Trigonometria és koordináta geometria

Átírás

1 Tantárgy neve Trigonometria és koordináta geometria Tantárgy kódja MTB1001 Meghirdetés féléve I. Kreditpont 4k Összóraszám (elm+gyak) Számonkérés módja Gyakorlati jegy (2 zárthelyi dolgozat) Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve Dr. Szalontai Tibor, PhD Tantárgyfelelős beosztása Főiskolai tanár 1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései A középiskolai trigonometriai és koordináta-geometriai anyag ismétlése és kiegészítése, továbbfejlesztése. Speciálisan további trigonometriai összefüggések és tételek megismerése; a szabadvektor fogalmára építve a háromdimenziós euklideszi tér mint speciális vektortér kiépítése, a skaláris szorzat mellett a vektoriális és a vegyes szorzás bevezetése és változatos alkalmazásaik; a tér egyeneseinek és síkjainak vizsgálata. Különös figyelmet fordítunk azokra az ismeretekre, amelyeket más matematikai kurzusok felhasználnak, illetve amelyek a lineáris algebra tantárgyat készítik elő. 2. A tantárgy tartalma 1. Előadás: A szabadvektor fogalma a háromdimenziós euklideszi térben. Vektorok összege, az összeadás tulajdonságai. Vektor valós számmal (skalárral) szorzása, tulajdonságai. A helyzetvektor fogalma. Osztóviszony. Példák vektorok felhasználására geometriai bizonyításoknál, feladatoknál. Sík és térgeometriai tételek bizonyítása, feladatok megoldása vektorok összeadása, kivonása, skalárszorosa segítségével. 2. Előadás: Vektorok lineáris kombinációja, lineáris függősége. Bázis, a vektor koordinátái. Egységvektor. Ortonormált bázis. A síkbeli és a térbeli Descartes féle koordináta rendszer. Koordinátákkal adott vektorok összege, különbsége, számszorosa, lineáris kombinációja. Feladatok szakaszt adott arányban osztó pontra. A háromszög súlypontja. Feladatok koordinátákkal adott vektorok összegére, különbségére, számszorosára. Vektor hossza (normája), két pont távolsága. 3. Előadás: A szögfüggvények geometriai értelmezése és alapvető tulajdonságai. Az arkusz függvények. A háromszögre vonatkozó szinusztétel. A paralelogramma, a háromszög, a szabályos sokszög területe szögfüggvénnyel. Ferde hengerszerű test térfogata az alapterület, az alkotó és annak az alaplap síkjával bezárt szögének ismeretében. Nevezetes szögek szögfüggvényei, leolvasóábrák. Feladatok szinusztételre, területre, térfogatra. Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. 4. Előadás:

2 Vektorok skaláris szorzata, tulajdonságai. A háromszögre vonatkozó koszinusztétel. Vektor adott irányra eső merőleges vetülete. Skaláris szorzat kiszámítása ortonormált bázisra vonatkozó koordinátákkal. Feladatok skaláris szorzatra. Feladatok szinusz és koszinusztételre. 5. Előadás: Nevezetes trigonometrikus összefüggések, azonosságok. Addíciós tételek, kétszeres és félszögek szög függvényei. (Továbbá például szögfüggvények transzformációival egyszerűen belátható összefüggések: sin x=cos x 2, cos x=sin x 2, sin x cos x= 2sin x 4 = 2 cos x 4 ) Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. 6. Előadás: A háromszögre vonatkozó tangenstétel. A skaláris szorzat további alkalmazásai: Koordinátákkal adott két vektor szögének meghatározása. Pont és egyenes távolsága a síkban. Feladatok a háromszögre vonatkozó tételekre. Vegyes trigonometriai feladatok. Feladatok skaláris szorzatra, vektorok szögére, pont és egyenes távolságára. 7. Előadás: Vektorok vektoriális szorzata és tulajdonságai. A paralelogramma és a háromszög területe vektoriális szorzattal. A 2 2 es és a 3 3 as determináns. Sarrus szabály. Kifejtési tétel. Jacobi azonosság. 1. zárthelyi dolgozat. 8. Előadás: Három vektor vegyes szorzata és tulajdonságai. A paralelepipedon és a tetraéder térfogata. Feladatok vektoriális szorzásra és vegyes szorzatra (koordinátákkal adott vektorokkal, determinánssal is). Problémamegoldás (pl. terület, térfogat, vetület, távolság, szög, szögfelező, komplanaritás, triéder) 9. Előadás: A sík paraméteres előállítása. A sík normálvektoros előállítása és egyenlete. Két sík szöge. Pont és sík távolsága. Két párhuzamos sík távolsága. Koordináta geometriai feladatok síkokkal. 10. Előadás: Az egyenes paraméteres előállítása a síkban és a térben. Irányvektoros egyenlete a síkban, egyenletrendszere a térben. Az egyenes normálvektoros előállítása és egyenlete a síkban. Két egyenes szöge. Két párhuzamos egyenes távolsága. Egyenes és vele párhuzamos sík

3 távolsága. Egyenes és sík szöge. Az egyenes további egyenletei a síkban. Koordináta geometriai feladatok egyenesekkel és síkokkal. 11. Előadás: Az egyenes normálegyenlete a síkban. Két metsző egyenes által bezárt szögeket felező egyenesek (szimmetriatengelyek) a síkban. A sík normálegyenlete. Két metsző sík által bezárt szögeket felező síkok (szimmetriasíkok vagy szögfelezősíkok). Koordináta geometriai feladatok egyenesekkel és síkokkal. 12. Előadás: A kör egyenlete a síkbeli Descartes féle koordináta rendszerben. A gömb egyenlete. Polárkoordináták a síkban. A kör paraméteres egyenletrendszere. Koordináta geometriai feladatok egyenesekkel, körökkel, síkokkal, gömbökkel. 13. Előadás: Az ellipszis, a hiperbola és a parabola értelmezése és egyenletei a síkban. Az ellipszis paraméteres egyenletrendszere. Koordináta geometriai feladatok a másodrendű görbékkel (érintők is). 14. Előadás: További példák paraméteres egyenletrendszerrel adott síkgörbékre. 2. zárthelyi dolgozat. 15. Előadás: Példák egyenletükkel adott másodrendű felületekre. Koordinátasíkokkal párhuzamos síkmetszeteik vizsgálata. Vektorokkal, illetve koordináta geometriai úton megoldható vegyes feladatok. 3. Évközi ellenőrzés módja 2 zárthelyi dolgozat 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai - 5. A kötelező ill. ajánlott irodalom [1] Gaál István, Kozma László: Lineáris algebra. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, (Kötelező: 1. Szabadvektorok és analitikus geometria, oldal; Ajánlott: 11. Másodrendű görbék és felületek, oldal; 12. Függelék, MAPLE: lineáris algebrai programcsomag, oldal; Irodalom, Tárgymutató, oldal.)

4 [2] Kovács Zoltán: Feladatgyűjtemény lineáris algebra gyakorlatokhoz. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, (Kötelező: 1. fejezet) [3] Hajós György: Bevezetés a geometriába. Tankönyvkiadó, [4] Bélteky Károly: Analitikus geometria és lineaáris algebra. Tankönyvkiadó, [5] Pogáts Ferenc: Vektorok, koordinátageometria, trigonometria. TYPOTEX, Budapest, [6] Hajnal Imre, Nemetz Tibor, Pintér Lajos: Matematika III. (fakultatív B változat). Tankönyvkiadó, Budapest, [7] Hortobágyi István, Marosvári Péter, Pálmay Lóránt, Pósfai Péter, Sipos András, Vancsó Ödön: Egységes érettségi feladatgyűjtemény. Matematika II. Konsept H Kiadó, Budapest, [8] Széplaki Györgyné: Matematika éveseknek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [9] Czeglédy István, Hajdu Sándor, Kovács András, Hajdu Sándor Zoltán: MATEMATIKA 11. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [10] Lukács Judit, Vancsó Ödön, Székely Péter, Bárd Ágnes, Frigyesi Miklós, Major Éva: Készüljünk az érettségire matematikából, emelt szinten. Feladatgyűjtemény. Műszaki Könyvkiadó, A tantárgy tárgyi szükségletei és ellátása Egyes előadásokon számítógépes projektor, egyes gyakorlatokon számítógép-terem Maple programcsomaggal.

5 1. zárthelyi dolgozat (Minta) 1. Az OA=a és OB=b legyen két lineárisan független vektor. Mutassa meg, hogy az a b b a vektor párhuzamos az AOB szögfelezőjével, az a b b a pedig az AOB mellékszögének szögfelezőjével! 2. Igazolja, hogy az S pont akkor és csakis akkor súlypontja az ABC nek, ha SA SB SC=0! 3. A lg 1 cos 2 x kifejezés értemezhető a) minden valós számra; b) minden valós számra, kivéve π páratlan többszöröseit; c) minden valós számra, kivéve π egész számú többszöröseit; d) minden valós számra, kivéve az x = π és x = π értékeket. Döntse el, hogy melyik állítás igaz és indokolja meg! 4. Két közös támadáspontú erő egymással 120º os szöget zár be. Az egyik erő 30 N, a másik 70 N nagyságú. Mekkora az eredő erő és mekkora szöget zár be a másik két összetevővel? 5. Mely valós számokra igaz, hogy sin 3 x =sin 3 x? Adott két pont a Descartes féle koordináta rendszerben: A(8,4,1) és B(2, 2,1), továbbá az ezekbe mutató helyzetvektorokat jelölje a és b. a) Adja meg az AB vektort! b) Számítsa ki az AB szakasz hosszát! c) Számítsa ki az a és a b vektor hosszát! d) Számítsa ki az a és b vektorok skaláris szorzatát! e) Számítsa ki az a és b vektorok által bezárt szöget! f) Számítsa ki az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területét! 7. Számítsa ki a sík P(2; 4) pontjának az 1 2 x 3 y=6 egyenestől vett távolságát! 2

6 2. zárthelyi dolgozat (Minta) 1. Adott három vektor: a(8,4,1), b(2,2, 1) és c(5,0,3). a) Számítsa ki az a b vektoriális szorzatot! b) Számítsa ki az (a,b,c) vegyes szorzatot! c) Adja meg a három vektor által kifeszített tetraéder térfogatát! 2. Írja fel a P(7,9,11) pontra illeszkedő, n(1,1,2) normálvektorú sík egyenletét! 3. Egy sík paraméteres előállítása Írja fel a sík egyenletét! x = 3u 4v + 2 y = - v + 4 z = 3u Számítsa ki az alábbi párhuzamos síkok távolságát! x 2y 2z 12 = 0 x 2y 2z 6 = 0 5. Írja fel annak az egyenesnek a kanonikus egyenletrendszerét, mely illeszkedik a P(2,0,-3) pontra és párhuzamos az a(2,-3,5) vektorral. 6. Határozza meg az alábbi egyenesek távolságát! x 5 3 = y 5 = 1 z 2 2 x = 6t + 9 y = -2t z = - t Adja meg a síkban paraméteresen adott x=5cos y=5sin kör és az x 5 2 y 5 2 =25 kör metszéspontjait!