Koordináta - geometria I.

Átírás

1 Koordináta - geometria I. DEFINÍCIÓ: (Helyvektor) A derékszögű koordináta - rendszerben a pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. TÉTEL: Ha i az (1; 0) és j a (0; 1) pont helyvektora, akkor a sík bármely a vektora egyértelműen előáll a = a 1 i + a j alakban, vagyis az i és j lineáris kombinációjaként. Megjegyzés: Az i és j vektorok a koordináta rendszer bázisvektorai. Az a 1 és a valós számok az a vektor koordinátái. Jelöléssel: a (a 1 ; a ). Egy vektor koordinátái megegyeznek az origó kezdőpontú reprezentánsa végpontjának koordinátáival, vagyis egy pont és a pont helyvektorának koordinátái megegyeznek. A koordináta rendszer x tengelyét abszcisszatengelynek, az y tengelyét ordináta tengelynek nevezzük. Egy pont első koordinátáját a pont abszcisszájának, a második koordinátáját a pont ordinátájának nevezzük. A koordináta rendszer kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesít a sík pontjai és a rendezett számpárok között. TÉTEL: Az A (a 1 ; a ) és B (b 1 ; b ) pontok távolsága, vagyis az AB szakasz, illetve az AB vektor hossza: d AB = AB = AB = (b 1 a 1 ) + (b a ). TÉTEL: Az A (a 1 ; a ) és B (b 1 ; b ) pontokkal megadott szakasz F (f 1 ; f ) felezőpontjának koordinátái egyenlők a megfelelő koordináták összegének felével: f 1 = a 1 + b és f = a + b. 1

2 TÉTEL: Az A (a 1 ; a ) és B (b 1 ; b ) pontokkal megadott szakasz A hoz közelebbi H 1 (x 1 ; y 1 ) harmadoló pontjának koordinátái: x 1 = a 1 + b 1 és y 1 = a + b. Az A (a 1 ; a ) és B (b 1 ; b ) pontokkal megadott szakasz B hez közelebbi H (x ; y ) harmadoló pontjának koordinátái: x = a 1 + b 1 és y = a + b. TÉTEL: Az A (a 1 ; a ) és B (b 1 ; b ) pontokkal megadott szakaszt m n arányban osztó P (p 1 ; p ) pont koordinátái: p 1 = n a 1 + m b 1 m + n és p = n a + m b. m + n Megjegyzés: Ha m = n = 1, akkor P pont a szakasz felezőpontja. Ha m = 1 és n =, vagy m = és n = 1, akkor P pont a szakasz harmadoló pontja. TÉTEL: Az A (a 1 ; a ), B (b 1 ; b ) és C (c 1 ; c ) csúcspontú háromszög S (s 1 ; s ) súlypontjának koordinátái: s 1 = a 1 + b 1 + c 1 és s = a + b + c. TÉTEL: Az A (a 1 ; a ), B (b 1 ; b ), C (c 1 ; c ) és D (d 1 ; d ) csúcspontú négyszög S (s 1 ; s ) súlypontjának koordinátái: s 1 = a 1 + b 1 + c 1 + d 1 4 és s = a + b + c + d. 4

3 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (; )! A szakasz hossza a két pont távolsága, vagyis a megoldás a következő: d AB = AB = ( ( 1)) + ( ) = = 7 6,08.. Egy háromszög csúcsai az A (; 1), B (; 4) és C ( 1; ) koordinátájú pontok. Számítsd ki a háromszög szögeit és területét! Tekintsük a háromszög oldalait vektorként, így a háromszög szögeit kiszámíthatjuk a skaláris szorzat segítségével, a megfelelő vektorok hajlásszögeként. Számítsuk ki először a c = AB és a b = AC vektorok által bezárt α szöget. AB ( 1; ) AB = ( 1) + = 6 AC ( 4; 6) AC = ( 4) + 6 = Ezek alapján az α szög nagysága: cos α = ( 1) ( 4) α,8. Számítsuk ki most a c = BA és az a = BC vektorok által bezárt β szöget. BA (1; ) BA = 1 + ( ) = 6 BC ( ; 1) BC = ( ) + 1 = 10 Ezek alapján az β szög nagysága: cos β = 1 ( ) + ( ) β 119,74 Számítsuk ki végül a b = CA és az a = CB vektorok által bezárt γ szöget. CA (4; 6) CA = 4 + ( 6) = CB (; 1) CB = + ( 1) = 10 Ezek alapján az γ szög nagysága: cos γ = 4 + ( 6) ( 1) 10 γ 7,88 A háromszög területe: T = 6 sin,8 sin 119,74 sin 7,88 = 7.

4 . Határozd meg az A ( ; ), B ( ; 7) és C (; 4) csúcsokkal rendelkező háromszög kerületét és területét! A háromszög kerületéhez számoljuk ki az oldalak hosszát: a = BC = ( ( )) + (4 7) = = 7 b = AC = ( ( )) + (4 ( )) = = 8 c = AB = ( ( )) + (7 ( )) = = 104 A háromszög kerülete: K = ,96. A háromszög területéhez először számítsuk ki az A csúcsnál levő α szöget. Tekintsük a háromszög oldalait vektorként: c = AB ( ; 10) és b = AC (6; 7). Határozzuk meg skaláris szorzat segítségével az AB és AC vektorok hajlásszögét: cos α = α 1,91 Ezek alapján a háromszög területe: T = b c sin α = sin 1, Határozd meg az x - tengelynek azt a P pontját, amely az A (0; 0) és a B (9; ) koordinátájú pontoktól egyenlő távolságra van! A P pont illeszkedik az x - tengelyre, így koordinátákkal felírva: P (x; 0). Mivel az AP = BP, így felírhatjuk a következő egyenletet: (x 0) + (0 0) = (x 9) + (0 ( )). Négyzetre emelések és átrendezés után azt kapjuk, hogy x =. Ezek alapján a keresett P pont koordinátái: P (; 0). 4

5 . Határozd meg azt a P pontot az abszcisszatengelyen, amelynek az A (1; ) ponttól való távolsága egység! A P pont illeszkedik az x - tengelyre, így koordinátákkal felírva: P (x; 0). Mivel az AP =, így felírhatjuk a következő egyenletet: = (x 1) + (0 ). Négyzetre emelések és átrendezés után másodfokú egyenlethez jutunk: x x 1 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai x 1 = és x =. Ezek alapján két megoldás adódik: P 1 (; 0) és P ( ; 0). 6. Határozd meg a kör középpontjának koordinátáit, ha a kör áthalad a P ( 4; ) ponton és az x - tengelyt az E (; 0) pontban érinti! Mivel a sugár merőleges az érintőre (ebben az esetben az x - tengelyre), így a középpont koordinátái: K (; r). A sugarak miatt KE = KP, így felírhatjuk a következő egyenletet: ( ) + (0 r) = ( 4 ) + ( r). Négyzetre emelések és átrendezés után azt kapjuk, hogy r = 10. Ezek alapján a kör középpontja: K (; 10).

6 7. Számítsd ki a háromszög köré írható kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát, ha a csúcsainak koordinátái: A (0; ), B (1; 1) és C (; )! Legyen a kör középpontja: K (u; v). A sugarak miatt KA = KB és KA = KC, így felírhatjuk a következő egyenleteket: (0 u) + ( v) = (1 u) + (1 v) (0 u) + ( v) = ( u) + ( v) Négyzetre emelések után a következő egyenletrendszert kapjuk: u + v 4v + 4 = u + v u v + } u + v 4v + 4 = u + v 4u + 4v + 8 Az első egyenletből kivonva a másodikat, azt kapjuk, hogy 0 = u 6v 6, amiből átrendezés után u = v + adódik. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után azt kapjuk, hogy v =. Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy u = ( ) + =. Ezek alapján a kör középpontja K ( ; ). A kör sugara: r = d KA = (0 ( )) + ( ( )) = =. 8. Határozd meg a PQ szakasz felezőpontjának koordinátáit, ha a szakasz végpontjai: P ( ; 7) és a Q (1; 1)! A szakasz felezőpontjának koordinátáit megkaphatjuk a megfelelő képlet segítségével: F ( + 1 ; 7 ( 1) ) F ( ; 10). 6

7 9. Az ABCD négyszög csúcsai A ( 6; ), B (; 1), C (6; 4) és D (; 6). Határozd meg a négyszög középvonalainak felezőpontjait! Mivel a négyszög középvonalai az oldalak felezőpontjait kötik össze, így először határozzuk meg az oldalfelező pontokat: F AB ( 1 ; ), F BC ( 11 ; ), F CD ( 9 ; ) és F AD ( ; ). Ezek alapján a középvonalak felezőpontjai: F AB CD (; 7 4 ) és F BC AD (; 7 4 ). Ebből azt kaptuk, hogy a felezőpontok egybeesnek, vagyis a középvonalak felezik egymást. 10. Egy egyenlő szárú háromszög alapjának csúcsai az A (; 1) és a B (6; ) koordinátájú pontok. A harmadik C csúcsa az x - tengelyen van. Mekkora a háromszög területe? Mivel a C pont illeszkedik az x - tengelyre, így koordinátákkal felírva: C (x; 0). A háromszög egyenlő szárú, vagyis AC = BC, így felírhatjuk a következő egyenletet: (x ) + (0 1) = (x 6) + (0 ). Négyzetre emelések és átrendezés után azt kapjuk, hogy x = 7. Ebből adódik, hogy a C csúcs koordinátái: C (7; 0). A háromszög területéhez számítsuk ki az alap, illetve a magasság hosszát. Az AB oldal hossza: AB = (6 ) + ( 1) =. Az AB oldal felezőpontja: F ( + 6 ; 1 + ) F (4; ) Az MC magasság hossza: MC = (7 4) + (0 ) = 18. Ezek alapján a háromszög területe: T = 18 7 = 1.

8 11. Egy téglalap két csúcsa A ( ; ) és B (; ). Átlói metszéspontjának ordinátája 0. Határozd meg a hiányzó csúcsok koordinátáit, és számítsd ki a téglalap területét! A téglalap AB oldala a koordináták alapján párhuzamos az x tengellyel. Mivel a téglalap oldalai merőlegesek egymásra, így a két hiányzó pont első koordinátája megegyezik a megadott pontok első koordinátájával: C (; c ) és D ( ; d ). A téglalap átlói felezik egymást, így felírhatjuk a következőket: 0 = + c c = 0 = + d d = Ezek alapján a hiányzó csúcsok koordinátái: C (; ) és D ( ; ). A téglalap oldalai és 6 egység hosszúak, vagyis a téglalap területe: T = 6 = Adott egy paralelogramma A ( ; ), B (; ) és C ( ; 4) csúcsa. Határozd meg a negyedik csúcs koordinátáit! Mennyi megoldás van? A paralelogramma átlói felezik egymást, így először számítsuk ki az átlók felezőpontjának koordinátáit. Mivel az ABC bármely oldala lehet a paralelogramma átlója, így három megoldás adódik: F AB (0; 1 ), F AC ( 7 ; 1) és F BC ( ; 7 ). Ezt követően a felezőpontoknak megfelelően számítsuk ki a hiányzó csúcs koordinátáit: F AB (0; ) a CD átló felezőpontja is 0 = + d 1 d 1 = 1 = 4 + d d = F AC ( 7 ; 1) a BD átló felezőpontja is 7 = + d 1 d 1 = 9 1 = + d d = 1 8

9 F BC ( ; 7 ) az AD átló felezőpontja is = + d 1 d 1 = 1 7 = + d d = 9 Ezek alapján a paralelogramma keresett csúcsa: D 1 (; ) vagy D ( 9; 1) vagy D ( 1; 9). 1. Adott egy háromszög oldalfelező pontjai: F AB ( ; ), F AC (; 1) és F BC (; 4). Határozd meg a háromszög csúcsainak koordinátáit! Az oldal felezőpontok segítségével felírhatjuk a következő egyenleteket: = a 1 + b1 4 = a 1 + b 1 = a + b 4 = a + b = a 1 + c 1 10 = a 1 + c 1 1 = a + c = a + c = b 1 + c 1 6 = b 1 + c 1 4 = b + c 8 = b + c Először számoljuk ki a csúcsok első koordinátáit. Az első egyenletből kapjuk, hogy a 1 = 4 b 1. Ezt helyettesítsük be a harmadik egyenletbe, így c 1 = 14 + b 1 adódik. Végül ezt behelyettesítve az ötödik egyenletbe, azt kapjuk, hogy b 1 = 4. Ebből a visszahelyettesítések után a következők adódnak: a 1 = 0 és c 1 = 10. 9

10 Most a második koordinátákat számoljuk ki. A második egyenletből kapjuk, hogy a = 4 b. Ezt helyettesítsük be a negyedik egyenletbe, így c = 6 + b adódik. Végül ezt behelyettesítve a hatodik egyenletbe, azt kapjuk, hogy b = 1. Ebből a visszahelyettesítések után a következők adódnak: a = és c = 7. Ezek alapján a háromszög csúcsai: A (0; ), B ( 4; 1) és C (10; 7). 14. Adott egy paralelogramma A (0; ) és B ( 1; 1) csúcsa, továbbá az átlók M (; ) metszéspontja. Számítsd ki a paralelogramma hiányzó csúcsinak koordinátáit! A paralelogramma átlói felezik egymást, így az M pont az AC és BD szakaszok felezőpontja. Ezek alapján felírhatjuk a következőket: = 0 + c 1 c 1 = 4 = + c c = 1 = 1 + d 1 d 1 = = 1 + d d = Ebből adódik, hogy a hiányzó pontok koordinátái: C (4; 1) és D (; ). 1. Az A ( 4; 7) pontot tükrözzük a B (; ) pontra. Számítsd ki az A koordinátáit! Mivel az A pontot tükrözzük a B pontra, így a B pont éppen az AA szakasz felezőpontja. Ezek alapján felírhatjuk a következőket: = 4 + a 1 a 1 = 14 = 7 + a a = 11 A képpont koordinátái: A (14; 11). 10

11 16. Az A (0; 0), B (; 6), C (8; ) csúcsokkal megadott háromszöget az A pontból kétszeresére nagyítjuk. Számítsd ki a kapott A B C háromszög B és C csúcsainak koordinátáit! Mivel az A csúcsból kétszeresére nagyítunk, így a B csúcs éppen az AB szakasz felezőpontja, a C csúcs pedig az AC szakasz felezőpontja. Ezek alapján felírhatjuk a következőket: = 0 + b 1 b 1 = 6 6 = 0 + b b = 1 8 = 0 + c 1 c 1 = 16 = 0 + c c = 4 A képháromszög csúcsainak koordinátái: A (0; 0), B (6; 1) és C (16; 4). 17. Adott az A (; 4) és B (6; 1) pontok által meghatározott szakasz. Számítsd ki az A - hoz, illetve B - hez közelebbi harmadoló pontok koordinátáit! Az A - hoz közelebbi harmadoló pont koordinátái: H 1 ( ; ) H 1 (4; ) A B - hez közelebbi harmadoló pont koordinátái: H ( ; ) H 1 (; ) 18. Határozd meg az A ( 6; ) és B (; 4) pontok által meghatározott szakasz azon P pontjának koordinátáit, amelyre AP PB =! A szakaszt adott arányban osztó P pont koordinátái: P ( ( 6) + + ; + ( 4) ) P ( 1 ; )

12 19. Adott az A (; ) és B (9; ) pont. Az AB szakaszt egyenlő részre osztjuk. Számítsd ki az osztópontok koordinátáit! Egy szakaszt öt egyenlő részre négy ponttal oszthatunk fel. Ezen pontok koordinátái az arányoknak megfelelően a következők lesznek: 1 4 P 1 ( ; ) P 1 ( 1 ; ) P ( + 9 ; + ) P ( 7 ; 19 ) P ( + 9 ; + ) P ( ; 16 ) 4 1 P 4 ( ; ) P 4 ( 9 ; 1 ) 0. Az ABC háromszög csúcspontjainak koordinátái A (6; 6), B (1; 4) és C ( ; ). A háromszöget az O ( 4; 4) pontból nagyítjuk a háromszorosára. Határozd meg a képháromszög csúcspontjainak koordinátáit! Mivel a háromszöget a háromszorosára nagyítjuk, így az A pont az OA szakasz O hoz közelebbi harmadoló pontja, a B pont az OB szakasz O hoz közelebbi harmadoló pontja, a C pont pedig az OC szakasz O hoz közelebbi harmadoló pontja lesz. Ezek alapján felírhatjuk a következőket: 6 = ( 4)+1 a 1 a 1 = 6 6 = ( 4)+1 a a = 6 1 = ( 4)+1 b 1 b 1 = 11 4 = ( 4)+1 b b = 4 = ( 4)+1 c 1 c 1 = = ( 4)+1 c c = A képháromszög csúcsainak koordinátái: A (6; 6), B (11; 4) és C (; ). 1

13 1. Milyen arányban osztja a P (; 1) pont az AB szakaszt, ha a szakasz végpontjai: A ( ; 1) és B (1; 4)? Az arány kiszámításához elegendő az osztópont első koordinátáját felhasználnunk: = n ( ) + m 1 m + n m + n = ( )n + 1m m n = A második koordinátával ellenőrízhetjük a számításunkat. 1 = n ( 1) + m 4 m + n m + n = n + 4m m n = Ezek alapján a P pont arányban osztja az AB szakaszt.. Számítsd ki az A ( ; 0), B (; 4) és C (1; 1) pontok által meghatározott háromszög súlypontjának koordinátáit! Az ABC súlypontjának koordinátáit megkaphatjuk a képlet segítségével: S ( ; ( 1) ) S ( 4 ; 1). Az ABC háromszög C csúcsa az ordinátatengelyre, az S súlypontja az abszcisszatengelyre esik. Határozd meg a C és S pontok koordinátáit, ha a háromszög másik két csúcsa A (4; 1) és B (; )! Mivel a C pont illeszkedik az y - tengelyre, így koordinátákkal felírva: C (0; y). Mivel az S pont illeszkedik az x - tengelyre, így koordinátákkal felírva: S (x; 0). A hiányzó koordinátákat a súlypont segítségével számíthatjuk ki: x = = 0 = y y = Ezek alapján a keresett pontok koordinátái: C (0; ) és S (; 0). 1

14 4. Adott egy háromszög A (; ) és B ( ; ) csúcsa, továbbá az S (4; 7) súlypontja. Számítsd ki a háromszög hiányzó csúcsának koordinátáit! A C csúcs koordinátáit a súlypont koordinátáinak segítségével számíthatjuk ki: 4 = + ( ) + c 1 c 1 = 10 7 = + + c c = Ezek alapján a háromszög harmadik csúcsának koordinátái: C (10; ).. Határozd meg az ABC háromszög AB oldalának felezőpontját, ha adott a C csúcsa és az S súlypontja: C ( 1; 1) és S (1; )! Mivel a súlypont a súlyvonalnak a háromszög csúcsától távolabbi harmadoló pontja, így felírhatjuk a következőket: 1 = 1 ( 1) + f 1 f 1 = = f f = Ezek alapján az AB oldal felezőpontjának koordinátái: F AB (; ). 6. Az ABC háromszög A csúcsának helyvektora a ( ; ), AB = 7i j és CB = i 6j. Számítsd ki a háromszög csúcsainak és súlypontjának koordinátáit! Az a helyvektor alapján az A csúcs koordinátái: A ( ; ). A bázisvektorokkal adott vektorok koordinátái: AB (7; ) és CB (; 6). Az AB vektor alapján a B csúcs koordinátái: B ( + 7; ) B (; 1) A CB vektor alapján a C csúcs koordinátái: C ( ; 1 + 6) C (; 7) A háromszög súlypontjának koordinátáit megkaphatjuk a megfelelő képlet segítségével: S ( + + ; ) S ( ; 11 ). 14