Petz D enes Line aris anal ızis

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Petz D enes Line aris anal ızis"

Renáta Bogdánné
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Petz Dénes Lineáris analízis

3 Petz Dénes Lineáris analízis

4 Megjelent a Felsőoktatási Pályázatok Irodájának támogatásával ISBN Kiadja az Akadémiai Kiadó 1117 Budapest, Prielle Kornélia u. 4. Első magyar nyelvű kiadás: 2002 c Petz Dénes, 2002 Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a nyilvános előadás, a rádió- és televızióadás, valamint a fordítás jogát, az egyes fejezeteket illetően is PrintedinHungary

Első magyar nyelvű kiadás: 2002 c Petz Dénes, 2002 Minden jog fenntartva, beleértve a

5 Tartalomjegyzék Előszó 9 1. Lineáris terek és lineáris leképezések Lineáris terek Tenzorszorzatok Mátrixok és sajátértékeik Euklideszi terek transzformációi Blokkmátrixok Gyakorlófeladatok Normált terek Nevezetes normáltterek Banach-terek A duális tér Multinormált terek Gyakorlófeladatok Hilbert-terek és korlátos operátoraik Nevezetes Hilbert-terek és nevezetes bázisok Bázis szerinti kifejtés A Hilbert-tér geometriája Operátorok, funkcionálok és formák Kompakt tartójú simafüggvények

Normált terek 32 2.1. Nevezetes normáltterek........................ 32 2.2. Banach-terek.............................. 41 2.3. A duális tér............................... 48 2.4. Multinormált terek.

6 6 TARTALOMJEGYZÉK 3.6. Az adjungált operátor Tenzorszorzat Unitér operátorok A Fourier-transzformáció Nevezetes topológiák Pozitív operátorok Rezolvens és spektrum Önadjungált operátorok függvényei A spektráltétel Kompakt operátorok Gyakorlófeladatok Nemkorlátos operátorok Zárt operátorok Az adjungált Önadjungált operátorok Önadjungált kiterjesztések Lényegében önadjungált operátorok Sturm Liouville-féle operátorok A Laplace-operátor Egyparaméteres unitércsoportok Gyakorlófeladatok A kvantummechanika axiómái Állapotok és dinamikai változók Összetett rendszerek A mérés Szuperszelekció A projekciók alkotta logika Időfejlődés Gyakorlófeladatok

Önadjungált operátorok függvényei.................. 104 3.14. A spektráltétel............................. 109 3.15. Kompakt operátorok.......................... 115 3.16. Gyakorlófeladatok........................... 120 4.

7 TARTALOMJEGYZÉK 7 6. A feladatok megoldása 189 Függelék 209 A. Metrikus éstopologikusterek B. Mérték és integrál B.1. A Riemann-integrál B.2. Az absztrakt Lebesgue-integrál B.3. A szorzatmérték B.4. Mértékek metrikus téren C. Csoportok Jegyzetek 251 Ajánlott irodalom 255 Tárgymutató 257

............... 223 B.3. A szorzatmérték........................ 229 B.4. Mértékek metrikus téren.................... 232 C.

9 Előszó Ez a könyv a lineáris analízisbe ad bevezetést, és alkalmazásként bemutatja a kvantumelmélet matematikai megalapozását. Bár feltételezzük, hogy az olvasó már elsajátította a lineáris algebrai alapokat, az első fejezet végigfut néhány, mátrixokkal kapcsolatos témakörön, részben ismétlésként, részben pedig azért, hogy a lineáris analízisnek a lineáris algebrától némileg különbőző szemlélete érvényre jusson. Amásodik fejezetben viszonylag kisebb hangsúlyt kapnak a normált és multinormált (más néven lokálisan konvex) terek, inkább a Hilbert-terek elméletének szentelünk nagyobb teret a harmadik fejezettől kezdve. A Hilbert-tér nagyon jó példa végtelen dimenziós topologikus vektortérreés a lineáris analízis módszereinek megmutatására. Az absztrakt Lebesgue-integrál fogalmát a lehetőségekhez képest elkerüljük, de az IR n -en négyzetesen integrálható függvények terét természetesen használjuk. Ezt a nehézséget igyekszik áthidalni a függelék, amely a topologikus terekre vonatkozó alapvető ismereteket összegyűjti, és egy tömörített, ugyanakkor elég teljes integrálelméletet is tartalmaz. Az ortogonális polinomokat és más speciális függvényeket, továbbá bizonyos konkrét csoportok ábrázolásait fizikában való fontosságuk miatt részletesen tárgyaljuk. A negyedik fejezet a Hilbert-terek nemkorlátos operátoraiba ad bepillantást. A témák választása a kvantummechanika matematikai igényeihez igazodik. A könyv utolsó fejezete éppen a kvantummechanika megalapozását mutatja be, és a korábbi tisztán matematikai tételek és fogalmak itt fizikai interpretációt is kapnak. Atárgyalásmód a bizonyítások helyett inkább a példákra teszi a fő hangsúlyt. A tipikus bizonyítási módszerek megjelennek, de számos tétel szerepel bizonyítás nélkül vagy egy egyszerűsített eset, illetve a bizonyítás gondolatmenetének tárgyalásával. A fejezetek végén gyakorlófeladatok bőséges mennyiségben találhatók. Változó nehézségűek, a legnehezebbekhez útmutatás is van. A szerző véleménye szerint a példák alapos áttanulmányozása és a hozzájuk hasonló gyakorlófeladatok egyéni megoldása nagyon fontos része a fogalmak és módszerek megértésének éppen úgy, mint az anyag peremértékfeladatokban, disztribúcióelméletben és az alkalmazások más területein való hasznosításának. A feladatok jelentős részének részletes megoldását a 6. fejezet tartalmazza. Azokat a gyakorlófeladatokat, amelyek megoldása meg van adva, M jelöli, a nehezebbeket pedig. A XX. század magyar matematikájában a lineáris (vagy funkcionál-) analízis kiemelkedő szerepet játszott, hiszen például a magyar Riesz Frigyes a diszciplína

lineáris analízisnek a lineáris algebrától némileg különbőző szemlélete érvényre jusson.

10 10 Előszó egyik atyja volt, számos alapvetőeredmény tőle származik. Neumann János nagyon sokirányú matematikai munkásságából a nemkorlátos operátorok elméletének megalapozása kapcsolódik a könyv anyagához. Ezekből az okokból kifolyólag, és csak úgy érdekességképpenis, néhány tudománytörténeti illusztrációés megjegyzés igyekszik az anyagot színesebbé tenni. A könyv anyaga fokozatosan bővült, és évek munkájával állt össze. Sok segítséget kaptam a BME mérnök-fizikus és alkalmazott matematikus hallgatóitól ahibák és pontatlanságok kiszűrésében. Doktorandusz hallgatóim, Andai Attila, Mosonyi Milán, Pitrik József és Réffy Júlia közreműködtek a gyakorlófeladatok megoldásainak leírásában. Köszönet illeti meg Géczy Flórát is az ábrák és illusztrációk elkészítésében nyújtott segítségéért. Budapest, december A szerző

Ezekből az okokból kifolyólag, és csak úgy érdekességképpenis, néhány tudománytörténeti illusztrációés megjegyzés igyekszik az anyagot színesebbé tenni.

Hasonló dokumentumok

Halmazok és függvények

Halmazok és függvények Óraszám: 2+2 Kreditszám: 6 Meghirdető tanszék: Analízis Debrecen, 2005. A tárgy neve: Halmazok és függvények (előadás) A tárgy oktatója: Dr. Gilányi Attila Óraszám/hét: 2 Kreditszám: