& t a V = t $ M = (9 $ 13 $ sin 48,6 )(25 $ sin 68,3 ) á 2038, 6 cm

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "& t a 1749. 1751. 1751. V = t $ M = (9 $ 13 $ sin 48,6 )(25 $ sin 68,3 ) á 2038, 6 cm"

Átírás

1 Hsáb Tekintsük z 7 ábrát Felhsználjuk, hogy prlelogrmm átlóink négyzetösszege egyenlô z oldlink négyzetösszegével Az ACGE prlelogrmmábn: AG + EC (AE + AC ) A BDHF prlelogrmmábn: DF + BH (BF + DB ) Az ABCD prlelogrmmábn: AC + BD (AB + AD ) A fenti összefüggéseket felhsználv: AG + EC + + DF + BH AE + AC + BF + BD AE + AB + AD + BF c b + c ( + b + c ) 79 Felhsználjuk, hogy prlelogrmm átlóink négyzetösszege egyenlô z oldlink négyzetösszegével A BCHE prlelogrmmábn t + EC BE + b A BFHD prlelogrmmábn t + DF DB + c Az ABGH prlelogrmmábn t + AG BG + A fenti összefüggéseket felhsználv: t + t + EC + DF + AG (BE + DB + BG ) + + ( + b + c ) Az láhúzottk testátlók négyzetei, miknek összege z 7 feldt szerint egyenlô z oldlk négyzetösszegével t + ( + b + c ) (BE + DB + BG ) + + ( + b + c ) t + + b + c BE + DB + BG 750 V 505, cm á 5, dm 75 V t $ M (9 $ $ sin,6 )(5 $ sin 6, ) á 0, 6 cm 75 Tekintsük z 75 ábrát Legyen cm, b cm, 6, 7, c 6 cm, c 6, 5, f 5 t $ $ sin 6,7 á 6,0 cm és m 6 $ sin 6,5 á, cm M m $ sin 5 á, cm V t $ M á 76, 5 cm 75 Legyen cm és c 5, ; A 6 $ sin á 75 á 57, cm m $ sin c á,7 cm A rombusz átlói merôlegesen felezik egymást és szögfelezôk Egybevágó rombuszok mgssági egyenlôk BUE egyenlô szárú, szárszöge f $ sin 5, cm, sin e e c f f m, f 67, 76 M m $ sin f á,05 cm V $ sin $ M á 770, 7 cm 75 Tekintsük hsáb oldlélekre merôleges síkmetszetét! A síkmetszetháromszög oldli z oldllpok mgssági Az oldlélek egyenlôk (b hosszúságúk) A háromszög-egyenlôtlenség szerint m < m b + m c t < t b + t c 755 Tekintsük hsáb oldlélekre merôleges síkmetszetét, PQR-et! A síkr merôleges egyenes tétele mitt AD RP és AD QP RPQ két oldllp szöge A síkmetszet sokszög belsô szögeinek összege egyenlô z oldllpsíkok áltl bezárt szögek összegével A bizonyítás tetszôleges n oldlú hsábr elmondhtó n oldlú hsáb síkmetszete n-szög, ezért (n - ) $ 0 szögek összege 755

2 Hsáb 756 Írjuk fel felszínt és térfogtot z élekkel kifejezve A számtni és mértni közép b + bc + c közötti egyenlôtlenséget hsználjuk fel A $ (b + bc + c) 6 $ b b bc bc c c $ ( b+ c) b$ ( c+ ) c$ ( + b) $ 6 $ $ $ bc + b$ c + c$ b $ 6 $ $ 6 bc b c 6 b c 6 V $ $ $ Egyenlôség b c esetén Állndó térfogt mellett minimális felszínû tégltest kock 757 Vágjuk fel hsáb plástját z AAl él mentén, és terítsük ki síkb A kiterített pláston z út ( PPl szksz) megrjzolhtó 75 A kimetszett síkidom merôleges vetülete z lplp síkjár hsáb lplpj Felhsználjuk, hogy vetület területe metszô sík lplppl vett hjlásszögével kiszámíthtó: 50 tl t $ cos 50 t$ cos5 t 0 cm $ r 759 t n t n m tg $ n n n $ m$ n$ $ ABO $ $ V t $ m r r tg tg n n $, $ $ 760 V tlp$ m 956, cm $, $, 0 76 V tlp$ m 7, 65 cm r tg 76 Az lpterület Heron-képlettel: tlp s( s-)( s-b)( s- c), hol + b + c s 9 cm s 6,5 cm tlp 6, 5 $, 5 $, 5 $ 0, 5 69, cm Vhs b tlp$ m 69, $ 56 cm Ahs b $ tlp+ Klp$ m $ 69, + 9 $ 96, 6 cm 76 Az lplp háromszögre (, m; b,7 m; 5, ) lklmzzuk szinusztételt: b sin b 7, sin b sin b 0, 66 b, 6 (Mivel b <, b nem tompszög) c 0 - ( + b) 0,0 tlp, m sin, sin 5, b $ $ sinc V V tlp$ m m t lp 6, 75, 66 m, m 75, V M dm 0, m V 56 dm t 95, dm u 0, M

3 Hsáb Az lplp szbályos háromszög, ezért m FCCl derékszögû háromszögben m m $ tg{ tg{ A síkmetszet és z lplp szöge ClFC { 6,7 V t m $ $ tg{ $ $ tg{ V 7 dm 766 A $, + 0 $ 5 á, 56 cm ; V, $ 5 á, cm 767 Legyen cm, b 9 cm, c 6 cm x, 5 cm, m cm ATD derékszögû háromszögben Pitgorsz-tétel: m ( c) m 9 -,5 ( 6) $, 65 m á,65 cm tlp , 95 cm A t lp + K lp $ m $ 59, $ á 65 cm V t lp $ m 59,95 $ á 677, 9 cm 76 V t lp $ m 0,96 $,6 0,6 m 6 dm m b u $ V,5 $ 6 09, kg b 769 A térfogtok rány egyenlô lesz z lpterületek rányávl : b $ tg 5 $ $ $ tg 5 $ t htszög 6 $ ; t tizenkétszög $ 9$ tg 5 $ J N K t htszög : t tizenkétszög O : `9$ tg5 $ j K O L P, 077 6$ tg 5 tg V hsáb 9 cm ; A hsáb á, 7 cm 769

4 6 Hsáb 77 m m+ 77 A hsonlóságból következik, hogy x m 6, + m, m x,65 m A cstornát tekinthetjük húrtrpéz lpú egyenes hsábnk:, 65 t, 5 lp + $ m másodperc ltt, m ór ltt 500 m, vgyis hsáb mgsság 500 m V t lp $ m,5 $ m 77 Tekintsük z 767 ábrát Legyen b 7, m, c m, m 6m, m 50m A töltés tekinthetô olyn húrtrpéz lpú hsábnk, melynek mgsság 50 m Pitgorsz tétele mitt x 7, - 6 6, m AB DC + x + $,6 á 6, m V t $ m ( 6, + ) $ , $ m 77 Az lplp egy egyenlô szárú derékszögû háromszög oldli ; ; $ m J N K O A t lp + K lp $ m, zz 5 $ + + $ $ m 9 b+ l $ m K O L P 9 9b - l$ 9b- l m b+ l 9b- l V tlp $ m $ 9b- l 5, 7m 77 m 77 sin, 9 6, 0 dm és cos, 9 9, 9, 60, $, m, dm A hsáb t lp + K lp $ m $ + + (, 60+ $ 9,) $, 6 6 dm 60 V hsáb t lp $ m, $, $, 6 65 dm 775 A hsáb t lp + K lp $ m $ + m $, zz 5, , 0 < 0, ez nem lehet egy szksz hossz; 0,7 dm V tlp$ m 0, 7 $ $ m 0 5, 6 $ dm

5 Tetréder V 695 dm ; A 506, dm 777 V 7 79 cm ; A 66 cm 77 V t m 5 sin, 7 0, lp$ $ $ dm 779 Az lpterület Heron-képlettel: t lp ss ( -)( s-b)( s- c) 9, 5 $ 9, 5 $, 5 $ 6, 5 59, 9 dm V t $ b$ sin 69, 6 59, 9 $ 5 $ sin 69, 6 67dm, 67 m lp l; b 70 l; d 7 dm; r dm; { 60 r $ sin á,6 dm; b r $ sin b áá5,65 dm; c 59,66 b sin c tlp, dm V tlp$ d$ sin { 6 dm 70 Tetréder 7 rész: mg test rész: csúcsokhoz cstlkozó triéderekbôl rész: lpokhoz cstlkozó térrészekbôl 6 rész: z élekhez cstlkozó térrészekbôl Összesen: 5 rsz e 7 Az ABC súlypontjár A E; BCD S A súlypontjár DS A S A E AED ben párhuzmos szelôk tételének megfordítás mitt S A ; DA párhuzmos szelôszkszok tételét lklmzv S A AD SA S D S + ADS, mert szögeik páronként egyenlôk SAS SDS m S z AS AS A, illetve D szkszok S A -hoz, illetve -hez közelebbi negyedelôpontj Páronként bármely két lphoz trtozó súlyvonl metszéspontjáról beláthtó fenti negyedelés A súlyvonlk egy pontbn metszik egymást Ezt pontot tetréder súlypontjánk nevezzük 7 Tekintsük z 7 ábrát Az 7 feldtbn láttuk, hogy S A ; DA és z S A S középpontosn hsonló z ADS-höz z S pontr vontkozón m S - ránnyl Igz továbbá, hogy S A E középpontosn hsonló DAE- höz z E pontr vontkozón m E ránnyl EF 7 súlyvonl z AED-ben; EF + S A G; F képe G z E középpontú hsonlóságbn EG súlyvonl z S A E- ben G felezi S A -t SG súlyvonl z S A S-ben; SF súlyvonl z ADS-ben Mivel S A képe AD z S középpontú hsonlóságbn SG képe SF ugynbbn hsonlóságbn A középponton átmenô egyenes invriáns, így F, S, G és E egy egyenesen vnnk FE átmegy S-en Az E középpontú hsonlóság mitt GE FE;

6 Tetréder 7 75 z S középpontú hsonlóság mitt FS FG FS (FE - GE) (FE - FE) $ FE FE Tehát S felezi FE-t 7 Az 7 feldtbn láttuk, hogy AlDlE + + DAE, m hsonlóság rány, E hsonlóság középpontj AlDl;DA és AlDl DA Hsonlón beláthtó ez többi élpárr is A két tetréder élei páronként párhuzmosk A súlypontok áltl meghtározott tetréder éle hrmd z eredeti tetréder élének 75 Az 7 feldtbn láttuk, hogy ClAl AC és ClAl i AC ClAl i [ABC] CllAll i AC és CllAll ClAl AC Hsonlón beláthtó, hogy AllBll i AB és AllBll 76 AB, vlmint BllCll i BC és BllCll BC 76 Legyen S AB z AB él felezô merôleges síkj Bármely P! S AB esetén PA PB Legyen S BC z BC él felezô merôleges síkj Bármely Q! S BC esetén QB QC S BC nem párhuzmos S AB -vel, mert AB sem párhuzmos BC-vel S AB + S BC m ABC létezik, és merôleges [ABC]- re Bármely R! m ABC esetén RA RB RC, mert R benne vn mindkét felezô merôleges síkbn Legyen S AD z AD él felezô merôleges síkj Bármely T! S AD esetén TA TD S AD nem párhuzmos m ABC -vel, mert m ABC merôleges z [ABC] síkr, de S AD nem merôleges rá Legyen S AD + m ABC K K! m ABC KA KB KC; K! S AD KA KD A két állításból KD KC K! C, tehát negyedik él felezô merôleges síkj is átmegy K-n KA KB KC KD mitt K középpontú, KA sugrú gömb z ABCD tetréder köré írhtó gömb 77 Legyen S [ABD], S [BCD], S [ACD], S [ABC] S és S lpszögének szögfelezô síkj R Bármely P! R esetén d(p; S ) d(p; S ) S és S lpszögének szögfelezô síkj R Bármely Q! R esetén d(q; S ) d(q; S ) Legyen R + R e (D! e, mert D! S, D! S ) Bármely R! e esetén d(r; S ) d(r; S ), mert R! R d(r; S ) d(r; S ), mert R! R A két állításból d(r; S ) d(r; S ) R rjt vn z S és S síkok lpszögének szögfelezô síkján, R síkon D! R és R! R mitt e R + R + R Legyen R z S és S síkok lpszögének szögfelezô síkj e nem párhuzmos R síkkl, mert kkor tetréder áltl körülzárt térrész nem trtlmzhtná mindkettôt e + R O létezik O! e mitt d(o; S ) d(o; S ) d(o; S ); O! R mitt d(o; S ) d(o; S ) A két állításból d(o; S ) d(o; S ) O! R Hsonlón beláthtó, hogy O! R, tehát belsô szögfelezô síkok egy pontbn metszik egymást Ez z O pont egyenlô távol vn tetréder lpsíkjitól O köré d(o; S i ) sugrú gömb írhtó, mi érinti lpsíkokt

( ) Schultz János EGYENLŐTLENSÉGEK A HÁROMSZÖG GEOMETRIÁJÁBAN

( ) Schultz János EGYENLŐTLENSÉGEK A HÁROMSZÖG GEOMETRIÁJÁBAN Shultz János EGYENLŐLENSÉGEK A HÁOMSZÖG GEOMEIÁJÁBAN Igzoljuk hogy egy szályos háromszög első pontját súsokkl összekötő három szkszól mindig szerkeszthető háromszög Egy tégllp elsejéen vegyünk fel egy

Részletesebben

= & R = = 17 cm. A köré írható kúp térfogata: V

= & R = = 17 cm. A köré írható kúp térfogata: V Egymásb ít testek 8/I 8/ R $ sin 8 z R sugú köbe íhtó szbályos nyolcszög teülete: T nyolcszög 8 R gúl téfogt: gúl $ $ R $ kúp téfogt: kúp R $ téfogtok különbsége: D b- l 6b- l, 88dm R 8 eset: beleíhtó

Részletesebben

Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk.

Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk. Síkidomok Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk. A határoló vonalak által bezárt síkrész a síkidom területe. A síkidomok határoló vonalak szerint lehetnek szabályos

Részletesebben

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, 2015. április 8-12.

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, 2015. április 8-12. XXIV NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szbdk, 05 április 8- X évfolym A XXIV Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny tiszteletére Frici rjzolt Szbdk főterére egy 4 oldlú szbályos sokszöget Hány olyn egyenlő

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) Térgeometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) Térgeometria III. Térgeometria III. 1. Szabályos háromoldalú gúla alapéle 1 cm, oldaléle 1 cm. Milyen magas a gúla? Tekintsük a következő ábrát: Az alaplap szabályos ABC, így a D csúcs merőleges vetülete a háromszög S súlypontja.

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I. DEFINÍCIÓ: (Helyvektor) A derékszögű koordináta - rendszerben a pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. TÉTEL: Ha i az (1; 0) és j a (0; 1) pont helyvektora, akkor

Részletesebben

Térgeometria feladatok. 2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszor akkora, mint az alapéle, felszíne 504 cm 2. Mekkora a testátlója és a térfogata?

Térgeometria feladatok. 2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszor akkora, mint az alapéle, felszíne 504 cm 2. Mekkora a testátlója és a térfogata? Térgeometria feladatok Téglatest 1. Egy téglatest éleinek aránya 2 : 3 : 5, felszíne 992 cm 2. Mekkora a testátlója és a 2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszor akkora, mint az alapéle, felszíne 504

Részletesebben

Geometria. A geometria vagy mértan a geo+metros= földmérés szóból ered, görög tudósok és egyiptomi földmérnökök tapasztalataira épül.

Geometria. A geometria vagy mértan a geo+metros= földmérés szóból ered, görög tudósok és egyiptomi földmérnökök tapasztalataira épül. Geometri A geometri vgy mértn geo+metros= földmérés szóól ered, görög tudósok és egyiptomi földmérnökök tpsztltir épül. Az euklideszi geometri lpfoglmkr, lpreláiókr és xiómákr épül. - lpfoglmk: például

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Térgeometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Térgeometria V. Térgeometria V. 1. Egy 4, 6 dm átmérőjű, 5 dm magasságú, 7, dm sűrűségű hengerből a lehető legnagyobb szabályos nyolcoldalú oszlopot kell készíteni. Mekkora lesz a tömege? Az oszlop magassága a henger

Részletesebben

II. Térgeometria. Térelemek. Illeszkedési feladatok

II. Térgeometria. Térelemek. Illeszkedési feladatok Térelemek Térgeometria Illeszkedési feladatok 1585 a) 4 pont 6 egyenest határoz meg b) 5 pont 10 egyenest határoz meg c) 6 pont 15 egyenest határoz meg d) n pont n n - 1 $ egyenest határoz 1585 meg 1586

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria II. Geometria II. Síkidomok, testek: A sík feldarabolásával síkidomokat, a tér feldarabolásával testeket kapunk. Törött vonal: A csatlakozó szakaszok törött vonalat alkotnak. DEFNÍCIÓ: (Sokszögvonal) A záródó

Részletesebben

A parabola és az egyenes, a parabola és kör kölcsönös helyzete

A parabola és az egyenes, a parabola és kör kölcsönös helyzete 66 A paraola 00 egyen a keresett kör középpontja Az pont koordinátái: ( y) Ekkor felírhatjuk a következô egyenletet: ( - ) + ( y- ) = mert a kör sugara > 0 Innen rendezéssel: ( y- ) = 6 - A mértani hely

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria IV.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria IV. Geometria IV. 1. Szerkessz egy adott körhöz egy adott külső ponton átmenő érintőket! Jelöljük az adott kört k val, a kör középpontját O val, az adott külső pontot pedig P vel. A szerkesztéshez azt használjuk

Részletesebben

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY DÖNTŐ 2004. 5. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY DÖNTŐ 2004. 5. osztály 5. osztály Ha egy négyzetet az ábrán látható módon feldarabolunk, akkor a tangram nevű ősi kínai játékot kapjuk. Mekkora a nagy négyzet területe, ha a kicsié 8 cm 2? (A kis négyzet egyik csúcsa a nagy

Részletesebben

Tudtad? 11. Ezt a kérdést azért tesszük fel, mert lehet, hogy erre még nem gondoltál.

Tudtad? 11. Ezt a kérdést azért tesszük fel, mert lehet, hogy erre még nem gondoltál. Tudtd? 11. Ezt kérdést zért tesszük fel mert lehet hogy erre még nem gondoltál. Most tekintsük z 1. árát! 1. ár Forrás: http://vmek.oszk.hu/0100/015/html/04/img/-14.jpg Itt különöző tetőlkokt szemlélhetünk.

Részletesebben

( a + b + c) 2 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc ( x + y + 2) 2 x 2 + y 2 + 4 + 2xy + 4x + 4y. visszafelé. ( 3x y + 5) 2 9x 2 + y 2 + 25 6xy + 30x 10y

( a + b + c) 2 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc ( x + y + 2) 2 x 2 + y 2 + 4 + 2xy + 4x + 4y. visszafelé. ( 3x y + 5) 2 9x 2 + y 2 + 25 6xy + 30x 10y Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu Gökvoás zoossági mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + ) x + x + 9 ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x ) x x + 9 ( + + c) + + c + + c + c ( x + + ) x + + + x + x + ( x

Részletesebben

3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek

3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek 3. KÖRGEOMETRIA Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 89 109. és 121. oldal. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 86 97. és 117 121. oldal. Kovács Zoltán: Geometria,

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY FŐVÁROSI DÖNTŐ SZÓBELI (2005. NOVEMBER 26.) 5. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY FŐVÁROSI DÖNTŐ SZÓBELI (2005. NOVEMBER 26.) 5. osztály 5. osztály Írd be az ábrán látható hat üres körbe a 10, 30, 40, 60, 70 és 90 számokat úgy, hogy a háromszög mindhárom oldala mentén a számok összege 200 legyen! 50 20 80 Egy dobozban háromféle színű: piros,

Részletesebben

A döntő feladatai. valós számok!

A döntő feladatai. valós számok! OKTV 006/007. A döntő feladatai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y x és

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Térgeometria II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Térgeometria II. Térgeometria II. 1. Hány részre osztja a teret a kocka lapjainak 6 síkja? Tekintsük a következő ábrát: Oldalnézetből a következő látjuk: Ezek alapján a teret 3 9 = 27 részre osztja fel a kocka lapsíkjai.

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2007. jnuár 27. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2007. jnuár 27. 11:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Feladatok: 1) A koordinátarendszerben úgy helyezzük el az egységkockát, hogy az origó az egyik csúcsba essék,

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Ábrahám Gábor A háromszög és a terület Feladatok. Feladatok

Ábrahám Gábor A háromszög és a terület Feladatok. Feladatok I. Klasszikus, bevezető feladatok Feladatok 1. Az alábbi feladatokban hányad része a satírozott rész területe az eredeti négyszög területének? a) Egy paralelogramma valamely belső pontját összekötjük a

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 <

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 < Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 011/01 Matematika I. kategória (SZKKÖZÉPISKOL) Döntő 1. Határozza meg az összes olyan egész számot, amely eleget tesz az egyenlőtlenségnek! log

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

6) Határozza meg a következő halmazokat! A= {deltoidok} {téglalapok}; B= {négyzetek} {húrnégyszögek} (2pont)

6) Határozza meg a következő halmazokat! A= {deltoidok} {téglalapok}; B= {négyzetek} {húrnégyszögek} (2pont) (8/1) Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis! a) Van olyan rombusz, amely téglalap is. (1pont) b) Minden paralelogrammának pontosan két szimmetriatengelye

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 011/01-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

& ODl9 BC; OAl9 [BCD] & OAl9 BC. A két állításból & BC9 [OAlDl] & BC9 AlDl. Hasonlóan

& ODl9 BC; OAl9 [BCD] & OAl9 BC. A két állításból & BC9 [OAlDl] & BC9 AlDl. Hasonlóan Tetréder 9 788 789 788 Legyenek gömb érintési pontji lpsíkokkl Al, Bl, Cl és Dl ODl9 [ABC] & & ODl9 BC; OAl9 [BCD] & OAl9 BC A két állításból & BC9 [OAlDl] & BC9 AlDl Hsonlón beláthtó, hogy AB9 ClDl, AC9

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória 1. ktegóri 1.1.1. Adtok: ) Cseh László átlgsebessége b) Chd le Clos átlgsebessége Ezzel z átlgsebességgel Cseh László ideje ( ) ltt megtett távolság Így -re volt céltól. Jn Switkowski átlgsebessége Ezzel

Részletesebben

A skatulya-elv alkalmazásai

A skatulya-elv alkalmazásai 1 A skatulya-elv alkalmazásai Számelmélet 1. Az első 4n darab pozitív egész számot beosztjuk n számú halmazba. Igazoljuk, hogy mindig lesz három olyan szám, amelyek ugyanabban a halmazban vannak és valamely

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

Kardos Montágh verseny Feladatok

Kardos Montágh verseny Feladatok Krdos Motágh versey Feldtok Az ABC háromszög hozzáírt köreiek középpotji O, P, Q, beírt köréek középpotj K Melyik állítás igz z lábbik közül? K z OPQ háromszög A) súlypotj B) mgsságpotj C) szögfelezőiek

Részletesebben

Elektronikus tananyag MATEMATIKA 10. osztály II. félév

Elektronikus tananyag MATEMATIKA 10. osztály II. félév Elektronikus tananyag MATEMATIKA 0. osztály II. félév A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok A párhuzamos szelők tétele TÉTEL: Ha egy szög szárait párhuzamos

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1/8 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk

Részletesebben

módosította: 38/2012. (VI.29.) önkormányzati rendelet 8/2013 (III.01.) önkormányzati rendelet 12/2015 (V. 04.) önkormányzati rendelet

módosította: 38/2012. (VI.29.) önkormányzati rendelet 8/2013 (III.01.) önkormányzati rendelet 12/2015 (V. 04.) önkormányzati rendelet Eger Megyei Jogú Város Önkormányzata Közgyűlésének 34/2009. (VI.26.) önkormányzati rendelete a városfejlesztéshez és város rehabilitációhoz kapcsolódó feladatok ellátásáról szóló módosította: 38/2012.

Részletesebben

Matematika záróvizsga 2002. Név:... osztály:...

Matematika záróvizsga 2002. Név:... osztály:... Mtmtik záróvizsg 00. Név:... osztály:... 1. Állíts növkvő sor kövtkző számokt! 1 0 ; ; 153;, ( 0, 5) ; 3,6 ;,8; + 4,4 ( ) 0,5 ;. Mlyik hiás? Ír l hlysn hiás átváltásokt, jókt pig pipál ki!...... 1 30 =

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete Néhány alapvető geometriai fogalom A háromszögekről.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2016. jnuár 16. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

1012/I. 1012/II. 1013.

1012/I. 1012/II. 1013. Húrnégyszögek, érintônégyszögek 7 0/ 0/ 0 008 Külsô pontól körhöz húzott érintôszkszok egyenlôk & A sokszög egy-egy csúcsáól induló érintôszkszok egyenlôk és két szomszédos oldl drji & Minden egyes érintôszkszól

Részletesebben

5.441 eft bg) térségi fejlesztési tanácstól az államháztartás központi alrendszerén belülről kapott EU-s forrásból származó pénzeszközből,

5.441 eft bg) térségi fejlesztési tanácstól az államháztartás központi alrendszerén belülről kapott EU-s forrásból származó pénzeszközből, Kozármisleny Város Önkormányzata Képviselő-testületének 5/2013. (V.15.) önkormányzati rendelete az önkormányzat és intézményei 2012. évi költségvetéséről 6/2012 (II.13.) Önkormányzati rendelet módosításáról

Részletesebben

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny. MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny. MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták) A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták) Javítási-értékelési útmutató Kérjük a javító tanárokat,

Részletesebben

A pillangótétel és más mesék (az elemi geometria néhány szép tétele és feladata) Bíró Bálint, Eger

A pillangótétel és más mesék (az elemi geometria néhány szép tétele és feladata) Bíró Bálint, Eger Kistérségi tehetséggondozás A pillangótétel és más mesék (az elemi geometria néhány szép tétele és feladata) Bíró Bálint, Eger 1. Bevezetés Az alábbiakban szereplő tételeket és feladatokat két téma köré

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Másodrendű felületek

Másodrendű felületek Azon pontok halmaza a térben, melyek koordinátái kielégítik az egyenletet, ahol feltételezzük, hogy az a, b, c, d, e, f együtthatók egyszerre nem tűnnek el. Minden másodrendű felülethez hozzárendelünk

Részletesebben

Legrövidebb utat kereső algoritmusok. BFS (szélességi keresés)

Legrövidebb utat kereső algoritmusok. BFS (szélességi keresés) Legrövidebb utat kereső algoritmusok Adott gráfban szeretnénk egkeresni két pont között a legrövidebb utat (a két pont távolsága érdekel). Ezt úgy fogjuk tudni megtenni, hogy közben megkapjuk az összes

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

b" ABS3. 2 AS-re A-ból s a

b ABS3. 2 AS-re A-ból s a 88 A háromszög nevezetes vonalai és körei 611 61 611 A szerkesztés: 1 O középpontú R sugarú k kör, benne c hosszúságú húr " A; B AB Thalész köre k T 3 B középpontú m b sugarú kör " k B 4 k B + k T = T

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. I. rész Fontos tudnivalók A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot

Részletesebben

(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)

(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde) 2. házi feladat 1.feladat a b)c d)e f) = a b)[c d) e f)] = = a b)[ecdf) fcde)] = abe)cdf) abf)cde) 2.feladat a) Legyen a két adott pontunk helyzete A = 0, 0), B = 1, 0), továbbá legyen a távolságok aránya

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 2005. november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 2005. november. I. rész Szászné Simon Judit, 005. november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 005. november. feladat I. rész Oldjuk meg a valós számok halmazán a x 5x

Részletesebben

D G 0 ;8 ; 0 0 " & *!"!#$%&'" )! "#$%&' (! )* +,-. /0 )* **! / 0 1 ) " 8 9 : 7 ; 9 < = > A! B C D E +,-./0! 1#! 2 3!./0

D G 0 ;8 ; 0 0  & *!!#$%&' )! #$%&' (! )* +,-. /0 )* **! / 0 1 )  8 9 : 7 ; 9 < = > A! B C D E +,-./0! 1#! 2 3!./0 D G 0"" @;8 < @;0 0"7@ & *!"!#$%&'" )! "#$%&'(! )*+,-./0)* **! / 0 1 ) 2 3 4 5 6 1 7 " 8 9 : 7 ; 9 < = > 9? @ A! B C D E +,-./0!1#! 2 3!./04456171#461,!FGHIJKLM 5 NO N"JPQRFGLSTUV@AW"9?@AW G X6YJK # #

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

Szélsőérték problémák elemi megoldása I. rész Izoperimetrikus problémák Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

Szélsőérték problémák elemi megoldása I. rész Izoperimetrikus problémák Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Szélsőérték problémák elemi megoldás I. rész Izoperimetrikus problémák uzson Zoltán, Székelyudvrhely Ebben dolgoztbn szélsőértékek számolásávl fogllkozunk, de csupán csk elemi módszereket hsználunk. Ez

Részletesebben

15. tétel: Összefüggések a háromszög oldalai és szögei közt

15. tétel: Összefüggések a háromszög oldalai és szögei közt Mgyr Eszter 15. tétel: Összefüggések hárszög ldli és szögei közt Eelt szintő érettségi tételek Definíiók: Hárszög súsi: hár ne kllineáris pnt. Jelölésük: A, B, C Hárszög ldli: súskt összekötı szkszk. Jelölésük:,,

Részletesebben

Trigonometria és koordináta geometria

Trigonometria és koordináta geometria Tantárgy neve Trigonometria és koordináta geometria Tantárgy kódja MTB1001 Meghirdetés féléve I. Kreditpont 4k Összóraszám (elm+gyak) 30+30 Számonkérés módja Gyakorlati jegy (2 zárthelyi dolgozat) Előfeltétel

Részletesebben

Geometria. 1. feladat

Geometria. 1. feladat Geometri 1. feldt A kerületi és középponti szögek tétele lpján LAB =AO B (mivel LAB érintőszárú kerületiszög). Hsonlón KAB =AO 1 B. A szimmetri mitt AO O 1 =O 1 O B és BO 1 O =O O 1 A. Így AO O 1 =O 1

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT ) dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből

Részletesebben

JAVASLAT NÓGRÁD MEGYEI ÖNKORMÁNYZAT KÖZGYŰLÉSÉNEK ELNÖKE. Az előterjesztés törvényes: dr. Barta László

JAVASLAT NÓGRÁD MEGYEI ÖNKORMÁNYZAT KÖZGYŰLÉSÉNEK ELNÖKE. Az előterjesztés törvényes: dr. Barta László NÓGRÁD MEGYEI ÖNKORMÁNYZAT KÖZGYŰLÉSÉNEK ELNÖKE 50-14/2012.ikt.sz. 3. sz. napirendi pont Az előterjesztés törvényes: dr. Barta László JAVASLAT a Nógrád Megyei Önkormányzat Közgyűlésének Hivatala alapító

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria 005-05 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám,

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám, Dobos Sándor, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005. november 1. feladat A 70-nek 80%-a mely számnak a 70%-a? I. rész. feladat Egy szabályos

Részletesebben

Újhartyán Város Önkormányzata Képviselő-testület 2015. szeptember 16-i ülésére 2. napirend:

Újhartyán Város Önkormányzata Képviselő-testület 2015. szeptember 16-i ülésére 2. napirend: E L Ő T E R J E S Z T É S Újhartyán Város Önkormányzata Képviselő-testület 2015. szeptember 16-i ülésére 2. napirend: Tárgy: Előterjesztő: Előkészítő: Szavazás módja: 2015. évi költségvetési rendelet módosítása

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú. Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MTEMTIK ÉRETTSÉGI TÍPUSFELDTOK KÖZÉPSZINT Koordináta-gomtria szürkíttt háttrű fladatrzk nm tartoznak az érinttt témakörhöz azonban szolgálhatnak fontos információval az érinttt fladatrzk mgoldásához! 1)

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

Anyagmozgatás és gépei. 3. témakör. Egyetemi szintű gépészmérnöki szak. MISKOLCI EGYETEM Anyagmozgatási és Logisztikai Tanszék.

Anyagmozgatás és gépei. 3. témakör. Egyetemi szintű gépészmérnöki szak. MISKOLCI EGYETEM Anyagmozgatási és Logisztikai Tanszék. Anyagmozgatás és gépei tantárgy 3. témakör Egyetemi szintű gépészmérnöki szak 3-4. II. félé MISKOLCI EGYETEM Anyagmozgatási és Logisztikai Tanszék - 1 - Graitációs szállítás Jellemzője: hajtóerő nélküli,

Részletesebben

Osztályozó vizsga kérdések. Mechanika. I.félév. 2. Az erőhatás jellege, jelölések, mértékegységek

Osztályozó vizsga kérdések. Mechanika. I.félév. 2. Az erőhatás jellege, jelölések, mértékegységek Osztályozó vizsga kérdések Mechanika I.félév 1. Az erő fogalma, jellemzői, mértékegysége 2. Az erőhatás jellege, jelölések, mértékegységek 4 A 4. 4 3. A statika I., II. alaptörvénye 4. A statika III. IV.

Részletesebben

2. A Kr. 2. helyébe a következő rendelkezés lép:

2. A Kr. 2. helyébe a következő rendelkezés lép: Tömörd Község Önkormányzat Képviselő-testületének 10/2013. (XI.08.) önkormányzati rendelete az önkormányzat 2013. évi költségvetéséről szóló 2/2013 (II.14.) önkormányzati rendelet módosításáról Tömörd

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

& 2r á 296, dm a csô átmérôje.

& 2r á 296, dm a csô átmérôje. 96 Henge 8 cm 5 cm 7 07cm csô 5 5 006 b 80 dm és b 80 b, 8 8 mgsság - - 007 m á 7, m á 96, dm csô átméôje 008 á 77, dm z lpkö sug, m á 8, dm z edény mgsság 009 t p m $ t p, vlmint t p m m m t p t p V m

Részletesebben

Újhartyán Község Önkormányzata Képviselő-testület 2012. szeptember 20.-i ülésére 9. napirend. Tóth Antal pénzügyi Bizottság elnöke

Újhartyán Község Önkormányzata Képviselő-testület 2012. szeptember 20.-i ülésére 9. napirend. Tóth Antal pénzügyi Bizottság elnöke E L Ő T E R J E S Z T É S Újhartyán Község Önkormányzata Képviselő-testület 2012. szeptember 20.-i ülésére 9. napirend TÁRGY: Előterjesztő: Előkészítő: Szavazás módja: ÖNKORMÁNYZAT 2012. ÉVI KÖLTSÉGVETÉSI

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

Szinusz- és koszinusztétel

Szinusz- és koszinusztétel Szinusz- és koszinusztétel. Htározzuk meg z oldlk rányát, h α 0, β 60. α + β + γ 80 γ 80 α β 80 0 60 90 A szinusztételt felhsználv z oldlk rány: zz : : : sin β : sin 0 : sin 60 : sin 90 : : : : : :. Htározzuk

Részletesebben