Nyomott - hajlított fagerenda szilárdsági méretezése ~ egy régi - új megoldás

Átírás

1 Nyomott - ajlított fagerenda szilárdsági méretezése ~ egy régi - új oldás Már régóta foglalkozom erőtani problémákkal, ám nagy lepetésemre a minap egy olyan érdekes feladat - oldást találtam, amilyet még nem láttam Lelőelye: [ 1 ], amely a vizsgált faszerkezetek statikai / szilárdságtani méretezésével, illetve ellenőrzésével is beatóbban foglalkozik Németek A feladatnak nem a mecanikai oldala, anem a oldás számszerű végreajtásának a módja lepett Az eredeti feladatnak itt csak egy részét vizsgáljuk, némiképpen változtatott jelölésekkel A feladat: Egy fa tetőtartó l = 4,50 m osszú felső övrúdjában P = kp nagyságú nyomóerő ébred A téglalap keresztmetszetű övrúd közepén elelyezett szelemen a rúdra merőlegesen G = 1600 kp nagyságú erővel at A faanyag ajlításra engedett feszültsége: σ = 100 kp / cm nagyságú Határozzuk a csuklós kéttámaszú tartónak tekintett övrúd b és keresztmetszeti méreteit! A oldás: A oldás az elsőrendű elméleten alapul, azaz a nyomóerőnek a tartó alakváltozásán keresztül a ajlítónyomaték lefutására gyakorolt atását figyelmen kívül agyjuk Ekkor a számítás alapképlete: ( 1 ) ; majd az elemi Szilárdságtan tanítása szerint [ ] : P M F K ( ) Továbbá: F b, ( 3 ) b K, ( 4 ) 6 vagy ( 3 ) és ( 4 ) szerint: K F ( 5 ) 6 Most ( ) és ( 5 ) - tel: P 6M F F majd ( 1 ) és ( 6 ) - tal:, ( 6 )

2 P 6M F F ( 7 ) A mondott kéttámaszú tartóra: Gl M, ( 8 ) 4 számszerűen: 1600 kp450 cm M kpcm ( a ) 4 ( 7 ) - tel és az ismert számadatokkal: kp kpcm kp ( b ) F (cm ) F (cm ) cm Határesetben az egyenlőséget véve ( b ) - ben: kp kpcm kp F (cm ) F (cm ) cm Most már csak a számértékekkel, ( c ) átalakítása után: 1 F F ( c ) ( d ) A ( d ) egyenletet próbálgatással oldjuk, különböző F keresztmetszeti terület - adatok felvételével 1) Legyen F 1 = 300 cm! Ekkor ( d ) - vel: (cm) : sok! ) Legyen F = 400 cm! Ekkor ( d ) - vel: 1 43, (cm) 43 ( cm ) : sok! ) Legyen F 3 = 500 cm! Ekkor ( d ) - vel: ,86 (cm) 31 ( cm ) : jó! Teát: > 3, azaz 31 cm ( e )

3 3 Most ( 3 ) - ból, ( e ) - vel is: F3 500 cm b3 16,13 cm 17 cm, 31 cm teát b > b 3, azaz b 17 cm ( f ) A keresztmetszeti terület ( 3 ), ( e ) és ( f ) - fel: F 17 cm31 cm 57 cm ( g ) Ellenőrzés a ( b ) képlettel: kp kpcm kp kp kp kp 8,46 66,11 94, : jó! 57 cm 57 cm 31 cm cm cm cm cm Teát a 17 / 31 cm keresztmetszetű gerenda felel az övrúdoz Ezzel a feladatot oldottuk Megjegyzések: M1 A ma már nemigen alkalmazott kp ( kilopond ) mértékegység származtatása: m m 1 kp 1 kg9,81 10 kg 10 N s s Azért vettük ezt most elő, mert a régebbi könyvekben ez az erő - mértékegység még sűrűn előfordul Nem árt néa az ilyen gyakorlás sem M Hogy mi a sok és mi a jó, azt az adottságok / leetőségek figyelembe vételével kell eldönteni M3 A fenti eredmények felelnek a fűrészelt gerendákra általában kirótt ~ F 100 cm, ( * ) valamint ~ 1 ( ** ) b feltételeknek is, bár ez itt nem volt követelmény M4 Javasoljuk, ogy az Olvasó készítsen magának értelmező / magyarázó vázlatrajzot! M5 Most nézzük egy kicsit általánosabban paraméteresen, mit is csináltunk!

4 4 Induljunk ki a ( 7 ) összefüggésből! P 6M F F ( 7 ) Átalakításokkal: P 6M ; F F 6M 6M, P FP F F teát 6M F P ( 9 ) A ( 9 ) képletet úgy alkalmazzuk, ogy F - et ( 9 ) - ben változtatjuk / léptetjük, pl ( * ) figyelembe vételével; az n - edik lépés után, felfelé kerekítéssel: 6M n F ( 10 ) P n Most ( 3 ) - mal is: Fn Fn bn b n ; ( 11 ) majd ( 11 ) - ből felfelé kerekítéssel: b b n ( 1 ) Végül a biztonság és a célszerűség kedvéért a kapott b és értékekkel ellenőrizzük ( 7 ) és ( ** ) teljesülését M6 Azért érdekes számunkra a fenti számítási mód, mert az idők során más gyakorlati eljárásmódokoz szoktunk ozzá Ilyenek voltak például az alábbiak Az ( 1 ), ( ), ( 3 ), ( 4 ) képletekkel kapjuk, ogy P b 6M b ( 13 )

5 5 Határesetben az egyenlőséget véve: P 6M b b ( 14 ) 1) eset: felvesszük b értékét Rendezve ( 14 ) - et: P 6M ; b b P 6M b b ; P 6M b b 0 A másodfokú egyenlet ismert oldóképletét alkalmazva: ( 15 ) P P 6M b b 4 1 b P P 6 M 1 b b b ; ( 16 ) érvényesítve a > 0 ( 17 ) feltételt, ( 16 ) és ( 17 ) - tel kapjuk: P P 6M szükséges b b b ( 18 ) A szilárdsági méretezési feltétel ekkor vesd össze ( 13 ) - mal! : ( 19 ) szükséges ) eset: felvesszük értékét Rendezve ( 14 ) - et: P 6M b;

6 6 P 6M b szükséges ( 0 ) A szilárdsági méretezési feltétel ekkor vesd össze ( 13 ) - mal! : b b ( 1 ) szükséges Úgy tűnik, ogy az [ 1 ] - ből vett fokozatosan közelítő eljárás jóval egyszerűbb és elegánsabb, mint a bemutatott egyéb oldási módok Ráadásul a számtani alapműveleteken kívül nem is igényel mást, azaz gyalog is y Bizonyára nem véletlen, ogy reprint kiadásban újra jelentették [ 1 ] - et Az innen is adódó fontos tanulság: régi könyv nem rossz könyv M7 A címben is szereplő fagerenda itt csak azt a következményt vonja maga után, ogy a vizsgált tartó keresztmetszete derékszögű négyszög alakú Irodalom: [ 1 ] Eduard Scmitt ~ Teodor Landsberg: Dacstul - konstruktionen und Daecer Verlag von Arnold Bergstraesser, Stuttgart, 1897, illetve Reprint Verlag Leipzig [ ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981 Sződliget, 010 július 4 Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár