbbet a külföldiek!

167 8. modul: STATISZTIKA 67 Becsüljük meg, hogy mennyi az egy látogatóra eső kiadás 007 második és harmadik negyedévében! Megoldás: 006 harmadik negyedévében érkezett a legtöbb külföldi, körülbelül millió fő. A vizsgált időszakokban 9,5, illetve millió külföldi érkezett, és 40 milliárd forintot, illetve 0 milliárd forintot költöttek , ezer, ezer. Az első időszakban az egy főre eső költség körülbelül 5 ezer Ft, a másodikban 9 ezer Ft volt. Megfigyeltük, hogy itt is két teljesen különböző jellegű adat változását ábrázolták ugyanabban a grafikonban. Mintapélda Nézzük meg a diagramot és válaszoljunk a Nappali oktatásban résztvevő középiskolások aránya vizsgált időszakra vonatkozó kérdésekre! a) Melyik tanévben járt a középiskolások legnagyobb része nappali oktatásra? b) Melyik tanévben jártak a legkevesebben nappali oktatásra? Megoldás: a) Az 996/997-es tanévben a középiskolások körülbelül 8,8%-a járt nappali tagozatra. Ez a legmagasabb érték. b) Erre a kérdésre nem tudunk válaszolni annak ismerete nélkül, hány középiskolás diák volt az egyes években. Csupán a grafikont ismerve azt olvashatjuk le, hogy az 990/99-es tanévben járt a középiskolások legkisebb része a nappali tagozatra. 006/ / /005 00/004 00/00 00/00 000/00 999/ / / / / /995 99/994 99/99 99/99 990/99 79,00 80,00 8,00 8,00 8,00 84,00 85,00 százalék

168 68 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Az egyes években a középiskolások száma ismeretében a nappali tagozatosok számát is meg tudjuk becsülni: (Az adatok a KSH (Központi Statisztikai Hivatal) adatbázisából valók.) Tanév 990/99 99/99 99/99 99/ / / / / /999 Tanuló Tanév 999/ /00 00/00 00/00 00/ / / /007 Tanuló Ennek ismeretében kiszámítható, hány tanuló is járt az egyes években a nappali képzésre: Tanév 990/99 99/99 99/99 99/ / / / / /999 % 8, 8,6 8,4 8,8 8,4 8, 8,8 8,5 8,7 nappalis Tanév 999/ /00 00/00 00/00 00/ / / /007 % 8,5 8,0 8,6 8, 8,4 8,9 8, 8,0 nappalis Mivel a diagramról leolvasható százalékértékek kerekítettek, a számított tanulói létszámot ezresekre kerekítettük. Ez a diagram is rokona az oszlopdiagramnak, csak az oszlopok vízszintes hosszával jellemzi az adatokatl. Mintapélda 4 Ez a térhatású oszlopdiagram egy kozmetikai termékcsalád hatóanyag-összetételét mutatja. A függőleges tengely felirata: Hatóanyag g/500ml. Melyik termék tartalmazza a legtöbb fahéj és narancshéjolaj hatóanyagot? Melyik termék tartalmazza a legtöbbet a felsorolt hatóanyagok közül? Melyik terméket ne javasoljuk annak, aki amúgy is hajlamos a pirulásra?

169 8. modul: STATISZTIKA 69 Megoldás: A négy oszlop azonos színű részeinek hosszúságát kell vizsgálnunk. A grafikonról tehát úgy tűnik, hogy a B termékben a legtöbb a fahéj és narancshéjolaj hatóanyag, vagy legalábbis nem kevesebb, mint a többiben. A legtöbb hatóanyagot a negyedik termék tartalmazza. A vérbőséget fokozó komple hatóanyag pirulást okoz, tehát az erre hajlamosaknak csak az A terméket javasolnánk. Mintapélda 5 Ez a grafikon egy útkezelő társaság honlapján található. Értelmezzük a grafikont! Mi a hiba? Megoldás: Az ábrán három kördiagramot láthatunk. Három úttípus esetén azt akarja mutatni, hogy az azon haladó járművek milyen összetételben használják az utat. Az egyértelmű, hogy mindhárom utat a személygépkocsi-forgalom uralja 7%, 8%, illetve 8% arányban. Egy-egy kördiagramon belül és a különböző úttípusoknál megmondható az egyes járműtípusok arányszáma is. Ha megnézzük, az első ábrán 5 körcikk van, körötte 4 járműtípus, a. ábrán 4 körcikk van és három fajta jármű, a. ábrán pedig 5 körcikk és 4 jármű van. Tehát egy közlekedési járműfajtát mindegyik ábráról lefelejtett a rajzolója!

170 70 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 6 Az ábrán egy korfa látható. Ausztrália lakosságának összetételét mutatja. A függőleges tengelyen az életkor látható, a vízszintes tengelyen pedig a lakosok száma (600k=600 ezer). a) Mit jelent a sárga és piros szín? b) Melyik grafikonfajtára hasonlít legjobban ez a grafikon? c) Hány 80 év fölötti lakosa van Ausztráliának? d) Fiú, vagy lány születik több? Megoldás: a) A grafikon sarkaiban levő jelek szerint a sárga oldal a férfiakra, a piros pedig a nőkre vonatkozó adatokat szemlélteti. b) Ez igazából két vízszintes oszlopdiagram. c) Össze kell adni a 80 év fölötti férfiak és nők számát. Ezt a férfi és a női oldalakról lehet leolvasni: 00ezer + 80eze r= 580ezer. d) Körülbelül 50 ezerrel több fiú születik, mint lány. Feladatok:. A következő grafikon úgy keletkezett, hogy 006. március 9-én Törökországban a napfogyatkozás idején 75 fotót készítettek a Napról, majd megállapították azok átlagos fényességét. Meg tudod-e mondani, pontosan hány órakor volt a napfogyatkozás?

171 8. modul: STATISZTIKA 7. a) Olvasd le a grafikonról, hogy mekkora volt az egyes adók hallgatottsága 007-ben Szolnokon? b) Add össze az a) részben kapott %-okat. Mit tapasztalsz? Mi lehet a magyarázata? c) Melyik évben lett több hallgatója az R000 adónak, mint a Danubius rádiónak?. Az oszlopdiagram az egyes országokban érvényes telefonálási tarifákat mutatja. Foglalkozzunk most csak a hívásindítás árával. a) Melyik országban kell a legtöbbet fizetni a hívásindításkor? b) Melyik országban kell a legkevesebbet fizetni a hívásindításkor? c) Hány százalékkal nagyobb a hívásindítás költsége abban az országban, ahol a legtöbbet fizetnek érte, mint ahol a legkevesebbet?

172 7 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Megkérdeztek sok-sok embert, hogy a könnyűzene melyik ágát hallgatja a legszívesebben. Mindenki csak egy választ adhatott. A válaszokat leolvashatod az oszlopdiagramról. Hány ember válaszolt? A válaszadók hány százaléka számára volt a legnépszerűbb a rock? 5. A két kördiagram Európa energiafelhasználását mutatja. A második grafikon szemlélteti a különböző megújuló energiaforrásokat. a) Az összes energiafogyasztásunk hány százaléka származik a biomassza elégetéséből? b) Az összes energiafogyasztásunk hány százaléka geotermikus eredetű? c) Az atomenergiából vagy a vízi energiából származó energiát használjuk nagyobb mértékben? 6. Idézet egy újságcikkből: A grafikon a drogambulancia forgalmának alakulását mutatja, és önmagáért beszél. A kiemelt három csoport ugyanis azok arányát mutatja klienseink között, akik nemcsak maguk vannak a legnagyobb veszélyben, hanem súlyos veszélyforrást jelentenek

173 8. modul: STATISZTIKA 7 másokra, egész korosztályukra nézve is. Az ópium típusú szerek (ópiátok) függősége ugyanis rosszindulatú, makacs, és terjedésre hajlamos kórkép. A kérdések a fenti ambulanciára vonatkoznak. (A grafikonon az i.v. rövidítés: az intravénásan beadott kábítószer.) a) Hány olyan betegük van, akik jelenleg is használnak intravénásan beadott kábítószert? b) Hány ópiátfogyasztó nőbetegük van? c) Összesen hány betegük van? 7. A grafikon az arany árát mutatja dollárban. a) Mit gondolsz, mit jelenthet az, hogy az egyes időpontokban nem kis pont, hanem kis vonal jelzi az arany árát? b) Olvasd le, mikor volt az arany ára a legalacsonyabb, illetve a legmagasabb? c) Hányszorosa a legalacsonyabb ár a legmagasabb árnak? 8. A grafikon alapján válaszolj a következő kérdésekre: a) Melyik típusú betegségekre van rossz hatással az alacsony páratartalom? b) Melyik típusú betegségekre van rossz hatással a magas páratartalom? c) Írd le, milyen hatással van az allergiás betegre a páratartalom változása?

174 74 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 9. A grafikon egy tanulmányi verseny népszerűségének növekedését mutatja. a) Melyik tanévben indult a verseny? b) Melyik tanévben készült a grafikon? c) Hányszorosára nőtt a résztvevők létszáma a verseny beindítása óta? 0. Az alábbi vonaldiagram az éves forgalom alakulását mutatja ezer Ft-ban egy kereskedelmi vállalat három telephelyén. Egy kereskedelmi vállalat három telephelyének forgalma hó.hó.hó 4.hó 5.hó 6.hó 7.hó 8.hó 9.hó 0.hó.hó.hó A B C Határozd meg az egyes telephelyek havi forgalmának értékeit, és készíts belőle táblázatot! Határozd meg telephelyenként, hogy melyik volt a leggyengébb és melyik volt a legerősebb hónap forgalom szempontjából!

175 8. modul: STATISZTIKA 75. A következő oldalon található a) diagram 0 tanuló testmagasságát ábrázolja, a b) diagram pedig Pistike testmagasságának változását mutatja. Matematikailag melyik helyes és melyik nem? Miért? Tanulók testmagassága Ádám Bernadett Éva Ferenc István József Mária Piroska Sándor Sarolta Testmagasság(cm) a) diagram Pistike testmagasságának változása az utóbbi öt évben b) diagram

176 76 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Tömegjelenségek és a statisztika A statisztika szót ma kétféle értelemben használjuk: egyrészt információk valamilyen szempontból rendezett összessége, másrészt tömegjelenségek vizsgálatához szükséges módszerek összessége. Tömegjelenségnek nevezzük azokat a jelenségeket, amelyek tetszőlegesen sokszor, lényegében azonos feltételek mellett mennek végbe. Például egy autó motorja üzemanyag nélkül soha nem működik, vagy esőhöz mindig felhőre van szükség. Persze, ha feldobunk egy szabályos pénzérmét, nem tudjuk, melyik oldalára fog esni, vagy esetleg megáll az élén, de az kétségtelen, hogy a három lehetséges eset közül az egyik biztosan bekövetkezik. Ilyenkor véletlen tömegjelenségről beszélünk. Erről van szó pl. akkor is, amikor egy játékkockát feldobunk, és megfigyeljük, melyik oldalára esett. Mintapélda 7 Minden tanuló kap egy-egy játékkockát. Mindenki 0-szer dob a kockával. Az alábbi táblázatokat másoljuk a füzetbe, és a kapott eredményeket írjuk bele! Egy dobás lehetséges kimenetei:,,, 4, 5, 6. Dobás Kimenet Bizonyos társasjátékokban (például: Ne nevess korán) csak akkor indulhatunk el a bábunkkal, ha -est vagy 6-ost dobtunk. Vizsgáljuk meg, hány -es és hány 6-os dobás történt? -es dobása Dobások száma Gyakoriság Dobások száma Gyakoriság Dobások száma Gyakoriság

177 8. modul: STATISZTIKA 77 6-os dobása Dobások száma Gyakoriság Dobások száma Gyakoriság Dobások száma Gyakoriság Ha a kapott eredményeket összegyűjtjük, rendezzük, és valamilyen formában (táblázatban, grafikonon, diagramon stb.) ábrázoljuk, akkor statisztikát készítettünk. Az ilyen típusú felméréseket leíró statisztikának nevezzük. A leíró statisztika tehát egy adott, meghatározott elemekből álló információhalmazt értékel ki. A kiválasztott egyedekre vonatkozó adatokat összegyűjti, rendezi, esetleg még táblázatosan vagy grafikusan ábrázolja is. A megfigyelés tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük. Gyakoriság, relatív gyakoriság szemléltetése A gyakoriság azt mutatja meg, hogy az egyes jelenségek a felmérés során hányszor fordulnak elő. A statisztikában alapsokaságnak vagy adatsokaságnak nevezik a vizsgálat tárgyát képező adatok (egyedek) összességét. Ezek tulajdonságára egy részük, az úgynevezett minta alapján következtetünk. A mintát a sokaságból általában véletlenszerűen választjuk ki. Ha egy kisérletet amelynek az eredménye az, hogy egy A esemény bekövetkezik-e vagy sem n-szer megismételünk, és az n közül k esetben bekövetkezik az A esemény, akkor k-t az A esemény gyakoriságának nevezzük. (k n.)

178 78 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A gyakoriságot szemléltehetjük grafikonon is. Egy diagramnak vagy grafikonnak általában a következőket kell tartalmaznia : legyen címe, szerepeljen jelmagyarázat, legyen neve a koordinátatengelyeknek (az ábrázolt adat megnevezése), legyenek egységek a koordinátatengelyeken. Ha két, eltérő elemszámú statisztikai sokaságot szeretnénk összehasonlítani, akkor a gyakoriság nem megfelelő mutatószám. Például az, hogy az egyik osztályból 0-en, a másikból pedig -en röplabdáznak, nem mond sokat. Kifejezőbb, ha azt mondjuk meg, hogy az osztály hányadrésze (hány százaléka) röplabdázik. Definíció: Ha a gyakoriságot elosztjuk a statisztikai sokaság elemszámával, akkor a relatív gyakoriságot kapjuk. A relatív gyakoriságok összege, ha százalékos formában adjuk meg, akkor 00%. Megjegyzés: A kerekítések miatt ettől egy kis eltérés lehetséges. (Lásd az 5. és 4. feladatot.) Mintapélda 8 A 004-ben megrendezésre kerülő megyei informatika verseny első tizenöt helyezettjének a középiskola típusa szerinti megoszlását mutatja a következő táblázat. 9. évfolyam 0.évfolyam. évfolyam. évfolyam Gimnázium Szakközépiskola 9 0 Összesen Ábrázoljuk az eredményt különböző diagramokon! Megoldás: Ebben az ábrázolási módban az adatokat mint téglalapokat jelenítjük meg. A téglalapok magassága arányos az adat nagyságával. (A negatív adatokat lehet lefelé rajzolni.)

179 8. modul: STATISZTIKA 79 Ábrázolás oszlopdiagrammal Megyei informatika verseny helyezettjei évfolyam 0.évfolyam. évfolyam. évfolyam Gimnázium Szakközépiskola Megyei informatika verseny helyezettjei évfolyam 0.évfolyam. évfolyam. évfolyam Gimnázium Szakközépiskola Oszlopdiagramok esetében térbeli ábrákat is készíthetünk: Megyei informatika verseny helyezettjei évfolyam 0.évfolyam. évfolyam. évfolyam Gimnázium Szakközépiskola

180 80 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Ábrázolás vonaldiagrammal (grafikonnal) A vonalas ábrázolási mód hasonlít az oszlopdiagramos módszerhez. Koordináta-rendszerben ábrázoljuk az adatok nagyságának megfelelő pontokat, majd ezeket egy töröttvonallal összekötjük. Ezt az adatsort így ábrázolni például teljesen értelmetlen, hiszen a 9. és a 0. évfolyam értékei között hiába van vonal, az nem jelent semmit. Ennek az ábrázolási módnak csupán csak az az előnye, hogy a leolvasást könnyíti. (Pontról pontra vezeti a szemet. Főként akkor alkalmazzák, ha sok diszkrét pont szerepel valamilyen változás vagy egyszeri mérés esetén.) Ezt az ábrázolási módot leginkább valamely adat változásának szemléltetésére használjuk. A vonaldiagram (grafikon) hátránya, hogy folytonos változást érzékeltet, pl. azt, hogy egy kisebb értékről egy nagyobb értékre folyamatos növekedéssel jutottunk el. Ez nem feltétlenül igaz, hiszen ha pl. a minden második évben szerzett adatokat ábrázoljuk, akkor a közbenső években az előző adatsor növekedésétől függetlenül is bekövetkezhetett relatív csökkenés a korábbi évek eredményéhez képest. Ilyen diagram a kórházi lázgörbe is. Mintapélda 9 Játsszunk kockapókert 5 dobókockával a következő szabályok szerint! Egy pár: egyforma szám (pl., 4, 5,, ) Két pár: egyforma + egyforma + szám (pl., 5, 4,, 5) Terc vagy drill: egyforma + + szám (pl.,, 4,, ) Sor: 5 egymást követő szám, tetszőleges sorrendben (pl.,,, 4, 5)

181 8. modul: STATISZTIKA 8 Full: egyforma + egyforma szám (pl.,,,, ) Póker: 4 egyforma + szám (pl., 4,,, ) Royal póker: 5 egyforma szám Lehetséges eredmény Egy pár Két pár Terc Sor Full Póker Royal póker Gyakoriság Relatív gyakoriság Melyik esemény bekövetkezése valószínűbb? A relatív gyakoriságok szemléltetésére különösen alkalmas a kördiagram és a sávdiagram. Ábrázolás kördiagrammal, gyűrűdiagrammal A kördiagram segítségével általában a rész és az egész arányát ábrázoljuk. A teljes kör jelképezi a 00%-ot, és az egyes részek arányát ábrázoló körcikkhez tartozó középponti szög arányos a relatív gyakorisággal. A gyűrűdiagram tulajdonképpen a kördiagram egy részlete. Mintapélda 0 Ábrázoljuk most kördiagramon a 8-as mintapéldában szereplő verseny gimnáziumi résztvevőinek évfolyamonkénti relatív gyakoriságát! (Összesen 8 gimnáziumi tanulóról volt szó.) 9. évfolyam 0.évfolyam. évfolyam. évfolyam Gimnázium relatív gyakoriság /9 / /6 5/8 középponti szög 80 o 0 o 60 o 00 o

182 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Gimnáziumi résztvevők relatív gyakorisága 8% 7% % % 9. évfolyam 0.évfolyam. évfolyam. évfolyam Ábrázolás sávdiagrammal A rész és az egész arányának szemléltetésére, azaz a relatív gyakoriság ábrázolására használhatunk sávdiagramot is. A sávdiagramon a rész és az egész viszonya ugyan jól látható, azonban az egyes részek egymáshoz való viszonya nem igazán szemléletes. Példa: Informatika verseny gimnáziumi helyezettjeinek megoszlása évfolyamonként, sávdiagramon: % % 7 % 8 % % ( 9. évfolyam ), % (0. évfolyam), 7 % (. évfolyam), 8% (. évfolyam). Feladatok. Véletlenszerűen választottunk ki 00 családot, és felmértük, hogy a családok hány százaléka nézi az általunk kiválasztott témájú műsorokat a televízióban. A felmérés eredményét tartalmazza az alábbi táblázat. TV műsor Családok %-a Híradó 75 Fókusz 55 Vetélkedők 85 Sorozatok 80 Természetfilmek 50 Történelmi filmek 5 Romantikus filmek 5 A véletlenszerűen kiválasztott 00 családban melyik a legkedveltebb és melyik a kevésbé kedvelt műsor?

183 8. modul: STATISZTIKA 8 A százalékok alapján határozd meg a családok számát, és ábrázold oszlopdiagramon az alábbiak szerint: a diagram címe: Televízió műsorok nézettsége. A vízszintes tengelyen a műsorok neve, a függőleges tengelyen pedig a családok száma szerepeljen.. Az alábbi táblázat egy adott évben a magyarországi autóértékesítés adatait tartalmazza a legkedveltebb nyolc autómárka esetén: Márka Suzuki Opel Renault VW Peugeot Fiat Ford Skoda Darab Számítsd ki az egyes márkák esetén a relatív gyakoriságot és ábrázold sávdiagramon! 4. Egy műveltségi teszt maimális pontszáma 00 pont. A tesztet 5 tanuló írta meg. Az eredményeket tartalmazza a következő táblázat: Pontszám Gyakoriság Készíts oszlop-, sáv- és gyűrűdiagramot a relatív gyakoriságból! 5. Egy 0 fős osztály tanulóinak lakhely szerinti megoszlását ábrázolja az alábbi kördiagram. Egy osztály tanulóinak lakhely szerinti megoszlása Debrecen Hajdúszoboszló Kaba Újfehértó Ebes Szögmérő felhasználásával határozd meg a százalékokat (a relatív gyakoriságokat)! Számítsd ki, az osztályból hány tanuló lakik az egyes városokban! Az adatokból készíts táblázatot!

184 84 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 6. Az internetes játékok közül öt játékot választottunk ki: sakk, pasziansz, póker, foci, autóverseny. Megvizsgáltuk, hogy az elmúlt napon hányan játszották ezeket a játékokat, és az eredményeket tartalmazza az alábbi diagram. Játékosok száma Sakk Pasziansz Póker Foci Autóverseny Olvasd le az értékeket, és készíts belőle táblázatot! Készíts kördiagramot a relatív gyakoriságok alapján! 7. Megkérdeztük egy 40 fős osztály tanulóit, hogy melyek a kedvenc ételeik, és a kapott válaszok alapján készítettük el az alábbi sávdiagramot.. Lila: pizza, szürke: hamburger, sötétzöld: milánói makaróni, világoszöld: rántott sajt, sárga: palacsinta, barna: hot dog. a) Olvasd le a relatív gyakoriságokat! b) Ezek ismeretében határozd meg a gyakoriságokat! c) A gyakoriságok alapján készíts oszlopdiagramot! d) Határozd meg, hogy melyik a legnépszerűbb étel az osztályban!

185 8. modul: STATISZTIKA Az itt látható grafikon öt tizenkettedikes osztály három tanévre vonatkozó hiányzási átlagait (nap/fő) mutatja. Két táblázatot mellékeltünk. Döntsd el, hogy melyik a grafikonhoz tartozó táblázat! Ha már döntöttél az egyik táblázat mellett, ábrázold kördiagramon, hogy az egyes osztályoknak mekkora részük volt a. évfolyam hiányzásaiból 00/004-ben! Három tanév hiányzási átlagai a.b.c.d.e 00/00 00/00 00/004 Év/osztály.a.b.c.d.e 00/ / / Év/osztály.a.b.c.d.e 00/ / /

186 86 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Középértékek (módusz, medián, átlag) Mintapélda Bergengócia királyának ellopták a jogarát. A térfigyelő kamerák felvétele alapján a lopással erősen gyanúsítható X.Y. nagykorú, foglalkozását tekintve udvari bolond. A jogart azonban nem találták a gyanúsított lakásán. A királyi rendőrség a helyi telefontársaságtól lekérte X.Y. telefonvonaláról indított hívások listáját. A lista a következő volt: (A szám a telefonos ébresztésé.) Mit olvashatunk ki ebből a táblázatból? Mennyiben segít ez a jogar megtalálásában? Megoldás: A hívott számok gyakoriságát a következő táblázat mutatja: A legtöbbször előforduló adat jellemzi leginkább ezt a sokaságot. A leggyakrabban hívott szám valószínűleg a tettestársé lehet. (Így lelepleződött a szakács.) A sokaságot jellemezhetjük a leggyakrabban előforduló elemével, ezt módusznak nevezzük. Ha több olyan elem van, ami egyforma gyakorisággal fordul elő, akkor ezek a móduszok halmazát alkotják. Ha minden elem csak egyszer-kétszer fordul elő a sokaságban, akkor a móduszok halmazának megadásával elég kevés, és viszonylag rosszul kezelhető információhoz jutunk. Mintapélda A Galaktikus Elhárítás emberszabású robotokat alkalmaz kémnek. Problémát okoz azonban, hogy a robot intelligenciája általában meghaladja a társaságában levő emberekét, így gyorsan lebukik. Hogyan állítsák be a robot IQ szintjét, ha azt akarják, hogy a társaságában levő embereknek pontosan a fele legyen nála okosabb? A robot most egy konferenciára megy, ahol a résztvevők IQ szintje a következő:

187 8. modul: STATISZTIKA 87 Megoldás: Állítsuk nagyság szerinti sorrendbe a résztvevők IQ értékeit, majd válasszuk ki a középső adatot! Most mivel az adatok száma páros nincs középső adat. Ha a két középső adat átlagát vesszük, ugyanannyi lesz a résztvevők között a nála okosabb, mint a butább. A robot IQ-ját tehát 4,5-re érdemes beállítani. Bizonyos sokaságokról elég sokat elárul a sokaság középső értéke (természetesen ez megkívánja, hogy az adatok rendezhetőek legyenek.) Vagyis rendezzük nagyság szerinti sorrendbe az adatokat, és válasszuk ki a középső elemet; ha nincs középső elem, mert páros számú adatunk van, akkor a középső két elem számtani közepét vegyük. Az így kapott elemet mediánnak nevezzük. A medián is viszonylag kevés információt hordoz a sokaságról, hiszen az elemek sorának elején és végén a mediántól nagyon eltérő elemek is állhatnak. A mediánt csak a sokaság többi tagjának a sorrendje határozza meg, de azok nagyságáról nem ad képet. Mintapélda Egy elemeket gyártó cégnél két terméket is előkészítettek gyártásra. Úgy döntöttek, hogy a két termék közül azt fogják valóban gyártani, amelynek az élettartama hosszabb. Mindkét fajtából megmérték, hogy 0-0 elem mennyi ideig működik egy lámpában, és utána döntöttek. Hogyan lehet összehasonlítani a két termék élettartamát? A mért időtartamokat (órákban) az alábbi táblázat mutatja. Az adatokból grafikont is készítettek. A elem B elem óra Elemek élettartama elemek A elem B elem

188 88 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Megoldás: Sem a grafikon, sem a táblázat most nem segít a döntésben. Érdemes a működési idők átlagát (számtani közepét) venni. A = 0 = 76,7 B = = 70,9 0 Az A jelű elemet fogják tehát gyártani, mert annak az átlagos élettartama nagyobb. Ha a sokaság számokból áll, akkor több tájékoztatást kaphatunk a sokaságról, ha minden benne szereplő számot figyelembe veszünk, tehát a számok összegét osztjuk a darabszámukkal. Az így kapott értéket nevezzük a sokaság aritmetikai átlagának vagy számtani közepének. Ez azonban megint csalóka lehet: ha van egy, a többiekhez képest nagyon nagy, vagy nagyon kicsi szám a sokaságban, akkor az adatok jelentős része döntően eltérhet az átlagként kapott adattól. A móduszt, a mediánt és az átlagot statisztikai középértékeknek nevezzük. Feladatok 9. Valaki megvizsgálta, melyik betű hányszor szerepel Ady Endre: Lédával a bálban című versében. Az eredményt a vers alatt található táblázat mutatja. (A vers címét és a kettős betűket nem vettük figyelembe.) Sikolt a zene, tornyosul, omlik Parfümös, boldog, forró, ifju pára S a rózsakoszorús ifjak, leányok Rettenve néznek egy fekete párra. Kik ezek? S mi bús csöndben belépünk. Halál-arcunk sötét fátyollal óvjuk S hervadt, régi rózsa-koszoruinkat A víg teremben némán szerte-szórjuk. Elhal a zene s a víg teremben Téli szél zúg s elalusznak a lángok. Mi táncba kezdünk és sírva, dideregve Rebbennek szét a boldog mátka-párok.

189 8. modul: STATISZTIKA 89 a á b c d e é f g h i í j k l m n o ó ö ő p q r s t u ú ü ű v w y z A táblázat alapján készíts grafikont az alábbiak szerint: a vízszintes tengelyen a betűk szerepeljenek, a függőleges tengelyen pedig a gyakoriságok! Állapítsd, meg milyen statisztikai középértékkel lehet jellemezni ezt a sokaságot. Add is meg ezt a középértéket! 0. Egy oszályból kiválasztottunk 0 tanulót. A csoportot megvizsgáltuk nemük, lakhelyük, születési dátumuk, testmagasságuk, és hajszínük szerint. (Az egyszerűség kedvéért a tanulókat sorszámmal azonosítjuk.) A tanulók adatai az alábbi táblázatokban láthatók. Határozzuk meg az egyes ismérvek gyakoriságát! Az egyes ismérvek esetében állapítsuk meg a lehetséges és jellemző statisztikai közepeket! Tanuló T T Nem lány lány Lakhely Debrecen Debrecen Sz_dátum Testmagasság 65 6 Hajszín szőke szőke

190 90 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Tanuló T T4 Nem lány lány Lakhely Ebes Kaba Sz_dátum Testmagasság Hajszín vörös barna Tanuló T5 T6 Nem lány lány Lakhely Kaba Szolnok Sz_dátum Testmagasság 6 6 Hajszín fekete szőke Tanuló T7 T8 Nem lány lány Lakhely Debrecen Ebes Sz_dátum Testmagasság 65 6 Hajszín szőke vörös Tanuló T9 T0 Nem lány lány Lakhely Szolnok Derecske Sz_dátum Testmagasság 58 6 Hajszín vörös vörös Tanuló T T Nem lány lány Lakhely Kaba Ebes Sz_dátum Testmagasság Hajszín szőke barna Tanuló T T4 Nem lány fiú Lakhely Debrecen Debrecen Sz_dátum Testmagasság 6 68 Hajszín szőke barna

191 8. modul: STATISZTIKA 9 Tanuló T5 T6 Nem fiú fiú Lakhely Ebes Szolnok Sz_dátum Testmagasság 65 7 Hajszín fekete barna Tanuló T7 T8 Nem fiú fiú Lakhely Derecske Ebes Sz_dátum Testmagasság 7 75 Hajszín barna fekete Tanuló T9 T0 Nem fiú fiú Lakhely Ebes Debrecen Sz_dátum Testmagasság Hajszín szőke fekete. Testnevelésórán felmérés volt távolugrásból. A 9.b osztály tanulóinak eredményei méterben megadva a következők:,5;,;,6;,;,;,6;,8;,0;,;,5;,6;,6;,8;,8;,9;,0;,;,;,8;,5;,6;,;,;,0;,6;,9;,. a) A kapott eredményeket rendezd növekvő sorrendbe! b) Készítsd el az eredmények gyakorisági sorát! c) Válaszd ki a rendezett számsor mediánját (középső elemét) és írd le, hogyan jellemzi a sokaságot! d) A gyakorisági sorból válaszd ki a móduszt (azt az eredményt, amely a leggyakrabban fordul elő) és írd le, hogyan jellemzi a sokaságot! e) Határozd meg, hogy hány méter a tanulók ugrásának átlaga és írd le, hogyan jellemzi a sokaságot!. A nyári egyhetes osztálytábor előtt felmérjük, hogy a gyerekek közül kinek mi a kedvenc étele. Milyen adattal jellemezhetjük a kapott adathalmazt?

192 9 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Egy munkahelyen összeírjuk mindenkinek az iskolai végzettségét. Arra a kérdésre szeretnénk választ kapni, hogy ez magasan kvalifikált emberekből álló hely-e vagy sem. Milyen adattal jellemezhetjük a kapott adathalmazt? 4. Felmérjük egy budapesti iskolában, hogy a tanulók melyik kerületben laknak. Milyen adattal jellemezhetjük a kapott adathalmazt? 5. Egy kis helység cipőkészítő üzemének csak arra van lehetősége, hogy egyféle méretű cipőt készítsen. A tulajdonosának milyen cipőméretet célszerű kiválasztania? 6. Egy gazdasági társaságnál a dolgozók fizetésére és létszámára vonatkozó adatokat tartalmazza a következő táblázat. Dogozók Létszám (fő) Átlagfizetés (ft/fő) Vezetők Adminisztratív dolgozók Alkalmazottak Takarítók Határozd meg, mennyi a dolgozók átlagos keresete a társaságnál! Mennyi az átlagfizetések módusza és mediánja? Értelmezd ezeket a statisztikai jellemzőket!

193 8. modul: STATISZTIKA 9 Kisleikon Statisztika :. Információk valamilyen szempontból rendezett összessége.. Tömegjelenségek vizsgálatához szükséges módszerek összessége. Leíró statisztika: statisztikai adatok feldolgozása és kiértékelése. Statisztikai sokaság: a megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége. Statisztikai ismérv: a megfigyelés szempontja(i). Gyakoriság: megmutatja, hogy az egyes jelenségek a felmérés (a kisérlet) során hányszor fordulnak elő. Relatív gyakoriság: a gyakoriság és a statisztikai sokaság elemszámának hányadosa. Módusz: a sokaság legtöbbször előforduló eleme. (Ha több ilyen elem is van, akkor a móduszok halmazáról beszélünk.) Medián: a nagyság szerint rendezett sokaság középső eleme (ha az elemek száma páratlan), ill. a két középső elem számtani közepe (ha az elemek száma páros). Átlag: számokból álló sokaságban a számok összegének és az elemek darabszámának hányadosa.

194

195 9. MODUL kör és részei Készítette: Vidra Gábor

196 96 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A kör szerepe mindennapi életünkben (olvasmány) A kör az egyik leggyakoribb és legharmonikusabbnak tartott forma. Kör alakú pénzzel fizetünk, kör alakú gyűrűt, karkötőt, láncot viselünk, látjuk a virágok szirmainak elrendeződésében, kanyarodás közben sokszor köríven mozgunk, ruháinkon is sok kör alakú nyílás van. Természetes, hogy a körrel kapcsolatos számítások az ókor óta izgatták az embereket. A Holdat, a Napot is korong alakúnak látták az égen. Tibetben mandalákat alkottak, hogy például a rajtuk elhelyezkedő ábrákkal tanítsák a buddhizmus tanát, vagy gyógyítsanak, meditáljanak vele. A mandala jelentése: kör, az Univerzumot és annak energiáját szimbolizálja. A kör megtalálható az összes vallás szimbólumai között. Leonardo da Vinci jól ismert grafikája (A vitruviuszi férfi) is utal az emberi test felépítésének és a körnek a kapcsolatára. Azt is megtudhatjuk belőle, hogy az ember körülbelül olyan magas, mint a kiterjesztett karján levő ujjvégek távolsága. A π történetéről (olvasmány) A kör kerületének és sugarának arányszámával sokan foglalkoztak, története több ezer évre nyúlik vissza. A π jelet 79 óta használjuk, Leonhard Euler (707 78) javaslatára. Értékét a különböző korokban és kultúrákban ily módon becsülték: a) sumérek, i.e. 4000: 8 4,605; 9 6 b) egyiptomiak, i. e. 000:,605; 9 c) Arkhimédész Kr. e. 50-ben a kör kerületét a körbe írt, illetve köré írt sokszögek kerületével közelítette: kiszámította a két 96 oldalú szabályos sokszög kerületét, és eredményül azt kapta, hogy < π <, azaz,408<π <,49; d) Ptolemaiosz i. sz. 50-ben: azaz körülbelül,47; 0 e) Árjabhata hindu matematikus, VI. század: a 64 oldalú szabályos sokszöggel számolva,46-ot kapott;

197 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 97 f) Adrian Metius, XVI. század: 96 oldalú szabályos sokszöggel számolva 9 tizedes jegyig pontos számot kapott;. g) Ludolf van Ceulen, XVI. század, Hollandia: az első 5 jegyét határozta meg a π- nek, tiszteletére hívjuk más néven Ludolf-féle számnak. Síremlékére végakaratának megfelelően felvésték. Közelítették még 0, 6 értékével, vagy +, 46 összeggel is az idők folyamán. Napjaink számítógépes technikai hátterével 6 millió jegyig számították ki az értékét. Érdekes megjegyezni, hogy a π-nek nincs pontos értéke: irracionális szám, sőt nem jön ki semmilyen algebrai egyenlet gyökeként (transzcendens szám). Számjegyeinek memorizálására úgynevezett π verseket írtak (a szavak betűinek száma adta a számjegyeket). (A π értékét jó pontossággal közelíthetjük hatványsorokkal, vagy statisztikai eszközökkel is.) Hatszögek beleírásával és köré írásával mi is kiszámíthatjuk π közelítő értékét: A beleírt hatszög oldalai: r, kerülete: 6r. A köré írt hatszög egy központi szabályos háromszögének magassága r, oldalára r =, így = r. A köré írt hatszög kerülete 6 = r 6, 98 r. Így a kerületre 6 r < K < 6, 98r adódik. Mivel K = rπ, π értékére kapott közelítés: < π <,464.

198 98 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A kör területe, kerülete A jól ismert képletek szerint: A kör kerülete: K = rπ A kör területe: T = r π Mintapélda Kör alakú asztallapot akarunk készíteni bútorlapból úgy, hogy a szélére élfóliát ragasztunk. A lapszabászatban csak négyzet alakú lapot tudnak levágni, a kör alakot otthon kell elkészíteni dekopírfűrésszel. a) Mennyi élfóliát kell vásárolni, ha azt csak egész méterben árulják? b) Mennyi az anyagköltség (a bútorlap és az élfólia ára együtt), ha az asztal átmérője,7 méter, egy m bútorlap ára 700 Ft és egy méter élfólia 40 forintba kerül? c) A levágatott bútorlap hány százaléka szemét? Megoldás: Egy,7,7 méteres négyzetet kell levágatni, ami,7 = 7, 9 (m ). A bútorlap költsége 7,9 700 = 968 Ft. Az élfólia hossza a kör kerületének egészre felkerekített értékéből számítható: K = d π = 8,48 (m), felkerekítve 9m, aminek a költsége 9 40 = 60 Ft. Az összes költség tehát = 004 Ft. A hulladék arányát úgy kapjuk, hogy a fölösleg területét elosztjuk a négyzet területével. A fölösleg a négyzet és a kör területének különbsége. d A kör területe π 5, 7,5 % a hulladék. (m,7 5,7 ), így a hulladék aránya = 0, 5,7, vagyis

199 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 99 Mintapélda Számítsuk ki, mennyi a fekete, a piros és a bordó körök területeinek összege! A kisebb körök cm átmérőjűek. Megoldás: A sugarak: cm és cm, a négyzetek oldalhosszai cm és 4 cm. Fekete: kis kör, és egy négyzet körből kimaradó része: T = π + π = π + 0,8 (cm ). = Piros: a kis piros körök és a mellettük található piros négyzetdarabok egymásba illenek, így a piros esetében két négyzet és egy nagy kör összegét kell számítani: T = + π 0,56 (cm ). = Bordó: egy kis négyzet és két nagy négyzet körön kívüli része: ( 4 ) 0, 88 T = + π = (cm ). Feladatok. Mekkora annak a körnek a sugara, amelynek kerülete a) 68 cm; b) 00 cm; c) 89 m; d) 75 dm?. Mekkora a kör kerülete, ha területe a) 00 cm ; b),85 dm ; c) 00 m ; d) 0,56 m?. Mekkora oldalú négyzet írható abba a körbe, amelynek területe a) 5 m ; b) 0 cm ; c) 45 m ; d) 0,4 m? 4. Számítsd ki a félkörökkel lezárt téglalap alakú idom hiányzó adatait! T jelenti az egész alak területét, K az egész kerületét. K T d s a) 5 cm 5 cm b) 00 cm 0 cm c) 70 m 5 m d) 400 m 00 m

200 00 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 5. Egy motoros 90 m sugarú, félkör alakú úton halad. Mennyi idő alatt teszi meg a félkört, ha sebessége a) 8 km/h; b) 0 km/h; c) 80 km/h; d) 0 km/h? 6. Számítsd ki a színezett részek területét és kerületét (a = 0 mm)! a) b) c) d) 7. Számítsd ki a színezett részek területét és kerületét (a =,4 cm)! a) b) c) d) e)

201 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 0 8. Hány százaléka a színezett rész területe az egész (félkör, illetve háromszög) területének? a) b) c) d) e). 9. a) Bizonyítsd be, hogy a piros félkörök területeinek összege megegyezik a kék félkör területével! b) Hippokratész holdacskái: bizonyítsd be, hogy a piros holdacskák területeinek összege megegyezik a derékszögű háromszög területével! c) Bizonyítsd be, hogy a piros holdacskák területeinek összege megegyezik a négyzet területével!

202 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE d) Bizonyítsd be, hogy a narancs és a kék rész területe egyenlő! Azt is igazold, hogy a zöld rész területe egyenlő a négyzet területének negyedével! 0. Számítsd ki π közelítő értékét úgy, hogy a kör köré illetve a körbe írható négyzetet használod!. Az építészetben gyakoriak az alábbi ablakformák, díszítő motívumok. Számítsd ki a kerületüket és a területüket a feltüntetett adatok alapján! A kerületbe minden határoló vonal beleszámít. a) b) c). Számítsd ki, hogy a szabályos háromszög beleírt körén kívül eső részének területe hány százaléka a szabályos háromszög területének!. Az ABCD és az EFGH négyzet között a kék vagy a piros részek területösszege nagyobb? Ha segít, AB szakasz hossza 0 cm.

203 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 0 4. Egy pizzéria kétféle kerek pizzát szolgál fel: mindkettő ugyanolyan vastag, de más méretű. A kisebbik 0 cm átmérőjű és 0 tallérba kerül. A nagyobbik 40 cm átmérőjű és 40 tallérba kerül. Melyik pizza éri meg jobban? Válaszodat indokold! 5. A diákoknak különböző átmérőjű, kör alakú ezüstérméket kell tervezniük, melyek együtt sorozatot alkotnak: valamennyi érme átmérője 5 45 mm; mindegyik érménél 0%-kal nagyobb átmérőjű a sorozatban utána következő; a gép csak egész számú milliméter átmérőjű érméket tud verni. Tervezz érmesorozatot, amely megfelel a fent leírt követelményeknek! Egy 5 mm-es átmérőjű érmével kezdd, sorozatod annyi érmét tartalmazzon, amennyi csak lehetséges! 6. Egyetlen egyenes vonallal felezd meg a színezett rész területét! 7. Ahhoz, hogy mobiltelefonjainkat használni tudjuk, szükség van arra, hogy a telefonjainkról kimenő és az azon fogadott jeleket antennák, úgynevezett bázisállomások továbbítsák. Minden ilyen telepített bázisállomás egy meghatározott sugarú körben képes hívásokat fogadni és továbbítani. Azt a területet, amely a bázisállomások hatósugarába esik, lefedett területnek nevezzük, csak ilyen területen tudunk mobilhívásokat folytatni. Az alábbi ábrán egy példa látható a lefedettségre.

204 04 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE a) Egy négyzet alakú, km-es oldalú területnek legfeljebb hányad részét fedheti le darab km hatósugarú bázisállomás? Úgy dolgozz, hogy számításod nyomon követhető legyen! b) A következő ábrák ugyanannak a területnek (négyzet) kétféle lefedését mutatják. Az A vagy a B esetben nagyobb a lefedettség? Válaszodat indokold! 8. A játék kezdetén a biliárdgolyókat egymás mellett, egy szabályos háromszög alakú keretbe kell elhelyezni. Lemértük a keret magasságát. Mekkora egy biliárdgolyó sugara?

205 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 05 II. Szögperc, szögmásodperc A szögeket eddig fokban mértük. A részfokokat vagy szögpercben és szögmásodpercben fejeztük ki, vagy tized fokban. Az újabb számológépek közvetlenül elvégzik az átváltást a tizedfok és a szögperc között: egyes gépeken DMS (degree, minute, second angol szavakból), más gépeken feliratú billentyűvel, kezelését meg kell tanulni. Gyakorolni kell az átváltást akkor is, ha számológépet nem használhatunk. Mintapélda a) Határozd meg, mennyi a 0,5 szögpercben! = 60 / 0,5 0,5 = 0,5 60 = 5 A szögpercet úgy kapjuk, hogy a tizedfokot megszorozzuk 60-nal. b) Váltsd át a 5 -et fokba! = 60 / : 60 = 60 o 5 = o 5 = 0,4 60 A tizedfokot úgy kapjuk, hogy a szögpercet elosztjuk 60-nal. Feladatok 9. Végezd el a következő átváltásokat: a) 0 b) 5 c) 45 d) e) 6 f) 7 g) 6 5 h) 55 4 i) j) Végezd el a következő átváltásokat: a) 4,4 b) 85,5 c) 8,9 d) 6,8 e),75 f) 4,04 g),87 h) 68, i) 7,68 j) 44,

206 06 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Egyenes arányosságok a körben Talán már feltűnt, hogy a negyed kör és a félkör között felírható néhány kapcsolat: a félkör középponti szöge (80 ) kétszerese a negyed kör középponti szögének (90 ); a félkör ívhossza kétszerese a negyed kör ívhosszának; a félkör területe kétszerese a negyed kör területének. Ezek az összefüggések nemcsak a derékszög és az egyenesszög kapcsolatában találhatók meg. Ha a kört egy foknyi szeletekre bontjuk, kiderül, miért található egyenes arányosság a középponti szögek, az ívek és a körcikk területeinek arányában: az -os körcikket többször egymás mellé mérve a középponti szög is, a körív is és a terület is megtöbbszöröződik. A következő ábra egy 4 mm sugarú, 6 középponti szöghöz tartozó körcikk területének és ívhosszának kiszámítását mutatja. T az -hoz tartozó körcikk területét jelöli. A 6 középponti szögű körcikket felbonthatjuk 6 darab, -os középponti szögű körcikkre, és ezek területeit összegezzük. Az ívhossz kiszámítása hasonlóan történik. A számított értékek: T6 = 49, 5 mm, i6 = 9, 5mm. A körív hossza is, a körcikk területe is egyenesen arányos a középponti szöggel.

207 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 07 Az α -hoz tartozó körív hosszát úgy határozzuk meg, hogy az -hoz tartozó körív hosszát megszorozzuk α-val. Az α -hoz tartozó köcikk területét úgy határozzuk meg, hogy az -hoz tartozó körcikk területét megszorozzuk α-val. A körcikk területét kiszámíthatjuk a i r T = összefüggéssel is. Mintapélda 4 Geom bolygó lakosai a kör iránti tiszteletük jeléül 60 napos évet használnak. Naptáruk is olyan kör, amelyet fokonként osztottak be 60 egyenlő körcikkre. Fővárosuk főterén óriásnaptár található,5 méteres sugárral, amelyen minden körcikk különböző színű. Számítsuk ki, hogy mennyi festék kell egy körcikkre, és mekkora egy körcikket szegélyező körív hossza! A festék kiadóssága 8 l/m. Megoldás: A körcikkek középponti szöge. Az ehhez tartozó körcikk területe a kör területének r π 60-ad része, vagyis. A körcikk körívének hossza a kör kerületének 60-ad része, 60 ami rπ rπ =. A példában r =,5 m, ezért a körcikk területe 0,0545 m, a körív hosz sza 0,044 méter, illetve 4,4 cm. A szükséges festék m felülethez 8 liter, 0,055 m - hez ennek 0,0545-szöröse: 0,0068 liter = 6,8 cm.

208 08 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok. Mekkora körcikk és körív tartozik ahhoz a 4 cm-es sugarú körcikkhez, melynek középponti szöge a teljesszög 5 %-a?. Töltsd ki a következő táblázat hiányzó celláit! r 5 cm 5 mm 0 cm 5 dm α i 600 mm 0 cm 08 dm,775mm T 00 cm 0 cm 5 cm 9,4 mm. Körcikk alakú asztallapot készítünk úgy, hogy egy 90 -os körcikk hiányzik a teljes körből. Számítsd ki az anyagköltséget, ha az asztal sugara,6 méter, a kerületére ragasztható bevonó szalag métere 400 Ft, és az asztallap anyagából m -nyi 00 Ft-ba kerül! 4. Melyik a nagyobb? Tedd ki a megfelelő relációjeleket (T: a körcikk területe, i a körcikk teljes kerülete)! a) A: 0 cm sugarú körben 65 -os körcikk B: 0 cm sugarú körben 50 -os körcikk T A i A?? T B i B b) A: 50 dm sugarú körben 00 -os körcikk B: 00 dm sugarú körben 5 -os körcikk 5. Egy 5 cm sugarú körben a körcikk területe a kör területének 45%-a. Számítsd ki a középponti szöget, a körcikk területét, és a határoló ív hosszát!

209 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 09 IV. Ívmérték, radián Mivel a középponti szög egyenesen arányos a körív hosszával, a szögeket körívvel is jellemezhetjük. Ezt a mértéket ívmértéknek, radiánnak nevezzük. A műszaki életben sokszor nem fokokban számolnak, hanem radiánban. Ha a szöget fokokban mérjük, a teljes szög 60. Ívmértékkel mérve a teljes szög π radián (a radiánt nem szoktuk kiírni). Vagyis 80 -nak megfelel π radián: A 80-nak rengeteg osztója van, és ez segítséget nyújt az átszámításhoz. Például 0 éppen a π 5π hatoda 80 -nak, így π-nek is: 0 =. 50 a 0 -nak ötszöröse, ezért 50 =, vagy π formában szoktuk felírni. Mivel π irracionális, a legpontosabb szögértéket akkor adhat- 6 juk meg, ha meghagyjuk a szögben a π szimbólumot. A tartozó 57,. π = π (rad) ; = (rad) ; (rad) = 57,. 80 π 80 pontosabb, mint az radiánhoz π Mit gondolsz, melyik a régebbi mértékegység, a radián vagy a fok? A szögek ívhosszal történő mérése Roger Cotes (68 76, angol fizikus és csillagász) ötlete volt 74-ben, de a radián kifejezés James Thomson (8 89, ír mérnök és fizikus) nevéhez fűződik: ő használta először nyomtatásban, 87-ban. A kör 60 egységre osztása több mint háromezer éves találmány, a babiloniaknál jelent meg, még az ékírásos időkben.

210 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Felmerülhet, hogy miért hívják ívmértéknek ezt a szög-mértékegységet. Azért, mert ha radiánban adjuk meg a szögeket, a körív hosszát az i = r ) α szorzattal számíthatjuk ki. Fok Körív hossza Körcikk területe Egész kör 60 rπ r π Félkör 80 rπ = rπ Negyed kör 90 rπ r = π 4 Egy fok rπ r = π r π r π 4 r π 60 rπ r π α fokos szög α i = α T = α α radián ) α i = r ) α r ) α T = Feladatok 6. Alakítsd át a fokokat radiánná! a) 80 ; b) 90 ; c) 60 ; d) 45 ; e) 0 ; f) 40 ; g) 5 ; h) 70 ; i) 40 ; j) 70 ; k) 5 ; l) 7 ; m) 0 ; n) 000 ; o) 00 ; p) Számítsd át a radiánokat fokokká! π 5π 7π a) π ; b) ; c) ; d) ; 9 4π e) ; 5 5π f) ; 6 8π g) ; π h) ; 0 i) rad; j),56 rad; k) 0 rad; l) 8, rad.

211 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI V. A kör részeinek területe Az előző részben volt már szó a körcikkről, de a kör más részeivel is megismerkedünk. A következő ábrák ezek gyakorlati felhasználásából mutatnak példákat. Germigny-des-Pres: kápolna A hétköznapi életben sok helyen alkalmazzák a kör részeit: a gumi- és betongyűrűk, csövek keresztmetszete körgyűrű alakú; a körgyűrűcikket az építészetben: a megfelelően faragott kövekből összeállított boltozat akár kötőanyag nélkül is megtart falakat (például korai gótikus épületekben), hidakat, födémeket.

212 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Elnevezések A kör részeivel kapcsolatban az alábbi elnevezéseket használjuk: középponti szög (α ) körcikk körszelet körgyűrű körgyűrűcikk Területüket általában területek kivonásával számítjuk ki: T körcikk i r = T körszelet = T körcikk T háromszög R, α T T körgyűrű = ( R )π R R, α T T = T T

213 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI Mintapélda 5 Rajzolj egy 8 cm sugarú kört! Becsüld meg a négyzetrácsok segítségével, hogy mekkora területű körcikk tartozik radián középponti szöghöz? Mérd le a körcikket határoló körív hosszát is (például cérnával)! Végezz számításokat is, utána vizsgáld meg, hány százalékos volt az eltérés a becsült és a mért adatok között! Megoldás: radiánhoz tartozó körcikk területe a teljes kör területének π-ed része: r π = r π = cm. Egy négyzetrácsban egy kis négyzet területe 0,5 = 0,5 cm, vagyis = 8 kis négyzet az eredmény. 0,5 Ha például 98 kis négyzetet számoltál meg, az eltérés 0 kis négyzet, ami =,4% eltérés (hiba). rπ A körív hossza a teljes kör kerületének π-ed része: = r = 8cm. π Ha 7,6 cm-t mértél, a hiba az eltérés/jó eredmény, százalékban kifejezve képlet szerint 8 7,6 00 = 5%. 8 Feladatok 8. Egy műanyagcső külső átmérője ¾ coll, az anyagvastagság,5 mm ( coll =,45 cm.). A cső keresztmetszetén a belső kör területének hány százaléka a műanyagot tartalmazó körgyűrű területe? 9. Adott a körgyűrű belső (r) és külső (R) sugara. Mekkora a körgyűrű területe? a) r = 45 mm, R = 50 mm; b) r = 7 cm; R = 78 cm; c) r = 6 cm; R = 6,4 cm. 0. Egy 0 cm külső átmérőjű cső keresztmetszetének 7 %-a a cső anyaga. Mekkora az anyagvastagság?

214 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Egy 50 cm külső átmérőjű cső keresztmetszetének 8%-a a cső anyaga. Mekkora a belső keresztmetszet területe?. A planetárium körfolyosóját le kell burkolni. A burkoló az ábrán látható távolságot mérte le. Miért elegendő ez az adat a burkolat anyagmennyiségének meghatározásához? Mennyibe kerül a burkolás, ha a burkoló anyaggal együtt 600 Ft-ot kér m burkolatért?. Biztos láttál már olyan vadnyugati filmeket, amelyben postakocsi szerepel, és észrevetted, hogy néha állni látszik a kocsi küllős kereke. Ez azért van, mert másodpercenként 4 képet vetítenek a filmen, és ennyi idő alatt fordul egy küllőnyit a kerék. Mekkora annak a postakocsinak a sebessége, amelyiknek a kereke 0 cm átmérőjű, a kerék állni látszik, és a küllők száma a) 0; b) ; c) 6; d) 8. Mintapélda 6 π Számítsuk ki a radiánú középponti szöghöz tartozó körszelet területét és kerületét, ha a kör sugara 0 cm! Megoldás: π a 0 -os szögnek felel meg (harmad kör), így készítünk egy ábrát. A körszelet területét úgy számoljuk ki, hogy kivonjuk a körcikk területéből a középen levő háromszög területét. A háromszög kiegészíthető a oldalú szabályos háromszöggé, aminek a területe a 4. r π r Így a körszelete területe: T = = = 55 cm. 4

215 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 5 A kerülete a kör kerületének harmada, hozzáadva kétszer a szabályos háromszög r π magasságát: K = + r = 6,8 + 5,96 = 4, 8 cm. Ismétlés: az a oldalú szabályos háromszög területe a Egy kör sugara 5 cm. Számítsuk ki a következő középponti szögekhez tartozó körszeletek területét: π π a) 60 ; b) ; c) ; d) Mekkora a színezett rész területe? a) b)

216 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VI. A kör érintője Mintapélda 7 Végezzük el a következő szerkesztéseket, és az eredmény alapján válaszoljunk a kérdésekre!. Szerkesszünk derékszögű háromszöget, melynek befogói: AC = cm és BC = 4 cm!. Tükrözzük a háromszöget az AB átfogóra!. Szerkesszük meg a háromszög köré írható k kört! Középpontját jelöljük F-fel. 4. Szerkesszük meg az A középpontú, AC sugarú k kört! a) Mi a kapcsolat a k kör és a BC egyenese között? b) Mit mondhatunk BC és BD hosszáról? c) Milyen összefüggést állapíthatunk meg a kör érintője és sugara között? Megoldás: a) BC a k kör érintője. b) Egyenlők, mert az ABC és az ABD háromszögek egybevágók. c) A sugár (AC) merőleges az érintőre (BC) az érintési pontban (C). A kör érintője merőleges az érintési ponthoz tartozó sugárra. Egy körhöz egy külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. Thalész-tétel megfordítása: a derékszögű háromszög köré írható kör középpontja épp az átfogó felezőpontja.

217 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 7 Mintapélda 8 Vegyünk fel egy C a középpontú kört és rajta kívül egy P pontot! Szerkesszük meg a körhöz a P pontból húzott érintőket! Megoldás: A CP szakasz Thalész-körén (k Thalész ) helyezkednek el azok a pontok, amelyek a C és P pontokkal derékszögű háromszöget alkotnak. Mivel az érintő merőleges a sugárra az érintési pontban, az adott kör és a Thalész-kör metszéspontjai (A és B) az érintési pontok. Feladatok 6. A k körhöz P külső pontból húzott érintők A és B pontokban érintik a kört az ábrán látható módon. Egy további érintő egyenes a C és D pontokban metszi a szögszárakat. Igazold, hogy a PCD háromszög kerülete egyenlő a PA szakasz hosszának kétszeresével! 7. a és b a derékszögű háromszög befogói, c az átfogó, r a köré írt kör sugara. Töltsd ki a táblázat hiányzó celláit! a 5 cm dm,7 dm b 0 cm,4 cm 54 cm c m 5,8 dm 589 cm r cm

218 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 8. C a kör középpontja, P egy külső pont, és E a P-ből a körhöz húzható érintő érintési pontja. Készíts rajzot, és töltsd ki a táblázat hiányzó celláit! CP 4, dm 49 cm 6 cm 5, dm EP cm 6 dm r 5 cm 0,4 m 5,8 dm 45 cm 9. Szerkeszd meg a C középpontú, r sugarú körhöz húzható érintőket P pontból, ha a) r = 4 cm, CP = 8 cm; b) r =,5 cm, CP = 7 cm; c) r = 5 cm, CP = 7 cm. 40. Ebbe a derékszögű trapézba kör írható. Milyen kapcsolat van a szemben fekvő oldalak összege között? Mekkora a beleírható kör sugara, ha az alapok hossza 4 és, a nem derékszögű szár hossza 0 egység?

219 9. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI 9 További szerkesztések 4. Kőrácsos ablak. Ezt a rozetta alakot 0 körül tervezte Jean d Orbais a Reimsben található székesegyházban, és innen terjedt el Európa szerte. 4. Szabályos sokszögek (négyzet, szabályos hatszög, szabályos nyolcszög) szerkesztése. 4. Román-kori ablak szerkesztése. 44. Gótikus ablak szerkesztése.

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda 1 A csapból percenként 5 l víz folyik a fürdőkádba, melynek befogadó képessége 80 liter. Mennyi

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/46-/009. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes

11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes . MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Készítette: Csákvári Ágnes 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda A csapból percenként 5 l víz folyik

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. szakiskolai évfolyam 1. félév ESZKÖZÖK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam Betűkészlet csoportalakításhoz A D G B E H C F G H I J Matematika A 9. szakiskolai

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 7 I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Az óra első néhány percében idézzük fel az egyenes arányosságról és a lineáris függvényről az általános iskolában

Részletesebben

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata 6 MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Csoportok kialakítása: A tanár minden asztalra kitesz egy hozzárendelési szabályt a 7. kártyakészletből

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK

13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály III. rész: Függvények Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III. rész:

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Csoportmódszer Függvények I. (rövidített változat) Kiss Károly

Csoportmódszer Függvények I. (rövidített változat) Kiss Károly Ismétlés Adott szempontok szerint tárgyak, élőlények, számok vagy fizikai mennyiségek halmazokba rendezhetők. A halmazok kapcsolatát pedig hozzárendelésnek (relációnak, leképezésnek) nevezzük. A hozzárendelés

Részletesebben

12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY

12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY MATEMATIK A 9. évfolyam 12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

Függvények ábrázolása, jellemzése I.

Függvények ábrázolása, jellemzése I. Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés) Két nem üres A és B halmaz elemei közti kapcsolat (megfeleltetés, hozzárendelés, reláció), a két halmaz elemeiből képezhető rendezett elempároknak

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete) Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul: Az abszolútérték-függvény és más nemlineáris függvények

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Egész számok értelmezése, összehasonlítása

Egész számok értelmezése, összehasonlítása Egész számok értelmezése, összehasonlítása Mindennapi életünkben jelenlevő ellentétes mennyiségek kifejezésére a természetes számok halmazát (0; 1; 2; 3; 4; 5 ) ki kellett egészítenünk. 0 +1, +2, +3 +

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium

Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. (: 27-317 - 077 (/fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2014/2015.

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Kisérettségi feladatgyűjtemény

Kisérettségi feladatgyűjtemény Kisérettségi feladatgyűjtemény Halmazok 1. Egy fordítóiroda angol és német fordítást vállal. Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít. Hány fordító dolgozik

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK x C: 2

FÜGGVÉNYEK x C: 2 FÜGGVÉNYEK 2005-2014 1. 2005/0511/2 Az ábrán egy [ 2; 2] intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! A: x x 2 2 B: x 2 2 x x

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul: Egyenes arányosság és a lineáris függvények Tanári útmutató 2 A

Részletesebben

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára 8. témakör: FÜGGVÉNYEK A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Függvények: 6-30. oldal. Ábrázold a koordinátasíkon azokat a pontokat, amelyek koordinátái kielégítik a következő

Részletesebben

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget!

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget! Matematika vizsga 014. 9. osztály Név: Az 1-1. feladatok megoldását a feladatlapra írd! A 1-19. feladatokat a négyzetrácsos lapon oldd meg! 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! 0, = = p

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.

Részletesebben

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < december 19.

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < december 19. Matematika 9 Tankönyv és feladatgyűjtemény Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < 2015. december 19. copyright: c Juhász László Ennek

Részletesebben

Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata.

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

Függvénytan elmélet, 9. osztály

Függvénytan elmélet, 9. osztály Függvénytan elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat

Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet. old.. feladat a. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfokú egyenletek megoldása mérleg elvvel Az egyenletek megoldása során a következő lépéseket hajtjuk végre: a kijelölt műveletek elvégzésével, az egynemű kifejezések összevonásával

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.

Részletesebben

7. 17 éves 2 pont Összesen: 2 pont

7. 17 éves 2 pont Összesen: 2 pont 1. { 3;4;5} { 3; 4;5;6;7;8;9;10} A B = B C = A \ B = {1; }. 14 Nem bontható. I. 3. A) igaz B) hamis C) igaz jó válasz esetén, 1 jó válasz esetén 0 pont jár. 4. [ ; ] Más helyes jelölés is elfogadható.

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

1.1 A függvény fogalma

1.1 A függvény fogalma 1.1 A üggvény ogalma Deiníció: Adott két (nem üres) halmaz H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez valamilyen módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést üggvénynek nevezzük.

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

2. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 3. Oldja meg a [ π; π] zárt intervallumon a. A \ B = { } 2 pont. függvény.

2. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 3. Oldja meg a [ π; π] zárt intervallumon a. A \ B = { } 2 pont. függvény. 1. Az A halmaz elemei a ( 5)-nél nagyobb, de 2-nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az A \ B halmazt! A \ B = { } 2. Adott a valós számok halmazán

Részletesebben

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x = . Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA

Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Alapvető fogalmak: Függvény fogalma Függvény helyettesítési értéke (függvényérték) Függvény grafikonja A

Részletesebben

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok! Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék

Részletesebben

SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM

SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM A vizsga szerkezete: A vizsga írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. 1.) Írásbeli vizsga Időtartama: 45 perc Elérhető pontszám: 65 pont Feladattípusok:

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I. 1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon

Részletesebben

TANMENET ... Az iskola fejbélyegzője. a matematika tantárgy. tanításához a 9. a, b osztályok számára

TANMENET ... Az iskola fejbélyegzője. a matematika tantárgy. tanításához a 9. a, b osztályok számára Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához a 9. a, b osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben