Analízis deníciók és tételek gy jteménye
|
|
- Kornélia Vinczené
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Analízis deníciók és tételek gy jteménye Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Ez a jegyzet az Analízis el adásokon a két félév alatt elhangzott legfontosabb deníciókat és tételeket tartalmazza, vagyis nem minden elhangzott deníciót és tételt. Esetenként olyan fogalmakat is felhasználunk, melyek nincsenek benne ebben a jegyzetben. Az egymáshoz nagyon hasonló deníciók esetén (például alsó-fels korlát, monoton csökkenés-növekedés) általában csak az egyiket mondjuk ki. A jegyzetben lehetnek hibák és elgépelések, de erre nem hivatkozhatsz a vizsgán! Ha hibát találsz a dokumentumban, vagy új deníciókattételeket javasolnál a jegyzethez hozzávenni, kérlek, küldj egy üzenetet a kiss.daniel@nik.uni-obuda.hu címre. Utolsó módosítás: január 2. 13:47 1. Valós számok, nevezetes egyenl tlenségek Deníció. Jelölje R a valós számok halmazát. Ekkor R egy teljes rendezett test, azaz értelmezett rajta egy összeadás nev m velet, mely asszociatív, kommutatív, létezik nullelem és minden elemnek létezik ellentettje (additív inverz) értelmezett rajta egy szorzás nev m velet, mely asszociatív és kommutatív, létezik egységelem és a nullelemen kívül minden elemnek létezik inverze (multiplikatív inverz) bármely a, b, c R esetén a(b + c) = ab + ac teljesül értelmezett rajta egy rendezési reláció, mely reexív, antiszimmetrikus, tranzitív és teljes, továbbá teljesül rá az összeadás és a szorzás monotonitása bármely nemüres, felülr l korlátos részhalmazának létezik egyértelm fels korlátja. Deníció. Egy A R számhalmazt felülr l korlátosnak nevezünk, ha van olyan K valós szám, hogy A minden a elemére a K teljesül. Deníció. Ha az L szám fels korlátja A-nak, de tetsz leges L < L már nem az, akkor L-et az A halmaz legkisebb fels korlátjának vagy szuprémumának nevezzük, és sup A-val jelöljük. Deníció. Az A R halmazt korlátosnak hívjuk, ha alulról és felülr l is korlátos. Tétel (Bernoulli-egyenl tlenség). Ha a 1 valós szám és n N, akkor (1 + a) n 1 + na. Tétel (Közepek közötti egyenl tlenség). Ha a 1, a 2,..., a n pozitív valós számok, akkor a 1 + a a n n n n a 1 a 2... a n 1 a a , a n és egyenl ség pontosan akkor áll, ha a 1 = a 2 =... = a n. 1
2 2. Numerikus sorozatok Deníció. A Z + R függvényeket numerikus sorozatnak Deníció. Az (a n ) sorozatot felülr l korlátosnak nevezzük, ha van olyan K R szám, melynél a sorozatnak nincsen nagyobb eleme. Deníció. Az (a n ) sorozatot korlátosnak hívjuk, ha alulról és felülr l is korlátos. Deníció. Az (a n ) sorozat monoton növeked, ha minden n Z + esetén a n a n+1 teljesül. A sorozat szigorúan monoton növeked, ha az el bbi feltételben egyenl ség nem állhat. Deníció. Az (a n ) sorozat konvergens, ha létezik olyan A szám, hogy annak bármely környezetében a sorozatnak majdnem minden eleme benne van. Tétel. Egy konvergens sorozat határértéke egyértelm. Tétel. Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos is. Deníció. Egy sorozat elemei közül néhányat (esetleg végtelen sokat) elhagyva, mégis végtelen sokat megtartva az eredti sorozat egy részsorozatát kapjuk. Tétel. Egy konvergens sorozat minden részsorozata is konvergens, és a részsorozat határétéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. Tétel. Minden sorozatnak van monoton részsorozata. Tétel (BolzanoWeierstrass). Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. Deníció. Az α R számot az (a n ) sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha bármely környeze a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza. 3. Egyváltozós függvények tulajdonságai Deníció. Az f függvénynek lokális maximuma van az x 0 pontban, ha x 0 -nak létezik olyan környezete, hogy az ebbe es x D f pontokra f(x) f(x 0 ) teljesül. Szigorú lokális maximuma van, ha az el bbi feltételben egyenl ség nem állhat. Deníció. Az f függvény monoton növeked, ha bármely x 1 < x 2 (x 1, x 2 D f ) esetén f(x 1 ) f(x 2 ) teljesül. Szigorúan monoton növeked, ha az el z feltételben egyenl ség nem állhat. Deníció. Az f függvény konvexnek nevezzük, ha grakonjának bármely íve az ív végpontjait összeköt húr alatt vagy magán a húron van. Szigorúan konvex, ha a végpontoktól eltekintve az ív a húr alatt van. Deníció. Egy f függvénynek inexiós pontja van x 0 -ban, ha x 0 -nak létezik olyan bal és jobb oldali környezete, hogy az egyikben a függvény szigorúan konvex, a másikban szigorúan konkáv. Deníció. Az f függvényt páros függvénynek nevezzük, ha minden x D f esetén x D f teljesül, és f(x) = f( x). A függvény páratlan függvény, ha minden x D f esetén x D f és f(x) = f( x). Deníció. Az f függvény p szerint periodikus, ha van olyan p pozitív valós szám, hogy minden x D f esetén (x + kp) D f tetsz leges egész k esetén, továbbá f(x + p) = f(x). Deníció. Ha f egy bijektív függvény, akkor f jelöli azt a függvényt, melynek értelmezési tartománya f értékkészlete, és minden x D f esetén teljesíti, hogy f ( f(x) ) = x. Az f függvényt f inverz függvényének Állítás. Szigorúan monoton függvénynek mindig létezik inverz függvénye. 2
3 4. Egyváltozós függvények folytonossága, határértéke Deníció. Legyen f az x 0 valamely pontozott környezetében értelmezve. Azt mondjuk, hogy az f határértéke x 0 -ban A, ha tetsz leges ε > 0 valós számhoz található olyan δ > 0, hogy f (x) A < ε, ha x x 0 < δ. Tétel. Az f függvénynek egy x 0 pontban pontosan akkor létezik határértéke, ha ott létezik jobb és bal oldali határértéke, és lim f(x) = lim f(x). x x + 0 x x 0 Deníció. Legyen f értelmezve x 0 valamely környezetében. Az f függvény folytonos x 0 -ban, ha tetsz leges ε > 0 valós számhoz található olyan δ > 0, hogy f (x) f (x 0 ) < ε, ha x x 0 < δ. Tétel. Az f függvény pontosan akkor folytonos egy x 0 pontban, ha ott balról és jobbról is folytonos. Tétel. Ha f és g folytonosak x 0 -ban, akkor ott az összeg-, különbség- és szorzatfüggvényük is folytonos. Ha g (x 0 ) 0, akkor az f/g függvény is folytonos x 0 -ban. Ha f folytonos g (x 0 )-ban is, akkor az f g, tehát az f (g (x 0 )) is folytonos x 0 -ban. Deníció. Az f függvény egyenletesen folytonos az I intervallumon, ha tetsz leges ε > 0 valós számhoz található egy közös, helyt l független δ > 0, hogy minden x 1, x 2 I és x 1 x 2 < δ esetén f (x 1 ) f (x 2 ) < ε teljesül. Tétel (Bolzano). Egy intervallumon értelmezett folytonos függvény az intervallum bármely két pontjában felvett értékei közé es bármely értéket felveszi a két hely között. Tétel (Weierstrass). Zárt intervallumon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát az intervallumon. 5. Egyváltozós függvények dierenciálszámítása és alkalmazásai Deníció. Legyen f értelmezve az x 0 valamely környezetében. Ha a f (x) f (x 0 ) lim x x 0 x x 0 határérték létezik, akkor a függvényt x 0 -ban dierenciálhatónak nevezzük, és x 0 -beli dierenciálhányadosán (deriváltján) az el bbi határértéket értjük. Deníció. Az f függvény az x 0 helyen jobbról dierenciálható, ha f értelmezett x 0 jobb oldali környezetében, és létezik az x 0 helyhez tartozó dierenciahányados-függvénynek jobb oldali határértéke. Tétel. Az f (x 0 ) pontosan akkor létezik, ha f + (x 0 ) és f (x 0 ) is léteznek és egyenl ek. Ekkor f (x 0 ) = f + (x 0 ) = f (x 0 ) Deníció. Az f függvény dierenciálható az (a, b) nyílt intervallumon, ha az intervallum minden pontjában dierenciálható. Az f függvény dierenciálható az [a, b] zárt intervallumon, ha az intervallum minden bels pontjában, valamint a-ban jobbról, b-ben balról dierenciálható. Tétel. Ha f dierenciálható egy x 0 helyen, akkor ott folytonos is. Deníció. Azt a függvényt, melynek értelmezési tartománya azon pontokból áll, ahol f dierenciálható, és ezeken a helyeken értéke f (x), az f függvény deriváltfüggvényének Tétel (Rolle). Ha f folytonos [a, b]-n és dierenciálható (a, b)-n, és f (a) = f (b), akkor létezik olyan ξ (a, b), melyre f (ξ) = 0. Tétel (Lagrange). Ha f folytonos [a, b]-n és dierenciálható (a, b)-n, akkor létezik olyan ξ (a, b), melyre f (ξ) = f (b) f (a). b a 3
4 Tétel (Cauchy). Ha f és g folytonosak [a, b]-n és dierenciálhatóak (a, b)-n, valamint tetsz leges x (a, b)-ra g (x) 0, akkor létezik olyan ξ (a, b), melyre f (ξ) f (b) f (a) g = (ξ) g (b) g (a). Tétel (L'Hospital-szabály). Legyen f és g dierenciálható α egy pontozott környezetében, és tegyük fel, hogy sem g, sem g nem vesz fel nullát ebben a környezetben, valamint teljesül a lim x α f (x) = = lim x α g (x) = 0, vagy a lim x α g (x) =. Ha lim x α f (x) g (x) = β, akkor lim x α f(x) g(x) = β. Tétel. Legyen f dierenciálható egy I nyílt intervallumon. Az f függvény pontosan akkor növeked I-n, ha f (x) 0 minden x I esetén. Tétel. Ha f dierenciálható x 0 -ban és ott lokális széls értéke van, akkor f (x 0 ) = 0. Tétel. Ha f dierenciálható x 0 egy környezetében, f (x 0 ) = 0 és f el jelet vált az x 0 -ban, akkor f-nek biztosan lokális széls értéke van x 0 -ban. Tétel. Legyen f dierenciálható az I intervallumon. Az f pontosan akkor konvex az I intervallumon, ha ott f monoton növeked. Tétel. Legyen f kétszer dierenciálható az x 0 f (x 0 ) = 0. helyen. Ha f-nek inexiós pontja van x 0 -ban, akkor Tétel. Legyen f kétszer dierenciálható az x 0 helyen. Ha f (x 0 ) = 0 és f el jelet vált x 0 -ban, akkor f-nek inexiós pontja van x 0 -ban. 6. Egyváltozós függvények Riemann-integrálja Deníció. Az [a, b] intervallum n részes felosztásának nevezünk egy n + 1 elem F n = {x 0, x 1,..., x n } ponthalmazt, ha a = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b, ahol n Z +. Deníció. Az [a, b]-n értelmezett f függvénynek az [a, b] egy F n felosztásához tartozó Riemann-féle integrálközelít összegén értjük a összeget, ahol σ n = n f (ξ i ) (x i x i 1 ) i=1 ξ i [x i 1, x i ] (i = 1,..., n). Deníció. Az [a, b]-n értelmezett f függvény ezen az intervallumon Riemann-integrálható, ha minden normális felosztássorozat esetén a n lim f (ξ i ) (x i x i 1 ) n i=1 határérték létezik és véges. Ekkor a függvény fenti intervallumon vett Riemann-integrálján ezt a határértéket értjük. Tétel. Ha az f függvény [a, b] intervallumon integrálható, akkor korlátos ezen az intervallumon. Tétel. Ha f az [a, b] intervallumon értelmezett és korlátos függvény, akkor ezen az intervallumon pontosan akkor integrálható, ha [a, b] minden normális felosztássorozatához tartozó alsó és fels integrálközelít összegek sorozatai közös határértékhez konvergálnak. Deníció. Az f függvénynek az [a, b] intervallum valamely F n felosztásához tartozó oszcillációs összegén értjük az O n = S n s n = n (M i m i ) (x i x i 1 ) i=1 összeget, ahol s n és S n rendre az F n -hez tartozó alsó és fels közelít összegek, m i és M i pedig az egyes részintervallumok legkisebb és legnagyobb függvényértékei. Tétel. Az [a, b] intervallumon értelmezett és ott korlátos függvény pontosan akkor integrálható, ha tetsz leges normális felosztássorozathoz tartozó oszcillációs összegei 0-hoz tartanak. 4
5 Tétel. Ha f értelmezett, korlátos és monoton az [a, b] intervallumon, akkor ott integrálható is. Tétel. Ha f értelmezett és folytonos az [a, b] intervallumon, akkor ott integrálható is. Tétel. Ha f korlátos az [a, b] intervallumon, és ott szakadási pontjainak halmaza megszámlálható, akkor integrálható [a, b]-n. Deníció. Ha az f függvény egy véges vagy végtelen I intervallumon értelmezve van, és létezik olyan F függvény, amely I-n dierenciálható és minden x I-re F (x) = f(x), akkor F -et az f függvény I-hez tartozó primitív függvényének Tétel. Ha F primitív függvénye f-nek, akkor f minden primitív függvénye F +C alakú, ahol C konstans. Tétel (NewtonLeibniz-formula). Legyen f integrálható [a, b]-n. Ha f-nek létezik az F primitív függvénye [a, b]-n, akkor b a f = F (b) F (a) Deníció. Egy folytonos síkgörbét rektikálhatónak nevezünk, ha a görbéhez írt poligonok hosszának szuprémuma véges. Ha a görbe rektikálható, akkor ívhosszán éppen a fenti szuprémumot értjük. 7. Egyváltozós függvények improprius integrálja Tétel. Ha egy f függvény integrálható az [a, b] intervallumon, akkor értékét az intervallum véges sok pontjában megváltoztatva olyan g függvényt kapunk, amely szintén integrálható [a, b]-n, és b a g = b a f. Deníció. Legyen f értelmezett az [a, [ intervallumon és integrálható minden [a, ω] intervallumon (a < ω < ω). Ha a lim ω a f határérték létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy az f improprius integrál a konvergens, és értéke az el bbi határérték. Tétel. Ha az a f improprius integrál konvergens, akkor lim x f(x) = 0. Deníció. Legyen f értelmezett az ]a, b] intervallumon. Ha f nem korlátos az a pont környezetében, de b integrálható minden [a + ε, b] intervallumon, ahol 0 < ε < b a, továbbá a lim ε 0+ f határérték létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy f az [a, b] intervallumon impropriusan integrálható, és improprius a+ε integráljának értéke az el bbi határérték. 8. Közönséges dierenciálegyenletek Deníció. Egy n-edrend dierenciálegyenlet általános megoldása az a függvény, amely deriváltjaival együtt azonosan kielégíti az egyenletet, és pontosan n darab független paramétert tartalmaz. Egy n- edrend dierenciálegyenlet partikuláris megoldása az a függvény, amely deriváltjaival együtt azonosan kielégíti az egyenletet, és legfeljebb n 1 darab független paramétert tartalmaz. Deníció. Ha egy dierenciálegyenlet megfelel rendezés után az y = f(x) g(y) alakra hozható (y, f, g egyváltozós valós függvények), akkor szétválasztható változójú (szeparábilis) dierenciálegyenletnek Deníció. Az y + g(x) y = h(x) alakú dierenciálegyenletet (y, g, h egyváltozós valós függvények) els rend lineáris egyenletnek Az egyenlet homogén, ha h(x) = 0, ellenkez esetben inhomogén. Amennyiben a g(x) konstans függvény, az egyenletet állandó együtthatójú els rend lineáris egyenletnek Tétel. Egy els rend lineáris inhomogén dierenciálegyenlet általános megoldását a hozzá rendelt homogén egyenlet általános megoldásának, valamint a dierenciálegyenlet egy partikuláris megoldásának az összege adja (y = y hom + y part ). Deníció. Legyenek y, p, q, h egyváltozós valós függvények. Ekkor az y +p(x) y +q(x) y = h(x) alakra rendezhet dierenciálegyenleteket másodrend lineáris egyenleteknek Amennyiben p(x) és q(x) konstans függvények, az egyenletet állandó együtthatójú másodrend lineáris egyenletnek Tétel. Ha egy másodrend lineáris homogén dierenciálegyenletnek megoldásai az y 1 és y 2 függvények, akkor tetsz leges c 1, c 2 R esetén az y = c 1 y 1 + c 2 y 2 függvény is megoldása az egyenletnek. 5
6 9. Laplace-transzformáció Deníció. Legyen f : [0, [ R. Az F (s) = 0 f(t) e st dt függvényt az f függvény Laplacetranszformáltjának nevezzük, ha a fenti improprius intergál valamilyen s R számokra konvergens. Tétel. A Laplace-integrál konvergenciájával kapcsolatban csak az alábbi három eset valamelyike fordulhat el. 1. Minden s R esetén konvergens. 2. Egyetlen s R esetén sem konvergens. 3. Létezik olyan a R szám, hogy s < a estén divergens, s > a esetén pedig konvergens. Tétel. Legyenek f 1 és f 2 olyan függvények, melyeknek Laplace-transzformáltja létezik. Ekkor létezik f 1 + f 2 Laplace-transzformáltja is, és L (c 1 f 1 + c 2 f 2 ) = c 1 L (f 1 ) + c 2 L (f 2 ). 10. Numerikus sorok Deníció. Legyen adott egy (a n ) numerikus sorozat. Az a 1 + a a n +... = szimbólummal adott végtelen sok tagból álló formális összeget numerikus sornak Deníció. A n=1 a n numerikus sor els k tagjának összegét a numerikus sor k-adik részletösszegének Deníció. Egy numerikus sor konvergens, ha a részletösszegeib l képzett sorozat konvergens. A részletösszegek sorozatának határértékét a numerikus sor összegének Deníció. Egy numerikus sor abszolút konvergens, ha a tagjainak abszolút értékeib l képzett sor konvergens. Deníció. Azokat a konvergens numerikus sorokat, melyek nem abszolút konvergensek, feltételesen konvergensnek hívjuk. Tétel. Ha egy numerikus sor abszolút konvergens, akkor konvergens is. Deníció. Egy numerikus sort korlátosnak hívunk, ha részletösszegeinek sorozata korlátos. Tétel. Egy konvergens numerikus sor korlátos. Tétel. Ha egy numerikus sor konvergens, akkor általános tagja nullához tart. Tétel. Ha egy konvergens numerikus sorból véges sok tagot elhagyunk, akkor a kapott sor is konvergens lesz. n=1 a n 11. Függvénysorok Deníció. Legyenek az f 1, f 2,..., f n,... függvények olyanok, hogy értelmezési tartományaik közös része nem üres. Ekkor az f 1 + f f n +... = szimbólummal adott végtelen sok tagból álló formális összeget függvénysornak Deníció. A k=n+1 f k összeget a függvénysor n-edik maradékösszegének Deníció. A n=1 f n függvénysor els k tagjának összegfüggvényét a függvénysor k-adik részletösszegének n=1 f n 6
7 Deníció. A H halamzon értelmezett n=1 f n függvénysor egy a H pontban konvergens, ha részletösszegeinek az a ponthoz tartozó sorozata konvergens. A függvénysor konvergens a H halmazon, ha annak minden pontjában konvergens. Deníció. A c n (x x 0 ) n függvénysort x 0 körüli hatványsornak nevezzük (c n és x 0 konstansok). n=0 Tétel. Ha a n=0 c nx n hatványsor az x 0 0 helyen konvergens, akkor létezik olyan origóra szimmetrikus intervallum, melynek bels pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens. Ha az intervallum korlátos, akkor a küls pontokban divergens a hatványsor. Deníció. Azt az origóra szimmetrikus nyílt ] r, r[ intervallumot, melyben egy origó középpontú hatványsor abszolút konvergens, a hatványsor konvergenciaintervallumának, r-et pedig konvergenciasugarának Tétel. Ha egy hatványsor r konvergenciasugara pozitív, akkor a hatványsor abszolút és egyenletesen konvergens minden olyan zárt intervallumban, amely teljesen a ] r, r[ nyílt intervallumban van. Deníció. Legyen az f függvény az x 0 pont egy környezetében akárhányszor dierenciálható. Ekkor a n=0 f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n hatványsort az f függvény x 0 pont körüli Taylor-sorának Az x 0 = 0 pont körüli Taylor-sort Maclaurin-sornak Deníció. Ha egy f függvény 2π szerint periodikus és integrálható egy [a, a + 2π] intervallumon, akkor f Fourier-során az a 0 + a k cos(kx) + b k sin(kx) k=1 trigonometrikus sort értjük, ahol az a 0, a k, b k együtthatókat a függvény Fourier-együtthatóinak Tétel. Egy páros függvény Fourier-sora csak koszinuszos tagokat, egy páratlan függvény Fourier-sora csak szinuszos tagokat tartalmaz. 7
Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1/8 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem / 40 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat
GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat Bemutatkozás Chmelik Gábor óraadó BGF-KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály chmelik.gabor@kkk.bgf.hu http://www.cs.elte.hu/ chmelik Fogadóóra: e-mailben egyeztetett
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 3 gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012 február 27 Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat) Tartalom Egyenletrendszerek Cramer-szabály 1 Egyenletrendszerek
RészletesebbenMBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
MBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Jelölje Z az egész számok halmazát, N a pozitív egészek halmazát, N 0 a nem negatív egészek halmazát, Q a racionális
RészletesebbenAnalízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 15 XV DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS 1 DERIVÁLT, deriválás Az f függvény deriváltján az (1) határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Az függvény deriváltjának jelölései:,,,,,
RészletesebbenA döntő feladatai. valós számok!
OKTV 006/007. A döntő feladatai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y x és
Részletesebben(Gyakorló feladatok)
Differenciálszámítás (Gyakorló feladatok) Programtervező matematikus szakos hallgatóknak az Analízis 3. című tárgyhoz Összeállította: Szili László L-Sch -sel hivatkozunk a Leindler Schipp jegyzetre 2004.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
005-05 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat) f(x) = 2x 2 x 4. 2x 2 x 4 = 0, x 2 (2 x 2 ) = 0.
Feladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat). Feladat. Végezzük el az f(x) = x x 4 ) Értelmezési tartomány: x R. ) A zérushelyet az f(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: amiből
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Rel aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Relációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Relációk reláció lat. 1. kapcsolat, viszony; összefüggés vmivel 2. viszonylat, vonatkozás reláció lat. 3. mat halmazok elemei
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE
BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Székelyhidi László A felsőbb matematika kapujában Jelen kiadvány a Palotadoktor Bt. kiadásában készült. A munkát lektorálta: Lovas Rezső (Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet)
RészletesebbenKidolgozott. Dudás Katalin Mária
Dudás Katalin Mária Kidolgozott matematikatételek mérnökök számára Ez a könyv műfaját tekintve az összefoglaló kézikönyv és az egyetemi jegyzet közé helyezhető. Tömören összegyűjti a mérnöki tanulmányok
Részletesebben1. Írja fel prímszámok szorzataként a 420-at! 2. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen!
1. Írja fel prímszámok szorzataként a 40-at! 40 =. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen! A részek: 3. Egy sejttenyészetben naponta kétszereződik meg a sejtek száma.
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 011/01-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
RészletesebbenMatematika példatár 2.
Matematika példatár 2. Sorok, függvények határértéke és Csabina, Zoltánné Matematika példatár 2.: Sorok, függvények határértéke és Csabina, Zoltánné Lektor: PhD. Vigné dr Lencsés, Ágnes Ez a modul a TÁMOP
RészletesebbenGazdasági matematika I.
I. évfolyam TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. 2011/2012 I. félév Tantárgy megnevezése Tantárgyi útmutató Gazdasági Matematika I. (Analízis) Tantárgy kódja: Tantárgy jellege/típusa: Módszertani
Részletesebben86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009
86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek
Részletesebben2004. december 1. Irodalom
LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK I. 2004. december 1. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
RészletesebbenHalmazok és függvények
Halmazok és függvények Óraszám: 2+2 Kreditszám: 6 Meghirdető tanszék: Analízis Debrecen, 2005. A tárgy neve: Halmazok és függvények (előadás) A tárgy oktatója: Dr. Gilányi Attila Óraszám/hét: 2 Kreditszám:
RészletesebbenA skatulya-elv alkalmazásai
1 A skatulya-elv alkalmazásai Számelmélet 1. Az első 4n darab pozitív egész számot beosztjuk n számú halmazba. Igazoljuk, hogy mindig lesz három olyan szám, amelyek ugyanabban a halmazban vannak és valamely
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
RészletesebbenOperációkutatás. 2. konzultáció: Lineáris programozás (2. rész) Feladattípusok
Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 00/003 tanév, II évf félév Előadó: Dr Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs u 9 GT fszt 3 (99) 58 640
RészletesebbenValószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat
RészletesebbenJelek tanulmányozása
Jelek tanulmányozása A gyakorlat célja A gyakorlat célja a jelekkel való műveletek megismerése, a MATLAB környezet használata a jelek vizsgálatára. Elméleti bevezető Alapműveletek jelekkel Amplitudó módosítás
RészletesebbenEgy vektorrendszert lineárisan függ nek nevezünk, ha nem lineárisan független.
GAZDASÁGI MATEMATIKA II DEFINÍCIÓK ÉS TÉTELEK A LINEÁRIS ALGEBRÁBÓL ÉS ANALÍZISBŽL A deniciókat (D) a tételeket (T) jelöli A fontosabb deníciókat és tételeket jelöli (D)k-dimenziós euklideszi tér: A k-dimenziós
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 2 II TÖbbVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEk INTEGRÁLÁSA 1 Kettős INTEGRÁL Legyen f(x,y) a T tartományon nemnegatív kétváltozós függvény Jelölje V azt a hengerszerű testet, amelyet alulról a
RészletesebbenMatematika példatár 2.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 2 MAT2 modul Sorok, függvények határértéke és folytonossága Aszimptoták SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Diszkrét matematika I. gyakorlat 1. Gyakorlat Bogya Norbert Bolyai Intézet 2012. szeptember 4-5. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika I. gyakorlat 2012. szeptember 4-5. 1 / 21 Információk
RészletesebbenAnalízis előadások. Vajda István. 2013. február 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem
Analízis előadások Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 013. február 10. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február 10. 1 / 3 Az elemi függvények csoportosítása
RészletesebbenMatematika. Specializáció. 11 12. évfolyam
Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes
RészletesebbenModern analízis I. Mértékelmélet
Modern analízis I. Mértékelmélet Halmazalgebrák 1. Feladat. Az (X n ) n N halmazsorozat limes superiorán a lim sup X n = X k halmazt értjük, míg az (X n ) n N halmazsorozat limes inferiorán a lim inf X
RészletesebbenHa a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk.
Síkidomok Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk. A határoló vonalak által bezárt síkrész a síkidom területe. A síkidomok határoló vonalak szerint lehetnek szabályos
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 <
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 011/01 Matematika I. kategória (SZKKÖZÉPISKOL) Döntő 1. Határozza meg az összes olyan egész számot, amely eleget tesz az egyenlőtlenségnek! log
RészletesebbenHatározatlan integrál
. fejezet Határozatlan integrál Határozatlan integrál D. Azt mondjuk, hogy az egyváltozós valós f függvénynek a H halmazon primitív függvénye az F függvény, ha a H halmazon f és F értelmezve van, továá
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok
Részletesebbene s gyakorlati alkalmaza sai
Sze lso e rte k-sza mı ta s e s gyakorlati alkalmaza sai Szakdolgozat ı rta: Pallagi Dia na Matematika BSc szak, elemzo szakira ny Te mavezeto : Svantnerne Sebestye n Gabriella Tana rsege d Alkalmazott
Részletesebben2011. március 9. Dr. Vincze Szilvia
. márius 9. Dr. Vinze Szilvia Tartalomjegyzék.) Elemi bázistranszformáió.) Elemi bázistranszformáió alkalmazásai.) Lineáris függőség/függetlenség meghatározása.) Kompatibilitás vizsgálata.) Mátri/vektorrendszer
Részletesebben3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek
3. KÖRGEOMETRIA Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 89 109. és 121. oldal. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 86 97. és 117 121. oldal. Kovács Zoltán: Geometria,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 10 X DETERmINÁNSOk 1 DETERmINÁNS ÉRTELmEZÉSE, TULAJdONSÁGAI A másodrendű determináns értelmezése: A harmadrendű determináns értelmezése és annak első sor szerinti kifejtése: A
RészletesebbenMatematika II. Nagy Ábris. 2015/2016. II. félév. Debreceni Egyetem. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 1 / 71
Matematika II. Nagy Ábris Debreceni Egyetem 2015/2016. II. félév Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 1 / 71 Hasznos információk e-mail: abris.nagy@science.unideb.hu honlap: math.unideb.hu/nagy-abris/oktatas.html
RészletesebbenA SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 3 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 010 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 010. június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
RészletesebbenDifferenciál egyenletek (rövid áttekintés) d x 2
Differeniál egenletek (rövid áttekintés) Differeniálegenlet: olan matematikai egenlet, amel eg vag több változós ismeretlen függvén és deriváltjai közötti kasolatot írja le. Fontosabb tíusok: közönséges
RészletesebbenEmelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 2005. november. I. rész
Szászné Simon Judit, 005. november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 005. november. feladat I. rész Oldjuk meg a valós számok halmazán a x 5x
Részletesebben170 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007
170 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007 7. Fixpont tételek Az x = f(x) (7.1) egyenletet fixpont egyenletnek nevezzük, annak egy p megoldását pedig az f függvény fixpontjának
RészletesebbenFordítóprogramok Készítette: Nagy Krisztián
Fordítóprogramok Készítette: Nagy Krisztián Reguláris kifejezések (FLEX) Alapelemek kiválasztása az x karakter. tetszőleges karakter (kivéve újsor) [xyz] karakterhalmaz; vagy egy x, vagy egy y vagy egy
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség
Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Feladatok: 1) A koordinátarendszerben úgy helyezzük el az egységkockát, hogy az origó az egyik csúcsba essék,
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
RészletesebbenTartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék
III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1
RészletesebbenLineáris algebra jegyzet
Lineáris algebra jegyzet Készítette: Jezsoviczki Ádám Forrás: Az előadások és a gyakorlatok anyaga Legutóbbi módosítás dátuma: 2011-12-04 A jegyzet nyomokban hibát tartalmazhat, így fentartásokkal olvasandó!
RészletesebbenTANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz
I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2014/2015-ös tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani
RészletesebbenELŽADÁS. 1. Halmazok, elemi logika, valós számok. I. Halmazok.
ELŽADÁS Megjegyzés: a jegyzetben található bekeretezett részek kiemelten kezelend fogalmak és összefüggések, ezekre vonatkoznak a vizsga beugrókérdései, melyek témáit a tárgyhonlapon felsoroltam. I. Halmazok..
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 5 V. BECsLÉsELMÉLET 1. STATIsZTIKAI becslés A becsléselméletben gyakran feltesszük, hogy a megfigyelt mennyiségek független valószínűségi
RészletesebbenAzonosító jel: Matematika emelt szint
I. 1. Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű szám képezhető? 11 pont írásbeli vizsga 1012
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
RészletesebbenAz analízis alapjai és üzleti alkalmazásai
Az analízis alapjai és üzleti alkalmazásai Szakdolgozat Írta: Komjáti Dóra Matematika Bsc szak Matematikai elemző szakirány Témavezető: Mincsovics Miklós Emil, óraadó Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
Részletesebben2. előadás: További gömbi fogalmak
2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással
Részletesebbenmatematikai statisztika 2006. október 24.
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................
RészletesebbenTermészetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5
1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2008. május 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2008. május 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest feletti
RészletesebbenMITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ
MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0
RészletesebbenFunkcionálanalízis. Általánosított függvények Disztribúciók. 12-13. el adás. 2012. május 9.-16. Lineáris funkcionál
Funkcionálanalízis 12-13. el adás 212. május 9.-16. Általánosított függvények Disztribúciók Lineáris funkcionál Legyen C () az függvénytér, amely a végtelen sokszor dierenciálható, kompakt tartójú függvényeket
RészletesebbenFüggvényvizsgálat. Végezzük el az alábbi függvények teljes függvényvizsgálatát:
Végezzük el az alábbi függvények teljes függvényvizsgálatát: Függvényvizsgálat. f HL := 4-4. f HL := - 4 + 8. f HL := 5 + 5 4 4. f HL := 5. f HL := 6. f HL := - 9. f HL := + + 0. f HL := - 7. f HL :=.
RészletesebbenKockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai
RészletesebbenNemzeti versenyek 11 12. évfolyam
Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó
RészletesebbenI. rész. Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati. Név:...osztály:... Matematika kisérettségi. 2012. május 15. Fontos tudnivalók
Matematika kisérettségi 2012. május 15. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az id elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetsz leges. 3. A
RészletesebbenProgramozás I. - 9. gyakorlat
Programozás I. - 9. gyakorlat Mutatók, dinamikus memóriakezelés Tar Péter 1 Pannon Egyetem M szaki Informatikai Kar Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Utolsó frissítés: November 9, 2009 1 tar@dcs.vein.hu
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY FŐVÁROSI DÖNTŐ SZÓBELI (2005. NOVEMBER 26.) 5. osztály
5. osztály Írd be az ábrán látható hat üres körbe a 10, 30, 40, 60, 70 és 90 számokat úgy, hogy a háromszög mindhárom oldala mentén a számok összege 200 legyen! 50 20 80 Egy dobozban háromféle színű: piros,
RészletesebbenFélévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz
Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenDifferenciálszámítás és alkalmazásai
Differenciálszámítás és alkalmazásai Szakdolgozat Írta: Katona Edina Mária Matematika Bsc szak Tanári szakirány Témavezető: Sikolya Eszter, adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematika Tanszék
RészletesebbenSzámelmélet I. 1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései
Számelmélet I. Tantárgy neve Számelmélet I. Tantárgy kódja MTB 1011 Meghirdetés féléve 3. félév Kreditpont 3 Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Számonkérés módja Kollokvium Előfeltétel (tantárgyi kód) MTB 1003
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. - Vizsga anyag 1 EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Diszkrét matematika I. Vizsgaanyag Diszkrét matematika I. - Vizsga anyag 2 1. Mondjon legalább 3 példát predikátumra
RészletesebbenMATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
RészletesebbenValószínűségszámítás
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................
RészletesebbenKombinatorika. 9. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Kombinatorika p. 1/
Kombinatorika 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kombinatorika p. 1/ Permutáció Definíció. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott
RészletesebbenMatematika III. 1. Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 1. Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 1. : Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenDr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK
Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Z UNIVERSITAS-GYŐR Kht. Győr, 25 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Egyetemi jegyzet Írta:
RészletesebbenFile Mátyás. Vektormező és alkalmazásai
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar File Mátyás Vektormező és alkalmazásai BSc Elemző Matematikus Szakdolgozat Témavezető: Pfeil Tamás Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék
RészletesebbenElektronikus tananyag MATEMATIKA 10. osztály II. félév
Elektronikus tananyag MATEMATIKA 0. osztály II. félév A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok A párhuzamos szelők tétele TÉTEL: Ha egy szög szárait párhuzamos
Részletesebben3. Matematikai logika (megoldások)
(megoldások) 1. Hamis, ugyanis P, Q és R logikai értékét behelyettesítve kapjuk: (P Q) R = (1 0) 0 = 0 0 = 0. (Ebben és a további feladatok megoldásában alkalmazzuk a D 3.1 denícióit. A megoldást célszer
RészletesebbenPárhuzamos programozás
Párhuzamos programozás Rendezések Készítette: Györkő Péter EHA: GYPMABT.ELTE Nappali tagozat Programtervező matematikus szak Budapest, 2009 május 9. Bevezetés A számítástechnikában felmerülő problémák
RészletesebbenMatematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára
Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK, SOROZATOK
FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK A FÜGGVÉNYFOGALOM ELŐKÉSZÍTÉSE 1-6. OSZTÁLY Adott szabály követése Szabályfelismerés és szabálykövetés Szabályfelismerés és szabály megadása szöveggel, képlettel EGYENES ÉS FORDÍTOTT
RészletesebbenGáspár Csaba. Analízis
Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető
RészletesebbenFELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.
FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik
Részletesebben5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.
Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok
RészletesebbenAnalízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0
Analízis A differenciálszámítás középértéktételei: 1) Rolle-tétel: Ha f folytonos a korlátos és zárt [a;b] intervallumon, f diffható [a;b]-n és f(a) = f(b), akkor van egy a < c < b belső pont, ahol f'(c)
Részletesebben2. Hatványozás, gyökvonás
2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője
Részletesebben