Diszkrét matematika I., 11. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 22.

Átírás

1 1 Diszkrét matematika I, 11 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach 2005 november 22 Permutációk Definíció Permutáción n különböző elem valamely sorrendjét értjük Az n elem átltalában 1, 2,, n Másképpen: egy permutáció egy σ : {1, 2,, n} {1, 2,, n} kölcsönösen egyértelmű leképezés: σ(1) az első helyen álló szám, σ(2) a második helyen álló szám, Például az permutáció esetén σ(1) 5, σ(2) 2, σ(3) 3, σ(4) 1, σ(5) 4 Definíció Az 1, 2,, n elemek egy permutációjában két elem inverzióban áll, ha közülük a nagyobbik megelőzi a kisebbiket Azaz σ(i) > σ(j) valamely i < j-re A permutáció inverziószáma az inverzióban álló párok száma Jele I(σ) Például a fenti permutációban inverzióban áll: 5-2, 5-3, 5-1, 5-4, 2-1, 3-1 Definíció Egy permutáció páros, ha az inverziószáma páros, páratlan, ha az inverziószáma páratlan Például az permutáció páros, mert I(σ) 6 Tétel I Ha egy permutációban két szomszédos elemet felcserélünk, akkor az inverziószám eggyel változik II Ha egy permutációban két tetszőleges elemet felcserélünk, az inverziószám páratlannal változik Bizonyítás I A két felcserélt elem viszonya megváltozik Más elemekhez való viszonyuk nem II Tfh k darab elem áll a felcserélendő két elem (b és c) között, és tfh b van előbb a sorban Mozgassuk b-t c mellé, hogy sorban felcseréljük a köztük álló k elemmel Cseréljük fel b-t és c-t Mozgassuk c-t b eredeti helyére, hogy sorban felcseréljük az eredetileg köztük álló k elemmel Összesen Azaz az inverziószám egy (2k + 1) és 2k + 1 közé eső páratlan számmal változik k darab csere 1 darab csere k darab csere 2k + 1 darab csere Az alábbi tételre nem lesz szükségünk determinánsok számolásánál, de második félévben majd kell Tétel Ha n > 1, akkor n elemnek ugyanannyi páros és páratlan permutációja van Bizonyítás Egy permutációban az első és a második elem felcserélése párosból páratlant, illetve páratlanból párosat gyárt, különbözőekből különbözőeket

2 Determinánsok 2 mátrix táblázat determináns egyetlen szám, amivel a mátrixot valamilyen szempontból jellemezzük Négyzetes mátrix elemeiből képzett szorzatok ±1 együtthatós összegeit vesszük A szorzatok minden sorból és oszlopból pontosan egy elemet tartalmaznak Az első sorból a σ(1) oszlopbeli, a második sorból a σ(2) oszlopbeli,, az n-ik sorból a σ(n) oszlopbeli elemet vesszük Mivel minden oszlopból pontosan egy elemet veszünk, ezért σ(1), σ(2),, σ(n) az 1, 2,, n számok egy sorrendje, azaz permutációja Példa a 11 x 1 + a 12 x 2 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 b 2 Egyenlő együtthatók elve: Tfh a 11 a 22 a 12 a 21 0 Ekkor a 11 a 22 x 1 + a 12 a 22 x 2 b 1 a 22 a 21 a 12 x 1 + a 22 a 12 x 2 b 2 a 12 a 11 a 22 a 21 a 12 x 1 + 0x 2 b 1 a 22 b 2 a 12 x 1 b 1a 22 a 12 b 2 a 11 a 22 a 12 a 21 és hasonlóan x 2 b 1a 22 a 12 b 2 a 11 a 22 a 12 a 21 Itt pont az alábbi négyzetes mátrixok determinánsai szerepelnek: ( ) ( ) ( ) a11 a 12 b1 a 12 a11 b 1 a 21 a 22 b 2 a 22 a 21 b 2 Determináns definíciója Definíció Az négyzetes mátrix determinánsa det A A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n ( 1) I(σ) a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n), σ a n1 a n2 a nn ahol az összegzést az 1, 2,, n számok minden lehetséges permutációjára el kell végezni n! tag, fele +, fele - előjelű 2 2-es és 3 3-as determináns TÁBLÁN

3 Determináns definíciója (folyt) 3 A determináns definíciójánál a szorzatok tényezőit sorok szerint rendeztük Ha tetszőleges sorrendben írjuk őket, akkor az alábbi tétel alapján számolhatunk Tétel Legyen a ρ(1)σ(1) a ρ(2)σ(2) a ρ(n)σ(n) egy szorzat a determináns definíciójából, melynek n tényezőjét tetszőleges sorrendben írtuk fel (ρ a sorindexeknek, σ az oszlopindexeknek megfelelő permutáció) Ekkor a szorzat előjele ( 1) I(ρ)+I(σ) Bizonyítás Ha ρ(i) i, azaz ρ a sorok természetes sorrendjének megfelelő identikus permutáció, akkor I(ρ) 0 és az előjel pont a definíció szerinti Tényezők egy tetszőleges sorrendje ebből cserék egymásutánjával kapható Egy cserére az I(ρ) és I(σ) is páratlannal változik, azaz az összegük párossal Ezzel a sorok és oszlopok szerepe szimmetrikussá vált Azaz minden amit sorokra kimondunk, oszlopokra is igaz, a bizonyításban csak a sor és oszlop szavakat kell következetesen felcserélni A determináns tulajdonságai I-III Tétel I Ha a főátló alatt vagy fölött minden elem 0, akkor a determináns a főátlóbeli elemek szorzata II Ha valamely sor, vagy oszlop minden eleme 0, akkor a determináns is 0 III Ha valamelyik sor minden elemét λ-val szorozzuk, akkor a determináns értéke is λ-val szorzódik Bizonyítás I Ha egy szozat a definícióban tartalmaz főátló feletti elemet, akkor főátló alattit is, és viszont Így a definícióbeli n! tag (szorzat) közül egy kivételével mind 0 II Következik III-ból III Minden egyes szorzatban pontosan egy tényező lesz λ-szoros, ezek a λ-k kiemelhetők az összeg elé A determináns tulajdonságai IV Tétel IV Ha valamelyik sor (oszlop) minden eleme egy kéttagú összeg, akkor a determináns is két determináns összege: a 11 + a 11 a 12 + a 12 a 1n + a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a 21 a 22 a 2n + a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn Bizonyítás Minden szorzat pont egy elemet tartalmaz az első sorból A determináns tulajdonságai V Tétel V Ha egy determináns két sora (oszlopa) egyenlő, akkor a determináns értéke 0 Bizonyítás Tfh az első két sor egyezik meg, azaz a 1j a 2j minden j-re A determináns egy tagja: S a 1σ(1) a 2σ(2) a 3σ(3) a nσ(n)

4 Ugyanez a szorzat előfordul mint mert (RAJZ!) S a 1σ(2) a 2σ(1) a 3σ(3) a nσ(n), a 1σ(1) a 2σ(1) és a 2σ(2) a 1σ(2) S előjelét az σ(1)σ(2)σ(3) σ(n) permutáció paritása határozza meg, S -ét pedig a σ(2)σ(1)σ(3) σ(n) permutáció paritása: a kettő pont ellenkező Azaz a definícióban szereplő szorzatok párba állíthatók úgy, hogy a párok kiejtsék egymást A determináns tulajdonságai VI KövetkezményVI Ha valamelyik sor egy másik λ-szorosa, akkor a determináns értéke 0 4 Bizonyítás A III és az V tulajdonságokból következik (λ kiemelése után két azonos sor lesz) A determináns tulajdonságai VII Tétel VII Ha egy sorhoz hozzáadjuk egy másik sor λ-szorosát, akkor a determináns értéke nem változik Bizonyítás Tfh a második sor λ-szorosát adtuk az első sorhoz Ekkor a IV tulajdonság szerint: a 11 + λa 21 a 12 + λa 22 a 1n + λa 2n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n λa 21 λa 22 λa 2n a 21 a 22 a 2n a 21 a 22 a 2n +, a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn az utóbbi pedig 0 a VI tulajdonság szerint A determináns tulajdonságai VIII Tétel VIII Ha két sort felcserélünk, akkor a determináns értéke az ellentettjére változik Bizonyítás A 4 Tételt alkalmazzuk többször Először a j-ik sort kivonjuk az i-ikből, majd az új i-ik sort hozzáadjuk a j-ikhez, végül az új j-ik sort kivonjuk az új i-ikből: ( ) ( ) ( ) ( ) aik aik a jk aik a jk ajk a jk a jk a ik a ik Eközben a determináns értéke nem változott Végül az i-ik sorból 1-et kiemelve a kapott determináns az eredeti 1-szerese, ugyanakkor az eredetiből pont az i-ik és j-ik sorok felcserélésével keletkezett A determináns tulajdonságai I Tétel I Ha az elemeket a főátlóra tükrözzük, akkor a determináns értéke nem változik Újabb bizonyíték arra, hogy a tételekben a sor és oszlop szavak felcserélhetőek Bizonyítás Legyenek az eredeti determináns elemei a ij, a tükrözötté b ij, a ij b ji Egy szorzat az eredetiben: a ρ(1)σ(1) a ρ(2)σ(2) a ρ(n)σ(n)

5 5 Ugyanez szerepel a tükrözöttben is: b σ(1)ρ(1) b σ(2)ρ(2) b σ(n)ρ(n) Előjelük: ( 1) I(ρ)+I(σ) illetve ( 1) I(σ)+I(ρ), ami egyenlő Determinánsszámítás Gauss-eliminációval Hogyan változik a determináns értéke elemi ekvivalens átalakításkor? Sorcsere esetén: 1-szeresére változik Leosztok egy sort egy számmal: a számot ki kelle emelni a determináns elé Kivonom egy sor számszorosát egy másikból: nem változik Ha az eljárás közben csupa 0 sort találunk: a determináns értéke 0 Ha ez utóbbi nem következik be, akkor elérhető, hogy a főátló alatt vagy fölött minden elem 0 legyen, ekkor a determináns a főátlóbeli elemek szorzata Példa Determinánsok kifejtése Létezik egy olyan kiszámítási mód is, amellyel az n n-es determináns n darab (n 1) (n 1)-es kiszámítására vezethető vissza: kifejtés Ebben a témakörben feltesszük, hogy n > 1 Definíció Egy n-ed rendű determinánsból hagyjuk el az i-ik sort és a j-ik oszlopot Az a ij elemhez tartozó A ij előjeles aldeterminánson ennek a determinánsnak a ( 1) i+j -szeresét értjük Példa esetén A 23 ( 1) ( ) 6

6 Sakktáblaszabály az előjelezésre Kifejtési tétel és ferde kifejtés Tétel Ha egy sor (oszlop) minden elemét megszorozzuk a hozzátartozó előjeles aldeterminánssal, akkor az így kapott szorzatok összege a determináns értéke: n det A a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in a ij A ij j1 Bizonyítás Nem kell Tétel (Ferde kifejtés) Ha egy sor elemeit rendre egy másik sorhoz tartozó előjeles aldeterminánsokkal szorozzuk meg, az így kapott szorzatok összege mindig 0: k r 0 a r1 A k1 + a r2 A k2 + + a rn A kn n a rj A kj j1 Bizonyítás Nem kell Vandermonde-determináns Definíció Legyenek γ 1, γ 2,, γ n tetszőleges számok Az általuk generált Vandermonde-determináns 1 γ 1 γ1 2 γ n γ 2 γ2 2 γ n 1 2 V (γ 1, γ 2,, γ n ) 1 γ 3 γ3 2 γ3 n 1 1 γ n γn 2 γn n 1 Tétel V (γ 1, γ 2,, γ n ) 1 j i n (γ i γ j ) Azaz a Vandermonde-determináns akkor és csak akkor nem nulla, ha generátorelemei páronként különbözőek Bizonyítás Teljes indukcióval n 2 esetén: 1 γ 1 1 γ 2 γ 2 γ 1 Tegyük fel, hogy az állítás igaz minden (n 1)-edrendű Vandermonde-determinánsra, és igazoljuk, hogy ekkor igaz minden n-edrendűre is Vonjuk ki minden oszlopból jobbról balfelé haladva az előző oszlop γ 1 -szeresét: 1 γ 1 γ1 2 γ n γ 2 γ2 2 γ2 n 1 1 γ 2 γ 1 γ 1 γ 3 γ3 2 γ3 n γ 1 γ 2 γ2 n 1 γ 1 γ2 1 γ 3 γ 1 γ3 2 γ 1 γ 3 γ3 n 1 γ 1 γ3 1 γ n γn 2 γn n 1 1 γ n γ 1 γn 2 γ 1 γ n γn n 1 γ 1 γn

7 7 Most vonjuk le minden sorból az első sort:, ezzel kinullázzuk az első oszlopot, a többi oszlop nem változik γ 2 γ 1 γ2 2 γ 1 γ 2 γ2 n 1 γ 1 γ2 0 γ 3 γ 1 γ3 2 γ 1 γ 3 γ3 n 1 γ 1 γ3 0 γ n γ 1 γ 2 n γ 1 γ n γ n 1 n γ 1 γ n Emeljük ki a a második, harmadik stb sorból rendre γ 2 γ 1 -et, γ 3 γ 1 -et, stb: γ 2 γ 2 (γ 2 γ 1 )(γ 3 γ 1 ) (γ n γ 1 ) 0 1 γ 3 γ3 0 1 γ n γn (γ 2 γ 1 )(γ 3 γ 1 ) (γ n γ 1 )V (γ 2,, γ n ) Ezzel a feladatot eggyel kisebb rendű Vandermonde-determinánsra vezettük vissza Az indukciós feltevés miatt (γ 2 γ 1 )(γ 3 γ 1 ) (γ n γ 1 )V (γ 2,, γ n ) (γ 2 γ 1 )(γ 3 γ 1 ) (γ n γ 1 ) (γ i γ j ) (γ i γ j ) 2 j i n 1 j i n Ellenőrző kérdések 1 Mi a paritása a , a és az permutációknak? 2 Rajzoljon fel egy 4 4-es determinánst, és rajzolja bele, hogy mely elemeket jelöli ki a 4231 permutáció! Milyen előjelet kap ez a szorzat a determináns kiszámításakor? 3 Írja fel a determináns definícióját! 4 Mely esetekben lesz 0 egy determináns értéke? (3 eset) 5 Mikor nem változik a determináns értéke? (2 eset) 6 Mikor változik a determináns értéke konstansszorosára? (2 eset) 7 Írjon fel egy 3 3-as determinánst és számítsa ki az értékét (a) definíció szerint; (b) kifejtési tétel szerint; (c) Sarrus-szabállyal!