MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Átírás

1 MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Mtemtik. évfolym TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV

2 A kidvány KHF/86-/008. engedélyszámon időponttól tnkönyvi engedélyt kpott Eductio Kht. Kompetencifejlesztő okttási progrm kerettnterv A kidvány Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Opertív Progrm... központi progrm (Pedgógusok és okttási szkértők felkészítése kompetenci lpú képzés és okttás feldtir) keretében készült, sulinov okttási progrmcsomg részeként létrejött tnulói információhordozó. A kidvány sikeres hsználtához szükséges teljes okttási progrmcsomg ismerete és hsznált. A teljes progrmcsomg elérhető: címen. Mtemtik szkmi vezető: Oláh Ver Szkmi tnácsdók: Cstár Ktlin, Árváné Dob Mári Alkotószerkesztő: Oláh Judit Grfik: Drbos Noémi Ágnes, dr. Fried Ktlin Lektor: Pálmy Lóránt Felelős szerkesztő: Teszár Edit H-AMAT0 Szerzők: Csákvári Ágnes, Drbos Noémi Ágnes, Lövey Év, Vidr Gábor Eductio Kht Tömeg: 90 grmm Terjedelem:,8 (A/5 ív) A tnkönyvvé nyilvánítási eljárásbn közreműködő szkértők: Tntárgy-pedgógii szkértő: Kóny István Tudományos szkmi szkértő: dr.mrosváry Erik Technológii szkértő: Ábrhám Júlinn

3 trtlom. modul: Vlószínűség, sttisztik (Lövey Év) modul: Htványozás kiterjesztése, htványfüggvény (Csákvári Ágnes és Drbos Noémi Ágnes) modul: Eponenciális függvények és egyenletek (Csákvári Ágnes és Drbos Noémi Ágnes) modul: A logritmus (Csákvári Ágnes és Drbos Noémi Ágnes) modul: Vektorok (Vidr Gábor) A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek tnnyg megértésében. A FELADATOK szintjét sorszám előtti házikó muttj: lpszintű feldtok: középszintű feldtok: emelt szintű feldtok: Ahol nincs ilyen jelzés, zt példát mindenkinek jánljuk.

4

5 . MODUL vlószínűség, sttisztik Készítette: Lövey Év

6 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Kombintorik (ismétlés); permutációk Mintpéld Kt héten elért osztályztokról következőképpen számolt be szüleinek: Kptm egy csillgos ötöst, egy ötöst, egy négyes lát, egy négyest és egy négyes fölét. Tudjuk, hogy osztályztit németből, történelemből, mtemtikából, informtikából és testnevelésből kpt. Számoljuk ki, hogy hányféleképpen szerezhette ezeket z osztályztokt z egyes tárgykból! Rögzítsük tntárgyk sorrendjét, és nézzük meg, hányféleképpen írhtjuk lájuk z 5 különböző osztályztot: német történelem mtemtik informtik testnevelés 5* 5 / \ 5* 5 / \ 5 / \ / \ / A német osztályztot még öt különböző közül válszthtjuk. H pl. német osztályzt -es volt, történelemből már csk lehetőség mrd, h z 5*-re sikerült, kkor mtemtik jegyre már csk lehetőség mrd. H z első tárgyból z ötféle jegy közül válszthtunk, kkor másodiknál már csk közül, bármit is válsztottunk z elsőnél. Így z első és második tárgyhoz összesen 5 = 0 lehetőségünk vn. Hozzávéve hrmdik, negyedik és ötödik tárgyt, megoldást z 5 = 0 számítás dj. Az öt lehetséges osztályzt bármelyik sorrendjét z elemek permutációjánk hívjuk. Az öt elem összes lehetséges sorrendje tehát 0. Áltlábn: Helyezzünk el n különböző dolgot egy n rekeszből álló dobozb: Az első rekeszbe n különböző elem közül válszthtunk, de másodikb már csk eggyel kevesebből, és így tovább Az utolsób már csk lehetőség mrd.

7 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 7 Mintpéld A tnárok hldási nplób csk ötöst, négyest, hármst, kettest és egyest írnk. Számítsuk ki, hogy ebben z esetben hány lehetőség vn Kt osztályztink beírásár! Az első mintpéldábn megkülönböztettük következő lehetőségeket: 5* 5 / \ 5* 5 / \ 5* 5 / \ 5* 5 \ / 5* 5 \ / 5* 5 \ / Ezek szám zért! = 6, mert ennyiféleképpen rendezhetem sorb három különböző négyest, \ -t, -est és / -t. H első lépésben csk négyesek különböző jelöléseitől tekintünk el, kkor ebből 6 lehetőségből csk mrd: 5* 5 / \ Tehát z első mintpéldábn szereplő 0 5* 5 / \ 0 0 lehetőségből már csk = = 0 mrd. 5* 5 / \! 6 5* 5 \ / 5* 5 \ / H most csillg jelölést is letöröljük z 5* 5 \ / ötösről, kkor bármely két eddig különböző lehetőség csk egynek tekinthető. 5* 5 5 5* Így z eddigi 0 sorrend felére változik, 0 lesz. Összefogllv: n = 5 osztályztról vn szó, ezek közül k = zonos (négyesek) és k = szintén 5! 0 zonos (ötösök). Ezek lehetséges sorrendje tehát: = = 0.!! 6 H z n elem nem mind különböző, vgyis vn köztük k, k, k m zonos, kkor ismétléses permutációról beszélünk. n! Ezek szám:, hol k k... km n k! k!... k! m

8 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintpéld Egy henger lkú forgó hirdetőtáblár plkátot krnk elhelyezni egymás mellé. Hány különböző elrendezés lehetséges? Jelöljük négy plkátot A, B, C és D betűkkel. Terítsük ki henger lkbn összergsztott plkátokt (természetesen kiterítéskor plkátot nem vághtunk ketté)! A négy betűt! sorrendben lehetne felsorolni, de z lábbi elrendezés ugynzt képet eredményezi: A B C D B C D A C D A B D A B C! Így megoldások szám =! = 6 lesz. Ciklikus permutációról beszélünk, h n különböző elemet úgy rendezünk sorb, hogy nincs első és utolsó elem. Két permutáció kkor számít különbözőnek, h vn olyn tgj permutációnk, melynek jobb vgy bl oldli szomszédj nem zonos. n elem ciklikus permutációink szám: (n )!. Feldtok. Műkorcsolyázó versenyen nőknél junior rövid progrmnk z lábbi előírt elemeket kell trtlmzni: (részlet z ISU MŰKORCSOLYA SZABÁLYKÖNYVéből):

9 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 9 ) dupl Ael Pulsen; b) egy dupl vgy tripl Lutz, melyet közvetlenül megelőz összekötő lépés vgy hsonló szbdkorcsolyázó mozdultsor; c) egy ugráskombináció két dupl, vgy egy dupl és egy tripl ugrásból; d) beugrós libelle; e) hátr vgy oldlr hjlós forgás; f) forgáskombináció, egy lábváltássl és leglább két testhelyzetváltássl (ülő, mérleg, álló helyzet vgy ezek vriációj); g) spirál lépéssorozt; h) lépéssorozt (egyenes, kör-, ill. kígyóvonl lkú). Hányféleképpen építheti fel vlki kűrjét ezeket z elemeket figyelembe véve, h mindegyikből csk egyet-egyet épít be?. Tudjuk, hogy 006 utolsó ötöslottó sorsolásán kihúzott számok emelkedő sorrendben következők voltk: 5,, 5, 6, 76. Hány különböző sorrendben történhetett meg ezeknek számoknk kihúzás?. 5 Mlév, KLM, Lufthns, Air Frnce, 5 British Airwys, AUA gép várkozik felszállásr Ferihegy II. repülőtéren. Hány különböző sorrendben engedélyezhetik z indulásukt, ) h minden jártot különbözőnek tekintünk? b) h csk gépek üzemeltetői szerint különböztetjük meg z egyes repülőket?. Az egyik metróállomáson következő információkt közli egy végtelenített fényreklám: KÉRJÜK A BIZTONSÁGI SÁVOT SZABADON HAGYNI! A METRÓN CSAK ÉRVÉNYES MENETJEGY BIRTOKÁBAN UTAZHAT. VIGYÁZZON ÉRTÉKEIRE! EGY VONALJEGY CSAK 0 PERCES UTAZÁSRA JOGOSÍT! Hány lényegesen különböző sorrendje lehet ezeknek z információknk szlgon? 5. Egy brátodnk CD-t állítsz össze 0 kedvenc dlából (5 lssú és 5 gyors). ) Hányféleképpen teheted ezt meg? b) Hányféleképpen teheted ezt meg, h zt krod, hogy z első szám mindenképpen gyors, z utolsó pedig lssú legyen?

10 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE c) Hányféleképpen teheted ezt meg, h zt krod, hogy gyors és lssú számok váltogssák egymást? 6. A bölcs király minden évben megjutlmz 5 tudóst. Kioszt Nemzet Bölcse, Nemzet Okos és Nemzet Tudós kitüntetést. Az öt jutlmzndó személyét már eldöntötték (köztük volt Mindentudó Jkb is), de tnácsnoki mind különböző jvsltot dtk rr, hogyn osszák meg z 5 tudós között kitüntetéseket, mi több: pontosn nnyin voltk, hogy minden lehetőségre esett egy szvzt. Ezért király úgy döntött, felvesz még egy tnácsnokot, így biztosn lesz leglább kettő, ki zonos véleményen vn. ) Hány tnácsnok lesz így királynk? b) Hányn gondolták eredetileg úgy, hogy z egyik Nemzet Okos kitüntetés Mindentudó Jkbnk jár? 7. A körtáncot tnuló lányok minden próbán más-más sorrendben állnk fel. 0 próbájuk volt. Leglább hányn táncolnk?

11 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA II. Kombinációk, vriációk Mintpéld Egy vetélkedő 00 fős közönségéből véletlenszerűen kiválsztott embert egyformán krnk megjutlmzni. Hányféleképpen tehetik ezt meg? Képzeljük el, hogy z elődás előtt 0 perccel z ügyelő vlmelyik három szék lá piros cédulát rgszt; ezek lesznek kiválsztottk. Mivel jutlmk egyformák, lényegtelen, hogy három cédulát milyen sorrendben helyezte el. A 00 szék közül kell tehát hármt kiválsztni, és kiválsztás sorrendje közömbös. Mivel 97 cédul nélküli és 00! cédulás hely vn, ezért z összes lehetőségek szám = = !! H n különböző elemből k drbot kell kiválsztni úgy, hogy sorrend nem számít, kombinációról beszélünk. (k n) n! Ezek szám, melyet egy szimbólumml is jelölünk: k! ( n k)! n! n = (Olvsás: n ltt k). k! ( n k)! k 00! A fenti péld esetén 97!! 00 felírhtó lkbn is. Mintpéld 5 Egy pályázt eredményhirdetésére z első 0 helyezettet hívták meg. Az első helyezett pénzjutlmt, második utzást, hrmdik elektronikus berendezést, többiek pedig oklevelet kptk. A meghívottk közül hányféleképpen kerülhettek ki zok, kik tárgyjutlmt kptk?. megoldás: Az első helyezettet 0, másodikt már csk 9, hrmdikt pedig mrdék 8 meghívottból lehet kiválsztni, tehát jutlmzottk névsor = 70 -féle lehet.

12 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. megoldás: 0 A tárgyjutlmt kpó 0 helyezett közül -féleképpen válszthtó ki. Mivel nyeremények nem egyformák, ezért ezeket!-féleképpen lehet szétosztni. Így z első helyezettet 0 0!! = = = 70 -féleképpen jutlmzhtták. 7! H n különböző elemből k-drbot krunk kiválsztni ( k n ), de sorrend is számít, kkor vriációról beszélünk. n! n Ezek szám, vgy másképpen: k!. ( n k )! k Mintpéld 6 Mgyrországon rendszámok most betűből és számjegyből állnk. A betűk ékezet nélküliek, egyjegyűek. Hány utót jelölhetünk így különböző rendszámml? Először vizsgáljuk meg, hogy hány drb betűs soroztot tudunk felírni. Egyjegyű, ékezet nélküli betűből 6 vn (bcdefghijklmnopqrstuvwyz). Ezekből rendszámot készíthetünk úgy, hogy minden helyre 6 betű közül válszthtunk. Itt lehetőségek szám rész minden krkterére 0 számjegyből válszthtunk, tehát itt 6. A számjegyekből álló 0 lehetőség lesz. Te- hát 6 0 = = utót tudnk így ellátni különböző rendszámml. (Itt nem háromjegyű számokról vn szó, tehát z első számjegy is lehet 0.) H n különböző elemből k drbot krunk kiválsztni mjd ezeket sorb rendezni, de egy elemet kár többször is válszthtunk, kkor ismétléses vriációról beszélünk. Ezek szám n k.

13 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA Feldtok 8. Egy kézilbdcsptnk egyetlen kpus vn. A cspt fővel utzik egy meccsre. Hányféleképpen tudj kiválsztni z edző 6 kezdőjátékost? 9. A történelem érettségi kezdetén z első vizsgázó még mind 0 tétel közül húzht. Hány különböző húzás lehetséges? 0. H tudjuk, hogy z érettségi első npján nem volt bukás, kkor felelő eredményei hányfélék lehetnek mgyrból?. Hány olyn 6 jegyű szám vn, melyben szerepel -es számjegy?. A szinkronugrást 9 pontozóbíró figyeli. - bíró z egyes versenyzők mozgását pontozz, 5 pedig szinkronitásr ügyel. H előre ismert pontozóbírák személye, hányféleképpen oszthtó ki nekik feldt?. Nyolc fős társság hullámvsútr száll. Egymás mögötti helyekre ülnek párosávl. ) Hányféleképpen helyezkedhetnek el? b) Hányféleképpen ülhetnek le kkor, h csk z számít, ki kinek szomszédj és milyen messze ül vont elejétől?. A szlgvtó bálon.b osztály 0 lány is táncol nyitótáncbn. A ruhpróbán két fülke áll rendelkezésükre, egy két és egy személyes. Hányféleképpen juthtnk fülkébe próbálni, h ) csk z számít, hogy előbb vgy később kerülnek sorr? b) h z is számít, hogy két vgy háromszemélyes fülkében próbálnk?

14 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Vlószínűségszámítás Az elmúlt években sokszor tlálkoztunk már vlószínűség foglmávl. A vlószínűségszámítás rr próbál válszt dni, hogy bizonyos véletlen események milyen eséllyel következnek be. Ahhoz, hogy ezt vizsgálhssuk, sok információr vn szükségünk. Az információk megszerzéséhez dtokt kell gyűjteni. Az dtgyűjtést vlószínűségszámításbn kísérletnek is mondjuk kkor, h z tetszőlegesen sokszor, ugynolyn feltételek mellett végezhető el, és többféle kimenetele lehet. A kísérlet lehetséges kimeneteleit eseményeknek (bizonyos esetekben elemi eseményeknek) nevezzük. Dobjunk fel egy kockát egymás után leglább 00-szor, és jegyezzük fel dobások eredményét. A táblázt egy ilyen dobássorozt kimenetelét muttj: Vizsgáljuk meg, hogyn változik z -es dobás gykoriság, hogy dobások szám nő: -es dobások reltív gykoriság 0,5 0, 0,5 0, 0, Az z érték, mi körül dobás gykoriság ingdozik és mit vártunk is, z = 0, 6 & érték. 6 Azt számot, mely körül egy A esemény reltív gykoriság ingdozik, z illető esemény vlószínűségének nevezzük; jelölése: P(A).

15 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 5 Tehát nnk vlószínűsége, hogy egy szbályos dobókockávl egyest dobunk: 6. Ugynezt z értéket kptuk voln kkor is, h nnk vlószínűségét keressük, hogy kettest, hármst, négyest, ötöst vgy htost dobunk. Legyen z A esemény, hogy -est dobunk; A esemény, hogy -est dobunk A esemény, hogy -st dobunk; A 5 esemény, hogy 5-öst dobunk; A esemény, hogy -est dobunk A 6 esemény, hogy 6-ost dobunk. Mivel kísérletünknek ezeken kívül más kimenetele nem lehet, és vlmelyik esemény biztosn bekövetkezik, ezeknek z elemi eseményeknek vlószínűsége egyenlő. Ekkor z A, A, A, A, A 5, A 6 események teljes eseményteret lkotnk. Ilyen események körében vizsgálódott P. S. Lplce, ki vlószínűségszámítás klsszikus modelljét lkott meg. Ő egy esemény bekövetkezésének vlószínűségét így dt meg: P ( A) = kedvező esetek szám összes eset szám Lplce, Pierre-Simon (ejtsd: lplsz) (79 87) frnci mtemtikus, fizikus és csillgász volt. Egy ktoni iskolábn tnár volt Npóleonnk, mjd rövid ideig belügyminisztere is. Nevéhez fűződik z első monográfi megírás vlószínűség témkörében 8- ből. Címe mgyrul: A vlószínűségszámítás nlitiki elmélete. Mintpéld 7 A Ctn telepesei nevű társsjátékbn z egyes mezők -től -ig számml vnnk jelölve. A játékosok két dobókockávl dobnk, mjd nnk mezőnek jövedelméből részesülnek, mely megfelel dobókockák áltl muttott számok összegének. A hetes szám rblót jelöli. Minek ngyobb vlószínűsége: nnk, hogy 0-es mező termésének jövedelméből részesül egy játékos, vgy nnk, hogy rblónk megfelelő összeget dobjuk? I. H két kockávl dobunk, dobott számok összege -féle lehet (-től -ig), ezek közül egyik 0 és másik 7. Egyik lehetséges válsz z lenne, hogy kedvező esetek szám mindkét esetben, z összes lehetséges kimenetelek szám pedig, így két esemény zonos, vlószínű- séggel fordul elő. II. Gondosbb vizsgált esetén látjuk, hogy két kockávl dobás esetén különböző összegek így lkulhtnk:

16 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE + = + 5 = = = 0 + = + = = = + = + = 6 + = = + = + 6 = = 9 + = = = 9 + = 5 + = = 0 A lehetséges összegek szám, ezek közül 0-es mezőnek kedvező esetek szám, így P(0-es mező)=. A rbló számár kedvező összegek szám, így keresett há- nydos P(rbló)=. III. Képzeljük el, hogy két különböző színű kockávl dobunk, ekkor ilyen kimenetelek lehetségesek: Láthtó, hogy most z összes esetek szám 6, kedvező eseteké pedig, illetve 6, így vlószínűségek 6 P(0-es mező)= =, illetve P(rbló)= = A három gondoltmenettel három különböző eredményt kptunk. Az első szerint zonos két esemény vlószínűsége, második szerint nnk vlószínűsége, hogy rbló léphet színre, másfélszer kkor, mint nnk, hogy 0-es mező előnyeit élvezhetnénk, hrmdik szerint pedig rbló esélye kétszer kkor. Melyiknek lehet hinni? Mi okozz különbséget? Láthtjuk, hogy vlószínűség kiszámításkor kedvező esetek szám összes eset szám képlet csk kkor lklmzhtó, h gondosn htározzuk meg kedvező esetek és összes esetek számát z dott feldtbn. Ezt z elemi események vizsgáltávl tehetjük meg. Annk vlószínűsége, hogy két kock dobásávl pontot érjünk el, nem ugynkkor, mint nnk, hogy -et, mert két pont csk +-ként, míg pont + vgy +-ként is létrejöhet. Annk vlószínűsége, hogy két kockávl +-t, vgy +-t dobunk, nem ugynkkor, mert z + kétféleképpen is létrejöhet, h piros kockávl dobunk -est, feketével -st, vgy fordítv. Tehát első két módszerünk hibás eredményt hozott, mert mindkét esetben elkövettük zt hibát, hogy számlálóbn és nevezőben olyn eseményeket számoltunk össze, melyek kimenetele nem zonos vlószínűségű.

17 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 7 A hrmdik megoldásbn szereplő elemi események szám 6, közülük mind zonos vlószínűséggel következik be, így P(rbló)= > P(0-es mező)=, tehát rbló színrelépésének vlószínűsége ngyobb. 6 Mintpéld 8 Egyetlen dobókockávl dobunk. Legyen z A esemény, hogy párost dobunk, B esemény, hogy -nél kisebb számot dobunk. Két dobókockávl dobunk, egy pirossl és egy kékkel. Legyen z A esemény, hogy párost dobunk piros kockávl, B esemény, hogy -nél kisebb számot dobunk kék kockávl. Soroljuk fel kísérletek lehetséges kimeneteleit!,,,,5,6,,,,5,6,,,,,5,6,,,,,5,6,,,,,5,6, 5,5,5,5,55,56, 6,6,6,6,65,66. Mekkor lesz P(A) és P(B) vlószínűség? Az előző tnévben már megfoglmztuk, mit jelent z A + B, A B, A B, A, A B esemény! Ebben feldtbn számítsuk ki vlószínűségüket! P P ( A) ( B) kedvező = összes kedvező = összes = = 6 = = 6 Az A + B esemény, hogy párost, vgy -nél kisebbet dobunk, ennek csk z 5 5 nem felel meg, tehát P ( A + B) =. 6 Az A B esemény, hogy párost és -nél kisebbet, zz -t dobunk, tehát P ( A B) =. 6 P P ( A) ( B) kedvező = összes kedvező = összes 8 = = 6 8 = = 6 Az A + B esemény, hogy piros páros, vgy kék -nél kisebb, tehát P ( A + B) = = =. 6 6 Az A B esemény, hogy pirossl párost dobunk és ugynkkor kékkel -nél kisebbet, tehát P ( A B ) = =. 9 6

18 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Az A B esemény, hogy páros számot dobunk, de ezek közül ki kell hgyni -nél kisebbeket, tehát -et, vgy 6-ot dobok, tehát P ( A B ) = =. 6 Az A esemény, hogy pártln számot P = =. 6 dobunk, tehát ( A ) Az A B esemény, hogy pártln és -nél kisebbet dobunk, tehát ( A B ) P = =. 6 Az A B esemény, hogy pirossl párost dobunk, de kékkel nem dobok -nél kisebbet, 9 tehát P ( A B ) = =. 6 Az A esemény, hogy piros kockávl pártlnt dobunk (függetlenül kék kock eredményétől) tehát ( A ) 8 P = =. 6 Az A B esemény, hogy pirossl pártlnt dobunk és kékkel -nél kisebbet, tehát ( A B ) 9 P = =. 6 Az itt tpsztlt eredmények áltlábn is igzk: Az A + B esemény vlószínűségét úgy kpjuk meg, hogy két esemény vlószínűségének összegéből levonjuk z együttes bekövetkezés vlószínűségét, zz P A + B = P A + P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) Ez z eredmény szemléletünkből is következik, hiszen mind z A esemény, mind B esemény bekövetkezésének vlószínűségének meghtározáskor beszámítjuk két esemény együttes bekövetkezését. Két egymást kizáró esemény esetén nnk vlószínűsége, hogy közülük leglább z egyik bekövetkezik, két esemény vlószínűségének összege, zz h ( A B) = 0 P A + B = P A + P B. P, kkor ( ) ( ) ( )

19 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 9 Mintpéld 9 Egy osztálybn mindenki beszél németül vgy frnciául. Tudjuk, hogy z osztály 0%- tnul frnciául, 85%- pedig németül. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy h vlkit véletlenszerűen megkérdezünk, kkor z mindkét nyelven beszél? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy egy véletlenszerűen megkérdezett tnuló csk z egyik nyelven beszél? ) Legyen z A esemény, hogy vlki beszél németül. Tudjuk, hogy P(A)=0,85. Legyen B esemény, hogy vlki beszél frnciául. Tudjuk, hogy P(B)=0,. Tudjuk, hogy P ( A + B) =, hiszen mindenki tnul két nyelv vlmelyikén. A korábbn elmondottk lpján z együttes bekövetkezés vlószínűsége: P ( A B) = P( A) + P( B) P( A + B) = 0,85 + 0, = 0, 5, tehát 5% vlószínűsége, hogy olyn diákkl tlálkozunk, ki mindkét nyelvet tnulj. b) Itt z ( A B )+( B A ) esemény vlószínűségére vgyunk kíváncsik. Mivel z osztálybn mindenki tnul vlmilyen idegen nyelvet, z A B zz csk németül tnul; B A zz csk frnciául tnul; és z A B zz mindkét nyelven tnul események közül biztosn bekövetkezik vlmelyik, és cskis z egyik következik be, vgyis ez három esemény teljes eseményrendszert lkot. Tehát P ( A B) + P( A B) + P( B A) = ( A B) + P( B A) = P( A B) = 0,5 = 0, 85 P., így Adott kísérlet kimeneteleit vizsgálv z A, A,, A k események teljes eseményrendszert (eseményteret) lkotnk kkor, h közülük két esemény soh nem következhet be egyszerre, és nincs kísérletnek olyn kimenetele, melyik nem trtozik vlmely eseményhez. A teljes eseményrendszer eseményeihez trtozó vlószínűségeket összedv -et kpunk, és z eseménytér bármely két eseményének együttes bekövetkezésének vlószínűsége 0. Másképpen: P A i A =, h A i és A j tgji z eseményrendszernek, és P ( ) 0 j + k = ( A ) P( A ) P( A )

20 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintpéld 0 Sokéves tpsztlt lpján tudjuk, hogy jnuárbn 0, nnk vlószínűsége, hogy járdák síkosk. Azt is tudjuk, hogy míg jó útviszonyok mellett csk minden tízezredik gylogost ér bleset járdán, ddig csúszós időben minden 0000 gylogos közül 8 összetöri mgát. Mi vlószínűsége nnk, hogy egy jnuári npon vlkit bleset ér járdán? Képzeljük el, hogy egy jnuári npon egymillió gylogos sétál járdákon z országbn, egyenletes eloszlásbn. Ezen npon z ország 0, részén, tehát ott, hol ember sétál, csúszós járd. A fenti sttisztik szerint közülük minden 0000-ből 8 blesetet szenved, így 0 8 = 0 -t bleset ér. Az ország mrdék 0,6 részén viszont nem csúsznk járdák, tehát z ott sétáló ember közül csk minden tízezredik esik el, tehát itt 60 ember esik el. Így emberből 80-t ér bleset ezen z átlgos jnuári npon, tehát sérülés vlószínűsége = 0, Csk vlószínűségekkel számolv: 8 Csúszós úton 0, = 0, 000, jó útviszonyok mellett 0,6 = 0, 00006, együttesen tehát 0,0008 sérülés vlószínűsége, függetlenül ttól, hogy hány ember volt znp z utcákon. Feldtok 5. Legyen z A esemény, hogy lpos mgyr kártyából ászt húzunk. Legyen B esemény, hogy csomgból mkkot húzunk. Add meg következő események vlószínűségét: ) A, B. b) A B. c) A + B. d) A + B. (A mgyr kártyábn lsó, felső, király, ász, VII, VIII, IX, X lpok vnnk tök, mkk, zöld és piros színekben.) 6. Legyen z A esemény, hogy kockávl páros számot dobunk, B esemény, hogy kockávl pártln számot dobunk, és C esemény, hogy kockávl -gyel oszthtó számot dobunk. Mi lesz z A B, B C és A + B események vlószínűsége?

21 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 7. Egy ötöslottó-sorsoláson z elsőnek kihúzott szám 5 volt. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy következőnek kihúzott szám ennél kisebb lesz? b) Tudjuk, hogy ezen bizonyos héten kihúzott számok emelkedő sorrendben következők voltk: 5,, 5, 6, 76. Mi vlószínűsége nnk, hogy 5 után kihúzott szám ennél kisebb volt? Nemcsk htlpú szbályos testből lehet készíteni dobókockát, hnem többi szbályos test minden lpjár is zonos eséllyel esik le homogén nygból készült test, így belőlük is készíthető dobókock. A következő feldtok különböző lpszámú dobókockákr vontkoznk. 8. A tetréderből készített dobókockánál dobáskor egy lpot nem látok, másik három lpon - szám áll. Itt vlójábn nem is lpok, hnem csúcsok vnnk megszámozv úgy, hogy csúcsbn tlálkozó lp mindegyikén láthtó csúcs közelében szám. Azt számot tekintjük dobás eredményének, melyik mindhárom lp felső csúcsán szerepel. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy páros számot dobunk? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy prímszámot dobunk? c) H két tetréderrel dobunk, mi vlószínűsége nnk, hogy dobott számok összege prím lesz? d) H két ilyen testtel dobunk, mi vlószínűsége nnk, hogy dobott számok öszszege páros lesz? 9. A hgyományos (kock lkú) dobókockán számok -től 6-ig szerepelnek. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy páros számot dobunk? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy prímszámot dobunk? c) H két ilyen kockávl dobunk, mi vlószínűsége nnk, hogy dobott számok összege prím lesz? d) H két ilyen kockávl dobunk, mi vlószínűsége nnk, hogy dobott számok összege páros lesz?

22 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 0. Az oktéder lkú dobókockán számok -től 8-ig szerepelnek. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy páros számot dobunk? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy prímszámot dobunk? c) H két ilyennel dobunk, mi vlószínűsége nnk, hogy dobott számok összege prím lesz? d) H két ilyennel dobunk, mi vlószínűsége nnk, hogy dobott számok összege páros lesz?. Igz-e, hogy z lábbi eseményterekben megdott események vlószínűsége megegyezik? ) Három kockávl dobv dobások összege lehet:,,,8. b) Két érmével dobv lehetséges kimenetelek: FF, FI, IF, II. c) Déli órkor lehetséges időjárási helyzet: eső+fúj szél eső+nincs szél nincs eső+nincs szél nincs eső+fúj szél. d) Három érmével dobv lehetséges kimenetelek: fej, vgy fej+ írás, vgy fej+ írás, vgy írás.. Mi vlószínűsége nnk, hogy Ann és Kti ugynúgy töltse ki totószelvényét, h mindketten véletlenszerűen töltik ki?

23 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA IV. A vlószínűség kiszámítás kombintorikus úton Mintpéld Egy vidámprkbn számítógép vezérelte félkrú rbló három oszlopábn -féle jel fut: hold, szív és mosolygó rc.. A gépet úgy állították be, hogy mindhárom jel zonos vlószínűséggel forduljon elő mindhárom helyen. Akinek gép egyform vgy különböző jelet sorsol, z nyer egy csokit. A játszm ár peták, szomszédos büfében ezt csokit petákért lehet kpni. Hosszú távon kinek nyereséges ez játék? A játék kkor lenne számunkr hosszú távon veszteség nélküli vgy nyereséges, h leglább (átlgbn) minden második esetben nyernénk, tehát h nyerési esélyünk 0,5 vgy nnál ngyobb lenne. Most kedvező esetek és z összes eset számánk rányát fogjuk meghtározni, ügyelve rr, hogy mindkét esetben zonos vlószínűségű elemi eseményekkel számoljunk. Az összes eset szám = 7, hiszen minden figur mellé bármely másik kettő válszthtó. A kedvező esetek két részre bonthtók: I. csup egyform, számuk,, II. csup különböző, számuk!=6,,,,, A nyerési esély tehát + 6 = 7 <. A játék hosszú távon z üzemeltetőnek kedvez. Feldtok. Egy 0 fős osztálybn z irodlomtnár úgy döntött, hogy három kisorsolt diák dj elő szóbn házi dolgoztát z osztály előtt. Mi vlószínűsége nnk, hogy kisorsolt három tnuló névsorbn egymás után következik?. Az lábbi táblázt Form 006-os Hungroring futmánk végeredményét muttj. ) H verseny előtt megkérünk egy mit sem tudó kívülállót (mondjuk, egy mrslkót), jósolj meg végeredményt, milyen eséllyel tlált voln el? b) Ezen versenyen konstruktőrök (istállók) versenyében. helyezett lett Hond,. McLren,. BMW Suber,. Hond stb.

24 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE H fent említett mrslkót futm sorrendjéről úgy kérdezzük, hogy csk z istállók sorrendje érdekel, milyen eséllyel tlálj el? Forrás: Hely. Versenyző Istálló Motor Idő Körök. Jenson Button Hond Hond 0:5: 70. Pedro de l Ros McLren Mercedes 0:5:5 70. Nick Heidfeld BMW Suber BMW 0:5:0 70. Rubens Brrichello Hond Hond 0:5: Dvid Coulthrd Red Bull Rcing Ferrri 00:00: Rlf Schumcher Toyot Toyot 00:00: Felipe Mss Ferrri Ferrri 00:00: Michel Schumcher Ferrri Ferrri 00:00: Tigo Monteiro Midlnd F Toyot 00:00: Christijn Albers Midlnd F Toyot 00:00: Scott Speed Scuderi Toro Rosso Cosworth 00:00: Jrno Trulli Toyot Toyot 00:00: Tkum Sto Super Aguri Hond 00:00: Fernndo Alonso Renult Renult 00:00: Kimi Räikkönen McLren Mercedes 00:00: Vitntonio Liuzzi Scuderi Toro Rosso Cosworth 00:00: Nico Rosberg Willims Cosworth 00:00: Gincrlo Fisichell Renult Renult 00:00: Christin Klien Red Bull Rcing Ferrri 00:00: Mrk Webber Willims Cosworth 00:00:00. Skon Ymmoto Super Aguri Hond 00:00:00 0. Robert Kubic BMW Suber BMW 00:00:00 69

25 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 5 5. Egy urnábn 5 fehér és 5 piros golyó vn. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy kihúzott golyót második húzás előtt vissztesszük. Mi vlószínűsége nnk, hogy piros golyót húzunk ki belőle? 6. ) Egy urnábn 5 fehér és 5 piros golyó vn. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy kihúzott golyót nem tesszük vissz. Mi vlószínűsége nnk, hogy piros golyót húzunk ki belőle? b) Egy urnábn 0 fehér és 0 piros golyó vn. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy kihúzott golyót nem tesszük vissz. Mi vlószínűsége nnk, hogy piros golyót húzunk ki belőle? c) Egy urnábn 500 fehér és 500 piros golyó vn. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy kihúzott golyót nem tesszük vissz. Mi vlószínűsége nnk, hogy piros golyót húzunk ki belőle? d) Egy urnábn 5000 fehér és 5000 piros golyó vn. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy kihúzott golyót nem tesszük vissz. Mi vlószínűsége nnk, hogy piros golyót húzunk ki belőle? e) Egy urnábn n fehér és n piros golyó vn. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy kihúzott golyót nem tesszük vissz. Mi vlószínűsége nnk, hogy piros golyót húzunk ki belőle?

26 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE V. Binomiális eloszlás Mintpéld A biológi témzárór Mrci tudtlnok nyuglmávl érkezik. A könyvet ugyn ki nem nyitott, z órán sem figyelt, de tudj, hogy dolgoztbn tesztkérdés szerepel lehetséges A, B, C válszokkl, és kérdések közül elég hrmdár helyesen válszolni kettes eléréséhez. Úgy gondolj, nyugodtn véletlenre és jó szerencséjére bízhtj dolgot. Mi vlószínűsége nnk, hogy pontosn kérdésre válszol helyesen? 8 ) Annk vlószínűsége, hogy z első kérdésre helyes válszt d, többi nyolcr pe- 8 dig hibást: =. Igen ám, de zt négy feldtot, melyekre helyes vá- lszt d, féleképpen lehet kiválsztni -ből, így keresett vlószínűség 8 = , 8. Az itt lklmzott gondoltmenet áltlános esetben is működik: H egy esemény bekövetkeztének vlószínűsége p, kkor nnk vlószínűsége, hogy n független kísérletből ez z esemény pontosn k-szor n p k k nk következik be: ( ) p. Mintpéld Kíváncsik lehetünk még rr is, hogy minek legngyobb vlószínűsége, hány kérdésre d helyes válszt Mrci? Térjünk most vissz z előző mintpéld dtihoz és számítsuk ki, hogy mi vlószínűsége 0,,,, helyes válsznk. Számításink eredményét rendezzük tábláztb, mjd ábrázoljuk is!

27 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 7 Helyes válszok szám (k) Ennek vlószínűsége P(k) 0 0,008 0,06 0,7 0, 0,8 5 0,9 6 0, 7 0,08 8 0,05 9 0,00 0 0, , , A tábláztból, de grfikonból is jól láthtó, hogy nnk vlószínűsége legngyobb, hogy kérdésből -et válszol meg Mrci. Mintpéld Sok vizsgált zt muttt, hogy gyártósoron elkészülő csvrok 95%- tökéletesen hsználhtó. Mrkoljunk ki egy ngy zsákból 0 csvrt. Mi vlószínűsége nnk, hogy kezünkben -nél több hibás csvr lesz? A komplementer esemény vlószínűségét egyszerűbb kiszámítni: mi vlószínűsége nnk, hogy kezünkben 0 vgy hibás csvr lesz? Ismerjük nnk vlószínűségét, hogy egy kivett csvr hibás: 0,05. Legyen zsákbn 0000 csvr. H z ismert eloszlásbn vnnk benne jó és hibás csvrok, kkor 9500 jó, és 500 hibás csvr vn zsákbn. H kivettünk belőle 9 hibás csvrt (minek igen kicsi vlószínűsége), nnk vlószínűsége, hogy következő is hibás lesz: , 08. H kivettünk belőle 9 jó csvrt, nnk vlószínűsége, hogy követke- 500 ző hibás lesz: 0, 050, vgyis z eltérés csk két ezrelék, tehát h zok szám, 998 miből mintát vesszük, elég ngy, eltekinthetünk ttól, hogy mintvétel során nem tettük vissz z egyes elemeket.

28 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Annk vlószínűsége tehát, hogy 0 hibás csvr lesz: , 95 0, 05 = 0, 95 0, Annk vlószínűsége, hogy hibás csvr lesz: , 95 0, 05 = 0 0, 95 0, 05 0, Annk vlószínűsége tehát, hogy -nél több hibás csvr lesz kezünkben: ( 0, , 77) 0, 65. Feldtok 7. Tízszer dobunk egymás után kockávl. Mi vlószínűsége nnk, hogy 0 dobásból pontosn -szor dobunk ötöst? 8. A csillgszórók közül áltlábn minden 0. hibás, nem ég végig. Mi vlószínűsége nnk, hogy h vettünk csomg, zz 0 drb csillgszórót, bból kettő hibás lesz? vásárlót megkérdeztek cukrászdábn, melyik kedvenc fgylltjuk válsztékból. A következő válszokt kpták: vníli citrom 0 erdei gyümölcs 7 csoki puncs 5 kiwi 7 krmell 5 meggy 9 őszibrck Készíts kördigrmot z dtok lpján! Számítsd ki nnk vlószínűségét, hogy fenti vásárlók közül vlkinek éppen csoki kedvenc fgyij! Mi vlószínűsége, hogy z üzletvezető áltl megkérdezett 0 vevő közül pontosn 5-nek volt kedvence csokoládé fgyllt?

29 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 9 0. Egy iskoli rendezvényről felvétel készült, melyről mind 0 szereplő számár sokszorosítni szeretnénk CD-t. Nincs időnk, hogy z összes másoltot ellenőrizzük, de biztonság kedvéért készítünk belőlük -t. Mi vlószínűsége nnk, hogy minden szereplőnek tudunk dni hibátln CD-t, h másolás során áltlábn minden huszdik CD-nek lesz vlmi hibáj?. Tudjuk, hogy egy óriási rktárbn 5: ránybn vnnk összevissz rdiál és digonál gumik. Mi vlószínűsége nnk, hogy véletlenszerűen kigurítv közülük drbot, zt fel tudjuk szerelni kocsinkr? (Szbály, hogy z első két, illetve hátsó két gumi típusánk meg kell egyeznie.)

30 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VI. A szerencsejátékos szerencséje Ebben fejezetben megismerkedünk néhány szerencsejátékkl. Nem zzl célll tesszük ezt, hogy biztssunk titeket játékr, éppen ellenkezőleg: zt szeretnénk megmuttni, hogy ezekben játékokbn hosszú távon mindig bnk nyer. Mikor érdemes megkötni egy fogdást? Képzeljük el, bbn fogdunk vlkivel, hogy 6-ost dobunk kockávl. H elég sokszor játszottunk, zt tpsztljuk, hogy 5-ször nnyiszor veszítjük el fogdást, mint hányszor megnyerjük. Tehát hhoz, hogy számunkr fogdás ne legyen veszteséges ( igzságtln ), z kell, hogy mi nyereményünk 5-ször kkor legyen, mint z övé. Képzeljük csk el, hogy 600-szor játszunk, és bejön ppírform : 00-szor dobunk 6-ost, de 500-szor mást. Játszótársunk nyereménye így 500 forint = 500 forint lesz, de miénk is 00 5 forint = 500 forint. Hosszú távon kkor igzságos egy fogdás, h nyereményünk nnyiszoros játszótársunk nyereményének, hányszoros z ő nyerésének vlószínűsége miénkhez képest. Képzeljük el, hogy fej vgy írást játszunk egy brátunkkl, és tétünk minden esetben egy bbszem. Megkérünk egy hrmdik személyt, hogy dobáljon egy érmét. H fejet dob, megkpjuk sjátunkén kívül brátunk bbszemét is, tehát nyereményünk bbszem. H írást dob, elveszítjük bbszemünket, brátunk viszi mindkettőt. Minden dobás előtt ½ esélyünk vn nyerni két bbot, és ugynkkor esélyünk vn elveszteni tétet. Mivel nyereményünk befektetett bb = -szerese, játék igzságos. 0, 5 Nézzük hát rulettet! Az ábrán egy rulettkereket, vlmint zt táblát látjuk, melyen téteket lehet megtenni.

31 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA A rulettkeréken számok 0-tól 6-ig tlálhtók. Vn 8 fekete és 8 piros szám, null se nem fekete, se nem piros. Néhány lehetséges fogdást mutt be z ábr, ezekhez zt is megdjuk, rátett pénzünk hányszorosát kpjuk nyereményként ( rátett összegen felül). A: egyetlen számr fogdsz (itt épp -sr), nyereményed befektetett pénz 5-szöröse. B: két számr fogdsz (itt épp z 5 és 8-sr), nyereményed befektetett pénz 7-szerese. C: három számr fogdsz ( sor számi:0,,), nyereményed befektetett pénz - szerese. D: négy számr fogdsz (,5,7,8), nyereményed befektetett pénz 8-szoros. E: ht számr fogdsz (9,0,,,,), nyereményed befektetett pénz 5-szöröse. F: számr fogdsz, z oszlop számir, nyereményed befektetett pénz -szerese. F: Itt ismét számr fogdsz, pl hrmdik -re zz 5-6-ig számokr, nyereményed befektetett pénz -szerese. G: zt muttj, hogy tétedet ngyobb számokr, 9-6 tetted. Ugynígy teheted piros, fekete, illetve páros (even), pártln (odd) tégllpokb is. Minden ilyen esetben nyereményed ugynnnyi, mint téted. Mintpéld 5 Számítsuk ki, igzságos -e nyeremény z A, illetve D esetekben? A jelű fogdásnál: H eltláljuk számot, kkor zseton tét esetén 6 zsetont kpunk meg. Akkor lenne igzságos fogdás, h nyerési esélyünk lenne. De rulettben 7 6 számnk vn zonos, 7 esélye, tehát nyerési esélyünk kisebb, mint mi z igzságos játék esetén lenne. D jelű fogdásnál kedvező esetek szám, z összes eset szám 7, nyerési esélyünk tehát 7. Akkor lenne tehát igzságos fogdás, h befektetett pénzünk 7 = 9, 5-szorosát kpnánk meg, de itt zseton tét esetén +8=9 zsetont kpunk csk. Ezek látszólg pró eltérések biztosítják, hogy kszinó hosszú távon nyereséges legyen.

32 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mielőtt következő feldttl fogllkoznánk, ismerkedjünk meg egy új foglomml: Legyen z A kísérlet összes lehetséges kimenetele z A, A,, A n esemény (teljes eseményrendszer). H vlmilyen A i esemény bekövetkezésének vlószínűsége p i, kkor z A kísérlet várhtó értéke p i A i szorztok összege: E ( A) = p A + p A p n An. Egy egyszerű kockdobás esetén várhtó érték következőképpen lkul: A A A 5 -est dobok, -st dobok, 5-öst dobok, p = ; A 6 p = ; A 6 p 5 = ; A 6 6 -est dobok, -est dobok, 6-ost dobok, p = ; 6 p = ; 6 p 6 =. 6 7 A kísérletünk várhtó értéke tehát = = =, Ilyen dobás persze nem jön létre soh, hiszen ez nem egész szám. Mintpéld 6 Vn zsetonunk. Elhtározzuk h törik, h szkd, három egymást követő körben felteszünk egy-egy zsetont feketére. Számítsuk ki nyeremény várhtó értékét! A három pörgetés eredménye lehet z, hogy 0,, vgy lklomml áll meg golyó 8 feketén. Annk vlószínűsége, hogy golyó feketén áll meg:, nnk pedig, hogy 7 9 nem feketén:, hiszen megállht 8 piroson és nullán. 7 A : 0 fekete tehát - nyereség; A : fekete tehát - nyereség; p = = ; p = ; 7 7

33 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA A : fekete, tehát + nyereség ; A : fekete, tehát + nyereség ; A nyereség várhtó értéke tehát 8 9 p = ; p = = ; E ( A) = ( ) + ( ) + + 0, 08 Ismét látszik tehát, hogy várhtón kszinó lesz nyereséges.. Mintpéld 7 Egy sorsjegyről következőket tudjuk: A sorsjegy nettó nyereményeire fordítndó összeg felosztás: Nyeremény db Ft Ft Ft Ft Ft Ft Ft A FORGALOMBA HOZATAL IDŐPONTJA: 005. július. A SORSJEGY ÁRA: 50 Ft NYERÉSI ESÉLY: :, KIBOCSÁTOTT DARABSZÁM: 5 millió db soroztonként Igz-e megdott nyerési esély? Mekkor nyereség várhtó értéke egy sorsjegy megvásárlás esetén? A kibocsátott 5 millió szelvényből nyer, tehát nyerési esély 0,, megdott nyerési esély pedig 0,, tehát helyesen dták meg z esélyt. (A két, érték között tízezredekben vn csk eltérés.) H szelvény nyer, kkor 9995 szelvény nem nyer. A JÁTÉK LÉNYEGE: A sorsjegyen egy játékmező tlálhtó, mely fedőrétegének ledörzsölése után állpíthtó meg, hogy nyertes-e sorsjegy. Amennyiben kprófelület ltt egy pénzösszeg szerepel, játékos nyert. Nyereménye kprófelület ltt feltüntetett nyereményösszeg. Amennyiben játékos NEM NYERT felirtot tlál, kkor nyereményt nem ért el.

34 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A : nyeremény 0 Ft; 9995 p = A : nyeremény 00 Ft; p = = 0, A : nyeremény 00 Ft; p = = 0, A : nyeremény 600 Ft; p = = 0, A 5 : nyeremény 000 Ft; p 5 = = 0, A 6 : nyeremény 0000 Ft; p 6 = = 0, A 7 : nyeremény Ft; A nyeremény várhtó értéke tehát 5 6 p 7 = = , , , , Levonv ebből 50 Ft-ot ( sorsjegy ár), várhtó bevételünk 60 Ft = 90. Feldtok. Egy ismerősünkről mesélték, hogy nyert z ötöslottón. Azon héten ezt láttuk nyereményjegyzékben: ÖTÖS LOTTÓ Nyerőszámok: 5, 5, 65, 7, 88 5 tláltos 0 db, nyereménye: 0 Ft tláltos 8 db, nyereménye: 800 Ft tláltos 056 db, nyereménye: 7 65 Ft tláltos 0 9 db, nyereménye: 99 Ft Mi vlószínűsége nnk, hogy 000 Ft-nál többet nyert?

35 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 5. Vizsgáld meg, igzságos-e fogdás ruletten (l. 5. mintpéldát) ) B tét esetén? b) E tét esetén?. Mekkor lesz nyereség várhtó értéke, h kétszer egymás után - zsetonnl középső oszlopr (F eset) fogdunk? 5. Egy sorsjegyről következőket tudjuk (részlet Részvételi szbályzt -ból): A sorsjegy ár: 00 Ft; Nyerési esély: :,; Kibocsátott drbszám: 5 millió db soroztonként. A sorsjegy nettó nyereményeire fordítndó összeg felosztás: Nyeremény db Ft ) Mi vlószínűsége nnk, hogy nem veszítünk vásárláson? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy leglább 5000 Ft-ot nyerjünk? c) Számítsd ki, mekkor várhtó nyereség sorsjegy vásárlás esetén!

36 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VII. Geometrii vlószínűség Mintpéld 8 Egy 0 méter hosszú vízvezetékcső tört el vlhol fővezeték és házunk között. Mi vlószínűsége nnk, hogy földet cső fölött vlhol m hosszn felásv rátlálunk hibár? Úgy érezzük, hogy keresett vlószínűség. Vlóbn, h beszerelt cső minősége mindenütt zonos, és fölötte levő terhelés is egyenletes, törés cső bármely pontján ugynkkor 0 vlószínűséggel következhet be. Mi most itt kedvező elemi események szám? És mennyi z összes elemi esemény szám? Mindkettő végtelen sok. Mégis, keresett vlószínűséget megkphtjuk, hiszen megtlálás vlószínűsége egyenesen rányos felásott föld hosszávl, és h 0 métert ásnánk fel, kkor hibát vlószínűséggel tlálnánk meg. Jelöljünk ki képzeletben egy pontot csövön. Annk vlószínűsége, hogy ezt véletlenszerűen eltláljuk, érzésünk szerint null. Tlálkoztunk tehát zzl, hogy bár lehetetlen esemény vlószínűsége 0, 0 vlószínűségű esemény bekövetkezése nem lehetetlen. Tudjuk, hogy koordinát-rendszerben végtelen sok rácspont vn. Pontból pedig koordinátsíkon még sokkl több. Annk vlószínűsége, hogy véletlenül rábökve táblár, rácspontot tláljunk el, 0, tehát komplementer esemény, vgyis nnk vlószínűsége, hogy táblár rábökve nem rácspontot tlálok el,. Ez zonbn mégsem biztos esemény! Tehát biztos esemény vlószínűsége, de z vlószínűségű esemény bekövetkezése nem biztos!

37 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 7 Mintpéld 9 Egy kert lprjzát muttj következő ábr. A kockázott terület kövezett tersz. A kék vonl vízvezeték útját muttj, mely föld ltt méter mélységben hld. Sjnos ez vlhol, vízór (V) és kerti csp (CS) között eltörött. Megmérték, hogy kerti csp grázs srkától 6 m-re, vízór ház srkától 0,5 m-re vn. A ház mindkét kerítéstől - m-re épült, mit itt z előírásoktól eltérően kivételesen engedélyeztek. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy h npont méter hosszn tudjuk kibontni vezetéket, npon belül megtláljuk hibát? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy hib megtlálásához nem kell felszedni tersz köveit? c) A vízvezetéktől m-re vn z F-fel jelölt f. H törzsétől számított m-es sugrú körön belül mélyen leásunk, f károsodásánk vlószínűsége 0,. Mi vlószínűsége nnk, hogy f megmenekül? Az eddigi feldtok megoldáskor segített, h kedvező esetek számát osztottuk z öszszes eset számávl, de itt ez megoldhttln feldt elé állítn minket. Még h vonl-

38 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE szerűnek tekintjük is vezetéket, kkor is bármely rövid szkszán végtelen sok pont vn. Ennek lpján zt kpnánk, hogy nnk vlószínűsége, hogy vezeték vízórától mondjuk m-re lyukd ki, (pont) osztv végtelen sok (pont), tehát 0. És ez vlóbn így is vn. H vezeték összes pontj zonos vlószínűséggel romlik el, minden egyes pontjánk 0 vlószínűségű hibesélye. Mégis, zt is mondhtjuk, hogy vezeték minden centiméterén ugynkkor vlószínűséggel keletkezik hib, mint szomszédos centimétereken, így hib előfordulásánk vlószínűsége egy cm-es szksz vlmely pontján kétszer kkor, mint ugynzon szksz felén, tehát vlószínűség egyenesen rányos vizsgált szksz hosszávl. A vízvezetéket ház oldlávl párhuzmosn fektették le. H csp grázs srkától 6 m-re vn, kkor z utci kerítéstől mért távolság,8 m + 6 m=0,8 m. Tehát kputól z első srokig 0,8 m vezeték vn, ebből levonv vízór kpu távolságot, 9, 8 m-t kpunk. A rá merőleges vezeték hosszát megkpjuk, h kert szélességéből (0 m) levonjuk grázs szélességét ( m), vlmint vízvezeték kerítés távolságot ( m 0,5 m = 0,5 m). Tehát vízvezeték teljes hossz vízór és csp között 9,8 m + 0 m ( m + 0,5 m) = 6, m. ) Feltételezve, hogy törés vezeték minden pontján zonos vlószínűséggel fordul elő, megtlálás vlószínűsége egyenesen rányos felbontott szksz hosszávl. 6, m-es felbontás esetén megtlálás vlószínűsége, tehát h három npon át npont m-t ásunk, kkor hib megtlálásánk vlószínűsége 0,. 9 m 6, m b) Mivel tersz csempéit nem szívesen bontnák fel, ezért, h vízórától terszig nem tlálták meg hibát, kkor keresést tersz túlsó oldlán folyttják. A kövezetet csk kkor szedik fel, h tersz túlsó fele és csp között sem tlálták meg hibát. Annk vlószínűsége, hogy törés tersz ltt vn: m 6, m 0,, tehát nnk vlószínűsége, hogy nem kell felbontni tersz köveit (komplementer esemény) 0, 0, 886. c) A f megmenekülésének vlószínűsége két esemény vlószínűségének összege lesz: nem ásunk f közelében, illetve ott ásunk, de f túléli. Ahhoz, hogy erre kérdésre válszt d-

39 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 9 junk, ki kell számítni, hogy f veszélyes környezetébe vízvezetéknek milyen hosszúság kerül. Tudjuk, hogy f törzse m-re vn vezetéktől, tehát kérdés, hogy z F középpontú m sugrú körben kör középpontjától m-re milyen hosszú húr vn. h Pitgorsz-tétellel számolv, húr hosszánk fele = = 8, innen h = 8 m 5,66 m. 6, 5, 657 Tehát nnk vlószínűsége, hogy nem ásunk f közelében 0, , Annk vlószínűsége, hogy f közelében is kell ásni, 0, 785 0, 5, de f megmenekülésének még itt is vn 0,7 esélye, tehát itt vlószínűség: 0, 7 0, 5 = 05,. Összegezve, 0, ,5 = 0,96 z esélye nnk, hogy f túléli hibkeresést. Mintpéld 0 A fürdőszob pdlóját fekete-fehér kőlpok borítják. Egy-egy kis négyzet oldl 8 cm. H elejtünk rjt egy 6 mm átmérőjű fekete gombot, gykrn nem tláljuk meg, mert rejtőszíne vn. H úgy esik le gomb, hogy teljes terjedelmével fekete négyzetre esik, szinte képtelenség meglátni. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy h leejtjük gombot, z láthttlnná válik? b) Hogyn változik ez vlószínűség, h négyzetlpok éle ngyobb: pl. 0 cm? c) Hogyn változik ez vlószínűség, h lp ugyn 8 cm oldlhosszúságú négyzet, de gomb átmérője 0 mm? ) Nézzük meg, hogy hol vn kör lkú gomb középpontj, h nem látjuk? A jobb oldli ábr szerint gomb középpontjánk fekete négyzeten belül egy kisebb (z ábrán stírozott) négyzetbe kell esnie, hogy gomb ne lógjon ki fekete kockkőből. A stírozott négyzet oldl 80 mm 8 mm = 6 mm. A stírozott terület fekete

40 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE területhez úgy ránylik, mint 6 : 80 = 6 : 5. A keresett vlószínűséget megkpjuk, h kiszámítjuk megtlálás szempontjából kedvezőtlen és z összes terület rányát. 6 Az összes terület fele fekete, fekete négyzet része stírozott, tehát gomb teljes terület részére ejtve válik láthttlnná. Így keresett vlószínűség = 0,. 5 5 b) A stírozott négyzet oldl most 00 mm 8 mm = 8 vmm lesz. A keresett terület- 8 rány és egyben vlószínűség itt = 0, 58-r módosul, tehát nő nnk z 00 esélye, hogy nem tláljuk gombot. c) A stírozott négyzet oldl most 80 mm 5 mm = 70 mm -re változik. A keresett terü- 70 letrány és egyben vlószínűség itt = 0, 885-r módosul, tehát itt is nőtt 80 nnk z esélye, hogy nem tláljuk gombot. Mintpéld Vének nevű község Szigetköz keleti csúcsábn fekszik. A tőle km-re levő Kisbjcs fluból vezetik od z ármot. Egy ngy vihr két flu között vlhol megrongált vezetéket. Mivel vezetékről két flu között is vnnk leágzások tnyákhoz és mezőgzdsági üzemekhez, ezért nem ármtlnították z egész szkszt, csk hib és Vének község közti részt ikttták ki. A vihr tovább tombolt, és egy újbb helyen is megrongált vezetéket két flu között. Mi vlószínűsége nnk, hogy z új hib további lezárásokt tesz szükségessé, tehát második szkdás z első hib és Kisbjcs község közé esik?

41 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA Az első hib Kisbjcstól km-re történt. Tudjuk, hogy 0 < <. A második hib Kisbjcstól mért távolság legyen y km. y-r is érvényes z 0 < y < egyenlőtlenség. Ahhoz z eseményhez, hogy két szkdás Kisbjcstól és y távolságr történt, rendeljünk hozzá egy P ( ; y) pontot koordinát-rendszerben, tudv, hogy 0 < < és 0 < y < feltételeknek fenn kell állniuk. Ezért P pont cskis sárgávl jelzett -szor egység területű négyzetben lehet. Az új hib kkor tesz szükségessé további lezárásokt, h második hib közelebb vn Kisbjcshoz, mint z első, tehát h y <. Ez zt jelenti, hogy P pont második koordinátáj kisebb, mint z első. Az ilyen pontok négyzetünkben vonlkázott részen vnnk. A vonlkázott háromszög területe négyzet területének fele, tehát keresett vlószínűség 0,5. Feldtok 6. Az ábr egy 0 cm átmérőjű céltáblát mutt. A két kisebb kör átmérője 0, illetve 0 cm. Mi vlószínűsége nnk, hogy h vlki beletlál legngyobb körbe, kkor lövés legkisebb körbe kerül? 7. A geolád-keresés, idegen szóvl geocching (ejtsd: geokesing) egy világszerte elterjedt játék. Játékos kedvű emberek elrejtenek vlhol egy ládát, mjd helyszín GPS-szel meghtározott koordinátáit közzéteszik z Interneten. Akinek vn GPS-e, és kedveli klndokt, megpróbálj megtlálni ezt ládát, és h sikerrel jár, pontot

42 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE kp. Aki elég pontot gyűjtött, jogot szerez rr, hogy mg is elrejtsen vlhol egy ilyen ládát Egy éjszki portyázáson GPS-ünk zt muttt, hogy hol állunk, nnk méteres körzetében kell lennie ládánk. Gzos, bokros részen jártunk, négyzetméter átfésüléséhez 0 percre is szükségünk volt. Mi vlószínűsége nnk, hogy fél órán belül mielőtt szúnyogok megesznek megtláljuk ládát? 8. A metrón reggeli csúcsforglombn szerelvények 5 percenként érkeznek: egész órkor, ór 5-kor, és így tovább. A szerelvény ½ percet áll megállóbn. Vlki reggel ½7 és 7 között megállóhoz megy. Mekkor nnk vlószínűsége, hogy várkozási ideje ne legyen több percnél? 9. Egy bálterem méreteit z ábr muttj. A nézők elhelyezkedése véletlenszerű. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy színpdot legfeljebb 8 méterről láthssm? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy színpdot hegyesszögben láthssuk? 0. A Budpest Bmko verseny Párizs Dkr rllyhoz hsonló 76 km-es verseny, mely Mgyrországról Mlib vezet. A Cmp Roi Bedouin-Dkhl (50 km) szkszon két versenyző (egy motoros és egy UAZ) is elkdt és segítséget kértek, mely elindult értük Bedouin Dkhlából. Mi vlószínűsége nnk, hogy előbb motorosr tlálnk rá?. Péter és Pnni rndit beszélnek meg iskol után egy téren. Mivel mindketten tömegközlekedéssel utznk, csk zt rögzítik, hogy 5 és 6 között próbálnk odérni. Mégis, h Pnnink 0 percnél tovább kell várni Péterre, kkor hngult mélypontr zuhn, Péter pedig 5 percnél hosszbb várkozás esetén grntáltn tönkreteszi virágot. Mekkor vlószínűsége, hogy rndijuk tökéletesen sikerül?

43 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA. Az egyik kábeltévé társság kciót hirdetett: Az új előfizető jelenlétében megforgttk egy színes tárcsát, és h tárcs sárg része állt meg muttónál, egy hvi előfizetése ingyenes volt, h piros része állt meg muttónál, kkor fél évi előfizetési díját elengedték. Végezd el szükséges méréseket és állpítsd meg, hogy mekkor esélye volt z előfizetőknek két kedvezmény vlmelyikére!. Kirándulásunkon zt terveztük, hogy szállásunkról zöld jelzésen hldv elmegyünk tőle 0 km-re fekvő másik turistházb. Azt tájékozttást kptuk zonbn, hogy vlhol két turistház között z útvonl járhttln lett, mert ngy esőzések mitt vízátfolyás keresztezi z utt. Ezért megváltoztttuk eredeti tervünket, és délelőttre csk egy rövid sétát terveztünk z eredeti útvonlon, meglátogtv egy km-re fekvő forrást. Mi vlószínűsége nnk, hogy tervünket meg tudjuk vlósítni, és eljutunk forrásig?

44 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VIII. Vlószínűség és sttisztik Mintpéld Az lábbi táblázt zt muttj, hogy z ny koránk előrehldtávl hogyn változik Down-kór kockázt megszületendő csecsemőnél. Any életkor (év) Any életkor (év) Any életkor (év) Downszindróm rizikój Downszindróm rizikój Downszindróm rizikój 5 év ltt :500 :570 :65 5 :50 :70 :50 6 :00 5 :80 :5 7 :00 6 :0 5 :0 8 :00 7 :0 6 :0 9 :000 8 :90 7 :5 0 :90 9 :50 8 : :800 0 :0 9 :8 :680 :85 50 :6 Forrás: Éppen ezért tesztekkel vizsgálják mgztot, hogy időben megtudják, nem beteg-e. Úgy tűnik zonbn, tesztek is bizonyos hibávl működnek: z álpozitív rát zon esetek rányát muttj, melyekben mgzt nem beteg, bár teszt rendellenességet mutt, z is előfordulht, hogy mgzt beteg és ezt teszt nem jelzi. Azt, hogy betegség meglétét hány százlékbn muttj ki, teszt érzékenységének nevezzük. Az egyes tesztek ilyen jellegű megbízhtóságát muttj z lábbi táblázt: Az egyes tesztek megbízhtóság Down-szindrómár (nemzetközi dtok): Álpozitív rát Érzékenység Kombinált teszt - % 95 % Integrált teszt - % % Négyes teszt 5 % 80 % Forrás: Istenhegyi Géndignosztiki Nőgyógyászti és Csládtervezési Centrum Ismert, hogy mgztok közül minden 700-dik születne meg ezzel betegséggel. Vlkit megvizsgálnk Négyes teszttel, mi pozitív eredményt mutt. Mi z esélye nnk, hogy mgzt vlóbn beteg?

45 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 5 Induljunk ki mgztból! H minden 700-dik mgzt beteg, ez : 700 beteg mgzt. Közülük z érzékenységet figyelembe véve 0, 8 kp pozitív eredményt. Az egészséges mgztok szám = Figyelembe véve z álpozitív rátát, közülük is , nál teszt pozitív eredményt, zz betegséget mutt. Ez zt jelenti, hogy összesen + 99 = 507 teszteredmény mutt betegséget, de ezek közül vlódi beteg mgzt csk vn. Tehát pozitív teszt esetén betegség vlószínűsége 0, 0, zz lig több, mint %. 507 Mintpéld Egy üzletben egy csizmából következő méreteket rendelték: Méret drb ) Mi vlószínűsége nnk, hogy h egy kuty felkp egy drbot polc előtt lerkott hlomból, pontosn módusznk megfelelő drbot válsztj? b) Mi vlószínűsége, hogy mediánnk megfelelő drbbl fut el? Először állpítsuk meg, mi lesz ennek z dtsokságnk módusz, zz leggykrbbn előforduló eleme! 5-ös cipőből vn legtöbb, így nnk vlószínűségét kell kiszámítnunk, hogy kuty egy 5-ös cipőt válszt. p = = 0, Az dtsokság mediánját kkor kpjuk meg, h ngyság szerint sorbállított 55 cipőből kiválsztjuk 78-dikt < 78 < , tehát mediánnk megfelelő méret -es. Annk vlószínűsége, hogy kuty egy -es cipővel szld el p = = 0,

46 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintpéld Az ábrán láthtó korf mgyr népesség eloszlását muttj 999-ben. Kék színnel férfikt, pirossl pedig nőket jelöltük. ) Állpítsuk meg nnk vlószínűségét, hogy 999-ben egy véletlenszerűen kiválsztott ember nő volt. (A népesség Mgyrországon ebben z évben fő, nők szám kb volt). b) Állpítsuk meg nnk vlószínűségét, hogy bbn z évben egy véletlenszerűen kiválsztott ember 5 és 9 éves kor között volt ) Az első vlószínűség 0, b) Annk vlószínűségéhez, hogy 5 és 9 év közöttit válsszunk, meg kell állpítnunk számukt: ilyen korú férfi körülbelül volt, nő pedig ennél egy kicsit kevesebb, mondjuk Tehát korosztály létszám Annk vlószínűsége tehát, hogy 5 és 9 év közöttit válsztunk, 0, Vizsgáljuk meg nnk vlószínűségét is, hogy h vlki 999-ben tlálkozott Mgyrországon egy nővel, kkor z 5 és 9 év közötti volt! Azt kell megállpítnunk, hogy 0000 nők hányd része esik ebbe korb: 0, Állpítsuk meg zt is, mi vlószínűsége nnk, hogy vlki egy 5 és 9 év közötti nővel tlálkozott! Vn-e egyáltlán különbség z előbbi kérdéshez képest? Hát persze, hiszen itt teljes lkosságból kell vizsgálni z ilyen idős nők rányát. A keresett vlószínűség tehát , 0. Állpítsuk meg, milyen összefüggés vn négy dt között!

47 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 7 Legyen z A esemény, hogy 5 és 9 éves kor közöttivel tlálkozunk; P ( A ) 0, 068 ; B esemény, hogy nővel tlálkozunk; P ( B ) 0, 5 ; z AB esemény, hogy ilyen fitl nővel tlálkozunk; P ( AB ) 0, 0 z A B esemény, hogy h nővel tlálkozunk, z 5 és 9 év közötti P ( A B) 0, 065. Észrevehető és szemléletünkből is következik, hogy ( AB) ( B) P P ( A B) =. P Mit jelent vjon P ( B A)? Annk vlószínűségét, hogy h 5 és 9 éves közötti emberrel tlálkozunk, z nő lesz. Ellenőrizzük ezen képletünket! Az ismert dtokkl P ( B A ) = 0, 9 ( B A), képletünket hsználv pedig 0000 P P = ( AB) 0000 = = ( A) P A P(A B) kifejezést feltételes vlószínűségnek nevezzük. Azt muttj meg, hogy milyen vlószínűséggel teljesül z A esemény, h tudjuk, hogy B esemény bekövetkezett. Feldtok. A Budpesti Nemzetközi Vásár forgtgábn látogtók 70%- tért be C pvilonb, és ott minden 8. ember lávetette mgát egy speciális hátmsszázsnk. Mi vlószínűsége nnk, hogy látogtók közül egy embert megkérdező riporter olynnl tlálkozik, ki részesült msszázsbn?

48 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 5. Az lábbi táblázt 00-bn készült, és előre jelezte z ország demográfii helyzetét 007- re. Országos népesség-előreszámítás, Alpváltozt 007. I.. Korcsoport (jn..) Férfi Nő Együtt Ennyi nő jut 000 férfir Összesen Forrás: KSH Népességtudományi Kuttó Intézet Előreszámítási dtbázis, 00. Fogdjuk el, hogy ez most z ország vlós helyzetét muttj. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy h nővel tlálkozol, z fitlbb lesz 0 évesnél? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy h 0 évesnél fitlbbl tlálkozol, z nő lesz? c) Mi vlószínűsége nnk, hogy h 0 ember véletlenszerűen összejön, közülük pontosn 7 lesz 0 éven luli?

49 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 9 6. Az lábbi táblázt zt muttj, hogy 70 totó eredményei hogy lkultk 998-tól 006 végéig összesen -es es ) Mi reltív gykoriság nnk, hogy egy mérkőzés kimenetele (döntetlen) legyen? b) Mi reltív gykoriság nnk, hogy egy mérkőzés kimenetele legyen, vgyis hzi cspt nyerjen? Hányszor kkor ez gykoriság, mint z -es mérkőzéseké? c) H vlki minden mérkőzésre -et tippel, milyen vlószínűséggel tlálj el végeredményt? d) És h minden mérkőzésre tippje -es? Hányszor kkor ez vlószínűség, mint z előző végeredmény?

50 50 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Vegyes feldtok 7. Az áruházbn 0 doboz literes gyümölcslevet krunk vásárolni, esetleg különbözőket. Négyfélét lehet vásárolni: lm-, nrncs-, őszibrck- és szőlőlé vn polcokon. Hányféleképpen válszthtunk? 8. A dodekéder lkú dobókockán számok -től -ig szerepelnek. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy páros számot dobunk? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy prímszámot dobunk? c) H két ilyen dodekéderrel dobunk, mi vlószínűsége nnk, hogy dobott számok összege prím lesz? d) H két ilyen testtel dobunk, mi vlószínűsége nnk, hogy dobott számok öszszege páros lesz? 9. Az ikozéder lkú dobókockán számok -től 0-ig szerepelnek. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy páros számot dobunk? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy prímszámot dobunk? 50. Egy szerelmes progrmozó Vlentin npjár megváltozttt játék progrmját úgy, hogy szív előfordulási esélye minden oszlopbn kétszer kkor legyen, mint holdé vgy mosolygó rcé. Hogyn változtt ez nyerési esélyeken? 5. Egy történelemversenyen minden feldtbn - eseményt kell időrendi sorrendbe állítni. Az kp pontot, ki z. eseményt eltlálj, pontot, ki z első eseményt eltlálj, pontot, ki z első három, pontot, ki mind eseményt helyes sorrendbe rkj. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy vlki tippelgetéssel 0,,,, illetve pontot szerezzen? b) A versenyben olyn feldtsort állítottk össze, melyikben fenti feldttípusból 5 szerepel. Mi vlószínűsége nnk, hogy vlki történelmi ismeretek nélkül 8 pontot szerezzen?

51 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 5 5. Mi vlószínűsége nnk, hogy Mrci leglább kettesre megírj témzárót, zz tesztkérdésből leglább -re helyesen válszolt z A, B és C lehetőségek közül? 5. Elhtározzuk, hogy ruletten kétszer egymás után feketére teszünk. Az első játékot zsetonnl játsszuk. Azt is elhtározzuk, hogy h első pörgetésnél nyerünk, második pörgetéskor már nyereséget is feltesszük, tehát zsetonnl fogdunk, h pedig veszítünk, kkor ismét zsetonnl játszunk. Számítsd ki, mekkor nyereség várhtó értéke? 5. Az ábr egy 0 cm átmérőjű céltáblát mutt. A két kisebb kör átmérője 0, illetve 0 cm. Tudjuk, hogy céltáblár lövők 95%- eltlálj legngyobb kört. Azt is tudjuk, hogy zok közül, kik eltlálják legngyobb kört, 80% eltlálj legkisebbet is. Mi vlószínűsége nnk, hogy vlki beletlál legkisebb körbe?

52 5 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kisleikon Permutáció: n különböző elem egyik lehetséges sorrendje. n elem összes permutációink szám:! n, hol! = n ( n )... n. Ismétléses permutáció: n elem egyik lehetséges sorrendje, h z n elem nem mind különböző, hnem vn köztük k, k,, k m zonos ( k k k n) + m. Ezek szám: n! k! k!... k m.! Ciklikus permutáció: n különböző elemet úgy rendezünk sorb, hogy nincs első és utolsó elem. Két permutáció kkor számít különbözőnek, h vn olyn tgj permutációnk, melynek jobb vgy bl oldli szomszédj nem zonos. n elem ciklikus permutációink szám ( n )! Kombináció: n különböző elemből k drbot kell kiválsztni úgy, hogy kiválsztás sorrendje nem számít (k n). A lehetséges kiválsztások szám, melyet egy szimbó- n! k! ( n k)! lumml is jelölünk: n! k! n = ( n k)! k (olvsd: n ltt k). Ismétléses kombináció: (Kiegészítő nyg) n különböző fjt dologból k drbot kell kiválsztni úgy, hogy sorrend nem számít, és egyfjt elemet többször is kiválszthtunk. Az n + k ismétléses kombinációk szám:. k n! n k! n k!. k Vriáció: n különböző elemből k drbot krunk kiválsztni ( k n ), de kiválsztás sorrendje is számít. A vriációk szám: = ( ) Ismétléses vriáció: n különböző elemből k drbot krunk kiválsztni, mjd ezeket sorb rendezni, de egy elemet kár többször is válszthtunk. Az ismétléses vriációk szám: k n.

53 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 5 Esemény: vlószínűségszámításbn kísérletek egy lehetséges kimenetele. Elemi események: melyek nem bonthtók további esetekre. Vlószínűség: Egy A esemény vlószínűsége z szám, mely körül z esemény reltív gykoriság ingdozik. Jelölése: P(A). H z elemi események vlószínűsége egyenlő és teljes eseményteret (eseményrendszert) lkotnk, hsználhtjuk Lplce képletét klsszikus vlószínűség kiszámításár: kedvező esetek szám P ( A) = összes eset szám A+B esemény: z z esemény, mely kkor teljesül, h z A vgy B esemény közül leglább z egyik teljesül. A B esemény: z z esemény, mely kkor teljesül, h mind z A, mind B esemény teljesül. Az A + B esemény vlószínűsége: két esemény vlószínűségének összegéből levonjuk z együttes bekövetkezés vlószínűségét, zz ( A + B) = P( A) + P( B) P( A B) P. Teljes eseményrendszer: Adott kísérlet kimeneteleit vizsgálv z A, A,...Ak események teljes eseményrendszert lkotnk, h közülük két esemény egyszerre soh nem következhet be, vgyis két esemény együttes bekövetkezésének vlószínűsége 0, és nincs kísérletnek olyn kimenetele, mely nem trtozik vlmely eseményhez. A teljes eseményrendszer eseményeihez trtozó vlószínűségeket összedv -et kpunk. Röviden jelölve: ( A i A ) = 0 P j, h i ( A ) P( A ) P( A ) P. + k = A és A j tgji z eseményrendszernek, és Várhtó érték: Legyen egy kísérlet összes lehetséges kimenetele z A,A,...,An esemény (teljes eseményrendszer). H z A i esemény bekövetkezésének vlószínűsége p i, kkor kísérlet várhtó értéke p i A i szorztok összege: E ( A) p A + p A p n An =

54 5 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Binomiális eloszlás: H egy esemény bekövetkeztének vlószínűsége p, kkor nnk vlószínűsége, hogy n független kísérletből ez z esemény pontosn k-szor következik be: n p k k nk ( p). Feltételes vlószínűség: (Kiegészítő nyg) Azt muttj meg, hogy milyen vlószínűséggel teljesül z A esemény, h tudjuk, hogy B esemény bekövetkezett. Jelölése: P ( A B)..

55 . MODUL htványozás kiterjesztése, htványfüggvény Készítették: Csákvári Ágnes és Drbos Noémi Ágnes

56 56 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A htványozásról tnultk ismétlése Az előző évek során megismerkedtünk vlós számok egész kitevőjű htványivl, vlmint htványozás zonosságivl, illetve négyzetgyökvonássl és négyzetgyökös zonosságokkl. Ezeket z ismereteinket szeretnénk kibővíteni, de előbb ismételjük át tnultkt. Htványozás egész kitevőre n = K, hol R, n >, n N n drb tényező =, h R. 0 0 =, h 0, R. ( 0 -t nem értelmezzük) n + =, h 0, R, n N n A htványozás zonossági A htványozás definíciójábn felsorolt feltételek esetén: n m n+ m. = n nm. = 0 m n n n. ( b) = b n n. = b 0 n b b m = n n m 5. ( ) Mintpéld Számítsuk ki kifejezés pontos értékét! 5 8 Az lpokt írjuk fel prímszámok szorztként, és lklmzzuk htványozás zonosságit: 8 ( 7) ( ) ( 5) 7 5 = = = = ( 5 7) ( ) 5 7 6

57 . modul: HATVÁNYOZÁS KITERJESZTÉSE, HATVÁNYFÜGGVÉNY 57 Mintpéld Az -nk hánydik htvány z ( ) ( ) ( ) kifejezés? Bontsuk fel zárójeleket, és lklmzzuk htványozás zonosságit, h 0 : = =. Tehát kifejezés -nk 5. htvány. Feldtok. Melyik szám ngyobb? ) 7 7 vgy ( ) 7 b) 5 9 vgy c) 0 0 vgy d) vgy e) vgy f) vgy Hozd egyszerűbb lkr következő kifejezéseket! ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) 5 5 b b b b c) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c c d) ( ) ( ) ( ) 5 5 b b e) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 7 b b b b f) 7 b b b. Rkd növekvő sorrendbe következő számokt! ( ) 0 ; 5 ; ; ; ; ; 0,5 ;.. Írd fel következő kifejezéseket törtmentes lkbn! 5 6 ; ; ; ; 5 ; ; 6 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; b b b b. 5. Írd fel következő kifejezéseket negtív kitevő hsznált nélkül! 5 ; 7 ; ; ; 5 ; ; ; b b b.

58 58 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A négyzetgyökről tnultk ismétlése A négyzetgyök H 0, kkor jelöli zt nemnegtív számot, melynek négyzete. A négyzetgyökre vontkozó zonosságok. b = b 0, b 0. = 0, b > 0 b b k k. = ( ) > 0, k Z Mintpéld Htározzuk meg z lábbi kifejezések értékét! ) 8 b) 7 c) d) ( 9) e) ( 7 5) f) ) Alklmzzuk négyzetgyökre vontkozó. zonosságot: 8 = 6 = 6 b) 7 = 6 = 6 c) Alklmzzuk négyzetgyökre vontkozó. zonosságot, mjd lklmzzuk z összeg és különbség szorztár vontkozó nevezetes zonosságot: = = 00 5 = 9 = 7 ( 0 5)( 0 + 5) = 0 ( 5) = d) Felbontjuk zárójelet: 9 = = 9 = 5 e) Alklmzzuk kéttgú különbség négyzetére vontkozó zonosságot: ( 7 5) = ( 7 ) ( 5) = = = = 8 f) Emeljünk ki gyökjel lól: = = 5 5

59 . modul: HATVÁNYOZÁS KITERJESZTÉSE, HATVÁNYFÜGGVÉNY 59 Feldtok 6. Végezd el következő műveleteket! ) b) 8 8 c) ( ) f) g) ( 5 + 5) ( 96 ) 5 h) e) 98 d) Melyik szám ngyobb? ) 5 vgy 9 b) 5 90 ( 60 5) vgy + 5 c) 7 6 vgy ( ) 8. Htározd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) Htározd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) ( + 7 ) b) ( ) c) d) Végezd el következő műveleteket! ) b) c) d) 9b 5b + 6b 9b. Melyik szám ngyobb? ) 5 vgy 6 b) 5 vgy. Gyöktelenítsd következő törtek nevezőjét! ) 5 b) 6 5 c) 5 d) 7 e) 7 + 7

60 60 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Az n-edik gyök Mintpéld Egy kock térfogt Mivel kock térfogt: 5 cm. Mekkor kock élének hossz? V =, ezért hrmdik htvány 5. Ez szám z 5, mert 5 = 5. 5 =. Azt számot keressük, melynek Az vlós szám köbgyöke z vlós szám, melynek hrmdik htvány : ( ) = Például 5 = 5, mert 5 = 5. Mintpéld 5 Két kock térfogtánk különbsége 50 cm, élhosszuk különbsége 6 cm. Számítsuk ki térfogtuk rányát! Mekkor hsonlóság rány? Jelöljük kisebbik kock élének hosszát -vl, ekkor térfogt: V =. A ngyobbik kock élének hossz ekkor + 6 = Különbségük: V = 50 ( + 6) 50 V. Felhsználv ( b) = + b + b + b, térfogt: ( ) V. = nevezetes zonosságot: = 50. A rendezés után egy másodfokú egyenletet kpunk: = 0. A másodfokú egyenlet megoldóképletét lklmzv: ( 6) 6 ± 6, = = = 8. Egy kock élhossz csk pozitív szám lehet, ezért =. V, V = ( + 6) = 8 5 Ebből = 8 = = Hsonló testek térfogtánk rány hsonlóság rányánk köbével egyenlő: V V = 8 5 = 6 = λ λ = 6 =, mert = 6. A kockák térfogtink rány, hsonlóság rány. 6

61 . modul: HATVÁNYOZÁS KITERJESZTÉSE, HATVÁNYFÜGGVÉNY 6 Az előzőek lpján definiáljuk gyököt áltlános formábn is, de meg kell különböztetnünk páros és pártln eseteket. Páros gyökkitevő esetén definíció hsonló lesz négyzetgyök, pártln gyökkitevő esetén köbgyök definíciójához. Az n-edik gyök definíciój Páros pozitív egész n-re z nemnegtív vlós szám n-edik gyöke z nemnegtív vlós szám, melynek z n-edik htvány. Például: 8 =, mert 6 = 8; 6 =, mert 6 = 6. Pártln, -nél ngyobb egész n-re z vlós szám n-edik gyöke z vlós szám, melynek z n-edik htvány. Például: 7 =, mert = 7 ; 5 =, mert ( ) 5 =. Jelölés: z szám n-edik gyöke: n. Megjegyzés: n = -re z n -t nem értelmezzük. Az n-edik gyökre vontkozó zonosságok A definíció áltl megengedett értékekre (n >, n N) n n n. b = b, h n = p, kkor 0, b 0 (p N + ). n n =, 0 n b b = b n k n. ( ) k n m n m. = 5. n m n k m k =, m, k Z\{0; }, n N\{0; }

62 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feldtok. Számítsd ki következő kifejezések értékét! ) 65 b) 8 c) 8 56 d) 6 79 e) 6 6 f) 8 g) 5 h) i) 7 8 j) 9 k) 5 l) 6 m) 5 n) o) 8 p) 6. Számítsd ki következő kifejezések értékét! ) ( ) b) b) ( ) d) e) f) 6 6 g) h) Melyik szám ngyobb? ) 5 vgy 7 b) 5 vgy 6 6. Keresd meg párját! 5 5 ) 6 A) b) 7 B) 5 80 c) 8 C) d) 6 D) 9 7. Htározd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 7 7 +

63 . modul: HATVÁNYOZÁS KITERJESZTÉSE, HATVÁNYFÜGGVÉNY 6 8. Hozd egyszerűbb lkr következő kifejezéseket! ) ( 0) 5 b 5 7 c) ( b > 0) b 5 b b 5 ( ) b) ( 0) 7 5 d) ( b > 0) b b b b b b

64 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE IV. Htványfüggvények, gyökfüggvények A htványfüggvény és z n-edik gyökfüggvény ábrázolás Mintpéld 6 Ábrázoljuk és jellemezzük z m() = 0 és z n() = függvényeket! Értelmezési trtományuk vlós számok hlmz. Jellemzés: m() = 0 n() =. É.T. R R. É.K. {} R. zérushely nincs = 0. monotonitás konstns függvény teljes értelmezési trtományon szigorún monoton növő 5. szélsőérték minden helyen minimum és mimum nincs vn, melynek értéke. 6. pritás páros pártln Mintpéld 7 Ábrázoljuk és jellemezzük vlós számok hlmzán értelmezett f() = és g() = függvényeket! H szükséges, készítsünk értéktábláztot. Jellemzés: Mindkét függvényre egyránt érvényesek z lábbi tuljdonságok:. É.T. R. É.K. R + {0}. zérushely = 0. monotonitás 0: szig. mon. csökk. 0: szig. mon. növő 5. szélsőérték bszolút minimumhely: = 0 bszolút minimumérték: f (0) = 0 6. pritás páros

65 . modul: HATVÁNYOZÁS KITERJESZTÉSE, HATVÁNYFÜGGVÉNY 65 Mintpéld 8 Készítsük el vlós számok hlmzán értelmezett h() = és k() = 5 függvények grfikonját, és jellemezzük függvényeket! H szükséges, készítsünk értéktábláztot. Jellemzés: Mindkét függvényre egyránt érvényesek z lábbi tuljdonságok. É.T. R. É.K. R. zérushely = 0. monotonitás teljes értelmezési trtományon szigorún monoton növő 5. szélsőérték nincs 6. pritás pártln Mintpéld 9 Ábrázoljuk és jellemezzük nemnegtív vlós számok hlmzán értelmezett () = és b() = függvényeket! H szükséges, készítsünk értéktábláztot. Jellemzés: Mindkét függvényre egyránt érvényesek z lábbi tuljdonságok. É.T. R + {0}. É.K. R + {0}. zérushely = 0. monotonitás szigorún monoton növő 5. szélsőérték bszolút minimumhely: = 0 bszolút minimumérték: f (0) = 0 6. pritás nem páros, nem pártln

66 66 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintpéld 0 Ábrázoljuk és jellemezzük vlós számok hlmzán értelmezett c() = és d() = 5 függvényeket! H szükséges, készítsünk értéktábláztot. Jellemzés:. É.T. R. É.K. R. zérushely = 0. monotonitás szigorún monoton növő 5. szélsőérték nincs 6. pritás pártln Feldtok 9. Válszolj z lábbi kérdésekre! (Az 8. kérdések z f() =, g() =, h() = és k() = 5 függvényekre vontkoznk.). Milyen összefüggést veszel észre z értékkészlet és z kitevője között?. Milyen összefüggést veszel észre ezen kitevő és függvény pritás között?. Melyek zok pontok, melyeken minden páros kitevőjű htványfüggvény grfikonj áthld?. Melyek zok pontok, melyeken minden pártln kitevőjű htványfüggvény grfikonj áthld? 5. E pontok segítségével mit tudsz mondni z f() = és g() = függvények grfikonjánk egymáshoz vló viszonyáról? Tudnád-e áltlánosítni ezt z észrevételt? 6. E pontok segítségével mit tudsz mondni z h() = és k() = 5 függvények grfikonjánk egymáshoz vló viszonyáról? Tudnád-e áltlánosítni ezt z észrevételt? 7. Elmondhtó-e pártln függvényekről, hogy minden helyhez pontosn egy függvényérték trtozik és fordítv, minden függvényértékhez pontosn egy hely trtozik, vgyis függvény kölcsönösen egyértelmű? 8. Elmondhtó-e ez páros függvényekről is? H nem, tudsz-e z értelmezési trtománynk olyn részhlmzát mondni, melyre teljesül?

67 . modul: HATVÁNYOZÁS KITERJESZTÉSE, HATVÁNYFÜGGVÉNY 67 Most vizsgáljuk z () =, b() =, c() = és d() = 5 függvényeket! 9. Milyen összefüggést veszel észre z értékkészlet és gyökkitevő között? 0. Milyen összefüggést veszel észre gyökkitevő és függvény pritás között?. Melyek zok pontok, melyeken minden páros gyökkitevőjű függvény grfikonj áthld?. Melyek zok pontok, melyeken minden pártln gyökkitevőjű függvény grfikonj áthld?. E pontok segítségével mit tudsz mondni z () = és b() = függvények grfikonjánk egymáshoz vló viszonyáról? Tudnád-e áltlánosítni ezt z észrevételt?. E pontok segítségével mit tudsz mondni c() = és d() = 5 függvények grfikonjánk egymáshoz vló viszonyáról? Tudnád-e áltlánosítni ezt z észrevételt? 5. Kölcsönösen egyértelműek-e ezek függvények? Definíciók: Minden vlós számhoz egyértelműen hozzárendelhetjük nnk n-edik htványát, hol n N +. Az f () = n, n N + hozzárendelési utsítássl kpott függvényeket htványfüggvényeknek nevezzük. H n > és pártln, kkor minden vlós számhoz hozzá tudjuk rendelni nnk n-edik gyökét. H n páros, kkor minden nemnegtív vlós számhoz tudjuk egyértelműen hozzárendelni nnk n-edik gyökét. A g () = n, n N \ {0,} hozzárendelési utsítássl kpott függvényeket gyökfüggvényeknek nevezzük. Egy függvény invertálhtó, h kölcsönösen egyértelmű.

68 68 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 0. Számítsd ki függvények értékét megdott helyeken! ) f () = (+) {,5; ; ; 0; 0,5; } b) g() = { ; ; 0; 0,5; } c) h()= 0 { 6; ; ;,5; } 8 d) k() = { 8; ; 0; 6 ;,076; 65}. Állpítsd meg, hogy z dott pontok mely függvények grfikonján tlálhtók! Egy pont több függvény grfikonján is rjt lehet, illetve tlálhtsz olyn pontot is, melyik egyik függvény hozzárendelési utsításánk sem felel meg. Pontok: A( ; ) B(; ) C( ; ) D( 8; ) E(56; ) F( ; ) G(7; 6807) H 5 ; I(0,07; 0,) J( 0,; 7,0 & 7& ) K( 0,; 6,5) L( 0,; 0,00079) M(0,6; 0,07776) N,; O,5; P ; Q ; R ; S ;9 T ; Függvények: () = :... b() = :... c() = - :... d() = - :... e() = 5 :... f () = 6 :...

69 . modul: HATVÁNYOZÁS KITERJESZTÉSE, HATVÁNYFÜGGVÉNY 69 Kpcsolt htványfüggvény és gyökfüggvény között Mintpéld Ábrázoljuk és jellemezzük z () = és b() = függvényeket legtágbb értelmezési trtományon! Jellemzés: () = b() =. É.T. R R + {0}. É.K. R + {0} R + {0}. zérushely = 0 = 0. monotonitás 0: szig. mon. csökk. 0: szig. mon. növő szigorún monoton növő 5. szélsőérték bszolút minimumhely: = 0 bszolút minimumhely: = 0 bszolút minimumérték: (0) = 0 bszolút minimumérték: b (0) = 0 6. pritás páros nem páros, nem pártln 7. invertálhtósátó: R + {0} vgy R {0} megfelelő leszűkítés után invertálh- invertálhtó Mintpéld Ábrázoljuk és jellemezzük vlós számok hlmzán értelmezett c() = és d() = függvényeket!

70 70 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Jellemzés: c() = d() =. É.T. R R. É.K. R R. zérushely = 0 = 0. monotonitás szigorún monoton növő szigorún monoton növő 5. szélsőérték nincs nincs 6. pritás pártln pártln 7. invertálh tóság invertálhtó invertálhtó Áltlánosítv: Az eddigiekben htvány és gyökfüggvények kpcsoltát vizsgáltuk. Megállpítottuk, hogy zonos pártln kitevő esetén egymás inverzei. A gyökfüggvények vizsgáltához figyelembe kell venni, hogy h kitevő páros, kkor gyök csk nem negtív számokr értelmezhető. H kitevő pártln, kkor tetszőleges vlós számnk létezik gyöke. A megfelelő gyökfüggvények grfikonj: A gyökfüggvények jellemzése: f () = k + g () =. É.T. R + {0} R. É.K. R + {0} R. zérushely = 0 = 0. monotonitás szigorún monoton növő szigorún monoton növő 5. szélsőérték bszolút minimumhely: = 0 bszolút minimumérték: f (0) = 0 nincs 6. pritás nem páros, nem pártln pártln 7. invertálh tóság invertálhtó invertálhtó k

71 . modul: HATVÁNYOZÁS KITERJESZTÉSE, HATVÁNYFÜGGVÉNY 7 Mintpéld Melyik z legbővebb számhlmz, melyen következő függvények értelmezhetők? ) () = + b) b() = + c) c() = 0 + d) d() = + e) e() = 5 ) Mivel gyökkitevő páros, ezért gyökjel ltti kifejezés nem lehet negtív. + 0, zz megoldás [ ; [ hlmz. b) Mivel gyökkitevő pártln, zért z értelmezési trtomány vlós számok hlmz. c) Mivel gyökkitevő páros, ezért gyökjel ltti kifejezés nem lehet negtív. Oldjuk meg z 0 egyenlőtlenséget!, = ± +, ebből = és = A keresett trtomány: ] ; ] [ ; [ d) Mivel gyökkitevő pártln, zért z értelmezési trtomány vlós számok hlmz. e) Mivel gyökkitevő pártln, ezért gyökjel ltti kifejezés vlós számok hlmzán értelmezett. Csk zt kell megvizsgálni, hogy nevező hol veszi fel null értéket, mert ott nincs értelmezve tört. 5 = 0, ebből = 0, vgyis z e függvény értelmezési trtomány vlós számok hl- mz, kivéve 0-át. Mintpéld Ábrázoljuk és jellemezzük z f () = ( + ) függvényt! Trnszformációs lépések:. () = lpfüggvény ábrázolás. b() = ( + ) grfikonjánk eltolás v( ; 0) vektorrl. c() = ( + ) b grfikonjánk tükrözése z tengelyre. f () = ( + ) c grfikonjánk eltolás v(0; ) vektorrl

72 7 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Jellemzés:. É.T. R. É.K. R. zérushely ( + ) = 0, ebből =. monotonitás szigorún monoton csökkenő 5. szélsőérték nincs 6. pritás nem páros, nem pártln 7. invertálhtó Mintpéld 5 Ábrázoljuk és jellemezzük z g() = + függvényt! Trnszformációs lépések:. () = lpfüggvény ábrázolás. b() = grfikonjánk eltolás v(; 0) vektorrl. c() = b grfikonjánk kétszeres nyújtás z y tengely mentén. g() = + c grfikonjánk eltolás v(0; ) vektorrl Jellemzés:. É.T. [ ; [. É.K. [ ; [. zérushely nincs. monotonitás szigorún monoton növő 5. szélsőérték bszolút minimumhely: = bszolút minimumérték: g() = 6. pritás nem páros, nem pártln 7. invertálhtó

73 . modul: HATVÁNYOZÁS KITERJESZTÉSE, HATVÁNYFÜGGVÉNY 7 Mintpéld 6 Ábrázoljuk és jellemezzük z lábbi függvényeket! ) e() = b) f () = 6 ) Trnszformációs lépések:. ( ) = lpfüggvény ábrázolás. b( ). ( ) Jellemzés: = grfikonjánk tükrözése z tengelyre e = b grfikonjánk eltolás v(0; ) vektorrl. É.T. R. É.K. R. zérushely = 0 = = 8. monotonitás szigorún monoton csökkenő 5. szélsőérték nincs 6. pritás nem páros, nem pártln 7. invertálhtó b) Az ábrázoláshoz végezzük el következő átlkítást: 6 = ( 6 ) = 6( ) = ( ) A trnszformáció lépései:. () = lpfüggvény ábrázolás. b() = grfikonjánk eltolás v(;0) vektorrl. c() = ( ) b grfikonjánk tükrözése z = egyenesre. f () = ( ) c grfikonjánk kétszeres nyújtás z y tengely mentén Jellemzés:. É.T. ] ; ]. É.K. R +. zérushely =. monotonitás szigorún monoton csökkenő 5. szélsőérték bszolút minimumhely: = bszolút minimumérték: f () = 0 6. pritás nem páros, nem pártln 7. invertálhtó

74 7 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feldtok. Htározd meg mindzokt z -eket, melyekre értelmezhető függvény! ) f () = b) g() = c) h() = + d) i() = g) l() = 7 e) j() = 5 f) k() = 7. Htározd meg mindzokt z -eket, melyekre értelmezhető függvény! + 5 ) () = 6 5 b) b() = 8 c) c() = + 7 e) e() = 6 f) f () = d) d() = ( )( + 8) g) g() = 6 h) h() = 6 +. Ábrázold és jellemezd z lábbi htványfüggvényeket megdott értelmezési trtományokon! ) f () = ; Z b) g() = + ; [ ; [ c) h() = ; ],5;,5 [ d) i() = ; N e) j() = ( ) ; [ ; ] f) k() = ( + ) ; [ 5; ] 5. Ábrázold és jellemezd z lábbi gyökfüggvényeket megfelelő értelmezési trtományokon! ) () = + b) b() = c) c() = d) d() = e) e() = f) f () = + 6. Ábrázold és jellemezd z lábbi htványfüggvényeket vlós számok hlmzán! ) f () = + b) g() = c) h() = + d) k() = e) l() = ( ) + f) m() = ( + ) 7. Ábrázold és jellemezd z lábbi gyökfüggvényeket megfelelő értelmezési trtományokon! ) () = b) b() = c) c() = + d) d() = + e) e() = +

75 . modul: HATVÁNYOZÁS KITERJESZTÉSE, HATVÁNYFÜGGVÉNY 75 V. A htványozás kiterjesztése rcionális kitevőre A htvány foglmát z eddig megismert egész kitevőkről tört kitevőkre is szeretnénk kiterjeszteni úgy, hogy z ismert zonosságink továbbr is érvényben mrdjnk. Az ilyen jellegű követelményt mtemtikábn permnenci-elvnek nevezzük. Mintpéld 7 Egy sejttenyészet óránként duplázódik meg. Kezdetben sejtünk vn. Mennyi lesz ór, ór, ór, ór,,5 ór múlv? ór múlv: ór múlv: ór múlv: = = = = = 8 = ór múlv: 8 = 6 =,5 ór múlv: A,5,5 értékét krjuk meghtározni. Legyen,5 mindkét oldlát négyzetre emelve: = ( ),5 =, hol > 0. Az egyenletet. Alklmzzuk htvány htványár vontkozó zonosságot: 9 =. Ennek pozitív megoldás z 9 =.,5 9 Azz zt kptuk, hogy = = = = 5, 6. Megközelítőleg ennyi sejtünk vn,5 ór múlv. 9 Mintpéld 8 Próbáljunk értelmet dni z lábbi törtkitevőjű htványoknk z előző feldt gondoltmenete lpján! ) 6 ( 6) b) 6 ( 6) ) Legyen = 6, y = ( 6), hol > 0, mert pozitív számok htványit pozitívnk értelmezzük.

76 76 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Négyzetre emelve: 6 6, ( 6) = 6 = = = y. Ebből: = 6 =, mert > 0; y = 6 pedig nem értelmezhető. Innen: = = 6 = 6 b) Legyen = 6, y = ( 6), hol > 0, mert pozitív számok htványit pozitívnk értelmezzük. Hrmdik htványr emelve: = 6 = 6, y = ( 6) = 6 Ebből: = 6 =, y = 6 =.. Mivel =, vizsgáljuk meg z 6 = 6 és z y = ( 6)6 számokt ( ) = 096, = ( 6) 6 6 [ ] 096 = 6 y = 6 6 Htodik htványr emelve: 6 6 = 096 = 096, y = 096 = Ebből: = =, y = 096 = 6 Észrevehetjük, hogy = 6 = 6 = 6, de ( ) ( )6 y = 6 = 6 eredménye nem htározhtó meg egyértelműen (először -et, másodszor -et kptunk eredményül), ezért negtív lp esetén nem értelmezzük törtkitevőjű htványokt. 6 Egy pozitív vlós szám k n -dik htvány z lp n-edik htványából vont k-dik gyök. n k k n = > 0, R n Z, k N \ { 0;} n Megállpodás: H > 0, k n k kkor 0 = 0.

77 . modul: HATVÁNYOZÁS KITERJESZTÉSE, HATVÁNYFÜGGVÉNY 77 Mintpéld 9 Számítsuk ki következő htványok pontos értékét! 5 6 ) 6 b) 56 c) 8 d) 5 e) ) 6 = 6 = ( 6) = = 5 0, f) 0,5 b) 56 = 56 = ( 56) = = 6 c) = 8 = ( 8) = = 8 = d) = 5 = ( 5) 7 5 = 5 = = , 5 e) = = = 0,5 f) = = = ( ) = = Feldtok 8. Írd fel gyökjelekkel következő htványokt! ) 5 b) 7 c) 6 d) 8 e) 5 f) 5 g) ( 9 ) h) ( 6y ) i) z 8 j) 5 k) y 8 l) z 7 9. Írd át törtkitevős lkr következő gyököket! ) b) 5 c) 5 d) e) 5 f) 5 0. Keresd meg párját! 5 ) A) 6 9 b) B) 5

78 78 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE c) C) d) e) 5 D) 5 E) 8 f) 7 F) 8. Rendezd növekvő sorrendbe következő számokt! 8 6. Írd fel htványként következő kifejezéseket! ) 7 b) 5 c) 8 d) 7 5 e) f) 9 g) 9 h) 6 i) 7 j) Hozd egyszerűbb lkr következő htványokt! ) b) b b c) c c 6 5 d) d d e) 5 e e f) f 5 f

79 . modul: HATVÁNYOZÁS KITERJESZTÉSE, HATVÁNYFÜGGVÉNY 79 Mtemtiki TOTÓ Htározd meg következő kifejezések értékét! X Nem értelmezzük 5. 7 Nem értelmezzük ( ) 0,5 8 0,

80 80 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Vegyes feldtok. Htározd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) ( ) b) ( + 8) c) d) Htározd meg mindzokt z -eket, melyekre értelmezhető függvény! 0 ) () = b) b() = 9 7 c) c() = + d) d() = 6 e) e() = 7 6. Htározd meg mindzokt z -eket, melyekre értelmezhető függvény! ) () = 5 b) b() = + c) c() = 5 d) d() = 5 8 e) e() = 5 + f) f () = g) g() = 0 9 +

81 . modul: HATVÁNYOZÁS KITERJESZTÉSE, HATVÁNYFÜGGVÉNY 8 Kisleikon Köbgyök: Az vlós szám köbgyöke z vlós szám, melynek hrmdik htvány : ( ) = n-edik gyök: Páros pozitív egész n-re z nemnegtív vlós szám n-edik gyöke z nemnegtív vlós szám, melynek z n-edik htvány (n N + \{}). Pártln, -nél ngyobb egész n-re z vlós szám n-edik gyöke z vlós szám, melynek z n-edik htvány. Jelölés: z szám n-edik gyöke: n.. Az n-edik gyökre vontkozó zonosságok: A definíció áltl megengedett értékekre. (n >, n N) n n n. b = b, h n = p, kkor 0, b 0 (p N + ). n = n b 0 n b b = n k n. ( ) k n m n m. = 5. n m n k m k =, m, k Z\{0; }, n N\{0; } Törtkitevős htvány: egy pozitív vlós szám k n -dik htvány z lp n-edik htványából vont k-dik gyök. n k k n = > 0, R n Z, k N \ { 0;} n Megállpodás: H > 0, k n k kkor 0 = 0. Htványfüggvény: A vlós számok hlmzán értelmezett f() = n, n N + függvényeket htványfüggvényeknek nevezzük.

82 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Gyökfüggvény: A g () = n, n N \ {0,} függvényeket gyökfüggvényeknek nevezzük. H n > és pártln, kkor minden vlós számhoz hozzá tudjuk rendelni nnk n-edik gyökét. H pedig páros, kkor nem negtív vlós számokhoz tudjuk egyértelműen hozzárendelni nnk n-edik gyökét. Invertálhtó függvény: Egy függvény invertálhtó, h kölcsönösen egyértelmű. Permnenci-elv: Azt jelenti, hogy egy művelet értelmezését úgy terjesztjük ki bővebb számhlmzr, hogy szűkebb hlmzbn érvényes műveleti szbályok bővebb hlmzbn is érvényesek mrdjnk.

83 . MODUL eponenciális függvények és egyenletek Készítették: Csákvári Ágnes és Drbos Noémi Ágnes

84 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Eponenciális függvény Eddigi tnulmányink során tlálkoztunk bszolútérték-függvénnyel, trigonometrikus függvényekkel, gyökfüggvényekkel, vlmint htványfüggvénnyel. Ez utóbbinál htványlp állndón változott, htványkitevőt pedig rögzítettük. Most megnézzük, mi lesz függvény képe, és milyen tuljdonságú lesz függvény, h htványlpot rögzítjük, és htványkitevőt változttjuk. Először megnézzük egynél ngyobb, mjd egynél kisebb szám htványit. Ezek után z egy oszlopb trtozó számokból rendezett értékpárokt képezünk, melyeket koordinát-rendszerben ábrázolunk. Feldtok ). Töltsd ki z lábbi értéktábláztokt! 0 b) 0 c) 0 Megjegyzés: H z lp, kkor már ismert konstns függvényt kpjuk, mivel -nek minden htvány. Ezért z lpot nem válsztjuk z eponenciális függvény lpjánk.

85 . modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNYEK ÉS EGYENLETEK 85. Képezz pontokt z.) és z.b) feldtok lpján z értéktábláztok oszlopiból, és ábrázold külön koordinát-rendszerben z.) pontjit, és z.b) pontjit!. Válszolj következő kérdésekre!. Milyen előjelű lehet htványozás eredménye?. Eddigi ismereteid lpján milyen számok szerepelhetnek htványkitevőben?. Az elkészített grfikonoknk lehet-e közös pontjuk z tengellyel? Miért?. Mit tudsz mondni két grfikon monotonitásáról? 5. A vlóságbn elhelyezkedhetnek-e ezek pontok sűrűbben? 6. Az f ( ) =, illetve g( ) tetszőleges értékéhez egyetlen htvány trtozik-e? Igz-e ez fordítv? = A fentieket áltlánosíthtjuk: létezik z ( ) f =, > 0, függvény. Ez függvény kölcsönösen egyértelmű. Megfigyelésünkben zt is láttuk, hogy grfikon tetszőlegesen megközelíti z tengelyt, de zt soh nem éri el. Az ilyen egyeneseket szimptotánk nevezik. Ezért z tengely függvény grfikonjánk z szimptotáj. Ez zt jelenti, hogy függvény lulról korlátos, mégpedig lsó korlátj 0. Abszolút minimum nincs, zz nincs olyn legkisebb szám, melynél kisebb értéket függvény ne venne fel! Mivel z értelmezési trtomány rcionális számok hlmz, ezért függvény grfikonj diszkrét pontokból áll függetlenül ttól, hogy ezek pontok tetszőlegesen közel helyezkedhetnek el egymáshoz. Az értelmezési trtomány permnenci-elv lpján kiterjeszthető vlós számok hlmzár úgy, hogy htványozás zonossági és függvény tuljdonsági érvényben mrdnk. Ekkor grfikon is folytonos lesz. Kiegészítő nyg: Számítsuk ki értékét! Azt már korábbn láttuk, hogy egy irrcionális szám tetszőleges pontosn megközelíthető rcionális számml. Adjunk egy tetszőleges közelítést -re.

86 86 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE, < <,5,< <,, < <,5, < <, Kihsználv függvény szigorú monotonitását,7,7,78,787,,,, < < < < < < < < -re következő közelítést kpjuk:,5,,5 5,,,76,7,79 Ábrázoljuk számegyenesen ezeket z intervllumokt! Az ábráról látszik, hogy tuljdonképpen egymásb sktulyázott intervllumokról vn szó. Bebizonyíthtó, hogy bármeddig folyttjuk ezen egymásb sktulyázott intervllumok képzését, egyetlen olyn pont vn, melyik mindegyik intervllumnk közös pontj. Ehhez ponthoz rendelt vlós számml definiáljuk htványt. Az eddigi tpsztltok áltlánosításávl eljutunk z eponenciális függvény foglmához. Legyen pozitív vlós szám,, R. Ekkor z f () = függvényt eponenciális függvénynek nevezzük. Megjegyzés: A későbbiek során fenti hozzárendelési utsítássl megdott függvényt tekintjük lpfüggvénynek. A név z eponens ltin szóból szármzik, mely kitevőt jelent. Vgyis független változó htványkitevőben tlálhtó.

87 . modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNYEK ÉS EGYENLETEK 87 Mintpéld Ábrázoljuk és jellemezzük vlós számok hlmzán értelmezett eponenciális függvényt (lpfüggvényt)! Az értékétől függően két esetet különböztetünk meg: Első eset: 0 < < Második eset: > Jellemzés R. É.T. R R +. É.K. R + nincs. zérushely nincs szigorún monoton csökkenő. monotonitás szigorún monoton növő nincs 5. szélsőérték nincs nem páros, nem pártln 6. pritás nem páros, nem pártln invertálhtó 7. invertálhtóság invertálhtó. Számítsd ki számológép hsználtávl függvényértékeket z lábbi helyeken, mjd becsüld meg pont helyét koordinátsíkon! A koordinát-rendszerben egy egység 0,-nek feleljen meg. A függvényértékeket két tizedesjegy pontosn htározd meg! 0,9 0,5 0 0,0 0, 0,8 5 Eponenciális függvényekkel vlós életben is tlálkozhtunk, mikor bizonyos folymtokt szeretnénk leírni. Ilyen folymtok például: tőke növekedése termelés növekedése kmtos kmt

88 88 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE pici folymtok élőlények szporodás rdioktív nyg bomltln tomjink szám z eltelt idő függvényében légnyomás csökkenése mgsság függvényében Megjegyzés: Az első három folymttl soroztoknál mjd részletesen fogllkozunk. Mintpéld H 0 időpontbn N 0 számú bomltln tomot trtlmzott rdioktív nyg, kkor t idő múlv még bomltln tomok szám N t λ t = N 0 e lesz (e,78). A λ neve bomlási állndó (megdj, hogy időegység ltt z tomok hányd része bomlik el z dott nygbn), értéke pedig C szénizotóp esetén λ =, 0. év ) A C tomok széntomok hány százlék bomlik el 5, 0, 0, illetve 00 év múlv? b) A C tomok hány százlék bomlik el évente? ) Tudjuk, hogy kiindulási évben bomltln széntomok szám N 0, mjd t idő elteltével ez z érték N t = N0 78 0,000 t, lesz. Az 00 N t érték dj meg, hogy t idő el- N teltével széntomok hány százlék mrd bomltln. Ebből következik, hogy széntomok 0,000 t 0 0,000 t (,78 ) 00 N, t N = 00 = százlé- N 0 N0 k bomlik el. t helyébe behelyettesítjük konkrét értékeket: 0, év múlv: (,78 ) 00 0, év múlv: (,78 ) 00 0, év múlv: (,78 ) 00 0, év múlv: (,78 ) 00 = 0,0697%, = 0,9%, = 0,77%, =,%. b) Tudjuk, hogy t időpontbn bomltln tomok szám N λ t t = N 0 e, következő évben pedig N t + = N0 e λ ( t + ). Az N t + hánydos dj meg, hogy következő évben N t

89 . modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNYEK ÉS EGYENLETEK 89 z tomoknk hány százlék mrdt bomltln. Behelyettesítve kpjuk: N 0 N e 0 λ ( t+ ) A htványozás zonosságink felhsználásávl egyszerűsítés után z eredmény N = e t+ λ N t =,78 0,000 e λ t = 0, Vgyis rdioktív széntomok 99,988%- mrd bomltln évente. Tehát 0,0%- bomlik el évente. Feldtok 5. Egy tvirózs megfigyelés kezdetekor m vízfelületet fed be, mjd hetente megduplázz befedett felületet. ) Ábrázold, hogyn függ befedett terület hetekben mért időtől! b) Olvsd le grfikonról, hogy mennyi idő ltt lesz befedett terület 8 m, 5 m, 0 m!. 6. Az úgynevezett fékezett (logisztikus) növekedés mtemtiki modellje szerint egy populáció egyedszám időben nem végtelenségig nő, hnem vizsgált kezdetétől eltelt t idő múlv lélekszám K N 0 N( t) =, hol N 0 z induló egyedszám, N + 0 t ( K N ) K körülmények szerint eltrthtó mimális egyedszám, pedig növekedésre jellemző állndó. Tudjuk, hogy egy populáció induló egyedszám volt, K = 0 000, = 0,6; t időt években mérjük. Hány tgú lesz populáció,, 8, 0 év múlv? 0 7. H 0 időpontbn N 0 számú bomltln tomot trtlmzott rdioktív nyg, kkor t idő múlv még bomltln tomok szám N t λ t = N 0 e lesz (e,78). A λ neve bomlási állndó (megdj, hogy időegység ltt z tomok hányd része bomlik el z dott nygbn). A gyógyásztbn dgntos területek kezelésére ún. kobltágyút hsználtk, melyben 60-s tömegszámú kobltizotóp rdioktív (gmm-sugár) forrás. A kobltizotóp bomlási állndój λ = 0,. év ) A koblttomok hány százlék bomlik el, 5, 0, 5 év ltt? b) A rdioktív tomok hány százlék bomlik el évente?

90 90 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Az eponenciális függvények ábrázolás Mintpéld Ábrázoljuk közös koordinát-rendszerben következő vlós számok hlmzán értelmezett függvényeket! Számítsuk ki függvényértékeket megdott helyeken! Állpítsuk meg monotonitásukt! ) f () = ; f (0) =?; f () =?; f ( ) =? g () = ; g (0) =?; g () =?; g ( ) =? 5 b) h () = 6 ; h (0) =?; h () =?; h ( ) =? k () = ) b) ; k (0) =?; k () =?; k ( ) =? f (0) = ; f () = ; f ( ) = h (0) = ; h () = 5 ; h ( ) = 5 g (0) = ; g () = ; g ( ) = k (0) = ; k () = ; k ( ) = szigorún monoton csökkenők szigorún monoton növekedők

91 . modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNYEK ÉS EGYENLETEK 9 Feldt 8. Válszolj z lábbi kérdésekre!. Vn-e olyn pont, melyik minden lpfüggvény grfikonján rjt vn? H igen, melyik ez?. Hogyn változik z f () = függvény hozzárendelési utsítás, h grfikonját eltoljuk z y tengely mentén pozitív irányb egységgel?. Mi lesz nnk függvénynek hozzárendelési utsítás, melynek grfikonját z f () = függvény grfikonjából nnk tengely menti egységgel történő eltolásávl kpjuk? függvény grfikonjából, hogy minden függvényértéket megszor- = zunk -ml?. Mi lesz nnk függvénynek hozzárendelési utsítás, melynek grfikonját úgy kpjuk z f ( ) 5. Hogyn változik z f () = függvény hozzárendelési utsítás, h grfikonját tükrözzük z tengelyre? 6. Hogyn változik z f ( ) = függvény hozzárendelési utsítás, h grfikonját tükrözzük z y tengelyre? Felhsználv htványozás negtív kitevőre vontkozó zo- nosságát, hogyn tudnád másképp felírni ezt hozzárendelési utsítást? Mintpéld Ábrázoljuk z lábbi függvények grfikonját, és jellemezzük függvényeket! ) f () = ; Z b) g () = + ; ] 5; 0 [ c) h () = ) Trnszformációs lépések:. () = z lpfüggvény ábrázolás. f () = grfikonjánk eltolás v(0; ) vektorrl ; [ ; [

92 9 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Jellemzés:. É.T.: Z. É.K.: ] ; [. Zérushely: = 0, ebből = 0. Monotonitás: szigorún monoton növő 5. Szélsőérték: nincs 6. Pritás: nem páros, nem pártln 7. Invertálhtó b) Trnszformációs lépések:. () =, z lpfüggvény ábrázolás. g () = + grfikonjánk eltolás v( ; 0) vektorrl Jellemzés:. É.T.: ] 5; 0 [. É.K.: ;9 7. Zérushely: nincs. Monotonitás: szigorún monoton növő 5. Szélsőérték: nincs 6. Pritás: nem páros, nem pártln 7. Invertálhtó c) Trnszformációs lépések:. ( ). b( ). h( ) = z lpfüggvény ábrázolás = grfikonjánk kétszeres nyújtás = b grfikonjánk tükrözése z tengelyre. Jellemzés:. É.T.: [ ; [. É.K.: 6 ; 9. Zérushely: nincs

93 . modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNYEK ÉS EGYENLETEK 9. Monotonitás: szigorún monoton növő 5. Szélsőérték: minimumhely: = minimumérték: h( ) = 6 6. Pritás: nem páros, nem pártln 7. Invertálhtó Mintpéld 5 Ábrázoljuk z lábbi függvényeket! Htározzuk meg z értelmezési trtományukt és z értékkészletüket is! ) f ( ) = b) g( ) = c) h ( ) = + ) Mivel z htvány értéke mindig pozitív, ezért =. Tehát z ábrázolndó függvény z f ( ) =. Az értelmezési trtomány vlós számok hlmz, z értékkészlet pozitív vlós számok hlmz. b) A g( ) = függvény grfikonjánk ábrázolásához hsználjuk z bszolútérték definícióját: g( ) =, h 0, h < 0 A függvény értelmezési trtomány vlós számok hlmz. Értékkészlete ]0; ] intervllumbeli vlós számok. c) A függvény ott nincs értelmezve, hol nevező 0: + = 0, de > 0 mindenütt értelmezhető. mitt + > 0. Vgyis függvény

94 9 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Az ábrázoláshoz végezzük el következő átlkítást: Vegyük észre, hogy ( ) Az b = ( + b)( b) =. zonosság felhsználásávl tört egyszerűsíthető. h. Így z ábrázolndó függvény ( ) = Az ábrázolást megkönnyíti, h felveszünk egy, (0; ) ponton átmenő, z tengellyel párhuzmos egyenest, hiszen grfikon ehhez z egyeneshez közelít mjd, ez lesz függvénygörbe szimptotáj. É.T.: R; É.K.: ] ; [ Feldtok 9. Készítsd el vlós számok hlmzán értelmezett lábbi függvények grfikonját, és jellemezd függvényeket! ( ) = + b( ) = ( ) c = d 0,5 ( ) = e( ) = f ( ) = + 0. Ábrázold következő függvények grfikonját! Htározd meg függvények értékkészletét és monotonitását is! () =, ] ; ] b() =, Z c() =, ] ; [. Ábrázold vlós számok hlmzán értelmezett következő függvények grfikonját, és jellemezd függvényeket! () = + + b() = + c() =

95 . modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNYEK ÉS EGYENLETEK 95. A függvények grfikonj lpján döntsd el, milyen értékeire lesz ) < 8 b) e) < < 6 f) > 0 g) < 8 c) < < d) < < > 0. Ábrázold közös koordinát-rendszerben vlós számok hlmzán értelmezett következő függvények grfikonját! f () = g() = h() =. Ábrázold következő függvények grfikonját! Htározd meg z értelmezési trtományukt is! () = + b() = c() = 9 d() = + 5. Vizsgáld vlós számok hlmzán értelmezett f () = függvényt! ) Melyik lpfüggvény trnszformációjáról vn szó? b) Milyen trnszformációkt, milyen sorrendben kell végrehjtni? (Több jó sorrend is lehetséges.) Grfikon felhsználásávl megoldhtó egyenletek, egyenlőtlenségek Vnnk olyn egyenletek, melyek közvetlenül, hgyományos lgebri úton nem oldhtók meg. Az ilyen egyenletek bl, illetve jobb oldlából külön-külön képezünk függvényt. Ezeket közös koordinát-rendszerben, megfelelő értelmezési trtományon ábrázolv, leolvssuk metszéspont helyét, mely egyben megoldás is.

96 96 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintpéld 6 Oldjuk meg grfikusn következő egyenleteket vlós számok hlmzán! ) = b) = ) Az egyenlet bl oldlából képezzük z () =, jobb oldlából b() = függvényt. Készítsük el két függvény grfikonját közös koordinát-rendszerben! Az ábráról leolvshtó megoldás: = ; =. A függvények szigorún monoton növők. Ebből következik, hogy más megoldás nincs. b) Az ) részhez hsonlón járunk el: () =, b() = Az ábráról leolvshtó megoldás: =. Mintpéld 7 Oldjuk meg grfikusn következő egyenleteket! ) =, > 0 b) + = cos ) Az egyenlet bl oldlán lévő kifejezés legyen z ( ) = függvény, míg jobb oldlon tlálhtó kife- jezés legyen ( ) b = függvény. Ábrázoljuk -t és b-t közös koordinát-rendszerben! = megoldást d, mert =.

97 . modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNYEK ÉS EGYENLETEK 97 Az ábráról leolvshtó, hogy 0 < < esetén nincs megoldás, mert htványfüggvény z eponenciális görbe ltt hld, > esetén pedig fordítv. = + és b) Ismét ábrázoljuk közös koordinát-rendszerben z ( ) b ( ) cos = függvényeket! Az ábráról is leolvshtó, hogy nincs megoldás, mert z függvény tetszőlegesen megközelíti z -et, de sohsem éri el: > 0. A b függvény értéke pedig legfeljebb lehet. Mintpéld 8 Oldjuk meg grfikusn vlós számok hlmzán értelmezett következő egyenlőtlenségeket! ) 0, 5 b) > 7 c) 5 ) b) R c) nincs megoldás Megjegyzés: b) és c) megoldás közvetlenül következik függvények értékkészletéből. Feldtok 6. Oldd meg grfikusn vlós számok hlmzán értelmezett következő egyenleteket! 5 7 ) = b) = 5 + c) = 7

98 98 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Eponenciális egyenletek A korábbn megismert első- és másodfokú egyenletek úgynevezett lgebri egyenletek, melyek lgebrilg, tehát csk négy lpművelettel és négyzetgyökvonássl megoldhtók. Most olyn egyenletekkel ismerkedünk meg, melyek nem lgebri egyenletek, ezért új megoldási módokt kell keresnünk z ismeretlenek meghtározásához. Azokt z egyenleteket, hol z ismeretlen htványkitevőben szerepel, eponenciális egyenleteknek nevezzük. Az eponenciális függvények ismeretében megoldhtó egyenletek Először nézzük meg zokt z eljárásokt, melyeknél z cél, hogy zonos lpú htványok szerepeljenek z egyenlet mindkét oldlán. Mintpéld 9 Oldjuk meg következő egyenleteket vlós számok hlmzán! ) = 6 b) 9 = 7 8 c) ) Mivel 6 = =, ezért z egyenletet 6 = lkb is írhtjuk. Az f ( ) = szigorún monoton növekvő függvény, ezért függvényértékek csk kkor egyeznek meg, h kitevők zonosk. Tehát = 6, innen =. 6 Ellenőrzés: Bl oldl: = = 6. Jobb oldl: 6. b) Írjuk fel z egyenlet mindkét oldlát htványként: =. Azonos lpú htvá- nyokt úgy szorzunk, hogy kitevőket összedjuk: =. A -s lpú eponenciális függvény szigorú monotonitás mitt függvényértékek egyenlőségéből kitevők egyenlősége következik: = miből: =. Megoldáshlmz: M =. 6 6 A megoldás helyessége z eredeti egyenletbe vló behelyettesítéssel ellenőrizhető.

99 . modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY 99 c) Mindkét oldlt -es lpú htvánnyá lkítjuk: = ( ) htványozás zonosságit: + = 6, mjd lklmzzuk. A -es lpú eponenciális függvény szigorú monotonitás mitt függvényértékek egyenlőségéből kitevők egyenlősége következik: + = 6, miből: =. A megoldás helyességét visszhelyettesítéssel ellenőrizzük. Mintpéld 0 Oldjuk meg következő egyenleteket pozitív egész számok hlmzán! ) 7 = 9 b) 5 = c) 8 + = ) Mivel 9 = 7, ezért z egyenletet 7 = ( 7 ) lkb is írhtjuk. Htványt úgy htványozunk, hogy z lpot kitevők szorztár emeljük: A 7-es lpú eponenciális függvény szigorú monotonitás mitt függvényértékek egyenlőségéből kitevők egyenlősége következik, zz = 6. H, kkor nemnegtív, így bszolútértéke önmg, zz elhgyhtjuk z bszolútérték jelet: = 6, ebből = 5, mi beletrtozik z egyenlet lphlmzáb. H <, kkor 7 = 7 6 negtív, bszolútértéke z ellentettje: ( ) = 6., zz =, ez feltételben megdott trtományon kívül esik, ezért ebben trtománybn nem kpunk megoldást. Ellenőrzés: Bl oldl: 5 7 = Jobb oldl: 9 = 9 = ( 7 ) = 7 7. b) Azokt htványokt, melyeknek kitevőjében különbség szerepel, zonos lpú htványok hánydosként is felírhtjuk: 5 = 5. Az ismeretleneket egy oldlr ren- dezve kpjuk, hogy = 5 5, zz: 5 =. 5

100 00 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A -öd lpú eponenciális függvény szigorú monotonitás mitt függvényértékek 5 egyenlőségéből kitevők egyenlősége következik, zz =. A megoldás eleme z lphlmznk, helyességét visszhelyettesítéssel ellenőrizzük. c) Felírjuk z -et 8 htványként: = 8. A 8-s lpú eponenciális függvény szigorú monotonitás mitt függvényértékek egyenlőségéből kitevők egyenlősége következik, zz = 0 ebből 0 ± 0 0 ±, = = z- 6 z =, = ( 8), ezek egyike sem eleme z egyenlet lphlmzánk. Feldtok 7. Oldd meg z lábbi egyenleteket vlós számok hlmzán! ) = 7 b) = c) = 79 + d) = 6 8. Oldd meg z lábbi egyenleteket rcionális számok hlmzán! ) = 8 b) + = 6 9 c) 5 = 5 d) = Oldd meg z lábbi egyenleteket vlós számok hlmzán! ) = b) 8 = 6 c) = 6 8 d) 5 = 5 0. Oldd meg z lábbi egyenleteket nem negtívszámok hlmzán! ) = b) 9 5 = 5 c) 9 6 = 0 5 d) + = Összetettebb eponenciális egyenletek Az eponenciális egyenletek egy másik csoportját lkotják zok z egyenletek, melyek z eponenciális tgbn válnk elsőfokú egyenletté. Ezeken z egyenleteken htványozás zonossági segítségével tudunk olyn átlkításokt végezni, hogy bból z együtthtók leolvshtók legyenek.

101 . modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY 0 Mintpéld + + Oldjuk meg + = 07 egyenletet z egész számok hlmzán! Azokt htványokt, melyeknek kitevőjében összeg szerepel, zonos lpú htványok szorztként, hol különbség, zokt zonos lpú htványok hánydosként is fel- írhtjuk: + = 07 Innen + = = 07 =, ebből: = Ellenőrzés: Bl oldl: + = + = 8+ 7 = 07. Mintpéld Oldjuk meg 6 + = egyenletet pozitív számok hlmzán! Bontsuk fel htványlpokt prímtényezőkre: ( ) ( ) = ( ) ( ) 8 Alklmzzuk htványozás zonosságit: Az egyenlet mindkét oldlát elosztjuk + + = + 5 -nel (ez -től függetlenül mindig pozitív): + = Innen = A -es lpú eponenciális függvény szigorú monotonitás mitt függvényértékek egyenlőségéből kitevők egyenlősége következik: + = + 5, zz = 50. Ellenőrzés: Bl oldl: Jobb oldl: 9 8 = 8 = = 6 = =

102 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feldtok. Oldd meg következő eponenciális egyenleteket z egész számok hlmzán! ) = 50 + c) + = 6 b) = 5 d) = e) + 9 =. Oldd meg következő eponenciális egyenleteket vlós számok hlmzán! ) ( 6 ) = 6 55 b) 9 + = 8 c) 5 5 = 5 Másodfokú egyenletekre visszvezethető eponenciális egyenletek Vnnk olyn eponenciális egyenletek, melyek z eponenciális tgbn válnk másodfokú egyenletté. Itt másodfokú egyenlet megoldás után, ismét függvény tuljdonságár hivtkozv tudjuk meghtározni z ismeretlen értékét. Mintpéld Oldjuk meg + = 0 egyenletet z egész számok hlmzán! Észrevehetjük, hogy ( ) =, ezért bevezetjük = y új ismeretlent. A következő másodfokú egyenletet kpjuk: y + y = 0. Ebből H = ( ) ± ± 0 y, = = zz, y =, y = 7. y, kkor = H y = 7, kkor = 7 Az egyenlet megoldás =., innen =., innen nem kpunk megoldást, hiszen minden -re > 0. Ellenőrzés: Bl oldl: + = 9 + = 0. Jobb oldl: 0.

103 . modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY 0 Feldtok. Oldd meg következő eponenciális egyenleteket természetes számok hlmzán! ) 5 + = 0 b) 7 = 8 d) = 6 e) g) + 9 = + + = h) 79 = + + c) = 0 f) = 5. Oldd meg következő egyenleteket vlós számok hlmzán! + ) 6 = 6 b) 5 = 5 c) 6 = 6 + d) 7 = 8 5. Oldd meg z lábbi egyenleteket rcionális számok hlmzán! ) = 8 b) 8 = c) 9 + = 7 d) 0, 75 + = Oldd meg z lábbi egyenleteket nemnegtív számok hlmzán! ) 5 = 5 b) = c) 5,5 = 7 d) 6 = 6 e) = f) 56 = g) = h) 7 = 0

104 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kisleikon Eponenciális függvény: z ( ) függvény. f = (, R) hozzárendelési utsítássl megdott Eponenciális egyenlet: Azok z egyenletek, melyekben z ismeretlen htványkitevőben szerepel. Aszimptot: Egy végtelenbe nyúló görbeív szimptotáj olyn egyenes, melyet görbe tetszőleges pontossággl közelít meg végtelen felé hldv. Algebri kifejezés: Változók, számok és mtemtiki műveletek összekötése, h változóvl (változókkl) csk lgebri műveleteket kell végezni. Algebri egyenlet: Olyn egyenlet, melynek mindkét oldl lgebri kifejezés.

105 . MODUL logritmus Készítették: Csákvári Ágnes és Drbos Noémi Ágnes

106 06 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A logritmus Eddigi tnulmányink során htványozáskor először olyn esetekkel fogllkoztunk, mikor ismertük htványlpot és kitevőt. Ekkor htványértéket htároztuk meg. 0 Például: = 8; 5 = ; 7 =. 5 H htványértéket és kitevőt ismertük, kkor z lpot kerestük. Például: = 8 esetén htvány lpj. H =, kkor htványlp = és = is lehetne. Ilyenkor gyökvonás segítségével hmr megkptuk keresett értéket. Most megnézzük, hogyn számíthtó ki kitevő htványérték és z lp ismeretében. A logritmus rr kérdésre d válszt, hánydik htványr kell emelni z lpot, hogy megdott értéket kpjuk: = 8 =? 5 y = y =? 5 7 z = z =? Feldt. Írd föl megdott számokt htványlkbn! Csoportosítsd kpott értékeket 5,, és 7 lp htványként! Számok: ; ; ; 0,; 5; 9; ; 0,5; ; 9 ; ;. Ebben feldtbn egyszerűen meg tudtuk állpítni htványkitevőket. Hogyn tudjuk kiszámítni kevésbé egyszerű esetekben? Például = 8. Most csk zt tudjuk, hogy < <. Ez problém z = b ( > 0) típusú eponenciális egyenletek megoldásához vezet. Olyn htványkitevőt keresünk, melyre -t emelve b-t kpunk. H b 0, kkor ilyen htványkitevő nincs. H b > 0, kkor z f () = ( > 0; ) eponenciális függvény szigorú monotonitás mitt egyértelműen létezik ilyen htványkitevő. Ezt műveletet nevezzük logritmuskeresésnek. A b pozitív szám lpú ( > 0 és ) logritmusánk nevezzük zt kitevőt, melyre -t emelve b -t kpunk. Jelölés: log b (olvsv: lpú logritmus b).

107 . modul: LOGARITMUS 07 Speciális jelölések: log 0 b = lgb (de tlálkozhtunk logb jelöléssel is) log b = lnb (e lpú logritmus b, természetes lpú logritmus b) e Mtemtiki jelölésekkel logritmus definíciój: log b = b, hol b > 0; > 0 és Az = b és z log b = egyenletek ekvivlensek, hiszen mindkettőben htványlp, kitevő és b htványérték. Speciális esetek: log = 0, mert 0 =. log =, mert =. log n = n, mert n = n. A logritmus definíciójánk lklmzás Mintpéld Számítsuk ki következő logritmusértékeket! ) lg 0, 00 b) log 7 c) log d) log 5 e) log f) log ( 6) g) log 0,5 0 ) lg0,00 =, mert 0 = 0,00 b) log 7 = 6, mert 6 = 7 c) log =, mert = d) log 5 =, mert = 5 = 5 = e) log értelmetlen, mert nek mindegyik htvány. f) log ( 6) értelmetlen, mert nek egyik htvány sem lehet negtív. g) log 0,5 0 értelmetlen, mert 0,5 minden htvány pozitív. 5

108 08 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintpéld Htározzuk meg következő htványértékeket! ) lg = b) log 5 k = c) e) log 8 z = 0 f) log 0 = 7 ) lg = = 0 = 00 b) log 5 k = k = 5 = = 5 5 c) log 5 = = 5 = 5 = 5 d) log 0, d = d = 0, = = 5 = 5 5 e) log 8 z = 0 z = 8 0 = log 5 = d) log 0, d = f) log 0 = 7 : értelmetlen, mert logritmus lpj nem lehet 0. Mintpéld Htározzuk meg logritmus lpját! ) log 8 = b) log = c) e) logb = f) log k 5 = 0 c d) log k = log = A logritmus lpj -től különböző pozitív szám, melyre következő összefüggések igzk: ) log 8 = = 8 = b) log = = c) c log = d) log k = k = k = b c = c = 6 = = = e) log = b = b = 8 f) log k 5 = 0 értelmetlen, mert nincs olyn szám, melynek 0. htvány 5., mert > 0

109 . modul: LOGARITMUS 09 Mintpéld Számítsuk ki következő htványokt! ) log b) log lg8 c) 0 d) log ( ) e) log7 5 7 f) log 9 g) log 00 0 A logritmus definícióját hsználjuk fel: log b = b, > 0; ; b > 0. log log ) = b) = c) 0 lg 8 = 8 d) A logritmust csk pozitív számokr értelmeztük, ezért htványkitevőnek nincs értelme. e) A htványozás zonosságát felhsználv lkítsuk át kitevőt: 7 log 5 ( 7 ) = 5 5 log = =. log log log log f) A 9-et írjuk fel htványként: 9 ( ) ( ) = = = = = 6 g) 0-et írjuk fel 00 htványként: log 00 log ( 00 ) 00 = = log log = = =.. Feldtok. Számold ki következő logritmus-értékeket! ) log 8 b) log c) log d) log 9. Számold ki következő logritmus-értékeket! ) lg b) log 0 75 c) log 9. Számold ki következő logritmus-értékeket! ) log b) 8 log c) log log 8 5 5

110 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 5. Htározd meg betűkifejezések számértékét! ) log 5 = b) lg b = c) log c = 6. Htározd meg betűkifejezések számértékét! ) log v = b) log = c) log y = 7. Htározd meg betűkifejezések számértékét! ) log 0, p = b) log r = c) log log s = Htározd meg következő logritmusok lpjit! ) log 8 = b) log b 0 = 6 c) log c 9 = 9. Htározd meg következő logritmusok lpjit! 6 ) logu 9 = b) log v = c) log = 0, Htározd meg következő logritmusok lpjit! ) log p 7 5 = b) log = c) log log q r = r = 8 8. Htározd meg következő kifejezések pontos értékét! log 5 lg ) 0 b) 5 c) 5 log 5 ( ). Htározd meg következő kifejezések pontos értékét! ) log 9 b) log 6 5 c) log5 5 +

111 . modul: LOGARITMUS. Htározd meg következő kifejezések pontos értékét! ) 7 log 5 5 b) lg5 0,00 lg c) 6 log log. Melyik ngyobb? log ) log vgy 7 b) lg 0 6 vgy log 6 7 c) log 0, 0 vgy log 5 5 5

112 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A logritmusfüggvény A logritmusfüggvény definíciój, grfikonj, jellemzői Vizsgáljuk z zonos lpú eponenciális és logritmusos kifejezések közötti kpcsoltot! Mintpéld 5 Töltsük ki z lábbi értéktábláztokt, mjd z értéktábláztok oszlopiból képzett értékpárokt ábrázoljuk feldtonként közös koordinát-rendszerben! 0,5 0 0,5 0,5 5 0,5 0,5 0,5 8 log 0,5 0 0,5 0,5 5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 8 log 0

113 . modul: LOGARITMUS Az eponenciális függvény esetében rögzítettünk egy -től különböző pozitív vlós számot, és tetszőleges vlós értékekhez ezen számnk htványit, -et rendeltük hozzá. Ennek z inverze log függvény. Az f () = log, > 0; ; > 0 hozzárendelési utsítássl megdott függvényt logritmusfüggvénynek nevezzük. Feldtok ) 5. Töltsd ki z lábbi értéktábláztokt, mjd z értéktábláztok oszlopiból képzett értékpárokt ábrázold feldtonként közös koordinát-rendszerben! 0,5 0 0,5 0, log b) 0,5 0 0,5 0,5

114 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE log 6. Válszolj következő kérdésekre! ) Milyen kpcsolt vn z eponenciális függvény értékkészlete és logritmus függvény értelmezési trtomány között? ) Vn-e kpcsolt vn z eponenciális, illetve logritmusfüggvény grfikonj pontjink koordinátái között? ) Milyen trnszformációvl tudnád átvinni z eponenciális függvény grfikonját logritmusfüggvény grfikonjáb, h zonos z lpjuk? ) A grfikonoknk hol vn metszéspontjuk tengelyekkel? 5) Mi állpíthtó meg logritmusfüggvény monotonitásáról, h lpj, illetve? 6) Melyik egyenest közelíti meg z eponenciális, illetve logritmusfüggvény grfikonj? 7) Vn-e logritmusfüggvényeknek szélsőértéke? 7. Ábrázold közös koordinát-rendszerben pozitív vlós számok hlmzán értelmezett következő függvények grfikonjit! ) f () = log g() = log h() = lg b) () = log b() = log c() = log 0, 8. Válszolj következő kérdésekre! ) Mi állpíthtó meg grfikonok növekedésének / csökkenésének üteméből z ), illetve b) esetben? ) Melyik z pont, melyik rjt vn mindegyik grfikonon?

115 . modul: LOGARITMUS 5 Mintpéld 6 Az eddigi tpsztltokt áltlánosítv rjzoljuk meg logritmusfüggvény grfikonját, h logritmus lpj 0 és között vn, illetve, h ngyobb -nél! Jellemezzük is függvényeket! f () = log g () = log Grfikon 0 < < < Jellemzés:. É. T. R + R +. É. K. R R. Zérushely = =. Monotonitás szigorún monoton csökkenő szigorún monoton növekvő 5. Szélsőérték nincs nincs 6. Pritás nem páros, nem pártln nem páros, nem pártln 7. Invertálhtóság invertálhtó invertálhtó Mintpéld 7 Htározzuk meg következő függvények értelmezési trtományát! ) f ( ) = log ( + ) b) g ( ) = lg c) h ( ) = log0, 5 + d) k( ) = log5 7 ) A logritmus definíciój szerint: + > 0 > 5,5. Az értelmezési trtomány: ] 5,5; + [ b) A logritmus definíciój szerint: > 0 > 0 >. Az értelmezési trtomány: ] ; + [

116 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE c) A logritmus definíciój szerint: 5 + > 0, és mivel d) A logritmus definíciój szerint 7 > 0 < 0 7 < 0 >. 7 7 Az értelmezési trtomány: Mintpéld 8 7 ; Az értelmezési trtomány: R \ 5. Htározzuk meg következő függvények értelmezési trtományát! ) () = 5 b) g ( ) = log c) + 8 f lg( 5 + 6) ) A logritmus definíciój szerint: h( ) = lg > 0 < vgy >. Az értelmezési trtomány: ] ; [ ] ; [. b) A logritmus definíciój szerint > 0 I) 5 > 0 és + 8 > 0 < < + 8 Az értelmezési trtomány: 8 5 ; II) 5 < 0 és + 8 < 0 nincs megoldás c) A nevező mitt: lg 0, ezért. A logritmus értelmezési trtomány mitt: > 0 Az értelmezési trtomány: R + \ {}.

117 . modul: LOGARITMUS 7 Feldtok 9. Mely -ekre értelmezhetők z lábbi függvények? ) ( ) lg( ) = b) ( ) b( ) = log c) c( ) = log ( ) d) d() = log ( + 7) e) e() = log 7 f) f () = log, Mely -ekre értelmezhetők z lábbi függvények? ) ) = log ( ) b) b() = log 7 ( ) ( 0, 7 + d) d() = log ( ) 5 5 e) e() = c) c() = ( )( 5) 5 log log f) f ( ) = log ( + ) 5. Mely -ekre értelmezhetők z lábbi függvények? ) ( ) = log( + )( + ) m b) + n ( ) = lg c) ( ) = lg log d) q lg r( ) = + A logritmusfüggvény grfikonjánk ábrázolás függvénytrnszformációkkl Az előzőekben megismerkedtünk logritmusfüggvénnyel. A továbbikbn z ( ) = log ; > 0; ; > 0 f függvényt z lpú logritmus lpfüggvényének nevezzük. Nézzük meg ennek függvénynek néhány trnszformáltját! Mintpéld 9 Ábrázoljuk koordinát-rendszerben és jellemezzük pozitív vlós számok hlmzán értelmezett következő függvényeket! ) f () = log + b) g() = log

118 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE ) Trnszformációs lépések:. () = log z lpfüggvény ábrázolás. f () = log + grfikonjánk eltolás v(0; ) vektorrl b) Jellemzés:. É.T.: R +. É.K.: R. Zérushely: log + = 0, log = A logritmus definíciój lpján. Monotonitás: szigorún monoton növő 5. Szélsőérték: nincs 6. nem páros, nem pártln 7. invertálhtó = = Trnszformációs lépések:. () = log z lpfüggvény ábrázolás. g() = log grfikonjánk eltolás v (0; ) vektorrl Jellemzés:. É.T: R +. É.K.: R. Zérushely: log = 0,. log. = A logritmus definíciój szerint. Monotonitás: szigorún monoton csökkenő 5. Szélsőérték: nincs 6. nem páros, nem pártln 7. invertálhtó = =. 8

119 . modul: LOGARITMUS 9 Mintpéld 0 Ábrázoljuk koordinát-rendszerben és jellemezzük következő függvényeket! ) f () = log ( + ), h > b) g () = log ( ), h > ) Jellemzés: Trnszformációs lépések:. () = log z lpfüggvény ábrázolás. f () = log ( + ) grfikonjánk eltolás v( ; 0 ) vektorrl b). É.T.: ] ; [. É.K.: R. Zérushely: log ( + ) = 0 A logritmus definícióját lklmzv + =, =. Monotonitás: szigorún monoton növő 5. Szélsőérték: nincs 6. nem páros, nem pártln 7. invertálhtó Trnszformációs lépések:. ( ) = log z lpfüggvény ábrázolás. ( ) = log ( ) g grfikonjánk eltolás v( ; 0) vektorrl Jellemzés:. É.T.: ] ; [. É.K.: R

120 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Zérushely: log ( ) = 0 A logritmus definíciój lpján =, =. Monotonitás: szigorún monoton csökkenő 5. Szélsőérték: nincs 6. nem páros, nem pártln 7. invertálhtó Mintpéld Ábrázoljuk koordinát-rendszerben és jellemezzük következő függvényeket, h pozitív vlós szám! ) f () = log b) g () = log ) Trnszformációs lépések:. () = log z lpfüggvény ábrázolás. b() = log grfikonjánk -szeres Jellemzés:. É.T.: R +. É.K.: R nyújtás / zsugorítás z y tengely mentén. f () = log b grfikonjánk tükrözése z tengelyre. Zérushely: log = 0, log = 0 A logritmus definícióját lklmzv =. Monotonitás: szigorún monoton csökkenő 5. Szélsőérték: nincs 6. nem páros, nem pártln 7. invertálhtó

121 . modul: LOGARITMUS b) Trnszformációs lépések:. () = log z lpfüggvény ábrázolás. g () = log grfikonjánk kétszeres nyújtás z y tengely mentén Jellemzés:. É.T.: R +. É.K.: R. Zérushely: log = 0, log = 0 A logritmus definíciój szerint =. Monotonitás: szigorún monoton csökkenő 5. Szélsőérték: nincs 6. nem páros, nem pártln 7. invertálhtó Mintpéld Ábrázoljuk koordinát-rendszerben és jellemezzük következő függvényeket megfelelő értelmezési trtományokon! ) f () = log b) g () = log ( ) ) Trnszformációs lépések:. () = log z lpfüggvény ábrázolás. b () = log grfikonjánk kétszeres nyújtás z tengely mentén. f () = log b grfikonjánk tükrözése z y tengelyre

122 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Jellemzés:. É.T.: R. É.K.: R. Zérushely: log = 0 A logritmus definíciój lpján. Monotonitás: szigorún monoton csökkenő 5. Szélsőérték: nincs 6. nem páros, nem pártln 7. invertálhtó =, = b) Trnszformációs lépések:. () = log z lpfüggvény ábrázolás. g () = log ( ) grfikonjánk -szeres zsugorítás z tengely mentén Jellemzés:. É.T.: R +. É.K.: R. Zérushely: log ( ) = 0 A logritmus definícióját lklmzv =, =. Monotonitás: szigorún monoton csökkenő 5. Szélsőérték: nincs 6. nem páros, nem pártln 7. invertálhtó

123 . modul: LOGARITMUS Feldtok. Készítsd el következő függvények grfikonját, mjd jellemezd függvényeket! Először z értelmezési trtományukt htározd meg! ) e ( ) = log b) f ( ) = + log c) g ( ) = log( + ) d) h ( ) = log ( ) e) i( ) = log5 f) j( ) = lg 5. Ábrázold és jellemezd következő függvényeket! A c) feldtnál megdtuk z értelmezési trtományt, többi függvény esetében először zt htározd meg! ) m( ) log = b) n ) = log ( 5 ) ( 5 c) p ( ) = log ; ] 0; 5] d) q ( ) = lg e) r ( ) = log ( ) 5. Az lábbi logritmusfüggvényeknek melyik eponenciális függvény z inverze? ( ) = log b( ) = log5 c( ) = log d( ) = log e( ) = log f ( ) = log 5 g( ) = h( ) = 5 k( ) = 5 l( ) = m( ) = n( ) =

124 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A grfikon felhsználásávl megoldhtó egyenletek, egyenlőtlenségek Már tlálkoztunk olyn eponenciális egyenletekkel, egyenlőtlenségekkel, melyek lgebri módszerekkel nem, csk z eponenciális függvény tuljdonságit felhsználv, grfikonjánk pontos ismeretével oldhtók meg. Most olyn egyenleteket és egyenlőtlenségeket oldunk meg, melyekben logritmikus kifejezés is szerepel. Mintpéld Oldjuk meg grfikusn következő egyenleteket vlós számok hlmzán! ) log = b) log = 9 ) Az egyenlet bl oldlából képezzük z () = log, jobb oldlából b() = függvényt. Készítsük el függvények grfikonját közös koordinát-rendszerben! Az ábráról leolvshtó megoldás: = ; =, más megoldás nincs. b) Az ) részhez hsonlón járunk el: () = log, b() = 9 Az ábráról leolvshtó megoldás: =, más megoldás nincs.

125 . modul: LOGARITMUS 5 Mintpéld Oldjuk meg grfikusn következő egyenlőtlenségeket pozitív vlós számok hlmzán! ) log b) log < ) b) Az egyenlőtlenség sehol sem teljesül. log < minden -re teljesül. Mintpéld 5 A logritmusfüggvény monotonitását felhsználv állpítsuk meg, melyik szám ngyobb! ) log 7 vgy 8 log 7 ; b) log 0, vgy log, 6 0. ) A logritmus lpj ngyobb -nél, tehát függvény szigorún monoton növekvő. Ezért log 7 < 8 log 7. b) A logritmus lpj 0 és között vn, tehát függvény szigorún monoton csökkenő. Ezért log, 0 > log, 6 0. Feldtok 5. A logritmusfüggvény monotonitását felhsználv állpítsd meg, melyik szám ngyobb! ) log 6 vgy log ; b) c) e) log vgy 5 log 5 vgy 7 8 log 5 vgy 7 7 log ; d) log 5 vgy 6 log 7 5. log 5 ; 5 log ;

126 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 6. Oldd meg grfikusn következő egyenleteket! ) 0, log = b) log = Mely értékekre teljesülnek z lábbi egyenlőtlenségek? ) log < b) log ( ) > c) + log

127 . modul: LOGARITMUS 7 III. A logritmus zonossági Ismerkedjünk meg zokkl z zonosságokkl, melyek segítik logritmusos kifejezésekkel vló számolást. Természetesen ezek htványozás zonosságink logritmusos megfelelői. Szorzt logritmus egyenlő tényezők logritmusánk összegével. y Képletben: log ( ) = log + log, > 0,, > 0, > 0 y. y A logritmus definíciój lpján: y log log y =, =. Azonos lpú htványokt szorzásár tnult összefüggés lpján: y log log y log + log y = =. A logritmus definíciójából következik: y ( y ) = log. A két egyenlőséget összevetve: log + log y = log ( y ). Azonos lpú htványok kkor egyenlők egymássl, h kitevőik megegyeznek: log + log y = log y. log y = log + log y Hánydos logritmus egyenlő számláló logritmusánk és nevező logritmusánk különbségével. Képletben: log = log log y, > 0,, > 0, y > 0 y. A logritmus definíciój lpján: y log log y =, =. Azonos lpú htványok osztásár tnult összefüggés lpján: y log log log y = =. log y A logritmus definíciójából következik: y = log y. A két egyenlőséget összevetve: log log y = log y. Azonos lpú htványok kkor egyenlők egymássl, h kitevőik megegyeznek: log log y = log. y log y = log log y

128 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Htvány logritmus egyenlő kitevőnek és z lp logritmusánk szorztávl. Képletben: k log = k log, > 0,, > 0 k R., A logritmus definíciój lpján: log =. k log k log Htvány htványozásár tnult zonosság lpján: ( ) = k = A logritmus definíciójából következik: k k log =. A két egyenlőséget összevetve: k log k log =. Azonos lpú htványok kkor egyenlők egymássl, h kitevőik k megegyeznek: k log = log. k log = k log Áttérés más lpú logritmusr log A logritmus definíciój lpján: =, > 0,, > 0. y Vegyük mindkét oldl y lpú logritmusát: log = log, y > 0, y y y log A htvány logritmusár vontkozó zonosság lpján: log y = log log y Ebből: log log = log y y log log = log y y Mintpéld 6 Számítsuk ki következő kifejezések pontos értékét! ) log + b) log 7 9 c) log + log 9 log 8 d) lg sin 0 + lg cos 60 + lg 0 Alklmzzuk htványozás és logritmus zonosságit! + log ) log = = 9 = 6 log 7 log b) 9 ( ) 7 log 7 log 7 log 9 = = = = = 9 c) 9 log + log 9 log 8 = log = log = 8 d) lg sin 0 + lg cos 60 + lg 0 = lg + lg + lg 0 = lg 0 = lg0 =

129 . modul: LOGARITMUS 9 Feldtok 8. Keresd meg párját! ) log 6 + log 6 8 A) log5 5 log 96 log b) B) lg 80 + lg5 lg 5 + lg lg + lg 50 c) log 60 log 5 C) log 6 + log 6 d) 5lg0 + log5 5 D) log 0 log log e) log E) log log f) log 79 F) log9 7 log 8 g) log G) lg5 + lg lg 75 + lg 5 lg 6 h) log tg 0 + log sin 60 H) lg + lg Számítsd ki következő kifejezések pontos értékét! ) d) log + b) log + log log6 6 + c) log 6 e) f) 7 log 5 + log7 6log7 g) log 5 log 8 h) 6 i) log 0. Mennyivel egyenlő lg 00, h b = lg?. Mennyivel egyenlő log 08, h = log?. Mennyivel egyenlő log, h c = log 9?. Az lg 0, 00 és lg 7 0, 85 felhsználásávl htározd meg következő kifejezések értékét! ) lg, 5 b) lg c) lg 9 d) lg

130 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE IV. Logritmikus egyenletek A logritmusfüggvény ismeretében megoldhtó egyenletek Logritmusos egyenleteknek nevezzük zokt z egyenleteket, melyekben z ismeretlent trtlmzó kifejezés logritmus szerepel. Az ilyen típusú egyenletek egy részénél mindössze logritmus definícióját kell ismerni és lklmzni. A logritmusos egyenletek megoldását áltlábn z értelmezési trtomány vizsgáltávl kezdjük. A logritmus rgumentumábn csk pozitív értékű kifejezés állht, logritmus lpj is pozitív kifejezés kell, hogy legyen, mi nem lehet. H vizsgált túl bonyolult, hosszdlms folymt lenne, kkor kiválthtjuk kpott gyök (gyökök) ellenőrzésével. H z egyenlet megoldáskor nem ekvivlens lépéseket lklmzunk, kkor z ellenőrzés nem hgyhtó el. Mintpéld 7 Oldjuk meg következő egyenleteket! ) ( + ) log 8 log = b) log8 log5 log = 0 ) A logritmus rgumentumábn csk pozitív értékű kifejezés állht, ezért ( + ) > 0. A kifejezés értelmezési trtományáb = kivételével z összes vlós szám beletrtozik. A logritmusfüggvény szigorú monotonitás mitt: ( +) = 8. Megoldjuk z egyenletet: + = 9 = 8; = 0. Mindkét gyök beletrtozik z egyenlet értelmezési trtományáb, így mindkettő megoldás z egyenletnek. b) Az értelmezési trtomány meghtározás hosszdlms lenne, ezért mjd kpott gyököket ellenőrizzük. A logritmus definíciój szerint log =, zz log5 log =. 0 5 log 8 Ismét logritmus definícióját lklmzv: log =, vgyis log = 5. 5 Innen: = 5 =.

131 . modul: LOGARITMUS Ellenőrzés: Az egyenlet bl oldl: log8 log5 log = log8 log5 5 = log8 = 0 mi vlóbn megegyezik z egyenlet jobb oldlávl. Tehát z = vlóbn gyöke z egyenletnek. Mivel megoldás során csk ekvivlens lépéseket lklmztunk, z egyenletnek nincs más megoldás. Feldtok. Htározd meg kifejezésekben előforduló változók értékét! ) log = b) log b = c) log 8 = c d) log = d e) log e 6 = f) log 7 = 5. Oldd meg következő egyenleteket! ) lg = lg b) log = log d) lg = lg6 c) log ( + ) = log ( ) f e) log = log ( 0 ) f) ( + ) = log ( ) log Oldd meg következő egyenleteket! ) log9 log log = 0 b) log log log = c) log log log 5 = d) [ 6 log ( ) ] log 5 6 = 7. Fejtsd meg keresztrejtvényt! Vízszintes. A log 5 ( 5) = egyenlet megoldás.. A log ( + + 0) = egyenlet megoldási növekvő sorrendben. 5 = 5. A log ( ) Függőleges egyenlet megoldási csökkenő sorrendben.. A log = log 5 + log egyenlet megoldás.. A log ( + ) kifejezés értelmezési trtományábn előforduló egészek, növekvő sorrendben.. A log = egyenlet megoldás. 7

132 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A logritmus zonosságivl megoldhtó egyenletek A logritmusos egyenletek egy másik típusábn logritmus zonosságit lklmzzuk. Célunk ilyenkor z, hogy z egyenlet két oldlán zonos lpú logritmus szerepeljen. Ekkor logritmusfüggvények kölcsönös egyértelműségére (vgy szigorú monotonitásár) hivtkozv, z rgumentumok egyenlőségére következtetünk. Mintpéld 8 Oldjuk meg következő egyenleteket! ) lg( + 0) lg( 5) = lg 5 b) lg( ) lg ( 0) = lg50 ) Htározzuk meg z egyenlet értelmezési trtományát: + 0 > 0, 5 > 0, zz 5 <. Az értelmezési trtomány: ] 5; + [. I) Az egyenlet mindkét oldlán lklmzzuk logritmus zonosságit, vlmint írjuk ( + 0) 00 át -t lg 00 lkb: lg = lg. 5 ( ) A logritmusfüggvény szigorú monotonitás mitt: =. 5 Ebből + 0 = ( 5) = 0. Ez eleme z egyenlet értelmezési trtományánk, és visszhelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy vlóbn megoldás z egyenletnek. II) Az egyenletet átírv: lg ( + 0) lg( 5) + lg5 = ( + 0) 5 Az zonosságokt lklmzv: A logritmus definíciój lpján lg = 5 ( + ) 0 5 = 0 = 00, innen = = 75 = 0. Az ellenőrzést természetesen ennél második megoldásnál is elvégezzük.

133 . modul: LOGARITMUS 0 b) Az egyenlet értelmezési trtomány: > 0, 0 > 0, zz <, vgyis 0 ; +. Alklmzzuk logritmus zonosságit, vlmint írjuk át -t lg 00 lkb: lg ( ) lg 0 = lg00 lg50 ( ) 00 lg 50 lg = 0 A logritmusfüggvény szigorú monotonitás mitt: = 0 = 0 0 H >, kkor z egyenlet mindkét oldlán álló kifejezések pozitívk, ezért négyzetre emelés után z előzővel ekvivlens egyenletet kpunk: ( ) = ( 0) = 0 = ; Mindkét megoldás hozzátrtozik z egyenlet értelmezési trtományához, és mindkettő megoldás. Megjegyzés: Az ( ) = ( 0) egyenlethez másképp is eljuthtunk, h z zonosságokon kívül csk logritmus definícióját lklmzzuk: ( ) lg( 0) = lg50 = 8 lg A definíció szerint ( ) 50 0 = 0 Így ( ) = ( 0). = 0000 lg ( ) 50 0 = Feldtok 8. Oldd meg következő egyenleteket! ) log = log 0 log 5 b) log 6 = log 6 + log 6 d) ( + ) = log c) lg = lg5 e) ( ) lg lg = log +

134 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 9. Oldd meg következő egyenleteket! ) lg ( + ) + lg( + ) = lg( + 5) b) lg lg ( + 5) ( ) c) ( + 6) + log d) log ( ) log = log ( ) log = = 0. Oldd meg következő egyenleteket! ) log + log8 = b) log + log9 = 6. Oldd meg következő egyenleteket! ) log ( ) = log ( ) b) log ( + ) = log ( ) c) log + log = log ( ) d) lg( ) lg( 9) = lg00 lg50 További logritmikus és eponenciális egyenletek Mintpéld 9 Oldjuk meg következő egyenleteket! ) ( ) 0log log = b) lg + lg = lg + ) Htározzuk meg z egyenlet értelmezési trtományát: > 0, zz 0 <. Ez log -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be z y = log új ismeretlent, ek- kor z egyenlet: y 0y + 9 = 0, megoldási: y = ; y 5. H y = 9, kkor log 9 =, innen H y =, kkor log =, innen 9 Az egyenlet megoldási: = ; =. b) Az egyenlet értelmezési trtomány: > 0. 9 = 9 9 = =. = =. Alklmzzuk htvány logritmusár vontkozó zonosságot: lg + lg = lg +

135 . modul: LOGARITMUS 5 Vezessük be z y = lg új ismeretlent, ekkor egyenletünk: y y = 0, megoldási: y = ; y =. H y =, kkor lg =, innen = 00. H y =, kkor lg =, innen Az egyenlet megoldási: =. 0 = 00; =. 0 Mintpéld 0 Oldjuk meg következő egyenleteket! ) + 5 = 0 9 b) 5 = c) log = 79, > 0 ) Ez -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be z y = új ismeretlent, ekkor y =, ezzel z egyenlet: y + 5 = 0 y, megoldási: y = ; y 5. 9 = y, kkor = 9 H = 9, innen =. H y = 5, kkor = 5 lg 5, innen = log 5 =, 65. lg Az egyenlet megoldási = ; log 5. = b) Észrevehetjük 9 = ( + )( ) nevezetes zonosságot, így kitevőt szorzttá lkíthtjuk: 5 ( )( ) + =, mjd lklmzzuk htványozás zonosságit: ( + ) ( 5 ) =. Egy htvány két esetben lehet :. eset: A kitevő null, és htványlp nem null: = 0 =. eset: A htványlp : 5 ( ) = Mivel mindkét oldl pozitív, tehát vehetjük z oldlk 0-es lpú logritmusát: lg5 + = lg Alklmzzuk htvány logritmusár vontkozó zonosságot: lg lg5 ( + ) lg5 = lg =, 686 =.

136 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE lg Az egyenlet megoldási = ; =. lg5 c) Az egyenlet értelmezési trtomány: R +. log Vegyük mindkét oldl -s lpú logritmusát: log log 79 = Alklmzzuk htvány logritmusár vontkozó zonosságot: ( ) log 6 Rendezzük z egyenletet: log log 6 = 0 log = Vezessük be z y = log új ismeretlent, ekkor z egyenlet: y y 6 = 0, melynek megoldási y = ; y =. Innen log = = 7, vgy Az egyenlet megoldási = 7; =. 9 log = =. 9 Feldtok. Oldd meg következő egyenleteket! ) 7 = 5 d) = 7 b) = e) = 0 + c) = 5 f) = 0. Oldd meg következő egyenleteket! ) log ( + + ) = log 7 + log ( + ) + + b) lg lg( ) 7 lg = c) lg 9 = 0 0, > 0

137 . modul: LOGARITMUS 7 V. Eponenciális és logritmikus folymtok A hétköznpi életben számtln folymttl tlálkozhtunk, melyek eponenciális vgy logritmikus összefüggésekkel modellezhetők. Ilyen folymtok például: tőke növekedése, termelés növekedése, pici folymtok, kmtos kmt; élőlények szporodás; rdioktív nyg bomltln tomjink szám z eltelt idő függvényében; légnyomás csökkenése mgsság függvényében. Az eponenciális és logritmus függvényekkel kpcsoltbn már tlálkoztunk néhány konkrét modellel, most nézzük meg ezeket közelebbről! Mintpéld Zsuzsi le krj cserélni tévéjét egy újr, mi Ft-b kerül. Már vn Ft-j. H ezt z összeget befektetné évi 6%-os kmtr, kkor mennyi idő múlv vehetné meg tévét, feltéve, hogy nnk ár nem változik? Zsuzsi pénze év ltt éri el Ft-ot. év ltt,06-szeresére nő. év ltt:,06,06 szeresére változik. év ltt:,06 -szerese lesz = 8 000, =, 8000,05 =, Mivel mindkét oldl pozitív, vegyük mindkét oldl 0-es lpú logritmusát, és jobb oldlr lklmzzuk logritmus zonosságát: lg,05 = lg,. Ebből = 0,. 0, év = 0, =5,6 hónp. Zsuzsi kb. fél év múlv megveheti tévét.

138 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintpéld A következő témávl már z eponenciális egyenleteknél is tlálkoztunk. Itt logritmus ismeretében további kérdésekre is válszt tudunk dni. A 6-os tömegszámú rádium (R) eredetileg N 0 számú, t év elteltével N számú bomltln t 600 rdioktív rádiumtomot trtlmz, hol N = N0. ) Mennyi idő ltt bomlik el rádiumtomok fele? (Mennyi rádiumtomok felezési ideje?) b) A rádiumtomok hány százlék bomlik el évente? c) Hány év ltt bomlik el rdioktív tomok 0%-? ) H t idő elteltével rdioktív rádiumtomok fele elbomlik, kkor fele mrd N bomltln, vgyis N = 0. Ezt visszhelyettesítve fenti egyenletbe, N 0 -ll egyszerűsíthetünk. Ezt kpjuk: =. t 600 Mivel z eponenciális függvény szigorún monoton, ezért htványkitevők is megegyeznek, zz =, ebből t = 600 év. t 600 b) A képletből közvetlenül z számíthtó ki, hogy rdioktív rádiumtomok hány százlék nem bomlik el egy év ltt! N = N Ebből z N N0 hánydos értéke dj meg keresett rányt. N = = 0, ,957 % N0 Tehát egy év ltt z tomok 0,0 %- bomlik el. c) t év ltt bomlik el rdioktív tomok 0%-, zz t év múlv z tomok 80 %- mrd bomltln. Ez éppen zt jelenti, hogy t 600 = 0,8 = 0, 8 t N N0 Mivel keresett érték htványkitevőben vn, vlmint mindkét oldl pozitív, vegyük mindkét oldlnk 0-es lpú logritmusát, és bl oldlr lklmzzuk logritmus zonosságát. Ekkor kpjuk: t lg 600 = lg 0,8. Ebből t 55 év.

139 . modul: LOGARITMUS 9 Mintpéld A 850 -ben Föld népessége kb. 675 millió fő volt. Megállpították, hogy évente átlgosn 0,% növekedés. Ennek lpján hány ember élt Földön 00 évvel később, és mennyire becsülnéd változtln növekedési ütem mellett létszámot 00-r? Az első év végére z fős népesség ,00-szorosár nőtt. A második év végére népesség ,00 fő lett. A. év végére ,00, stb. 00 év múlv pedig: , fő lett. Ettől z időtől számítv 00-ig 50 év telik el. Ekkorr népesség szám z dott növekedési ütem mellett , főre becsülhető. Megjegyzés: Kiderült, hogy sttisztikusok igen rosszul állpították meg növekedési ütemet, hiszen világ népessége már 980-bn kb., milliárd fő volt! Mintpéld 0,75h A kilométerben megdott h mgsságbn urlkodó p nyomás p = p e képlettel számíthtó ki, hol p 0 Földön lévő légnyomás, és e,78, ez természetes lpú logritmus lpszám. ) Mekkor mgsságb kell emelkedni Földtől, hogy légnyomás tengerszinten mért légnyomás felére csökkenjen? b) Mekkor mgsságb kell emelkedni Földtől, hogy légnyomás tengerszinten mért légnyomáshoz képest 0%-kl csökkenjen? 0 ) Tudjuk, hogy keresett mgsságbn légnyomás felére csökken, zz p p = 0. Ezt behelyettesítve megdott egyenletbe kpjuk: p0 0, 75h = p0, 78 0,75h Egyszerűsítés után: =,78 Mivel mindkét oldl pozitív, vehetjük z egyenlet 0-es lpú logritmusát, és lklmzzuk logritmus zonosságit: lg 0,5 = 0,75 h lg,78; ebből h = 5,. A nyomás kb. 5, km mgsságbn fele tengerszinten mért nyomásnk.

140 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE b) H keresett mgsságbn p nyomás tengerszinten mért nyomásnál 0%-kl kevesebb, kkor p = 0,9 p 0 0,75h Behelyettesítve megdott egyenletbe kpjuk: 0,9 p 0 = p 0 e Egyszerűsítés és logritmus definíciójánk lklmzás után kpjuk: lg 0,9 = 0,75h lg,78; ebből h = 0,8. A nyomás kb. 80 m mgsságbn 90%- tengerszinten mért nyomásnk. Feldtok. Egy szkszervezet zt követeli, hogy bérek évi 8% -kl növekedjenek. ) H ezt elérik, kkor mennyire nő meg év ltt mi Ft-os fizetés? b) Ilyen növekedés mellett mikorr lenne dolgozók fizetése leglább másfélszerese mink? 5. A Föld népessége évente 0,75%-kl növekszik, 006-bn 6,5 milliárd ember élt Földön. Változtln szporodási ütem mellett melyik évben érné el z össznépesség szám 9 milliárdot? 6. Mennyi felezési ideje nnk rdioktív izotópnk, melynek z ktivitás kezdetben 6 0 Bq, de hét múlv már csk,78 0 t Bq? A rdioktív nygok bom- T lását C = C0 egyenlet írj le, hol C pillntnyi ktivitás, C 0 kezdeti ktivitás, t z eltelt idő, T pedig z nyg felezési ideje; Bq, zz becquerel, z ktivitás mértékegysége. κ p 7. A gázok dibtikus (hőcsere nélküli) állpotváltozását = állndó egyenlet írj κ T le, hol p gáz nyomás, T hőmérséklete, κ (kpp) pedig egy, gáz fjtájár jellemző rányszám. Mekkor ez z rányszám z oigén esetén, h nyomást 00- szorosár, hőmérsékletet -szeresére növeljük?

141 . modul: LOGARITMUS Vegyes feldtok 8. Számold ki következő logritmus értékeket! ) log b) log 5 c) log Htározd meg betűkifejezések számértékét! ) log 7 = b) log b 0 c) log u d) log z = = = Htározd meg következő logritmusok lpjit! 7 ) log 5 = b) logb = c) log c ( 5) = d) log d 00 = Htározd meg következő kifejezések pontos értékét! ) log 9 b) log 7 7 c) ( ) log ( ) d) log 0 e) 9 log 7 f) log 9 log g) h) 7 + log Mely -ekre értelmezhetők z lábbi függvények? ) ( ) log b) b ( ) = log 0, ( + ) c) c() = log ( ) = d) d() = log,7 e) e() = lg f) f () = lg 5 5. Mely -ekre értelmezhetők z lábbi függvények? ) ( ) = log 0, ( 6 ) b) b ( ) = log ( 9) c) c ( ) = log ( + 8 5), d) d( ) = lg lg( 5 ) e) e( ) = log 8 f) f ( ) = log ( 5) 5. Készítsd el következő függvények grfikonját, mjd jellemezd függvényeket! ) ( ) = log ; ]0; ] b) b( ) = log ; Z c) c( ) = lg ; [; 0[ d) d( ) = lg ( ) ; ] ; 0 [ 0 5

142 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 55. Ábrázold és jellemezd következő függvényeket! Az ) feldtnál megdtuk z értelmezési trtományt, többi függvény esetében először zt htározd meg! ) ( ) = lg ; [ 0; 0] \ {0} b) b ( ) = lg + c) c ( ) = log ( + ) 56. Oldd meg következő egyenleteket! log 6 5 = ) log { 7 [ log ( + ) + ] } b) log [ + log ] log 8 = 57. Oldd meg következő egyenleteket! b) lg( ) = lg 0 ) lg = + lg 58. Oldd meg következő egyenleteket! ) lg ( + ) = lg ( + ) c) log ( ) log = log ( 7) b) + log ( + ) log = 59. Oldd meg következő egyenleteket! ) lg( 5) + lg = lg( 9) b) log ( + 8) + log 8 log = Oldd meg következő egyenleteket! ) 5 = + 5 b) 5 = c) = 6. Oldd meg következő egyenleteket! + ) = + log b) log ( ) = + log ( ) log + 7 c) = 6, > 0

143 . modul: LOGARITMUS Kisleikon Logritmus: A b pozitív szám lpú ( > 0 és ) logritmusánk nevezzük zt kitevőt, melyre -t emelve b-t kpunk. Jelölés: log b (kiolvsv: lpú logritmus b). Mtemtiki jelölésekkel logritmus definíciój: log b = b, hol b > 0; > 0 és Logritmusfüggvénynek nevezzük z ( ) = log ; > 0; ; > 0 f hozzárendelési utsítássl megdott függvényt. A logritmus zonossági: log + log y = log y Áttérés más lpú logritmusr: log log y = log k log = log log log = log y y k y

144

145 5. MODUL vektorok Készítette: Vidr Gábor

146 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Ismétlés Mintpéld ) Számítsuk ki koordinát-rendszerbe berjzolt síkidomok kerületét és területét! b) Mekkorák B háromszög szögei? c) Mekkorák C háromszög szögei? d) H B háromszöget eltoljuk ( ; ) vektorrl, mik lesznek z új háromszög csúcsink koordinátái? ) T = 6 + π 9, ; T = ; T = 6 (kétféle megoldás: T A B C m =, vgy tégllp területéből kivonjuk két derékszögű háromszög területét). K = 0 + π 6,, K = , 5, A K = + 0 +,. C B (A háromszögek nem tengelyekkel párhuzmos oldlit Pitgorsz-tétellel számítjuk ki.) b) tngens szögfüggvénnyel: 6,, 90 és 6,6. c) tngens szögfüggvénnyel: 6,, 5 és 7,6. (PP Q és PP R háromszögből.) d) (; ), (; ), (; 7). Az irányított szkszt vektornk nevezzük. A fizikábn több vektormennyiséget megismertünk: elmozdulás, sebesség, gyorsulás, erő stb. A vektorok kezdőpontjukkl és végpontjukkl kijelölnek egy irányt és egy távolságot. A távolságot vektor hosszánk vgy bszolútértékének nevezzük, és mindig vlmilyen hoszszúságegységhez viszonyítjuk. A vektorok egyenlősége és zonosság különböző foglmk. Két vektor zonos, h kezdőpontjik és végpontjik páronként megegyeznek, jelölés: b. Egy dott vektorrl zonos vektor síkon vgy térben ugynott helyezkedik el. Ezzel szemben egy dott vektorrl egyenlő vektort sík vgy tér bármely pontjából felmérhetünk, így egy dott vektorrl egyen-

147 5. modul: VEKTOROK 7 lő vektorból végtelen sok vn. Két vektor egyenlő, h hosszuk és irányuk megegyezik (vgyis egyeneseik párhuzmosk és irányításuk zonos). Egységvektor (e): egységnyi hosszúságú vektor: e =. Nullvektor (0): 0 hosszúságú vektor. Definíciój: olyn vektor, melynek megegyezik kezdőpontj és végpontj. Irányát tetszőlegesnek tekintjük. Az vektor ellentettjének nevezzük zt vektort, melyik vele egyenlő bszolútértékű, vele párhuzmos, de ellentétes irányú. Jelölése:. H egy vektor koordinát-rendszer kezdőpontjából indul ki, zt helyvektornk nevezzük. A nem origó kezdőpontú vektorok szbd vektorok. Mintpéld Számítsuk ki z ábrán láthtó vektorok bszolútértékét! A koordinát-rendszer derékszögű négyzetrács és Pitgorsz-tétel segítségével végezzük számítást: b = + =, 6 egység. Hsonlón számítv: = 5 + = 9 5, egység. Feldtok. Keress egyenlő, ellentett és zonos vektorokt kockán és szbályos htszögön!

148 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Keress z ábrán egyenlő, egyenlő bszolútértékű, illetve ellentett vektorokt! Vektorműveletek Két vektor összegét kétféle módszer szerint szerkeszthetjük meg: ) háromszög módszer: z végpontjából mérjük fel b vektort; ekkor z + b vektor z kezdőpontjából b végpontjáb mutt. b) prlelogrmm módszer: h és b nem párhuzmosk, kkor z és b vektorokt közös kezdőpontból mérjük fel, kiegészítjük prlelogrmmává; ekkor z + b vektor prlelogrmm közös kezdőpontból kiinduló átló vektor. Több vektor összedásánál hsználhtó láncszbály: Egy vektor és nullvektor összege z vektorrl egyenlő: + 0 =.

149 5. modul: VEKTOROK 9 A vektorok összedás számokkl végzett összedáshoz hsonlón kommuttív (felcserélhető) és sszocitív (csoportosíthtó) művelet: + b = b + és + b + c = ( + b ) + c = + ( b + c ) A vektorok összedásánk ellentett művelete vektorok kivonás. Az és b vektorok különbségét úgy képezzük, hogy közös kezdőpontból mérjük fel őket. A végpontjikt összekötő, végpontj felé muttó vektor z b vektor. Az b vektort úgy is megszerkeszthetjük, hogy z vektorhoz hozzádjuk b ellentett vektorát ( b vektort). A vektorok kivonásár számok kivonásához hsonlón nem teljesül sem kommuttivitás, sem z sszocitivitás. A vektorok nyújtásár és zsugorításár számml (sklárrl) történő szorzást hsználjuk. Az ábrán z, b és c vektorok között összefüggések állpíthtók meg: b = ellentett vektorok, írhtjuk úgy is, hogy b = ; c = b, vlmint c = ( ) =. További példák vektorok számml vló szorzásár: Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl megegyező, k < 0 esetén irányávl ellentétes, k = 0 esetén pedig nullvektort kpunk.

150 50 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE -nél ngyobb bszolútértékű számml megszorozv vektort hossz növekszik (nyújtás). H szám bszolútértéke 0 és közé esik, kkor vektort vele megszorozv vektor hossz csökken (zsugorítás). A csupán szorzótényezőjükben különböző vektorokt egyneműeknek tekintjük, így zok összevonhtók: például + =. A vektorok összedását és számml vló szorzását hsználjuk egy vektor összetevőkre bontáskor is. Ez koordinát-rendszerben egyszerű, mert z és y tengely egységvektori (i és j) jelölik ki zokt z összetevőket, melyekre vektorokt bontjuk.

151 5. modul: VEKTOROK 5 II. Vektorkoordináták, vektorműveletek Mintpéld Bontsuk fel z ábrán szereplő vektorokt z i és j egységvektorok segítségével olyn összetevőkre, melyek z és y tengellyel párhuzmosk! Az ábr helyvektorát felbonthtjuk egy i és egy j ngyságú vektor összegére: b = i + j. Hsonlón írhtó fel szbd vektor is: = i + ( j), röviden = i j. H koordinát-rendszerben egy vektort z i és j vektorok segítségével bontunk fel, kkor megkpjuk vektor lineáris kombinációját, v = v i + v j lkú felírást. A v és v számokt, vgyis i és j vektorok szorzóit v vektor koordinátáink nevezzük: v (v ; v ). A mintpéldábn z vektor első koordinátáj, második, mit így jelölünk: (; ). b koordinátái: b ( ; ). Megjegyzés: A pontok és vektorok koordinátáit rendezett számpárnk is nevezik. Azért rendezett, mert ezeket nem cserélhetjük fel: z. koordinát z,. koordinát z y tengely irányábn mért távolságokt jelentik. Térben szükség vn még egy koordinátár, ezért rendezett számhármsról beszélünk. Ekkor z tengelyhez kpcsolódik vektor. koordinátáj. Helyvektor esetén vektorkoordináták megegyeznek végpont koordinátáivl. Mintpéld Adott egy négyszög négy csúcs: A( ; ), B( ; ), C(; ), D(; ). ) Htározzuk meg z oldlk vektorit! b) Keressünk kpcsoltot vektorkoordináták és végpontok koordinátái között! Egészítsük ki mondtot megdott szvk felhsználásávl (kötőszvkt, névelőket pótolhtsz)!

152 5 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Adottk egy vektor kezdőpontjánk és végpontjánk koordinátái. A vektor koordinátáit megkpjuk, h. c) Számítsuk ki z AB vektor hosszát, és z A és C pontok távolságát! ) Leolvssuk z oldlvektorok koordinátáit: AB ( ;5), BC (;0), CD (0; 7), DA( 6;). b) A vektor koordinátáit megkpjuk, h végpont koordinátáiból kivonjuk kezdőpont megfelelő koordinátáit. c) Az AB (;5) koordinátáiból számítjuk ki hosszát, egy derékszögű háromszög segítségével: AB = + 5 = 9 5, egység, mit méréssel ellenőrizhetünk. Az A( ; ) és C(; ) pontok távolságánk meghtározásához szintén derékszögű háromszöget hsználunk, melynek oldli: 6 és 5 egység, így távolság 6 7, 8 egység. H dott vektor kezdőpontj: A ( ; ) és végpontj: B (b ; b ), kkor vektor koordinátáit úgy kpjuk meg, hogy végpont koordinátáiból kivonjuk kezdőpont megfelelő koordinátáit. A ( ; ), B (b ; b ) AB (b ; b ) A kezdőpontjávl és végpontjávl megdott vektor hosszát megfelelő koordináták különbségéből számítjuk ki ugynúgy, mint két pont távolságát: A ( ; ), B (b ; b ) AB = ( b ) + (b ) A koordinátáivl megdott vektor hosszát koordináták négyzetösszegének négyzetgyöke dj: ( ; ) = +

153 5. modul: VEKTOROK 5 Mintpéld 5 Adott két vektor, (5; ) és b (6; ). Rjzoljuk meg következő vektorokt, és htározzuk meg koordinátáikt: ) + b; b) b; c) ; d) 0,5b. ) + b (; ); b) b ( ;7); c) (0; 6); d) 0,5b ( ; ). e) Keressünk összefüggéseket, és egészítsd ki hiányzó mondtokt! Tegyük helyükre megdott szvkt! Kötőszvkt, névelőket pótolhtunk! Két vektor összedáskor Két vektor kivonáskor H egy vektort megszorzunk egy k számml, kkor Két vektor összedáskor megfelelő koordináták összedódnk. ( ; ), b (b ; b ) + b ( + b ; + b ) Két vektor kivonáskor megfelelő koordinátákt kivonjuk egymásból. ( ; ), b (b ; b ) b ( b ; b ) H egy vektort megszorzunk egy k számml, kkor vektor koordinátái is k-vl szorzódnk. ( ; ), k R k (k ; k )

154 5 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintpéld 6 Forgssuk el b( 6; ) vektort 90 -kl kezdőpontj körül mindkét irányb, és olvssuk le keletkezett vektorok koordinátáit! Az eredmény: (; 6) és ( ; 6). Áltlábn is igz, hogy h egy vektort 90 -kl elforgtunk, kkor koordinátái felcserélődnek, és z egyik (de csk z egyik!) előjelet vált. ( ; ) 90 ( ; ), illetve ( ; ) +90 -os forgtásnál ( ; ), 90 -os forgtásnál ( ; ) vektort kpunk. Mintpéld 7 ) Htározzuk meg nnk vektornk koordinátáit, melyik z ( 6; ) vektorr merőleges, és hossz z hosszánk fele! b) Htározzuk meg nnk vektornk koordinátáit, melyik z ( 6; ) vektorr merőleges, és y koordinátáj! ) Két ilyen vektor is vn, ui. z -t 90 -kl elforgtv két vektort kpunk: (; 6) és ( ; 6). Fele kkor vektort 0,5-tel vló szorzás eredményez, így keresett vektorok: (,5; ) és (,5; ). b) Keressük zt z (; ) vektort, melyik párhuzmos (; 6) vektorrl. A második koordinátákt összevetve láthtó, hogy (; 6) vektort hrmdár kell zsugorítni, így keresett vektor: (; ). Szerkesztéssel ellenőrizzük!

155 5. modul: VEKTOROK 55 Mintpéld 8 Adott z (; 8) és b( ; 5) vektor. Melyek d vektor koordinátái, h z + d b vektorművelet eredménye nullvektor? A vektorműveleteket koordinátánként végezzük. A megfelelő koordináták összege null, 9 így + d b = 0, behelyettesítve: + d + = 0, honnn d =. Hsonlón 8 második koordinátákr: + d b = 0, honnn + d 5 = 0, A keresett vektor: d 9 ;. d =. Feldtok. Egy régi hegesztőgép csk sokszögeket képes vágni, és vektorokkl kell megdni, hogy vágás során mi legyen következő mozgás. Írd le, hogy milyen vektorsorozttl írhtó le z ábrán láthtó síkidomok vágás!. A monitoron koordinát-rendszer kezdőpontj képernyő bl lsó srk. A rjzoló teknőc helyzete A(0; 0). ) Hová kerül teknőc, h (00; 80) képpontvektorrl elmozdul képernyőn? b) Htározd meg z új pontb muttó helyvektort! 5. A képernyő méretei monitoron: cm széles, és cm mgs, monitor felbontás: képpont, koordinát-rendszer kezdőpontj bl lsó srokbn vn. Gizi húzott egy szkszt, melynek kezdőpontj (58; 690), végpontj (870; 0). ) Hány képpont vonl hossz?

156 56 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE b) Az egér mozgtásávl teljes képernyőt,5 cm oldlú, négyzet lkú területekkel lehet bekeretezni. Mennyi utt tett meg Gizi egere, miltt vonlt megrjzolt? 6. Adott: ( ; ) és b(; ). Számítsd ki következő vektorműveletek eredményét, és ábrázold megoldást koordinát-rendszerben! Htározd meg z eredményvektorok hosszát is! b ) b ; b) + ; c) b ; d) + b. 7. Adott: (; ) és b(; ). Számítsd ki következő vektorműveletek eredményét, és ábrázold megoldást koordinát-rendszerben! Htározd meg z eredményvektorok hosszát is! ) + b ; b) b + b + ; c) 5 (b ). 8. Adottk: (0; ), b (5; 5) és c ( ; 8). Melyek d vektor koordinátái, h megdott vektorok összege nullvektor? ) + b + c + d; b) b d + c; c) c + d + b ; + d d) b + c. 9. Rjzold meg z AB vektort, h A(; ) és B(5; )! Rjzolj olyn vektorokt, melyek egyenlőek AB -vel és kezdőpontjuk ) C(; ); b) D(0; ); c) E( ; ). 0. Htározd meg nnk tégllpnk z oldlvektorit, melynek egyik oldl kétszer kkor, mint másik, és z egyik oldl csúcsi (; ) és (; 6)!. Htározd meg (; ) vektorrl párhuzmos egységvektor koordinátáit!. Melyik z vektor, melyik z (5, ) vektorr merőleges, és hossz 0 egység!

157 5. modul: VEKTOROK 57 Vektor felmérése dott pontból Mintpéld 9 Egy prlelogrmm csúcsi: A( ; ), B( ; 6); C(0; ), D( ; ). ) Htározzuk meg z AB és CD oldlvektorokt! b) Milyen összefüggés vn prlelogrmm szemközti oldlink vektori között? c) Egy, z ABCD prlelogrmmávl egybevágó prlelogrmm egyik csúcs D (0; ). Htározzuk meg másik három csúcs koordinátáit! ) Mindkettő (; ) vgy ( ; ). b) A szemközti oldlvektorok egyenlőek vgy ellentettek. c) D -ből felmérjük DA (; ) vektort, és leolvssuk végpont koordinátáit: A (; ). D -ből felmérjük DC (; ) vektort, és leolvssuk végpont koordinátáit: C (; 0). A -ből felmérjük DC (; ) vektort, és leolvssuk végpont koordinátáit: B (5; ). És még három másik megoldást is tlálunk! Az előbbi példábn többször előfordult, hogy vektort egy dott pontból kell felmérni, és végpont koordinátáit keressük. Például: D (0; ) D (0; ) A (; ) DA (; ) DC (; ) DC (; ) A (; ) C (; 0) B (5; ) Korábbn már volt szó rról, hogy vektor koordinátáit úgy kpjuk, hogy végpont koordinátáiból kivonjuk kezdőpont koordinátáit. H dott egy vektor és kezdőpontj, kkor végpontjánk koordinátáit úgy kpjuk, hogy összedjuk vektor és kezdőpont megfelelő koordinátáit. A ( ; ), AB (; y) B ( + ; + y) A ( ; ) AB (; y) B ( + ; + y)

158 58 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintpéld 0 Adott koordinát-rendszerben egy négyszög, melynek csúcsi: A(; 5), B(7; ), C(7; 5), D(; 7). ) Bizonyítsuk be, hogy négyszög trpéz! b) Döntsük el, hogy szimmetrikus-e trpéz vgy nem? Döntésünket igzoljuk számítássl! c) Htározzuk meg négyszög területét! ) Megvizsgáljuk z oldlvektorokt. Amennyiben két Emlékeztető: vektor párhuzmos, kkor egymás számszorosi, k (, ) (k, k ) vgyis megfelelő koordináták hánydos egyenlő. Az ábr lpján szób jöhető két vektor AB és DC, koordinátáik: AB = (b ; b ) = (6; ), vlmint DC = (c d ; c d ) = (; ). 6 = és =, vgyis AB = DC, tehát vn két párhuzmos oldl, négyszög trpéz. b) A trpéz csk kkor lehet szimmetrikus, h szárink hossz egyenlő, ezért kiszámítjuk z AD és BC távolságokt: AD = ( d ) + ( d ) = + = egység és BC = egység, szárk hossz nem egyenlő, trpéz nem szimmetrikus. c) A terület kiszámításához segítségül hívjuk négyzetrácsot: tégllp lkú keretbe foglljuk négyszöget, és tégllp területéből kivonjuk derékszögű háromszögek területét. 6 6 T = + = 8 egység.

159 5. modul: VEKTOROK 59 Feldtok. Egy prlelogrmm három csúcsánk koordinátái: ) A( ; ), B(; 0), C(6; ); b) A( ; 6), B(7; ), C(; ); c) A(5; ), B( ; ), C(; 8); d) A(0; 5), B(0; ), C(; 0). Htározd meg prlelogrmm negyedik csúcsánk koordinátáit!. Egy prlelogrmm három csúcsánk koordinátái: (; ), (; ) és ( ; ). Htározd meg negyedik csúcs koordinátáit! Figyelj megoldások számár is! 5. Htározd meg négyzet hiányzó csúcsink koordinátáit, h két szomszédos csúcsánk koordinátái: ) A(0; 0), B(5; 0); b) A(; 0), B(; 5); c) A(; 6), B(; 0). 6. Egy négyzet átlóink metszéspontj K( ; ) pont, egyik csúcsánk koordinátái: A(; ). Htározd meg további csúcsok koordinátáit! 7. Egy tégllp egyik oldl háromszor olyn hosszú, mint másik. A rövidebb oldl két végpontj: (0; ) és ( ; ). Htározd meg tégllp további csúcsink koordinátáit! 8. Egy négyzet átlóink metszéspontj K(; ) pont, egyik oldlfelező pontj z F(5; ). Htározd meg négyzet csúcsink koordinátáit, területét és kerületét! 9. Egy négyzet átlóink metszéspontj K( ; 0) pont, egyik oldlvektor z ( 6; ) vektor. Melyek négyzet csúcsink koordinátái? 0. Egy tégllp átlóink metszéspontj K(; ) pont, és z egyik hosszbb oldlánk felezőpontjáb muttó vektor koordinátái: (0,5;,5). Htározd meg tégllp csúcsink koordinátáit, h egyik oldl háromszor olyn hosszú, mint másik oldl!. Egy deltoid átlóink metszéspontj K(; ) pont, mely hosszbb átló egyik hrmdoló pontjábn tlálhtó. A rövidebb átló hosszánk másfélszerese ngyobb átló hossz, és rövidebb átló egyik végpontj z A(0; 5) pont. Htározzuk meg deltoid többi csúcsát!

160 60 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Vektorok skláris szorzt A fizikábn vektormennyiségekből számokt is képezhetünk. Jellemző péld erre munk (W). H egy szánkót húzunk, kkor z F húzóerő gyorsításr fordított munkáj nnál ngyobb, minél kisebb szöget zár be kötél tljjl: Az F erő áltl végzett munk függ: z F erő ngyságától (F), z elmozdulás ngyságától (s), vlmint z erővektor (F) és z elmozdulásvektor (s) áltl bezárt szögtől. A munk sklármennyiség (szám), míg z elmozdulás és z erő vektormennyiségek. A két vektormennyiségből zok skláris szorzt dj munkát: W = F s A vektorok skláris szorzt függ vektorok hosszától és hjlásszögüktől. és b vektorok sklárszorzt: b = b cos α, hol α két vektor áltl bezárt szög (hjlásszögük). Így már érthető, hogy h egy erő z elmozdulásr merőleges (α = 90 ), kkor z miért nem végez munkát (cos α = 0). Igzolhtó, hogy két vektor skláris szorzt kkor és csk kkor null, h merőlegesek egymásr. H z egyik vektor egységvektor, kkor skláris szorzt másik vektornk z egységvektor egyenesére eső merőleges vetületének előjeles hosszávl egyenlő.

161 5. modul: VEKTOROK 6 H két vektor párhuzmos, α = 0 mitt cos α =, így skláris szorzt két vektor hoszszánk szorzt. Egy vektor önmgávl vló skláris szorzt vektor hosszánk négyzetével egyenlő: = = =, honnn =. A vektorok skláris szorzásánk néhány tuljdonságát feldtokbn is gykrn lklmzzuk: b = b (kommuttivitás) és (b + c) = b + c (disztributivitás). A skláris szorzt kifejezhető vektorkoordinátákkl is: b = b + b b = b cos α = b + b. Két vektor kkor és csk kkor merőleges egymásr, h skláris szorztuk értéke null: b + b 0. = A koordinát-rendszer bázisvektorir érvényes összefüggések: i = j =, és i j = 0. Mintpéld Htározzuk meg z ( ; 5) és b(6; ) vektorok skláris szorztát és hjlásszögét! A koordinátákból: b = ( ) = 9. = A hjlásszög meghtározásához kiszámítjuk vektorok hosszát: = + 6 = és b = b + b 5. A hjlásszöget kifejezzük skláris szorztból: b 9 cosα = =, honnn hjlásszög 7,7. b 6 5 Megjegyzés: A hjlásszög skláris szorzt lklmzás nélkül is meghtározhtó, szögfüggvények és négyzetrács segítségével.

162 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feldtok. Htározd meg következő vektorok skláris szorztát! ) A vektorok hossz 6, illetve 7 egység, közbezárt szögük 60. b) A vektorok hossz, illetve 0 egység, közbezárt szögük 0. c) ( 5; ) és b( ; 7). d) = i + 5j és b = 9j + i. e) = i + j és b = i + j.. Az ABC szbályos háromszög oldl 6 cm. F-fel jelöljük BC oldl felezőpontját. Htározd meg z lábbi skláris szorztok értékét: ) AB AC ; b) AB BC ; c) AF BF ; d) BA BF.. Az ABCD négyzet oldl 5 egység hosszú. A BC oldl felezőpontját F jelöli és BF szksz felezőpontját P. A négyzet középpontj K. Htározd meg z lábbi skláris szorztok értékét: ) AB AD ; b) AB DC ; c) AD CB ; d) AB AF ; e) AK AB ; f) AP AF ; g) KP KF. 5. Htározd meg z és b vektor hjlásszögét, h ) (; ) és b(; ); b) (, 5) és b( -8; -0); c) (;5) és b(6; ); d) ( 8; ) és b( ; 5). 6. Válszd ki, hogy mely vektorok és hjlásszögek nem trtoznk össze! ) (; ), b(, 8), 68, ; b) (, 5), b( 6, ), 77,9 ; c) ( 7; ), b(8; ), 75, ; d) (; 5), b( 7; 5), Egészítsd ki mondtokt: H két vektor skláris szorzt negtív, két vektor hjlásszöge. A skláris szorzt bszolútértéke legfeljebb

163 5. modul: VEKTOROK 6 8. Htározd meg y értékét úgy, hogy (; 8) és ( ; y) vektorok merőlegesek legyenek egymásr! 9. Htározd meg z ABC háromszög szögeit, h A( ; ), B(; ), C(; ). 0. Htározd meg z ABCD négyszög szögeit, h A( ; ), B(; ), C( ; ), D( ; 0).. A skláris szorzt definíciój lpján döntsd el, hogy skláris szorzás kommuttív, illetve sszocitív művelet-e?

164 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE IV. Osztópontok, súlypont koordinátái Felezőpont koordinátái Mintpéld ) Olvssuk le végpontjikkl megdott szkszok felezőpontjánk koordinátáit szkszok felrjzolás után! H kell, szerkesszük meg felezőpontot! A(0; 0), B (0; 5); P( 8; ), Q( 6, 0); R( 7; ), S(; ); C(; 8), D(7; ). b) Foglmzzunk meg szbályt, melyik felezőpont koordinátái és szksz végpontjink koordinátái közötti kpcsoltot írj le! A felezőpontok rendre: F(5;,5); G( ; ); H(,5; 0,5); J(,5; 5). Adottk szksz két végpontjánk koordinátái. Ekkor felezőpont koordinátáit úgy kpjuk, hogy végpontok megfelelő koordinátáink összegét -vel osztjuk. Megjegyzés: A felezőpont koordinátái végpontok megfelelő koordinátáink számtni közepe. Az F felezőpont koordinátái megegyeznek hozzá vezető f helyvektor koordinátáivl. Így F meghtározásához elegendő szksz végpontjib muttó és b helyvektorokkl kifejezni z f vektort. b + b Az ábráról leolvshtó, hogy f = + =. + b + b A( ; ), B(b ; b ) F ;

165 5. modul: VEKTOROK 65 Feldtok. Az A pontb muttó helyvektor, b pedig B pontb muttó helyvektor. Htározd meg z AB szksz felezőpontjáb muttó f helyvektor koordinátáit! ) (5; ), b(; 9); b) ( ; ), b(; 5); c) ( 6; ), b(5; ); d) (5; 7), b( 9; ).. Egy szksz felezőpontj F, egyik végpontj z A pont. Htározd meg szksz másik végpontját, h ) F( 0,5; 0,5) és A(; ); b) A( 6; ) és F(; ); c) A( ; ) és F(; ); d) A( ; ) és F(; ).. Adottk egy háromszög csúcsink koordinátái: A( 6; ), B(; ), C(0; 5). Htározd meg középvonlk háromszögének csúcspontjit! 5. Adottk egy háromszög oldlfelező pontji: P( 6; ), Q(; ), R(0; 5). Htározd meg háromszög csúcsink koordinátáit! 6. Adott z AB szksz két végpontj: A(0; ) és B(; ). A szkszt meghosszbbítjuk mindkét iránybn sját hosszávl. Mik lesznek z így nyert szksz végpontjink koordinátái? 7. Adott ht pont, melyek egy háromszög csúcsi és oldlfelező pontji. Döntsd el ábrázolás nélkül, hogy melyek csúcspontok. A koordináták: (0; ), (; ), ( ; ), ( ; ), (; 0) és ( ; ). 8. Htározd meg középvonlk (vgyis szemközti oldlk felezőpontjit összekötő szkszok) vektorit, h négyszög csúcsi: A( ; ), B(6, ), C(; 5), D( ; )! 9. Egy prlelogrmm szomszédos csúcsi: A( ; ) és B(6; 6), átlóink metszéspontj: K(; ). Htározd meg prlelogrmm másik két csúcsát!

166 66 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 0. Az ABC háromszöget kétszeresére ngyítottuk egy K pontból. A csúcsok koordinátái: A(; ), B( ; ), C( ; ). A B csúcs képe: B (0;0). Htározd meg képháromszög másik két csúcsánk koordinátáit!. Htározd meg négyzet hiányzó csúcsit, h két szemközti csúcsánk koordinátái: ) (0; 0), (6; 0); b) (; ), (; 5); c) (; 6), (; 0). Osztópontok koordinátái A szksz felezőpontjánk meghtározáskor felezőpontb muttó helyvektort fejeztük ki végpontokb muttó helyvektorok segítségével. Ezt módszert szksz bármely osztópontjánk felíráskor követhetjük. Vizsgáljuk meg hrmdolópontok esetén, hogyn lkulnk z összefüggések! Mintpéld A szksz A végpontjáb muttó helyvektor, B végpontjáb muttó helyvektor b. Írjuk fel hrmdolópontokb muttó helyvektorokt z és b vektorokkl! Jelölje h z A-hoz közelebbi, h másik hrmdolópontb muttó helyvektort! A h felírhtó két vektor összegeként: b + b + b h = + = =. Hsonlón h helyvektorr: b + b + b h = + = = Az A és B végpontú szkszok hrmdoló pontjink koordinátái: + b + b + b + b A( ; ), B(b ; b ) H ; és H ;. Megjegyzés:. A hrmdolópontok meghtározásávl nlóg módon szkszt bármely ránybn osztó pont koordinátái meghtározhtók.. A hrmdolópont koordinátáit szksz végpontjib muttó helyvektorok súlyozott számtni közepeként kpjuk meg.

167 5. modul: VEKTOROK 67 A háromszög súlypontjánk koordinátái A síkidomok, így háromszög súlypontjánk meghtározás tervezői szempontból fontos sttiki feldt. A fizikábn és kpcsolódó tudományibn (például térinformtikábn) testeket áltlábn súlypontjukkl helyettesítik. A koordinátgeometriábn egyszerű összefüggést tlálunk háromszög csúcsink és súlypontjánk koordinátái között. A háromszög súlypontjánk koordinátái csúcsok megfelelő koordinátáink számtni közepei. + b + c + b + c A( ; ), B(b ; b ), C(c ; c ) S ; Megjegyzés: Az összefüggés levezetésének egyik módszere súlypontb muttó helyvektor felírás csúcsokb muttó helyvektorok segítségével. Egy másik módszer súlyvonl ismeretlen végpontját felezőpont képletével írj fel, és zt hsználj ki, hogy súlypont súlyvonl csúcshoz közelebbi hrmdoló pontj. A levezetés z emelt szintű érettségi nyg, ezért ezen helyen nem fogllkozunk vele. Feldtok. Htározd meg következő, A és B végpontjikkl megdott szkszok hrmdoló pontjit! ) A( ; ), B(5; ); b) A( ; ), B(, ). Htározd meg szksz ismeretlen végpontjánk koordinátáit, h egyik végpontj A és egyik hrmdoló pontj H! ) A(; 0), H(; ); b) A(6; ), H(;0).. Htározd meg szksz összes negyedelő pontját, h végpontji A(0; ) és B(; 5)! 5. Htározd meg z ABC háromszög súlypontjánk koordinátáit! A megoldást szerkesztéssel ellenőrizd! ) A( 5; ), B(5; 8), C(9; ); b) A( ; ), B( ; ), C(5; ).

168 68 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 6. Forgsd el z ABC háromszöget súlypontj körül 90 -kl, z órmuttó járásávl ellentétes irányb! Melyek z új háromszög csúcsink koordinátái, h z eredeti háromszög csúcsink koordinátái: A(7; ), B( ; ), C(5; )? 7. Adott egy háromszög két csúcs és súlypontj. Htározd meg hrmdik csúcs koordinátáit! ) A(5; 7), B(; ), S(; ); b) A(5; 6), B(; ), S( ; ). 8. Adottk z ABC háromszög csúcsi: A(0; 5), B(7; ), C( 5; ). Htározd meg z A csúcsból induló súlyvonl hosszát!

169 5. modul: VEKTOROK 69 Kisleikon Lineáris kombináció: H koordinát-rendszerben egy vektort z i és j egységvektorok segítségével bontunk fel, kkor megkpjuk vektor lineáris kombinációját, v = v i + v j lkú felírást. v és v számokt, vgyis i és j vektorok szorzóit v vektor koordinátáink nevezzük: v (v ; v ). Vektor koordinátái: H dott vektor kezdőpontj A ( ; ) és végpontj B (b ; b ), kkor z A kezdőpontból B végpontb muttó vektor koordinátáit úgy kpjuk, hogy végpont koordinátáiból kivonjuk kezdőpont megfelelő koordinátáit. A ( ; ), B (b ; b ) AB (b ; b ) Két pont távolság: A kezdőpontjávl és végpontjávl megdott vektor hosszát megfelelő koordináták különbségéből számítjuk ki ugynúgy, mint két pont távolságát: A ( ; ), B (b ; b ) AB = ( b ) + (b ) Vektor hossz: A koordinátáivl megdott vektor hosszát koordináták négyzetösszegének négyzetgyöke dj: ( ; ) = + Két vektor összedáskor megfelelő koordináták összedódnk. ( ; ), b (b ; b ) + b ( + b ; + b ) Két vektor kivonáskor megfelelő koordinátákt kivonjuk egymásból. ( ; ), b (b ; b ) b ( b ; b ) Vektor szorzás számml: H egy vektort megszorzunk egy k számml, kkor vektor koordinátái is k-vl szorzódnk. ( ; ), k R k (k ; k )

170 70 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Vektor elforgtás 90 -kl: H egy vektort 90 -kl elforgtunk, kkor koordinátái felcserélődnek, és z egyik (de csk z egyik!) előjelet vált. ( ; ) 90 ( ; ) és ( ; ) +90 -os forgtásnál ( ; ), 90 -os forgtásnál ( ; ) vektort kpunk. Vektor végpontjánk koordinátái: H dott vektor és kezdőpontj, kkor végpont koordinátáit úgy kpjuk, hogy összedjuk vektor és kezdőpont megfelelő koordinátáit. A ( ; ), AB (; y) B ( + ; + y) A ( ; ) AB (; y) B ( + ; + y) Vektorok skláris szorzt: Az és b vektorok sklárszorzt: b = cosα, hol α két vektor áltl bezárt szög (hjlásszögük). Egy vektor önmgávl vló skláris szorzt vektor hosszánk négyzetével egyenlő: =. A vektorok skláris szorzásánk művelete kommuttív művelet: b = b, és teljesül disztributivitás: (b + c) = b + c A koordinát-rendszer bázisvektorir érvényes összefüggések: i = j =, és i j = 0. Vektorok skláris szorzt vektorkoordinátákkl kifejezve: b = b + b. b = b cos α = b + b. Két vektor kkor és csk kkor merőleges egymásr, h skláris szorzt értéke null: b + b 0. = Felezőpont koordinátái: Adott szksz két végpontj. Ekkor felezőpont koordinátáit úgy kpjuk, hogy végpontok megfelelő koordinátáink összegét -vel osztjuk. + b + b A( ; ), B(b ; b ) F ;

171 5. modul: VEKTOROK 7 Hrmdolópont koordinátái: Az A és B végpontú szkszok hrmdolópontjink koordinátái: + b + b + b + b A( ; ), B(b ; b ) H ; és H ;. Súlypont koordinátái: A háromszög súlypontjánk koordinátái csúcsok megfelelő koordinátáink számtni közepei. + b + c + b + c A( ; ), B(b ; b ), C(c ; c ) S ;

172