8. RUGALMASSÁGTANI EGYENLETEK

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "8. RUGALMASSÁGTANI EGYENLETEK"

Imre Jónás
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 8 RUALMASSÁTANI EYENLETEK 81 A rugalmasságtani peremérték feladat Adott: - a test/alkatrés alakja és méretei - a test/alkatrés anaga - test/alkatrés terhelései és megtámastásai Keresett: u F A u a test silárdságtani állapotait jellemő menniségek u ( ) a test tetsőleges ( ) pontjának elmodulás vektora F( ) a test tetsőleges ( ) pontjában a fesültségi tenor A ( ) a test tetsőleges ( ) pontjában a alakváltoási tenor u ( ) a test tetsőleges ( ) pontjában a fajlagos alakváltoási energia Kérdés: Milen általános össefüggések állnak fent eek köött a állapotjellemő menniségek köött? Válas: A rugalmasságtani egenletek 8 A egensúli egenletek r V A da dv da n df = F da df = qdv A visgált test tetsőleges alakú A testből kiragadunk eg olan V térfogatot amelet a A árt felület határol és amel teljes egésében a visgált test belsejében helekedik el O A ( ) V körneetének mechanikai hatásait erőkkel vessük figelembe: - a elemi térfogaton megosló erő: df = q dv - a elemi felületen megosló erő: df = ρ da= F n da da A ( V ) testrés egensúlban van: F = 0= qdv + F nda ( V ) ( A) Matematikai emléketető: a auss (kiejtése: gaus) - Ostrogradskij-féle integrál átalakítási tétel: F nda = F dv A V 1

a alakváltoási tenor u ( ) a test tetsőleges ( ) pontjában a fajlagos alakváltoási energia Kérdés: Milen általános össefüggések állnak fent eek köött a állapotjellemő menniségek köött?

2 A Hamilton-féle (kiejtése: hemilton) vag nabla (kiejtése: nábla) differenciál operátor deréksögű descartesi (kiejtése: dékárti) koordináta-rendserben: = e + e + e A integrál átalakítási tételt alkalmava: F = 0= ( F + q) dv V ( ) A integrálnak bármel ( V ) válastás esetén el kell tűnnie a integrandus érus A egensúli egenlet: F + q= 0 (vektor egenlet 3 db skaláris egenlet) A skaláris egenletek deréksögű descartesi (dékárti) koordináta-rendserben: ( e e e ) e ρ ρ ρ e e q = 0 q 0 Mátri alakban felírva: q 0 + = q 0 A mátrisorást elvégeve három skaláris egenletet kapunk: q = q = q = 0 Egensúli egenletek: kapcsolat a térfogati terhelés és a belső erőrendser/fesültségi állapot köött A M = 0 egensúli egenletből a F fesültségi tenor simmetriája veethető le O 83 Kinematikai (geometriai/ kompatibilitási) egenletek dr u Q u = u Q u A test eg tetsőleges pontjának elemi körneetét visgáljuk meg A Q pont a pont elemi körneetében helekedik el dr = de + d e + d e 13

egenletek deréksögű descartesi (dékárti) koordináta-rendserben: ( e e e ) e ρ ρ ρ e e + + + + + q = 0 q 0 Mátri alakban felírva: q 0 + = q 0 A mátrisorást elvégeve három skaláris egenletet kapunk: +

3 u u ue ve we A elmodulásmeő: = ( ) = ( ) + ( ) + ( ) A pontho képest a Q pont elmodulása: u = u u = u u Q Sorfejtés: u u u u ( ) = u + d+ d+ d+ merevtestserű magasabbrendű eltolás lineáris rés tagok (( )) Lineáris köelítés esetén: u u u u du = d + d + d e dr e dr e dr Minden tagból dr u u u -t kiemelve: du = e + e + e d r = D d r A elmodulásmeő derivált tenora: D= u (Nem simmetrikus tenor) A derivált tenor felbontása (minden tenor felbontható eg simmetrikus és eg ferdesimmetrikus résre): T T D= D+ D + D D = A +Ψ simmetrikus ferdesimmetrikus rés rés A forgató tenor: a pont elemi körneetének merevtestserű sögelfordulását jellemi T ( D D ) ( u u) Ψ= = (ferdesimmetrikus) A alakváltoási tenor: a pont elemi körneetének alakváltoását jellemi T A= D+ D = u + u (simmetrikus) Kis alakváltoások esetén e a tenoregenlet a kinematikai/geometriai egenlet A tenorok mátria résletesen kiírva: ε A = ε ε u u u v v v D = w w w u v w T u v w D = u v w 1

derivált tenor felbontása (minden tenor felbontható eg simmetrikus és eg ferdesimmetrikus résre): T T D= D+ D + D D = A +Ψ simmetrikus ferdesimmetrikus rés rés A forgató tenor: a pont elemi

4 A alakváltoási tenor koordinátái (elemei): u 1 u v 1 u w ε v u v 1 v w A ε = = w u 1 w v w ε + + Skaláris egenletek: u u v ε = = = + v v w ε = = = + w u w ε = = = + a simmetria miatt hat skaláris egenlet Kinematikai egenletek: kapcsolat a alakváltoási tenor és a elmodulás vektor koordinátái köött (A alakváltoási tenor elemei nem függetlenek egmástól a három elmodulásmeőből sármatathatók) 8 Anagegenletek általános Hooke törvén A általános Hooke (kiejtése: huk) törvén a lineárisan rugalmas iotróp anagi viselkedést írja le R m Lineárisan rugalmas: a alakváltoások és a fesültségek köött lineáris függvénkapcsolat van R p0 Iotróp: a anagi viselkedés irántól független (éldául a fémek esetében) ε Lineárisan rugalmas alakváltoás esetén a sakító diagram lineáris sakasán vagunk A általános Hooke törvén két egmással egenértékű alakja: F I 1 ν ν α ) A= F E 1+ ν β ) F = A+ E 1 ν A egenletekben sereplő menniségek jelentése: csústató rugalmassági modolus anagjellemők ν oisson téneő FI a fesültségi tenor első skalár invariánsa AI a alakváltoási tenor A I 15

sármatathatók) 8 Anagegenletek általános Hooke törvén A általános Hooke (kiejtése: huk) törvén a lineárisan rugalmas iotróp anagi viselkedést írja le R m Lineárisan rugalmas: a alakváltoások és a

5 1 0 0 E = A α ) alak skaláris egenletei: A β ) alak skaláris egenletei: a egségtenor 1 ν ε= ( ) ν = + 1 ν ε = ( ) ν = + 1 ν ε = ( ) + + = 1 v + ν = ε + ( ε + ε + ε) 1 ν = ν = ε + ( ε + ε + ε) 1 ν = ν = ε + ( ε + ε + ε) = 1 ν Anagegenletek: kapcsolat a alakváltoási jelemők és a fesültségek köött 85 eremfeltételek n Dinamikai peremfeltétel: F n = p 0 A u da p 0 A p 0 előírt (ismert) felületi terhelés a Ap -n Kinematikai peremfeltétel: u = u 0 O A p A u 0 előírt (ismert) elmodulás a Au -n 86 A rugalmasságtani peremérték feladat megoldása Egistencia és unicitás: Bebionítható hog a rugalmasságtani egenleteknek adott peremfeltételek mellett eg és csak eg megoldása léteik Egakt megoldás: A keresett meők (függvének) minden rugalmasságtani egenletet és peremfeltételt kielégítenek Köelítő megoldás: A keresett meők (függvének) a rugalmasságtani egenletetek és peremfeltételek nem minden egenletét elégítik ki 16

(ismert) felületi terhelés a Ap -n Kinematikai peremfeltétel: u = u 0 O A p A u 0 előírt (ismert) elmodulás a Au -n 86 A rugalmasságtani peremérték feladat megoldása Egistencia és unicitás:

6 87 A kompatibilitási (össeférhetőségi) egenlet más alakjai a) A Saint-Venant (kiejtése: san-venan) féle kompatibilitási egenlet: Tenoriális alak: A = 0 Skaláris egenletek a deréksögű descartesi koordináta-rendserben (DDKR-ben): ε ε = + ε ε = + ε ε = + ε + = ε + = ε + = Fiikai tartalom: a alakváltoási tenor koordinátái nem függetlenek egmástól b) A Beltrami-Michell (kiejtése: beltrámi-micsel) féle kompatibilitási egenlet: A Saint-Venant féle kompatibilitási egenletbe behelettesítjük a Hooke-törvént és q = 0 Tenoriális alak: ( ν ) 1+ F+ F I = 0 A Laplace (kiejtése: laplas) féle differenciál operátor DDKR-ben: = = + + Skaláris egenletek a DDKR-ben: F FI 1+ ν + = 0 1+ ν 0 + = F FI 1+ ν + = 0 1+ ν 0 + = F FI 1+ ν + = 0 1+ ν 0 + = I I I Fiikai tartalom: A alakváltoási jellemők köötti össefüggések követketében a fesültségi tenor elemei köött a fenti össefüggések állnak fenn 88 akorló feladatok a rugalmasságtani egenletekre 881 feladat: A általános Hooke törvén Adott: A iotróp lineárisan rugalmas test pontjában a fesültségi állapot: = 70 Ma = 50 Ma = Ma = = 0 Ma továbbá a anagi viselkedést jellemő menniségek ν = 03 = 08 Ma 5 17

beltrámi-micsel) féle kompatibilitási egenlet: A Saint-Venant féle kompatibilitási egenletbe behelettesítjük a Hooke-törvént és q = 0 Tenoriális alak: ( ν ) 1+ F+ F I = 0 A Laplace (kiejtése: laplas)

7 Feladat: A pont alakváltoási állapotának meghatároása és semléltetése elemi triéderen Kidolgoás: 1 A általános Hooke-törvén: ν A = F FI E 1 + ν ν 03 FI = + + = =130 Ma F I = 130=30 Ma 1 + ν ε = ( ) =5 = = = ε = ( ) = 15 = = = ε = ( -30 ) =-15 0 = = = = A alakváltoási tenor: 15 ε e A ε = = e e ε 88 feladat: A általános Hooke törvén Adott: A test tetsőleges pontja ahol a alábbi menniségek ismertek: ε = 3 ε = = ρ = (0 e 8 e + 0 e) Ma = 80 Ma ν = 05 Feladat: a) A A alakváltoási tenor mátriának a meghatároása b) A F fesültségi tenor mátriának meghatároása Kidolgoás: a) A A alakváltoási tenor mátriának a meghatároása: A alakváltoási tenor mátria a ismert és ismeretlen értékekkel: A = 1 ε A ρ fesültségi vektor koordinátái: = 0 Ma = 8 Ma = 0 Ma A általános Hooke törvénből:

általános Hooke törvén Adott: A test tetsőleges pontja ahol a alábbi menniségek ismertek: ε = 3 ε = = ρ = (0 e 8 e + 0 e) Ma = 80 Ma ν = 05 Feladat: a) A A alakváltoási tenor mátriának a meghatároása

8 0 8 = = = = = = ν ν = ε + AI = ε + ( ε + ε + ε) 1 ν 1ν 1 ν ν ε = ( ε + ε) = (1 ν) 1ν = 0 ( ) = 3 80(1 05) 1 05 A alakváltoási tenor: 15 A 1 30 = e 1 5 e e 1 30 b) A F fesültségi tenor mátriának meghatároása: ν F = A A + I E 1 ν A = ε + ε + ε = + = 30 I Behelettesítve: 15 F = = A fesültségi állapot semléltetése: 0 [ Ma] Ma

mátriának meghatároása: ν F = A A + I E 1 ν A = ε + ε + ε = + = 30 I Behelettesítve: 15 F = 8 1 30 + 5 30 1 0 0

9 883 feladat: A általános Hooke törvén Adott: A pontbeli elemi kockán a fesültségi állapot valamint = 0 a = Ma és ν = [ Ma] 0 60 Feladat: A pontbeli alakváltoási állapot meghatároása Kidolgoás: 30 0 A test pontjában a F fesültségi tenor mátria: F = Ma A test pontjában a alakváltoási koordináták: = = = 75 = = = = = = FI = + + = = 30 Ma 1 ν ε = F 30 1 ν I = = ν ε = F ν I = = ν ε = F ν I = =

mátria: F = 30 60 0 Ma 0 0 0 A test pontjában a alakváltoási koordináták: 30 0 0 = = = 75 = = = = = = FI = + + = + 60 0 = 30

Hasonló dokumentumok

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül