Elektronikus tananyag MATEMATIKA 10. osztály II. félév
|
|
- Alíz Budainé
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Elektronikus tananyag MATEMATIKA 0. osztály II. félév A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok A párhuzamos szelők tétele TÉTEL: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok hosszának aránya egyenlő a másik száron keletkező megfelelő szakaszok hosszának arányával. AB : CD = A'B' : C'D'. ábra Megjegyzés: A tétel érvényes akkor is, ha nem egy szög szárait, hanem a sík két tetszőleges egyenesét metsszük párhuzamosokkal (. ábra). A párhuzamos szelők tételének megfordítása TÉTEL: Ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat vág le, amelyek hosszának aránya mind a két száron ugyanaz, akkor a két egyenes párhuzamos.
2 . ábra A tétel a. ábra jelöléseivel: OA OA' Ha, akkor az a és b egyenesek párhuzamosak. OB OB' OA OA' Hasonló eredményre vezet az feltétel is. AB A' B' Párhuzamos szelőszakaszok tétele TÉTEL: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyenesekből a szárak által kimetszett szakaszok hosszának aránya megegyezik az egyenesek által a szögszárakból kimetszett szakaszok hosszának arányával.. ábra A tétel a. ábra jelöléseivel: AA' BB' OA' OB' OA OB
3 . A szögfelezőtétel TÉTEL: A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak hosszának arányában osztja két részre. 4.ábra A tétel a 4. ábra jelöléseivel: CD:DB=AC:AB. A középpontos hasonlósági transzformáció Az előző tanévben részletesen foglalkoztunk a síkbeli egybevágósági transzformációkkal (tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli elforgatás, eltolás). Megadtuk a transzformációk hozzárendelési utasítását, megvizsgáltuk tulajdonságaikat, és példákat mutattunk arra, hogy hogyan alkalmazhatók számítási és szerkesztési feladatok, problémák megoldása során. A most tárgyalandó középpontos hasonlósági transzformációval ( rövidebben középpontos hasonlósággal) is foglalkoztunk már korábbi tanulmányaink során, és találkoztunk vele a mindennapi életben is, gondoljunk csak a térképek készítésére, a fényképek kicsinyítésére-nagyítására,egy épület, egy lakás tervrajzának elkészítésére. A tér pontjainak halmazán értelmezett középpontos hasonlósági transzformáció definíciója: DEFINÍCIÓ: Adott egy O pont és egy λ ( 0) valós szám. A tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot a következőképpen: ha P = O, akkor P = P, ha P O, akkor P az OP egyenes azon pontja, amelyre az OP = OP, és ha λ > 0, akkor P az OP félegyenes pontja, ha λ < 0, akkor P-t és P -t O elválasztja egymástól (5. ábra). 5. ábra
4 Az O pont a transzformáció középpontja vagy centruma, λ a középpontos hasonlóság aránya. Ha λ <, akkor középpontos kicsinyítésről, ha λ >, akkor középpontos nagyításról beszélünk. A középpontos hasonlósági transzformáció tulajdonságai ) Ha λ, akkor a transzformáció egyetlen fixpontja az O,középpont. Ha λ =, akkor a tér minden pontja fixpont, azaz a transzformáció az identikus transzformáció. ) Az O középpontra illeszkedő egyenesek a transzformáció invariáns egyenesei. Ha λ, akkor más invariáns egyenes nincs. ) Bármely, az O középpontra nem illeszkedő egyenes képe az eredetivel párhuzamos, O-ra nem illeszkedő egyenes. 4) A fenti tulajdonságok alapján a középpontos hasonlóság szögtartó transzformáció, azaz bármely szög és a képe egyenlő nagyságúak. 5) A λ arányú középpontos hasonlóságnál bármely szakasz képének hossza az eredeti szakasz hosszának λ -szerese, azaz bármely A és B pontok esetén A ' B' AB. 6) A középpontos hasonlóság akkor és csak akkor egybevágóság, ha λ =. Ha λ =, akkor identitás, ha λ = -, akkor középpontos tükrözés. 7) A síkbeli középpontos hasonlóság irányítástartó. 4. A hasonlósági transzformáció DEFINÍCIÓ: A középpontos hasonlósági transzformáció és egybevágósági transzformáció egymás utáni végrehajtásával kapott transzformációkat hasonlósági transzformációknak nevezzük. A középpontos hasonlóság és az egybevágóságok tulajdonságaiból adódnak a hasonlósági transzformáció következő tulajdonságai: ) A hasonlósági transzformáció egyenest egyenesbe transzformál. ) A hasonlósági transzformáció szögtartó, azaz bármely szög és a képe egyenlő nagyságúak. ) A λ arányú hasonlósági transzformáció esetén bármely A, B pontokra és A, B A ' B' képeikre teljesül,hogy. AB Megjegyzés: Az egybevágósági transzformációk olyan hasonlósági transzformációk, amelyekre λ =.
5 5. Alakzatok hasonlósága; a háromszögek hasonlóságának alapesetei DEFINÍCIÓ: Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi. Azt, hogy egy A alakzat hasonló egy B alakzathoz, a következőképpen jelöljük: A ~ B. A definícióból közvetlenül adódnak a hasonlósági reláció következő tulajdonságai: ) Minden alakzat hasonló önmagához, azaz A ~ A. ) Ha A ~ B, akkor B ~ A. ) Ha A ~ B és B ~ C, akkor A ~ C. A háromszögek hasonlóságának alapesetei TÉTEL: Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha a következő feltételek egyike teljesül: ) megfelelő oldalaik hosszának aránya páronként egyenlő; ) két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közrefogott szögek nagysága egyenlő; ) két-két szögük páronként egyenlő nagyságú; 4) két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és e két-két oldal közül a nagyobbikkal szemközt levő szögek nagysága egyenlő. Négyszögek, sokszögek hasonlósága TÉTEL: Két sokszög akkor és csak akkor hasonló, ha megfelelő oldalhosszaik aránya páronként egyenlő, és megfelelő szögeik páronként egyenlő nagyságúak. 6. A hasonlóság néhány alkalmazása A háromszög súlypontja TÉTEL: A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont mindhárom súlyvonalnak a háromszög megfelelő csúcsától távolabbi harmadolópontja. (6. ábra) (A háromszög súlyvonala egy csúcspont és a szemközti oldal felezőpontját összekötő szakasz.) 6. ábra A súlyvonalak metszéspontja a háromszög súlypontja. Jele: S.
6 Arányossági tételek a derékszögű háromszögben 7. ábra Vegyünk fel egy ABC derékszögű háromszöget, és húzzuk be az átfogóhoz tartozó CT magasságot (7.ábra). MAGASSÁGTÉTEL: Derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának hossza mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyekre a magasság az átfogót osztja. A tétel a 7. ábra jelöléseivel: m pq vagy m pq. BEFOGÓTÉTEL: Derékszögű háromszög befogójának hossza mértani közepe az átfogó és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete hosszának. A tétel a 7. ábra jelöléseivel: a cp vagy a cp, b cq vagy b cq. 7. Hasonló síkidomok területének aránya DEFINÍCIÓ: Két hasonló alakzat hasonlóságának aránya az egymásnak megfelelő szakaszok hosszának aránya. TÉTEL: Hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével T ' egyenlő ( ). T 8. Hasonló testek térfogatának aránya TÉTEL: Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyenlő V ' ( ). V
7 Hegyesszögek szögfüggvényei. Hegyesszögek szögfüggvényei 8. ábra A definíciók megadásánál a 8. ábra jelöléseit használjuk. DEFINÍCIÓ: Az α hegyesszög szinusza az α-t tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó hosszának és az átfogó hosszának hányadosa. Jelölés: sinα. szöggel szemközti befogó hossza a sin. átfogó hossza c DEFINÍCIÓ: Az α hegyesszög koszinusza az α-t tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben a szög melletti befogó hosszának és az átfogó hosszának hányadosa. Jelölés: cosα. szög melletti befogó hossza b cos. átfogó hossza c DEFINÍCIÓ: Az α hegyesszög tangense az α-t tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó hosszának és a szög melletti befogó hosszának hányadosa. Jelölés: tgα. tg szöggel szemközti befogó hossza szög melletti befogó hossza a b. DEFINÍCIÓ: Az α hegyesszög kotangense az α-t tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben a szög melletti befogó hosszának és a szöggel szemközti befogó hosszának hányadosa. Jelölés: ctgα. ctg szög melletti befogó hossza szöggel szemközti befogó hossza A tangens és a kotangens definíciójából látszik, hogy egymás reciprokai, azaz b a. tg ctg.
8 . Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között Pótszögek szögfüggvényei a A 9. ábra jelöléseivel c Hasonlóan adódik, hogy sin cos 9. ábra, és mivel cos sin , ezért a Ugyanilyen módon, mivel tg ctg, ezért tg ctg 90 és b A kapott azonosságok szavakkal megfogalmazva: sin cos 90. ctg tg 90. TÉTEL: Hegyesszög szinusza megegyezik pótszögének koszinuszával. TÉTEL: Hegyesszög tangense megegyezik pótszögének kotangensével. sin cos tg ctg cos 90 sin 90 ctg 90 tg 90 TÉTEL: Adott hegyesszög szinuszának és koszinuszának négyzetösszege -gyel egyenlő. sin cos A tangens és a kotangens kifejezése szinusszal és koszinusszal Most is a 9. ábra jelöléseit használjuk. a tg a c sin b b cos, azaz c Hasonlóan adódik, hogy ctg cos sin tg sin cos
9 . Nevezetes szögek szögfüggvényei sin cos tg ctg
10 Vektorok. Vektor fogalma; vektorok összege, különbsége, vektor szorzása számmal A vektor fogalma DEFINÍCIÓ: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. (0. ábra) 0. ábra DEFINÍCIÓ: Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort. Az A-ból B-be mutató irányított szakasz által meghatározott vektor jelölése: AB. A vektorokat szokás még egyetlen kisbetűvel (pl. félkövéren szedett kisbetűvel (pl. a,b) jelölni. a, b ), illetve nyomtatott szövegben DEFINÍCIÓ: A vektort meghatározó irányított szakasz hossza a vektor abszolútértéke. Jelölés: AB, a, a. DEFINÍCIÓ: Két vektor párhuzamos, ha az őket meghatározó irányított szakaszok egyenesei párhuzamosak. DEFINÍCIÓ: Az a és b vektorok egyirányúak, ha párhuzamosak, és ugyanabba az irányba mutatnak, azaz közös kezdőpontból felvéve egy a -t és egy b -t reprezentáló irányított szakaszt, azok egy egyenesbe esnek, és végpontjaik a közös kezdőpont által meghatározott ugyanazon félegyenesre illeszkednek. (. ábra). ábra
11 DEFINÍCIÓ: Két vektor ellentétes irányú, ha párhuzamosak, de nem egyirányúak. (. ábra). ábra DEFINÍCIÓ: Ha két vektor egyenlő abszolútértékű és ellentétes irányú, akkor a két vektor egymás ellentettje. (. ábra) Jelölés: az a ellentettje - a.. ábra DEFINÍCIÓ: Két vektor egyenlő, ha egyirányúak és abszolútértékük egyenlő. Vektorok összege DEFINÍCIÓ: Az a és b vektorok összege (jelölés: a b ) azon párhuzamos eltolás vektora, amellyel az a -ral és a b -ral meghatározott párhuzamos eltolások egymásutánja helyettesíthető. Rajzban két vektort a háromszög-szabály, vagy a paralelogramma-szabály alapján összegezhetünk. (4. ábra) 4. ábra
12 A vektorok összeadása: ) kommutatív művelet, azaz a b b a. ) asszociatív művelet, azaz a b c a b c a b c. Vektorok különbsége DEFINÍCIÓ: Az a és b vektorok különbsége (jelölés: a b ) az a b vektor. Rajzban két vektor különbségét a 5. ábrán látható módon szerkesztjük. 5. ábra DEFINÍCIÓ: Azt a vektort, amelynek abszolútértéke 0, nullvektornak nevezzük. (Jelölés: 0 vagy 0.) Megállapodás szerint 0 iránya tetszőleges, azaz bármely vektorral egyirányú. Vektor szorzása számmal DEFINÍCIÓ:. Ha a 0 és tetszőleges valós szám, akkor a olyan vektor, amelynek abszolútértéke a, és 0 esetén a -ral egyirányú, 0 esetén a -ral ellentétes irányú.. Ha a 0, akkor a 0 bármely valós szám esetén. Bizonyítható, hogy vektorok valós számmal (skalárral) való szorzására teljesülnek az alábbi azonosságok: ) a a a ; ) a a ; ) a b a b.
13 . Vektorok a koordináta-rendszerben, vektor koordinátái, műveletek koordinátákkal adott vektorokkal DEFINÍCIÓ: A derékszögű koordináta-rendszerben a P(x;y) pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. (6.ábra) 6. ábra DEFINÍCIÓ: A derékszögű koordináta-rendszerben egy vektor koordinátái megegyeznek origó kezdőpontú reprezentánsa végpontjának koordinátáival. Jelölés: a a ; a. A fenti két definícióból következik, hogy a koordinátasík bármely pontjának és a pont helyvektorának koordinátái megegyeznek. Bázisvektorok a koordináta-rendszerben Tekintsük az (;0) és a (0;) pontok helyvektorait, jelölje ezeket rendre i és j (7. ábra). Az i(;0) és j(0;) egységvektorokat választjuk a koordináta-rendszerben bázisvektoroknak. 7. ábra DEFINÍCIÓ: Ha a derékszögű koordináta-rendszerben koordinátája a, második koordinátája a. a a i a j, akkor az a első
14 Vektorok összegének koordinátái Ha adottak az a a ; a és b b ; b vektorok, akkor a b a b i a b j, azaz az összegvektor első koordinátája az összeadandó vektorok első koordinátájának, második koordinátája az összeadandó vektorok második koordinátájának összege. (8. ábra) 8. ábra Vektorok különbségének koordinátái Ha adottak az a a ; a és b b ; b vektorok, akkor a b a b i a b j, azaz a különbségvektor első koordinátája a megfelelő első koordináták különbsége, második koordinátája a megfelelő második koordináták különbsége.(9. ábra) Vektor számszorosának koordinátái 9. ábra Adott az a a ; a vektor és a valós szám. a a i a j, azaz vektor -szorosának koordinátái a koordináták -szorosai.
Koordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I. DEFINÍCIÓ: (Helyvektor) A derékszögű koordináta - rendszerben a pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. TÉTEL: Ha i az (1; 0) és j a (0; 1) pont helyvektora, akkor
RészletesebbenOsztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete Néhány alapvető geometriai fogalom A háromszögekről.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria IV.
Geometria IV. 1. Szerkessz egy adott körhöz egy adott külső ponton átmenő érintőket! Jelöljük az adott kört k val, a kör középpontját O val, az adott külső pontot pedig P vel. A szerkesztéshez azt használjuk
Részletesebben3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek
3. KÖRGEOMETRIA Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 89 109. és 121. oldal. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 86 97. és 117 121. oldal. Kovács Zoltán: Geometria,
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség
Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Feladatok: 1) A koordinátarendszerben úgy helyezzük el az egységkockát, hogy az origó az egyik csúcsba essék,
RészletesebbenHa a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk.
Síkidomok Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk. A határoló vonalak által bezárt síkrész a síkidom területe. A síkidomok határoló vonalak szerint lehetnek szabályos
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria II.
Geometria II. Síkidomok, testek: A sík feldarabolásával síkidomokat, a tér feldarabolásával testeket kapunk. Törött vonal: A csatlakozó szakaszok törött vonalat alkotnak. DEFNÍCIÓ: (Sokszögvonal) A záródó
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1/8 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk
RészletesebbenA döntő feladatai. valós számok!
OKTV 006/007. A döntő feladatai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y x és
RészletesebbenMAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 11. OSZTÁLY
MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 11. OSZTÁLY Heti 3 óra Évi 111 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató Másodfokú egyenletek. Ismétlés 1. óra: Másodfokú egyenletek,
Részletesebben2004. december 1. Irodalom
LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK I. 2004. december 1. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 011/01-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) Térgeometria III.
Térgeometria III. 1. Szabályos háromoldalú gúla alapéle 1 cm, oldaléle 1 cm. Milyen magas a gúla? Tekintsük a következő ábrát: Az alaplap szabályos ABC, így a D csúcs merőleges vetülete a háromszög S súlypontja.
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem / 40 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan
RészletesebbenJavítóvizsga témakörei matematika tantárgyból
9.osztály Halmazok: - ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát - halmazműveletek : ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny. MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták) Javítási-értékelési útmutató Kérjük a javító tanárokat,
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.C ÉS 13.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség kezdete: 2013.09. 01. Oldal/összes: 1/6 Fájlnév:ME-III.1.1. Tanmenetborító SZK-DC- 2013 MATEMATIKA
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 <
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 011/01 Matematika I. kategória (SZKKÖZÉPISKOL) Döntő 1. Határozza meg az összes olyan egész számot, amely eleget tesz az egyenlőtlenségnek! log
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Rel aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Relációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Relációk reláció lat. 1. kapcsolat, viszony; összefüggés vmivel 2. viszonylat, vonatkozás reláció lat. 3. mat halmazok elemei
Részletesebben4. előadás. Vektorok
4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához
Részletesebben2011. március 9. Dr. Vincze Szilvia
. márius 9. Dr. Vinze Szilvia Tartalomjegyzék.) Elemi bázistranszformáió.) Elemi bázistranszformáió alkalmazásai.) Lineáris függőség/függetlenség meghatározása.) Kompatibilitás vizsgálata.) Mátri/vektorrendszer
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
005-05 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenVektoralgebrai feladatok
Vektoralgebrai feladatok 1. Vektorok összeadása és szorzatai, azok alkalmazása 1.1 a) Írja fel a és vektorokat az és átlóvektorok segítségével! b) Milyen hosszú az + ha =1? 1.2 Fejezze ki az alábbi vektorokat
RészletesebbenMBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
MBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Jelölje Z az egész számok halmazát, N a pozitív egészek halmazát, N 0 a nem negatív egészek halmazát, Q a racionális
RészletesebbenEmelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 2005. november. I. rész
Szászné Simon Judit, 005. november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 005. november. feladat I. rész Oldjuk meg a valós számok halmazán a x 5x
RészletesebbenEgy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.
VEKTOROK VEKTOROK FOGALMA Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Egy irányított szakasz
Részletesebben10. évfolyam, ötödikepochafüzet
10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos: ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése...
RészletesebbenMatematika házivizsga 11. évfolyamon részletes követelmények
Matematika házivizsga on részletes követelmények A vizsga időpontja: 016. április 11. típusa: írásbeli időtartama:180 perc (45 perc + 135 perc) Tankönyv: Sokszínű matematika 11. és a hozzá tartozó feladatgyűjtemény
RészletesebbenGeometria. A geometria vagy mértan a geo+metros= földmérés szóból ered, görög tudósok és egyiptomi földmérnökök tapasztalataira épül.
Geometri A geometri vgy mértn geo+metros= földmérés szóól ered, görög tudósok és egyiptomi földmérnökök tpsztltir épül. Az euklideszi geometri lpfoglmkr, lpreláiókr és xiómákr épül. - lpfoglmk: például
RészletesebbenTérgeometria feladatok. 2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszor akkora, mint az alapéle, felszíne 504 cm 2. Mekkora a testátlója és a térfogata?
Térgeometria feladatok Téglatest 1. Egy téglatest éleinek aránya 2 : 3 : 5, felszíne 992 cm 2. Mekkora a testátlója és a 2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszor akkora, mint az alapéle, felszíne 504
RészletesebbenAzonosító jel: Matematika emelt szint
I. 1. Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű szám képezhető? 11 pont írásbeli vizsga 1012
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai
RészletesebbenJelek tanulmányozása
Jelek tanulmányozása A gyakorlat célja A gyakorlat célja a jelekkel való műveletek megismerése, a MATLAB környezet használata a jelek vizsgálatára. Elméleti bevezető Alapműveletek jelekkel Amplitudó módosítás
RészletesebbenEgy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged
Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Térgeometria V.
Térgeometria V. 1. Egy 4, 6 dm átmérőjű, 5 dm magasságú, 7, dm sűrűségű hengerből a lehető legnagyobb szabályos nyolcoldalú oszlopot kell készíteni. Mekkora lesz a tömege? Az oszlop magassága a henger
RészletesebbenMATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT ) dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből
Részletesebben6) Határozza meg a következő halmazokat! A= {deltoidok} {téglalapok}; B= {négyzetek} {húrnégyszögek} (2pont)
(8/1) Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis! a) Van olyan rombusz, amely téglalap is. (1pont) b) Minden paralelogrammának pontosan két szimmetriatengelye
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11.E OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 15 XV DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS 1 DERIVÁLT, deriválás Az f függvény deriváltján az (1) határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Az függvény deriváltjának jelölései:,,,,,
Részletesebben( ) Schultz János EGYENLŐTLENSÉGEK A HÁROMSZÖG GEOMETRIÁJÁBAN
Shultz János EGYENLŐLENSÉGEK A HÁOMSZÖG GEOMEIÁJÁBAN Igzoljuk hogy egy szályos háromszög első pontját súsokkl összekötő három szkszól mindig szerkeszthető háromszög Egy tégllp elsejéen vegyünk fel egy
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. I. rész Fontos tudnivalók A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot
Részletesebben5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
RészletesebbenÉ -matek: Csak azoknak, akik a kudarcfélelem nélküli és sikeres Érettségi vizsgára készülnek!
Huszk@ Jenő 3.. É-matek matek Módszertani segédlet csak diá koknak! Hogyan elemezzük ki a feladatot? Hogyan alkossunk önmagunk számára szemléletes modellt? Hogyan keressük meg a modell és a matematikai
Részletesebben7. előadás. Vektorok alkalmazásai
7. előadás Vektorok alkalmazásai Terület Tétel: Ha egy tetraéder lapjaira merőlegesen olyan kifelé mutató vektorokat állítunk, melyek hossza arányos az adott lap területével, akkor az így kapott 4 vektor
RészletesebbenTartalomjegyzék. I. A lineáris algebra forrásai 7. 1 Vektorok 11. 2 Lineáris egyenletrendszerek és megoldásuk 53
Tartalomjegyzék I. A lineáris algebra forrásai 7 1 Vektorok 11 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 11 Irányított szakasz, kötött és szabad vektor 11 Vektor magadása egy irányított szakasszal 12 Vektor
Részletesebben2. előadás: További gömbi fogalmak
2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással
RészletesebbenTrigonometria és koordináta geometria
Tantárgy neve Trigonometria és koordináta geometria Tantárgy kódja MTB1001 Meghirdetés féléve I. Kreditpont 4k Összóraszám (elm+gyak) 30+30 Számonkérés módja Gyakorlati jegy (2 zárthelyi dolgozat) Előfeltétel
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat
RészletesebbenA szintvonalas eljárásról. Bevezetés
A szintvonalas eljárásról Bevezetés A tetőket építő ács a kötőács napi munkájának része leet a fedélidom - közepelés is. Ennek során megszerkeszti a tető felülnézeti képét, ennek birtokában pedig a további
RészletesebbenÁbrahám Gábor A háromszög és a terület Feladatok. Feladatok
I. Klasszikus, bevezető feladatok Feladatok 1. Az alábbi feladatokban hányad része a satírozott rész területe az eredeti négyszög területének? a) Egy paralelogramma valamely belső pontját összekötjük a
RészletesebbenBaka Endre. Szabadka, Jugoszlávia
ÉRDEKESSÉGEK HÁROMSZÖGEN aka Ende Szabadka, Jugoszlávia LPPONI HÁROMSZÖG Ebben a fejezetben kettő, a talpponti háomszöggel kapsolatos, nem túl ismet tételt szeetnék bemutatni és bizonyítani. De előszö
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 3 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 010 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 010. június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
Részletesebben9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes
9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
RészletesebbenAz osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból
Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.
RészletesebbenNT-17102/1 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17102/1 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 9. tankönyvben (Heuréka-sorozat) a középszintű érettségihez találjuk meg a tananyagot,
RészletesebbenA parabola és az egyenes, a parabola és kör kölcsönös helyzete
66 A paraola 00 egyen a keresett kör középpontja Az pont koordinátái: ( y) Ekkor felírhatjuk a következô egyenletet: ( - ) + ( y- ) = mert a kör sugara > 0 Innen rendezéssel: ( y- ) = 6 - A mértani hely
RészletesebbenHalmazok és függvények
Halmazok és függvények Óraszám: 2+2 Kreditszám: 6 Meghirdető tanszék: Analízis Debrecen, 2005. A tárgy neve: Halmazok és függvények (előadás) A tárgy oktatója: Dr. Gilányi Attila Óraszám/hét: 2 Kreditszám:
RészletesebbenKombinatorika. 9. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Kombinatorika p. 1/
Kombinatorika 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kombinatorika p. 1/ Permutáció Definíció. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott
RészletesebbenMATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egserő, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határod meg a, és sakasok hossát! cm cm 2, cm 2. Határod meg a,,, u és v sakasok hossát! 2 v 2 . Határod meg a,,, u és
Részletesebben3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben
3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 1. 1. Alapfogalmak 2. Nevezetes sík- és térbeli alakzatok, definícióik 3. Thalész-tétel 4. Gyakorlati alkalmazás Pont: alapfogalom, nem definiáljuk Egyenes:
RészletesebbenI. rész. Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati. Név:...osztály:... Matematika kisérettségi. 2012. május 15. Fontos tudnivalók
Matematika kisérettségi 2012. május 15. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az id elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetsz leges. 3. A
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MTEMTIK ÉRETTSÉGI TÍPUSFELDTOK KÖZÉPSZINT Koordináta-gomtria szürkíttt háttrű fladatrzk nm tartoznak az érinttt témakörhöz azonban szolgálhatnak fontos információval az érinttt fladatrzk mgoldásához! 1)
Részletesebben1. Írja fel prímszámok szorzataként a 420-at! 2. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen!
1. Írja fel prímszámok szorzataként a 40-at! 40 =. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen! A részek: 3. Egy sejttenyészetben naponta kétszereződik meg a sejtek száma.
Részletesebben1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok
1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 1.1. Halmazok Ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát. Definiálja és alkalmazza gyakorlati
RészletesebbenÉpületvillamosság laboratórium. Villámvédelemi felfogó-rendszer hatásosságának vizsgálata
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamos Energetika Tanszék Nagyfeszültségű Technika és Berendezések Csoport Épületvillamosság laboratórium Villámvédelemi felfogó-rendszer hatásosságának
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2012. NOVEMBER 24.) 3. osztály
3. osztály Két szám összege 33. Mennyi ennek a két számnak a különbsége, ha az egyik kétszerese a másiknak? Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben a számjegyek összege legalább 25? 4. osztály A Zimrili
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Diszkrét matematika I. gyakorlat 1. Gyakorlat Bogya Norbert Bolyai Intézet 2012. szeptember 4-5. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika I. gyakorlat 2012. szeptember 4-5. 1 / 21 Információk
RészletesebbenA skatulya-elv alkalmazásai
1 A skatulya-elv alkalmazásai Számelmélet 1. Az első 4n darab pozitív egész számot beosztjuk n számú halmazba. Igazoljuk, hogy mindig lesz három olyan szám, amelyek ugyanabban a halmazban vannak és valamely
RészletesebbenKosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési
RészletesebbenFejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek
Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges
RészletesebbenOperációkutatás. 2. konzultáció: Lineáris programozás (2. rész) Feladattípusok
Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 00/003 tanév, II évf félév Előadó: Dr Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs u 9 GT fszt 3 (99) 58 640
Részletesebben3. Matematikai logika (megoldások)
(megoldások) 1. Hamis, ugyanis P, Q és R logikai értékét behelyettesítve kapjuk: (P Q) R = (1 0) 0 = 0 0 = 0. (Ebben és a további feladatok megoldásában alkalmazzuk a D 3.1 denícióit. A megoldást célszer
RészletesebbenLineáris algebra jegyzet
Lineáris algebra jegyzet Készítette: Jezsoviczki Ádám Forrás: Az előadások és a gyakorlatok anyaga Legutóbbi módosítás dátuma: 2011-12-04 A jegyzet nyomokban hibát tartalmazhat, így fentartásokkal olvasandó!
Részletesebben6. modul Egyenesen előre!
MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
RészletesebbenMATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő
RészletesebbenGeometria, 11 12. évfolyam
Geometria, 11 1. évfolyam Dobos Sándor, Hraskó ndrás, Kiss Géza és Surányi László 014. június 8. 4 TRTLOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Feladatok 5 1. Geometriai szerkeszthetőség.......................... 5 1.1.
RészletesebbenAdy Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.
Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani
RészletesebbenPRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ
PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok
RészletesebbenMATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat
GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat Bemutatkozás Chmelik Gábor óraadó BGF-KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály chmelik.gabor@kkk.bgf.hu http://www.cs.elte.hu/ chmelik Fogadóóra: e-mailben egyeztetett
RészletesebbenGeometria II. Vázlat Kovács Zoltán el adásaihoz. 2012. május 27.
Geometria II Vázlat Kovács Zoltán el adásaihoz 2012. május 27. 2 Tartalomjegyzék 1. Geometria R 2 -ben 5 1.1. R 2 euklideszi struktúrája..................... 6 1.2. Tengelyes tükrözések a síkban..................
RészletesebbenLécgerenda. 1. ábra. 2. ábra
Lécgerenda Egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: Karimás csőillesztés már szóltunk arról, hogy a szeezetek számításaiban néha célszerű lehet a diszkrét mennyiségeket folyto - nosan megoszló mennyiségekkel
RészletesebbenNT-17112 Az érthető matematika 9. Tanmenetjavaslat
NT-17112 Az érthető matematika 9. Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Juhász István
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 3 gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012 február 27 Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat) Tartalom Egyenletrendszerek Cramer-szabály 1 Egyenletrendszerek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenA 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.
Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik
RészletesebbenMATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január 8. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULS EMELT SZINT. Egy atlétika csapat alapozást tart. Robbanékonyságukat és állóképességüket 0 méteres síkfutással fejlesztik. Összesen
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
RészletesebbenNYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.
NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika
Részletesebben5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség
5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =
Részletesebben1. forduló. MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév
MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló 1. feladat: Jancsi és Juliska Matematikai Memory-t játszik. A játék lényege, hogy négyzet alakú kártyákra vagy műveletsorokat írnak
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
Részletesebben[MECHANIKA- HAJLÍTÁS]
2010. Eötvös Loránd Szakközép és Szakiskola Molnár István [MECHANIKA- HAJLÍTÁS] 1 A hajlításra való méretezést sok helyen lehet használni, sok mechanikai probléma modelljét vissza lehet vezetni a hajlítás
RészletesebbenMATEMATIKA A 10. évfolyam
MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY DÖNTŐ 2004. 5. osztály
5. osztály Ha egy négyzetet az ábrán látható módon feldarabolunk, akkor a tangram nevű ősi kínai játékot kapjuk. Mekkora a nagy négyzet területe, ha a kicsié 8 cm 2? (A kis négyzet egyik csúcsa a nagy
Részletesebben