Lineáris algebra jegyzet

Átírás

1 Lineáris algebra jegyzet Készítette: Jezsoviczki Ádám Forrás: Az előadások és a gyakorlatok anyaga Legutóbbi módosítás dátuma: A jegyzet nyomokban hibát tartalmazhat, így fentartásokkal olvasandó!

2 a, b, c vektorok lineáris kombinációja α a+β b+γ c=0 ( α α 0 ) + ( β 0 0) β) + ( γ 0) ( 0 0 = 0 Ha csak a triviális lineáris kombináció adja meg a nullvektort, akkor a, b, c lineárisan függetlenek (jele: L). Ha más megoldás is van, akkor lineárisan összefüggő (jele: Ö). Más szavakkal: {a 1, a 2...a n } vektorrendszer lineárisan független, ha αa 1 +α a α a n lineáris kombináció csak α 1 =α 2 =...=α n =0 esetén adja a nullvektort, ellenkező esetben lineárisan összefüggő. Egyelemű halmazok mindig: L Kételemű halmazok mindig: L, kivéve, ha valamelyik vektor a mások konstansszorosa lenne Három/több elemű: lehet L és Ö is. Altér: nem üres konstansszorosra zárt λ u U összegre zárt u+v U Triviális altér: a nullvektor által generált altér Bázis: maximális 1 lineárisan független vektorrendszer. Adott vektortér minden bázisa ugyanannyi elemet tartalmaz. Ez a vektortér dimenziója. Minden elem egyértelműen felírható a báziselemek lineáris kombinációjaként. a=α 1 b 1 +α 2 b α n b n Triviális (standard) bázis: (1 1) Elemi bázistranszformáció y i = x i α i i cserehely y t = x t x i α i α t t i Generált altér: a generáló elemek összes linéáris kombinációja. < a, b > span(a, b) Vektorrendszer rangja: hány lineárisan független van. Amennyi (elemi bázistranszformációval) behelyettesíthető, annyi a rang. ρ(a) Mátrix A n m +B n m (csak azonos méretű mátrixok adhatók össze) A n m B m k =(AB) n k pl.: ( 1 ( 2) ) ( 1 ( 36) 1 1+( 2) ( 2) ( 36)+( 2) ( 2) ( 2) ( 36) ) 3 13 ) = ( A mátrixok transzponáltja A T a sorok és oszlopok felcserélésével adódik. A=( 1 ( 2) ) =( 1 0 7) AT ( 2) 1 Transzponált tulajdonságai3 (A+B) T = A T +B T (λ A) T =λ A T (A B) T =B T A T (A T ) T = A 1 Ha még 1 elemet hozzáadnánk, akkor már összefüggővé válna.

3 =( ) I n : n n -es egységmátrix I n Négyzetes mátrixok esetén: A n n AI n =I n A= A A rangja: ρ(a) a lineárisan független oszlopvektorok száma, illetve a lineárisan független sorvektorok száma. (0 rangú mátrix csak a nullmátrix.) ρ(a T )=ρ( A) ρ(ka)=ρ(a) ρ(a+ B) ρ( A)+ρ(B) ρ(a B) ρ( A) ρ(a n m ) min(n, m) ρ(a B) ρ(b) (a Diagonális mátrix: (a11 a12 a13 a14 a 12 Szimmetrikus mátrix: a 13 a 14 ( a11 a12 a13 a14 a 12 Antiszimmetrikus mátrix: a 13 a 14 (a11 a12 a13 a14 0 Felső háromszög mátrix: (a11 a Alsó háromszög mátrix: a 31 a 32 0 a 41 a 42 a 43 (0 a12 a13 a ( 0 Nilpotens mátrix: Invertálható mátrix: A 1 : AA 1 = I n ( Szalag mátrix 2 : a a 31 a a 41 a 42 a Egy szalag mentén nem nulla.

4 Determináns kifejtési tétel: Alsó/felső háromszög mátrix determinánsa (det. Jelölése: A, vagy det ( A) ) a diagonális elemek szorzata. a b c d =ad cb det ( AB)=det (A) det (B) det ( A 1 )= 1 det ( AA 1 )=det (I )=1 det (A) A invertálható det (a) 0 Determináns őrző műveletek: Egy sorhoz (vagy oszlophoz) hozzáadom egy másik sor konstansszorosát. Det=0, ha van csupa 0 sora vagy oszlopa. Det=0, ha egy sora/oszlopa a másik konstansszorosa. det ( A) 0 A 1 det ( A)=det (A T ) det (λ A n n )=λ n det (A) A x=λ x (λ a sajátvektor ) Sajátérték, sajátvektor: A x λ x=0 ( A λ I )x=0 Az A mátrix karakterisztikus polinomja: A λ I gyökei az A sajátértékei. A sajátértékek száma megegyezik a mátrix méretével. Sajátaltér: azonos sajátértékekhez tartozó összes sajátvektor által generált altér. Diagonalizálható a mátrix, ha: van ugyanannyi sajátérték (multiplicitással), mint a mátrix mérete a sajátalterek dimenzió összege a mátrix mérete Hasonlóság a karakterisztikus polinomok megegyeznek az egyes sajátértékekhez tartozó sajátalterek dimenziója megegyezik Skalárszorzat (4db axióma): 1. < y, x >=< x, y > (Ha komplex a+ib=a ib ) 2. < λ x, y>=λ < x, y > 3. < x, y+ z >=< x, y>+< x, z > 4. < x,x > 0 < x, x >=0 x=0 Hajlásszög: cos γ(x, y)= < x, y > x y x = x x x n 2 SONB (sajátvektorokból álló ortogonális 1 normájú bázis) Tétel: Valós szimmetrikus mátrix <=> létezik SONB és minden sajátértéke valós. Kvadratikus alak: Q( x)= x T A x Kvadratikus alakok osztályozása: >0 Q pozitív definit 0 Q pozitív szemidefinit <0 Q negatív definit 0 Q negatív szemidefinit λ k >0,λ j <0 Q identifinit x, x 1 x x =1 x = x

5 Komplex skalárszorzat < a,b>=b a b a b konjugáltja a= x+iy a =x iy a = a a < a,b>=< b,a >=0 a merőleges b ϕ: R n R m lineáris leképezés, ha ϕ(a+b)=ϕ(a)+ϕ(b) ϕ(λ a)=λ ϕ(a) Lineáris transzformáció, ha ϕ: R n R n Lineáris leképezés magtere: Ker ϕ={a R n, ϕ(a)=0} Lineáris leképezés képtere: Izomorfizmus: bijektív lekérdezés Lineáris leképezés izomorf <=> Ker ϕ={0} I m ϕ={b R m, a R n, ϕ(a)=b} Dimenzió tétel: dim Ker ϕ+dim I m ϕ=dim R n =n Lineáris transzformáció mátrixa egy adott bázisban: oszlopvektorok a báziselemek képei A ϕ i=( 1 0 0) ( 0 0) ( 0 1) j= 1 k= 0