Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Térgeometria V.

Átírás

1 Térgeometria V. 1. Egy 4, 6 dm átmérőjű, 5 dm magasságú, 7, dm sűrűségű hengerből a lehető legnagyobb szabályos nyolcoldalú oszlopot kell készíteni. Mekkora lesz a tömege? Az oszlop magassága a henger magassága: M = 5 dm. A henger alapkörének sugara: r =, dm. Az oszlop alaplapja egy szabályos nyolcszög, melynek csúcsai illeszkednek a henger alapkörének kerületére, vagyis köré írt köre a henger alapköre. Az alaplapot felbonthatjuk 8 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 60 = 45. Tekintsük ezek közül a következőt: 8 kg A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű ATO - ben megfelelő szögfüggvényekkel számítsuk ki a következőket: sin,5 = AT, cos,5 = OT, AT 0,88 dm OT,1 dm Számítsuk ki a háromszög alapját: AB = 0,88 = 1,76 dm. Számítsuk ki a háromszög területét: T = 1,76,1 1,87 dm. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 8 T = 8 1,87 = 14,96 dm. Számítsuk ki az oszlop térfogatát: V = 14,96 5 = 74,8 dm. Ezek alapján az oszlop tömege: m = 74,8 7, = 58,56 kg. 1

2 . Egy 0, m átmérőjű,, 5 m hosszú henger alakú rönkfából a lehető legnagyobb négyzetes gerendát kell kivágni. Mekkora lesz a gerenda, illetve a hulladék térfogata? A gerenda magassága a henger magassága: M =,5 m. A henger alapkörének sugara: r = 0,15 m. A gerenda alaplapja egy négyzet, melynek csúcsai illeszkednek a henger alapkörének kerületére, vagyis köré írt köre a henger alapköre. A henger alapkörének átmérője a gerenda alapjának átlója. Számítsuk ki Pitagorasz tétellel az alaplap élét: a + a = 0, a 0,1 m Számítsuk ki a gerenda alaplapjának területét: T a = 0,1 = 0,0441 m. Számítsuk ki a farönk alapkörének területét: T a = 0,15 π 0,0707 m. Számítsuk ki a gerenda térfogatát: V g = 0,04441,5 = 0,1545 m. Számítsuk ki a farönk térfogatát: V f = 0,0707,5 = 0,4745 m. Ezek alapján a hulladék térfogata: V h = 0,4745 0,1545 = 0,091 m.. Egy háromoldalú egyenes hasábba egyenes hengert írunk. Mekkora a henger térfogata, ha a hasáb térfogata cm, és a hasáb alaplapjának oldalai 44 cm, 9 cm, 17 cm? A henger alapköre a hasáb alaplapjának beírt köre, a magassága pedig a hasáb magassága. Számítsuk ki a hasáb alaplapjának kerületét: K = = 100 cm. A kerület segítségével számítsuk ki a hasáb alaplapjának területét: T = 50 (50 17) (50 9) (50 44) = 0 cm.

3 Az alaplap területének segítségével számítsuk ki a beírt kör sugarát: 0 = r 50 r = 6,6 cm A hasáb térfogatának segítségével számítsuk ki a hasáb magasságát: = 0 M M 60,15 cm Számítsuk ki a henger alapkörének területét: T a = 6,6 π 16,85 cm. Ezek alapján a henger térfogata: V h = 16,85 60,15 8 1,5 cm. 4. Mekkora az egyenes csonkakúpba írt szabályos nyolcszög alapú egyenes csonkagúla térfogata, ha a csonkakúp alap és fedőlapjának sugara 6 dm és, 5 dm, magassága pedig 1 dm? A csonkagúla magassága a csonkakúp magassága: M = 1 dm. A csonkagúla alaplapja, illetve fedőlapja egy szabályos nyolcszög, melynek csúcsai illeszkednek a csonkakúp alapkörének, illetve fedőkörének kerületére, vagyis köré írt köre a csonkakúp alapköre, illetve fedőköre. Az alaplapot felbonthatjuk 8 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 60 = 45. Tekintsük ezek közül a következőt: 8 A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű ATO - ben megfelelő szögfüggvényekkel számítsuk ki a következőket: sin,5 = AT 6 cos,5 = OT 6 AT, dm OT 5,54 dm

4 Számítsuk ki a háromszög alapját: AB =, = 4,6 dm. Számítsuk ki a háromszög területét: T = 4,6 5,54 = 1,74 dm. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 8 T = 8 1,74 = 101,96 dm. A fedőlapot felbonthatjuk 8 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 60 = 45. Tekintsük ezek közül a következőt: 8 A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű ATO - ben megfelelő szögfüggvényekkel számítsuk ki a következőket: sin,5 = AT,5 cos,5 = OT,5 AT 1,4 dm OT, dm Számítsuk ki a háromszög alapját: AB = 1,4 =,68 dm. Számítsuk ki a háromszög területét: T =,68, 4, dm. Számítsuk ki a fedőlap területét: T a = 8 T = 8 4, = 4,64 dm. Ezek alapján a csonkagúla térfogata: V csg = (101, ,96 4,64 + 4,64) 1 78,99 dm. 4

5 5. Egyenes körkúp alaplapjának átmérője dm, magassága 8 dm. Mekkora a kúp és a kúpba írt szabályos nyolcszög alapú gúla térfogatának a különbsége? A gúla magassága a kúp magassága: M = 8 dm. A kúp alapkörének sugara: r = 1,5 dm. A gúla alaplapja egy szabályos nyolcszög, melynek csúcsai illeszkednek a kúp alapkörének kerületére, vagyis köré írt köre a kúp alapköre. Az alaplapot felbonthatjuk 8 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 60 8 = 45. Tekintsük ezek közül a következőt: A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű ATO - ben megfelelő szögfüggvényekkel számítsuk ki a következőket: sin,5 = AT 1,5 cos,5 = OT 1,5 AT 0,57 dm OT 1,9 dm Számítsuk ki a háromszög alapját: AB = 0,57 = 1,14 dm. Számítsuk ki a háromszög területét: T = 1,14 1,9 0,79 dm. Számítsuk ki a gúla alaplapjának területét: T ga = 8 T = 8 0,79 = 6, dm. Számítsuk ki a kúp alaplapjának területét: T ka = 1,5 π 7,07 dm. Számítsuk ki a gúla térfogatát: V g = 6, 8 Számítsuk ki a kúp térfogatát: V k = 7, ,85 dm. 18,85 dm. Ezek alapján a térfogatok különbsége: V = 18,85 16,85 = dm. 5

6 6. Szabályos tizenkétszög alapú gúla alapélei 1 cm hosszúak, magassága cm. Mekkora a beírható és a köré írható kúp térfogata? Először tekintsük a köré írt kúp térfogatát. A gúla magassága a kúp magassága: M = cm. A gúla alaplapja egy szabályos tizenkétszög, melynek csúcsai illeszkednek a kúp alapkörének kerületére, vagyis köré írt köre a kúp alapköre. Az alaplapot felbonthatjuk 1 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 60 = 0. Tekintsük ezek közül a következőt: 1 A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű ATO - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a szárát: sin 15 = 6 BO BO,18 cm A háromszög szára a kúp alapkörének sugara. Számítsuk ki a kúp alapkörének területét: T k =,18 π 1 688,0 cm. Ezek alapján a köré írt kúp térfogata: V k = 1 688,0 1 78,81 cm. Most tekintsük a beírt kúp térfogatát. A gúla magassága a kúp magassága: M = cm. A gúla alaplapja egy szabályos tizenkétszög, melynek éleinek középpontjai illeszkednek a kúp alapkörének kerületére, vagyis be írt köre a kúp alapköre. 6

7 Az alaplapot felbonthatjuk 1 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 60 = 0. Tekintsük ezek közül a következőt: 1 A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű ATO - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a magasságát: tg 15 = 6 TO TO,9 cm A háromszög magassága a kúp alapkörének sugara. Számítsuk ki a kúp alapkörének területét: T k =,9 π 1 574,9 cm. Ezek alapján a beírt kúp térfogata: V k = 1 574, ,41 cm. 7. Egy kúp alapkörének sugara cm, tengelymetszete szabályos háromszög. Mekkora a beírható négyzet alapú gúla felszíne és térfogata? Tekintsük a kúp tengelymetszetét: A kúp alkotója: a = r = = 6 cm. A gúla magassága a kúp magassága: M = 5, cm. 7

8 A derékszögű ATC - ben Pitagorasz - tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: + M = 6 M 5, cm. A gúla alaplapja egy négyzet, melynek csúcsai illeszkednek a kúp alapkörének kerületére, vagyis köré írt köre a kúp alapköre. A kúp alapkörének átmérője a gúla alapjának átlója. Számítsuk ki Pitagorasz tétellel az alaplap élét: a + a = 6 a 4,4 cm A négyzet középvonalának fele, a test magassága és az oldallap magassága egy derékszögű háromszöget határoznak meg. A derékszögű háromszögben számítsuk ki Pitagorasz tétellel az oldallap magasságát:,1 + 5, = m m 5,6 cm Számítsuk ki egy oldallap területét: T = 4,4 5,6 11,91 cm. Számítsuk ki a gúla alaplapjának területét: T a = 4,4 17,98 cm. Számítsuk ki a gúla palástjának területét: T p = 4 11,91 = 47,64 cm. Ezek alapján kiszámíthatjuk a gúla felszínét és térfogatát: A = 17, ,64 = 65,6 cm V g = 17,98 5, 1,17 cm 8

9 8. Egy 7 cm sugarú kör alapú, 6 cm magasságú egyens kúp köré szabályos háromszög alapú gúlát írunk. Mekkora az oldallapok területe? A gúla magassága a kúp magassága: M = 6 cm. A gúla alaplapja egy szabályos háromszög, melynek éleinek középpontjai illeszkednek a kúp alapkörének kerületére, vagyis be írt köre a kúp alapköre. Az alaplapot felbonthatjuk egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 60 = 10. Tekintsük ezek közül a következőt: A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű ATO - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a következőt: tg 60 = AT 7 AT 1,1 cm Számítsuk ki az ABO alapjának hosszát: AB = 1,1 = 4,4 cm. A beírt kör sugara, a test magassága és az oldallap magassága egy derékszögű háromszöget határoznak meg. Számítsuk ki Pitagorasz tétellel az oldallap magasságát: = m m 9, cm Ezek alapján egy oldallap területe: T = 4,4 9, 111,75 cm. 9

10 9. Egy gömb térfogata 1, 6 cm. A gömbbe egyenes körkúpot írunk, melynek tengelymetszetében a kúp csúcsánál levő szög 56, 7. Mekkora a kúp térfogata? Tekintsük a tengelymetszetet: A tengelymetszet a kúpból egy egyenlő szárú háromszöget, a gömbből egy főkört metsz ki, amely a háromszög köré írt köre. A gömb térfogatának segítségével számítsuk ki a sugarát: 1,6 = 4 R π R,08 cm Az ABC - ben a szinusz tétel geometriai alakjával számítsuk ki a háromszög alapját: sin 56,7 = BC,08 BC 5,15 cm Számítsuk ki a kúp alapkörének sugarát: r = 5,15 =,575 cm. A derékszögű ATC - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a kúp magasságát: tg 8,5 =,575 AT AT 4,77 cm Számítsuk ki a kúp alapkörének területét: T a =,575 π 0,8 cm. Ezek alapján a kúp térfogata: V = 0,8 4,77,1 cm. 10

11 10. Számítsuk ki a, 69 dm alapsugarú és 8 dm magasságú egyenes körkúpba írt gömb felszínét! Tekintsük a tengelymetszetet: A tengelymetszet a kúpból egy egyenlő szárú háromszöget, a gömbből egy főkört metsz ki, amely a háromszög beírt köre. Az OC szakasz az ABC szögfelezője. A derékszögű ATC - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a BCA = γ szöget: tg γ = 8,69 γ 65,4 Ebből következik, hogy TCA = 65,4 =,6. A derékszögű OTC - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a gömb sugarát: tg,6 = OT,69 OT,6 dm Ezek alapján a gömb felszíne: A = 4,6 π 69,99 dm. 11

12 11. Mekkora a gömb térfogata, ha a gömbbe írható egy 1 cm alapsugarú, cm alkotójú egyenes körkúp? Tekintsük a tengelymetszetet: A tengelymetszet a kúpból egy egyenlő szárú háromszöget, a gömbből egy főkört metsz ki, amely a háromszög köré írt köre. A derékszögű ATC - ben Pitagorasz - tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: 1 + AT = AT 9,66 cm A derékszögű OTC - ben Pitagorasz tétel segítségével számítsuk ki a gömb sugarát: 1 + (9,66 R) = R R 17,6 cm Ezek alapján a gömb térfogata: V = 4 17,6 π 1 58,8 cm. 1

13 1. Egyenes körkúp alaplapjának sugara m, alkotója az alaplappal 54 - os szöget zár be. Számítsuk ki a körülírt és a beírt gömb sugarát! Tekintsük a tengelymetszetet: A derékszögű ATC - ben szögfüggvénnyel számítsuk ki a kúp magasságát és alkotóját: tg 54 = AT cos 54 = AC AT,75 m AC,4 m Számítsuk ki az ABC alapjának hosszát: BC = = 4 m. Számítsuk ki az ABC területét: T = 4,75 = 5,5 m. Számítsuk ki az ABC kerületét: K = 4 +,4 +,4 = 10,8 m. A kerület és terület segítségével számítsuk ki a be írt kör sugarát: 5,5 = r 5,4 r 1,0 m A terület segítségével számítsuk ki a köré írt kör sugarát: 5,5 = 4,4,4 4 R 1 R,1 m

14 1. Egy 1 cm sugarú gömb köré írjunk egyenes körkúpot, amelynek magassága 7 cm. Mekkora a kúp felszíne és térfogata? Tekintsük a tengelymetszetet: A derékszögű ODA - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki az AD szakasz hosszát: 1 + AD = 60 AD 58,79 cm Az ODA és az ATC hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. A hosszabb befogók segítségével egy megfelelő aránypárból számítsuk ki az alapkör sugarát: 58,79 7 = 1 TC TC 14,7 cm A rövidebb befogók segítségével egy újabb aránypárból számítsuk ki az alkotó hosszát: 1 = 60 14,7 AC AC = 7,5 cm Számítsuk ki a kúp alapkörének területét: T a = 14,7 π 678,87 cm. Számítsuk ki a kúp palástjának területét: T p = 14,7 π 7,5 94, cm. Ezek alapján kiszámíthatjuk a kúp felszínét és térfogatát: A = 678, , = 407, cm V = 678,87 7 = 16 9,88 cm 14

15 14. Írjunk egy 10 cm sugarú gömb köré egyenes körkúpot, amelynek alapköre 0 cm sugarú. Mekkora a kúp felszíne és térfogata? Tekintsük a tengelymetszetet: Az ODA és az ATC hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. A rövidebb befogók segítségével egy megfelelő aránypárból fejezzük ki a kúp alkotóját: 10 = AT 10 0 AC AC = AT 0 A rövidebb befogók segítségével egy újabb aránypárból számítsuk ki a kúp magasságát: 10 0 = AC 0 AT = AT 0 0 AT AT 6,67 cm Ezt visszahelyettesítve megkapjuk az alkotó hosszát: AC = 6,67 0 =,4 cm. Számítsuk ki a kúp alapkörének területét: T a = 0 π 1 56,64 cm. Számítsuk ki a kúp palástjának területét: T p = 0 π,4 094,81 cm. Ezek alapján kiszámíthatjuk a kúp felszínét és térfogatát: A = 1 56, ,81 = 51,45 cm V = 1 56,64 6, ,5 cm 15

16 15. Egy csúcsával lefelé fordított egyenlő oldalú üres kúpba beleteszünk egy cm sugarú gömböt. Mennyi vizet kell a kúpba öntenünk, hogy a gömböt a víz befedje? (A víz a gömb alá is befolyik.) Tekintsük a tengelymetszetet: A kúp egyenlő oldalú, így az alkotója megegyezik az alapkör átmérőjével: a = r. A derékszögű BTA - ban Pitagorasz tételből fejezzük ki a sugárral a magasságot: r + M = (r) M = r Az ADO és a BTA hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. A rövidebb befogók és az átfogók segítségével írjunk fel egy megfelelő aránypárt: r M = r r = r Rendezés után a következő hiányos másodfokú egyenlet adódik: r 6r = 0. Az egyenlet bal oldalát alakítsuk szorzattá: ( r 6) r = 0. Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Mivel a sugár nem lehet 0, így r 6 = 0, amiből r,46 cm. Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a kúp magasságát: M =,46 = 6 cm. 16

17 Számítsuk ki a kúp alapkörének területét: T a =,46 π 7,61 cm. Számítsuk ki a kúp térfogatát: V k = 7,61 6 Számítsuk ki a gömb térfogatát: V g = 4 π = 75, cm.,51 cm. Ezek alapján a víz térfogata: V = 75,,51 = 41,71 cm. 16. Egy henger alapkörének sugara 5 cm, magassága 4 cm. Mekkora sugarú gömb írható a henger köré? Tekintsük a tengelymetszetet: A tengelymetszet a hengerből egy téglalapot, a gömbből egy főkört metsz ki, amely a téglalap köré írt köre. A derékszögű ABC - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki az átfogó hosszát: = AC AC = 6 cm Ezek alapján a gömb sugara: R = 6 = 1 cm. 17

18 17. Egy csonkakúp alapkörének sugara 4 cm, fedőkörének sugara cm, magassága 7 cm. Mekkora sugarú gömb írható a csonkakúp köré? Tekintsük a tengelymetszetet: A tengelymetszet a csonkakúpból egy szimmetrikus trapézt, a gömbből egy főkört metsz ki, amely a trapéz köré írt köre. A húrtrapéz köré írt köre az ACD - nek is köré írt köre. Először számítsuk ki az AF szakasz hosszát: AF = 4 + = 7 cm. A derékszögű AFC - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki az átfogó hosszát: = AC AC 9,9 cm A derékszögű AED - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki az átfogó hosszát: = AD AD 7,07 cm Számítsuk ki az ACD kerületét: K = 6 + 7,07 + 9,9 =,97 cm. Számítsuk ki az ABC területét: T = 11,48 5,48 4,41 1,58 0,94 cm. A terület segítségével számítsuk ki a köré írt kör sugarát: 0,94 = 6 7,07 9,9 4 R 18 R 5,01 cm

19 18. Két gömb belülről érinti egymást. A nagyobbik gömbnek a kisebbiken kívüli része 108, 909 cm térfogatú, a gömbök középpontjainak a távolsága cm. Mekkora a két gömb sugara? Tekintsük a gömbök főköreire illeszkedő síkmetszetet: Legyen a kisebb gömb sugara r, s ekkor a nagyobb gömb sugara pedig R = r +. A térfogatok segítségével írjuk fel a következő egyenletet: 4 (r+) π 4 r π = 108,909. Az egyenlet átrendezésével a következő másodfokú egyenlet adódik: r + r = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai r 1 = 1 és r =. Az r nem felel meg a feladat szövegének. Ezek alapján a gömbök sugarai: r = 1 cm és R = 1 + = cm. 19

20 19. Egy szabályos négyzet alapú gúla magassága 0 cm, alapéle 1 cm. Mekkora a gúlába írható és a gúla köré írt gömb sugara? Tekintsük a gúla alaplapjára merőleges, az alaplap középvonalát tartalmazó síkot. Ez a sík a gúlából egy egyenlőszárú háromszöget, a beírt gömbből egy főkört metsz ki, amely a háromszög beírt köre. A derékszögű EHG - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki az EG szakasz hosszát: = EG EG 0,59 cm Számítsuk ki az EFG kerületét: K = 1 + 0,59 + 0,59 = 7,18 cm. Számítsuk ki az EFG területét: T = 1 0 = 180 cm. Ezek alapján a beírt gömb sugara: 180 = 6,59 r r 4,9 cm 0

21 Most tekintsük az alaplap átlóját tartalmazó, az alaplapra merőleges síkot. Ez a sík a gúlából egy egyenlőszárú háromszöget, a köré írt gömbből egy főkört metsz ki, amely a háromszög köré írt köre. A derékszögű ABC - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki az AC szakasz hosszát: = AC AC 16,97 cm Ebből adódik, hogy TC = 16,97 = 8,485 cm. A derékszögű ETC - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki az EC szakasz hosszát: 8, = EC EC 1,18 cm Számítsuk ki az EAC területét: T = 16,97 0 = 54,55 cm. Ezek alapján a köré írt gömb sugara: 54,55 = 16,97 1,18 1,18 4 R R 16, cm 1

22 0. Egy négyoldalú szabályos gúla alapéle 0 cm, a gúlába 1 cm sugarú gömb írható. Mekkora a gúla térfogata? Tekintsük a gúla alaplapjára merőleges, az alaplap középvonalát tartalmazó síkot. Ez a sík a gúlából egy egyenlőszárú háromszöget, a beírt gömbből egy főkört metsz ki, amely a háromszög beírt köre. Az ATC és az ODA hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. Az egymásnak megfelelő oldalak aránya állandó, így felírhatjuk a következőt: AO AC = OD TC. Ebből behelyettesítés után számítsuk ki a gömb sugarát: M 1 = 1 M r 104,5 cm Ezek alapján a gúla térfogata: V = 0 104, cm.

23 1. Mekkora a kocka beírt gömbjének térfogata, ha a kocka térfogata 178 cm? Tekintsük a következő ábrát: Számítsuk ki a térfogat segítségével a kocka alapélét: a = 178 a = 1 cm Mivel a beírt gömb sugara az alapél fele, így r = 1 = 6 cm. Ezek alapján a köré írt gömb térfogata: V = 4 6 π 904,78 cm.. Mekkora a téglatest köré írt gömb felszíne, ha az egy csúcsba futó élek hossza cm, 8 cm és 16 cm? Számítsuk ki Pitagorasz tétellel egy lapátló hosszát: + 8 = x x 8,5 cm Számítsuk ki Pitagorasz tétellel a testátló hosszát: ,5 = y y 18 cm Mivel a köré írt gömb sugara a testátló fele, így R = 18 = 9 cm. Ezek alapján a köré írt gömb felszíne: A = 4 9 π 1 017,88 cm.

24 . Két egymást kívülről érintő gömb sugara 5 cm és 8 cm, s egy kúp érinti a gömböket. Mekkora a kúp palástjának az a része, amely a két érintési kör síkja között van? Tekintsük a tengelymetszetet: A CF és az O 1 G szakasz párhuzamos és egyenlő hosszúságú. Ebből azt kapjuk, hogy O G = 8 5 = cm. A derékszögű O GO 1 - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki az O 1 G szakasz hosszát: + O 1 G = 1 O 1 G 1,65 cm A derékszögű O GO 1 - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki az α = GO 1 O - et: sin α = 1 α 1,4 4

25 Az ábra alapján α = GO 1 O = O FM = O 1 CM. Az FM O - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki az FM szakasz hosszát: cos 1,4 = FM 8 FM 7,78 cm A CM 1 O 1 - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a CM 1 szakasz hosszát: cos 1,4 = CM 1 5 CM 1 4,87 cm Ezek alapján a csonkakúp palástjának területe: T = (4,87 + 7,78) 1,65 π 50,7 cm. 4. Egy dm átmérőjű henger alakú edényben 8 dm magasságig víz van. Hány dm rel emelekdik a vízszint, ha az edénybe egy 1, 5 dm átmérőjű gömböt merítünk? A henger sugara R = 1,5 = 1 dm és a gömb sugara r = = 0,75 dm. Számítsuk ki a gömb térfogatát: V g = 4 0,75 π 1,77 dm. A megemelkedett víz henger alakú, melynek térfogata megegyezik a gömb térfogatával. A gömb térfogatának segítségével számítsuk ki a henger magasságát: 1,77 = 1 π M M 0,56 dm Ezek alapján 0,56 dm rel emelkedik a vízszint, így 8,56 dm lesz a víz magassága. 5. Egy 10 cm átmérőjű hengeres edényben 1 cm magasan áll a víz. Egy beledobott golyó a víz felszínét 1 cm rel emeli. Mekkora a golyó átmérője? A megemelkedett vízszint henger alakú, melynek magassága M = 1 cm és sugara r = 5 cm. Számítsuk ki a megemelkedett víz térfogatát: V = 5 π 1 78,54 cm. 5

26 A megemelkedett víz térfogata megegyezik a gömb térfogatával. A térfogat segítségével számítsuk ki a gömb sugarát: 78,54 = 4 r π r,66 cm Ezek alapján a gömb átmérője: d =,66 = 5, cm. 6. Hogyan aránylik egymáshoz annak a három gömbnek a sugara, amelyek közül az első egy kocka köré van írva, a második átmegy e kocka éleinek felezőpontjain, és a harmadik ebbe a kockába van beírva? A kocka köré írt gömb középpontja a kocka testátlóinak metszéspontja, vagyis a sugár a testátlók fele: R 1 = a. A kocka éleinek felezőpontjain átmenő gömb középpontja a kocka testátlóinak metszéspontja, vagyis a sugár a lapátlók fele: R = a. A kockába írt gömb középpontja a kocka testátlóinak metszéspontja, vagyis a sugár az oldalélek fele: R = a. Ezek alapján a sugarak aránya a következő: R 1 : R : R = a : a : a = Hogyan aránylanak egymáshoz a gömb, a gömb köré írt henger és a köré írt herbe írt kúp térfogata? Tekintsük a következő ábrát: Legyen a gömb sugara: R. A kúp és henger magassága ekkor a gömb átmérője: M = R. Ezek alapján a testek térfogatainak aránya: V h : V g : V k = R π R: 4 R π 6 : R π R = : : 1.

27 8. Egy 1, 7 cm és 6, 8 cm oldalú téglalapot forgatunk egyszer az egyik, majd a másik oldala, végül az egyik és a másik szimmetriatengelye körül. Határozzuk meg a keletkezett testek felszínét és térfogatát! Forgassuk meg először a hosszabb oldala körül, s ekkor egy hengert kapunk. Az alapkör sugara r = 1,7 cm és a magassága pedig M = 6,8 cm. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 1,7 π 1 479,4 cm. Számítsuk ki a palást területét: T p = 1,7 π 6, ,5 cm. Ezek alapján kiszámíthatjuk a henger felszínét és térfogatát: A = 1 479, ,5 = 7 976,18 cm V = 1 479,4 6,8 = 54 49,71 cm Forgassuk meg most a rövidebb oldala körül, s ekkor szintén hengert kapunk. Az alapkör sugara r = 6,8 cm és a magassága pedig M = 1,7 cm. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 6,8 π 4 54,47 cm. Számítsuk ki a palást területét: T p = 6,8 π 1, ,5 cm. Ezek alapján kiszámíthatjuk a henger felszínét és térfogatát: A = 4 54, ,5 = 1 56,44 cm V = 4 54,47 1,7 9 cm 7

28 Forgassuk meg most a hosszabb oldalt felező szimmetriatengelye körül, s egy hengert kapunk. Az alapkör sugara r = 18,4 cm és a magassága pedig M = 1,7 cm. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 18,4 π 1 06,6 cm. Számítsuk ki a palást területét: T p = 18,4 π 1,7 508,75 cm. Ezek alapján kiszámíthatjuk a henger felszínét és térfogatát: A = 1 06, ,75 = 4 65,99 cm V = 1 06,6 1,7 = 080,554 cm Forgassuk meg végül a rövidebb oldalt felező szimmetriatengelye körül, s egy hengert kapunk. Az alapkör sugara r = 10,85 cm és a magassága pedig M = 6,8 cm. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 10,85 π 69,84 cm. Számítsuk ki a palást területét: T p = 10,85 π 6,8 508,75 cm. Ezek alapján kiszámíthatjuk a henger felszínét és térfogatát: A = 69, ,75 = 48,4 cm V = 69,84 6,8 = 1 610,11 cm 8

29 9. Forgassunk meg a szimmetriatengelye körül egy egyenlő szárú háromszöget, amelynek alapja 88 cm, szárai 15 cm hosszúak. Mekkora lesz a keletkezett forgástest felszíne és térfogata? Tekintsük a következő ábrát: A forgástest egy kúp, melynek alkotója 15 cm és az alapkörének sugara 44 cm. A derékszögű ATC - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: 44 + AT = 15 AT = 117 cm Számítsuk ki a kúp alapkörének területét: T a = 44 π 6 08,1 cm. Számítsuk ki a kúp palástjának területét: T p = 44 π ,76 cm. Ezek alapján kiszámíthatjuk a kúp felszínét és térfogatát: A = 6 08, ,76 = 60,88 cm V = 6 08, ,68 cm 9

30 0. Egy 16 cm oldalú szabályos háromszöget megforgatunk az egyik csúcsán átmenő és a szemközti oldallal párhuzamos egyenes körül. Mekkora a keletkezett forgástest felszíne és térfogata? Tekintsük a következő ábrát: A forgástestet megkapjuk, ha a hengerből kivesszük a két kúpot. A kúp és a henger sugara megegyezik a szabályos háromszög magasságával. A derékszögű ATC - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a háromszög magasságát: 8 + AT = 16 AT 1,86 cm Számítsuk ki egy kúp alapkörének területét: T a = 1,86 π 60,5 cm. Számítsuk ki egy kúp palástjának területét: T pk = 1,86 π ,68 cm. Számítsuk ki a henger palástjának területét: T ph = 1,86 π ,6 cm. Számítsuk ki a henger térfogatát: V h = 60,5 16 = cm. Számítsuk ki egy kúp térfogatát: V k = 60, , cm. Ezek alapján kiszámíthatjuk a forgástest felszínét és térfogatát: A f = T pk + T ph = 696, ,6 = 786,7 cm V f = , = 647,4 cm 0

31 1. Egy háromszög két oldala 6 cm és 74 cm, a közbezárt szögük 46, 7. Forgassuk a háromszöget a 6 cm es oldala körül. Mekkora az így keletkezett forgástest felszíne és térfogata? Tekintsük a következő ábrát: A forgástestet megkapjuk két kúp összeillesztésével. A háromszög magassága a kúp alapkörének sugara. A derékszögű ATC - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a következőket: sin 46,7 = AT 74 cos 46,7 = TC 74 AT 5,86 cm TC 50,75 cm Számítsuk ki a kisebb kúp magasságát: BT = 6 50,75 = 11,5 cm. A derékszögű BTA - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a kisebb kúp alkotóját: 11,5 + 5,86 = AB AB 5,67 cm Ezek alapján kiszámíthatjuk a forgástest felszínét és térfogatát: A = T p1 + T p = 5,86 π 5,67 + 5,86 π ,5 cm V = V 1 + V = 5,86 π 11,5 + 5,86 π 50, ,5 cm 1

32 . Egy háromszög oldalai 4 cm, 4 cm, 61 cm. Forgassuk a háromszöget a leghosszabb oldala körül. Mekkora az így keletkezett forgástest felszíne és térfogata? Tekintsük a következő ábrát: A forgástestet megkapjuk két kúp összeillesztésével. Számítsuk ki az ABC kerületét: K = = 17 cm. Számítsuk ki a háromszög területét: T = 68,5 (68,5 4) (68,5 4) (68,5 61) 685,4 cm. A terület segítségével számítsuk ki a háromszög magasságát: 685,4 = 61 AT AT,47 cm A derékszögű BTA - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a kisebb kúp magasságát: BT +,47 = 4 BT 5,5 cm Számítsuk ki a nagyobb kúp magasságát: CT = 61 5,5 = 5,48 cm. Ezek alapján kiszámíthatjuk a forgástest felszínét és térfogatát: A = T p1 + T p =,47 π 4 +,47 π ,96 cm V = V 1 + V =,47 π 5,5 +,47 π 5,48 5,59 cm

33 . Egy rombusz oldalai 5 cm esek, egyik átlója 40 cm. Forgassuk a rombuszt az egyik oldala körül. Mekkora lesz az így keletkezett forgástest felszíne és térfogata? Tekintsük a következő ábrát: A forgástestet megkapjuk, ha a henger aljából kivágunk egy kúpot, s azt a tetejére illesztjük. A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást. A derékszögű DGC - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a DG szakasz hosszát: DG + 0 = 5 DG = 15 cm Számítsuk ki a rövidebb átló hosszát: BD = 15 = 0 cm. Számítsuk ki a rombusz területét: T r = 0 40 = 600 cm. A terület segítségével számítsuk ki a magasságát: 600 = 5 m m = 4 cm A derékszögű BTC - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: BT + 4 = 5 BT = 7 cm Ezek alapján kiszámíthatjuk a forgástest felszínét és térfogatát: A f = T hp + T kp = 4 π π ,8 cm V f = 4 π ,9 cm

34 4. Egy egyenlő szárú trapéz párhuzamos oldalai 0 cm és 40 cm, a szárak 6 cm hosszúak. Forgassuk meg a 40 cm es oldal körül. Mekkora a keletkezett forgastest felszíne és térfogata? Tekintsük a következő ábrát: A forgástestet megkapjuk egy henger és két kúp összeillesztéséből. A trapéz alapjainak segítségével számítsuk ki a kúpok magasságát: TB = 40 0 = 10 cm. A derékszögű CTB - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a körök sugarait: CT + 10 = 6 CT = 4 cm Számítsuk ki a egy kúp alapkörének területét: T a = 4 π 1 809,56 cm. Számítsuk ki egy kúp palástjának területét: T pk = 4 π ,5 cm. Számítsuk ki a henger palástjának területét: T ph = 4 π 0 015,9 cm. Számítsuk ki egy kúp térfogatát: V k = 1 809, ,87 cm. Számítsuk ki a henger térfogatát: V h = 4 π ,14 cm. Ezek alapján kiszámíthatjuk a forgástest felszínét és térfogatát: A f = T ph + T pk = 015, ,5 = 696,6 cm V f = 6 191, ,87 = 48 54,88 cm 4

35 5. Egy derékszögű trapéz párhuzamos oldalai 0 cm és 45 cm, a két derékszög melletti oldal 6 cm. Forgassuk meg a trapézt a 45 cm es oldal körül. Mekkora a keletkezett forgástest felszíne és térfogata? Tekintsük a következő ábrát: A forgástestet megkapjuk egy henger és egy kúp összeillesztésével. A kúp alapkörének sugara: CT = 6 cm. A trapéz alapjainak segítségével számítsuk ki a kúp magasságát: TB = 45 0 = 15 cm. A derékszögű CTB - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a kúp alkotóját: = BC BC = 9 cm Számítsuk ki a kúp alapkörének területét: T a = 6 π 4 071,5 cm. Számítsuk ki a kúp palástjának területét: T pk = 6 π ,8 cm. Számítsuk ki a henger palástjának területét: T ph = 6 π ,84 cm. Számítsuk ki a kúp térfogatát: V k = 4 071,5 15 = 0 57,5 cm. Számítsuk ki a henger térfogatát: V h = 4 071,5 0 = cm. Ezek alapján kiszámíthatjuk a forgástest felszínét és térfogatát: A f = T a + T ph + T pk = 4 071, , ,8 = 15 68,14 cm V f = ,5 = 14 50,5 cm 5

36 6. Húrtrapéz forog a szimmetriatengelye körül. A trapéz párhuzamos oldalai cm, illetve 8 cm, a nem párhuzamos oldalak 1 cm hosszúak. Mekkora a forgás közben keletkezett csonkakúp térfogata? Tekintsük a tengelymetszetet: A csonkakúp tengelymetszete egy húrtrapéz, melynek szárai a test alkotói, alapjai a test alapkörének, illetve fedőkörének átmérői. A fedőlap sugara: r = 4 cm. Az alaplap sugara: R = 11 cm. Az alkotók: a = 1 cm. Számítsuk ki az FB szakasz hosszát: FB = 11 4 = 7 cm. A derékszögű CFB - ben Pitagorsz tétellel számítsuk ki a csonkakúp magasságát: 7 + CF = 1 CF 10,95 cm Számítsuk ki az alapkör területét: T a = 11 π 80,1 cm. Számítsuk ki a fedőkör területét: T f = 4 π 50,7 cm. Ezek alapján a csonkakúp térfogata: V = (80,1 + 80,1 50,7 + 50,7) 10,95 075,5 cm. 6