A szintvonalas eljárásról. Bevezetés

Átírás

1 A szintvonalas eljárásról Bevezetés A tetőket építő ács a kötőács napi munkájának része leet a fedélidom - közepelés is. Ennek során megszerkeszti a tető felülnézeti képét, ennek birtokában pedig a további munkákoz szükséges geometriai eredményekez osszak, szögek, területek, stb. jut. Azért a feltételes mód, mert ma már a számítógépes tető - számító programok többnyire szolgáltatják az említett eredményeket. Azonban a ozzáértő szakembernek ettől függetlenül is ismernie és alkalmazni tudnia kell a tető fontos adatainak megatározási módjait. Ezek egyike a szintvonalas eljárás. Ez egy szerkesztéses megoldás, ami azonban néány egyszerű számítást is megalapozat. Alább ezeket fejtjük ki részletesebben. Kifejtés A közepelés során megatározzuk a tetőt alkotó felület - darabok metszésvonalainak elyzetét, valamint ezzel kapcsolatban egyes jellemző szögeket is. Az eljárást az. ábra magyarázza, mely eredetijének forrása: [ ]. α α α ε 0 ε ε. ábra Az ábra azt szemlélteti, ogy az adott ereszkörvonal - rajzzal és α, α tetősík - ajlásokkal bíró tetőt gondolatban elmetsszük egy az ereszsík felett magasságban felvett vízszintes elyzetű metszősíkkal. Ez a tetősíkokból kimetszi az axonometrikus ábrán is pontvonallal jelölt szintvonalat. Ennek vetülete a megfelelő eresztől x és x távolságra fut, azzal páruzamosan. Ha az a célunk, ogy két tetősík metszésvonalának

2 az élnek a felülnézetét nyerjük, akkor szükségünk van az él vetületének két pontjára, melyeket összekötve adódik a keresett vetület. Ez a két pont leet: ~ a közös vízszintes síkban elelyezkedő ereszvonalak metszéspontjának a vetülete; ~ a szintvonaldarabok metszéspontjának a vetülete. Az. ábra bal oldalán vastag folytonos vonallal kiúzva találjuk az ereszvonal - vetületek és a szintvonal - vetületek metszéspontjainak összekötésével adódó élvetületet. Az ábra alapján: tg, innen x x ctg. ( ) tg Hasonlóan: tg, innen x x ctg. ( ) tg Azonos tetőajlások esetén α = α = α, így x ctg. ( 3 ) A szerkesztés ezek alapján: ~ az adott α, α, ill. α - oz felvesszük - t; ~ ( ), ( ), ill. ( 3 ) - mal előállítjuk x, x, ill. x értékét; ~ az adott ereszvonallal páruzamost úzunk, attól x, x, ill. x távolságban; ~ az előbbi lépésben megrajzolt szintvonal - vetületek metszéspontját összekötjük az ereszsarok vetületével, ami kiadja a keresett él - egyenest. Vápa esetén is asonlóan járunk el. Megjegyezzük, ogy a közös vízszintes síkú ereszvonalakat is szintvonalaknak veetjük. Az alkalmazásokban fontos, ogy az ereszvonalak által bezárt ε szöget, ill. az ereszvonalak és az él - vetület által bezárt ε, ε szögeket ismerjük. Határozzuk meg számítással ε és ε nagyságát, a ε adott! A fentiek szerint:. ( 4 ) Most vegyük úgy, ogy a két szintvonal - vetület metszéspontjainak összekötésével előálló szakasz c osszúságú! Ismét az. ábra szerint: x csin, ( 5 ) majd x csin. ( 6 ) De az eddigiekből: x tg x tg, ( 7 ) így ( 5 ), ( 6 ), ( 7 ) - tel:

3 3 csin tg csin tg. ( 8 ) Most ( 8 ) - ból kapjuk, ogy: sin tg. ( 9 ) sin tg Majd ( 4 ) - ből:. ( 0 ) Továbbá ( 9 ) és ( 0 ) - zel: sin tg. ( ) sin tg A ( ) egyenletből megatározató az ε szög, vagy valamely szögfüggvénye. A számítást alább részletezzük. ( ) bal oldalát az ismert azonosság szerint kifejtve ld.: [ ]! : sin cos cos sin sin cos ; ( ) sin tg ezután ( ) és ( ) - vel: sin tg cos. tg tg Rendezve: sin tg cos, tg tg Innen sin tg. tg ( 3 ) cos tg Az fontos speciális esetben: sin tg. ( 4 ) cos Figyelembe véve a sin tg ( 5 ) cos azonosságot ld.: [ ]!, ( 4 ) és ( 5 ) - tel ekkor: tg tg, ( 6 ) innen pedig:

4 4 0. ( 7 ) Szavakban: azonos ajlású tetősíkok metszésvonalának felülnézeti képe felezi az ereszvonalak által közbezárt szöget. Az utóbbi tény az. ábra bal oldali részén is fel lett tüntetve. A ( 3 ) képletből: sin arctg. cos tg tg ( 8 ) Másképpen: f,,, vagyis az él - vetületnek az első ereszvonallal bezárt szöge függvénye az ereszvonalak által bezárt szögnek és a tetősíkok ajlásszögének. A ( 8 ) képletből még egy fontos összefüggés nyerető. Jelöljük φ - vel az él és a vízszintes síkra vett vetületének ajlásszögét. Ekkor a fenti jelölésekkel: tg. ( 9 ) c Ámde ( 8 ) - ból: sin tg sin tg, c ( 0 ) így ( 9 ) és ( 0 ) - szal: tg sin tg sin tg. ( ) Mintogy a közepelés eredményeként ε, ill. ε már ismert, így az él térbeli dőlésszöge ( ) - ből: arctg sin tg arctg sin tg. ( ) Megjegyzések: M. Az. ábrán be lett jelölve a tetősíkok esésvonala Fallinie, mely merőleges az ereszre; a csapadékvíz az esésvonal mentén igyekszik lefolyni a tetőről. Az esésvonalak vetületének berajzolása segít elképzelni a felülnézeti kép alapján a térbeli viszonyokat.

5 5 M. A szintvonalas eljárás a fedélidom - közepelési feladat általános megoldási módjának tekintető, mely az egyenlőtlen ereszmagasságú esetekre is kiterjesztető. M3. Az. ábra tartalmaz némi ábrázolási szabálytalanságot, mely az eredeti ábrával adott. Javasoljuk, ogy az Olvasó keresse meg ezt / ezeket! M4. A fentiek azt sugallatják, ogy a közepelési feladat megoldása gépesítető. Valóban, már egyszerűbb szoftverek is tartalmazatják az alapvető egyszerűbb tetőidomok közepelési feladata számításos megoldásának képleteit, algoritmusát. M5. A szintvonalas eljárás alkalmazására az Olvasó példát találat egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Már megint egy ibás vizsgafeladat? M6. A konkrét gyakorlati feladatok esetében a szerkesztés a szemléletességével, a számítás pedig a gyorsaságával és pontosságával leet vonzó megoldási mód; ezek egymás ellenőrzésére is szolgálnak. M7. A szintvonalas eljárás alkalmazása esetén nem vagy csak részlegesen szerkesztjük meg a tető egyéb vetületeit / metszeteit. M8. Az. ábrát melyet a jelöléseinknek megfelelően kicsit kiegészítettünk azért vettük külső forrásból, ogy az Olvasó bepillantasson a jelenkori ( külföldi ) szakirodalomba is; talán ez is arra ösztönözeti, ogy alaposabban merüljön el benne. M9. A fentiekben kiasználtuk azt a allgatólagos feltevést, ogy a tető csak sík felület - darabokból áll. M0. A ( 0 ) és ( 3 ) képletekkel, azonos átalakításokkal adódik a tg sin tg cos tg ( 3 ) képlet. ( 3 ) és ( 3 ) összeasonlítása után mondató, ogy ε - ből ε - t az és indexek cseréjével is megkapatjuk: sin arctg. cos tg tg ( 4 ) Zárszó Az előzőekben vázoltuk a fedélidom - szerkesztési feladat általános megoldási módját. Ez alkalmat adott néány fontos számítási összefüggés felírására is.

6 6 Irodalom: [ ] Anton Pec ~ Karleinz Hollinsky: Dacstüle Springer - Verlag, Wien, 005. [ ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban Sződliget, 009. április 4. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár