A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

Átírás

1 A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

2 Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. 2 / 27

3 Bevezetés Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. megértéséhez szükségesek voltak mindazok, amit a kinematikából eddig megtanultunk. 3 / 27

4 Bevezetés Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. megértéséhez szükségesek voltak mindazok, amit a kinematikából eddig megtanultunk. t Isaac Newton fedezte fel az 1600-as évek végén. Természetesen alapozott sokak munkájára, de nála állt össze egy rendszerré a mechanika. 3 / 27

5 Bevezetés Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. megértéséhez szükségesek voltak mindazok, amit a kinematikából eddig megtanultunk. t Isaac Newton fedezte fel az 1600-as évek végén. Természetesen alapozott sokak munkájára, de nála állt össze egy rendszerré a mechanika. A mechanika azóta is a Newton-k, melyeket a következőkben tárgyalunk. (Newton nem pontosan ebben a formában mondta ki őket, de mindezek benn vannak műveiben.) 3 / 27

6 Newton I. Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. 4 / 27

7 Newton I. Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Megjegyzések: Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. 4 / 27

8 Newton I. Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Megjegyzések: Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, mely nincs kölcsönhatásban más testekkel. 4 / 27

9 Newton I. Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Megjegyzések: Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, mely nincs kölcsönhatásban más testekkel. Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer! 4 / 27

10 Newton I. Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Megjegyzések: Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, mely nincs kölcsönhatásban más testekkel. Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer! Sok rossz megfogalmazása létezik Newton I. törvényének! Általában elfelejtik megjegyezni, hogy ez csak bizonyos rendszerekben teljesül. 4 / 27

11 Newton I. Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Megjegyzések: Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, mely nincs kölcsönhatásban más testekkel. Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer! Sok rossz megfogalmazása létezik Newton I. törvényének! Általában elfelejtik megjegyezni, hogy ez csak bizonyos rendszerekben teljesül. Newton többi csak inerciarendszerben teljesül! 4 / 27

12 Newton II. Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Minden testhez található egy olyan állandó m mennyiség, amit a test tömegének nevezünk, és a többi test hatása a vizsgált testre jellemezhető egy F úgynevezett erőfüggvénnyel, ami csak a test tömegétől, helyétől sebességétől és az időponttól függ, úgy, hogy ahol a a test gyorsulása. F = m a 5 / 27

13 Newton II. Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Minden testhez található egy olyan állandó m mennyiség, amit a test tömegének nevezünk, és a többi test hatása a vizsgált testre jellemezhető egy F úgynevezett erőfüggvénnyel, ami csak a test tömegétől, helyétől sebességétől és az időponttól függ, úgy, hogy ahol a a test gyorsulása. F = m a Newton szerint tehát a testek tömege állandó, független a test mozgásától és attól, milyen kölcsönhatásban vesz részt a test. 5 / 27

14 Newton II. Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Minden testhez található egy olyan állandó m mennyiség, amit a test tömegének nevezünk, és a többi test hatása a vizsgált testre jellemezhető egy F úgynevezett erőfüggvénnyel, ami csak a test tömegétől, helyétől sebességétől és az időponttól függ, úgy, hogy ahol a a test gyorsulása. F = m a Newton szerint tehát a testek tömege állandó, független a test mozgásától és attól, milyen kölcsönhatásban vesz részt a test. Másik elrejtett feltételezés, hogy a kölcsönhatások előre meghatározott módon mennek végbe, azaz az erő mindig ugyanaz, ha azonos körülmények közt megismétlek egy kísérletet. 5 / 27

15 ... Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Legnagyobb ötlet viszont, hogy a kölcsönhatás a test gyorsulását határozza meg. Korábban mindenki azt hitte, hogy a sebességet határozzák meg a körülmények. 6 / 27

16 ... Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Legnagyobb ötlet viszont, hogy a kölcsönhatás a test gyorsulását határozza meg. Korábban mindenki azt hitte, hogy a sebességet határozzák meg a körülmények. (Deriválás nélkül még a pillanatnyi sebesség is homályos fogalom volt, nemhogy a gyorsulás... ) 6 / 27

17 ... Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Legnagyobb ötlet viszont, hogy a kölcsönhatás a test gyorsulását határozza meg. Korábban mindenki azt hitte, hogy a sebességet határozzák meg a körülmények. (Deriválás nélkül még a pillanatnyi sebesség is homályos fogalom volt, nemhogy a gyorsulás... ) Newton II. törvényének jelentősége: Ha egy kölcsönhatás erőtörvényét egyszer megállapítom, és egy test tömegét lemérem, akkor Newton II. alapján megkapom a gyorsulást. Ebből a kinematika módszereivel a teljes mozgás visszakapható. 6 / 27

18 ... Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Legnagyobb ötlet viszont, hogy a kölcsönhatás a test gyorsulását határozza meg. Korábban mindenki azt hitte, hogy a sebességet határozzák meg a körülmények. (Deriválás nélkül még a pillanatnyi sebesség is homályos fogalom volt, nemhogy a gyorsulás... ) Newton II. törvényének jelentősége: Ha egy kölcsönhatás erőtörvényét egyszer megállapítom, és egy test tömegét lemérem, akkor Newton II. alapján megkapom a gyorsulást. Ebből a kinematika módszereivel a teljes mozgás visszakapható. Sok, korábban megmagyarázhatatlan dologra derült fény. (Bolygók mozgása, lövedék röppálya, gépek tervezési kérdései, stb.) 6 / 27

19 Newton III. Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Ha csak két test van egymással kölcsönhatásban, akkor ha az egyikre F 1 erő hat, akkor a másikra ható erő F 2 = F 1. 7 / 27

20 Newton III. Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Ha csak két test van egymással kölcsönhatásban, akkor ha az egyikre F 1 erő hat, akkor a másikra ható erő F 2 = F 1. Szokás ezt hatás-ellenhatás törvényének is nevezni F 1 F 2 = F / 27

21 Newton IV. Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Ha egy testre több másik is hat egyszerre, akkor a test úgy mozog, mintha olyan kölcsönhatásban szerepelne, melynek ereje a különkülön kölcsönhatások erőinek vektori összege. 8 / 27

22 Newton IV. Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Ha egy testre több másik is hat egyszerre, akkor a test úgy mozog, mintha olyan kölcsönhatásban szerepelne, melynek ereje a különkülön kölcsönhatások erőinek vektori összege. Az erők tehát egymástól függetlenül hatnak, hatásuk egyszerű matematikai művelettel összegezhető. F + F 1 2 F F / 27

23 ... Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. Több kölcsönhatás esetére Newton II. törvényét szokás az alábbi alakok valamelyikében felírni: F 1 + F F n = m a n F i = F eredő = ma i=1 9 / 27

24 A lendület fogalma 2 testre általánosítás 10 / 27

25 A lendület fogalma A lendület fogalma 2 testre általánosítás Mindenki emlékszik: lendület=tömeg x sebesség, azaz p = mv. De miért olyan fontos fogalom ez? Miért nincs neve mondjuk a m 2 v mennyiségnek? 11 / 27

26 A lendület fogalma A lendület fogalma 2 testre általánosítás Mindenki emlékszik: lendület=tömeg x sebesség, azaz p = mv. De miért olyan fontos fogalom ez? Miért nincs neve mondjuk a m 2 v mennyiségnek? Válasz: a lendület el van rejtve a Newton-kben: F = ma = mv = (mv) = p Ennek sok következménye van. 11 / 27

27 2 testre A lendület fogalma 2 testre általánosítás Vizsgáljunk két testet, amik erőt fejtenek ki egymásra, de más test nem hat erre a kettőre, azaz a két test zárt rendszert alkot. 12 / 27

28 2 testre A lendület fogalma 2 testre általánosítás Vizsgáljunk két testet, amik erőt fejtenek ki egymásra, de más test nem hat erre a kettőre, azaz a két test zárt rendszert alkot. Newton III. szerint a rájuk ható erők: F 1 = F 2 12 / 27

29 2 testre A lendület fogalma 2 testre általánosítás Vizsgáljunk két testet, amik erőt fejtenek ki egymásra, de más test nem hat erre a kettőre, azaz a két test zárt rendszert alkot. Newton III. szerint a rájuk ható erők: F 1 = F 2 Az előzőek szerint: p 1 = p 2 p 1 + p 2 = 0 A deriválás ismert tulajdonságai miatt: (p 1 + p 2 ) = 0 ami azt jelenti, hogy a két lendület összege időben állandó. 12 / 27

30 általánosítás A lendület fogalma 2 testre általánosítás Nemcsak 2, hanem n testre is bizonyítható, hogyha zárt rendszert alkotnak, össz lendületük állandó: n n m i v i = p i = áll. i=1 i=1 13 / 27

31 általánosítás A lendület fogalma 2 testre általánosítás Nemcsak 2, hanem n testre is bizonyítható, hogyha zárt rendszert alkotnak, össz lendületük állandó: n n m i v i = p i = áll. i=1 i=1 Zárt rendszer össz lendülete tehát állandó, függetlenül attól, milyen erők hatnak a rendszer részei között. Ez egy igen fontos törvényszerűség pl. ütközések vizsgálatánál. 13 / 27

32 tétel 14 / 27

33 a munka tétel Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint a köznapi nyelvben. Ha egy test r elmozdulása során a rá ható erő folytonosan F, akkor ez alatt az erő testen végzett munkája: W = F r 15 / 27

34 a munka tétel Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint a köznapi nyelvben. Ha egy test r elmozdulása során a rá ható erő folytonosan F, akkor ez alatt az erő testen végzett munkája: W = F r Itt a F r szorzat a vektorok skaláris szorzatát jelöli. 15 / 27

35 a munka tétel Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint a köznapi nyelvben. Ha egy test r elmozdulása során a rá ható erő folytonosan F, akkor ez alatt az erő testen végzett munkája: W = F r Itt a F r szorzat a vektorok skaláris szorzatát jelöli. A munka ilyen értelmezése mellett az alábbi alapvető dolgokat érdemes megjegyezni: W = 0, ha F és r merőlegesek. Tehát ha az erő és az elmozdulás merőlegesek egymásra, nincs munkavégzés. 15 / 27

36 a munka tétel Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint a köznapi nyelvben. Ha egy test r elmozdulása során a rá ható erő folytonosan F, akkor ez alatt az erő testen végzett munkája: W = F r Itt a F r szorzat a vektorok skaláris szorzatát jelöli. A munka ilyen értelmezése mellett az alábbi alapvető dolgokat érdemes megjegyezni: W = 0, ha F és r merőlegesek. Tehát ha az erő és az elmozdulás merőlegesek egymásra, nincs munkavégzés. W < 0, ha F és r szöge tompaszög. Ezt úgy is szokták mondani, hogy a test végez munkát azon a testen, ami hat rá. 15 / 27

37 a munkavégzés Az előző formula csak akkor használható, ha az erő állandó. tétel 16 / 27

38 a munkavégzés tétel Az előző formula csak akkor használható, ha az erő állandó. A pillanatnyi sebesség bevezetéséhez hasonlóan itt is elmondható, hogy kellően rövid idő alatt a mozgás paraméterei állandónak vehetők. 16 / 27

39 a munkavégzés tétel Az előző formula csak akkor használható, ha az erő állandó. A pillanatnyi sebesség bevezetéséhez hasonlóan itt is elmondható, hogy kellően rövid idő alatt a mozgás paraméterei állandónak vehetők. Ilyenkor a helyett formálisan d-t írunk. Azaz a munkavégzés egy kis elemi idő alatt: dw = Fdr 16 / 27

40 a munkavégzés tétel Az előző formula csak akkor használható, ha az erő állandó. A pillanatnyi sebesség bevezetéséhez hasonlóan itt is elmondható, hogy kellően rövid idő alatt a mozgás paraméterei állandónak vehetők. Ilyenkor a helyett formálisan d-t írunk. Azaz a munkavégzés egy kis elemi idő alatt: dw = Fdr (Most nem törődünk a nagyon precíz matematikai megfogalmazással.) 16 / 27

41 a mozgási energia tétel A munka előző definícióját osszuk el formálisan egy elemi időintervallum hosszával: dw dt = F dr dt 17 / 27

42 a mozgási energia tétel A munka előző definícióját osszuk el formálisan egy elemi időintervallum hosszával: dw dt = F dr dt Vegyük észre a bal oldalon a sebesség felbukkanását: dw dt = Fv 17 / 27

43 a mozgási energia tétel A munka előző definícióját osszuk el formálisan egy elemi időintervallum hosszával: dw dt = F dr dt Vegyük észre a bal oldalon a sebesség felbukkanását: dw dt = Fv Newton II. szerint F = m a = m (dv/dr), ezért: dw dt = m dv dt v illetve a rövidebb alakot használva a deriválásra: W = m v v 17 / 27

44 ... tétel Vegyük észre, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabályai miatt: ( 1 2 v2 ) = 1 2 (vv) = 1 2 (v v + vv ) = v v 18 / 27

45 ... tétel Vegyük észre, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabályai miatt: ( ) 1 2 v2 = 1 2 (vv) = 1 2 (v v + vv ) = v v Ezt beírva az előző összefüggésbe: W = m v v = 1 2 m ( v 2) 18 / 27

46 ... tétel Vegyük észre, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabályai miatt: ( ) 1 2 v2 = 1 2 (vv) = 1 2 (v v + vv ) = v v Ezt beírva az előző összefüggésbe: W = m v v = 1 2 m ( v 2) Kihasználva, hogy a tömeg és az 1/2-es szorzó állandó: W = ( ) 1 2 mv2 18 / 27

47 ... tétel Vegyük észre, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabályai miatt: ( ) 1 2 v2 = 1 2 (vv) = 1 2 (v v + vv ) = v v Ezt beírva az előző összefüggésbe: W = m v v = 1 2 m ( v 2) Kihasználva, hogy a tömeg és az 1/2-es szorzó állandó: W = ( ) 1 2 mv2 Bármilyen mozgás esetén tehát a munka időegység alatti megváltozása megegyezik az (1/2)mv 2 mennyiség változásával. 18 / 27

48 a mozgási energia tétel A munka és az (1/2)mv 2 mennyiség tehát egyforma módon változik, de utóbbit pontról pontra meg lehet határozni, a munkát viszont csak a pálya és az a mentén ható erők folytonos nyomon követésével. 19 / 27

49 a mozgási energia tétel A munka és az (1/2)mv 2 mennyiség tehát egyforma módon változik, de utóbbit pontról pontra meg lehet határozni, a munkát viszont csak a pálya és az a mentén ható erők folytonos nyomon követésével. Ezért az E m = (1/2)mv 2 mennyiség megérdemli, hogy nevet kapjon: mozgási energia. 19 / 27

50 a munkatétel Mivel a fentiek szerint minden időpontban W = E m, ezért a munka és a mozgási energia csak egy hozzáadható állandóval (W 0 ) térhet el egymástól: W = E m + W 0 tétel 20 / 27

51 a munkatétel Mivel a fentiek szerint minden időpontban W = E m, ezért a munka és a mozgási energia csak egy hozzáadható állandóval (W 0 ) térhet el egymástól: tétel W = E m + W 0 Kellemetlen, hogy az ismeretlen W 0 állandó felbukkant. Ezért ezt az összefüggést írjuk fel két időpont között és vonjuk ki egymásból: W(t 2 ) W(t 1 ) = E m (t 2 ) E m (t 1 ) 20 / 27

52 a munkatétel Mivel a fentiek szerint minden időpontban W = E m, ezért a munka és a mozgási energia csak egy hozzáadható állandóval (W 0 ) térhet el egymástól: tétel W = E m + W 0 Kellemetlen, hogy az ismeretlen W 0 állandó felbukkant. Ezért ezt az összefüggést írjuk fel két időpont között és vonjuk ki egymásból: W(t 2 ) W(t 1 ) = E m (t 2 ) E m (t 1 ) W(t 2 ) W(t 1 ) nyilván a testen a t 1 és t 2 közt végzett munka. Beírva a mozgási energia formuláját a munkatételt kapjuk: W 2,1 = 1 2 mv mv / 27

53 a potenciális energia A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. tétel 21 / 27

54 a potenciális energia tétel A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) 21 / 27

55 a potenciális energia tétel A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) Szerencsére a gyakorlatban sok kölcsönhatás olyan, hogy esetükben a munkavégzés független a test mozgásának pályájától, csak a kezdő- és végponttól függ. 21 / 27

56 a potenciális energia tétel A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) Szerencsére a gyakorlatban sok kölcsönhatás olyan, hogy esetükben a munkavégzés független a test mozgásának pályájától, csak a kezdő- és végponttól függ. Egy erőt potenciállal rendelkezőnek nevezünk, ha az általa végzett munka csak a kezdő- és végponttól függ. 21 / 27

57 a potenciális energia tétel A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) Szerencsére a gyakorlatban sok kölcsönhatás olyan, hogy esetükben a munkavégzés független a test mozgásának pályájától, csak a kezdő- és végponttól függ. Egy erőt potenciállal rendelkezőnek nevezünk, ha az általa végzett munka csak a kezdő- és végponttól függ. Ilyen pl. a gravitációs erő, a nyugvó töltésekből származó erő, a rugalmas alakváltozásokkor fellépő erők. 21 / 27

58 a potenciális energia tétel A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó erő esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W 2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) Szerencsére a gyakorlatban sok kölcsönhatás olyan, hogy esetükben a munkavégzés független a test mozgásának pályájától, csak a kezdő- és végponttól függ. Egy erőt potenciállal rendelkezőnek nevezünk, ha az általa végzett munka csak a kezdő- és végponttól függ. Ilyen pl. a gravitációs erő, a nyugvó töltésekből származó erő, a rugalmas alakváltozásokkor fellépő erők. Nem ilyen a súrlódási és közegellenállási erő. 21 / 27

59 ... tétel A potenciál szokásos jele a V. Akkor van tehát egy erőnek potenciálja, ha bármely 2 pont között bármilyen pályán mozgatva a testet teljesül, hogy: W 2,1 = V (r 1 ) V (r 2 ) 22 / 27

60 ... tétel A potenciál szokásos jele a V. Akkor van tehát egy erőnek potenciálja, ha bármely 2 pont között bármilyen pályán mozgatva a testet teljesül, hogy: W 2,1 = V (r 1 ) V (r 2 ) Ezt a munkatétellel összevetve könnyen bebizonyítható, hogy potenciálos erő esetén tetszőleges két pont közt: V (r 1 ) mv2 1 = V (r 2) mv / 27

61 ... tétel A potenciál szokásos jele a V. Akkor van tehát egy erőnek potenciálja, ha bármely 2 pont között bármilyen pályán mozgatva a testet teljesül, hogy: W 2,1 = V (r 1 ) V (r 2 ) Ezt a munkatétellel összevetve könnyen bebizonyítható, hogy potenciálos erő esetén tetszőleges két pont közt: V (r 1 ) mv2 1 = V (r 2) mv2 2 azaz a potenciál és a mozgási energia összege állandó. Ezért V -t szokás potenciális energiának is nevezni. 22 / 27

62 ... tétel A potenciál szokásos jele a V. Akkor van tehát egy erőnek potenciálja, ha bármely 2 pont között bármilyen pályán mozgatva a testet teljesül, hogy: W 2,1 = V (r 1 ) V (r 2 ) Ezt a munkatétellel összevetve könnyen bebizonyítható, hogy potenciálos erő esetén tetszőleges két pont közt: V (r 1 ) mv2 1 = V (r 2) mv2 2 azaz a potenciál és a mozgási energia összege állandó. Ezért V -t szokás potenciális energiának is nevezni. Fontos újra megjegyezni, hogy nem minden erő rendelkezik potenciális energiával, így a mozgási- és potenciális energiák összege nem mindig állandó. 22 / 27

63 a potenciál és az erő tétel Bebizonyítható, hogy a V (r) potenciál-függvény ismeretében a testre ható erő könnyen kiszámolható komponensenként: F x = dv dx, F y = dv dy, F z = dv dz 23 / 27

64 a potenciál és az erő tétel Bebizonyítható, hogy a V (r) potenciál-függvény ismeretében a testre ható erő könnyen kiszámolható komponensenként: F x = dv dx, F y = dv dy, F z = dv dz Ez az egyenlet lehetővé teszi a potenciál ismeretében az erő kiszámítását. 23 / 27

65 a potenciál és az erő tétel Bebizonyítható, hogy a V (r) potenciál-függvény ismeretében a testre ható erő könnyen kiszámolható komponensenként: F x = dv dx, F y = dv dy, F z = dv dz Ez az egyenlet lehetővé teszi a potenciál ismeretében az erő kiszámítását. Sajnos, a fordított irány bonyolultabb, tehát egy tetszőleges F(r) erőfüggvény esetén eldönteni, van-e potenciálja és ha igen, az mi: magasabb matematikai ismereteket igényel. 23 / 27

66 a potenciál és az erő tétel Bebizonyítható, hogy a V (r) potenciál-függvény ismeretében a testre ható erő könnyen kiszámolható komponensenként: F x = dv dx, F y = dv dy, F z = dv dz Ez az egyenlet lehetővé teszi a potenciál ismeretében az erő kiszámítását. Sajnos, a fordított irány bonyolultabb, tehát egy tetszőleges F(r) erőfüggvény esetén eldönteni, van-e potenciálja és ha igen, az mi: magasabb matematikai ismereteket igényel. Egyszerűbb esetekben azonban találgatással is jó eredményt érhetünk el. 23 / 27

67 egydimenziós eset tétel Egyenes menti mozgásoknál, azaz 1 dimenzióban minden egyszerűbb. Ha az erő csak a helytől függ, azaz megadható F(x) alakban, akkor: azaz V (x) = F(x) = V (x) x x 0 F(x)dx + V (x 0 ) 24 / 27

68 egydimenziós eset tétel Egyenes menti mozgásoknál, azaz 1 dimenzióban minden egyszerűbb. Ha az erő csak a helytől függ, azaz megadható F(x) alakban, akkor: azaz V (x) = F(x) = V (x) x x 0 F(x)dx + V (x 0 ) Az integrálás ismert tulajdonságai miatt a potenciál egy állandó erejéig bizonytalan. Fizikailag ez azt jelenti, hogy egy x 0 alappontban a potenciálnak tetszőleges értéket tulajdoníthatunk, mert valójában csak két pont közti potenciálkülönbségnek van fizikai értelme. 24 / 27

69 példák 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. tétel 25 / 27

70 példák 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. tétel 25 / 27

71 példák 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. tétel F z = d(mgz) dz = mg 25 / 27

72 példák 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. F z = d(mgz) dz = mg A testre tehát z irányban mg nagyságú erő hat. tétel 25 / 27

73 példák tétel 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. F z = d(mgz) dz = mg A testre tehát z irányban mg nagyságú erő hat. Ez a Föld felszín közelében a gravitációs erőtér esete. 2. Mozogjon a test csak az x tengely mentén és legyen V (x) = (1/2)Dx / 27

74 példák tétel 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. F z = d(mgz) dz = mg A testre tehát z irányban mg nagyságú erő hat. Ez a Föld felszín közelében a gravitációs erőtér esete. 2. Mozogjon a test csak az x tengely mentén és legyen V (x) = (1/2)Dx 2. F x = Dx 25 / 27

75 példák tétel 1. V (r) = m g z, ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. Ekkor V független x-től és y-tól, ezért nyilván F x = F y = 0. F z = d(mgz) dz = mg A testre tehát z irányban mg nagyságú erő hat. Ez a Föld felszín közelében a gravitációs erőtér esete. 2. Mozogjon a test csak az x tengely mentén és legyen V (x) = (1/2)Dx 2. Ez a rugón rezgő test esete. F x = Dx 25 / 27

76 a newtoni mechanika 26 / 27

77 a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) a newtoni mechanika 27 / 27

78 a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. a newtoni mechanika 27 / 27

79 a newtoni mechanika a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fő csoportok: A fény sebességével összemérhető sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) 27 / 27

80 a newtoni mechanika a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fő csoportok: A fény sebességével összemérhető sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) Rendkívül nagy tömegű testekhez közeli tartományok. (Általános relativitáselmélet.) 27 / 27

81 a newtoni mechanika a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fő csoportok: A fény sebességével összemérhető sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) Rendkívül nagy tömegű testekhez közeli tartományok. (Általános relativitáselmélet.) Az anyag elemi részeinek méretén lezajló folyamatok. (Kvantummechanika.) 27 / 27

82 a newtoni mechanika a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fő csoportok: A fény sebességével összemérhető sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) Rendkívül nagy tömegű testekhez közeli tartományok. (Általános relativitáselmélet.) Az anyag elemi részeinek méretén lezajló folyamatok. (Kvantummechanika.) Ezekkel később röviden találkozni fogunk. 27 / 27

83 a newtoni mechanika a newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérhető hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fő csoportok: A fény sebességével összemérhető sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) Rendkívül nagy tömegű testekhez közeli tartományok. (Általános relativitáselmélet.) Az anyag elemi részeinek méretén lezajló folyamatok. (Kvantummechanika.) Ezekkel később röviden találkozni fogunk. A mindennapokban a newtoni mechanika pontatlansága kimérhetetlenül kicsi, ezért többnyire bátran alkalmazhatjuk. 27 / 27