ELŽADÁS. 1. Halmazok, elemi logika, valós számok. I. Halmazok.

Átírás

1 ELŽADÁS Megjegyzés: a jegyzetben található bekeretezett részek kiemelten kezelend fogalmak és összefüggések, ezekre vonatkoznak a vizsga beugrókérdései, melyek témáit a tárgyhonlapon felsoroltam. I. Halmazok.. Halmazok, elemi logika, valós számok. "Halmaz" és "eleme": alapfogalmak. Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet, mik az elemei. 2. Halmaz megadása: (i) Elemekkel, pl. A := {3, 5, 2}. (ii) Más halmazokból. M veletekkel: pl. A B, A B, A \ B. Tulajdonsággal: pl. R + := {x R : x > 0} II. Elemi logika.. Matematikai állítás: amir l eldönthet, igaz-e. Pl.: A. "A 2 egész szám." B. "A 2 valós szám." C. "Mo. f városa Róma." D. "Budapest szép város." Itt A,B,C matematikai állítás, bár C hamis. D nem matematikai állítás. Megj.: A B; 2. Fontos szabályok. C = "Mo. f városa nem Róma." (i) (A B) = ( B A). Vigyázat! (A B) ( A B). (ii) Tagadás. (a) de Morgan: (A vagy B) = ( A és B), (A és B) = ( A vagy B) Pl.: (írok vagy olvasok) = (nem írok és nem olvasok) (b) Kvantorok: legyen T egy tulajdonság (pl. T (x)= "x pozitív"). ( x T (x)) = ( x T (x)) (szabály ellentéte: kivétel); ( x T (x)) = ( x T (x)) Pl. (minden rovar bogár) = (van olyan rovar, amely nem bogár) (c) Következtetés tagadása: el bb átfogalmazni "minden"-nel. Pl.: (Ha valaki magyar, akkor pesti) = (Minden magyar pesti) = (Van olyan magyar, aki nem pesti)

2 III. Valós számok.. Szemléletes számfogalmak. Kialakulásuk sorrendjében: Pozitív egészek: N + = {, 2, 3,...} Természetes számok: N = {0,, 2,...}. Egész számok: Z = {..., 2,, 0,, 2...} Racionális számok: egész számok hányadosai, jele Q. Püthagorasz iskolájának észrevétele: a négyzet átlóját nem lehet így kifejezni, azaz 2 / Q irracionális számok. Valós számok: a racionális és irracionális számok együtt, jele R. Szemléletesen: számegyenes. Formálisan: a (véges vagy végtelen) tizedestörtek. S r ségi tulajdonság: bármely két szám közt van racionális és irracionális szám. 2. Fontos szimbólumok: (szumma), (produktum). Jelentésük: példákon: ált. n k=m n k= := , k 2 n a k := a m + a m a n. 3. Fontos számhalmazok. 6 k 2 := , k=4 Hasonlóan, n a k := a m a m+... a n. k=m (i) Intervallumok deníciója. Legyenek a < b valós számok: Korlátos intervallumok: [a, b], (a, b), [a, b), (a, b]. Félegyenesek: pl. [a, + ), (, b). (ii) Korlátos számhalmazok. R is nem korlátos intervallum. Deníció: H R felülr l korlátos, ha M R: x R x M. alulról korlátos, ha... x M. korlátos, ha alulról és felülr l is korlátos. Pl. [a, b] korlátos, N felülr l nem. 2

3 2. Algebrai alapismeretek. I. Nevezetes kifejezések, azonosságok. (i) Egyváltozós polinom. Egy határozatlan (ált. x-szel jelölt ) elem olyan kifejezése, melyben x egyes hatványainak számszorosait adjuk össze: p(x) := a 0 + a x + a 2 x a n x n = a,..., a n R (együtthatók) adott számok. n i=0 a i x i, ahol n N (a polinom foka) és Pl. 3x 4 5x + π (ii) Racionális törtfüggvény v. algebrai tört: polinomok hányadosa, p(x) q(x). Racionális törtfüggvények összeadása, szorzása: ahogy a törteket kell, azaz p(x) r(x) = p(x)r(x), q(x) s(x) q(x)s(x) p(x) + r(x) = p(x)s(x)+r(x)q(x) q(x) s(x) q(x)s(x) (iii) Többváltozós polinomok és algebrai törtek. Pl. a 2 b 2ab 3 + b 4 polinomja a, b-nek, ab a 2 +b 2 Pl. 2x 3 x 2 +5x. Ezek is rac. törtfüggvények. algebrai tört. (iv) Nevezetes azonosságok több határozatlannal. Pl.: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b)(a + b). II. Hatványozás, logaritmus. (i) Hatvány értelmezése a > 0 pozitív alap esetén. Egész kitev : a n := a a... a, a n :=, a 0 :=. Rac. kitev : a m a n n := n a m. Irracionális kitev, pl. t: a t az az egyetlen szám, amely mindig a r és a r 2 közé esik, ha t az r és r 2 rac. számok közé esik. (Itt a t létezése a fontos, de csak közelít leg számíthatjuk ki az ilyen a r -ekb l.) (ii) Exponenciális függvény: rögzített a > 0 esetén x a x. Ez pozitív érték ; szigorúan növ, ha a > és szig. csökken, ha a <. (Ha a =, akkor konstans.) (iii) A hatványozás azonosságai: legyenek a, b > 0, x, y R. Ekkor: Különböz kitev k: a x+y = a x a y, a x y = ax a y, (a x ) y = a xy. (Vigyázat: általában a x a y a xy, (a x ) y a (xy )!) Különböz alapok: (ab) x = a x b x, ( a b )x = ax b x. Megj.: az a 0 = def. az azonosságokból is szükségszer. 2. (i) Logaritmus értelmezése (a > 0, a pozitív alap esetén): Legyen b > 0. Ekkor log a b az a szám, amelyre a-t emelni kell, hogy b-t kapjunk. Azaz: x := log a b az egyetlen valós szám, melyre a x = b. Röviden: a log a b = b. 3

4 Pl.: 2 3 = 8, így log 2 8 = 3; 2 = 2, így log 2 2 = ; 4 2 = 2, így log 4 2 = 2 ; ha a > 0, a tetsz., akkor a 0 =, így log a = 0. Megj.: log a b csak akkor értelmes, ha a és b is pozitív, de maga log a b negatív is lehet. Nevezetes alapok: lg b := log 0 b; ln b := log e b (ún. természetes alapú logaritmus), ahol e 2.7 (def. kés bb). (ii) A logaritmus azonosságai: legyenek a, x, y > 0. Ekkor log a xy = log a x + log a y, log a x y = log a x log a y, log a (y c ) = c log a y. (2. és 3. spec.: log a y = log a y.) Vigyázat! log a (x + y) =... képlet nincs! log a x = log b x. Pl. log log b a 2 x = lg x, azaz egymás konstansszoro- lg 2 Áttérés más alapra: sai. 3. Számok normálalakja. Ha x R +, akkor egyértelm en felírható x = r 0 k alakban, ahol r < 0 és k Z. Pl = III. Egyenletek. Itt most algebrai egyenletekr l lesz, azaz számot keresünk. (Vannak függvényegyenletek is, l. kés bb.). Egyenlet fogalma: keresünk egy mennyiséget, amelyre fennáll valamilyen összefüggés. A megoldást gyakran az egyenlet gyökének hívjuk. (Ez nem a!) Lehet egy vagy több megoldás is, vagy hogy nincs megoldás. Fontos példa: 2. Másodfokú egyenletek megoldása. Rendezve: ax 2 + bx + c = 0 (ahol a, b, c R adott, a 0, x =?) Megoldóképlet levezetése: (: a) és teljes négyzetté alakítjuk. 0 = x 2 + b a x + c a = (x + b 2a )2 + c a b2 4a 2 = (x + b 2a )2 b2 4ac (2a) 2 x,2 = b± b 2 4ac 2a A valós megoldások száma (2, v. 0) a D := b 2 4ac diszkrimináns el jelét l függ. 3. Egyéb egyenletek: ld. gyak. (Törtekkel; hatvány, logaritmus; trigonometrikus stb.) 4

5 4. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek megoldása Legyenek a, b, c, d R, ill. u, v R adott számok. Keresend x, y R: ax + by = u cx + dy = v. (Megj.: szokásos feltevés: a vagy b 0, c vagy d 0.) A megoldás elve: beszorzás azonos együtthatóra. Pl. y-t eliminálhatjuk, ha az. sort d-vel, a 2. sort b-vel szorozzuk: adx + bdy = ud bcx + bdy = bv Innen: kivonva: (ad bc)x = ud bv. eset - ha ad bc 0: átosztva megkapjuk x-et ezt valamelyik egyenletbe helyettesítve kifejezzük y-t. 2. eset - ha ad bc = 0: ekkor a fent kapott egyenlet 0 = ud bv. (i) aleset: ha a megadott adatokra 0 ud bv, akkor nem lehet megoldás. (ii) aleset: ha a megadott adatokra 0 = ud bv, akkor ud = bv, és az ad bc = 0 eset miatt ad = bc. Tehát a beszorzott alakban a két egyenlet azonos! Vagyis az eredeti kett is beszorzással egymásba vihet (nem függetlenek). Azaz valójában csak egy egyenletünk van, pl. ax + by = u. Ennek végtelen sok megoldása van (a síkon ez egy egyenes egyenlete). Megjegyzés (a megoldások számának diszkussziója) Ha ad bc 0: a megoldás egyértelm, azaz egyetlen megfelel (x, y) számpárt kapunk. Ha ad bc = 0: vagy nincs megoldás, vagy sok megoldás van (amikor a két egyenlet egymás számszorosa). Összefoglalva: az egyértelm megoldás feltétele, hogy ad bc 0. (Az ad bc számot néha a rendszer determinánsának hívjuk.) 5

6 3. Lineáris algebra/. Mátrixok, determináns. Mátrixok és oszlopvektorok fogalma. Motiváció: tekintsük a következ lineáris egyenletrendszert (LAER): Mátrixnak hívjuk az együtthatók táblázatát: ( a b c d ) =: A R 2 2. { ax + by = u cx + dy = v. Az ismeretlenek és 'jobboldal' ( x ) ( u ) oszlopvektorok:, R2. y v ( ) ( ) ( ) a b x u Szeretnénk a LAER-t = alakba írni: c d y v ( ) ( ) ( ) a b x ax + by mátrix-vektor szorzás: :=. c d y cx + dy A szorzat i-edik eleme: a mátrix i-edik sorának és a vektornak a skalárszorzata. Példa más méretre: A R 3 4 (3 4)-es mátrix, ill. ennek szorzata x R 4 vektorral, Ax R 3. Általában: A R n k, x R k esetén Ax := { k a ij x j } n i= Rn. 2. Négyzetes mátrix determinánsának értelmezése. Jelölés: det(a) vagy A. (i) 2 2 eset: det(a) := ad bc. Példa: (ii) 3 3 eset. (Szemléletesen: Sarrus-szabály) Def.: Példa: (iii) n n eset. a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c j= = := a b 2 c 3 + a 2 b 3 c + a 3 b c 2 a b 3 c 2 a 2 b c 3 a 3 b 2 c. = ( ) +... Egy determinánsban valamely elem aldetermináns ának nevezzük az adott elem sorának és oszlopának elhagyásával keletkez kisebb determinánst. A determináns kiszámolása rekurzív módon aldeterminánsokkal: tetsz legesen választott sorban vagy oszlopban minden elemet megszorzunk a hozzá tartozó aldeterminánssal, majd a kapott szorzatokat a,,sakktáblaszabály szerinti el jellel ellátva összeadjuk

7 Példa: a 3x3 eset, els sor szerint kifejtve (ez ugyanazt adja, mint a Sarrus-szabály): a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = a (b 2 c 3 b 3 c 2 ) a 2 (b c 3 b 3 c ) + a 3 (b c 2 b 2 c ). 3. M veletek vektorokkal és mátrixokkal. (i) Vektorok és mátrixok összeadása és számmal való szorzása: elemenként. (ii) Mátrixok sor-oszlop-szorzása: a szorzat minden elemét úgy kapjuk meg, hogy az els mátrix megfelel sorát skalárisan szorozzuk a második mátrix megfelel oszlopával. ("Megfelel " = annyiadik, mint a vizsgált elemnek.) ( ) ( ) ( ) a b e f ae + bg af + bh A 2 2 esetben: =. c d g h ce + dg cf + dh Példák: ( ) ( ) 5 6 = 7 8 ( Megj.: Általában AB BA, mint fent. ), ( ) ( ) 2 = 3 4 Azért ilyen bonyolult, mert így lesz (AB)x = A(Bx) x vektorra. ( A nem négyzetes esetben megfelel méretek: m n, n k m k. (iii) Fogalmak négyzetes mátrixra. Egységmátrix: I := Az I-vel való szorzás helybenhagy: IA = A = AI. 0 Inverz : A inverze az az A -gyel jelölt mátrix, melyre A A = AA = I. ( ) ( ) 4 Példa: és egymás inverzei Nem minden mátrixnak van inverze. Tétel: A det(a) 0. (iv) Az A R n n mátrix által meghatározott R n R n lineáris leképezés: v Av. ( ) 0 Pl.: A = a síkon a vízszintes tengelyre való tükrözés. 0 ). 7

8 4. Lineáris algebra/2. Függvények I. Mátrixok sajátértékeinek, sajátvektorainak értelmezése és kiszámítása. (i) Def.: Az A R n n mátrixnak λ R sajátértéke és v R n \ {0} egy hozzá tartozó sajátvektor, ha Av = λv. Szemléletes jelentés: az A-val való szorzás a v sajátvektornak csak a hosszát befolyásolja, az irányát nem. (ii) Hogyan találhatók meg a sajátértékek? Észrevétel: λ sajátérték (A λi)v = 0, ahol v 0. Ekkor (A λi)-nak nincs inverze, kül. v = (A λi) 0 = 0 lenne. Állítás: λ pontosan akkor sajátértéke az A mátrixnak, ha det (A λi) = 0. ( ) ( ) ( ) 2 Példa: sajátértékei 4 és, egy-egy sajátvektor és Látható: a sajátvektorok számszorosai is sajátvektorok, azaz sajátirányokról van szó. II. Függvények alapfogalmai. Függvény=hozzárendelés, megadása: értelmezési tartomány és hozzárendelési szabály. Jelölés: f : A B, x f(x). Itt D f := A jelöli az értelmezési tartományt, az értékek B-ben vannak és megadtuk a szabályt. Példa: f : R R, f(x) := x 2. Értékkészlet: amiket felvesz, R f B. Nem mindig ismerjük el re. Pl. f : R R, f(x) := sin(x + 2 x )/(x 2 + ), R f R nem látszik. Hasonlóan: lehet, hogy egy hozzárendelési szabályhoz a legb vebb D f -et sem ismerjük el re. Ekkor célszer jelölés f : A B, jelentése D f A. Pl. f : R R, f(x) := (x + )/(x 3 + 3x 4), D f R ahol a nevez További példák. (a) Véges halmazon, ahol pl. több elemhez is rendelheti ugyanazt. (b) x ± x viszont nem függvény R + -on. 3. Függvény fogalma másképp: "m függvénye n-nek", ha n értéke meghatározza m-et. Azaz, ha van olyan f függvény, melyre m = f(n). Fizikai példa a szabadesés: s = (g/2)t t 2, azaz az út az id függvénye. 8

9 III. További fontos fogalmak.. Injekció, szuperjekció (vagy szürjekció), bijekció. (Rajzok) Def.: egy f : A B függvény (i) injekció, ha különböz khöz különböz ket rendel, (ii) szuperjekció, ha R f = B, (iii) bijekció, ha injekció és szuperjekció (azaz kölcsönösen egyértelm A és B közt). Megjegyzések. Jelz ként: injektív függvény stb. Az injekció és szuperjekció nem egymás ellentétei (egyszerre is lehetséges, lásd épp (iii)). 2. Kompozíció, inverz, lesz kítés, kiterjesztés. (Rajzok) Def.: (i) Kompozíció: egymás utáni elvégzés. Ha g : A B, f : B C, akkor f g : A C, D f g := {x D g : g(x) D f }, x f(g(x)). (ii) Inverz: visszairányú hozzárendelés. Ha f : A B injekció, akkor f : B A, D f = R f, y f (y) pedig az f(x) = y egyenl ség egyetlen x megoldása. (iii) Lesz kítés: ugyanaz a függvény sz kebb halmazon. Ha f : A B és K A, akkor f K : K B, x f(x). (iv) Kiterjesztés: az adott függvény értelmezése b vebb halmazon. Ha f : A B és N A, akkor f : N B kiterjesztése f-nek, ha A-n megegyezik f-fel (több is lehet). Példák: f(x) := x 2 nem injektív; viszont lesz kítése R-r l R + -ra injektív, ennek inverze a gyök. Az n a n függvényt korábban kiterjesztettük N-r l R-re. 9

10 I. Ábrázolás grakonnal. 5. Egyváltozós valós függvények. Példák: napi h mérsékletgörbe, ill. f(x) := x 2. II. Monotonitás, inverz. Monoton, szigorúan monoton függvény fogalma. (Rajz is.) Szigorúan monoton függvény injektív. Inverz grakonja: tükrözés a 45 -os tengelyre. Ui. f : x y f : y x, így a két tengely szerepet cserél. Pl. f(x) = x 2 R + -on: inverzének (a gyökfüggvénynek) ábrázolása. III. Elemi függvények és grakonjaik. (a) Hatványfüggvények: f(x) := x α (α R adott kitev ). Most csak x > 0 változóval (ill. x 0, ha α 0) rajzoljuk fel általánosan. Rajzok: α >, α =, 0 < α <, α = 0, α < 0 esetek. Szigorúan monotonak (kivéve, ha α = 0). Megj.: x α értelmes x < 0 esetén is α = p, ahol q {, 3,...} páratlan. q Ilyenkor a grakon az x > 0 eset tükörképe az origóra (ha p páratlan) vagy az y tengelyre (ha p páros). Rajzok: pl. x 3, x 4. (b) Exponenciális függvények: f(x) := a x (a > 0 adott alap). Rajzok: 0 < a <, a =, a > esetek (lásd ea.) Szigorúan monotonak (kivéve a = ). Inverzeik: a logaritmusfüggvények, azaz az a alapú exp. függvény inverze az a alapú log. függvény (x log a x). Rajzok (tükrözéssel): 0 < a <, a > esetek (lásd ea.) Szigorúan monotonak. (c) Trigonometrikus függvények. Rajzok: sin, cos, tg, ctg (lásd ea.) Inverzek. Pl. arc sin értelmezése: Hasonló: arc cos, arc tg. sin [ π inverze; grakonja. 2, π ] 2 (d) Hiperbolikus függvények: sh x := 2 (ex e x ), ch x := 2 (ex + e x ), thx := sh x Fontos azonosság: ch x, ch x cthx := sh x. ch 2 x sh 2 x = x R. (A def.-ból következik.) Inverzeik. Nevük: "area" el taggal, pl. arshx. Kifejezhet k logaritmussal. 0

11 IV. Exponenciálisból származó nevezetes függvények (rajzokkal) (a) e x (e 2.7) e x (tükrözéssel vagy közvetlenül) e x2 e x2 /2 e (x σ)2 /2 (ahol σ > 0): eltolással. Általános elv: f(x c) és f(x + c) grakonja az f(x)-éb l jobbra/balra való eltolással. (b) Logaritmikus skála: lgf(x) vagy ln f(x) ábrázolása. Pl. f(x) = 0 x -et nehéz pontosan ábrázolni (gyorsan n ), de lgf(x) = x-et már lehet. Példák: i. A 0-es alapú logaritmikus skálán bármely alapú exponenciális fügvényb l lineáris lesz (azaz, bármely a > 0 esetén lg(a x ) = cx valamely c állandó mellett). ii. Exponenciális csökkenés (pl. C-izotóp): f(x) := N 0 e kx (ahol k > 0 állandó). Ekkor ln f(x) = ln N 0 kx lineáris, csökken.

12 6. Geometria, trigonometria, vektorm veletek I. Pithagorasz-tétel, pontok távolsága síkban ill. térben. Pith.-tétel (síkban, derékszög háromszögre): a 2 + b 2 = c 2 Következmények:. Pontok távolsága. Síkban d(a, B) = Térben a 2 + b 2 + c 2 = d 2 (rajz). (rajz). (a b ) 2 + (a 2 b 2 ) 2, térben ugyanez 3 taggal. 2. Kör egyenlete (a, a 2 ) középponttal: a P = (x, y) pontokra d(p, A) = r, azaz (négyzetre emelve): (x a ) 2 + (y a 2 ) 2 = r 2. II. Trigonometria.. Szögfüggvények értelmezése. (a) cos α, sin α: az x tengellyel α szöget bezáró egységvektor koordinátái. (b) Derékszög háromszögben: cos α = b c, sin α = a c, tg α = a b. (c) tg α := sin α, ctg α := = cos α, ha a nevez nem 0. cos α tg α sin α (d) Ha α nem 0 és 360 közé (azaz radiánban nem 0 és 2π közé) esik: periodikus kiterjesztés. 2. Polárkoordináták: bármely (x, y) (0, 0)-hoz! r > 0 és φ [0, 2π) : x = r cos φ, y = r sin φ. 3. Nevezetes azonosságok (bármely α, β R esetén). sin 2 α + cos 2 α = (Pithagoraszból), Addíciós tételek: cos α = sin( π 2 α). pl. sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β, cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β, köv.: sin 2α = 2 sin α cosα, cos 2α = cos 2 α sin 2 α. 4. Sin- és cos-tétel: ld. gyakorlat. 2

13 III. Egyenes és sík egyenlete meredekséggel.. Egyenes: y = mx + b. Ekkor m az egyenes meredekségét fejezi ki, azaz hogy mennyit változik y, miközben x egységnyit változik. 2. Sík: z = m x + m 2 y + b. Ekkor m és m 2 a sík x ill. y koordináták irányú meredekségeit fejezi ki, azaz, hogy mennyit változik z, miközben: x egységnyit változik és y rögzített (ez m ), vagy y egységnyit változik és x rögzített (ez m 2 ). IV. Vektorm veletek Az n-dimenziós R n tér: a = (a, a 2,..., a n ) szám-n-esek (vektorok). Gyakorlatban n = 2, 3 (sík, ill. tér). Nagyobb n: pl. állapottér, pl. egy térben mozgó részecske helye és sebessége együtt egy 6-dimenziós állapotvektorral írható le, az összes lehet ség alkotja R 6 -ot. A továbbiakban legyenek a = (a, a 2,..., a n ) és b = (b, b 2,..., b n ) R n -beli vektorok.. Összeadás és számmal való szorzás: a + b := (a + b, a 2 + b 2,..., a n + b n ), c a := (ca, ca 2,..., ca n ). Geometriai jelentése 2 és 3 dimenzióban (rajzon: illesztés ill. nyújtás). 2. Vektorok szorzása egymással. Két különböz értelemben deniáljuk: skalárszorzat: 2 és 3 dimenzióban is (ill. formailag akármennyiben) értelmezzük, értéke valós szám; vektoriális szorzat: csak 3 dimenzióban értelmezzük, értéke is 3-dimenziós vektor. (i) Skalárszorzat. Motiváló példa: er munkája, komponens számít. W = F s cos γ, azaz csak a párhuzamos A skalárszorzat értelmezése: a, b R n esetén a b := a b cos γ. Hasonló tulajdonságok, mint a számok szorzásánál: (a + b) c = a c + b c, ta b = a tb (t R), a b = b a, a a = a 2. Viszont: általában (a b) c a (b c); a b = 0 a b. A skalárszorzat koordináták segítségével való kiszámítása: Pl. síkon (azaz ha a, b R 2 ): a b = a b + a 2 b 2, térben (azaz ha a, b R 3 ): a b = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3. a b = n a i b i. i= Biz. síkon: γ = α β miatt cos γ = cos α cos β + sin α sin β = a a b + a 2 a b. Cauchy-Schwarz-egyenl tlenség: a b a b. Biz.: cos γ miatt a b = a b cos γ a b. 3 b b 2

14 (ii) Vektoriális szorzat. Értelmezése: ha a, b R 3, akkor a b R 3 az a vektor, melyre. a b mer leges a-ra és b-re is, 2. a, b és a b jobbrendszert alkot, 3. a b = a b sin γ. Tulajdonságok. Mint a számok szorzásánál: (a + b) c = a c + b c, ta b = a tb (t R). Viszont: a b = b a, a a = 0 (és általában a b = 0 a b). Itt tehát a mer leges komponens számít. Fizikai példa: mágneses térben mozgó egységnyi töltés. A rá ható (Lorentzféle) er a sebesség és a mágneses indukció vektorszorzata. A vektoriális szorzat koordináták segítségével való kiszámítása: egy i, j, k jobbrendszer derékszög koordináta-rendszerben a b = i j k a a 2 a 3 b b 2 b 3, azaz a b = a 2 b 3 a 3 b 2 (a b 3 a 3 b ) a b 2 a 2 b. Egy geometriai alkalmazás: a b az a és b által kifeszített paralelogramma területe. (Utóbbi ui. a m, és itt m = b sin γ.) 4

15 7. Végtelen számsorozatok és sorok I. Sorozatok.. Sorozat és határérték fogalma. Sorozat: N + R leképezés. Jelölés: tagjait a, a 2, a 3... indexekkel, a sorozat (a n ). Példa: az sorozat, azaz,,,.... Közelít a 0-hoz, de 0 nem tagja, hanem mije? n 2 3 Deníció (sorozat határértéke). lim a n = A R, ha ε > 0 N = N(ε) N + : n > N esetén a n A < ε. Szemléletesen: A " N = N(ε) N + : n > N esetén" kitétel helyett lazábban "elég nagy n-re" mondható. Az " a n A < ε" tulajdonság: a n (A ε, A + ε). Gyakori jelölés: a n A. Ha van ilyen A, akkor (a n ) konvergens. Példa: az a n := n sorozat, azaz, 2, 3,.... Ekkor lim a n = 0, másképpen a n 0. Egy sorozatnak csak egy határértéke lehet. 2. Szabályok. Tétel (határérték és m veletek). Ha lim a n = A és lim b n = B, akkor: lim(a n + b n ) = A + B, lim(a n b n ) = A B, lim(a n b n ) = A B, ha B 0: lim an b n = A B, ha a n 0 és α R: lim a α n = A α. (Biz.helyett pl. összegre: ha elég nagy n-re a n A és b n B, akkor a n +b n A+B.) Tétel (rend relv). Ha lim a n = lim b n = D és a n c n b n n N +, akkor lim c n = D. 3. mint határérték. Példa: az n 2 sorozat, azaz, 4, 9, 6,... "hova tart"? Def. (i) lim a n = +, ha K > 0 N = N(K) N + : n > N esetén a n > K. (Azaz "elég nagy n-re" a n > K.) (ii) lim a n =, ha K < 0... "-... a n < K. Szabályok végtelen limeszre: M veletek: az el bbi tétel értelemszer en kiterjeszthet limeszre, lásd gyakorlat. 4. A konvergencia elégséges feltétele. Tétel. Ha (a n ) monoton és korlátos, akkor konvergens. Nevezetes példa: a n := ( + n) n monoton növ és felülr l korlátos (biz. nincs, számt.-mért. középpel lehet) konvergens. Def.: e := lim ( + n) n ( 2.7, irracionális). 5

16 II. Sorok.. Téma: hogyan lehet sok szám összegét értelmezni? Példa (rajzon, számegyenesen): n +... = 2. Def. Legyen (a n ) adott sorozat, n N + esetén s n := n a k = a + a a n. Azt mondjuk, hogy a a n végtelen sor konvergens, ha az (s n ) sorozat konvergens, azaz lim s n = S R. A sor összege a fenti S szám. További elnevezések: a végtelen sor n. tagja a n, n. szelete vagy részletösszege s n. Megj.: a sor indexelése nemcsak -t l, hanem más egészt l is indulhat. 2. Fontos példa: mértani sor, q n, ahol q <. Ekkor s n := n így q n konvergens és összege k= k=0 q k = qn+ q q, q n =. (A fenti példa: q = /2 eset.) q Klasszikus példa: Akhillesz és a tekn sbéka paradoxona. Megoldása: bár végtelen sok id szakaszt veszünk gyelembe, ezek egy konvergens sort alkotnak, így nem "soha", hanem csak a tekintett id intervallumban nem éri utol Akhillesz a tekn sbékát. 3. A konvergencia szükséges feltétele. Állítás: ha a n konvergens, akkor lim a n = 0. Biz.: a n = s n s n S S = 0. Elégséges-e? Pl: n divergens, ui ( )+( ) Tehát a lim a n = 0 feltétel csak szükséges, de nem elégséges. A konvergencia azon múlik, milyen gyorsan tart a n 0-hoz. 4. További fontos példa:, ahol α > 0 rögzített szám. n n= α Áll. (biz. nélkül): α > esetén konvergens, α esetén divergens. 5. Konvergenciakritériumok. (a) Öszehasonlító kritériumok (ha egy másik alkalmas sorról már tudjuk, hogy konv.) Tétel. (i) Ha a n konvergens, akkor a n is konvergens. Általánosabban: (ii) Ha a n b n n N + és b n konvergens, akkor a n konvergens. (b) Kiszámítható elégséges feltételek a konv-ra. Tétel. () (Gyökkritérium). Ha lim a n n =: q, akkor q < esetén a n konvergens, q > esetén a n divergens. (2) (Hányadoskritérium). Ha lim a n+ a n =: q, akkor q < esetén a n konvergens, q > esetén a n divergens. Megj.: Mindkét kritérium lényege: elég nagy n-re a n c q n, így a sor kb. mint a qn mértani sor viselkedik. (Az utóbbiról tudjuk, hogy q < esetén konvergens, ill. ha q >, akkor q n 0, így a mértani sor divergens.) Ha q =, egyik sem ad információt. Általában a hányadoskritériumot könnyebb kiszámolni. 6

17 8. Függvények folytonossága és határértéke. Bevezet példák. (a) Folytonosság: szokásos szemléltetése a "fel nem emelt tollal rajzolt grakon", azaz "ha x kicsit változik, akkor f(x) is kicsit változik". Példák az utóbbira: (i) π 2? Mivel π , így π Jó közelítésnek érezzük, mert szemléletünk szerint x x 2 folytonos fügvény (rajz). (ii) Egy ktív postai díjszabás-függvény: ha egy csomag 2 kg-nél kevesebb, akkor { 000, ha x < 2, 000 Ft, ha legalább 2 kg, akkor 5000 Ft. Azaz: f(x) := 5000, ha x 2. Csomagunk.998 kg, amire azt mondják: kg, tehát 5000 Ft. Ez nem tetszik, miért? Miben más ez az (i) példánál? (Folytonos nem folytonos.) (b) Határérték (limesz). Probléma: ábrázoljuk az m(x) := x2 x függvényt! Ennak grakonja az (, 2) pontban kilyukasztott egyenes. Az -ben milyen értéke m-nek a 2? (Ez lesz a határérték.) 2. E fogalmak pontos tárgyalásához szükséges Def.: Legyen H R halmaz. Egy a R pont H-nak torlódási pontja (jel.: a H ), ha (x n ) H \ {a} sorozat, melyre x n a. Példák (rajzzal): (i) H = [2, 3) esetén 2, 2.5 és 3 (ii) H = R \ {} esetén H. H -beli. 3. A f deníciók. Többféle ekvivalens deníció létezik, mi itt sorozatokat használunk. Def.: (a) Legyen a D f. f folytonos a-ban, ha x n a D f -beli sorozatra f(x n ) f(a). (b) Legyen a D f, b R. lim a f = b, ha x n a, x n a D f -beli sorozatra f(x n ) b. 4. (a) A két fogalom kapcsolata. Legyen most I intervallum, f : I R, a I. Áll. f folytonos a-ban lim a f = f(a). Biz.: a def-ból következik. Köv.: folytonosság lim a f; visszafelé: csak ha ez épp f(a). (b) Tipikus helyzetek. Tekintsük a fenti f(x) := x2 függvényt, melyre lim f = 2. x Az x = pontban f nincs értelmezve. Ha ott is szeretnénk értelmezni, kétféleképp tehetjük, mindkétszer érvényes marad lim f = 2. Lehet vagy f() := b, ahol b 2 (pl. b = 3) f nem folytonos -ben; vagy f() := 2 f folytonos -ben. (Rajzok.) 5. Folytonosság halmazon. Def.: f : H R folytonos, ha a H pontban f folytonos. Tétel (elemi függvények, biz. nélkül): az f(x) := x α, a x, log a x, sin x, cos x függvények folytonosak teljes D f -jükön. 7

18 6. M veletek. (a) Értelmezésük: pontonként, azaz pl. (f + g)(x) := f(x) + g(x), (f g)(x) := f(x) + g(x) stb.; valamint f g H-ban, ha f(x) g(x) x H. (b) Tulajdonságok: részben a sorozatoknál látottak megfelel i. Határértékre: Tétel. Legyen lim a f = b, lim a g = c. Ekkor lim a (f ± g) = b ± c; lim a (f g) = b c; ha c 0: lim a Folytonosságra: f = b; ha b > 0: lim f α = b α. g c a Tétel. Legyen f és g folytonos a-ban/egy H halmazon. Ekkor f ± g, f g, (ha értelmes:) f és f α is folytonos a-ban/a H halmazon. g Kompozíció és inverz esetén is megmarad a folytonosság: Tétel. Ha f, g : R R folytonosak, akkor f g is folytonos. Tétel. Legyen I R intervallum, f : I R szigorúan monoton. Ha f folytonos, akkor f is folytonos. 7. További határérték-fogalmak. (a) Limesz és végtelen. Def.: (i) lim a f = +, ha x n a, x n a D f -beli sorozatra f(x n ) +. ( -re hasonlóan.) (ii) lim + f = b, ha x n + D f -beli sorozatra f(x n ) b. (Itt b lehet véges vagy végtelen is.) Pl.: f(x) :=, ekkor lim f = + és lim f = 0 x (rajz is). (Ilyen lehet pl. egy térer sség x > 0 esetén.) (b) Egyoldali limesz. Def.: lim a + f = b, ha x n > a, x n a D f -beli sorozatra f(x n ) b. (lim a f = b, ha x n < a,...) Itt b lehet véges vagy végtelen is. Példák: lim sgnx =, lim sgnx = ; lim x 0 + x 0 Áll.: lim f lim a f, lim a + a x 0 + x = +, lim =. x 0 x f és ezek egyenl k. (Pl.: lim sgnx.) x 0 8

19 9. Egyváltozós függvények deriválása/.. Bevezet példa: mekkora egy szabadon es test pillanatnyi sebessége a t 0 id pillanatban? (Feltevés: a 0 id pontban elejtjük.) (i) Kiszámítás. A test által megtett út: s(t) := g 2 t2. Itt g 0, így tekintsük az s(t) := 5t 2 út-id függvényt. s Átlagsebesség a [t 0, t] id intervallumban: = s(t) s(t 0) t t t 0 = 5t2 5t 2 0 t t 0 = 5(t + t 0 ). Pillanatnyi sebesség t 0 -ban: amihez ez közelít t t 0 esetén. Azaz: s(t) s(t v(t 0 ) = lim 0 ) t t0 t t 0 = 0t 0. (ii) Értelmezés: 2. A derivált fogalma. v(t 0 ) az s függvény pillanatnyi megváltozása. Ehhez szükséges def.: egy H R halmaznak a H bels pontja (jelölés: a int H), ha az a pont körül valamely nyílt intervallum is része H-nak. (Rajz: H = [, ] esetén 0 int H, int H.) Def. Azt mondjuk, hogy az f : R R függvény az a int D f pontban dierenciálható és a-beli deriváltja f f(x) f(a) (a) := lim x a, ha ez a limesz létezik x a és véges. Megj. Az x f(x) f(a) (ha x a) függvényt a-beli különbségihányados-függvénynek x a hívjuk, jelentése f/ x az a pont körül. A példában ez az átlagsebesség az id függvényében. Ennek limesze az a-beli derivált; ez a példában a pill. sebesség, azaz út-id függvény t 0 -beli deriváltja: v(t 0 ) = s (t 0 ). 3. A derivált szemléletes jelentése. Itt f(x) f(a) az (a és x pontokhoz tartozó) szel meredeksége, így a derivált értéke x a ezek limesze. Ebb l következ en: Az f (a) derivált értéke az a-beli érint meredeksége (rajz). Ennek jelentése az f függvény a-beli "pillanatnyi" változásának mértéke. 4. A derivált jelentése közelítés szempontjából. (i) x = a + h helyettesítéssel kapható a fentivel ekvivalens def.: f (a) := lim f(a+h) f(a) h 0 h, ha ez a limesz és véges. (ii) Inhomogén lineáris függvénynek hívunk egy l(x) := mx + b függvényt, ahol m, b R állandók. A derivált fenti deníciója alapján: ha h 0, akkor f (a) f(a+h) f(a), azaz f(a+h) f(a)+f (a)h =: l(h) inhom. lin. függvény. h Geometriai jelentés (rajzzal): h 0 esetén a két függvény kb. azonos, s t itt m = f (a), így a-beli meredekségük azonos. 9

20 5. További fogalmak. (i) Egyoldali derivált: az a D f pontban f +(a) f(x) f(a) := lim, ha ez a limesz létezik és véges. x a+ x a (Ugyanígy f (a) :=..., ahol x a.) Áll.: f (a) f +(a), f (a) és ezek egyenl k. Példa: f(x) := x és a = 0. Ekkor f +(0) x 0 := lim x 0+ x 0 f (0) =, így f nem dierenciálható 0-ban. = lim =, ugyanígy x 0+ Rajz: a grakonnak "törése" van (míg dierenciálható esetben "sima"). (ii) Deriváltfüggvény. Ha f : H R dierenciálható a H halmazon (azaz H minden pontjában), akkor az x f (x) függvényt f deriváltfüggvényének hívjuk, jelölése f : H R. (Pl. a fenti s(t) = 5t 2 esetén s (t) = 5t t R, rajz.) 6. Kapcsolat a folytonossággal. Áll.: Ha f dierenciálható a-ban, akkor ott folytonos is. Visszafelé ez nem igaz, vagyis ha f folytonos a-ban f dierenciálható a-ban. Például f(x) := x folytonos a = 0-ban, de ott nem dierenciálható. 7. A derivált kiszámítása: deriválási szabályok. Deriváltfüggvényre írjuk fel, pontonként is érvényes. Tétel. Legyenek f, g : H R dierenciálhatóak a H halmazon. Ekkor (f ± g) = f ± g, (cf) = cf (ha c R állandó), (f g) = f g + fg, Vigyázat! f g ( f g ) = f g fg (ha g 0),... f g 2 g (f g) = (f g) g ( pontonként: (f(g(x)) = f (g(x)) g (x) ). f g Biz.: Def. és számolás. Pl. szorzatra: ha a H, (f g) f(x)g(x) f(a)g(a) (a) := lim x a x a = lim ( f(x) f(a) x a x a g(x) + f(a) g(x) g(a) x a = lim ) = f (a)g(a) + f(a)g (a). (f(x) f(a))g(x)+f(a)(g(x) g(a)) = x a x a Tétel (inverz deriváltja). Legyen f 0 az I intervallumon. Ha x I és y = f(x), akkor (f ) (y) = (Rajzon: a meredekség a másik irányból reciprok.) f (x). 20

21 0. Egyváltozós függvények deriválása/2.. Elemi függvények deriváltjai (a) Elemi függvények néhány limesze. sin x (i) lim =. Ui. (rajz) sin x < x < sin x, így < x 0 x cos x x 0. ( ) x (ii) lim + x + x = e (mint sorozatokra). (iii) lim x 0 +( + x) ( x = lim + t + t ln(+x) (iv) lim x 0 x x < sin x cos x ) t = e (t = x helyettesítéssel). Ugyanez igaz balról is, így lim ( + x) x = e. x 0 = lim ln ( ) ( + x) x = ln e = az ln folytonossága miatt. x 0 e (v) lim x t = lim = x 0 x t 0 ln(+t) (b) Elemi függvények deriváltjai. A def.-ból, bármely a D f pontban: (a) Ha f c konstans: (b) Ha f(x) := x n : (t = ex helyettesítéssel). f c c (a) = lim = 0. x a x a f x (a) = lim n a n x a x a, ha = lim x a (x n +x n 2 a+...+a n ) = na n. (Pl. f(x) = x f (x) = (rajz is), f(x) = x 2 f (x) = 2x, mint a szabadesés.) Ez a képlet valós kitev re is igaz. (c) Ha f(x) := e x : (d) ln ln x ln a (a) = lim x a x a helyettesítéssel). (e) sin sin x sin a (a) = lim x a x a (t = x a 2 helyettesítéssel). Hasonlóan cos (a) = sin a. f e (a) = lim a+h e a h 0 h = lim x a ln x a x a 2 sin = lim x a = e a lim h 0 e h h = e a. a( x a ) = a lim cos x+a 2 2 x a t 0 ln(+t) t = a (t = x a sin t = cos a lim t 0 t = cos a Tehát: f(x) := x α, e x, ln x, sin x, cos x f (x) := αx α, e x,, cos x, sin x. x Jelölés: f (x) helyett néha ( f(x) ) -t írunk, pl. (e x ) = e x. - További példák, m veletekkel: tg x = ( sin x cos x sin 2 x. sh x = ( e x e x 2 ) = sin x cos x cos x sin x cos 2 x = cos2 x+sin 2 x cos 2 x = cos 2 x, has. ctg x = ) = ex +e x 2 = chx. Has. ch x = shx, th x = ch 2 x, cth x =. sh 2 x Ha a > 0, akkor (a x ) = ( e ln a x) = e ln a x ln a = a x ln a. Ha a > 0, a, akkor (log a x) = ( ln x ln a (Megj.: e azért nevezetes, mert (e x ) = e x.) ) = x ln a. 2

22 Inverz deriváltja: y = f(x) esetén (f ) (y) =. f (x) Példa: legyen x [ π, π ], és y = sin x [, ]. Ekkor cos x 0, így 2 2 arc sin y = = cos x sin = 2 x y. 2 Hasonlóan jön ki: arc tg y = +y 2. Deriválttáblázat: lásd pl. benedek/analizis/pdf/seged/derivalttablazat.pdf Fejb l tudni kell: f(x) := x α, a x, log a x, sin x, cos x, (tg x, ctg x), sh x, ch x, (th x, cth x) deriváltját. (Az arc és az area függvényekét csak táblázatból.) A zárójelesek könnyen ki is számíthatók az el ttük lev kb l. 2. Magasabbrend derivált. Def. Ha f : I R dierenciálható egy I intervallumban és f dierenciálható a inti-ben, akkor f kétszer dierenciálható a-ban és f (a) := (f ) (a). n-edik derivált: hasonlóan, rekurzióval, f (n) (a) := (f (n ) ) (a). Pl. f(x) := x 3 f (x) := 3x 2 f (x) := 6x x R. f akárhányszor dierenciálható, ha n-re n-szer dierenciálható. 22

23 . Hatványsorok.. Hatványsorok, Taylor-sor (a) Bevezet példa. Mely x R esetén konvergens a x k sor? k=0 Tudjuk: (x helyett q-val): ha x <, és ekkor összege Itt n-re s n (x) := n x k egy függvény a (, ) intervallumban, amely x-enként k=0 konvergál az f(x) := x (b) Def. és alaptulajdonságok. x. függvényhez, az ún. összegfüggvényhez. Def. Adott (c n ) számsorozat esetén 0 közep hatványsornak hívjuk a sort. Általában, a közep hatványsor: c n (x a) n. c n x n Tétel. Tegyük fel, hogy létezik és véges α := lim n c n vagy α := lim c n+ c n. Legyen R := (ha α = 0, akkor R := + ). A c α n x n hatványsor konvergens, ha x < R, és (véges R esetén) divergens, ha x > R. Biz.: Legyen α > 0. Gyökkritérium a n := c n x n mellett: q := lim a n n = lim n c n x = α x = x. A sor konvergens, ha q <, azaz ha x < R, és R divergens, ha q >, azaz ha x > R. A többi eset hasonlóan jön ki. (c) Hatványsorok deriválása. Egy hatványsor s n (x) szeletei polinomok, tagonként deriválhatók. Ebb l igazolható: Tétel. Legyen f(x) = c n x n = c 0 + c x + c 2 x 2 + c 3 x valamely R > 0 esetén x < R mellett. Ekkor az f összegfüggvény dierenciálható, és f (x) = c + 2c 2 x + 3c 3 x ( x < R). Köv.: (i) Ez is hatványsor, így a tételt újból alkalmazva, x < R f (x) = 2 c c 3 x +... és ugyanígy, n-re f (n) (x) = n(n )...2 c n + (n + )n c n x +... (ii) Fontos észrevétel: x = 0 helyen mindegyik sorban csak az els tag nem 0! Így f (n) (0) = n! c n. Taylor-féle együtthatóképlet: c n = f (n) (0) n! ( n N). 2. Taylor-sorok. Eddig adott hatványsor esetén vizsgáltuk az összegfüggvényt. Megfordítva: adott f függvény el áll-e alkalmas hatványsor összegeként? (Pl. ha a sin függvény el áll, akkor sin x értéke bármely x-re közelít leg kiszámítható mint a hatványsor valamely szelete.) A Taylor-féle együtthatóképletb l következik a keresett c n együtthatók értéke: Tétel. Ha f(x) = c n x n ( x < R valamely R > 0 mellett), akkor f akárhányszor dierenciálható, és c n = f (n) (0) n! ( n N). 23

24 Def. Az f függvény 0 közep Taylor-sora a f (n) (0) n! x n hatványsor. Példa: f(x) := e x. Ekkor n N esetén f (n) (x) = e x, így f (n) (0) =. Ezért e x Taylor-sora n! xn. Hányadoskritériummal a n+ a n = n! x x = 0 <, így (n+)! n+ x R esetén a sor konvergens. Hasonló számolással kapható sin x és cos x Taylor-sora. Tétel. x R esetén e x = x n, cos x = ( ) n x2n n! Megj.: a közep Taylor-sor: 3. Közelítés Taylor-polinommal. f (n) (a) n! (x a) n. (2n)!, sin x = ( ) n x2n+ (2n+)!. f Legyen f(x) = (n) (a) (x a) n az (a R, a + R) intervallumon. E sornak kiszámítani csak a szeleteit tudjuk, n! ezekre Def. Az f a-beli n-edfokú Taylor-polinomja T n (x) := n f (k) (a) (x a) k = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) f (n) (a) (x a) n. k! 2 n! k=0 Ezek n növelésével egyre pontosabban közelítik f-et az a pont körül. Szemléltetés (rajzzal). Legyen x = a + h, ekkor T 0 (a + h) = f(a) T (a + h) = f(a) + f (a)h f(a + h) T 2 (a + h) = f(a) + f (a)h + f (a) h stb.... egyre jobb közelítés. T 0 -nál: f(a + h) f(a) is érvényes közelítés (bár elég durva), ez épp a folytonosság. T -nél: f(a+h) f(a)+f (a)h lineáris közelítés, amit a deriváltnál láttunk. T 2 -nél: parabolával közelítjük. 24