MATEMATIKA A 11. évfolyam 1. modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás

Átírás

1 MATEMATIKA A. évfolyam. modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Készítette: Lövey Éva

2 Matematika A. évfolyam. modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A valószínűség fogalmának elmélyítése. A valószínűségszámítás eszköztárát felhasználva az élet valós helyzeteinek elemzése. Az eseményalgebra és a kombinatorika mint segédeszközök felelevenítése. 8 óra. évfolyam Tágabb környezetben: Hétköznapi szituációk. Humán, reál tudományterületeken az esélyek felmérése. Szűkebb környezetben: Halmazok, műveletek a valós számkörben, hatványozás, statisztikai adatsokaságok elemzése. Szöveges feladatok szövegének értelmezése. Grafikonok elemzése. Ajánlott megelőző tevékenységek: Előző években tanultak: permutáció, ismétléses permutáció, kombináció (ismétlés nélkül), variáció ismétléssel és ismétlés nélkül kis elemszámok esetén. Valószínűség fogalma, kombinatorikus valószínűség kis elemszámok esetén. A képességfejlesztés fókuszai Ajánlott követő tevékenységek:. évfolyamon a rendszerező összefoglalásban az eddig tanultak áttekintése, gyakorlás feladatokon keresztül. Számolás, számlálás, számítás: Hatványozás és a faktoriális számolása zsebszámológéppel is. Számolás nagyon nagy és nagyon kis abszolútértékű számokkal, normálalakkal. Szöveges feladatok, metakogníció: A valóságból merített szöveges feladatok alapján felismerni az alkalmazandó eljárást, képletet. A megkapott végeredmény értelmezése. Szövegben előforduló tartalmi összefüggések megkeresése. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: A kiválasztás és a sorbarendezés szükségességének felismerése. Adatok kiolvasása és elemzése táblázatokból, illetve valós életből merített szövegekből.

3 Matematika A. évfolyam. modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 3 TÁMOGATÓ RENDSZER A Sulinet honlapján: e-tananyag > matematika > valószínűség témakörnél találunk szimulációkat; mazsola.iit.uni-miskolc.hu/~komaromi/galton a Galton-deszkához; interaktív grafikonok binomiális eloszláshoz: animáció egy céltáblára leadott szimulált lövésekről. JAVASOLT ÓRABEOSZTÁS. óra Kombinatorika ismétlés. ( óra). óra Kombinatorika ismétlés. ( óra) 3. óra Valószínűségszámítás ( óra). óra Kombinatorikus valószínűség ( óra) 5. óra Binomiális eloszlás ( óra) 6. óra A szerencsejátékos szerencséje ( óra) 7. óra Geometriai valószínűség* } ( óra) 8. óra Valószínűség és statisztika* A *-gal jelölt órák helyett olyan csoportnál, ahol (a tanár érzése szerint) arra nagyobb szükség van - gyakorló órákat iktathatunk be.

4 Matematika A. évfolyam. modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Kombinatorika Középszint Tudjon egyszerű sorbarendezési, kiválasztási és egyéb kombinatorikai feladatokat megoldani. Tudja kiszámolni a binomiális együtthatókat. Emelt szint Ismerje, bizonyítsa és alkalmazza a permutációk, variációk (ismétlés nélkül és ismétléssel), kombinációk (ismétlés nélkül) kiszámítására vonatkozó képleteket. Ismerje és alkalmazza a binomiális tételt. A valószínűségszámítás elemei Középszint Véges sok kimenetel esetén szimmetria megfontolásokkal számítható valószínűségek (egyenlő esélyű elemi eseményekből) egyszerű feladatokban. Esemény, eseménytér konkrét példák esetén. A klasszikus (Laplace)-modell ismerete. Szemléletes kapcsolat a relatív gyakoriság és a valószínűség között. Valószínűségek kiszámítása visszatevéses mintavétel esetén, binomiális eloszlás. Emelt szint Ismerje és alkalmazza a következő fogalmakat: események egyesítésének, metszetének és komplementerének valószínűsége, feltételes k valószínűség, függetlenség, függőség. A nagy számok törvényének szemléletes tartalma (nagyobb n-ekre valószínűbb, hogy p < δ ). n Geometriai valószínűség. A binomiális eloszlás (visszatevéses modell) és a hipergeometriai eloszlás (visszatevés nélküli modell) tulajdonságai és ábrázolása. Várható érték, szórás fogalma és kiszámítása a diszkrét egyenletes és a binomiális eloszlás esetén. A binomiális eloszlás alkalmazása. A minta relatív gyakoriságának becslése a sokaság paraméterének ismeretében. Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai Középszint Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram, gyakorisági diagram, stb.), számtani közép, medián, módusz; adatok szóródásának mérése. Relatív gyakoriság. Szórás kiszámolása adott adathalmaz esetén számológéppel. Emelt szint Tudjon hisztogramot készíteni, és adott hisztogramról információt kiolvasni. Ismerje az adathalmazok egyesítése és átlaguk közötti kapcsolatot.

5 Matematika A. évfolyam. modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 5 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény I. Kombinatorika ismétlés. ( óra). Olyan példák, esetek gyűjtése, amikor csak a Rendszerezés, kombinatív gondolkodás, sorrendnek van jelentősége szabatos fogalmazás. Permutáció. mintapélda 3. Ismétléses permutáció Rendszerezés, kombinatív gondolkodás. mintapélda. Ciklikus permutáció 3. mintapélda 5. Feladatmegoldás Szövegértés, rendszerezés, kombinatív gondolkodás, adatok képletbe rendezése II. Kombinatorika ismétlés. ( óra)., 3.,. feladatok. Kiválasztási problémák gyűjtése. Megkülönböztetve Rendszerezés, kombinatív gondolkodás, pakli kártya azt, ha van a sorrendnek is jelentősége szabatos fogalmazás. Kombináció Rendszerzés, logikus gondolkodás. mintapélda 3. Variáció Számlálás, logikus gondolkodás 5. mintapélda. Ismétléses variáció Kombinatív gondolkodás, becslés 6. mintapélda 5. Feladatmegoldás Szövegértés, rendszerezés, kombinatív 3. feladatok gondolkodás, adatok képletbe rendezése

6 Matematika A. évfolyam. modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 6 III. Valószínűségszámítás ( óra). Kockadobások, majd gyakorisági függvény készítése (helyettesíthető a táblázattal), a valószínűség definíciója Kombinatív gondolkodás, adatok képletbe rendezése Tanulónként egy- egy dobókocka, esetleg egy számítógép táblázatkezelő programmal. feladat. Valószínűség az esetek összeszámlálásával Számlálás, logikus gondolkodás 7. mintapélda 7. feladat 3. Valószínűség és eseményalgebra Logikus és kombinatív gondolkodás 8 0. mintapélda 6. feladat IV. A valószínűség kiszámítása kombinatorikus úton ( óra). Összetettebb feladatok megoldása. mintapélda Szövegértés, kombinatív gondolkodás, adatok 3. feladat képletbe rendezése, becslés, határérték-fogalom 5. feladat előre vetítése. Feladatmegoldás csoportban 6. feladat V. Binomiális eloszlás ( óra). Ismerkedés a Galton dezskával, golyók eloszlása Megfigyelés, becslés Galton-deszka. Egy összetett feladat Szövegértés, kombinatív gondolkodás, adatok. mintapélda képletbe rendezése 3. Valószínűségi változó, eloszlásgörbe Grafikon készítése és értelmezése 3. mintapélda. Önálló feladatmegoldás Szövegértés, kombinatív gondolkodás, adatok képletbe rendezése 7., 8., 3. feladat

7 Matematika A. évfolyam. modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 7 VI. A szerencsejátékos szerencséje ( óra). A rulett szabályai Szövegértés, kombinatív gondolkodás Esetleg egy európai rulettkerék és tét-tábla. Rulett, igazságos fogadás 3. Várható érték, sorsjegy Szövegértés, kombinatív gondolkodás, becslés 5. mintapélda 6. mintapélda 33. feladat 7. mintapélda 35. feladat VII. Geometriai valószínűség (? óra). A geometriai valószínűség 8. mintapélda feladat. Terület és valószínűség Szövegértés, szöveg lefordítása a geometriai 0. mintapélda fogalmakra 36., 37. f eladat 3. A geometriai valószínűség alkalmazása más jellegű feladatban. mintapélda 0.,. feladat VIII. Valószínűség és statisztika (? óra). Esély, valószínűség becslése statisztikai adatközlés. mintapélda alapján Statisztikai táblázatok és adatok helyes. Statisztikai közepek és valószínűségük 3. mintapélda értelmezése, szövegértés, becslés 3. Korfa, feltételes valószínűség. mintapélda. feladat

8 Matematika A. évfolyam. modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 8 IX. Gyakorló óra ( óra). Csoportmunka Kooperatív munka, logikus és kombinatív gondolkodás. Csoportmunka Kooperatív munka, logikus és kombinatív gondolkodás, statisztikai táblázatok és adatok helyes értelmezése, szövegértés, becslés 3., 3., 6. feladat 5. feladat

9 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 9 Valószínűség, statisztika I. Kombinatorika ismétlés. A kombinatorika ismétlésére szükség van a kombinatorikus valószínűség előtt, mert bár a diákok szeretik ezt a témakört a dolgozatokban gyakran kiderül, hogy nem értik világosan a feladatot. A képleteket természetesen meg kell adnunk, de érdemes még itt az ismétlésnél is egy-egy példán keresztül rávezetni a tanulókat: a képlet miért pont olyan, amilyen. A kombinatorika és valószínűségszámítás témakör feladatai egyes diákoknak rendkívül egyszerűek, másoknak pedig szinte leküzdhetetlen problémát okoznak. Utóbbiak megsegítése érdekében javasoljuk, hogy minden közösen megoldott feladat előtt tisztázzuk: kiválasztunk vagy sorba rakunk (a sorrendek számát keressük-e), vagy esetleg mindkettőt egyszerre, számít-e a sorrend (vannak-e azonos eredményt adó sorrendek). Ha akad diák, akinek még mindig problémát okoz annak eldöntése, milyen képletet alkalmazzon, javasoljuk számára a következő módszert: csökkentse a feladatban levő számokat. Kis elemszám esetén írja fel az összes lehetőséget, majd az általa jónak sejtett képletet alkalmazza a kis elemszámra. Ha a két módszerrel kapott eredmény megegyezik, nyugodtan alkalmazhatja a képletet az eredeti adatokra is. Mintapélda Kata a héten elért osztályzatokról a következőképpen számolt be szüleinek: Kaptam egy csillagos ötöst, egy ötöst, egy négyes alát, egy négyest és egy négyes fölét. Tudjuk, hogy osztályzatait németből, történelemből, matematikából, informatikából és testnevelésből kapta. Számoljuk ki, hogy hányféleképpen szerezhette ezeket az osztályzatokat az egyes tárgyakból! Rögzítsük a tantárgyak sorrendjét, és nézzük meg, hányféleképpen írhatjuk alájuk az 5 különböző osztályzatot: 5 * német történelem matematika informatika testnevelés 5 / \ 5 * 5 / \ 5 \ / \ / / A német osztályzatot még öt különböző közül választhatjuk. Ha pl német osztályzatát - es volt, történelemből már csak lehetőség marad, ha azt 5 * -re sikerült, akkor a matematika jegyre már csak 3 lehetőség marad.ha az első tárgyból a jegyek közül 5-öt választhatunk, akkor a másodiknál már csak -et, bármit is választottunk az elsőnél. Így az

10 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 0 első és második tárgyhoz összesen 5 = 0 lehetőségünk van. A megoldást tehát az 5 3 = 0 számítás adja. Az öt lehetséges osztályzat sorrendjét az elemek permutációjának hívjuk. Az öt elem összes lehetséges sorrendje tehát 0. Általában: Helyezzünk el n különböző dolgot egy n rekeszből álló dobozba: Az első rekeszbe n különböző elem közül választhatunk, de a másodikba már csak eggyel kevesebből, és így tovább Az utolsóba már csak marad. n különböző dolgot n (n ) féleképpen tudunk sorbarendezni. Ezt a szorzatot röviden felkiáltójellel írjuk: n! és n faktoriálisnak olvassuk. Ez n elem összes permutációinak száma. Mintapélda A tanárok a haladási naplóba csak ötöst, négyest, hármast kettest és egyest írnak. Számítsuk ki, hogy ebben az estben hány lehetőség van Kata osztályzatainak beírására! Az első mintapéldában megkülönböztettük a következő lehetőségeket: * \ * * * 5 5 / / / \ \ 5 / \ 5 * 5 / 5 * 5 \ \ / Ezek száma azért 3! = 6, mert ennyiféleképpen rendezhetem sorba a három különböző * \ 5 5 / * \ 5 5 / * \ 5 5 / * \ 5 5 * \ 5 5 / * \ 5 5 / / 5 * 5 négyest. Ha első lépésben csak a négyesek különböző jelöléseitől tekintünk el, akkor ebből a 6 lehetőségből csak marad: Tehát az első mintapéldában szereplő lehetőségből már csak = = 0 marad. Ha most a csillag jelölést 3! 6 is

11 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató letöröljük az ötösről, akkor bármely két eddig különböző lehetőség csak egynek tekinthető, hiszen 5 * 5 Így az eddigi 0 sorrend felére változik, lesz. 5 * 5 Összefoglalva: n=5 osztályzatról van szó, ezek közül k =3 azonos (négyesek) és k = szintén 5! 0 azonos (ötösök). Ezek lehetséges sorrendje tehát: = = 0. 3!! 6 Ha az n elem nem mind különböző, vagyis van köztük k, k, k m azonos, akkor ismétléses permutációról beszélünk. n! Ezek száma:, ahol k k... km n k! k!... k! m Mintapélda 3 Egy henger alakú hirdetőtáblára plakátot akarnak elhelyezni egymás mellé. Hány különböző elrendezés lehetséges? Jelöljük a négy plakátot A, B, C és D betűkkel. Terítsük ki a henger alakban összeragasztott plakátokat (természetesen a kiterítéskor plakátot nem vághatunk ketté)! A négy betűt! sorrendben lehetne felsorolni, de az alábbi elrendezés ugyanazt a képet eredményezi: A B C D B C D A C D A B D A B C! Így a megoldások száma = 3! = 6 lesz. Ciklikus permutációról beszélünk, ha n különböző elemet úgy rendezünk sorba, hogy nincs első és utolsó elem. Két permutáció akkor számít különbözőnek, ha van olyan tagja a permutációnak, melynek jobb vagy bal oldali szomszédja nem azonos. n elem ciklikus permutációinak száma: (n )!.

12 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató Feladatok. Műkorcsolyázó versenyen nőknél a junior rövid programnak az alábbi előírt elemeket kell tartalmaznia: (részlet az ISU MŰKORCSOLYA SZABÁLYKÖNYVéből): a) dupla Axel Paulsen b) egy dupla vagy tripla Lutz, amelyet közvetlenül megelőz összekötő lépés vagy hasonló szabadkorcsolyázó mozdulatsor c) egy ugráskombináció két dupla, vagy egy dupla és egy tripla ugrásból d) beugrós libelle e) hátra vagy oldalra hajlós forgás f) forgáskombináció, egy lábváltással és legalább két testhelyzetváltással (ülő, mérleg, álló helyzet vagy ezek variációja) g) spirál lépéssorozat h) lépéssorozat (egyenes, kör-, ill. kígyóvonal alakú). Hányféleképpen építheti fel valaki a kűrjét ezeket az elemeket figyelembe véve, ha mindegyikből csak egyet-egyet épít be? Mivel 8 különböző elemnek kell szerepelnie, ezért ezeket 8!=030 féle különböző sorrendben tudja a kűrjébe illeszteni.. Tudjuk, hogy 006 utolsó ötöslottó sorsolásán a kihúzott számok emelkedő sorrendben a következők voltak: 5,, 35, 6, 76. Hány különböző sorrendben történhetett meg ezeknek a számoknak a kihúzása? Az 5 különböző számot 5!=0 féleképpen tudjuk sorbarendezni Malév, 3 KLM, Lufthansa, Air France, 5 British Airways, AUA gép várakozik felszállásra a Ferihegy II. repülőtéren. Hány különböző sorrendben engedélyezhetik az indulásukat, a) ha minden járatot különbözőnek tekintünk? b) ha csak a gépek üzemeltetői szerint különböztetjük meg az egyes repülőket?

13 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 3 a) A járatok száma, tehát! 9 5, 0 féleképpen indulhatnak. b) Most ismétléses permutációval kell számolnunk, így a lehetőségek száma.! 6,6 0 5! 3!!! 5!! lesz. Az egyik metróállomáson a következő információkat közli egy végtelenített fényreklám:. KÉRJÜK A BIZTONSÁGI SÁVOT SZABADON HAGYNI!. A METRÓN CSAK ÉRVÉNYES MENETJEGY BIRTOKÁBAN UTAZHAT. 3. VIGYÁZZON ÉRTÉKEIRE!. EGY VONALJEGY CSAK 30 PERCES UTAZÁSRA JOGOSÍT! Hány lényegesen különböző sorrendje lehet ezeknek az információknak a szalagon? Ha az információk egy végtelenített szalagon futnak, lényegesen különböző sorrend ciklikusságuk miatt csak ( )!=6 lesz. 5. Egy barátodnak CD-t állítasz össze a 0 kedvenc dalából (5 lassú és 5 gyors). a) Hányféleképpen teheted ezt meg? b) Hányféleképpen teheted ezt meg, ha azt akarod, hogy az első szám mindenképpen gyors, az utolsó pedig lassú legyen? c) Hányféleképpen teheted ezt meg, ha azt akarod, hogy a gyors és lassú számok váltogassák egymást? a) 0! = b) Az elsőt és az utolsót 5 5 -féleképpen választhatom ki, a középső 8-at 8!-féleképpen rakhatom sorba, így a megoldás: 5 5 8! = c) Az., 3., 5., 7. és 9. helyekre a lassú számokat 5!-féleképpen, a.,., 6., 8. és 0. helyekre a gyors számok is 5!-féleképpen helyezhetők el. A lassú számok bármely rögzített sorrendjéhez 5! gyors szám sorrend tartozik, így a 0 szám lehetséges sorrendje 5! 5!. Ugyanennyi lehetőség adódik, ha a lemezt gyors számmal kezdjük, így a megoldás: 5! 5! = A bölcs király minden évben megjutalmaz 5 tudóst. Kioszt Nemzet Bölcse, Nemzet Okosa és Nemzet Tudósa kitüntetést. Az öt jutalmazandó személyét már eldöntötték, (köztük volt Mindentudó Jakab is,) de tanácsnokai mind különböző javaslatot adtak arra,

14 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató hogyan osszák meg az 5 tudós között a kitüntetéseket, mi több: pontosan annyian voltak, hogy minden lehetőségre esett egy szavazat. Ezért a király úgy döntött, felvesz még egy tanácsnokot, így biztosan lesz legalább kettő, aki azonos véleményen van. a) Hány tanácsnoka lesz így a királynak? b) Hányan gondolták eredetileg úgy, hogy az egyik Nemzet Okosa kitüntetés Mindentudó Jakabnak jár? a)ki kell számítani, hogy hányféleképpen oszthatta volna ki a király a kitüntetéseket, hiszen ez egyezik meg a tanácsnokok eredeti számával. Rögzítsük az 5 tudós egyik lehetséges sorrendjét, és képzeletben helyezzük nevük alá a kitüntetéseket. Ezeket = 30 5!!! különböző módon helyezhetjük el, mivel az 5 kitüntetés közül - egyforma. Tehát a 3. tanácsnok már csak valamely kollégájával megegyező véleményt mondhat. b) Mivel a tanácsnokok eredetileg az összes lehetséges sorrendet képviselték, köztük kell szerepelnie mindazoknak, akiknél Mindentudó Jakab kapja az egyik Nemzet Okosa! kitüntetést. Ezek száma = hiszen a megmaradó kitüntetés között csak egyfor-! ma van. 7. A körtáncot tanuló lányok minden próbán más-más sorrendben állnak fel. 0 próbájuk volt. Legalább hányan táncolnak? Itt ciklikus permutációval kell számolnunk. lány esetén 3!=6 próba lenne csak lehetséges, 5 lány viszont már akár!= különböző felállásban is próbálhatna. Tehát legalább 5 lány táncolt.

15 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 5 II. Kombinatorika ismétlés. Mutassunk fel a magyar kártyából két lapot mondjuk egy hetest és egy 8-ast, majd szólítsuk fel a diákokat, fogalmazzanak meg vele kapcsolatos kérdéseket. Ilyenek lehetnek: Hányféleképpen tehetem sorba ezt a két lapot? Hányféleképpen választhatok ki két lapot? Hányféleképpen választhatok ki két lapot, ha az is számít, melyiket húztam ki előbb? Hányféleképpen választhatok ki két ászt? Hányféleképpen húzhatok ki két lapot, úgy legyen köztük 7-es? És így tovább Törekedjünk arra, hogy a kérdések megfogalmazása pontos legyen. A nem túl összetett kérdésekre esetleg meg is adhatjuk majd a választ, ha már felidéztük a megfelelő elméletet. Mintapélda Egy vetélkedő 00 fős közönségéből véletlenszerűen kiválasztott 3 embert meg akarnak egyformán megjutalmazni. Hányféleképpen tehetik ezt meg? Képzeljük el, hogy az előadás előtt 30 perccel az ügyelő valamelyik három szék alá piros cédulát ragaszt; ezek lesznek a kiválasztottak. Mivel a jutalmak egyformák, lényegtelen, hogy a három cédulát milyen sorrendben helyezte el. A 00 szék közül kell tehát hármat kiválasztnia, és a kiválasztás sorrendje közömbös. Mivel 97 cédula nélküli és 3 00! cédulás hely van, ezért az összes lehetőségek száma = = ! 3! 3 Ha n különböző elemből k darabot kell kiválasztani úgy, hogy a sorrend nem számít, kombinációról beszélünk. (k n) n! Ezek száma, melyet egy szimbólummal is jelölünk: k! ( n k)! n! k! n = ( n k)! k (Olvasása: n alatt a k). 00! 00 A fenti példa esetén felírható alakban is. 97! 3! 3 Az ismétléses kombináció képletének ismerete még az emelt szintű érettségin sem követelmény. A modul végén található Vegyes feladatok 7. feladata segít a képlet megértésében.

16 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 6 Mintapélda 5 Egy pályázat eredményhirdetésére az első 0 helyezettet hívták meg. Az első helyezett pénzjutalmat, a második utazást, a harmadik elektronikus berendezést, a többiek pedig oklevelet kaptak. A meghívottak közül hányféleképpen kerülhettek ki azok, akik tárgyjutalmat kaptak?. Az első helyezettet 0, a másodikat már csak 9, a harmadikat pedig a maradék 8 meghívottból lehet kiválasztani, tehát a jutalmazottak névsora = 70 féle lehet.. 0 A 3 tárgyjutalmat kapók a 0 helyezett közül -féleképpen választhatók ki- Mivel a 3 nyeremények nem egyformák, ezért ezeket 3! esetben lehet szétosztani. Így az első 3 helyezettet 3! = = = 70 féleképpen jutalmazhatták. 0 0! 3 7! Ha n különböző elemből k-t akarunk kiválasztani ( k n ), de a sorrend is számít, akkor variációról beszélünk. n! n Ezek száma, vagy másképpen: k!. ( n k )! k Mintapélda 6 Magyarországon a rendszámok most 3 betűből és 3 számjegyből állnak. A betűk ékezet nélküliek, egyjegyűek. Hány autót jelölhetünk így különböző rendszámmal? Először vizsgáljuk meg, hogy hány darab 3 betűs sorozatot tudunk felírni. Egyjegyű, ékezet nélküli betűből 6 van (abcdefghijklmnopqrstuvwxyz). Ezekből rendszámot készíthetünk úgy, hogy minden helyre 6 betű közül választhatunk. Itt a lehetőségek száma rész minden karakterére 0 számjegyből választhatunk, tehát itt 3 6. A számjegyekből álló 3 0 lehetőség lesz. Te- 3 3 hát 6 0 = = autót tudnak így ellátni különböző rendszámmal. (Itt nem háromjegyű számokról van szó, tehát az első számjegy is lehet 0.)

17 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 7 Ha n különböző elemből k darabot akarunk kiválasztani majd ezeket sorba rendezni, de egy elemet akár többször is választhatunk, akkor ismétléses variációról beszélünk. Ezek száma n k. Feladatok 8. Egy kézilabdacsapatnak egyetlen kapusa van. A csapat fővel utazik egy meccsre. Hányféleképpen tudja kiválasztani az edző a 6 kezdőjátékost? Egy játékos biztosan adott, a kapus. Az öt játékost közül = 6 különböző módon tudja kiválasztani, hiszen a kiválasztás sorrendje 5 közömbös. 9. A történelem érettségi kezdetén az első 3 vizsgázó még mind a 0 tétel közül húzhat. Hány különböző húzás lehetséges? Az első vizsgázó 0, a második 9, a harmadik már csak 8 tételből választhat, ezért a lehetőségek száma = Ha tudjuk, hogy az érettségi első napján nem volt bukás, akkor a felelő eredményei hányfélék lehetnek magyarból? Mivel csak osztályzat lehetséges, és ezek közül bármelyik felelő bármelyik jegyet kaphatta, a lehetőségek száma = Hány olyan 6 jegyű szám van, amelyben szerepel a -es számjegy? Először érdemes kiszámolni, hány olyan hatjegyű szám van, melyben nem fordul elő a -es, majd az alaphalmaz (hatjegyű számok) számosságából levonva a komplementer halmaz számosságát, megkapjuk a keresett számot. Nincs benne -es: Az első számjegy helyére 8 számjegy kerülhet

18 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 8 (356789), a következőkre pedig 9-ből választhatunk ( ). Így a lehetőségek száma Hatjegyű szám, hasonlóan meggondolva van, tehát olyan hatjegyű szám, mely- 5 5 ben szerepel a kettes számjegy = 7608 van.. A szinkronugrást 9 pontozóbíró figyeli. - bíró az egyes versenyzők mozgását pontozza, 5 pedig a szinkronitásra ügyel. Ha előre ismert a pontozóbírák személye, hányféleképpen osztható ki nekik a feladat? 9 Azt az 5 bírót, aki a szinkronitásra ügyel féleképpen lehet kiválasztani. AZ 5 bíró 5 minden egyes kiválasztásához a maradék bíróból az a kettő, aki az egyik versenyzőre figyel féleképpen választható, a maradék kettő pedig nyilván a másikat pontozza. 9 Így az összes lehetőség = 6 6 = Módszertani megjegyzés: Ha ezt a feladatot önálló munkára adtuk fel, ellenőrzéskor érdemes felhívni a figyelmet arra, hogy különböző sorrendben kiválasztva az egyes bírócsoportokat ugyanazt az eredményt kapjuk: ! = = = !!! Ezen kívül meg kell említeni a feladat megoldásának másik megközelítését: A 9 bíró közül -, illetve 5 egyforma feladatot lát el, így a megbízások száma 9! = !!! 3. Nyolc fős társaság a hullámvasútra száll. Egymás mögötti helyekre ülnek párosával. a) Hányféleképpen helyezkedhetnek el? b) Hányféleképpen ülhetnek le akkor, ha csak az számít, ki kinek a szomszédja és milyen messze ül a vonat elejétől?

19 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 9 a) A hullámvasút pár, azaz 8 helyét meg is számozhatjuk, és azt nézzük, hányféleképpen ülhetnek le a 8 helyre, akkor a megoldás 8!=030. b) Az első párt 8 emberből választhatjuk (köztük lévő sorrend nem számít, mert most mindegy ki ül jobbra ill. balra), a másodikat már csak hatból, a következőt -ből, míg a negyedik pár már adódik. Így a lehetőségek száma: ! = = = = 50 Módszertani megjegyzés: A zárójelben levő kifejezés sugallja a megoldás másik lehetséges megközelítését: az a) részben szereplő megoldást osztani kell -nel, mivel most a párok közti sorrend nem számít, így minden párnál feleződik a megoldások száma.. A szalagavató bálon a.b osztály 0 lánya is táncol a nyitótáncban. A ruhapróbán két fülke áll rendelkezésükre, egy két és egy 3 személyes. Hányféleképpen juthatnak a fülkébe próbálni, ha a) csak az számít, hogy előbb, vagy később kerülnek sorra? b) ha az is számít, hogy a két, vagy a háromszemélyes fülkében próbálnak? a) Egy-egy alkalommal egyszerre 5 lány próbálhat, tehát ahányféleképpen a 0 lányból 0 ki tudunk választani 5-öt a sorrendre való tekintet nélkül: = b) =

20 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 0 III. Valószínűségszámítás A mintapélda megbeszélése előtt, vagy akár utána érdemes megmutatni egy szimulációt a két kocka feldobására. A könyv elkészültének pillanatában ez a web-oldalon található, de ha helye változik is, sulinet honlapján, e-tananyag, matematika részén található szimulációk között leltem rá a valószínűség témakörnél. Nagyon szimpatikus szimuláció található még a következő oldalon: Ez rögtön ki is rajzolja a grafikont és felsorolja az egyes kimenetelek gyakoriságát. Belépéskor a dobások számát kell megadni Az elmúlt években sokszor találkoztunk már a valószínűség fogalmával. A valószínűségszámítás arra próbál választ adni, hogy bizonyos véletlen események milyen eséllyel következnek be. Ahhoz, hogy ezt vizsgálhassuk, sok információra van szükségünk. Az információk megszerzéséhez adatokat kell gyűjteni. Az adatgyűjtést a valószínűség-számításban kísérletnek is mondjuk akkor, ha az tetszőlegesen sokszor, ugyanolyan feltételek mellett végezhető el és többféle kimenetele lehet. A kísérlet lehetséges kimeneteleit eseményeknek (bizonyos esetekben elemi eseményeknek) nevezzük. Dobjunk fel egy kockát egymás után legalább 300-szor, és jegyezzük fel a dobások eredményét. A táblázat egy ilyen dobássorozat kimenetelét mutatja: Vizsgáljuk meg hogyan változott a -es dobás gyakorisága, ahogy a dobások száma nő:

21 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató -es dobások relatív gyakorisága 0,5 0, 0,5 0, 0, Az az érték, ami körül a dobás gyakorisága ingadozik és amit vártunk is az = 0, 6 & érték. 6 Azt a számot, amely körül egy A esemény relatív gyakorisága ingadozik, az illető esemény valószínűségének nevezzük; jelölése: P(A). A fenti definíció alapján annak valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával egyest dobunk:. 6 Ugyanezt az értéket kaptuk volna akkor is, ha annak valószínűségét keressük, hogy kettest, hármast, négyest, ötöst, vagy hatost dobunk. Legyen az A esemény, hogy -est dobunk A esemény, hogy -est dobunk A 3 esemény, hogy 3-ast dobunk A esemény, hogy -est dobunk A 5 esemény, hogy 5-öst dobunk A 6 esemény, hogy 6-ost dobunk, Mivel kísérletünknek ezeken kívül más kimenetele nem lehet és valamelyik esemény biztosan bekövetkezik, ezeknek az elemi eseményeknek a valószínűsége egyenlő. Ekkor az A, A, A 3, A, A 5, A 6 események teljes eseményteret alkotnak. Ilyen valószínűségi mezők körében vizsgálódott P. S. Laplace, aki a valószínűségszámítás klasszikus modelljét alkotta meg. Ő egy esemény bekövetkezésének valószínűségét így adta meg: P ( A ) = kedvező esetek száma összes esetek száma Laplace, Pierre-Simon (ejtsd: laplasz)(79-87) francia matematikus, fizikus és csillagász volt. Egy katonai iskolában tanára volt Napóleonnak, majd rövid ideig belügyminisztere is. Nevéhez fűződik az első monográfia megírása a valószínűségszámítás témakörében (8). Címe magyarul: A valószínűségszámítás analitikai elmélete.

22 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató Mintapélda 7 A Catan telepesei nevű társasjátékban az egyes mezők - számmal vannak jelölve. A játékosok két dobókockával dobnak, majd annak a mezőnek a jövedelméből részesülnek, mely megfelel a dobókockák által mutatott számok összegének. A hetes szám a rablót jelöli. Minek nagyobb a valószínűsége: annak, hogy a 0-es mező termésének jövedelméből részesül egy játékos, vagy annak, hogy a rablónak megfelelő számot dobjuk? I. Ha két kockával dobunk, a dobott számok összege féle lehet (-től -ig), ezek közül egyik a 0 és másik a 7. Egyik lehetséges válasz az lenne, hogy a kedvező estek száma mindkét esetben, az összes lehetséges kimenetelek száma pedig, így a két esemény azonos, valószínűséggel fordul elő. II. Gondosabb vizsgálat esetén látjuk, hogy két kockával dobás esetén a különböző összegek így alakulhatnak: + = + = = + = + = = = 6 + = = = = = = = 8 + = = = = = = = A lehetséges összegek száma, ezek közül a 0-es mezőnek kedvező esetek száma, így P(0-es mező)=. A rabló számára kedvező összegek száma 3, így a keresett há- 3 nyados P(rabló)=. III. Képzeljük el, hogy két különböző színű kockával dobunk, milyen kimenetelek lehetségesek: Látható, hogy most az összes esetek száma 36, a kedvező eseteké pedig 3, illetve 6, így a valószínűségek 3 6 P(0-es mező)= =, illetve P(rabló)= = A három gondolatmenettel három különböző eredményt kaptunk. Az első szerint azonos a két esemény valószínűsége, a második szerint annak a valószínűsége, hogy a rabló léphet színre, másfélszer akkora, mint annak,

23 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 3 hogy a 0-es mező előnyeit élvezhetnénk, harmadik szerint pedig a rabló esélye kétszer akkora. Melyiknek lehet hinni? Mi okozza a különbséget? kedvező esetek száma Láthatjuk, hogy a valószínűség kiszámításakor a képlet csak akkor összes eset száma alkalmazható, ha gondosan határozzuk meg a kedvező esetek és összes esetek számát az adott feladatban. Ezt az elemi események vizsgálatával tehetjük meg. Módszertani megjegyzés: ha a valószínűséget a nagyszámú kísérletben tükröződő objektív mértéknek tekintjük, akkor a kapott különböző eredmények nem ellentmondásosak, hanem azt illusztrálják, hogy az események valószínűségeit mindig meghatározott körülmények között kell tekinteni. Annak a valószínűsége, hogy két kocka dobásával pontot érjünk el, nem ugyanakkora, mint hogy -et, mert a két pont csak +-ként, míg a pont +3 vagy +-ként is létrejöhet. Annak a valószínűsége, hogy két kockával +-t, vagy +3-at dobunk, nem ugyanakkora, mert az +3 kétféleképpen is létrejöhet, ha a piros kockával dobunk -est, feketével 3-ast, vagy fordítva. Tehát első két módszerünk hibás eredményt hozott, mert mindkét esetben elkövettük azt a hibát, hogy a számlálóban, és a nevezőben olyan eseményeket számoltunk össze, melyek kimenetele nem azonos valószínűségű. A harmadik megoldásban szereplő elemi események száma 36, közülük mind azonos valószínűséggel következik be, így P(rabló)= > P(0-es mező)=, tehát a rabló színrelépésének valószínűsége a nagyobb. 6 Mintapélda 8 Egyetlen dobókockával dobunk. Legyen A esemény, hogy párosat dobunk, B esemény, hogy -nél kisebb számot dobunk. Két dobókockával dobunk, egy pirossal és egy kékkel. Legyen az A esemény, hogy párosat dobunk a piros kockával, a B esemény, hogy -nél kisebb számot dobunk a kék kockával. Soroljuk fel a kísérletek lehetséges kimeneteleit!,,3,,5,6,,3,,5,6,,,3,,5,6 3,3,33,3,35,36,,3,,5,6 5,5,53,5,55,56 6,6,63,6,65,66 Mekkora lesz a P(A) és a P(B) valószínűség?

24 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató Az előző tanévben már megfogalmaztuk, mit jelent az A + B, A B, A B, A, A B esemény! Ebben a feladatban számítsuk ki a valószínűségüket! P P ( A) ( B) kedvező = összes kedvező = összes 3 = = 6 3 = = 6 A + B esemény, hogy párosat, vagy -nél kisebbet dobunk, ennek csak az 5 nem felel meg, tehát ( A + B) 5 P =. 6 A B esemény, hogy párosat és -nél kisebbet, azaz -t dobunk, tehát P ( A B) =. 6 A B esemény, hogy páros számot dobunk, de ezek közül ki kell hagyni a -nél kisebbeket, tehát -et, vagy 6-ot dobok, tehát P ( A B ) = =. 6 3 A esemény, hogy páratlan számot dobunk, 3 P = =. 6 tehát ( A ) A B esemény, hogy páratlan és -nél kisebbet dobunk, tehát ( A B ) P P ( A) ( B) kedvező = összes kedvező = összes 8 = = 36 8 = = 36 A + B esemény, hogy piros páros, vagy kék -nél kisebb, tehát P ( A + B) = = = A B esemény, hogy a pirossal párosat dobunk és ugyanakkor a kékkel -nél kisebbet, 9 P = =. 36 tehát ( A B ) A B esemény, hogy pirossal párost dobunk, de kékkel nem dobok -nél kisebbet, tehát 9 P ( A B ) = =. 36 A esemény, hogy a piros kockával páratlant dobunk (függetlenül a kék kocka eredményétől) tehát ( A ) 8 P = =. 36 P = = P ( A B ) = =. 36 Az itt tapasztalt eredmények általában is igazak: A B esemény, hogy pirossal páratlant dobunk és kékkel -nél kisebbet, tehát Az A + B esemény valószínűségét úgy kapjuk meg, hogy a két esemény valószínűségének összegéből levonjuk az együttes bekövetkezés valószínűségét, azaz P ( A + B) = P( A) + P( B) P( A B)

25 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 5 Ez az eredmény szemléletünkből is következik, hiszen mind az A esemény, mind a B esemény bekövetkezésének valószínűségének meghatározásakor beszámítjuk a két esemény együttes bekövetkezését. Két egymást kizáró esemény esetén annak a valószínűsége, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik, a két esemény valószínűségének összege, azaz ha ( A B) = 0 P A + B = P A + P B. P, akkor ( ) ( ) ( ) Mintapélda 9 Egy osztályban mindenki beszél németül vagy franciául. Tudjuk, hogy az osztály 30%-a tanul franciául, 85%-a pedig németül. a) Mi a valószínűsége annak, hogy ha valakit véletlenszerűen megkérdezünk, akkor az mindkét nyelven beszél? b) Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen megkérdezett tanuló csak az egyik nyelven beszél? a) Legyen az A esemény, hogy valaki beszél németül. Tudjuk, hogy ( A) 0, 85 P =. Legyen a B esemény, hogy valaki beszél franciául. Tudjuk, hogy ( B) 0, 3 Tudjuk, hogy P ( A + B) = P =., hiszen mindenki tanul a két nyelv valamelyikén. Az előzőkben elmondottak alapján az együttes bekövetkezés valószínűsége: P ( A B) = P( A) + P( B) P( A + B) = 0,85 + 0,3 = 0, 5, tehát 5% a valószínűsége, hogy olyan diákkal találkozunk, aki mindkét nyelvet tanulja. b) Itt az ( A B )+( B A ) esemény valószínűségére vagyunk kíváncsiak. Mivel az osztályban mindenki tanul valamilyen idegen nyelvet, az A B azaz csak németül tanul B A azaz csak franciául tanul és az A B azaz mindkét nyelven tanul események közül biztosan bekövetkezik valamelyik, és csakis az egyik következik be, vagyis ez a három esemény teljes eseményrendszert alkot. Tehát P ( A B) + P( A B) + P( B A) = ( A B) + P( B A) = P( A B) = 0,5 = 0, 85 P., így

26 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 6 Módszertani megjegyzés: A b) kérdésre az előbbinél egyszerűbben is megadhatjuk a választ: mivel valamelyik nyelven minden diák beszél és a kétnyelvűek valószínűsége P ( K) = 0, 5, így az egynyelvűek valószínűsége P (E) = P( K) = 0,5 = 0, 85. Az alábbi definíció ismerete nem tartozik a középszintű érettségi követelményeibe. Adott kísérlet kimeneteleit vizsgálva az A, A,, A k események teljes eseményrendszert (eseményteret) alkotnak akkor, ha közülük két esemény soha nem következhet be egyszerre, és nincs a kísérletnek olyan kimenetele, mely nem tartozik valamely eseményhez. A teljes eseményrendszer eseményeihez tartozó valószínűségeket összeadva -et kapunk, és az eseménytér bármely két eseményének együttes bekövetkezésének valószínűsége 0. P(A i A j ) = 0, ha A i és A j tagjai az eseményrendszernek, és P(A ) + P(A ) + + P(A k ) = Mintapélda 0 Ez előtt a feladat előtt érdemes a gyerekeket megkérdezni, megtippeltetni a végeredményt. Valószínűleg többen is szavaznának a 0, 0, 0008 = 0, 0003 megoldásra. Utóbb megmutathatjuk, hogy ez a csúszik a járda és ezért elesünk valószínűsége. Sok éves tapasztalat alapján tudjuk, hogy januárban annak valószínűsége, hogy a járdák síkosak 0,. Azt is tudjuk, hogy míg jó útviszonyok mellett csak minden tízezredik gyalogost ér baleset a járdán, addig csúszós időben minden 0000 gyalogos közül 8 összetöri magát. Mi a valószínűsége annak, hogy egy januári napon valakit baleset ér a járdán? Képzeljük el, hogy egy januári napon egymillió gyalogos sétál a járdákon, az országban egyenletes eloszlásban. Ezen a napon az ország 0, részén, tehát ott, ahol ember sétál, csúszós a járda. A fenti statisztika szerint közülük minden 0000-ből 8 balesetet szenved, így 0 8 = 30 -at baleset ér. Az ország maradék 0,6 részén viszont nem csúsznak a járdák, tehát az ott sétáló ember közül csak minden tízezredik esik el, tehát itt 60 ember esik el. Így emberből 380-at ér baleset ezen az átlagos januári napon, így a sérülés valószínűsége = 0, Csak valószínűségekkel számolva:

27 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 7 8 Csúszós úton 0, = 0, 0003, jó útviszonyok mellett 0,6 = 0, 00006, együttesen tehát 0,00038 a sérülés valószínűsége, függetlenül attól, hogy hány ember volt aznap az utcákon. Feladatok 5. Legyen az A esemény, hogy a 3 lapos magyar kártyából ászt húzunk. Legyen a B esemény, hogy a csomagból makkot húzunk. Add meg a következő események valószínűségét: a) A, B. b) A B. c) A + B. d) A + B. (A magyar kártyában alsó, felső, király, ász, VII, VIII, IX, X lapok vannak tök, makk, zöld és piros színekben.) = P =. a) P ( A ) =, ( B ) = 3 A jelentése makk és király, tehát makk király ( A B) b) B c) A + B jelentése ászt vagy makkot húzok. ( A + B) A + jelentése ász, vagy nem makk ( A + B) d) B P = P = = P = = Legyen az A esemény, hogy a kockával páros számot dobunk, B esemény, hogy a kockával páratlan számot dobunk, és C esemény, hogy a kockával -gyel osztható számot dobunk. Mi lesz az ( A B) A B, B C és A + B események valószínűsége? P annak a valószínűsége, hogy a dobott szám páros és páratlan legyen. Ez lehetetlen esemény, tehát ( A B) = 0 ( B C) P. P annak a valószínűsége, hogy a dobott páratlan szám -gyel osztható legyen. Ez lehetetlen esemény, tehát ( B C) = 0 P.

28 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 8 P A + B = P A + P B = + = Mivel P ( A B) = 0, ( ) ( ) ( ) hogy az A és a B események teljes eseményrendszert alkotnak.. Ez az eredmény azt is jelenti, 7. Egy ötöslottó sorsoláson az elsőnek kihúzott szám a 35 volt. a) Mi a valószínűsége annak, hogy a következőnek kihúzott szám ennél kisebb lesz? b) Tudjuk, hogy ezen a bizonyos héten a kihúzott számok emelkedő sorrendben a következők voltak: 5,, 35, 6, 76. Mi a valószínűsége annak, hogy a 35 után kihúzott szám ennél kisebb volt? a) Az összes lehetőség 89, ebből kedvező lehetőség 3, tehát a keresett valószínűség: 3 0, b) Az összes lehetőség, ebből kedvező lehetőség, tehát a keresett valószínűség: = 0, 5. Nem csak hatlapú szabályos testből lehet készíteni dobókockát, hanem a többi szabályos test minden lapjára is azonos eséllyel esik le a homogén anyagból készült test, így belőlük is készíthető dobókocka. A következő feladatok különböző lapszámú dobókockákra vonatkoznak. 8. A tetraéderből készített dobókockánál dobáskor egy lapot nem látok, a másik három lapon 3-3 szám áll. Itt valójában nem is a lapok, hanem a csúcsok vannak megszámozva úgy, hogy a csúcsban találkozó 3 lap mindegyikén látható a csúcs közelében a szám. Azt a számot tekintjük a dobás eredményének, amelyik mindhárom lap felső csúcsán szerepel. a) Mi a valószínűsége annak, hogy páros számot dobunk? b) Mi a valószínűsége annak, hogy prímszámot dobunk?

29 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 9 c) Ha két tetraéderrel dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege prím lesz? d) Ha két ilyen testtel dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok öszszege páros lesz? a) = 0, 5. b) = 0, 5. c) 6 9 d) 8 = A hagyományos (kocka alakú) dobókockán a számok -6-ig szerepelnek. a) Mi a valószínűsége annak, hogy páros számot dobunk? b) Mi a valószínűsége annak, hogy prímszámot dobunk? c) Ha két ilyen kockával dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege prím lesz? d) Ha két ilyen kockával dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege páros lesz? 3 3 a) = ; b) = ; c) = 0, ; 36 8 d) = Az oktaéder alakú dobókockán a számok -8-ig szerepelnek. a) Mi a valószínűsége annak, hogy páros számot dobunk? b) Mi a valószínűsége annak, hogy prímszámot dobunk? c) Ha két ilyennel dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege prím lesz? d) Ha két ilyennel dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege páros lesz?

30 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 30 a) = ; 8 b) = ; 8 3 c) ; 6 d) 3 =. 6. Igaz-e, hogy az alábbi eseményterekben az események valószínűsége megegyezik? a) Három kockával dobva a dobások összege lehet: 3,,,8. b) Két érmével dobva a lehetséges kimenetelek: FF, FI, IF, II. c) Déli órakor a négy lehetséges időjárási helyzet: eső+fúj a szél eső+nincs szél nincs eső+nincs szél nincs eső+fúj a szél. d) Három érmével dobva a lehetséges kimenetelek: 3fej, vagy fej+ írás, vagy fej+ írás, vagy 3 írás. a) Nem, mivel annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 3 lesz, sokkal kisebb, mint az, hogy pl. 0 lesz az összeg. b) Igen, mind a négy elemi esemény valószínűsége. c) Nem, semmi nem biztosítja, hogy ezeknek az eseményeknek a valószínűsége egyenlő, sőt, a tapasztalat azt mutatja, hogy az esőt gyakran kíséri szél. d) Nem, a 3 fej valószínűsége kisebb, mint a fej+ írásé.. Mi a valószínűsége annak, hogy Anna és Kati ugyanúgy töltse ki a totó-szelvényét, ha mindketten véletlenszerűen töltik ki? Annak valószínűsége, hogy Anna ugyanúgy töltse ki, mint Kati, ugyanakkora, mint annak valószínűsége, hogy Anna eltalálja a megoldást. Az összes lehetőség (mivel 3+ találatra kell tippelni) és minden tipp 3-féle lehet (,, vagy x) 3 = 78969, jó megoldás viszont csak. Tehát a keresett valószínűség 7,

31 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 3 IV. A valószínűség kiszámítása kombinatorikus úton Mintapélda Egy vidámparkban a számítógép vezérelte félkarú rabló - három oszlopában 3 féle jel fut: hold, szív és mosolygó arc.. A gépet úgy állították be, hogy mindhárom jel azonos valószínűséggel forduljon elő mindhárom helyen. Akinek a gép 3 egyforma, vagy 3 különböző jelet sorsol, az nyer egy csokit. A játszma ára peták, a szomszédos büfében ezt a csokit petákért lehet kapni. Hosszú távon kinek nyereséges ez a játék? A játék akkor lenne számunkra hosszú távon veszteség nélküli vagy nyyereséges, ha legalább (átlagban) minden második esetben nyernénk, tehát ha nyerési esélyünk 0,5, vagy annál nagyobb lenne. Most az összes esetek és kedvező esetek számának módszerét fogjuk alkalmazni, ügyelve arra, hogy mindkét esetben azonos valószínűségű elemi eseményekkel számoljunk. Az összes esetek száma 3 3 = 7, hiszen minden figura mellé bármelyik másik kettő választható. A kedvező esetek két részre bonthatók: I. csupa egyforma, számuk 3,, II. csupa különböző, számuk 3!=6,,,,, A nyerési esély tehát = 7 3 <. A játék hosszú távon az üzemeltetőnek kedvez. A fejezet végén a tanári példányban a feladatbankban 50. sorszámmal található feladatban szerepel ennek a feladatnak a folytatása, amit érdeklődő csoportoknál javaslunk megoldásra. Feladatok 3. Egy 30 fős osztályban az irodalomtanár úgy döntött, hogy a házi dolgozatát az osztály előtt három kisorsolt diák adja elő szóban. Mi a valószínűsége annak, hogy a kisorsolt három tanuló a névsorban egymás után következik? Az összes lehetőség, ahányféleképpen a három diákot a 30 közül ki lehet választani, tehát = = = 060. Kedvező lehetőség 8 van, hiszen 3 egymást 30 30! !3! 6

32 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 3 ábécében követő tanuló közül az első lehet a névsorban.,.,, 8. Tehát annak valószínűsége, hogy a három diák a névsorban egymást követi, 8 0, Az alábbi táblázat a Forma 006-os Hungaroring futamának végeredményét mutatja. a) Ha a verseny előtt megkérünk egy mit sem tudó kívülállót (mondjuk, egy marslakót), jósolja meg a végeredményt, milyen eséllyel találta volna el? b) Ezen a versenyen a konstruktőrök versenyében (istállók). helyezett lett a Honda,. a McLaren, 3. a BMW Sauber,. a Honda, Ha a fent említett marslakót a futam sorrendjéről úgy kérdezzük, hogy csak az istállók sorrendje érdekel, milyen eséllyel találja el? Hely. Versenyző Istálló Motor Idő Körök. Jenson Button Honda Honda 0:5: 70. Pedro de la Rosa McLaren Mercedes 0:5: Nick Heidfeld BMW Sauber BMW 0:53:0 70. Rubens Barrichello Honda Honda 0:53: David Coulthard Red Bull Racing Ferrari 00:00: Ralf Schumacher Toyota Toyota 00:00: Felipe Massa Ferrari Ferrari 00:00: Michael Schumacher Ferrari Ferrari 00:00: Tiago Monteiro Midland F Toyota 00:00: Christijan Albers Midland F Toyota 00:00: Scott Speed Scuderia Toro Rosso Cosworth 00:00: Jarno Trulli Toyota Toyota 00:00: Takuma Sato Super Aguri Honda 00:00: Fernando Alonso Renault Renault 00:00: Kimi Räikkönen McLaren Mercedes 00:00: Vitantonio Liuzzi Scuderia Toro Rosso Cosworth 00:00: Nico Rosberg Williams Cosworth 00:00: Giancarlo Fisichella Renault Renault 00:00: Christian Klien Red Bull Racing Ferrari 00:00: Mark Webber Williams Cosworth 00:00:00

33 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 33. Sakon Yamamoto Super Aguri Honda 00:00:00 0. Robert Kubica BMW Sauber BMW 00:00:00 69 a) A lehetséges!, 0 sorrendből, csak a helyes, ennek tehát 8 897, 0 az esélye. b) A versenyző nem mind különböző istállókból érkezett. istálló képviseltette! 7 magát - autóval. Így az összes eset -ed részére csökken: 5,89 0 lesz, 8 a helyes eredmény eltalálásának a valószínűsége pedig ennek reciproka:, Egy urnában 5 fehér és 5 piros golyó van. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy a kihúzott golyót a második húzás előtt visszatesszük. Mi a valószínűsége annak, hogy piros golyót húzunk ki belőle? Annak valószínűsége, hogy az első golyó piros, a második húzásnál is ugyanaz a valószínűsége a piros golyó húzásának. Tehát a keresett valószínűség: =. Módszertani megjegyzés: Az alábbi feladatot csoportos feldolgozásra javasoljuk. vagy 5 fős csoportok dolgozhatnak. Nagyon jó képességű osztályban az e) feladat is kiadható, vagy az elsőként a saját feladataival végző csoport megkaphatja bonusként. Az eredeti csoportbontásban különböző képességű tanulók kerüljenek, majd közülük - elvonul a csoportból azokkal együtt dolgozni, akik a vele azonos betűjelű részfeladatot kapták. Szakértői mozaik. Visszamegy saját csoportjához, ahol közösen kitöltik a táblázatot, majd megpróbálnak következtetéseket levonni a valószínűségek változásából. A kisorsolt csapat egy tagja ismerteti az osztállyal az a) d), vagy az a) e) feladatok megoldásait. Az osztály megvitatja, hogy milyen következtetéseket lehet levonni a feladatból. 6. a) Egy urnában 5 fehér és 5 piros golyó van. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy a kihúzott golyót nem tesszük vissza. Mi a valószínűsége annak, hogy piros golyót húzunk ki belőle?

34 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 3 b) Egy urnában 0 fehér és 0 piros golyó van. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy a kihúzott golyót nem tesszük vissza. Mi a valószínűsége annak, hogy piros golyót húzunk ki belőle? c) Egy urnában 500 fehér és 500 piros golyó van. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy a kihúzott golyót nem tesszük vissza. Mi a valószínűsége annak, hogy piros golyót húzunk ki belőle? d) Egy urnában 5000 fehér és 5000 piros golyó van. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy a kihúzott golyót nem tesszük vissza. Mi a valószínűsége annak, hogy piros golyót húzunk ki belőle? e) Egy urnában n fehér és n piros golyó van. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy a kihúzott golyót nem tesszük vissza. Mi a valószínűsége annak, hogy piros golyót húzunk ki belőle? a) Összes lehetőség: ahányféleképpen a 0 golyóból kihúzhatunk kettőt, tehát 0 = 5. Kedvező lehetőség, hogy pont az öt piros golyóból választjuk a kettőt, ennek száma: = 0. Tehát a keresett valószínűség = 0, Másképpen is okoskodhatunk: Első golyó piros lesz, ennek valószínűsége: 5 =, 0 második golyó ismét piros lesz, ennek valószínűsége 9. Tehát a két piros golyó ki- húzásának valószínűsége =. 9 9 b) Összes lehetőség: ahányféleképpen a 0 golyóból kihúzhatunk kettőt, tehát 0 = 90. Kedvező lehetőség, hogy pont a tíz piros golyóból választjuk a kettőt, ennek száma: = 5. Tehát a keresett valószínűség = 0, Egy másik gondolattal megoldva ugyanezt a feladatot:

35 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 35 Az első golyó piros lesz, ennek valószínűsége: 0 =, második golyó ismét piros 0 lesz, ennek valószínűsége 9 9. Tehát a két piros golyó kihúzásának valószínűsége 9 9 = A c) és a d) megoldása módszerében azonos, végeredményük a táblázatban található, kiegészítve még néhány adattal. e) Általánosítsuk a feladatot! Egy urnában n golyó van, n piros és n fehér. Mi a valószínűsége annak, hogy golyót kihúzva mindkettő piros lesz? ( n)! ( n ) ( n ) n n Első módszerrel: Összes lehetőség: = = = n ( n ).!! Kedvező lehetőség, ahányféleképpen az n piros golyóból ki tudok választani -t: n = ( n ) n! n =!! ( n ) Tehát a valószínűség (kedvező/összes eset): n n ( n ) = n n. ( n ) ( n ) n Második gondolattal: Az első golyó piros lesz, ennek valószínűsége: golyó ismét piros lesz, ennek valószínűsége valószínűsége n. n = n n =, második n. Tehát a két piros golyó kihúzásának n A valószínűség most n függvénye. Vizsgáljuk meg, hogy a valószínűség milyen értékeket vesz fel különböző n-ek esetén: n n 0, , 0, 0,7368 0,999 0,9999 0,9995 n valószínűség 0, , 0, 0,37 0,775 0,975 0,9975 Az n-et növelve a valószínűség egyre nő, láthatóan 0,5-hoz közelít. A magyarázatot a n második módszerrel való megoldásból lehet látni. Itt az tört annak valószínűsé- n

36 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 36 gét adja meg, hogy a második húzásnál is pirosat húzunk. Ha n-et növeljük, a tört értéke alig különbözik már az -től. Jó lenne, ha a tanulók közül sikerülne valakinek n-nel is megoldania a feladatot, és közösen fedeznénk fel a határértéket. Levonhatjuk azt a következtetést, hogy ha elég nagy mintával dolgozunk és a kiválasztott elemszám ehhez képest elenyészően kicsi, nincs jelentősége annak, hogy visszatesszük-e az elsőnek kiválasztott golyót az urnába.

37 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 37 V. Binomiális eloszlás Ha van a szertárban egy Galton-deszka, az órát úgy lenne érdemes elkezdeni, hogy bevisszük, legurítunk rajta golyót, és megtippeltetjük a diákokat, melyik oszlopba érkezik a legtöbb, illetve legkevesebb golyó. Ha nincs ilyen eszközünk, letölthető szimulációk érhetők el a net-en, bár ezek nem pótolják a valódi elvégzett kísérletet. Egyik ilyen cím: mazsola.iit.unimiskolc.hu/~komaromi/galton Tomasits Ákos munkája. Mintapélda Egy biológia témazáróra Marci a tudatlanok nyugalmával érkezik. A könyvet ugyan ki nem nyitotta, az órán sem figyelt, de tudja, hogy a dolgozatban tesztkérdés szerepel lehetséges A, B, C válaszokkal, és a kérdések közül elég a harmadára helyesen válaszolnia a kettes eléréséhez. Úgy gondolja, nyugodtan a véletlenre és a jó szerencséjére bízhatja a dolgot. Mi a valószínűsége annak, hogy pontosan kérdésre válaszol helyesen? 8 a) Annak a valószínűsége, hogy az első kérdésre helyes választ ad, a többi nyolcra pe- 8 dig hibásat: =. Igen ám, de azt a négy feladatot, melyekre helyes vá laszt ad féleképpen lehet kiválasztani a -ből, így a keresett valószínűség = , 38. Az itt alkalmazott gondolatmenet általános esetben is működik: n p k Ha egy esemény bekövetkeztének valószínűsége p, akkor annak valószínűsége, hogy n független kísérletből ez az esemény pon- k n k tosan k-szor következik be: ( ) p. Mintapélda 3 Kíváncsiak lehetünk még arra is, hogy minek a legnagyobb a valószínűsége, hány kérdésre ad helyes választ Marci?

38 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 38 Térjünk most vissza az előző mintapélda adataihoz és számítsuk ki, hogy mi a valószínűsége a 0,,,, helyes válasznak. Számításaink eredményét rendezzük táblázatba, majd ábrázoljuk is! Helyes Ennek valószínűsége válaszok száma(k) P(k) 0 0,008 0,06 0,7 3 0, 0,38 5 0,9 6 0, 7 0,08 8 0,05 9 0, , , , A táblázatból, de a grafikonból is jól látható, hogy annak a valószínűsége a legnagyobb, hogy a kérdésből -et válaszol meg Marci. Az ilyen grafikont eloszlásgörbének nevezzük. A klasszikus feladat ezzel kapcsolatban, egy urna, melyben N golyó van, közülük K piros, többi fehér. Egymás után n-szer húzunk belőle, úgy, hogy minden húzás után visszatesszük a már kihúzott golyót, de feljegyezzük az eredményt. Ha azt keressük, hogy mi a valószínűsége annak, hogy az n húzás közül pontosan k- n szor húzunk pirosat: k K N k N K N n k. Ha azt vizsgáljuk, hogyan változik ez a valószínűség különböző k értékek esetén, binomiális eloszlásról beszélünk, melynek grafikonja általában olyan lesz, mint amilyen a fenti ábra. Megkérdezhetjük, mit gondolnak, hogy néz ki ez az ábra, ha az egyes helyes válaszok valószínűsége 3, a hibásaké pedig 3? Milyen valószínűség esetén lesz a csúcspont pontosan középen? Itt érdemes ha van rá alkalom megmutatni néhány binomiális eloszlás grafikonját.

39 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 39 Az Interneten elérhető néhány interaktív grafikon az alábbi címeken: Mintapélda Sok vizsgálat azt mutatta, hogy a gyártósoron elkészülő csavarok 95%-a tökéletesen használható. Markoljunk ki egy nagy zsákból 0 csavart. Mi a valószínűsége annak, hogy a kezünkben -nél több hibás csavar lesz? A komplementer esemény valószínűségét egyszerűbb kiszámítani: mi a valószínűsége annak, hogy a kezünkben 0 vagy hibás csavar lesz? Ismerjük annak valószínűségét, hogy egy kivett csavar hibás: 0,05. Legyen a zsákban 0000 csavar. Ha az ismert eloszlásban vannak benne a jó és hibás csavarok, akkor 9500 jó, és 500 hibás csavar van a zsákban. Ha kivettünk belőle 9 hibás csavart (aminek igen kicsi a valószínűsége), annak valószínűsége, hogy a következő is hibás lesz: , 08. Ha kivettünk belőle 9 jó csavart, annak valószínűsége, hogy a követke- 500 ző hibás lesz: 0, 050, vagyis az eltérés csak két ezrelék, tehát ha azok száma, 998 amiből a mintát vesszük, elég nagy, eltekinthetünk attól, hogy a mintavétel során nem tettük vissza az egyes elemeket. Annak valószínűsége tehát, hogy 0 hibás csavar lesz: , 95 0, 05 = 0, 95 0, Annak valószínűsége, hogy hibás csavar lesz: , 95 0, 05 = 0 0, 95 0, 05 0, Annak valószínűsége tehát, hogy -nél több hibás csavar lesz a kezünkben: ( 0, , 377) 0, 65.

40 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 0 Feladatok 7. Tízszer dobunk egymás után a kockával. Mi a valószínűsége annak, hogy a 0 dobásból pontosan 3-szor dobunk ötöst? = 055,. 8. A csillagszórók közül általában minden 0. hibás, nem ég végig. Mi a valószínűsége annak, hogy ha vettünk csomag, azaz 0 darab csillagszórót, abból kettő hibás lesz? 0 0 P, tehát 7,5%. 8 P ( hibás ) = = 0, 05, így ( hibás) = 0,05 0,95 0, vásárlót megkérdeztek a cukrászdában, melyik a kedvenc fagylaltjuk a választékból. A következő válaszokat kapták: vanília 3 citrom 0 erdei gyümölcs 7 csoki 3 puncs 5 kiwi 7 karamell 5 meggy 9 őszibarack 3 Készíts kördiagramot az adatok alapján! Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a fenti vásárlók közül valakinek éppen a csoki a kedvenc fagyija! Mi a valószínűsége, hogy az üzletvezető által megkérdezett 0 vevő közül pontosan 5- nek volt kedvence a csokoládé fagylalt? A kördiagramban a szögek nagyságát az alábbi táblázat mutatja: vanília 56º citrom 7º erdei gyümölcs 3º csoki º puncs 5º kiwi 3º karamell 5º meggy 3º őszibarack 3º

41 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató vanília csoki karamell citrom puncs meggy erdei gyümölcs kiwi őszibarack A 00 megkérdezettből 3 szereti a csokoládé fagylaltot, így a keresett valószínűség: 3 00 = 05, Annak valószínűsége, hogy 0 megkérdezettből pontosan 5-en választották a csokolá- 5 dét: 05, ( 05, ) 0, Egy iskolai rendezvényről felvétel készült, melyről mind a 0 szereplő számára sokszorosítani szeretnénk a CD-t. Nincs időnk, hogy az összes másolatot ellenőrizzük, de a biztonság kedvéért készítünk belőlük -t. Mi a valószínűsége annak, hogy minden szereplőnek tudunk adni hibátlan CD-t, ha a másolás során általában minden huszadik CD-nek lesz valami hibája? Azt keressük, hogy mi a valószínűsége annak, hogy a másolt CD-ből csak 0, vagy lesz hibás? 9 P( a CD hibás) = P( a CD jó) = P( h = 0) =, P( h = ) =, P( h = ) = A keresett valószínűség tehát: ( h = 0 ) + P( h = ) + P( h = ) = 0, 98 P.. 3. Tudjuk, hogy egy óriási raktárban 5: arányban vannak össze-vissza a radiál és diagonál gumik. Mi a valószínűsége annak, hogy véletlenszerűen kigurítva közülük darabot, azt fel tudjuk szerelni a kocsinkra? (Szabály, hogy az első két, illetve a hátsó két gumi típusának meg kell egyeznie.)

42 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató Annak valószínűsége, hogy egy kiválasztott gumi radiál legyen 7 5, annak valószínűsége, hogy diagonál legyen 7. Akkor tudjuk felszerelni a gumikat, ha 0 vagy vagy radiál gumit választottunk. ( ) ( ) ( ) 7 5, = = = = = = r r r P P P. A keresett valószínűség ezek összege: 0,5.

43 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 3 VI. A szerencsejátékos szerencséje Ebben a fejezetben megismerkedünk néhány szerencsejátékkal. Nem azzal a céllal tesszük ezt, hogy bíztassunk titeket a játékra, éppen ellenkezőleg: azt szeretnénk megmutatni, hogy ezekben a játékokban hosszú távon mindig a bank nyer. Mikor érdemes megkötni egy fogadást? Képzeljük el, abban fogadunk valakivel, hogy 6-ost dobunk a kockával. Ha elég sokszor játszottunk, azt tapasztaljuk, hogy 5-ször annyiszor veszítjük el a fogadást, mint ahányszor megnyerjük. Tehát ahhoz, hogy számunkra a fogadás ne legyen veszteséges ( igazságtalan ) az kell, hogy a mi nyereményünk 5-ször akkora legyen, mint az övé. Képzeljük csak el, hogy 600-szor játszunk, és bejön a papírforma : 00-szor dobunk 6-ost, de 500-szor mást. Játszótársunk nyereménye így 500 Ft = 500Ft lesz, de a miénk is 00 5Ft = 500Ft. Hosszú távon akkor igazságos egy fogadás, ha a nyereményünk annyiszorosa a játszótársunk nyereményének, ahányszorosa az ő nyerésének valószínűsége a miénkhez képest. Képzeljük el, hogy fej-írást játszunk egy barátunkkal, és tétünk minden esetben egy babszem. Megkérünk egy harmadik személyt, hogy dobáljon egy érmét. Ha fejet dob, megkapjuk a sajátunkén kívül barátunk babszemét is, tehát nyereményünk babszem. Ha írást dobnak, elveszítjük a babszemünket, barátunk viszi mindkettőt. Minden dobás előtt ½ esélyünk van nyerni két babot, és ugyanakkora esélyünk van elveszteni a tétet. Mivel nyereményünk a befektetett bab = -szerese, a játék igazságos. 0, 5 Nézzük először a rulettet! Az ábrán egy rulettkereket, valamint azt a táblát látjuk, melyen a téteket lehet megtenni.

44 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató A rulettkeréken a számok 0-tól 36-ig találhatók. Van 8 fekete és 8 piros szám, a nulla se nem fekete, se nem piros. Néhány lehetséges fogadást mutat be az ábra, ezekhez azt is megadjuk, rátett pénzünk hányszorosát kapjuk nyereményként (a rátett összegen felül). A: egyetlen számra fogadsz (itt épp a 3-asra), nyereményed a befektetett pénz 35-szöröse. B: két számra fogadsz (itt épp az 5 és 8-asra), nyereményed a befektetett pénz 7-szerese. C: három számra fogadsz (a sor számai:0,,), nyereményed a befektetett pénz - szerese. D: négy számra fogadsz (,5,7,8), nyereményed a befektetett pénz 8-szorosa. E: hat számra fogadsz (9,0,,,3,), nyereményed a befektetett pénz 5-szöröse. F: számra fogadsz, az oszlop számaira, nyereményed a befektetett pénz -szerese. F: Itt ismét számra fogadsz, pl a harmadik -re azaz a 5-36-ig számokra, nyereményed a befektetett pénz -szerese. G: azt mutatja, hogy tétedet a nagyobb számokra, 9-36 tetted. Ugyanígy teheted a piros, fekete, illetve a páros (even) páratlan (odd) téglalapokba is. Minden ilyen esetben nyereményed ugyanannyi, mint a téted. Mintapélda 5 Számítsuk ki, igazságos -e a nyeremény az A, illetve a D esetekben? A jelű fogadás esetében: Ha eltaláljuk a számot, akkor zseton tét esetén 36 zsetont kapunk meg. Akkor lenne igazságos a fogadás, ha nyerési esélyünk lenne. De a ru- 36 lettben 37 számnak van azonos, 37 esélye, tehát nyerési esélyünk kisebb, mint ami az igazságos játék esetén lenne. D jelű fogadás esetén a kedvező esetek száma, összes esetek száma 37, nyerési esélyünk tehát 37. Akkor lenne tehát igazságos a fogadás, ha befektetett pénzünk 37 = 9, 5-szorosát kapnánk meg, de itt zseton tét esetén +8=9 zsetont kapunk csak. Ezek a látszólag apró eltérések biztosítják, hogy a kaszinó hosszú távon nyereséges legyen. Módszertani megjegyzés: A várható érték fogalma emelt szintű anyag, de talán nem haszontalan középszinten is megemlíteni.

45 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 5 Mielőtt a következő feladattal foglalkoznánk, ismerkedjünk meg egy új fogalommal! Legyen az A kísérlet összes lehetséges kimenetele az A, A,, A n esemény (teljes eseményrendszer). Ha valamilyen A i esemény bekövetkezésének valószínűsége p i, akkor az A kísérlet várható értéke a p i A i szorzatok összege: E(A) = p A + p A + + p n A n. Egy egyszerű kockadobás esetén a várható érték a következőképpen alakul: A A 3 A 5 -est dobok, 3-ast dobok, 5-öst dobok, 6 A p = 6 A p 3 = 6 p 5 = A 6 -est dobok, -est dobok, 6-ost dobok, p = 6 p = 6 p 6 =. 6 7 A kísérletünk várható értéke tehát = = = 3, Ilyen dobás persze nem jön létre soha, hiszen ez nem egész szám. Módszertani megjegyzés: A következő példa a ruletthez kapcsolódik, játékszabálya az előző mintapéldában található. Mintapélda 6 Van 3 zsetonunk. Elhatározzuk ha törik, ha szakad három egymást követő körben felteszünk egy-egy zsetont a feketére. Számítsuk ki nyeremény várható értékét! A három pörgetés eredménye lehet az, hogy 0,, vagy 3 alkalommal áll meg a golyó a 8 feketén. Annak valószínűsége, hogy a golyó a feketén áll meg:, annak pedig, hogy 37 9 nem a feketén:, hiszen megállhat a 8 piroson és a nullán. 37 A : 0 fekete tehát -3 nyereség p 3 8 = = 37 3 A : fekete tehát - nyereség p 3 8 =

46 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 6 A 3 : fekete, tehát + nyereség p = A : 3 fekete, tehát +3 nyereség p 3 8 = = 37 3 A nyereség várható értéke tehát E ( A) = ( 3) + 3 ( ) , 08 Ismét látszik tehát, hogy várhatóan a kaszinó lesz nyereséges. 3. Mintapélda 7 Egy sorsjegyről a következőket tudjuk: MÉHECSKE A méhecske sorsjegy nettó nyereményeire fordítandó összeg felosztása: Nyeremény db Ft Ft Ft Ft Ft Ft Ft A JÁTÉK LÉNYEGE: A sorsjegyen egy játékmező található, amely fedőrétegének ledörzsölése után állapítható meg, hogy nyertes-e a sorsjegy. Amennyiben a kaparófelület alatt egy pénzösszeg szerepel, a játékos nyert. Nyereménye a kaparófelület alatt feltüntetett nyereményösszeg. Amennyiben a játékos NEM NYERT feliratot talál, akkor nyereményt nem ért el. A FORGALOMBA HOZATAL IDŐPONTJA: 005. július 3. A SORSJEGY ÁRA: 50 Ft NYERÉSI ESÉLY: : 3, KIBOCSÁTOTT DARABSZÁM: 5 millió db sorozatonként Igaz-e a megadott nyerési esély? Mekkora a nyereség várható értéke egy sorsjegy megvásárlása esetén? A kibocsátott 5 millió szelvényből nyer, tehát a nyerési esély 0, 3, a megadott nyerési esély pedig 0, 3, tehát helyesen adták meg az esélyt. (A két 3, érték között tízezredekben van eltérés.) Ha szelvény nyer, akkor szelvény nem nyer A : nyeremény 0 Ft p =

47 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 7 A : nyeremény 00 Ft p = = 0, A 3 : nyeremény 300 Ft p 3 = = 0, A : nyeremény 600 Ft p = = 0, A 5 : nyeremény 000 Ft p 5 = = 0, A 6 : nyeremény 0000 Ft 500 p 6 = = 0, A 7 : nyeremény Ft A nyeremény várható értéke tehát 5 6 p 7 = = , , , , Levonva ebből 50 Ft-ot ( a sorsjegy ára) a várható bevételünk 60 Ft = 90 Feladatok 3. Egy ismerősünkről mesélték, hogy nyert az ötöslottón. Azon a héten ezt láttuk a nyereményjegyzékben: ÖTÖSLOTTÓ Nyerõszámok: 5, 5, 65, 7, 88 5 találatos 0 db nyereménye: 0 Ft találatos 8 db nyereménye: Ft 3 találatos db nyereménye: 7 65 Ft találatos 0 9 db nyereménye: 993 Ft Mi a valószínűsége annak, hogy 000 Ft-nál többet nyert? , Vizsgáld meg, igazságos-e a fogadás a ruletten (l. a 5. mintapéldát) a a) B tét esetén? b) E tét esetén?

48 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 8 a) B tét esetén a kedvező lehetőségek száma, az összes lehetőségek száma 37, a nyerés esélye tehát 37. Ha nyerünk, zseton kockáztatása esetén 7 zsetont kapunk még, tehát 8 zsetonnal jutalmaznak. 0, 055,. 0, 05, tehát ismét egy kicsit 8 37 veszteséges ránk nézve a fogadás. b) E fogadás során a kedvező lehetőségek száma 6, 37 számból kellene eltalálni, tehát 37 akkor lenne igazságos a fogadás, ha befektetett zsetonunk -szorosát kapnánk visz- 6 sza, de csak a hatszorosát kapjuk. 3. Mekkora lesz a nyereség várható értéke, ha kétszer egymás után - zsetonnal a középső oszlopra (F eset) fogadunk? A : Ha mindkétszer vesztünk, a nyereségünk- zseton A : Ha egyszer nyerünk, egyszer meg veszítünk zseton p p 5 = 37 5 = A 3 : ha mindkétszer nyerünk, a nyereség zseton p 3 = Nyereségünk várható értéke tehát: ( ) + + 0, 05

49 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató Egy sorsjegyről a következőket tudjuk (részlet a Részvételi szabályzat -ból): A sorsjegy ára: 00Ft; Nyerési esély: :3,; Kibocsátott darabszám: 5 millió db sorozatonként. Az Astro sorsjegy nettó nyereményeire fordítandó összeg felosztása Nyeremény db Ft a) Mi a valószínűsége annak, hogy nem veszítünk a vásárláson? b) Mi a valószínűsége annak, hogy legalább 5000 Ft-ot nyerjünk? c) Számítsd ki mekkora a várható nyereség sorsjegy vásárlása esetén! a) Kedvező esetek száma: , az összes sorsjegy db, tehát a keresett valószínűség: 0, b) Kedvező esetek száma: 5 060, az összes sorsjegy db, tehát a keresett valószínűség: 0, c) A kidolgozott feladatban mutatott módszer szerint , , , , = 0 Ha figyelembe vesszük, hogy a sorsjegy ára 00Ft, ez várhatóan 80 Ft veszteséget jelent. 3 +

50 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 50 VII.Geometriai valószínűség Tarcsay Tamás jóvoltából került fel a Sulinet e-tananyagába a web-oldalra egy nagyon jó animáció egy céltáblára leadott szimulált lövésekről. Az eredményt minden sorozat után kiértékeli. Ha van rá lehetőség, mutassuk ezt meg a tanulóknak, majd a kapott eredmény matematikai magyarázatát is megadhatjuk a következő oldal segítségével. Mintapélda 8 Egy 0 méter hosszú vízvezetékcső tört el valahol a fővezeték és a házunk között. Mi a valószínűsége annak, hogy a földet fölötte m hosszan kibontva rátalálunk a hibára? Úgy érezzük, hogy a keresett valószínűség. Valóban, ha a beszerelt cső minősége 0 mindenütt azonos, és a fölötte levő terhelés is egyenletes, a törés a cső bármely pontján ugyanakkora valószínűséggel következhet be. Mi most itt a kedvező elemi események száma? És mennyi az összes elemi esemény száma? Mindkettő végtelen sok. Mégis, a keresett valószínűséget megkaphatjuk, hiszen a megtalálás valószínűsége egyenesen arányos a felásott föld hosszával, és ha a 0 métert ásnánk fel, akkor a megtalálás valószínűsége lenne. Jelöljünk ki képzeletben egy pontot a csövön. Annak a valószínűsége, hogy ezt véletlenszerűen eltaláljuk, érzésünk szerint nulla. Találkoztunk most azzal, hogy bár a lehetetlen esemény valószínűsége 0, a 0 valószínűségű esemény bekövetkezése nem lehetetlen. Tudjuk, hogy a koordináta-rendszerben végtelen sok rácspont van. Pontból pedig a koordinátasíkon még sokkal több. Annak a valószínűsége, hogy véletlenül rábökve a táblára rácspontot találjunk el, 0, tehát a komplementer esemény, vagyis annak a valószínűsége, hogy a táblára rábökve nem rácspontot találok el. Ez azonban mégsem biztos esemény! Tehát a biztos esemény valószínűsége, de az valószínűségű esemény bekövetkezése nem biztos!

51 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 5 Mintapélda 9 Egy kert alaprajzát mutatja a következő ábra. A kockázott terület kövezett terasz. A kék vonal a vízvezeték útját mutatja, mely a föld alatt méter mélységben halad. Sajnos ez valahol, a vízóra(v) és a kerti csap (CS) között eltörött. Megmérték, hogy a kerti csap a garázs sarkától 6 m-re, a vízóra a ház sarkától 0,5 m-re van. A ház mindkét kerítéstől - m-re épült, amit itt az előírásoktól eltérően kivételesen engedélyeztek. a) Mi a valószínűsége annak, hogy ha naponta 3 méter hosszan tudjuk kibontani a vezetéket, 3 napon belül megtaláljuk a hibát? b) Mi a valószínűsége annak, hogy a hiba megtalálásához nem kell felszedni a terasz köveit? c) A vízvezetéktől m-re van az F-fel jelölt fa. Ha törzsétől számított 3 m-es sugarú körön belül mélyen leásunk, a fa károsodásának valószínűsége 0,3. Mi a valószínűsége annak, hogy a fa megmenekül? Az eddigi feladatok megoldásakor segített, ha a kedvező esetek számát osztottuk az öszszes esetek számával, de itt ez megoldhatatlan feladat elé állítana minket. Még ha vonal-

52 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 5 szerűnek tekintjük is a vezetéket, akkor is bármely rövid szakaszán végtelen sok pont van. Ennek alapján azt kapnánk, hogy annak valószínűsége, hogy a vezeték a vízórától mondjuk m-re lyukad ki, (pont) osztva végtelen sok(pont), tehát 0. És ez valóban így is van. Ha a vezeték összes pontja azonos valószínűséggel romlik el, minden egyes pontjának 0 valószínűségű a hibaesélye. Mégis, azt is mondhatjuk, hogy a vezeték minden centiméterén ugyanakkora valószínűséggel keletkezik hiba, mint a szomszédos centimétereken, így a hiba előfordulásának valószínűsége egy cm-es szakasz valamely pontján kétszer akkora, mint ugyanazon szakasz felén, tehát a valószínűség egyenesen arányos a vizsgált szakasz hosszával. A vízvezetéket a ház oldalával párhuzamosan fektették le. Ha a csap a garázs sarkától 6 m-re van, akkor az utcai kerítéstől mért távolsága,8 + 6 = 0,8 m. Tehát a kaputól az első sarokig 0,8 m vezeték van, ebből levonva a vízóra kapu távolságot 9,8 m-t kapunk. A rá merőleges vezeték hosszát megkapjuk, ha a kert szélességéből (0 m) levonjuk a garázs szélességét (3 m), valamint a vízvezeték kerítés távolságot ( 0,5 = 0,5). Tehát a vízvezeték teljes hossza a vízóra és a csap között 9,8 + 0 (3 + 0,5) = 6,3m. a) Feltételezve, hogy a törés a vezeték minden pontján azonos valószínűséggel fordul elő, a megtalálás valószínűsége egyenesen arányos a felbontott szakasz hosszával. 6,3 m-es felbontás esetén a megtalálás valószínűsége, tehát ha három napon át naponta 3 m-t ásunk, akkor a hiba megtalálásának valószínűsége 9 0, 3. 6,3 b) Mivel a terasz csempéit nem szívesen bontanák fel, ezért, ha a vízórától a teraszig nem találták meg a hibát, akkor a keresést a terasz túlsó oldalán folytatják. A kövezetet csak akkor szedik fel, ha a terasz túlsó fele és a csap között sem találták meg a hibát. Annak a valószínűsége, hogy a törés a terasz alatt van: 3 0,, tehát annak valószínűsége, hogy nem kell felbontani a terasz köveit 6,3 (komplementer esemény) 0, 0, 886. c) A fa megmenekülésének valószínűsége két esemény valószínűségének összege lesz: nem ásunk a fa közelében, illetve ott ásunk, de a fa túléli. Ahhoz, hogy erre a kérdésre választ adjunk, ki kell számítani, hogy a fa veszélyes környezetébe a

53 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 53 vízvezetéknek milyen hosszúsága kerül. Tudjuk, hogy a fa törzse m-re van a vezetéktől, tehát kérdés, hogy az F középpontú 3m sugarú körben a kör középpontjától m-re milyen hosszú húr van. h Pitagorasz-tétellel számolva, a húr hosszának fele = 3 = 8, innen h = 8 m 5,66 m. 6, 3 5, 657 Tehát annak valószínűsége, hogy nem ásunk a fa közelében 0, , 3 Annak a valószínűsége, hogy a fa közelében is kell ásni, 0, 785 0, 5, de a fa megmenekülésének még itt is van 0,7 esélye, tehát itt a valószínűség: 0, 7 0, 5 = 05,. Összegezve, 0, ,5 = 0,936 az esélye annak, hogy a fa túléli a hibakeresést. Mintapélda 0 A fürdőszoba padlóját fekete-fehér mettlachi -lapok borítják. Egy-egy kis négyzet oldala 8 cm. Ha elejtünk rajta egy 6 mm átmérőjű fekete gombot, gyakran nem találjuk meg, mert rejtőszíne van. Ha úgy esik le a gomb, hogy teljes terjedelmével fekete négyzetre esik, szinte képtelenség meglátni. a) Mi a valószínűsége annak, hogy ha leejtjük a gombot, az láthatatlanná válik? b) Hogyan változik ez a valószínűség, ha a négyzetlapok éle nagyobb: pl. 0 cm? c) Hogyan változik ez a valószínűség, ha a lap ugyan 8cm oldalhosszúságú négyzet, de a gomb átmérője 0 mm? a) Nézzük meg, hogy hol van a kör alakú gomb középpontja, ha nem látjuk? A jobb oldali ábra szerint a gomb középpontjának a fekete négyzeten belül egy kisebb (az ábrán satírozott) négyzetbe kell esnie, hogy a gomb ne lógjon ki a fekete kockakőből. A satírozott négyzet oldala 80 8 = 6 mm. A satírozott terület a fekete területhez

54 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 5 úgy aránylik, mint 6 : 80 = 6 : 5. A keresett valószínűséget megkapjuk, ha kiszámítjuk a megtalálás szempontjából kedvezőtlen és az összes terület arányát. 6 Az összes terület fele fekete, a fekete négyzet része satírozott, tehát a gomb a teljes terület részére ejtve válik láthatatlanná. Így a keresett valószínűség = 0, b) A satírozott négyzet oldala most 00 8 = 8 mm lesz. A keresett területarány és egy- 8 ben valószínűség itt = 0, 358-ra módosul, tehát nő annak esélye, hogy nem 00 találjuk a gombot. c) A satírozott négyzet oldala most 80 5 = 70 mm -re változik. A keresett területarány 70 és egyben valószínűség itt = 0, 3885-ra módosul, tehát itt is nőtt annak az 80 esélye, hogy nem találjuk a gombot. Mintapélda Vének nevű község a Szigetköz keleti csúcsában fekszik. A tőle 3 km-re levő Kisbajcs faluból vezetik oda az áramot. Egy nagy vihar a két falu között valahol megrongálta a vezetéket. Mivel a vezetékről a két falu között is vannak leágazások tanyákhoz és mezőgazdasági üzemekhez, ezért nem áramtalanították az egész szakaszt, csak a hiba és Vének község közti részt iktatták ki. A vihar tovább tombolt, és egy újabb helyen is megrongálta a vezetéket a két falu között. Mi a valószínűsége annak, hogy az új hiba további lezárásokat tesz szükségessé, tehát a második szakadás az első hiba és Kisbajcs község közé esik? Az első hiba Kisbajcstól x km-re történt. Tudjuk, hogy 0 < x < 3. A második hiba Kisbajcstól mért távolsága legyen

55 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 55 y km. y-ra is érvényes az 0 < y < 3 egyenlőtlenség. Ahhoz az eseményhez, hogy a két szakadás Kisbajcstól x és y távolságra történt, rendeljünk hozzá egy ( x; y) P pontot a koordináta-rendszerben, tudva, hogy 0 < x < 3 és 0 < y < 3 feltételeknek fenn kell állniuk. Ezért a P pont csakis a sárgával jelzett 3-szor 3 egység területű négyzetben lehet. Az új hiba akkor tesz szükségessé további lezárásokat, ha a második hiba közelebb van Kisbajcshoz, mint az első, tehát ha y < x. Ez azt jelenti, hogy a P pont második koordinátája kisebb, mint az első. Az ilyen pontok a négyzetünkben a vonalkázott részen vannak. A vonalkázott háromszög területe a négyzet területének fele, tehát a keresett valószínűség 0,5. Feladatok 36. Az ábra egy 30 cm átmérőjű céltáblát mutat. A két kisebb kör átmérője 0, illetve 0 cm. Mi a valószínűsége annak, hogy ha valaki beletalál a legnagyobb körbe, akkor a lövés a legkisebb körbe kerül? Összes lehetőség a teljes kör területe, kedvező lehetőség a harmad akkora átmérőjű kör területén van. Mivel minden kör hasonló, és a hasonlóság aránya itt λ = λ =, tehát a területek aránya, így a keresett valószínűség is A geoláda-keresés, idegen szóval geocaching (ejtsd: geokesing) egy világszerte elterjedt játék. Játékos kedvű emberek elrejtenek valahol egy ládát, majd a helyszín GPS-szel meghatározott koordinátáit közzéteszik az Interneten. Akinek van GPS-e, és kedveli a kalandokat, megpróbálja megtalálni ezt a ládát, és ha sikerrel jár, pontot kap. Aki elég pontot gyűjtött, jogot szerez arra, hogy maga is elrejtsen valahol egy ilyen ládát Egy éjszakai portyázáson GPS-ünk azt mutatta, hogy ahol állunk, annak 3 méteres körzetében kell lennie a ládának. Gazos, bokros részen jártunk, négyzetméter átfésüléséhez 0 percre is szük-

56 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 56 ségünk volt. Mi a valószínűsége annak, hogy fél órán belül mielőtt a szúnyogok megesznek megtaláljuk a ládát? A GPS jelentése: Global Positioning System, magyarul: globális (műholdas) helymeghatározó rendszer. Az USA-ban fejelsztették ki az 970-es években, katonai célokra. Néhány éve azonban már polgárjogot nyert, pl. gépkocsikba elhelyezve a berendezést, segíti a tájékozódást. Az összes lehetőség egy 3 m sugarú kör területe, tehát 3 π 8,7( m ) 3 alatt átfésülhető terület 3 m. A keresett valószínűség tehát 0, 06. 8, 7. A 30 perc 38. A metrón a reggeli csúcsforgalomban a szerelvények 5 percenként érkeznek: egész órakor, óra 5-kor, és így tovább. A szerelvény ½ percet áll a megállóban. valaki reggel ½7 és 7 között a megállóhoz megy. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a várakozási ideje ne legyen több percnél? Az alábbi szakasz mutatja a reggel ½7 és 7 közötti időintervallumot. Egy-egy ilyen kis szakasz hossza percnek felel meg. A kedvező időtartamokat pirossal jelöltük. Látható, hogy a teljes szakasz hosszának fele piros, tehát a keresett valószínűség 50%. 39. Egy bálterem méreteit az ábra mutatja. A nézők elhelyezkedése véletlenszerű. a) Mi a valószínűsége annak, hogy a színpadot legfeljebb 8 méterről láthassam? b) Mi a valószínűsége annak, hogy a színpadot hegyesszögben láthassuk?

57 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató a) A keresett valószínűség a területek arányával egyezik meg: =. 8 3 b) A színpad szélességének megfelelő átmérőjű Thalész-körön kívül kell lennünk, tehát a ke- 8 π resett valószínűség 0, A Budapest Bamako verseny a Párizs Dakar rallyhoz hasonló 763 km-es verseny, mely Magyarországról Maliba vezet. A Camp Roi Bedouin-Dakhla (50 km) szakaszon két versenyző (egy motoros és egy UAZ) is elakadt és segítséget kértek, mely elindult értük Bedouin Dakhlából. Mi a valószínűsége annak, hogy előbb a motorosra találnak rá? Legyen a motoros távolsága Bedouin Daklától x km, és tudjuk, hogy 0 < x < 50. Az UAZ Bedouin Daklától mért távolságát jelöljük y-nal, ahol 0 < y < 50. Ahhoz az eseményhez, hogy elakadáskor a motor x, az UAZ pedig y távolságra van Bedouin Daklától rendeljük hozzá a P ( x; y) pontot. A P pont a koordináta-rendszernek csak a sárgával jelölt, 50 egység oldalú négyzet alakú részében lehet, mivel x és y eleget tesznek a fenti egyenlőtlenségeknek. Akkor találkoznak előbb a motorossal, ha a motoros közelebb van Bedouin Daklához, mint az UAZ, tehát ha x < y. Tehát olyan P ( x; y) pontoknak felel meg a kedvező eset, melyeknek második koordinátája nagyobb, mint az első. Ezeket az ábrában vonalazással jelöltük. A háromszög területe fele akkora, mint a négyzet területe, tehát annak valószínűsége, hogy a motorossal találkoznak előbb, mint az UAZ-zal 0,5. Módszertani megjegyzés: Figyelem! Az alábbi feladat megoldása gondot okozhat, ha nem tanulták egyenlőtlenségrendszerek grafikus megoldását!. Péter és Panni randit beszélnek meg iskola után egy téren. Mivel mindketten tömegközlekedéssel utaznak, csak azt rögzítik, hogy 5 és 6 között próbálnak odaérni. Mégis, ha Panninak 0 percnél tovább kell várnia Péterre, akkor hangulata a mélypontra zu-

58 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 58 han, Péter pedig 5 percnél hosszabb várakozás esetén garantáltan tönkreteszi a virágot. Mekkora a valószínűsége, hogy randijuk tökéletesen sikerül? Tegyük fel, hogy Péter 5 óra x perckor érkezik a találkozóra, Panni pedig 5 óra y perckor. Jelöljük a koordináta-rendszerben azokat a P(x; y) pontokat, melyekre 0 < x < 60 és 0 < y < 60. Ebben a négyzetben minden pont olyan x; y értékpárt jelöl, ami előfordulhat a két fiatal érkezési időpontjaként. Tehát összes esetet a négyzet pontjai adják. Panni nem szeretne 0 percnél többet várni, ezért teljesülnie kell, hogy x y 0. Péter virága sem bírja 5 percnél tovább, így teljesülnie kell, hogy y x 5. A két egyenlőtlenséget átrendezve kapjuk, hogy y x 0 és y x + 5, azaz x 0 y x + 5. Az összes lehetőség: a 60-szor 60-as négyzet minden pontja, azaz a négyzet területével egyenesen arányos mennyiség. Kedvező lehetőség, ami teljesíti mindkét egyenlőtlenséget, kis négyzetünkön a satírozott hatszög területe. A hatszög területét úgy a legegyszerűbb kiszámítani, hogy a négyzet területéből kivonjuk a két egyenlőszárú derékszögű háromszög területét, azaz T hatszög = = 337, 5 A keresett való-

59 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató ,5 színűség tehát 0, 37, vagyis körülbelül 37% a valószínűsége, hogy a randi tökéletesen 3600 sikerül.. Az egyik kábeltévé társaság akciót hirdetett: Az új előfizető jelenlétében megforgattak egy színes tárcsát, és ha a tárcsa sárga része állt meg a mutatónál, egy havi előfizetése ingyenes volt, ha a piros része állt meg a mutatónál, akkor fél évi előfizetési díját elengedték. Végezd el a szükséges méréseket és állapítsd meg, hogy mekkora esélye volt az előfizetőknek a két kedvezmény valamelyikére! Ahhoz, hogy megkapjuk a szükséges valószínűségeket, le kell mérni a körcikkekhez tartozó szögeket, ugyanis a valószínűség egyenesen arányos a szög nagyságával. Piros körcikk szöge 8º, sárga körcikk szöge 36º. A 360º-hoz tartozna az valószínűség, tehát P ( piros ) = = 0, 05 és ( sárga ) = = 0, 36 P. Annak a valószínűsége tehát, hogy 360 havi díjat nyerünk: 0,, és annak valószínűsége, hogy 6 havi díjat nyerünk: 0, Kirándulásunkon azt terveztük, hogy szállásunkról a zöld jelzésen haladva elmegyünk a tőle 0 km-re fekvő másik turistaházba. Azt a tájékoztatást kaptuk azonban, hogy valahol a két turistaház között az útvonal járhatatlan lett, mert a nagy esőzések miatt vízátfolyás keresztezi az utat. Ezért megváltoztattuk eredeti tervünket és délelőttre csak egy rövid sétát terveztünk a az eredeti útvonalon, meglátogatva egy km-re fekvő forrást. Mi a valószínűsége annak, hogy tervünket meg tudjuk valósítani, és eljutunk a forrásig? P. 0 ( jó út) = = 0,

60 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 60 VIII. Valószínűség és statisztika Mintapélda Az alábbi táblázat azt mutatja, hogy az anya korának előrehaladtával hogyan változik a Down-kór kockázata a megszületendő csecsemőnél. Anya életkora (év) Anya életkora (év) Anya életkora (év) Downszindróma rizikója Downszindróma rizikója Downszindróma rizikója 5 év alatt : :570 :65 5 :350 3 :70 3 :50 6 : :380 :35 7 :00 36 :30 5 :30 (6%) 8 :00 37 :0 6 :0 9 : :90 7 :5 30 :90 39 :50 8 : 3 :800 0 :0 (:50) 9 :8 3 :680 :85 50 :6 Forrás: Érdeklődő csoportnál érdemes rámutatni arra, hogy a két táblázat adatai nem nagyon megbízhatóak. Valószínűleg az esetek kicsi száma, vagy az elégtelen kutatás az oka annak, hogy különböző forrásokban tendenciájában hasonló, de adataiban eltérő táblázatokat találhatunk. A táblázatba pirossal beírt adatokat a tanulók nem látják, ezeket a teszt-megbízhatósági táblázatnál említett intézmény honlapján találtam. Éppen ezért tesztekkel vizsgálják a magzatot, hogy időben megtudják, nem beteg-e. Úgy tűnik azonban, a tesztek is bizonyos hibával működnek: az álpozitív ráta azon esetek arányát mutatja, melyekben a magzat nem beteg, bár a teszt rendellenességet mutat, az is előfordulhat, hogy a magzat beteg és ezt a teszt nem jelzi. Azt, hogy a betegség meglétét hány százalékban mutatja ki a teszt érzékenységnek nevezzük. Az egyes tesztek ilyen jellegű megbízhatóságát mutatja az alábbi táblázat: Az egyes tesztek megbízhatósága Down-szindrómára (nemzetközi adatok): Álpozitív ráta Érzékenység Kombinált teszt - % 95 % Integrált teszt - % % Négyes teszt 5 % 80 % Forrás: Istenhegyi Géndiagnosztikai Nőgyógyászati és családtervezési centrum

61 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 6 Ismert, hogy a magzatok közül minden 700-adik születne meg ezzel a betegséggel. Valakit megvizsgálnak a Négyes teszttel, ami pozitív eredményt mutat. Mi az esélye annak, hogy a magzat valóban beteg? Induljunk ki magzatból! Ha minden 700-adik magzat beteg, ez : beteg magzat. Közülük az érzékenységet figyelembe véve 3 0, 8 kap pozitív eredményt. Az egészséges magzatok száma = Figyelembe véve az álpozitív rátát, közülük is , nál a teszt pozitív eredményt, azaz betegséget mutat. Ez azt jelenti, hogy összesen = 507 teszteredmény mutat betegséget, de ezek közül valódi beteg magzat csak van. Tehát a pozitív teszt esetén a betegség valószínűsége 0, 0, azaz alig több, mint %. 507 Mintapélda 3 Egy üzletben egy csizmából a következő méreteket rendelték: Méret darab a) Mi a valószínűsége annak, hogy ha egy kutya felkap egy darabot a polc előtt lerakott halomból, pontosan a módusznak megfelelő darabot választja? b) Mi a valószínűsége, hogy a mediánnak megfelelő darabbal fut el? Először állapítsuk meg, mi lesz ennek az adatsokaságnak a módusza, azaz a leggyakrabban előforduló eleme! 5-ös cipőből van a legtöbb, így annak valószínűségét kell kiszámítanunk, hogy a kutya egy 5-ös cipőt választ. p = = 0, Az adatsokaság mediánját akkor kapjuk meg, ha nagyság szerint sorbaállított 55 cipőből kiválasztjuk a 78-adikat <78< , tehát a mediánnak megfelelő méret a -es. Annak valószínűsége, hogy a kutya egy -es cipővel szalad el 0 8 p = = 0, Módszertani megjegyzés: A következő mintapélda a feltételes valószínűség fogalmának bevezetésére szolgál, ami nem középszintű anyag.

62 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 6 Mintapélda Az ábrán látható korfa a magyar népesség eloszlását mutatja 999-ben. Kék színnel a férfiakat, pirossal pedig a nőket jelöltük. a) Állapítsuk meg annak valószínűségét, hogy ha valaki 999-ben véletlenszerűen találkozott valakivel, akkor az nő volt. (A népesség Magyarországon ebben az évben fő, a nők száma kb volt). b) Állapítsuk meg annak valószínűségét, hogy ha valaki abban az évben találkozott valakivel, akkor az 5 és 9 éves kor között volt a) Az első valószínűség 0, b) Annak valószínűségéhez, hogy 5 és 9 év közöttivel találkozunk, meg kell állapítanunk a számukat: ennyi idős férfi körülbelül volt, nő pedig ennél egy kicsit kevesebb, mondjuk Tehát a korosztály létszáma Annak valószínűsége tehát, hogy ennyi időssel találkozunk 0, Vizsgáljuk meg annak valószínűségét is, hogy ha valaki 999-ben találkozott Magyarországon egy nővel, akkor az 5 és 9 év közötti volt! Azt kell megállapítanunk, hogy a nők hányad része esik ebbe a korba: 0, Állapítsuk meg azt is, mi a valószínűsége annak, hogy valaki egy 5 és 9 év közötti nővel találkozott! Van-e egyáltalán különbség az előbbi kérdéshez képest? Hát persze, hiszen itt a teljes lakosságból kell vizsgálni az ilyen idős nők arányát. A keresett valószínűség tehát , 03. Állapítsuk meg, milyen összefüggés van a négy adat között! Legyen A esemény, hogy 5 és 9 éves kor közöttivel találkozunk. P ( A) 0, 068 B esemény, hogy nővel találkozunk P ( B) 0, 5

63 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 63 AB esemény, hogy ilyen fiatal nővel találkozunk P ( AB) 0, 03 A B esemény, hogy ha nővel találkozunk, az 5 és 9 év közötti ( A B) 0, 065 P. Észrevehető, és szemléletünkből is következik, hogy P P ( A B) = P ( AB) ( B) P ( B A)? annak a valószínűségét jelenti, hogy ha 5 és 9 éves közötti emberrel találkozunk, az nő lesz. Ellenőrizzük a kapott képletünket! P B A = Az ismert adatokkal ( ) 0, 9 ( B A), képletünket használva pedig P P = ( AB) = = ( A) P A P(A B) kifejezést feltételes valószínűségnek nevezzük. Azt mutatja meg, hogy milyen valószínűséggel teljesül az A esemény, ha tudjuk, hogy a B esemény bekövetkezett. Feladatok. A Budapesti Nemzetközi Vásár forgatagában a látogatók 70%-a tért be a C pavilonba, és ott minden 8. ember alávetette magát egy speciális hátmasszázsnak. Mi a valószínűsége annak, hogy a látogatók közül egy embert megkérdező riporter olyannal találkozik, aki részesült a masszázsban? Legyen az A esemény, hogy gyógymasszázsban részesült egy látogató, a B pedig az, hogy betért a C pavilonba. Amit most ismerünk, az a P ( A B) =, valamint a 8 P ( B) = 0, 7 valószínűség. A ( A B) ( AB) ( B) P P = képletet átrendezve megkapjuk, hogy an- P nak valószínűsége, hogy valaki masszázsban vett részt (amire csak a C pavilonban volt

64 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 6 P AB = 8 mód) ( ) 0,7 0, 0875 emberre bukkanni. =, azaz kevesebb, mint 9% esélye van a riporternek ilyen 5. Az alábbi táblázat 003-ban készült és előre jelezték az ország demográfiai helyzetét 007-re. (Fogadjuk el, hogy ez most az ország valós helyzetét mutatja.) Országos népesség-előreszámítás, Alapváltozat 007. I.. Korcsoport (jan..) Férfi Nő Együtt Ennyi nő jut 000 férfira Összesen Forrás: KSH Népességtudományi Kutató Intézet Előreszámítási adatbázis, 003. a) Mi a valószínűsége annak, hogy ha nővel találkozol, az fiatalabb lesz 0 évesnél? b) Mi a valószínűsége annak, hogy ha 0 évesnél fiatalabbal találkozol, az nő lesz? c) Mi a valószínűsége annak, hogy ha 0 ember véletlenszerűen összejön, közülük pontosan 7 lesz 30 éven aluli? a) = 0,

65 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató b) 0, c) P(30-on aluli) = = 0, P ( k = 7) = 0,358 0,6 0, Az alábbi táblázat azt mutatja, hogy 70 totó eredményei hogy alakultak 998-tól 006 végéig összesen -es es X a) Mi a relatív gyakorisága annak, hogy egy mérkőzés kimenetele x (döntetlen legyen? b) Mi a relatív gyakorisága annak, hogy egy mérkőzés kimenetele legyen, vagyis a hazai csapat nyerjen? Hányszor akkora ez a gyakoriság, mint az X-es mérkőzéseké? c) Ha valaki minden mérkőzésre X-et tippel, milyen valószínűséggel találja el a végeredményt? d) És ha minden mérkőzésre a tippje -es? Hányszor akkora ez a valószínűség, mint az előző végeredmény? a) A táblázat összesen = 6580 mérkőzés adatait tartalmazza. Az x 87 (döntetlen) végeredmény relatív gyakorisága tehát 0, 76. Ekkora adatsokaságnál ezt az értéket már akár valószínűségnek is nevezhetjük b) Az -es végeredmény relatív gyakorisága tehát 0,. Ez a relatív gyakoriság =, 6 -szer akkora, mint az előző gyakoriság

66 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató c) Az X-es mérkőzések relatív gyakorisága, tehát annak valószínűsége, hogy minden mérkőzés döntetlen eredménnyel záruljon, 87, d) Annak valószínűsége, hogy minden mérkőzésen a hazai csapat győzzön: 5, 0. Ez is roppant kicsi, bár 777-szer akkora, mint az előző való színűség.

67 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 67 Vegyes feladatok Az alább következő példa alkalmas az ismétléses kombináció megtanítására. Ennek ismerete nem követelmény sem a középszintű, sem az emeltszintű érettségin. 7. Az áruházban 0 doboz literes gyümölcslevet akarunk vásárolni, esetleg különbözőket. Négyfélét lehet vásárolni: alma-, narancs-, őszibarack- és szőlőlé van a polcokon. Hányféleképpen választhatunk? Képzeljük el, hogy bevásároltunk, és lerakjuk egymás mellé mind a 0 dobozt olyan sorrendben, hogy először az almalevek, majd a narancslevek, a baracklevek és végül a szőlőlevek dobozai sorakoznak. A különböző fajták határánál papír elválasztókat helyezünk el, például így: Ez azt jelenti, hogy doboz alma, 3 doboz narancs, doboz barack és doboz szőlőlevet vásároltunk. Megtehetjük, hogy nem veszünk alma és baracklevet, ezt így jelezzük: Ebben az esetben 0 doboz almalevet, doboz narancslevet, 0 doboz baracklevet és 6 doboz szőlőlevet vásároltunk. A papír elválasztók száma - = 3, négy különböző részre osztáshoz 3 elválasztóra van szükségünk. A papír elválasztót P-vel, a dobozt D-vel jelölve, a fenti két elrendezést a következő kódsorral tudjuk jelezni: DPDDDPDDDDPDD PDDDDPPDDDDDD Minden ilyen kódsor egy-egy lehetséges bevásárlást jelez, így ha megszámoljuk, hányféleképpen tudjuk sorba rendezni a 3 darab P és 0 darab D betűt (az ismétléses permutáció képletét használva) a következőt kapjuk: ( 0 + ( ) ) 0! 3!! 3! 3 = = = 86. 0! 3! 3

68 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 68 Ha n különböző fajta dologból k darabot kell kiválasztani úgy, hogy a sorrend nem számít, de egyfajta elemet többször is kiválaszthatunk, ismétléses kombinációról beszélünk. Ezek száma a kombináció említett szimbólumát használva n + k. k Itt nem követelmény, hogy n k legyen, mert nem n számú, hanem n-féle elemünk van. Ha a szimbólumot használjuk, mivel most n = féle különböző dologból kellett k = 0 darabot kiválasztani: = = = = 86. n + ( k ) ! k 0 0 0! 3! 8. A dodekaéder alakú dobókockán a számok --ig szerepelnek. a) Mi a valószínűsége annak, hogy páros számot dobunk? b) Mi a valószínűsége annak, hogy prímszámot dobunk? c) Ha két ilyen dodekaéderrel dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege prím lesz? d) Ha két ilyen testtel dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok öszszege páros lesz? 6 a) = ; 5 b) 0, ; 5 7 c) = 0, 35 ; 8 7 d) =. 9. Az ikozaéder alakú dobókockán a számok -0-ig szerepelnek. a) Mi a valószínűsége annak, hogy páros számot dobunk? b) Mi a valószínűsége annak, hogy prímszámot dobunk?

69 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 69 a) 0 8 = ; b) = 0,. 0 0 Az alábbi feladat a. mintapélda folytatása, ez után érdemes megcsináltatni ügyesebb csoportokban. 50. Egy szerelmes programozó Valentin napjára megváltoztatta a játék programját úgy, hogy a szív előfordulási esélye minden oszlopban kétszer akkora legyen, mint a holdé vagy a mosolygó arcé. Hogyan változtat ez a nyerési esélyeken? Akkor tudunk olyan elemi eseményeket előállítani, melyeknek előfordulási valószínűsége egyenlő, ha két (különböző) szívet szerepeltetünk hold és arc mellett, vagyis jelet kell a 3 helyre tennünk. A kedvező és az összes esetek számát ezzel számolva kaphatjuk meg az új nyerési esélyt. Az összes esetek száma, így 3 = 6 lesz. A kedvező esetek száma ismét két részből áll: I. csupa egyforma:,,,,,,,,, ; a csupa szív esetből 3 = 8 van, mert most szívet tehetünk a 3 hely bármelyikére. II. csupa különböző jelből most 3 = van, hiszen figurából csak 3 helyre választhatunk. A nyerési esély most tehát kedvező esetek száma összes esetek száma 0 + = = 6 Valentin napján tehát hosszú távon egy kicsit nekünk nyereséges a játék. 7 3 >. 5. Egy történelem versenyen minden feladatban - eseményt kell időrendi sorrendbe állítani. Az kap pontot, aki az. eseményt eltalálja, pontot, aki az első eseményt eltalálja, 3 pontot, aki az első három, pontot, aki mind a eseményt helyes sorrendbe rakja. a) Mi a valószínűsége annak, hogy valaki tippelgetéssel 0,,, 3, illetve pontot szerezzen? b) A versenyben olyan feladatsort állítottak össze, amelyikben a fenti feladattípusból 5 szerepel. Mi a valószínűsége annak, hogy valaki történelmi ismeretek nélkül 8 pontot szerezzen?

70 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 70 Egy feladatot! = féleképpen lehet kitölteni. Ez az összes kitöltési lehetőségek száma. a) 0 pontot az kap, aki az első eseményt nem találja el (a többi már mindegy). Ez a kedve- 8 3 ző lehetőség 3 3 = 8 féleképpen lehetséges, tehát a valószínűség =. pontot az kap, aki az első eseményt eltalálja, de a másodikat nem, a harmadik és negyedik kérdésre bárhogy válaszolhat. Kedvező lehetőség: =, tehát a valószí- nűség =. 6 pontot az kap, aki az első két eseményt eltalálja, de a harmadikat nem, tehát a valószí- nűség =. 3 pontot az kap, aki az első három sorrendjét eltalálja, de a negyediket nem, ez azonban lehetetlen, így a valószínűsége 0. pontot az kap aki mind a négy esemény helyes sorrendben írja fel, így ennek valószínűsége. Itt jó ellenőrzési lehetőség, hogy a kapott valószínűségek összege. b) A maximális elérhető pontszám 0 lenne, így pontot veszíthet. 8 = + azaz tökéletes feladata van és valamelyiknél pontot szerzett. Fenti pontozással ez másképpen nem állítható elő. (Mivel 3 pontot szerezni lehetetlen, így ezt egyetlen feladatban vesztette el.) Annak valószínűsége, hogy valamelyik feladatban pontot ért el. An- nak valószínűsége, hogy az összes többi feladatban pontot ér el feladat az 5 közül bármelyik lehet, így a keresett valószínűség:. De a rontott = 5 6, 8 0. A következő feladat a -es és 3-as mintapélda között adható fel strapabíróbb csoportoknak. 5. Mi a valószínűsége annak, hogy Marci legalább kettesre megírja a témazárót, azaz a tesztkérdésből legalább -re helyesen válaszolt az A, B és C lehetőségek közül?

71 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 7 Annak valószínűségét kell kiszámítani, hogy legalább kérdésre helyesen válaszolt. Ez azon valószínűségek összege, hogy pontosan, 5,, kérdésre adott helyes választ. Helyette egyszerűbb annak valószínűségét kiszámítani, hogy nem sikerült a dolgozata, azaz 0,, vagy 3 kérdésre válaszolt csak helyesen. Annak valószínűsége, hogy 0 kérdésre válaszolt helyesen Annak valószínűsége, hogy kérdésre válaszolt helyesen Annak valószínűsége, hogy kérdésre válaszolt helyesen Annak valószínűsége, hogy 3 kérdésre válaszolt helyesen 3 3 Tehát a sikertelen dolgozat valószínűsége ezek összege, azaz = ( ) = 08 0, A sikeres dolgozat valószínűsége, azaz a komplementer esemény valószínűsége 0,6, ami elég nagy, de biztosra azért nem mehet Elhatározzuk, hogy a ruletten kétszer egymás után a feketére teszünk. Az első játékot zsetonnal játsszuk. Azt is elhatározzuk, hogy ha első pörgetésnél nyerünk, a második pörgetéskor már a nyereséget is feltesszük, tehát zsetonnal fogadunk, ha pedig veszítünk, akkor ismét zsetonnal játszunk. Számítsd ki, mekkora a nyereség várható értéke? A : Ha mindkétszer veszítünk, a nyereségünk - zseton A : Ha először vesztünk, majd nyerünk, a nyereség 0 zseton A 3 :, Ha először nyerünk, majd vesztünk, a nyereség - zseton p p p 9 = = = A : Ha mindkétszer nyerünk, a nyereség 3 zseton p 8 = 37

72 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 7 A nyereség várható értéke tehát 0, Az ábra egy 30 cm átmérőjű céltáblát mutat. A két kisebb kör átmérője 0 illetve 0 cm. Tudjuk, hogy a céltáblára lövők 95%-a eltalálja a legnagyobb kört. Azt is tudjuk, hogy azok közül, akik eltalálják a legnagyobb kört, 80% eltalálja a legkisebbet is. Mi a valószínűsége annak, hogy valaki beletalál a legkisebb körbe? Figyelem! A feladat megoldása nem a geometriai valószínűség módszerével oldható meg, ugyanis az egyes pontok valószínűsége nem egyenlő! Ismerjük most a ( A B) = 0, 8 P ( AB) = 0,95 0,8 = 0, 76 P valószínűséget, valamint ( B) = 0, 95 P értékét. Így

73 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 73 Kislexikon Permutáció: n különböző elem egyik lehetséges sorrendje. n elem összes permutációinak száma:! n, ahol! = n ( n )... n. Ismétléses permutáció: n elem egyik lehetséges sorrendje, ha az n elem nem mind különböző, hanem van köztük k, k,, k m azonos ( k k k n) +. Ezek száma: m n! k! k!... k m.! Ciklikus permutáció: n különböző elemet úgy rendezünk sorba, hogy nincs első és utolsó elem. Két permutáció akkor számít különbözőnek, ha van olyan tagja a permutációnak, melynek jobb vagy bal oldali szomszédja nem azonos. n elem ciklikus permutációinak száma ( n )! Kombináció: n különböző elemből k darabot kell kiválasztani úgy, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít (k n). A lehetséges kiválasztások száma, melyet egy szimbó- n! k! ( n k)! lummal is jelölünk: n! k! = ( n k)! k n (olvasd: n alatt a k). Variáció: n különböző elemből k darabot akarunk kiválasztani ( k n ), de a kiválasztás sorrendje is számít. A variációk száma:. ( n k n! )! Ismétléses variáció: n különböző elemből k darabot akarunk kiválasztani, majd ezeket sorba rendezni, de egy elemet akár többször is választhatunk. Az ismétléses variációk száma: k n. Esemény: a valószínűségszámításban a kísérletek egy lehetséges kimenetele. Elemi események: melyek nem bonthatók további esetekre.

74 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 7 Valószínűség: Egy A esemény valószínűsége az a szám, amely körül az esemény relatív gyakorisága ingadozik. jelölése: P(A). Ha az elemi események valószínűsége egyenlő és teljes eseményteret (esemény-rendszert) alkotnak, használhatjuk Laplace képletét a valószínűség kiszámítására: P ( A ) = kedvező esetek száma összes eset A+B esemény: az az esemény, amely akkor teljesül, ha az A vagy a B esemény közül legalább az egyik teljesül. A B esemény: az az esemény, amely akkor teljesül, ha mind az A, mind a B esemény teljesül. Az A + B esemény valószínűsége: a két esemény valószínűségének összegéből levonjuk az együttes bekövetkezés valószínűségét, azaz ( A + B) = P( A) + P( B) P( A B) P. Teljes eseményrendszer: Adott kísérlet kimeneteleit vizsgálva az A, A,...Ak események teljes eseményrendszert alkotnak, ha közülük két esemény egyszerre soha nem következhet be, vagyis a két eseményének együttes bekövetkezésének valószínűsége 0, és nincs a kísérletnek olyan kimenetele, amely nem tartozik valamely eseményhez. A teljes eseményrendszer eseményeihez tartozó valószínűségeket összeadva -et kapunk. P A i Aj =, ha Ai és Röviden jelölve: ( ) 0 ( A ) P( A ) P( A ) + k = P. Aj tagjai az eseményrendszernek, és Várható érték: Legyen egy kísérlet összes lehetséges kimenetele az A,A,...,An esemény (teljes eseményrendszer). Ha az A i esemény bekövetkezésének valószínűsége p i, akkor a kísérlet várható értéke a p i A i szorzatok összege: E ( A) p A + p A p n An =

75 . modul: Kombinatorika, valószínűségszámítás Tanári útmutató 75 Binomiális eloszlás: Ha egy esemény bekövetkeztének valószínűsége p, akkor annak valószínűsége, hogy n független kísérletből ez az esemény pontosan k-szor következik be: n p k k n k ( p). Kiegészítő anyag: Feltételes valószínűség: Azt mutatja meg, hogy milyen valószínűséggel teljesül az A esemény, ha tudjuk, hogy a B esemény bekövetkezett. Jelölése: P ( A B). Ismétléses kombináció: n különböző fajta dologból k darabot kell kiválasztani úgy, hogy a sorrend nem számít, és egyfajta elemet többször is kiválaszthatunk. Az ismétléses kombinációk száma:. n + k k