Mechanika II. Szilárdságtan Elméleti Kérdések 2016

Átírás

1 Mechaika. Silárdságta Elméleti Kérdések 6. Mi a silárd test? Alakváltoás végésére képes test. Megjegés: Alakváltoás: fajlagos úlás és fajlagos sögváltoás.. Mi a rugalmas test? A rugalmas test terhelés hatására alakváltoást seved, a terhelést megsütetve vissaeri eredeti alakját és méreteit. 3. Mit jelet, hog a aag homogé? A aag tulajdoságai a test mide potjába aoosak. Megjegés: Rugalmas test silárdsági tulajdoságok: E rugalmassági modulus; G csústató rugalmassági modulus; Poisso-téeő; m Poisso sám. 4. Mi a merev test? A testbe bármel két pot távolsága álladó, a potok távolsága terhelés (erő/omaték/hő) hatására sem váltoik meg. Megjegés: Más megfogalmaás: A merev test terhelés hatására alakváltoást em seved. 5. Mi a külöbség a silárd test és a merev test köött? A merev testek terhelések (erők/omatékok/hő) hatására em sevedek alakváltoást, míg a silárd testek ige. 6. Melek a igébevételi függvéek? Mi a serepük? A igébevételek váltoását a rúd tegelvoala meté leíró függvét igébevételi függvéek eveük. gébevételi függvéek a ormál, hajlító, író és csavaró igébevételi függvéek. Serepük: a tartó eges kerestmetseteit terhelő igébevételek leírása, melek alapjá a kerestmetsetbe ébredő fesültségek sámíthatók. 7. Melek a egserű igébevételek? Húás/omás, hajlítás, csavarás, írás. 8. Hoga veettük be a mechaikai fesültség fogalmát? A mechaikai fesültség beveetése, eg tartó esetébe a követkeő techikai lépésekkel törtéhet:. Feltételeük, hog a visgált testre egesúli erőredser hat, melek követketébe a test (itt tartó) ugalomba va.. A tartót képeletbe kettévágjuk eg metsősíkkal. Ahho, hog a kettéválasott tartófelekbe a egesúli helet e váltoo a elhagott tartórés hatását a átvágott kerestmetsetbe helettesítei kell. 3. Eért a vágás meté erők és omatékok lépek fel, melek a eltávolított rés erőit és omatékait helettesítik. 4. Eek a erők megoslóa működek, hise a átvágás előtti állapotba foltoosa éritketek egmással. Íg a aagi foltoosság révé a erők potról potra adódak át és e a általáos térbeli megosló erőredser alkotja a fesültséget. (Megjegés A felülete megosló belső erőredser iteitását fesültségek eveük és fesültségvektorral adjuk meg: F df ρ lim A A da A fesültségvektort a test eg P potjáho és a da felületelem ormálirááho redeljük hoá.) 9. Mi a ormál fesültség? A visgált kerestmetset valamel potjába ébredő ρ silardsagta_gakorlat_6_elmeleti_kerdesek m m ρ

2 fesültségvektorak a kerestmetset síkjára merőleges ormálvektor iráú kompoese. Más megeveése: Sigma-fesültség. Megjegés: A ormálfesültség vektormeiség. A ormálfesültségek a ormálvektor iráú koordiátáját -el jelöljük. Ameibe e a koordiáta poitív, akkor húó fesültségről besélük, ha e a koordiáta egatív, akkor pedig omófesültségről.. Mi a csústató fesültség? A visgált kerestmetset valamel potjába ébredő ρ silardsagta_gakorlat_6_elmeleti_kerdesek fesültségvektorak a kerestmetset síkjával párhuamos iráú m vektor iráú kompoese. Más megeveése: au-fesültség. Megjegés: A m m csústatófesültség vektormeiség. A csústatófesültségek a m vektor iráú koordiátáját m-val jelöljük.. Mi a fajlagos úlás? Fajlagos úlásak eveük a, képlettel defiiált meiséget húott rúd eseté, ahol: megúlás [m], eredeti hoss [m].. Mi a tista hajlítás? Valamel kerestmetset igébevétele akkor tista hajlítás, ha a kerestmetsetet csak hajlító igébevétel éri. (A ormál, a író és a csavaró igébevétel érus) Megjegés: Általába tista igébevételről akkor besélük, ha a visgált serkeet (rúd) visgált kerestmetsetébe csak egfajta igébevétel va. 3. Mile rudak csavarását tudjuk elemi módo visgáli? Elemi silárdságtai módserekkel a kör vag körgűrű kerestmetsetű rudak csavarás visgálható. 4. Mire hasálható a rugalmas sál differeciálegelete? A rúd rugalmas sáláak differeciálegelete a terhek (terhelő erők és omatékok) és a rúd lehajlása köötti össefüggést adja meg. M ( ) v ( ) E ahol, a koordiátájú kerestmetsetre, v () kerestmetset súlpotáak a iráú lehajlása (elmodulása), M () tegel körüli hajlító igébevétel, () kerestmetset tegelre sámított másodredű omatéka, E rugalmassági modulus. A rugalmas sál differeciálegeletéek itegrálásáho két peremfeltétel megadása sükséges. 5. Mikor besélük kihajlásról? A egees-tegelű omott rudak stabilitásvestését kihajlásak eveük. Megjegés: Egees-tegelű rúdak at a rudat eveük, mel mide kerestmetsetéek ormálvektora aoos irába esik. (Stabilitásvestés defiíciója: Eg serkeet stabilitásvestéséről akkor besélük, ha kis terhelésváltoás ag elmodulásváltoást eredmée a serkeete.) 6. Mi a egees és a ferde hajlítás? Egees hajlítás: Ha a hajlító igébevétel omaték vektora egbeesik a kerestmetset valamelik súlpoti másodredű omatéki főiráával. m m

3 3 Ferde hajlítás: Ha a hajlító igébevétel omaték vektora em esik egbe a kerestmetset egik másodredű omatéki főiráával sem. 7. Mikor besélük hajlítás-írásról? Ha eg rúdelemre egidejűleg hajlítóomaték és írőerő igébevétel működik (más igébevétel pedig em), akkor at modjuk, hog a rúdelem hajítás-írásra va igébevéve. 8. Mikor ismert eg silárd test valamel potjába a fesültségállapot? Eg silárd test valamel P potjába ismert a fesültségállapot, ha ismert a ehhe a potho tartoó fesültségteor. 9. Hoga írható le a fesültségállapot? Eg silárd test valamel P potjáho tartoó fesültségállapot a potho tartoó fesültségteorral írható le. A fesültségteor mátria eg adott koordiátaredserbe (Descartes-féle deréksögű koordiátaredser): σ [MPa] A fesültségi állapot teoráak mátria simmetrikus, σ σ. (A fesültségteor simmetricitása a csústatófesültségek dualitásával egeértékű.). Hoga ábráolható a fesültségállapot? A fesültségállapot geometriai megjeleítése (iterpretációja) lehetséges a kiskocká (elemi kocká) való ábráolás. Ebbe a ábráolásba a kiskocka élei aak a báisak a koordiátairáaiba esek, amel báisba felírásra került a fesültségi állapot mátri. Ekkor a fesültségteor mátriáak elemeit (a fesültségvektorok koordiátáit) a kiskocka ao lapjaira rajoljuk, amel ormálisú síkho tartoik a fesültségvektor. Mivel a fesültségteor simmetrikus, σ mátria írható a három ρ ρ ρ (ró) fesültségvektorral, mit silardsagta_gakorlat_6_elmeleti_kerdesek oslopvektorokkal a követkeő alakba: σ [ ρ ρ ρ ].. Mi a Cauch-féle fesültség teor? A Cauch féle fesültségteor (a P potbeli) vektorak a homogé lieáris vektor-vektor függvée, ρ (), ahol függetle vektor-váltoó, ρ függvéérték. Eg pot fesültségállapotát leíró vektor-vektor függvé. E lehetőséget ad arra, hog a P potho kapcsolt tetsőleges iráho (e a metső sík ormálisa ) meghatárouk a ρ fesültségvektort. A Cauch-féle fesültségteor mátria: σ. [MPa]. Mire jó a fesültség teor? A fesültségteor segítségével írhatjuk fel eg silárd test valamel potjába a fesültségállapotot. A fesültségteor homogé-lieáris vekor-vektor függvé. Adott koordiátaredserbe a fesültségi állapot mátria repreetálja. 3. Mi a főfesültség?

4 4 A főfesültség a fesültségteor mátriáak eg sajátértéke. A fesültségi állapot mátriak - mivel (33)-as valós elemű simmetrikus mátri - három valós sajátértéke va. Főfesültségről akkor besélük, ha a ρ fesültségvektor iráa a irába esik (csak a felületre merőleges koordiátája érustól külöböő, a másik két koordiáta érus). A főfesültség mértékegsége [MPa]. A főfesültségeket értékük serit csökkeő sorredbe sorsámouk Mik a fesültségi főiráok? A fesültségteor sajátvektoraiak iráai. 5. Hoga határohatók meg a főfesültségek? A főfesültségek a fesültség-teor sajátértékeiek sámításával, vagis a σ E karakteristikus egelet gökeiek meghatároásával, ahol σ a fesültségteor mátria (33), E (33) egségmátri. 6. Hoga határohatók meg a fesültségi főiráok? A fesültség-teor sajátvektoraiak sámításával, vagis a σ kööséges sajátértékfeladat megoldásával. A fesültségi főiráok megegeek a sajátértékfeladat megoldásával kapott,, 3 sajátvektorok iráaival. Megjegés: A,, 3 vektorok is sajátvektorok. 7. Mikor rajolható Mohr kör? Mohr kör akkor rajolható, ha a egik főfesültség ismert. 8. Mikor ismert eg silárd test valamel potjába a alakváltoási állapot? Eg silárd test valamel potjába a alakváltoási állapotot ismertek tekitjük, ha ismert a alakváltoási állapot teor mátriáak mide eleme. ε. 9. Hoga írható le a alakváltoási állapot? A alakváltoási állapot a alakváltoási állapotteorral írható le, melek mátria: ε.,, fajlagos úlások (relatív hossváltoások),, sögtorulások (deréksögek megváltoása) A alakváltoási állapot a visgált pot elemi köreetébe felvett kiskocka alakjáak megváltoását jeleti. 3. Mi a alakváltoási teor? A alakváltoási teor eg homogé lieáris vektor-vektor függvé. Eg adott koordiátaredserbe mátria a alakváltoási állapot mátri: silardsagta_gakorlat_6_elmeleti_kerdesek

5 5 ε Eg pot alakváltoási állapotát leíró vektor-vektor függvé. E lehetőséget ad arra, hog a P potho kapcsolt tetsőleges iráho meghatárouk a fajlagos eltolódás vektorát. 3. Mire hasálható a alakváltoási teor? A alakváltoási teor silárd testek alakváltoási állapotáak leírásáho hasálható. etsőleges iráokho, a fajlagos úlások, illetve sögváltoások leírására. A ε alakváltoási állapot mátri segítségével a bármel tetsőleges irába létrejövő fajlagos úlás, illetve két merőleges (, m) tegel egmás felé fordulásáak söge m m a alábbi módo határoható meg: ε, m ε m, m mm ε. 3. Mi a főúlás? A főúlás a alakváltoási állapotteor mátriáak eg sajátértéke. A alakváltoási állapotmátriak - mivel (33)-as valós elemű simmetrikus mátri - három valós sajátértéke va. 33. Hoga határohatók meg a főúlások? A főúlások a alakváltoási állapot-teor sajátértékeiek sámításával, vagis a ε E karakteristikus egelet gökeiek meghatároásával határohatók meg, ahol ε a alakváltoási állapotteor mátria (33), E (33) egségmátri. 34. Hoga határohatók meg a alakváltoási főiráok? A alakváltoás főiráok a alakváltoási állapotmátri sajátvektoraiak sámításával, vagis a ε kööséges sajátértékfeladat megoldásával. A alakváltoási főiráok megegeek a sajátértékfeladat megoldásával kapott,, 3 sajátvektorok iráaival. Megjegés: A,, 3 vektorok is sajátvektorok. 35. Mi a össefüggés a alakváltoási és a fesültség teorok köött iotrop aag eseté? A fesültségteor és a alakváltoási állapot teor köötti össefüggések: σ G ε E ε σ E m G m ahol: A ε alakváltoási teor első skalár ivariása (főátlóbeli elemek össege). A σ fesültségteor első skalár ivariása (főátlóbeli elemek össege). E Egségmátri (egségteor mátria). A emetköi sakirodalomba a egségmátriot -vel jelölik. E rugalmassági modulus [ N / mm ] G csústató rugalmassági modulus [ N / mm ] Poisso téeő [] m Poisso sám [] silardsagta_gakorlat_6_elmeleti_kerdesek

6 6 E G( ) E G ( ) 36. Mi a aagtörvé? A aagtörvé a silárd test eg potjáak fesültségi és alakváltoási állapota köötti össefüggést leíró törvé. 37. Mi a aagtörvé serepe? A aagtörvé serepe, hog megadja a össefüggéseket a fesültségi és a alakváltoási állapot köött, továbbá lehetővé tege a aagjellemők figelembevételét. 38. Mile aagjellemők serepelek a lieáris, iotrop, rugalmas aag aagtörvéébe? Mei lehet függetle köülük? E rugalmassági modulus [ N / mm ] E G( ) G csústató rugalmassági modulus E [ N / mm ] G ( ) Poisso téeő [] m Poisso sám [] Kettő lehet függetle. 39. Hog eveük a lieáris, iotrop, rugalmas aag aagtörvéét? A lieáris, iotrop, rugalmas aag aagtörvéét Hooke-törvéek eveik. 4. Hoga határouk meg eg rugalmas testbe a fesültségállapotot úlásméréssel? Válas: A felülete 3 irába úlásmérést végük, majd a Hooke törvé felhasálásával sámításokat végük. Megjegés: Eg homogé iotróp silárd test terheletle felületi potjáak fesültségi és alakváltoási állapotáak mérések útjá való meghatároása a feladat. A visgált pot köelébe a felülete három irába úlásmérőbéleget heleek el, és megmérik a terhelés hatására a úlásmérőbélegek mérési iráába létrejövő fajlagos úlást. b Lege irá a felületre merőleges irá. Ekkor a három úlásmérőbéleg mérési iráába eső irávektorok a síkbeli vektorok. cos a cosb cos c P a si, a b si ; b c si. c Ee vektorok elemei ismertek. c A úlásmérőbéleggel mért értékek, a, b c A terheletle felülete lévő P potba a fesültségállapot síkbeli fesültségállapot, tehát a fesültségteor mátria ebbe a felületi potba: Φ. (erheletle felületi pot esetébe a kiskocka ormálisú síkjába a fesültségteor elemei érus értékűek.) Ebből követkeik, hog a alakváltoási állapot mátria a alábbi alakú les. a U / / silardsagta_gakorlat_6_elmeleti_kerdesek

7 7 A U alakváltoási állapot mátriak a ormálisú síkho tartoó / és / elemei érus értékűek, visot a. (Általáosságba: figeljük meg, hog ha a egik teor i, j ( i j) főátló kívüli eleme érus, akkor a másik teorak is a ugaile ideű eleme érus. Ha. Ha. Ha.) silardsagta_gakorlat_6_elmeleti_kerdesek. lépés. A síkba eső alakváltoási állapotvektorok koordiátáiak,, / ) sámítása. ( Felírjuk a a Ua, a b Ub, b c Uc. egeleteket. A egeletredsert c (,, ) -re megoldjuk.. lépés. meghatároása. Íg a alakváltoási-állapot mátriáak most már csak a eleméek meghatároásáho felírjuk a Hooketörvét a fesültség teor 3, 3 elemére, melről tudjuk, hog értéke érus, és a erre kapott egeletből kifejeük -t: 3,3 G ( ) m Ebből kifejehető A alakváltoási állapotmátri első skalár ivariására a későbbiekbe sükség les: U 3. Lépés. A Φ mátri hiáó elemeiek meghatároása. A Hooke-törvé alkalmaásával a fesültség teor elemeiek meghatároása a követkeő:, G U,, G U,, G m m. 4. Mi a redukált egeértékű fesültség serepe? A red redukált fesültség a visgált (aktuális) fesültségállapottal aoos vesélességű egtegelű fesültségi állapot ormálfesültsége. Egértelműe jellemei tudja a potbeli fesültségi állapotot károsodás sempotjából. Méreteésél a egeértékű fesültség hasolítható össe a megegedett fesültséggel,. red meg 4. Mi a külöbség a Mohr-féle és a HMH egeértékű fesültség sármatatása köött? Mohr elmélet: Két általáos térbeli fesültségállapot tökremeetel sempotjából akkor aoosa veséles, ha a hoájuk tartoó legagobb Mohr-kör átmérője megegeő. Mohr-féle redukált fesültség: red, Mohr 3, ahol legagobb főfesültség, 3 legkisebb főfesültség. Mohr serit a potbeli fesültségállapotot tehát a károsodás sempotjából a legagobb Mohr-kör átmérője jellemi. Huber-Mises-Heck (HMH) elmélet: Két fesültségi állapot tökremeetel sempotjából akkor aoosa veséles, ha torulási alakváltoási eergiájuk megegeik. A Huber-Mises-Heck (HMH) féle redukált fesültség aráos a u torulási eergiával. A főtegelek,, 3 koordiátaredserébe vett fesültségkoordiátákkal (főfesültségekkel): A, koordiátaredserébe vett fesültségkoordiátákkal:,,. red HMH 3 3 red, HMH 6. A Mohr és a HMH elmélet serit sámított redukált fesültség kis mértékbe tér el egmástól. Általába. red, HMH red, Mohr 43. Mile silárdságtai mukatételeket ismer?

8 8 Silárdságtai mukatételek a Castigliao és a Betti tétel. 44. Írja le Betti tételét! Defiíció: At a mukát, amelet valamel erő redser eg másik erő redser által létrehoott elmodulás sorá vége, idege mukáak eveük. Betti tétele (idege mukák egelőségéek tétele): valamel egesúli erő redser ugaakkora mukát vége eg másik egesúli erő redser által létrehoott elmodulás sorá, mit a másik a első által létrehoott elmodulás sorá. W W, U U, W U, ahol W a -es erőredser mukája a -es erőredser által okoott elmoduláso (alakváltoáso), U a alakváltoási eergia veges rése. 45. Írja le Castigliao tételét! Valamel statikailag határoott serkeet tetsőleges potjáak i iráú u eltolódása egelő a i U alakváltoási eergiáak a adott potba i irába ható F erő seriti parciális deriváltjával. i U ui Fi A pot köreetéek j tegel körüli sögelfordulása pedig a U alakváltoási eergiáak a adott potba ható, a j iráú j j M omaték seriti parciális deriváltjával egelő. U j M 46. Hoga lehet eg rúd vag rúdserkeet adott potjáak elmodulását meghatároi (több módsert is ismertethet)? Statikailag határoott tartó esetébe a Betti-tétel alkalmaásával a megoldás lépései a követkeők:. Meghatárouk a serkeet téleges terheléséből (-es erőredser) keletkeő igébevételi függvéeket, eek alapjá pedig a igébevételi ábrákat ( M h, M h, Mt, N, V, V ).,,. A serkeet ao potjába, ahol a elmodulást meg kívájuk határoi (és abba a irába, amel iráú elmodulását keressük a kérdéses potak) egségi terhelést múködtetük. E a egségterhelés F N, ha elmodulást keresük és M Nm, ha sögelfordulást kíváuk meghatároi. Kisámoljuk a egségi terhelésből keletkeő késererőket, majd a egesúli erőredser (-es erőredser) ismeretébe meghatárouk a igébevételi függvéeket és a igébevételi ábrákat ( m h, mh, mt,, v, v ).,, 3. Meghatárouk a igébevételi fajtákak megfelelő merevségi jellemőket ( E, E, G, AE, AG) p 4. A tartót ola sakasokra botjuk, amelekre a -es és a -es erőredser által okoott igébevételi ábrák soratáak itegrálja köe sámítható (és a merevségi mérősám is kostas). 5. Sakasokét kisámítjuk a soratitegrálokat a felírt igébevételi függvéek soratáak itegrálásával. 6. A sakasokéti soratitegrálok össegésével kisámítjuk a serkeet idege alakváltoási eergiájáak sámértékét a össes figelembeveedő igébevételre. M h, mh, M h, mh, M tmt N Vv Vv U ds ds ds ds ds ds E E pg AE AG AG 7. Betti tétel alkalmaása dege muka (-es erőredser idege mukája) W Ft f hajl csav j orm U W U f F íras silardsagta_gakorlat_6_elmeleti_kerdesek

9 9 47. Hoga lehet eg statikailag egserese határoatla rúd vag rúdserkeet reakciót (erő vag erőpár) meghatároi? (több módsert is ismertethet) o Meghatárouk a törstartót ( statikailag határoottá tessük a tartót ). o Megrajoljuk a igébevételi függvéeket a törstartóra a külső terhelésből. ( M ) o A törstartóra megrajoljuk a felsabadított késerből adódó egségterhelésre a igébevételi függvéeket. m o Felírjuk a kompatibilitási egeletet és megoldjuk. silardsagta_gakorlat_6_elmeleti_kerdesek A kompatibilitási egelet eg geometriai egelet. At fejei ki, hog a fölös késer sabadságfoka meté a késererő okota elmodulás és a terhelés okota elmodulás össege érus. o A kompatibilitási egelet hajlításból sármaó alakváltoások (alakváltoási eergia) esetére: o M m ds E mm ds E ahol terhelési téeő, egségtéeő. A superpoíció alapjá a keresett késerek két tagú össegkét sámíthatók: - a eredeti terhelés hatására a törstartó reakcióerői, - a egségterhelés hatására a törstartó reakcióerői, sorova -gel. - Pl: FA, FA,, FA,, a A potbeli iráú reakcióerő. o Végleges igébevételek meghatároása: A tartó téleges (teljes) igébevételét is a superpoíció alapjá sámítjuk, ami a alábbiak össege: - eredeti terhelés okota igébevétel a törstartó, pl M - a elhagott, majd sámított késer okota igébevétel, m - teljes (végleges) igébevétel M m M v 48. Hoga lehet eg statikailag többsöröse határoatla rúd vag rúdserkeet reakcióit meghatároi? o Meghatárouk a törstartót (statikailag határoottá tessük a tartót). o Megrajoljuk a igébevételi függvéeket a törstartóra a eredeti külső terhelésből. o A törstartó képés sorá felsabadított mide eges késer-sabadsági fok lekötés helére egségterhelést vesük fel. o A törstartóra mide eges felsabadított késerből adódó mide eges egségterhelésre külö-külö megrajoljuk a igébevételi függvéeket. o Felírjuk a kompatibilitási egeletredsert és megoldjuk. o A végleges igébevétel lieáris kombiációval sámítható. Statikailag kétserese határoatla serkeetre a kompatibilitási egeletredser (ihomogé lieáris): ahol M m i i ds i -edik terhelési téeő, E mi m j ds i, j -edik egségtéeő, i j E m i a i -edik egségterheléshe tartoó (omatéki) igébevételi függvé. A feti egeletredser egütthatómátria simmetrikus.

10 49. Mi a erőmódser? A erőmódser statikailag határoatla serkeetek kisámítására solgáló eljárás. 5. Mi a erőmódser és a silárdságtai mukatételek kapcsolata? A erőmódser a silárdságtai mukatételeke alapuló algoritmus statikailag határoatla serkeetek sámítására. -.- silardsagta_gakorlat_6_elmeleti_kerdesek