Analízis elo adások. Vajda István szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
|
|
- Mariska Kocsis
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1/8
2 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak. Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlo k, ha ugyanazok az elemeik. Jelölés: H1 = H2 Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkor a H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük. Jelölés: H1 H2 2/8
3 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak. Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlo k, ha ugyanazok az elemeik. Jelölés: H1 = H2 Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkor a H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük. Jelölés: H1 H2 2/8
4 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak. Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlo k, ha ugyanazok az elemeik. Jelölés: H1 = H2 Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkor a H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük. Jelölés: H1 H2 2/8
5 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak. Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlo k, ha ugyanazok az elemeik. Jelölés: H1 = H2 Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkor a H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük. Jelölés: H1 H2 2/8
6 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak. Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlo k, ha ugyanazok az elemeik. Jelölés: H1 = H2 Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkor a H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük. Jelölés: H1 H2 2/8
7 Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 H2 és H1, H2 Jelölés: H1 H2 Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznak nevezzük. Jelölés: vagy { } Megjegyzések: Csak egy üres halmaz van. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van. Ellenkezo esetben végtelen halmazról beszélünk. 3/8
8 Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 H2 és H1, H2 Jelölés: H1 H2 Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznak nevezzük. Jelölés: vagy { } Megjegyzések: Csak egy üres halmaz van. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van. Ellenkezo esetben végtelen halmazról beszélünk. 3/8
9 Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 H2 és H1, H2 Jelölés: H1 H2 Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznak nevezzük. Jelölés: vagy { } Megjegyzések: Csak egy üres halmaz van. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van. Ellenkezo esetben végtelen halmazról beszélünk. 3/8
10 Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 H2 és H1, H2 Jelölés: H1 H2 Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznak nevezzük. Jelölés: vagy { } Megjegyzések: Csak egy üres halmaz van. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van. Ellenkezo esetben végtelen halmazról beszélünk. 3/8
11 Egy halmazt megadhatunk elemeinek felsorolásával pl. {Budapest, Róma, Párizs} az elemeit jellemzo tulajdonságok leírásával pl. {n n N, n > 3} Néhány gyakran elo forduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumot vezettek be. Pl.: N, Z, Q, R A halmazokat gyakran zárt síkgörbe által határolt síkidomokkal szemléltetjük (Venn-diagram): 4/8
12 Egy halmazt megadhatunk elemeinek felsorolásával pl. {Budapest, Róma, Párizs} az elemeit jellemzo tulajdonságok leírásával pl. {n n N, n > 3} Néhány gyakran elo forduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumot vezettek be. Pl.: N, Z, Q, R A halmazokat gyakran zárt síkgörbe által határolt síkidomokkal szemléltetjük (Venn-diagram): 4/8
13 Egy halmazt megadhatunk elemeinek felsorolásával pl. {Budapest, Róma, Párizs} az elemeit jellemzo tulajdonságok leírásával pl. {n n N, n > 3} Néhány gyakran elo forduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumot vezettek be. Pl.: N, Z, Q, R A halmazokat gyakran zárt síkgörbe által határolt síkidomokkal szemléltetjük (Venn-diagram): 4/8
14 Egy halmazt megadhatunk elemeinek felsorolásával pl. {Budapest, Róma, Párizs} az elemeit jellemzo tulajdonságok leírásával pl. {n n N, n > 3} Néhány gyakran elo forduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumot vezettek be. Pl.: N, Z, Q, R A halmazokat gyakran zárt síkgörbe által határolt síkidomokkal szemléltetjük (Venn-diagram): 4/8
15 Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok egyesítésén (unióján) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek az A és B halmazok legalább egyikének elemei. Jelölés: A B 5/8
16 Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok egyesítésén (unióján) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek az A és B halmazok legalább egyikének elemei. Jelölés: A B A B 5/8
17 Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok egyesítésén (unióján) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek az A és B halmazok legalább egyikének elemei. Jelölés: A B A B 5/8
18 Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok közös részén (metszetén) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek A -nak is és B-nek is elemei. Jelölés: A B 6/8
19 Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok közös részén (metszetén) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek A -nak is és B-nek is elemei. Jelölés: A B A B 6/8
20 Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok közös részén (metszetén) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek A -nak is és B-nek is elemei. Jelölés: A B A B 6/8
21 Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok különbségén (differenciáján) azt a halmazt értjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A -nak elemei, de B-nek nem elemei. Jelölés: A \ B 7/8
22 Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok különbségén (differenciáján) azt a halmazt értjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A -nak elemei, de B-nek nem elemei. Jelölés: A \ B A B 7/8
23 Halmazmu veletek Definíció: Az A és B halmazok különbségén (differenciáján) azt a halmazt értjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A -nak elemei, de B-nek nem elemei. Jelölés: A \ B A \B 7/8
24 Halmazmu veletek Definíció: Az A és B Descartes szorzatán az A B = (a, b ) a A, b B halmazt értjük, azaz a Descartes szorzat azokat és csak azokat a rendezett párokat tartalmazza, amelyek elso eleme eleme A -nak, második eleme pedig eleme B-nek. Példa: Ha A = {a, b } és B = {1, 2, 3}, akkor A B = (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) 8/8
25 Halmazmu veletek Definíció: Az A és B Descartes szorzatán az A B = (a, b ) a A, b B halmazt értjük, azaz a Descartes szorzat azokat és csak azokat a rendezett párokat tartalmazza, amelyek elso eleme eleme A -nak, második eleme pedig eleme B-nek. Példa: Ha A = {a, b } és B = {1, 2, 3}, akkor A B = (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) 8/8
26 A valós számok halmazán értelmezett két mu velet, az összeadás és a szorzás, a következo tulajdonságokkal: Az összeadás Kommutatív a, b R : a + b = b + a Asszociatív a, b, c R : (a + b ) + c = a + (b + c ) A szorzás Kommutatív a, b R : ab = ba Asszociatív a, b, c R : (ab ) c = a (bc ) 9/8
27 A valós számok halmazán értelmezett két mu velet, az összeadás és a szorzás, a következo tulajdonságokkal: Az összeadás Kommutatív a, b R : a + b = b + a Asszociatív a, b, c R : (a + b ) + c = a + (b + c ) A szorzás Kommutatív a, b R : ab = ba Asszociatív a, b, c R : (ab ) c = a (bc ) 9/8
28 A valós számok halmazán értelmezett két mu velet, az összeadás és a szorzás, a következo tulajdonságokkal: Az összeadás Kommutatív a, b R : a + b = b + a Asszociatív a, b, c R : (a + b ) + c = a + (b + c ) A szorzás Kommutatív a, b R : ab = ba Asszociatív a, b, c R : (ab ) c = a (bc ) 9/8
29 A valós számok halmazán értelmezett két mu velet, az összeadás és a szorzás, a következo tulajdonságokkal: Az összeadás Kommutatív a, b R : a + b = b + a Asszociatív a, b, c R : (a + b ) + c = a + (b + c ) A szorzás Kommutatív a, b R : ab = ba Asszociatív a, b, c R : (ab ) c = a (bc ) 9/8
30 A valós számok halmazán értelmezett két mu velet, az összeadás és a szorzás, a következo tulajdonságokkal: Az összeadás Kommutatív a, b R : a + b = b + a Asszociatív a, b, c R : (a + b ) + c = a + (b + c ) A szorzás Kommutatív a, b R : ab = ba Asszociatív a, b, c R : (ab ) c = a (bc ) 9/8
31 A valós számok halmazának van zéruseleme, azaz olyan 0 R szám, hogy a R : a + 0 = a egységeleme, azaz olyan 1 R szám, hogy a R : a 1 = a A valós számok halmazában a R esetén a R szám, hogy a + a = 0, azaz minden valós számnak létezik ellentettje. Jelölés: a a R \ {0} esetén a R szám, hogy a a = 1, azaz minden nullától különbözo valós számnak létezik reciproka. 1 Jelölés: a 10 / 8
32 A valós számok halmazának van zéruseleme, azaz olyan 0 R szám, hogy a R : a + 0 = a egységeleme, azaz olyan 1 R szám, hogy a R : a 1 = a A valós számok halmazában a R esetén a R szám, hogy a + a = 0, azaz minden valós számnak létezik ellentettje. Jelölés: a a R \ {0} esetén a R szám, hogy a a = 1, azaz minden nullától különbözo valós számnak létezik reciproka. 1 Jelölés: a 10 / 8
33 A valós számok halmazának van zéruseleme, azaz olyan 0 R szám, hogy a R : a + 0 = a egységeleme, azaz olyan 1 R szám, hogy a R : a 1 = a A valós számok halmazában a R esetén a R szám, hogy a + a = 0, azaz minden valós számnak létezik ellentettje. Jelölés: a a R \ {0} esetén a R szám, hogy a a = 1, azaz minden nullától különbözo valós számnak létezik reciproka. 1 Jelölés: a 10 / 8
34 A valós számok halmazának van zéruseleme, azaz olyan 0 R szám, hogy a R : a + 0 = a egységeleme, azaz olyan 1 R szám, hogy a R : a 1 = a A valós számok halmazában a R esetén a R szám, hogy a + a = 0, azaz minden valós számnak létezik ellentettje. Jelölés: a a R \ {0} esetén a R szám, hogy a a = 1, azaz minden nullától különbözo valós számnak létezik reciproka. 1 Jelölés: a 10 / 8
35 A valós számok halmazában értelmezheto a < szigorú rendezési reláció, amelyre teljesülnek a következo tulajdonságok: a, b R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egy teljesül. (Trichotomia) a, b, c R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz. (Tranzitív tulajdonság) a, b, c R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül. a, b, c R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül. 11 / 8
36 A valós számok halmazában értelmezheto a < szigorú rendezési reláció, amelyre teljesülnek a következo tulajdonságok: a, b R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egy teljesül. (Trichotomia) a, b, c R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz. (Tranzitív tulajdonság) a, b, c R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül. a, b, c R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül. 11 / 8
37 A valós számok halmazában értelmezheto a < szigorú rendezési reláció, amelyre teljesülnek a következo tulajdonságok: a, b R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egy teljesül. (Trichotomia) a, b, c R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz. (Tranzitív tulajdonság) a, b, c R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül. a, b, c R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül. 11 / 8
38 A valós számok halmazában értelmezheto a < szigorú rendezési reláció, amelyre teljesülnek a következo tulajdonságok: a, b R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egy teljesül. (Trichotomia) a, b, c R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz. (Tranzitív tulajdonság) a, b, c R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül. a, b, c R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül. 11 / 8
39 A valós számok halmazában értelmezheto a < szigorú rendezési reláció, amelyre teljesülnek a következo tulajdonságok: a, b R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egy teljesül. (Trichotomia) a, b, c R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz. (Tranzitív tulajdonság) a, b, c R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül. a, b, c R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül. 11 / 8
40 Archimedesi axióma: a R esetén n N, amelyre a < n Következmények: 1 < ε. n Tetszo leges K és ε pozitív valós számokhoz létezik olyan n N, amelyre nε > K. ε > 0 valós számhoz n N, amelyre 12 / 8
41 Archimedesi axióma: a R esetén n N, amelyre a < n Következmények: 1 < ε. n Tetszo leges K és ε pozitív valós számokhoz létezik olyan n N, amelyre nε > K. ε > 0 valós számhoz n N, amelyre 12 / 8
42 Archimedesi axióma: a R esetén n N, amelyre a < n Következmények: 1 < ε. n Tetszo leges K és ε pozitív valós számokhoz létezik olyan n N, amelyre nε > K. ε > 0 valós számhoz n N, amelyre 12 / 8
43 Definíció: Egy A R számhalmazt felülro l korlátosnak nevezünk, ha K R, hogy a A esetén a K. Megjegyzések: A K számot az A halmaz felso korlátjának nevezzük. Ha K felso korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám is felso korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik felso korlátja, akkor végtelen sok felso korlátja is létezik.) Definíció: Ha az L szám felso korlátja az A R halmaznak és L 0 < L esetén a A, amelyre L 0 < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felso korlátjának (felso határának, szupremumának) nevezzük. Jelölés: sup A 13 / 8
44 Definíció: Egy A R számhalmazt felülro l korlátosnak nevezünk, ha K R, hogy a A esetén a K. Megjegyzések: A K számot az A halmaz felso korlátjának nevezzük. Ha K felso korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám is felso korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik felso korlátja, akkor végtelen sok felso korlátja is létezik.) Definíció: Ha az L szám felso korlátja az A R halmaznak és L 0 < L esetén a A, amelyre L 0 < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felso korlátjának (felso határának, szupremumának) nevezzük. Jelölés: sup A 13 / 8
45 Definíció: Egy A R számhalmazt felülro l korlátosnak nevezünk, ha K R, hogy a A esetén a K. Megjegyzések: A K számot az A halmaz felso korlátjának nevezzük. Ha K felso korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám is felso korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik felso korlátja, akkor végtelen sok felso korlátja is létezik.) Definíció: Ha az L szám felso korlátja az A R halmaznak és L 0 < L esetén a A, amelyre L 0 < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felso korlátjának (felso határának, szupremumának) nevezzük. Jelölés: sup A 13 / 8
46 Definíció: Egy A R számhalmazt felülro l korlátosnak nevezünk, ha K R, hogy a A esetén a K. Megjegyzések: A K számot az A halmaz felso korlátjának nevezzük. Ha K felso korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám is felso korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik felso korlátja, akkor végtelen sok felso korlátja is létezik.) Definíció: Ha az L szám felso korlátja az A R halmaznak és L 0 < L esetén a A, amelyre L 0 < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felso korlátjának (felso határának, szupremumának) nevezzük. Jelölés: sup A 13 / 8
47 Definíció: Egy A R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha k R, hogy a A esetén a k. Megjegyzések: A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük. Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám is felso korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja is létezik.) Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A R halmaznak és l 0 > l esetén a A, amelyre l 0 > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának (alsó határának, infimumának) nevezzük. Jelölés: inf A 14 / 8
48 Definíció: Egy A R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha k R, hogy a A esetén a k. Megjegyzések: A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük. Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám is felso korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja is létezik.) Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A R halmaznak és l 0 > l esetén a A, amelyre l 0 > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának (alsó határának, infimumának) nevezzük. Jelölés: inf A 14 / 8
49 Definíció: Egy A R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha k R, hogy a A esetén a k. Megjegyzések: A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük. Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám is felso korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja is létezik.) Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A R halmaznak és l 0 > l esetén a A, amelyre l 0 > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának (alsó határának, infimumának) nevezzük. Jelölés: inf A 14 / 8
50 Definíció: Egy A R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha k R, hogy a A esetén a k. Megjegyzések: A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük. Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám is felso korlátja A -nak. (Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja is létezik.) Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A R halmaznak és l 0 > l esetén a A, amelyre l 0 > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának (alsó határának, infimumának) nevezzük. Jelölés: inf A 14 / 8
51 Definíció: Az A R halmazt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülro l is korlátos. Teljességi axióma: Ha az A R halmaz felülro l korlátos, akkor létezik legkisebb felso korlátja, ha alulról korlátos, akkor létezik legnagyobb alsó korlátja. 15 / 8
52 Definíció: Az A R halmazt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülro l is korlátos. Teljességi axióma: Ha az A R halmaz felülro l korlátos, akkor létezik legkisebb felso korlátja, ha alulról korlátos, akkor létezik legnagyobb alsó korlátja. 15 / 8
53 Nevezetes egyenlo tlenségek Bernoulli-egyenlo tlenség Tétel: Ha a 1 valós szám és n N, akkor (1 + a )n 1 + na Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz: (1 + a )k +1 = (1 + a )k (1 + a ) (1 + ka ) (1 + a ) = = 1 + ka + a + ka (k + 1) a 16 / 8
54 Nevezetes egyenlo tlenségek Bernoulli-egyenlo tlenség Tétel: Ha a 1 valós szám és n N, akkor (1 + a )n 1 + na Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz: (1 + a )k +1 = (1 + a )k (1 + a ) (1 + ka ) (1 + a ) = = 1 + ka + a + ka (k + 1) a 16 / 8
55 Nevezetes egyenlo tlenségek Bernoulli-egyenlo tlenség Tétel: Ha a 1 valós szám és n N, akkor (1 + a )n 1 + na Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz: (1 + a )k +1 = (1 + a )k (1 + a ) (1 + ka ) (1 + a ) = = 1 + ka + a + ka (k + 1) a 16 / 8
56 Nevezetes egyenlo tlenségek Az általánosított Bernoulli-egyenlo tlenség Tétel: Ha ak 1 valós szám minden k {1, 2,..., n}, n N esetén, és a1, a2,..., an azonos elo jelu ek, akkor n Y (1 + ak ) 1 + k =1 n X ak k =1 Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz: n +1 Y k =1 n n X Y (1 + ak ) = (1 + ak ) (1 + an+1 ) 1 + ak (1 + an+1 ) = k =1 k =1 1+ n X k =1 n n +1 X X ak an ak ak + an+1 + k =1 k =1 17 / 8
57 Nevezetes egyenlo tlenségek Az általánosított Bernoulli-egyenlo tlenség Tétel: Ha ak 1 valós szám minden k {1, 2,..., n}, n N esetén, és a1, a2,..., an azonos elo jelu ek, akkor n Y (1 + ak ) 1 + k =1 n X ak k =1 Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz: n +1 Y k =1 n n X Y (1 + ak ) = (1 + ak ) (1 + an+1 ) 1 + ak (1 + an+1 ) = k =1 k =1 1+ n X k =1 n n +1 X X ak an ak ak + an+1 + k =1 k =1 17 / 8
58 Nevezetes egyenlo tlenségek Az általánosított Bernoulli-egyenlo tlenség Tétel: Ha ak 1 valós szám minden k {1, 2,..., n}, n N esetén, és a1, a2,..., an azonos elo jelu ek, akkor n Y (1 + ak ) 1 + k =1 n X ak k =1 Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal egyenlo 1-gyel) Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz: n +1 Y k =1 n n X Y (1 + ak ) = (1 + ak ) (1 + an+1 ) 1 + ak (1 + an+1 ) = k =1 k =1 1+ n X k =1 n n +1 X X ak an ak ak + an+1 + k =1 k =1 17 / 8
59 Nevezetes egyenlo tlenségek A számtani és a mértani közép közötti egyenlo tlenség Tétel: Ha a1, a2,..., an pozitív valós számok, akkor a1 + a an n a1 a2... an n és a két oldal csak akkor egyenlo, ha a1 = a2 =... = an. 18 / 8
60 Nevezetes egyenlo tlenségek A mértani és a harmonikus közép közötti egyenlo tlenség Tétel: Ha a1, a2,..., an pozitív valós számok, akkor n a1 a2... an n 1 a1 + 1 a an és a két oldal csak akkor egyenlo, ha a1 = a2 =... = an. 19 / 8
61 Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Legyen R A B. Ekkor az R halmazt az (A, B ) halmazpáron értelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük. Jelölés: (A, B ; R ), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R. Példa: Ha A = {a, b } és B = {1, 2, 3}, akkor R = (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2) bináris reláció az (A, B ) halmazpáron. Ha (a, b ) R A B, akkor a és b relációban van egymással. Ha (a, b ) < R A B, akkor a és b nincs relációban egymással. /b. Jelölés: arb, illetve ar 20 / 8
62 Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Legyen R A B. Ekkor az R halmazt az (A, B ) halmazpáron értelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük. Jelölés: (A, B ; R ), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R. Példa: Ha A = {a, b } és B = {1, 2, 3}, akkor R = (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2) bináris reláció az (A, B ) halmazpáron. Ha (a, b ) R A B, akkor a és b relációban van egymással. Ha (a, b ) < R A B, akkor a és b nincs relációban egymással. Jelölés: arb, illetve ar /b. 20 / 8
63 Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Legyen R A B. Ekkor az R halmazt az (A, B ) halmazpáron értelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük. Jelölés: (A, B ; R ), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R. Példa: Ha A = {a, b } és B = {1, 2, 3}, akkor R = (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2) bináris reláció az (A, B ) halmazpáron. Ha (a, b ) R A B, akkor a és b relációban van egymással. Ha (a, b ) < R A B, akkor a és b nincs relációban egymással. Jelölés: arb, illetve ar /b. 20 / 8
64 Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Legyen R A B. Ekkor az R halmazt az (A, B ) halmazpáron értelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük. Jelölés: (A, B ; R ), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R. Példa: Ha A = {a, b } és B = {1, 2, 3}, akkor R = (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2) bináris reláció az (A, B ) halmazpáron. Ha (a, b ) R A B, akkor a és b relációban van egymással. Ha (a, b ) < R A B, akkor a és b nincs relációban egymással. Jelölés: arb, illetve ar /b. 20 / 8
65 Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Legyen R A B. Ekkor az R halmazt az (A, B ) halmazpáron értelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük. Jelölés: (A, B ; R ), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R. Példa: Ha A = {a, b } és B = {1, 2, 3}, akkor R = (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2) bináris reláció az (A, B ) halmazpáron. Ha (a, b ) R A B, akkor a és b relációban van egymással. Ha (a, b ) < R A B, akkor a és b nincs relációban egymással. Jelölés: arb, illetve ar /b. 20 / 8
66 Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Tekintsük az (A, B ; R ) relációt. Az A halmazt a reláció indulási, a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Tekintsük az (A, B ; S ) relációt. A DS = {a a A, b B : asb } halmazt a reláció értelmezési tartományának, az RS = {b b B, a A : asb } halmazt a reláció értékkészletének nevezzük. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt parciális leképezésnek (parciális függvénynek) nevezzük, ha bármely a A -hoz legfeljebb egy olyan b B létezik, amelyre arb. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan b B létezik, amelyre arb. Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezési tartománya megegyezik. 21 / 8
67 Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Tekintsük az (A, B ; R ) relációt. Az A halmazt a reláció indulási, a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Tekintsük az (A, B ; S ) relációt. A DS = {a a A, b B : asb } halmazt a reláció értelmezési tartományának, az RS = {b b B, a A : asb } halmazt a reláció értékkészletének nevezzük. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt parciális leképezésnek (parciális függvénynek) nevezzük, ha bármely a A -hoz legfeljebb egy olyan b B létezik, amelyre arb. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan b B létezik, amelyre arb. Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezési tartománya megegyezik. 21 / 8
68 Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Tekintsük az (A, B ; R ) relációt. Az A halmazt a reláció indulási, a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Tekintsük az (A, B ; S ) relációt. A DS = {a a A, b B : asb } halmazt a reláció értelmezési tartományának, az RS = {b b B, a A : asb } halmazt a reláció értékkészletének nevezzük. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt parciális leképezésnek (parciális függvénynek) nevezzük, ha bármely a A -hoz legfeljebb egy olyan b B létezik, amelyre arb. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan b B létezik, amelyre arb. Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezési tartománya megegyezik. 21 / 8
69 Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Tekintsük az (A, B ; R ) relációt. Az A halmazt a reláció indulási, a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Tekintsük az (A, B ; S ) relációt. A DS = {a a A, b B : asb } halmazt a reláció értelmezési tartományának, az RS = {b b B, a A : asb } halmazt a reláció értékkészletének nevezzük. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt parciális leképezésnek (parciális függvénynek) nevezzük, ha bármely a A -hoz legfeljebb egy olyan b B létezik, amelyre arb. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan b B létezik, amelyre arb. Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezési tartománya megegyezik. 21 / 8
70 Relációk, függvények Relációk, függvények Definíció: Tekintsük az (A, B ; R ) relációt. Az A halmazt a reláció indulási, a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Tekintsük az (A, B ; S ) relációt. A DS = {a a A, b B : asb } halmazt a reláció értelmezési tartományának, az RS = {b b B, a A : asb } halmazt a reláció értékkészletének nevezzük. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt parciális leképezésnek (parciális függvénynek) nevezzük, ha bármely a A -hoz legfeljebb egy olyan b B létezik, amelyre arb. Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan b B létezik, amelyre arb. Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezési tartománya megegyezik. 21 / 8
Analízis elo adások. Vajda István. 2012. október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem / 40 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan
RészletesebbenMBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
MBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Jelölje Z az egész számok halmazát, N a pozitív egészek halmazát, N 0 a nem negatív egészek halmazát, Q a racionális
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Rel aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Relációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Relációk reláció lat. 1. kapcsolat, viszony; összefüggés vmivel 2. viszonylat, vonatkozás reláció lat. 3. mat halmazok elemei
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Diszkrét matematika I. gyakorlat 1. Gyakorlat Bogya Norbert Bolyai Intézet 2012. szeptember 4-5. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika I. gyakorlat 2012. szeptember 4-5. 1 / 21 Információk
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat
GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat Bemutatkozás Chmelik Gábor óraadó BGF-KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály chmelik.gabor@kkk.bgf.hu http://www.cs.elte.hu/ chmelik Fogadóóra: e-mailben egyeztetett
RészletesebbenA döntő feladatai. valós számok!
OKTV 006/007. A döntő feladatai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y x és
RészletesebbenAnalízis deníciók és tételek gy jteménye
Analízis deníciók és tételek gy jteménye Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Ez a jegyzet az Analízis el adásokon a két félév alatt elhangzott legfontosabb deníciókat és tételeket tartalmazza,
Részletesebben2004. december 1. Irodalom
LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK I. 2004. december 1. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
005-05 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenOperációkutatás. 2. konzultáció: Lineáris programozás (2. rész) Feladattípusok
Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 00/003 tanév, II évf félév Előadó: Dr Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs u 9 GT fszt 3 (99) 58 640
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 011/01-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. - Vizsga anyag 1 EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Diszkrét matematika I. Vizsgaanyag Diszkrét matematika I. - Vizsga anyag 2 1. Mondjon legalább 3 példát predikátumra
RészletesebbenHalmazok és függvények
Halmazok és függvények Óraszám: 2+2 Kreditszám: 6 Meghirdető tanszék: Analízis Debrecen, 2005. A tárgy neve: Halmazok és függvények (előadás) A tárgy oktatója: Dr. Gilányi Attila Óraszám/hét: 2 Kreditszám:
RészletesebbenJelek tanulmányozása
Jelek tanulmányozása A gyakorlat célja A gyakorlat célja a jelekkel való műveletek megismerése, a MATLAB környezet használata a jelek vizsgálatára. Elméleti bevezető Alapműveletek jelekkel Amplitudó módosítás
RészletesebbenElektronikus tananyag MATEMATIKA 10. osztály II. félév
Elektronikus tananyag MATEMATIKA 0. osztály II. félév A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok A párhuzamos szelők tétele TÉTEL: Ha egy szög szárait párhuzamos
RészletesebbenA SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése
Részletesebben3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek
3. KÖRGEOMETRIA Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 89 109. és 121. oldal. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 86 97. és 117 121. oldal. Kovács Zoltán: Geometria,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 2 II TÖbbVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEk INTEGRÁLÁSA 1 Kettős INTEGRÁL Legyen f(x,y) a T tartományon nemnegatív kétváltozós függvény Jelölje V azt a hengerszerű testet, amelyet alulról a
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 <
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 011/01 Matematika I. kategória (SZKKÖZÉPISKOL) Döntő 1. Határozza meg az összes olyan egész számot, amely eleget tesz az egyenlőtlenségnek! log
RészletesebbenAnalízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
RészletesebbenModern analízis I. Mértékelmélet
Modern analízis I. Mértékelmélet Halmazalgebrák 1. Feladat. Az (X n ) n N halmazsorozat limes superiorán a lim sup X n = X k halmazt értjük, míg az (X n ) n N halmazsorozat limes inferiorán a lim inf X
Részletesebben1. Írja fel prímszámok szorzataként a 420-at! 2. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen!
1. Írja fel prímszámok szorzataként a 40-at! 40 =. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen! A részek: 3. Egy sejttenyészetben naponta kétszereződik meg a sejtek száma.
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat
RészletesebbenKombinatorika. 9. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Kombinatorika p. 1/
Kombinatorika 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kombinatorika p. 1/ Permutáció Definíció. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott
Részletesebben1. előadás Algebrai struktúrák: csoport, gyűrű, test
1. előadás Algebrai struktúrák: csoport, gyűrű, test Dr. Kallós Gábor 2012 2013 1 Tartalom Műveletek Félcsoport, monoid Csoport Részcsoportok Elem rendje Ciklikus csoportok Kis elemszámú csoportok megadása
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 3 gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012 február 27 Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat) Tartalom Egyenletrendszerek Cramer-szabály 1 Egyenletrendszerek
Részletesebben2011. március 9. Dr. Vincze Szilvia
. márius 9. Dr. Vinze Szilvia Tartalomjegyzék.) Elemi bázistranszformáió.) Elemi bázistranszformáió alkalmazásai.) Lineáris függőség/függetlenség meghatározása.) Kompatibilitás vizsgálata.) Mátri/vektorrendszer
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 1 I. A VÉLETLEN KÍsÉRLET LEÍRÁsÁNAK MATEMATIKAI MODELLJE 1. EsEMÉNYTÉR, műveletek EsEMÉNYEKKEL Definíció: Egy véletlen kísérlet lehetséges
RészletesebbenKiss P eter M aty as Ferenc A SZ AMELM ELET ELEMEI EKF L ICEUM KIAD O, EGER 2005
Kiss Péter Mátyás Ferenc A SZÁMELMÉLET ELEMEI EKF LÍCEUM KIADÓ, EGER 005 Lektor: Dr. Varecza Árpád a matematikai tudomány kandidátusa Megjelent az EKF Líceum Kiadó műszaki gondozásában A szedés a MiKTEX
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 3 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 010 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 010. június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
RészletesebbenMatematika példatár 2.
Matematika példatár 2. Sorok, függvények határértéke és Csabina, Zoltánné Matematika példatár 2.: Sorok, függvények határértéke és Csabina, Zoltánné Lektor: PhD. Vigné dr Lencsés, Ágnes Ez a modul a TÁMOP
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
RészletesebbenAnalízis előadások. Vajda István. 2013. február 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem
Analízis előadások Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 013. február 10. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február 10. 1 / 3 Az elemi függvények csoportosítása
RészletesebbenOsztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete Néhány alapvető geometriai fogalom A háromszögekről.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
Részletesebben170 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007
170 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007 7. Fixpont tételek Az x = f(x) (7.1) egyenletet fixpont egyenletnek nevezzük, annak egy p megoldását pedig az f függvény fixpontjának
RészletesebbenFordítóprogramok Készítette: Nagy Krisztián
Fordítóprogramok Készítette: Nagy Krisztián Reguláris kifejezések (FLEX) Alapelemek kiválasztása az x karakter. tetszőleges karakter (kivéve újsor) [xyz] karakterhalmaz; vagy egy x, vagy egy y vagy egy
RészletesebbenA mérgezett csoki játék új megközelítés
A mérgezett csoki játék új megközelítés Diplomamunka Készítette: Horváth Gábor Témavezető: Szabó Csaba egyetemi docens Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2004 Tartalomjegyzék Bevezetés
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Keresés, rendezés, buborék, beszúrásos, összefésüléses, kupacos, láda, radix. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Keresés, rendezés, buborék, beszúrásos, összefésüléses, kupacos, láda, radix Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
RészletesebbenA skatulya-elv alkalmazásai
1 A skatulya-elv alkalmazásai Számelmélet 1. Az első 4n darab pozitív egész számot beosztjuk n számú halmazba. Igazoljuk, hogy mindig lesz három olyan szám, amelyek ugyanabban a halmazban vannak és valamely
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 15 XV DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS 1 DERIVÁLT, deriválás Az f függvény deriváltján az (1) határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Az függvény deriváltjának jelölései:,,,,,
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 5 V. BECsLÉsELMÉLET 1. STATIsZTIKAI becslés A becsléselméletben gyakran feltesszük, hogy a megfigyelt mennyiségek független valószínűségi
RészletesebbenMatematika II. Nagy Ábris. 2015/2016. II. félév. Debreceni Egyetem. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 1 / 71
Matematika II. Nagy Ábris Debreceni Egyetem 2015/2016. II. félév Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 1 / 71 Hasznos információk e-mail: abris.nagy@science.unideb.hu honlap: math.unideb.hu/nagy-abris/oktatas.html
RészletesebbenADATBÁZIS-KEZELÉS. Funkcionális függés, normál formák
ADATBÁZIS-KEZELÉS Funkcionális függés, normál formák KARBANTARTÁSI ANOMÁLIÁK beszúrási anomáliák törlési anomáliák módosítási anomáliák DOLG_PROJ(Dszsz, Pszám, Dnév, Pnév, Órák) 2 MÓDOSÍTÁSI ANOMÁLIÁK
Részletesebben4. előadás. Vektorok
4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK, SOROZATOK
FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK A FÜGGVÉNYFOGALOM ELŐKÉSZÍTÉSE 1-6. OSZTÁLY Adott szabály követése Szabályfelismerés és szabálykövetés Szabályfelismerés és szabály megadása szöveggel, képlettel EGYENES ÉS FORDÍTOTT
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2008. május 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2008. május 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest feletti
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat) f(x) = 2x 2 x 4. 2x 2 x 4 = 0, x 2 (2 x 2 ) = 0.
Feladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat). Feladat. Végezzük el az f(x) = x x 4 ) Értelmezési tartomány: x R. ) A zérushelyet az f(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: amiből
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik
RészletesebbenHalmazelmélet. 2. fejezet 2-1
2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz
RészletesebbenMatematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését
RészletesebbenLineáris algebra jegyzet
Lineáris algebra jegyzet Készítette: Jezsoviczki Ádám Forrás: Az előadások és a gyakorlatok anyaga Legutóbbi módosítás dátuma: 2011-12-04 A jegyzet nyomokban hibát tartalmazhat, így fentartásokkal olvasandó!
RészletesebbenPárhuzamos programozás
Párhuzamos programozás Rendezések Készítette: Györkő Péter EHA: GYPMABT.ELTE Nappali tagozat Programtervező matematikus szak Budapest, 2009 május 9. Bevezetés A számítástechnikában felmerülő problémák
RészletesebbenFocibajnokságok és véges geometriák
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Focibajnokságok és véges geometriák BSc MATEMATIKA SZAKDOLGOZAT TANÁRI SZAKIRÁNY Készítette: Ujváry János Témavezető: Kiss György, egyetemi docens,
RészletesebbenMatematika III. 1. Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 1. Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 1. : Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel
RészletesebbenProgramozási tételek
Prgramzási tételek Egy srzathz egy érték hzzárendelése Összegzés tétele Adtt egy N elemű számsrzat: A(N). Számljuk ki az elemek összegét! S:=0 S:=S+A(I) Eldöntés tétele N elemű srzat és egy a srzatn értelmezett
Részletesebbenxdsl Optika Kábelnet Mért érték (2012. II. félév): SL24: 79,12% SL72: 98,78%
Minőségi mutatók Kiskereskedelmi mutatók (Internet) Megnevezés: Új hozzáférés létesítési idő Meghatározás: A szolgáltatáshoz létesített új hozzáféréseknek, az esetek 80%ban teljesített határideje. Mérési
RészletesebbenJátékok (domináns stratégia, alkalmazása. 2016.03.30.
Játékok (domináns stratégia, Nash-egyensúly). A Nashegyensúly koncepciójának alkalmazása. 2016.03.30. Játékelmélet és közgazdaságtan 1914: Zermelo (sakk) 1944. Neumann-Morgenstern: Game Theory and Economic
RészletesebbenEgy vektorrendszert lineárisan függ nek nevezünk, ha nem lineárisan független.
GAZDASÁGI MATEMATIKA II DEFINÍCIÓK ÉS TÉTELEK A LINEÁRIS ALGEBRÁBÓL ÉS ANALÍZISBŽL A deniciókat (D) a tételeket (T) jelöli A fontosabb deníciókat és tételeket jelöli (D)k-dimenziós euklideszi tér: A k-dimenziós
RészletesebbenHa a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk.
Síkidomok Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk. A határoló vonalak által bezárt síkrész a síkidom területe. A síkidomok határoló vonalak szerint lehetnek szabályos
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE
BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Székelyhidi László A felsőbb matematika kapujában Jelen kiadvány a Palotadoktor Bt. kiadásában készült. A munkát lektorálta: Lovas Rezső (Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet)
Részletesebben1. forduló. MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév
MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló 1. feladat: Jancsi és Juliska Matematikai Memory-t játszik. A játék lényege, hogy négyzet alakú kártyákra vagy műveletsorokat írnak
RészletesebbenMatematikai és matematikai statisztikai alapismeretek
Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok
RészletesebbenMátrixaritmetika. Tartalom:
Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám
RészletesebbenFeladatok és végeredmények a Bevezető fejezetek a matematikába tárgy II. félévéhez
Feladatok és végeredmények a Bevezető fejezetek a matematikába tárgy II. félévéhez Összeállította: Láng Csabáné Budapest, 2004. január Tartalomjegyzék 1. Feladatok... 2 1.1. Gráfelmélet... 2 1.1.1 Alapfogalmak...
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok
RészletesebbenHALMAZOK TULAJDONSÁGAI,
Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A:= { a csoport tanulói b) B:= { Magyarország városai ma c) C:=
RészletesebbenI. rész. Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati. Név:...osztály:... Matematika kisérettségi. 2012. május 15. Fontos tudnivalók
Matematika kisérettségi 2012. május 15. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az id elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetsz leges. 3. A
RészletesebbenNormalizálás. Definíció: Első normálforma (1NF): A reláció minden sorában pontosan egy elemi attribútum érték áll.
Normalizálás Első normálforma Definíció: Első normálforma (1NF): A reláció minden sorában pontosan egy elemi attribútum érték áll. A reláció matematikai definíciója miatt a relációban nem lehetnek azonos
RészletesebbenAlgebra jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak. Horváth Gábor
Algebra jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak Horváth Gábor Debreceni Egyetem 2014 Tartalomjegyzék Bevezetés 5 1. M veletek, algebrai struktúrák 6 2. A csoportelmélet alapjai 11 2.1. Homomorzmusok,
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I. DEFINÍCIÓ: (Helyvektor) A derékszögű koordináta - rendszerben a pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. TÉTEL: Ha i az (1; 0) és j a (0; 1) pont helyvektora, akkor
RészletesebbenA végtelen fogalma. Szabó András
A végtelen fogalma Szabó András Matematika BSc Szakdolgozat Témavezet : Fialowski Alice Egyetemi docens Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest, 2015
RészletesebbenMatematika példatár 2.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 2 MAT2 modul Sorok, függvények határértéke és folytonossága Aszimptoták SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Focibajnokságok és véges geometriák. Szakdolgozat
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Focibajnokságok és véges geometriák Szakdolgozat Dávid Péter Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Kiss György, egyetemi docens Geometria
RészletesebbenSzámelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség
Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Feladatok: 1) A koordinátarendszerben úgy helyezzük el az egységkockát, hogy az origó az egyik csúcsba essék,
Részletesebben(Gyakorló feladatok)
Differenciálszámítás (Gyakorló feladatok) Programtervező matematikus szakos hallgatóknak az Analízis 3. című tárgyhoz Összeállította: Szili László L-Sch -sel hivatkozunk a Leindler Schipp jegyzetre 2004.
RészletesebbenSzámelmélet I. 1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései
Számelmélet I. Tantárgy neve Számelmélet I. Tantárgy kódja MTB 1011 Meghirdetés féléve 3. félév Kreditpont 3 Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Számonkérés módja Kollokvium Előfeltétel (tantárgyi kód) MTB 1003
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. I. rész Fontos tudnivalók A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris
RészletesebbenEgyenletrendszerek. Egyenletrendszerek megoldása
Egyenletrendszerek Egyenletrendszerek megoldása 1D Lineáris egyenletrendszeren olyan egyenletrendszert értünk, mely véges sok elsőfokú egyenletből áll, és véges sok ismeretlent tartalmaz Az n-ismeretlenes,
Részletesebben( ) Schultz János EGYENLŐTLENSÉGEK A HÁROMSZÖG GEOMETRIÁJÁBAN
Shultz János EGYENLŐLENSÉGEK A HÁOMSZÖG GEOMEIÁJÁBAN Igzoljuk hogy egy szályos háromszög első pontját súsokkl összekötő három szkszól mindig szerkeszthető háromszög Egy tégllp elsejéen vegyünk fel egy
RészletesebbenVéges testek és alkalmazásaik
Véges testek és alkalmazásaik Horváth Gábor Debreceni Egyetem 2016. március 4. Tartalomjegyzék Bevezetés 4 1. El zetes ismeretek 5 1.1. M veletek, algebrai struktúrák.................. 5 1.2. Csoportelmélet..........................
RészletesebbenGazdasági matematika I.
I. évfolyam TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. 2011/2012 I. félév Tantárgy megnevezése Tantárgyi útmutató Gazdasági Matematika I. (Analízis) Tantárgy kódja: Tantárgy jellege/típusa: Módszertani
RészletesebbenTartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév
Tartalom Pont Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Egyenes Sík Háromszög Gömb 2010/2011. tavaszi félév Descartes-koordináták Geometriai értelmezés
RészletesebbenProgramozás. A programkészítés lépései. Program = egy feladat megoldására szolgáló, a számítógép számára értelmezhető utasítássorozat.
Programozás Programozás # 1 Program = egy feladat megoldására szolgáló, a számítógép számára értelmezhető utasítássorozat. ADATOK A programkészítés lépései 1. A feladat meghatározása PROGRAM EREDMÉNY A
RészletesebbenMATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT ) dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből
RészletesebbenHalmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai.
Halmazok Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. 1. lapfogalmak halmaz és az eleme fogalmakat alapfogalmaknak tekintjük, nem deniáljuk ket. Jelölés: x H,
RészletesebbenMeghirdetés féléve 1 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2
Tantárgy neve Algebrai alapismeretek Tantárgy kódja MTB1003 Meghirdetés féléve 1 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja Gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) Tantárgyfelelős neve
Részletesebben9. előadás. Az ER modell. Jelölések, az ER séma leképezése relációs sémára. Adatbázisrendszerek előadás 2011. november 16.
9. előadás Jelölések, az Adatbázisrendszerek előadás 2011. november 16. és Debreceni Egyetem Informatikai Kar 9.1 Egyedtípusok Definíció Azokat az egyedtípusokat, amelyek nem rendelkeznek saját kulcsattribútumokkal,
RészletesebbenProlog 1. Készítette: Szabó Éva
Prolog 1. Készítette: Szabó Éva Prolog Logikai, deklaratív nyelv. Egy logikai program egy modellre vonatkoztatott állítások halmaza, melyek a modell tulajdonságait, és az azok között fellépő kapcsolatokat
RészletesebbenElemi adatszerkezetek
2015/10/14 13:54 1/16 Elemi adatszerkezetek < Programozás Elemi adatszerkezetek Szerző: Sallai András Copyright Sallai András, 2011, 2014 Licenc: GNU Free Documentation License 1.3 Web: http://szit.hu
RészletesebbenEMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint írásbeli
RészletesebbenJavítóvizsga témakörei matematika tantárgyból
9.osztály Halmazok: - ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát - halmazműveletek : ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő
RészletesebbenMesterséges Intelligencia. Csató Lehel. Csató Lehel. Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2006/2007
Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2006/2007 Az Előadások Témái Bevezető: mi a mesterséges intelligencia... Tudás reprezentáció Gráfkeresési stratégiák Szemantikus hálók
RészletesebbenEgy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged
Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást
RészletesebbenMatematika példatár 6.
Matematika példatár 6 Lineáris algebra I Csordásné Marton, Melinda Matematika példatár 6: Lineáris algebra I Csordásné Marton, Melinda Lektor: Dr Pfeil, Tamás Ez a modul a TÁMOP - 412-08/1/A-2009-0027
RészletesebbenFile Mátyás. Vektormező és alkalmazásai
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar File Mátyás Vektormező és alkalmazásai BSc Elemző Matematikus Szakdolgozat Témavezető: Pfeil Tamás Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék
Részletesebben