Sokszínû matematika 10. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Átírás

1 Sokszínû mtemtik 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

2 Összeállított: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tnár A Gondolkodási módszerek és Vlószínûségszámítás c. fejezeteket szkmilg ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egyetemi docens

3 Trtlom Gondolkodási módszerek... A gyökvonás... A másodfokú egyenlet... 6 Geometri... 7 Szögfüggvények... Vlószínûségszámítás... 9

4 Gondolkodási módszerek SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel. ) H vizes z úttest, kkor esik z esõ városbn. Nem feltétlenül igz. b) H bezárom z jtót, kkor elmegyek otthonról. Nem biztos. c) H õ medve, kkor õ Micimckó. Nem biztos. d) H felvesznek z egyetemre, kkor megnyerem z OKTV-t. Nem igz. e) H bemehetek színházi elõdásr, kkor vn jegyem. Igz.. ) H egy szám oszthtó -vel, kkor oszthtó -gyel. Nem igz. b) H egy szám rcionális szám, kkor véges tizedes tört. Nem igz. c) H egy háromszög leghosszbb oldlánk négyzete egyenlõ másik két oldl négyzetének összegével, kkor derékszögû. Igz. d) H két szám szorzt 0, kkor közülük leglább z egyik 0. Igz.. ) Szükséges, de nem elegendõ. b) Szükséges, de nem elegendõ. c) Szükséges, de nem elegendõ. d) Szükséges, de nem elegendõ. e) Elegendõ, de nem szükséges.. ) Elegendõ, de nem szükséges. b) Szükséges és elegendõ. c) Szükséges, de nem elegendõ. d) Elegendõ, de nem szükséges. e) Nem szükséges, nem elegendõ.. ) Szükséges, de nem elegendõ. b) Elegendõ, de nem szükséges. c) Elegendõ, de nem szükséges. d) Szükséges és elegendõ. e) Nem elegendõ és nem szükséges. f) Nem szükséges, nem elegendõ. 6. Szükséges, de nem elégséges leglább 0 ontot elérni. Elégséges, de nem szükséges 00 ontot elérni. Szükséges és elégséges 0 ontot elérni. Nem szükséges és nem elégséges legfeljebb 0 ontot elérni. 7. ) Szükséges, de nem elégséges: átlók felezik egymást. Elégséges, de nem szükséges: négyzet legyen. Szükséges és elégséges: oldli egyenlõek. b) Szükséges, de nem elégséges: oszthtó -vel. Elégséges, de nem szükséges: oszthtó -vel. Szükséges és elégséges: oszthtó -vel és -ml.

5 c) Szükséges, de nem elégséges: z egyik áros. Elégséges, de nem szükséges: mindkét szám áros. Szükséges és elégséges: h vlmelyik ártln, másik -gyel oszthtó vgy mindkét szám áros. d) Szükséges, de nem elégséges: átlóik egyenlõek. Elégséges, de nem szükséges: mindkét deltoid oldli egységnyiek, szögei 90º-osk. Szükséges és elégséges: három oldluk és z áltluk meghtározott két szögük egyenlõek. 9. Mivel 9 mezõ vn, z egyik színbõl több vn. Az átmászáskor minden csig másik színû mezõre kerül. A több mezõt meghtározó színû mezõkrõl induló csig mezõ közül válsztht, így biztos lesz olyn mezõ, melyikre kettõ kerül közülük. 0. Egy elégséges feltétel, hogy egy srokmezõt hgyjunk ki. Ezt z egyik srokmezõt kihgyó triminó-fedés megdásávl indokolhtjuk. Ilyet tlálhtunk egyszerûen. A szükséges és elégséges feltételhez mezõket (i, j) koordinátároknk gondoljuk, hol i, j 7. Az (i, j) mezõbe írjuk bele z i + j szám -ml vló mrdékos osztásánál kott mrdékot. Így mezõket megszámoztuk úgy, hogy h sorbn blról jobbr, vgy oszlobn lulról felfelé hldunk, kkor 0,, számokt látjuk eriodikusn ismételve. (Ez számozás számelméleti leírás nélkül is könnyen megdhtó.) Azz minden triminó áltl lefedett mezõkben számok összege Az összes lefedett szám összege 6 8. Ebbõl kiszámolhtó, hogy le nem fedett mezõben -esnek kell állni. Ez srok, oldl-közésõ és tábl-közésõ ozíciókbn lesz. Tehát egy szükséges feltétel, hogy egyetlen fedetlen mezõ legyen fenti kilenc közül. Ez elégséges is, mit z egyes lehetõségekhez trtozó fedésekkel igzolhtunk.. Nem lehetséges. Szükséges és elégséges feltétel, hogy z koordináták különbsége lusz z y koordináták különbsége áros legyen.. Mivel egy él két csúcshoz trtozik, z egy csúcshoz írt számok összege ( ). 8 8 Ez nem egész szám, így ez számozás nem lehetséges. A számozás szükséges feltétele, hogy z élekre írt számok összege többszöröse legyen. Ez nem elégséges feltétel. Elégséges feltétel: legyen ; ; ; ; ; 9 tetszõleges számok. Az élekre írt számok legyenek: Számozzuk z oszlookt blról és sorokt lulról. ) 6. sor vált,. oszlo vált, 6. oszlo vált. b).,.,. oszlo vált,.,.,. sor vált.

6 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) Nem érhetõ el. Legyen egy sorbn vgy oszlobn kékek szám k, váltáskor kékek számánk változás ( k), zz áros. Tehát szükséges feltétel, hogy kékek szám kezdetben áros legyen. d) Nem érhetõ el. A szükséges és elégséges feltétel egy másik megfoglmzás: Vegyünk ki tetszõlegesen négy mezõt úgy, hogy zok két sorbn és két oszlobn legyenek. Ekkor köztük áros sok kék mezõ vn. Egy átlkítás ezt tuljdonságot nem változttj meg, és mivel végén minden ilyen mezõnégyesben null (zz áros) kék mezõnek kell lenni, ezért feltételünk szükséges. Másrészt elégséges is, mert h teljesül, kkor néhány átlkítássl érjük el, hogy z elsõ oszlobn és sorbn is csk sárg mezõk legyenek (ezt könnyen el tudjuk érni). A feltételünk z átlkítások során megmrdt, így többi mezõ is sárg lesz. Vlóbn, hiszen többi mezõ mindegyike benne vn egy olyn mezõnégyesben, mely három mezõje z elsõ sor vgy elsõ oszlo eleme (így már sárg), és összesen áros sok kék mezõ vn köztük (feltételünk szerint). Ez többi mezõ közül tetszõlegesen kiválsztott mezõ sárg színét is jelenti. Rejtvény: Kettõt. A bl felsõt és jobb lsót.. Sktuly-elv. A: nem B: igz C: igz D: igz ) Vn közöttük két egyform fjt állt. b) hetet c) ötöt d) hármt e) négyet f) hetet g) hetet. Angolos és németes csoortról.. Mivel 6 +, biztosn vn olyn osztályzt, mely leglább 7-szer fordul elõ.. A: igz (6 < 7) B: igz (7 0 < 7) C: nem D: nem E: igz ( < ). ) b) 9 c) d) 0 6. A: nem B: nem C: igen D: igen 7. ) 6 b) lmát kell kivenni, hogy vlmelyikbõl leglább 0 legyen. 76 lmát kell kivenni, hogy mindegyikbõl legyen leglább. 9. ) b) 0. Legyen n kék és m iros zokni. húzás kell, hogy legyen biztosn egyform színû ár és m{m, n} + húzás kell, hogy legyen két különbözõ színû. Tehát ³ m{m, n} + ³ m{m, n} + iros és kék, vgy iros és kék, vgy kék és iros zokni vn lemezt. 6

7 . Vlmelyik hjszínbõl vn leglább 0. Ebbõl színbõl vn leglább egyform egy teremben, mivel < 0.. Osszuk fel céltáblát 9 drb -es négyzetre. Így lesz olyn négyzet, hová leglább lövés kerül. Ezen két lövés mimális távolság dm, mi kisebb dm-nél.. Osszuk fel 6 db egybevágó, szbályos háromszögre céltáblát, melyek oldli 0 cm hosszúk. Biztos lesz egy olyn háromszög, melybe leglább két lövés kerül. Ezek távolság nem lehet 0 cm-nél ngyobb.. Osszuk fel négyzetet 9 egybevágó oldlú négyzetre. Biztos lesz olyn négyzet, melyben leglább ont vn, mivel 9 < 0. Ezek lefedhetõek egy sugrú körll. 6. A bezárt szögeket nem változttj meg, hogy egy közös ontb toljuk z egyeneseket. A 8 egyenes 6 részre osztj 60º-ot, így biztos vn olyn szögár (csúcsszögek), melyek nem ngyobbk 0º-nál, hisz nem lehet mind 6 drb szög ngyobb, mint 0º. 7. Legyen tégll egyik oldl, másik b. A metszõ egyenes y áltl kimetszett szkszok, ill. y. A területek rány lján + y + y b b. b Innen + y Az ilyen helyzetû egyenes áthld b;. oldlú tégll közéontján. A tégll minden oldl mellett lehet ilyen tíusú egyeneseket felvenni, melyek csoortonként egy ontr illeszkednek. Mivel +, lesz olyn ont, melyre egyenes illeszkedik. 8. Osszuk fel termet 90 drb m élû kockár. Biztos vn olyn kock, melyben leglább légy vn. Ezek mimális távolság m, mi kisebb, mint m. 9. Osszuk fel kockát 6 drb egységélû kockár. Mivel 6 < 00, lesz olyn kock, melyben leglább ont vn. Ezek közül kiválsztv ontot z õket összekötõ zárt töröttvonl szkszból áll, melyek mindegyike mimum egység, így töröttvonl hossz nem ngyobb, mint egység. 0. A kézfogások szám 9-féle lehet, mivel számok {0,,,..., 9} elemei és 0, illetve 9 kézfogás együtt nem lehetséges. Így 0 ember között biztos vn kettõ, melyeknél kézfogások szám egyenlõ.. Egy cst minimum 0, mimum 7 meccset játszht. A cstok meccseinek szám 7- féle lehet, hisz 0 meccset, illetve 7 meccset játszó cst egyszerre nem lehetséges. Így mindig vn leglább két olyn cst, melyek meccseinek szám egyenlõ.. Mivel 8-cl osztv 8-féle mrdék lehet, 9 szám esetén biztosn lesz kettõ zonos mrdékú, melyek különbsége oszthtó 8-cl.. ) -tel osztv -féle mrdék lehetséges. egymás utáni egész szám mrdék különbözõ, z összes lehetséges mrdék elõfordul. Bármelyik nem 0 mrdékhoz tlálunk olyn mrdékot, mellyel z összege. Az ezen mrdékot dó számok összege oszthtó -tel. 7

8 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE b) Nem igz. Például h mindegyiknek mrdék, kkor bármelyik kettõ összegének mrdék. c) Akkor nem lesz két szám különbsége oszthtó -tel, h mrdékuk különbözõ. Így legfeljebb drb szám írhtó fel. Akkor nem lesz két szám összege oszthtó -tel, h mrdékik összege nem. Így legfeljebb 8 drb szám írhtó fel. A feldtnk legfeljebb 8 drb, különbözõ mrdékú szám felel meg.. A legkisebb szám, mit khtunk A legngyobb szám nem ngyobb nél. Így legfeljebb különbözõ szám lehet z eredmény. egyfélekéen értelmezhetõ/zárójelezhetõ. H ezt kifejezést bõvítjük kifejezéssel, kkor eddigi zárójelezésünkbõl kettõt is készíthetünk: Az eddigi kifejezéshez egyesével vesszük hozzá -t és -et, illetve két tg együttesen zárójelezve kerül hozzá. Más lehetõségek is vnnk, de z biztos, hogy lehetõségeink leglább megkétszerezõdnek. Gondoltmenetünk folytthtó: két újbb tg zárójelezések lehetõségeinek számát mindig leglább megkétszerezi. Összesen több mint 999 zárójelezés vn, mi sokkl ngyobb szám, mint lehetséges végeredmények szám. Így biztos lesz két különbözõ zárójelezés zonos végeredménnyel.. Legyen z öt szám:, b, c, d, e. Kéezzük következõ összegeket:, + b, + b + c, + b + c + d, + b + c + d + e. Az,,..., számok -tel osztv különbözõ mrdék lehet, ezért vgy különbözõ mrdék, és kkor vn közöttük egy -tel oszthtó, vgy vn két zonos mrdékú, és kkor zok különbsége oszthtó -tel. Ez különbség z eredeti, b, c, d, e számok közül néhánynk z összege. Az helyett bármilyen ngyobb egészet írhtunk. szám esetén már nem biztos, hogy kiválszthtó megfelelõ részhlmz. Ezt éldául z,,, számnégyes muttj. 6. Az elõzõ lján z. léésben biztos véget ér játék. A kezdõnek kkor lehet nyerõ strtégiáj, h eléri, hogy. léésre vége legyen játéknk. Legyen l i z i-edik léésben felírt szám ötös mrdék. Nyerõ strtégi: l. Mivel l nem lehet, illetve, l, vgy. H l, kkor l. H l, kkor l. H l, kkor l. Bármi is z l, kezdõ játékos nyer. 7. Legyen i olyn szám, melyben i-szer vn egymás után leírv 00. Tehát 00, 0000,..., Ez 8 drb szám, melyeknek 7-tel osztv 7- féle mrdék lehet. Így biztos vn kettõ zonos mrdékú közöttük. Ezek különbsége oszthtó 7-tel, és 00-gyel kezdõdik. Ilyen szám még is Az elõzõ lján,,,..., A két zonos 7-es mrdékú különbsége oszthtó 7-tel, és csk, illetve 0 jegybõl áll. Ilyen szám még z 00 is zel osztv 0-féle mrdék lehet, így z szám között biztosn vn 6 drb, melyek mrdék zonos, ugynz z utolsó jegyük. Legyenek ezek 0 < < <... < H bármely két szomszédos különbsége ngyobb lenne, mint 0, kkor 6 00-nál ngyobb lenne. Így kell lennie két szomszédosnk, melyek különbsége 0. -hez 6 drb számot kell húzni, -höz 6 drbot. 8

9 Rejtvény:,, 6,,,, 7,,, 7,, 6,, 6,,,,, 7,,,, 6,, 7,,, 6,,, 7 6,,, 7,,, 7,,,, 6,,,, 6, 7,,,,,,,, 6, 7. Sorb rendezési roblémák. ) 8! b)!, mivel négy árbn sorrend dott. c)-d) Tisztázni kell, hogy egy kör lkú sztl mellé ültetések közt kettõt mikor tekintünk különbözõnek. Két lehetõség vn: I) H két ülésrend esetén mindenkit mindkét esetben ugynzon két ember fogj közre, kkor két ülésrendet zonosnk tekintjük. II) H két ülésrend esetén mindenkinek mindkét esetben ugynz bl és ugynz jobb oldli szomszédj, kkor két ülesrendet zonosnk tekintjük. A két szemléletmód bbn különbözik, hogy h egy ülésrendet egy tükörben tekintünk, kkor z I) szemlélet mellett ugynzon ülésrendet látjuk, mint tükör nélkül tekintett eredetit. Míg II) szemlélet szerint (feltéve, hogy leglább hármn ülnek z sztlnál) másik ülésrendhez jutottunk, mert z eredeti bl szomszédok most jobb szomszédok lettek. A II) szemlélet szerint c)-re válsz 7!, hiszen nyolc résztvevõ közül z egyik leírj, hogy tõle blr ki ült, és továbbmenve blr milyen sorrendben követte egymást rjt kívüli hét részvevõ, kkor teljes ülésrend egyértelmûen tisztázv lesz. A hét résztvevõ sorrendjére 7! lehetõség vn. Az I) szemléletben lehetõségek szám felezõdik. A d) kérdésre II) szemléletben válsz:!, hiszen z egyik férfink z ülésrend leírásához el kell mondni, melyik oldlon ült felesége, rrfelé hldv milyen sorrendben ült másik három házsár, és mindegyik házsár esetén tisztázni kell, hogy férj és feleség két lehetõség közül milyen sorrendben ült. Az I) szemléletben lehetõségek számát felezni kell.. H nem vesznek össze, kkor!-félekéen ülhetnek le. H Be és Cili egymás mellé krnk ülni, kkor! -félekéen ülhetnek. Így h nem krnk egymás mellé ülni, kkor!!! ( )! -félekéen ülhetnek le. 6!. )! b) c)! 7!. mivel z zonos jelek sorrendje nem számít.!!!, 7! 6! 6! 6! 6! 7!. A7 betûs szvk szám A6 betûs szvk szám + +!!.!!!!!!!!. A két szám egyenlõ. 9

10 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 6! nl zért kell szorozni, mert bármelyiket megfordítv új rendezést kunk.!! 6, 0! 7., fejek, ill. írások egymás közti sorrendje nem számít. 6!! 8. A sorrendhez le kell írnunk mi hldt z oel mögött, kettõvel z oel mögött és háromml z oel mögött (mi egyben z oel elott hldó utó). Ez éen másik három utó egy sorrendje. Erre! 6 lehetõség vn. 9.! félekéen. Az egyik felsõ lyuknál kezdve hátul ismeretlen úton 0 lehetõség vn felbukknásár. Ezután elöl dott, hogy melyik lyukt kell válsztni. A következõnél már csk 8 lehetõség vn és így tovább.. )! b) 8-félekéen. Elõször kiválsztjuk, hogy melyik kerüljön helyére, zután többit rendezhetjük úgy, hogy egy se kerüljön helyére (ez lehetõség). c) Arr nincs lehetõség, hisz ekkor negyediket is csk helyére rkhtjuk.. )! b) A )-es feldt borítékokkl is elmondhtó. Ebbõl kiderül, hogy borítékolás! módon lehetséges. Ebbõl egyszer minden helyére kerül, nyolcszor ontosn egy levél kerül helyére. Könnyen meggondolhtó, hogy htszor lesz olyn elrendezés, hogy ontosn két levél kerül helyére. Azz szer lesz z, hogy egy levél sem kerül helyére. Az eredeti roblémár vissztérve: öt levél esetén ötfélekéen válszthtjuk ki zt z egyetlen levelet, melyik helyére kerül, mjd 9-félekéen rendezhetjük el mrdék négy levelet úgy, hogy további helyrekerülés már ne legyen. Összesen 9 lehetõség vn. c) válszthtó ki, melyik három legyen helyén. A fennmrdó kettõ helye már egyértelmû.. András megoldás helyes.. A leglcsonybbnk sor szélén kell állni, és következõ mgsságúnk vgy mellette, vgy sor másik végén. A többiek sorrendje mindkét esetben -féle lehet. Így z összes esetek szám 6 ( + ). A -es szorzó zért kell, mert egy jó sorrendet megfordítv is jó sorrendet kunk. Egy másik érvelés: A sort úgy lkítsuk ki, hogy játékosok mgsság szerint csökkenõ sorrendben menjenek fel ályár és álljnk be z eddigi sorb. A legmgsbb játékos után további négy játékos mindegyike két válsztás elõtt áll: vgy sor elejére, vgy sor végére áll. Összesen lehetõség vn sor teljes kilkításár. 0

11 . Kiválsztási roblémák. -féle zászló. Elõször kiválsztjuk színt, mjd ezek sorrendje tetszõleges.!! Másként: -féle, mivel tetszõlegesen sorbrendezzük z színt, de z utolsó sorrendje! nem fontos, hisz z elsõ dj zászló színét. Egy hrmdik érvelési mód: Legfelülre öt lehetõségbõl válszthtunk. Alá már egy új színnek kell kerülni, mire négy lehetõség vn. Alulr mrdék három színbõl válsztunk egyet. Összesen 60 lehetõség vn.. -féle zászló. Az elsõ szín válsztásár lehetõség vn, következõ színekre csk, hisz z elõzõ színt nem válszthtjuk. 9!. )! b) 9 -félekéen, hisz minden húzásnál 9 lehetõség vn.. ) 6 eset lehet, kiválsztjuk számot, mjd ezeket tetszõleges sorrendben! rendezhetjük. b) 7-szer.. ) 6 b) 6 6. ). b). c) ( ) Külön számoljuk z eseteket ttól függõen, hogy mi z elsõ szám. d), mivel z elsõ szám nem lehet. e), mivel z utolsó két jegy -féle lehet. 7. ) 6. b) 6 6. c) 6, mivel z utolsó két jegy -féle lehet. 8. -félekéen. 9. A megfoglmzás kétértelmû! H úgy értjük, hogy minden szín csk egyszer szereelhet: n(n )(n )(n )(n ) ³ 6 n ³ 6 Leglább 6 szín kell. H úgy értjük, hogy színek ismétlõdhetnek, kkor n szín esetén n színezési lehetõség vn. Így olyn n-et kell válsztni, melyre n ³ 6. n minimális értéke szám írhtó fel. 8 z összes, ezen számjegyekbõl álló 8 jegyû szám, és, melyekben csk z egyik számjegy szereel.

12 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE féle, mivel 6 betû és 0 számjegy hsználhtó féle szám, mivel 0 6 legfeljebb 6 jegyû természetes szám vn, és ezek között 9 6 olyn, melyben nincs számjegy.. ) ; b) ;;. jegyû jelsorozt -féle, jegyû -féle, jegyû -féle lehet. Ez lehetõség kevés.. 0 -féle 0,... lkú, féle 0,... lkú (hol ³ ) és 0 7 -féle 0,...; 0,...; 0,... lkú szám vn. Ez összesen 7 0 drb szám. 6. ) b) c) Az elsõ helyi értéken nem állht 0 z egyik esetben sem különbözõ kód. Rejtvény: Jobbról. ohár trtlmát átöntjük z.-be, mjd.-ét 7.-be.

13 A gyökvonás. Rcionális számok, irrcionális számok. ) 0,6. b),8. 7. c) 0, d) 0, ) b) c) d) Indirekt bizonyítást lklmzunk. ) Tegyük fel, hogy 7 rcionális q, hol (; q),, q ÎZ +. Innen 7q. A bl oldlon 7 kitevõje ártln szám, míg jobb oldlon áros szám, mi ellentmond számelmélet ltételének, így ez lehetetlen. Tehát 7 irrcionális. b) Az elõzõhöz hsonlón: Tegyük fel, hogy (; q) és, q ÎZ +. q, Innen q. A kitevõje eltér két oldlon, mi ellentmond számelmélet ltételének. Így irrcionális, tehát + is. c) Beláthtó, hogy irrcionális, így is. d) Tegyük fel, hogy + 7 (; q) és, q ÎZ +. q, ( ) Innen 9+ q, mi csk kkor lehet igz, h rcionális. Ezt hsonlón vizsgáljuk: Tegyük fel, hogy m (m; n) és m, n ÎZ +. n, Innen n m. A 7 kitevõje két oldlon különbözõ, mi lehetetlen, így + 7 is. ( ) irrcionális, tehát. Pitgorsz tételét lklmzzuk többször egymás után. ) b) c) d) vgy d) Az 96-ik léésben kjuk 96 hosszúságú szkszt....

14 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Például,. Rejtvény: 9 8,. 9. A négyzetgyökvonás zonossági. ) b) 0 c) d) e) f) 9 g) h) 9. ) b) c) d) > > < < < 8 ( ) < 7 0 > > ( ) 6. ) b) c) d) e) f) ) b) 6 c) 6 d) e) 8 f) 0 8 Rejtvény: 6 Tehát ngyobb.. A négyzetgyökvonás zonosságink lklmzási. ) b) c) d) < 0 < 8 > 7 7 > < 8 < 8 e) < < 7 7 f) 8 > 96 9 > > 7 6

15 . ) b) c) + b d) e) b. ) b) c) 6 7 d) 0 e) 9 b 7. ) b) c) ( + ) d) 7 6 ( 7) 6 9 e) f) g) ( ). ) b) c) 6 8 < < < + 6 < < < < ) b) c) 0 7 d) 0; e) ( ) 8 9 ( )( 9) 9 ; ; ) b) y 7 6y 9y. Számok n-edik gyöke. ) b) c) d) e) f) g) h) 0 i) 6. ) ½½ b) b c) c d) ½d½ e) e f) f g) ½g ½ h) ½h ½ i) ½½ Rejtvény:

16 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Az n-edik gyökvonás zonossági. ) b) c) d) e) f). ) b) c) 6 6 > 8 6 > 7 > 6 7 > 6 8 > 7 > 7. ) b) 6 c) R d) e) 0 f) 0 g) b b> h). ) 0 b) > 0 c) d) e) f) b( + b b) b b + b b b b ; b 0 n ( ) n + 0, h n áros ) b) c) d) > 0 e) 7 0 Rejtvény:. 6 > 0 6

17 A másodfokú egyenlet. A másodfokú egyenlet és függvény. ) ( ) b) ( ) c) ( +) 8 d) ( +) e) ( ) + f) ( ) +. ) b) c) f( ) f( ) y f( ) f( ) f( ) f( ) y f( ) f( ) y f( ) f( ) f( ) 6 7 f( ) ) f () ( ) y D f R R f [ ; [ minimum vn, helye: minimum vn, értéke: y mimum nincs zérushely: ; ] ; ] szig. mon. csökkenõ [; [ szig. mon. növõ lulról korlátos, legngyobb lsó korlát b) f () ( +) y +7 8 D f R 7 R f ] ; 7] 6 mimum vn, helye: mimum vn, értéke: y 7 minimum nincs zérushely: + 7; 7 ] ; ] szig. mon. növõ [ ; [ szig. mon. csökkenõ felülrõl korlátos, legkisebb felsõ korlát 7 7

18 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) f () ( ) + y D f R R f [; [ minimum vn, helye: minimum vn, értéke: y mimum nincs zérushely nincs ] ; ] szig. mon. csökkenõ [; [ szig. mon. növõ lulról korlátos, legngyobb lsó korlát meredekség kétszeres. ) D 6 q b) D 6 + q c) D 6 8q 0 zh.: q > 0 zh.: q < 0 zh.: q > zh.: q zh.: q zh.: q zh.: q < zh.: q > zh.: q <. f() + + q minimum helye: minimum értéke: y +q ) ; q b) ; q c) 8; q 6. Minden érték ozitív, h D < 0. ) 9 < q b) < q c) 8 < q 7. Minden érték negtív, h D < 0. ) q < b) q < c) q <. A másodfokú egyenlet megoldókélete. ) ; b) ; c) 6; 6 d) nincs megoldás. ) ; b) ; c) ; d) nincs megoldás. ) ( ) b) ( +) 9 ; ; c) ( ), ± d) ( +) nincs megoldás. ) ; b) ; c) ; d) 8

19 . ) 0, 0 b) y, y c) v, v d) u 8, u 6. ) b) c) > > 7. ) b) c) b< vgy b> b vgy b < b < 8. ) > c b) c c) c >. A gyöktényezõs lk. Gyökök és együtthtók közötti összefüggés. ) ; b) ; c) ; d) ;. ) ( )( ) 0 b) ( + )( ) 0 c) ( )( + ) 0 d) ( ) ( ) 0 e) ( b)( + b) 0. ) ( )( ) b) ( )( ) c) ( )( +) d) ( + )( +) +. ) ; b) ( ) c) ; d) + + ; ;. ) + ( + ) b) c) d) + ( + ) 6. ) + b) q c) q d) + q e) q 9

20 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 7. ) c b) < c < 0 c) nincs ilyen c d) c 0 e) c > 0 f) c < 8. Az együtthtójánk 0-nk kell lennie. k 8 0; 8k. Ekkor z egyenlet + 0 lkú, tehát nincs vlós gyöke. Nincs megfelelõ k A keresett egyenlet legyen y + by + c 0 lkú. Tudjuk y + y + y y y y ( + )( + ) + ( + ) y 79 0 y+ 0 y 79y Másodfokúr visszvezethetõ mgsbb fokszámú egyenletek. ) b) c). ) + b) ± c) + nincs megoldás, ± nincs megoldás. ) ( + ) ( + ) + b) ( ) ( ), ± + nincs megoldás + 0

21 c) ( ) ± 0; ( ) nincs megoldás. ) Legyen + y, így y(y + ) 0. Innen + vgy + nincs megoldás, ± b) Legyen + y, így y(y ) 6. Innen + vgy + ; nincs megoldás c) Legyen + y, így y(y ) 0. Innen + vgy + ; nincs megoldás. ) ( )( )( ) 0 b) ( + )( + )( + )( + ) c) ( + )( )( + )( ) ) ( )( + )( ) 0 b) ( )( + )( + ) 0 ; ; ; c) ( + )( )( + ) 0 ; 7. ) b) vgy c) vgy vgy 8. ) vgy b) nincs vlós megoldás c) vgy. Másodfokú egyenlõtlenségek. ) < < b) < vgy < c) 8 8. ) < > + vgy b) c) < <. ) < > + vgy b) c) ÎR

22 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. ) < vgy > b) c) < <. ) < < < + vgy 0 b) vgy < 0 c) < < vgy < vgy > 6. ) D < 0 b) nincs ilyen m m < 0 m > c) m > 0 és D < 0 m < és 9 ( m)(m + ) < 0 < m < 6. Prméteres másodfokú egyenletek. Kétszeres gyök Û D 0 ) 6 0 b) 9 0 c) 0 d) ( + ) 0 ; 9 0;, ±. ) D 6 ±: egy gyök, ill. < < : nincs gyök 6 < vgy < : két gyök,, ± b) D b b b : egy gyök, b < : nincs gyök b b b > : két gyök,, ± c) D b 0 b b 0 és ¹ 0: egy gyök, b < 0 és ¹ 0: nincs gyök b b b 0 > 0 és ¹ 0: két gyök,, ± b 0: egy gyök,

23 d) 0: lineáris egyenlet, egy gyök, ( h b 0, nincs megoldás b b 0), ¹ 0: másodfokú, D b ( +) b b ( + ): egy gyök, b < ( + ): nincs gyök, b b b ( ) > ( + ): két gyök,, ± +. ) 0: ¹ 0:, ± + b) 0: ¹ 0:, ± + c) Kikötés: ¹ ; ; 0. Szorzunk nevezõkkel: ( ) + ( + ) ; innen: + 0; tehát: 0. Ez z eredeti egyenletnek nem megoldás, tehát nincs megoldás.. Nincs vlós megoldás Û D < 0. ) 6 < 0 b) ( ) < 0 0 < < < 0 ( ) + < 0 nincs ilyen c) ¹ 0 és D < 0 ¹ 0 és ( ) 0 < 0 innen 0 < < + 0. m < 0 és D < 0 m < 0 és (m ) m < 0 m < 0 és < m < + Tehát nincs ilyen m. 6. m > 0 és D < 0 m > 0 és m +0m < 0 m > 0 és m(m + 0) < 0 Tehát nincs ilyen m. 7. m < 0 és D < 0 m > 0 és (m ) +m(m + ) < 0 m > 0 és < m < Tehát nincs ilyen m.

24 7. Négyzetgyökös egyenletek SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. ) 6 b) c) nincs vlós megoldás. ) b) c) + 8 Kikötés: ³ 0 és Nincs ilyen. 0.. Nem negtív tgok összege csk kkor 0, h minden tg 0. ) nincs megoldás b) nincs megoldás c) nincs megoldás. ) 7 b) 6 c) + 7. ) nincs megoldás (½ +½ +) b) nincs megoldás (½ ½½ ½+) c) (½ +½½ ½+) 6. ) ; Legyen 9, így z + 0 egyenletet kjuk. b) Legyen + + 9, így z egyenletet kjuk. Így 9 ±,. c) Legyen +, így z egyenletet kjuk. Innen + ;. 8. A számtni és mértni közé. ) A( 78 ; ) G( 7; 8) 6 7, 8 b) G 7 A 7 8 ; ; 6 c) A(; ) 6 G(; )

25 . ) b). tláltr..,99%-os. 600., km z átlgsebesség. h 6. Az egyik oldl legyen. Ekkor kerület k Ez kkor minimális, h 0, zz négyzetrõl vn szó Nincs vlós megoldás, hisz, így A másik befogó hossz, így + >. 9. Szélsõérték-feldtok. ) minimum helye: 0 b) mimum helye: 0 c) minimum helye: minimum értéke: y mimum értéke: y minimum értéke: y. ) mimum helye: b) mimum helye: c) minimum helye: mimum értéke: y mimum értéke: y minimum értéke: y. ) minimum helye: b) minimum helye: c) minimum helye: minimum értéke: y 8 minimum értéke: y 6 minimum értéke: y 8 mimum nincs mimum helye: mimum helye: mimum értéke: y 0 mimum értéke: y 0. ) f () ( ) b) f () ( +) + c) f () ( ). ) f () 0 b) f () ( ) c) f () ( ) 6. Ekkor négyzetösszeg (0 ) + ( ) + 0. Ez kkor legkisebb, h. Két egyenlõ szám összegére kell osztni.

26 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 7. A háromszögek hsonlóság mitt: Innen A terület: y 0 y. t 0 ( y). 0 ( yy ). 0 y y Ez kkor mimális, h y cm és cm. 8. Legyen z egyik rész hossz. Ekkor félkörök területeinek összege: Ez kkor legkisebb, h 0 cm, és ekkor terület cm. 9. Legen z eltelt idõ s. Ekkor távolság t 0 + (( 0 ) + 00 ). s ( 0 ) + ( 0 ) 0( ) Ez kkor legkisebb, h. Azz s múlv lesznek legközelebb. Rejtvény: Mivel félkörök szám mindig dulázódik, átmérõjük hossz edig felezõdik, ezért vonlk hossz állndó,. 0. Másodfokú egyenletre vezethetõ roblémák. A hsonlóság mitt b +. b b Innen b 0. b b +, mivel > 0. b. A szöveg lján ( + ) +. Innen vgy. nn ( ). Legyen z oldlk szám n. Ekkor z átlók szám, belsõ szögek összege (n ) 80º. A szöveg lján nn ( ) ( n ) 80º n. 90º Innen n 8 vgy n. 8 oldlú sokszög. 6

27 . Az egyik konve sokszög legyen oldlú, másik y oldlú. Így Innen 6; y. Az egyik konve sokszög 6, másik oldlú.. Legyen sebesség. A szöveg lján ( ) Innen + 7, mivel > 0. Az utó sebessége kb. 78, Legyen z egyik befogó. A terület lján másik A Pitgorsz-tétel lján. Innen 0 vgy. Az egyik befogó 0 cm, másik cm. 7. Legyen z egy n ltt megoldott tesztek szám. A szöveg lján Innen 60 ( > 0). nig trtott. ( ) yy ( ) + 8 ( ) 80º + ( y ) 80º 0º km h. 8. A mélység legyen m. A szbdon esõ test gyorsulás lján s g t. A hng terjedése lján s v h t. Tudjuk, hogy t + t 0 s. Így Innen» 8,6. A szkdék mélysége 8,6 m. Rejtvény: H kisebb és ngyobb. + 0, g vh + 9,

28 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Geometri A KÖRREL KAPCSOLATOS ISMERETEK BÕVÍTÉSE. Közéonti és kerületi szögek tétele. ) 0º b) 69º c) d) e) 68º f) 8 b. ) 0º b) 68º c) d) 6 e) nem lehet ekkor kerületi szög f). ) 60º; 0º b) 70º; 0º c) 7 d) ; e) 7º; 7º f) 6 w ; ; w. ) 60º b) 0º c) 08º d) 0º e) 80º m n. ) 0º; 60º; 90º b) º; 60º; 7º c) 0º; 0º; 00º d) º; º; 00º e) 80º 80º q 80º r ; ; + q+ r + q+ r + q+ r 6. cm 7. 0 cm 8. 60º. Kerületi szögek tétele. ) b) c) O O A B A 0 0 B A O B O O 8

29 d) e) O O O A 0 0 B A B A B O O O 0 < < < 80. ); b); c) d) lján. d) 80 g b 80 g g b g b 80 b. 0º-os szögben látszódik.. º, illetve 8º-bn.. Megszerkesztjük z dott két ont áltl dott szksz szöghöz trtozó látószög körívét. Ahol ez metszi z egyenest, ott vn keresett ont. A megoldások szám lehet 0; ; ;, ill.. 6. Mindkét befogóhoz megszerkesztjük 0ºos látószög köríveket. Ezek metszésontj keresett ont. Innen z átfogó is 0º-os szögben látszódik. 7. Adott ; s és. Felvesszük -t, mjd megrjzoljuk z szögû látószög körívét. Az felezõontjából körzõzünk s sugárrl. Ahol ez kör metszi látószög körívet, ott vn háromszög hrmdik csúcs. O P O 0 8. Rjzoljuk meg zt kört, melynek egy húrj színdot jelölõ szksz, és érinti z oldláholyokt jelölõ egyenest. Az érintési ont keresett hely. 9

30 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Rejtvény: Rjzoljunk 90º-os szöget úgy, hogy szári érintsék kört, mjd ezen szárkr illeszkedve ezt ismételjük meg mindkét száron. A kott szemközti érintési ontokt összekötõ húrok metszésontj közéont. E E O E E Más megoldás: Úgy rjzoljuk meg 90º-ot, hogy csúcs körvonlon legyen, és szári egy-egy húrt metszenek ki körbõl. A két új ontot összekötõ szksz átmérõ lesz. O. A húrnégyszögek tétele. ) igz b) igz c) hmis d) igz e) hmis f) igz g) igz. ) 0º; 70º b) 60º; 0º c) 0º; 8º d) ez nem lehet e) 80º ; 80º b;. Ezek húrnégyszögek, mivel két szemközti szögük összege 80º.. Mivel külsõ szög mellette fekvõ belsõ szög mellékszöge, z állítás ekvivlens zzl, hogy szemközti szögek összege 80º, tehát húrnégyszög.. Mivel DE árhuzmos z érintõvel EDB + b. Így EDB + ECB ( + b) + g 80º, tehát EDBC húrnégyszög. 6. Kettõ. 7. Mivel BM ^ AC, CBM 90º g. Mivel CM ^ BA, BCM 90º b. Így CMB 80º (b + g), tehát CM B 80º (b + g). Ekkor CM B + CAB 80º, tehát CABM húrnégyszög. + d 8. Az f és f d áltl meghtározott belsõ szög, z f b és f g áltl meghtározott belsõ szög b + g edig. Ezek szemközti szögek, és összegük + d b + g + 80º, mivel konve négyszög belsõ szögeinek összege 60º. Tehát keletkezett négyszög húrnégyszög. 0

31 A HASONLÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓ ÉS ALKALMAZÁSAI. Párhuzmos szelõk és szelõszkszok. b c d y A rövidebb l 80 9 cm.. ) A P B A többi hsonlón szerkeszthetõ.. ) b) c) d) b b b b. AE , zz. BE Innen 6. BE 6 cm.

32 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 6. Legyen tréz két szár ; b, kiegészítõ háromszög oldli edig ; y. b FE ª DC Û b Û ÛAB ª CD, y y ez edig igz. A szelõszkszok tétele lján FE és. Innen FE 8 cm. F b A D b y 0 C E B 7. Húzzunk árhuzmost tljjl m mgsságbn. A torony mgsság legyen. Így, 0, 7. A torony, m mgs. 8. Legyen BB ; AB és BC b. A árhuzmos szelõszkszok tétele lján b b + és +. b Innen 0 7, A BB szksz így 0 7 b. cm, és B : ránybn osztj z AC szkszt. 9. A árhuzmos szelõszkszok tétele mitt: PM DM DM AB DB DM + MB MB + DM CQ CQ MQ, QB + CQ + QB CB AB CQ A P D M C Q B tehát PM MQ. 0. F F z ABD è közévonl, tehát F F ª BD és FF BD. B F A BD F F BCD è közévonl, tehát F F ª BD és FF. Tehát F F F F és F F ª F F, így F F F F rlelogrmm. C F F F D

33 . A szögfelezõtétel. ) b) c) A szögfelezõ osztásrány, és F felezése mitt DC CF AD CF CE AF FB EB. Tehát DE ª AB b +c bc +c bc +b b b+c c +b c b+c. AQ QC AB 8, innen AQ. BC P B QR AQ RB AB A szögfelezõ : ránybn osztj másik szögfelezõt. C Q R A. Készítsünk ábrát. Adott:, c, f b. H > c, tükrözzük háromszöget f b -r: A K; C D. Legyen f b Ç b Q. Állítsunk merõlegest Q-b f b -r, így kjuk P, ill. L ontokt. A árhuzmos szelõk tétele lján AP AQ AK c ( KQAè QCDè) PD QC DC B f b P A D Q K L C AP Mivel PD c AP, kjuk, hogy Így megszerkeszthetõ z AP szksz, c c + c. tehát BP szksz is. Vegyük fel f b szkszt, mjd egyik végontjábn (Q) állítsunk rá merõlegest. A másik végontjából (B) körzõzzünk PB hosszávl. A merõlegesbõl ez kimetszi P és L ontokt. B-bõl BP szárr felmérjük c oldlt, BL szárr edig z oldlt. Így háromszöget megszerkesztettük. H c, kkor PB eleve c hosszúságú, így zt nem kell megszerkeszteni. c A szerkesztés feltétele, hogy PB > fb + c.. Rjzoljunk ábrát! Legyen AB AB. Vizsgáljuk szögeket: b + g CDA 80º DBA BAD 80º ( + g) b g, B D 80º b CBB b ABB b b + g b g. C B' A