Példák. Duopólium részben állami tulajdonú vállalattal. Gyakran feltett kérdések. Alapvető források

Átírás

1 Példák Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal Tasnád Attla Budapest Corvnus Egyetem Matematka Tanszék MTA-BCE Lendület Stratéga Interakcók Kutatócsoport áprls 25. A részben állam tulajdonú vállalat a pac szabályozására használható. Számos pacon megfgyelhető részben állam és magánvállalatok egydejű jelenléte. Haza példák: MOL, negyedk moblszolgáltató vagy a tervezett Webbank Kwbank: Új-Zéland állam bank Statol: 60%-os állam tulajdonban lévő norvég energapar társaság Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 1 / 25 Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 2 / 25 Gyakran feltett kérdések Alapvető források Növelhet-e egy részben állam vállalat pac jelenléte a társadalm jólétet? A prvatzácó optmáls mértéke? Merrll és Schneder (1966) vetette fel a vegyes olgopólumokat. Részben állam tulajdonú duopólumok elemzését Matsumura (1998) kezdeményezte. Egy homogén termékű mennység duopol modellben meghatározta az optmáls állam tulajdonhányadot (a részben állam vállalat magasabb társadalm jólétet eredményez, mnt a tszta állam vállalat). Hasonló vzsgálatokat végzett Barcéna-Ruz és Sedano (2011) dfferencált termékű árduopólumok esetére. Tszta magánvállalatos homogén termékű árduopólum esetét vszgálták: Levtan és Shubk (1972), Kreps és Schenkman (1983), Deneckere és Kovenock (1992)... Tszta állam vállalatos homogén termékű árduopólum eset: Balogh és Tasnád (2012). Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 3 / 25 Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 4 / 25

2 Nehézségek Fő feltevések Kfzetőfüggvények az érdekes esetekben nem létezk. sem nylvánvaló. Kevert Nash-egyensúly meghatározásának nehézsége. Kevert Nash-egyensúly tulajdonságanak jellemzése. Feltevés A D kereslet görbe metsz a tengelyeket, szgorúan monoton csökkenő, konkáv és kétszer folytonosan dfferencálható (0, b)-n. Feltevés A duopolsták egységköltsége nullák a k 1 és k 2 kapactáskorlátjukg, továbbá k 1 < a. Feltevés Hatékony adagolás szabályt tételezünk fel. Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 5 / 25 Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 6 / 25 Kfzetőfüggvények Társadalm jólét Kfzetőfüggvények P az nverz pac kereslet görbe, p c = P(k 1 + k 2 ) a pactsztító ár a rezduáls kereslet D r (p) = (D(p) k j) +, ( j) p b D { mn (D(pj ) k ) +,k j SW (, p 2 ) = P(q+k )dq+ 0 p mn{a,k 0 P(q)dq p m p d D r q q m k a k j a Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 7 / 25 p j p R j (q) P(q) = 1 q D(p j ) q k Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 8 / 25

3 Kfzetőfüggvények Kfzetőfüggvények Létezésének szükséges és elégséges feltétele A hatékony adagolás szabály mellett az {1, 2 vállalat kereslete D (p ), ha p < p j ; k (D,, k 1, p 2, k 2 ) = k 1 +k 2 D (p ), ha p = p = p j ; (D (p ) k j ) +, ha p > p j. Részben állam tulajdonú vállalat kfzetőfüggvénye: π 1 (, p 2 ) = (1 α) mn {k 2, 1 (D,, k 1, p 2, k 2 )+αsw (, p 2 ). Magánvállalat kfzetőfüggvénye: π 2 (, p 2 ) = p 2 mn {k 2, 2 (D,, k 1, p 2, k 2 ). Még egy referencaár a részben állam vállalat rezduáls kereslet görbéjén proftmaxmalzáló ár: { Tétel p s 1 = arg max [0,b] (1 α) D r 1 ( ) + α D(p1 ) 0 P(q)dq Duopol játékunknak pontosan akkor létezk tszta Nash-egyensúlya, ha max{p s 1, pm 2 pc, és ekkor a tszta Nash-egyensúly p 1 = p 2 = p c = P(k 1 + k 2 ). (1). Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 9 / 25 Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 10 / 25 Bzonyítás. Előbb belátjuk, hogy egyensúlyként csak (1) jöhet szóba. Tfh. p1 < p 2. (a) A D(p 1 ) > k 1 esete. Ha D2 r (p 2 ) > 0, akkor a részben állam vállalat árának emelése növel a proftját anélkül, hogy változna SW. Ha D2 r (p 2 ) 0, akkor a magánvállalat árcsökkentéssel proftra tehet szert. (b) A D(p1 ) k 1 esete. Ekkor a magánvállalat p1 árra való áttéréssel pacra tehet szert, és ezzel D(0) > k 1 matt proftot realzálhat. Tfh. p1 > p 2 egyensúly. Ekkor ha D(p 2 ) > k 2, akkor a magánvállalat p2 -nál magasabb árakon s értékesít teljes kapactását, és ha D(p2 ) k 2, akkor pedg a részben állam vállalatnak érdemes árát p2 alá vnne, mvel ezzel nem változna SW, de nöne a proftja. Tfh. p1 = p 2 > pc egyensúly. Ekkor mndkét cég egyoldalúan érdekelt árának ks mértékű csökkentésében. Mvel A p c alatt árak választása rraconáls, az egyetlen lehetséges egyensúly (1). Bzonyítás folytatása. Végül annak szükséges és elégséges feltétele, hogy egyk duopolstának se álljon érdekében egyoldalúan árát p c fölé emelne, a p1 s, pm 2 árak defnícóból és a megfelelő rezduáls kfzetőfüggvények szgorú konkavtásából adódk. Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 11 / 25 Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 12 / 25

4 Egzsztenca tételek Prokopovych és Yannels egzsztenca tétele Dasgupta és Maskn (1986). Sajnos a duopol játékunkra nem alkalmazható, mvel sérül a π 1 + π 2 függvény felülről-félg folytonossága. Smon (1987), Reny (1999),... Bagh (2010) Prokopovych és Yannels (2012) valamvel rövdebben kmondható 3. tételüket alkalmazzuk. Néhány jelölés S 1 = { (x 1, x 2 ) [0, b] 2 x 2 > x 1 S 2 = { (x 1, x 2 ) [0, b] 2 x 1 > x 2 S = { (x 1, x 2 ) [0, b] 2 x 1 = x 2 S D = { (x 1, x 2 ) [0, b] 2 lm sup y x π 1 (y) + π 2 (y) > π 1 (x) + π 2 (x). Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 13 / 25 Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 14 / 25 Tétel (Prokopovych és Yannels (2012)) Az ( {1, 2, [0, b] 2, (π 1, π 2 ) ) -nek létezk kevert egyensúlya, ha () π 1 + π 2 függvény megszorítása S-re folytonos; () léteznek olyan l j : S j R folytonos függvények (, j {1, 2), hogy π (x) = l j (x) mnden x S j -re és, j {1, 2-re; () mnden {1, 2-höz és x S-hez létezk olyan j {1, 2, hogy l j (x) π (x) l j (x), ahol j a másk ndexet jelöl; (v) mnden x = (z, z) S D -hez léteznek olyan, j {1, 2 ndexek és létezk olyan S j -bel elemekből álló x-hez tartó {(x k, z) k=1 sorozat, amelyre lm k l j (x k, z) > π (x); (v) ha léteznek olyan, j {1, 2 ndexek és olyan x = (z, z) S D -hez tartó S j -bel elemekből álló {(x k, z) k=1 sorozat, hogy lm k l j (x k, z) > π (x), akkor lm k l j (z, x k ) < π (x). a duopol játékunkban Mvel π 1 (p, p) + π 2 (p, p)-ben SW folytonos [0, b] 2 -ön és 1, 2 proftfüggvénye azonos árak mellett a [0, p c ]-n lneárs p-ben, míg a (p c, b)-n a törés szabály szernt a kereslet görbe konstansszorosa, teljesül (). A ()-ben legyenek l1 1(, p 2 ) = π 1 (, p 2 ) az S 1 -en, l1 2(, p 2 ) = π 1 (, p 2 ) az S 2 -ön, l2 1(, p 2 ) = π 2 (, p 2 ) az S 1 -en és l2 2(, p 2 ) = π 2 (, p 2 ) az S 2 -ön. () abból adódk, hogy az l j folytonos kterjesztéset véve l1 1(p, p) π 1(p, p) l1 2(p, p) és l 2 1(p, p) π 2(p, p) l2 2 (p, p) mnden p S-re. Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 15 / 25 Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 16 / 25

5 a duopol játékunkban II. és néhány észrevétel A (v) és (v) pontok teljesüléséhez vegyük fgyelembe, hogy S D = {(p, p) [0, b] 2 p c < p < b. (v)-hez legyen j = = 1 (j = = 2 s alkalmas volna). Ekkor bármely (p, p) S D -hez bármely alulról monoton p-hez tartó {p k 1 k=1 sorozatra lm k l 1 1 (pk 1, p) > π 1(p, p) mvel p-nél ksebb árakon az állam vállalat mn{k 1, D(p) mennységet értékesít, míg p áron osztozna kell a D(p) pacon, am p > p c matt mn{k 1, D(p)-nél jóval ksebb értékesítést eredményez. Az (v) pont belátásához még azt kell fgyelembe venn, hogy lm k l 1 2 (p, pk 1 ) < π 2(p, p), mvel a magánvállalat (p, p k 1 ) árak mellett a rezduáls kereslet görbén kevesebbet értékesít, mnt (p, p) áron a pacon való osztozkodással p > p c matt. A max{p1 s, pm 2 > pc eset vzsgálandó. Legyen (ϕ 1, ϕ 2 ) a játék egy tetszőleges kevert Nash-egyensúlya, továbbá legyen p = sup supp(ϕ ) és p = nf supp(ϕ ), ahol {1, 2. Vegyük észre, hogy ha p2 m > pc, akkor p 2 p2 d > pc, mvel a kevert egyensúlyban a magánvállalat p2 d áron legfeljebb anny proftot érhet el, mnt p2 m áron. Ebből adódóan pd 2. Ha pedg p1 s > pc p2 m, akkor legalább annyt mondhatunk, hogy > p c és p 2 > p c. Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 17 / 25 Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 18 / 25 Néhány lemma Lneárs kereslet görbe esete ϕ 1 -nek és ϕ 2 -nek nem lehet azonos ár mellett atomja. = p s 1 vagy p 2 = p m 2. max{, p 2 max{p s 1, pm 2. = p 2, továbbá ϕ 1 -nek és ϕ 2 -nek nncsen atomja a legksebb árnál. Legyen D(p) = (1 p) +, P(q) = (1 q) + és k = k 1 = k 2. Pontosan akkor nncsen tszta Nash-egyensúly, ha k (1/3, 1). Ekkor a nevezetes árak értéke: p1 m = p2 m = 1 k, p1 d = p d (1 k)2 2 = 2 4k és p s 1 = 1 α 2 α (1 k). SW trapézok területe: { 1 SW (, p 2 ) = 2 (1 + )(1 ) = 1 2 (1 p2 1 ), ha p 2 ; 1 2 (1 + p 2)(1 p 2 ) = 1 2 (1 p2 2 ), ha < p 2. Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 19 / 25 Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 20 / 25

6 Megoldás keresése Megoldás keresése II. Tfh. = p 2 = p2 d és a magánvállalat egyensúly proftja π 2 = p2 dk = pm 2 (1 pm 2 k). Jelölje rendre F és G az állam és a részben állam vállalat eloszlásfüggvényét. A magánvállalat célfüggvénye π 2 (F, p 2 ) = p 2 k(1 F (p 2 )) + p 2 (1 p 2 k)f (p 2 ) = π 2. (2) (2) átrendezésével adódk F (p 2 ) = p 2 k π 2 p 2 (2k 1 + p 2 ). (3) Ellenőrzhető, hogy F (p2 d) = 0, F (pm 2 ) = 1 és F szgorúan monoton növekedő [p2 d, pm 2 ]-en. π 1 (, G) = (1 α) k(1 G( )) + (1 α) (1 k)g( ) + α 1 2 (1 p2 1)G( ) + α 1 2 p m 2 (1 p 2 2)dG(p 2 ) = π 1 A magánvállalat stratégája a π 1 (, G) = 0 és G(p2 d ) = 0 k. é. p. megoldása segítségével kapható meg. π 1 (, G) = (1 α)k(1 G( )) (1 α) kg( ) + (1 α) [(1 k)g( ) G( ) + (1 k)g( )] α G( ) α(1 p2 1)g( ) 1 2 α(1 p2 1)g( ) = [(1 α)(1 2 2k) α ] G( ) + (1 α) (1 2k)g( ) + (1 α)k = 0 Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 21 / 25 Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 22 / 25 Megoldás keresése III. Záró gondolatok Az elsőrendű lneárs dfferencálegyenlet általános megoldása G( ) = C 1 ( ) α k(1 α) + 2k + 1 és a G(p d 2 ) = 0 kezdetérték és pd 2 = (1 k)2 4k felhasználásval Sok nytott kérdés! α 0 a tszta magánvállalatos megoldáshoz tartunk -e? α 1 tszta állam vállalatos megoldáshoz tartunk -e? C = k(1 α) ( 3 ) 2 1 k α k Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 23 / 25 Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 24 / 25

7 Köszönöm a fgyelmet! Tasnád Attla Duopólum részben állam tulajdonú vállalattal 25 / 25