Játékok (domináns stratégia, alkalmazása

Átírás

1 Játékok (domináns stratégia, Nash-egyensúly). A Nashegyensúly koncepciójának alkalmazása

2 Játékelmélet és közgazdaságtan 1914: Zermelo (sakk) Neumann-Morgenstern: Game Theory and Economic Behavior közgazdasági Nobel díj John C. Harsanyi, University of California, USA, John F. Nash, Princeton University, USA, Reinhard Selten, Rheinische Friedrich - Wilhelms - Universität Bonn: a nem-kooperatív játékok elméletében az egyensúlyanalízis terén végzett úttörő munkásságukért közgazdasági Nobel díj Robert Aumann Thomas Schelling: konfliktus és kooperáció jobb megértéséért a játékelméleti elemzésben

3 Játékelmélet Játék: döntési helyzet, amelyben a szereplők kölcsönös függnek egymástól döntés eredménye a többiek válaszától (döntésétől) függ (pl. néhány szereplő a piacon) Játékelmélet a közgazdaságtanban: a piaci szereplők közötti stratégiai interakciók vizsgálatára alkalmas matematikai módszer A játék leírásához szükséges: a játékosok halmaza a stratégiák halmaza a különböző stratégiakombinációk kimenetele ( kifizetések )

4 Példa: döntés a piacra vitt mennyiségről Egy piacon 2 vállalat van jelen, a piacra vitt termelési mennyiségről döntene. A vállalatok szimultán hozzák meg döntésüket (nem tudják, a másik hogyan dönt). A piaci keresletet a p=140-q függvény írja le. Mindkét vállalat határköltsége konstans és MC=AC=20. Tegyük fel, hogy mindkét vállalatnak két lehetséges stratégiája (kínálati döntése) van: q= 30 (alacsony output) q= 40 (magas output) Mennyit visznek piacra, ha mindkettő saját profitját akarja maximalizálni?

5 Példa: döntés a piacra vitt mennyiségről S 2 Q 2 =30 Q 2 = 40 S 1 Q 1 = , , 2000 P=140-Q AC 1 =AC 2 =20 Q 1 = , , 1600

6 Példa: döntés a piacra vitt mennyiségről S 2 Q 2 =30 Q 2 = 40 S 1 Q 1 = , 1800 Q 1 = , , , Vállalat domináns stratégiája Q=40 2. Vállalat domináns stratégiája: Q=40 Nash egyensúly Pareto hatékony-e?

7 Fogolydilemma Egy súlyos bűntény kapcsán két gyanúsítottat letartóztat a rendőrség. Mivel nem áll rendelkezésre elegendő bizonyíték a vádemeléshez, ezért elkülönítik őket egymástól és mindkettejüknek ugyanazt az ajánlatot teszik. Amennyiben az első fogoly vall és társa hallgat, akkor az előbbi büntetés nélkül elmehet, míg a a másik, aki nem vallott, 10 év börtönt kap. Ha az első tagadja meg a vallomást és a második vall, akkor az másodikat fogják elengedni és az első kap 10 évet. Ha egyikük sem vall, akkor egy kisebb bűntényért 1 évet kapnak mindketten. Ha mindketten vallanak, mindegyikük 5 évet kap.

8 Fogolydilemma 2. fogoly Tagad Vall Tagad 1,1 10,0 1. fogoly Vall 0,10 5,5

9 Fogolydilemma 2. fogoly Tagad Vall Tagad 1,1 10,0 1. fogoly Vall 0,10 5,5

10 Fogalmak A játék megadásához szükséges információk: a játékosok halmaza ; N= 1,2,3 n s i (i=1,2 n): az i-edik játékos stratégiája, és S i : stratégiahalmaz, az összes lehetséges stratégia (és s i S i ) A kifizetés: eredmény, amelyet az i-edik játékos elér a j-edik játékos stratégiája mellett: i (s i,s j ) A játékosok célja a saját kifizetés maximalizálása (nem kooperatív játék)

11 Kifizetési mátrix (normál forma) j S j 1 S j 2 s i 1 i (s i1,s j1 ), j (s i1,s j1 ) i (s i1,s j2 ), j (s i1,s j2 ) i s i 2 i (s i2,s j1 ), j (s i2,s j1 ) i (s i2,s j2 ), j (s i2,s j2 )

12 Domináns stratégia Szigorúan domináns stratégia: s i * S i, ha minden s j S j, i j esetén teljesül, hogy i (s i *,s j )> i(s i,s j ), minden s i S i -re. Másképpen: az a stratégia, amely nem függ attól, hogy a másik játékos mit választ bármely más stratégiánál nyereségesebb, függetlenül attól, hogy mit lép a többi játékos.

13 Domináns stratégia Gyengén domináns stratégia: s i * S i, ha minden s j S j, i j esetén teljesül, hogy i (s i *,s j ) i(s i,s j ), minden s i S i -re, de legalább egy s j S j -re teljesül, hogy i (s i *,s j )> i (s i,s j ), Másképpen: ha legalább olyan nyereséges, mint bármely más (s i S i )stratégia, függetlenül attól, hogy mit lép a többi játékos; és legalább egy esetben nyereségesebb is.

14 Nash stratégia - Nash egyensúly Nash-stratégia vagy a legjobb válasz stratégia s i * S i, ha adott s j S j, i j esetén teljesül, hogy i (s i *,s j )> i (s i,s j ), minden s i S i -re. (ez a stratégia hozza a maximális kifizetést) Minden szigorúan domináns stratégia egyben szigorú Nash-stratégia is. Nash egyensúly: ha minden játékos Nashstratégiát választott, azaz i (s i *,s j *)> i (s i,s j *), minden s i *,s i S i

15 Nash-egyensúly Nash egyensúly:olyan stratégiakombináció, amelyben egyik játékosnak sem származik előnye abból, ha stratégiáján változtat, amíg a többi játékos azonos módon játszik tovább Vagy: minden játékos stratégiája legjobb válasz a többiek egyensúlyi stratégiájára

16 Nemek harca játék Kapcsolatuk elején tartó párnak el kell döntenie, hogyan töltsék az estét. Legelső közös preferenciájuk az, hogy együtt legyenek. A fiú azonban bokszmeccsre szeretne menni, a lány viszont az operába. A legrosszabb változat az volna, ha külön-külön töltenék az estét.

17 Nemek harca Fiú Bokszmeccs Opera Bokszmeccs 2,3 1,1 Lány Opera 1,1 3,2

18 Nemek harca nincs domináns stratégia 2 db NE Bokszmeccs Fiú Opera Bokszmeccs 2,3 1,1 Lány Opera 1,1 3,2

19 Chickens game (Gyáva nyúl játék) 2. kitér Nem tér ki kitér 3,3 2,4 1. Nem tér ki 4,2 1,1

20 Fogalmak Gyengén domináns stratégia, szigorúan domináns stratégia Nash stratégia, Nash egyensúly Kifizetési mátrix