Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Statika. Készítette: Nándori Frigyes, Szirbik Sándor Mechanikai Tanszék, 3515 Miskolc-Egyetemváros

Átírás

1 iskolci Egetem GÉPÉSZÉRNÖKI ÉS INORTIKI KR Sttik (Okttási segédlet Gépésmérnöki és Informtiki Kr sc leveleős hllgtói résére) Késítette: Nándori riges, Sirbik Sándor echniki Tnsék, 3515 iskolc-egetemváros iskolc, 008.

2 1. eveetés Een kéirt Gépésmérnöki és Informtiki Kr sc leveleős hllgtói résére késült kivontos ng, melben echniki Tnsék áltl trtott Sttik cimű tárg elődásink vált serepel. tárg elsjátítását segítő ngok tlálhtók URL-címen. mechnik tárg, lpfoglmk Koordinát-rendser: e, e, e egségvektorok áltl kijelölt deréksögű Descrtes-féle koordinátrendsert hsnálunk vontkottási lpként, melben egségvektorok segítségével tér bármel P pontj r P = P e + P e + P e helvektor áltl megdhtó. lklmásr kerülő test modellek: erev test oln ideliált test, mel lkját erő htásár nem váltottj, bármel két tetsőleges pontjánk távolság állndó mrd. Silárd test oln ideliált test, mel lkváltoásr képes, tehát pontjink távolság erő htásár pontok reltív rendeettségének megmrdás mellett megváltoht. erőt testek kölcsönhtásánk mértékeként értelmeük. erő iránított menniség, vektor. koncentrált erő jele és mértékegsége N [Newton]. P = e + e + e erővektort jellemi: ngság (mérősám és mértékegsége) q e = = + + r, P htásvonl (egenes, mel megmuttj erővektor helét e térben), e iránítás (htásvonl menti két irán köül egiket jelöli ki). htásvonl H 1 és erők egserre lépnek fel eg dott testen, kkor belőlük = 1 + eredő képehető. Két egmássl párhumos, onos ngságú, de ellentétes iránú és nem köös htásvonlú erő erőpárt lkot. erőpárnk nincs eredője, követkeésképp können beláthtjuk t, hog míg egetlen erő eltolni és forgtni igeksik testet, ddig erőpár kiárólg forgtó htást, nomtékot fejt ki rá. erőpárból sámított nomtékvektor tér minden pontjábn onosnk dódik. További fontos ésrevétel, hog erő htásvonl mentén eltolhtó nélkül, hog dott pontr sámított nomték megválton. nomték is vektormenniség, jele, mértékegsége pedig Nm [Newtonméter]. Egetlen koncentrált erőnek test dott pontjár gkorolt nomték = r P képlet lpján sámíthtó, hol nomtékvektor merőleges r P és vektorok áltl kifesített síkr. nomték össetevői értelmehetők úg is, mint egetlen koncentrált erő áltl kifejtett forgtó htás eg oln cspágottvégű tengelre, mel dott pontbn testhe mereven rögített és vlmel koordinát-tengellel párhumos. r P P r r P 1 P P P r P r P r P e e e = e + e + e nomtékvektor, és koordinátái, és tengelekre vett nomtéknk neveük.

3 H 1 és erők egserre támdnk eg dott testet, kkor pontr vett nomték 1 és erők dott pontr vett nomtékink össege les. eredő és nomték ismeretében pedig dott test tetsőleges pontjár = + r össefüggés solgálttj nomtékot, hol r pontból pontb muttó helvektort jelöli. Síkbeli erőnek síkr merőleges tengelre vett nomték sámíthtó erő Q ngságánk és k erőkrnk ( tengel dott síkkl vett döféspontjánk erő htásvonlától mért távolságánk) elő- R P d k jeles sorotából. nomték előjele válstott forgtási értelemtől függ, ábrán váolt esetek- ben poitív előjelűnek -ből -b történő forgtást tekintjük, = e. Íg = k. Eg erőpár nomték pedig erőpár d távolságá- nk (két htásvonl merőleges távolságánk) és erő ngságánk = d sortából dódik. odelleés során visgált testet (lktrést, stb.) elválstjuk vlmenni rá htást kifejtő testtől, mjd eek htását erőkkel pótoljuk. külsőerők berjoláskor megkülönbötetünk testre terhelésként htó ismert erőket és támsoknál fellépő ismeretlen támstóerőket. Támsok: okt gépelemeket, felületeket, stb, melekre dott test felfeksik (támskodik) támsnk neveük. ábrákon síkbeli egserű támsok köül ún. görgős, ruds, illetve csuklós megtámstásokt, vlmint beflást láthtjuk. Eek támsok mindig pontbeliek és kétiránúk, test nem válht el megtámstásától. támsok semtikus jelölése ltt áltluk megtámstott testre ki- fejtett támstóerő poitív előjelűnek, tengeliránúnk válstott Y és Z koordinátáit, vlmint beflás esetén síkr merőleges támstónomték síkbn berjolt forgtási értelmét láthtjuk. Z Z H ruds táms helett kötél vg lánc kerül lklmásr, kkor figelnikellrr, hogeekelemekcsk Y Y Y Y húóerőt képesek átvinni! mechnik, mintfiik eg területe felbonthtó dinmikár és kinemtikár. Dinmik testekre htó erők tn, kinemtik pedig mogástn. dinmikán belül sttik résterület, mel erők egensúlát visgálj, miköben visgált testek reltív nuglombn vnnk. sttik felosthtó merev test sttikájár és lkváltoásr képes test sttikájár, silárdságtnr.. erev test sttikáj merev test sttikájánk feldt áltlábn merev testek támstóerőrendserének meghtároás. Ttós nuglom feltételei trtós nuglom sükséges feltétele merev testre htó külső erőrendser egensúlánk megléte: (1) = 0 és = 0, testre htó külső erőrendser eredője és eg tetsőleges pontr sámított nomték érus. elégséges feltétel pedig, hog megtámstások test össes merevtestserű mogását gátolják, test nem modulht el. Síkbeli feldtok Síkbeli feldtok esetén (1) lpján nuglombn lévő test egensúlát 3 drb független skláregenlet írj le. Eek lehetnek például síkot kijelölő két tengel iránáb vett vetületi egenletek és sík eg tetsőleges pontján áthldó, síkr merőleges tengelre vett nomtéki egenlet. Eges esetekben onbn célserűbb vetületi egenletek helett inkább megfelelő tengelekre felírt nomtéki egenleteket hsnálni, mivel eek segítségével válik lehetővé példmegoldás.

4 H támstóerőrendser ismeretleneinek sám megegeik sttiki egenletek sámávl és eekből feldt ismeretlenei egértelműen meghtárohtók, egmástól független sttiki egenletek sám egeik ismeretlenek sámávl, kkor feldt sttikilg htároott les. Péld három erő síkbeli egensúlár: ábrán láthtó síkbeli keretserkeetet sját síkjábn eg koncentrált o = 7 e kn erő terheli. pontbn csuklós, míg -ben eg függőlegessel 45 o söget beáró ferde görgős megtámstás vn kilkítv. Itt is felhívjuk figelmet rr, hog görgős táms csk görgőfelületre merőleges htásvonlú támstóerőt tud kifejteni. Htárouk meg, és támstóerőket serkestéssel és sámítássl is! 3 m o 1.5m m o 1.5m 1.5m 1.5m 45 o 1.5m 1.5m 45 o feldt megoldás, és o erők síkbeli egensúl lpján történik. E t jelenti, hog e három külső erővel támdott síkbeli serkeet egensúl bitosított, h erők htásvonlánk vn köös metséspontj és o erővektorok lkot árt vektorháromsögben nílfolm foltonos. Elsőként jobboldli heletábrán o és erők htásvonlánk ismeretében köös metséspont megkere- sése történik. egensúl érdekében erő htásvonlánk is át kell hldni een köös metsésponton, íg támstóerők htásvonli (kék sínnel), vlmint terhelőerő htásvonl (piros sínnel) berjolásr kerül. Íg első feltétel teljesült htásvonlk köös 1kN pontbn metsődnek. Eg lépték válstás után ismert o erővektort eg O kedőpontból kiindulv, léptékhelesen felmérjük erőábrán. íg kpott o vektor végpontjiból párhumost húunk és htásvonlivl. kiserketett vektorok iránát pedig nílfolmnk megfelelően berjoljuk. feldt sámítássl történő megoldásár solgáló egenleteket X X Y =0 X =0 7+Y + Y =0 X + X =0 vetületi egenletek, vlmint erők össetevői köti kpcsoltot dó, és htásvonlink ismeretén lpuló X Y = és X = Y 1.5 képletek képik. és támstóerők keresett X, Y, X,ésY komponensei ebből nég független egenletből meghtárohtók: X =, Y =3kN, X =4kN és Y =4kN, =( 4 e +3 e )kn, =(4 e +4 e )kn. 1kN

5 4 egjegés: Termésetesen három párhumos erő is egensúlbn lehet, de most eel külön nem fogllkounk. Péld térbeli köös pontbn támdó erők egensúlár: lábbi serkeet D gerendáj, illetve pontoknál rögített kötelek segítségével eg m = 960 kg tömegű terhet trt. teher súlát súlpontjáho kötött G = mg = = 9600 N = 9.6 knngságú erőként vessük figelembe, mel célserűen megválstott koordinát-rendserben G =( 9.6 e )knerővektor les. teher súl mellett gerend súl elhngolhtó, íg gerendát eg súltln rúddl modelleük, továbbá köteleket is ideálisnk tételeük fel. feldt egserűsített vonls ábráját elkésítjük, hol berjolt egenes sksok egben ébredő belsőerők, i (i =1,...,4) kötélerők htásvonlit is jelölik (termésetesen 4 = G). dott KR-ben vontkoó pontok helét r = 0; r =( e +4 e )m; r =(3 e +4 e )més r D =(6 e )mhelvektorok jelölik! r D r D D r D D G G eltételeés serint serkeet trtós nuglombn vn. köös ponton támdó erőrendsert, D pont egensúlát visgálv megállpíthtjuk t, hog ismeretlen i (i =1,...,3) kötélerők meghtároásár solgáló sttiki egenlet köül csk = 0 mrd, mert másik = 0 identikusn teljesül D-ben. feldt jelöléseivel vontkoó egenlet G = 0 lkbn írhtó fel, mel 3 db sklár egenletet is jelent. megoldást továbbikbn i = λ i i lkbn keressük, hol i erő iránát kijelölő iránvektor, λ i pedig vontkoó sklár soró les. iránvektorok legegserűbben helvektorokból állíthtók elő. E úg történik például 1 -re bemuttv, hog 1 erő htásvonlán rjt lévő r D = r D r =6 e 0 =(6 e )m helvektort dimeniótlnítjuk, mértékegséget elhgjuk, íg 1 =6 e les. Et elvégeve másik kettőre is r D = r D r =( e +6 e 4 e )m = e +6 e 4 e r D = r D r =( 3 e +6 e 4 e )m 3 = 3 e +6 e 4 e jutunk. Eek birtokábn, vlmint ismert G erő jobboldlr történő átvitele után kpjuk vektoregenletet. λ λ + λ 3 3 = G

6 vektoregenletből felírhtjuk vontkoó λ 3λ 3 = 0 6λ 1 +6λ +6λ 3 = 0 4λ 4λ 3 = 9.6 skláregenletekből álló egenletrendsert, mit lineáris lgebrábn megsokott módon tömörebb λ 1 λ = λ lkbn is meg lehet dni. kpott egenletrendser nem bonolult és mérete is kicsi íg megoldás skláregenletekből is egserűen megkphtó például követkeő módon: első skláregenletből kiindulv λ =3λ 3 össefüggés egből dódik. Et behelettesítve hrmdik egenletbe juthtunk 4λ 4λ 3 = 9.6 / :( 4) λ {} + λ 3 =.4 3λ 3 lkr honnn λ 3 =.4 = 0.6 dódik és íg λ =3 ( 0.6) = 1.8 is ismert les. második 4 egenletet elősör 6-l végig ostv, mjd λ -t és λ 3 -t behelettesítve dódik λ =0 egenletet, melből jutunk λ 1 =.4 eredménre. megoldás ismeretében pedig 1 = λ 1 1 =.4 6 e =(14.4 e )kn = λ = 1.8 ( e +6 e 4 e )=( 1.8 e 10.8 e +7. e )kn 3 = λ 3 3 = 0.6 ( 3 e +6 e 4 e )=(1.8 e 3.6 e +.4 e )kn les végeredmén. 5 egjegés: Jól látsik ábrán, hog D pont egensúlbn vn, és 3 jelű köteleket = p ' kn, illetve 3 = p ' 4.69 kn ngságú erők húák, míg 1 jelű rudt 1 =14. ngságú erő nomj. egfigelhető továbbá, hog jelű rögítési helen támst nomj gerend, míg és jelű felfüggestési pontokt kötelek lekrják skítni G D 3

7 6 Példák síkbeli megtámstásokr: lábbi ábrán váolt ún. háromruds megtámstású síkbeli lktot o = 80 e Nerő terheli. csuklókbn végődő támstó rudk csk rúdiránú erőket vesnek fel. rudk köül kettő egmássl párhumos, tehát és erők htásvonli nem metsődnek végesben. Htárouk meg lktot egensúloó, és erőket! o o 0 0 D 0 0 E ruds támsokt helettesítő poitívnk (tengeliránúnk) feltételeett erők és eek htásvonli (kék sínnel) berjolásr kerültek jobboldli ábrán. ábrán láthtó, hog htásvonlknk metséspontj vn D és E pontokbn. d e feldt megoldás ún. Ritter-sámítás lpján történik, mel serint h feldtbeli isme- o retlen = Y e, = X e és = Y e erők D d e köül kettő htásvonl köös pontbn metsődik, E kkor hrmdik erőt meg lehet meghtároni eg nomtéki egenletből, mivel metsésponton áthldó, síkr merőleges tengelre vett egenletben D csk eg ismeretlen ( hrmdik) erőkomponens jelenik meg. H pedig két erő párhumos, kkor hrmdik erő meghtároásár megfelelő vetületi egenlet felírás solgál. = Y e erő sámítás elmondottk lpján D ponton áthldó d tengelre vett d = 0 nomtéki egenletből történik, hol poitív forgást (-ből -b) egenlőségjel feletti simbólum jelöli. Termésetesen ellentétes iránú forgást is lehet poitívnk válstni, mivel egenlet jobboldlán 0 áll. feldt dtink felhsnálásávl felírt egenlet: 40 Y +30 o = 0 40 Y = 0. Et megoldv Y = 60 N eredménre jutunk. iránát eredetileg iránúnk ( ) tételetük fel, mivel kpott eredmén negtív sám lett, eért erő lefele( ) mutt. Ennek mintájár = Y e sámítás E ponton áthldó e tengelre vett e = 0 nomtéki egenletből történik. Innen: 40 Y +30 o = 0 40 Y = 0. Végül Y =60Neredmént kpjuk. ivel eredménünk poitív sám lett, eért erő előetes feltételeésünknek megfelelően felfele ( ) mutt.

8 7 és erők htásvonli párhumosk, végesben nem metsődnek, íg X X =0 60 N vetületi egenlet felírás veet eredménre, síkbeli lktr htó erők iránú össetevőinek össege nuglom esetén érus les. egenletbe iránú össetevők poitív, vele ellentétes iránúk pedig negtív előjellel kerülnek behelettesítésre. Eek lpján 0 80 N X 80 = 0 egenletből X =80N, erővektor jobbr ( )mutt. feldt megoldás során fel nem hsnált iránú X? Y =0 vetületi egenlet ellenőrésre hsnálhtó. kpott eredméneknek feldt ábrájár történő vissrjolás után jól láthtó egensúl teljesülése. 60 N 0 80 N 0 30 Síkbeli vonlmentén megosló terhelés Erőhtás két test köött nem csk koncentráltn eg pontbn, hnem felület és vonlmentén is átdódht. Ismeretesek továbbá térfogton megosló erőrendserek is. említettek köül vonlmentén megoslóvl fogllkounk röviden. vonlmenti konstns megosló terhelés jó mechniki modelleés bbn esetben, h eg gerend, vg célselvén önsúlát is figelembe krjuk venni, de termésetesen terhelést is lehet íg megdni. lábbi ábrán eg U célból késült, jobbvégénél beflott trtó láthtó, mel eg felületmentén megosló p konstns terhelésnek vn kitéve. p b L serkeet egserűsített síkbeli mechniki modelljét elkésítve beveetjük vonlmentén megosló terhelés f sűrűségvektorát, melnek mértékegsége N/m. L/ L f e f b p L vonlmentén megosló terhelés f sűrűségvektoránk irán definiálj őt helettesítő eredő iránát is. eredő ngságát pedig integrálás vg egserű területsámítás útján nerjük.

9 8 konstns megosló terhelés eredője és nomték pontr Z = fd = fl, és = r fd = L e { } = = formulákból sámíthtó, nomtékot integrálás mellett megosló terhelés eredőjét beveetve egserűbben is sámíthtunk. Péld kéttámsú trtór: trtóserkeetek vlmilen sálngból, vg célselvénből késülhetnek. Sttiki feldtok megoldás során trtó kerestmetsete és ng nem játsik serepet, eért köépvonlávl (vonls ábrávl) helettesítjük. trtók (gerendák), oln mechniki modellek, meleket tengeliránb és rá merőlegesen is terhelésnek lehet kitenni, igénbevenni. eldt lább váolt trtó és támstóerőinek meghtároás les. trtó ismert külső terheléseit ábrán piros sínnel jelöltük. Első lépésben kénsereket nekik megfelelő erőkomponensekkel (kék sín), vonlmentén megosló terhelést pedig 8 kn ngságú eredőjével helettesítjük, vlmint 1 ngságú koncentrált erőt is köépvonlr redukáljuk. 1 Z m 1 m kn/m 4 m Z Y 1m 8 kn 1 m m m Y korábbn bemuttott Ritter-sámítást lklmuk. Z és Y erők htásvonli pontbn metsődnek, eért Y meghtároás érdekében b tengelre vett nomtéki egenletet írunk fel: b = 0. egenletbe helettesítéskor figelni kell b tengel körüli forgtási iránr és rr, hog ponton áthldó htásvonlú erők b tengelre nem dnk nomtékot. terhelésként megjelenő nomték forgtási értelme ellentétes válstott poitív forgássl, íg nnk előjele negtív. vontkoó 6 Y 14 8=0 egenletből Y =5kN( ) eredménre jutunk. Z és Y erők htásvonli pontbn metsik egmást, eért Y meghtároás érdekében tengelre vett nomtéki egenletet írunk fel. Ekkor = 0 6 Y = 0 vontkoó egenlet, ebből Y =3kN( ) eredmén dódik. Ellenőrésre fel nem hsnált P Y =0vetületi egenlet solgál. Z meghtároás pedig X Z =0 vetületi egenletből történik, mivel Y és Y htásvonl egmássl párhumos. Innen Z 14 = 0, tehát Z =14kN( ) eredmén dódik. Íg trtó támstóerői: =(5 e +14 e )kn és =(3 e )kn.

10 9 eredménül kpott támstóerőket ábráoljuk: 1 1m 8 kn 1 5 kn m m m 3 kn Követkeő példábn gerend jobboldli vége eg sim (súrlódásmentes, µ o =0) felülettel vn megtámstv. Követkeésképpen pontbn ébredő támstóerő htásvonl merőleges erre felületre. 3kN/m m 1 m 1 knm 30 o 3 m µ ο = 0 1 m 6 kn Z 1 m Y 1 m 1 knm 3 m Y Z ivel Z és Z erők htásvonl köös, íg Ritter-sámítás itt is lklmhtó függőleges Y és Y össetevők meghtároásár. Íg Z és Z erők köös htásvonl vlmint Y erő htásvonl pontbn metsődik, eért Y meghtároás érdekében b tengelre felírt: b = 0 4 Y = 0 nomtéki egenletből Y =10.5 kn( ) eredménre jutunk. Y meghtároás céljából tengelre vett nomtéki egenletet írunk fel. Ekkor = Y = 0 vontkoó egenlet, melből Y = 4.5 kn( ) les eredmén. sámítást P Y =0vetületi egenlettel ellenőriük. támstóerők Z és Z össetevőinek sámításánál kihsnáljuk t körülmént, hog htásvonl vlmint Y és Z össetevők ngság és irán ismert. elírhtjuk erő két komponense köötti Z tg30 o = Z 30 o Z = tg30 o Y Y =.6 kn 30 o össefüggést, melből Z =.6 kn( ) eredménre jutunk, mivel htásvonl Y dott és Y = 4.5 kn( ) lefelemutt. ismertté vált komponens birtokábn P Z =0vetületi egenletből sámíthtóvá válik Z : Z.6 =0 tehát Z =.6 kn( ). trtó támstóerői: =(10.5 e +.6 e )kn és =( 4.5 e.6 e )kn.

11 10 Péld beflott trtór: lább váolt jobbvégén ( kerestmetseténél) beflott trtó támstóerőrendserét, -ben ébredő erőt és nomtékot keressük. trtón piros sínnel jelöltük külső terheléseket. Első lépésben kénsereket helettesítjük nekik megfelelő erőkomponensekkel (kék sín) és vonlmentén megosló kn/m intenitású erőt helettesítjük 8 kn ngságú eredőjével. 3 kn kn/m 1 m 3 m 3 kn 1 m 1 m 8 kn m Z Y Y és Z támstóerő komponensek htásvonli jelű pontbn metsődnek, íg támstónomték c tengelre vett c = 0 nomtéki egenletből dódó =0 össefüggésből =8kNmles. másik két ismeretlent, Y és Z erőkomponenseket és iránú vetületi egenletekből sámítjuk, X Y =0 vetületi egenletbe helettesítve felírt egenletből megoldás Y =1kN( ). Y 4 8=0 X Z = 0 3+Z = 0 egenletből Z =3kN( ) dódik. támstóerőrendser tehát =(1 e +3 e )kn és =15 e knm erőből és nomtékból áll. eredménül kpott össetevőket ábráoljuk: 8 kn 8 knm 3 kn 3 kn 1 m 1 m m 1 kn

12 11 Össetett serkeetek sttikáj ng hossúságú, egenes köépvonlú trtókt érdemes több helen is látámstni, mivel íg lehjlás és sükséges kerestmetset mérete csökken. trtó további támsokkl történő megfogás t eredménei, hog serkeet sttikilg htárotlnná válik, eért sttiki htároottság érdekében trtót résekre ostó köbenső csuklót kell lklmni. Eek ún. Gerber-trtók tehát két, vg több köös köépvonlú trtórésből, réseket össekötő köbensőcsuklókból,vlmintmegfelelően elheleett és kilkított támsokból állnk, mivel csk ilen kilkítás mellett lehetséges e többtámsú trtók támstóerőrendserét tistán sttiki egenletek felhsnálásávl meghtároni. síkbeli nuglombn lévő, össetett serkeet egensúlár három, egmástól független skláregenlet írhtó fel. Gerber-trtók támstóerőrendserében megjelenő ismeretlenek sám onbn mindig több les ennél, íg első lépésben köbenső csuklóknál kell résserkeetekre bontni trtót, mjd pedig kpott rések egensúlát visgálni. Péld: lábbi ábrán láthtó, két résből álló Gerber-trtó támstóerőrendserét, támsoknál megjelenő Y, Y és Z erőkoordinátákt, vlmint támstónomtékot kell meghtároni. knm 3 kn kn/m 1 1 m 1 m m 1 m 3 m csuklónál( pontbn) elválstott résserkeetek egensúlát pontbn megjelenő 1 és 1 belső erők bitosítják, melekre kölcsönhtás mitt 1 = 1 teljesül. résserkeeteken ( 1 és jelű réseken) ébredő, poitívnk feltételeett ismeretleneket berjoltuk. Zöld sín jelöli belső erők össetevőit, míg kék sín támstóerőrendser ismeretleneit: 3 kn knm kn/m Z 1 Z 1 kn/m Z 1 m Y 1 1 m m 1 m Y 1 Y 1 Vegük ésre t, hog 1 jelű résen három drb ismeretlen jelenik meg, feldt megoldását 1 jelű trtórés egensúlából kiindulv kedjük meg. korábbikbn bemuttott Ritter-sámítást végeük el, Y meghtároás ponton átmenő b tengelre felírt nomtéki egenletből történik, melből 3 m Y b = 0 +4 Y = 0 vontkoó össefüggés, honnn Y =3kN( ). Ehhe hsonlón ponton átmenő tengelre vett = Y 1 = 0 nomtéki egenlet dj Y 1 =kn( ) megoldást. iránú vetületi egenletből pedig követkeik, hog Z 1 =4kN( ). Követkeésképp 1 jelű rés teljes erőjátékát sikerült tistáni. Kihsnálv t körülmént, hog Y 1 = Y 1 = kn ( ) és Z 1 = Z 1 = ( )

13 1 össefügések érvénesek, jelű résen eredetileg öt ismeretlenből csk három mrd. támstónomték c tengelre vett c = 0 nomtéki egenletből dódó =0 össefüggésből =15kNmngságú les. és iránú vetületi egenletekből követkeik, hog Y =8kN( ), vlmint Z =4kN( ). támstóerőrendser tehát =3 e kn és =(8 e +4 e )kn erőkből és =15 e knm nomtékból áll. 1 =( e 4 e )kn pedig pontbn 1 jelű résről jelű résre átdódó belső erő. kpott eredméneket serkeetre berjolv semléltetjük: knm 3kN 3 kn kn/m 1 m 1 m m 1 m 3 m 1 8 kn 15 knm teljes serkeet egensúlát nem hsnáltuk fel, íg vetületi egenletek ellenőrésre lklmsk, X Y? =0 X Z? = Y + Y =0 4+Z =0 egenletekbe történő behelettesítés igolj, hog jól sámoltunk. suklós rúdláncnk neveük egmásho csuklóvl cstlkottott, súltlnnk tekintett rudkból álló lbilis serkeetet. Péld: ábrán láthtó serkeet egensúli heletét két erő bitosítj: pontbn htó 6kN ngságú ismert és eg másik, D-ben lefele muttó ismeretlen ngságú erő. Htárouk meg erőt! 1.5 m m 6 kn.5 m D m 1 m feldtbn sereplő rúdlánc csk csuklópontokbn terhelt, követkeésképp 1, és 3 jelű rudkbn csk rúdiránú erő (rúderő) ébredhet. rúderőt poitívnk tekintjük h dott rúdcsonkból kifele mutt, rúd húott. Ellenkeő esetben rúd nomott les.

14 13 poitív előjelűnek feltételeett rúderőket berjolv és D csomópontok egensúlát visgáljuk: N 1 N 1 N 3 N 3 N 1 N N D 6 kn N 3 élserű koordinát-tengelekkel nem párhumos N 1 és N 3 rúderőt és tengellel párhumos össetevőkre bontni. csomópont egensúlát néve egértelmű, hog N 1 =6kN( ). Kihsnálv fennálló hsonlóságot: N 1 N 1 = 1.5 = N 1 = N 1 =6kN. 1.5 kpott N 1 =6kN( ) eredmént felhsnálv iránú N 1 +N =0 vetületi egenletben, dódik hog jelű rúdhúottn =6kN. N =6kNbirtokábn D pont egensúlából követkeik, hog N 3 =6kN( ). hsonlóságot ismételten felhsnálv kpjuk, hog N 3 N 3 = = N 3 = N 3 =4kN, 3 jelű rúd is húott: q N 3 = (N 3 ) +(N 3 ) = p 6 +4 = 7.1 kn. iránú erők egensúlából felírt N 3 =0 egenletből kpjuk, hog ábrán váolt helet előáll, h =( 4 e )kn. Rácsos serkeet, oln mechniki modell, melben egmásho csuklók segítségével cstlkoó, súltlnnk tekintett, egenes rudk stbil serkeetet lkotnk. serkeetre htó külső erők csuklópontokbn működnek, íg serkeet össes rúdjábn kiárólg rúdiránú belső erőébred. Péld: eldt ábrán láthtó serkeet kijelölt rúdjibn ébredő rúdiránú erők (rúderők) meghtároás les. 4 m m 4 m feldt végrehjtás során kétféle technikát lklmunk ún. csomóponti, vlmint átmetső-módsert. elsőben vetületi egenleteket írunk fel, míg másodikbn nomtéki egenleteket is hsnálunk. Elsőként 1 és jelű rudkbn ébredő rúderők meghtároását végeük el csomóponti módser segítségével. Itt megfelelő csomópont (hová mindkét jelett rúd befut) egensúlát írjuk fel. csomópontbn 4kNngságú erőnek, vlmint N 1 és N rúderőknek (meleket úgis fel lehet fogni, mint elhgott rések htását) kell egensúlbn lenni. ismeretlen rúderőket érdemes kirjolt csomópont ábráján húott rúdnk megfelelően rudk csonkjiból kifele muttónk felvenni. vetületi egenletek mitt célserű koordinát-tengelekkel nem párhumos N rúderőt és tengellel párhumos össetevőire, N és N jelű erőkre bontni. ábrán jól látsik, hog 3 m

15 14 iránb csk eg ismeretlen les, eért iránú X Y = 0 4 N = 0 vetületi egenletet képeük, honnn N = ( ) les. kpott sám negtív, követkeésképp N iránát fordítv tételetük fel. N össetevő iránánk váltoás mitt N is előjelet vált, N < 0, tehát jelű rúd nomott les. N ngságát hsonló háromsögek tételéből sámíthtjuk. ivel N rúdiránú, eért N és N össetevői sükségképpen ránosk jelű rúd és vetületeivel, vg még egserűbben 1, és 3 jelű rudk lkott háromsög megfelelő oldlink ngságávl, tehát N N = 4 = N = N =16kN. N iránátelőbb meghtárotuk, íg N = 16 kn ( ). két össetevő birtokábnpedig q p N = (N ) +(N ) = = kn ismertté vált. ivel N ngság és irán tistáott X X = 0 N 1 +N = 0 vetületi egenletből behelettesítés után nert N 1 16 = 0 egenletből N 1 =16kNdódik, 1-es rúd húott. átmetső-módser segítségével meghtárouk 8, 9 és 10 jelű rudkbn ébredő rúderőt. Ehhe serkeet 8, 9 és 10 jelű rúdjánál úg metsük át trtót, hog két különálló résre esik. jobboldli rést elhgjuk és fennmrdó résre berjoljuk N 8, N 9 és N 10 rúderőket. résserkeeten három rúderő les ismeretlen, eért korábbik lpján itt is megfelelő helre felírt nomtéki egenletekkel érdemes dolgoni. ivel N N 8 és N 10 htásvonl nem párhumos, eért N 8 sámítás metsésponton áthldó síkr merőleges N b tengelre felírt b = 0 egenletből történik, honnn 3 N = 0. Íg N 8 =3kNeredmén dódik, 8-s rúd húott. N 8 és N 9 htásvonl ábrán láthtó módon pontbn metsődik ide felírt c = 0 4 m 4 m 4 m egenletből elvileg N 10 sámíthtó. N 10 onbn nem párhumos vlmel koordinát-tengellel, eért rúderő felbontásr kerül. Kihsnálv t, hog erő htásvonl mentén eltolhtó nélkül, hog nomték dott pontr válton, N 10 erőt pont ltti csomópontbn bontjuk fel. Ebből követkeik, hog N 10 htásvonl áthld ponton, íg c tengelre csk N 10 d nomtékot. dódó 4 m N =0 egenletből pedig kpjuk, hog N 10 = ( ) m 4 m N 10 N 10 1 N N 1 N N 8 N 10 9 N 9 10 N N 3 m 3 m

16 N 10 erőkomponens előállítás úg is történhet, hog N 10 erőt htásvonl mentén most ponttl eg mgsságb toljuk fel, de eljárhtunk hsonlóságot kihsnálv is, N 10 N 10 = 1 = N 10 = N 10 =6kN. N 10 irán felfele mutt, mivel N 10 iránát ellentétesen válstottuk meg, N 10 = 6 kn( ). Innen q p N 10 = (N 10 ) +(N 10 ) = 4 +6 = 4.7 les, 10-es rúd nomott. N 9 rúderő sámítás kétféle módon is történhet. ivel N 8 és N 10 rúderők már ismertek íg csk N 9 két össetevője mrd ismeretlen résserkeeten, eért N 9 össetevőit vetületi egenletek felírásából is meg lehet htároni, ámbár ebben esetben ellenőrési lehetőségünk is elvés. N 10 sámításánál bemuttott technikát követve pedig keresett N 9 rúderőt pontb tolv felbontjuk és N 8, N 10 rúderők htásvonlánk D metséspontján áthldó d tengelre vett nomtéki egenletet írjuk fel. d = 0 15 D m N 9 N 8 N N m 4 m N 10 3 m íg nert 8 N =0 egenletből N 9 = 6 kn( ) dódik. Követkeésképp N 9 és N 9 is előjelet, iránt vált. Hsonlóságot figelembevéve kpjuk, hog N 9 N 9 = 4 = N 9 = N 9 =8kN és N 9 = 8 kn( ). két össetevő birtokábn pedig 9 jelű rúdeg q N 9 = (N 9 ) +(N 9 ) = p 6 +8 = 10 kn ngságú erővel nomott rúd les. sámítások ellenőrése pedig résserkeet egensúlát kifejeő vetületi egenletekkel lehetséges N 8 4 m N N N 10 9 N m 4 m N 9 N 9 3 m vontkoó egenletek X X? =0 és X Y? =0 N 8 +N 9 +N 10 =0 és N 9 N 10 =0

17 16 melekbe helettesítve kpjuk, hog = 0 és =0. serkeet többi rúdjábn ébredő rúderő bemuttott módserekkel sámíthtó. egjegés: Előfordul, hog nem sikerül sétválstni serkeetet úg, hog séteső réseken ismeretlen rúderők sám kettő vg három legen. Ilenkor megoldás érdekében előbbi technikákt vegítve kell lklmni. Síkidom súlpontj síkbeli felületek súlpontjánk meghtároását lábbi példán muttjuk be ( méretek mm-ben értendők!): r= r S S 15 S 1 S S felületet egserűbb lktokr bontjuk, melek súlpontj (köéppontj) már jól ismert. Eek területei 1 =30 40 = 100 mm, =0 0 = 400 mm és 3 = 0 π = 100π mm = mm 4 ngságúk, vlmint súlpontjiknk r S1 =(0 e )mm, r S =(30 e 5 e )mm és r S3 =(0 e )mm helvektor koordinát-rendserben. megdott lkt tehát két drb (kék sínű) négsög össegéből és ebből kivont (piros) körből áll össe. területek és súlpontok helvektorit felhsnálv r S = 1 r S1 + r S 3 r S3 = 100 (0 e )+400 (30 e 5 e ) (0 e ) = = (3.11 e 7.77 e )mm képlet serint sámítjuk origóból lkt S súlpontjáb muttó r S helvektort. egjegés: sámítás áltlánosíthtó simmetrikus résekből felépülő térfogtr, homogén testre és vonlelemre is. Súrlódás Nuglombn lévő, érdes felületű testek érintkeésekor mindig oulomb-féle súrlódási törvént (µ o nugvásbeli súrlódási téneőt) lklmuk áltlunk visgált sttiki feldtokbn, hol érintkeő testek deformációj elhngolhtón kicsi. átdódó erők testek köös érintkeési síkjáb eső t komponense és e köös síkr merőleges n komponens köött fennáll t µ o n össefüggés, hol 0 µ o. H érintkeő felületek simák (µ o =0), kkor testek köt átdódó erők köös érintkeési síkr mindig merőlegesek.

18 17 További össetett serkeetek Péld: Két drb hengert ábrán váolt módon helenek egmásr eg vájtbn. Htárouk meg támstóerőket, sámítsuk ki sámserűen, és erőket! érintkeő felületek simák! S 0.6 m D S 0.6 m X 10 N 10 N S m 80 N 0.6 m X S m 80 N 0.4 m 0.8 m Y 0.3 m Sim flho támskodó hengerek esetén és hengereket egüttesen keelve dott flsksr merőleges X, X és Y össetevők mrdnk meg ismeretlenként, és jelű támstóerőkben. Eeket össetevőket htásvonlikkl egütt (kék sínnel) bejelöltük jobboldli ábrán. Egserű geometrii össefüggések áltl htásvonlk egmástól mért távolság können meghtárohtó. három ismeretlen meghtároáskor elegendő teljes serkeet (két henger egüttes) egensúlát visgálni. Egetlen merev test esetén lklmott eljárás itt is érvénes, tehát X és Y htásvonlánk metséspontjár vett s1 = 0 nomtéki egenlet kerül felírásr, X =0. Eredménül X = 90 N ( ) kpjuk. Ehhe hsonlón X és Y htásvonlánk D metséspontjár vett S 0.6 m 10 N 90 N d = 0 nomtéki egenletből sármttott 90 N S X =0 80 N egenletből dódik X =90N( ) eredmén. Y komponens sámítás pedig X Y = 0 00 N 0.3 m Y = 0 vetületi egenletből történik. Íg Y = 00 N ( ). sámítások helességének ellenőrésére fel nem hsnált P X =0egenlet solgál, tehát meggőődhetünk iránú erőkomponensek egensúláról itt érvénes? X + X =0 egenletet véve lpul. Végeredménül kpjuk, hog =(90 e )N, =(00 e )N és =( 90 e )N. 0.4 m 0.4 m

19 18 Péld: ábrán láthtó megfogóserkeet eg G súlú testet trt G = =50 kn erővel; µ o =0.4. Képes-e megtrtni váolt kilkítású fogó G súlú testet? 1 3 S G µ ο µ ο 4 4 N Y 3 Y 4 X 4 1 N N X3 Y 1 Y 13 X 1 X 13 3 X 4 X 34 S G X 43 Y 4 Y 34 4 N Y 3 X 3 Y 43 1,, 3 és 4 jelű, külön-külön is kirjolt serkeeti résekre sétsedés mitt megjelenő belső erőket (öld sínnel) berjoljuk úg, hog poítívnk tételeünk fel minden oln erőkomponenst, melnek irán nem egértelmű. 1 jelű rúdserkeet erőjátékánk tistááskor vegük ésre t, hog onos ngságú N =5 kn rúderők ébrednek. későbbiek mitt rúderők felbontásr kerülnek: X 1 =5kN ( ), Y 1 = 5 kn ( ), X 31 = 5 kn ( ) és Y 31 = 5 kn ( ). 4jelű testet visgálv fennálló simmetri mitt Y 34 = Y 4 össefüggés érvénes, íg 4 jelű résre felírt Y 34 + Y 4 50 = 0 vetületi egenletből Y 34 = Y 4 =5kN ( ) eredmén dódik. serkeet tengelre vett simmetriáj okán most elegendő és 3 jelű rések köül csk egik (mondjuk 3 jelű) rés egensúlát visgálni. igelembevéve előő eredméneket követkeőket írhtjuk fel: X 13 = X 31 =5kN ( ), Y 13 = Y 31 =5kN ( ) és Y 43 = Y 34 = 5 kn ( ). Íg 3 jelű résen csk X 3, Y 3 és X 43 mrdt ismeretlen.

20 19 Eek köül X 3, Y 3 htásvonl pontbn metsődik. Íg c tengelre vett 50 kn c = 0 nomtéki egenlet, X 43 =0 solgálttj X 43 = kn ( ) megoldást. elírv Y 43 X 43 = =0.18 <µ o össefüggést beláthtó, hog fogóserkeet megtrtj terhet. 3 jelű serkeeti résen tlálhtó még ismeretlen össetevők vetületi egenletekből dódnk, Y 13 + Y 3 + Y 43 = Y 3 5 = 0 Y 3 = 0, vlmint X 13 + X 3 + X 43 = X = 0 X 3 = 16.5 kn eredménekre jutunk. jelű csuklópontbn, és 3 jelű rés kpcsolódásánál, átdódó erő 16.5 knngságú les, Tehát későbbiekben oln össekötőelemet kell mjd válstni, mel et igénbevételt elviseli. Rudk igénbevétele 5 kn 5 kn 5 kn 5 kn kn 5 kn 16.5 kn 5 kn 5 kn S 50 kn kn 16.5 kn kn 5 kn 5 kn kn kn továbbikbn primtikus rudk, egenes köépvonlll és állndó kerestmetsettel bíró rudk, igénbevételeit visgáljuk meg. visgált trtót eg tetsőleges K kerestmetsetben átvágjuk és egik rését elhgjuk. elhgott rés htás megtrtott résre kerestmetset felületén megosló belső erőrendserként jelentkeik. belső erőrendsernek K kerestmetset S súlpontjáb redukált S eredőjének és S nomtékánk koordinátáit értjük K kerestmetset igénbevétele ltt. Igénbevételek előjelsbál S eredőnek kerestmetset síkjáb eső koordinátáj T jelű níróerő, síkr merőleges pedig N rúderő les. S nomtékvektor síkb eső össetevője h hjlítónomték, síkr merőleges pedig c csvrónomték. egállpodás serint ábrákon rögített előjelsbálok lpján állpítjuk meg feldtokbn előforduló igénbevételek előjelét: N > 0 T > 0 h > 0 c > 0 N < 0 T < 0 h < 0 c < 0

21 0 egenes köépvonlú trtók egensúli egenletei ábrán láthtó kéttámsú trtó eg hossúságú sksánk egensúlát visgáljuk: f k λ f k T h f() Q h + h T + T sks egensúlát kétvégén berjolásr került belső erőrendser bitosítj. eltételeésünk serint eek poitív igénbevételeket jelentenek. iránb vett T + f k (T + T ) = 0 T = f k vetületi egenletből lim 0 htárátmenet képésével jutunk dt d = f() össefüggésre. sks jobboldli végén kijelölt Q ponton áthldó síkr merőleges tengelre vett T h + f k (λ )+ h + h = 0 nomtéki egenletből lim 0 h htárátmenet képésével = (T + f k (λ )) d h = T d össefüggés dódik. Eeket egenleteket, egensúli egenlet differenciális lkjit, trtó tengele mentén 0 és köött integrálv nerjük Z Z T () T o = f(ζ)dζ és h () ho = T (ζ)dζ ζ=0 össefüggéseket, egensúli egenlet integrállkjit. Eek ismerete módot d igénbevételi ábrák rjolásár. Igénbevételi ábrák ábrrjolás bemuttásr kiválstott kéttámsú trtó támstóerői már ismertek és kék sínnel berjolásr kerültek lábbi ábrán. ζ=0 kn 1 kn/m D 8 knm m 3 kn 4 m 5 kn m

22 Síkbeli, tengelű, egenes vonlú trtók igénbevételi ábráink serkestése igénbevételek előjelsbálink figelembevételével történik. gerendán blról jobbr, tengel mentén hldunk és köben sksonként visgáljuk igénbevételeket. trtó iránú (rúdiránú) erőkkel terhelt, eért rúderő ábrrjolássl kedünk. kerestmetset és kerstmetset ( ponttól eg kicsit blr lévő kerestmetset) köött nincs rúderő, eért een skson N() függvén érus értékű les. pontbn tengeliránnl ellentétes iránb muttó ngságú koncentrált erővn,mel rúd jobb végén, D kerestmetsetben htó, vele ellentétes iránú, sintén ngságú erővel trt egensúlt. koncentrált erő N() ábrán mindig skdást oko. Eért kerestmetsetnél -r, D-benpedigviss0-rugrikfüggvén. D skst két erő hú, eért rúderő állndó N =4kNngságú les een skson. 1 N [kn] 4 - D trtót rá merőleges erők is terhelik, eért T () níróerő ábrrjolhtó. Ismét gerend blvégétől, pontból kiindulv kedjük meg T () függvén ábráolását. iránú koncentrált erők ábráolt T () függvén skdását idéik elő, eért pontbn jelentkeő kn( ) erő mitt kerestmetsetnél induló 0 értékű függvén kn-r ugrik. + és kerestmetsetek köötti rúdsks függőlegesen terheletlen, eért + skson függvénváltoás értéke null, tehát ott függvénérték állndó knles. T [kn] 1-1 E D 8 knm pontbn htó 3kN( ) támstóerő komponens mitt ismét ugrunk függvénértékkel 1 knr. + skson 1 kn/m ( ) intenitású megosló erő vn. sks hoss 4 m, íg 4 ( 1) = váltoás mértéke. -ben függvén 1 knértékű 4 m hossúságú + skson váltoás, eért -bn níróerő 5 knles. pontbeli 5kN( ) ngságú támstóerővel visstérünk nulláb. + és D kerestmetsetek köött nem tlálhtók függőleges htásvonlú erők, eért + D skson függvénváltoás értéke null, tehát ott függvén állndó érus értékű les. ábrán megjelenik még D kerestmetsetben 8 knm ngságú nomtékból sármó területvektort. területvektor iránát őt helettesítő erőpár bloldli erővektoránk irán solgálttj. ( vontkoó erőpár első ábrán berjolásr került!) h hjlítónomtéki ábr serkestése követlenül níróerő ábrából lehetséges. egensúli egenletnek megfelelően h () foltonos függvén dott skson történő váltoás dott sksr vontkoó T () függvén ltti terület mínus egseres ngságávl (dott skson vett htároott integráljávl) les egenlő. H trtó blvégén nincs terhelésként előírt nomték, kkor h függvén nullából indul, mjd gerend végén od is tér viss.

23 m hossúságú skson vett T () függvénérték állndó ( kn), íg skson vett T () függvén ltti (ábrán besrfoott) terület = m ngságú. E terület tengel feletti (poitív), eért negtív megváltoást ( m)oko skson lineáris h függvénben. Íg h ( )=0 4kNm= m. h 8 [knm] - -4 D E skson lineáris T () okán h függvén prbolát ír le e sks felett. E prbolát három pont és három érintő segítségével lehet megdni, eért serkestés ún. területkiegenlítés elve serint történik: skst megfeleük (E pont) és sks kedő- és végpontjánál lévő T ( )= 1 knés T ( )= 5 knfüggvénértékeknél eg-eg vísintest húunk. előálló és T ábrán besrfoott negtív területnek sámító tégllpok 1 =knmés 5 =10kNm ngságúk. h rjolását foltonos vonlll h ( )= knmfüggvénértéknél folttjuk követkeők serint. E skson knm h függvén váltoásánk mértéke, E pontnál knm-nél jelet tesünk és et össekötve vékon vonlll pontbeli függvénértékkel megkpjuk pontbeli érintőt. függvén megváltoás 10 knm E skson, íg h ( )=8kNm. Össekötve eg vékon vonlll E-nél rjolt jelet pontbn vett h függvénértékeket ismét nerünk eg prbolérintőt -ben. hrmdik pont és érintő úg áll elő, hog h ( )= knmés h ( )=8kNmfüggvénértékeket össekötő vonl és sksfeleő metséspontjánál leolvsott knm-ból levonom E pontnál vett knm, h ( E )=0 függvénérték érintő pedig párhumos előbbi össekötővonlll. D skson nincs tengeliránr merőleges erő tehát függvén váltoás null, tehát 8kNmnél vísintes vonlt húok D-ig. D-nél megjelenő nomtékból sármó területvektor mitt nomtéki ábrábn skdás les. területvektor felfele mutt, eért negtív váltoást oko és íg trtóvégén visstértünk 0-b. Egserű terhelésekhe trtoó igénbevételi ábrák b T h T h b +b +b b +b +b b +b

24 3 h/ T h b T h +b +b b +b fh fh f h/ h fh fh fh fh 8 +b +b +b b T h b +b b b b T h h T h h h h h T h fh fh fh fh f fh fh fh 8

25 4 jánlott irodlom [1.] Égert J. Sttik, iskolci Egetemi Kidó, iskolc, [.] echniki Tnsék unkköössége. echniki Példtár I., TnkönvKidó, udpest, [3.] echniki Tnsék unkköössége. echniki Példtár II., TnkönvKidó, udpest, 1990.