DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár IGÉNYBEVÉTELEK

Átírás

1 weblap : DEE FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár deme.ferenc1@gmail.com STATIKA 30. IGÉNYBEÉTELEK A terhelő erők és az általuk ébresztett támaszerők a tartókat kívülről támadják, ezért ezeket az erőket külső erőknek nevezzük. A külső erők hatására a tartók belsejében belső erők is ébrednek. Ha ezek nem léteznének, akkor egy félbevágott gerenda a terhei alatt nem szakadna le. De mindenki tudja, hogy ha például egy terhelt fa anyagú gerendát ketté fűrészelnénk, az leszakadna. Tehát a fűrészelés előtt, amikor még nem szakadt le a terhelt tartó, abban a keresztmetszetében amelyben később elfűrészeltük, valamilyen belső erőknek kellett a nyugalmat, az egyensúlyi állapotot biztosítani. Ezek a belső erők. A belső erők természetesen nem csupán a fűrészelésre véletlenszerűen kiválasztott keresztmetszetben működtek, hanem az összes keresztmetszetben. A külső erők nyomán a tartó belsejében ébredő belső erők hatását a tartó valamely keresztmetszetére, igénybevételnek nevezzük. Az igénybevételeknek három nagy csoportját különböztetjük meg: NORÁL IGÉNYBEÉTEL (normálerő) NYÍRÓ IGÉNYBEÉTEL (nyíróerő) HAJLÍTÓ IGÉNYBEÉTEL (hajlítónyomaték) NORÁL IGÉNYBEÉTEL A keresztmetszet síkjára merőleges, annak súlypontjában működő erő a NORÁLERŐ. A normálerőnek a keresztmetszetre gyakorolt hatása a normál igénybevétel. Ha a normálerő a keresztmetszetet húzza, akkor az előjele () pozitív, ha nyomja, akkor az előjele () negatív. A tartó bármely keresztmetszetében a normálerőt úgy számítjuk ki, hogy a balra álló normálerőket előjelhelyesen összeadjuk. A normál igénybevétel jele: N betű.

2 NYÍRÓ IGÉNYBEÉTEL A keresztmetszet síkjában, annak súlypontján átmenő erő a NYÍRÓERŐ. A nyíróerőnek a keresztmetszetre gyakorolt hatása a nyíró igénybevétel. A pozitív nyíróerő nyilát úgy kapjuk, hogy a keresztmetszetben működő húzó normálerő nyilát az óramutató járásának megfelelően, 90 fokban elforgatjuk. NE SZABAD ÖSSZEKEERNI A KÜLSŐ ERŐK ELŐJELSZABÁLYÁAL!!! A tartó bármely keresztmetszetében a nyíróerőt úgy számítjuk ki, hogy a balra álló nyíróerőket előjelhelyesen összeadjuk. A nyíró igénybevétel jele: betű. (Korábban a T betű volt a jel.) HAJLÍTÓ IGÉNYBEÉTEL A hajlítás síkjában a keresztmetszet egyik szélét nyomó, a másik szélét húzó erők veszik igénybe. Ezek az erők párhuzamosak, egyenlők és ellentétes irányúak, tehát erőpárt alkotnak. Az erőpárról pedig tudjuk, hogy valójában NYOATÉK. Ezeknek a BELSŐ NYOATÉKOKNAK (ERŐPÁROKNAK) a keresztmetszetre gyakorolt hatása a hajlító igénybevétel. A hajlító nyomaték előjele akkor () pozitív, ha az óramutató járásával megegyezően forgat, ellenkező értelemben () negatív. A tartó bármely keresztmetszetében a nyomatékot úgy számítjuk ki, hogy a tőle balra álló erők előjelhelyes nyomatékösszegét felírjuk a keresztmetszet súlypontjára. A hajlító igénybevétel jele: betű. N

3 IGÉNYBEÉTELI ÁBRÁK A tartók méretezésénél gyakran nem csupán egyegy keresztmetszetben kell ismernünk az igénybevételt, hanem látnunk kell az igénybevételek alakulását az egész tartó mentén. Erre a célra a legalkalmasabbak az igénybevételi ábrák. Az igénybevételi ábrákon láthatjuk például, hogy hol keletkezik a tartón a legnagyobb nyomaték ( max ) vagy hol éppen nulla az igénybevétel. Igénybevételi ábrát úgy rajzolunk, hogy először húzunk a tartó tengelyével párhuzamosan egy egyenest. Ez lesz az ábra tengelye. A tengely fölötti rész a () negatív, a tengely alatti rész a () pozitív igénybevételeket fogja ábrázolni. inden olyan keresztmetszetben ki kell számolni az igénybevételt, ahol a terhelés változik. Ez, ahogy azt már az egyes igénybevételek kiszámítása kapcsán is olvashatták, a balra álló erők, illetve nyomatékok előjelhelyes összegzésével történik. Az így kapott értékeket a tengelyre merőlegesen, a vektorábra léptékének megfelelő léptékben, a tengelynek arra az oldalára mérjük, amilyen előjelűre adódtak. A pozitívokat lefelé, a negatívokat felfelé. A szomszédos értékek végpontjait összekötjük. Az összekötés legtöbbször egyenesekkel történik, kivétel a nyomatéki ábra ( ábra) esetében az a helyzet, amikor megoszló teher alatti ábrarészt rajzolunk. Itt ugyanis az összekötés másodfokú parabolával történik. Az igénybevételi ábrákat a tengelyre merőleges vonalkázással szokták besraffozni, aminek nem esztétikai célja van, hanem az, hogy minden egyes kis sraffozó vonalka megmutatja a fölötte levő tartó keresztmetszetben ébredő igénybevételt. Az előjel például az N ábra esetében megmutatja, hogy a keresztmetszet húzott, vagy nyomott. A sraffozó vonalka hossza az ábra léptékében az erő nagyságát, illetve az ábra esetében a nyomaték nagyságát is szemlélteti. A nyomatéki ábra esetében az is egy lényeges információ, hogy az ábra területe a tengelynek mindig azon az oldalán van, amelyik oldalon a tartó HÚZOTT! Ezért ha a nem túlnyúló kéttámaszú tartóra csak lefelé hatnak a terhek, akkor csak az alsó széle lesz húzva, tehát ezt mutatja a csak () pozitív ábra terület. Konzol tartóra lefelé ható erők esetén () negatív területű ábra adódik, tehát a tartónak a felső széle lesz húzva. Ezek azért fontos információk, mert például a hajlított vasbetongerendákba az úgynevezett fő vasakat a gerenda húzott szélére kell elhelyezni!

4 Egyszerű tartók igénybevételi ábráinak megrajzolásával foglaljuk össze az igénybevételek kapcsán eddig tanultakat. A x A y F=50 kn F y 60 0 F x 4 m 2 m 6 m B A ferde erő felbontása összetevőire: F x = cos 60 0 F = 0,5 50 = 25 kn F y = sin 60 0 F = 0, = 43,3 kn F ix = 0 A x 25 = 0 A x = 25 kn B i = 0 A y 6 43,3 2 = 0 A y = 14,43 kn F iy = 0 14,43 43,3 B = 0 B = 28,87 kn N Az A keresztmetszetében az A x =25 kn a normálerő. ivel nyomja a keresztmetszetet, az előjele () negatív. Tehát a tengelytől felfelé kell mérni. Az F erőtől végtelen közel balra levő keresztmetszettől is csak az A x van balra, ezért a normálerő itt is 25 kn. Az F erőtől végtelen közel jobbra levő keresztmetszettől az A x = 25 kn és az F x = 25 kn van balra, ezért a normálerő itt = 0 kn. 14,43 14,43 28,87 28,87 Az A keresztmetszetében az A y = 14,43 kn a nyíróerő. ivel az előjele () pozitív, a tengelytől lefelé kell mérni. Az F erőtől végtelen közel balra levő keresztmetszettől is csak az A y van balra, ezért a nyíróerő itt is 14,43 kn. Az F erőtől végtelen közel jobbra levő keresztmetszettől az A y és az F y van balra, ezért itt a nyíróerő 14,43 43,3 = 28,87 kn. Az B erőtől végtelen közel balra levő keresztmetszettől is az A y és az F y van balra, ezért a nyíróerő itt is 28,87 kn. Ehhez adódik hozzá a B keresztmetszetében a B = 28,87 kn, így az összegük 28,87 28,87 = 0 kn. Az ábrának mindig NULLÁRA kell záródni!!! 57,72 A tartón mindig ott van a legnagyobb nyomaték, ahol a nyíróerő ábra előjelet vált. Itt max = 57,72 knm Az A keresztmetszetben azért NULLA a nyomaték, mert az A reakcióerő a saját hatásvonalára nem forgat. Az F erő alatti keresztmetszettől balra csak az A y forgat. Forgatóértelme az óramutatóéval megegyezik, tehát a nyomatéka 14,43 4 = 57,72 knm. A B keresztmetszettől az összes erő balra van, az egyensúly miatt is NULLA a nyomatékösszegük: A y 6 F y 2 = 14, ,3 2 = 0 Az N,, ábrák nem erő, illetve nyomaték léptékben készültek, csupán arányosak!

5 A tartó reakcióit korábban a Támaszerők részben meghatároztuk. Ezek eredményei: F = 20 kn A F A = 20 kn A = 50 knm l = 2,5 m F A A ivel a vízszintes tartón csak függőleges erők működnek, nem keletkezik normál erő, ezért nincs N ábra. Ez a következő tartókra is vonatkozik! A bal oldali végső keresztmetszetben álló F erő a keresztmetszet nyíróereje. ivel lefelé mutat az igénybevételi előjelszabály értelmében az előjele () mínusz: 20 kn. A befogási keresztmetszettől végtelen közeli bal oldali keresztmetszetben is ekkora a nyíróerő: 20 kn. Ehhez adódik hozzá a felfelé mutató és ezért () pozitív előjelű F A = 20 kn. Így a tartó jobb oldali végén záródik a nyíróerő ábra: = 0 kn 50 ivel minden erőnek a saját hatásvonalán levő pontjaira a nyomatéka nulla, a bal oldali végső keresztmetszetre nem hat nyomaték. Ezért ott a nyomaték értéke NULLA. A befogási keresztmetszettől balra csak az F erő áll, így a befogási keresztmetszettől végtelen közeli bal oldali keresztmetszetre az F erő nyomatéka: F l = = 50 knm Ez a nyomaték megegyezik az ellenkező forgatóértelmű reakció nyomatékkal A val, ami magában a befogási keresztmetszetben működik. Ha ezeket is összeadnánk, ez az ábra is záródna. A és ábrák nem erő, illetve nyomaték léptékben készültek, csupán arányosak!

6 q = 40 kn/m A tartó reakcióit korábban a Támaszerők részben meghatároztuk. Ezek eredményei: l = 2,5 m Q A A F A l / 2 = 1,25 m F A = 100 kn A = 125 knm FONTOS EGJEGYZÉS: A Q erő csak a számítás segédereje, ezért is van szaggatott vonallal jelölve. Tehát a hatásvonalában nincs a terhelésben változás!!! Q = q l = 40 2,5 = 100 kn 100 A bal oldali végső keresztmetszetben nem áll erő, ezért itt a nyíróerő NULLA. Fenti fontos megjegyzésben olvasható, hogy a Q tulajdonképpen nincs a tartón, csak a számítás segédereje. Ezért a terhelésben változás a befogás előtti, attól végtelen közeli keresztmetszetben van. ivel ettől balra csak a Q= 100 kn működik, ez lesz itt a nyíróerő értéke, tehát 100 kn mivel lefelé mutat. Ehhez adódik hozzá a felfelé mutató és ezért () pozitív előjelű F A = 100 kn. Így a tartó jobb oldali végén záródik a nyíróerő ábra: = 0 kn A parabola lelógása: q l 2 /8 = 40 2,5 2 /8= = 31,25 knm 31, iután felmérjük a 125öt, szaggatottan összekötjük a bal oldali NULLA ponttal. A szaggatott közepétől függőlegesen ql 2 /8 értékben parabolát lógatunk le. Az ez alatti terület az ábra. A bal oldali végső keresztmetszetre nem hat nyomaték. Ezért ott a nyomaték értéke NULLA. A befogási keresztmetszettől balra csak a Q erő ( az egész megoszló teher eredője) áll, így a befogási keresztmetszettől végtelen közeli bal oldali keresztmetszetre a Q erő nyomatéka: Q l/2 = 100 1,25 = 125 knm Ez a nyomaték megegyezik az ellenkező forgatóértelmű reakció (befogási) nyomatékkal A val, ami magában a befogási keresztmetszetben működik. Ha ezeket is összeadnánk, ez az ábra is záródna.

7 F = 85 kn A tartó reakcióit korábban a Támaszerők részben meghatároztuk. Ezek eredményei: F A A B l/2 = 3,0 m l/2 = 3,0 m F B F A = 42,5 kn F B = 42,5 kn l = 6,0 m 42,5 42,5 42,5 42,5 127,5 A tartón mindig ott van a legnagyobb nyomaték, ahol a nyíróerő ábra előjelet vált. Itt max = 127,5 knm A tartó bal végén az F A = 42,5 kn támaszerő a nyíróerő. Felfelé mutat, ezért () pozitív. Az F erőtől balra végtelen közel levő keresztmetszettől csak az F A van balra, tehát itt is 42,5 kn a nyíróerő. Az F erőtől jobbra végtelen közel levő keresztmetszettől balra van az F A és az F. Itt tehát a nyíróerő: F A F = 42,5 85 = 42,5 kn A tartó jobb végétől balra végtelen közel levő keresztmetszettől is az F A és az F áll balra, így a nyíróerő ott is 42,5 kn. Ha ehhez a végső keresztmetszetben hozzáadnánk a F B t záródna az ábra. Az A keresztmetszetben azért NULLA a nyomaték, mert az A reakcióerő a saját hatásvonalán levő pontokra nem forgat. Az F erő alatti keresztmetszettől balra csak az A forgat. Forgatóértelme az óramutatóéval megegyezik, tehát a nyomatéka 42,5 3 = 127,5 knm. A B keresztmetszettől az összes erő balra van, az egyensúly miatt is NULLA a nyomatékösszegük: A 6 F 3 = 42, = 0 A és ábrák nem erő, illetve nyomaték léptékben készültek, csupán arányosak!

8 q = 60 kn/m A tartó reakcióit korábban a Támaszerők részben meghatároztuk. Ezek eredményei: A B F A = 240 kn F B = 240 kn F A l = 8,0 m F B Ha az olvasó nem akar visszalapozni, vegye észre, hogy a tartó szimmetrikus, tehát a támaszerők a teher felével egyenlők: F A = F B = q l / 2 = 60 8 / 2 = 240 kn ivel a két tartóvégen a nyíróerők értéke egyenlő, az őket összekötő egyenes pontosan a tartó felében metszi a tengelyt, tehát itt van az előjelváltás, itt keletkezik az maximum. 240 l/2 = 4,0 m l/2 = 4,0 m A ábra előjelváltása a tartó felező pontjában jelöli ki a legnagyobb nyomaték helyét. Írjuk ezt fel a balra álló erők nyomatékösszegeként: max = F A l/2 Q/2 l/4 = = 240 8/2 480/2 8/4 = 480 knm A tartó bal végén az F A = 240 kn támaszerő a nyíróerő. Felfelé mutat, ezért () pozitív. Ahogy korábban is volt róla szó, a Q csak a számítás segédereje nincs a tartón. Úgy ahogy az itteni nézetrajzon sem jelenik meg. Ezért a terhelésbeli legközelebbi változás a B támasz előtt végtelen közeli keresztmetszetben van. A tartó jobb végétől balra végtelen közel levő keresztmetszettől az F A és az egész megoszló teher,(q) áll balra, így a nyíróerő ott F A Q = = 240 kn. Ha ehhez a végső keresztmetszetben hozzáadnánk a F B t záródna az ábra. Az A keresztmetszetében azért NULLA a nyomaték, mert az A reakció erő a saját hatásvonalán levő pontokra nem forgat. A B keresztmetszetében azért NULLA a nyomaték, mert az összes erő balra van, és az egyensúly miatt az összes erő nyomatékának minden pontra NULLA a nyomatéka. Így a nulla értékű pontokat a tengely köti össze, ezért ennek a közepétől kell a tengelyre merőlegesen lemérni a q l 2 /8 = / 8 = 480 knm értékű nyomatékot, és ezzel a lelógással kell megrajzolni a parabolát.