File Mátyás. Vektormező és alkalmazásai
|
|
- Nikolett Molnárné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar File Mátyás Vektormező és alkalmazásai BSc Elemző Matematikus Szakdolgozat Témavezető: Pfeil Tamás Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest, 2014
2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Vektormező Határérték és folytonosság Parciális derivált Differenciálhatóság Vonalintegrál Gradiens Fluxus és cirkuláció Útfüggetlenség, potenciáltér, konzervatív vektormező Green-tétel Példafeladatok Munkavégzés Vonalintegrál Gradiens Fluxus Divergencia Síkbeli vektormező rotációja Green-tétel a síkban Köszönetnyílvánítás Függelék Irodalomjegyzék 31 2
3 1. Bevezetés Fizikai tanulmányaink során rendre szembesülünk az erőtér fogalmával. A testek körül gravitációs erőtér található, egy töltéssel rendelkező részecske körül elektromos erőtér, a mágnes körül mágneses erőtér, ami erőt fejt ki, munkát végez a bennük lévő testekre. Hogyan tudjuk kezelni ezeknek a hatását? Hogyan tudjuk modellezni? Ezekre a kérdésekre ad választ a matematikában a vektormező fogalma. Szakdolgozatom első felében ismertetem a vektormező definícióját, továbbá milyen műveleteket tudunk végezni ezekkel, milyen problémákat tudunk megoldani segítségükkel. A gravitációs erőtérben mozgó testnek mekkora munkát kell végeznie az erőhatás ellenében? Egy csőben áramló folyadékból adott felületen mekkora mennyiség halad keresztül egységnyi idő alatt? Domborzati térkép egy adott pontjában hogyan állapítható meg a legnagyobb meredekség iránya és mértéke? 1. ábra. Magyarország széltérképe 2. ábra. Mágneses erőtér Szakdolgozatom csak a témához kapcsolódó tételeket és definíciókat tartalmazza, mint a címe is utal rá, igyekeztem minél inkább gyakorlati oldalról megközelíteni a kérdést. Felépítését tekintve először a vektormező fogalmát és ennek tulajdonságait fogom definiálni, majd az ehhez kapcsolódó matematikai fogalmakat. Részletesen kitérek a vonalintegrál értelmezésére, ennek segítségével vizsgálom az erőtérben mozgó test munkavégzését. Bemutatom a gradiens fogalmát, illetve ennek gyakorlati alkalmazásait, az adott felületen egységnyi idő alatt átáramló anyag mennyiségének meghatározásához a fluxus fogalmát, továbbá mit értünk egy vektormező divergenciáján és rotációján, és milyen 3
4 tulajdonságai lehetnek egy vektormezőnek, mit jelent az útfüggetlenség, potenciáltér és konzervatív erőtér. A szakdolgozatban szereplő ábrákat a MATLAB programozási nyelv segítségével készítettem, a Függelék pontban ismertetem a segítségül vett programkódokat. 4
5 2. Vektormező Legyen H R p, valamint f : H R q. Az f leképezés minden x H ponthoz hozzárendel egy q-dimenziós vektort. Jelölje az f(x) vektor koordinátáit f 1 (x), f 2 (x),..., f q (x) minden x H-ra. Ezzel minden i = 1,..., q-ra definiáltunk egy f i : H R függvényt, amit az i-edik koordinátafüggvénynek, vagy komponensnek nevezünk. Kétdimenziós esetben jelölhetjük a vektormezőt az alábbi módon: Ha f : R 2 R 2 vektormező, akkor az első koordinátafüggvényét jelölje M, a másodikat N. Ebben az esetben az M függvény adja meg a vektor első koordinátáját, az N függvény pedig a második koordinátát. Így az f függvényünk az (x, y) R 2 pontban f(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j ahol i, j a standard bázis egységvektorai (i = (1, 0) és j = (0, 1)). Egyszerű példa erre az f(x, y) := yi + xj vektormező, aminek a ábrája lent látható. A vektormezőket folytonosság, határértékük, illetve differenciálhatóságuk szempontjából vizsgálom Határérték és folytonosság 1. Definíció. Az a R p pont torlódási pontja a H R p halmaznak, ha minden ε > 0 számhoz a B(a, ε) H\{a} halmaznak van eleme. 5
6 2. Definíció. Legyen H R p, és legyen a H halmaz torlódási pontja a. Azt mondjuk, hogy az f : H R q függvény határértéke a pontban a b R q pont, ha minden ε > 0 számhoz van olyan δ > 0 szám, hogy minden x H pontra, 0 < x a < δ esetén f(x) b < ε. Jelölés: lim x a f(x) = b. 1. Tétel. Legyen H R p, legyen a H halmaz torlódási pontja a, és legyen b = (b 1,..., b n ) R q. Az f : H R q függvényre akkor és csak akkor teljesül lim x a f(x) = b, ha lim x a f i (x) = b i minden i = 1,..., q indexre. 3. Definíció. Legyen a H R p. Azt mondjuk, hogy az f : H R q függvény folytonos az a pontban, ha minden ε > 0-hoz van olyan δ > 0, hogy minden x H, x a < δ esetén f(x) f(a) < ε. Ha H H és f minden a H pontban folytonos, akkor azt mondjuk, hogy f folytonos a H halmazon. 2. Tétel. Az f függvény akkor és csak akkor folytonos az a pontban, ha az f minden koordinátafüggvénye folytonos az a pontban. 3. Tétel. Jelölje a H a H halmaz torlódási pontját. f akkor és csak akkor folytonos az a pontban, ha a következő két eset valamelyike fennáll: (i) Az a pont izolált pontja H-nak, vagy (ii) a H H és lim x a f(x) = f(a). 4. Tétel. Tegyük fel, hogy (i) H R p, a H, g : H R q és lim x a g(x) = c; (ii) g(h) E R q, f : E R n és lim x c f(x) = b; (iii) g(x) c az a egy pontozott környezetében, vagy pedig c E és f folytonos c-ben. Ekkor lim f(g(x)) = b. x a 6
7 1. Következmény. Ha g folytonos az a pontban, és f folytonos g(a)-ban, akkor f g is folytonos az a pontban. 5. Tétel. Legyen H R p korlátos és zárt, és legyen f : H R q folytonos. Ekkor az f(h) halmaz korlátos és zárt R q -ban. 6. Tétel. Legyen H R p korlátos és zárt, és legyen f : H R q folytonos. Ha f injektív a H halmazon, akkor f 1 folytonos az f(h) halmazon. 4. Definíció. Legyen H R p. Azt mondjuk, hogy az f : H R q függvény egyenletesen folytonos, ha minden ε > 0-hoz létezik olyan δ > 0, melyre teljesül, hogy ha x, y H és x y < δ, akkor f(x) f(y) < ε Parciális derivált 5. Definíció. Legyen az f függvény értelmezve az x = (x 1,.., x n ) R n pont egy környezetében. Rögzítsük az x pont koordinátáit az i-edik kivételével, és tekintsük a t f i (t) = f(x 1,.., x i 1, t, x i+1,.., x n ) szekciófüggvényt, melynek értelmezési tartománya legyen {t R : (x 1, x 2,..., x i 1, t, x i+1,..., x n ) D(f)}. Az így kapott egyváltozós függvény x i pontban vett deriváltját, amennyiben létezik ez, az f függvény x pontban vett i-edik változó szerinti parciális deriváltjának nevezzük, és szimbólummal jelöljük. Más szóval f x i (x) f x i = lim t xi f(x 1,.., x i 1, t, x i+1,.., x n ) f(x) t x i feltéve, hogy a határérték létezik. 7
8 2.3. Differenciálhatóság Az R n értékű függvények differenciálhatóságának vizsgálatához értelmeznünk kell az R p -ből R q -ba képező lineáris leképezéseket, és ennek kapcsán át kell tekintenünk a lineáris algebra néhány alapfogalmát. A A : R p R q függvényt lineáris leképezésnek nevezünk, ha A(x + y) = A(x) + A(y) és A(λx) = λa(x), ahol x, y R p és λ R. Az A : R p R q leképezés akkor és csak akkor lineáris, ha minden koordinátafüggvénye lineáris függvény. 6. Definíció. Legyen H R p és a inth. Azt mondjuk, hogy az f : H R q függvény differenciálható az a pontban, ha van olyan A : R p R q lineáris leképezés, hogy f(x) = f(a) + A(x a) + ε(x) x a minden x H-ra, ahol ε(x) 0 R p, ha x a. Az A : R p R q lineáris leképezést az f függvény pontbeli deriváltjának nevezzük és f (a)-val jelöljük. 7. Tétel. Legyen H R p. Az f : H R q függvény akkor és csak akkor differenciálható az a inth pontban, ha f mindegyik koordinátafüggvénye differenciálható a-ban. 8. Tétel. (i) Ha az f függvény differenciálható az a pontban, akkor f folytonos a-ban, továbbá f mindegyik koordinátafüggvényének mindegyik változó szerinti parciális deriváltja létezik és véges az a pontban. (ii) Ha f mindegyik koordinátafüggvényének mindegyik változó szerinti parciális deriváltja létezik és véges az a pont egy környezetében és ezek a parciális deriváltfüggvények folytonosak az a pontban, akkor f differenciálható az a pontban. 8
9 7. Definíció. Az f (a) lineáris leképezés mátrixát, tehát a f i x j (a)(j = 1,..., n, i = 1,..., n) parciális deriváltakból álló f 1 f 1 f x 1 x 2 1 x n f 2 f 2 f x 1 x 2 2 x n J f = f n x 1 f n x 2 f n x n mátrixot az f függvény a pontbeli Jacobi-mátrixának nevezzük. 9
10 3. Vonalintegrál 8. Definíció. Görbének nevezzük a g : [a, b] R n függvény értékkészletét az n-dimenziós térben. A g függvényt az R(g) görbe egy paraméterezésének hívjuk. 9. Definíció. Legyen g : [a, b] R n, és legyen f : R(g) R n. Azt mondjuk, hogy az f, dx vonalintegrál létezik és az értéke az I szám, ha minden g ε > 0-hoz van olyan δ > 0, hogy valahányszor a = t 0 <.. < t n = b egy δ-nál finomabb felosztás és c i [t i 1, t i ] (i = 1,.., n) tetszőleges pontok, akkor n I f(g(c i )), g(t i ) g(t i 1 ) < ε. i=1 Legyenek f, illetve g koordinátafüggvényei f 1,.., f n illetve g 1,.., g n. Ekkor n f(g(c i )), g(t i ) g(t i 1 ) = i=1 n n f j (g(c i ))(g j (t i ) g j (t i 1 ) = i=1 j=1 n ( n f j (g(c i ))(g j (t i ) g j (t i 1 )) ). j=1 i=1 Ha mindegyik n i=1 f j(g(c i ))(g j (t i ) g j (t i 1 )) megközelít egy I j számot minden elég finom felosztásra, akkor az összegük megközelíti az I = I I n értéket. Ezért célszerű bevezetni a következő fogalmat. 10. Definíció. Legyen g = (g 1,.., g n ) : [a, b] R n egy görbe, és legyen a valós értékű h függvény értelmezve a R(g) halmazon. Legyen 1 j n rögzített index. Azt mondjuk, hogy az g hdx j (x j szerinti) vonalintegrál létezik és az értéke az I szám, ha minden ε > 0-hoz létezik egy δ > 0, hogy valahányszor a = t 0 < t 1 <.. < t n = b egy δ-nál finomabb felosztás és c i [t i 1, t i ] (i = 1,.., n) tetszőleges pontok, akkor I n h(g(c i ))(g j (t i ) g j (t i 1 ) < ε. i=1 10
11 11. Definíció. Legyen g folytonos görbe, és g ívhosszát jelöljük s(g)-vel. Ekkor { n } s(g) = sup g(t i ) g(t i 1 ) : a = t 0 < t 1 <.. < t n = b, n N + i=1 Azt mondjuk, hogy g görbe rektifikálható, ha s(g) <. 9. Tétel. Legyen g = (g 1,.., g n ) : [a, b] R n egy folytonos és rektifikálható görbe, és legyen a h : R(g) R függvény folytonos az R(g) halmazon. Ekkor az g hdx j vonalintegrál létezik minden j = 1,.., n esetén. 10. Tétel. Legyen g = (g 1,.., g n ) : [a, b] R n egy differenciálható görbe, és tegyük fel, hogy g j integrálható [a, b]-n minden j = 1,.., n-re. Ha a h : R(g) R függvény folytonos az R(g) halmazon, akkor az g hdx j vonalintegrál létezik, és az értéke b a h(g(t))g j(t)dt minden j = 1,.., n esetén. 11. Tétel. Legyen g = (g 1,.., g n ) : [a, b] R n egy differenciálható görbe, és tegyük fel, hogy g j Riemann-integrálható [a, b]-n minden j = 1,.., n-re. Ha az f : R(g) R n függvény folytonos, akkor az < f, dx > vonalintegrál g létezik, és az értéke b < f(g(t), a g (t) > dt. 12. Definíció. Legyen g R n nyílt halmaz. Az f : G R n függvény primitív függvényének nevezzük a G halmazon az F : G R függvényt, ha F minden változója szerint parciálisan deriválható G-n és gradf = f G-n. A primitív függvényt potenciálnak hívjuk. 12. Tétel (Newton-Leibnitz formula vonalintegrálokra). Legyen G R n nyílt, és legyen az f : G R n folytonos függvény egy primitív függvénye F : G R. Ekkor minden g : [a, b] G folytonos és rektifikálható görbére < f, dx >= F (g(b)) F (g(a)). g 11
12 1. Lemma. Legyenek g 1 : [a, b] R n és g 2 : [b, c] R n folytonos és rektifikálható görbék, ahol a < b < c és g 1 (b) = g 2 (b). Legyen g(t) = g 1 (t), ha t [a, b], és g(t) = g 2 (t), ha t [b, c]. Ekkor a g : [a, c] R n görbe is folytonos és rektifikálható, továbbá minden f : R(g) R n folytonos függvényre fennáll f, dx = g f, dx + g 1 f, dx. g Tétel. Legyen G R n nyílt halmaz, és legyen f : G R n folytonos. Az f függvénynek akkor és csak akkor van primitív függvénye G-ben, ha bármely G-ben fekvő folytonos, rektifikálható és zárt g görbére < f, dx >= 0. g 12
13 4. Gradiens 13. Definíció. Legyen Ω R n, akkor az f : Ω R függvényt skalármezőnek nevezzük. Tehát a skalármező minden x Ω ponthoz hozzárendel egy valós számot. 14. Definíció. Adott Ω R n, f : Ω R függvény, továbbá c R. Az Ω c := {x Ω : f(x) = c} halmazt az f függvény c-szintfelületének nevezzük. A skalármező értelmezési tartományának minden pontján egy és csak egy szintfelület halad át. 15. Definíció. Adott Ω R n és f : Ω R. Ha x Ω és ebben a pontban f minden parciális deriváltja létezik, akkor f függvény gradiensvektora az x pontban ( f f(x) = gradf(x) = (x), f (x),..., f ) (x). x 1 x 2 x n Legyen D( f) := {x Ω: létezik f(x)}. Ekkora a f : D( f) R n, x f(x) függvényt gradiensfüggvénynek nevezzük. 1. Állítás. Tegyük fel, hogy egy nyílt halmazon értelmezett folytonos f skalármező minden változója szerint parciálisan differenciálható és e parciális deriváltfüggvények folytonosak a nyílt halmazon. Ekkor a következő állítások teljesülnek: (i) Az f(x) vektor iránya megadja az f függvény legnagyobb növekedés irányát, (ii) az f(x) vektor hossza megadja az f függvény legnagyobb növekedésének mértékét, (iii) az f(x) vektor az x Ω ponton átmenő f(x) = c szintfelület érintő-hipersíkjának normálisa. 13
14 5. Fluxus és cirkuláció 16. Definíció. Legyen g : [a, b] R 2 folytonos és rektifikálható görbe, és f : R(g) R 2 folytonos vektormező. Jelölje n: R(g) R 2 azt a vektormezőt, amelyik minden x R(g) esetén a görbe x pontbeli kifelé mutató normálisa. Ekkora f fluxusa a g paraméterezésű görbe mentén f n, dx. g 17. Definíció. Legyen A R 2 és legyen r : A R n folytonos függvény. Ekkor r értékkészletét paraméteresen definiált felületnek nevezzük. Ha r folytonosan differenciálható, akkor az A felületet folytonosan differenciálható felületnek mondjuk. 18. Definíció. Az S felületet irányított felületnek nevezzük, ha adott az S felületen értelmezett egységnyi hosszúságú normálvektorokból álló vektormező, ez a vektormező a felület irányítása. Téglalap alakú paramétertartományon paraméterezett sima felületeken szeretnénk definiálni a felületi integrál fogalmát. 19. Definíció. Legyen r : R 2 R 3 folytonosan differenciálható függvény, melyre D(r) = [a, b] [c, d], a koordinátafüggvényeit jelölje rendre f, g, h. Legyen S az r vektorfüggvény értékkészlete, amely folytonosan differenciálható felület a térben, valamint G: R 3 R 3, D(G) = S folytonos függvény. Ekkor G fluxusa, más néven felületi integrálja S felett: d b G(x, y, z)dσ = G ( f(u, v), g(u, v), h(u, v) ) r u r v dudv. S c a 20. Definíció. Legyen g folytonosan differenciálható egyszerű zárt síkgörbe és f : R(g) R 2 folytonos vektormező. Ekkor az f vektormező cirkulációja a g görbe mentén f g, dx. g 14
15 6. Útfüggetlenség, potenciáltér, konzervatív vektormező A gravitációs vagy elektromos térben az elvégzett munka mennyisége nem függ a megtett út hosszától, csak a kiindulási és végponttól. 21. Definíció. Legyen f egy vektormező a tér egy n-dimenziós nyílt D R n halmazán definiálva, és tegyük fel, hogy bármilyen két A és B pontra D- ben igaz, hogy az f, dx vonalintegrál ugyanannyi, minden A-ból B- g be vezető folytonos és rektifikálható g görbe mentén, ami D-n belül halad. Ekkor az f vonalintegrálja útfüggetlen D-ben, és az f vektormező konzervatív vektormező D-n. A konzervatív kifejezés onnan ered, hogy fizikai alkalmazásokban ezekben a vektormezőkben érvényes az energia megmaradásának elve. 2. Állítás. Legyen f : R n R n nyílt halmazon értelmezett folytonos vektormező. f akkor és csak akkor konzervatív, ha valamilyen F skalármező gradiensfüggvénye, azaz f = F. 3. Állítás. Ha egy vektormezőnek megtaláljuk a potenciálfüggvényét, akkor bármilyen folytonos és rektifikálható görbe mentén haladva A és B pont között az alábbi összefüggés teljesül: f, dx = f, dx = F (B) F (A) g g Eddig azokat az eseteket vizsgáltuk amikor A B. Gyakorlatban sokszor előfordul hogy a kiindulási pont és a végpont ugyanaz, a test pedig egy zárt görbe mentén halad. Nem konzervatív vektormezőben a vonalintegrált az eddig ismertetett módszerrel számolhattuk ki, de konzervatív tereknél az előző tételek szerint a integrál értéke független a pontok közötti görbe alakjától. 14. Tétel (Integrál zárt görbe esetén, konzervatív vektormezőben). Legyen f : R n R n nyílt halmazon értelmezett folytonos vektormező, melynek létezik primitív függvénye D(f)-en. A következő állítások ekvivalensek: 1. f, dx = 0 minden folytonos és rektifikálható g görbe mentén D(f)- g ben. 2. Az f vektormező konzervatív. 15
16 Egy f vektormezőről nem minden esetben lehet eldönteni, hogy konzervatív-e, továbbá megtalálni a potenciálfüggvényét. Erre a következő módszer ad megoldást. 22. Definíció. A D R n halmaz csillagszerűen összefüggő, ha van olyan p D pont, melyre minden x D esetén [p, x] szakasz minden pontja D-ben fekszik. 23. Definíció. Legyen f : R n R n csillagszerűen összefüggő nyílt halmazon értelmezett folytonosan differenciálható vektormező. Az f vektormezőnek pontosan akkor van primitív függvénye, ha a Jacobi-mátrixa minden pontjában szimmetrikus. f 1 f 1 f x 1 x 2 1 x n f 2 f 2 f x 1 x 2 2 x n J f = f n x 1 f n x 2 f n x n f i x j = f j x i igaz, minden i = 1,..., n és j = 1,..., n. 16
17 7. Green-tétel A Green-tételhez két új fogalmat kell definiálnunk, az első a vektormező divergenciája vagy fluxussűrűsége. 24. Definíció. Legyen f : R n R n képző differenciálható vektormező. Ekkor f divergenciája ( fluxussűrűsége) a divf = n i=1 f i x i = f 1 x 1 + f 2 x f n x n. 1. Megjegyzés. Az f vektormező Jacobi-mátrixa: f 1 f 1 f x 1 x 2 1 x n f 2 f 2 f x 1 x 2 2 x n J f = f n x 2 f n x 1 f n x n Ennek nyoma, vagyis a főátlóban lévő elemek összege a divergencia. 2. Megjegyzés. A divergencia egy skalármennyiség, a tér pontjaihoz egy számot rendel hozzá. A másik dolog, amire a Green-tételhez szükségünk van az az, hogy mérni tudjuk adott pontban a folyadék cirkulációját. Ehhez egy új mennyiséget vezetünk be, a cirkulációsűrűséget vagy rotációt. 25. Definíció. Legyen f : R 3 R 3 képző differenciálható vektormező. Ekkor f vektormező rotációja a függvény. rotf = f = x 1 x 2 x 3 17 f 1 f 2 f 3 = f 3 x 2 f 3 x 3 f 3 x 1 + f 1 x2 f 2 x 1 f 1 x 2
18 4. Állítás. Minden f = (f 1, f 2 ) : R 2 R 2 síkbeli vektormezőnek megfeleltethető az f : R 3 R 3, f := (f1 (x, y), f 2 (x, y), 0), D( f) := D(f) R térbeli vektormező. 2. Következmény. Ha f differenciálható, akkor f is differenciálható, és rot f = 0 x 2 f 2 0 f x 1 f 2 x 1 f 1 x 2 ami azonosítható a D(f)-n értelmezett f 2 x 1 f 1 x 2 függvénnyel. Ezt nevezzük az f síkbeli differenciálható vektormező rotációjának, ami tehát számértékű függvény, jele rotf. A divergencia és a rotáció segítségével felírható a Green-tétel. Az egyik alakja azt mondja, hogy bizonyos feltételek mellett a sík egyszerű, zárt görbéjén számított fluxust (amit kifele mutató normálvektorral definiálunk) úgy is kiszámíthatjuk, hogy a zárt görbe által határolt tartományon integráljuk a vektormező divergenciáját. 15. Tétel. Legyen f : R 2 R 2 folytonosan differenciálható függvény. Ekkor f függvény fluxusa egy folytonos, rektifikálható, egyszerű, zárt g görbén egyenlő divf integráljával azon a T tartományon, amit a g görbe határol. Képlettel: f n, dx = divf. g A Green-tétel másik alakja azt mondja, hogy egy egyszerű, zárt görbe mentén, az óramutató járásával ellentétes körüljárással számított cirkulációja egy vektormezőnek számítható úgy, hogy a rotációját integráljuk a zárt görbe által határolt tartományon. T 18
19 16. Tétel. Legyen f : R 2 R 2 folytonosan differenciálható függvény. Ekkor az f függvény óramutató járásával ellentétes körüljárással számított cirkulációja egy folytonos, rektifikálható, egyszerű, zárt g görbe mentén egyenlő rotf integráljával a zárt görbe által határolt T tartományon. Képlettel: f g, dx = rotf. g T 26. Definíció. Az A halmaz lezártján azt a legszűkebb zárt halmazt értjük, mely tartalmazza A-t. Jelölése: A. 17. Tétel. Legyen g folytonos, rektifikálható, pozitív irányítású, egyszerű, zárt síkgörbe, jelölje g által határolt tartományt A, továbbá A G nyílt és f : G R. (i) Ha f y létezik és folytonos A-n, akkor g f f dx = A y dxdy. (ii) Ha f x létezik és folytonos A-n, akkor f f dy = x dxdy. g A 19
20 8. Példafeladatok 8.1. Munkavégzés Egy erőteret az F : R 3 R 3 vektormező ír le, és r : [a, b] R 3 görbe az F erőtér értelmezési tartományában. Ekkor az F folytonos vektormező (erőtér) által végzett munka az r folytonosan differenciálható paraméterezésű görbe (út) mentén W = F, dy. r Példa: Elektromos erőtér Ebben az esetben az erőt egy F = Mi + Nj + P k erőtér szolgáltatja. Egy Q pontszerű töltést szeretnénk r : [A, B] R 3 görbe mentén r(a)-tól r(b)-ig eljuttatni. Ekkor az erőtér által végzett munka egyenlő a értékével. W = Q B A F (r(t)), ṙ(t) dt 20
21 8.2. Vonalintegrál A vonalintegrál kiszámolásához először foglaljuk össze azokat a módszereket, amiknek az elméletét a szakdolgozat elején ismertettem. A feladatot két módszerrel oldjuk meg, az első, az integrálközelítő összeg, aminek képlete a következő : n F (r(c i )), (r(t i ) r(t i 1 )) i=1 ahol F a vektormező, r pedig t paraméterezett sima görbe. Legyen adott az F = (x + 3y)i + (2x + y)j vektormező és r(t) = t 2 i + tj, 0 t 2 görbe. Adjuk meg, hogy mekkora a vonalintegrál értéke a r görbe mentén a F mezőben. Vegyük t intervallum egy tetszőleges n felosztását. A r azon szakaszát amit a [t i, t i 1 ] intervallum határoz meg, jól közelíthető a [r(t i ), r(t i 1 )] szakasszal, valamint legyen c i [r(t i ), r(t i 1 )]. 3. ábra. Ha a felosztás normája 0-hoz tart, akkor az integrál közelítő összeg tart a vonalintegrálhoz. Néhány egyenlő közű felosztás esetén az alábbi értékeket kapjuk n=2 n=4 n=100 2 i=1 F (r(c i)), (r(t i ) r(t i 1 )) 29 4 i=1 F (r(c i)), (r(t i ) r(t i 1 )) i=1 F (r(c i)), (r(t i ) r(t i 1 )) A megoldást a Newton-Leibnitz formula felhasználásával kapjuk meg. Képlettel: 2 [ ] t F (r(t)), r 4 2 (t) dt = 2 + 8t3 3 + t2 =
22 8.3. Gradiens Legyen F egy a síkon értelmezett skalártér, amire igaz, hogy { sin( x 2 +y 2 ),ha (x, y) (0, 0) F (x, y) = x 2 +y 2 1,ha (x, y) = (0, 0) aminek két szemléltetése a következő: 4. ábra. 3D 5. ábra. Szintvonalak Az ábráról is jól sejthető, hogy a (0, 0) pont környezetében van F értékkészletének maximuma, és az origótól távolodva bármely irányba egy origó középpontú koncentrikus felületet kapunk. Szeretnénk tudni, hogy az (x, y) pontból melyik irányba legnagyobb a függvény meredeksége és milyen mértékű. Ehhez vesszük F gradiensét: F = F x i + F y j = ( x cos( x2 + y = 2 ) x sin( ) ( x2 + y 2 ) y cos( x2 + y i+ 2 ) y sin( ) x2 + y 2 ) j x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) 3/2 x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) 3/2 22
23 A (2, 2) pontot behelyettesítve a gradiens függvénybe a következőt kapjuk: F (2, 2) = ( , ) A példából látható, hogy a vektor pontosan az origóba mutat,mivel F függvény maximuma az origó. 6. ábra. Gradiens-mező Bizonyítás Jelölje r az x 2 + y 2 kifejezést, ekkor F = sin(r) függvény r deriváltfüggvénye F r cos(r) sin(r) = r r 2 Ennek keressük zérushelyét, ami csak az r 2 = 0 esetben áll fenn, ekkor x2 + y 2 = 0 csak akkor ha (x, y) = (0, 0). 23
24 8.4. Fluxus Adott a síkon értelmezett F = xi+yj erőtér. Egy origó középpontú R sugarú körön szeretnénk megtudni az erőtér fluxusát. Először adjuk meg a kör egy sima paraméterezését: r(t) = R cos(t)i + R sin(t)j 0 t 2π x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t) Jelölje a körív egy tetszőleges pontjában az érintő egységvektort ˆT, továbbá r (t) = R sin(t)i + R cos(t)j 24
25 ˆT = r (t) r (t) r (t) = R 2 ( sin(t)) 2 + (cos(t)) 2 = R = R sin(t)i + R cos(t)j R = sin(t)i + cos(t)j Ezek után kiszámítjuk az érintővektorból a síkra merőleges normálvektort : n = ˆT k = ( sin(t) + cos(t)) k = sin(t)j + cos(t)i A fluxus általános képletét felhasználva kiszámítjuk a fluxust. 2π behelyettesítés után 0 (x(t)i + y(t)j)(sin(t)j + cos(t)i) r (t) dt = 2π 0 2π 0 (R cos(t) cos(t) + R sin(t) sin(t))rdt = (R(sin 2 (t) + cos 2 (t))) Rdt = 2πR 2 25
26 8.5. Divergencia Az alábbi F erőtérnek szeretnénk meghatározni a divergenciáját. Legyen F (x, y) = (cos( πx 5 függvény, ennek képe: ))i + (cos(2πy ))j ahol D(F ) = R ábra. F vektormező képe 8. ábra. divf függvény képe felületként ábrázolva Adjuk meg F vektorfüggvény divergenciáját: divf (x, y) = F x + F y = sin(πx 5 )π 5 sin(πy 5 )π 5 26
27 8.6. Síkbeli vektormező rotációja Legyen F (x, y) = (cos(y), sin(x)) függvény, a folyadék áramlásának erőtere. 9. ábra. F (x, y) = cos(y)i+sin(x)j A definíció alapján rotf = N x függvényét a következőt kapjuk: 10. ábra. A rotáció k- komponensének ábrázolása M, amibe behelyettesítve az erőtér y rotf = (sin(x)) x (cos(y)) y = cos(x) + sin(y) Ha a rotáció értéke pozitív akkor a forgás iránya megegyezik az óramutató járásával, ha negatív akkor ellentétes vele, hossza pedig megadja a forgás sebességét. 27
28 8.7. Green-tétel a síkban A Green-tétel segítségével gyorsabban tudjuk kiszámolni a fluxust és a rotációt. A következő példákban ezt szeretném szemléltetni. Fluxus Legyen F = xi + yj erőtér, és r(t) = R cos(t)i + R sin(t)j, (0 t 2π), ahol paraméteresen megadott görbén szeretnénk megkapni a fluxus értékét. A Green-tételben kapott képlet alapján, mi szerint C F nds = M x T ( M x + N ) dxdy. y = 1 és N y = 1 mivel az integrálon belüli összeg ebben az esetben 2 és a kör területe R 2 π, így 2 dxdy = 2πR 2 T Cirkuláció Adjuk meg az F = (x y)i + xj vektormező cirkulációját az r(t) = R cos(t)i + R sin(t)j, ahol(0 < t < 2π) zárt, sima görbe mentén. A Green-tétel alapján ( N F T ds = x M ) y C N x T = 1 és M y = 1 Az integrálon belüli különbség értéke 2, ezért 2 dxdy = 2R 2 π, mivel R = 1, ezért a megoldás 2π. T 28
29 9. Köszönetnyílvánítás Hálásan köszönöm témavezetőmnek, Pfeil Tamásnak a rengeteg időt és energiát amit arra fordított hogy szakdolgozatom elkészülhessen, tanácsaival és észrevételeivel mindenben segítette munkámat. Szeretném megköszönni családomnak támogatásukért, továbbá azoknak a tanároknak, oktatóknak akik tudásukkal segítették tanulmányaimat. 29
30 10. Függelék A következő két MATLAB példakód segítségével készítettem el a szakdolgozatomban található ábrákat. Vektormező ábrázolása XY = linspace(-2,2,10) for i = 1:length(XY) for j = 1:length(XY) x = XY(i) y = XY(j) M = -y N = x quiver(x, y, M, N) end end Felület ábrázolása XY = linspace(-2,2,10) Z = ones(10) for i = 1:length(XY) for j = 1:length(XY) x = XY(i) y = XY(j) Z = M+N end end surf(xy,xy,z) 30
31 11. Irodalomjegyzék Hivatkozások [1] George B. Thomas: Thomas-féle KALKULUS 3. TYPOTEX Budapest (2007) [2] Jánossy L., Gnädig P., Tasnádi P. : VEKTORSZÁMÍTÁS III. kötet Vektorok integrálása Tankönyvkiadó, Budapest (1983) [3] Ja. B. Zeldivocs, A. D. Miskisz : Az alkalmazott matematika elemei Gondolat, Budapest (1978) [4] Laczkovich Miklós, T. Sós Vera ANALÍZIS II. Nemzetei Tankönyvkiadó, Budapest (2007) [5] http : // k epek/wind jpg 31
Analízis elo adások. Vajda István. 2012. október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem / 40 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 15 XV DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS 1 DERIVÁLT, deriválás Az f függvény deriváltján az (1) határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Az függvény deriváltjának jelölései:,,,,,
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1/8 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 3 gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012 február 27 Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat) Tartalom Egyenletrendszerek Cramer-szabály 1 Egyenletrendszerek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
005-05 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenMBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
MBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Jelölje Z az egész számok halmazát, N a pozitív egészek halmazát, N 0 a nem negatív egészek halmazát, Q a racionális
RészletesebbenA döntő feladatai. valós számok!
OKTV 006/007. A döntő feladatai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y x és
Részletesebben2011. március 9. Dr. Vincze Szilvia
. márius 9. Dr. Vinze Szilvia Tartalomjegyzék.) Elemi bázistranszformáió.) Elemi bázistranszformáió alkalmazásai.) Lineáris függőség/függetlenség meghatározása.) Kompatibilitás vizsgálata.) Mátri/vektorrendszer
RészletesebbenKidolgozott. Dudás Katalin Mária
Dudás Katalin Mária Kidolgozott matematikatételek mérnökök számára Ez a könyv műfaját tekintve az összefoglaló kézikönyv és az egyetemi jegyzet közé helyezhető. Tömören összegyűjti a mérnöki tanulmányok
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Rel aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Relációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Relációk reláció lat. 1. kapcsolat, viszony; összefüggés vmivel 2. viszonylat, vonatkozás reláció lat. 3. mat halmazok elemei
RészletesebbenAnalízis deníciók és tételek gy jteménye
Analízis deníciók és tételek gy jteménye Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Ez a jegyzet az Analízis el adásokon a két félév alatt elhangzott legfontosabb deníciókat és tételeket tartalmazza,
RészletesebbenOperációkutatás. 2. konzultáció: Lineáris programozás (2. rész) Feladattípusok
Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 00/003 tanév, II évf félév Előadó: Dr Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs u 9 GT fszt 3 (99) 58 640
Részletesebben3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek
3. KÖRGEOMETRIA Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 89 109. és 121. oldal. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 86 97. és 117 121. oldal. Kovács Zoltán: Geometria,
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat
RészletesebbenMatematika II. Nagy Ábris. 2015/2016. II. félév. Debreceni Egyetem. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 1 / 71
Matematika II. Nagy Ábris Debreceni Egyetem 2015/2016. II. félév Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 1 / 71 Hasznos információk e-mail: abris.nagy@science.unideb.hu honlap: math.unideb.hu/nagy-abris/oktatas.html
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 10 X DETERmINÁNSOk 1 DETERmINÁNS ÉRTELmEZÉSE, TULAJdONSÁGAI A másodrendű determináns értelmezése: A harmadrendű determináns értelmezése és annak első sor szerinti kifejtése: A
Részletesebben2004. december 1. Irodalom
LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK I. 2004. december 1. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
RészletesebbenJelek tanulmányozása
Jelek tanulmányozása A gyakorlat célja A gyakorlat célja a jelekkel való műveletek megismerése, a MATLAB környezet használata a jelek vizsgálatára. Elméleti bevezető Alapműveletek jelekkel Amplitudó módosítás
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I. DEFINÍCIÓ: (Helyvektor) A derékszögű koordináta - rendszerben a pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. TÉTEL: Ha i az (1; 0) és j a (0; 1) pont helyvektora, akkor
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat
GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat Bemutatkozás Chmelik Gábor óraadó BGF-KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály chmelik.gabor@kkk.bgf.hu http://www.cs.elte.hu/ chmelik Fogadóóra: e-mailben egyeztetett
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 011/01-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög
RészletesebbenMágneses szuszceptibilitás vizsgálata
Mágneses szuszceptibilitás vizsgálata Mérést végezte: Gál Veronika I. A mérés elmélete Az anyagok külső mágnesen tér hatására polarizálódnak. Általában az anyagok mágnesezhetőségét az M mágnesezettség
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 3 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 010 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 010. június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 2 II TÖbbVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEk INTEGRÁLÁSA 1 Kettős INTEGRÁL Legyen f(x,y) a T tartományon nemnegatív kétváltozós függvény Jelölje V azt a hengerszerű testet, amelyet alulról a
RészletesebbenÉpületvillamosság laboratórium. Villámvédelemi felfogó-rendszer hatásosságának vizsgálata
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamos Energetika Tanszék Nagyfeszültségű Technika és Berendezések Csoport Épületvillamosság laboratórium Villámvédelemi felfogó-rendszer hatásosságának
RészletesebbenHatározatlan integrál
. fejezet Határozatlan integrál Határozatlan integrál D. Azt mondjuk, hogy az egyváltozós valós f függvénynek a H halmazon primitív függvénye az F függvény, ha a H halmazon f és F értelmezve van, továá
RészletesebbenAnalízis előadások. Vajda István. 2013. február 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem
Analízis előadások Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 013. február 10. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február 10. 1 / 3 Az elemi függvények csoportosítása
RészletesebbenFluxus. A G vektormező V egyszeresen összefüggő, zárt felületre vett fluxusa:
Matematikai alapok Fluxus A G vektormező V egyszeresen összefüggő, zárt felületre vett fluxusa: GF d V Divergencia Koordinátaredszertől független definíció: div G lim V Descartes-féle koordináták esetén:
RészletesebbenLineáris algebra jegyzet
Lineáris algebra jegyzet Készítette: Jezsoviczki Ádám Forrás: Az előadások és a gyakorlatok anyaga Legutóbbi módosítás dátuma: 2011-12-04 A jegyzet nyomokban hibát tartalmazhat, így fentartásokkal olvasandó!
Részletesebben170 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007
170 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007 7. Fixpont tételek Az x = f(x) (7.1) egyenletet fixpont egyenletnek nevezzük, annak egy p megoldását pedig az f függvény fixpontjának
RészletesebbenHa a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk.
Síkidomok Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk. A határoló vonalak által bezárt síkrész a síkidom területe. A síkidomok határoló vonalak szerint lehetnek szabályos
RészletesebbenGazdasági matematika I.
I. évfolyam TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. 2011/2012 I. félév Tantárgy megnevezése Tantárgyi útmutató Gazdasági Matematika I. (Analízis) Tantárgy kódja: Tantárgy jellege/típusa: Módszertani
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 <
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 011/01 Matematika I. kategória (SZKKÖZÉPISKOL) Döntő 1. Határozza meg az összes olyan egész számot, amely eleget tesz az egyenlőtlenségnek! log
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat) f(x) = 2x 2 x 4. 2x 2 x 4 = 0, x 2 (2 x 2 ) = 0.
Feladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat). Feladat. Végezzük el az f(x) = x x 4 ) Értelmezési tartomány: x R. ) A zérushelyet az f(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: amiből
RészletesebbenModern analízis I. Mértékelmélet
Modern analízis I. Mértékelmélet Halmazalgebrák 1. Feladat. Az (X n ) n N halmazsorozat limes superiorán a lim sup X n = X k halmazt értjük, míg az (X n ) n N halmazsorozat limes inferiorán a lim inf X
Részletesebben1. Mintapélda, amikor a fenék lekerekítési sugár (Rb) kicsi
1 Mélyhúzott edény teríték méretének meghatározása 1. Mintapélda, amikor a fenék lekerekítési sugár (Rb) kicsi A mélyhúzott edény kiindulási teríték átmérőjének meghatározása a térfogat-állandóság alapján
RészletesebbenKombinatorika. 9. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Kombinatorika p. 1/
Kombinatorika 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kombinatorika p. 1/ Permutáció Definíció. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY FŐVÁROSI DÖNTŐ SZÓBELI (2005. NOVEMBER 26.) 5. osztály
5. osztály Írd be az ábrán látható hat üres körbe a 10, 30, 40, 60, 70 és 90 számokat úgy, hogy a háromszög mindhárom oldala mentén a számok összege 200 legyen! 50 20 80 Egy dobozban háromféle színű: piros,
RészletesebbenA Hozzárendelési feladat megoldása Magyar-módszerrel
A Hozzárendelési feladat megoldása Magyar-módszerrel Virtuális vállalat 2013-2014/1. félév 3. gyakorlat Dr. Kulcsár Gyula A Hozzárendelési feladat Adott meghatározott számú gép és ugyanannyi független
RészletesebbenÁramlástechnikai gépek soros és párhuzamos üzeme, grafikus és numerikus megoldási módszerek (13. fejezet)
Áramlástechnikai gépek soros és párhuzamos üzeme, grafikus és numerikus megoldási módszerek (3. fejezet). Egy H I = 70 m - 50000 s /m 5 Q jelleggörbéjű szivattyú a H c = 0 m + 0000 s /m 5 Q jelleggörbéjű
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE
BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Székelyhidi László A felsőbb matematika kapujában Jelen kiadvány a Palotadoktor Bt. kiadásában készült. A munkát lektorálta: Lovas Rezső (Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet)
RészletesebbenELLENÁLLÁSOK PÁRHUZAMOS KAPCSOLÁSA, KIRCHHOFF I. TÖRVÉNYE, A CSOMÓPONTI TÖRVÉNY ELLENÁLLÁSOK PÁRHUZAMOS KAPCSOLÁSA. 1. ábra
ELLENÁLLÁSOK PÁRHUZAMOS KAPCSOLÁSA Három háztartási fogyasztót kapcsoltunk egy feszültségforrásra (hálózati feszültségre: 230V), vagyis közös kapocspárra, tehát párhuzamosan. A PÁRHUZAMOS KAPCSOLÁS ISMÉRVE:
RészletesebbenVektoralgebrai feladatok
Vektoralgebrai feladatok 1. Vektorok összeadása és szorzatai, azok alkalmazása 1.1 a) Írja fel a és vektorokat az és átlóvektorok segítségével! b) Milyen hosszú az + ha =1? 1.2 Fejezze ki az alábbi vektorokat
Részletesebben[MECHANIKA- HAJLÍTÁS]
2010. Eötvös Loránd Szakközép és Szakiskola Molnár István [MECHANIKA- HAJLÍTÁS] 1 A hajlításra való méretezést sok helyen lehet használni, sok mechanikai probléma modelljét vissza lehet vezetni a hajlítás
Részletesebben3. Matematikai logika (megoldások)
(megoldások) 1. Hamis, ugyanis P, Q és R logikai értékét behelyettesítve kapjuk: (P Q) R = (1 0) 0 = 0 0 = 0. (Ebben és a további feladatok megoldásában alkalmazzuk a D 3.1 denícióit. A megoldást célszer
RészletesebbenA mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29.
A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29. Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. 2 / 27 Bevezetés Bevezetés Newton I.
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
RészletesebbenJavítóvizsga témakörei matematika tantárgyból
9.osztály Halmazok: - ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát - halmazműveletek : ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő
RészletesebbenKooperáció és intelligencia
Kooperáció és intelligencia Tanulás többágenses szervezetekben/2 Tanulás több ágensből álló környezetben -a mozgó cél tanulás problémája (alapvetően megerősítéses tanulás) Legyen az ágens közösség formalizált
RészletesebbenDifferenciálszámítás és alkalmazásai
Differenciálszámítás és alkalmazásai Szakdolgozat Írta: Katona Edina Mária Matematika Bsc szak Tanári szakirány Témavezető: Sikolya Eszter, adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematika Tanszék
Részletesebbene s gyakorlati alkalmaza sai
Sze lso e rte k-sza mı ta s e s gyakorlati alkalmaza sai Szakdolgozat ı rta: Pallagi Dia na Matematika BSc szak, elemzo szakira ny Te mavezeto : Svantnerne Sebestye n Gabriella Tana rsege d Alkalmazott
RészletesebbenMITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ
MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY DÖNTŐ 2004. 5. osztály
5. osztály Ha egy négyzetet az ábrán látható módon feldarabolunk, akkor a tangram nevű ősi kínai játékot kapjuk. Mekkora a nagy négyzet területe, ha a kicsié 8 cm 2? (A kis négyzet egyik csúcsa a nagy
RészletesebbenMatematika példatár 2.
Matematika példatár 2. Sorok, függvények határértéke és Csabina, Zoltánné Matematika példatár 2.: Sorok, függvények határértéke és Csabina, Zoltánné Lektor: PhD. Vigné dr Lencsés, Ágnes Ez a modul a TÁMOP
RészletesebbenAzonosító jel: Matematika emelt szint
I. 1. Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű szám képezhető? 11 pont írásbeli vizsga 1012
RészletesebbenLécgerenda. 1. ábra. 2. ábra
Lécgerenda Egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: Karimás csőillesztés már szóltunk arról, hogy a szeezetek számításaiban néha célszerű lehet a diszkrét mennyiségeket folyto - nosan megoszló mennyiségekkel
RészletesebbenAz analízis alapjai és üzleti alkalmazásai
Az analízis alapjai és üzleti alkalmazásai Szakdolgozat Írta: Komjáti Dóra Matematika Bsc szak Matematikai elemző szakirány Témavezető: Mincsovics Miklós Emil, óraadó Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
RészletesebbenTómács Tibor. Matematikai statisztika
Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly
Részletesebben(Gyakorló feladatok)
Differenciálszámítás (Gyakorló feladatok) Programtervező matematikus szakos hallgatóknak az Analízis 3. című tárgyhoz Összeállította: Szili László L-Sch -sel hivatkozunk a Leindler Schipp jegyzetre 2004.
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik
RészletesebbenHalmazok és függvények
Halmazok és függvények Óraszám: 2+2 Kreditszám: 6 Meghirdető tanszék: Analízis Debrecen, 2005. A tárgy neve: Halmazok és függvények (előadás) A tárgy oktatója: Dr. Gilányi Attila Óraszám/hét: 2 Kreditszám:
RészletesebbenA táblázatkezelő felépítése
A táblázatkezelés A táblázatkezelő felépítése A táblázatkezelő felépítése Címsor: A munkafüzet címét mutatja, és a program nevét, amivel megnyitottam. Menüszalag: A menüsor segítségével használhatjuk az
RészletesebbenÁttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.
Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány
RészletesebbenOsztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete Néhány alapvető geometriai fogalom A háromszögekről.
RészletesebbenMatematika példatár 2.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 2 MAT2 modul Sorok, függvények határértéke és folytonossága Aszimptoták SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket
RészletesebbenEmelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 2005. november. I. rész
Szászné Simon Judit, 005. november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 005. november. feladat I. rész Oldjuk meg a valós számok halmazán a x 5x
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség
Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Feladatok: 1) A koordinátarendszerben úgy helyezzük el az egységkockát, hogy az origó az egyik csúcsba essék,
RészletesebbenMATLAB. 4. gyakorlat. Lineáris egyenletrendszerek, leképezések
MATLAB 4. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek, leképezések Menetrend Kis ZH MATLAB függvények Lineáris egyenletrendszerek Lineáris leképezések Kis ZH pdf MATLAB függvények a szkriptekhez hasonlóan az
RészletesebbenAhol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat. A villamos forgógépek, mutatós műszerek működésének alapja
Mágneses erőtér Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat A vllamos forgógépek, mutatós műszerek működésének alapja Magnetosztatka mező: nyugvó állandó mágnesek és egyenáramok dőben állandó
RészletesebbenPárhuzamos programozás
Párhuzamos programozás Rendezések Készítette: Györkő Péter EHA: GYPMABT.ELTE Nappali tagozat Programtervező matematikus szak Budapest, 2009 május 9. Bevezetés A számítástechnikában felmerülő problémák
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria IV.
Geometria IV. 1. Szerkessz egy adott körhöz egy adott külső ponton átmenő érintőket! Jelöljük az adott kört k val, a kör középpontját O val, az adott külső pontot pedig P vel. A szerkesztéshez azt használjuk
RészletesebbenAz aktiválódásoknak azonban itt még nincs vége, ugyanis az aktiválódások 30 évenként ismétlődnek!
1 Mindannyiunk életében előfordulnak jelentős évek, amikor is egy-egy esemény hatására a sorsunk új irányt vesz. Bár ezen események többségének ott és akkor kevésbé tulajdonítunk jelentőséget, csak idővel,
RészletesebbenÓravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok
Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.
RészletesebbenA skatulya-elv alkalmazásai
1 A skatulya-elv alkalmazásai Számelmélet 1. Az első 4n darab pozitív egész számot beosztjuk n számú halmazba. Igazoljuk, hogy mindig lesz három olyan szám, amelyek ugyanabban a halmazban vannak és valamely
RészletesebbenTANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz
I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2014/2015-ös tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani
RészletesebbenKözönséges differenciálegyenletek
Közönséges differenciálegyenletek 1. Bevezetés, definíciók A differenciálegyenletek olyan egyenletek, melyekben az ismeretlen egy függvény és az egyenletben az ismeretlen függvény deriváltja is előfordul.
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2008. május 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2008. május 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest feletti
RészletesebbenEgyszerű áramkörök vizsgálata
A kísérlet célkitűzései: Egyszerű áramkörök összeállításának gyakorlása, a mérőműszerek helyes használatának elsajátítása. Eszközszükséglet: Elektromos áramkör készlet (kapcsolótábla, áramköri elemek)
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem, 2005
Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását
RészletesebbenTRANZISZTOROS KAPCSOLÁSOK KÉZI SZÁMÍTÁSA
TRNZSZTOROS KPSOLÁSOK KÉZ SZÁMÍTÁS 1. gyenáramú számítás kézi számításokhoz az ábrán látható egyszerű közelítést használjuk: = Normál aktív tartományban a tranzisztort bázis-emitter diódáját az feszültségforrással
RészletesebbenHenger körüli áramlás. Henger körüli áramlás. Henger körüli áramlás 2015.03.02. ρ 2. R z. R z = 2 2. c A. = 4c. c p. = 2c. y/r 1.5.
5.3.. Henger körüli áramlás y/r.5.5.5 x/r.5 3 3 R w z + z R R iϑ e r R R z ( os ϑ + i sin ϑ ) Henger körüli áramlás ( os ϑ i sin ϑ ) r R + [ ϑ + sin ϑ ] ( ) ( os ) r R r R os ϑ + os ϑ + sin ϑ 444 3 r R
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. I. rész Fontos tudnivalók A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot
RészletesebbenAz analízis néhány alkalmazása
Az analízis néhány alkalmazása SZAKDOLGOZAT Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Szerz : Fodor Péter Szak: Matematika Bsc Szakirány: Matematikai elemz Témavezet : Sikolya Eszter, adjunktus
RészletesebbenSZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI
SZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI 12 KRISTÁLYkÉMIA XII. KÖTÉsTÍPUsOK A KRIsTÁLYOKBAN 1. KÉMIAI KÖTÉsEK Valamennyi kötéstípus az atommag és az elektronok, illetve az elektronok egymás közötti
RészletesebbenValószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
RészletesebbenElektronikus tananyag MATEMATIKA 10. osztály II. félév
Elektronikus tananyag MATEMATIKA 0. osztály II. félév A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok A párhuzamos szelők tétele TÉTEL: Ha egy szög szárait párhuzamos
Részletesebben1. Ha két közeg határfelületén nem folyik vezetési áram, a mágneses térerősség vektorának a(z). komponense folytonos.
Az alábbi kiskérdéseket a korábbi Pacher-féle vizsgasorokból és zh-kból gyűjtöttük ki. A többségnek a lefényképezett hivatalos megoldás volt a forrása (néha még ezt is óvatosan kellett kezelni, mert egy
RészletesebbenMAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 11. OSZTÁLY
MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 11. OSZTÁLY Heti 3 óra Évi 111 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató Másodfokú egyenletek. Ismétlés 1. óra: Másodfokú egyenletek,
RészletesebbenMatematika III. elıadások
Maemaka III. elıadások MINB083, MILB083 Gépész és Vllamosmérnök szak BSc képzés 007/008. ısz félév. éma Görbék dervál vekora. Görbék érnıje. Mozgások sebesség és gyorsulás vekora. Görbék ívhossza. Felüleek
Részletesebben1. forduló. MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév
MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló 1. feladat: Jancsi és Juliska Matematikai Memory-t játszik. A játék lényege, hogy négyzet alakú kártyákra vagy műveletsorokat írnak
RészletesebbenB1: a tej pufferkapacitását B2: a tej fehérjéinek enzimatikus lebontását B3: a tej kalciumtartalmának meghatározását. B.Q1.A a víz ph-ja = [0,25 pont]
B feladat : Ebben a kísérleti részben vizsgáljuk, Összpontszám: 20 B1: a tej pufferkapacitását B2: a tej fehérjéinek enzimatikus lebontását B3: a tej kalciumtartalmának meghatározását B1 A tej pufferkapacitása
RészletesebbenGondolkodjunk a fizika segı tse ge vel!
SZAKDOLGOZAT Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! Simon Ju lia Matematika BSc., tana ri szakira ny Te mavezeto : Besenyei A da m adjunktus Alkalmazott Analı zis e s Sza mı ta smatematikai Tansze k Eo
RészletesebbenDifferenciál egyenletek (rövid áttekintés) d x 2
Differeniál egenletek (rövid áttekintés) Differeniálegenlet: olan matematikai egenlet, amel eg vag több változós ismeretlen függvén és deriváltjai közötti kasolatot írja le. Fontosabb tíusok: közönséges
RészletesebbenJátékok (domináns stratégia, alkalmazása. 2016.03.30.
Játékok (domináns stratégia, Nash-egyensúly). A Nashegyensúly koncepciójának alkalmazása. 2016.03.30. Játékelmélet és közgazdaságtan 1914: Zermelo (sakk) 1944. Neumann-Morgenstern: Game Theory and Economic
Részletesebben86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009
86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 5 V. BECsLÉsELMÉLET 1. STATIsZTIKAI becslés A becsléselméletben gyakran feltesszük, hogy a megfigyelt mennyiségek független valószínűségi
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK, SOROZATOK
FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK A FÜGGVÉNYFOGALOM ELŐKÉSZÍTÉSE 1-6. OSZTÁLY Adott szabály követése Szabályfelismerés és szabálykövetés Szabályfelismerés és szabály megadása szöveggel, képlettel EGYENES ÉS FORDÍTOTT
RészletesebbenBETONACÉLOK HAJLÍTÁSÁHOZ SZÜKSÉGES l\4"yomaték MEGHATÁROZÁSÁNAK EGYSZERŰ MÓDSZERE
BETONACÉLOK HAJLÍTÁSÁHOZ SZÜKSÉGES l\4"yomaték MEGHATÁROZÁSÁNAK EGYSZERŰ MÓDSZERE BACZY"SKI Gábor Budape?ti 1Iűszaki Egyetem, Közlekedésmérnöki Kar Epítő- és Anyagmozgató Gépek Tanszék Körkeresztmetszet{Í
Részletesebben