PMSTNB 211 segédlet a PTE PMMK építészmérnök hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése

Átírás

1 EURÓPI UNIÓ STRUKTURÁLIS LPOK E H N I K I. S T T I K PSTN segédlet a PTE PK építészmérnök hallgatói részére z építész és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése HEOP/004/../000.0

2 STN echanika I. Statika EHNIK I. STTIK Hajósné Temesi Eszter Pécsi Tudománegetem, Pollack ihál űszaki Kar, Szilárdságtan és Tartószerkezetek Tanszék 007

3 STN echanika I. Statika Részletes tantárgprogram: Hét Ea/Gak./Lab. Témakör. óra előadás Statikai alapfogalmak. Síkbeli erők. Síkbeli erőrendszerek. Erővektorok, erőfelbontás, előjelszabálok. statika alaptételei. Eredő fogalma, meghatározása. óra gakorlat Erővektorok, erőfelbontás. Eredő meghatározása szerkesztéssel és számítással, párhuzamos erőkből álló, valamint közös metszéspontú síkbeli erőrendszer esetén. óra gakorlat Eredő nagságának és helének meghatározása szétszórt síkbeli erőrendszer esetén szerkesztéssel (kötélsokszög szerkesztés), és számítással. óra előadás óra gakorlat Síkbeli erőrendszerek egensúlozása. Egensúlozás eg, kettő, és három erővel. Síkbeli erőrendszerek egensúlozása eg, kettő, és három erővel. 4. óra gakorlat Síkbeli erőrendszerek egensúlozása eg, kettő, és három erővel. 5. óra előadás óra gakorlat Síkbeli tartók fogalma, a tartók csoportosítása, tartók minősítése, statikailag határozott tartók. Statikai modell. Síkbeli tartók egensúlozása 6. ŐSZI SZÜNET 7. óra előadás óra gakorlat Síkbeli rácsos tartók fogalma, számítási modell, rúderő számítási módszerek. somóponti módszer, hármas átmetszés. I. ZH. SÍKELI ERŐK EREDŐJÉNEK EGHTÁROZÁS, EGENSÚLOZÁS (órarenden kívüli időpontban) Zártheli feladatok kiértékelése 8. óra gakorlat Síkbeli rácsostartók, csomóponti módszer. 9 óra előadás óra gakorlat első erők fogalma. Előjelszabálok. első erő ábrák. Egenestengelű tartók belső erői. Síkbeli rácsostartók, hármas átmetszés.. óra gakorlat Egenestengelű, kéttámaszú gerendatartók belső erő ábrái.. óra előadás óra gakorlat Törtvonalú és ágas tartók belső erő ábrái. erde helzetű kéttámaszú tartók belső erő ábrái.. óra gakorlat Törtvonalú és ágas tartók belső erő ábrái. 4. óra előadás óra gakorlat 5. óra gakorlat Három csuklós kerettartó, csuklós többtámaszú (Gerber) tartók belső erő ábrái suklós tartók belső erő ábrái II. ZH SÍKELI TRTÓK ELSŐ ERŐ ÁRÁI (órarenden kívüli időpontban) Zártheli feladatok kiértékelése, félévzárás.

4 STN echanika I. Statika TRTLOJEGZÉK:. statika tárga Síkbeli erők statika alaptételei Síkbeli erőrendszerek Eredő...0. Párhuzamos síkbeli erőrendszer eredője Közös metszéspontú síkbeli erőrendszer eredője Szétszórt síkbeli erőrendszer eredője.... Egensúlozás.... Egensúlozás erővel.... Egensúlozás két erővel (adott hatásvonalú és adott ponton átmenő erővel).... Egensúlozás három adott hatásvonalú erővel (Ritter módszer) Síkbeli tartók Síkbeli tartók minősítése, tartók csoportosítása kn 5. Síkbeli rácsos tartók Rácsos tartó modell Rácsos tartó rúderő számítás csomóponti módszer Rácsos tartó rúderő számítás hármas átmetszés... 6 m q = kn/m,0 4,0 6. Síkbeli Tartók belső erő i belső erők fogalma: első erő ábrák Kéttámaszú egenes tengelű gerendatartók Törtvonalú, ferde helzetű és ágas tartók belső erő ábrái Gerber tartók belső erő áb rái ,0 m,0 5.6 Három csuklós keret tartók

5 STN echanika I. Statika. statika tárga statika a echanika tudománnak azon része, amel a testek nugalmi állapotával foglalkozik. echanika a természettudománok körébe tartozik, a izika tudomán része. Statika a echanika tudománágon belül a nugalomban lévő testek egmásra hatását vizsgálja... Síkbeli erők z erő az a hatás, amel a test mozgásállapotát változtatja meg, irán vag nagság szerint. z erő nem látható, jelenlétére csak hatásaiból következtethetünk. z erő jellemzői: az erő hatásvonala, irána és nagsága. z erő egsége newton (N), amel egségni tömegű ( kg) testnek egségni ( m/s ) gorsulást ad. N többszörösei a mérnöki gakorlatban: kn N N kn 6 N z erők fajtái: Erő jelölés mértékegség gakorlatban Koncentrált erő, P, Q.. N, kn, N Pillérteher födémre, (latin nag betűkkel) alapra Vonal mentén megoszló erő elületen megoszló erő Térben megoszló erők q, p, g (latin kis betűkkel) q, p, g (latin kis betűkkel) γ (görög kis betűkkel) N/m, kn/m N/m, kn/m kn/m Válaszfal teher födémre Hóteher tetőn, szélteher falon súlerő z erők ábrázolása történhet nézetrajzon és vektorábrán. nézetrajz a vizsgált merev test méreteit ábrázolja mérethelesen, amelen ábrázoljuk az erő támadáspontját, hatásvonalát, iránát, valamint számszerűen megadjuk az erő nagságát is. vektorábrán az erő vektorát ábrázoljuk, amel ábrázolás az erő jellemzőit egesíti, az erőlépték feltüntetésével az erő nagsága is egértelművé válik. 5

6 STN echanika I. Statika z erők felbontása vetületeikre: síkban eg derékszögű koordináta rendszerben dolgozunk, az általános helzetű erőt felbontjuk a koordináta tengelekre vonatkozó vetületeire. z erőfelbontást az erőnek a tengelekre történő merőleges vetítésével kapjuk. z általánosan használt tengelkereszt a vízszintesfüggőleges tengelekből áll. z általános síkbeli erő két egmásra merőleges vetületének meghatározása számítással a derékszögű háromszögekre vonatkozó geometriai összefüggések alapján történik. vetületek előjelei megállapodás szerint: α α = tgα = = cosα = sinα z erő nomatéka: a (m) 90 o (kn) síkbeli erőknek, uganazon síkban kiválasztott tetszőleges pontra vonatkoztatott forgató hatását forgató nomatéknak nevezzük. nomatékot a nagsága és az irána jellemzi. értékegsége. Nm, knm z erő forgató nomatéka az pontra: = a ahol : az erő nagsága a: az erő karja (merőleges távolság) forgatónomaték előjele megállapodás alapján: pozitív a forgató nomaték, ha az erő a forgási pont körül az óramutató járásával megegezően forgat. Több síkbeli erő forgatónomatékát összegezhetjük a sík eg kiválasztott pontjára úg, hog az eges erők forgatónomatékait előjelhelesen összegezzük. z erőpár Két egmással párhuzamos hatásvonalon működő, azonos nagságú, de ellentétes iránú erő erőpárt alkot. z erőpár hatása forgatónomaték, amelet az erő és a köztük lévő merőleges távolság szorzataként számíthatunk. z erőpár vetületösszege a sík bármel tengelére zérus, az erőpár forgatónomatéka a sík bármel pontjára uganakkora. 6

7 STN echanika I. Statika. statika alaptételei Első alaptétel (két erő egensúlára vonatkozik) Eg merev testre ható két erő akkor és csak akkor van egensúlban, ha azonos hatásvonalon működnek, azonos nagságúak, de ellentétes iránúak. ásodik alaptétel (három erő egensúlára vonatkozik) Eg merev testre ható, három különböző hatásvonalú erő akkor, és csak akkor van egensúlban, ha hatásvonalaik közös pontban metszik egmást, és a három erőből zárt és nílfoltonos vektorháromszög szerkeszthető. Harmadik alaptétel: erev testre ható erőrendszer hatása nem változik, ha egensúlban lévő erőket adunk hozzá, vag veszünk el belőle. Ez a tétel igazolja, hog az erő hatásvonalán eltolható, vagis a támadáspont az erő hatásvonalán bárhol felvehető. = Negedik alaptétel: Isaac Newton törvéne Hatás ellenhatás törvéne. inden erőhatás (akció) ellenhatást (reakció) vált ki, a párosával jelentkező két hatás közös hatásvonalon működik, azonos nagságú, de ellentétes iránú. 7

8 STN echanika I. Statika. Síkbeli erőrendszerek Párhuzamos erőkből álló síkbeli erőrendszer (az erők közös tulajdonsága, hog hatásvonalaik párhuzamosak) Közös metszéspontú erőkből álló síkbeli erőrendszer (az erők közös tulajdonsága, hog hatásvonalaik eg pontban metszik egmást) Általános (szétszórt) síkbeli erőrendszer (az erők közös tulajdonsága csupán anni, hog hatásvonalaik eg közös síkban fekszenek) Részletesen megoldott feladatok az erőfelbontásra: dott az tengellel bezárt szög 4,0 5 Ο 50 Ο = 0 kn = sin 5 = 0 0,588 = 7,76 kn = cos 5 = 0 0,9659 = 8,98 kn dott az tengellel bezárt szög = 50 kn = cos 50 = 50 0,647 =, kn = sin 50 = 50 0,7660 = 8, kn z erők hatásvonalát eg síkbeli alakzathoz kötjük (az alakzatban fellelhető háromszög, hasonló az erő felbontásához rajzolható vektorháromszöghöz) = 40 kn 4,47 : 4 = : = 5,79 kn,0 4 : = 5,79 : = 7,895 kn 8

9 STN echanika I. Statika 4,0 90 Ο dott egenessel egbeeső, és arra merőleges hatásvonalú erők felbontása hasonló háromszögekkel (az alakzatban fellelhető háromszög hasonló az erő felbontásához rajzolható vektorháromszögekkel) 4,0,5,5 = = 7, kn 5 4 = = 9,6 kn 5 4,0,0 4 = 8 = 6,4 kn 5 = 8 = 4,8 kn 5 9

10 STN echanika I. Statika. Eredő z eredő fogalma: az eredő a síkbeli erőrendszert mindenféle hatásában helettesíti, tehát az eredő vetülete a sík bármelik tengelére megegezik az erőrendszernek uganezen tengelre számított vetületösszegével, a sík bármel pontjára vonatkozó nomatéka pedig megegező, az erőrendszernek uganezen pontra számított előjelheles nomaték összegével. n n = R = R í i i= i= i= n = α i αr. Párhuzamos síkbeli erőrendszer eredője z eredő hatásvonala az erők hatásvonalával megegező lesz. z eredő a vektorábrát níl ütközéssel zárja. Nézetrajz Vektorábra R S S S R S 0 0 S S S 0 S S S 0 0 póluspont. Közös metszéspontú síkbeli erőrendszer eredője z eredő hatásvonala a közös metszésponton keresztül kell, hog menjen, z eredő a vektorábrát níl ütközéssel zárja. Nézetrajz Vektorábra R végpont kezdôpont R 0

11 STN echanika I. Statika. Szétszórt síkbeli erőrendszer eredője z eredő meghatározható közvetlen erőösszetétellel: Nézetrajz Vektorábra R R R 4 R R kezdôpont R 4 végpont z eredő meghatározható az un. kötélsokszög szerkesztéssel is. Nézetrajz Vektorábra S 4 kezdôpont S 0 S S S 4 S S 0 S 0 S 0 R S 0 R S S 4 S 4 0 S 0 R 4 végpont

12 STN echanika I. Statika Síkbeli erőrendszer vizsgálata az eredő szempontjából Eredő lehet Véges nagságú erő Erőpár szerkesztéssel z erőkből szerkesztett vektorsokszög nitott, vagis a vektorábra kezdő és végpontja nem esik egbe. S0 Nézetrajz R kezdôpont Vektorábra végpont R S S S 0 S 0 nitott kötélsokszög S 0 S S 0 S S nitott vektorsokszög z erőkből szerkesztett vektorsokszög zárt, a kötélsokszög pedig nitott. kötélsokszög első és utolsó oldala egmással párhuzamos. 4 5 S 0 Nézetrajz S 4 s S S 0 S 5 5 Vektorábra S S 0 S 0 S 0 S kezdôpont S S végpont 5 S 4 S 4 számítással z erőrendszer tagjaiból felírt előjelheles vetületösszegek közül, legalább az egik nem egenlő zérussal. i 0 i az eredő i i 0 az eredő b i 0 i 0 az eredő általános helzetű z erőrendszer tagjaiból felírt vetületösszegek zérussal egenlő. sík bármel pontjára felírt nomatékösszeg nem egenlő zérussal. i i αi 0 nitott kötélsokszög zárt vektorsokszög z erőrendszer egensúlban van. vektorsokszög is és a kötélsokszög is zárt Nézetrajz Vektorábra z erőrendszer tagjaiból felírt vetületösszegek és a nomatékösszeg is egenlő zérussal. Zérus 5 S 5 S 4 4 S 0 S kezdôpont végpont S S S 0 S 0 S S S 5 S 4 i i αi 5 4 zárt kötélsokszög zárt vektorsokszög

13 STN echanika I. Statika. Egensúlozás statikában leginkább azzal foglalkozunk, hogan lehet eg merev testre ható erőrendszert az erők síkjában működő eg, vag több erővel egensúlozni. z erőrendszer egensúlban (nugalomban) van, ha teljesülnek az egensúl feltételei. z egensúlozó hatást E betűvel jelölve, a következő számítási összefüggésekkel igazolható az egensúl: i E i E E i. Egensúlozás erővel statika első alaptételének felhasználásával, az egensúlozó erő az erőrendszer eredőjével azonos nagságú, vele azonos hatásvonalon működő, de ellentétes iránú lesz. z egensúlozó erő a vektorábrát nílfoltonosan zárja. =40 kn 60 o 5 o =86 kn =50 kn = = 40 kn ( ) = = 86 0,5 = 9 kn ( ) = 86 0,866 = 6,08 kn ( ) = 50 0,574 = 8,68 kn ( ) = 50 0,89 = 40,96 kn ( ) Σ i = 4, kn( ) Σ i,04 kn ( ) Σ i E 4, E innen: E = 4, kn ( ) Σ i E 0,04 Ez innen: E = 0,04 kn ( ) E = 4, α = arc tg 0,04 0,04 4, = o 8,4,5 kn. Egensúlozás két erővel (adott hatásvonalú és adott ponton átmenő erővel) z adott erőrendszer két erővel történő egensúlozásának számtalan megoldása van, ezért az egensúlozó erők tekintetében rögzíteni kell az egik erő hatásvonalát, a másik erőnek pedig eg pontját.

14 STN echanika I. Statika Egensúlozzuk az erőrendszert, eg az ponton átmenő és b hatásvonalú erővel = 6 cos 60 = kn ( ) = 6 sin 60 = 5, kn ( ) =5,0 kn =6,0 kn 60 o,0 b 4,0 m 0 o Nomatéki egenlet az pontra (a b hatásvonalú erőt balra, lefelé mutatónak feltételezzük) 5, 4 =,95 kn 4 (az eredmén előjele arra utal, hog az egenlet felírásakor jól feltételeztük a erő iránát) erő hatásvonalát ismerjük, függőleges komponense segítségével a vízszintes komponens és maga a erő is számítható:,95 = = 5, kn ( ) o tg0,.95 = sin 0 o = 5,9 kn vetületi egenletekből és számítható =, α = arc tg,75,75, = =,47 kn o 5,5 5, 5 5, 5,,95 =, kn( ) =,75 kn( ) 4

15 STN echanika I. Statika. Egensúlozás három adott hatásvonalú erővel (Ritter módszer) három adott hatásvonal tekintetében rögzítenünk kell, hog a három hatásvonalnak nem lehet közös metszéspontja. iután három ismeretlen egensúlozó erő van, ezért olan pontot kell keresni a síkban, amelre felírt nomatéki egenletben csak eg ismeretlen van. Ez a pont, két egensúlozó erő metszéspontja lesz, ezt a pontot a harmadik egensúlozó erő főpontjának nevezzük. =,6 cos60 =,8 kn =,6 sin60 =, kn a =,6 kn 60 o O R 0 o,0,0 =4, kn =5,4 kn,0,0 m,0 b c = 5,4 cos0 = 4,68 kn = 5,4 sin0 =,7 kn =,5 kn a 60 o O =7,7 kn =9,0 kn b,0,0 m,0 c z erő főpontja az pont. z erő iránát felfelé mutatónak feltételezzük.,8 4,68,7 4 =,5 kn ( ) erő főpontja a pont. z erő iránát felfelé mutatónak feltételezzük.,8, 4,68,7 6 4,,44 = 7, 7 kn erő főpontja a pont. z erő iránát jobbra mutatónak feltételezzük.,8 4,,7 6 4, = 9,0 kn ( ) 5

16 STN echanika I. Statika z egensúlt a vetületi egenletekkel, vag a sík bármel pontjára felírt nomatéki egenlettel leellenőrizhetjük. 4. Síkbeli tartók Tartószerkezeteknek (röviden: tartóknak) nevezzük azokat a különböző anagú szerkezeteket, amelek a terhek hordására, továbbítására alkalmasak, megfelelnek a velük szemben támasztott teherbírási, helzeti állékonsági, használhatósági és más különleges követelméneknek. Ebben a jegzetben csak síkbeli rúdszerkezetekkel foglalkozunk. síkbeli rúdszerkezeteket tengelvonalukkal ábrázoljuk. tartókat a körnezethez, illetve más teherhordó szerkezetekhez rögzíteni kell, a rögzítésre szolgáló szerkezeti elemeket támaszoknak nevezzük. támasz Egensúlozó erők helettesítés Sematikus ábrázolás efogás i csukló Görgő 90 o Támasztórúd 4. Síkbeli tartók minősítése, tartók csoportosítása síkbeli tartókat statikai szempontból két csoportba sorolhatjuk Statikailag határozott tartók Statikailag határozatlan tartók 6

17 STN echanika I. Statika tartók minősítése a terhelés ismeretében a tartóra ható külső erőrendszer vizsgálatával történik. külső erőrendszert a terhek és a terheket egensúlozó reakció erők alkotják. külső erőrendszerben lévő egensúlozó ismeretlenek számát hasonlítjuk a ma. db egensúli egenlet számához. vizsgálat Ismeretlenek száma = egenletek száma Ismeretlenek száma > egenletek száma Ismeretlenek száma < egenletek száma minősítés határozott határozatlan túlhatározott statikailag határozott tartókat csoportosíthatjuk alakjuk, és a körnezettel ill. más tartószerkezetekkel kialakított kapcsolatuk szerint, például: Eg merev testből álló tartók: káttámaszú tartó, konzol tartó Több merev testből álló szerkezetek: háromcsuklós keret, Gerber tartó Egenes tengelű tartó Törtvonalú, vag ágas tartó 7

18 STN echanika I. Statika 5. Síkbeli rácsos tartók síkbeli rácsos tartók egmással végükön összekapcsolt rudakból álló szerkezetek. Nag fesztávok áthidalására alkalmas. tartónak a körnezethez, ill. más tartószerkezetekhez történő rögzítése szerint a rácsos tartó lehet kéttámaszú, háromcsuklós kerettartó, Gerber tartó, stb. 5. Rácsos tartó modell szerkezet alaktartó, a rúdhosszak változtatása nélkül a tartó alakja nem módosítható rudak egenes tengelűek és merevek Eg csomópontban találkozó rudak tengelei eg pontban metszik egmást rudak a csomópontokban ideális (surlódásmentes) csuklókkal csatlakoznak egmáshoz szerkezetekre ható külső erők a rácsos tartó síkjában hatnak szerkezetet terhelő koncentrált erők csak a csomópontokban hatnak Jól érzékelhető, hog a számítási modell a valóságos erőjátékhoz képest közelítéseket tartalmaz, azonban a számítás egszerű és az eredmén a mérnöki pontosságnak megfelel. rácsos tartók hálózati rajzával ábrázoljuk, ahol a rudakat súlvonalaikkal adjuk meg. csomópontokat számozással látjuk el a rúdhosszakat s í,j, a rúderőket S i,j jelöljük. z alsó inde adja meg, hog a rúd melik két csomópontot köti össze. felső övrudak rácsrudak támaszok (rögzítés a körnezethez) oszlopok alsó övrudak 8

19 STN echanika I. Statika rácsos tartók alakjuk, valamint a megtámasztásuk módjától függően különböző típusúak lehetnek: számítási modell szerint a rácsos tartót terhelő koncentrált erők a tartó síkjában működnek és csak a csomópontokban hatnak. terheket egensúlozó erők is koncentrált erők, amelek a támaszpontokban működnek. terhek és az egensúlozó erők egensúlban lévő erőrendszert alkotnak, ezt hívjuk külső erőrendszernek. z egensúlban lévő külső erőrendszer hatására a tartóban belső erők ébrednek. Képzeljük el, hog a rácsos tartót két részre vágjuk szét, és csak az egik tartórészt vizsgáljuk. vizsgált tartórészen lévő külső erők nem lesznek egensúlban. szerkezet belsejében olan hatásoknak kell ébredniük, amelek létrehozzák az egensúli helzetet. Ezeket a hatásokat belső erőknek nevezzük. rácsos tartóban ébredő belső erők csak rúdiránúak lehetnek. 9

20 STN echanika I. Statika rúderők előjelének tekintetében a következő előjelszabálban állapodunk meg: rúderő nílirána a csomópont felé mutat, vagis a csomópontot nomja, a rúdban nomóerő ébred, előjele: rúderő nílirána a csomóponttól elfelé mutat, a csomópontot húzza, a rúdban húzóerő ébred, előjele: rácsos tartó hálózatában találhatunk olan csomópontokat, ameleknél számítás nélkül meghatározhatók a rúderők nagsága és előjele, ezeket nevezetes csomópontoknak hívjuk. V csomópont Terheletlen V csomópont csomóponton nem hat külső erő, a rudak erőmentesek (azokat a rudakat amelekben a számítás szerint nem ébred erő, vakrudaknak nevezzük) S= S= Terhelt V csomópont teher hatásvonala az egik rúd hatásvonalával egbeeső Ebben a rúdban a terhelő erővel azonos nagságú, de ellentétes iránú erő ébred, a másik rúd vakrúd. S= b S a Terhelt V csomópont teher hatásvonala általános iránú inkét rúdban ébred erő. Nagságuk és iránuk a vetületi egensúli egenletekből meghatározható S= a S b 0

21 STN echanika I. Statika S S S S b S b S b S= a S= a T csomópont Terheletlen T csomópont S csomópontban nincs külső erő, akkor a bekötő rúd, (a T szára) vakrúd. másik két rúderő ellentetten egenlő (azonos előjelű) S c SS=0 b c Terhelt T csomópont terhelő erő hatásvonala a bekötő rúddal azonos hatásvonalú a bekötő rúdban ébredő erő megegezik a terhelő erővel, de vele ellentétes iránú. másik két rúderő ellentetten egenlő (azonos előjelű) S b S b S b S S S=0 a b c S= a S a S c Terhelt T csomópont terhelő erő hatásvonala általános helzetű. rúderők nagságuk és irána a vetületi egensúli egenletekből meghatározható S a S = a 5. Rácsos tartó rúderő számítás csomóponti módszer számítás lénege, hog a rácsos tartó minden eges, kiragadott csomópontjában igazoljuk a csomópontban ható külső erőkből és a rudakban ébredő belső erőkből álló közös metszéspontú síkbeli erőrendszer egensúlát. módszer a csomópontok egmás utáni vizsgálatához alkalmas, a tartó közepéből kiragadott csomópont számítására nem használható (túl sok az ismeretlen) közös metszéspontú síkbeli erőrendszer egensúlát a két db egmástól független vetületi egensúli egenlet segítségével igazolhatjuk. számítás során csomópontról csomópontra haladunk (például balróljobbra), hiszen két szomszédos csomópontot összekötő rúdban ébredő erő mindkét csomópontban

22 STN echanika I. Statika azonos nagságú és előjelű. (a rácsos tartó nincs a rúdjain terhelve, tehát a rúderő értéke a rúd hossza mentén nem változhat!!) rúderők meghatározásához a derékszögű háromszögekre vonatkozó alapvető geometriai összefüggéseket használjuk (szögfüggvének, hasonlóság) 5. Rácsos tartó rúderő számítás hármas átmetszés módszert Ritter féle módszernek, illetve főponti módszernek is nevezik. számítási módszer mindig alkalmazható amenniben a tartó szétvágható két részre, ol módon, hog a képzeletbeli metszősík csak rudat vág el. szétvágott tartó egik felét vizsgáljuk, ahol a tartórészen ható külső erőket az átvágott rudakban ébredő rúderők egensúlozzák. feladat megoldása nem más, mint a tartórészen ható külső erők egensúlozása három adott hatásvonalú erővel. lkalmazzuk a Ritter féle módszert, vagis a nomatéki egensúli egenletet a vizsgált tartórészen ható külső erőkből, valamint az átvágott rudakban ébredő rúderőkből, a rúderők főpontjaira írjuk fel. nomatéki egenlet felírásához feltételeznünk kell azt, hog az ismeretlen rúderő a főpontra milen előjelű forgatónomatékot fejt ki. menniben jól feltételeztük, az egenlet megoldásaként pozitív eredmént fogunk kapni. feltételezett iránnal rárajzoljuk a metszősíkra a kiszámított rúderőt. Ha a rúderő nílirána a metszősík felé mutat, a rúdban nomóerő ébred, ha a nílirán a metszősíktól elfelé mutat, a rúdban húzóerő ébred. 0 kn 0 kn 4 0 kn 6,0, ,0= 8,0 m

23 STN echanika I. Statika ,5 8 0 = 6,5 kn =,75 kn kn Számítsuk ki az S, az S, és az S 4 rúderők nagságát, értelmezzük a rúderők előjeleit is. Vágjuk szét a tartót eg képzeletbeli metszősíkkal, úg hog csak azokat a rudakat vágjuk át, amelekben ébredő rúderőket akarjuk meghatározni. metszősíktól balra lévő tartórészt vizsgáljuk. rúderők főpontjait keressük. z S rúderő főpontja a pont, az S főpontja a Z pont, az S 4 főpontja a pont. főpontokra történő nomaték felírásához meghatározzuk az erők karjait (merőleges távolság),6,0 4 α, α,0 m. 45 o 45 o Z k =4,4 m 6,0 m k =,68 m,88 k 4 =,0 =,68 m k = 6,0 = 4, 4 m,6 k. 0 kn. S 4 k 4 S (4),0,0,0 Z 0 kn 0 (),75 kn S,0,0,0 z S 4 rúderő kiszámításához a nomatéki egensúli egenletet pontra írjuk fel.,75 4,0 0,0 S,68 S, 06 kn 4 4 = rúderő a metszősík felé mutat, tehát nomóerő ()

24 STN echanika I. Statika z S rúderő kiszámításához a nomatéki egensúli egenletet pontra írjuk fel.,75,0 0,0 S,0 S, 75 kn = rúderő a metszősíktól elfelé mutat, tehát húzóerő () z S rúderő kiszámításához a nomatéki egensúli egenletet Z pontra írjuk fel. Z,75,0 0 4,0 S 4,4 S, 94 kn = rúderő a metszősík felé mutat, tehát nomóerő () 0 5,84,68,08 0,08,75,75 Ellenőrzésképpen felírhatók a vetületi egensúli egenletek a rúderők függőleges és vízszintes vetületeivel. (z erőfelbontást nem részletezzük),68 S 4 =,06 =,68 kn( ) S 4 = = 5,84 kn( ),6 S =,95 =,08 kn ( ) S = =,08 kn( ) 0,68,08,75,75 0 5,84,08 Eredménvázlat: kn 0 9,44 0 kn 0,75,06,95,75 0 kn 4, 0 kn 4,5 7, ,98 6,5 6,5 7 =,75 kn = 6,5 kn 4

25 STN echanika I. Statika Részletesen megoldott feladat a hármas átmetszés módszerének alkalmazására: l=8,4 m m=,4 m c 0 kn c 5 kn 0 kn a 4 d d 7 5 b 0 kn 6 a 5 kn m m l z a és b méretek meghatározása hasonló háromszögek segítségével: 5,04 4, 4,,8 a =,5,5 = b a =,04 m b =,68 m I. metszősík 5 kn 60 kn, 0 kn 5 67,5 4 64,5 45, S 45,04 0 0,94 S 7 0, S 7,4,5 67 S,68 S = 67,5 kn S = 5 kn 67 ( húzott) = 64,5 kn ( nomott) ( ) 5

26 STN echanika I. Statika II. metszősík 5 kn 0 kn 64,5,5 45 4, 0, S S 6 = 5,5 kn,4 ( húzott) c 5,5,04 5,04 =,68 c c =,8 m 0, S S 6 6 =,5 kn,8 ( húzott) Eredménvázlat (szimmetrikus geometriájú, szimmetrikusan terhelt rácsos tartók rúderői is szimmetrikusak lesznek) 0 kn 5 kn 0 kn 5 8, 64,5 67,5 5,5 5 4,5 0 kn 6 5 kn

27 STN echanika I. Statika Javasolt feladatok a gakorláshoz: Határozzák meg a rúderőket tetszőleges módszerrel! 0 kn 5 kn 5 kn,0 4,0 6 5,0,0,0 m,0 50 kn 40 kn kn m 0 kn 40 kn 50 kn =8 m egjegzés: Javasoljuk a feladat megoldását a félév végén, amikor a háromcsuklós kerettartó reakcióerőinek meghatározásával megismerkedtek =8 m =4 m 7

28 STN echanika I. Statika 6. Síkbeli Tartók belső erői 6. belső erők fogalma: z eddig megismert külső erők (a terhelés és a reakció erők) a tartómodellen egensúlban lévő erőrendszert alkotnak. külső erőrendszer hatására ébrednek a tartóban a belső erők, amelek szintén egensúlban lévő erőrendszert alkotnak. rúd eg tetszőleges keresztmetszetében a belső erők (az igénbevételek) meghatározásához ismerjük meg a következő fogalmakat: tartó síkja: síkbeli tartók esetén a tartó síkja a tartót terhelő erők síkjával azonos. keresztmetszet síkja: a tartót, eg a rúd tengelére merőleges síkkal elmetszve kapjuk a keresztmetszet síkját. tartó síkja és a keresztmetszet síkja egmásra merőleges. KERESZTETSZET SÍKJ TRTÓ SÍKJ z z belső erőket a tartó tetszőlegesen kiválasztott keresztmetszetén értelmezhetjük. keresztmetszetre ható dinámok (erők és nomatékok) a keresztmetszet igénbevételei. tetszőleges keresztmetszeten értelmezhető belső erők: NORÁL ERŐ: a keresztmetszet síkjára merőleges, rúdtengel iránú erő, N NÍRÓ ERŐ: a keresztmetszet síkjába eső, z és iránú erők, T HJLÍTÓ NOTÉK: a keresztmetszet síkjára merőleges síkban működő és Z nomatékok SVRÓ NOTÉK: a keresztmetszet síkjában működő nomaték 8

29 STN echanika I. Statika z R z R R R R: NORÁLERŐ (a keresztmetszet síkjára merőleges) R: NÍRÓERŐ (a km. síkjában) Rz: NÍRÓERŐ (a km. síkjában) z z z z z z " " körül forgató z síkú nomaték SVRÓNOTÉK (a km. síkjában) " " körül forgató z síkú nomaték HJLÍTÓNOTÉK (merőleges a km. síkjára) " z" körül forgató síkú nomaték HJLÍTÓNOTÉK (merőleges a km. síkjára) tetszőleges dinámok esetén, az erővektor felbontható,, z iránú vetületeire (a z és tengelek a keresztmetszet síkjában lévő, egmásra merőleges súlponti tengelek, az tengel a rúd hossztengele) nomatékvektor (merőleges a síkra, amelben működik) is felbontható,,, z iránú vetületeire, ahol:, az tengel körül forgató, z síkban működő nomaték = csavaró nomaték, az tengel körül forgató, z síkban működő nomaték = hajlító nomaték Z, az z tengel körül forgató, síkban működő nomaték = hajlító nomaték 9

30 STN echanika I. Statika belső erők meghatározása: Eg a síkjában terhelt, statikailag határozott, egensúlban lévő gerendatartó tetszőleges k keresztmetszetében ébredő belső erők meghatározásához, gondolatban vágjuk ketté a tartót, eg, a tartó hossztengelére merőleges síkkal, a vizsgált keresztmetszetben. Szedjük szét a kettévágott tartót, baloldali és jobboldali tartórészre. két tartórésznek különkülön is egensúlban kell lennie. két külön tartórészen az egensúlt a keresztmetszetben ébredő belső erők fogják biztosítani. Ezek a belső erők az átvágás mindkét oldalán azonos nagságúak, de ellentétes iránúak. T j b j N b N j L OLDL T b ÁTVÁGÁS három bekeretezett erőrendszer különkülön is egensúlban van! JO OLDL belső erők előjele: Normálerő (N) () pozitív, tehát húzóerő, ha a vizsgált keresztmetszetben a tartó hossztengelével párhuzamos erő, a keresztmetszettől elfele mutat, azaz húzza. () negatív, tehát nomóerő, ha a vizsgált keresztmetszetben a tartó hossztengelével párhuzamos erő a keresztmetszet felé mutat, azaz nomja. Níró erő (T) () pozitív, ha a keresztmetszet síkjába eső erő a vizsgált tartórész belső, anagi pontja körül az óramutató járásával megegező iránban forgat. () negatív, ha a keresztmetszet síkjába eső erő a vizsgált tartórész belső, anagi pontja körül az óramutató járásával ellenkező iránban forgat. Hajlító nomaték ) () pozitív, ha a forgatás irána az óramutató járásával megegező. () negatív, ha a forgatás irána az óramutató járásával ellentétes. 0

31 STN echanika I. Statika 6. első erő ábrák síkbeli, statikailag határozott tartókon a megadott, statikus (állandó intenzitású), álló (helzetét a tartón nem változtató) terhelés, és a reakció erők hatására keletkező belső erők változását a rúd hossza mentén, matematikai úton, függvén formájában is megadhatjuk. Ezeket a függvéneket belső erő (N, T, ) függvéneknek hívjuk. függvének grafikus megjelenítése, a függvén képe, a belső erő (N, T, ) ábra. belső erő ábrákat úg hozzuk létre, hog a tartó tengelvonalára, minden keresztmetszetben felmérjük a keresztmetszetben ébredő belső erő nagságát, tetszőlegesen felvett erőlépték alkalmazásával, eg megállapodás szerinti előjelszabál figelembevételével. belső erő értékeket mindig a tartó tengelére merőlegesen mérjük fel. tartók esetében nem kell az összes keresztmetszetet vizsgálni, azokban a keresztmetszetekben számítjuk ki a belső erőket, ahol a teherfüggvénben, illetve a tartó geometriájában változás van. Ezeket a keresztmetszeteket jellemző keresztmetszeteknek hívjuk. belső erők számításánál, a koncentrált erők, illetve a koncentrált nomatékok működési hele előtti és utáni, végtelenül közel eső keresztmetszeteket kell vizsgálni. tartó vizsgált keresztmetszetében ébredő normálerő nagságát megkapjuk, ha a keresztmetszettől balra (vag jobbra) lévő tartórészen előjelhelesen összegezzük a normál iránú külső erőket tartó vizsgált keresztmetszetében ébredő níró erő nagságát megkapjuk, ha a keresztmetszettől balra (vag jobbra) lévő tartórészen előjelhelesen összegezzük a tangenciális iránú külső erőket tartó vizsgált keresztmetszetében ébredő hajlító nomaték nagságát megkapjuk, ha a keresztmetszettől balra (vag jobbra) lévő tartórészen előjelhelesen összegezzük a külső erőket forgató nomatékait. belső erő ábrákat a tartó hossztengelének megfelelő alapvonalon szerkesztjük. keresztmetszetek vizsgálatát általában balróljobbra haladva foltatjuk. T és N ábrák tartomána, egenes tengelű, vízszintes tartók esetén, a tengelvonal alatti.

32 STN echanika I. Statika nomatéki ábra tekintetében az elkövetkezendőkre vonatkozóan, szokjuk meg, hog a nomatéki ábrának nincs előjele. nomatéki függvén értékeit mindig a tartó húzott övére kell mérni. Ennek eldöntéséhez segítséget nújt, ha el tudjuk képzelni, hog a külső erőrendszer hatására milen lesz a tartó meggörbült tengelvonala. húzott öv ott értelmezhető, amelik oldalon domború a meggörbült tengelvonal. teherfüggvén, a níróerő függvén és a nomatéki függvén (ebben a sorrendben!), mindig eggel magasabb rendű. Pl: a teher függvén konstans, azaz 0 fokú, akkor a níróerő függvén elsőrendű, azaz lineáris, a nomatéki függvén pedig másodrendű lesz. függvéntani összefüggésekből adódik, hog az előző függvén zérus helén (előjel váltáskor), a követő függvénnek szélső értékhele lesz (maimum, vag minimum) belső erő ábrák készítése előtt a következőket kell elvégezni: ferde helzetű erők felbontása vízszintes és függőleges komponensekre egoszló terhek eredőinek (részeredőinek kiszámítása) Reakció erők meghatározása, egensúlozás Jellemző keresztmetszetek meghatározása Támaszok Koncentrált erők Koncentrált nomatékok egoszló terhek kezdete és vége Ezek után meghatározzuk a jellemző keresztmetszetek igénbevételeit, felmérjük az előjeles értékeket a tartó tengelre merőlegesen, majd a jellemző keresztmetszetekben kiszámított függvénértékeket, a terhelés változásának megfelelően, a tartó tengellel párhuzamos ill. ferde egenesekkel, vag görbékkel kötjük össze reakció erők meghatározásánál és a belső erő ábrák szerkesztésénél is alkalmazható a szuperpozició, az egmásra halmozás módszere. élszerű a módszert használni bonolult, összetett terhelések esetén, hiszen minden összetett terhelés létrehozható egszerű terhelések összegeként. reakcióerők számítása és a belsőerő ábrák meghatározása az egszerű terhelésekből, egszerűen elvégezhető. z egmásra halmozás matematikai módszerekkel és grafikusan is elvégezhető. következőkben bemutatjuk a különböző típusú és terhelésű, statikailag határozott síkbeli tartók igénbevételi ábráinak elkészítési módját.

33 STN echanika I. Statika 6. Kéttámaszú egenes tengelű gerendatartók Kéttámaszú tartó, egenletesen megoszló teherrel terhelve, parabola szerkesztés (Q = q l) q = q l = q l l = l i = 0 l T l l i i m m q l = = ma q l l q l l = = 4 q l 8 0 = q l l = = q q a szimmetria miatt a parabóla belógása " m" Rajzoljuk meg a tartószakasz felező merőlegesét, erre a vonalra, abban az iránban amerre hat a megoszló teher, mérjük fel kétszer az m értékét. kapott pontot kössük össze a támaszpontokkal, íg megkapjuk a parabola végérintőit. as pontban, ahol a níróerő ábrának zérus hele van, a nomatéki ábrának szélső értéke lesz, tehát

34 STN echanika I. Statika itt vízszintes az érintője. további parabolapontokat illetve érintőket az ábra szerint kaphatjuk meg. Parabola szerkesztés általános esetben: q a l b 0 T l l ma vízszintes érintő m m Szuperpozició (egmásra halmozás) bemutatása a reakcióerők és a belső erő ábrák meghatározásához. q q 0 = q l = q l = l = l T m m ma m= ql 8 ma 4

35 TT STN echanika I. Statika lapesetek bemutatása, egenes tengelű, kéttámaszú, kéttámaszú konzolosan túlnúló, valamint konzoltartók különböző terheléseire q a b l = a = b q q = q l 8 a b a a T T = /q = /q 0 0 a ma = q ma q q = q = a b = a l T = a T = /q 0 ma = q 5

36 STN echanika I. Statika 6 l a a a b ugrás T T T T T T a b l l q q q ma = l = l = q l ma 9 = Q = Q

37 STN echanika I. Statika 7 a a l b q q q q q TT ma ma TT T T a l l a a a a ugrás

38 STN echanika I. Statika Igénbevételi ábrák közötti összefüggések összefoglalása Tartótengelre merőleges koncentrált erő Ugrás a T ábrán, az ugrás mértéke megegezik az erő nagságával Töréspont az ábrán (a törés irána az erő iránával azonos) T N T N Általános helzetű koncentrált erő Ugrás az N ábrán, az ugrás mértéke megegezik az erő normál iránú vetületével Ugrás a T ábrán, az ugrás mértéke megegezik az erő tangenciális vetületével Töréspont az ábrán (a törés irána az erő tangenciális összetevőjének iránával azonos) Egenletesen megoszló teher T ábra lineáris ábra.fokú parabola, belógása a teher iránával megegező Egenletesen változó, líneáris megoszló teher T ábra. fokú parabola ábra.fokú görbe, belógása a teher iránával megegező Koncentrált nomaték z N és a T ábrán nincs változás z ábrán ugrás van, az ugrás mértéke megegezik a koncentrált nomaték nagságával T ábra zérushelénél az ábrán szélső érték, vízszintes érintő T ábra előjelváltásnál az ábrán szélső érték 8

39 STN echanika I. Statika Részletesen megoldott feladatok: kéttámaszú, eg oldalon konzolosan túlnúló gerendatartó, koncentrált erőkkel, különböző intenzitású megoszló terhekkel Q 4 = 40 kn ,5 40 = 0 kn =,5 kn ( ) ( ) =,5 kn q=0 kn/m T,5,6,5 4 5 =,5 =0,0,0 m, m 5 m 0 5 m 9

40 STN echanika I. Statika 5 4 = 0 0,5 = 5 knm = 0 0 m = =,5 0 = =,0 m 8 0,5 0 = 5 knm nomatéki nullpontok hele : 0 =,5 4,6,5 = ma 5 0 knm ( balról felírva) ( jobbról felírva) a tartó,0 = 0 0 ( jobbról felírva) ( ) 0,5 m =,0 m a tartó alsó övén felső övén a tartó alsó övén 40

41 STN echanika I. Statika Konzol tartó megoszló teherrel, koncentrált erővel, koncentrált nomatékkal Q = 8,4 kn 5 = 8 0 = 0,65 m 8,4, ,8 8,4 5 8,67 = 8,67 kn = 5,0 kn =,4 kn = 8,67 kn ( ) ( ) = 48,6 knm =48,6 =8,67 =,4 =0 knm q=8 kn/m,4,4 m ( =5) ( =8,67) 0 o =0 kn 8,67 8,67 N =0,65 0 T, ,6 m 8,96,04 m,56 = 48,6,4,4 8,4, = 8,96 knm ma = 0 =,04 knm 8 0,65 = parabóla belógás : 8,4 m = 8 ( balról felírva) 5 0,65 =,56 knm = 5,76 knm ( balról felírva) ( jobbról felírva), alul húzott! 4

42 STN echanika I. Statika 6.4 Törtvonalú, ferde helzetű és ágas tartók belső erő ábrái zon statikailag határozott tartókkal foglalkozunk, amelek tengelvonala eg egenessel nem adható meg. keresztmetszetek mindig merőlegesek a tartó tengelvonalára! Jellemző ezekre a tartókra, hog eg adott erő a tartó egik részén lehet normál erő, míg a másik részen ugan ezen erő níróerőként jelenik meg. Továbbá jellemző még ezekre a tartókra, hog a külső erők felbontása, a reakció erők meghatározásához vízszintes és függőleges komponensekre történik, majd a belső erő ábrák megszerkesztéséhez uganezen erőket, a tartótengellel párhuzamos (normál) iránú, és a tartó tengelre merőleges (tangenciális) iránú komponensekre is fel kell bontanunk. belső erők előjeleinek ábrázolása: ajánlott, hog azonos előjeleket mindig azonos iránban mérjük fel, vagis a vízszintes tartószakaszoknál a értékeket alulra, a függőleges, vag ahhoz közeli helzetű rudaknál a tengelvonal jobb oldalára mérjük. úszó szabál a tartó valamelik oldalán végighaladva mindig azonos előjelű értékeket mérünk fel, ez az ábrázolási mód az ágas tartóknál nem teljesíthető. nomatéki ábrának nincs előjele, a függvén értékek mindig a tartó húzott oldalán (domború oldalán) kerülnek felmérésre. Sarokmerev csomópontok törtvonalú és ágas tartóknál a tartó csomópontjaiban esetleg kettőnél több rúd is csatlakozhat egmáshoz. kapcsolat akkor sarokmerev, ha minden becsatlakozó rúd képes nomatékot felvenni. csomópontban a rudak hossztengelei eg pontban metszik egmást. csomópontban a rudakra számított nomatékok algebrai összege zérus kell, hog legen (csomóponti egensúl). Két rúd kapcsolatánál kialakuló egszerű csomópont esetén, a két nomaték algebrai összege zérus, ebből következik az úgnevezett átkörzőzési szabál, ami azt jelenti, hog a külső erővel nem terhelt csomópontban, amenniben az egik rúd a külső övén húzott, akkor a másik rúd is a külső övén lesz húzott, vagis arra az övre kell a nomatéki értéket felmérni. Külső erővel terhelt csomópont esetén az egensúli feltételek igazolásánál a külső erőt is figelembe kell venni. 4

43 STN echanika I. Statika erde helzetű tartók belső erő ábrái különböző típusú megoszló teherrel q kn/vízsz.m g kn/ferde m p kn/ferde m h =,0 m 0 l =,0 m,8 v l =,6 m f 0 l =,6 m f l =,0 m v,8 0 7,5 l =,6 m f l=,0 m v,5 = 0 =,8 =,5 T =,8 N=4,47 N= 5 N = 5,59 T=8,94 T= 0 N =4,47 N= 5 N = 8,94 T=8,94 T=0 N =,5 T = 6,7 = 0 =,8 = 7,5 4,47 4, ,94 0 N N N T = 4,47 5,59,8 8,94 0,8 T T T 5 5,59 6,5 Q,0,0 kn = kn ma ma q lv 0 = = 8 8 = 5 knm Q = kn = kn ( ) ma ma 0,6 =,6 kn q lv l f 0,6 = = 8 8 = 5,59 knm Q,6 =,6 kn = 7,5 kn =,5 kn ma ma ( ) ( ) q l f 0,6 = = 8 8 = 6,5 knm 4

44 STN echanika I. Statika Törtvonalú tartó, terheletlen sarokmerev csomóponttal a. keresztmetszet (alulról haladva). keresztmetszet (balról haladva) = a N= b b b T= N= = a T= "" csomópont T= N T= N= = b b jobbról N= = a alulról T Javasolt adatok a feladat megoldásához: a=5 m b = m b = m α=60 =0 kn 44

45 STN echanika I. Statika Törtvonalú tartó, koncentrált erővel terhelt sarokmerev csomóponttal G G Q q G G T=Q G G =Q b b a T= = a N= b Σ Σ Σ =0 =0 =0 =G G=NT = N G= T Javasolt adatok a feladat megoldásához: a=5 m b=4 m G= kn α=0 q= kn/m 45

46 STN echanika I. Statika Törtvonalú tartó, koncentrált nomatékkal terhelt sarokmerev csomóponttal T= = b a T= = a N= b Σ Σ Σ =0 =0 =0 T= T=N = = = a b= N T Javasolt adatok a feladat megoldásához: a=5 m b=4 m =0 kn =60 knm 46

47 STN echanika I. Statika Ágas tartók elágazási csomópontjai (, vag több rúd esetén) G =H =G ch b a =G c G H b a Σ=0 = c N= T= N=G = a T= T=H =H b N T N T T N T H Javasolt adatok a feladat megoldásához: a= m b=,5 m c=5 m = kn =0 kn G= kn H=6 kn 47

48 STN echanika I. Statika erde helzetű, koncentrált erőkkel terhelt törtvonalú tartók belső erőinek meghatározása erde rúdhosszak meghatározása Erők, támaszerők felbontása normál és níróerő iránú vetületeire T N a l G b c = a N= T= =T T =N N = b G N N =G Σ Σ Σ =0 =0 =0 N=G T= = T T = == b Javasolt adatok a feladat megoldásához: a= m b=,5 m l=4,5 m c= m =6 kn G=8 kn 48

49 STN echanika I. Statika erde helzetű, függőleges megoszló teherrel terhelt, törtvonalú tartó belső erőinek meghatározása (részletesen kidolgozott feladat) q = 4 kn/ferde m q= 4 kn/m q, =5 kn/m q = 4 kn/m (h=,5 m) =6,67,5 = (Q kn) (Q = 4 kn) =7, 4,4,0 m,0,6,67,4 6,67 N T N=4,4 =7, T=5,86 N=,6 =,67 4 5, 0, 4 5, 0, T=,4 =0,5 m 0 = 667, kn ( ) = 5 0, 4 0, 667, = 7, kn ( 5,86 (,5) 5,55 4,67 67, 0 = 5, m 5 =667, 0, 4 05, =467, knm ( jobbról) ma ma =667, 5, 4 5, 076, =555, knm ( jobbról) 4 m = 5, = 5, knm 8 49

50 STN echanika I. Statika Kéttámaszú kerettartó komple vizsgálata (részletesen kidolgozott feladat) = =,8 cos 45 o = kn 6,0,6 = kn ( ),0,0 6,0,0 5,0 = 4,4 kn ( ) =,6 kn ( ) q=,0 kn/m =,8 kn o 45,0,0 4,4,0,0 =4,4,0 4,0 m,0,0,4,4,4 =,4 m 0,0 =,6,0 4,05,6,0,0,0 =,0 0,76 N T,0 T N T N T N,6,0 erő N T,0 =,0,6,0 felbontása T =,6 = =,9 kn,6 =,6 kn,6 erő felbontása =,6 =,4 kn,6 =,6 =,4 kn,6 =,9,4,76 kn N N = 0,6,4 = 4,05 kn T 50

51 STN echanika I. Statika 5 ( ) ( ) ( ) knm jobbról knm jobbról knm felírva balról knm m 4,4,4,0,6,0,0,0,0,,,4,0,4,4 4,4,4,4 min 0 = = = = = = = = =,0,0 (,0) 6,0 6,0,,0 4,4,4

52 STN echanika I. Statika 6.4 Gerber tartók belső erő ábrái Gerber tartók a statikailag határozott csuklós tartók körébe tartoznak. Ezekre a tartókra jellemző, hog a külső erőrendszerben szereplő ismeretlenek száma meghaladja rendelkezésre álló egmástól független statikai egensúli egenletek számát. zonban tudjuk, hog a belső csuklók nomaték felvételére nem képesek, íg minden beépített belső csukló további nomatéki egenlet felírását teszi lehetővé, vagis csökkenti a külső erőrendszer ismeretlenjeinek számát. Tehát a foltatólagos többtámaszú, statikailag határozatlan tartókból, határozott tartót tudunk létrehozni, megfelelő számú belső csuklók beiktatásával. szükséges csuklók száma, a külső erőrendszerben keletkező ismeretlenek számának és a rendelkezésre álló egmástól független statikai egensúli egenletek számának különbsége. csuklós tartók típusai: csuklós gerendatartók ( Gerber tartók) háromcsuklós tartók összetett csuklós szerkezetek csuklós többtámaszú gerendatartó ( Gerber tartó) gakran alkalmazott szerkezeti megoldás, hiszen a beiktatott belső csuklók miatt kisebb az elemek hossza, amel körülmén a gártást, a szállítást és a szerelést egszerűsíti, továbbá a csuklók célszerű elhelezésével a szerkezet gazdaságossá tehető. belső csuklók elhelezésének szabálai: Lehetőleg csuklós és csuklómentes szakaszok váltsák egmást z elhelezendő csuklók száma az ismeretlen külső erők számának és a rendelkezésre álló, egmástól független statikai egensúli egenletek számának különbsége suklókkal megtámasztott szélső szakaszon belül csak eg belső csukló lehet szakaszon belül, ma. db belső csukló lehet Gerber tartó belső csuklókkal összekapcsolt konzolos és kéttámaszú tartókból áll. tartót a körnezethez rögzítő támaszokban ébredő erőket külső reakcióknak, az összekapcsoló belső csuklókban ébredő erőket belső reakcióknak nevezzük. külső és belső reakciók meghatározása egensúlozási feladat, amelet már a korábbiakban ismertettünk. 5

53 STN echanika I. Statika belső csuklók hele befolásolja a nomatéki ábra jellegét és értékeit. csuklók helének változtatásával a nomatékok szélső értékeit tág határok között változtathatjuk. 4 ma > = 4 < 5

54 STN echanika I. Statika reakcióerők számításához a tartót szét kell bontani a belső csuklók által határolt szakaszokra, (merev testekre). zokat a tartórészeket, amelek önmagukban nem állékonak, beakasztott (befüggesztett) tartóknak nevezzük. zokat a tartóelemeket, amelek önmagukban is megállnak, megtámasztó tartóknak nevezzük. beakasztott tartók a rájuk ható külső erőket a belső csuklón keresztül a megtámasztó tartóknak adják át. szétbontást javasoljuk grafikusan is ábrázolni, íg könnebben követhető az erők elrendezése és irána. Először mindig a beakasztott tartó reakció erőit határozzuk meg, miután a beakasztott tartó a megtámasztó tartót terheli, a megtámasztó tartó konzolvégén a beakasztott tartó reakcióerejének ellentettje működik. megtámasztó tartón a reakcióerőket a tartó saját terhelése, valamint a beakasztott tartóról átadódó erő figelembevételével határozzuk meg. belső erő ábrákat megrajzoljuk a szétbontott tartórészekre, majd eg tengelre fűzzük fel, hiszen a belső csuklók két oldalán a belső erők azonosak, ezért az ábrákban a belső csukló erők ugrást, vag törést nem okoznak. Kivétel, az az eset, amikor a belső csukló külső erővel is terhelt. Ebben az esetben a csukló keresztmetszetében terhelő külső erőt, a megtámasztó tartó számításánál kell figelembe venni, hiszen a beakasztott tartót is a megtámasztó tartó támasztja meg. 54

55 STN echanika I. Statika sak függőleges teherrel terhelt Gerber tartó, két belső csuklóval q kn/m = 40 kn D E,,6 m,,4,4 q kn/m D = 8 I. E = 8 D = 8 E = 8 = 40 kn II.a = = 56 II.b =4 0,6 D = E = = 8 kn látámasztó konzol tartó : nomatéki értékek : ma I 0,6 = 8 8 ( ), 8, 0 látámasztó kéttámaszú tartó : ( ) (, 4,8) 0, ( 0,6 4,8) 40,4 4,8 = 56 kn ( ) 0, = 4 kn ( ) = 6, knm 8 0, ma II b = 0 kn = 8,8 knm = 4,4 =,6 knm = = 8,8 knm 55

56 STN echanika I. Statika T ,8 8,8 6,,6 Koncentrált erővel és koncentrált nomatékkal terhelt csuklós többtámaszú tartó, két belső csuklóval. = 4,5 knm kn = 4 kn E 60 o 60 o D 4,5 m,5,0,0,5,0,5 = 4,5 knm = 4 kn I. 60 o E I. D kn E 60 o II. ferde erők komponenseinek számítása: o cos 60 = 5,0 kn sin 60 = 4 cos 60 o =,0 kn o ( ) = 8,66 kn( ) o ( ) = 4 sin 60 =,46 kn( ) 56

57 STN echanika I. Statika beakasztott tartók reakció erői I. tartórész (,E) II. tartórész (,D) 4,5 = E = = kn 4,5 D,46 = =,54 kn 4,5 = kn ( ) ( ) =,46,54 =,9 kn ( ) egtámasztó tartó reakciói 7,5 8,66,9,5 8,66,6,9 5,0,0 6 = 7,0 kn ( ) = 6,98 =,6 kn ( ) ( ) N 7 T,9,6 5,06,54 4,5,88,5,84 Nomatékok meghatározása:, =,5 =,5 knm = 4,5,6 =, knm =,9,5 =,88 knm =,9,0 =,84 knm beakasztott ( megtámasztó tartó mezőezőközn) ( tartó D) 57

58 STN echanika I. Statika Javasolt feladatok a gakorláshoz Készítsék el a tartók belső erő ábráit! q = kn/m = 6 kn kn D 8 m,5,, 8,8 kn 45 o 4 m m 58

59 STN echanika I. Statika 5.6 Három csuklós keret tartók zokat a tartókat, ahol a két törtvonalú, vag íves tartóelemet egmáshoz is és a körnezethez is csuklókkal kapcsolunk, három csuklós tartóknak nevezzük. tartó csak akkor statikailag határozott, ha a három csukló nem esik eg egenesbe. hog a többtámaszú csuklós tartóknál, ebben az esetben is, a tartó szétbontható merev testekre. merev testeknek önmagukban is egensúlban kell lenniük, vagis teljesülniük kell az egensúli feltételeknek. (nomatéki, vetületi egensúli egenletek). Uganakkor az egensúli feltételek az egész tartóra is érvénesek. szétbontott tartó: Terhel ô erôk:,, Küls ôtámaszer ôk:, (,,, ) els ôtámaszer ô: (, ) 59

60 STN echanika I. Statika támaszerők meghatározása számítással a statikai egensúli egenletek segítségével történik. z egenletek felírási sorrendjének heles megválasztásával az egenletek eg ismeretlent tartalmaznak, íg können megoldhatók. Kivétel, amikor a két támaszcsukló nem azonos magasságban helezkedik el, ebben az esetben két ismeretlenes líneáris egenletrendszer megoldásával kapjuk meg a támaszreakciókat. menniben a belső csukló, külső koncentrált erővel terhelt, a vetületi egensúlt a belső csuklóra is igazolni kell. háromcsuklós kerettartók alakja, és a belső csukló elhelezése igen változatos lehet. izonos egszerű terhelések esetén az egensúlozó erőkre vonatkozóan összefüggéseket vonhatunk le. következő ábráknál a terhelés ábrázolásával egidejűleg, az alakheles nomatéki ábrát is rászerkesztettük a tartók tengelvonalára

61 STN echanika I. Statika z ábrák alapján a következő összefüggéseket vonhatjuk le: szimmetria feltételeinek teljesülése esetén (a teher is és a tartó geometriája is szimmetrikus) a belső csukló erő vízszintes lesz (, 6 eset) menniben a csukló külső erővel nem terhelt, a nomatéki ábra a csuklóponton keresztül, törés nélkül halad át (, 4, 5 eset) menniben a tartón a terhelés csak függőleges erőkből áll, a két talpcsuklóban ébredő reakció vízszintes komponensei azonos nagságúak de ellentétes iránúak lesznek (,, eset) z ingaoszlop (keretláb, amel két végén csuklós és terheletlen) görgős támasznak felel meg (7, 8, 9, 0, eset) menniben az eg terhelő erő a támasz fölé esik, hatásvonala átmeg a támaszponton, a kerettartó egik felén van csak belső erő. ( eset) menniben a kerettartó egik fele terheletlen, a terheletlen részen lévő talpcsuklóban ébredő reakció erő hatásvonalát megadja a talpcsuklót és a belső csuklópontot összekötő egenes (,,, 4, 5, 7, 8, 9, 0, eset) menniben a teher db koncentrált erő, akkor három erő egensúlának feltétele alapján a terhelő erő és a két reakció erő hatásvonalának eg közös pontban kell metszenie egmást (statika II. alaptétele) 6

62 STN echanika I. Statika Vízszintes megoszló teherrel terhelt tartó, talpcsuklók azonos magasságban Támaszerők meghatározásának sorrendje: Nomatéki egensúli egenlet az egész keretre üggőleges erők vetületi egensúli egenlete az egész keretre Nomatéki egenlet a baloldali merev testre, a belső csuklóra felírva Vízszintes erők vetületi egenlete az egész keretre = kn Nomatéki értékek : bal = = , = = 54 knm = = 54 knm = kn 6 ( ) = 5 kn balról belül húzott jobbról kívül húzott q = 4 kn/m q = kn/m 6 m ( ) = kn ( ) ( ) 4 4,5 m 4,5 m kn kn kn =5,5 m 5 kn T 55, N 6

63 STN echanika I. Statika üggőleges megoszló teherrel terhelt tartó, a talpcsuklók azonos magasságban (a tartó geometriája is, és a teher is szimmetrikus!) = = bal = 4 = = 5,5 m = ( ) 0 9 = = 90 kn 90 4,5 0 4,5,5 q kn/m =,75 kn 4 ( ) =,75 6,5 knm ma 5,5 = 5,5 4 6,0 ( kívül húzott) = 55,5 knm =,75 kn ( ) 4 6,0 4,5 4,5 m q kn/m 90 90,75 90 kn 90 kn,75,75 T,75,75 0,5 0,5 90 N 90 6

64 STN echanika I. Statika Általános teherrel terhelt tartó, a talpcsuklók nem azonos magasságban (a keret egik fele terheletlen!) Q=6kN/m 4 5 =kn,0 m,0 m 4,0 m,0 m 6,0 m α Vektorháromszög = kn α,8 = 9,6 kn,6 = 7, kn

65 STN echanika I. Statika terheletlen tartórészen a támaszerő hatásvonala a két csuklót összekötő egenes. ( ) ( ) 6 4 7,,5 9, ,,5 9,6 0, ,707 = =,64 kn ( ) ( ),64 9,6 = 4,04 kn =, ,,64 o ( az erő hatásvonala 45 ) ( ) = 7,56 kn ( ) = 9,9 kn belső erő ábrák megszerkesztéséhez szükség van a és támaszerő komponensek felbontására, normál és tangenciális összetevőkre. N erő erő felbontása felbontása N N =,4 4,05 = 6,47 kn,6 4,04 =,4 kn,8 7,56 = 4,05 kn T ( ) T,8 4,04 =, kn( ) ( ) T,6 7,56,54 kn( ) =, 0,54 = 7, kn,64,64,64 N =,7,64 T 0,6 4,69 6,47 7, 6,67 6,56 5,5 8,6 65

66 STN echanika I. Statika Nomatéki értékek: = = 6,4 = 7,8 knm 5 = = 4 6 =, = 6,56 knm = 7,56,4 4,04 = 8,6,64,7 = =,4 m ma =,64,7 6 6 Javasolt feladatok a gakorláshoz: Készítsék el a tartók kótázott belső erő ábráit kn = 40 kn q kn/m ( balról) ( szétbontott tartón balról) knm ( jobbról) = 5,5 knm ( szétbontott tartón balról) = 0 kn,0,5 m,0,0,0,0 m,0 =0 kn =0 kn 50 kn 6 m 6 m q = kn/m,0 4,0 m 4,0 m,0 66