HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 2,4 cm

Átírás

1 HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egserő, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határod meg a, és sakasok hossát! cm cm 2, cm 2. Határod meg a,,, u és v sakasok hossát! 2 v 2

2 . Határod meg a,,, u és v sakasok hossát! v Mekkora a ábrán jelölt, és sakas hossa? 1. Mekkora a ábrán jelölt,, és u sakas hossa? α α 6 6 α α u

3 . Két hasonlóság háromsögben: a = cm, a = 7 cm, b b = 2,2 cm illetve c + c = 1,2 cm. Mekkorák a háromsögek oldalai? Mekkora a területük arána?. Két hasonlóság háromsögben: a = 10 cm, a = 8 cm, b + b = 1, cm illetve c c = 1, cm. Mekkorák a háromsögek oldalai? Mekkora a területük arána? 6. Két hasonló háromsög területének arána 16 : 2. Mekkora a nagobb háromsög kerülete, ha a kicsié 120 cm? Mekkora a nagobb háromsög legnagobb oldala, ha tudjuk, hog 6 cm-rel nagobb a kis háromsög legnagobb oldalánál? 7. A ABC és a A'B'C' háromsög területének arána 9 : 16. Mekkora a kerületeik arána? Mekkora B'C', ha BC = 7, cm? 8. Eg trapé alapjai 8 cm ill. 12 cm. Sárait felostjuk három egenlı résre, és a ostópontokon kerestül párhuamosokat húunk a alapokkal. Milen hossúak eek a sakasok? 9. Eg ABCD téglalapban AB = 12 cm, BC = 7 cm. A BC oldalt a P pont AP : PB = 2 : aránban ostja. A CP egenes a AB oldalt Q pontban metsi. Mekkora a BQ, a CP ill. a PQ távolság? 10. Eg deréksögő háromsög befogói ill. 10. Eg hoá hasonló háromsög területe. Mekkorák a oldalai? 11. Eg háromsög oldalainak hossa: cm, 8 cm ill. 12 cm. Eg hoá hasonló háromsögben a legnagobb és a legkisebb oldal különbsége 10, cm. Mekkorák ennek a háromsögnek a oldalai? 12. Eg háromsög oldalainak hossa: 2 cm, cm ill. 8 cm. Eg hoá hasonló háromsög kerülete 2 cm. Mekkorák ennek a háromsögnek a oldalai? Sögfeleık ostásarána 1. Eg deréksögő háromsög egik befogója 2 cm, a átfogóho tartoó magasság 6,72 cm. a) Mekkorák a háromsög oldalai? b) Mekkora darabokra ostja a megfelelı sögfeleı a rövidebb befogót? c) Mekkora a beírható kör sugara? 1. A ABC deréksögő háromsög egenlı sárú (a deréksög a C csúcsnál van). Mekkora darabokra ostják a alapon fekvı sögek feleıi a semköti oldalt, ha a befogók hossa 8 cm? 1. A ABC deréksögő háromsög egik söge α = 60. Mekkora darabokra ostják α sög feleıje a semköti oldalt, ha a kisebb befogó hossa 1 cm? 16. A ABC deréksögő háromsög egik söge α = 60. Mekkora darabokra ostják α sög feleıje a semköti oldalt, ha a átfogó hossa 20 cm?

4 17. Eg háromsög oldalai: a = 7 cm, b = 8 cm, c = 7 cm. Mekkora résekre ostja a b oldalt a semköti sög feleıje? Mekkora a háromsög területe? 18. Eg háromsög oldalai 8, 10 illetve 12. Mekkora a területe és a leghossabb oldalho tartoó magasság? Mekkora darabokra ostja a megfelelı sögfeleı a 10 cm-es oldalt? Mekkora a beírható kör sugara? 19. Eg téglalap oldalai 10 cm és 2 cm. Mekkora darabokra ostja a sögfeleıje a átlóját? Magasság- és befogó-tétel 20. Eg deréksögő háromsög egik befogója cm, a magassága cm. Mekkora a másik két oldala, a területe és a köréírható kör sugara? 21. Eg deréksögő háromsög két befogója: a = cm, b = 12 cm. Mekkora seletekre ostja a átfogót a hoá tartoó magasság? Mekkora a átfogóho tartoó magasság? 22. Eg deréksögő háromsög egik befogója: a = 12 cm, átfogója: c = 20 cm. Mekkora seletekre ostja a átfogót a hoá tartoó magasság? Mekkora a átfogóho tartoó magasság? 2. Eg deréksögő háromsög befogói: a = 12 cm, b = 1 cm. Mekkora seletekre ostja a átfogót a hoá tartoó magasság? Mekkora a átfogóho tartoó magasság? 2. Eg deréksögő háromsög egik befogója: a = 10 cm, átfogója: c = 26 cm. a) Mekkora résekre ostja a sögfeleı a 10 cm-es oldalt? b) Mekkora résekre ostja a átfogóho tartoó magasság a átfogót? c) Mekkora a átfogóho tartoó magasság? 2. Eg deréksögő háromsög egik befogója -ed rése a másik befogónak: a = b. Átfogója 20 cm. a) Mekkorák a befogók? b) Mekkora résekre ostja a átfogóho tartoó magasság a átfogót? c) Mekkora a átfogóho tartoó magasság? d) Mekkora résekre ostja a sögfeleı a 10 cm-es oldalt? 26. Eg deréksögő háromsög területe 0 cm 2, egik befogója 12 cm. Mekkorák a oldalai? Mekkora résekre ostja a sögfeleı a b befogót? 27. Eg deréksögő háromsög egik befogója 16 cm, átfogója 20 cm. a) Mekkorák a oldalai? b) Mekkora résekre ostja a átfogóho tartoó magasság a átfogót? c) Mekkora a átfogóho tartoó magasság? d) Mekkora a háromsög területe? e) Mekkora résekre ostja a sögfeleı a b oldalt?

5 28. Eg deréksögő háromsög átfogója 100, a rövidebb befogó átfogóra esı merıleges vetülete 7,8. Mekkora a háromsög a) két befogója b) átfogóho tartoó sögfeleıje által a átfogóból lemetsett sakasok hossa c) beírható körének sugara? 29. Eg deréksögő háromsög egik befogója 2 cm, a átfogóho tartoó magasság 6,72 cm. a) Mekkorák a háromsög oldalai? b) Mekkora darabokra ostja a megfelelı sögfeleı a rövidebb befogót? c) Mekkora a beírható kör sugara? 0. Eg deréksögő háromsög egik befogója 1 cm, a átfogóho tartoó magasság cm. Mekkora a háromsög másik két oldala? Mekkora a beírható körének sugara? 1. Eg deréksögő háromsög rövidebbik befogója 26 cm, átfogóra esı vetülete pedig 10 cm. Mekkora: a) a átfogóho tartoó magassága b) a átfogó, c) a másik befogó, d) a köréírható kör sugara, e) a beírható kör sugara, f) a súlpont és a hossabb befogó távolsága? 2. Mekkora darabokra ostja a hossabb befogót metsı sögfeleı a átfogóho tartoó magasságot?. Eg deréksögő háromsög átfogóho tartoó magassága 6 cm, a rövidebb befogó átfogóra esı merıleges vetülete pedig, cm. Sámold ki a követkeıket: a) a két befogót b) a átfogót c) a köréírt kör sugarát d) a beírt kör sugarát e) a hossabb befogóho tartoó súlvonal hossát.. Eg deréksögő háromsög átfogója 8, cm, a rövidebb befogó átfogóra esı merıleges vetülete pedig 12, cm. Sámold ki a követkeıket: a) a két befogót b) a magasságot c) a köréírt kör sugarát d) a beírt kör sugarát e) a deréksögő csúcsból kiinduló súlvonal hossát. Serkestés. Eg háromsögben: b = cm, β = 0, m b = cm. Serkesd meg a háromsöget!

6 6. Adott eg a és eg egség hossúságú sakas. Serkesd meg a a 1 hossúságú sakast! 7. Serkess háromsöget, amelnek oldalai: a = cm, b = cm, c = 6 cm. Hajts végre rajta eg köéppontos hasonlósági transformációt aránnal eg tetsıleges külsı pontból! 8. Eg háromsögben: a = cm, α =, s a = cm. Serkesd meg a háromsöget! (Minden megoldást serkess meg!) 9. Serkess háromsöget, amelnek oldalai: a =, cm, b = cm, c = cm. Hajts végre rajta eg köéppontos hasonlósági transformációt aránnal! 0. Eg háromsögben: a =, cm, α = 60. Adott a A csúcsra illeskedı e egenes. Serkesd meg a háromsöget! 1. Eg húrnégsögben: α = 7, BD =, cm, a A csúcs távolsága a BD átlótól 2, cm, δ = 90. Serkesd meg a négsöget! 2. Eg háromsögben a =, cm, s a = cm, α =. Serkesd meg a háromsöget!. Eg háromsögben: a = 6 cm, α = 90, m a = 2, cm. Serkesd meg a háromsöget, majd serkess bele téglalapot, amel oldalainak arána 1 : 2, hossabb oldala a háromsög a oldalán feksik, másik két csúcsa pedig a háromsög másik két oldalán!. Eg háromsög a oldala a köréírt kör köéppontjából 60 -os sög alatt látsik. a = cm, m a =, cm. Serkesd meg a háromsöget!. Eg húrtrapé átlói merılegesek a sáraira. Hossabb alapja 6 cm, a een fekvı sögek 60 - osak. Serkesd meg a trapét, majd hajts végre rajta köéppontos hasonlósági transformációt, amelnek köéppontja a köréírható kör köéppontja, a hasonlóság arána pedig! 6. Eg kör sugara cm. Serkess a körbe téglalapot, amel oldalainak arána : 2! A serkestés után sámold ki a téglalap oldalait! 7. Serkess adott háromsögbe téglalapot, amel oldalainak arána 2 :! 8. Adott eg sög sárai köt a P pont. Serkessünk kört, amel a sögsárakat érinti és átmeg a P ponton! 9. Rajolj eg tetsıleges háromsöget és serkesd meg a köépvonalait. Bionítsd be, hog a általuk meghatároott háromsög hasonló a eredetihe! Keresd meg a hasonlóság köéppontját!

7 0. Eg téglalap oldalai 10 cm és cm. Vége el a hossabb oldal negedelıpontjából eg aránú köéppontos hasonlóságot! 1. Adott négetet, téglalapot nagítsunk úg fel, hog a átló és a oldal össege adott sakassal legen egenlı! 2. Adott négetet, téglalapot nagítsunk úg fel, hog a átló és a oldal különbsége adott sakassal legen egenlı! Elmélet. Döntsd el a alábbi állításokról, hog igaak vag hamisak! a) Két háromsög hasonló, ha megegenek két oldal aránában és eg sögükben. b) Két deréksögő háromsög hasonló, ha megegenek magasságvonalaik aránában. c) Két trapé hasonló, ha megegenek sögeikben. d) Két paralelogramma hasonló, ha megegenek sögeikben. e) Két rombus hasonló, ha megegenek sögeikben.. Döntsd el, hog a alábbi állítások köül melik iga, és melik hamis! a ' ma ' a) Két háromsög hasonló, ha =. a ma b) Ha S a ABC háromsög súlpontja, és F AB a AB feleıpontja, akkor SF = 2SC c) Ha eg ABC háromsögben F AB a AB és F BC a BC oldal feleıpontja, akkor a F AB F BC B háromsög területe negedrése a ABC háromsög területének d) Ha eg deréksögő háromsögbefogója 6 egség, átfogója pedig 10, akkor a befogó átfogóra esı merıleges vetülete,6 egség e) Ha a ABC háromsögben a=8, b=12 és c=1, a hoá hasonló háromsögben pedig c b' =, akkor a hasonlóság arána 2.. Írd le a háromsögek hasonlóságának alapeseteit! 6. Definiáld a köéppontos hasonlósági transformációt és írd le a tulajdonságait! 7. Bionítsd be a háromsög súlvonalaira vonatkoó tételt! 8. Bionítsd be a háromsög köépvonalaira vonatkoó tételt! 9. Bionítsd be a sögfeleık ostásaránára vonatkoó tételt! 60. Bionítsd be a magasságtételt! 61. Bionítsd be a befogótételt! 62. Írd le és bionítsd be a sámtani és mértani köépre vonatkoó egenlıtlenséget geometriai úton!

8 6. Írd le és bionítsd be a kerületi sögek tételének megfordítását! 6. Írd le és bionítsd be a húrnégsögek tételét és megfordítását! Kerületi és köépponti sögek, húrnégsögek 6. Eg négsög oldalai a köréírt kör eg P pontjából a ábrán látható sögek alatt látsanak. a) Mekkora söget árnak be a négsög átlói a oldalakkal? b) Mekkora söget árnak be egmással a átlók? A 2 P 0 B D C 66. Eg húrnégsögben BAC =0, CBD =0, ADB =0. Mekkorák a húrnégsög sögei? Mekkora söget árnak be egmással a átlók? 67. Eg húrnégsögrıl a követkeıket tudjuk: AD = CD, ABD = 0, ACB = 60. Mekkora söget árnak be oldalai a átlókkal? Mekkorák a húrnégsög sögei? Mekkora a átlók által beárt sög? 68. Eg háromsög két oldala a köré írt körbıl 126 -os, illetve 68 -os köríveket mets le. Mekkorák a háromsög sögei? 69. Eg háromsög sögei: α =,. β = 76. Mekkorák a sögei a beírható kör érintési pontjai által meghatároott háromsögnek? 70. Eg háromsög sögei: α = 62,. β = 78. Rajoljuk meg a háromsög csúcsaiban a köréírt kör érintıit! Mekkorák a érintık alkotta háromsög sögei? 71. Eg húrnégsögben DAC =0, ABD =0, ACB =0. Mekkorák a húrnégsög sögei? Mekkora söget árnak be egmással a átlók?

9 72. Eg négsög oldalai a köréírt kör eg P pontjából a ábrán látható sögek alatt látsanak. Mekkora söget árnak be a négsög átlói a oldalakkal? Mekkorák a négsög sögei? Mekkora söget árnak be egmással a átlók? A P 2 0 B D C 7. Eg húrnégsögrıl a követkeıket tudjuk: AD = CD, ABD = 0, ACB = 60. Mekkora söget árnak be oldalai a átlókkal? Mekkorák a húrnégsög sögei? Mekkora a átlók által beárt sög? 7. Eg húrnégsög D csúcsában érintıt húunk a köréírható körhö. E a érintı a négsög AD oldalával 60 -os, CD oldalával pedig -os söget ár be. Tudjuk még, hog BAC = 0. Mekkora söget árnak be oldalai a átlókkal? Mekkorák a húrnégsög sögei? Mekkora a átlók által beárt sög? 7. Eg húrnégsögben AC = cm, ADC =, CD =, cm, a B csúcs távolsága a AC átlótól pedig 2, cm. (AD > CD, AB > BC) Serkesd meg a négsöget! 76. Eg háromsög köréírt köréhe a csúcsaiban érintıket húunk. A íg kapott - érintık alkotta - háromsög sögei: 0, 70 ill. 80. Mekkorák a eredeti háromsög sögei?