Matematika III. elıadások

Átírás

1 Maemaka III. elıadások MINB083, MILB083 Gépész és Vllamosmérnök szak BSc képzés 007/008. ısz félév. éma Görbék dervál vekora. Görbék érnıje. Mozgások sebesség és gyorsulás vekora. Görbék ívhossza. Felüleek megadás módja. Felüleek érnı síkja. Felüleek felszíne.

2 Görbék dervál vekora 1. Defnícó: Az r r( vekor skalár függvény a 0 helyen dfferencálhaó, ha léezk a r ( 0 + r ( 0) lm 0 haárérék. Ez a haáréréke a 0 helyen ve dfferencálhányados-vekornak nevezzük dr( Jelölések r( d Kszámíás dmenzós eseben 1 x ( + x ( ) r( 0) lm x ( 0 + x ( 0) x ( ) lm 0 y ( 0 ) y ( 0 ) + y ( ) 0 y ( 0 + y ( 0) Érnı vekor Dervál vekor kelekezése Anmácó

3 Görbék érnıjének meghaározása dmenzós ese Az érnı egyenes egyenlerendszere x x ( ) + x ( ) y y ( ) + y ( ) Húzzunk érnı a ponban az görbéhez! r ( P0 ( x0; y0) x( + y( Az érnı egyenes vekor egyenlee R ( ) r( ) + r( ) j R 3 dmenzós ese Az érnı egyenes egyenlerendszere x x ( ) + x ( ) y y ( ) + y ( ) z z ( ) + z ( ) Húzzunk érnı a ponban az görbéhez! r ( P0 ( x0; y0; z0) x( + y( j + z( k Az érnı egyenes vekor egyenlee R ( ) r( ) + r( ) R

4 Mozgások sebesség és gyorsulás vekora. Ha egy anyag pon pályája, akkor sebességvekora és gyorsulás vekora r( x( + y( j + z( k v ( ) x ( ) + y ( ) j + z ( ) k a ( ) x ( ) + y ( ) j + z ( ) k PÉLDA. Egyenlees szögsebességgel forgó mozgás r : R cos( ω ) e + R sn( ω ) e x y v : R sn( ω ) ωe + R cos( ω ) ωe x y a : R cos( ω ) ω e R sn( ω ) ω e x y Helyvekor A sebességvekor a mozgás elsı dervál vekora A gyorsulásvekor a mozgás másodk dervál vekora A sebességvekor és a gyorsulásvekor mos egymásra merılegesek, mer skalárs szorzauk 0. v a R sn( R cos( + R cos( R sn( 0 ( ω ω ) ( ω ω ) ( ω ω ) ( ω ω )

5 Görbék ívhossza. Defnícó: Görbe ívhosszán a beír polgonok összhosszának haáréréké érjük, mdın a feloszás mnden haáron úl fnomíjuk. Ha léezk a haárérék és véges, akkor az mondjuk, hogy a görbe rekfkálhaó. Legyen az r r( görbe folyonosan dfferencálhaó a [ 0, 1 ] nervallumon! dmenzós eseben r ( x( + y( j 3 dmenzós eseben 1 1 Ívhossz r( d x ( ) + y ( ) d r( x( + y( j + z( k 1 1 Ívhossz r( d x ( ) + y ( ) + z ( ) d Polárkoordnáa - rendszerben b ívhossz a r r( d d r( ) + r( ) d

6 Az ívhossz, mn paraméer Számoljuk k az ívhossza a [ 0,] nervallumon, ahol a felsıhaár válozk! Az ívhossz -szern derválja pozív! Tehá s( szgorúan monoon növekvı függvény. Ezér léezk az nverze! s r( τ ) dτ s ( ) 0 ds( d r( d r( > 0 d d 0 1 ( ) s ( s) A görbe helyvekora a paraméerrel! A görbe helyvekora az s ívhossz paraméerrel! A dervál vekor hossza 1 lesz, ha a paraméer az s ívhossz! r( x( + y( j + z( k r( s) x( s ( s)) + y( s ( s)) j + z( s ( s)) k dr dr( s) dr d r( r ( s) d u( s) ds d ds ds r( d u( s ) 1

7 Példa: csavarvonal ívhossza. A csavarvonal helyvekora A csavarvonal dervál vekora r( ) R cos( ) e + R sn ( ) e + he x y z d r( ) R sn ( ) e + R cos( ) e + he d x y z A csavarvonal ívhosszának számíása s x ( ) + y ( ) + z ( ) d ( R sn( ) + ( R cos( ) + h d R + h A paraméer az s ívhossz függvényében A paraméer helyére az ívhossza esszük paraméerkén A görbe derválja ívhossz szern Az ívhossz szern dervál vekor hossza 1 s h + R s s r( s ) R cos + + h + R e R sn x h + R e y s s R sn d ds r( s ) h + R R cos + h + R + h + R e x h + R e y d ds r( s) 1 hs h + R e z h h + R e z

8 Felüleek megadás módja Explc alak z f ( x, y) Implc alak F( x, y, z ) 0 Paraméeres alak x xu (, v), y yuv (, ), z zuv (, ) PÉLDA: Egység sugarú gömbfelüle különbözı megadás leheısége z 1 x y x + y + z 1 z 1 x y x sn( v ) cos( u) y sn( v ) sn( u) z cos( v ) x + y 1 x 1, y 1, z 1, 0 u π,0 v π

9 Felüleek érnı síkja paraméeres eseben Sík egyenlee álalánosan A ( x x 0 ) + B ( y y 0 ) + C ( z z 0 ) 0 P 0 ( x 0, y 0, z 0 ) az érnés pon n ( A, B, C) a sík normálvekora A normálvekor számíása paraméeresen ado felüleek eseén TÉTEL Ha r(u,v) [ x(u,v), y(u,v), z(u,v) ] a felüle paraméeres alakjában az x, y és z kéválozós függvények parcáls derválja folyonosak, akkor az érnısík normálvekora j k r( u, v) r( u, v) xu (, v) yuv (, ) z( x, y) n u v u u u xu (, v) yuv (, ) zuv (, ) v v v ( y u z v z u y v ) j ( x u z v z u x v ) + k ( x u y v y u x v ) ha az n vekor nem a nullvekor.

10 Felüleek érnı síkja paraméeres eseben Bzonyíás Belájuk, hogy eszıleges felülere rajzol r( r( x ( ), y ( )) görbe r( érnı vekora merıleges a éelben ado n normálvekorra, azaz mndg egy síkban vannak az érnı vekorok. Az összee függvény derválás szabálya alapján dr( x ( ), y ( )) r r r( x ( ) + y ( ) d u v A merılegesség bzonyíásához megmuajuk, hogy a skalárs szorza nulla! r r r r n r( x ( ) + y ( ) u v u v r r r r r r x ( ) + y ( ) 0 u v u u v v Ahol felhasználuk, hogy a vekoráls szorza merıleges mndké ényezıjére.

11 Felüleek érnı síkja explc eseben Az r(x,y)[x, y, z(x,y) ] explc alakú felülenél a paraméerek ux és vy A vekoráls szorza A normál vekor j k r r 1 0 z ( x, y) z ( x, y) z ( x, y) j + k x y x x y 0 1 z ( x, y) y n z( x, y) x z( x, y) y 1 Az érnısík egyenleére a kéválozós függvényeknél megsmer formula adódk. z z z z0 ( x x0 ) + ( y y0) x y ( x ; y ) ( x ; y )

12 Felüleek érnı síkja mplc eseben Legyen adva a felüle F(x,y,z)0 mplc alakban. Ekkor eszıleges P 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) pon környezeében az egyk válozó álalában kfejezheı a másk keıvel, mn függelen válozóval. Legyen pl. z a függı válozó: zz(x,y). F( x, y, z( x, y )) 0 n x lokálsan a P 0 pon környezeében Derváljuk x és y szern a fen egyenlee és használjuk a láncszabály! z F x + F z 0 x z F y + F z 0 y normálvekor F z x x Fz z F y y Fz n F ( x, y, z),, y F ( x, y, z) F ( x, y, z ) gradf ( x, y, z) z F x Fz F y Fz 1 érnısík F( x, y, z) F( x, y, z) F( x, y, z) ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) 0 x y z P 0 P P 0

13 Felüleek felszíne DEFINÍCIÓ Az r(u,v) paraméeresen ado felüle felszíné a T aromány fele a kövekezı haárérékkel érelmezzük, ha léezk. Osszuk fel háromszögekre a T aromány és veísük a háromszögeke a felülere! A kapo háromszögfeloszás erüleének összege közelí a felüle felszíné. Fnomísuk a háromszögfeloszás mnden haáron úl. Ha léezk a érbel poléderek összerüleének haáréréke, akkor ez lesz a felüle felszíne. Elem felüle felszíne df ru rv du dv Ezeke összegezve a T aromány fele keısnegrál kapunk T u r ( u, v ) x v r ( u, v ) d u d v

14 Felüleek felszíne Alakísuk á a normálvekor hosszának négyzeé! ru rv ru rv sn ru, rv ru rv ru rv cos ru, rv ( ) r r r r u v u v ( ) ( ) DEFINÍCIÓ. Gauss-féle elsırendő fımennységek E ru r r u u F r r u v G rv r r v v Így a felszín képle Explc alakban EG F dxdy T x f ( x, y ) T y f ( x, y ) dx dy

15 Példa: a gömb felszínének számíása A gömb paraméeres alakja r ( u, v ) R cos( u ) snv ( ) e + R snu ( ) snv ( ) e + R cos( v ) e x y z Parcáls derválak Vekoráls szorza u r ( u, v ) R sn( u ) sn( v ) e x + R cos ( u ) sn( v ) e y v r ( u, v ) R cos( u ) cos( v ) e + R snu ( ) cos( v ) e R snv ( ) e x y z ex ey ez r r Rsn( u)sn( v) R cos( u)sn( v) 0 u v R cos( u)cos( v) Rsn( u)cos( v) Rsn( v) R cos( u ) snv ( ) e R snu ( ) snv ( ) e + ( R snu ( ) snv ( ) cos( v ) R cos( u) snv ( ) cos( v )) e x y z π π d d u r ( u, v ) x Felszín v r ( u, v ) u v R snv ( ) dvdu 4R π T

16 Példa: órusz felszínének számíása A órusz paraméeres alakja r ( u, v ) [( a + b cos( v )) cos( u ), ( a + b cos( v )) snu ( ), b snv ( )] 0< u < p 0< v < p Parcáls dervál u-szern u r ( u, v ) [ ( a + b cos( v )) snu ( ), ( a + b cos( v )) cos( u ), 0] u r ( u, v ) u r ( u, v ) ( a + b cos( v )) snu ( ) + E ( a + b cos( v )) Parcáls dervál v-szern v r ( u, v ) [ b snv ( ) cos ( u ), b snv ( ) snu ( ), b cos( v )] v r ( u, v ) G v r ( u, v ) b snv ( ) cos( u ) + b snv ( ) snu ( ) + b cos( v ) F u r ( u, v ) v r ( u, v ) 0 0< b < a cos( u) EG F ( a + b cos( v )) b ( a + b cos( v ) ) b

17 Példa: órusz felszínének számíása Felszín π π EG F dudv π π b ( a + b cos( v )) dudv 4abπ