MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Átírás

1 MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV

2 A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a sulinova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: címen. Matematika szakmai vezető: Oláh Vera Szakmai tanácsadó: Csatár Katalin, Somfai Zsuzsa Alkotószerkesztő: Ratkó Istvánné, Oláh Judit, Vidra Gábor Grafika: Csákvári Ágnes, dr. Fried Katalin, Lénárt István, Vidra Gábor Lektor: Pálmay Lóránt Felelős szerkesztő: Teszár Edit H-AMAT100 Szerzők: Csákvári Ágnes, Gidófalvi Zsuzsa, Lénárt István, Lövey Éva, Vidra Gábor Educatio Kht Tömeg: 770 gramm Terjedelem: 33,73 (A/5 ív) A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgypedagógiai szakértő: Kónya István Tudományos-szakmai szakértő: dr.marosváry Erika Technológiai szakértő: Zarubay Attila

3 tartalom 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai (Vidra Gábor és Lénárt István) modul: Hegyesszögek szögfüggvényei (Vidra Gábor és Lénárt István) modul: Gráfok (Lövey Éva) modul: Kombinatorika és valószínűségszámítás (Lövey Éva, Gidófalvi Zsuzsa) modul: Forgásszög szögfüggvényei (Csákvári Ágnes) modul: Statisztika (Lövey Éva, Gidófalvi Zsuzsa) modul: Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek (Vidra Gábor) Mellékletek A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek a tananyag megértésében. A FELADATOK szintjét a sorszám előtti házikó mutatja: alapszintű feladatok: középszintű feladatok: emelt szintű feladatok: Ahol nincs ilyen jelzés, azt a példát mindenkinek ajánljuk.

4

5 8. MODUL hasonlóság és alkalmazásai Készítette: Vidra Gábor és Lénárt István

6 6 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egybevágóságok (ismétlés) A geometriai transzformáció: a sík vagy a tér pontjaihoz valamilyen utasítással hozzárendeljük a sík vagy a tér pontjait. Ezért geometriai transzformációknak nevezzük a pont a pont függvényeket, amelyeket síkon is és térben is értelmezhetünk. A függvény az értelmezési tartomány minden pontjához pontosan egy elemet rendel, ezért a geometriai transzformációról két dolgot biztosan tudunk: a sík, illetve a tér minden pontjának van képe, és egy pontnak pontosan egy képe van. Az előző évben négy geometriai transzformációt vizsgáltunk: tengelyes tükrözést, középpontos tükrözést, pont körüli forgatást, eltolást. Vannak más geometriai transzformációk is, például térkép készítésekor (többé-kevésbé) gömbfelületet síkká alakítunk, vagy fényképeken a térbeli alakzatok síkra való vetítését és kicsinyítését nagyítását találjuk, vagy amikor árnyék képződik, a térbeli alakzatokhoz síkbelit rendelhetünk. A tavaly tárgyalt geometriai transzformációk néhány tulajdonsága: távolságtartás: bármely két pont távolsága megegyezik képeik távolságával ( AB = A'B' ); párhuzamosságtartás: párhuzamos egyenespár képe is párhuzamos egyenespár; szögtartás: bármely két egyenes hajlásszöge megegyezik képeik hajlásszögével; körüljárási irány tartás vagy fordítás: megőrzi, illetve megfordítja az alakzatok körüljárási irányát; illeszkedéstartás: ha két görbe metszi egymást, akkor a görbék képei is metszik egymást (a metszéspontok képe a képgörbék metszéspontja); egyenestartás: egyenes képe egyenes. Egybevágóságoknak nevezzük a távolságtartó geometriai transzformációkat. Mi továbbra is elsősorban síkbeli transzformációkkal foglalkozunk.

7 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 7 Feladatok 1. Add meg, hogy melyik ábra a geometriai transzformációk mely tulajdonságát (vagy tulajdonságait) szemlélteti! a) b) c) d) e). Jelöld be a táblázatba +/ jelöléssel, hogy melyik transzformációnak milyen tulajdonságai vannak! tengelyes középpontos forgatás eltolás Tulajdonság tükrözés tükrözés távolságtartó szögtartó egyenestartó párhuzamosságtartó illeszkedéstartó körüljárási irányt tartó körüljárási irányt fordító 3. Milyen alakzatokat alkot a derékszögű háromszög és tükörképe együtt, ha a háromszöget tükrözzük az a) átfogójára; b) átfogójának felezőpontjára; c) egyik befogójára; d) egyik befogójának felezőpontjára?

8 8 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Szerkessz derékszögű háromszöget, ha köré írt körének sugara 4 cm, egyik befogója 5 cm! Tükrözd a háromszöget beírt körének középpontjára! Milyen síkidom a két alakzat metszete? 5. Rajzolj egy háromszöget, és szerkeszd meg a magasságpontját! Tükrözd a magasságpontot az oldalak egyeneseire, és szerkeszd meg a képpontok által meghatározott háromszög köré írható kört! Mit tapasztalsz? 6. Tükrözd a szög e és f szárát a P pontra! Jelölje R az f és az e egyenesek, Q az e és f egyenesek metszéspontját. Mi a kapcsolat P és a QR szakasz között? 7. Az alábbi ábrán egy térkép részlete szerepel. A gátőr azt a feladatot kapta, hogy vigyen a vizsgáló állomásra vízmintát a folyóból. Milyen irányba induljon el a gátőr, ha a lehető legrövidebb úton akar eljutni a vizsgáló állomásra a folyó érintésével? Szerkeszd meg az utat! 8. Tomi azt a feladatot kapta édesapjától, hogy ellenőrizze a villanypásztor működését mindkét megjelölt, egyenes szakaszon. A házuk egy meredek hegyoldal tövében áll, azon az oldalon nincsen kerítés. Szerkeszd meg Tomi útját úgy, hogy a legkevesebbet kelljen mennie!

9 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 9 9. Tervezd meg a következő logó négyzetét, ha adott a két szögszár és az S pont! Ezeket te rajzold meg magadnak az ábrának megfelelően. 10. Szerkessz négyzetet az alábbi körszeletbe úgy, hogy egyik csúcsa a megadott P pont legyen, és egy-egy csúcsa legyen a d átmérőn, illetve a köríven (a negyedik csúcsa mindegy, hová esik). Készíts vázlatot a feladat megoldásához! Két síkidomot egybevágónak nevezünk, ha véges sok egybevágósági transzformáció egymást követő alkalmazásával egymásba vihetők. A háromszögek egybevágóságára négy alapesetet tanultunk. Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők ( a = a' ; b = b'; c = c' ); két oldaluk és az általuk közbezárt szög páronként egyenlő ( a = a' ; b = b'; γ = γ '); két oldaluk és a nagyobbikkal szemközti szög páronként egyenlő ( a = a' ; b = b'; β = β '); egy oldaluk és a rajtuk fekvő két szög páronként egyenlő ( a = a' ; γ = γ '; β = β ' ).

10 10 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 11. Adott az ABC háromszög, és az A pont tükörképe: A. Szerkeszd meg a tükörtengelyt és a háromszög képét! 1. Add meg azoknak az egybevágósági transzformációknak a sorozatát, amelyekkel az ABC háromszög átvihető az A B C háromszögbe! 13. Igazak-e a következő állítások: a) Két háromszög egybevágó, ha súlyvonalaik páronként egyenlők. b) Két háromszög egybevágó, ha megfelelő szögeik páronként egyenlők. c) Két egyenlőszárú háromszög egybevágó, ha alapjuk és az egyik szárhoz tartozó magasságuk páronként egyenlők. d) Két négyszög egybevágó, ha megfelelő oldalaik hossza páronként egyenlő. e) Két négyszög egybevágó, ha három megfelelő oldaluk hossza és a három közötti két-két szög is páronként egyenlő.

11 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI Keress a képen egybevágó háromszögeket, négyszögeket! 15. A szabályos háromszög oldalainak negyedelő pontjait az ábra szerint összekötöttük. Igazold, hogy a keletkező háromszög is szabályos! 16. Igaz-e, hogy a háromszögben egy adott csúcshoz tartozó súlyvonal egyenese egyenlő távolságban van a másik két csúcstól? 17. Az ABC derékszögű háromszög átfogójára és egyik befogójára négyzeteket állítunk, majd berajzoljuk az ábrán látható CQ és AP szakaszokat. Igazold, hogy ezek hossza egyenlő!

12 1 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A hasonlósági transzformáció Az egybevágó alakzatok megfelelő méretei megegyeznek, az alakzatok pontosan fedésbe hozhatók. A hasonló alakzatoknak a lényege az, hogy formájukban, alakjukban megegyezzenek. Azért vigyázni kell a dimenziókkal: egy bölény a barlang falán megszólalásig hasonlíthat egy élő bölényre, de mégsem mondhatjuk, hogy a kettő hasonló (például mert egyik két-, a másik háromdimenziós). A matematikában a hasonlóság szigorú fogalom, a nagyításhoz-kicsinyítéshez kötődik. Gyakorlati haszna szinte felsorolhatatlan. A geometriai transzformációknak több fajtáját ismerjük. Az egybevágóságok mellett hasonlóság, vetítések stb. is szerepet kapnak sok gyakorlati alkalmazásban. Például a tengelyes tükrözést így definiáltuk: Adott a síkon egy t egyenes (tengely). Rendeljük t pontjaihoz önmagukat. A sík bármely más P pontjához rendeljük úgy a P pontot, hogy a PP szakasz felezőmerőlegese a t egyenes legyen. Az így meghatározott geometriai transzformációt tengelyes tükrözésnek nevezzük. A geometriai transzformációk használatára példa a térképek készítése. A feladat egy gömbsüveg síkban történő ábrázolása lehetőleg úgy, hogy megmaradjanak a távolságok arányai, a szögek nagysága. Ezt úgy érik el, hogy a földfelszínt kisebb szeletekre bontják (mint a narancs héjának kis darabja), és ezek a szeletek inkább a síkhoz hasonlítanak, mint a gömb felszínéhez. Ezután mintegy kivasalják a terepet, vagyis merőlegesen levetítik a gömbsüveget levágó síkra. A képen ennek a modelljét látjuk a gömbkészlet segítségével.

13 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 13 A középpontos hasonlósági transzformáció Nagyításhoz (kicsinyítéshez) meg kell adni egy pontot a síkon, és egy pozitív számot, amit a hasonlóság arányának hívunk. Az egybevágóságokhoz hasonlóan nem adjuk meg, hogy mit nagyítunk, ellenben azt meg kell mondani minden pont esetén, hogy mi lesz az adott pontnak a képe. A középpontos hasonlóság definíciója a következő: Adott a síkon egy O pont (középpont) és egy k pozitív szám. Rendeljük O-hoz önmagát. A sík bármely más P pontjához rendeljük úgy az OP félegyenes P pontját, hogy OP = k OP legyen. Pont transzformálása Egyenes, háromszög transzformálása A geometriai transzformációk definíciójában pontok képéről beszélünk, ezért minden síkidomot mint ponthalmazt transzformálunk. A síkidomok transzformációja tehát pontjaik transzformálásával történik.

14 14 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Találkozhatunk olyan matematikai szakirodalommal, ahol a hasonlóság arányszáma lehet negatív is. Ilyenkor k arányú középpontos hasonlóság és a hasonlóság középpontjára vonatkozó tükrözés egymásutánját hajtjuk végre. Mintapélda 1 Az ábrán az ABC háromszöget a P pontból nagyítottuk. Megszerkesztettük a táblázatban szereplő nevezetes vonalakat. Megmértük a táblázatban szereplő adatokat, és meghatároztuk oldalaik, magasságaik, súlyvonalaik, kerületük és területük arányát. Eredményeinket táblázatba foglaltuk: a = 3,1 cm b = 3,8 cm s =,7 cm K = 9,3 cm m =,35 cm T = 3,6 cm a a'= 6, cm b' = 7,6 cm s ' = 5,4 cm K' = 18,6 cm m ' = 4,7 cm T ' = 14,4 cm a' a = b' = b s a ' = s a a K' = K m a ' = m a a a T ' = T 4

15 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 15 Általánosságban elmondhatjuk: Ha egy síkidomot k-szorosára nagyítunk vagy kicsinyítünk, akkor minden távolságadata k-szorosára, területe pedig k -szeresére változik. A középpontos hasonlóság tulajdonságait már megismertük a fenti példák kapcsán. Foglaljuk össze azokat! A középpontos hasonlóság tulajdonságai: aránytartó, szögtartó, egyenestartó, párhuzamosságtartó, illeszkedéstartó, körüljárási irányt tartó, nem távolságtartó (kivéve a k =1 esetet). Az egyenes képe vele párhuzamos egyenes. Az aránytartás azt jelenti, hogy bármely AB és CD szakaszra igaz az AB : CD = A B : C D kapcsolat (bármely két szakasz hosszának aránya megegyezik képeik hosszának arányával). Szemléletesen fogalmazva, az aránytartó geometriai transzformáció megőrzi a szakaszok hosszainak arányát. A középpontos hasonlóság fixpontja a középpont, fix egyenese nincs, invariáns egyenesei a középponton áthaladó egyenesek. Hasonlóságnak nevezzük azokat a geometriai transzformációkat, amelyek középpontos hasonlóság és egybevágóság véges sok egymás utáni végrehajtásával keletkeznek. Az olyan síkidomokhoz, amelyek egyforma alakúak, vagyis megfelelő szakaszaik aránya és szögeik egyenlők, mindig található hasonlóság, amely őket egymásba viszi.

16 16 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Két síkidomot hasonlónak nevezünk, ha található olyan hasonlóság, amely azokat egymásba viszi. A hasonlóság jele: ~ (például ABC ~ PQR ). Mintapélda A tortát 6 egybevágó körcikkre osztottuk. Mindegyik körcikkre szeretnénk olyan kört rajzolni, amelyik érinti a körcikk sugarait és határoló ívét egyaránt. Hogyan lehet ezt megszerkeszteni? Megoldás: A feladat általánosan megoldható: adott egy körcikk; szerkessz olyan kört, amely érinti a sugarakat és a körcikk határolóívét is! Első lépés a vázlatkészítés: a kész megoldást elemezve meghatározzuk a szerkesztés elvi hátterét és a szerkesztés menetét. A feladat az O pont megszerkesztése. Segítségül hívjuk a hasonlóságot: a feladat egyik feltételét nem vesszük figyelembe. Szerkesztünk egy olyan kört, amely érinti a sugarakat, de nem feltétlenül érinti a körívet, és meghatározzuk, hogyan nagyítsuk a kellő mértékre. A kis kör középpontját könnyű megszerkeszteni: rajta van a körcikk szimmetriatengelyén, és a sugár merőleges az érin-

17 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 17 tőre (ezért kijelölünk egy tetszőleges P pontot, abból merőlegest szerkesztünk a szögszárra, és a t egyenessel alkotott metszéspont adja a középpontot). Nagyításkor e és f párhuzamosak maradnak, ezért F-ből e-vel párhuzamost húzva kapjuk az E pontot, amiből a szögszárra merőlegest állítva kapjuk az O pontot. OF adja a kör sugarát. Feladatok 18. Válaszolj a következő kérdésekre: mit kell megadni, amikor definiáljuk a következő transzformációkat: tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás, pont körüli forgatás, hasonlósági transzformáció? Meg kell-e adni azt, hogy mit transzformálunk? Miért? 19. Egy ötszöget egy pontból nagyítottunk, és az a oldala,5 cm-ről 4,5 cm-re változott. Mekkorák az új ötszög oldalai, ha az eredeti ötszög másik négy oldala: b = 3, 6 cm, c = 4 cm, d = 5, cm, e = 4, cm. Hányszorosára változott az ötszög kerülete és területe? 0. A festők előre kinyújtott karjukban tartott ceruzával méregetik az arányokat. Mekkorának méri az 1, méteres magasságot a festő, ha a modell tőle 4 méterre van, és a ceruzával a szemétől 50 cm-re mér? 1. Egy fényképész a múzeumban egy 150 cm magas képről szeretne fotót készíteni úgy, hogy az egész kép látható legyen a fotón. A fényképezőgépében 35 mm magas a film, amin a kép keletkezik, és a film az objektívtől 100 mm-re található. Milyen messze tegye a fényképezőgép állványát a képtől? Készíts vázlatot a feladat megoldásához!. A történetírók szerint Thalész árnyékuk segítségével mérte meg a piramisokat úgy, hogy leszúrt egy botot a földbe, és kifigyelte azt a pillanatot, amikor azonos hosszúságú a bot és az árnyéka. Ekkor a piramis árnyéka egyenlő a magasságával.

18 18 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Peti a testmagasságát akarja hasonló módszerrel megmérni. Leszúr egy botot a földbe, aminek 4 cm-es darabja áll ki. Az árnyék hossza 6 cm. A saját árnyéka 109 cm hosszú. Milyen magas Peti? 3. Mekkora átmérőjű körlapot kell a szemünk elé tartani 50 cm-re, hogy a napot eltakarja? A szükséges adatok: a Nap Föld távolság kb. 8 1,5 10 km, a Nap átmérője 6 1, km. 4. Az ábrán egy téglalapot nagyítottunk (pontosabban a téglalap AB oldalának nagyított képe, A B látható). Másold át a füzetedbe az ábrát, keresd meg a nagyítás centrumát (középpontját), és egészítsd ki a rajzot! 5. Adott a síkon az ABCDE ötszög. Másold át a füzetedbe, és nagyítsd az A pontból a háromszorosára! 6. A kék kört egy C centrumból -szeresére nagyítottuk. Másold át a füzetedbe, és keresd meg a nagyítás középpontját! a) b)

19 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI Másold át a füzetedbe az ábrákat, és kicsinyítsd 0,5-szeresére az egyenest és a kört tartalmazó alakzatot a P pontból! a) b) 8. Másold át a füzetedbe az ábrákat, és nagyítsd 1,5-szeresére az egyenest és a kört tartalmazó alakzatot a P pontból! a) b) 9. Rajzolj egy általános ABC háromszöget, és szerkeszd meg az S súlypontját. Nagyítsd abból a háromszöget -szeresére, majd a kapott háromszöget tükrözd a súlypontjára! A keletkező háromszögnek milyen vonalai lesznek az ABC háromszög súlyvonalainak egyenesei, és milyen pontjai az A, B, C pontok? 30. Az ABC háromszöget nagyítsd az A csúcsából -szeresére, és a kapott háromszöget tükrözd az A csúcsra! Jelölje a keletkező csúcsokat B és C, BC és B C metszéspontját D. Az A pont milyen nevezetes pontja lesz a DB C háromszögnek?

20 0 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 31. Rajzolj egy ABC háromszöget. Szerkessz négyzetet, amelynek egyik oldala a háromszög AB oldalán legyen, és egy-egy csúcsa van a BC és AC oldalakon! 3. Szerkessz egy 60 -os középponti szögű körcikket, és szerkessz bele négyzetet, amelynek két csúcsa a határolóíven, egy-egy csúcsa a két sugáron helyezkedik el! 33. Vegyél fel egy szöget és a szögtartományban egy P pontot. Szerkessz olyan kört, amely érinti szögszárakat, és áthalad a P ponton! 34. Egy ablak tetejét félkör alakúra képezték ki. Szeretnének bele négyzet alakú vésést készíteni. Hogyan szerkesszék meg azt a négyzetet, amelynek két csúcsa a körszelet határoló ívén, másik két csúcsa a határoló egyenesén található?

21 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 1 III. Párhuzamos szelők tétele A tapasztalatok alapján felírható két tétel (amelyeket természetesen be is lehet bizonyítani): Párhuzamos szelők tétele: ha egy sík két egyenesét párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik egyenesen keletkezett szakaszok aránya megegyezik a másik egyenesen keletkezett szakaszok arányával. Ez igaz a szög csúcsától a metszéspontokig terjedő szakaszokra is, és a metszéspontok közötti szakaszokra egyaránt. Párhuzamos szelőkkel sokszor találkozunk a hétköznapokban is: Jól szemléltethető a tétel olyan ábrával, ahol a két száron nem egyforma léptékeket használunk:

22 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Párhuzamos szelőszakaszok tétele: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, a szárak által kimetszett szakaszok aránya megegyezik a párhuzamosok által a szögszárakból lemetszett megfelelő szakaszok (szeletek) arányával. y a + b p + q = = x a p A párhuzamos szelők tétele csak megszorítással fordítható meg. Párhuzamos szelők tételének megfordítása: Ha egy szög szárain a szög csúcsából kiindulva azonos arányú szakaszokat mérünk fel, akkor a szakaszok megfelelő végpontjait összekötő egyenesek párhuzamosak egymással. Ha a + b p + q = a p, akkor x y. Mintapélda 3 Keressük meg a megfelelő arányokat, és töltsük ki a táblázat hiányzó részeit! a b p q x y Megoldás: A párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele miatt fennálló egyenlőségek értelmében y a + b =, ahová behelyettesítve az ismert értékeket x a x = = 7, egység. Szintén fennáll az 5 5 p =. Ebből adódik, hogy p = = 16, 7 egység. 10 p =, ahonnan x 10 a + b p + q = egyenlőség, behelyettesítve a p

23 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 3 Mintapélda 4 Osszunk fel egy adott AB szakaszt :5 arányú részekre! Megoldás: A párhuzamos szelők tételét hívjuk segítségül: mérjünk fel egy segédegyenesre A-tól kezdve + 5 egységnyi segédszakaszokat.a Q végpontot összekötjük B-vel, és a második osztóponton át párhuzamost szerkesztünk ezzel a szakasszal. Így az AP : PB = :5 is teljesül. Mintapélda 5 Az ABCD rombusz BC oldalának H harmadoló pontját összekötjük a D csúccsal, és a DH egyenes és AB egyenes metszéspontját P-vel jelöljük. Mekkora a BP szakasz hossza, ha a rombusz oldala 1 cm? Megoldás: HB a BC = AD szakasz harmada, a párhuzamos szelőszakaszok tétele szerint BP is harmada az AP szakasznak. 1 + x = 3x, innen x = 6. A keresett távolság tehát 6 cm. Feladatok 35. A párhuzamos szelők tétele ismét olyan tétel, amely megszorításokkal megfordítható. Fogalmazzuk meg akkor és csak akkor, valamint szükséges és elégséges kifejezések használatával!

24 4 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 36. Keresd meg a megfelelő arányokat, és számítsd ki a táblázat hiányzó részeit! a b p q x y , , 3 4, ,4 6 16, A faház tetejének háromszög alakú homlokzatát 5 cm széles deszkával szeretnénk befedni, egymás alatti csíkozással. Összesen mennyi deszkára van szükség, ha a homlokzat magassága 175 cm, és az alapzat szélessége 3,5 méter? 38. A létrát milyen hosszú lánc fogja össze a létra magasságának alulról mért harmadánál, ha a talajon a két szárának távolsága 81 cm? 39. Rajzolj egy 7 cm hosszúságú szakaszt, és oszd fel a következő arányú részekre: a) :7; b) 3:5; c) 75% : 5%; d) 40% : 60%; e) 45% : 55%! 40. Az ABCD téglalapban AB=1, BC=8 egység, az AC átló harmadoló pontjai P és Q. Mekkora a DPBQ négyszög területe? Szögfelezőtétel A háromszögben a szögfelező a szemközti oldalt két részre bontja. A tapasztalatokból leszűrhetjük, hogy ezek hossza kapcsolatos a szomszédos oldalak hosszával. A háromszögben a belső szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja. Ezt az összefüggést szögfelezőtételnek hívjuk. A szögfelezőtétel bizonyításához felhasználjuk a párhuzamos szelők tételét.

25 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 5 Mintapélda 6 Egy háromszögben a c oldalhoz tartozó szögfelező c 1 és c részekre osztja a c oldalt. c 1 hoszszáról tudjuk, hogy a c hosszának 30%-a, c hossza 1,4 cm. A két másik oldal különbsége 1 cm. Mekkora a háromszög kerülete? Megoldás: A kerület kiszámításához először meghatározzuk az oldalakat. c a c 70%-a, vagyis c = 0,7 c 1,4, ahonnan c = cm, c 1 = 0,6 cm. A másik két oldal a és b = a + 1. = A szögfelezőtétel szerint c a a = 1, így b c a + 1 = 0, 7 0,3. Így 0,7a = 0,3 ( a + 1), ahonnan a = 0,75 cm és b = 1, 75 cm. Ellenőrzésként megvizsgáljuk, hogy van-e ilyen háromszög. Az oldalakra teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, bármelyik két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál. A kerület + 0,75 + 1,75 = 4, 5 cm. Feladatok 41. Számítsd ki a táblázat hiányzó részeit! a b c 1 c c 8 cm 1 dm 135 mm 4 cm 5 cm 6 cm 5 cm 4 cm 3 cm 3 cm 8 cm 15 mm 1 cm 86, 4 mm 18 cm,5 dm 11, 5 cm 3 dm 4. Egy háromszögben a c oldalhoz tartozó szögfelező c 1 és c részekre osztja a c oldalt. c 1 hosszáról tudjuk, hogy a c hosszának 43,75%-a, c pedig 6,75 cm. A két másik oldal különbsége cm. Mekkora a háromszög kerülete? 43. Egy háromszögben a c oldalhoz tartozó szögfelező c 1 és c részekre osztja a c oldalt. c 1 60 hossza, c hossza 0 egység, a másik két oldal összege 8 egység. Mekkora a háromszög kerülete? Speciális-e a 7 háromszög?

26 6 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE IV. Háromszögek hasonlósága A testek és síkidomok hasonlósága adja a hasonlóság gyakorlati hasznát: kicsinyítve vagy nagyítva megalkothatjuk a tárgyak modelljeit, és azon kísérleteket hajthatunk végre (például szélcsatornában hajómodelleken, vagy kilengési teszteket megépítendő toronyházak modelljein). Hasonlóság nélkül nem lenne fényképezés, kivetítés a rendezvényeken és nem értenénk meg azt sem, hogyan keringenek a bolygók a naprendszerben, vagy éppen az elektron az atommag körül. A síkidomok hasonlóságának vizsgálatát a háromszögek hasonlóságának vizsgálatával kezdjük. Tudjuk, hogy hasonló síkidomok megfelelő szakaszainak aránya egyenlő. A háromszögek esetén ez megfordítható állítás: ha a háromszögek megfelelő oldalainak aránya egyenlő, akkor hasonlóak. A háromszögek hasonlóságának alapesetei Két háromszög hasonló, ha a ' b' c' megfelelő oldalainak aránya megegyezik = = ; a b c két-két szögük páronként egyenlő ( pl. α α', β = β ') = ; két-két oldal aránya és az általuk közbezárt szög megegyezik a' b' például = és γ = γ ' ; a b két-két oldal aránya és a hosszabbikkal szemközti szög megegyezik a' b' példáulb > a esetén = és β = β ' ; a b Ezek a megállapítások a hasonlósági transzformáció definíciójával igazolhatók.

27 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 7 Természetesen az arányok át is rendezhetők, így az a ' b' = arány felírható a következő for- a b mákban is: a' b = a b', illetve a a' =. b b' Háromszögek hasonlóságának igazolásához az esetek többségében valamelyik alapeset teljesülését látjuk be. Mintapélda 7 Igazoljuk, hogy ha egy háromszöget elvágunk az egyik oldalával párhuzamos egyenessel, a keletkező kisebb háromszög az eredetihez hasonló! Megoldás: β = β ', mert egyállású szögek, α szögük közös, ezért a két háromszög szögei megegyeznek. Teljesül a háromszögek hasonlóságának egyik alapesete, ezért a két háromszög hasonló. Mintapélda 8 Az ábrán a kör O középpontjából kiinduló g egyenes párhuzamos az AB húrral, e a kör B pontbeli érintője, M a húr felezőpontja. Igazoljuk, hogy OBM háromszög hasonló a TOB háromszöghöz! Megoldás: A húr felezőmerőlegese OM, ezért M-nél derékszög van. A sugár merőleges az érintőre az érintési pontban, így az OBT szög is derékszög. α = β, mert váltószögek. A két háromszögnek van két egyenlő szögpárja, teljesül a háromszögek hasonlóságának egyik alapesete. A két háromszög tehát hasonló.

28 8 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 44. Az ABC háromszög oldalfelező pontjai P, Q és R. Milyen hasonló háromszögeket találunk az ábrán? A hasonlóságnak melyik alapesete teljesül? 45. P és R harmadoló pontok. Igazold, hogy ABC ~ PBR! 46. Keress hasonló háromszögeket az ábrán! P az ABC szabályos háromszög köré írható kör egy tetszőleges pontja ( P A P B, P C),. 47. Az ABC háromszög köréírt körének C csúcsbeli érintője az e egyenes. A BC oldallal párhuzamos, A csúcsból kiinduló félegyenes e-t a P pontban metszi. Igazold, hogy ABC ~ PCA! 48. Igazold, hogy a hegyesszögű háromszögben a magasságvonalak talppontjai által meghatározott (ún. talpponti) háromszögnek az oldalai az eredeti háromszögből ahhoz hasonló háromszögeket vágnak le!

29 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 9 Mintapélda 9 Egy trapéz két alapja 16 és 10 cm. Milyen arányban osztják egymást az átlók? Megoldás: Az átlók metszéspontjánál két olyan háromszög keletkezik, amelyeknek egyik oldala a trapéz alapja. Ezek a háromszögek hasonlóak, mert szögeik egyenlők (P-nél csúcsszögek, α = α' váltószögek): APB ~ CPD. A hasonlóság miatt a megfelelő oldalak aránya egyenlő: = y x. x és y éppen egy átló két darabja, és az arány mindkét átlóra fennáll. Egyszerűsítve a törtet, a keresett arány tehát 8 : 5. Az eredményt jegyezzük meg: a trapézban az átlók az alapok arányában osztják egymást. Sokszor okozhat problémákat az arány felírásakor, hogy melyek a háromszögekben az egymásnak megfelelő oldalak. Jegyezzük meg, hogy az egymásnak megfelelő oldalak mindig az egyenlő szögekkel szemben vannak. Mintapélda 10 A trapéz kiegészítő háromszöge a szárak egyenese és a rövidebb alap által határolt háromszög. Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai, ha az alapok hossza 1 cm és 4 cm, a száraké 8 cm és 3 cm? Megoldás: A szögek egyenlősége miatt ABE ~ DCE. A megfelelő oldalak aránya x 3 + y = =. 4 x y Az x-et tartalmazó arányok egyenlőségéből x 3 = 8 +, x 3 x = 8 + x, ahonnan x = 4, hasonlóan y =1, 5. A kiegészítő háromszög oldalai tehát 1,5 cm, 4 cm és 4 cm.

30 30 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 49. Rajzolj egy szimmetrikus trapézt, amelynek alapjai 5 cm és 7 cm, magassága 3 cm! a) Húzd be az átlókat, és számítsd ki azok hosszát! b) Keress hasonló háromszögeket, és indokold a hasonlóságot! c) Számítsd ki, hogy mekkora darabokra osztják az átlók egymást! d) Húzz az alapokkal párhuzamos szakaszt az átlók metszéspontján keresztül az ábrának megfelelően! Mekkora ennek a szakasznak a hossza? Megegyezik-e ez a szakasz a trapéz középvonalával? A szakaszt mekkora darabokra osztja az átlók metszéspontja? 50. Egy trapéz két alapja 1 cm és 5 cm. Milyen hosszúságú szakaszokra osztják egymást az átlók, ha azok hossza 8 cm és 11 cm? 51. Egy szimmetrikus trapéz alapjai a és b. Mekkora darabokra osztja az átlók metszéspontja a d átlókat, ha a) a = 10 cm, b = 6 cm, d = 1 cm; b) a = 1 cm, b = 6 cm, d = 10 cm. 5. Egy trapéz két alapjának hossza a és c. Húzzunk az átlók metszéspontján keresztül párhuzamost az alapokkal, és számítsuk ki, mekkora darabokra osztja ezt a szakaszt az átlók metszéspontja, ha a) a = 1 cm, c = 6 cm; ; b) a = 10 cm, c = 7 cm; c) a = 10 mm, c = 85 mm? 53. Mekkorák a trapéz kiegészítő háromszögének oldalai, ha a trapéz oldalai a hosszabbik alappal kezdve rendre a) 10 cm, 6 cm, 3 cm, 4 cm; b) 11 cm, 5,4 cm, 6 cm, 3,5 cm; c) a, b, c, d? 54. Egy trapéz alapjai 15 cm és 0 cm, szárai 8 cm és 10 cm. a) Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai? b) Mekkora annak az átlók metszéspontján átmenő, alapokkal párhuzamos szakasznak a hossza, melynek végpontjai a szárakon helyezkednek el?

31 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI Egy piramis magasságát úgy határozzuk meg, hogy segítségül hívjuk társunkat: a piramis és közöttünk oda állítjuk, ahol a sisakja legfelső pontja éppen egyvonalban látszik a piramis tetejével. A piramis tőlünk,4 km távolságban van, a társunk 5,5 méterre. A szemünk 16 cm magasan, társunk sisakjának legfelső pontja 19 cm magasan van a talaj fölött. Milyen magas a piramis? A háromszög súlyvonalai Rajzoljuk be az a, b és c oldalú háromszög s a és s b súlyvonalait az ábrának megfelelően. P és R oldalfelező pontok, ezért PR középvonal. A középvonalról két dolgot tudunk: párhuzamos az általa nem metszett oldallal, és ebből az következik, hogy ABRP trapéz; fele a vele párhuzamos oldalnak, vagyis c PR =. A trapézban az átlók az alapok arányában osztják egymást, ami most éppen 1 : arány. S tehát harmadoló pontja mindkét súlyvonalnak. Hasonlóan belátható, hogy a c oldalhoz tartozó súlyvonal is éppen az S b P-hez közelebbi harmadoló pontján, vagyis S-en megy keresztül. Két állítást is igazoltunk: A háromszögben a súlyvonalak egy pontban metszik egymást (súlypont). A súlypont harmadolja a súlyvonalakat (a csúcs felé eső rész a hosszabb). Ezzel kiegészültek a háromszögek nevezetes vonalaira vonatkozó ismereteink. Ismételjük át a nevezetes vonalakat!

32 3 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Magasságvonalak: a háromszög csúcsaiból a szemközti oldalakra bocsátott merőleges egyenesek; egy pontban, a magasságpontban metszik egymást. Oldalfelező merőleges egyenesek: az oldalfelező pontokon átmenő, az adott oldalra merőleges egyenesek; egy pontban, a háromszög köré írt kör középpontjában metszik egymást. Szögfelezők: a szögeket felező egyenesek; egy pontban, a háromszög beleírható körének középpontjában metszik egymást; a belső szögfelezők a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztják (szögfelezőtétel). Súlyvonalak: a csúcsokat a szemközti oldal felezőpontjával összekötő egyenesek. Egy pontban, a súlypontban metszik egymást, ami harmadolja a súlyvonalakat (a csúcsoktól távolabbi harmadoló pontban). Érdekesség: MOS a magasságpont, a köré írható kör középpontja és a súlypont egy egyenesre, az ún. Euler-egyenesre esnek. Mintapélda 11 Egy konvex ABCD négyszögben az AB és AD oldalak A-hoz közelebbi harmadolópontjából és BC és CD oldalak felezőpontjából alkottunk négyszöget. a) Lássuk be, hogy ez a négyszög trapéz! b) Mekkora a párhuzamos oldalak aránya? c) Milyen arányban osztja egymást a PR és az SQ szakasz? Megoldás: a) Rajzoljuk meg a BD átlót! Ekkor az ASP és ADB háromszögekre teljesül, hogy - megfelelő oldal aránya megegyezik, és a köztük levő szög egyenlő. ASP ~ ADB, amiből AP DB. Hasonlóan igazolható, hogy RQ DB, és a kettőből kapjuk: SP RQ, vagyis SPRQ trapéz (van egy párhuzamos oldalpárja).

33 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 33 b) Az arány meghatározásához abból indulunk ki, hogy hasonlóság esetén a megfelelő távolságok aránya egyenlő. Ezért Innen SP RQ DB = 3 DB DB = = 3 DB 3 SP = DB 3, és DB RQ =.. A trapéz két alapjának aránya :3. c) A trapézban az átlók az alapok arányában osztják egymást, ezért PR és SQ :3 arányban osztja egymást. Mintapélda 1 Az ABC háromszögbe olyan félkört írunk, amelynek átmérője AB-vel párhuzamos, és érinti az AB oldalt. a) Szerkesszük meg a félkört! b) Mekkora a kör sugara, ha a háromszög AB oldala 0 cm, C-ből induló magassága 1 cm? Megoldás: a) A szerkesztéshez segédfélkört szerkesztünk, mely érinti az AB oldalt, és átmérője párhuzamos vele. Ezt az A csúcsból nagyítjuk: az AR egyenest felhasználva kapjuk az E pontot. b) DE és AB párhuzamossága miatt DEC ~ ABC (szögeik egyenlők). A megfelelő távolságok aránya egyenlő, így c r c m c m = ( m + c) r r = = = = 5,45cm. m + c A félkör sugara 5,45 cm. m = c( m r) = r m cm cr = r m. m r

34 34 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 56. Igazold, hogy egy konvex négyszög oldalfelező pontjait összekötve mindig paralelogramma keletkezik! 57. Az ABCD négyszögben P és Q oldalfelező, R és S negyedelő pontok (lásd az ábrát). Határozd meg PQ és RS arányát! 58. Az ABCD négyszögben P és Q harmadoló, R és S negyedelő pontok, az ábrának megfelelően. a) Határozd meg PQ és RS arányát! b) Határozd meg, hogy SQ és RP milyen arányban osztja egymást! 59. Egy derékszögű háromszögben a két befogó hossza 6 cm és 8 cm. a) Szerkessz a háromszögbe olyan félkört, amelynek átmérője párhuzamos az átfogóval, átmérőjének két végpontja egy-egy befogón van, és a körív érinti az átfogót! b) Mekkora a kör sugara? 60. Egy hegyesszögű háromszög egyik oldala 15 cm, a hozzátartozó magasság 6 cm. Mekkora annak a félkörnek a sugara, amelynek átmérője az adott oldallal párhuzamos, végpontjai a két másik oldalon helyezkednek el, és a körív érinti a 15 cm-es oldalt? 61. Az ABC derékszögű háromszögben a két befogó hossza 15 cm és 8 cm. Az ABC háromszögbe olyan egyenlőszárú derékszögű háromszöget szerkesztünk, amelynek átfogója párhuzamos az ABC háromszög átfogójával, átfogójának két végpontja az ABC háromszög egy-egy befogóján van, és a derékszögű csúcsa az ABC háromszög átfogóján helyezkedik el! Mekkora az egyenlőszárú derékszögű háromszög befogója?

35 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI Az ABC derékszögű háromszögben a két befogó hossza 8 cm és 45 cm. Az ABC háromszögbe olyan szabályos háromszöget szerkesztünk, amelynek egyik oldala párhuzamos az ABC háromszög átfogójával, két csúcsa az ABC különböző befogóin, és egy csúcsa az ABC háromszög átfogóján helyezkedik el! Mekkora a szabályos háromszög oldala? 63. Az ábrán látható paralelogrammában PB = 6 cm. Mekkora a BR szakasz hossza, ha a paralelogramma oldalai 0 cm és 35 cm? 64. Mekkora a beleírható és a köréírható kör sugara az a alapú, egyenlőszárú háromszögben, ha a háromszög oldalai a) a = 1 cm; b = 10 cm; b) a = 0 cm; b = 16 cm; c) a és b? 65. Az ábra szerinti ABC derékszögű háromszögben AC = 45, CB = 60. Mekkora az EFB, a BED és a CDB háromszögek területe? 66. Az ABCD paralelogramma AD oldalának A-hoz legközelebbi ötödölő pontja P. Az AC átló hányad részét metszi le a BP egyenes? 67. Egy ABC derékszögű háromszögbe (AB az átfogó) olyan téglalapot írunk, melynek egyik csúcsa a C, ezzel átellenes csúcsa AB-re esik, és egy-egy oldala a BC és AC oldalakon fekszik. Mekkorák a téglalap oldalai, ha egyik oldala kétszerese a másiknak, és a) BC = 3 cm, AC = 4 cm; b) BC = a, AC = b? 68. Az ABC háromszög c oldalának egy tetszőleges pontja P. Az AC egyenest a B-ből kiinduló, CP-vel párhuzamos egyenes R-ben, a BC egyenest az A-ból kiinduló, CP-vel párhuzamos egyenes Q-ban metszi. Mekkora a CP szakasz hossza, ha a) AQ = 10 cm, BR = 14 cm; b) AQ = p egység, BR = q egység?

36 36 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE V. Síkidomok hasonlósága A definíció szerint két síkidom akkor hasonló, ha van olyan hasonlóság, amely azokat egymásba viszi. A háromszögek hasonlóságához elég, hogy a megfelelő oldalak aránya egyenlő legyen, de a sokszögek hasonlóságához ez általában nem elegendő. Például az ábrán látható két deltoid megfelelő oldalainak aránya kettő, és természetesen nem hasonlók. Négyszögek körében a megfelelő szögek egyenlősége sem biztosítja a két négyszög hasonlóságát (például négyzet és téglalap). Bonyolultabb síkidomok hasonlóságára nincs is általánosan használható szabály. Két sokszög akkor hasonló, ha megfelelő oldalaik aránya és megfelelő szögeik egyenlők. Két azonos oldalszámú szabályos sokszög mindig hasonló. Feladatok 69. Igaz vagy hamis a következő kijelentések logikai értéke: a) Minden kör hasonló egymáshoz. b) Minden rombusz hasonló egymással, mert minden rombuszban egyenlőek az oldalak. c) Minden négyzet hasonló egymáshoz.

37 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 37 d) Ha egy trapézban párhuzamost húzunk az alapokkal, akkor az két, hasonló trapézra bontja a trapézt. e) Ha egy deltoid oldalai 5 cm, 5 cm, 3 cm, 3 cm, akkor az hasonló ahhoz a deltoidhoz, amelynek oldalai 15 cm, 15 cm, 9 cm, 9 cm. f) Ha egy trapézban párhuzamost húzunk az alapokkal, akkor a keletkező kisebbik trapéz az eredetihez hasonló. g) Két rombusz hasonló, ha van azonos nagyságú szögük. h) Két négyszög hasonló, ha megfelelő szögeik páronként egyenlők. 70. Egy térképen két település távolsága 5, cm. Mekkora a valóságban ez a távolság, ha a térkép méteraránya 1:5000? 71. Egy ötszög oldalainak aránya 6:8:9:1:15, egy hozzá hasonló ötszög kerülete 150 cm. Mekkorák az oldalai? 7. Egy négyszög oldalainak aránya 5:6:7:8. Határozd meg annak a hozzá hasonló négyszögnek az oldalait, melynek a)legkisebb oldala 0 cm; b) kerülete 416 cm! 73. Egy egyenlőszárú háromszög alapja 15 cm, egy hozzá hasonló háromszög megfelelő oldala 5 cm. Határozd meg a két háromszög oldalait, ha a kisebb háromszög kerülete 37 cm! 74. Két hasonló sokszög leghosszabb oldala 10 cm, illetve 5 cm, kerületeik különbsége 33 cm. Mekkora a két háromszög kerülete? 75. Egy paralelogrammát úgy vágunk el az egyik oldallal párhuzamos egyenessel, hogy az egyik keletkező paralelogramma az eredetihez hasonló legyen. Hol kell meghúzni az egyenest, ha a paralelogramma oldalai a) b = 6 cm és a = 10 cm; b) a és b?

38 38 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 76. Egy paralelogrammát úgy vágunk el az egyik oldallal párhuzamos egyenessel, hogy az egyik keletkező paralelogramma az eredetihez hasonló legyen. A másik paralelogramma is hasonló az eredetihez? 77. Egy A4-es oldal méretei 10 mm 97 mm. Hogyan kell kétfelé vágni a lapot, hogy a keletkező két lap közül az egyik hasonló legyen az eredetihez? Hasonló-e ekkor a másik is az eredeti A4-es laphoz? Hasonló síkidomok területe, hasonló testek térfogata A hasonlóság sokszor használt gyakorlati alkalmazása a modellek, makettek készítése. A nagyon nagy vagy a nagyon kicsi dolgok hétköznapi méretű modelljei nemcsak segítenek elképzelni a tárgyak alakját, kapcsolatát, tulajdonságait, hanem laboratóriumi tesztek során méréseket is végeznek rajtuk. A tesztek eredményei alapján alakítják ki például a járművek alakját (kis légellenállási tényező), vagy módosíthatják az épületek terveit (például torony kilengése, híd teherbírása). A következőkben azt vizsgáljuk, hogy hasonlóság esetén hogyan változik a felszín és a térfogat. A sokszögeket mindig felbonthatjuk háromszögekre, így elég vizsgálni, hogy hasonlóság alkalmazásakor a háromszögek területével mi történik. k-arányú hasonlóság esetén a távolságadatok mindegyike, így az oldal és a hozzá tartozó magasság is k-szorosra változik. A háromszög területének változása: T ' = ( k a) ( k m) = k a m = k T, vagyis a háromszög területe k -szeresére változik. Ez általában igaz minden síkidomra. Ha kocka éleit k-szorosára nagyítjuk vagy kicsinyítjük, térfogata V ' = k a k a k a = = k 3 testre. a 3 = k 3 V összefüggés szerint alakul. Ez nem csak a kockákra igaz, hanem az összes Hasonló síkidomok területének aránya megegyezik a hasonlóság arányának négyzetével: T = k T. Hasonló testek térfogatának aránya megegyezik a hasonlóság arányának köbével. A felszínek aránya ebben az esetben is k. V = k 3 V, A = k A.

39 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 39 Feladatok 78. Mekkora a háromszög egyik középvonala által levágott kisebb háromszög és az eredeti háromszög területének aránya? 79. Egy kockát 1,5-szeresére nagyítunk, az új kocka egy lapjának területe 144 cm. Mekkora volt az eredeti kocka térfogata? 80. Egy könyv ábráit feles kicsinyítéssel tervezik (a kicsinyített ábrán valamennyire eltűnnek a rajzi hibák). A megrajzolt ábraterület 10 cm. Mekkora terjedelmet jelent ez a megjelent könyvben? 81. Egy derékszögű háromszög befogóinak aránya 1 : 5, átfogója 6,5 cm. Hányszorosára nagyítottuk a háromszöget, ha területe 10 cm lett? 8. Egy háromszögben az egyik oldalt a hozzá tartozó magasság 54 cm és 1 cm-es részekre osztja. A magassággal párhuzamosan húzzunk olyan egyenest, amelyik a háromszög területét felezi. Mekkora részekre osztja ez az egyenes az oldalt? 83. Hány százalékkal változott kicsinyítéskor annak a síkidomnak a területe, amelynek a kerülete 5%-kal csökkent? 84. Egy háromszög kerülete a tervrajzon 3 cm. A valóságban ez a kerület,08 méter. Hányszorosa a valódi háromszög területe a tervrajzon szereplő háromszög területének? 85. Egy ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB = 0 cm és CD = 14 cm hosszúak. Milyen hosszú az EF szakasz, ha az alapokkal párhuzamos, és az ABEF trapéz területe a trapéz területének negyedrésze?

40 40 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VI. A hasonlóság alkalmazása Két pozitív szám mértani (geometriai) közepe: G( a b) = a b,. A következőkben olyan tételekkel és feladatokkal foglalkozunk, amelyekben előfordul a mértani közép. Látni fogjuk, hogy a mértani középnek sok geometriai alkalmazása van, ezért a számtani közép mellett ezt is gyakran használjuk. A hétköznapi gyakorlat során egyéb közepekkel is találkozunk. Érintő- és szelőszakaszok tétele A körhöz egy adott külső pontból két, egyenlő érintőszakasz húzható (e), de szelőből végtelen sok. Elmondható az is, hogy az érintőszakasz hossza a szelőnek a ponttól a körrel való metszéspontjáig terjedő két szakasza (PA és PB) között van. A szelő- és érintőszakaszok tétele szigorúbban fogalmaz: Egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakasz a pontból húzott szelőnek és a szelő ponttól körig tartó darabjának mértani közepe: e = s 1 s. Megjegyzés: Ebből az is következik, hogy ha egy külső ponton át szelőt húzunk a körhöz, akkor a ponttól a metszéspontig terjedő szakaszok szorzata nem függ a szelő választásától (az érintő hosszának négyzete). Ezt úgy szokás mondani, hogy egy külső pontból a körhöz húzott szelők metszeteinek szorzata egyenlő (ez az ún. szelőtétel). Mintapélda 13 A Pitagorasz-tétel alkalmazása nélkül számítsuk ki, hogy milyen hosszú érintő húzható egy 5 cm sugarú körhöz a középpontjától 1 cm távolságból! Megoldás: A vázlat felrajzolása után az érintő és szelőszakaszok tételét alkalmazva e = 17 7 = , 9 cm.

41 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 41 Magasságtétel, befogótétel Egy derékszögű háromszögben a és b a két befogót, c az átfogót jelöli. Az átfogóhoz tartozó m magasság az átfogót c 1 és c szakaszokra bontja. Keressük meg az összes hasonló háromszöget, és írjuk fel a megfelelő oldalak arányát! Szögeik egyenlősége miatt (derékszög, közös szögek) BTC ~ CTA ~ BCA. A megfelelő oldalak az egyenlő szögekkel szemben találhatók, ezeket táblázatba foglaljuk. Szög α β γ = 90 BCA a b c BTC c 1 m a CTA m c b A BTC és a CTA háromszögek hasonlóságából felírható az arány: c 1 = m m c, ahonnan m = c1 c. Gyökvonás után adódik a magasságtétel: m c 1 c =. A derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szeletre bontja, amelyek mértani közepe a magasság: m = c 1 c. BCA és BTC háromszögek hasonlóságából felírható az arány: a = c1 c a, ahonnan a = c c1. Gyökvonás után adódik a befogótétel: a = c c1. Hasonlóan belátható: b = c c. A derékszögű háromszögben a befogó megegyezik az átfogónak és az adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepével: a = c c 1, illetve b c c =.

42 4 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 86. Egy tér közepén található szobortól 13 méterre a szobor α szögben látszik. A szobor átellenes oldalán található egy olyan pont a szobortól 8 méterre, amelyből szögben látszik. Milyen magas a szobor? 90 α 87. A derékszögű háromszög átfogója 1 egység, a magasság az átfogót 1: arányban osztja. Mekkorák a befogók és az átfogóhoz tartozó magasság? 88. Mekkora a derékszögű háromszög területe és befogói, ha az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót 6 és 10 egység hosszú szakaszokra bontja? 89. A derékszögű háromszögben az egyik befogó 8 cm, ennek vetülete az átfogóra 5 cm. Mekkora az átfogó és a másik befogó? 90. Egy derékszögű háromszög két befogója 0 cm és 1 cm. Mekkora szeletekre osztja az átfogót az átfogóhoz tartozó magasság? 91. Egy derékszögű háromszög befogóinak aránya 1:5, átfogója 18, dm. Mekkora részekre bontja az átfogót a derékszögű csúcshoz tartozó magasság? 9. Egy derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szeletre bontja, amely a magasságnál cm-rel rövidebb, illetve 6 cm-rel hosszabb. Mekkora a háromszög kerülete? 93. Az ábra jelöléseit felhasználva töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! E érintési pont. AB BP AP PE 1 cm 10 cm 4,6 cm 6,6 cm 60 cm 30 cm 4 dm 5 cm 6 m 11 m 9, cm 16,3 cm

43 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI Egy háromszög alapú gúla magasságát négy egyenlő részre osztjuk, és az osztópontokon keresztül elmetsszük az alaplappal párhuzamos síkokkal. Mekkora a legnagyobb rész és a teljes gúla térfogatának aránya? 95. Egy 5 cm sugarú kör középpontjától milyen távolságban van az a pont, ahonnan 1 cm hosszúságú érintők húzhatók a körhöz? 96. Egy 4,5 cm sugarú kör átmérőjét meghosszabbítjuk a körön túl. Ezen az egyenesen a középponttól milyen távolságban lesz az a pont, ahonnan 15,6 cm hosszúságú érintők húzhatók a körhöz? Két kör közös érintői A körhöz egy külső pontból húzott érintőinek megszerkesztését már tanultuk: a Thalész-kör segítségével végezzük, kihasználva azt, hogy a kör minden pontjából az átmérő derékszögben látszik, és hogy az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra. Két kör közös érintőit pumpálás, illetve leeresztés segítségével találhatjuk meg. A kész ábrákból indulunk ki, és visszavezetjük a szerkesztést egy külső pontból húzott érintő megszerkesztésére. Az A középpontú, r a sugarú és a B középpontú, r b sugarú körök közös belső érintőinek megszerkesztését úgy végezzük, hogy az egyik (például a B középpontú) kör középpontja körül rajzolunk egy r + r sugarú a b kört. Ehhez húzunk érintőt a másik kör középpontjából (A). Az így kapott f egyenest az ábra szerint r a távolsággal eltolva, a közös belső érintőket kapjuk. Természetesen két közös belső érintő van, az ábrán csak az egyiket tüntettük fel.

44 44 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Az A középpontú, r a sugarú és a B középpontú, r b sugarú körök közös külső érintőinek megszerkesztését úgy végezzük, hogy az egyik (például a B középpontú) kör középpontja körül rajzolunk egy r r sugarú kört. Ehhez b a húzunk érintőt a másik kör középpontjából (A). Az így kapott f egyenest az ábra szerint r a távolsággal eltolva a közös külső érintőket kapjuk. Természetesen két közös külső érintő van, az ábrán csak az egyiket tüntettük fel. Mintapélda 14 Két kör sugara 5 és 8 cm, középpontjuk távolsága 0 cm. A középpontokat összekötő egyenes mely pontjaiból húzhatók közös érintők a körökhöz? Megoldás: A belső érintő, a rá merőleges sugarak és a középpontokat összekötő szakasz (ún. centrális) által alkotott két háromszög derékszögű, és a P-nél levő csúcsszögek miatt egyenlőek a szögeik, ARP ~ BQP. A megfelelő oldalak aránya miatt 5 x = 8 0 x, a nevezőkkel végigszorozva 5 ( 0 x) = 8x 100, ahonnan x = 7, 7 cm. 13 Tehát az AB szakaszon az A-tól 7,7 cm-re van az a pont, amelyből a két körhöz közös belső érintők húzhatók. A külső érintők esetében szintén a szögek egyenlősége miatt ARP ~ BQP. A megfelelő 5 x oldalak aránya miatt =, x a nevezőkkel végigszorozva ( 0 x) 8x 5 + =, ahonnan 100 x = 33,3 cm. 3

45 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 45 Tehát az AB egyenesén az A-tól 33,3 cm-re és a B-től 53,3 cm-re van az a pont, amelyből a két körhöz közös külső érintők húzhatók. Feladatok 97. Milyen hosszúságúak a két kör közös külső és belső érintőinek az érintési pontok közé eső szakaszai, ha a körök sugara és a középpontok távolsága a) r = 1 5 cm, r = 8 cm, a = 0 cm; b) r = 4, 1 5 cm, r = 9 cm, a =18 cm; c) r 1, r és a? 98. Gergő megfigyelte, hogy ha egy cm és 5 cm sugarú golyót rak a felfelé táguló helyzetű tölcsérbe, akkor mindkettő beleszorul, pont összeérnek, és a tölcsér teteje éppen egy szintbe kerül a nagyobb sugarú golyó legfelső pontjával. Mekkora a tölcsér alapkörének átmérője? Háromszögek egybevágósága és hasonlósága síkon és gömbön Két sokszöget egybevágónak tekintünk, ha megfelelő oldalaik hossza és megfelelő szögeik nagysága egyenlő (síkon és gömbön egyaránt). Ezek szerint két háromszög egybevágóságához hat-hat adat, vagyis összesen tizenkét adat ellenőrzése szükséges. Lehetne-e ebből lealkudni valamennyit? Lehetne-e úgy megválasztani az adatokat, hogy kevesebb adat ellenőrzése is elég legyen az egybevágósághoz? Belátható, hogy három-három adattal, vagyis összesen hat adattal már boldogulhatunk ha jól választjuk meg az adatokat! Vizsgáljunk meg néhány esetet!

46 46 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Három oldal (síkon és gömbön ugyanúgy): Megrajzoljuk az egyik oldalt. Két végpontjából a másik két oldal hosszával köröket rajzolunk. Ahol a körök metszik egymást, ott kapjuk a háromszög harmadik csúcsát. Ha az adatokból lehet háromszöget szerkeszteni, akkor két tükörképi háromszöget kapunk. Ezek szerint: Ha két háromszögben a három-három oldal rendre megegyezik, akkor a két háromszög egybevágó. Két oldal és a közbezárt szög (síkon és gömbön ugyanúgy): Megrajzoljuk az egyik oldalt. Egyik végpontjából felmérjük a szögnek megfelelő félegyenest. A közös csúcsból a félegyenesen felmérjük a másik oldalt. Ennek az oldalnak másik végpontja a háromszög harmadik csúcsa. Itt is két, tükörképi háromszöget szerkeszthetünk. Ezek szerint ez a három-három adat is elég az egybevágósághoz. Egy oldal és a rajta fekvő két szög (síkon és gömbön ugyanúgy): Megrajzoljuk az oldalt, két végpontjából az oldal azonos oldalán (vagy, ha jobban tetszik: az oldal azonos partján) felmérjük a két szögnek megfelelő félegyeneseket. Ahol metszik egymást, ott a háromszög harmadik csúcsa. Itt is két tükörképi háromszög lehetséges. Ez a három-három adat is elég az egybevágósághoz. Két szög és egyikükkel szemben fekvő oldal (tehát NEM az az oldal, amelyen mind a két szög rajta van!) Síkon Mivel a háromszög szögösszege mindig 180, ezért megszerkeszthetjük a harmadik szöget, és ezzel a feladatot visszavezettük az egy oldal és a rajta fekvő két szög esetére. Ezért ez a három-három adat is elég az egybevágósághoz. Gömbön Itt a szögösszeg nem 180, sőt nem is állandó. Ezért a harmadik szöget nem tudjuk úgy meghatározni, mint a síkon. Ettől még elképzelhető lenne, hogy van valamilyen más módszer, amivel a gömbháromszöget megszerkeszthetnénk, tehát ennyi adat is elég lenne az egybevágósághoz. Tekintsük a következő példát:

47 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 47 Egy gömbkétszög egyik oldalának tetszőleges pontjában, de nem az oldalfelező pontjában, merőlegest rajzolunk, így két gömbháromszögre bontjuk a gömbkétszöget. A két háromszög megegyezik egy-egy derékszögben, egy-egy α szögben, és az a közös oldalban de ez a két háromszög nem egybevágó (ugyanis a harmadik szögek nem derékszögek, és egymást 180 -ra egészítik ki). Ez a három adat tehát a gömbön nem elég az egybevágósághoz. Két oldal és az egyikkel szemben fekvő szög (tehát NEM a közrezárt szög; síkon és gömbön ugyanúgy) Megrajzoljuk azt az oldalt, amelyiken fekszik az adott szög. Az egyik végpontjából megszerkesztjük a szögnek megfelelő félegyenest, és a másik végpontból körzővel a másik oldal hosszának megfelelő sugárral kört rajzolunk. Ekkor két esetet kaphatunk: a) Ha a hosszabb oldallal szemközti szög volt megadva, akkor a körív egyértelműen kimetszi a félegyenesből a harmadik csúcsot. b) Ha a rövidebb oldallal szemközti szög volt megadva, akkor a körív két helyen metszi a félegyenest, a harmadik csúcs nem egyértelmű. Két háromszöget kapunk, és ezek nem egybevágók. Ez a három-három adat tehát nem minden esetben elég az egybevágósághoz, csak ha a hosszabb oldallal szemközti szög adott.

48 48 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Három szög Síkon két eset van. 1. Ha a három szög összege nem 180 fok, akkor nincs megfelelő háromszög.. Ha a szögösszeg éppen 180 fok, akkor végtelen sok, különböző háromszög lehetséges, amelyekben a megfelelő szögek azonosak, de a megfelelő oldalak különböznek. Ezeknek a háromszögeknek nagyon sok érdekes, közös tulajdonságuk van, de nem egybevágóak. Az alábbi háromszögek mindegyikében a három szög α, β és γ, de a háromszögek oldalai nem egyforma hosszúságúak. Ha két síkháromszög szögei rendre megegyeznek, akkor a két háromszög hasonló. Ha két háromszög egybevágó, akkor hasonló is; de a síkon végtelen sok olyan háromszög van, amelyek hasonlóak, de nem egybevágóak. Gömbön Itt teljesen más a helyzet! Adott három gömbi szög, α, β és γ. Megpróbálunk ebből a három szögből gömbháromszöget összeállítani. Itt a β és γ szögek által meghatározott háromszög harmadik, piros-zöld szögébe az α szög azért nem illik bele, mert túl kicsi. Megpróbáljuk ezért közelebb tolni egymáshoz a β és γ szöget, a kék vonal mentén. Itt a harmadik szög azért nem illik a háromszögbe, mert túl nagy.

49 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 49 Kell lenni tehát valahol a két helyzet között egyetlenegy olyan helyzetnek, amikor a három szög együtt éppen egy gömbháromszöget ad: Mindez annyit jelent, hogy a gömbön a három darab szög egyértelműen meghatározza a gömbháromszöget, nem úgy, mint a síkon! Gömbön nincs értelme a háromszögek hasonlóságáról beszélni, mert két gömbháromszög csak akkor hasonló, ha egybevágó is. Más szóval: hasonló, de nem egybevágó gömbháromszögek nem léteznek. Feladatok 99. Hasonlóak-e a szabályos háromszögek síkon és gömbön? 100. Rajzoljuk fel egy háromszög három magasságvonalát! Állítsunk merőlegeseket a magasságvonalakra a háromszög csúcspontjaiban! Így újabb, nagyobb háromszöget kapunk. Mit mondhatunk az eredeti háromszög és a nagyobb háromszög viszonyáról?

50 50 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kislexikon Középpontos hasonlóság Adott a síkon egy O pont (középpont), és egy k pozitív valós szám. Rendeljük O-hoz önmagát. A sík bármely más P pontjához rendeljük úgy az OP félegyenes P pontját, hogy OP' = k OP. (Találkozhatunk olyan esettel is, amikor k negatív. Ilyenkor P az OP egyenes O-ból kiinduló, P-t nem tartalmazó félegyenesén van.) Az így meghatározott geometriai transzformációt középpontos hasonlóságnak nevezzük. A középpontos hasonlóság aránytartó, szögtartó, egyenestartó, párhuzamosságtartó, illeszkedéstartó, körüljárási irány tartó, nem távolságtartó (kivéve a k =1 esetet). A középpontos hasonlóság fixpontja a középpont, fix egyenese nincs, invariáns egyenesei a középponton áthaladó egyenesek. Hasonlóságnak nevezzük azokat a geometriai transzformációkat, amelyek középpontos hasonlóság és egybevágóság véges sokszor történő egymás utáni végrehajtásával keletkeznek. Két síkidomot hasonlónak nevezünk, ha található olyan hasonlóság, amely azokat egymásba viszi. A hasonlóság jele: ~ (például ABC ~ DEF ). Két sokszög akkor hasonló, ha megfelelő oldalaik aránya és megfelelő szögeik egyenlők. Két azonos oldalszámú szabályos sokszög mindig hasonló. A háromszögek hasonlóságának alapesetei Két háromszög hasonló, ha megfelelő oldalainak aránya megegyezik a ' b' c' = = ; a b c megfelelő szögeik egyenlők ( α α' ; β = β '; γ = γ ') = ; két-két oldal aránya és az általuk közbezárt szög megegyezik a' b' például = és γ = γ ' ; a b két-két oldal aránya és a hosszabbikkal szemközti szög megegyezik a' b' például = és β = β ', a < b. a b

51 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 51 Hasonló síkidomok területének aránya megegyezik a hasonlóság arányának négyzetével. T ' = k T. Hasonló testek térfogatának aránya megegyezik a hasonlóság arányának köbével. A testek felszínének aránya ebben az esetben is k. V ' = k 3 V, A' = k A.

52 5 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Tételek és bizonyítások Párhuzamos szelők tétele Ha a szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, az egyik egyenesen keletkezett szakaszok aránya megegyezik a másik egyenesen keletkezett szakaszok arányával. b q a + b p + q = ; = a p a p Bizonyítás: 1. Ha az egyik száron egyenlők a szakaszok (a), akkor p eltolással fedésbe hozható q-val, vagyis p és q aránya most is egyenlő az e egyenes szakaszainak arányával (1).. Ha az e egyenesre nem egyenlő szakaszokat mértünk fel, de a és b aránya racionális szám, akkor található olyan kis rész, ami közös egység (s): annak n-szerese a, k-szorosa b (n és k egészek). a = n s és b = k s, így b a k s k = =. n s n Ekkor 1. miatt a p és q szakaszoknál egyenlő részek keletkeznek (s ), így teljesül az, hogy p = n s' és q k s' k q = k s', így p és q aránya = =, vagyis az p n s' n arány ugyanannyi, mint a és b szakasz esetében. 3. Ha a és b aránya nem racionális, az állítás akkor is igazolható.

53 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 53 Párhuzamos szelőszakaszok tétele Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, a szárak által kimetszett szakaszok aránya megegyezik a párhuzamosok által a szögszárakból lemetszett szakaszok arányával. y a + b p + q = = x a p Bizonyítás: Húzzunk a P-n keresztül párhuzamost az f szögszárral. PRST négyszög paralelogramma, ezért RS = x. A Q csúcsú szögre felírhatjuk a párhuzamos szelők tételét, hiszen PR OS szakaszokkal metszettük: a + b = a QS RS = y x. A párhuzamos szelők tételének megfordítása Ha egy szög szárain a szög csúcsából kiindulva azonos arányú szakaszokat mérünk fel, akkor a szakaszok végpontjait összekötő egyenesek párhuzamosak egymással. b + a p + q Ha =, akkor x y. a p Bizonyítás: A bizonyítást indirekt módszerrel végezzük. Tegyük fel, hogy b + a p + q =, ekkor persze a q b q b q = is teljesül. Tegyük fel továbbá, hogy az állítás ellentéte teljesül, vagyis =, de x és a p a p y nem párhuzamosak. Ekkor található olyan z egyenes, amely párhuzamos az x egyenessel. Így a párhuzamos szelők tétele miatt teljesül, b q' hogy =. Ezt összevetve a kiindulási feltétellel a p q ' = q adódik, ami ellentmond azzal, hogy q és q nem azonos. Az eredeti állítás tagadása ellentmondáshoz vezetett, ezért az eredeti állítás teljesül.

54 54 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Szögfelezőtétel A háromszögben a belső szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja. Bizonyítás: Húzzunk az A csúcson keresztül párhuzamost a szögfelezővel, és hosszabbítsuk meg az a oldalt! Ekkor PCA és CAQ szögek váltószögpár, PCB és AQC egyállású szögek, nagyságuk γ. Ezért ACQ egyenlőszárú háromszög, tehát x = b. A B csúcsú szögre felírva a párhuzamos szelők tételét: p q a a = =. x b A háromszög súlyvonalai A háromszögben a súlyvonalak egy pontban metszik egymást (súlypont). A súlypont harmadolja a súlyvonalakat (a csúcs felé eső rész a hosszabb). Bizonyítás: A P és R oldalfelező pontok, ezért PR középvonal. A középvonal párhuzamos a megfelelő oldallal, ezért RPS és SBA szögek váltószögek, egyenlők. PSR és ASB csúcsszögek, egyenlők egymással, így PRS és BAS háromszögek hasonlók. A hasonlóság c aránya 1:, mert a középvonal fele a vele párhuzamos oldalnak, PR =. A megfelelő oldalpárok PS és SB, valamint RS és SA, ezek aránya szintén 1:, vagyis S harmadolja a két említett súlyvonalat. Hasonlóan belátható, hogy a c oldalhoz tartozó súlyvonal is éppen s b P-hez közelebbi harmadoló pontján, vagyis S-en megy keresztül, ezért a három súlyvonal egy pontban metszi egymást.

55 8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 55 Érintő- és szelőszakaszok tétele Egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakasz mértani közepe a pontból húzott szelőnek a ponttól a körig terjedő két darabja között. Bizonyítás: E-nél és A-nál egyenlők a jelölt szögek, mert a BE íven nyugvó kerületi szögek. P-nél közös szög található, így PBE ~ PEA. A megfelelő oldalak arányából PE = AP PB PE, ahonnan PE = AP PB, gyökvonás után PE = AP PB. Magasságtétel A derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szeletre bontja, amelyek mértani közepe a magasság. Bizonyítás: Szögeik egyenlősége miatt (derékszög, merőleges szárú hegyesszögek) BTC ~ CTA. A megfelelő oldalak arányából: c 1 = m m c, ahonnan m = c c. Gyökvonás után m = c 1 c. 1 Befogótétel A derékszögű háromszögben a befogó megegyezik az átfogónak és az adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepével. Bizonyítás: (L. az előző ábrát.) Szögeik egyenlősége miatt (derékszög, közös szögek) CBT ~ ABC. A megfelelő oldalak arányából:, ahonnan a = c c1. Gyökvonás után a = c c1. Hasonlóan belátható: b = c c. a = c1 c a

56

57 9. MODUL hegyesszögek szögfüggvényei Készítette: Vidra Gábor és Lénárt István

58 58 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciói Ha egy háromszöget nagyítunk vagy kicsinyítünk, a szögei nem változnak. Az aránytartás következtében a megfelelő oldalak aránya szintén állandó. Ebből arra következtethetünk, hogy a háromszögben a szögek és az oldalak aránya között kapcsolat van. A trigonometria (háromszögtan) foglalkozik a háromszögek adatainak, a szögek és oldalak kapcsolatával. A szögek és távolságok kapcsolatát már az ókorban is tanulmányozták és használták Kína, India területén csakúgy, mint Egyiptomban az építkezéseknél. Kr. e körül már használtak húrtáblázatokat, sőt szinusztáblázatokat is. Az első évszázadban hegyesszögekhez tartozó húrok hosszát foglalták táblázatba, félfokonként, és ismerték a két szög összegének és különbségének szögfüggvényeire vonatkozó képleteket (ma az emelt szintű érettségi tananyaga). A trigonometria alapja a szögfüggvények definíciói. A hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszögben értelmezzük, és ezeket a definíciókat később kiterjesztjük más szögekre is (nem hegyesszögekre). A hegyesszögek szinusza Egy aluljáróból 17 méter hosszú, egyenes rámpa vezet fel a járda szintjére, és a rámpa egyenletesen, 6,5 -ban emelkedik a vízszinteshez képest. Ezekből az adatokból meghatározható, hogy milyen mélyen van az aluljáró. Segítségül hívjuk a valóság modelljét: jelen esetben az eredetihez hasonló derékszögű háromszöget. Szerkesszünk egy 6,5 -os derékszögű háromszöget például 5 cm-es átfogóval. A két háromszög szögei páronként egyenlők, ezért a két háromszög hasonló, tehát a megfelelő oldalaik aránya egyenlő. Ha lemérjük az ABC háromszög 6,5 -os

59 9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI 59 szöggel szemközti befogóját, akkor a, cm-t kapunk. A keresett oldal hosszát x-szel jelölve: x a, 17 =, innen x 7, 5 méter Segítségül bármilyen 6,5 -os derékszögű háromszöget hívhattunk volna, mert a szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya a hasonlóság miatt állandó. Ezt a hányadost a hegyesszög szinuszának nevezzük, és jelen esetben 4 tizedesjegyre közelítő értéke 0, 446. A szöggel szemközti befogó, az átfogó és a hegyesszög között a szinusz szögfüggvény teremti meg a kapcsolatot. A 6,5 -os szög szinusza közelítőleg 0,446. Ez a szorzószám adja meg, hogy egy ehhez hasonló háromszögben az átfogót mennyivel kell megszorozni, hogy megkapjuk a szöggel szemközti befogót: sin 6,5 =, ahonnan x 17 x = 17 sin 6,5 7,59 méter. Egy α hegyesszög szinusza az α szögű derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosa. 0,446 0,894 1,3386 1,7848 sin 6,5 = = = = A szögek szögfüggvényeinek értékét legegyszerűbben zsebszámológép segítségével tudjuk meghatározni. Számológépet használunk akkor is, amikor azt kell meghatároznunk, hogy egy adott szögfüggvényértékhez mekkora szög tartozik. Jelenleg sokféle tudományos számológépet találunk a piacon. Leggyakoribbak a normál és a DAL típusúak. A normál típusúaknál előbb a számokat visszük be, majd a műveleteket választjuk ki a megfelelő gombokkal. A DAL típusú kalkulátoroknál a képleteket olyan módon visszük

60 60 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE be a gépbe, ahogyan azt a papírra leírjuk (például kezel törteket, és a szorzásjelet sem kell bevinni, ha zárójeles kifejezést szorzunk). A DAL típusú számológépeknél a műveletet előre jelezzük: sin 6,5 = A normál típusúaknál a szögfüggvény értékét így határozzuk meg: 6,5 sin Visszakereséshez ugyanezeket a billentyűket használjuk: a ndf vagy Shift billentyűvel elérhető második (sin -1 ) funkciójukat: DAL gépen:, normál típusú gépen:. A szögek mértékegységei között a számológépen található DRG vagy RAD gombbal válthatunk. Amennyiben D üzemmódot jelöl a kijelző, a megadott adatokat a számológép foknak értelmezi. R esetében radiánnak, G esetén újfoknak. A hegyesszögek koszinusza A szög szinusza a derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogót és az átfogót kapcsolja össze. Hasonlóan egy szög koszinusza összekapcsolja a szög melletti befogót az átfogóval. Az 57 méter magas pisai ferde torony árnyéka 5 méter délben. Ezekből az adatokból a koszinusz szögfüggvény segítségével kiszámíthatjuk, hogy mekkora szöget zár be a talajjal a torony. A szemléltetés kedvéért kicsit még jobban eldöntöttük a tornyot. cos α = Zsebszámológéppel számolva: α 85. Egy α hegyesszög koszinusza az α szögű derékszögű háromszögben az α szög melletti befogó és az átfogó hányadosa.

61 9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI 61 A hegyesszögek tangense, kotangense Egy permetező repülőgép olyan helyen áll, ahol gyorsítás után a fákig 81 méter szabad út áll rendelkezésre a felszálláshoz. A 81 méter alatt 10 méter magasra kell emelkednie. A pilótának felszálláskor az emelkedés szögét be kell állítania. Mekkora a kérdéses szög? A feladatban a derékszögű háromszög két befogója és a hegyesszög közötti kapcsolatot a tangens szögfüggvény 10 teremti meg: tg α =, ahonnan α 7, 04. Ha a befogók arányát fordítva írjuk fel, a szög kotangensét kap- 81 juk. Egy α hegyesszög tangense az α szögű derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti és az α melletti befogó hányadosa. Egy α hegyesszög kotangense az α szögű derékszögű háromszögben az α szög melletti és az α szöggel szemközti befogó hányadosa.

62 6 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Összefoglalva: a hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciói derékszögű háromszögben: szöggel szemközti befogó sinα = átfogó a = c szöggel szemközti befogó a tgα = = szög melletti befogó b szög mellettibefogó b cosα = = átfogó c ctgα = szög melletti befogó szöggel szemközti befogó b = a A szögfüggvények értékeit általában négy tizedesjegyre kerekítjük, a fokokban megadott szögeket egy tizedesjegyre. Régebben szinusz- és koszinusz-táblázatokból határozták meg a szögfüggvények értékét (a függvénytáblázatban is találunk ilyen jellegű táblázatokat), ma számológépet (kalkulátort) használunk. Vegyük észre, hogy a szögfüggvényértékeknek nincs mértékegysége, hiszen két távolság hányadosaként értelmeztük azokat. Mintapélda 1 Határozzuk meg zsebszámológéppel 5 1 szögfüggvényeit! Megoldás: Egyes számológépeken nem kell átváltani a 1 -et fokká, külön billentyű található a fokperces adatbevitelre (DMS vagy jelzéssel). Akinek nem ilyen a számológépe, előtte át 1 kell váltani a 1 -et fokká: = 0, ; 1' = 0,, és 5, -ot kell beütnie a gépbe. 60 A számológép kiadja az eredményt: 0, tizedesjegyre kerekítve sin 5 1' = 0, 790. Hasonlóan, a többi szögfüggvényérték: cos 5 1' = 0, 619 ; tg 5 1' = 1, 89. A számológépen nincsen gomb, amivel ki tudnánk számolni ctg 5 1' értékét. A definíciókból azonban kiderül, hogy egy szög tangense és kotangense egymás reciproka, ezért 1 ctg 5 1' = = 0,7757. tg 5 1'

63 9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI 63 Megjegyzések: DAL típusú számológépeken a művelet nyomógombja után a számok begépelése és az egyenlőségjel használata adja a szöget. Amennyiben a szöget ívmértékben (radiánban) adják meg, a RAD billentyűvel állíthatjuk át a számológépet ívmértékre. Mintapélda Az emelkedő előtti közlekedési táblára 1%-ot írtak. Ez azt jelenti, hogy a vízszintes irányú haladáshoz képest a lejtő emelkedése 1%. Hány fokos a lejtő emelkedési szöge? Megoldás: Az adatok felhasználásával vázlatot készítünk. Kérdés: α nagysága. A megadott oldalak és α között a kapcsolatot a tangens szögfüggvény teremti meg: 0,1 x tg α = = 0,1. x Visszakeresve: a szög 6,848, kerekítve 6,8. Mintapélda 3 1 Szerkessz olyan hegyesszöget, amelynek koszinusza! 3 Megoldás: Egy szög koszinusza a szög melletti befogó és az átfogó hányadosa, ezért e két távolság aránya 1:3. A megoldás az ABC derékszögű háromszög megszerkesztésére vezethető vissza, melynek egyik befogója 1 egység, átfogója pedig 3 egység hosszú. A szerkesztés egyik lehetséges módja: 1. AC = 1 egység felvétele;. AC-re C-ben merőlegest állítunk (e); 3. az A középpontú, 3 egység sugarú kör kimetszi e-ből a B csúcsot.

64 64 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 4 Számítsd ki az 55 -os szög kotangensét! Mekkora szögnek a kotangense,5? Megoldás: A definíciókból leolvasható, hogy egy szög tangense és kotangense egymás reciproka: 1 ctg α =. Ez azért fontos, mert a számológépen nincsen gomb a szög kotangensének tg α kiszámítására. 55 kotangensét úgy határozzuk meg, hogy kiszámítjuk a tangensét, és annak vesszük a reciprokát: tg 55 = 1, 481. Ennek a számnak a reciproka ctg 55 = = 1 tg 55 = 0,700. ctg α =,5 megoldását is úgy kezdjük, hogy a szög kotangense helyett a tangensét számít- 1 1 juk ki, amiből már számológéppel a szöget ki tudjuk számítani: tg α = = = 0, 4. ctgα,5 Számológéppel α = 1, 8 adódik. Mintapélda 5 A négyzet alapú Nagy Piramis magassága 146 méter, alapjának hossza 30 méter. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok a talajjal? Megoldás: A vázlat mutatja az alaplap és az oldallap szögét és azt a derékszögű háromszöget, amelynek segítségével a keresett szög kiszámítható. A két befogót a tangens szögfüggvény kapcsolja össze: tg α = α 51, Feladatok 1. Határozd meg a következő szögek összes szögfüggvényét számológép segítségével! Figyelj a helyes kerekítésre! a) 10 ; b) 30 ; c) 45 ; d) 70 ; e) 0 ; f) 60 ; g) 8,6 ; h) 67,54 ; i) 1 6 ; j)

65 9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI 65. Mekkora az ismeretlen hegyesszög, ha a) sin α = 0, 134 ; b) sin α = 0, 340 ; c) cos α = 0, 680 ; d) cos α = 0, 087 ; e) tg α = 0, 3891; f) tg α =, 1445 ; g) ctg α = 0, 345; h) ctg α = 3, 110? 3. Igaz-e, hogy egy hegyesszög szinusza és koszinusza mindig 1-nél kisebb szám? Indokold a választ! Elmondható-e ugyanez a hegyesszögek tangensére és kotangensére? 4. Szerkessz hegyesszöget, amelynek a) szinusza 0,8; b) szinusza 1 ; c) koszinusza 0,3; d) koszinusza 8 3 ; e) tangense ; f) tangense 3 4 ; g) kotangense 1,6; h) kotangense 1 5! 5. Adott a derékszögű háromszög két befogója: a = 4, 3cm, b = 5, 4 cm. Mekkorák a háromszög szögei? 6. A derékszögű háromszög 6 cm-es befogóján 3 -os szög nyugszik. Mekkora a háromszög köré írt körének sugara? 7. Derékszögű háromszög 4 centiméteres magassága az átfogóból egy 3 centiméteres szakaszt vág le. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei? 8. Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 18 cm, a rajta fekvő szögek 45 -osak, a szárak hossza 5 cm. Mekkora a trapéz kerülete és területe? 9. a) Egy lejtő hossza 1 méter, hajlásszöge Milyen magasra visz a lejtő? b) Egy lejtő hossza a, hajlásszögeα. Milyen magasra visz a lejtő? 10. Egyenlőszárú háromszög alapja 10 cm, az alaphoz tartozó magasság szintén 10 cm. Mekkorák a háromszög szögei?

66 66 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 11. Mekkora a faltól a tető gerincéig tartó tetőgerendák hossza, ha az egyenlőszárú háromszög keresztmetszetű tető szélessége 7 méter, és a gerendák hajlásszöge a vízszinteshez képest 35? 1. Egyenlőszárú háromszögben a szárak hajlásszöge 70, az alap 10,8 cm. Mekkora a háromszög kerülete és területe? 13. Egy létra lábainak távolsága a talajon 86 cm, és 15 -ig hajtottuk szét a lábait. Hány fokú a létra, ha a fokok 45 cm-enként követik egymást? Milyen magasan van a teteje a talajtól számítva, ha szétnyitják? 14. Egy téglalap oldalai 10 cm és 15 cm. Mekkora szöget zárnak be az oldalak az átlóval? 15. Egy ablak méretei: 80 cm 150 cm. Mekkora szöget zárnak be az ablakra ragasztott, átlósan haladó egyenes ragasztószalag-csíkok egymással? 16. Akadálymentesítéshez egy lépcsőre rámpát terveznek. A lépcsők magassága 0 cm, hosszuk 30 cm, és 5 lépcső visz fel a járdáról a bejárathoz (a 6. a bejárat szintje). Milyen hosszú legyen a rámpa? Mekkora szöget zár be a járdával? 17. Az Eiffel-torony magassága 36 m, kilengése a legnagyobb szélben sem haladja meg a 1 cm-t. Mekkora a torony tetejének a függőlegessel bezárt szöge, ha a kilengés 1 cm? 18. Az Eiffel-toronytól a talajon, a toronytól 150 méterre áll egy autó. Mekkora szögben látszik a torony emeleteiről, ha az emeletek 54 m, 115 m és 74 m magasan találhatók? 19. Egy forgáskúp alapkörének sugara 10 cm, testmagassága 5 cm. Mekkora a kúp nyílásszöge? 0. Egy piramisról tudjuk, hogy alapja egy 130 m, illetve 150 m oldalhosszúságú téglalap, magassága 18 m. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplappal?

67 9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI Mekkora szögben látszik egy 7 cm-es húr az 5 cm sugarú kör O középpontjából, és milyen távol van az O-tól? Mennyi a megfelelő körívhez tartozó körcikk területe és ívhossza?. Mekkora szögben látszik egy 10 cm-es húr a 8 cm sugarú kör O középpontjából, és milyen távol van az O-tól? Mennyi a megfelelő körívhez tartozó körcikk területe és ívhossza? 3. Egy 6,9 cm sugarú körben mekkora szögben látszik az átmérő egyik végpontjából az a 8 cm hosszú húr, amely az átmérő másik végpontjából indul ki? 4. Egy rombusz egyik átlója 10, cm, oldala 6,8 cm. Mekkorák a szögei? 5. Egy rombusz átlói 16 cm és 1,6 cm. Mekkora az oldala, területe és a szögei? 6. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 6 cm és 10 cm, szárai 5 cm hosszúak. Mekkorák a trapéz szögei? 7. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 16 cm és 10 cm, szárai 8 cm hosszúak. Mekkorák a trapéz szögei? 8. Egy trapéz hosszabbik alapja 1 cm, az ezen fekvő szögek 3 és 44 -osak. A 44 -os szög melletti szár hossza 6 cm. Mekkora a trapéz kerülete és területe?

68 68 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között Összefüggés egy szög tangense és kotangense között Egy szög szögfüggvényei között kapcsolatok vannak. Például amint már láttuk a derékszögű háromszögben és b ctg α =. a a tg α = b Egy hegyesszög tangense és kotangense egymás reciproka: Más alakban felírva az összefüggést: ctg α tgα = 1. Pótszögek szögfüggvényei Legyen a derékszögű háromszög két hegyesszöge α és β. Írjuk fel az α és β szögek szögfüggvényeit, és keressünk egyenlőket közöttük! a sin α = c b cos α = c a tg α = b b ctg α = a b sin β = c a cos β = c b tg β = a a ctg β = b Derékszögű háromszögben a két hegyesszög összege 90, ezért β felírható β = 90 α alakban. α -t és β -t egymás pótszögének nevezzük. Egy szög és pótszögének szögfüggvényei között a következő összefüggések találhatók: sin α = cos (90 α); cos α = sin (90 α); tg α = ctg (90 α); ctg α = tg (90 α).

69 9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI 69 Pitagoraszi azonosság Láttuk, hogy egy szög tangense és kotangense között egyszerű kapcsolat áll fenn: egymás reciprokai. Vizsgáljuk meg, mi lehet a kapcsolat egy szög szinusza és koszinusza között! Legyen a 60 -os derékszögű háromszög átfogója egység. Írjuk fel a háromszög másik két oldalának hosszát! Mivel az ABC háromszög fél egyenlő oldalú, ezért AC = 1 befogó Pitagorasz tétele szerint BC = AB AC = 3., a BC sin 60 =, cos 60 =, négyzetük összege sin 60 + cos 60 = + = A kapott összefüggés minden hegyesszögre igaz. Egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszege 1. Ezt az összefüggést négyzetes összefüggésnek vagy pitagoraszi trigonometrikus azonosságnak hívjuk. Az ábra szerint abban a derékszögű háromszögben, amelynek átfogója 1 egység, az oldalak hossza sinα és cos α. Ebből könnyen igazolható a négyzetes összefüggés, bármely hegyesszögre.

70 70 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A tangens és kotangens szögfüggvények kapcsolata a szinusz és koszinusz szögfüggvényekkel A szögfüggvények értelmezésénél láttuk, hogy elosztva a következőre jutunk: sinα = cosα a c b c = a c c b a sin α = és c = a b b cos α =. Ezeket egymással c, ami éppenα tangense, és a számlálót és a nevezőt felcserélveα kotangensét kapjuk. Fennáll a következő két azonosság: Ezeknek az azonosságoknak nagy jelentőségük lesz később, amikor a szögfüggvények értelmezését kiterjesztjük nem hegyesszögekre is. Mintapélda 6 Mennyi a következő kifejezések pontos értéke? a) sin 50 + tg10 ctg10 cos 40 Megoldás: 50 és 40 egymás pótszögei. A pótszögek szögfüggvényeire vonatkozó összefüggések szerint sin 50 = cos 40, ezért különbségük 0. tg α ctgα = 1, ezért tg 10 ctg10 = 1. A kifejezés értéke 1. b) sin 50 sin 50 cos40 + cos 40 Megoldás: a b = a ab + b nevezetes azonosság szerint Az ( ) sin 50 sin 50 cos40 + cos 40 = ( sin 50 cos40 ) = 0 = 0. sin + cos sin cos c) ( α α ) α α Megoldás: A nevezetes azonosság segítségével átalakítható a kifejezés: ( sinα cosα ) sinα cosα + = sin α + cos α + sinα cosα sinα cosα = = sin α + cos α = 1.

71 9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI 71 Mintapélda 7 Mutassuk meg, hogy minden α hegyesszögre fennáll a következő összefüggés: 1 = 1+ ctg α. sin α Megoldás: A bal oldalt átalakítjuk a tanult összefüggések alkalmazásával: cos α 1 + ctg α = 1+ = sin α sin = α + cos α 1 = sin α sin, vagyis teljesül az egyenlőség. α Feladatok 30. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét számológép használata nélkül! π π a) sin 30 + cos 30 ; b) 1 sin 75 cos 75 ; c) 1 sin sin ; 6 3 3π π d) cos 63 + cos 7 ; e) sin 0 cos70 ; f) sin + sin Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét számológép használata nélkül: a) ( sin 10 + cos10 ) + ( sin10 cos 10 ) ; b) sin 5 cos65 + sin 65 cos5 ; c) 1 cos 3 sin 3 cos58 + cos Igazak-e minden α hegyesszögre a következő egyenlőségek: 1 1 sinα a) = 1+ tg α ; b) = ; cos α cosα 1 cos α cosα ctg 90 α = ; d) tg sinα c) ( ) 1 ( 1+ cosα )( 1 cosα ) =. 1 sin α α 33. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét: a) ( sin α + cosα ) ( sinα cosα ) + cos α ; b) tg ( 90 α ) 4 tg c) sin α + sin α cos α + cos α ; d) cosα ; sinα α( 1+ sinα )( 1 sinα ) ( 1+ cosα )( 1 cosα ).

72 7 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Nevezetes szögek szögfüggvényei Korábban megtanultuk, hogy az a oldalú szabályos háromszög magassága a 3, és az a ol- dalú négyzet átlója a. Ezekkel az ismeretekkel meghatározhatjuk nevezetes szögek, a 30, 45 és 60 szögfüggvényeinek pontos értékeit. 30 és 60 szögfüggvényei a = a 1 sin 30 = = = cos60. a a a 3 3 cos30 = = = sin 60. a a tg30 = = = = = ctg60. a ctg 30 = = 3 = tg60. tg30 A számításban kihasználtuk a hegyesszögek szögfüggvényeinek definícióját, a pótszögek szögfüggvényeire vonatkozó összefüggéseket, és gyöktelenítettünk is. 45 szögfüggvényei a 1 sin 45 = = = = cos 45. a a tg45 = = 1 = ctg45. a

73 9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI 73 A nevezetes szögek szögfüggvényeit táblázatba is foglalhatjuk. A szögeket gyakran (például fizikai feladatokban) ívmértékben (radiánban) adják meg. α sin α cos α tgα ctgα 30 π π π Mintapélda 8 a) Mennyi a következő kifejezés pontos értéke: tg 45 + sin 18 cos 0 4cos tg30 + cos 18 + sin 70? Megoldás: Alkalmazzuk az eddig tanult azonosságokat és a nevezetes szögek szögfüggvényeit! Érdemes átcsoportosítani a kifejezést, hogy jobban lássuk az összetartozó értékeket: 1 3 = = 3. 3 b) Milyen szög szinuszával egyenlő a következő kifejezés: Megoldás: π π π π tg cos cos ctg? π π π π tg cos cos ctg = = = 4 3. Ez 3 π szinusza.

74 74 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok os derékszögű háromszögben az átfogó hossza 6 3. Mekkora a két befogó pontos hossza? os derékszögű háromszögben az átfogó hossza Mekkora a két befogó pontos hossza? os derékszögű háromszögben az átfogó hossza a 3. Mekkora a két befogó pontos hossza? 37. Mekkora az AB, BC és CD szakasz hossza, ha EB = 1 cm? 38. Az AD oszlop teteje a talajon az A-tól 6 méterre levő B pontból 45 -os szögben látszik. Az AB irányban addig távolodunk az oszloptól a talajon, amíg azt 30 -os szögben nem látjuk. Milyen messze vagyunk az oszloptól? 39. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét! a) cos60 + 3sin 30 + tg45 ; b) sin 60 ctg45 + sin 30 ; c) tg45 sin 60 + sin30 [ 1] tg60 e) ( cos60 + sin 60 ) ; d) ( 60 + cos30 ) tg30. sin ; 40. Egy 10 cm sugarú körben milyen messze vannak egymástól a 10 -os és a 90 -os középponti szöghöz tartozó, egymással párhuzamos húrok végpontjai, ha a kör középpontja a) a húrok között helyezkedik el; b) nem a húrok között helyezkedik el? 41. Egy négyzet alapú gúla alaplapjának és oldallapjának hajlásszöge 60. Mekkora az oldalél és az alaplap hajlásszöge?

75 9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI Egy négyzet alapú gúla alaplapjának és oldallapjának hajlásszöge 45. Mekkora az oldalél és az alaplap hajlásszöge? 43. Egy 10 cm sugarú kör húrja a középponttól 5 cm-re található. Számítsd ki a húrhoz tartozó körszelet kerületét és területét! 44. Egy 1 cm sugarú kör húrja a középponttól 6 cm-re található. Számítsd ki a húrhoz tartozó körszelet kerületét és területét! 45. Egy 0 cm hosszúságú húr a kör középpontjától 10 3 cm-re található. Számítsd ki a húrhoz tartozó körszelet kerületét és területét!

76 76 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE IV. A szögfüggvények alkalmazásai A szögfüggvényeket széles körben alkalmazzák mind a természettudományok, mind a hétköznapi élet területein. A következőkben erre látunk példákat, feladatokat. Mintapélda 9 Határozd meg a háromszög területét, ha két oldala 7 cm és 10 cm, a köztük levő szög 8 -os! Megoldás: 1 T = oldal oldalhoz tartozó magasság Az AB oldalhoz tartozó magasságot az ACT derékszögű háromszögből számítjuk ki: m sin 8 =, ahonnan m = 7sin T = 10 7 sin 8 16,43 cm. A kapott összefüggés általánosan is igaz, mindenféle háromszögre: a háromszög területe kifejezhető úgy is, hogy összeszorozzuk két oldalát a közbezárt szög szinuszával, és a szorzatot kettővel osztjuk. Ha az a és b oldalak által közbezárt szöget γ -val jelöljük, akkor 1 1 T = a ma = a b sin γ. A háromszög trigonometrikus területképlete: m a = b sin γ, és így

77 9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI 77 Mintapélda 10 Fejezzük ki a hegyesszögű háromszög köré írt kör sugarát egy oldalának és egy szögének segítségével! Megoldás: A köré írt kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja, és egyenlő távol van a csúcsoktól. Legyen α az A csúcsnál levő szög. BOC szög a kerületi és középponti szögek tétele miattα kétszerese, amit felez a BOC háromszög magassága. a a BOT derékszögű háromszögbensin α = =. Ebből a köré R R a írt kör sugara R =. Ez az összefüggés bármelyik oldalra és a vele szemközti szögre felírható. Átrendezve ezt az egyenlőtlenséget, a = Rsinα, vagyis az R sugarú sinα körben egy a húr hossza az átmérő és a húrhoz tartozó kerületi szög szinuszának szorzatával egyenlő. Feladatok 46. Határozd meg a háromszög területét, ha a szokásos jelölésekkel a) a = 156 cm, b =, 6 m, γ = 68 ; b) a = 4 cm, b = 3, 7 cm, γ = Mekkora az r sugarú körben az α középponti szöghöz tartozó körszelet kerülete és területe, ha a) r = 5cm; α = 70 ; b) r = 1, 3dm; α = 38 ; c) r = 0, 3cm; α = 5? 48. Mekkora az r sugarú körben az α középponti szöghöz tartozó körszelet kerülete és területe? 49. Egy l hosszúságú húr x távolságra van a kör középpontjától. Mekkora a húr által lemetszett kisebb körszelet kerülete és területe, ha a) l = 7 cm; x =,5 cm; b) l = 1 cm; x = cm; c) l = 10,9 cm; x = 1 cm?

78 78 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 50. Milyen hosszúak a szabályos ötszög átlói, ha köréírható körének sugara a) 1 cm; b) 18,3 dm? 51. Milyen hosszúak a szabályos ötszög átlói, ha oldalának hossza a) 8 cm; b) 11,8 cm? 5. A szabályos ötszög 5 átlója egy kisebb ötszöget zár közre. Mekkora ennek az ötszögnek az oldalhossza, ha az eredeti ötszög minden oldala a) 0 cm; b) 1, 8 m; c) a? Mintapélda 11 Egy kör kerületét a beleírt szabályos hatszög, illetve a beleírt szabályos hatvanszög kerületével közelítjük. Hány százalékos hibával közelítünk az egyes esetekben? Megoldás: A hiba az eltérés és a kör kerületének aránya százalékban kifejezve. A kör kerülete rπ, π -t vegyük 3, nek (gépi adat). A beleírt hatszög kerülete 6 r, a hiba rπ 6r 6r = = = 4,51%. rπ rπ π 180 A beleírt hatvanszög egy oldala r sin = r sin3. A hiba 60 rπ 10r sin3 60sin = = 0,05%. rπ π Mintapélda 1 Határozd meg a szabályos tízszög kerületét és területét, ha 10 cm sugarú kör írható köré! Megoldás: A tízszög 10 darab egybevágó háromszögre bontható a csúcsaiba húzott sugarakkal. Két szomszédos sugár által bezárt szög 36. A terület kiszámítható a trigonometrikus területképlet segítségével: r sin36 T = 10 93,9 cm. A kerület meghatározásához előbb kiszámítjuk x hosszát: x = r sin18 3,1 cm, K = 0x 6 cm.

79 9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI 79 Feladatok 53. Az r sugarú kör területéből mekkora területű rész marad ki, ha n oldalú szabályos sokszöget írunk bele, és a) r = 0 cm; n = 8 ; b) r = 15cm; n = 10 ; c) r =, 5dm; n = 1? Oldd meg a feladatot általánosan is! 54. A kör területének hány százaléka marad ki, ha bele n oldalú szabályos sokszöget írunk, és a) n = 6; b) n = 8; c) n = 10; d) n = 16? 55. Mekkora annak a 1 cm oldalhosszúságú szabályos sokszögnek a területe, amelynek oldalszáma a) 5; b) 8; c) 1? 56. Közelítsük a kör kerületét a beleírt 0 oldalú, szabályos sokszög kerületével! Hány százalékos hibát vétünk? 57. Közelítsük a kör területét a beleírt 30 oldalú, szabályos sokszög területével! Hány százalékos hibát vétünk? 58. Az ókorban a kör kerületét, végső soron π pontos értékét a köré írt és a beleírt, azonos oldalszámú szabályos sokszög kerületének átlagával közelítették. a) Keresd meg azt a k(n,r) összefüggést, amely az r sugarú körbe írt n oldalú szabályos sokszög kerületét adja meg! b) Keresd meg azt a K(n,r) összefüggést, amely az r sugarú kör köré írt n oldalú szabályos sokszög kerületét adja meg! c) Minél nagyobb n értéke, k ( n,1) + K( n,1) átlag annál jobban megközelíti az 1 egység sugarú kör kerületét, azaz π pontos értékét. Milyen n értékétől kezdve közelíti meg a tört értéke a 6,8318 értéket úgy, hogy az első 3 tizedesjegy értéke megfelelő?

80 80 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 59. Számítsd ki α szögfüggvényeinek pontos értékét: a) α =15 ; b) α =, 5! 60. Mekkora szöget zárnak be a belső és a külső érintők annál a két körnél, amelyek sugara 8 cm és 3 cm, és középpontjaik távolsága 16 cm? 61. Mekkora szöget zárnak be a belső és a külső érintők annál a két körnél, amelyek sugara 8 cm és 1 cm, és középpontjaik távolsága 30 cm? Mintapélda 13 Határozd meg az a( 3; 5) és b(4; 1) vektorok hajlásszögét! Megoldás: Keressünk olyan derékszögű háromszögeket a koordinátarendszerben, amelyek segítenek a számításban! Az ábráról leolvasható, hogy a keresett szög α β. 1 tgα = α tgβ = α 31 5 a keresett hajlásszög 135. Feladatok 6. Határozd meg az a és b vektorok hajlásszögét, ha a) a(1; 4) és b(5; ); b) a( ; 5) és b(3; ); c) a( 6; ) és b(5; 1); d) a(; 5) és b( 4; ). 63. Határozd meg az ABC háromszög szögeit, ha A ( 5;), B(3;5), C(; 4)! 64. Egy labdát 30 -os szögben felfelé dobnak el, v o = 14 m/s kezdősebességgel. Határozd meg v o kezdősebesség-vektor vízszintes és függőleges komponensének nagyságát! 65. A szánkó 170 centiméteres kötelét a földtől cm magasságban rögzítették a szánkóhoz, és a kötél végét a földtől 1,0 méter magasan húzzuk, 10 N erővel. Mekkora a húzóerő vízszintes és függőleges komponense?

81 9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI A vízszintes talajon egy pálcát ferdén, α szögben dugtak a földbe úgy, hogy y hosszúságú darabja látszik ki. Mekkora a pálca árnyéka, ha a rajz szerinti elrendezésben a fénysugarak a függőlegessel β szöget zárnak be, és a) y = m; α = 30 ; β = 1 ; b) y = 10cm; α = 7 ; β = Egy hajlásszögű lejtőn nyugvó pontszerű test súlya 40 N. Számítsd ki, hogy menynyi a súlyerőből eredő nyomóerő és gyorsító erő! A nyomóerő merőleges a felületre, a gyorsító erő a lejtővel párhuzamos. 68. Egy 48 hajlásszögű lejtőn nyugvó pontszerű test súlya 10 N. Számítsd ki, hogy mennyi a súlyerőből eredő nyomóerő és gyorsító erő! A nyomóerő merőleges a felületre, a gyorsító erő a lejtővel párhuzamos. 69. Egy derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót x és y hoszszúságú szeletekre bontja. Mekkorák a háromszög hegyesszögei és oldalai, ha a) x = 8 cm, y = 1 cm; b) x = 3 dm; y = 40 cm; c) x = 1,3 m; y = 5,4 m. 70. Egy derékszögű háromszögben a befogójának az átfogóra eső merőleges vetülete p. Mekkorák a háromszög hegyesszögei és kerülete, ha a) a = 10 cm; p = 8 cm; b) a = 0,4 cm; p = 18, cm? 71. Mekkora a szimmetrikus trapéz átlóinak hajlásszöge, ha alapjai 0 cm és 14 cm, szárai 7 cm hosszúak? 7. Mekkora a szimmetrikus trapéz átlóinak hajlásszöge, ha alapjai 14 cm és 8 cm, szárai 5 cm hosszúak? 73. A földtől 50 cm magasan lóg egy m hosszú láncra erősített hinta. Milyen magasan van a hinta a földtől akkor, amikor a lánca a függőlegessel 18 -ot zár be?

82 8 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 74. a) Egy 76 nyílásszögű spotlámpát egy gerendára rögzítettek 60 cm magasan, és pontosan függőlegesen lefelé irányítottak. Mekkora a padlón megvilágított terület? b) Milyen magasan legyen a lámpa, ha azt szeretnénk, hogy legfeljebb egy 8 m -es területet világítson be? 75. Egy félgömb alakú domb szélétől 16 méterre a domb a vízszintes talajhoz képest 17 os szögben látszik. Mekkora a gömb sugara? 76. Mekkora annak a körnek a sugara, amelyhez a körtől 15 cm távolságra levő külső pontból húzható érintők hajlásszöge 46? 77. Mekkora az a és b befogójú derékszögű háromszögben a beleírható és a köré írható kör sugara, ha a) a = 30 cm, b = 40 cm; b) a = 18 cm; b = 6 cm. 78. Egy egyenlőszárú háromszög kerülete 4 cm, a szárak hajlásszöge 5. Mekkorák a háromszög oldalai és területe? 79. Egy egyenlőszárú háromszög kerülete 10 cm, az alap és a szár hajlásszöge 7. Mekkorák a háromszög oldalai és területe? 80. Az alexandriai világítótorony az ókor hét nagy csodájának egyike volt. Egy arab utazó, Abou-Haggag Al-Andaloussi a tenger egy pontjáról a torony tetejét 4,46 -os szögben, egy 37 méterrel lejjebb eső részét 3,05 -os szögben látta. Milyen magas volt a torony, és milyen messziről nézte az utazó a tornyot? 81. Egy hegy tetején álló 8 méter magas kilátó alját egy pontról a vízszinteshez képest 15,9 -os, a tetejét 16,4 -os szögben látjuk. Milyen magas a hegy? 8. Egy 6 m magas oszlopon álló szobor alját 36,9 -os, tetejét 51,3 -os szögben látjuk. Milyen magas a szobor?

83 9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI Egy villanyoszlop tetején a jelzőbóját 3,43 -os szögben látjuk. 190 métert közeledve a villanyoszlop felé, ez a szög 8,81 -ra változik. Milyen magasan van a jelzőbója? 84. Egy 6 m magasan elhelyezkedő ablakból egy fa alja 11,3 -os depressziószögben, a teteje 8 -os emelkedési szögben látszik. Milyen magas a fa? (A depressziószög a megfigyelőtől egy nála alacsonyabban fekvő pontra irányuló látósugárnak a vízszintessel bezárt szöge.) 85. Egy hangya a földtől 63, cm magasságban az asztalról a szemközti szekrény alját 1 os depressziószögben, tetejét 18,3 -os emelkedési szögben látja. Milyen magas a szekrény? 86. 3,8 m magasban, egy ablakból határozzuk meg egy autó hosszát, amelynek hossztengelye épp merőleges az ablak síkjára. Az autó eleje 0,8 -os, a hátulja 54,6 -os depressziószögben látszik. Milyen hosszú az autó? 87. Az autópálya egyenes szakasza felett merőlegesen átívelő felüljáróról nézzük a 800 m hosszú torlódást. A legelső autót 1,40 -os, a legutolsót 0,6 -os depressziószögben látjuk. Milyen magas a felüljáró? Néhány szó a gömbi trigonometriáról (olvasmány) Láttuk, hogy síkon hogyan értelmezhetjük a szinusz- és koszinuszfüggvényeket. Számítógép és rárajzolható gömbi modellek segítségével könnyen elképzelhetjük és megszerkeszthetjük a gömbi ábrákat. Trigonometrikus számításokat pedig még jobb zsebszámológéppel is gyerekjáték elvégezni, akár nyolc-tíz tizedes jegy pontossággal is. Az alábbiakban, ízelítőül, egyetlen tételt mutatunk be a gömbi trigonometriából: a gömbi Pitagorasz-tételt. Ehhez szükséges tisztáznunk valamit, ami első pillantásra ellentmondásosnak tűnik.

84 84 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mindeddig élesen megkülönböztettük a gömbi távolságot a gömbi szögtől. A gömbi távolságot gömbi távolságegységekben, gömbi lépésekben mértük, és a főkör hosszát 360 gömbi lépésnek tekintettük. A gömbi szöget gömbi szögegységekben, gömbi fokokban mértük, és a teljesszöget 360 foknak tekintettük. Az ábra sötét gumidarabja a két fogpiszkáló között körülbelül 80 gömbi lépés hosszúságú főkördarabnak, gömbi szakasznak felel meg. Ha a gömbnek nemcsak a felületét, hanem belsejével együtt az egész gömböt tekintjük, akkor beláthatjuk, hogy a gömbi távolságot a háromdimenziós térben síkbeli szögként is felfoghatjuk. Annyit kell csak tennünk, hogy a gömbi főkördarab két végpontját összekötjük a gömb középpontjával, térbeli egyenes szakaszok segítségével. Az alábbi ábrán az előző gömbi szakasz a két fogpiszkáló félegyenesei által bezárt, körülbelül 80 fokos síkbeli szögnek felel meg. Ezek szerint a gömbi távolságot nemcsak gömbfelületi vonalként, de térbeli szögként is felfoghatjuk. Ezért nemcsak gömbi lépésekben, de a szögmérésnél megszokott fokokban is mérhetjük. Ebből következik, hogy adott gömbi szakasz szinuszát vagy koszinuszát is értelmezhetjük. A síkbeli Pitagorasz-tétel megfelelőjét keressük a gömbön. Első gondunk az, hogy a gömbháromszögnek nem csak egy, hanem két vagy három derékszöge is lehet. Hogyan választhatjuk ki ilyen esetben a három oldal közül az átfogót? Egyetlen értelmes megoldás lehetséges. Ha a háromszögben egynél több derékszög van, válasszuk ki az egyik derékszöget, és a vele szembeni háromszögoldalt tekintsük átfogónak, a másik kettőt befogónak. Erre az átfogóra és ezekre a befogókra kell teljesülnie a gömbi Pitagorasz-

85 9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI 85 tételnek. Természetesen, ha másik derékszöget választunk ki a háromszögben, és újra osztjuk az átfogó és befogó szerepeket, akkor a gömbi Pitagorasz-tételnek most is teljesülnie kell! A gömbi Pitagorasz-tétel így hangzik: Ha a gömbháromszögben találtunk egy derékszöget, a vele szembeni oldalt átfogónak nevezzük, és gömbi hosszúságát c-vel jelöljük. A másik két oldalt befogóknak tekintjük, és gömbi hosszúságukat a-val és b-vel jelöljük. a-t, b-t és c-t most síkbeli szögekként fogjuk fel, teljesül a következő egyenlőség: cos a cos b = cos c Ezt a tételt sokféleképpen bizonyíthatjuk, de itt ezzel nem foglalkozunk. Feladatok: 88. Hogyan teljesül a gömbi Pitagorasz-tétel a kétszer vagy háromszor derékszögű háromszögekre? 89. Bizonyítsuk be a gömbi Pitagorasz-tétel segítségével, hogy az a gömbháromszög, amelynek két szára 45 gömbi lépés, alapja pedig 60 gömbi lépés, nemcsak egyenlőszárú, hanem derékszögű is!

86 86 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kislexikon Egy α hegyesszög szinusza az α szögű derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosa. Egy α hegyesszög koszinusza az α szögű derékszögű háromszögben az α szög melletti befogó és az átfogó hányadosa. Egy α hegyesszög tangense az α szögű derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti befogó és az α melletti befogó hányadosa. Egy α hegyesszög kotangense az α szögű derékszögű háromszögben az α melletti befogó és az α szöggel szemközti befogó hányadosa. Nevezetes szögek szögfüggvényei α sin α cos α tgα ctgα 30 π π π

87 9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI 87 Tételek és bizonyítások Összefüggés egy szög tangense és kotangense között a b A derékszögű háromszögben tg α = és ctg α = definíciókból b a leolvasható, hogy egy szög tangense és kotangense egymás 1 reciproka: ctg α =, más alakban felírva ctg α tgα = 1. tg α Pótszögek szögfüggvényei Egy derékszögű háromszög hegyesszögei α és β. Írjuk fel α és β szögek szögfüggvényeit, és keressünk egyenlőket közöttük! a sin α = c b cos α = c a tg α = b b ctg α = a b sin β = c a cos β = c b tg β = a a ctg β = b A két hegyesszög összege 90 (egymás pótszögei), ezért β felírható Az így kapott összefüggéseket a pótszögek szögfüggvényeinek nevezzük. β = 90 α alakban. sin α = cos(90 α) ; cosα = sin(90 α) ; tg α = ctg(90 α) ; ctg α = tg(90 α). Pitagoraszi azonosság a és b befogójú, c átfogójú derékszögű háromszögben (a-val szemközti szög: α ) a sin α = c b cos α = c a sin α + cos α = c b + c a = + b c c = c = 1 Ugyanis a Pitagorasz-tétel szerint + b c, ezért sin + cos α = 1 a = Ezt az összefüggést négyzetes összefüggésnek is hívjuk. α. Az összefüggésből az adódik, hogy sinα = 1 cos α, illetve cosα = 1 sin α.

88 88 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A tangens és kotangens szögfüggvények kapcsolata szinusz és koszinusz szögfüggvényekkel A szögfüggvények értelmezésénél láttuk, hogy elosztva a következőre jutunk: sinα = cosα a c b c = a c c b a sin α = és c = a b b cos α =. Ezeket egymással c, ami éppenα tangense, és a számlálót és a nevezőt felcserélveα kotangensét kapjuk. Fennáll a következő két azonosság: sinα tg α = és cos α cosα ctg α =. sinα Nevezetes szögek szögfüggvényei A speciális háromszögeknél megtanultuk, hogy az a oldalú szabályos háromszög magassága 3 a, és az a oldalú négyzet átlója a. Ezekkel az ismeretekkel meghatározhatjuk a nevezetes szögek, a 30, 45 és 60 szögfüggvényeinek pontos értékeit. 30 és a 60 szögfüggvényei a = a 1 sin 30 = = = cos60 a a 3 a 3 cos30 = = = sin 60 a a tg30 = = = = = ctg a 1 ctg30 = = 3 = tg60 tg30 A számításnál kihasználtuk a hegyesszögek szögfüggvényeinek definícióját, a szögfüggvényekre vonatkozó összefüggéseket, és gyöktelenítettünk is.

89 9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI szögfüggvényei a 1 sin 45 = = = = cos 45 a a tg45 = = 1 = ctg45 a

90

91 10. MODUL gráfok Készítette: Lövey Éva

92 9 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Gráfok mindenhol A gráfelmélet a matematika viszonylag új ága. Történetét Euler svájci matematikus 1736-ban megjelent dolgozatától számítják, amely a königsbergi hidak néven ismert problémával foglalkozik. A königsbergi hidak problémája Az 1730-as években Königsberg (ma Kalinyingrád, Oroszország) város polgárai azzal a kérdéssel fordultak Eulerhez, a kor neves matematikusához, hogy vajon át lehet-e menni a várost átszelő Pregel folyó két szigetére épült hét hídon úgy, hogy minden hídon csak egyszer áthaladva visszatérjünk a kiindulópontra? A város térképe A térkép sematikus rajza Euler a problémát úgy oldotta meg, hogy készített egy rajzot, amelyben a városrészeket pontokkal szemléltette, az ezeket összekötő hidakat pedig vonalakkal. Euler vázlata a városról: Az így elkészített alakzatot gráfnak nevezzük. A gráfelméletben a pontokat csúcsoknak, az őket összekötő vonalakat pedig éleknek nevezzük.

93 10. modul: GRÁFOK 93 Euler nyomán tehát így fogalmazhatjuk át a problémát: Bejárhatjuk-e a gráfot úgy, hogy ugyanabba a csúcsba érkezzünk vissza, ahonnan elindultunk, és minden élen csak egyszer haladjunk végig? (A feladat megoldására majd visszatérünk.) Gráfelmélettel több híres magyar matematikus is foglalkozott és foglalkozik napjainkban is. Csak néhányat említve a nevek közül: Erdős Pál, Gallai Tibor, König Dénes, Lovász László, Pósa Lajos, Rényi Alfréd és T. Sós Vera. Erdős Pálról még a későbbiekben szó lesz. Mintapélda 1 Tekintsük most azt a gráfot, amelyet Euler rajzolt a königsbergi probléma megfejtéséhez. A csúcsokat A,B,C és D betűkkel jelöltük, és számoljuk meg, hogy az egyes csúcsokból hány él fut ki! Számoljuk meg azt is, hány élt tartalmaz a gráf, majd vessük össze a csúcsok fokszámainak összegével! Egy gráfban a csúcsok fokszáma a csúcsba futó élek száma. Megoldás: A csúcsokból kiinduló élek számát a függvényekhez hasonlóan jelöljük a matematikában, azaz az A csúcsból 5 él fut ki, tehát ( A) = 5 Hasonlóan az összes élre: f f f ( B) = 3, ( C) = 3, ( D) = 3. f. A gráf éleinek száma 7. Észrevehetjük, hogy f ( A) + f ( B) + f ( C) + f ( D) = 14, ami éppen kétszer annyi, mint a csúcsok fokszáma összege. Véletlen-e ez az egybeesés? Könnyen beláthatjuk, hogy nem! Egy csúcs fokszáma azt jelzi, hogy hány él indul ki belőle. Ha tekintjük azt az élt, amelyik az A és C csúcsokat köti össze, azt beleszámoltuk az A csúcs és a C csúcs fokszámába is, ebből adódik a kétszeres szorzat.

94 94 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Megállapíthatjuk tehát: Bármely gráfban a csúcsok fokszámának összege az élek számának kétszerese. Mintapélda Jancsi és Juliska elaludt egy fa alatt, és amikor felébredtek, nem találták édesapjukat. Fától fáig futottak és keresték őt, majd a fáradtságtól újra elnyomta őket az álom. Kóborlásuk alatt végig kavicsokat szórtak el az úton. Meg tudjuk-e mondani, hogy melyik fától indultak, és hol lehetnek most? Két különböző rajzunk van a történtekről: Megoldás: Ha egy fához csak odaszaladtak, majd onnan el is mentek, a fát jelző csúcsnál két él jelenik meg. Az ilyen csúcsok fokszáma vagy 4, vagy annyiszor kettő, ahányszor a fánál jártak. Az indulási és érkezési helyet onnan ismerjük fel, hogy az adott csúcsok fokszáma páratlan, hiszen nem ugyanannyiszor indultak el onnan, mint ahányszor megérkeztek. Tehát az első esetben az indulás és érkezés helye az A vagy az F fa lehet. A második esetben minden csúcs fokszáma páros. Tehát nem tudjuk megmondani, hol lehetnek most, de az biztos, hogy ugyanott, ahonnan elindultak.

95 10. modul: GRÁFOK 95 Mintapélda 3 Mutassuk meg, hogy a königsbergiek hiába próbálkoznak a hidak bejárásával! Megoldás: Az első mintapéldában megállapítottuk, hogy a csúcsok fokszáma 5;3;3;3. Azt is megállapítottuk az előző mintapélda kapcsán, hogy ha egy gráf egy valóban bejárt útvonalat jelöl, vagy minden csúcs fokszáma páros, vagy pontosan páratlan fokszámú csúcsa van, az indulásé és az érkezésé. A königsbergiek Eulerhez intézett kérdésére a válasz: a hidak tehát nem járhatók be a kérdésben szerepeltetett feltételeknek megfelelően, mert a Königsbergi hidak gráfjában 4 olyan csúcs van, melynek fokszáma páratlan. Feladatok: 1. Egy házaspár elhatározza, hogy taxival fogja végigjárni a város bizonyos utcáit. Meg tudják-e ezt tenni úgy, hogy minden útszakaszon csak egyszer menjenek végig? Hova rendeljék a taxit, azaz honnan érdemes indulni? Tervezz meg egy utat a feltételeknek megfelelően!. A paraffinmolekula általános képlete C n H n+, tehát n számú szén és n+ számú hidrogénatomból állnak. Tudjuk, hogy molekuláris modelljükben a szénatomot jelképező csomópontok fokszáma 4, a hidrogénatomoké 1. Rajzold fel azt a gráfot, amely az n = 1 (etán), n = (metán) és az n = 3 (propán) molekuláris modelljét adja! 3. Hat kosárlabda csapat, A, B, C, D, E, és F körmérkőzést játszik egymással. A lejátszott mérkőzéseket az egyes csapatok közötti élek jelölik. a) Hány fordulós lesz a körmérkőzés? b) Hányadik fordulónál tartanak éppen most? d) Ennek a fordulónak melyik mérkőzése van még hátra? e) Írd fel, milyen mérkőzések lesznek az utolsó fordulóban!

96 96 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. A térkép Budapest metróhálózatát mutatja a négyes metró megépülése után. Az egyes állomásokat rácspontoknak tekintve add meg a rácspontok fokszámát! Add meg a legkisebb, illetve legnagyobb fokszámú állomások nevét! Mi jellemzi ezeket az állomásokat? 5. Rajzolj olyan hatpontú gráfot, melyben a pontok fokszáma: a) 1; ; ; ; 3; 4, b) 1; 1; ; ; 3; 5, c) 5; 5; 5; 5; 5; 5, d) 1; ; ; 3; 3; Egy tárgyalás kezdetén 5 ember van a teremben. Akik nem ismerik egymást, névjegykártyát cserélnek. a) Mutasd meg, hogy páros azoknak az embereknek a száma, akiknél a végén páratlan számú idegen névjegykártya van! b) Próbáld ezt igazolni akkor is, ha nem tudjuk, hány ember gyűlt össze a teremben! 7. Öt diák utazik együtt egy vasúti fülkében. Nevezzük őket Aladárnak, Bélának, Cilinek, Dénesnek és Elemérnek. Így nyilatkoznak: Aladár: A fülkében ülők közül 4 embert ismerek. Béla: A fülkében ülők közül 3 embert ismerek. Cili: A fülkében ülők közül embert ismerek. Dénes. A fülkében ülők közül 1 embert ismerek. Elemér: A fülkében ülők közül nem ismerek senkit. Feltételezve, hogy senki nem számolja bele saját magát az ismerősei közé, és az ismeretségek kölcsönösek, igaz lehet-e a fenti állítás-sorozat? 8. Hány olyan 5 csúcsú, egyszerű gráf van, amelyben minden csúcs legalább harmadfokú?

97 10. modul: GRÁFOK A gráf minden egyes csúcspontja egy-egy országot jelöl. Két országot akkor köt össze él, ha azok határosak egymással. Add meg, melyik betű melyik országot jelöli, ha tudod, hogy A = Magyarország és B = Moldova. I A B H C G D F E

98 98 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A pletyka terjedése Mintapélda 4 A térképen Budapest éjszakai járatait tüntették fel (a 005-ös menetrend szerint). Ha az állomásokat csúcspontoknak, a buszjáratok két megálló közti részét pedig éleknek tekintjük, gráfot kapunk. Állapítsuk meg, el lehet-e jutni éjszakai járattal a III. kerületi Bécsi úttól a XV. kerületi Erdőkerülő utcáig. (A kiindulási és a célállomást piros körrel jelöltük.) Megoldás: Az út megtehető, ha az 1É (kék) járatról átszállunk a 173É (zöld) járatra. Ha gondosan vizsgálgatjuk a térképet, megállapíthatjuk, hogy a gráf bármely csúcspontjából el lehet jutni a gráf bármely másik csúcspontjába. Ilyenkor azt mondjuk, a gráf összefüggő. Mintapélda 5 Válaszd ki az alábbi gráfok közül az összefüggőeket! a) b) c)

99 10. modul: GRÁFOK 99 Megoldás: Az a) és b) jelű gráfok összefüggőek, míg a c) jelű nem, hiszen például a fölső pontból éleken haladva nem tudunk eljutni az alsó pontba. Mintapélda 6 Mutassuk meg, hogy a b) jelű gráf összefüggő, azaz mutassuk meg, mely csúcspontokon keresztül lehet eljutni az egyes pontokhoz! Megoldás: Elegendő megmutatni, hogy el lehet jutni A-ból B-be, mert ezt az utat visszafelé megtéve lehet eljutni B-ből A-ba. Hasonlóan a többi pontpárra is csak egy megoldást írtunk le. A A B: A-E-B A C: A-C B E: B-E B F: B-E-F F A D: A-D C D: C-E-D B A E: A-E C E: C-E A F: A-E-F B C: B-E-C C F: C-E-F D E: D-E E C B D: B-E-D D F: D-E-F E F: E-F D Tehát a b) jelű gráf összefüggő. Mintapélda 7 Egy munkahelyen 1 ember dolgozik: A, B,C, D,E, L A B F, G, H, I, J, K és L. L valahol meghallott egy rosszindulatú pletykát A-ról. A pletykát mindenki továbbadja 5 perc alatt annak, akivel barátkozik. K C A következő gráf azt mutatja, hogy ki kivel van baráti kapcsolatban. J D a) Eljuthat-e a pletyka A-hoz? b) Hány különböző úton juthat el a pletyka I E hozzá? c) Hány perc múlva juthat el hozzá a rossz hír? H G F d) Valaki a társaságból nem adta tovább a pletykát, így A-hoz nem jutott el a hír. Ki lehetett az?

100 100 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Megoldás: a) Igen, megtudhatja többféleképpen is, hiszen L elmondja például C-nek, C J-nek, J B- nek, B H-nak, H F-nek, majd F elújságolja A-nak. b) A következő három kérdésre sokkal könnyebben válaszolhatunk, ha a gráfot másképpen, azaz ügyesebben rajzoljuk meg. Semmi sem kényszerít arra, hogy a csúcspontokat egy körön helyezzük el. Csak arra kell ügyelnünk, hogy pontosan azok a pontok legyenek élekkel összeköt- F H ve, mint az előző gráfon. A rajzot J C célszerű a legmagasabb fokszámú D A pont felrajzolásával kezdeni. Ilyen- E L B kor az eredetivel izomorf gráfot G I K hozunk létre. Ezen a gráfon ellenőrizhetően ugyanazok a csúcspontok vannak összekötve, mint az előzőn. Feladatunk szempontjából azonban sokkal praktikusabb, a válasz könnyen leolvasható. L-ből A-ba csak úgy juthatunk el, ha B-n keresztülmegyünk. L-ből B-be három úton juthatunk, B-ből A-ba szintén három úton, így L-től A-ig a pletyka 9 úton juthat el. Ezek a következők: L-C-J-B-H-F-A; L-C-J-B-D-A; L-C-J-B-I-G-A; L-E-B-H-F-A; L-E-B-D-A; L-E-B-I-G-A; L-K-B-H-F-A; L-K-B-D-A; L-K-B-I-G-A. c) A felsorolásból látszik, hogy eljuthat A-hoz a pletyka 0, 5 vagy 30 perc alatt. d) Ügyesebb ábránkból könnyen megállapíthatjuk, hogy egyedül B van abban a helyzetben, hogy megállíthatja a pletykát. Mintapélda 8 Gondolom, sokaknak ismerős a következő ábra. Ez az iwiw ismeretségi hálón elérhető szolgáltatás. Térképnek hívják. A kékkel jelölt téglalapban szereplő embert ismerősei veszik körül. Az ismeretség tényét a nevük közé húzott él jelzi. Látszik,

101 10. modul: GRÁFOK 101 hogy az ismerőseink közti kapcsolat is gyakori, sok az ismeretségek által alkotott kapcsolati háromszög. Add meg a kékkel jelzett felhasználó csúcspontjának fokszámát! Megoldás: Az éleket megszámolni szinte lehetetlen, de mivel tudjuk, hogy a kék felhasználó ismerősei vannak a gráfon, elég megszámolni a gráf csúcspontjait, és abból levonni a kék csúcspontot. Tehát a kékkel jelzett felhasználó rácspontjának fokszáma 9 1 = 8. Feladatok: 10. a) A nyomtatott nagybetűk közül melyiket tudjuk lerajzolni a ceruza felemelése nélkül úgy, hogy egyik vonalon se menjünk át kétszer? b) Hány olyan betű van ezek között, amit úgy tudunk megrajzolni, hogy ugyanoda érkezünk vissza, ahonnan elindultunk? ABCDEFGHIJKLMNORPSTUVZ 11. Válaszd ki az alábbi rajzok közül, melyiket lehet a ceruza felemelése nélkül egyetlen vonallal lerajzolni úgy, hogy egy vonalon se haladj kétszer: 1. Egy öttagú társaságban igaz, hogy mindenki pontosan két embert ismer a társaságból. Igaz-e, hogy ennek ellenére egy információ bárkitől bárkihez eljuttatható? (Az ismeretséget kölcsönösnek tételezzük fel.) 13. Hat szigetet hat híd köt össze. Rajzold meg a hidakat úgy, hogy a) minden szigetről minden szigetre el lehessen jutni. b) legyen olyan sziget, ahonnan sehova sem lehet jutni. c) minden szigeten legyen legalább két híd, de ne lehessen minden szigetre eljutni egyikről sem.

102 10 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 14. Egy diákkonferencián megkérdezték a résztvevőket, kinek hány iskolatársa van jelen. A diákok mindegyike válaszolt. Öten mondták azt, hogy 4 iskolatársuk van ott, nyolcan mondtak 3-at, hárman -t és négyen 1-et. Minden iskolából jött egy kísérőtanár is, más tanár viszont nem volt jelen. Készíts a feladat alapján gráfot, melyben olyan diákokat kötsz össze, akik egy iskolából érkeztek. Összefüggő lesz-e a kapott gráf? Hány diák és hány tanár vett részt az összejövetelen?

103 10. modul: GRÁFOK 103 III. Családfa és egyéb fák Mintapélda 9 Igaz-e, hogy dédapáink nagyapjai és nagyapáink dédapjai ugyanazon személyek? Megoldás: Rajzoljuk meg a rokonsági kapcsolatokat ábrázoló gráfot! A gráf legalsó pontja a legifjabb leszármazott, a fölötte levő szinten a szülők, nagyszülők, és így tovább. A gráf egyes csúcspontjai feketék, illetve pirosak attól függően, hogy férfit, vagy nőt jelképeznek. A nagyapák dédapáit kékkel karikáztuk be, a dédapák nagyapjait zöld háromszög keretezi. Látható, hogy a két jelölés nem mindig ugyanazokat az ősöket jelöli, tehát a kérdésre a válasz nemleges. Az ilyen elrendezésű gráfokat fagráfoknak szokták nevezni. Hogy rámutassunk, miért is ez az elnevezés, tekintsük egymás mellett egy családfa, egy fa és egy fagráf ábráját. Egy fagráf bármely két pontja között pontosan egy út vezet.

104 104 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A fagráfra jó példa a számítógép könyvtárának elrendezése is. Itt még a gyökér elnevezés is előfordul, ami szintén mutatja az elnevezés jogosságát: A számítógép könyvtárában az egyes elemek elérhetőségét egy fagráffal tudjuk a legszemléletesebben ábrázolni: A családfákon általában minden csúcsba (minden emberhez) csak egy úton juthatunk el valamely másik emberhez, mert a rokonok közti házasság általában nem szokás. Ha egy régi királyi család családfáját tekintenénk, ott láthatnánk, hogy két unokatestvér is összeházasodott néha, így az ábra a következőképpen módosulna: Az ifjú gróftól a kékkel bekarikázott úrig két különböző úton ( a piroson és a zöldön) is eljuthatunk. Ilyenkor a gráf nem fa. Fagráfot alkot általában a víz és csatornahálózat is, valamint az elektromos hálózat. Hátránya a fagráfnak, hogy bármely él sérülése esetén akadnak olyan csomópontok, amelyek között nem lesz út, a gráf már nem lesz összefüggő. Ha az emberi erek hálózatából csak az artériás vagy csak a vénás erek hálóját tekintjük, ugyancsak fagráfhoz jutunk. Így ha az ér egy ponton elzáródik, az óhatatlanul több vagy kevesebb sejt pusztulásával jár.

105 10. modul: GRÁFOK 105 Mintapélda 10 Készítsük el az összes lehetséges 6 csúcsú fagráfot! Megoldás: 6 pontú gráfot már 5 él segítségével összefüggővé tudunk tenni. Minden további él elhelyezése esetén lesz két olyan pont, melyek között több út is vezet. Ha a gráfnak 5 éle van, akkor csúcspontjainak fokszámát összeadva 10-et kapunk. Minden csúcs fokszáma legalább 1, hiszen nem lehet izolált pont, ugyanis bármely két pont között pontosan 1 út vezet, tehát minden pontba vezet él. A 10-et 6 darab pozitív egész szám összegeként így állíthatjuk elő: A fenti 6 ábra ezeknek felel meg. Megjegyzés: Megfigyelhetjük, hogy a 6 csúcspontú fagráfokban 5 él van. Egy budapesti autóstérképen keressük meg a Nagykörút és a Wesselényi utca környékét! Ha a mellékelt térképvázlatot nézzük, látható, hogy a budapesti belváros utcáin nem lehet mindkét irányba haladni. Ha az Akácfa utca és a Dob utca sarkától a Dob utca és Kis Diófa utca sarkáig akarunk eljutni, az egyirányú utcák miatt kerülőt kell tennünk. Ha gráfon akarjuk ábrázolni ezt a környéket, az utcasarkok lesznek a csúcspontok, a köztük

106 106 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE levő utcákat azonban irányított élekkel kell ábrázolni. Látható, hogy az Erzsébet körúton és a Király utca egy szakaszán mindkét irányban lehet haladni, ezt a gráfon is tudjuk érzékeltetni. Az olyan gráfokat, melyekben az élek irányítást is kapnak, irányított gráfoknak nevezik. Irányított gráfokat gyakran használnak a vállalatok üzleti kapcsolatainak ábrázolására is. Mintapélda 11 Az ábra nyilai üzleti tranzakciókat mutatnak különböző cégek között. Ha a nyíl az A pontból a C-be mutat, az azt jelenti, hogy A ad megrendelést a C cégnek. Elemezzük az ábrát, és válaszoljunk a következő kérdésekre: a) Hány céggel áll üzleti kapcsolatban a G cég? b) Hány céggel áll üzleti kapcsolatban az F cég? c) Melyik cég adja a legtöbb megrendelést? (Találjuk ki, milyen jellegű tevékenységet folytathat.) d) Milyen jellegű tevékenységet folytathat az I cég? Megoldás: a) A G cég 3 másik céggel van üzleti kapcsolatban. b) Az F cég nem áll kapcsolatban a fenti cégek egyikével sem (izolált pont). c) Az A és a D cég adja a legtöbb megrendelést, lehet, hogy kiskereskedelemmel foglalkoznak, beszállítóik vannak, ezért tőlük nem rendel senki. d) Az I cég lehet például egy termelő cég, melytől a többi cég rendel. Egyetlen másik cégtől rendel, ez a C, ami esetleg valamilyen alkatrészt gyárt.

107 10. modul: GRÁFOK 107 Mintapélda 1 6 csapat körmérkőzést játszik. Az egymás elleni mérkőzések eredményeit egy táblára jegyezték, de sajnos valaki letörölte a csapatok nevét az első oszlopból. Szerencsére Sanyi egy papírdarabkára rajzolt gráfon rögzítette, ki győzött le kit. Segíts újra beírni a csapatok nevét a táblázatba! csapatok A B C D E F pontszám A 3:1 0:0 :1 0:1 1: 5 B 1:3 1:1 0: 0:1 0:3 1 C 0:0 1:1 1:1 :1 3:4 5 D 1: :0 1:1 : 1: 4 E 1:0 1:0 1: : 1:0 7 F :1 3:0 4:3 :1 0:1 8 Megoldás: A táblázatban 4 döntetlen mérkőzés van, a gráfon 4 oda-vissza nyíl, így csak ez jelentheti a döntetlen mérkőzést. Egy olyan csapat van, amely pontosan 3-szor nyer, de egy olyan csapat sincs, aki pontosan 3-szor veszített, ezért meg kell nézni, melyik irányú nyílból van valamely csapatnál pontosan 3. Ez a csapat az E jelű lesz. A gráfon az látszik, hogy a Balra csapata az, amelyiknek 3 azonos típusú nyila van, és ez a Balra csapat csúcsából indul ki, tehát a nyíl a győztestől a legyőzött felé mutat. Tehát E = Balra. 3 döntetlent csak egy csapat ért el, a C jelű, ez a gráf szerint a Hova. C = Hova. 4-szer csak egy csapat győzött, tehát F = Jobbra. Egy olyan csapat van, amely négyszer vesztett, tehát B = Előre. Egy olyan csapat van, amelyik kétszer győzött, tehát A = Sajtok. D csapat tehát csak a Tovább nevű csapat lehet. A helyesen kitöltött táblázat: csapatok A B C D E F pontszám Sajtok A 3:1 0:0 :1 0:1 1: 5 Előre B 1:3 1:1 0: 0:1 0:3 1 Hova C 0:0 1:1 1:1 :1 3:4 5 Tovább D 1: :0 1:1 : 1: 4 Balra E 1:0 1:0 1: : 1:0 7 Jobbra F :1 3:0 4:3 :1 0:1 8

108 108 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok: 15. a) Készítsd el az összes lehetséges 4 csúcsú fagráfot! b) Készítsd el az összes lehetséges 5 csúcsú fagráfot! 16. Válaszd ki az alábbi gráfok közül, melyek fák, és melyek nem azok! 17. Az ábrán szereplő karikákban a gráf csúcsaiban ismeretlen számok vannak, de az irányított gráfban a piros nyilakról tudjuk, hogy a nagyobb szám felé mutatnak. Meg tudod-e rajzolni mindegyik kék nyíl hegyét úgy, hogy a nagyobb szám felé mutasson?

109 10. modul: GRÁFOK 109 IV. A 3 ház 3 kút problémától a nyomtatott áramkörökig Olvasmány: Erdős Pálról ( ) a gráfelmélettel is foglalkozó világhírű matematikusról érdemes megemlíteni, hogy élete folyamán nemcsak a matematikai problémák megoldásában, hanem érdekes problémák felvetésben is jeleskedett. Kiterjedt kapcsolatban állt a világ sok tudósával (nem kizárólag matematikusokkal), és nagy dicsőségnek számított (számít) az, ha valaki közösen publikálhatott vele. Annyira, hogy nemcsak azt tartják számon, ha valaki közvetlenül vele írt közös tudományos munkát, hanem azt is, ha olyan emberrel dolgozhattak együtt, aki vele kapcsolatban állt. A kapcsolat közeliségét az Erdős-szám jelzi. Vagyis Erdős Pál Erdős-száma 0, valakinek az Erdős-száma 1, ha írt Erdőssel közös cikket, valakinek az Erdős-száma, ha nem írt Erdőssel közös cikket, de írt közös cikket egy olyan szerzővel, akinek az Erdős-száma 1. Valakinek az Erdős száma 3, ha nem írt közös cikket sem Erdőssel, sem 1 Erdős-számú szerzővel, de írt közös cikket valamely Erdős-számúval... és így tovább. Próbáljuk ezt a kapcsolatot gráfokon szemléltetni. Erdős Pál Rényi Alfréddal és T. Sós Verával közösen írt egy cikket. Eszerint Rényi Alfréd és T. Sós Vera Erdős száma 1. T. Sós Vera közösen írt tankönyvet Laczkovich Miklóssal, de Laczkovich Miklós nem írt közös munkát Erdős Pállal, így az ő Erdős száma. (Az említettek mind nemzetközileg elismert matematikusok.) Erdős Pál Réni Alfréd T. Sós Vera Laczkovich Miklós Természetesen Erdős Pál nem csak Rényi Alfréddal és T. Sós Verával írt közös cikket, tehát sok százra tehető azon tudósok száma, akiknek Erdős száma 1. Ez azt jelenti, ha egy gráfon szeretnénk ábrázolni a tudósok tudományos kapcsolatait, abból a csúcsból, amelyik Erdős Pált jelképezi, több száz él indulna ki. Azt mondjuk, a gráf Erdős Pált jelképező pontjától Laczkovics Miklósig a legrövidebb út hossza, mivel két élen át haladva jutunk el oda.

110 110 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 13 Egy bútorgyár szerződést köt egy külföldi fagazdasággal nagy mennyiségű fa szállítására. A szállítás nem sürgős, egyetlen szempont, hogy olcsó legyen. A gráf mutatja a lehetséges szállítási módokat. (A fekete vasúti, a kék vízi, a barna közúti szállítást jelez.) Az éleken feltüntetett számok azt mutatják, hányszor tízezer forintba kerül a szállítás. Tervezzük meg a szállítás legolcsóbb módját! Megoldás: Számoljuk meg, hány különböző úton juthatunk el a fatelepről a gyárba, és közben adjuk össze az egyes utak éleinek összköltségét: fatelep A B gyár: = 14, fatelep B gyár: = 15, fatelep C B gyár: = 13, fatelep C D gyár: = 11. Látható, hogy az utolsó útvonal a legolcsóbb, vízi úton C-ig, majd vasúton D-ig, onnan pedig közúton a gyárig. Mintapélda 14 Köss össze három házat három kúttal úgy, hogy az útvonalak ne keresztezzék egymást!

111 10. modul: GRÁFOK 111 Megoldás: Akárhogy próbálkozunk, 8 utat még meg tudunk építeni úgy, hogy ne legyen kereszteződés, de a kilencediket nem sikerül. Ennek oka az, hogy akárhogy próbáljuk megépíteni az első nyolc utat, keletkezik egy kör, mely elválasztja egymástól azt a kutat és házat, melyek még nincsenek összekötve. Amikor egy gráf olyan, hogy minden élét be tudjuk rajzolni úgy, hogy az élek között nincs metszésvonal, akkor a gráfot síkba rajzolhatónak nevezzük. A három ház három kút gráf nem síkba rajzolható. Ez egy érdekes fejtörő, amit sokszor feladtak már az idők folyamán, de miért is olyan lényeges probléma ez a valós életben? Hiszen mi gondot okoz, ha néhány út keresztezi egymást? Azon túl, hogy nagy forgalmú utak kereszteződése mindig lassítja a keresztülhaladást, és balesetveszély forrása is, de az igazi ok a nyomtatott áramkörök világában kereshető. A nyomtatott áramkörök környezetünkben mindenütt megtalálhatóak. Nélkülük nem lehetne mobiltelefonod, MP3-lejátszód, számítógéped. Még az automata mosógépekben, a televízióban és a rádióban is megtalálhatók. A mai számítógépeddel azonos tudású számítógépet nyomtatott áramkörök nélkül csak teremnyi méretekben lehetne elképzelni. A nyomtatott áramkörök lényege az, hogy az áramkörök megépítésekor kusza vezetékdzsungelek helyett egy szigetelő lapra vezető anyaggal (általában rézzel) rajzolt csíkok vezetik az áramot. Így már érthető, miért is nem keresztezhetik egymást ezek a vonalak.

112 11 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A kék ábra azt mutatja, hogy a bonyolult kapcsolási rajzot hogyan készítik el. A jobb oldalon látható két kép a megvalósítást mutatja. A nyomtatott áramkör egyik oldalán a sárga szigetelő rétegen futnak a szürke vékony vezető csíkok, a másik oldalán pedig rögzítik az összekötendő áramköri elemeket. Ha a mérnökök azt tapasztalják, hogy a megtervezett áramköri gráf nem síkba rajzolható, kénytelenek többrétegű nyomtatott áramköröket tervezni. Mintapélda 15 Síkba rajzolható-e ez a gráf? Megoldás: Ahhoz, hogy át tudjuk rajzolni a gráfot, érdemes nevet adni az egyes csúcspontoknak, és akkor könnyebben kísérletezünk az átrendezéssel.

113 10. modul: GRÁFOK 113 Feladatok: 18. Az alábbi irányított gráfon T-vel a termelőt, V-vel pedig a vevőt jelöltük. Az egyes nyilakon szereplő értékek pedig azt mutatják, hány százalékos árréssel dolgoznak az egyes kereskedők. (Azaz a vételi ár hány százalékával magasabb áron adják tovább a terméket.) A, B és C nagykereskedőket, D, E és F pedig a kiskereskedőket jelöli. a) Állapítsd meg, mikor jár a legjobban és mikor a legrosszabbul a vevő. b) Számítsd ki mindkét esetben, mennyibe kerül a termelő által ért eladott áru a vevőnek, ha a kiskereskedő a haszonkulcsán kívül még a 0%-os ÁFÁ-t (forgalmi adó) is az árhoz számítja! 19. Az ábrán látható gráf azt mutatja, hogy egy jó hírt milyen gyorsan tudnak meg az egyes emberek, azaz ki kinek hány perc alatt mondja el. A hír forrása E, és tudni szeretnénk, mikor tudja meg először a hírt D. (A jó hírt a legtöbben szívesen továbbadják, így előfordulhat, hogy egy-egy ember több ízben is megtudja.) 0. Döntsd el az alábbi gráfról, hogy síkba rajzolható-e, vagy sem:

114 114 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 1. Egy király végakaratában meghagyta három fiának, osszák föl az országot, de úgy, hogy valamennyien egymás szomszédjai maradjanak, tehát legyen közös határuk. (Igyekezzetek azonos nagyságú területekre osztani a kör alakú királyságot!) Oszd fel az országot a királyfiaknak úgy, hogy a király kívánsága teljesüljön, ha a királynak a) három fia van, b) négy fia van, c) öt fia van.. Tekintsük azt a gráfot, amelynek csúcspontjai egy kocka csúcspontjai, és két csúcs között akkor van él, ha az a kocka éle. a) Hány csúcsa és éle van a gráfnak? b) Állapítsd meg a csúcsok fokszámát! c) Rajzolj meg egy ilyen gráfot a füzetedbe! d) Meg tudod-e rajzolni ezt a gráfot a síkban úgy, hogy az élek ne keresztezzék egymást? 3. Egy kocka hálóját látod a rajzon. Színezd ki a hálót a legkevesebb színnel úgy, hogy a hálót összehajtva se legyen a szomszédos lapoknak azonos színe! 4. Egy lakóparkba 5 nagyobb házat terveznek, valamint a következő épületeket: bolt, zöldséges, újságos pavilon, papírbolt, cukrászda, orvosi rendelő, gyógyszertár, óvoda, iskola. A tervezés fontos feltétele, hogy az utak ne keresztezzék egymást, és legyen közvetlen útja: az 1. lakóháznak az újságoshoz, a bolthoz és a 3. lakóházhoz; a. lakóháznak a zöldségeshez, a cukrászdához és az 5. lakóházhoz; a 4. lakóháznak a rendelőhöz, a gyógyszertárhoz és a 3. lakóházhoz, (az egyszer már szereplő utat nem említjük meg újra); az 5. lakóháznak szintén a rendelőhöz és a gyógyszertárhoz; a papírboltnak a 3. lakóházhoz, az óvodához és az iskolához; a cukrászdának az óvodához és az iskolához;

115 10. modul: GRÁFOK 115 a zöldségesnek a bolthoz és az újságoshoz; a rendelőnek a patikához; az óvodának az iskolához; a boltnak az újságoshoz. a) Tervezd meg, hogyan helyezkedjenek el az egyes épületek és az utak! b) Be tudja-e járni a postás ennek a lakóparknak az összes épületét úgy, hogy egyetlen úton se haladjon többször?

116 116 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kislexikon A gráfelméletben a pontokat csúcsoknak, az őket összekötő vonalakat pedig éleknek nevezzük. Egy gráfban a csúcsok fokszáma a csúcsba futó élek száma. Bármely gráfban a csúcsok fokszámának összege az élek számának kétszerese. Ha egy gráf bármely csúcspontjából el lehet jutni a gráf bármely másik csúcspontjába, azt mondjuk, a gráf összefüggő. Az olyan gráfot nevezzük fagráfnak melynek bármely két pontja között pontosan egy út vezet. Az olyan gráfokat, melyekben az élek irányítást is kapnak, irányított gráfoknak nevezik. Amikor egy gráf olyan, hogy minden élét be tudjuk rajzolni úgy, hogy az élek között nincs metszésvonal, akkor a gráfot síkba rajzolhatónak nevezzük.

117 11. MODUL Kombinatorika és valószínűségszámítás Készítette: Lövey Éva (Gidófalvi Zsuzsa moduljának felhasználásával)

118 118 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A valószínűség bevezetése Mintapélda 1 Egy 10 Ft-os érmét 1000-szer dobtunk fel, és az alábbi táblázatba beleírtuk, hogy bizonyos dobásszámok esetén hányszor fordult elő a fej dobása. Dobások száma Fejek száma Relatív gyakoriság 0,44 0,47 0,463 0,478 0,48 0,48 0,486 0,499 0,5 0,507 A fejek dobásának relatív gyakoriságát ábrázoljuk diagramon! Fejek dobásának relatív gyakorisága 0,6 0,58 0,56 0,54 0,5 0,5 0,48 0,46 0,44 0,4 0, Dobások száma Láthatjuk, hogy elég nagy dobásszám esetén, a fej dobásának relatív gyakorisága egy bizonyos állandó érték körül ingadozik. Ez az állandó a fej dobásának valószínűsége. 1 A pénzérme dobásakor a két egyenlő esélyű kimenetel miatt ez az állandó érték éppen. Imént egy valószínűségi kísérletet hajtottunk végre, több ízben megismételtük, azonos körülmények között. Lejegyeztük a kísérlet kimeneteleit (fej vagy írás). A valószínűségszámításban egy kísérlet lehetséges kimenetelét eseménynek nevezzük.

119 11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 119 Mintapélda Játsszunk egy gyufásdobozzal! A doboz egyes lapjaira írjunk számokat 1-től 6-ig úgy, hogy a két legkisebb lapra kerüljön az 1 és a, a közepes méretűre a 3 és a 4, a legnagyobb lapokra pedig az 5-6 számok. Az asztal szélére helyezve alulról pöcköljük 50-szer a skatulyát, és jegyezzük fel a lehetséges eseményeket a munkafüzet végén található mellékletben a és 11. táblázatokba. Összesítsétek a táblán az összes dobáseredményt, minden 50 újabb dobáseredmény feljegyzése után számítsatok relatív gyakoriságot! Az eredményt jegyezzétek fel a munkafüzet végén található mellékletben a 11.3 táblázatba! Egyfajta műveletet ismételtünk meg sokszor, mégis két különböző valószínűségi kísérletet végeztünk, amikor különböző szempontok szerint vizsgáltuk a lehetséges kimeneteleket. Az első táblázatba lejegyzett kísérletben az események: 1. lapra esik,. lapra esik, és így tovább, a második táblázatba lejegyzett kísérletben az események: legkisebb lapra esik, középső lapra esik, legnagyobb lapra esik. Láthatjuk, hogy gyakrabban esik a doboz a legnagyobb lapjára, mint a legkisebbre. Ennek az eseménynek a relatív gyakorisága nagyobb. Mondhatjuk, hogy nagyobb annak a valószínűsége, hogy a megpöckölt gyufásdoboz a legnagyobb lapjára esik, mint az, hogy a legkisebbre. A valószínűség fogalma: Ha n kísérletből az A esemény k-szor következik be, akkor a n k hányados az A esemény relatív gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűsége. Megjegyzés: A relatív gyakoriságot szokás százalékban is megadni. Az A esemény valószínűségére a P(A) jelölést szoktuk használni (probability = valószínűség). Persze nem mondhatjuk, hogy most már tudjuk, milyen valószínűséggel esik a gyufásdoboz valamelyik oldalára. Láthattuk, hogy a relatív gyakoriság hol nőtt, hol csökkent, amikor újabb és újabb kísérletek eredményét is beszámítottuk. Ahogy növeljük a kísérletek számát, úgy lesz megbízhatóbb becslésünk a valószínűség értékére.

120 10 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok: 1. Valaki egy forró nyári délután 1 órát tölt a Visszhangdombnál Tihanyban, megfigyeli az előtte elhaladó embereket, jegyezget, majd ennek alapján a következő grafikont készíti: Fagyi nélkül 196 jégkrém 3 tölcséres 408 a) Állapítsd meg, ebben a valószínűségi kísérletben melyek voltak az események? b) Melyik eseménynek volt a legnagyobb relatív gyakorisága, és ez mekkora? c) Becsüld meg a legkisebb relatív gyakoriságú esemény valószínűségét a kísérlet eredménye alapján!. Migrénes (erős fejfájásos) betegek számára készített fájdalomcsillapító gyógyszer kipróbálásakor 00 beteg közül 100 betegnek hatóanyag nélküli tablettát (placebó) adtak, másik száznak viszont az új, hatóanyaggal rendelkező tablettát. (A betegek nem tudták, melyik fajta tablettából kaptak.) Beszámoltak annak hatásáról. Ennek alapján a következő táblázat készült: Enyhült a fájdalom Nem enyhült a fájdalom Gyógyszert kapott 79 1 Placebót kapott 38 6 a) Az elvégzett kísérletek alapján mi a valószínűsége annak, hogy az új gyógyszer hat? b) Az orvos megvizsgált egy olyan beteget, akinek nem hatott a bevett tabletta. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a beteg placebót kapott? ben Budapesten a tűzoltók 7553 alkalommal vonultak ki. A riasztások közül 3711-et tűzeset miatt, 151-et káreset miatt kaptak, a maradék 1691 viszont vaklárma vagy téves jelzés volt. Ha idén is hasonlóak az arányok, mi a valószínűsége annak, hogy a) egy riasztás alkalmával tűzesethez vonulnak? b) Készíts sávdiagramot, melyen ábrázolod az egyes riasztási okok relatív gyakoriságát!

121 11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 11 II. Elemi események A kettes mintapéldában szereplő gyufásdobozt egyszer megpöckölve, a kísérlet lehetséges kimenetelei: az 1,, 3, 4, 5 vagy 6-tal jelölt lapjára esik. Esemény például, hogy a doboz a legkisebb lapjára esik. Ezt az eseményt tudjuk még két további eseményre bontani (1-es vagy -es lapjára esik). Az elemi események olyan kimenetelek, amelyek tovább már nem bonthatók. A pöckölés során az 1-es, -es, 3-as, 4-es, 5-ös, 6-os dobást elemi eseményeknek hívjuk. Pénzérme feldobásánál elemi események: a fej vagy az írás bekövetkezése. Az, hogy dobások egy sorozatában egymás után ötször fejet dobunk, összetett esemény. Mintapélda 3 Dobjunk fel egy szabályos (hatlapú) dobókockát. Vizsgáljuk annak az eseménynek a valószínűségét, hogy a) A: 5-tel osztható számot dobunk b) B: páros számot dobunk c) C: 1-et vagy 3-at dobunk. Megoldás: Egy olyan kísérletnél, amikor egy szabályos dobókockát feldobunk, az elemi események: a dobókocka 1-et, -t, 3-t, 4-et, 5-öt vagy 6-ot mutat. A tapasztalatunk azt mutatja, ezek közül egyiknek sem nagyobb a valószínűsége, mint bármelyik másiknak. Ha elvégeznénk több millió kísérletet, várható, hogy az egyes kimenetelek relatív gyakorisága közel egyenlő lenne, így a valószínűségük is egyenlő. Mivel a relatív gyakoriság 0 és 1 közötti szám, ez a hat 1 valószínűség csak úgy lehet egyenlő, ha mind. 6 1 a) Öttel osztható szám csak egy van a dobókockán, az 5-ös, így ennek a valószínűsége. 6 b) A kockán levő számok fele páros, fele páratlan. Elvárható, hogy sok kísérlet elvégzése esetén közel ugyanannyi páros szám jöjjön ki, mint páratlan, közel azonos lesz a relatív 1 gyakoriságuk, így ennek a valószínűsége. c) Sok dobás esetén ennek a bizonyos két számnak a gyakorisága körülbelül feleakkora lesz,

122 1 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE mint a másik négy számé, így ennek az eseménynek a relatív gyakorisága az 3 1 körül mozog, 1 valószínűsége is. 3 Észrevehetjük, hogy ez a három esemény lefedi az összes lehetőséget, ami egy kockadobás esetén előfordulhat, mint kimenetel: Ha 1-est dobunk, a C esemény valósul meg, ha -est dobunk, a B esemény valósul meg, ha 3-ast dobunk, a C esemény valósul meg, ha 4-est dobunk, a B esemény valósul meg, ha 5-öst dobunk, az A esemény valósul meg, ha 6-ost dobunk, a B esemény valósul meg. Azt is megállapíthatjuk, a kísérlet minden lehetséges kimenetele esetén a három esemény közül csak egyetlenegy valósul meg. Ilyenkor azt mondjuk, hogy ez a három esemény (most A, B és C ) teljes eseményteret alkot. A dobások kimenetelének vizsgálatakor úgy is felvehettünk volna teljes eseményteret, hogy az események a kockával dobott számok lettek volna: A 1 : 1-est dobunk A : -est dobunk A 3 : 3-ast dobunk A 4 : 4-est dobunk A 5 : 5-öst dobunk A 6 : 6-ost dobunk Ezekre is érvényes, hogy a kísérlet bármely kimenetele esetén valamely esemény megvalósul, és az is, hogy minden kimenetel csak egy esemény megvalósulására jellemző, tehát teljes eseményteret alkotnak. Erre az eseménytérre az is jellemző, hogy az összes benne szereplő esemény valószínűsége egyenlő. Ilyenkor az eseményteret klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük. Nagyon fontos megkülönböztetnünk ezt az esetet, amikor a teljes eseménytér ilyen véges számú, azonos valószínűségű eseményekből áll, ugyanis ilyenkor alkalmazható a valószínűség kiszámítására egy igen praktikus képlet:

123 11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 13 Egy A esemény valószínűségét kiszámíthatjuk a következő módon: Legyen N az azonos valószínűségű elemi események száma, melyek az eseményterünket alkotják (továbbiakban: összes esetek száma), k pedig azon elemi események száma, amelyek az A esemény összetevői (röviden: kedvező esetek száma). Ilyenkor kedvező esetek száma P ( A) = = összes eset száma k N A fenti számítási módot a valószínűségszámítás Laplace-féle modelljének nevezzük, és egy időben ezt tekintették a valószínűség definíciójának. Számunkra is nagyon hasznos, ha ügyelünk arra, hogy amikor az összes esetet, illetve ezek közül a kedvező eseteket felsoroljuk és megszámláljuk, mindig azonos valószínűségű eseményekből álljanak az esetek. Pierre-Simon Laplace francia matematikus, csillagász és fizikus között élt. 181-ben jelent meg a Théorie analitique des probalitités (A valószínűség analitikai elmélete) című műve, amely a valószínűségszámítást a matematika önálló ágaként tárgyalja. Ebben a műben jelent meg a valószínűség klasszikus modellje, amely akkor alkalmazható, ha véges sok elemi esemény van, és azok bekövetkezése egyformán valószínű. Ha egy esemény valószínűségét akarjuk meghatározni, akkor meg kell keresnünk az összes olyan esetet, amelyek azt az eseményt eredményezik. Ezek a kedvező esetek. A valószínűséget a kedvező esetek és az összes eset számának hányadosa adja meg. (Laplace ) Mintapélda 4 Legyen a kísérlet az, hogy az ötös lottó sorsolásán kihúzzák az első nyerőszámot. (Az ötös lottón 90 szám közül sorsolnak ki öt számot.) Klasszikus valószínűségi mezőt alkot-e az alábbi három esemény? (Az elsőnek kihúzott szám az n.) A: Egy és harminc közötti számot húznak először ( 1 szám 30 )

124 14 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE B: Harminc és hatvan közötti számot húznak először ( 30 szám 60 ) C: Hatvan és kilencven közötti számot húznak először ( 60 szám 90 ). Megoldás: Első ránézésre úgy tűnik, minden rendben van, és mindhárom esemény bekövetkezésének 1 valószínűsége. Ha jobban megnézzük, a három esemény még eseményteret sem alkot, 3 hiszen a 30-as vagy a 60-as szám kihúzása esetén két esemény is bekövetkezik. A valószí nűségek sem egyenlők, hiszen P ( B) = P( C) =, míg ( A ) 30 1 P = = Mintapélda 5 Mi annak a valószínűsége, hogy két érmét feldobva mindkettővel fejet dobunk? Írjuk fel az összes lehetséges kimeneteleket, majd két érmét 0-szor feldobva jegyezzük fel a kimeneteleket a modul mellékletének 11.4 táblázatába! A három esemény relatív gyakorisága különbözik, a három esemény teljes eseményteret alkot ugyan, de nem klasszikus valószínűségi mezőt. Fel tudnánk-e bontani olyan elemi esemék nyekre a kísérlet kimeneteleit, hogy alkalmazható legyen a P ( A) = képletünk? N Képzeljük most el, hogy a két érménk különböző (mondjuk 10 és 0 forintos). A lehetséges kimenetelek most 10 Ft 0 Ft azaz F F FF F I FI I F IF I I II Ezek már valóban azonos valószínűségű események. Ezek száma 4, a számunkra egy a kedvező, így a Laplace-féle képletet alkalmazva a valószínűség 4 1.

125 11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 15 Mintapélda 6 A magyar kártya 3 lapból áll. A lapoknak 4 különböző színe lehet: piros, tök, zöld és makk. Minden színből 8 van, ász, király, felső, alsó, X, IX, VIII és VII jelzésekkel. Mi a valószínűsége annak, hogy egy csomag magyar kártyából egy lapot kihúzva az éppen VIII-as lesz? Megoldás: A kártya mind a 3 lapját azonos valószínűséggel húzzuk, így minden egyes lap kihúzásának valószínűsége 3 1. Így használhatjuk a ( ) kedvező esetek száma k P A = = összes eset száma N képletet, ahol most a kedvező esetek száma k = 4, hiszen 4 darab VIII-as jelzésű van a pakliban: a zöld, a piros, a makk és a tök nyolcas. Az összes eset száma N = 3, tehát Feladatok 4 1 P = = a) Írd be a munkafüzet végén található melléklet 11.5 táblázatába, hogy a következő eseményeket milyen elemi események alkotják, ha szabályos dobókockával végezzük a kísérletet! b) A munkafüzet végén található melléklet 11.6 táblázatába írd fel azokat az eseményeket, amelyeket az alábbi elemi események alkotnak, ha szabályos dobókockával végezzük a kísérletet! 5. Egy piros és egy fekete dobókockával dobva tudjuk, hogy a dobott számok összege 5. Bontsd ezt föl elemi eseményekre! 6. Egy piros és egy fekete dobókockával dobva tudjuk, hogy a dobott számok összege 4. Bontsd föl az összetett eseményt azonos valószínűségű elemi eseményekre! Mekkora lesz így az egyes események valószínűsége?

126 16 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 7. Egy dobókockával dobunk. A kísérlet lehetséges kimeneteleit a következő eseményekre bontottuk fel: A 1 : Négyest vagy hatost dobunk. A : Prímszámot dobunk. A 3 : a) Add meg a harmadik eseményt úgy, hogy a három esemény együtt teljes eseményteret alkosson! b) Melyik eseménynek mekkora lesz a valószínűsége? 8. Mi a valószínűsége annak, hogy magyar kártyából egy lapot húzva az a) a tök alsó; b) valamelyik ász; c) valamelyik római számmal jelzett kártya lesz? 9. A kísérlet az, hogy a magyar kártyából egy lapot húzunk. Adj meg olyan eseményt, amelynek a valószínűsége a) ; b) ; c) ; d) Az alábbi kísérleteknél határozd meg az eseményteret alkotó elemi eseményeket! a) Három pénzérmét dobunk fel, és figyeljük mindegyik érmén, hogy fejet vagy írást dobunk. b) Négy pénzérmét dobunk fel, és figyeljük mindegyik érmén, hogy fejet vagy írást dobunk. c) Ani, Ildi, Panni és Zsuzsi között jutalmat: egy CD-t és egy könyvet osztunk ki úgy, hogy egy lány csak egy ajándékot kaphat. d) Ani, Ildi, Panni és Zsuzsi között egy CD-t és egy könyvet osztunk ki úgy, hogy egy lány több ajándékot is kaphat. 11. Két dobókockával dobunk egyszerre, és figyeljük a dobott pontok összegét. Írd fel az alábbi eseményeket alkotó elemi események halmazát! A: A dobott pontok összege 6. B: A dobott pontok összege legfeljebb 6. C: A dobott pontok összege legalább 6.

127 11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Egy kör alakú céltáblára egyszer lövünk, és figyeljük a lövés helyét. Színezd be a céltáblán az alábbi eseményeknek megfelelő ponthalmazokat! A: Legfeljebb 7-est lőttünk. B: Legalább 8-ast lőttünk. C: 10-est lőttünk. D: Legalább 5-öst és legfeljebb 9-est lőttünk. 13. Az számkártyák közül véletlenszerűen kihúzunk kettőt, és a kihúzás sorrendjében egymás mellé helyezzük. Írd fel az alábbi eseményeket alkotó elemi események halmazát! A: A kapott kétjegyű szám osztható 3-mal. B: A kapott kétjegyű szám osztható 6-tal. C: A kapott kétjegyű szám legfeljebb 30 lesz. 14. Két szabályos dobókockát egymástól függetlenül feldobva mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok mindegyike prímszám lesz? 15. Dobjunk fel egy sárga, egy piros és egy zöld dobókockát egymástól függetlenül. Mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok mindegyike prímszám lesz? 16. Három dobókockával dobva a dobott számokat összeadjuk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább 17 lesz az összeg?

128 18 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Biztos vagy lehetetlen? Mintapélda 7 Van három számkártyánk a 0; ; 8 számjegyekkel. Keverjük össze, majd helyezzük le mind a hármat egymás mellé. a) Mi a valószínűsége annak, hogy az így keletkezett szám páros lesz? b) Mi a valószínűsége annak, hogy páratlan számot rakunk ki? c) Mi a valószínűsége annak, hogy kétjegyű számot raktunk ki? d) Mi a valószínűsége annak, hogy a keletkezett szám háromjegyű lesz? Megoldás: Először írjuk fel, milyen számok keletkezhettek: E számok mindegyike azonos valószínűséggel keletkezhetett, tehát a továbbiakban kedvező esetek száma számolhatunk a P = képletünkkel. összes eset száma a) Már a számok felírása nélkül is látható, hogy biztosan páros szám keletkezik. Az összes esetek száma N = 6. A kedvező esetek száma szintén hat, hiszen az összes keletkező szám 6 páros lesz. A keresett valószínűség tehát P = = 1. Ennél nagyobb valószínűség nem lehet, 6 hiszen az események bekövetkezésének relatív gyakorisága nem lehet 1-nél nagyobb. A biztos esemény valószínűsége 1. b) Erről az esetről láthatjuk, hogy a bekövetkezése lehetetlen. Az összes esetek száma itt is 6, 0 a kedvező eseteké viszont 0. A keresett valószínűség tehát P = = 0. Ennél kisebb 6 valószínűség nem lehet, mivel az események bekövetkezésének relatív gyakorisága sohasem vesz fel negatív értéket. A lehetetlen esemény valószínűsége 0. c) Kétjegyű számot akkor kaptunk, amikor a kirakott szám 0-val kezdődött. Láthatjuk, hogy 1 ez a 6 esetből kétszer fordult elő, így a keresett valószínűség P = =. 6 3 d) Háromjegyű számot kapunk az összes többi esetben, azaz négyszer, így a valószínűség 4 P = = 6 3. Láthatjuk, hogy ezt a kísérletet vizsgálva két eset következhet be: Vagy kétjegyű, vagy háromjegyű szám keletkezik, és ezek egyszerre nem következhetnek be. Ilyenkor azt

129 11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 19 mondjuk, a két esemény egymás komplementere. Azt is megfigyelhetjük, hogy ilyenkor a két esemény bekövetkezésének valószínűsége mindig olyan lesz, hogy összegük 1. Egy kísérletnél a lehetséges kimeneteleket vizsgálva egy biztos esemény komplementere mindig egy lehetetlen esemény lesz. Az A esemény komplementer eseményét így jelöljük: A. Foglaljuk össze az eddig tapasztaltakat: A biztos esemény valószínűsége 1. A lehetetlen esemény valószínűsége 0. Ha két esemény bekövetkezése kizárja egymást, de a két esemény közül az egyik mindig bekövetkezik, akkor ez a két esemény egymás komplementere. Komplementer események valószínűségének összege 1. P ( A) + P( A) = 1 Mintapélda 8 Válasszuk ki az alábbi események közül azokat, amelyek lehetetlen események, és azokat, amelyek biztos események! A: Idén júliusban valamelyik nap Magyarországon esni fog az eső. B: Egy pénzérmével 10-szer egymás után fejet dobunk. C: Egy szabályos dobókockával 7-tel osztható számot dobunk. D: Ha 30-szor feldobunk egy érmét, legalább 1 fej is lesz a dobások között. E: Ha két egész számot összeszorzunk, az eredmény egész szám lesz. F: Ha két egész számot elosztunk egymással, az eredmény racionális lesz. Megoldás: A: Nagyon valószínű esemény, de nem biztos. Előfordulhat olyan szélsőséges időjárás, hogy nincs eső az egész országban a hónap folyamán. B: Ennek az eseménynek a valószínűsége igen kicsi, de nem nulla. Egészen pontosan azaz körülbelül egy ezred, azaz 0,1%. 1 10,

130 130 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE C: Ez egy lehetetlen esemény. D: Ha fogadásról van szó, egészen nyugodtan tippelhetünk rá, hiszen igen magas a valószínűsége, mégsem 1. A komplementer esemény az lenne, hogy nincs a 30 dobás között fej, azaz 30-szor egymás után írást dobunk. Ennek valószínűsége 1 30, így annak P = 1 10 valószínűsége, hogy van közte fej: 1 1 ( 9,3 10 ) 0, , ami igen közel van az 1-hez, de mégsem annyi. E: Ez biztos esemény. F: Nem lehetünk biztosak benne, mert ha az osztó 0, az osztást nem lehet elvégezni. Feladatok 17. Írj 3 biztos és 3 lehetetlen eseményt, ha a kísérlet az, hogy a magyar kártyából 5 lapot osztanak neked. 18. Egy kockával dobunk, határozzuk meg az alábbi események komplementer eseményét! C: A dobott szám páros. D: A dobott szám legalább 5. E: A dobott szám kisebb, mint 3. F: A dobott szám prímszám. 19. Két kockával dobunk egy alkalommal. Add meg a lehetséges kimenetelekhez a komplementer eseményt! a) Mindkét kockával egyest dobunk. b) Legalább az egyik kockával egyest dobunk. c) A dobott számok összege 10. d) A dobott számok összege legalább 10. f) A dobott számok összege legfeljebb Dobjunk fel két szabályos dobókockát egymástól függetlenül. Mi a valószínűsége annak, hogy a kapott számok összege 9-nél kisebb lesz?

131 11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Van 5 számkártyánk: Letesszük ezeket egymás mellé. A keletkező számra vonatkoznak a kérdések. Fogalmazd meg az események komplementer eseményét! Számítsd ki mindkét esemény valószínűségét! a) A: 5-tel osztható számot kapunk. b) B: 3-mal osztható számot kapunk. c) C: A keletkezett ötjegyű számban a számjegyek nem növekvő sorrendben követik egymást.. Zárás előtt egy cukrászdában már csak háromféle rétes maradt: meggyes, túrós, almás. Bemegy egy vevő, aki négy szelet rétest szeretne vásárolni. Az eladóra bízza, hogy milyen rétest ad neki. a) Milyen kimenetelek lehetségesek? b) Mely események lehetségesek az alábbiak közül, melyik biztos és melyik lehetetlen? A: Mindegyik fajtából kapott. B: Valamelyik fajtából legalább két szeletet kapott. C: Mindegyik rétes, amit kapott, különbözőféle. D: Két szelet meggyes rétest kapott féle dobótestünk van: tetraéder, kocka, oktaéder, dodekaéder és ikozaéder. Minden test oldallapjaira 1,, stb. pöttyöt helyezünk el. Ezekkel a testekkel végzett kísérletek alapján töltsd ki a munkafüzet végén található melléklet 11.7 táblázatát! Mi a valószínűsége az alábbi eseményeknek?

132 13 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE IV. Összetett események és azok valószínűsége Mintapélda 9 Legyen A az az esemény, hogy a dobókockával legfeljebb 4-est dobunk, B pedig az, hogy a dobókockával legalább 4-est dobunk. Mi lehet vajon az az esemény, amikor az A vagy B bekövetkezik? Ezt röviden A+B-vel jelöljük. Tetszőleges A és B esemény összege az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor legalább az egyik bekövetkezik. Jelölése: A+B. (Az események összegét szokás AUB-vel is jelölni.) Megoldás: A+B ={ legfeljebb 4-est vagy legalább 4-est dobunk } A+B = {1,, 3, 4} + {4, 5, 6} = {1,, 3, 4, 5, 6} Észrevehetjük az A+B esemény és a két halmaz uniója közötti kapcsolatot: Mintapélda 10 Mi lehet az az esemény, amikor A és B egyszerre következik be? Ezt röviden A B vel jelöljük. Megoldás: A B ={ legalább 4-est dobunk és legfeljebb 4-est dobunk } = {4-est dobtunk}

133 11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 133 Tetszőleges A és B esemény szorzata az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor A és B is bekövetkezik. Jelölése: A B (Az események szorzatát szokás A B-vel is jelölni.) Észrevehetjük a két esemény szorzata és a két halmaz metszete közötti kapcsolatot: Mikor mondjuk, hogy két esemény kizárja egymást? Legyen A esemény az, hogy egy kockával 3-nál kisebb számot dobunk, B esemény pedig az, hogy egy kockával 4-nél nagyobb számot dobunk. Az együttes bekövetkezésük, azaz A B esemény bekövetkezése lehetetlen, ennek valószínűsége 0. Tetszőleges A és B esemény egymást kizárják, ha egyszerre nem következhetnek be, azaz A B = {lehetetlen esemény }. P A B = ( ) 0

134 134 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 11 Egy tálban három különböző gyümölcs van: alma, körte, szilva. Jelentse A azt az eseményt, hogy az alma kukacos, B azt, hogy a körte kukacos, C azt, hogy a szilva kukacos. Írjuk fel az A, B, C eseményekkel és a műveletekkel a következőket: a) mind a három gyümölcs kukacos, b) egyik gyümölcs sem kukacos, c) legalább az egyik gyümölcs kukacos, d) pontosan egy gyümölcs kukacos, e) van olyan gyümölcs, amelyik nem kukacos. Megoldás: a) Mind a három gyümölcs akkor lehet egyszerre kukacos, ha mind a három esemény egyszerre következik be. {mind a három gyümölcs kukacos} = A B C. b) Egyik gyümölcs sem kukacos akkor, ha mind a három esemény komplementere egyszerre bekövetkezik. {egyik gyümölcs sem kukacos} = A B C. c) Legalább egy gyümölcs kukacos úgy lehetséges, ha vagy az alma kukacos, vagy a körte kukacos vagy a szilva kukacos. {egy gyümölcs kukacos} = A+B+C. d) Pontosan egy gyümölcs akkor kukacos, ha az alma kukacos és a másik kettő nem, vagy a körte kukacos és a másik kettő nem, vagy a szilva kukacos és a másik kettő nem.{pontosan egy gyümölcs kukacos} =A B C + A B C + A B C. e) Van olyan gyümölcs, amelyik nem kukacos, ez úgy lehetséges, ha vagy az alma vagy a körte vagy a szilva nem kukacos. {van olyan gyümölcs, amely nem kukacos} = A+B +C. Mintapélda 1 A kutatók felfedezték, hogy a tanulók bizonyos tanulási zavarai között összefüggés van. Az összes tanulónak körülbelül 4%-a hiperaktív, azaz túlzott aktivitása, mozgékonysága miatt nehezen kezelhető. A tanulók körülbelül 6%-ának számolási zavara (diszkalkuliája) van, azaz speciális fejlesztésre szorul a matematika terén.

135 11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 135 Azt is észrevették, hogy a diszkalkuliás gyerekek között több a hiperaktív, körülbelül 30%. a) Mi a valószínűsége annak, hogy egy tanuló egyszerre hiperaktív és diszkalkuliás legyen? b) Mi a valószínűsége annak, hogy egy hiperaktív gyerek diszkalkuliás legyen? c) Mi a valószínűsége annak, hogy egy tanuló ezek közül egyik tanulási nehézséggel sem küzd? A: a tanuló diszkalkuliás. B: a tanuló hiperaktív. ( A) 0, 06 P =. ( B) 0, 04 P =. Ábrázoljuk halmazábrán a két csoporthoz tartozást! Hogy könnyebben számoljunk, tegyük fel, hogy diák alkotja az alaphalmazunkat, így az egyes halmazok számosságát tüntetjük fel az ábrában. A = 6000 B = 4000 A B = 0, 3 A = Először a két halmaz metszetébe érdemes beírni a számot. a) P ( A B) =? Nézzük meg, mi lesz a valószínűsége ennek? A metszethalmaz számossága segít a A B 1800 P A B = = =,, azaz körülbelül % valószínűség megállapításában: ( ) b) Most csak a hiperaktív gyerekek számával kell osztani a hiperaktív és diszkalkuliás 1800 gyerekek számát: P = = 0, P A + B = =,, azaz körülbelül 9% c) ( ) 0 918

136 136 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 13 Egy útvesztőt látunk felülnézetben. Petike beszaladt, és mindig úgy választ irányt, hogy távolodjon a bejárattól. Nővére és szülei a három kijáratnál várják. a) Hányféleképpen juthat ki Petike az útvesztőből? b) Mi a valószínűsége, hogy Peti az A jelű kijáratnál várakozó édesanyja kezei közé szalad? Megoldás: a) Az útvesztő elágazási pontjaihoz odaírtuk, hogy hányféleképpen lehet eljutni az egyes elágazásokhoz. A gráfról leolvasható, hogy az A pontba 6, B-be és C-be 3-3 különböző úton juthat, míg az útvesztőből összesen 1-féleképpen lehet kiszabadulni. b) Ha a fenti utakon való áthaladás valószínűsége mind egyenlő lenne, 1 akkor annak valószínűsége, hogy Peti A-ba jut, volna. De az egyes utak valószínűsége nem egyenlő. Most a gráfon azokat a valószínűségeket tüntetjük fel, melyekkel az egyes utakat választja. A 1 piros vonal azokat az éleket mutatja, melyeket valószínűséggel 3 választ, a zöld élek pedig melyeket 1 valószínűséggel, a fekete élek pedig azok, melyeket 1 valószínűséggel választ az egyes csomópontokban. Az A pontba hat úton juthat el. Ezek valószínűsége rendre: balra-balra-balra-jobbra: 1 = ; balra-balra-le: = ; balra-balra-jobbra-balra: balra-le-balra: 1 = ; = ;

137 11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 137 balra-jobbra-balra-balra: = ; jobbra-balra-balra-balra: 1 =. 8 A fenti utakat egyszerre nem járhatjuk be, tehát a rajtuk való áthaladás valószínűsége összeadódik. Az A kijáratba érkezés valószínűsége tehát: P = ( A) = 0, 54 Megjegyzés: Igaz ugyan, hogy az egyes utakon való haladás valószínűsége különböző, de az egyes csomópontokból a cél felé induló utakra Petike egyenlő valószínűséggel lép rá. (Például ha a csomópontból út indul, úgy mindkét útra 1 valószínűséggel lép.) Feladatok 4. Találomra felírunk egy kétjegyű számot. Jelentse A azt az eseményt, hogy a szám páratlan, B azt, hogy a szám osztható 3-mal, a C azt, hogy a szám osztható 4-gyel. I. Mit jelentenek az alábbi események? II. Add meg az A, B, C, A, B, C események valószínűségét is! a) A+B, b) A B, c) A B, d) A+ B, e) A C, f) A C, g) A C. 5. Egy kör alakú céltáblára lövünk. Jelentse A, B és C azt az eseményt, hogy a lövés a kör kiszínezett részére esik. Rajzold le az alábbi eseményeket: A+B, A+C, A B, A C.

138 138 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 6. Egy dobókockával dobunk. Állapítsd meg az A és a B események valószínűségét, valamint az A B esemény valószínűségét is! a) A: páros számot dobunk; B: 3-nál nagyobb számot dobunk. b) A: legalább 3-ast dobunk; B: legfeljebb 3-ast dobunk. c) A: legfeljebb -est dobunk; B: -esnél nagyobbat dobunk. d) A: hatost dobunk; B: legalább 4-est dobunk. e) A: 3-mal osztható számot dobunk; B: 6-nál nagyobb számot dobunk. 7. Az előző feladat jelöléseit használva add meg minden esetben az A+B esemény valószínűségét is! 8. A 5. feladat jelöléseit használva válaszd ki azokat az eseteket, amikor ( A B) = P( A) P( B) P + +! 9. Az előző feladatok tapasztalatait felhasználva válaszolj: Azokban az esetekben, amikor P ( A + B) = P( A) + P( B), mekkora lesz ( A B) P? 30. A 3 lapos magyar kártyából húzunk egy lapot. Állapítsd meg az A és a B események valószínűségét, valamint az A B és A + B események valószínűségét is! a) A: a húzott lap makk lesz; B: a húzott lap nem piros lesz. b) A: a húzott lapon római szám van; B: a húzott lap piros. c) A: a húzott lap alsó; B: a húzott lap tök vagy makk. d) A: a húzott lap a makk felső; B: a kihúzott lapon nincs római szám. 31. Egy urnában 3 zöld, 5 sárga és kék golyó van. Véletlenszerűen kihúzunk egyet. Állapítsd meg az A, B, A+B, A B, A B, A + B események valószínűségét! a) A: a kihúzott golyó kék; B: a kihúzott golyó sárga. b) A: a kihúzott golyó piros; B: a kihúzott golyó nem zöld. c) A: a kihúzott golyó nem fekete; B: a kihúzott golyó zöld.

139 11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Egy osztályból véletlenszerűen kiválasztunk egy tanulót. A jelentse azt az eseményt, hogy a kiválasztott tanuló fiú, B azt, hogy a kiválasztott tanuló franciát tanul, C azt, hogy a kiválasztott tanuló OKTV matematika versenyt nyert. Tudjuk, hogy az osztálylétszám 30, ebből 0 fiú. 10 tanuló tanul franciát, köztük 3 fiú van: Péter, Balázs és Miklós. Matematika OKTV versenyt egyedül Pali nyert az osztályból. a) Írd le a következő eseményeket: A ( B+C );, A B C. b) Add meg ezeknek az eseményeknek a valószínűségét! 33. Számítsd ki a 13. mintapélda ábrája alapján, milyen valószínűséggel jut Peti a C kijárathoz!

140 140 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE V. Valószínűségek kiszámítása kombinatorikai módszerekkel Mintapélda 14 3 kötetes könyvet a polcra visszatéve mi a valószínűsége annak, hogy jó sorrendben kerültek a helyükre? Megoldás: Az összes esetet három elem ismétlés nélküli permutációi adják meg. Összes eset: 1 3 =3! Kedvező eset csak 1 lehet, amikor jó sorrendben kerültek a könyvek a helyükre. A keresett valószínűség = kedvező esetek száma összes eset száma = 1 1 = Mintapélda 15 Mi a valószínűsége annak, hogy ha az A, A, B, L, N, O, T betűkártyákat találomra egymás mellé helyezzük, akkor a BALATON szót kapjuk? Megoldás: Az összes esetet ismétléses permutációval határozhatjuk meg, hét elem közül az egyik kétszer ismétlődik, a többiek ezektől és egymástól különbözőek. Összes eset: 7! = = 50.! Kedvező eset csak egy lehet, amikor a betűk megfelelő sorrendbe kerülnek egymás mellé. A keresett valószínűség = kedvező esetek száma összes eset száma 1 = 0, Mintapélda 16 Kovács úr ügyel a biztonságra. Kertkapuján lakat és zár is van, a bejárati ajtót felső és alsó zárral is biztosította. A kulcsok mind különbözőek. Kislánya ezt a négy kulcsot feltette egy karikára. Mi a valószínűsége annak, hogy a kulcsok a karikán úgy következnek, hogy amikor betette a lakatba a megfelelő kulcsot, akkor a karikán jobbra a kapukulcs, majd a bejárati ajtó fölső és alsó zárának kulcsa következik ebben a sorrendben?

141 11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 141 Megoldás: Az összes lehetőség kiszámításakor a ciklikus permutáció képletét kell alkalmaznunk. n különböző dolgot (n 1)! sorrendben lehet elhelyezni, ha a sorbarendezendő dolgok egy körön helyezkednek el. A kulcsoknak az ábrán szereplő elhelyezései azonos sorrendnek tekintendők: A kulcsok a karikán 3! különböző sorrendben lehetnek, a kedvező esetek száma csak 1, így 1 1 annak valószínűsége, hogy a kulcsok sorrendje ideális lesz: P = = 0, 17. 3! 6 Feladatok 34. Egy automatából négyféle innivaló: tej, kávé, kakaó, tea és 10-féle szendvics: -féle sonkás, -féle szalámis, -féle kolbászos, -féle vegetáriánus, 1 tepertőkrémes és 1 tojáskrémes választható. Peti reggelizni szeretne. Mi a valószínűsége annak, hogy találomra megnyomva egy ital és egy szendvics gombot, kakaót és vegetáriánus szendvicset fog kapni? 35. Mi a valószínűsége annak, hogy ha az É, H, S, Ú, V, T betűket találomra egymás mellé helyezzük, akkor a HÚSVÉT szót kapjuk? 36. Hat osztálytárs moziba megy. Zolinak nagyon tetszik Katóka, de ezt nem meri bevallani. Mi a valószínűsége annak, hogy az egymás mellé szóló hat jegyet véletlenszerűen kiosztva, Zoli és Katóka egymás mellé kerülnek? 37. Hét golyóra rendre felírjuk az 1, 3, 4, 4, 4, 5, 7 számjegyeket. A golyókat egy dobozba tesszük, és jól megkeverjük. A golyókat a dobozból egyesével kivesszük, és a rajta levő számjegyeket balról jobbra haladva egymás mellé leírjuk. Mi a valószínűsége annak, hogy olyan hétjegyű számot kapunk, amely 5-re végződik?

142 14 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 38. Hét jó barát, négy lány és három fiú vacsorázni mennek. Az étteremben egy téglalap alakú asztal egyik oldalán egymás mellett foglalnak helyet. Mi a valószínűsége annak, hogy a) azonos neműek nem kerülnek egymás mellé, b) a három fiú egymás mellé kerül? 39. Egy kör alakú asztal körül 8 szék van. Négy házaspár véletlenszerűen foglal helyet az asztal körül (minden lehetséges elhelyezkedés egyenlően valószínű). Mi annak a valószínűsége, hogy a) a házaspárok egymás mellé kerülnek, b) azonos neműek nem kerülnek egymás mellé? (Két elhelyezést akkor és csak akkor tekintünk különbözőnek, ha a társaságnak van legalább egy olyan tagja, akinek vagy a bal oldali vagy a jobb oldali szomszédja a két ülésrendben különböző.) 40. Egy urnában hat piros, két sárga és két fehér golyó van. Úgy húzunk az urnából, hogy a kihúzott golyót nem tesszük vissza. a) Mi a valószínűsége annak, hogy először két piros golyót húzunk? b) Mi a valószínűsége annak, hogy először két sárga golyót húzunk? c) Mi a valószínűsége annak, hogy a hat piros golyó kihúzása a végére marad? 41. Van öt számkártyánk, melyeken a 0; 1; ; 3; 4 számjegyek szerepelnek. Véletlenszerűen lerakjuk az öt számkártyát egymás mellé. a) Mi a valószínűsége annak, hogy négyjegyű számot rakunk ki? (Lásd a 7. mintapéldát!) b) Mi a valószínűsége annak, hogy ötjegyű számot rakunk ki? c) Mi a valószínűsége annak, hogy hárommal osztható számot rakunk ki? d) Mi a valószínűsége annak, hogy néggyel osztható számot rakunk ki? 4. Négy barátnő, Anna, Bori, Cili és Dóri egy padon ülnek. a) Mi a valószínűsége annak, hogy Anna a pad szélén ül? b) Mi a valószínűsége annak, hogy Anna és Dóri a pad szélén ülnek? c) Mi a valószínűsége annak, hogy a padon balról jobbra nézve éppen névsor szerint ülnek?

143 11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS András számon tartja, hogy a barátai milyen sorrendben köszöntik fel a névnapján. Tavaly Márton köszöntötte őt először, majd Imre, Panni, Feri és Sári következtek. Ebben az évben is felhívták őt mind az öten. a) Mi a valószínűsége annak, hogy idén is Márton köszöntötte őt először? b) Mi a valószínűsége annak, hogy idén pont ellenkező sorrendben hívják fel, mint tavaly? 44. Két egyforma sorsolási kereket kell elkészíteni egy vetélkedő előtt. Bálint és Géza elvállalták, hogy hazaviszik és kifestik piros, zöld, sárga és fekete színekre a négy mezőt. Másnap az iskolában összehasonlítják a két korongot. Mi a valószínűsége, hogy egyforma lett a két korong, ha a) a mezők beosztása olyan, mint az A ábrán? b) a mezők beosztása olyan, mint a B ábrán? c) ha a mezők beosztása olyan, mint a C ábrán? A B C 45. Tombolán 17 műsoros CD-t, db MP3 lejátszót és egy hifitornyot sorsolnak ki. Természetesen a három főnyeremény sorsolását a végére hagyják, de a CD lemezeket (7 Vangelis, 5 Pink Floyd, 5 LGT) véletlen sorrendben adják át a nyerteseknek. Mi a valószínűsége annak, hogy a) az első 5 kisorsolt CD mind Vangelis? b) a végére marad mind a 7 Vangelis CD? 46. Egy pakli magyar kártyát jól megkevernek, majd kihúznak belőle 1 lapot. Mi a valószínűsége, hogy a) ez a lap nem a tök ász lesz?

144 144 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE b) ez a lap nem lesz zöld? c) ez a lap nem lesz ász? 47. Egy pakli magyar kártyából kiválogatják a makkokat, majd ezeket jól összekeverve leteszik egymás mellé. Mi a valószínűsége annak, hogy a) a lapok növekvő sorrendben követik egymást (VII, VIII, IX, X, alsó, felső, király, ász)? b) az első négy lap figura (valamilyen sorrendben az alsó, felső, király ász)? 48. Ezeket a számkártyákat véletlenszerűen elhelyezve az alábbi szorzásba, ٠ a) mi a valószínűsége annak, hogy úgy rakjuk le őket, hogy a lehető legnagyobb szorzat keletkezzen? (Mi ez a szorzat?) b) mi a valószínűsége annak, hogy úgy rakjuk le őket, hogy páros szám keletkezzen? A fenti számkártyákat megkeverjük, majd véletlenszerűen lerakjuk egymás mellé. Mi a valószínűsége annak, hogy a) hattal osztható szám keletkezik? b) hússzal osztható szám keletkezik?

145 11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 145 Kislexikon Ha n kísérletből az A esemény k-szor következik be, akkor a n k hányados az A esemény relatív gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűsége. Az elemi események egy kísérlet lehetséges kimenetelei, amelyek tovább már nem bonthatók. Ha egy kísérlet lehetséges kimeneteleit olyan eseményekként írjuk fel, hogy a kísérlet minden lehetséges kimenetele esetén az események közül pontosan egy valósul meg, azt mondjuk, hogy ezek az események teljes eseményteret alkotnak. Ha egy eseménytérben az összes benne szereplő esemény valószínűsége egyenlő, akkor az eseményteret klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük. A valószínűségszámítás klasszikus Laplace-féle modellje: Egy A esemény valószínűségét kiszámíthatjuk a következő módon: Legyen N az azonos valószínűségű elemi események száma, melyek az eseményterünket alkotják (továbbiakban: összes esetek száma), k pedig azon elemi események száma, amelyek az A esemény összetevői (röviden: kedvező esetek száma). Ilyenkor kedvező esetek száma P ( A) = = összes eset száma k N. A biztos esemény valószínűsége 1. A lehetetlen esemény valószínűsége 0. Ha két esemény bekövetkezése kizárja egymást, de a két esemény közül az egyik mindig bekövetkezik, akkor ez a két esemény egymás komplementere. Komplementer események valószínűségének összege 1. P ( A) + P( A) = 1

146 146 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Tetszőleges A és B esemény összege az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor legalább az egyik bekövetkezik. Jelölése: A+B. (Az események összegét szokás AUB-vel is jelölni.) Tetszőleges A és B esemény szorzata az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor A és B is bekövetkezik. Jelölése: A B (Az események szorzatát szokás A B-vel is jelölni.) Tetszőleges A és B esemény egymást kizárják, ha egyszerre nem következhetnek be, azaz A B = {lehetetlen esemény }. ( A B) = 0 P.

147 1. MODUL Forgásszög szögfüggvényei Készítette: Csákvári Ágnes

148 148 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. FORGÁSSZÖGEK 1. Matematika: A szög 1 (olvasmány, részletek) A szög fogalmát valószínűleg a babiloni csillagászok vezették be. Egyedülállóan sikeres innováció volt: a forma vált így mérhetővé, és ezzel megragadható lett a számok nyelvén. Hogy minden háromszögben két derékszögnyi a szögek összege, azt már jóval Eukleidész előtt tudták a hozzáértők. Mára ez nevenincs közhely, s nem gondolunk arra, hogy egyike a tiszta matematika legelső igazi tételeinek. Szerényen állít valamit, aminek érvényességi köre messze túl mutat a tapasztalaton. Egyáltalán nem álmélkodunk el rajta. Korán, talán túl korán közlik velünk az iskolában. Részévé válik annak, ahogy a világot látni véljük. Az elmúlt száz év során ugyanis kiderült: csak emberi léptékre érvényes, a kozmosz és a kvantummechanika geometriája nem euklideszi. MÉRÉS A szögnek mint minden mennyiségnek a méréséhez két dologra van szükség: mérési eljárásra és egységre. A babiloniak a szöget egy olyan körív hosszával mérték, amelynek középpontja a szög csúcsa. Az egység ezután tetszőlegesen választható mint a szöget mérő kör kerületének arányos része. Ennél azóta sincs jobb módszer. A babiloniak több mint háromezer éve osztották 360 egyenlő részre a szöget mérő kört: az így adódó ív jelöli ki az egységnyi nagyságú, 1 -os szöget. A bűvös 360-as szám a babiloni számrendszerből és kozmológiából ered. Amikor szöget mérünk, vagy például 90 -os szögről beszélünk, akkor a Biblia előtti korok csillagászainak, írnokainak eszközeit és nyelvét használjuk, még az ékírásos időkből. Mivel teljesen önkényes, a fok éppen olyan jó egység, mint bármi más. Van azonban két gyakorlati előnye. Egyrészt a csillagászatban gyakori fellépő kicsiny szögek mérőszáma így emberi nagyságrendű, másrészt az elemi geometriában megjelenő nevezetes szögek mértéke szép egész szám. Használatát a hagyományokhoz való ragaszkodáson túl az is indokolja, hogy több mint ezer éve az arab matematikusok erre az egységre készítették el az első trigonometriai táblázatokat. A szögmérés babiloni egységének nem volt igazi konkurenciája, itt nem burjánzott el az egységeknek az a dzsungele, mint a hosszúság vagy a súly mérésekor. Közrejátszhatott ebben az is, hogy szöget nem a piactéren vagy a vásárokban mértek, ez megmaradt a már akkor is a nemzetközi tudományos-műszaki elit feladatának. A szöggel mérhető mennyiségek nem voltak, és később sem lettek közvetlenül pénzre válthatók, nem úgy, mint a már említett hosszúság vagy a súlymérés esetében. AZ ÍVMÉRTÉK A középiskolában találkozunk a szögmérés egy másik egységével, a tudományosan hangzó radiánnal. A definíció világos: 1 radián az a szög, amelyet a méréshez felhasznált kör sugarával (sugár = rádiusz) egyenlő nagyságú ív mér. 1 Élet és Tudomány szám. Diákoldal. Szerző: Pataki János

149 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE 149 Az új egység bevezetésének következménye az, hogy ha egységnyi sugarú kört használunk a méréshez, és így a hosszúságmérés egységére vezetjük vissza a szögmérés egységét, akkor valóban a szögszárak által kimetszett körív hossza a szög mértéke, az ív közvetlenül méri a szöget. A radián bevezetése mintegy szinkronizálja a hosszúság és a szög mérését: egy fontos elv érvényesül az új egység bevezetésekor. Az egyik első következmény, hogy néhány összefüggés leegyszerűsödik: az r sugarú körből az α ) radián nagyságú középponti szög α ) r nagyságú ívet és 1 ) α r területű körcikket metsz ki. AZ ISKOLÁBAN Az új egység használatát különböző átváltási feladatokkal szokás gyakorolni, a jobb kalkulátorok pedig már automatikusan hajtják végre a megfelelő konverziókat. Ilyenkor jellemző hiba, ha a felhasználó elfeledkezik a gép beállításáról vagy ami rosszabb, nem törődik vele, és például radiánban felejtett gépével akarja kiszámítani, mennyi cos 60. Jó esetben meglepődik a gép által közölt 0,954 értéken félreértés ne essék: nem ezért érdemes (kell) tudni, hogy például cos 60 = 0,5, de még mielőtt elemcserére vagy szervizre gondolna, érdemes ellenőrizni a beállításokat. A két egység egyidejű használatával első ránézésre zavarba ejtő egyenlőségeket kapunk, mint például 60 = 3 π. Ez az egyenlőség természetesen nem a mérőszámok, a 60, illetve a 3 π 1,047 egyenlőségét mondja; nem is mondhat- ja. Azt fejezi ki, hogy a két különböző egység felhasználásával mért szögek egyenlők. Hasonló ez a 13 = 1101 egyenlőséghez, ahol a bal és a jobb oldalon ugyanannak a számnak a tízes, illetve a kettes számrendszerbeli alakja áll. Az egyenlőség értelmezéséhez itt a számok jelentését is ismerni kell. FOK VAGY RADIÁN? Mikor melyik egységet érdemes használni? A legfontosabb tanács: ne mindkettőt egyszerre! Egy háromszög keresett szögének nagyságára éppoly jó válasz a 48, mint a 0,838 radián. Ha táblázatot használunk, akkor érdemes fokokban kifejeznünk a szöget, az újabb kalkulátorok azonban mindkét egységben használhatók. Igazság szerint az ilyen feladatokban teljesen mindegy, hogy melyik egységet választjuk. Illetlenség azonban egy feladat megoldása közben váltani, vagy más egységben közölni az eredményt, mint ahogyan az adatokat kaptuk például a feladat kitűzésekor. A körben adódó számítási feladatokban a szükséges formulák egyszerűbbek, ha ívmértéket használunk. A körív hosszára vonatkozó összefüggés például fokokban o α π i = r. 180

150 150 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Vegyük észre, hogy a formula úgy kapható meg a már említett szög fokokban megadott mérőszámát radiánba konvertáljuk: ) π α α = α. 180 i = α ) r eredményből, hogy a. Szögek mérése Ahogy az a bevezető olvasmányból is kiderült, a szög nagyságát kétféleképpen határozhatjuk meg. Mindkét esetben egy teljes kört hívunk segítségül. I. A kör középpontjából kiinduló két félegyenes egy szögtartományt, a középponti szöget határozza meg. Ezt a szöget fokokban mérjük. A teljes szög 360 -nak felel meg. 1 a teljes kör 360-ad része. II. A másik esetben nem a középponti szöget mérjük, hanem annak a körívnek a sugárhoz való viszonyát, amelyet a körből a szögszárak metszenek ki. Ez az ívmérték. A mérőszám meghatározásához felhasználjuk, hogy a körív nagysága és a középponti szög nagysága egyenesen arányos. Ezt az arányossági tényezőt nevezzük radiánnak. 1 radián jelenti azt a középponti szöget, amelynél a körív hossza éppen ) i a sugárral egyenlő. Jele: α =. r Tehát az ívmérték azt mutatja meg, hogy egy adott középponti szöghöz tartozó körív hossza hányszorosa a sugárnak. A teljes szöghöz (360 ) tartozó körív (teljes kör) a sugár π-szerese. (Ebből adódik a kör kerülete: K = rπ.) Tehát 360 o o 360 o = π rad 1 rad = 57,3. π Ez a meghatározás kapcsolatot teremt a fokban mért adatok és a valós számok halmaza között. Megjegyzés: a mértékegységül szolgáló rad szócskát nem szoktuk kiírni, mivel az ívmérték hosszúságok arányát jelenti, egy valós számot. Például: 180 és a 180 nem ugyanazt a szöget jelöli, ugyanis 180 = 3, radián, míg 180 radián 10313,5.

151 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE 151 Mintapélda 1 Hányszorosa a sugárnak a 47 -hoz tartozó körív? Megoldás: Tudjuk: 180 esetén az ív a sugár π-szerese. π Ebből: 1 esetén az ív a sugár -szorosa. 180 π 47 esetén az ív a sugár 47 -szorosa 0,8-szerese. 180 o π Tetszőleges α szög esetén α ) = α. 180 Mintapélda Tudjuk, hogy a sugárnak 1,-szerese a körív hossza. Hány fokos középponti szöghöz tartozik ez az ívhossz? Megoldás: Tudjuk: ) α = 1,. 180 esetén az ív a sugár π-szerese. o 180 Ebből: esetén az ív a sugár 1-szerese. π o 180 1, 68,75 a középponti szög. π Tetszőleges α ) o o ) 180 radián esetén α = α. π Amikor számológéppel számoljuk ki a szög mérték fokban, akkor általában tizedestört alakot kapunk. A csillagászatban, asztrológiában előfordulhat, hogy tizedesjegyek helyett inkább perc és másodperc alak kellene. Van olyan számológép, amely gombnyomásra elvégzi az átváltást, de ha a sajátunkon nincs, nekünk kell átváltani. Mintapélda 3 a) Adjuk meg a 31,8 fok perc másodperc alakját! Megoldás: 31,8 =31 +0,8. Tudjuk: 1 =60. Ebből: 0,8 =0,8 60 =16,8. Általában addig folytatjuk az átalakítást, amíg el nem fogynak a tizedesjegyek. 16,8 =16 +0,8. Tudjuk: 1 =60. (mivel 1 =60 =3600.) Ebből: 0,8 =0,8 60 =48. A kapott eredményeket visszahelyettesítve kapjuk: 31,8 =

152 15 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE b) Amennyiben a feladat perc másodperc formátumban adta meg az adatot, de például a számológép miatt tizedestört alakra lenne szükség, a következő eljárás segít: Váltsuk át tizedestörtté a szöget! Megoldás: o 1 1 Felhasználjuk: 1 = valamint 1 =, o = = 71, o Feladatok 1. Váltsd át radiánba a következő, fokban megadott szögeket! Hozd a legegyszerűbb alakba az eredményt: a) 30 ; b) 150 ; c) 40 ; d) 315 ; e) 13. o.váltsd át fokba a következő, radiánban megadott szögeket! π 3π π a) ; b) ; c) ; d) 0,967; e),3736; f) Alakítsd át a következő, fokban és percben megadott szögeket tizedestörtté! a) ; b) ; c) Add meg a következő szögeket fokban, percben, s ha szükséges, másodpercben! a) 47,5 ; b) 93,1 ; c) 134, Forgásszögek A továbbiakban rögzítsük a középponti szög egyik szárát. Ez lesz a nyugvó szögszár, a másik pedig a forgó szögszár. Forgassuk ezt a szögszárat a kör középpontja körül. A forgatás nagyságát a forgó szögszár által súrolt tartomány határozza meg. A forgatás iránya pedig a szög előjelét határozza meg: ha az óramutató járásának irányával ellentétes irányba forgatunk, akkor a szög pozitív előjelű, ha pedig megegyező irányba, akkor a szög negatív előjelet kap.

153 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE 153 Például: Mintapélda 4 Ábrázoljuk a következő szögeket! a) 576 ; b) = = ( ) 5. Ábrázold a következő szögeket! (Használhatsz szögmérőt is.) a) 75 ; b) 130 ; c) 194 ; d) 0 ; e) 95 ; f) 315 ; g) 540 ; h) 715 ; i) 30 ; j) 140 ; k) 517. A forgó szögszárra illesztett vektor hossza, mint sugár, rögzített szög mellett egyenesen arányos a körív nagyságával. A forgó szögszárra helyezett egységvektor végpontja forgatás közben egy körön mozog. Ezek után helyezzük el azt a szöget és az egységvektor végpontja által meghatározott kört a koordináta-rendszerben úgy, hogy a kör középpontja essen egybe az origóval, a nyugvó szögszár pedig az x tengelyt meghatározó i egységvektorral. A forgó szögszárat jelöljük e-vel. Megjegyzés: Az x tengely pontjait az i egységvektor számszorosaival, az y tengely pontjait pedig a j vektor számszorosaival skálázzuk.

154 154 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 5 Állapítsuk meg, hogy az ábrán látható szög forgó szára melyik síknegyedben található, és becsüljük meg a nagyságát! (Szögmérővel ellenőrizhető a becslés.) Megoldás:. síknegyed, kb A szög segítségével a forgó szögszáron felvett v vektor végpontját kétféleképpen is jellemezhetjük: 1. Az origótól való távolsággal valamint a szögszár és az x tengely pozitív felével bezárt pozitív előjelű szöggel.. A V pont koordinátáival, amelyek függenek a szögtől. 6. Hány fokos szöget kapsz, ha az α = 143 -os szög mozgószárát pozitív irányba még kétszer teljes körrel elforgatod? És ha 1-szer? 7. Tükrözd az α = 143 -os szög forgószárát az x, az y tengelyre és az origóra. Hány fokosak a kapott szögek? Tükrözd ugyanígy a 37 -os szöget is. Mit tapasztalsz?

155 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE 155 II. Forgásszögek szinusza, koszinusza 8. Mérd meg tizedesjegy pontossággal a következő forgásszögekhez tartozó OE vektorok koordinátáit! a) b) c) d) Az egyes esetekben milyenek a koordináták előjelei? A síkbeli i, j koordináta-rendszerben egy e egységvektor irányszögének nevezzük annak az elforgatásnak a szögét, amely i-t e-be viszi át. (Ez az elforgatás irányától függően pozitív vagy negatív is lehet.)

156 156 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Tetszőleges forgásszög koszinuszán az adott irányszögű egységvektor x koordinátáját (abszcisszáját) értjük. Tetszőleges forgásszög szinuszán az adott irányszögű egységvektor y koordinátáját (ordinátáját) értjük. Látható, hogy sem a szög szinusza, sem a szög koszinusza nem lehet 1-nél kisebb, illetve +1-nél nagyobb. Most megmutatjuk, hogy ez a definíció hogyan kapcsolódik a korábbi, derékszögű háromszögben megadott definícióhoz. I. síknegyedben: Ebben a derékszögű háromszögben: y x sinα = = y és cosα = = x. 1 1 A többi síknegyed esetén felhasználjuk a korábbi szögek tükrözésével szerzett tapasztalatokat. II. síknegyedben: o α' = 180 α ; sin α = sinα' = sin( 180 α ); cos α = cosα' = cos 180 α. ( )

157 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE 157 III. síknegyedben: o α ' = α 180 ; ( α ) ( α ) sinα = sinα' = sin 180 ; cosα = cosα' = cos 180. IV. síknegyedben: o α' = 360 α ; sin α = sinα' = sin( 360 α ); cos α = cosα' = cos 360 α. ( ) Minden szög szinusza, ill. koszinusza visszavezethető egy első síknegyedbeli megfelelő szög szinuszára, ill. koszinuszára. Az egyes szögek szögfüggvényeinek előjeleit jól szemléltethetjük az egységsugarú körrel: cos α sin α cos 90 = cos 70 = 0. sin 0 = sin 180 = Határozd meg az egységvektor koordinátáit két tizedesjegy pontossággal, ha adott a vektor irányszöge! a) 37 ; b) 14 ; c) 198 ; d) 345. Használd a számológépet!

158 158 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 6 Eddig 0 és 360 közötti szögeket vizsgáltunk. Most megnézzük a negatív és a 360 -nál nagyobb szögeket! Számítsuk ki a szögek szinuszát, ill. koszinuszát! 1. sin 318 = sin ( ) = sin 338 = 0,3746;. cos ( 63 ) = cos ( ) = cos 97 = 0,454; 3. sin ( 89 ) = sin ( ) = sin 51 = 0, Határozd meg zsebszámológép segítségével négy tizedesjegy pontosan a keresett szögfüggvények értékeit! a) sin 36 ; cos 54 ; b) sin ( 98 ); cos ( 68 ); c) sin 561 ; cos 183 ; d) sin ; cos ( ); e) sin ( ); cos ; f) sin 11,73 ; cos 147,8 ; g) sin ( 6, ); cos ( 11,6 ). 11. Határozd meg zsebszámológép segítségével négy tizedesjegy pontosan a keresett szögfüggvények értékeit! a) sin π 10π ; cos ; 5 3 b) sin 45; cos 30 ; c) sin 0, 56 ; cos 1, 18; d) sin 3; cos 0, 1; 11 e) sin 1 π ; cos π. 3 1 Mintapélda 7 Végezzük el a kijelölt műveleteket! Ahol lehet, pontos értékkel számoljunk! a) sin 3 + sin 337 ; b) cos cos 3. Megoldás: a) sin 3 + sin 337 = sin 3 sin ( ) = = sin 3 sin 3 = 0.

159 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE 159 b) cos cos 3 = cos ( ) + cos 3 = = cos 3 + cos 3 = cos 3 1, Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket, majd számold ki a pontos értéküket! a) cos 111 cos 49 ; b) sin 47 + sin 317 ; c) cos cos 03 ; d) sin 348 sin 168 ; π 3π e) sin + sinπ + sin ; π 5π f) cos + cosπ cos ; 3 3 o sin 53 g) ; o sin17 o cos 15 h) ; o cos35 π 3π i) sin cosπ sin ; π 3π j) cos cosπ sin. Mintapélda 8 Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet! cos 48 cos 76 Megoldás: A szögek koszinusz értékei a szögekhez tartozó egységvektorok x koordinátái. A megfelelő egységvektorok végpontjának x tengelyre vetítése után már leolvasható a megfelelő relációs jel: cos 48 > cos 76.

160 160 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 9 Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet! sin 36 sin 153 Megoldás: A szögek szinusz értékei a szögekhez tartozó egységvektorok y koordinátái. A megfelelő egységvektorok végpontjának y tengelyre vetítése után már leolvasható a megfelelő relációs jel: sin 36 > sin Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet! a) sin 33 sin 46 ; b) cos 100 cos 146 ; c) sin 11 sin 56 ; d) cos 94 cos Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet! a) cos 6 cos 157 ; b) sin 53 sin 53 ; c) cos 15 cos 96 ; d) sin 318 sin 18. Mintapélda 10 Eddig adott szögek szinuszát, ill. koszinuszát határoztuk meg. Most megfordítjuk a kérdést: az a feladat, hogy egy szög szinusza (koszinusza) ismeretében keressük meg, mely szög(ek)é lehet! Az ilyen feladatokat visszakeresésnek is szokták nevezni. Mely szögekre teljesül a sin α = 0,7 egyenlőség, ha 0 α 360?

161 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE 161 Megoldás: Készítsünk ábrát! Vegyük fel az egységkört! A szögek szinuszát az irányszögükhöz tartozó egységvektor y koordinátájával értelmezzük. A 0,7-es ordinátához két egységvektort is tudunk találni, hiszen a 0,7-en áthaladó, az x tengellyel párhuzamos egyenes két pontban is metszi az egységsugarú kört. A két metszésponthoz tartozó irányszög: α 1 = 44,4 ; α = ,4 = 135,6. Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása Mintapélda 11 Mely szögekre teljesül a sin α = 0, 97 egyenlőség? Megoldás: A számológép segítségével α = 68. Keressük meg a 0 és 360 közötti megfelelőjét, valamint az összes megoldást is! α = α = 68 ; α 1 = 360 α = = 9 ; α = α = = 48. Természetesen α 1 = ; α 1 = ; stb. is megoldása a feladatnak: Általános alakban felírva: α 1 = 9 + k 360, k Z; α = 48 + l 360, l Z. Mivel ezek egymástól független megoldások, különböző betűket használunk.

162 16 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 1 Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! a) sin( x + 5 ) + 0,5 = 0; 1 b) cos ( 36 x ) 0,5 = 0. 3 Megoldás: a) sin( x + 5 ) + 0,5 = 0, sin( x + 5 ) = 0,5, sin( x + 5 ) = 0,5. Innen a zsebszámológép segítségével kapjuk, hogy x + 5 = 14,5. A forgásszögek ismeretében ez két eset vizsgálatát jelenti: I. x = 14,5 + k 360, x 1 = 37,5 + k 360 = 3,5 + k 360, k Z. II. x + 5 = 165,5 + l 360, x = 113,5 + l 360, l Z. b) 3 1 cos ( 36 x ) 0,5 = 0, 1 cos ( 36 x ) = 0,5, 3 cos ( 36 x ) = 0,75. Zsebszámológép használatával: 36 x = 41,4. Innen két esetet kell megvizsgálni: I. 36 x 1 = 41,4 + m 360, x 1 = 77,4 + m 360, m Z és m Z. II. 36 x = 318,6 + n 360, x = 354,6 + n 360, n Z és n Z. 15. Oldd meg a következő egyenleteket! a) 0,5 sin x 0,1743 = 0; b) cos x + 0,568 = 1; c) sin ( x + 15 ) = 0,345; d) cos ( x 0 ) = 1, Oldd meg a következő egyenleteket! a) cos α 3 = ; b) sin β + 1 = 1 ;

163 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE c) sin γ = 1; d) cos δ = ; 3 3 e) cos (φ + 6 π ) = 0; f) sin (ψ 3 π ) = Oldd meg a következő egyenleteket! a) 3 sin ( x + 48 ) =,5681; b) 0, cos ( x 1 ) = 0, Oldd meg a következő egyenleteket! π 1 π a) cos ( α ) + = 0; b) sin ( β + ) = ; 6 4 c) 1 cos γ = 5 ; d) 3 sin δ 3 = Oldd meg a következő egyenleteket! a) cos x = 3 ; b) sin 1 x + = 1. 4 Mintapélda 13 Egy 10 cm területű háromszög 5 cm-es oldalán 7 -os szög nyugszik. Milyen hosszú a háromszögnek ezt a szöget határoló másik oldala? Megoldás: b m T = b, 5 mb 10 =, innen 4 = m b. Az ABB derékszögű háromszögben a szinusz szögfüggvényt felírva: m sin 7 = b m, innen c = b 4 =. c sin 7 sin 7 c 4, cm. Felhasználva, hogy m b = c sin α, kapjuk a háromszög területének egy másik kob mb b c sin α rábban már említett lehetséges kiszámítási módját: T = =.

164 164 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A hegyesszögű háromszög területét megkapjuk, ha vesszük két oldalának és a közbezárt szögük szinuszának a szorzatát, és ezt a szorzatot elosztjuk kettővel. A mintapéldában szereplő módon igazolható az összefüggés bármely két oldalra és az általuk bezárt szögre. T = a b sin γ b c sin α = = a c sinβ. A fenti összefüggés érvényes derékszögű, illetve tompaszögű háromszög esetén is. Derékszögű háromszögben: γ = 90, ezért sin γ = 1 értéket formálisan beírhatjuk a háromszög területképletébe: T = a b 1 a b sin90 a b sin γ = =. Tompaszögű háromszögben: m sin γ = a, b sin γ = sin ( 180 γ ) = sin γ, innen m a = b sin γ = b sin γ, a ma a b sin γ T = =. Mintapélda 14 Mekkorák az egyenlőszárú háromszög szögei és a kerülete, ha területe 3 egységnégyzet, és szárai 8 egység hosszúak? Megoldás: b = 8; T = 3. α =? β = γ =? (A háromszög egyenlőszárú.) K =? T = b b sinα 8 = sinα,

165 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE = 64 sin α, sin α = 0,7187 és 0 < α < 180. I. α 1 = 46, II. α = = 134, β 1 = ( ) : = 67, β = ( ) : = 3, γ 1 = 67. γ = 3. Tehát a megadott adatokhoz egy hegyesszögű és egy tompaszögű háromszög is tartozik. A kerület meghatározásának egyik lehetséges módja: α sin = a b. a 1 a I. sin 3 =, innen II. sin 67 = ,5 = a 1. 14,73 = a., innen K 1 = a 1 + b = 6, =,5. K = a + b = 14, = 30, Számítsd ki a háromszög területét, ha két oldala 30 cm és 4, dm hosszú, és 9 -os szöget zárnak be egymással! 1. Számítsd ki a háromszög területét, ha két oldala 3 dm és 1,5 m hosszú, és 108 -os szöget zárnak be egymással!. Számítsd ki a háromszög hiányzó adatát az ábrán látható jelöléseket használva, ha ismert, hogy a) T = 18 cm ; c = 5, cm; a = 7,4 cm, β =?; b =? b) T = 35 dm ; b = c = 8 dm, K =?

166 166 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 3. Számítsd ki a paralelogramma területét, ha két oldala 7 dm és 1,3 m, és a közbezárt szögük 113! A paralelogramma területe kiszámítható két, egy csúcsból kiinduló oldalának és a közbezárt szögük szinuszának szorzatával. T p = a b sin α. 4. Egy rombusz kerülete 36 cm, területe 5 cm. Mekkorák az oldalai és a szögei? 5. Számítsd ki a paralelogramma területét, ha két átlója 6 cm és 10 cm, és a közbezárt szögük 5!

167 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE 167 Szinusz- és koszinuszfüggvény A forgásszögekkel való ismereteink megszerzése után már minden szöghöz egyértelműen hozzárendelhető annak szinusza és koszinusza. A hozzárendelésnél valós számokhoz valós számokat rendelünk, ezért a szöget radiánban kell megadni. Az így nyert két függvény: f(x) = sin x, illetve g(x) = cos x. Az eddigi tapasztalatok alapján ezeknek a függvényeknek néhány tulajdonságát már ismerjük: 1. A függvényértékek [ 1; +1 ] intervallumban találhatóak. A 1-et is és a +1-et is végtelen sok helyen veszi fel.. A függvényértékek π szerint ismétlődnek, tehát a függvények periodikusok, és periódusuk π. Az f(x) függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan pozitív p érték, amelyre a függvény értelmezési tartományának minden x értékére x + p is az értelmezési tartományhoz tartozik, és f (x) = f (x + p). Ha a függvénynek van legkisebb pozitív periódusa, akkor ezt szoktuk figyelembe venni. Példák periodikus függvényekre: 1. Törtrész függvény: É.T.: R, f ( x ) = { x }, periódus: p = 1.. Konstans függvény: É.T.: R, f ( x ) =, periódus: minden valós szám megfelelő, de nincs közöttük legkisebb.

168 168 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 3. A valós életben például a szívritmus görbe (EKG): Mintapélda 15 Ábrázoljuk és jellemezzük az f( x ) = sin x függvényt! Megoldás: Készítsünk értéktáblázatot! 3π x π π π 1 sin x π 6 π 4 π 3 3 π π 7π π 4 4π 3 3 3π π 1 0 Jellemzés: É.T.: R. É.K.: [ 1; 1]. Zérushely: sin x = 0, x = k π, k Z. Periódus: π. Monotonitás: π π szigorúan monoton növekvő: + lπ x + lπ, l Z, π 3π szigorúan monoton csökkenő: + mπ x + mπ, m Z. Szélsőérték: π maximumhely: x = + nπ; n Z, maximumérték: sin x = 1,

169 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE 169 3π minimumhely: x = + sπ ; s Z, minimumérték: sin x = 1. Paritás: páratlan, mert sin x = sin ( x). Alulról nézve konkáv: aπ x π + aπ; a Z intervallumon. Alulról nézve konvex: π + bπ x π + π; b Z intervallumon. Mintapélda 16 Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x ) = cos x függvényt! Megoldás: Készítsünk értéktáblázatot! 3π x π π π cos x π 6 3 π 4 π 3 1 π π π 4 5π 6 3 π 3π π Jellemzés: É.T.: R. É.K.: [ 1; 1 ]. Zérushely: cos x = 0; x = π + k π, k Z. Periódus: π. Monotonitás: szigorúan monoton csökkenő: lπ x π + lπ; l Z, szigorúan monoton növekvő: π + mπ x π + mπ; m Z. Szélsőérték: maximumhely: x = nπ; n Z, maximumérték: cos x = 1, minimumhely: x = π + s π; s Z, minimumérték: cos x = 1. Paritás: páros, mert cos x = cos ( x). π π Alulról nézve konkáv: + aπ x + aπ ; a Z. π 3π Alulról nézve konvex: + bπ x + bπ ; b Z.

170 170 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A valós életben e függvények transzformáltjaival találkozhatunk: Rezgőmozgás: A hang terjedése: A kék, illetve a piros fény terjedése: A szinusz és koszinuszfüggvény ábrázolása függvénytranszformációkkal Kérdések: 1. Hogyan változik az f (x) = sin x függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját eltoljuk a v(0; ) vektorral?. Hogyan változik az f (x) = cos x függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját eltoljuk π a v( ; 0) vektorral? 3 3. Milyen transzformációval vihető át az f (x) = sin x függvény grafikonja a g(x) = cos x függvény grafikonjába?

171 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE Milyen transzformációval vihető át az f (x) = cos x függvény grafikonja a g(x) = sin x függvény grafikonjába? 5. Mennyivel kell eltolni és milyen irányban az f (x) = sin x függvény grafikonját, hogy a függvényértékek ne legyenek pozitívak? 6. Hol vannak az f ( x ) = cos x + 1 függvény zérushelyei? 7. Mik lesznek a szinusz- és a koszinuszfüggvény szélsőértékei, ha grafikonját az y tengely 1 mentén -szeresére zsugorítjuk? 4 8. Mik lesznek a szinusz-, ill. koszinuszfüggvény szélsőértékei, ha grafikonját az y tengely mentén ( )-szeresére nyújtjuk? 9. Milyen transzformációval kapjuk meg az f (x) = sin x függvény grafikonjából a g (x) = sin ( x) függvény grafikonját? 10. Milyen transzformációs lépések találhatók az f( x ) = konjának elkészítésekor? 11. Mekkora a periódusa az f (x) = sin 3x függvénynek? π 1 cos x + függvény grafi- 1. Hogyan változtatod meg az f (x) = cos x függvény hozzárendelési utasítását, hogy a függvény periódusa a kétszeresére nőjön? 13. Milyen paritású az f (x) = cos ( x) függvény? 14. Milyen értékeket vehet fel az f (x) = sin x függvény? Mintapélda 17 1 π Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x ) = sin x + függvényt! 3 Megoldás: Transzformációs lépések: 1. a ( x ) = sin x, π. b ( x ) = sin x +, a függvény grafikonjának eltolása az x tengely 3 π mentén a v ; 0 vektorral, 3 3. c ( x ) = 1 sin + π 1 x, b függvény grafikonjának y tengely menti -szeres 3 zsugorítása,

172 17 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. d ( x ) = 1 sin x + π, c függvény grafikonjának tükrözése az x tengelyre, 3 1 π 5. f ( x ) = sin x +. d függvény grafikonjának eltolása az y tengely men- 3 tén a v(0; ) vektorral. Jellemzés: É.T.: R. É.K.: az ábráról is leolvasható, de algebrai úton is levezethető. Megjegyzés: Az É.K. az y tengely menti 1 -szeres zsugorítás és az y tengely menti -vel való eltolás miatt változik, melyet a lépések sorrendjében levezethetünk: 1 1 sin α 1 /, sin α /, 3 1 sin α Az értékkészlet: ;. Zérushely: Egy jó ábráról szintén leolvasható. Most nézzük az algebrai levezetését: 1 π sin x + = 0, 3 sin x + π = 4, és mivel egy szög szinusza csak 1 és +1 közötti szám lehet 3 nincs zérushelye. Periódus: π. Monotonitás:

173 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE 173 Megjegyzés: Az ábráról olvassuk le a megfelelő intervallumokat. Célszerű először a [0; π] intervallumon megkeresni a megfelelő szakaszokat, majd utána kibővíteni a periódussal. Igyekezzünk egybefüggő szakaszokat találni. Ha túllóg a [0; π] n, akkor az utána lévő részt vegyük figyelembe. 1 A szakaszok helyét az x tengelyre történő tükrözés (a szorzó miatt) és az x tengely menti 3 π -mal történő eltolás befolyásolja. Szigorúan monoton növő: π 7π + kπ; + kπ ; k Z intervallumokban; 6 6 7π 13π Szigorúan monoton csökkenő: + lπ; + lπ ; l Z intervallumokban. 6 6 Szélsőérték: Megjegyzés: Egy jó ábráról leolvashatók a szélsőértékhelyek, de algebrai úton is levezethetők. A szélsőérték-helyeket az x tengelyre történő tükrözés (a 1 szorzó miatt) és az x tengely π menti -mal történő eltolás határozza meg. 3 1 π 5 Minimumhely: sin x + =, 3 sin x + π = 1, 3 π π x + = + mπ ; m Z, 3 Minimumérték: Maximumhely: x = 6 π + mπ π 3 sin x + =, 3 π 3π x + = + nπ ; n Z, 3 x = 7π + nπ. 6

174 174 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 3 Maximumérték:. Paritás: nem páros, nem páratlan. Megjegyzés: a grafikon nem szimmetrikus sem az origóra, sem az y tengelyre, ez algebrailag is bebizonyítható. Ehhez a definíciókat használjuk fel: A függvény páros, ha az értelmezési tartomány minden x elemére x is eleme az értelmezési tartománynak, és f ( x ) = f ( x ), illetve páratlan, ha f ( x ) = f ( x ). Állítsuk elő f ( x )-et! 1 π f ( x ) = sin x +, 3 π π sin x + = sin x + nem teljesül, mert 3 3 π π π sin x + = sin x = sin x, ezért a függvény nem páros π f ( x ) = sin x + +, ezért a függvény nem páratlan. 3 π 5π Alulról nézve konkáv a + aπ; + aπ, a Z intervallumokon. 3 3 π π Alulról nézve konvex a + bπ; + bπ, b Z intervallumokon. 3 3 Megjegyzés: A grafikonról mindez leolvasható. Mintapélda 18 Ábrázoljuk az alábbi függvények grafikonjait, és állapítsuk meg a periódusukat, zérushelyüket és szélsőértékhelyüket! 3π a) f ( x ) = sin x ; π b) g ( x ) = cos 3x! Megoldás: a) A grafikon elkészítéséhez alakítsuk át a hozzárendelési utasítást! 3π 3π 3π sin x = sin x = sin x.

175 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE 175 Ábrázolás menete: 1. d ( x ) = sin x, 3π 3π. e ( x ) = sin x, d grafikonjának eltolása az x tengely mentén -vel, 3π 3. f ( x ) = sin x, e grafikonjának tükrözése az x tengelyre. Periódus: π. 3 Zérushely: sin x π = 0, 3π x = kπ; k Z, 3π π x = + kπ = + k π ; k Z. Szélsőérték-helyek: Minimumhely: 3π sin x = 1, 3 sin x π = 1, 3π π x = + lπ; l Z. x = π + lπ = l π; l Z. Maximumhely: 3π sin x = 1, 3 sin x π = 1, 3π 3π x = + mπ; m Z, x = 3π + mπ = π + ( m + 1 ) π = π + m π; m Z.

176 176 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE b) A trigonometrikus függvények grafikonjának elkészítésekor az x változó együtthatójának 1-nek kell lennie, ezért az argumentumban kiemelést végzünk: Periódus: π π cos 3x = cos 3 x. 6 π. 3 Zérushely: cos 3x π = 0, 3x π = π + kπ; k Z, 3x = π + kπ = k π; k Z, π x = k. 3 Szélsőérték-helyek: Minimumhely: cos 3x π = 1, 3x π = π + lπ ; l Z, 3π 3x = + lπ, π π x = + l. 3 Maximumhely: cos 3x π = 1, 3x π = mπ ; m Z, 3x = π + mπ, π π x = + m. 6 3

177 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE 177 Tapasztalat: Ha x együtthatója nem 1, akkor az együtthatót kiemelhetjük: b cos( ax + b) = cos a x + ( a 0). a A függvény grafikonjának ábrázolása ebben az esetben 3 lépésből áll: 1) d(x) = cos x. 1 π 1) x tengely menti zsugorítás / nyújtás. A függvény periódusa -szorosára változik, azaz a a lesz. Tehát e( x ) = cos (3x). ) x tengely menti a b nagyságú, a b előjelével ellentétes irányú eltolás. π Tehát ( x) = cos 3 x f. 6 Megjegyzés: A szinusz- és a koszinuszfüggvény grafikonja ilyen hullámok ismétlődéséből épül fel. Egy hullám hossza π. Az x szorzótényezője ha az abszolútértékben 1-nél nagyobb szemléletesen azt mutatja meg, hogy hány db ilyen hullám fér bele egy π hosszú intervallumba. Ilyenkor a hullám összenyomódik. 1 Ha a szorzótényező abszolútértékben 1-nél kisebb, például, akkor egy π hosszúságú intervallumba a hullámnak csak a fele fér el. 3 esetén:. Ekkor a hullám széthúzódik. Minden esetben a hullám hossza éppen a szorzótényező reciprokszorosára változik.

178 178 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 19 Készítsük el a következő függvények grafikonját: a) cos x; b) cos x ; c) sin x ; d) sin x. Megoldás: a) b) c) d)

179 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE Készítsd el a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket! a) f ( x ) = sin x + ; 1 b) g ( x ) = cos x ; c) h ( x ) = sin ( x π ); 5π d) k ( x ) = cos x + ; 4 3 e) l ( x ) = sin x; f) m ( x ) = cos x. 7. Készítsd el a következő függvények grafikonját! Állapítsd meg a függvények paritását! a) a ( x ) = sin x ; b) b ( x ) = sin x.

180 180 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Forgásszögek tangense, kotangense Emlékeztető: α hegyesszög esetén: tg α = ctg α = a b szöggel szemközti befogó sin α = =, szög melletti befogó cos α szög melletti befogó cos α = =. szöggel szemközti befogó sin α b a Tetszőleges α szögre már definiáltuk a szögek szinuszát és koszinuszát, így hányadosuk segítségével a tangensüket és a kotangensüket is értelmezhetjük, ha a nevezőben szereplő kifejezés helyettesítési értéke 0-tól különböző. Ha x R és x nπ ( n Z ), akkor cos x ctg x =. sin x π Ha x R és x + kπ ( k Z ), akkor sin x tg x =. cos x A sin α és cos α értéket korábban az α irányszögű egységvektor y, illetve x koordinátájaként definiáltuk. Megmutatjuk, hogy a tgα és a ctgα fenti definíciójának milyen geometriai tartalma van: 1) tg α (tangens alfa) annak a pontnak az ordinátája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (0; 1) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk meg. ) ctg α (kotangens alfa) annak a pontnak az abszcisszája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (1; 0) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk. Az 1) geometriai tartalom következik a tg α definíciójából:

181 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI 181 Az OAB, illetve az OPQ háromszögek hasonlók, hiszen mindkettő derékszögű, és egyik szögük közös, ezért a megfelelő oldalaik aránya megegyezik: sinα = PQ cosα 1 sinα = PQ, cosα tg α = PQ. Az első síknegyedre tehát érvényes az összefüggés; a többi síknegyedre hasonlóan igazolható. A ) geometriai tartalom következik a ctg α definíciójából: Vegyük észre, hogy az OAB derékszögű háromszögben OA = sin α, és AB = cos α. Az OAB, illetve az OPQ háromszögek hasonlók, hiszen mindkettő derékszögű, és egyik szögük közös, ezért a megfelelő oldalaik aránya megegyezik: sinα cosα cosα = = PQ, PQ x sinα ctg α = PQ. Az első síknegyedre érvényes az összefüggés, a többi síknegyedre hasonlóan igazolható. Látszik, hogy a π + kπ, k Z nagyságú szögeknek a tangense, az nπ, n Z nagyságú szögeknek pedig a kotangense nem értelmezett, hiszen ekkor az egységvektor egyenese és a megfelelő érintő párhuzamosak. tg α esetén ctg α esetén

182 18 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Ha egy szög nem 90 -os vagy attól nem tér el 180 valamely egész számú többszörösével, akkor a tangense létezik és egyértelműen meghatározható. π Vagyis az R \ + k π, k Z halmazon létesíthető egyértelmű hozzárendelés: f ( x ) = tg x. Ezt tangensfüggvénynek nevezzük. Ha egy szög nem 180 vagy annak egész számú többszöröse, akkor létezik és egyértelműen meghatározható a kotangense is. Vagyis az R \ { nπ, n Z } Megfigyelések: halmazon létesíthető egyértelmű hozzárendelés: az f ( x ) = ctg x. Ezt kotangensfüggvénynek nevezzük. Megfigyelések: 1. Az f(x) = tg x függvény a III. síknegyedben, azaz 180 és 70 közötti szögekre ugyanazt az értéket veszi fel, mint az I. síknegyedben. Ez az állítás a g(x) = ctg x függvényre is érvényes. (0 < α < 180 és α tangense ugyanaz.). Az f(x) = tg x függvény a IV. síknegyedben, azaz 180 és 70 közötti szögekre ugyanazt az értéket veszi fel, mint az II. síknegyedben. Ez az állítás a g ( x ) = ctg x függvényre is érvényes. 3. Az 1. és a. megállapításból következik, hogy az f(x) = tg x és a g(x) = ctg x függvények periodikusak, és periódusuk π. Ez algebrai úton is belátható: ( α + π ) ( α + π ) sin sinα tg ( α + π ) = = = tgα. cos cosα sin = cos Hasonlóan a g ( x ) = ctg x függvény is páratlan. 4. Az f ( x ) = tg x függvény páratlan, mert tg( α ) ( α ) ( α ) sinα = = tgα. cosα A fentiek alapján töltsétek ki a következő oldalon lévő táblázatot!

183 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI 183 Nevezetes szögek szögfüggvényei 0 és 360 között: Fedezzetek fel minél több szimmetriát a táblázatban az értékekre, illetve az előjelekre vonatkozóan. Segítségképpen néhány értéket előre beírtunk.

184 184 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 8. A nevezetes szögek szögfüggvényeit felhasználva határozd meg a következő kifejezések pontos értékét! a) sin 45 cos tg 5 30 ; b) ; sin135 + cos 45 cos150 sin 10 c) ; d) tg cos 40 sin 1050 ; tg 45 ctg 5 π π 11π e) cos sin tg ; f) tg 60 + ctg tg 45 + cos Számold ki a következő értékeket! a) tg 03 ; b) ctg ( 514 ); c) tg 5,64; d) ctg Add meg azokat a szögeket, amelyeknek tangense a) 3; b) 3! 31. Oldd meg a következő egyenleteket! a) tg x = 1,; b) ctg x = 11; c) tg ( x + 16 ) = 3; d) tg x = Oldd meg a következő egyenleteket! a) tg 3x = 3 ; b) tg x = 3; c) ctg 5 + π π x = 3 ; d) tg x = 1. 16

185 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI 185 Mintapélda 0 Ábrázoljuk az f ( x ) = tg x, illetve a g ( x ) = ctg x függvények grafikonját, és jellemezzük a függvényeket! Megoldás: f(x) = tg x g(x) = ctg x Jellemzés: É.T: π R \ + k π; k Z ; R \ { a π; a Z}; É.K: R; R; Zérushely: tg x = 0, ctg x = 0, x = l π; l Z. x = π + b π; b Z. Periódus: π. π. Monotonitás: szigorúan monoton növő a szigorúan monoton csökkenő a π π + mπ; + mπ ; m Z ] c π ; π + c π [; c Z intervallumokon. intervallumokon. Szélsőérték: nincs. nincs. Paritás: páratlan. páratlan.

186 186 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Konvexitás: π π az nπ; + nπ ; n Z dπ ; + dπ ; d Z intervallumokon. intervallumokon. Konkávitás: π π + r π; π + rπ, r Z + e π; π + eπ, e Z intervallumokon. intervallumokon. 33. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f ( x ) = tg x; b) g ( x ) = tg x; c) h ( x ) = tg ( x ); d) k ( x ) = tg x + ; π π e) l ( x ) = tg x ; f) m ( x ) = tg x + ; g) n ( x ) = tg x. 3

187 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI 187 IV. Szögfüggvények közötti összefüggések általánosítása I. A tangens és a kotangens függvények értelmezése: sin x π tg x =, ha x + k π; k Z. cos x cos x ctg x =, ha x l π; l Z. sin x Ezek következménye: tg x ctg x = 1, innen ctg x = 1 1, illetve tg x =, azaz ugyanazon szög tangense és kotangense tg x ctg x egymás reciproka, ha x n π ; n Z. II. Pitagoraszi (négyzetes) trigonometrikus azonosság: sin α + cos α = 1. Megmutatjuk, hogy bármekkora szög esetén teljesül ez az összefüggés. Két esetet különböztetünk meg: π 1) α = k ; k Z Ekkor vagy sin α = 1 és cos α = 0 vagy cos α = 1 és sin α = 0. Behelyettesítve a fenti összefüggésbe kapjuk: sin α + cos α = sin α + cos α = = 1. π ) α k ; k Z. Minden esetben létrejön egy derékszögű háromszög, melynek befogói sin α, illetve cos α hosszúak, átfogója pedig e = 1 nagyságú. Írjuk fel a Pitagorasz-tételt felhasználva, hogy sin α = sin α és cos α = cos α: sin α + cos α = e, sin α + cos α = 1 = 1. III. Pótszög-összefüggések: sin α = cos ( π α ), tg α = ctg ( π α ); x π + k π k Z, cos α = sin ( π α ), ctg α = tg ( π α ); x nπ n Z.

188 188 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 1) Az f(x) = cos x függvény ábrázolásakor tapasztaltuk, hogyha f grafikonját eltoljuk az x tengely mentén + π -vel, akkor éppen a g(x) = sin x függvény grafikonját kapjuk: π π π sin x = cos x = cos x = cos x. mivel a koszinuszfüggvény páros ) Ha az f(x) = sin x függvény grafikonját eltoljuk az x tengely mentén + π -vel, akkor g(x) = cos x függvény grafikonját kapjuk. π π π cos x = sin x = sin x = sin x, mivel a szinuszfüggvény páratlan cos x = sin π x. π cos x sin x 3) tg x = π π = = ctg x, x + kπ ; k Z. cos x π sin x π sin x cos x 4) ctg x = π = = tg x, x nπ ; n Z. sin x π cos x

189 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI 189 Mintapélda 1 Számítsuk ki a szög értékének meghatározása nélkül a másik három szögfüggvény értékét, és szerkesszük is meg a keresett szögeket, ha tudjuk, hogy 3 a) sin x = ; b) tg x =! 3 8 Megoldás: a) sin x =. 3 cos x értékének meghatározásához a Pitagoraszi összefüggést használjuk fel: sin x + cos x = 1, 3 + cos x = 1, + cos x = 1, 9 cos 7 x =, 9 7 cos x = ±. 3 tg x és ctg x értékek kiszámításhoz a tg x = alkalmazzuk: sin x = sin x 1, illetve ctg x = cos x tg x 3 összefüggéseket tg x = ctg x = cos x = tg x 7, cos x =, 37 3 =, tg x = 3 = = 7 1 7, ctg x = = tg x., Szerkesztés vázlata: Ha sin α =, akkor 3

190 190 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Megjegyzés: Az egységet tetszőlegesen vehetjük fel. Mivel sin x = 3, ezért az egységkörön ábrázolva: b) tg x = 8 3. Közvetlenül ctg x értékét tudjuk kiszámítani: 1 8 ctg x = =. tg x 3 3 Szerkesztés: Ha x hegyesszög, akkor tg x =. 8 Innen a Pitagorasz-tétel alkalmazásával sin x és cos x már meghatározható. Ha x tetszőleges forgásszög, akkor tg x = 8 3 értéket az egységkörön ábrázolhatjuk: Innen a Pitagorasz-tétel alkalmazásával sin x és cos x már meghatározható.

191 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI Számítsd ki a szög nagyságának meghatározása nélkül a másik három szögfüggvény értékét, és szerkeszd is meg a keresett szögeket: 1 9 a) sin x = ; b) cos x = ; c) tg x = ; d) ctg x = 3,8! 7 5 7

192 19 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE V. Kiegészítő anyag Mintapélda Mely x-ekre teljesül? 1 a) sin x ; b) tg x > ; c) cos x < ; d) ctg 33 x 1? Megoldás: Mindegyik feladatnál először egy perióduson belül keressük meg a megoldást. Ez általában a szinusz- és koszinuszfüggvény esetén a [ 0; π ], tangens és kotangens függvény esetén pedig a [ 0; π ] intervallumot jelenti. Csak ezután általánosítunk. a) sin x 1 π 7π + kπ x + kπ ; k Z. 6 6

193 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI 193 b) tg x > 3 3 π π + mπ x + mπ ; 6 m Z. π π π π + m x + m ; 1 4 m Z. c) cos x < Az ábráról is leolvasható, de az abszolútérték definícióját felhasználva is kiderül, hogy azokat az x értékeket keressük, amelyekre < cos x <. A keresett intervallumok: π 3π 5π 7π + nπ < x < + nπ, n Z illetve + kπ < x < + kπ, k Z Mivel cos x periódusa π, ezért e két megoldási tartomány összefoglalható: π 3π + p π < x < + pπ, p Z. 4 4

194 194 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE d) ctg x 1 Az ábráról leolvasható, hogy olyan x-eket keresünk, melyekre ctg x 1 vagy ctg x 1. A keresett intervallumok: π 3π rπ < x + rπ, r Z, illetve + s π x < ( s + 1)π ; s Z Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket! a) sin x 1 ; b) cos x < ; c) tg x 3. 3 Mintapélda 3 Oldjuk meg a következő egyenleteket: 7π π π a) cos 3x = cos x ; b) sin x + = sin x; c) tg x = tg x Megoldás: A megoldás során felhasználjuk, hogy cos x = cos (π x) és sin x = sin (π x). 7π a) cos 3x = cos x 6

195 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI 195 I. 7π 7π x = 3 x + kπ k Z II. x = π 3 x + n π ; n Z, 6 6 7π 7π kπ = 4x, x = + π n π π 5π 7π k = x. x = + nπ = + π ( n + 1) π b) sin x + = sin x 8 5π + nπ = ( 1 ), I. x + 8 π = x + mπ; m Z, II. x + 8 π = π x + nπ; n Z, π 7π x = + mπ. 3x = + nπ, 8 8 7π x = + nπ. 4 3 π c) tg x = tg x, 4 π x = x + rπ; r Z, 4 π 3x = + rπ, 4 x = π π r Oldd meg a következő egyenleteket! a) sin x = sin 75 ; π b) cos x = cos x + ; 4 x 5π c) sin = x ; 6 d) cos (3x + 60 ) = cos (x + 4 ); e) tg 4x = tg (36 + x); π f) ctg πx = ctg 3πx. 4

196 196 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kislexikon Radián: megmutatja, hogy egy adott középponti szöghöz tartozó körív hossza hányszorosa a kör sugarának; 180 = π radián. Átváltások: o π fok radián: α ) = α, 180 o o ) 180 radián fok: α = α. π Pótszög: a szöget 90 -ra egészíti ki. Kiegészítő szög: a szöget 180 -ra egészíti ki. Irányszög: A síkbeli i, j koordináta-rendszerben egy e egységvektor irányszögének annak az elforgatásnak a szögét nevezzük, amely i-t az e-be viszi át. (Ez az elforgatás irányától függően pozitív vagy negatív is lehet.) Forgásszög koszinusza: Tetszőleges forgásszög koszinuszán az adott irányszögű egységvektor x koordinátáját (abszcisszáját) értjük. Jele: cos α. Forgásszög szinusza: tetszőleges forgásszög szinuszán az adott irányszögű egységvektor y koordinátáját (ordinátáját) értjük. Jele: sin α. Háromszög területe: a b sin γ a c sinβ b c sin α T = = =. Egy háromszög területe két oldalának és a közbezárt szögük szinusza szorzatának a fele. Paralelogramma területe: A paralelogramma területe kiszámítható két, egy csúcsból kiinduló oldalának és a közbezárt szögük szinuszának szorzatával. T p = a b sin γ. Az f(x) függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan pozitív p érték, amelyre a függvény értelmezési tartományának minden x értékére p + x is az értelmezési tartományhoz tartozik, és f(x) = f(x + kp). Ha a függvénynek van legkisebb pozitív periódusa, akkor ezt szoktuk figyelembe venni. Forgásszög tangense: sin α π Definíció: tg α =, α + kπ, (k Z). cosα Geometriai tartalom: tg α (tangens alfa) annak a pontnak az ordinátája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (1 ;0) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk meg.

197 1. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI 197 Forgásszög kotangense: cosα Definíció: ctg α =, α kπ, (k Z). sin α Geometriai tartalom: ctg α (kotangens alfa) annak a pontnak az abszcisszája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (0; 1) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk meg. π Tangensfüggvény: az R \ + k π, k Z értelmezési tartományon érvényes f(x) = tg x hozzárendelési utasítással megadott függvény. Kotangensfüggvény: R \ {nπ, n Z} értelmezési tartományon érvényes f(x) = ctg x hozzárendelési utasítással megadott függvény. Szögfüggvények közötti összefüggések általánosítása: sin α cosα 1) tg α = ; ctg α = tg α ctg α = 1, cosα sin α 1 ctg α =, tgα 1 tg α = a megfelelő értelmezési tartományon. ctgα ) Pitagoraszi összefüggés: sin α + cos α = 1.

198

199 13. MODUL statisztika Készítette: Lövey Éva (Gidófalvi Zsuzsa moduljának felhasználásával)

200 00 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Statisztikai mutatók, diagramok A mai világban való eligazodáshoz nagyon fontos a statisztika. Kilencedik osztályban már részletesen foglalkoztunk ezzel a témakörrel. Megismerkedtünk bizonyos statisztikai alapfogalmakkal: statisztikai sokaság, statisztikai ismérv, gyakoriság, relatív gyakoriság. Most, tizedik osztályban ezeket átismételjük, a statisztika ugyanis átvezet a valószínűség fogalmának megismeréséhez is. A gazdaság és a társadalom nagyon sok összetevőből áll, azonban általában csak néhány számadatból próbálunk választ kapni kérdéseinkre. Ezek a számadatok igen változatosak lehetnek. Közvetlen környezetünkben is találhatunk példákat,,árulkodó számokra: lakóhelyünkön a lakosok száma, nemek szerinti megoszlása, foglalkoztatottak és munkanélküliek aránya, iskolába járó tanulók száma és közülük a középiskolások megoszlása a különböző iskolatípusok között stb. A tömegesen előforduló jelenségek és folyamatok számbavételével, az így nyert adatok vizsgálatával, elemzésével foglalkozik a statisztika. A statisztikus először adatokat gyűjt a vizsgálat tárgyát képező egyedekről meghatározott szempontok alapján. Mintapélda 1 A következő diagram a június havi napi középhőmérsékleteket tartalmazza. Június havi napi középhőmérsékletek Készítsük el a napi középhőmérsékletek gyakorisági diagramját!

201 13. modul: STATISZTIKA 01 Számoljuk ki a június havi átlaghőmérsékletet! a) Határozzuk meg, hogy hány olyan nap volt, amikor a középhőmérséklet magasabb volt az átlagnál, és hány napon volt alacsonyabb? b) Határozzuk meg a napi középhőmérsékletek móduszát és mediánját, értelmezzük ezeket! Megoldás: a) Összegyűjtöttük, hogy melyik hőmérséklet hányszor fordul elő: Hőmérséklet Gyakoriság A középhőmérsékletek gyakorisági diagramja Június havi átlaghőmérséklet: = 0,63 C. 30 a) Az átlagnál magasabb volt a középhőmérséklet: 16 napon, az átlagnál alacsonyabb volt a középhőmérséklet: 14 napon. b) A középhőmérsékletek módusza, azaz a leggyakrabban előforduló hőmérséklet: C. A középhőmérsékletek mediánja, azaz a statisztikai sokaság középső eleme: 1 C.

202 0 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Egy 35 fős osztályból véletlenszerűen választottunk ki 15 tanulót. A tanulók cipőméretét és kedvenc színét tartalmazza a következő táblázat. Cipőméret Szín Cipőméret Szín Cipőméret Szín Sárga Fehér Fekete. 36 Piros Sárga Fekete Kék Piros Sárga Sárga Zöld Rózsaszín Zöld Sárga Fehér Mennyiségi ismérv, azaz olyan szempont, amelynek alapján számadattal jellemezhetjük a sokaságot: a cipőméret. Minőségi ismérv, azaz olyan szempont, amely alapján szöveggel jellemezhetjük a sokaságot: a kedvenc szín. A mennyiségi és a minőségi ismérv alapján a statisztikai sokaságra vonatkozóan különböző statisztikai mutatókat lehet meghatározni. Határozzuk meg ezeket! Megoldás: Mennyiségi ismérv: Legkisebb cipőméret: 35. Legnagyobb cipőméret: 4 A cipőméretek gyakorisága, relatív gyakorisága: Cipőméret Gyakoriság Relatív gyakoriság 0,7 0,13 0, 0, 0,07 0,07 0,07 A cipőméretek módusza, azaz a leggyakoribb cipőméret: 35. A cipőméretek mediánja, azaz a statisztikai sokaság középső eleme: 37.

203 13. modul: STATISZTIKA 03 Az átlagos cipőméret: Minőségi ismérv: 37,3. Színek gyakorisága, relatív gyakorisága: Kedvenc szín Fehér Fekete Kék Piros Rózsaszín Sárga Zöld Gyakoriság Relatív gyakoriság 0,13 0,13 0,07 0,13 0,07 0,3 0,13 A kedvenc színek módusza, azaz a leggyakrabban előforduló szín: a sárga. Megjegyzés: Ha a statisztikai sokaság számokból áll, akkor mind a három középérték meghatározható (átlag, módusz, medián). Ha a statisztikai sokaság minősített adatokból áll, és nem rendezhető sorba, akkor csak a módusz határozható meg. A statisztikai adatok szemléltetésére különböző grafikonokat, diagramokat használunk. Az ábrázolandó adathalmaz jellege határozza meg, hogy milyen típusú diagramot alkalmazunk. Az oszlopdiagramnál az adatokat, mint téglalapokat jelenítjük meg. A téglalapok magassága arányos az adat nagyságával (az oszlopok szélessége ugyanakkora, a negatív adatokat szokás lefelé rajzolni). A kördiagram segítségével általában a rész és egész arányát ábrázoljuk. A teljes kör jelképezi a 100%-ot, és az egyes részek arányát ábrázoló körcikkhez tartozó középponti szög arányos a relatív gyakorisággal. Mintapélda 3 A 1. évfolyam tanulói magyarból próbaérettségit írtak. Minden tanuló egy kódszámot kapott, amely az 1,, 3, 4 és 5 számjegyekből mindegyiket pontosan egyszer tartalmazta valamilyen sorrendben. a) Hány tanuló írta meg a dolgozatot, ha az összes képezhető kódszámot mind kiosztották?

204 04 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE b) Az alábbi kördiagram a dolgozatok eredményét szemlélteti: Adjuk meg, hogy hány tanuló érte el a szereplő érdemjegyeket! A választ foglaljuk táblázatba, majd a táblázat adatait szemléltessük oszlopdiagramon is! Megoldás: a) Képezzük az összes lehetséges kódszámot! A kód első jegyét 5 szám közül, a másodikat már csak a maradék 4, a harmadikat 3, a negyediket a megmaradt számból választhatjuk ki, végül az utolsó jegy így már meghatározott. Az összes kódok száma: = 10. Tehát 10 tanuló írta meg a dolgozatot. b) A 10-at kell felosztani a középponti szögek arányában. Jegyek Fok 45 o 105 o 150 o 60 o Fő Készítsük el az oszlopdiagramot! fő érdemjegyek

205 13. modul: STATISZTIKA 05 Feladatok 1. Egy debreceni középiskolában 700 diák tanul öt megyéből. A megyénkénti eloszlást tartalmazza a táblázat. Megye Diákok száma Szabolcs-Szatmár-Bereg 175 Hajdú-Bihar 441 Békés 4 Borsod-Abaúj-Zemplén 8 Jász-Nagykun-Szolnok 14 Összesen: 700 a) Állapítsd meg, hogy az egyes megyékből a tanulók hány százaléka jár a középiskolába! b) Ábrázold oszlopdiagramon, hogy megyénként hány fő jár az iskolába! (Ez lesz a gyakoriság.) A százalékos megoszlást ábrázoljuk kördiagramon! (Ez lesz a relatív gyakoriság.) c) Vajon tudnak-e minden vidéki tanulónak kollégiumi férőhelyet biztosítani, ha az iskola a várostól 318 kollégiumi férőhelyet kapott? Feltételezzük, hogy minden olyan tanuló kér kollégiumot, aki nem debreceni. A Hajdú-Bihar megyei diákok 70%-a debreceni.. Magyarázd meg, hogyan lehet igaz mindkét újság híre! Miután értékelted Pesszimista újság és Optimista újság híreit, készítsd el az Objektív újság grafikonját! A möhönce árának valódi alakulását az alábbi táblázat mutatja: Év Ár (Ft)

206 06 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 3. Egy önkormányzat az alábbi grafikonnal büszkélkedett arról, hogy milyen mértékben nőtt náluk a szelektív hulladékgyűjtés. Ha nem figyelsz a grafikon függőleges tengelyére, hányszoros növekedést tippeltél volna?

207 13. modul: STATISZTIKA Három telefontársaság (Király, Csúcs és Szuper) is harcol egy térségben a piacvezető címért, ugyanis az emberek ahhoz a társasághoz fordulnak a legszívesebben, amelynél a legtöbb előfizető van. Az egyik társaság prospektusában a következő diagramot jelentette meg: Mire tippelsz, melyik lehet ez a társaság? A kördiagram az alábbi táblázat alapján készült: Király Csúcs Szuper Előfizetések száma Milyen eszközökkel élt a grafikon készítője, hogy a társasága a legsikeresebbnek látszódjon? Előfizetések aránya az egyes szolgáltatóknál Király Csúcs Szuper 5. A grafikon. a 005. évi kémia érettségi vizsgán elért pontszámokat mutatja Hány diák érettségizett kémiából 005-ben? Hány pont volt a vizsgadolgozatok átlaga?

208 08 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 6. A grafikon a 005-ös kémia érettségin a 4040 vizsgázó által elért százalékokat mutatja. Állapítsd meg az adatsokaság móduszát és mediánját, és értelmezd ezeket a statisztikai jellemzőket!

209 13. modul: STATISZTIKA 09 II. A szóródás mérőszámai Mintapélda 4 Adott két számsokaság, határozzuk meg ezek móduszát, mediánját és átlagát! I.: 10, 10, 1, 13, 13, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18. II.: 6, 8, 10, 1, 13, 14, 15, 16, 16, 16, 18, 1,. Megoldás: Mindkét adatsokaságban a leggyakrabban előforduló szám a 16, ez a módusz. Mindkét adatsokaság számait növekvő sorrendben írtuk fel, és a 15 áll a középső helyen, ez a medián. 187 Mindkét sokaság átlaga: 14, Látjuk, hogy egy sokaság mindhárom középértéke megegyezhet egy tőle különböző sokaságéval! Ha az átlagot tekintjük, kérdés, hogy az átlag mennyire jellemző a sokaságra, vagyis célszerű megnézni az átlagolandó értékek eltéréseit. az átlagtól. Egy átlag annál jobban jellemzi a sokaságot, minél kisebbek az eltérések az átlagolandó értékek és az átlag között. Ha az átlagolandó értékek az átlag körül tömörülnek, akkor azt mondjuk, hogy a szóródás kicsi, tehát az átlag jól jellemzi a statisztikai sokaságot. Az átlag érzékeny a sokaság legnagyobb és legkisebb elemére, a medián viszont nem. Ha a sokaság számokból áll, akkor meghatározható a sokaságnak mind a három középértéke. Ha a statisztikai sokaság rendezhető adatokból áll, akkor van a sokaságnak módusza és mediánja is. Az előzőekben láthattuk, hogy a leggyakrabban használatos középértékek a módusz, a medián és az átlag más-más jellegű információt nyújtanak a sokaságról, de önmagában egyik sem kielégítő. Gyakran felmerül az a kérdés, hogy egy adott középértéknek mennyire nagy az egyes elemektől való eltérése. Ennek megadására újabb mérőszámokat kell bevezetnünk. Az átlagolandó értékeknek az átlagtól való eltérését szóródásnak nevezzük. A szóródás jellemzésére használt mutatószámok: terjedelem, átlagos abszolút eltérés, átlagos négyzetes eltérés.

210 10 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Terjedelem Mintapélda 5 Az alábbi táblázat magyarországi városokban mért csapadék mennyiségét mutatja havi bontásban. (A csapadék mennyiségét mm-ben mérik.) Ezeknél a városoknál lényegesen eltér az éves csapadékösszeg, kivéve Szentgotthárdot és Bakonybélt. Az ott élő embereknek mégis nagyon különböző benyomásuk lehetett az éves időjárásról. Találjunk erre magyarázatot! I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. Év Kecskemét Békéscsaba Nyíregyháza Pécs Szentgotthárd Bakonybél Megoldás: Ábrázoljuk a lehullott csapadék mennyiségét ebben a két városban! A lehullott csapadék mm hónapok Szentgotthárd Bakonybél A szentgotthárdiak valószínűleg arról panaszkodtak, hogy a tél nagyon száraz, a nyár viszont igen esős volt. Bakonybélben is több csapadék esett nyáron, mint télen, de a helyzet nem volt annyira szélsőséges, az adatok terjedelme nem olyan nagy. Bakonybélben a legtöbb csapadék 85 mm volt, a legszárazabb hónapban 46 mm. A két szélsőséges csapadékmennyiség közötti eltérés mindössze 39 mm. Ugyanezek az adatok Szentgotthárdnál: 104 mm, illetve 36 mm, az eltérés pedig 68 mm.

211 13. modul: STATISZTIKA 11 Egy adatsokaság terjedelme az adatsokaságban előforduló legnagyobb és legkisebb adat közti különbség. Kiszámítási módja: Terjedelem = előforduló legnagyobb érték előforduló legkisebb érték Mintapéldánkban a minta terjedelme: Szentgotthárdon: 104 mm 36 mm = 68 mm Bakonybélben: 85 mm 46 mm = 39 mm. Átlagos abszolút eltérés Mintapélda 6 Egy filmfesztiválon a tízfős zsűri minden tagja minden egyes filmet 1-től 10-ig terjedő pontszámmal díjazott. A megbeszélésen kiderült, hogy az első helyezést a pontszámok alapján két film is elnyerheti, mert pontozásuk így alakult: Összesen Szépfilm Jófilm Egy újságíró utóbb megszerezte ezt az összesítést, és így kommentálta az információt: A két film átlagos megítélése a pontszámok alapján azonosnak mondható, de a Szépfilm sokkal inkább megosztotta a zsűrit. Jellemezzük ezt a megosztottságot egy számadattal!

212 1 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Megoldás: pontszám Szépfilm eltérés az átlagtól pontszám Jófilm eltérés az átlagtól 10,7 8 0,7 3-4,3 8 0,7 10,7 1-6,3 10,7 8 0,7 10,7 7-0,3 9 1,7 8 0,7 1-6,3 8 0,7-5,3 7-0,3 8 0,7 8 0,7 10,7 10,7 Ezek átlaga: 0 Ezek átlaga: 0 A két filmnek ítélt pontok terjedelme egyaránt 9 pont, tehát ezzel nem jellemezhetjük az adatsokaságokat. A pontok átlaga mindkét filmnél 7,3 pont, ezért ez sem alkalmas az összehasonlításra. Nézzük meg, az egyes pontozók által adott pontszámok hogyan térnek el az átlagtól: Látjuk, hogy az eltérések általában a Szépfilmnél nagyobbak. A különbségek átlagát nem érdemes vennünk, mert az átlag pontosan arról híres, hogy a tőle való eltérések összege nulla. Vegyük inkább az átlagtól való abszolút eltérések átlagát! A Szépfilm -nél:,7 + 4,3 +,7 +,7 +,7 + 1,7 + 6,3 + 5,3 + 0,7 +,7 = 3, Ez elég sok, azt jelenti, hogy a pontozók átlagosan 3 ponttal térnek el az átlagos pontszámtól. Ugyanez a számítás a Jófilm -nél egészen más értéket ad: 0, 7 + 0, 7 + 6, 3 + 0, 7 + 0, 3 + 0, 7 + 0, 7 + 0, 3 + 0, 7 +, 7 = 138,. 10 A szóródás jellemzésére olyan mutatószámot kell keresnünk, amely nemcsak egyes szélső, kiugró értékeket, hanem minden átlagolandó értéket figyelembe vesz. Ez az érték az átlagos abszolút eltérés, amit úgy számítunk ki, hogy minden adatnak tekintjük az átlagtól való eltérésének abszolútértékét, ezeket az eltéréseket összeadjuk, és a kapott összeget elosztjuk az adatok számával. Ha a sokaság elemei a 1, a, a n, akkor a sokaságnak egy A számtól vett átlagos abszolút eltérését az a1 A + a A an A képlettel számíthatjuk ki. n A általában az adatsokaság átlaga (számtani közepe).

213 13. modul: STATISZTIKA 13 Az átlagos négyzetes eltérés Az átlagos abszolút eltérésnél jobban jellemzi a sokaság szerkezetét az átlagos négyzetes eltérés. Ennek értékét úgy határozhatjuk meg, hogy tekintjük a sokaság minden adatának eltérését az átlagtól, majd ezeket az eltéréseket egyenként négyzetre emeljük, és a kapott négyzeteket összeadjuk. Végül ezt a négyzetösszeget osztjuk az adatok számával. Mintapélda 7 Matematikadolgozatot írt 45 tanuló. A dolgozatok érdemjegyeit a javítás sorrendjében tartalmazza a következő adatsor: 1, 1, 3, 4,, 5, 3, 3, 4,, 1, 3, 5, 4, 4, 3,,, 1, 3, 3,, 5,, 3, 3,, 4, 3, 3,, 3, 4,, 3, 4, 4,, 3,, 3,, 4, 4, 1 Jellemezzük ezt az adatsokaságot! Megoldás: A rendezés utáni adatsor: 1, 1, 1, 1, 1,,,,,,,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 Gyakorisági táblázat: Érdemjegy Gyakoriság Gyakorisági diagram: Matematika dolgozatok érdemjegyei dolgozatok száma érdemjegyek Átlag:, 87. A legtöbben közepes dolgozatot írtak, módu- 45 sza: 3. Ha megkeressük, hogy melyik szám áll a sorbarendezett osztályzatok közül a 3. helyen, ott a hármast találjuk, tehát a medián: 3. A statisztikusok leggyakrabban az adatoknak a számtani középtől való úgynevezett négyzetes közepét számítják ki, s ezzel jellemzik a szóródást. Példánkban ez a következő:

214 14 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 5 ( 1, 87) + 1 (, 87) + 15 ( 3, 87) + 10 ( 4, 87) + 3 ( 5, 87) ,. Az ilyen módon kiszámított szóródási mutatót szórásnak, négyzetét átlagos négyzetes eltérésnek, szórásnégyzetnek nevezzük. Feladatok 7. Hasonlítsd össze az 5. mintapéldában az egyes városokban mért csapadékértékeknél a terjedelmet! 8. Számítsd ki a 4. mintapéldában szereplő mindkét adatsokaságnál a) az átlagtól való eltérést; b) az átlagtól való abszolút eltérést! c) Melyik sokaságot jellemzi jobban az átlaga? 9. Számítsd ki az 5. mintapélda adatai alapján a havi csapadékmennyiségek átlagát, átlagos abszolút eltérését Kecskeméten, és értelmezd az eredményedet! 10. Számítsd ki az 5. mintapélda adatai alapján a havi csapadékmennyiségek átlagát és szórását Pécsett! 11. Határozd meg a 4. mintapéldában az I. sokaság szórásnégyzetét és szórását! 1. Egy tanulócsoportban a fiúk és a lányok tanulmányi eredményei matematikából a következők: Fiúk: 4, 4, 3, 3, 4, 3,, 5. Lányok: 5, 4, 4, 3,, 3, 4, 5, 1, 4. Számítsd ki a fiúk és a lányok tanulmányi átlagát, az osztályzatok szóródásának terjedelmét, az átlagos abszolút eltérést és a szórást! 13. Három számról tudjuk, hogy átlaguk 8, terjedelmük 11, szórásuk pedig tudod-e mondani, melyik ez a három szám? 6. Meg 3

215 13. modul: STATISZTIKA 15 Kislexikon Szóródás: az átlagolandó értékeknek az átlagtól való eltérése. Terjedelem: az adatsokaságban előforduló legnagyobb és legkisebb érték különbsége. Átlagos abszolút eltérés: Ha a sokaság elemei a 1, a, a n, akkor a sokaságnak egy A számtól a1 A + a A an A vett átlagos abszolút eltérését az képlettel számíthatjuk ki. n (A általában az adatsokaság átlaga.) Átlagos négyzetes eltérés, szórásnégyzet: Ha a sokaság elemei a 1, a, a n, akkor a sokaságnak az A átlagtól vett átlagos négyzetes eltérését az ( a A) + ( a A) ( an A n 1 ) képlettel számíthatjuk ki. Szórás: a szórásnégyzet négyzetgyöke.

216

217 14. MODUL Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidra Gábor

218 18 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Közepek Sok adat (számsokaság) jellemzői között szerepel a legnagyobb és a legkisebb adat, a minta terjedelme (a legnagyobb és a legkisebb elem különbsége), a középmennyiségek (különböző átlagok, közepek) és az adatok középmennyiségek körüli elhelyezkedésére, szétszórtságára jellemző szórás. Eddigi tanulmányaink során megismerkedtünk néhány középértékkel a statisztika témakörében: Számtani közép vagy átlag: a + b a és b valós számok számtani közepe A =, vagyis két szám átlagát (összegük felét) a két szám számtani közepének nevezzük. Módusz: a számsokaság leggyakoribb adata. Medián: páratlan számú adat esetén a rendezett minta középső eleme, páros számú adat esetén a két középső átlaga. A számtani közép tehát azonos a köznapi értelemben használt átlag fogalmával. Több szám esetén a két száméhoz hasonlóan számoljuk ki a számtani közepüket: a számok összegét elosztjuk a számok darabszámával: a1 + a an A =, ahol a 1, a,, a n valós számok. n A számtani közép azonban nem minden esetben jellemzi megfelelően az adatokat. Vizsgáljuk meg a következő példát. Mintapélda 1 Egy cégnél 8 ember 90 ezer, 1 ember 140 ezer és 1 ember 500 ezer forintot keres havonta. Mennyi az átlagkereset? Megoldás: =

219 14. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP 19 Ez aligha vigasztalja azokat, akik csak 90 ezer forintot keresnek. Érdemes lenne kiegészíteni a szórás nagyságával: ( ) + ( ) + ( ) 8 σ = A szórás nagyságrendje is mutatja az adatok elhelyezkedését. Kiegészíthetjük azzal a megjegyzéssel is, hogy a dolgozók 80%-ának a fizetése az átlagkereset alatt van. Jól szemlélteti a problémát a keresetekből készített oszlopdiagram is. Tapasztalataink szerint az átlagot a kiugró adatok elrontják, ezért szükség van további, az adatsokaságot jellemző, átlag jellegű adatokra (közepekre). Ilyen például a mértani közép. a és b pozitív számok mértani közepe: G = a b, vagyis két pozitív szám szorzatának négyzetgyökét a két szám mértani közepének nevezzük. A medián, módusz, számtani és mértani közép mellett egyéb középértékeket is ismerünk: Harmonikus közép (H): = a b (a, b > 0), az algebrai átalakításokat elvégezve H =. H ab a + b A harmonikus közép jól használható például átlagsebesség vagy áramkörökkel kapcsolatos számításoknál. a + b Négyzetes közép: N = (a,b valós számok) A négyzetes közepet olyan adatok jellemzésére szoktuk használni, amelyek átlaga nulla. A mértani közép értelmezhető több szám esetén is, de erre most nem térünk ki. A számtani közepet A-val jelöljük (aritmetikai közép), a mértani közepet G-vel (geometriai közép).

220 0 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A mértani közép az aranymetszéssel is kapcsolatba hozható. Egy szakaszt akkor osztunk fel az aranymetszés szabálya szerint, ha a hosszabb és a rövidebb szakasz hosszának aránya ugyanannyi, mint az egész és a nagyobb szakasz hosszának az aránya: a x a + x = a = ax + x a = x( a + x). a Innen a x ( a + x) =, azaz észrevehetjük, hogy a hosszabb szakasz éppen a rövidebb és az egész szakasz hosszának mértani középarányosa. Mintapélda Számítsuk ki két szám, és 8 számtani és mértani közepét, és ábrázoljuk a közepeket a számegyenesen! Megoldás: + 8 A = = 5, G = 8 = 16 = 4. Mintapélda 3 Adott egy téglalap, amelynek oldalai 4 és 6 egység. Mekkora a vele egyenlő területű négyzet oldala? Megoldás: A téglalap területe: T = 6 4 = 144. A négyzet területe: T = x, = 1 x. Éppen x = 6 4, vagyis a négyzet oldala a téglalap oldalainak mértani közepe.

221 14. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP 1 Mintapélda 4 Határozzuk meg azt a két pozitív számot, amelyek számtani közepe 10, mértani közepe 8. Megoldás: Jelöljük x és y-nal a keresett számokat! x + y A számtani közép: = 10, innen x + y = 0. A mértani közép: x y = 8, innen x y = 64. Ebből adódik a 0 = x 0 x + 64 másodfokú egyenlet, amelyet megoldva x 16 és x = 4. y értékei: y 1 = =, y = 0 4 = 16. Ellenőrzés után a feladatot a válasz leírásával zárjuk: a keresett számok 4 és = A mértani középpel már többször találkoztunk geometriai problémák esetében is, például a hasonlóságnál tanultuk a következőket: Magasságtétel: a derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szeletre bontja, amelyek mértani közepe a magasság. Befogótétel: a derékszögű háromszögben a befogó megegyezik az átfogónak és az adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepével. Érintő- és szelőszakaszok tétele: egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakasz mértani közép a pontból húzott szelő és a szelőnek a ponttól a körig terjedő darabja között. m = a = e = c c 1 c c 1 s 1 s

222 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 5 Az ABC háromszög BC oldalának C-n túli meghoszszabbításán levő D pontra igaz, hogy az ABC szög egyenlő a CAD szöggel. Bizonyítsuk be, hogy AD mértani közepe a CD és BD szakaszoknak! Megoldás: Először igazoljuk, hogy az ACD háromszög hasonló a BAD háromszöghöz. Mindkét háromszög egyik szöge β (ABD, valamint DAC szögek), s mindkét háromszögnek van egy α + β nagyságú szöge (ACD és BAD szögek). Felírva a megfelelő oldalak arányát: AD CD =, amit átrendezve AD = CD BD, vagyis az állítást igazoltuk. BD AD Feladatok 1. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! (A: számtani közép, G: mértani közép.) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) a b A ,5 1 5 G ,6 15. Egy busz a menetidejének első harmadát 60 km/h, fennmaradó részét 90 km/h sebességgel tette meg. Mekkora volt az átlagsebessége? 3. Egy autó az út harmadát 60 km/h, kétharmadát 90 km/h sebességgel tette meg. Mekkora volt az átlagsebessége? 4. Az alábbi feladat Arkhimédész Lemmák c. könyvében található: fejezd ki a holdkés területét r-rel! (A holdkés az ókorban használt vágóeszköz volt.)

223 14. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP 3 5. Egy derékszögű háromszögben az átfogót a hozzá tartozó magasság 10 és 16 cm-es darabokra osztja. Mekkora a háromszög területe és befogói? 6. Egy derékszögű háromszögben az átfogót a hozzá tartozó magasság 3 cm és 5 cm nagyságú részekre osztja. Mekkora a háromszög területe és kerülete? 7. Egy derékszögű háromszögben a befogók aránya 1,5. Az átfogóhoz tartozó magasság 10 cm. Mekkora részekre osztja az átfogót a hozzá tartozó magasság? 8. Mekkora a derékszögű háromszög köré írható kör sugara, ha a befogók aránya 3 : 4, és az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szeletre bontja, amelyek különbsége 4 cm? 9. Az ábra jelöléseit felhasználva igazold, hogy x = y z! 10. Egy körhöz egy adott pontból húzunk egy szelőt, és kiszámítjuk a szelőszakaszok szorzatát. Húzható-e még egy olyan szelő a körhöz, amelyre a szelőszakaszok szorzata ugyanennyi? 11. Az ABC háromszög A csúcsból kiinduló szögfelezőjének a köré írt körrel alkotott metszéspontja P, BC oldallal alkotott metszéspontja Q. Mutasd meg, hogy BP mértani közepe az AP és az QP szakasznak! 1. Bizonyítsd be, hogy a kör PR húrja mértani közepe a P-ből induló átmérőnek, és a húrnak erre az átmérőre bocsátott merőleges vetületének! 13. Igazold Pitagorasz tételét a befogótételek felhasználásával! 14. Igazold, hogy a körben egy P belső ponton átmenő húrokat P két olyan szakaszra bontja, amelyek mértani közepe minden P-n átmenő húr esetén egyenlő.

224 4 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés Mintapélda 6 Számítsuk ki a következő számok számtani és mértani közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen a számokat és a közepeket! Milyen összefüggést találunk két szám számtani és mértani közepe között? 1 14 a) 4 és 5; b) 10 és 40; c) 5 és 16; d) és ; e) 7, és 7,. 3 5 Megoldás: a b A G a) ,5 10 b) c) ,5 8,94 d) ,57 0,97 30 e) 7, 7, 7, 7, Azt tapasztaltuk, hogy a számtani közép nem kisebb a mértani középnél, és mindkét közép a két szám által meghatározott intervallumba esik. Két pozitív szám mértani közepe nem nagyobb, mint a két szám számtani közepe: a b a + b. Egyenlőség akkor és csakis akkor áll fenn, ha a két szám egyenlő. ha a = b

225 14. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP 5 Két pozitív szám (a és b) számtani és mértani közepét ábrán is szemléltethetjük. Rajzoljuk meg az a+b hosszúságú szakasz Thalész-körét. Az ábra jelöléseivel: a + b r =, és a PQR derékszögű háromszögben a magasságtétel szerint m = a b, vagyis a kör sugara a és b számtani közepe, az m-mel jelölt szakasz a és b mértani közepe. Mivel az m hosszúságú szakasz a kör sugaránál nem lehet hosszabb, érvényes az m r a + b egyenlőtlenség, vagyis a b. Az egyenlőség akkor teljesül, ha m = r, vagyis a két szakasz egyenlő hosszú: a = b. A számtani és a mértani közép közötti összefüggést a gyakorlatban változó mennyiségek esetén becslésre (egyenlőtlenség felírására) és szélsőérték-feladatok megoldására használjuk. Ehhez az kell, hogy vagy az összeg, vagy a szorzat állandó legyen. Mintapélda 7 1 Bizonyítsuk be, hogy az f ( x) = x + (x > 0) függvény -nél kisebb értéket nem vesz fel. x Megoldás: A számtani és a mértani közép közötti összefüggés 1 x + 1 szerint: x 1 x = 1, innen x +. x x Ezt az állítást gyakran így fogalmazzuk meg: egy pozitív szám és reciprokának összege legalább.

226 6 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 8 10 méter hosszú kerítéssel legfeljebb mekkora területű téglalap alakú telket lehet körülkeríteni? Megoldás: Legyen a és b a két oldal. Ekkor a kerület ( + b) = 10 a, vagyis a + b = 60. Teljesül az összeg állandóságának feltétele, ezért becsülhetünk a számtani és mértani közép a + b közötti összefüggéssel: a b a b 30 a b 900. Tehát legfeljebb 900 m területű telket lehet körbekeríteni. A legnagyobb érték 900, ami a = b = 30 esetében, vagyis négyzet alakú teleknél lehetséges. Megjegyzés: A feladat megoldható másodfokú függvény szélsőértékének vizsgálatával is. Az = ab = 60a a. A teljes négy- a + b = 60 összefüggésből b = 60 a. A téglalap területe T zetet tartalmazó kifejezéssé átalakítást alkalmazva T = ( a 60a) = [ ( a 30) 900]= ( 30) = a. A másodfokú függvény minimuma az M(30;900) pontban, azaz az a = 30 m. Tehát a maximális terület 900 m. Természetesen a = 30 m esetén b = 30 m adódik. Mintapélda 9 Legalább mennyi kerítésre van szükség egy 10 m -es, téglalap alakú telek körbekerítéséhez? Megoldás: Legyen a és b a két oldal hossza. A kerítés hossza a kerület, vagyis (a+b). A számtani és mértani közép közötti összefüggést felírva a + b a b 4 a b ( a + b) 4 a b K 4 10 K 43, 8 K Tehát legalább körülbelül 44 méter kerítés kell. Megjegyzés: 1. A kerítés a = b = m oldalhosszú négyzet esetén a legkisebb.. Ebben a feladatban a függvényvizsgálat középiskolában nem szereplő matematikai ismereteket igényel.

227 14. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP 7 Mintapélda 10 Mekkora a maximális területe annak a téglalapnak, amelynek kerülete 40 cm? Mekkorák ekkor a téglalap oldalai? Megoldás: A feladat hasonlít az egyik előző mintapéldára, de most megoldjuk két másik módszerrel is. Jelölje x és y a két oldalt! 1. megoldás: x + y x és y pozitív számok, ezért x y x y 10 x y 100. Tehát legfeljebb 100 cm lehet a terület. Egyenlőség (legnagyobb érték) abban az esetben fordul elő, ha x = y = 10 cm. Egyéb megoldások: A kerületből ( + y) = 40 x, ahonnan x + y = 0, y = 0 x. Ezt a területbe helyettesítve T x ( 0 x) = x + 0x =. A feladat nem más, mint megkeresni, hogy milyen x esetén lesz a másodfokú kifejezés értéke a legnagyobb. Ez két módszerrel: nevezetes azonosság vagy függvényvizsgálat felhasználásával is meghatározható.. megoldás: Alakítsuk át a terület képletét úgy, hogy teljes négyzet szerepeljen benne: ( x 0x) = ( x 10) [ ] 100 = 100 ( ) T = x + 0x = x 10 esetén veszi fel a legnagyobb értékét, ami megoldás: Határozzuk meg a kifejezés zérushelyeit, és vázoljuk fel a másodfokú kifejezéshez tartozó parabolát! A zérushelyeket a x + 0 x = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: 0 és 0. A parabola szimmetriája miatt a legnagyobb értékét a két zérushely között, éppen középen, azaz a fel, vagyis x = 10 esetén.. Ez a kifejezés x = Tehát a maximális terület 100 cm, és 10 cm oldalú négyzet esetén teljesül. helyen veszi Megjegyzés: a szélsőérték vizsgálata differenciálszámítással is történhet. Ez az emelt szintű érettségi anyaga.

228 8 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 11 Szerkessz 8 cm oldalhosszúságú szabályos háromszöget! Mekkorák az oldalai a háromszögbe írható téglalapok közül annak, amelynek területe a lehető legnagyobb? A kiszámítás után szerkeszd meg a háromszögbe a kapott téglalapot! Megoldás: Jelölje x és y a téglalap oldalait az ábra szerint, a téglalap területe T = x y, ahol 0 < x < 8. Az ADE derékszögű háromszög egyik szöge 60, ezért x DE = AE 3 y = 3 4. x 3 3 T = x 3 4 = 4 3x x = x( 8 x) másodfokú kifejezés maximális értékét a két zérushely (0 és 8) számtani közepénél veszi fel, 4 vagyis x = 4 esetén. Ekkor y = 3 4 = 3. A terület: T = 8 3. Megszerkesztése könnyű, mert az AB oldal negyedelő pontjait kell megszerkeszteni. Feladatok 15. Szerkeszd meg a következő hosszúságú szakaszok számtani és mértani közepét! a) 4 cm és 6 cm; b) 3 cm és 9 cm; c) 5 cm és 8 cm. 16. Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 5 cm. Legfeljebb mekkora lehet a területe, és a legnagyobb terület esetén mekkorák a háromszög oldalai? 17. Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 40 cm. Legfeljebb mekkora lehet a területe, és a legnagyobb terület esetén mekkorák a háromszög oldalai?

229 14. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP 9 m 18. Egy rakétát függőlegesen felfelé lövünk ki v 0 = 40 kezdősebességgel. Milyen magasra repül a rakéta, ha repülési magasságát az y = v0 t s g t képlet alapján határozhatjuk meg (t az indulástól számított idő). Mikorra állítsuk a robbanást meghatározó m időzítőt, ha a pálya legmagasabb pontján kell robbantani? g = 10. s m 19. Egy rakétát függőlegesen felfelé lövünk ki v 0 = 30 kezdősebességgel. Milyen magasra repül a rakéta, ha repülési magasságát az y = v0 t s g t képlet alapján határozhatjuk meg (t az indulástól számított idő). Mikorra állítsuk a robbanást meghatározó m időzítőt, ha a pálya legmagasabb pontján kell robbantani? g = 10. s 0. Igazoljuk, hogy a > 0 esetén fennáll a a a egyenlőtlenség! 1. Igazoljuk, hogy a > 0 esetén fennáll a a a egyenlőtlenség!. Igazold, hogy pozitív x, y, a és b számok esetén teljesülnek a következő egyenlőtlenségek: a) x + y x y ; b) ab a + b ; c) a + b a + b a + b Határozd meg az f ( x) x + x minimális a függvény értéke? = ( x > 0) függvény minimális értékét! Milyen x esetén

230 30 MATEMATIKA A 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. a) Egy 0 cm hosszúságú szakaszt két részre osztunk, és mindkét részre írunk egy négyzetet. Mekkora részekre kell osztani a szakaszt, hogy a négyzetek területének öszszege a lehető legkisebb legyen? b) Oldd meg a feladatot általánosan is, amikor a szakasz hossza a egység! 5. Egy 40 cm hosszúságú szakaszt két részre osztunk, és mindkét részre írunk egy szabályos háromszöget. Mekkora részekre kell osztani a szakaszt, hogy a háromszögek területének összege a lehető legkisebb legyen? Oldd meg a feladatot általánosan is, amikor a szakasz hossza a egység! 6. A 600 m területű, téglalap alakú telkeknek a) legalább mekkora lehet az átlója? b) legalább mekkora lehet a kerülete? méteres kerítéssel 3 oldalról akarunk egy téglalap alakú telket körbe keríteni. Adj becslést a telek legnagyobb területére! méteres kerítéssel 3 oldalról akarunk egy téglalap alakú telket körbe keríteni. Adj becslést a telek legnagyobb területére! 9. Mekkorák a szabályos háromszögbe írható maximális területű téglalap oldalai, ha a háromszög oldala a) 4 cm; b) a.

231 14. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP 31 Kislexikon a és b pozitív számok számtani közepe (átlaga) a + b A =, mértani közepe G = a b. Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség: két pozitív szám mértani közepe nem nagyobb, mint számtani közepe. A számtani és a mértani közép akkor és csakis akkor egyenlő, ha a két szám egyenlő. a + b ab. A számtani és a mértani közép mellett használjuk a következő közepeket is: Harmonikus közép (H): a b ab =, az algebrai átalakításokat elvégezve H =. H a + b Négyzetes közép (N): a + b N =. Az egyenlőtlenségek közötti kapcsolat: H G A N.

232

233 mellékletek

234

235 Matematika A 10. évfolyam 11. modul melléklete táblázat Melyik lapra esik gyakoriság táblázat Milyen lapra esik gyakoriság Legnagyobb Középső méretű Legkisebb

236

237 Matematika A 10. évfolyam 11. modul melléklete táblázat n Annak gyakorisága, hogy n dobásból a 4-es lapra esik Relatív gyakoriság n Annak gyakorisága, hogy n dobásból a 4-es lapra esik Relatív gyakoriság n Annak gyakorisága, hogy n dobásból a 4-es lapra esik Relatív gyakoriság n Annak gyakorisága, hogy n dobásból a 4-es lapra esik Relatív gyakoriság 11.4 táblázat esemény gyakoriság relatív gyakoriság

238

239 Matematika A 10. évfolyam 11. modul melléklete táblázat Esemény Elemi esemény Dobókockával páros számot dobunk. Dobókockával páratlan számot dobunk. Dobókockával prímszámot dobunk. Dobókockával legalább 3-ast dobunk. Dobókockával legfeljebb -est dobunk. Dobókockával 4-est dobunk. Dobókockával páros prímszámot dobunk. Dobókockával 3-mal osztható számot dobunk táblázat Esemény Elemi esemény A = {1,, 3, 4} B = { 4, 5, 6 } C = { 4, 6 } D = { 1 } E = { 1, 4, 6 } F = {, 4, 6 } G = { 1, 3, 5 } H = {, 3, 5 }

240

241 Matematika A 10. évfolyam 11. modul melléklete táblázat Események Tetraéder Kocka Oktaéder Dodekaéder Ikozaéder 6-os dobása Összetett szám dobása Nem prímszám dobása Legalább ötös dobása 4-gyel nem osztható páros szám dobása Legalább 7-est dobunk