Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009"

Átírás

1 Árki Tmás Konfárné Ng Klár Kovács István Trembeczki sb Urbán János sokszínû FELDTGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK 0 Mozik Kidó Szeged, 009

2 TRTLOMJEGYZÉK TRTLOMJEGYZÉK Megoldások 0. évfolm 0.. Gondolkodási módszerek (00-09) Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel... Sktulelv... 6 Sorb rendezés I. (különbözõ elemek)... 8 Sorb rendezés II. (több tíusb trtozó zonos elemek)... 9 Kiválsztás és sorb rendezés I. (különbözõ elemek)... Kiválsztás és sorb rendezés II. (lehetnek zonos elemek is)... Veges feldtok gökvonás (09-8) Rcionális számok, irrcionális számok... 8 négzetgökvonás zonossági, lklmzásik... 9 Számok n-edik göke, gökvonás zonossági... 6 Veges feldtok másodfokú egenlet (9-8) másodfokú egenlet és függvén... másodfokú egenlet megoldókélete... gökténezõs lk. Gökök és egütthtók közötti összefüggés... 6 Másodfokúr visszvezethetõ mgsbb fokszámú egenletek, másodfokú egenletrendszerek... 8 Másodfokú egenlõtlenségek... 0 Prméteres másodfokú egenletek... 6 Négzetgökös egenletek és egenlõtlenségek... 8 számtni és mértni közé, szélsõérték feldtok... Másodfokú egenletre vezetõ roblémák... 6 Veges feldtok Geometri (9-6) Körrel kcsoltos ismeretek... 6 Párhuzmos szelõk és szelõszkszok tétele, szögfelezõtétel... 7 Hsonlósági trnszformációk, lkztok hsonlóság... 78

3 TRTLOMJEGYZÉK ránossági tételek derékszögû háromszögben és körben hsonlóság néhán lklmzás terület- és térfogtszámításbn... 9 Veges feldtok I Távolságok meghtározás hsonlóság segítségével, hegesszögek szögfüggvénei... 0 Összefüggések hegesszögek szögfüggvénei között, nevezetes szögek szögfüggvénei Háromszögek különbözõ dtink meghtározás szögfüggvének segítségével... Síkbeli és térbeli számítások szögfüggvének segítségével... Veges feldtok II.... Vektorok (emlékeztetõ), vektorok felbontás különbözõ iránú összetevõkre... 9 Vektorok lklmzás síkbn és térben... Vektorok koordinát-rendszerben, vektor koordinátái, mûveletek koordinátákkl dott vektorokkl... 0 Veges feldtok III Szögfüggvének (6-70) szinusz- és koszinuszfüggvén definíciój, egszerû tuljdonsági... 8 szinuszfüggvén grfikonj... 8 koszinuszfüggvén grfikonj, egenletek, egenlõtlenségek... 6 tngens- és kotngensfüggvén... 6 Összetett feldtok és lklmzások Geometrii lklmzások... 7 Veges feldtok Vlószínûség-számítás (7-8) Esemének... 8 Mûveletek eseménekkel... 8 Kísérletek, gkoriság, reltív gkoriság, vlószínûség... 8 vlószínûség klsszikus modellje... 8 Veges feldtok... 9

4 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM 0.. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel megoldások w00 ) Prím után csk z irrcionális,,, nem kerülhet. Természetes mögött egész, rcionális, vlós állht. Egész után rcionális, vlós állht. Rcionális vg irrcionális mögött csk vlós állht. után irrcionális vg vlós állht. után z irrcionálist,, -t kivéve bármi állht. mögött természetes, egész, rcionális, vlós állht. b) Négzet után lehet bármi. Tégll után rlelogrmm vg tréz állht. Prlelogrmm után tréz állht. Rombusz után tréz, deltoid, rlelogrmm állht. Tréz és deltoid után nem írhtunk semmit listából. c) ármit is írunk elõre, után kerülhet z. után nem írhtunk mást. Prím mögé csk z -et írhtjuk. 0 után, állht. 9 után állht. 8 után, állht. 6 után, állht. mögött állht. d) 9 és rímek nem állhtnk elöl. Elöl:, után 7 állht. Elöl:, után állht. w00 ) H vlmi bogár, kkor rovr. b) H vlmi holló, kkor (z) fekete. w00 ) Minden négzet egenlõ oldlú. b) Minden 6-tl oszthtó szám oszthtó -ml is. w00 ) Mozib viszi. b) ármit tehet. w00 ) Igen. b) Igen. c) Nem. d) Igen. w006 ) 0 : 0, : 0, : 0. b) 0 : 0 és vlmelik cstnk : 0, ill. :. c) 0 : 0 és vlmelik cstnk : 0. w007 ) Nem igz. b) z állítás megfordítás igz: H négszög rlelogrmm, kkor vn árhuzmos oldlárj. c) Trézr.

5 GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK w008 w009 w00 w0 w0 w0 H eg háromszög derékszögû, kkor két oldlánk négzetösszege egenlõ hrmdik oldl négzetével. H eg háromszögben két oldl négzetösszege egenlõ hrmdik oldl négzetével, kkor háromszög derékszögû. tétel feltételeit teljesítõ háromszög oldli közül két rövidebbet befogóknk, hosszbbt átfogónk nevezzük. Mivel eg háromszögben 80º-os szögösszeg mitt csk eg 90º-os szög lehet, rádásul ez legngobb, ezért derékszögnek legngobb oldlll szemben kell lennie. ) : H eg négszög közéontosn szimmetrikus, kkor rlelogrmm. : H eg háromszög szbálos, kkor tengelesen szimmetrikus. : H eg háromszög köré írt kör közéontj z egik oldl felezõontj, kkor háromszög derékszögû. b) hmis, z összes többi igz. c) Eg háromszög ontosn kkor derékszögû, h köré írt kör közéontj z egik oldl felezõontj. Átfogó, Thlész-tétel. Két dolgot kell megfigelnünk. Egrészt z öt kosárbn összesen 9 drb virág vn. Másrészt Rózs kijelentése (kétszer nni iros, mint fehér) zt jelenti, hog virágok szám három többszöröse. zz oln kosárr gondolt, mit 9-bõl levonv háromml oszthtó számot d. Ilen csk eg vn, 9 virágot trtlmzó. zs Rózs z elsõ kosárr gondolt. Két megoldást muttunk, tessék továbbikt keresni! Mindent elismétel, mit csk hll. Máské: H hll vlmit, kkor zt elismétli. Tudjuk hog mint következtetés elsõ fele, vgis feltétel nem teljesül, z állítás nem lehet hzugság. Ez bekövetkezhet éldául kkor, h gáj süket. Mindent elismétel, mit csk hll Mjd eg év múlv. z idõténezõrõl nem állított semmit kereskedõ! Próbáljuk ki játékot, szerezzünk tsztltokt. tsztlt z lesz, hog ezzel módszerrel nem lehet egenlõvé tenni két kucot. Miért? Legen két kuc különbsége n. H kisebb kucból veszünk el drbot, kkor ngobb kucb teszünk -et. kucok különbsége n + -re változik. H ngobból veszünk el -et és kisebbikbe rkunk -et, kkor különbség n -re változik. Mi közös két esetben? : bármennit is veszünk el bármelik kucból, kucok különbsége három többszörösével változik. Mivel eredetileg volt, három többszöröseinek hozzádásávl vg elvételével nem lehet 0. Megjegzés: feldt megoldás során tláltunk eg változtln (invriáns) menniséget, ennek segítségével igzoltuk sejtést. z eljárást szokás invriáns módszernek is nevezni. Szedjük elemeire kérdést. Két szerelõje vn: mindent megtnuló diák és megtnulhttln mtemtik. ontsuk két következtetésre: elõször kézeljük el, milen z, mikor vn mindent megtnuló diák. Nilvánvló, hog õ mindent megtnul, tehát nincs megtnulhttln. H vn mindent megtnuló diák, kkor nincs megtnulhttln mtemtik (sem). Most fordítsuk meg dolgot. Induljunk ki bból, hog mtemtik megtnulhttln. kkor viszont nincs eg diák sem, ki meg tudná tnulni. H mtemtik megtnulhttln, kkor nincs mindent megtnuló diák. Összegezve: zt nem jelenthetjük ki, hog vn mindent megtnuló diák, vg hog mtemtik megtnulhttln. Ezt nem tudjuk eldönteni. sk nnit jelenthetünk ki biztosn, hog kettõ egszerre nem létezhet, mert kizárják egmást. Megjegzés: feldt lj ez m már klsszikusnk számító kérdés Rmond Smullntól: Mi történik, h eg megállíthttln ágúgoló eg megmozdíthttln oszlonk ütközik?

6 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w0 w0 w06 w07 Érdemes játszni játékot, és úg tsztltokt szerezni lefolásáról. H már kijátszottuk mgunkt, és nem tudjuk nerõ strtégiát, kkor gondolkodjunk! játékot körökre oszthtjuk, minden körben kezdõ z elsõ. ármenni szált is vesz el z elsõ eg-eg körben, második mindig tud úg elvenni, hog gufák szám 9-cel csökkenjen. Íg viszont kör után szál guf mrd, mit z elsõ szbálok szerint nem tud elvenni, tehát második Péter nert. Megjegzés: Ebben feldtbn is z invriáns módszert lklmztuk, invriáns menniség z eg körben elvett gufák szám. játékot osszuk körökre. Eg kör ltt mind két játékos egszer vesz el kucból. Figeljük meg, hog mivel, vg szált vehetnek el, z egik másik áltl elvett gufák számát mindig ki tudj egészíteni 8-r. Íg teljes kört tudnk lejátszni, zonbn szál mrd, mi kezdõ gõzelmét jelenti. Vlóbn, ebben játékbn kezdõnek vn nerõ strtégiáj. Mégedig következõ: elsõ léésben vegen el szált, mjd második áltl elvett gufákt egészítse ki 8-r. módszerrel kör után (miben mindig õ második) 00 ( 8 + ) szál guf mrd z sztlon, zz z utoljár léõ nert. Gbi tehát biztosn nerni fog, h kezd, és fent leírt módszerrel játszik. Megjegzés: Ebben feldtbn is z invriáns módszert lklmztuk, invriáns menniség z eg körben elvett gufák szám. Mivel vlkinek mindig vissz kell vinni lámát, célszerû gorsbb hölgekkel megoldtni ezt feldtot. Másrészt viszont két fiút érdemes egütt átküldeni, íg kkor csk eg hosszbb, 0 erces sét lesz (nincs külön erces is). kettõt csk úg kombinálhtjuk, h elõször hölgek mennek át ( erc), mjd Irm visszviszi fiúknk lámát ( erc). Után áthldnk z urk (0 erc) és Vilm viszi vissz lámát ( erc). Végül Irm és Vilm egütt átkelnek ( erc). Íg összesen 7 erc ltt átérnek túloldlr. Nem. Figeljünk számok ritásár! Három esetünk lehet: : H két áros számot töröl le z illetõ, kkor árost is ír vissz. : H két ártlnt, kkor is árost ír vissz. : H eg árost és eg ártlnt, kkor ártlnt ír vissz. Tekintsük át z eseteket, hogn változik áros és ártln számok szám! : áros; : ártln, + áros; : áros. Íg ártln számok szám csk árosávl változht (egész ontosn kettõvel csökken vg nem változik). -tõl 0-ig számok fele áros és ártln, zz drb ártln szám szereel táblán. hhoz, hog z utolsó szám 0 legen, el kell tûnnie ártln számoknk, zz számuknk 0-r kell csökkenni. zonbn h csk árosávl csökkenhet számuk, kkor soh nem érheti el -rõl nullát. Megjegzések: z invriáns módszert lklmztuk, invriáns menniség ártln számok drbszámánk ritás. tnár természetesen játék után úg módosítj feldtot, hog ki kitlálj, miért nem ér véget játék, nnk mégiscsk beír eg ötöst. Íg végül jószívû is lesz Sktulelv megoldások w08 ) Sktulák: hét nji. b) Sktulák: hón nji. w09 ) Sktulák: év nji. b) Sktulák: hetek. c) z ktuális év heteinek számától függõen: + 7 vg + 8. w00 ) 6; b) 7. 6

7 GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK w w0 w0 w0 Sktulák:,, 7, 9 végzõdések. Ebben feldtbn sktulák számát nem ismerjük. Kezdjük el kézeletben kettesével feltölteni sktulákt. z.-nél már elfogott 0 virgács, tehát feldt szerint nem foltthtjuk feltöltést.. virgácsot edig már meglévõ sktulák egikében kell elhelezni, vgis sktulák íg virgácsfjták szám. Ebbõl ersze zt is tudjuk, hog mindegik fjt virgácsból 6 drb vn krmusz zsákjábn. ) Eg játékos három nilt dob el eg fordulóbn. Osszuk fel táblát három egbevágó 0º-os körcikkre úg, hog vlmelik níl éen eg felosztó sugárr essen. Eg-eg ilen körcikkben két legtávolbbi ont körív két végontj. R Számoljuk ki távolságukt. három vékon szksz éen m szbálos háromszöget htároz meg. feldt máské megfoglmzv: djuk meg szbálos háromszög oldlát, h ismerjük köré írt kör sugrát. Tudjuk, hog R 6,7 cm, és hog súlont : ránbn osztj súlvonlt ( súlont itt egbeesik mgsságonttl). Elõször számoljuk ki mgsságot z oldlból Pitgorsz-tétel segítségével: m +, m. Ennek kéthrmd sugár, vgis: m R 6, 7. Ebbõl megkjuk -t:» 9 cm. H fennmrdó két níl eg körcikkbe esik, kkor távolságuk 9 cm-nél kisebb. H fennmrdó két níl külön-külön körcikkbe esik, kkor leglább z egik oln körcikkben vn, melik htároló sugrán vn z elsõnek kijelölt dobás. b) táblábn ekkor 6 8 níl vn. Tekintsük kör köré írhtó négzetet (melnek minden oldl érinti kört). Ezt négzetet osszuk fel 6 egbevágó négzetre. Eg négzeten belül legtávolbbi ontok szemközti csúcsok, távolságuk Pitgorsz-tétellel meghtározhtó: 8, 7», 8. 6 négzetben csk úg lehet 8 níl, h vg, vg - eg négzetbe esik. ármelik eset is következik be, lesz - níl, melek távolság biztosn kisebb, mint,9 cm. w0 ) z állítás biztosn teljesül: sktulák hét nji, megkérdezettek szám edig ennél több. b) Ez z állítás hmis. Kézeljük el éldául, hog sorbn egmás után megkérdezettek mindig következõ not mondják: hétfõ, kedd, szerd, csütörtök, éntek, szombt, vsárn, hétfõ, kedd, szerd. Nincs oln n, mit háromszor hllottunk voln. 7

8 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w06 c) Ez kijelentés is hmis. H ugnis mindenki ugnzt not mondj, kkor nem teljesül. d) Érdekes módon ez kijelentés zt kívánj tõlünk, hog fordítsuk meg sktulelvet. Nem zt kell igzolnunk, hog leglább menni elem kerül eg sktuláb, hnem hog legfeljebb menni kerülhet leglább menni sktuláb. Osszuk szét elõször lehetõ legegenletesebben z embereket sktulákbn. Ekkor vn három, melbe -- fõ került. leosztást csk úg tudjuk változttni, h vlhonnn elveszünk és zt máshov tesszük. z állítás cáfoltához kettes sktulák számát krjuk növelni, ezért vegünk el vlmelik egesbõl és tegük is egesbe. második után elfogtk z eges sktulák, mrdt kettõ üres. Tovább nem tudjuk csökkenteni legfeljebb eg fõt trtlmzó sktulák számát. Utolsó állításunk tehát igz. Megjegzés: Más úton hmrbb célhoz érünk d) kijelentésnél. Tételezzük fel z állítás ellenkezõjét, miszerint mimum eg oln n vn, mit legfeljebb eg fõ mond. Ehhez zonbn leglább 6 fõt kellett voln meginterjúvolnunk, íg ez nem teljesülhet. H állításunk ellenkezõje nem igz, kkor állításunknk kell igznk lennie. z elõbb bemuttott gondoltmenetet indirekt bizonításnk nevezzük. feldt megoldásához elõször zt kell észrevennünk, hog négzetszámok utolsó számjegei nem lehetnek kármilen számjegek. z utolsó számjeg csk 0,,,, 6, illetve 9 lehet:,, 9, 6,, 6 6, 7 9, 8 6, 9 8, 0 00 stb. feldt szerint két eset vn. H vn köztük öttel oszthtó, kkor nnk végzõdése 0 vg. H nincs köztük öttel oszthtó, kkor lehetséges végzõdésnek mrd,, 6, 9. Ezek között kell lennie kettõ zonosnk, hiszen öt számot dtunk meg. kettõ zonos különbsége edig 0-zel oszthtó. w07 Eg szám 7-tel osztv csk 0,,,,,, 6 mrdékot dht. Máské foglmzv 7k +0, 7k +, 7k +, 7k +, 7k +, 7k +, 7k + 6 lkú lehet (hol k egész szám). 7-tel vló oszthtóság szemontjából ezek négzetei csk 0,,, mrdékot dhtnk. Közülük zérus 7-tel oszthtó számot jelöl, többi három nem. Íg válsz: n. Ugnis négzetszám között vg vn 7-tel oszthtó (0 mrdék); vg h nincs (,, mrdék), kkor nég szám között vn kettõ, mi zonos mrdékot d. Ezek különbsége edig 0 mrdékot d, mi 7-tel oszthtó számot jelent. Sorb rendezés I. (különbözõ elemek) megoldások w08! 6. w09 6 6! 70. w00!. w0!. w0! 0. w0 6 6! 70. w0 0!

9 GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Sorb rendezés II. (több tíusb trtozó zonos elemek) megoldások! w0 0.!! 9! w06 6.!! 7! w07.!! 9! w08 60.!!! w09 0! 60.!!! w00 ) 7! 00;!! b) 0; c) !!!!!!!!!!! w0! 0.!! w0 ) Robink filmje vn DVD-n. Ezeket sorb! félekéen rendezheti. b) Elõrevéve vígjátékokt, zokt!-féleké helezheti el. Után sci-fiket 6!, mjd krimiket!-félekéen rendezheti sorb. Mivel különbözõ tíusú filmek sorrendjei nem függnek egmástól, ezért össze kell õket szoroznunk. z eredmén:! 6!! 60. c) b) részfeldtbn kott eredmént meg kell szoroznunk még nnivl, hánfélekéen három tíust sorb tudj rkni olcon. Mivel ez! lehetõség, íg ennél kérdésnél z eredmén:!! 6!! d) Nincs kikötve, hog z zonos tíusú filmek egmás mellé kerülnek. H minden filmet megkülönböztetünk, kkor!-t kunk. Mivel közöttük, 6, illetve zonos vn, íg ezek! mguk közötti sorrendjeit (!, 6!,!) le kell számolnunk: 860.! 6!! w0 ) Sorbn z jtóhoz, z blkhoz, fl mellé, kndlló elé fõ ülhet:!. b) Ültessük le vlhog nég fõt kézeletben, mjd kérjük meg õket, hog üljenek át eggel jobbr. Íg feldtbn kérdezett sztl körüli sorrendjük nem változott. Mivel minden összeállításbn nég egform ültetés vn, z elõzõ megoldást el kell osztnunk -gel:! 6. c) Legen nég fõ,,, D. Szemeljük ki mgunknk -t, viszonítsuk hozzá többieket. -nk két szomszédj lehet: és ; vg és D; vg és D személében (ekkor negedik fõ már meghtározott). Ez összesen lehetõség. w0 ) z elsõ oszlob egfélekéen kerülhet egetlen -es. második oszloot már!-, hrmdikt!-féleké tölthetjük ki. Ezek egmástól függetlenek, tehát!!!. b) négfokú lécsõnél nem változik semmi gondoltmenetben:!!!! 88. c) z eddigiek lján n fokú lécsõnél z eredmén: n! (n )!!!!. Megjegzés: c) részfeldt eredménét késõbb teljes indukcióvl igzolhtjuk. 9

10 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w0 w06 w07 w08 Tegük fel, hog Ernõnek eddig n érméje vn, mind különbözõ. Ezeket n!-félekéen teheti sorb. H még szerez hozzá kettõt, kkor n + érméje lesz, mit (n + )!-félekéen tud mjd sorb rkni ( két új érmével egütt sem változik z feltétel, hog minden érme különbözõ). Felírhtunk eg egszerû egenletet: 0 n! (n + )! Mivel fktoriális szorztot jelent, íg mindkét oldlon meglévõ ténezõkkel tudunk egszerûsíteni: 0 (n +) (n + ). Mivel 0 csk formábn bonthtó fel két egmást követõ ozitív egész szám szorztár, n megoldás. Ernõnek tehát eddig összesen három érmét sikerült gûjtenie. Ténleg nemrég kezdhette. felsõ srokból z lsó srokb ht léésben jutht le kticbogár. ht léés során egszer fog ferdén elõre (), kétszer ferdén jobbr (b) és háromszor ferdén blr (c) léni. Minden lejutást eg, b, b, c, c, c tíusú sorozt fog jellemezni, hol betûk vlmilen sorrendje szereel. H ht különbözõ elem lenne, 6! lenne megoldás, viszont két b-t!, három c-t!-féleké lehet 6! sorb rkni. z eredmén tehát 60.!!! Megjegzés: feldt térbeli megfelelõje gkorlóéldák között tlálhtó rnbás-féle 07. feldtnk. ) Mivel z eges körcikkeket megkülönböztetjük, íg z eredmén n!. b) H csk sorrendre koncentrálunk, kkor z elforgtássl egmásb vihetõ színezések nem különböznek. (Tiikus körberkási feldt.) zonbn vásznt n-félekéen forgthtjuk, íg z eredmén: (n )!. c) zt kell észrevennünk, hog szomszédság nem változik, h körüljárási sorrendet megfordítjuk. Vgis b) részfeldtbn kott eredmént el kell osztnunk kettõvel:. ( n )! Megjegzések: feldt áltlánosítás kör lkú sztlk melletti nég székrõl szóló feldtnk (0. feldt). b) részt úg is meggondolhtjuk, hog z egik szín helét rögzítjük, mjd hhoz kéest színezzük többit: (n )!. Elsõnek zt kell meggondolnunk, hánfélekéen állíthtjuk elõ kilencet egesek és kettesek összegeként, mjd meg kell számolnunk, hog z eges eseteket hánféle különbözõ sorrendben írht- 7! juk fel. Végül z összes esetet össze kell dnunk. Például eges és kettes összegét -féle!! sorrendben állíthtjuk elõ. Vigünk rendszert felírásb táblázt segítségével. -esek szám 9 7 -esek szám 0 Sorrendjük formulávl 8! 7!! 7!!! 6!!!!!! Sorrendjük számszerûen 8 0 Hog feldtbn feltett kérdést megválszoljuk, össze kell dnunk z utolsó sor számit. kilencfokú lécsõt tehát -féleké mászhtjuk meg, h egesével vg kettesével lékedünk. 0

11 GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK w09 w00 Legen megvásárolni kívánt érmék szám n. Ekkor z n + drb érmét, mibõl n, illetve három egform, ( n + )! ( n+ ) ( n+ ) ( n+ ) 8 n!! sorrendben lehet egmás mellé tenni olcr. ( 8-t z üzleti rtnertõl tudjuk.) lkítsuk át z utolsó egenlõséget: (n +) (n +) (n + ) 0. H elvégezzük szorzást, hrmdfokú egenletet kunk, melet nem tudunk megoldni. zonbn most is csk ozitív egészek között keressük z n-t: bontsuk hát rímténezõk szorztár z 0-et, h bl oldl már úgis szorzt formábn vn: 0 7. három zárójel olvshtó úg is, hog három egmás utáni szám szorzt. Ki tudjuk úg osztni 0 rímténezõit, hog ilen számokt kjunk? Igen, ránézésre dódik: 9 n +, 8 n +, 7 n +. Készen vgunk, n 6. Ernõ tehát összesen 6 érmére lkudozott. Megjegzések: Mivel egmás utáni számok szorztáról vn szó, írhttuk voln (N + ) N (N ) lkbn is õket, ekkor N n +. zonbn összeszorozv íg is csk eg N N lkhoz jutunk, mi továbbr is hrmdfokú egenletre vezet. feldtot természetesen róbálkozássl is megoldhtjuk. Mivel három ténezõ közel vn egmáshoz, z eredménnek 0 köbgöke: 0» 7, 98 körül kell lennie. Vlóbn: közésõ számnk 8-t ktunk. ) feldtbn bár szereel leglább szó, nem érdemes áttérni z ellentett eseménre. Ugnis 8-nk fele, íg nem lenne kevesebb megvizsgálndó esetek szám. Elsõként vizsgáljuk meg, hánfélekéen áll elõ 8 három ozitív egész szám összegeként, hol z egik szám leglább. Készítsünk eg tábláztot. feltételek mellett lehetõségek: sirkeflt 6 Szlonn Gümölcs Sorrend nárson 8!!!! 8!!!! 8!!!! 8!!!! 8!!!! 8! 6!!! z utolsó sorbn összegûjtöttük, hog z eges esetekben szerelõ ételdrbkákt hánféle sorrendben tûzhetjük nársr. feldt megoldását z lsó sorbn levõ számok összege dj: Kriszt tehát z áltl elkészíteni kívánt nárst 7-félekéen állíthtj össze. b) sirkefltokból: ( ) + ( ) drbot kell szeletelnie, mi g 9,6 kg. Szlonnából szükséges menniség: drb, mi g, kg. Gümölcsbõl ontosn nni drbk kell, mint szlonnából, íg tömege is ugnz.

12 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w0 w0 ) Tudjuk, hog n különbözõ elemet n!-félekéen lehet sorb rendezni. Kezdjük el kiszámolgtni õket sorbn:!,!,! 6,!,! 0, 6! 70, 7! 00, 8! 0 0, Figeljük meg, hog n -tõl mindegik érték 0-r végzõdik. Ez természetes: mivel minden szorztbn vnnk áros számok, és leglább eg -ös, vlmint megjelenik 0. Íg {0; ; ; ; 6}, zz ½½. b) z elõzõ részfeldt lján már können ábrázoljuk csk ontokból álló függvént. függvén után minden egész helen 0 értéket vesz fel. ) z+++ +n összeget kell meghtároznunk. Ezt többféle trükkel is megtehetjük. Írjuk éldául z összeg lá még egszer ugnezen értékeket visszfelé, mjd djuk õket össze oszloonként: n n + n + n + + n+ + n+ + n+ n+ n+ n+. n ( n+ ) vonl ltt n-szer szereel n +. keresett összeg ennek fele:. Másik lehetõség, h rjzolunk (h már úgis lécsõrõl vn szó). Mindegik lécsõt kiegészíthetjük tégllá, h elforgtjuk és sját mg mellé illesztjük. tégll egik oldl n, másik n +, nekünk viszont csk fele kell Megjegzések: Késõbb rekurzív soroztként is hivtkozhtunk fenti összegre: z n. összeget megkjuk, h n-t dunk z (n ). összeghez. H tnuljuk mjd, hsználhtjuk teljes indukciót is megsejtett formul igzolásár. b) Eg n-fokú lécsõt n! (n )! (n )!!!!-félekéen tölthetünk ki számokkl. Írjuk át szorztot más lkb, soronként kifejtve fktoriálisokt: ( n ) ( n ) n ( n ) ( n ) ( n ). Eg ilen szorzt egetlen n, kettõ (n ), három (n ),, n drb -s, n drb -es és n drb -es ténezõt trtlmz. zz íg is írhtó: n (n ) (n ) n n n. zt, hog eg szám végén menni 0 vn, benne megtlálhtó és rímténezõ-árok szám dönti el. Ebben szorztbn ontosn öt drb árnk kell lennie. Mivel -bõl mindig több lesz, mint -bõl, hiszen minden második szám áros, ezért koncentráljunk z -re. Még inkább z kitevõjére: ontosn -nek kell lennie. Mivel kitevõk egesével csökkennek, íg z ötös elõtt még nég számnk kell állni, tehát n 9. Ellenõrizzük:

13 GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Ebben szorztbn ontosn drb -ös rímténezõ szereel. Ezekhez árosítv ketteseket, éen öt nullár fog végzõdni szám. (9-nél kevesebb nem lehet n, mert kkor z kitevõje is csökken.) c) z elõzõ elgondolás lján nem lehetséges, hiszen h eggel tovább léünk n 0-re, kkor szorztbn vn 6 drb -ös rímténezõ z 6 -bn, de vn eg 0-ben is. zz nem tudunk ontosn 6 drb -öst trtlmzó szorztot készíteni. Kiválsztás és sorb rendezés I. (különbözõ elemek) megoldások w0!. ( )! 0 w0 w !. ( 7 )! 0 w06 )!», 0 9 ; b) 0 9! ( )! w07 w08 w ! ( 9 )! ! ( 6 7)! ! ( 0 8)! ! ( 0 6)! w !. ( 7 )! 80 Kiválsztás és sorb rendezés II. (lehetnek zonos elemek is) megoldások w06. w w (h üresen is hght: 7 6 8). w06 6. w w w067 6.

14 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w068 w069 ) Pnn tisztséget szeretne kiosztni z osztálbn (ez nem könnû feldt). Vlmilen sorrendet felállít tisztségek között, mjd húznk: z elsõ tisztségre 8-ból, másodikr 7-bõl, hrmdikr 6-ból, végül -bõl válsztnk. Vgis: ! ( 8 )! 9 00 lehetõségük vn, h vissztevés nélkül húznk. b) H visszteszik z éen kihúzott nevét, kkor õ újr indul következõ válsztáson is. Ekkor z eges húzások egmástól függetlenek. kérdésre: lehetõség dódik (bár íg z is lehet, hog egetlen személ lesz titkár, gzdságis, kultúros és sortos). ) Minden tárcsát 7 állotb forgthtunk egmástól függetlenül, íg válsz: b) Négjegû számot krunk elõállítni, vgis z elsõ jeg nem lehet zérus. rr mrd 6 lehetõség, többi számjeg viszont kármi lehet. z eredmén: w070 ) H mindenki másféle fgit kért, kkor z elsõ 0-félébõl válsztott, következõ 9, ztán 8, 7, 6-félébõl válsztottk (kézeljük úg, hog minden fgiból csk eg gombóc volt). válsz: ! ( 0 )! w07 b) H leglább ketten zonost kértek, kkor kérhettek ketten, hármn, négen vg kár öten is egformát. Még felsorolni is sok eset (bár vnnk közöttük egszerûek). Próbáljuk meg ellenkezõleg! Számoljuk ki, menni eset ez összesen (bárki kérhet bármit), mjd vonjuk ki zt, mikor mindenki másfjt fgit kér (z elõzõ eset). Számszerûen: 0 0! 9 0. ( 0 )! Megjegzés: Sokszor érdemes z esetek összeszámolásánál áttérnünk z ellenkezõ, komlementer esemének összeszámolásár. feldt szövegében leglább, legfeljebb szvk árulkodnk áltlábn rról, hog íg könnebb lesz feldtot megoldni. ) H vn kettõ, kkor lehet három, nég, öt vg kár ht egform is (rádásul lehet többféle számjegbõl is több). Térjünk át komlementer eseménre, zz mikor minden számjeg különbözõ. Mivel 0-t nem írhtunk z elsõ számjeg helére, z összes esetek szám: Ebbõl vonjuk le csk különbözõ jegeket trtlmzó htjegû számokt: (elsõnek 0-t nem írhtunk, másodiknk viszont nem írhtjuk z elsõt, de 0-t igen). válsz kettõ különbsége: b) htos számrendszerben ht számjeg vn: 0,,,,,. Ezek közül nem tudunk úg jegû számot készíteni, hog ne legen leglább eg jeg többször (már hétjegût sem tudnánk). Mivel minden szám ilen, számoljuk össze õket. Elsõ helen 0 nem állht, után viszont bármi:

15 GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK w07 w07 w07 c) -es számrendszerben számjeg vn. Elsõ helre 0-t nem írhtunk, másodiknk edig nem írhtjuk z elsõt, de 0-t már igen. ztán felhsznált jegekkel csökken további lehetõségek szám: Megjegzés: b) részfeldtbn milen elvet hsználunk? ) 6 betû kétszer, illetve 0 számjeg négszer lklmzv, egmástól függetlenül: b) mi rendszámhoz régiben eg számot betûre cseréltek, zz eredménünket 0-zel osztnunk és 6-tl szoroznunk kell. Vgis,6-szer több rendszámot lehet (elvileg) z új rendszerben kidni. Megjegzés: Természetesen nem minden kombinációt engedéleznek htóságok, illetve vnnk etr rendszámok is (eg betû-öt szám éldául). Két megoldást is dunk. Elsõnek kedvezzünk formulák szerelmeseinek. I. megoldás. Tételezzük fel, hog Ernõ n drbot állítht ki érméi közül (0 < n ). Ezeket! -félekéen teheti sorb vitrinben. H eggel növekszik kiállíthtó érmék szám, ( n)!! kkor sorb rkásukr lehetõség lesz. dódik eg egszerû egenlet, hol!-sl ( ( n + )! ) egszerûsíthetünk, mjd mindkét oldlt megszorozhtjuk ( (n +))!-sl:!! ( n)! ( ( n+ )! ),, n n. II. megoldás. Ennél jóvl egszerûbb, h elkezdjük szorzást elvégezni: z elsõ helre -féle, másodikr -féle stb. érmét tehet Ernõ. kérdés: meddig menjünk el, hog -szeresére növekedjen szorzt? válsz: -ig,. Vgis Ernõ érmét állítht ki. Tegük fel elõször, hog drb betût (z bc elejérõl) és q drb számot (0-vl kezdve) krunk felhsználni egmástól függetlenül. három betû-három szám kombináció íg összesen q 8000 lehetõséget d. Ezt kétismeretlenes egenletet kell megoldnunk ozitív egészek hlmzán. ontsuk fel 8000-t rímténezõkre: kott szorztot állítsuk elõ két hrmdik htván szorztként. lehetõségek következõk: ( ) ( ) ( ) q ( ) ( ) ( ) Mivel q számjegeket jelöli, nem lehet 0-nél több. Ezért z elsõ lehetõség kiesik. Mrd (; 0), (; ), (; ), (0; ) és (0; ) (; q) árokr. Tehát öt megoldás is dódik távoli bolgó távoli kis országánk rendszámtáblák kidolgozásár. Megjegzések: értéke sem lehet 6-nál több, de ez most nem volt érdekes. z egenletet diofntoszi egenletnek nevezzük, h csk egész megoldásokt keresünk. H nem jut eszünkbe 8000 rímténezõkre bontás, kísérletezéssel is megtlálhtjuk megoldásokt.

16 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w07 w076 feldt szövege trtlmzz leglább kifejezést. Ebbõl zt sejtjük, hog érdemes áttérni komlementer eseménre. z ellentett esemén z, h kus nem végez el egetlen szbdrúgást sem. z összes eset edig, h bármelik szbdrúgást bármelik játékos rúghtj -bõl. Vgis kérdésre válsz: félekéen végezhették el z öt szbdrúgást cst játékosi. Megjegzés: H nem térünk át komlementer eseménre, kkor is nekiállhtunk számításoknk. Vegük sorb, hán szbdot rúghtott kus! Menjünk visszfelé: h mind z ötöt õ rúgt, zt egfélekéen tehette meg. H néget, kkor eget más játékos rúgott: 0 0 lehetõség.! H hármt rúgott kus, kkor z összesen lehetõség. H kettõt, kkor!!! mjdnem z elõzõt kjuk, Végül h csk eget, kkor !! Ezek összege ismét 6 0. H legfeljebb ötöt rúgott legendás ekkem, kkor rúghtott 0,,,, vg szögletet. Ennél jóvl egszerûbb komlementer esemént összeszámolni, bbn ugnis csk kettõ eset vn: h ht, vg hét szögletet dott be. Mind hetet egfélekéen rúghtt Dávid. Htot edig félekéen (ne feledjük, hétbõl eget rúgott vlki más és ekkemen kívül még 9 mezõnjátékos vn ngálán). zz eseteink szám: 0 7 ( + 6) Megjegzés: H mégis nekiállunk z eredeti esetek összeszámolásához, kkor ! 9 7! 9 7! 9 7! !!!!!!!! összeget kell meghtároznunk. w077 Most is érdemes áttérni z ellentett esemének összeszámolásár. (Eredetileg 0,,, vg csirkeflt lehet érdemesebb helettük, 6 vg 7-t tekinteni.) H nárson minden flt csirke, zt egfélekéen állíthtj össze Kriszt. H ht, kkor 7 lehetõsége vn. H öt, kkor 7! lehetõségek szám Ezek összegét kell levonnunk z összes lehetõségbõl, mi 8.!! most 7 (mivel nárs összes helére háromféle ételbõl kerülhet eg). Ezek lján z eredmén: 87 ( + + 8) 088. Megjegzés: Nem térve át komlementerre: ! 7! 7! !!!!!! 088. Veges feldtok megoldások w078 w079 ) H tvsz vn, kkor mdrk csicseregnek. b) H mdrk csicseregnek, kkor tvsz vn. c) kkor és csk kkor vn tvsz, h mdrk csicseregnek. ) Nég oldl egenlõ; mind nég szöge 90º és mind nég oldl cm; mind nég oldl egenlõ hosszúságú és mind nég szöge 90º-os. b) Páros; oszthtó -gel; oszthtó -ml és -gel. 6

17 GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK w080 Sktulák: ercek. w w08 6! 70. w08 0! w08 7! 0.!!! w08 6! 6! 90.!!! (!) w086 )!»,6 0 ;!! b)» 9, 96 06; c)» 9, 0. (!) 8 (!) 8 w087 ) 8 66; b) 7 8. w w089 0! ( 0 6)! w090 0! 00. ( 0 )! w09 db:!!!! 880; db: 0; db: ; db:. ( )! ( )! ( )! ( )! Mindösszesen:

18 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM 0.. GYÖKVONÁS Rcionális számok, irrcionális számok megoldások w09 ),6; b),; c),8 ; d) 0,8 ; e) 0, ; f), 87 ; g), 86 ; h) 0, w ) b) c) 0 ; ; 9 ; d) 76 7 e) f ) 99 ; 999 ; ; 77 6 g) h) i) ; ; w09 Mindegik bizonítás indirekt úton történhet. w09 ) derékszögû háromszög átfogój, befogói és. b) derékszögû háromszög befogói és, átfogój. c) derékszögû háromszög átfogój, z egik befogój, másik. d) derékszögû háromszög átfogój, z egik befogój, másik. e) derékszögû háromszög befogói és, átfogój, ebbõl -t elveszünk. f) -ból elvesszük z ) részben szerkesztett -t. g) derékszögû háromszög befogói és, átfogój 7, ezt megfelezzük és elvesszük -bõl. h) derékszögû háromszög átfogój 8, z egik befogój, másik 60. i) derékszögû háromszög befogói és 7 (eg másik derékszögû háromszögbõl szerkeszthetõ, melnek befogói 8 és ), z átfogó 009. w096 ) Például:, ;, ;, b) Például:, ;, ;, c) Például:, ;, ;, w097 ), 6; 009-dik jeg 0. b) 6, ; dik jeg 6. c) 6, ; 009-dik jeg 6. d) 0, ; dik jeg. e), 78 ; 6 jeg ismétlõdik, mivel , keresett jeg. 7 f) 0, ; 6 jeg ismétlõdik, mivel , keresett jeg. 7 w098 Rcionális éldául:,99;,99;,99. Irrcionális éldául:,99 ;,99 ;,

19 GYÖKVONÁS w099 ) Igz. b) Hmis, éldául ( + c) Igz. ) + ( ). 0 d) Igz, éldául. e) Hmis, éldául ( ) ( + ). f) Igz, lásd z elõzõ éldát. g) Igz. h) Hmis, minden rcionális szám recirok rcionális. i) Hmis. négzetgökvonás zonossági, lklmzásik megoldások w00 ) ³ b) ³ 0; c) 0; ; d) e) ÎR; f) {}; ; g) < vg ³ h) ³ i) ³ ; ; ; j) vg ; k) vg ³. w0 ) 6; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) 6; l) 7 ; m) 0; n) ; o) 9; ) ; q). w0 ) 0 > ; b) 77 < 78; c) d) 0 < ; e) < ; f ) g) < ; h) 7 < 0; i) w0 ) + 6; b) + ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) 8 + ; i) 0 ; j) 9 +. w0 ) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 6; g) 0; h) ; i) 6; j) 89 8; k). 0 0; 0 0; >. 0 9

20 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w0 ) 7 > 7; b) 08 > 98; c) d) 99 > 9; e) 7 7; f ) g) ; h) 8 < ; i) j) 7 <. 00 > 86; 8 < 0; 7 > ; 0 w06 ) 0; b) 6 ; c) 0; d) ; e) ; f ) ; g) ; h) 7; i) 7; j) ; k) 0; l). 9 w07 ) ; b) ; c) ; d) 7; 6 e) f ) ; ; 7 0 g) ; h) ; i), >0; 0 j), > 0; k), > 0; l), > 0. w08 ) 8 ; b) 6 + ; c) + 7 ; d) ( 6 ) ; e) ( + ) ; f ) ( + 7 ); g) ( ) ; h) ; i) ; ( ) ( + ) ( + ) j), ³ 0; k), ³ 0, ¹ ; l),, > 0, ¹. w09 ) ; b) 6+ ; 7 7 c) ; 0 d) ; e) + ; f ) ; + 6 g) ; h), ³ 0, ¹ ; i), ³ 0, ¹ ; j), ³ 0, ¹. w0 ) ; b) ; c) 0 ; d) 6; e) ; f ) ; g) b; h) b; i) b. w nevezõt göktelenítve: ) 6 +, ezért < 6 6 b) ( ) 7 7 +, ezért <. 0 ( ) 6; ( )

21 GYÖKVONÁS w w w ) Göktelenítés után: behelettesítés elõtt végezzünk átlkításokt: ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) + ( ) ( ) bl oldli tört nevezõjét göktelenítsük: ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 + 8) ( 0 8) b) nevezõ átlkításávl: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jobb oldlon levõ nevezõt göktelenítés után emeljük négzetre: ( + ) ; w Mivel + 9 ( ) ½ ½, ezért: ) ½ ½, h ³ ; b) ½ ½ h. w6 ) háromszög oldli: ; b 7 6 ; c 9 egség. b) két befogó és 0 egség, z átfogó egség. c) Pitgorsz-tétel lján: honnn: c + + ( + ), c + +, c ( + ), c +. Mivel ÎN +, z átfogó hossz ozitív egész szám. ( ) ( )

22 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w7 w8 w9 ) Göktelenítsük törtek nevezõit: ; 0 8 ( 0 8 ) ( ) Nézzük két kifejezés különbségét: ( ) ( ) > 0. Mert mindkét zárójelben ozitív szám áll. Tehát >. b) Egszerûsítsünk: ; ( 0 6 ) Tehát. c) Hozzunk létre gökök ltt teljes négzeteket: + ( ) + ( ) + + ( + ) ( + ). Tehát. Vegük észre gökök ltt teljes négzeteket: + + ½ + ½ ½ ½. ) Göktelenítsük nevezõket: +, és b +. ehelettesítés: b b) Elõbb nevezõk göktelenítésével hozzuk egszerûbb lkr z eredeti kifejezést: ( + ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ). + ; ( ) ( )

23 GYÖKVONÁS Mielõtt helettesítenénk, számítsuk ki két kritikus kifejezést: ; + +. Ezeket z eredméneket írjuk be ()-be: w0 ) törtek és gökök mitt ¹ 0, ¹ b, b > 0. b b b ( b ) b b) gök mitt ³ 0, tört mitt +6¹ 0. Helettesítsünk: ( ) ( ) ( ) ( ), tehát ¹, ¹ 9. számlálót is lkítsuk szorzttá: + + ( + ) ( + ) ( + ) ( ). Visszhelettesítve z eredeti tört: c) gökök és törtek is értelmezhetõk, h > és ¹ 0. zárójelen belül hozzunk közös nevezõre: ( ) ( ) ( ) ( ) + +. ( ) ( ) ( ) b b ½½ b b ( b ) b b ( b) ½½ b, h > 0, ( b ) b ( b ) ( + b) + b ( b ) ( b ), h < ( )

24 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM d) gökök és törtek értelmezéséhez z kell, hog ³ 0, b ³ 0és ¹ b teljesüljön. Elõbb számlálóbn hozzunk közös nevezõre, mjd róbáljunk egszerûsíteni. + b b + b b b + ( b) b ( b) + ( b) ( + b) b + b b b b + + b ( b) ( + b) b b b + b ( b) + b ( ) ( ) ( ) + b + b b + b + b + b b + b + + b. b w z utolsó szorztot írjuk át z ( + b) ( b) b zonosság lján: Ezzel kifejezés: lklmzzuk újr z elõzõ módszert: w ) Elõbb gökök ltti kifejezéseket hozzuk egszerûbb lkr: Ezek után helettesítsünk: f () feltételek mitt ½½ és ½ ½, b) Kövessük z elõbbi módszert: ( + b ) b ezt behelettesítve: ( + ) ; ( ) 7 7. ( + ) ( ) + ½ ½ + +. ½½ ½½ + 8 f () +. b + b + b b + b ( + b) ( ) ( ) b b b b g () ½ ½ + b + b + b ( ) + b. ( b ) ( ) + b,

25 GYÖKVONÁS Ebbõl: c) Elõbb csk z ( )-et írjuk fel -vl: +, Göktelenítsük h() nevezõjét: b b b, h ³ b, + b + b + b g () b b + b, h b>. + b + b + b ( + ) + + ( ). ( ) + h () ( ) ( + ), ebbe z lkb helettesítsünk be: ( ) + ( ) + h () + ½ ½ ½ ½ +. Ebbõl: +,, + h ³ h () + +, h 0< <. w w Vizsgáljuk meg k-dik tgot: k + k+ z összeg tgjit átírv: ( ) ( ) ( ) ( ) n n 9, ugnzok tgok ozitív és negtív elõjellel is megjelennek, lkítsuk át f ()-et számláló göktelenítésével: f () k+ k k+ k. ( k+ ) k n 9, n 00. ( + 00) ( + ) z f () függvén áros, mert f () f ( ). H ³ 0 függvén szigorún monoton csökken, mimum vn, h 0, ekkor f (0)9. Mivel f () > 0, lehetséges egész értékek:,,,,, 6, 7, 8 (ezeket két helen veszi fel) és 9. Tehát összesen 8 +7helen vesz fel egész értéket.

26 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM Számok n-edik göke, gökvonás zonossági megoldások w ) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) 0; h) 7; i) 7; j) 0; k) 00; l) ; m) ; n) ; o) ; ) 8; q) r) s) ; ; 0 t) 0, ; ; u) 0,; v) w) ;. w6 ) ; b) ½½; c) b; d) ; e) ½½; f) ; g) 7 ; h) ; i) ; j) ; k) ½ ½; l) ½ ½; m) ; n) 7 ; o) ½½. w7 ) ; b) 6; c) ; d) ; e) b; f) g) ; h) ; ; i) ; j). 7 w8 ) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h). w9 ) 8 < 89; b) < 6; c) 77 > 7; d) e) 0 < 0; f ) 9 < 68. w0 ) 0; b) 0; c) 0; d) e) ; f ) ; g) 6 ; h) w ) 7 ; b) 7 7 ; c) ; d) 7 ; 6 e) ³ 0, 8 ; f) bîr, b 7 ; g) ÎR, 6 ; h) ³ 0, 0 6 ; 7 i) ÎR, 8; j) ³ 0, ; k) > 0, ; l) > 0, ; m) > 0,. 0 > 00; ; 6. w ) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f ) 6 6 ; g) ; h) ; 7 i). 6 w ) ; b) ; c) ; d) 0; e) z; 9 f ) bc ; g) bc. 6 6

27 GYÖKVONÁS w Egrészt. lkítsunk ki közös gökkitevõket: ,,. Elég összehsonlítni gök ltti htvánokt: 6 < 8 < 9 0. Tehát növekvõ sorrendben: < <. w ) Igz. b) Hmis, mert c) Hmis, mert. d) Hmis, mert w6 w7 bl oldlon: ( ) + + ( ) + ½½ + ½ ½. ) +½½+½ ½ +, h 0. b) +½½+½ ½, h ³. c) +½½+½ ½, h 0. ) Értelmezés: ¹±. gökjel lá bevitel után hsználjuk fel, hog Egszerûbb lkbn: b) Értelmezés: > 0 és + > 0. zárójelben lévõ kifejezést hozzuk közös nevezõre: ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ). ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) z eredeti kifejezés: ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) c) Értelmezés: ³ 0; ³ 0; ¹. Elsõ léésben lkítsuk zárójelben lévõ törtet: + ( + ) ( + ) ( ) z elsõ tört is egszerûsíthetõ: z eredetibe behelettesítve: ( ) ( + ) + + ( ). + + ( ) + +. ( ). ( ) ( ). + ( ). ( + ) ( + ) ( )

28 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM d) Értelmezés: ³ 0; b ³ 0; ³ 0; de és egszerre nem lehet 0. zárójelben lévõ törtet lkítsuk: b + + b Ezt beírv, és elvégezve négzetre emelést: b + b + b + b + + ( ) ( ) ( ) b + b + b + b. b +. w8 ) gök ltti kifejezéseket lkítsuk teljes négzetté: lklmzzuk z elõzõ módszert: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) Legen + b c b c ozitív egész szám. + b c + b c b c, + + b c + b c, feltétel mitt ( + ) + b c + b c + b c, ( + ) +. feltétel mitt Eredménünk szerint áros szám. Legen k, ÎN +. ( + ) (k + ) 6k + 6k + +, mibõl: 8k + 8k 8k (k + ). Mivel k és k + szomszédos számok, szorztuk áros, ezek szerint 6½. Tehát z szám 6-tl osztv -et d mrdékul. Veges feldtok megoldások w9 ) Igz. b) Igz. c) Igz. d) Hmis, z -nél kisebb számok esetén nem. e) Hmis, -nél kisebb számok esetén nem. f) Igz. 8 g) Hmis: 8 8 < 9. h) Igz. 8

29 GYÖKVONÁS w0 ) ÎR; b) b ³ 0; c) c ÎR; d) d 0; e) ³ 0. w 0 ) 0 > ; 6 b) 6 < ; 6 c) w ) ; b) 6; c) + ; d) 6 9; e) ; f) ; g) 60 ; h) ; i) 6 ; w ) b) 00 c) 6 d) 6 ; e) f ) 0 ; ; 6 ; g) b h) 6 ;. b 0 ; 6 ; w ) + ; b) c) w Mivel ( 7 + ), behelettesítve w6 H befektetést b-vel, hsznot h-vl, z ránossági tenezõt edig q-vl jelöljük: h q b. ) z 00 q egenletbõl: q. b) h » 60 Ft. c) z 00 b egenletbõl: b Ft. l t g w7 ) fonáling lengésideje -szeresére növekszik. t l g l t g b) fonáling lengésideje -szorosár csökken. t l g l t g c) H t t, kkor, mibõl l vgis l 9l. t l l, g Tehát fonáling hosszát 9-szeresére kell növelnünk, h lengésidejét meg krjuk háromszorozni. 9

30 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w8 ) H trtlmzz z egész számokt, kifejezés értéke, hb 0. b) Legen + b, c+ d, hol, b, c, d Î Z. Ekkor: c) megdott szám eleme H-nk, mert: + ( + c) + ( b+ d) ÎH, ( c + bd) + ( d + bc) ÎH ( ) ½ ½ + ( ) ÎH. d) szám recirok: b b. + b b b b kkor kunk egész számokt, h törtek nevezõinek értéke vg. Ennek megfelelõ és b értékek, éldául, b vg 7, b, természetesen ezek ellentettjei is megoldások: ;

31 MÁSODFOKÚ EGYENLET 0.. MÁSODFOKÚ EGYENLET másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 ) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 60; f) ( 0) 9; g) (,) 0,; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9. w0 ) b) c) ( ) + Zérushele nincs. Minimum értéke:, hele:. ( +) Zérushel:,. Minimum értéke:, hele:. ( ) 9 9 Zérushel:,. Minimum értéke: 9, hele:. d) e) f ) ( +) ( ) Zérushel: 6,. Minimum értéke:, hele:. Zérushel:. Minimum értéke: 0, hele:. 9 ( 6) 9 Zérushel:, 9. Minimum értéke: 9, hele: 6. g) h) i) ( +)+ Zérushele nincs. Minimum értéke:, hele:. ( ) 8 8 Zérushel:,. Minimum értéke: 8, hele:. ( ) + Zérushel:,. Mimum értéke:, hele:.

32 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM j) k) l) 7 8 Zérushel:., Minimum értéke:, 8 7 hele:. w ) (), zérushelek: és. b) b() ( + ) +, nincs zérushel. c) c() ( ), zérushel:. d) d() ( + ), zérushelek: és. e) e() ( ), zérushelek: és. f) f() ( + ), zérushelek: 0 és. g) g() ( ), zérushelek: 0 és. h) h() ( + ) + 9, zérushelek: és 7. w ) f () ( + ) + c 9. Nincs zérushel, h c > 9. Eg zérushel vn, h c 9. Két zérushel vn, h c < 9. b) g() ( ) + c 6. Nincs zérushel, h c > 6. Eg zérushel vn, h c 6. Két zérushel vn, h c < 6. c) h() c. + Nincs zérushel, h c > Eg zérushel vn, h c Két zérushel vn, h c <... w ) + ( 7) 9 + minden vlós helen ozitív, h > 9. b) minden vlós helen ozitív, h > 9 +. c) minden vlós helen ozitív, h > 6 +. w ) f () ( ) + +. Tehát b ; c. b) f () ( ) 0 +. Tehát b 0; c. c) f () ( + ) Tehát b 6; c 6. ( +) + Zérushel: 7,. Mimum értéke:, hele:. ( +) + Zérushel:,. Mimum értéke:, hele:.

33 MÁSODFOKÚ EGYENLET w f () ( ), függvén grfikonj z ábrán láthtó. ) z dott intervllumon eg zérus helvn: 0. b) z dott intervllumon mimum tlálhtó z helen, értéke:. Minimum z helen vn, értéke:. c) függvén szigorún monoton csökken, h Î[ ; ], növekszik, h Î[; ]. 0 f w6 ) b + 8 0, ebbõl b. b b) f () 8 Nincs zérushel, h 8 > 0, < b <. b b c) f () b 8 tehát b esetén lesz z helen minimum, ekkor b b +. 8, f () ( ) + 6, minimum érték 6 és nem 0. Tehát nincs feltételnek megfelelõ b. másodfokú egenlet megoldókélete megoldások w7 ), ; b) ; c) ;,, d) 0, e) 0, 0; f), ; ; g), ; h) nincs megoldás; i) 0, 0; j) 7, 7; k), ; l),. w8 ) 0, ; b) 0, 7; c) 0, ; d) 0, e) 0, f) 0, ; ; ; g) 0, 9 7 h) 0, 7 ;. w9 ), ; b), 6; c), 6; d), 9; e) nincs megoldás; f), 9; g), 9; h), ; i) 6, 8. w60 ), ; b), ; c), ; d), 7; e), ; f) ; g), h), ; i), ; ; 7 j) ; k),, ; l) nincs megoldás;

34 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM m) 7 n) o) ;, ;, ; 9, 7 ) 7; q) r) 7, ;,. w6 ), ; b), ; c), ; d), ; e) f) 8;, ;, g), ; h) i), ;, 8 ; j), k), ; l), ; ; m), ; n), ; o) ; ),. w6 ) ¹ és ¹, ÎR. eszorzás és rendezés után: 0 0. Nincs megoldás. b) ¹ és ¹, ÎR. eszorzás és rendezés után: z egenlet megoldás z dott számhlmzon:. c) ¹ és ¹, ÎR. eszorzás és rendezés után: Nincs megoldás. d) ¹ és ¹, ÎR. eszorzás és rendezés után: 0 0. z egenlet megoldás z dott számhlmzon: és. e) ¹ ±, ÎR. Átlkítás után: 6 ( + ) ( ). Rendezve: , mibõl: és. z egenlet megoldás z dott számhlmzon:. f) ¹ ±, ÎR +. Átlkítás után: ( + ) ( ) + 0. Rendezve: 6 7 0, mibõl: és. 6 z egenletnek z dott számhlmzon nincs megoldás. g) b ¹ ±, b ÎQ. Átlkítás után: 6 + b b b + 0 ( b+ ) ( b ) ( b + ). ( b ) Rendezve: 7b b 0, mibõl: b és b. 7 z egenlet megoldás z dott számhlmzon: b. 7

35 MÁSODFOKÚ EGYENLET h) d ¹ 0, d ¹ ±, d ÎN. Átlkítás után: d d ( d + ) ( d + ) ( d ) d ( d ). Rendezve: d d + 6 0, mibõl: d és d. z egenlet megoldás z dott számhlmzon: d. i) e ¹, e ¹, e ÎN. Átlkítás után: e ( + e) ( ) + e e e + Rendezve: e 0e , mibõl: e és e 8. z egenletnek mindkét göke megoldás z dott számhlmzon. j) ¹, ¹, ÎZ. Átlkítás után: 0. + ( ) ( + ) Rendezve: 6 0, mibõl: és. z egenlet megoldás z dott számhlmzon:. w6 z egenlet diszkrimináns: 6 0c. ) Két különbözõ vlós megoldás vn, h 6 0c > 0, vgis c <. b) Eg vlós megoldás vn, h 6 0c 0, vgis c. c) Nincs vlós megoldás, h 6 0c < 0, vgis c >. w6 ) ( ) + 6 ( ) 0, h 9 9. b) z egenlet diszkrimináns: 6 +. Eg vlós megoldás vn: I. H z egenlet elsõfokú: 0, ekkor 6. II. H ¹ 0, D 6 + 0, vgis 9. Ebben z esetben. c) Két különbözõ vlós megoldás vn, h ¹ 0 és 6 + > 0, vgis h > 9, de ¹ 0. d) Nincs vlós megoldás, h 6 + < 0, vgis h < 9. w6 z egenlet diszkrimináns (m + ) m (m ) 6m +. ) Eg vlós megoldás vn: I. H z egenlet elsõfokú, zz m 0, ekkor. II. H m ¹ 0, diszkrimináns 6m + 0, mibõl m. 6 9 z egenlet: 0, megoldás b) Két megoldás vn, h 6m + > 0, zz m >, de m ¹ 0. 6 c) Nincs megoldás, h 6m + < 0, zz m <. 6 0.

36 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w66 w67 Vizsgáljuk meg z egenlet diszkriminánsát: D (k + ) 0 (k + 6k + ) 6. Eredménünk zt muttj, hog können megkhtjuk z egenlet gökeit: ( k + ) + 0k + 0 ( k + ) 0k + k + és k gökök különbsége:, vlóbn független k-tól. H vn vlós gök, kkor z egenlet diszkrimináns nemnegtív: D ( b + c) ( + b + c ) ³ 0. Átlkítv: [( b + c) ( + b + c )] 8 ( + b + c + b c + bc). Teljes négzeteket kilkítv: D [( + b) + ( c) + (b + c) ], ez kifejezés soh nem ozitív, csk kkor vn megoldás, h 0-vl egenlõ. Ekkor + b 0, c 0 és b + c 0. Mindhárom feltétel teljesül, h c b. Ekkor c helére -t, és b helére ( )-t helettesítve és -ml osztv zt z egenletet kjuk, hog + + 0, hol ¹ 0. z egenlet egetlen megoldás. gökténezõs lk. Gökök és egütthtók közötti összefüggés megoldások w68 ) ( ) ( + ); b) ( + ) ( + ); c) ( ) ( + 7); d) ( + 0) ( + 6); e) ( 8) ; f) nincs megfelelõ szorzt; g) ( + ) ( ); h) ( + 7) ; i) ( + ) ( + ); j) ( ) ( + ); k) ( ) ( + 6); l) ( ) ( + ). w69 ) 7 + 0; b) 0; c) ; d) + 0; e) 6 0; f) + 0; g) + 0; h) ; i) + 0; j) ; k) ; l) w70 Például: ) + 0; b) + 0; c) + 0; d) ; e) + 0; f) 0; g) + 0; h) ( + ) ( + ) w7 ) + b) + 8 ( + ) ( ) ; + ( + ) ( ) c) d) ; + + ( + ) ( + ) + 0 ( + ) ( ) + ; 7 ( + ) ( ) + 0 ( + ) ( ) ( ) ( ) 6

37 MÁSODFOKÚ EGYENLET w7 ) + ; b) ; c) + + ; d) 9 + ( + ) ; e) + ( + ), z egenlet: 0., w7 w7 w7 f) H és, kkor: + + és ( + )+ z egenlet: ) z + kifejezést átlkítv: ( + ), mjd ebbe helettesítve Vietéformulákkl kott eredméneket ( + 7; ) kjuk, hog: + 8. Vegük észre, hog + ( + ). Ebbe helettesítsük Viéte-formulákkl kott eredméneket ( + 7; ). Íg kjuk, hog: +. b) Hsonlón z ) feldthoz, kjuk, hog: + és + c) Hsonlón z ) feldthoz, kjuk, hog: + és + z + ( + ) átlkítást elvégezve, z egenletbe helettesítjük Viéteformulákkl kott eredméneket ( + ; ), íg kjuk, hog: ( ) ( ), mibõl ±. Oldjuk meg megfelelõ egenleteket rméteresen, és lkítsuk szorzttá: ( + ) ( ) ) + + ( ) ( ) ; b) c) d) ( ) 6 ( ) ( + ) + ( + ) + ( ) ( ) ; ( ) ( + ) + ( ) ( + ) + ; 6 + ( + ) + 0 ( + ) ( + ) ( 9) 6 ( + ) ( )

38 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w76 gökök és egütthtók közötti összefüggések lján: + ( + ) q, + ( + ) ( + ) ( + ) ( ) q ( ) + q. keresett egenlet egütthtói szintén felírhtók gökökkel, ezért megfelelõ egenlet: [( q) + ( q )] + ( q) ( q ) 0. Felbontv zárójeleket: + ( q + q) + q 6 q 0. Másodfokúr visszvezethetõ mgsbb fokszámú egenletek, másodfokú egenletrendszerek megoldások w77 ) :, ; vg :,. b) 9:, ; vg :,. c) :, ; vg : nincs megoldás. d) 9:, ; vg : nincs megoldás. e) :, ; vg : nincs megoldás. f) vg 7: nincs megoldás. g) vg. :, ; 6 :, h) ; vg : nincs megoldás. :, i) : ; vg 8:. j) 7: ; vg :. k) : ; vg 8:. l) : ; vg :. w78 ), ; 7 b) 8, ;, ;, ; c), ; 8 7 d), ;, ;, 9 ; 0 0 e), ;, ; f), ;, ; g), ; 6, h), 8;, ; ; 8 i), ;, ; j) ;,., 8

39 MÁSODFOKÚ EGYENLET w79 ) H ( ) z egenlet: + 0. Megoldási: és. Visszhelettesítve: ( ), mibõl, ; ( ), mibõl 0,. b) b ( + ) helettesítéssel: b 7b 8 0, minek megoldási: b 9, b. Visszhelettesítve: ( + ) 9, honnn 0, 6; ( + ), minek nincs megoldás. c) c ( + ) helettesítéssel: c c 8 0, minek megoldási: c 6, c. Visszhelettesítve: ( + ) 6, mibõl, 9; ( + ), minek nincs megoldás. d) d ( ) helettesítéssel: 6d d + 0, minek megoldási: d d Visszhelettesítve: ( ) 7 mibõl,, ;, 9. ( ) 0 8 mibõl 9,,. w80 ) z + 6 helettesítéssel: ( + ) 77 0, minek megoldási: 7,. Visszhelettesítve: + 6 7, mibõl, 7; + 6, minek nincs megoldás. b) b helettesítéssel: b (b ) 0 0, minek megoldási: b, b. Visszhelettesítve:, mibõl, ;, mibõl +,. c) z egenlet átlkíthtó: ( ) ( ) + 0. c helettesítéssel: c c + 0, minek megoldási: c 8, c. Visszhelettesítve: 8, mibõl, ;, mibõl,. w8 ) z elsõ egenletbe helettesítve másodikt: 8 +, ebbõl -t kifejezve és behelettesítve második egenletbe: + +0,ebbõl, 8;,. b) z elsõ egenlethez hozzádv második -szeresét: 7, ebbõl:, ;, ;, ;,. c) z elsõbõl helettesítve másodikb, beszorzás után: , ebbõl, 0;,. d) másodikból helettesítve z elsõbe, beszorzás után: + 0,ebbõl:, 6,. e) z elsõ egenletbõl másodikb helettesítve z egenlet dódik, ebbõl, ;, ;, ;,. f) z elsõ egenletbõl másodikb helettesítve z 0 egenlet dódik, ebbõl, ;,. g) Összedv z egenleteket: + 60, megoldv és visszhelettesítve:, ;, ; 6, ; 6,. h) két egenlet bl oldlát szorzttá lkítv és elosztv z elsõt másodikkl: ezt visszhelettesítve:, ;,., ; 9

40 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w8 w8 ) Mivel z 0 nem megoldás, eloszthtjuk mindkét oldlt -tel: Helettesítsük z -et, ekkor + +. z egenlet: ( ) megoldási:., Visszhelettesítve: + megoldási:,. ; +. megoldás:. b) Mivel z 0 nem megoldás, eloszthtjuk mindkét oldlt -tel: Helettesítsük z -et, ekkor + +. z egenlet: 6 ( 0 ) 8 0. megoldási:., Visszhelettesítve: 0 + megoldási:,. ; +. megoldási:,. ) H megvizsgáljuk z egenletet, kiderül, hog z megoldás, ennek megfelelõen lkítsuk: ( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0. szorzt másik ténezõje is lehet 0: 0. megoldási:,. b) z egenlet egik megoldás z. lkítsuk szorzttá: ( + ) ( + ) 6 ( + ) 0, ( + ) ( 6) 0. H másik ténezõ 0: 6 0, minek megoldási:,. c) z egenlet egik megoldás z. lkítsuk szorzttá: ( ) + 9 ( ) + 0 ( ) 0, ( ) ( ) 0. második ténezõbõl: , minek megoldási:,. Másodfokú egenlõtlenségek megoldások w8 ) < 7 vg > 7; b) 0 0; c) 6 vg ³ 6; d) 0 < < 0; e) ÎR; f) nincs megoldás; g) ; h) 7 vg ³ 7; i) vg 0 ; j) 8 < < 0; k) < 0 vg > ; l) 0. 0

41 MÁSODFOKÚ EGYENLET w8 ) b) c) 0 0 b c 0 7 < < ; vg ; < < 6; d) e) f ) d e f 0 0 nincs megoldás; < 6 vg < ; ÎR; g) h) i) g h i ; < < ; ÎR; j) k) l) j k l 0, 0, 0, 0,,0 0, 0, 0, 0, 0, 0, < vg < ; nincs megoldás. 7 ; w86 ) {0; ; ; ; ; }; b) { ; ; ; ; ; 0; ; ; ; }; c) { ; ; ; ; ; 0; ; ; }; d) minden egész szám megoldás; e) { 7; 6; ; ; ; ; ; 0; ; ; ; ; }; f) { ; ; ; ; 0; ; ; }; g) { 9; 8; 7; 6; ; ; ; ; ; 0}; h) { 6; ; ; ; ; ; 0; ; }; i) { ; ; 0; 9; 8; 7; 6; ; ; ; ; ; 0; ; ; ; ; ; 6; 7; 8}.

42 MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w87 ) z kiemelése utáni másodfokú kifejezést lkítsuk szorzttá: + ( + ) ( ) 0. megoldás: vg b) z kiemelése utáni másodfokú kifejezést lkítsuk szorzttá: 7 + ( ) ( + ) > 0. megoldás: < vg 0 < < > 0 + > 0 >0. 0 c) 8 vg ³, z elsõnek nincs megoldás, másodikból: vg. d) < < 9, mibõl < < vg < <. w88 ) nevezõ: + 7 > 0. b) ( + ) ( 6 ) > 0. megoldás: <. megoldás: < vg < < <0 +7> >0 > 0 + > ( + ) ( ) c) ³ 0, d) 0. ( ) ( + ) ( ) ( + 9) ezért: vg < < vg. megoldás: 9 < <. + > > > 0 +9> >

43 MÁSODFOKÚ EGYENLET 8+ ( ) ( ) e) < 0. f ) ( + ) ( ) 7 ( ) ( + ) ( + ) ( ) megoldás: < < vg < <. megoldás: < vg < >0 > 0 +> 0 > 0 > > ( ) ( + ) + ( + ) ( ) g) 0. h) ³ 0. ( + ) ( 6) + 0 ( ) ( 0) megoldás: < 6. megoldás: vg < < > 0 6 > > 0 > ( ) ( ) w89 ) > 0, ¹. Meghtározzuk, hog feldtbn szerelõ ( ), ( ) és ( ) kifejezések mel értékekre ozitívk, illetve negtívk. z ábr szerint megoldás: < vg < <. 0 > 0 > 0 > 0 b) ³ ¹, ¹., Redukáljuk nullár z egenlõtlenséget, mjd közös nevezõre hoztl és összevonás után kjuk: 0. ( ) ( ) kifejezések elõjelvizsgált után megoldás: <. ³ 0 > 0 >0 0

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e) . Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

VI. Deriválható függvények tulajdonságai 1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon Pdáni Ktolikus Gkorlóiskol, Veszprém Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Cél: pontos, kitrtó

Részletesebben

a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont

a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont 1. Az alábbi feladatok egszerűek, akár fejben is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonban erre a papírra írja! a.) A 2x 2 5x 3 0 egenlet megoldása nélkül határozza

Részletesebben

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 06jnuár 0/06-ös iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárg: MATEMATIKA

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok /0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:

Részletesebben

N-ed rendű polinomiális illesztés

N-ed rendű polinomiális illesztés ed rendű polinomiális illesztés 1 oldl Tegük fel, hog dottk vlmilen fiziki menniség függvénében mért értékek, zz mérési értékpárok, hlmz ( db mérési pont) A mérés mindig trtlmz vlmekkor bizontlnságot mért

Részletesebben

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

Matematika szintfelmérő szeptember

Matematika szintfelmérő szeptember Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

44. HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, 2015 Szóbeli feladatok megoldásai. Megoldás: 6

44. HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, 2015 Szóbeli feladatok megoldásai. Megoldás: 6 9 évfolm HNCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MTEMTIKVERSENY MEZŐKÖVESD 5 Szóbeli feldto megoldási ) dju meg zot z egész értéeet mele mellett z 6 6 Z 6 6 6 6 is egész szám! pot 6 6 6 pot mide egész -re pártl íg or lesz

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

Matematika érettségi 2015 május 5

Matematika érettségi 2015 május 5 ( ) A 6-tl vló oszthtóság feltétele, hogy szám oszthtó legyen -vel és -ml. 60 6 64 66 68 X {;8} X {;8} A minden tgdás: vn olyn A brn tgdás: nem brn Vn olyn szekrény, melyik nem brn (A) A D 49 b 4 ( 0)

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervllumok. Töltsd ki tábláztot! Minden sorbn egy-egy intervllum háromféle megdás szerepeljen!. Add meg fenti módon háromféleképpen következő intervllumokt!

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a gyökvonás témakörhöz (10.A osztály)

Kidolgozott feladatok a gyökvonás témakörhöz (10.A osztály) 1. Számítsuk ki a következő szorzatok értékét! (a) 3 3 3 (b) 7 3 7 3 1 9. Számítsuk ki a következő hánadosokat! (a) (b) 1 0 1 0 3. Döntsük el, melik szám a nagobb! (a) ( 3) vag ( ) 3 (b) Mivel tudjuk,

Részletesebben

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket, Számok és mûveletek + b b + Összedásnál tgok felcserélhetõk. (kommuttív tuljdonság) ( + b) + c + (b + c) Összedásnál tgok csoportosíthtók. (sszocitív tuljdonság) b b ( b) c (b c) 1. Végezd el kijelölt

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

11. évfolyam feladatsorának megoldásai

11. évfolyam feladatsorának megoldásai évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor

Részletesebben

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton 011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

9. évfolyam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok

9. évfolyam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok Halmazok: 9. évfolam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok. Adott két halmaz. A : a ; a : páros és B : ;;8;0;;;8;0;. Add meg a következő halmazműveleteket az elemek felsorolásával és készíts Venn

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása

2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozt: Triesz Péter, eg. ts.; Trni Gábor, mérnök tnár) Erők eredője, fölbontás.1. Péld dott eg erő és eg egenes irán-egségvektor:

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

Frissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21

Frissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki Eg kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 1. péld: Számítsk ki súlponti és tengelekre számított másodrendű nomtékokt! Megjegzés:

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû mtemtik. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Logik, bizonítási módszerek. Logiki feldtok, kijelentések. Feltéve, hog középsõ kérdésre válszolt: középsõ

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

Kalkulus II., harmadik házi feladat

Kalkulus II., harmadik házi feladat Név: Neptun: Web: http://mawell.sze.hu/~ungert Kalkulus II., harmadik házi feladat.,5 pont) Határozzuk meg a következ határértékeket: ahol a) A =, ), b) A =, ), c) A =, ).,) A Az egszer bb kezelhet ség

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010. MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás 7. feruár.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint létezik f()d htárérték

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris

Részletesebben

XXVII. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Nagyvárad, február I. forduló - 9. osztály

XXVII. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Nagyvárad, február I. forduló - 9. osztály Nagvárad, 07. február 3 6.. feladat: Két játékos a következő játékot játssza: Az,,3,...,07 véges számsorozatból váltakozva kiválasztanak eg-eg számot, és azt törlik a sorozatból. Bármelikük látja, hog

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Összetettebb feladatok

Összetettebb feladatok A szinusztétel és koszinusztétel lklmzás Összetettebb feldtok 055..,7 m háom kö közötti síkidom teülete. Kössük össze köök középpontjit, így kpunk egy háomszöget. Legyen m, b m, 5 m. Számítsuk ki koszinusztétellel

Részletesebben

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

2010/2011 es tanév II. féléves tematika 2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz. Differenciálegenletek Bevezetés Differenciálegenletnek olan egenletet nevezünk, amelben az ismeretlen eg függvén és az egenlet tartalmazza az ismeretlen függvén (valahánad rendű) deriváltját. Például:

Részletesebben

Függvények, 7 8. évfolyam

Függvények, 7 8. évfolyam Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás. feruár 9.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény integrálhtó z, intervllum ármely, részin- tervllumán,

Részletesebben

5. Végezd el a kijelölt műveleteket, és ahol lehet, vonj össze!

5. Végezd el a kijelölt műveleteket, és ahol lehet, vonj össze! 1 1. Rendezd a következő polinomokat a bennük lévő változó növekedő hatvánkitevői szerint! a) 2 + + 2 b) 2 + + 2 + 6 2. Melek egnemű algebrai kifejezések? a) a 2 b; 2ab; a 2 b; 2a b; 1,a 2 b b) 2 ; 2 ;

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivlók Formi előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Sokszínû matematika 10. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 10. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû mtemtik 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Összeállított: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tnár A Gondolkodási módszerek és Vlószínûségszámítás c. fejezeteket szkmilg ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egyetemi

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

2. modul Csak permanensen!

2. modul Csak permanensen! MATEMATIKA C. évfolym. modul Csk permnensen! Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A htványzonosságok

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

Az integrálszámítás néhány alkalmazása

Az integrálszámítás néhány alkalmazása Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8

Részletesebben

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.) Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

Oszthatóság. Maradékos osztás

Oszthatóság. Maradékos osztás 1. Számelméleti lismeretek, számelmélet ltétele. A rímszámelmélet elemei. A kongruenci foglm, mrdékosztályok, Euler Fermt-tétel. Lineáris és mgsbb fokú lgebri kongruenciák. Binom kongruenciák, kvdrtikus

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben