Számrendszerek közötti átváltások

Átírás

1 Számrendszerek közötti átváltások 10-es számrendszerből tetszőleges számrendszerbe Legyen az átváltani kívánt szám: 723, 10-es számrendszerben. Ha 10-esből bármilyen számrendszerbe kívánunk átváltani, az alábbi algoritmust kell követnünk: Osszuk az eredeti számot a cél számrendszer alapszámával (2-es számrendszerben ez 2, stb.). A maradékot jegyezzük fel jobb oldalra. Az osztás eredményét írjuk le a szám alá. Ha az nem 0, osszuk újra az alapszámmal. Folytassuk mindezt addig, míg nem jutunk el 0-ig. 2-esbe: 8-asba: 16-osba: Ezek után a számot alulról-felfelé olvassuk. Így az eredmények: 2-esben: asban: osban: 2D3

2 Tetszőleges számrendszerből 10-es számrendszerbe: Bármely számrendszerben is vagyunk, ha 10-es számrendszerbe szeretnénk vissza váltani, a szám egyes számjegyeit megszorozzuk a számrendszer alapszámának megfelelő hatványával. Szemléltetésképp kezdjük azzal, hogy egy 10-es számrendszerbeli számot váltunk át 10-es számrendszerbe Tehát a szám jobbról első számjegye fogja jelenteni a 0. hatványt. Mellette balról az 1., stb Most váltsuk vissza az előzőleg kapott 2-es, 8-as, 16-os számrendszerbeli számokat 10-essé: 2-esből: 8-asból: 16-osból: Nem 10-esből egy másik nem 10-esbe Ha ilyen feladatot kapunk (pl. 2-esből 8-asba), akkor követhetjük azt a módszert, hogy először átváltunk 10-es számrendszerbe, majd átváltunk a kívánt számrendszerbe. Ez azonban időigényes. 2-es, 8-as, 16-os számrendszerek között (mivel 2 hatványai), gyorsabban is át lehet váltani.

3 2-esből 8-asba: Mivel 2^3 = 8, ezért az eredeti kettes számrendszerbeli szám számjegyeit 3-asával (jobbról balra) csoportokba fogjuk. Ezután kiszámoljuk, az egyes csoportok értékét, ezek fogják adni a 8-as számrendszerbeli szám számjegyeit. 2-esből 16-osba: Előző módszerhez hasonló, de mivel 2^4 = 16, ezért itt 4-esével fogjuk csoportba a számjegyeket. 8-asból 2-esbe: A 2-esből 8-asba módszer fordítottja. Fogjuk a 8-as számrendszerbeli szám számjegyeit, majd azokat egyenként visszaváltjuk 3 jegyből álló, kettes számrendszerbeli megfelelőjükre. (Ehhez kell, hogy kettő hatványait gyorsan tudjuk fejben számolni, azonban itt még elég kis számokról van szó, így nem túl nehéz a feladat). (Kettes számrendszerben a szám elején lévő 0-kat elhagyhatjuk, így az eredeti számot kapjuk) 16-osból 2-esbe: Hasonló az előzőhöz, de nem 3 jegyet, hanem 4-et kell alkotnunk a 16-os számrendszerbeli szám egyes jegyeiből

4 Igazságtáblák NOT (tagadás) Eredeti érték ellentettje. A NOT A AND (és) Igaz, ha mindkét érték igaz. Különben hamis. bemenet kimenet A B A AND B OR (vagy) Igaz, ha legalább az egyik érték igaz. Különben hamis. A B A OR B XOR (kizáró vagy) Igaz, ha pontosan egy feltétel igaz. Ha kettő igaz, vagy egy sem, akkor hamisat ad vissza. A B A XOR B

5 NAND (NOT AND) Az AND művelet ellenkezője (tagadása). A B A NAND B NOR (NOT OR) Az OR művelet tagadása. A B A NOR B XNOR (X NOT OR) A kizáró vagy tagadása. A B A XNOR B

6 Bitenkénti műveletek Negálás Jelölése: ~ Az eredeti szám minden bitjét az ellenkezőjére módosítjuk. Ha nem 2-es számrendszerbeli számot kapunk, először váltsuk át kettesre, majd negálhatjuk. Például: ~ = Bitenkénti AND Jelölése: & Két számot bitenként és-elünk, azaz végrehajtjuk rajtuk bitenként az AND igazságtáblában látott műveleteket. (Ha nem 2-es számrendszerben vannak, alakítsuk át őket először). Egyik szám: Másik: & Bitenkénti OR Jelölése: Két számot bitenként vagy-olunk, azaz végrehajtjuk rajtuk bitenként az OR igazságtáblában látott műveleteket. (Ha nem 2-es számrendszerben vannak, alakítsuk át őket először). Egyik szám: Másik:

7 Negatív számok ábrázolása kettes komplemens képzés Ha egy változónak nem adjuk meg, hogy az unsigned legyen, ha negatív értéket adunk, a számítógépes számábrázolásban valahogyan jelölni kell ezt. Erre vezették be először az előjelbitet. 0 jelenti a pozitív, 1 a negatív számot. Így azonban a 0 értéket kétféleképpen is ábrázolhatjuk (pozitív 0, negatív 0). Ezért a negatív számok ábrázolására a kettes komplemenst használják. Ez elég egyszerű: Az eredeti szám minden bitjét negáljuk (egyes komplemens) Adjunk hozzá 1-et az eredményhez (kettes komplemens) Ábrázoljuk kettes komplemens módszerrel a (-723) értéket! A korábbiakban már kiszámoltuk, hogy 723 bináris értéke: Ha ezt 32 biten tároljuk, így néz ki: Ezt negáljuk (egyes komplemenst képzünk): Ehhez adjunk hozzá egyet (kettes komplemenst képzünk): A negatív szám tehát így fog kinézni gépi ábrázolásban. (Ha ebből vissza szeretnénk nyerni a szám abszolút értékét (723), akkor először kivonunk belőle 1-et, majd negáljuk minden bitjét, és megkapjuk az eredeti számot. Lényegében az eredeti műveletet végezzük el, csak fordítva ) Bitléptetés előjeltelen számok A biteket léptethetjük jobbra vagy balra. A jobbra léptetés 2-vel való osztásnak, a balra léptetés 2-vel való szorzásnak felel meg. (Gondoljuk kicsit végig a hátterét, miért is van ez ) Balra léptetés: szám << x Assembly-ben: SHL (Shift Left) Jobbra léptetés: szám >> x Assembly-ben: SHR (Shift Right) (Az adott számot x lépéssel balra, vagy jobbra toljuk) Ha előjeltelen szám bitjeit szeretnénk léptetgetni, az viszonylag triviális. Feladat: 723 << 2 (léptessük el a 723 decimális szám bitjeit 2-vel balra) 723 decimális szám bináris értékét már kiszámoltuk. Ez 32 biten ábrázolva: Ezt 2-vel balra léptetve az eredmény:

8 (Az egészet eltoltuk kettővel balra. Az eredetileg a szám bal oldalán lévő két darab 0 elveszett, jobbról pedig bejött két darab 0). Így 723 << 2 = 2892 (Az eredmény ugyanaz, mint 723 * 2 * 2) Feladat: 723 >> 3 (léptessük el a 723 decimális szám bitjeit 3-al jobbra) 723 decimális szám bináris értékét már kiszámoltuk. Ez 32 biten ábrázolva: Ezt 3-al jobbra léptetve az eredmény: (Jobb oldalról elveszik 3 darab bit. Bal oldalról viszont bejön 3 darab 0) Így 723 >> 3 = 90 (Az eredmény ugyanaz, mint 723 / 2 / 2 / 2, természetesen tizedes jegyek nélkül számolva) Bitléptetés előjeles számok A bitléptetés lényege hasonló az előjeltelen számokkal való léptetéshez. Azonban, ha pusztán az előző módszereket használnánk, az eredeti előjel jobbra léptetésnél elveszne. Ennek kiküszöbölésére az előjeles számok bitléptetéséhez külön gépi utasítások léteznek. C / C++ szintjén ezt nem érzékeljük, azonban más Assembly utasításnak felelnek meg az alábbiak, mint az előzőleg látottak: Balra léptetés: negatív szám << x Assembly-ben: SAL (Shift Arithmetic Left) Jobbra léptetés: negatív szám >> x Assembly-ben: SAR (Shift Arithmetic Right) (Az adott negatív számot x lépéssel balra, vagy jobbra toljuk) A balra léptetés előjeles szám esetén pontosan ugyanúgy működik, mint előjeltelennél! Feladat: -723 << 2 (léptessük el a -723 decimális szám bitjeit 2-vel balra) 723 decimális szám bináris értékét már kiszámoltuk. Ez 32 biten ábrázolva: Ennek kell vennünk a kettes komplemensét, hiszen negatív szám. A korábbiakban már ezt is kiszámoltuk: Ezt 2-vel balra léptetve az eredmény: A balra léptetés előjeles szám esetén pontosan ugyanúgy működik, mint előjeltelennél! Így -723 << 2 = (Az eredmény ugyanaz, mint (-723) * 2 * 2)

9 Feladat: -723 >> 3 (léptessük el a -723 decimális szám bitjeit 3-al jobbra) A negatív szám binárisan így nézett ki: Ha ezt szimplán eltolnánk jobbra, 0 jönne be balról, így az előjel információk elvesznének. Ezért, ha előjeles számról van szó, gépi szinten a SAR utasítás hívódik, mely balról 1-est fog behozni. Így a 3-al jobbra tolás eredménye: Jobbról elveszítettünk 3 bitet, balról pedig csupa egyes jött be. Így -723 >> 3 = -91 (Látható, hogy előjeltelen 723 esetén a jobbra 3-al eltolás eredménye 90 volt. Itt azonban -91, tehát abszolút értékben 1 az eltérés. Ezt a kettes komplemens számábrázolás okozza. Az eredmény ugyanaz, mint 723 / 2 / 2 / 2, azonban az előjeltelen példához képest itt nem lefelé kerekítődött a szám értéke, hanem felfelé, így 91 lett.) Logikai műveletek Példák Logikai műveleteknél csupán az igazságtáblákat kell ismernünk. Egy példán keresztül megnézünk néhány if szerkezetet, melyekkel kiderül, a teljes feltétel igaz, vagy hamis értéket ad vissza. C-ben nincs bool típus (C++-ban már van), ezért most legyen: #define true 1 #define false 0 (true-nak 1 az értéke, false-nak 0 ) Az ilyen feladatokat próbáljuk meg a belső zárójelektől indulva, mindig egyszerre csak két feltételt nézve végrehajtani az igazságtáblák segítségével. Példa1: Ez tehát hamis lesz.

10 Példa2: Ez igaz lesz. Példa3: Ez is igaz lesz.