Szélsőérték problémák elemi megoldása I. rész Izoperimetrikus problémák Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

Átírás

1 Szélsőérték problémák elemi megoldás I. rész Izoperimetrikus problémák uzson Zoltán, Székelyudvrhely Ebben dolgoztbn szélsőértékek számolásávl fogllkozunk, de csupán csk elemi módszereket hsználunk. Ez zt jelenti, hogy teljesen mellőzzük mtemtiki nlízis eszközeit. Ez egyes feldtok esetén nem is hsználhtó, más esetben inkább z elemi módszerek szépségeire, sokszínűségére és változtosságár fektetjük hngsúlyt. A szélsőérték foglm gyűjtő foglom, legngyobb (mximum) és legkisebb (minimum) értékek közös megnevezésére hsználják. Ezek értelmezése következő:. Értelmezés: Az f : D R R függvénynek M = f ( ) globális mximum (egyszerűen mximum), h f ( x) M minden x Desetén.. Értelmezés: Az f : D R R függvénynek m = f (b) globális minimum (egyszerűen minimum), h f ( x) m minden x Desetén. Amennyiben z egyenlőtlenségek D hlmznk csk egy részhlmzán teljesülnek, szélsőértékek csk lokáli vgy helyi szélsőértékek. Egy függvénynek lehet több lokális minimum vgy mximum is, és lokális mximum kisebb is lehet mint lokális minimum. A lokális mximum közül legngyobb függvény globális mximum, lokális minimumok közül legkisebb függvény globális minimum. A szélsőérték problémák közül egyik legrégibb problémák z úgynevezett izoperimetrikus problémák. Az izoperimetrikus szó z izo = állndó, periméter = kerület szóösszetételből ered. A problém következő: A síkbeli izoperimetrikus tétel: ) Az dott kerületű síklkztok közül kör legngyobb területű. b) Az dott területű síklkztok közül kör legkisebb kerületű. Euklidész ki i.e. 00 körül élt, már ismerte tégllpok izoperimetrikus problémájánk megoldását, mely vlószínűleg már előtte is ismert volt. Arkhimédesz (i.e. 87-), ismerte z izoperimetrikus tétel állítását. Időszámításunk kezdete táján geometrii szélsőértékek tnulmányozás már meglehetősen fejlett volt. udomásunk vn rról, hogy Zenodórosz, ki kb. i.e. 00 és i.sz. 90 között élt, írt egy Izoperimetrikus lkztok című könyvet, ennek sjnos egyetlen példány sem mrdt hátr, de z ő eredményeit újr ismertette és bebizonyított z lexndrii Ppposz i.sz. 00 körül. A mond szerint z izoperimetrikus problém eredete következő: Dido, yrosz királyánk lány volt. Ngybátyjához, Acerbászhoz ment feleségül, kit zonbn mesés vgyon mitt hmrosn meggyilkoltk. Dido ekkor Acerbász kincseivel együtt Ciprusr menekült, mjd innen tovább hjózott Afrik Szicíliához közeli prtjir. Elment vidék urlkodójához és elmondt neki, hogy szeretne tengerprt mentén egy földdrbot vásárolni, de nem ngyobbt, mint mekkorát egy mrhbőrrel körül tud keríteni. Az urlkodó mosolyogv beleegyezett szépséges királynő kérésébe, sőt ngylelkűen még meg is jándékozt egy jókor mrhbőrrel. Az okos Dido keskeny csíkokr vágt zt szét és szeleteket összecsomózv olyn hosszú kötélhez jutott, melyikkel jóvl ngyobb (tengerbenyúló) földterületet lehetett elkeríteni tengerprton, mint mekkorát z urlkodó elképzelt. Így lpított meg Krthágó virágzó városát, minek később ő lett királynője. A középkorbn számos neves mtemtikus fogllkozott ezzel témkörrel. Néhány híres nevet említve: Descrtes ( ), Jcob Bernoulli (65-705), Johnn Bernoulli (667-78), Euler (707-78), Lgrnge (76-8), és mások Kétségtelenül Jcob Steiner (796-86) svájci mtemtikus volt z, kinek munkásság korábbi eredmények betetőzését jelentette, szintetizált korábbi eredményeket, új ötletekkel gzdgított e problémkört, de mindegyikük (kárcsk Zenodórosz is), nyilvánvlónk trtott és nem bizonyított zt, hogy létezik megoldás ennek problémánk. (v.ö. [], 9. oldl). Dirichlet ( ) vette észre először z izoperimetrikus tétel eddigi bizonyításánk hiányosságát, és csk 870-ben, Weierstrss (85-89) küszöbölte ki ezt, ugynis szigorún bebizonyított kör nevezetes szélsőérték tuljdonságát. Ezek után számos más

2 mtemtikus fogllkozott problém különböző bizonyításávl (v. ö. [], 6. oldl), de mindmáig egyetlen igzán elemi bizonyítás sem született. A síkbeli izoperimetrikus tétel bizonyításánk menete következő: ) A Weierstrss tétel segítségével belátjuk, hogy z dott k kerületű n oldlú sokszögek között létezik mximális területű, h n rögzített. ) Belátjuk, hogy z zonos hosszúságú, n oldlú, zárt sokszögvonlk közül szbályos sokszög területe legngyobb. ) Belátjuk, hogy z dott k kerületű, szbályos sokszögek területének vn szuprémum, midőn befutj N-et, k kerületű kör területe. Mivel erre nincs elemi bizonyítás, dolgoztunkbn ezt nem is muttjuk be, ellenben megjegyezzük, hogy bizonyításnk számos láncszeme elemi, és ezeket részben fellelhetjük következő feldtok bizonyításábn. ) A háromszög izoperimetrikus tételei: ) Adott kerületű háromszögek közül z egyenlő oldlúnk legngyobb területe. b) Adott területű háromszögek közül z egyenlő oldlúnk legkisebb kerülete. + b + c Bizonyítás: Jelölje, b, c z ABC háromszög megfelelő oldlink hosszát, és legyen p = háromszög félkerülete, és területe. Ekkor Heron képlete szerint = p( p )( p b)( p c). + z De számtni és mértni közepeknek z xyz egyenlőtlensége lpján felírhtó, hogy ( p ) + ( p b) + ( p c) p = p( p )( p b)(p c) p = vgyis p (*) 7 Mivel (*) egyenlőtlenségben z egyenlőség =b=c esetben áll fenn, ezért két tétel állítás nyilvánvló, sőt mi több, z ) esetben h p állndó, kkor állndó, kkor pmin =. 9 mx = p, b) esetben pedig h ) A négyszög izoperimetrikus tételei: ) Adott kerületű négyszögek közül négyzetnek legngyobb területe. b) Adott területű négyszögek közül négyzetnek legkisebb kerülete. Bizonyítás: Jelölje, b, c, d z ABCD négyszög megfelelő oldlink hosszát, és legyen + b + c + d p = négyszög félkerülete, és területe. A négyszögek esetében is fennáll Heron B + D képlethez hsonló összefüggés: = ( p )( p b)( p c)(p d) bcd cos. + z + t De számtni és mértni közepeknek z xyzt egyenlőtlensége lpján felírhtó, ( p ) + ( p b) + ( p c) + (p d) p hogy ( p )( p b)(p c)(p d) = (**) B + D Egyenlőség kkor áll fenn, h először is cos = 0 B + D = 80 vgyis négyszög körbeírhtó, továbbá még = b= c= d is kell teljesüljön. Ezért (**) egyenlőtlenség lpján két állítás

3 bizonyítás nyilvánvló, sőt mi több, z ) esetben h p állndó, kkor pedig h állndó, kkor p min =. nulságos külön megvizsgálni következő sjátos esetet: mx p =, b) esetben ) A tégllp izoperimetrikus tételei: ) Adott kerületű tégllpok közül négyzetnek legngyobb területe. b) Adott területű tégllpok közül négyzetnek legkisebb kerülete. Bizonyítás: Jelöljük, x, y-nk tégllp méreteit, -vel területét, K-vl kerületét. ehát =xy és K K=(x+y). Az xy középrányos egyenlőtlenség lpján zonnl dódik, hogy. És mivel z egyenlőség csk x=y esetben áll fenn, ezzel beláttuk z állításinkt. ) Keressük meg egy dott R sugrú kör köré írt egyenlő szárú trpéz kerületének minimumát! Megoldás: A mellékelt ábr szerint jelölje x illetve y csúcsok távolságát z érintési pontoktól. Meghúzv trpéz két mgsságát, Pitgorsz tétele lpján ( R) = ( ) ( x y) honnn xy = R. Ezzel feltétellel meg kell állpítnunk p=(x+y) trpézkerület legkisebb értékét. Mivel ezért p 8 xy, R p 8R és egyenlőség z x = y = R esetben áll fenn, mikor is trpéz négyzetté lkul, és ekkor pmin = 8R. 5) Mekkor minimális kerületű rombusz oldl, h beírhtó kör sugr R? Megoldás: A mellékelt ábr szerint jelölje x illetve y csúcsok távolságát z érintési pontoktól. Mivel rombusz átlói merőlegesek egymásr, ezért mgsságtétel értelmében R = xy xy = R. Ezzel feltétellel meg kell állpítnunk p=(x+y) rombuszkerület p legkisebb értékét. Mivel xy, ezért R p 8R és 8 egyenlőség z x = y = R esetben áll fenn, mikor is rombusz négyzetté lkul, és ekkor pmin = 8R. 6) Htározzuk meg z R sugrú körbe írt tégllpok közül zt, melyiknek legngyobb területe! Megoldás: A tégllp oldlit jelöljük x illetve y-nl. Felírhtó, hogy = R. ovábbá h tégllp területe, kkor = xy. Képezzük következő függvényt: f ( x, y) x y x ( R x ) x R x = = = +. Ekkor z x = t jelöléssel, z f ( t) = t + R t függvény minimumát kell b meghtározni, mit t = = R esetben vesz fel, honnn x = R és így y = R mi zt jelenti, hogy tégllp kkor veszi fel legngyobb területet, mikor éppen négyzet.

4 7) Htározzuk meg, hogy dott négyzetbe írt négyzetek közül melyiknek minimális területe! Megoldás: Legyen z eredeti négyzet oldl. A mellékelt ábr jelöléseit hsználv felírhtjuk, hogy beírt négyzet oldlhossz egyenlő x + ( x) = x x +, ezért beírt négyzet területe = x x + minek minimum vn, és ezt minimumot b x = = esetben veszi föl, vgyis kkor, mikor beírt négyzet csúcsi éppen oldlfelező pontok. 8) Htározzuk meg z dott szbályos háromszögbe írt tégllpok közül zt, melynek legngyobb területe! Megoldás: A szbályos háromszög oldlhossz legyen, továbbá tégllp méretei pedig x és y. A mellékelt ábr jelöléseit hsználv számítsuk ki tégllp y méretű oldlhosszát: x y = ( x) = ( x). ehát tégllp területe = x( x) = x + x. Ennek b másodfokú kifejezésnek mximum vn, és ezt x = = esetben veszi föl, mikor is vgyis tégllp vízszintes oldl középvonl, függőleges oldl szbályos háromszög mgsságánk felével egyenlő. y = 9) Az R sugrú negyedkörbe tégllpot írunk úgy, hogy egyik csúcs negyedkör középpontjábn, másik csúcs negyedkörön legyen. Mikor legngyobb ennek területe? Megoldás: A mellékelt ábr jelöléseit hsználv felírjuk tégllp területét: = ( R x)( R y) és ugynkkor (R x) + (R y) = R Az + b válsztássl mikor is b egyenlőtlenség lpján = R x, b = R y R dódik, egyenlőség = b vgyis x= y esetben áll fenn R R x = R y = vgyis tégllp tuljdonképpen négyzet. 0) Adv vn egy háromszög lpj és k kerülete. Mikor mximális terület? k + b + c. Megoldás: A Héron képlete szerint, h p = = háromszög félkerülete, kkor = p( p )( p b)( p c). Ebből állndó z és p ezért írjuk területet így: = p( p ) ( p b)( p c). Most lklmzzuk xy egyenlőtlenséget z x = p b

5 p b + p c és y = p c válsztássl. Ekkor ( p b)( p c) = = állndó. ehát p( p ) = állndó. Egyenlőség kkor áll fenn, h x=y, vgyis b= c, vgyis háromszög egyenlő szárú.. Megoldás: Rjzoljunk olyn ellipszist, melynek fókuszpontji z dott lppl egyenlő távolságr vnnk egymástól, továbbá ngytengelye háromszög kerületének és lpjánk különbsége. Ezen z ellipszisen helyezkedik el háromszög hrmdik csúcs, és legngyobb mgsság nyílván vlón z ellipszis tető- illetve mélypontjához trtozik, tehát legngyobb területű z háromszög, mely egyenlő szárú. ) Bizonyítsuk be, hogy z egyenlő kerületű szbályos sokszögek közül nnk ngyobb területe, melyiknek több oldl vn! Megoldás: Legyen O szbályos sokszög középpontj, k kerülete, és rjzoljuk meg z egyik oldlához trtozó OAB egyenlő szárú háromszöget, melynek mgsság legyen m, középpontnál levő csúcsszög fele pedig n. Így szbályos sokszög területe k k k k = n n n n m n = = tg. Legyen most két egyenlő tg n n kerületű, de különböző n illetve noldlszámú szbályos sokszög. Ezek területe kkor k = n illetve tg n k = n. Azt kell megmuttnunk, hogy h például n n tg n >, kkor >. Mindenek előtt szögezzük le, hogy n, tehát α = és 0 < α = α. n n α α tgα tgα Nyílván elegendő bizonyítni, hogy > <. Az utóbbi egyenlőtlenség helyes tgα tgα α α voltát beláthtjuk, h megrjzoljuk tgx függvény grfikus képét 0, intervllumon, hol függvény görbe lulról domború (konvex), így z O-t ( α, tgα ) ponttl összekötő húr ltt lesz z O-t ( α, tgα ) ponttl összekötő húrnk, vgyis z első húr egyenesének z iránytngense kisebb tgα tgα mint második egyenes iránytngense, vgyis <.Ezzel igzoltuk z állításunkt. α α Eredményül z is következik, hogy z dott kerületű, különböző oldlszámú szbályos sokszögek között nincsen mximális területű. Ezzel befejezzük z izoperimetrikus típusú szélsőértékek vizsgáltát és megjegyezzük, hogy dolgoztunk következő részében geometrii jellegű problémák szélsőértékeivel fogllkozunk. 5