Matematika emelt szintû érettségi témakörök Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Átírás

1 Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 07 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Mozik Kidó Szeged, 07

2 Tudnivlók vizsgázók számár A szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött feldt megoldását várják el vizsgázóktól. A tétel címéen megjelölt témát logikusn, rányosn felépített, szd elõdásn, önállón kell kifejtenie. A vizsgizottság tgji kkor kérdezhetnek köze, h teljesen helytelenül indult el, vgy nyilvánvló, hogy elkdt. Ehhez felkészülési idõ ltt célszerû vázltot készítenie. Een tervezze meg címen megjelölt témkör(ök)höz trtozó ismeretnyg rövid áttekintését, dolgozz ki zokt részeket, melyeket részletesen kifejt, oldj meg feldtot. Vázltát felelete közen hsználhtj. A feleleten feltétlenül szerepelniük kell z lái részleteknek: egy, témához trtozó, vizsgázó válsztás szerinti definíció pontos kimondás; egy, témához trtozó, vizsgázó válsztás szerinti tétel pontos kimondás és izonyítás; kitûzött feldt megoldás; tém mtemtikán elüli vgy zon kívüli lklmzás, illetve mtemtiktörténeti vontkozás (tö ismertetése vgy egy részletese emuttás) H tételhez trtozó kitûzött feldt izonyítást igényel, kkor ennek megoldás nem helyettesíti témkörhöz trtozó tétel kimondását és izonyítását. Hsználhtó segédeszközök: tételcímekkel együtt nyilvánosságr hozott képlettár ( vizsgizottság iztosítj), szöveges dtok tárolásár és megjelenítésére nem lklms zseszámológép, körzõ, vonlzóés szögmérõ. A tétellpr rjzolni és írni nem szd! Értékelés A szóeli vizsgán elérhetõ pontszám 35. Az értékelés központi értékelési útmuttó lpján történik. Az értékelési szempontok: A felelet trtlmi összetétele, felépítésének szerkezete 0 pont Logikus felépítés, szerkesztettség, trtlmi gzdgság 6 pont Een pontn kell értékelni feleleten szereplõ, témához illõ definícióknk, kimondott tételnek és izonyításánk nehézségét is. A felelet mtemtiki trtlmi helyessége 4 pont A feleleten szereplõ, témához illõ definíció helyes kimondás pont H tö definíciót is elmond, kkor definíciór dhtó ponttl legjot kell értékelni. A feleleten szereplõ, témához illõ tétel helyes kimondás és izonyítás 6 pont A tétel helyes kimondás pont A tétel helyes izonyítás 4 pont A kitûzött feldt helyes megoldás 8 pont H felelõ feldtot csk vizsgázttó segítségével tudj elkezdeni, kkor mimum 5 pont dhtó. Alklmzások ismertetése 4 pont Egy, tételhez illõ lklmzás vgy mtemtiktörténeti vontkozás részletes kifejtése, vgy 3-4 lényegesen eltérõ lklmzás vgy mtemtiktörténeti vontkozás rövid ismertetése. Mtemtiki nyelvhsznált, kommunikációs készség 5 pont Mtemtiki nyelvhsznált pont Önálló, folymtos elõdásmód pont Kommunikáció pont Ez utói pont kkor is jár, h vizsgázó önálló felelete után nem volt szükség kérdésre. Felhívjuk figyelmet, hogy zoknál témköröknél, hol címen fogllt tém kifejtésének egyik legfontos része lklmzások ismertetése, ott mtemtikán kívüli lklmzások felsorolását helyettesítheti egy mtemtikán elüli lklmzás részletes ismertetése.

3 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Mtemtik emelt szintû szóeli vizsg témkörei (tételek) 07.. Hlmzok, hlmzmûveletek. Nevezetes ponthlmzok síkn és téren Rcionális és irrcionális számok. Mûveletek rcionális és irrcionális számok hlmzán. Közönséges és tizedes törtek. Hlmzok számosság Oszthtóság, oszthtósági szályok és tételek. Prímszámok. Számrendszerek A mtemtiki logik elemei. Logiki mûveletek. Állítás és megfordítás, szükséges és elégséges feltételek, emuttásuk tételek megfoglmzásán és izonyításán Htványozás, htványfoglom kiterjesztése, htványozás zonossági. Az n-edik gyök foglm. A négyzetgyök zonossági. Htványfüggvények és négyzetgyökfüggvény A logritmus foglm és zonossági. Az eponenciális és logritmusfüggvény Egyenletmegoldási módszerek, ekvivlenci, gyökvesztés, hmis gyök. Másodfokú és másodfokúr visszvezethetõ egyenletek A leíró sttisztik jellemzõi, digrmok. Nevezetes közepek Számsoroztok és tuljdonságik (korlátosság, monotonitás, konvergenci). Mûveletek konvergens soroztokkl. A számtni sorozt, z elsõ n tg összege Mértni sorozt, z elsõ n tg összege, végtelen mértni sor. Kmtszámítás, gyûjtõjárdék, törlesztõrészlet. Eponenciális folymtok társdlomn és természeten Függvények lokális és gloális tuljdonsági. A differenciálszámítás és lklmzási Derékszögû háromszögekre vontkozó tételek. A hegyesszögek szögfüggvényei. A szögfüggvények áltlánosítás Háromszögek nevezetes vonli, pontji és körei Összefüggések z áltlános háromszögek oldli között, szögei között, oldli és szögei között Egyevágóság és hsonlóság. A hsonlóság lklmzási geometrii tételek izonyításán A kör és részei. Kerületi szög, középponti szög, látószög. Húrnégyszögek, érintõnégyszögek Vektorok, vektormûveletek. Vektorfelontási tétel. Vektorok koordinátái. Skláris szorzt Szkszok és egyenesek koordinátsíkon. Párhuzmos és merõleges egyenesek. Elsõfokú egyenlõtlenségek, egyenletrendszerek grfikus megoldás A kör és prol koordinátsíkon. Kör és egyenes, prol és egyenes kölcsönös helyzete. Másodfokú egyenlõtlenségek grfikus megoldás Térelemek távolság és szöge. Téreli lkztok. Felszín- és térfogtszámítás A terület foglm. Területszámítás elemi úton és z integrálszámítás felhsználásávl Kominációk. Binomiális tétel, Pscl háromszög. A vlószínûség kiszámításánk komintorikus modellje. A hipergeometrikus eloszlás Permutációk, vriációk. A inomiális eloszlás. A vlószínûség kiszámításánk geometrii modellje Bizonyítási módszerek és emuttásuk tételek izonyításán Mtemtiktörténeti források: Sin Márton: Mtemtiktörténeti ABC Sin Márton: Nincs királyi út 3

4 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07. Hlmzok, hlmzmûveletek. Nevezetes ponthlmzok síkn és téren. Vázlt: I. Hlmzok, részhlmzok n elemû hlmz részhlmzink szám II. Hlmzmûveletek (komplementer, unió, metszet, különség, Descrtes-szorzt), mûveletek tuljdonsági III. Nevezetes ponthlmzok: kör (göm), párhuzmos egyenespár (hengerfelület), szkszfelezõ merõleges egyenes (sík), középpárhuzmos, szögfelezõ, prol IV. Egyé ponthlmzok: ellipszis, hiperol, 3 ponttól, illetve 3 egyenestõl egyenlõ távolágr lévõ pontok, látókörív V. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Hlmzok, részhlmzok A hlmz és hlmz eleme lpfoglom, ezeket kifejezéseket nem definiáljuk. De hlmz megdásánk szigorú követelménye vn: egy hlmzt úgy kell megdnunk, hogy minden szó jöhetõ dologról egyértelmûen eldönthetõ legyen, hogy z dott hlmzhoz trtozik vgy sem. A hlmzokt nyomttott ngyetûvel, hlmz elemeit kisetûvel jelöljük következõ módon: A = {; ; c}, een z eseten ŒA, œa. Hlmz megdási módji: Elemeinek felsorolásávl: A = {0; ; 4; 6} Az elemeit egyértelmûen meghtározó utsítássl: B = {egyjegyû pártln számok} Szimólumokkl: A = {Ω = 0}, B = {Ω > 9} Venn-digrmml: A DEFINÍCIÓ: Két hlmz egyenlõ, h ugynzokt z elemeket trtlmzzák. DEFINÍCIÓ: Az elem nélküli hlmzt üres hlmznk nevezzük. Jele: { } vgy. DEFINÍCIÓ: Az A hlmz részhlmz B hlmznk, h A minden eleme B hlmznk is eleme. Jele: A Õ B. DEFINÍCIÓ: Az A hlmz vlódi részhlmz B hlmznk, h A részhlmz B-nek, de nem egyenlõ vele. Jele: A Ã B. 4

5 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Tuljdonságok: Az üres hlmz minden hlmznk részhlmz: Õ A. Minden hlmz önmg részhlmz: A Õ A. H A Õ B és B Õ A, kkor A = B. H A Õ B és B Õ C, kkor A Õ C. TÉTEL: Az n elemû hlmz összes részhlmzink szám: n (n ŒN). BIZONYÍTÁS I.: A izonyítást teljes indukcióvl végezzük, melynek lényege, hogy elõször elátjuk egy konkrét n esetére z állítást, mjd zt muttjuk meg, h z állítás igz egy tetszõleges n-re, kkor igz z õt követõ (n + )-re is, zz izonyítjuk z állítás öröklõdését. Az üres hlmznk egyetlen részhlmz vn: önmg ( 0 = ). Egy egyelemû hlmznk részhlmz vn: z üres hlmz és önmg ( = ). Egy kételemû hlmznk 4 részhlmz vn: z üres hlmz, egyelemû hlmz és önmg ( = 4). Tegyük fel, hogy egy k elemû hlmznk k d részhlmz vn. Bizonyítni kell, hogy ez öröklõdik, vgyis egy (k + ) elemû hlmznk k + d részhlmz vn. Tekintsük z elõi k elemû hlmzt. Ekkor h z eddigi elemek mellé egy (k + )-edik elemet teszünk hlmz, kkor ezzel megkétszerezzük lehetséges részhlmzok számát, hiszen z új elemet vgy kiválsztjuk z eddigi részhlmzok, vgy nem. Vgyis (k + ) elemû hlmz részhlmzink szám k = k +, mit izonyítni kívántunk. BIZONYÍTÁS II.: Az n elemû hlmznk n 0 d 0 elemû, n d elemû, n d elemû, n n d n - elemû, n n d n elemû részhlmz vn, mert n elemõl k d-ot kiválsztni n k -féleképpen lehet. Így z összes részhlmzok szám: n + n + n n + n 0 n n. n Vizsgáljuk meg -t: n n n 0 0 ( ) n n n n n n... n n = + = n n n, mi egyenlõ n + n + n n + n -nel inomiális tétel mitt. 0 n n II. Hlmzmûveletek DEFINÍCIÓ: Azt hlmzt, melynek vizsgált hlmzok részhlmzi, lphlmznk vgy univerzumnk nevezzük. Jele: U vgy H. DEFINÍCIÓ: Egy A hlmz komplementer hlmzánk z lphlmz zon elemeinek hlmzát nevezzük, melyek z A hlmznk nem elemei. Jele: A. (Fontos tuljdonság: A= A.) DEFINÍCIÓ: Két vgy tö hlmz uniój vgy egyesítése mindzon elemek hlmz, melyek leglá z egyik hlmznk elemei. Jele:». DEFINÍCIÓ: Két vgy tö hlmz metszete vgy közös része pontosn zoknk z elemeknek hlmz, melyek mindegyik hlmznk elemei. Jele: «. 5

6 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 DEFINÍCIÓ: Két hlmz diszjunkt, h nincs közös elemük, vgyis metszetük üres hlmz. A «B =. DEFINÍCIÓ: Az A és B hlmz különsége z A hlmz mindzon elemeinek hlmz, melyek B hlmznk nem elemei. Jele: A \ B. DEFINÍCIÓ: Az A és B hlmz Descrtes-féle szorzt z hlmz, melynek elemei z összes olyn rendezett (; ) pár, melynél ŒA és ŒB. Jele: A B. U A U U B U A A B A A B Komplementer hlmz Két hlmz uniój Két hlmz metszete U U A B A B Diszjunkt hlmzok A és B hlmz A \ B különsége Hlmzmûveletek tuljdonsági Kommuttív (felcserélhetõ) Asszocitív (csoportosíthtó) Disztriutív (széttgolhtó) A» B = B» A A «B = B «A (A» B)» C = A» (B» C) (A «B) «C = A «(B «C) A» (B «C) = (A» B) «(A» C) A «(B» C) = (A «B)» (A «C) De-Morgn zonosságok A B= A B és A B= A B Továi zonosságok A» = A A» A = A A» A = U A» U = U A= A A «= A «A = A A «A = A «U = A III. Nevezetes ponthlmzok síkn és téren DEFINÍCIÓ: Azoknk pontoknk hlmz síkon, melyek sík egy dott O pontjától dott r távolságr vnnk, egy O középpontú, r sugrú kör. DEFINÍCIÓ: Azoknk pontoknk hlmz téren, melyek tér dott O pontjától dott r távolságr vnnk, egy O középpontú, r sugrú göm. DEFINÍCIÓ: Adott egyenestõl dott távolságr lévõ pontok hlmz síkon z egyenessel párhuzmos egyenespár. DEFINÍCIÓ: Adott egyenestõl dott távolságr lévõ pontok hlmz téren olyn hengerfelület, melynek tengelye z dott egyenes. 6

7 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 DEFINÍCIÓ: Két ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkn szksz felezõ-merõleges egyenese. P A F B Q DEFINÍCIÓ: Két ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz téren szksz felezõmerõleges síkj. A F B DEFINÍCIÓ: Két párhuzmos egyenestõl egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkn olyn egyenes, mely két dott egyenessel párhuzmos és távolságukt felezi (középpárhuzmos). DEFINÍCIÓ: Két metszõ egyenestõl egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz z áltluk ezárt szögek szögfelezõ egyenesei. Két ilyen egyenes vn, ezek merõlegesek egymásr. e f DEFINÍCIÓ: Egy egyenestõl és egy rjt kívül lévõ ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkon: prol. Az dott pont prol fókuszpontj, z dott egyenes prol vezéregyenese (direktrie), pont és z egyenes távolság prol prmétere. t P d p F T IV. Egyé ponthlmzok DEFINÍCIÓ: Azoknk pontoknk hlmz síkon, melyeknek sík két különözõ dott pontjától mért távolságösszege z dott pontok távolságánál ngyo állndó: ellipszis. A két dott pont (F és F ) z ellipszis fókuszpontji. Az dott távolság z ellipszis ngyten- 7

8 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 gelye, z F F szksz felezõmerõlegesének z ellipszis trtományá esõ szksz z ellipszis kistengelye. DEFINÍCIÓ: Azoknk pontoknk hlmz síkon, melyeknek sík két különözõ dott pontjától mért távolságkülönségének szolút értéke két dott pont távolságánál kise állndó: hiperol. A két dott pont (F és F ) hiperol fókuszpontji, z dott távolság hiperol fõtengelye. TÉTEL: Három dott ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkon egy pont (h 3 pont nem esik egy egyenesre), vgy üres hlmz (h 3 pont egy egyenesre esik). C K A B C A B TÉTEL: A háromszög három oldlfelezõ merõlegese egy pontn metszi egymást. BIZONYÍTÁS: Tekintsük z ABC háromszög AB és BC oldlánk oldlfelezõ merõlegesét. Ezek z egyenesek metszik egymást, mert háromszög oldli nem lehetnek párhuzmosk egymássl. Jelöljük két oldlfelezõ merõleges metszéspontját M-mel. Ekkor M pont egyenlõ távolságr vn A és B csúcsoktól (mert M illeszkedik AB szkszfelezõ merõlegesére), illetve B és C csúcsoktól (mert M illeszkedik BC szkszfelezõ merõlegesére). Eõl következik, hogy M egyenlõ távolságr vn A és C csúcsoktól, tehát M-n áthld AC oldlfelezõ merõlegese. Tehát három oldlfelezõ merõleges egy pontn metszi egymást. C M f BC A f AB B TÉTEL: A háromszög oldlfelezõ merõlegeseinek metszéspontj háromszög köré írt kör középpontj. BIZONYÍTÁS: Az elõi izonyítás szerint M egyenlõ távolságr vn A-tól, B-tõl és C-tõl. Legyen ez távolság MA = MB = MC = r. Ekkor A, B és C pontok r távolságr vnnk M-tõl, zz illeszkednek egy M középpontú, r sugrú körre. A háromszög köré írt kör középpontj hegyesszögû háromszög esetén háromszögön elül, derékszögû háromszög esetén z átfogó felezõpontjá, tompszögû háromszög esetén háromszögön kívülre esik. 8

9 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 O O O TÉTEL: Három dott ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz téren egy olyn egyenes, mely áthld három pont, mint háromszög köré írhtó kör középpontján, és merõleges 3 pont síkjár (h 3 pont nem esik egy egyenese), vgy üres hlmz (h 3 pont egy egyenese esik). TÉTEL: Három egyenestõl egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkon: H 3 egyenes párhuzmos, kkor üres hlmz. H egyenes párhuzmos (e ª f), egy pedig metszi õket (g), kkor párhuzmos egyenes középpárhuzmosán két olyn pont, melyek illeszkednek két metszõ egyenes (pl. e és g) szögfelezõire. g e M M f H 3 egyenes 3 különözõ pontn metszi egymást, kkor szögfelezõ egyeneseik metszéspontji. 4 ilyen pont vn, z egyik háromszög eírt körének, 3 pedig háromszög hozzáírt köreinek középpontj. O O O O 3 H 3 egyenes egy pontn metszi egymást, kkor egyetlen pont, 3 egyenes metszéspontj. f g M e 9

10 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 DEFINÍCIÓ: Azoknk pontoknk hlmz síkon, melyekõl egy dott szksz dott szögen (0º < < 80º) látszik két, szksz egyenesére szimmetrikusn elhelyezkedõ körív (látókörívek). O O A B A O B A B O O = 90º 0 < < 90º 90º< < 80º V. Alklmzások Biológián rendszertn, kémián periódusos rendszereli csoportosítás is hlmzelméleti foglmk. Mûveletek: melyik csoport melyiknek részhlmz? Vércsoport szerint z emerek különözõ hlmzok sorolhtók. Mûveletek: ki kinek dht vért? Európ országi hivtlos nyelvük lpján hlmzok sorolhtók. Mûveletek: melyik országn hivtlos nyelv z ngol vgy német? Az érettségin nem kötelezõ tárgyk válsztás szerint is hlmzok sorolhtók vizsgázók. Mûveletek: ki vizsgázik kémiáól és iológiáól is? A függvényekkel kpcsoltn is hsználjuk hlmzokt (értelmezési trtomány, értékkészlet). Egyenletek értelmezési trtományánk vizsgáltkor számhlmzok metszetét képezzük. Koordinát-geometrián kör, prol, z ellipszis és hiperol egyenletének felíráskor z dott göre definícióját hsználjuk fel. Látókörívek: egy tégllp egyik oldl szomszédos oldl mely pontjáól látszik legngyo szögen (színház, sportpály). Szerkesztési feldtokn: háromszög szerkesztése egy oldl, vele szemközti szög és z oldlhoz trtozó mgsság ismeretéen, vgy dott. egy pont és egy egyenes, szerkesszük meg z egyenest érintõ, ponton áthldó, dott sugrú köröket. Prolntennák. Két tny közös postládát kp z országút mentén. Hov helyezzék, hogy mindkét tnyától egyenlõ távolságr legyen? F B A P út 0

11 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Mtemtiktörténeti vontkozások: A hlmzok szemléltetésére elõször Euler ( ) német mtemtikus hsznált köröket. Az õ jelölésrendszerét finomított késõ Venn (834 93) ngol mtemtikus, ez jelölés terjedt el, mit Venn-digrmnk nevezünk. A hlmzelmélet megteremtése Cntor (845 98) német mtemtikushoz fûzõdik. Kortársi tösége nem értette meg végtelen hlmzok számosságávl kpcsoltos gondoltit: természetes számok hlmz vlódi részhlmz rcionális számok hlmzánk, számosságuk mégis egyenlõ. Meghtározás szerint két hlmz egyenlõ számosságú, h elemeik között kölcsönösen egyértelmû hozzárendelés létesíthetõ. Hozzá fûzõdik megszámlálhtó hlmzok foglm. A ról elnevezett Cntor-féle átlós eljárássl izonyított, hogy vlós számok nem megszámlálhtók.

12 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07. Rcionális és irrcionális számok. Mûveletek rcionális és irrcionális számok hlmzán. Közönséges és tizedes törtek. Hlmzok számosság. Vázlt: I. Számhlmzok: természetes, egész, rcionális, irrcionális, vlós számok, ezek zártság II. Mûveletek rcionális számok hlmzán III. Mûveletek z irrcionális számok hlmzán IV. Mûveleti tuljdonságok: kommuttivitás, sszocitivitás, disztriutivitás V. Közönséges és tizedes törtek VI. Hlmzok számosság: véges, végtelen (megszámlálhtón illetve nem megszámlálhtón végtelen) hlmzok VIII. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Számhlmzok DEFINÍCIÓ: A természetes számok hlmz (N) pozitív egész számokól és 0-ól áll. A természetes számok hlmz zárt z összedásr és szorzásr nézve, zz ármely két természetes szám összege és szorzt természetes szám. Ugynkkor kivonás és z osztás már nem végezhetõ el ezen hlmzon elül, ezek mûveletek kimuttnk hlmzól. Pl. 3 - = 5 egyenlet megoldás. DEFINÍCIÓ: Az egész számok hlmz (Z) természetes számokól és zok ellentettjeiõl áll. Az egész számok hlmz z összedáson és szorzáson kívül kivonásr nézve is zárt, ugynkkor z osztás kimuttht hlmzól. Pl. + 3 = 4 egyenlet megoldás. DEFINÍCIÓ: A rcionális számok hlmz (Q) zokól számokól áll, melyek felírhtók két egész szám hánydosként, zz lkn, hol, ŒZ, π 0. A rcionális számok hlmz mind 4 lpmûveletre zárt (osztásr, h z osztó nem 0), de itt is tlálunk olyn egyenletet, melynek nincs megoldás ezen hlmzon. Pl.: - 3 = 0. DEFINÍCIÓ: Azokt számokt, melyek nem írhtók fel két egész szám hánydosként, irrcionális számoknk (Q*) nevezzük. TÉTEL: irrcionális szám. BIZONYÍTÁS: A izonyítást indirekt módon végezzük, lényege, hogy izonyítndó állítás tgdásáról eizonyítjuk, hogy z hmis. Ez zt jelenti, hogy izonyítndó állítás igz. Tegyük fel hogy rcionális szám, zz felírhtó lkn, hol, ŒZ, π 0, (; ) =. Ekkor

13 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Az egyenlet jo oldlán szereplõ ( ) szám prímtényezõs felontásán mindenféleképpen páros kitevõn (kár nulldikon) szerepel, míg l oldlon levõ szám ( ) prímtényezõs felontásán kitevõje pártln (legkevese ). Ez zonn lehetetlen, hiszen számelmélet lptétele szerint egy pozitív egész számnk nincs két lényegesen különözõ felontás. Tehát nem igz z indirekt feltevésünk, vgyis igz z eredeti állítás: irrcionális. Az irrcionális számok hlmz nem zárt 4 lpmûveletre + ( ) = 0 Q *, ( ) = Q *, : = Q *. Az irrcionális számok tizedes tört lkj végtelen nem szkszos tizedes tört. DEFINÍCIÓ: A rcionális és z irrcionális számok hlmz diszjunkt hlmzok (Q «Q* = ), két hlmz egyesítése vlós számok hlmz: R = Q» Q*. A vlós számok hlmz zárt 4 lpmûveletre. A vlós számok és részhlmzi: Q R Q* 3 0 Z N N + 0, ,3 /3 p II. Mûveletek rcionális számok hlmzán Egy közönséges tört értéke nem, csk z lkj változik, h számlálóját és nevezõjét ugynzzl 0-tól különözõ számml szorozzuk (õvítés), vgy ugynzzl 0-tól különözõ számml osztjuk (egyszerûsítés). H rcionális számok közönséges tört lkúk, kkor következõ szályokkl lehet elvégezni z lpmûveleteket: Összedás és kivonás: Csk zonos nevezõjû törteket lehet összedni, kivonni, ezért törteket õvítjük egy közös töszörösû nevezõre (legjo, h legkise közös töszörösû nevezõre, mert így tudunk legkise számokkl számolni): ± c = d ± c = d± c, hol d, 0. d d d d H nevezõk ( és d) reltív prímek, kkor legkise közös töszörösük szorztuk. Szorzás: Törtet törttel úgy szorzunk, hogy számlálót számlálóvl, nevezõt nevezõvel szorozzuk: c = c, hol d, 0. d d Egész számml úgy szorzunk törtet, hogy törtként írjuk fel szorzót ( c = c ), vgyis igzáól számlálót megszorozzuk, nevezõt változtlnul hgyjuk. Osztás: Törtet törttel úgy osztunk, hogy változtln osztndót szorozzuk z osztó reciprokávl: : c = d = d, hol cd,, 0. d c c 3

14 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Egész számml úgy osztunk, hogy törtként írjuk fel z osztót ( c = c ), vgyis igzáól ne- vezõt megszorozzuk, számlálót változtlnul hgyjuk, vgy (egyszerûsíthetõ eseten) számlálót osztjuk, nevezõt változtlnul hgyjuk. III. Mûveletek z irrcionális számok hlmzán Az lpmûveletek definiálhtók z irrcionális számok köréen úgy, hogy z eddigi zonosságok életen mrdjnk. Mivel tizedestört lkjuk végtelen, nem periodikus, így zt csk közelítõen tudjuk megdni. Ezért pontos értékeket pl. htvány, gyök, logritmus lkn djuk meg, ilyenkor viszont megfelelõ mûveleti szályokkl dolgozunk. IV. Mûveleti tuljdonságok:,, c ŒR esetén. z összedás és szorzás kommuttív (felcserélhetõ) + = + és =. z összedás és szorzás sszocitív (csoportosíthtó) ( + ) + c = + ( + c) és ( ) c = ( c) 3. szorzás z összedásr nézve disztriutív (széttgolhtó) ( + ) c = c + c V. Közönséges és tizedes törtek A közönséges törtek formái lehetnek: Az közönséges tört, vgyis z hánydos következõ lkokn fordulht elõ (, ŒZ, π 0, és tört végsõkig leegyszerûsített, zz és legngyo közös osztój ): egész szám, h osztój -nk, véges tizedestört, h prímtényezõs felontásán és z 5 számokon kívül nincs más prímszám, végtelen szkszos tizedestört, h prímtényezõs felontásán és z 5 számokon kívül más prímszám is vn. Tehát rcionális számok következõ lkúk: közönséges törtek, egészek, véges vgy végtelen szkszos tizedestörtek. A tizedestörtek formái lehetnek: véges tizedestörtek, ezek felírhtók közönséges tört lkn. Pl.,3 = 3. 0 végtelen tizedestörtek: szkszos tizedestörtek, ezek felírhtók közönséges tört lkn. Pl. végtelen mértni sor összegeként, vgy következõ módszerrel: 00, = , = 00. A két egyenletet kivonv egymásól 33, 33, = 99 = = nem szkszos tizedestörtek nem írhtók át közönséges tört lk. 4

15 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Összefogllv: A közönséges törtek mind felírhtók tizedestört lkn (egész, véges, végtelen szkszos tört lkn). A nem szkszos tizedestörtek mind irrcionális számok, tehát nem írhtók fel két egész szám hánydosként, tehát nem közönséges törtek. Eõl következik, hogy nem minden tizedestört közönséges tört. VI. Hlmzok számosság DEFINÍCIÓ: Egy A hlmz számosság z A hlmz elemeinek számát jelenti. Jele: ΩAΩ. Egy hlmz számosság lehet véges vgy végtelen. DEFINÍCIÓ: Egy hlmz véges hlmz, h elemeinek számát egy természetes számml megdhtjuk. Ellenkezõ eseten, zz h hlmz elemeinek számát nem dhtjuk meg természetes számml, kkor végtelen hlmzról eszélünk. DEFINÍCIÓ: A végtelen hlmzok között tlálhtunk olyt, melynek elemei sor rendezhetõk, tehát megdhtó z.,., 3., 4., eleme. A pozitív természetes számokkl megegyezõ számosságú hlmzokt megszámlálhtón végtelen hlmzoknk nevezzük. A megszámlálhtóság és sor rendezhetõség egy végtelen hlmznál ugynzt jelenti. Minden olyn hlmz megszámlálhtón végtelen számosságú, melynek elemei és természetes számok között kölcsönösen egyértelmû megfeleltetés létesíthetõ. Megszámlálhtón végtelen számosságúk: egész számok, páros számok, négyzetszámok, rcionális számok. DEFINÍCIÓ: A vlós számok számosságávl megegyezõ számosságú hlmzokt nem megszámlálhtón végtelen vgy kontinuum számosságú hlmzoknk nevezzük. Pl.: irrcionális számok hlmz, számegyenes pontjink hlmz, intervllum pontjink hlmz. TÉTEL: Számosság és hlmzmûveletek kpcsolt (logiki szit): A, B és C véges hlmzok számosságár érvényesek következõk: ΩA» BΩ = ΩAΩ + ΩBΩ - ΩA «BΩ Ω A BΩ = ΩUΩ - ΩA» BΩ ΩA» B» CΩ = ΩAΩ + ΩBΩ + ΩCΩ - ΩA «BΩ - ΩA «CΩ - ΩB «CΩ + ΩA «B «CΩ VII. Alklmzások: Rcionális számok: rányok, rányosság, hsonlóság Irrcionális számok: szályos háromszög mgsság 3 kerülete (rp), területe (r p). Kifejezések legõve értelmezési trtományánk meghtározás, pl. Függvény értékkészletének megállpítás, négyzet átlój ( ) + +. Mtemtiktörténeti vontkozások: Az elsõ számírások nem mi írásjelekkel, hnem szimólumokkl, jelekkel (pl. ékírás, rómi számok) történtek. A mi számírást XI. százdn z r l-hvárizmi mtemtikus írt le elõször. Európá Fioncci olsz mtemtikus. százdn hozt e, de csk XV-XVI. százdn terjedt el. Fioncci nem csk 0 számjegyet, hnem helyiértékes számírást is elhozt Európá. Vn tíz hindu jel: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,, 0. Ezen jelek segítségével ármilyen számot fel lehet írni, mit csk krunk., kör 5

16 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 A zérust jelentõ szó elõször 00 körül jelent meg hinduknál. Az irrcionális számokt már Pitgorsz (Kr.e. 450 körül) is ismerte, ekkor hinduk már ismerték négyzet oldlánk és átlójánk viszonyát. A negtív számok viszonylg késõn jelentek meg: z egyenletek megoldáskor kptk olyn számokt, miket elõször nem tudtk értelmezni. Crdno (50 576) olsz mtemtikus fiktív számoknk nevezte õket, Viète ( ) frnci mtemtikus elvetette létezésüket. Descrtes frnci mtemtikus 637-en már minden elõítélet nélkül hsznált z áltl hmis számoknk nevezett negtív számokt. Guss ( ) német mtemtikus részletesen tárgylt komple számok lgeráját és ritmetikáját, hol = i. A hlmzelmélet megteremtése Cntor (845 98) német mtemtikushoz fûzõdik. Kortársi tösége nem értette meg végtelen hlmzok számosságávl kpcsoltos gondoltit: természetes számok hlmz vlódi részhlmz rcionális számok hlmzánk, számosságuk mégis egyenlõ. Meghtározás szerint két hlmz egyenlõ számosságú, h elemeik között kölcsönösen egyértelmû hozzárendelés létesíthetõ. Hozzá fûzõdik megszámlálhtó hlmzok foglm. A ról elnevezett Cntor-féle. átlós eljárássl izonyított, hogy vlós számok nem megszámlálhtók. 6

17 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, Oszthtóság, oszthtósági szályok és tételek. Prímszámok. Számrendszerek. Vázlt: I. Számelméleti lpfoglmk: osztó, töszörös, oszthtóság foglm, tuljdonsági, oszthtósági szályok. II. Prímszám, összetett szám, számelmélet lptétele, osztók szám. III. Legngyo közös osztó, legkise közös töszörös. IV. Számrendszerek V. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Oszthtóság Az oszthtóság foglmánál lphlmznk z egész számok hlmzát tekintjük. Két egész szám hánydos nem mindig egész szám, z oszthtóságnál zt vizsgáljuk, hogy egész számok osztáskor mikor lesz hánydos is egész szám, vgyis mrdék 0. DEFINÍCIÓ: Egy egész szám osztój egy egész számnk, h tlálhtó olyn c egész szám, melyre c =. Jelölés: Ω. (Természetesen cω is igz). Een z eseten z is igz, hogy oszthtó -vl és c-vel. Ekkor zt is mondhtjuk, hogy töszöröse -nk. A 0 szerepe számelméleten: 0 minden nemnull egész számnk töszöröse (0-szoros), zz 0 minden nemnull egész számml oszthtó ugynis 0 = 0 : Ω0, h π 0. Ez zt is jelenti, hogy 0 páros szám. A 0-nk egyetlen töszöröse vn 0, viszont 0 ármely egész számnk töszöröse. 0 nem osztój egyetlen nemnull egész számnk sem, ugynis h 0 osztój lenne egy nem null egész számnk, kkor létezne egy olyn c egész szám, mikre = c 0 = 0 lenne, mi ellentmond zzl feltétellel, hogy π 0. Oszthtósági tételek: H,, c ŒZ, kkor TÉTEL: Ω, zz z minden egész számnk osztój. BIZONYÍTÁS: =. TÉTEL: Ω, zz minden egész szám osztój önmgánk. BIZONYÍTÁS: =. TÉTEL: Ω és Ωc fi Ωc. BIZONYÍTÁS: Az Ω feltétel zt jelenti, hogy hogy vn olyn d egész szám, mire = d, Ωc feltétel zt jelenti, hogy vn olyn e egész szám, mire c = e. Ekkor c = e = ( d) e = (d e) szorzás sszocitivitás mitt, hol d e szorzt egész szám. Ez zt jelenti, hogy vn olyn egész szám, minek -szoros c szám, vgyis Ωc. 7

18 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 TÉTEL: Ω fi Ω c, zz h egy egész szám osztój egy másik egész számnk, kkor töszöröseinek is osztój. BIZONYÍTÁS: Az Ω feltétel zt jelenti, hogy hogy vn olyn d egész szám, hogy = d. Ekkor c = ( d) c = ( c) szorzás sszocitivitás mitt. A ( c) szorzt egész, tehát tláltunk megfelelõ egész számot, így Ω c. TÉTEL: Ω és Ωc fi Ω ± c, zz h egész egy szám osztój két egész számnk, kkor összegüknek és különségüknek is osztój. BIZONYÍTÁS: Az Ω feltétel zt jelenti, hogy hogy vn olyn d egész szám, hogy = d. Az Ωc feltétel zt jelenti, hogy hogy vn olyn e egész szám, hogy c = e. Ekkor ± c = = ( d) ± ( e) = (d ± e) disztriutivitás mitt. A (d ± e) egész szám, tehát tláltunk megfelelõ egész számot, így Ω és Ωc fi Ω ± c. TÉTEL: Ω és Ω + c fi Ωc, zz h egy egész szám osztój egy összegnek és z összeg egyik tgjánk, kkor osztój másik tgnk is. BIZONYÍTÁS: Az Ω feltétel zt jelenti, hogy hogy vn olyn d egész szám, hogy = d. Az Ωc feltétel zt jelenti, hogy hogy vn olyn e egész szám, hogy c = e. Ekkor ± c = ( d) ± ( e) = (d ± e) disztriutivitás mitt. A (d ± e) egész szám, tehát tláltunk megfelelõ egész számot, így Ω és Ωc fi Ω ± c. Az oszthtóságot eddig z egész számokr értelmeztük, továikn leszûkítjük természetes számokr, zz nemnegtív egész számokr. Egy dott prolémánál tudjuk mjd utomtikusn lklmzni z itt megfoglmzottkt z egész számokr. TÉTEL: H, ŒZ +, és Ω vlmint Ω fi =, zz h két pozitív egész szám egymásnk osztój, kkor két szám egyenlõ. BIZONYÍTÁS: Az Ω feltétel zt jelenti, hogy vn olyn d egész szám, mire = d, Ω feltétel zt jelenti, hogy hogy vn olyn e egész szám, mire = e. Ekkor = d = ( e) d = (d e) szorzás sszocitivitás mitt. Osztv -vel z egyenlet mindkét oldlát: = e, minek pozitív egész számok hlmzán csk d = e = megoldás. Ekkor viszont = =. Oszthtósági szályok: Egy n egész szám oszthtó -vel, h n páros, vgyis utolsó jegye Œ{0; ; 4; 6; 8}. 3-ml, h számjegyek összege oszthtó 3-ml. 4-gyel, h két utolsó jegyõl képzett szám oszthtó 4-gyel. 5-tel, h utolsó jegye Œ{0; 5}. 6-tl, h -vel és 3-ml oszthtó. 8-cl, h három utolsó jegyõl képzett szám oszthtó 8-cl. 9-cel, h számjegyek összege oszthtó 9-cel. 0-zel, h utolsó jegye 0. II. Prímszám, összetett szám, számelmélet lptétele, osztók szám DEFINÍCIÓ: Azokt pozitív egész számokt, melyeknek pontosn két pozitív osztój vn, prímszámoknk nevezzük. Pl.: ; 3; 5; 7; Az nem prímszám. 8

19 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 TÉTEL: Végtelen sok prímszám vn. BIZONYÍTÁS: Indirekt módon: Tegyük fel, hogy véges sok, zz n d prímszám vn. Legyenek ezek p, p, p 3,..., p n. Képezzük következõ számot: A = p p p 3... p n +. Az A számnk felsorolt n d prím egyike sem osztój. Eõl két lehetõség következhet: vgy z A szám is prím (z n + -edik), vgy létezik olyn prím, mit nem soroltunk fel (kkor ez prím z n + -edik). Tehát mindkét eseten tláltunk felsorolásn nem szereplõ prímszámot, ezzel ellentmondásr jutottunk, zz nem véges sok, hnem végtelen sok prímszám vn. DEFINÍCIÓ: Azokt z -nél ngyo számokt, melyek nem prímszámok, összetett számoknk nevezzük. Az összetett számoknk -nél tö pozitív osztój vn. Pl.: 4; 6; 8; 9; 0; TÉTEL: A számelmélet lptétele: ármely összetett szám felírhtó prímszámok szorztként, és ez felontás tényezõk sorrendjétõl eltekintve egyértelmû. 3 k Knonikus lk: n= p α p α p α p α, hol p, p, p 3,..., p k különözõ prímek,,, 3 3,..., k nemnegtív egész számok. Ekkor z n szám prímosztói: p, p, p 3,..., p k. k TÉTEL: Meghtározhtó z n szám osztóink szám következõ módon: A fenti n számnk ( + ) ( + ) ( 3 + )... ( k + ) dr pozitív osztój vn. DEFINÍCIÓ: Két vgy tö pozitív egész szám legngyo közös osztój közös osztók közül legngyo. Jele: (; ). Elõállítás: felírjuk számok prímtényezõs lkját, vesszük közös prímtényezõket (melyek z összes felontásn szerepelnek), ezeket hozzájuk trtozó legkise kitevõvel vesszük és összeszorozzuk. DEFINÍCIÓ: H két pozitív egész szám legngyo közös osztój, kkor két szám reltív prím. DEFINÍCIÓ: Két vgy tö pozitív egész szám legkise közös töszöröse közös töszörösök közül legkise. Jele: [; ]. Elõállítás: felírjuk számok prímtényezõs lkját, vesszük z összes prímtényezõt, ezeket hozzájuk trtozó legngyo kitevõvel vesszük és összeszorozzuk. Összefüggés két pozitív egész szám legngyo közös osztój és legkise közös töszöröse között: (; ) [; ] =. III. Számrendszerek DEFINÍCIÓ: Az lpú számrendszer helyi értékei:,,, 3, 4,..., z lpú számrendszeren -féle számjegy vn: 0,,,..., - (lki érték), h > 0, kkor etûket hsználunk számjegyként. A helyi értékes árázolás zt jelenti, hogy számjegyek értékén kívül leírásuk helye is értékkel ír. Egymás után írjuk számjegyeket és z dott ponthoz viszonyítjuk helyüket. Áltlán 0-es számrendszeren dolgozunk. Ez zt jelenti, hogy helyi értékek 0 természetes kitevõjû htványi (0 0, 0, 0, 0 3,..., zz egyesek, tízesek, százsok, ezresek,...). A számok leírásár 0-féle számjegyre vn szükség: 0,,,..., 9. A 0-es számrendszeren kívül z informtikán gykrn hsználják -es, vgyis ináris számrendszert (Neumnn-elv), npjinkn pedig inká 6-os, zz hedecimális számrendszert. Ez utóinál merült fel z prolém, hogyn írjunk le 6-féle számjegyet. Erre z megoldás született, hogy 0-nél ngyo lpú számrendszereken 0, vgy nnál ngyo értékû számjegyeket etûkkel jelöljük. Így 6-os számrendszeren 0 helyett A, helyett B,, 5 helyett F számjegy. 9

20 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Áttérés 0-es számrendszerõl más lpú A számot osztjuk z új számrendszer lpszámávl, mjd z így kpott hánydost újr mindddig, míg 0 hánydost nem kpunk. Az osztásoknál kpott mrdékok lesznek z új szám lki értékei z egyesektõl kezdve. Pl es számrendszere átírv: 948 = = = = Így = Áttérés más lpúól 0-es számrendszere A megfelelõ helyi értékeknek és hozzájuk trtozó lki értékeknek szorztösszege dj 0-es számrendszereli értéket: Pl.: es számrendszere átírv: 53 7 = = A mûveletek elvégezhetõk z dott számrendszeren, vgy tízes számrendszeren és z eredmény dott számrendszere vló visszírásávl. IV. Alklmzások: Legngyo közös osztó: törtek egyszerûsítése Legkise közös töszörös: törtek közös nevezõre hozás Kétismeretlenes egyenlet megoldás természetes számok hlmzán (oszthtóság felhsználásávl) pl.: 3+ y= y 3 = y y 3 = y( ) y= 3 = = 3+ 6 N Ω6 Ez következõ eseteken lehetséges: y A táláztn szerepel z összes megoldás, z 5 megjelölt számpár felel meg feltételnek. Számítógépeken -es számrendszer két jegyével jól hsználhtó: folyik árm =, nem folyik árm = 0 (Neumnn-elv). M már inká 6-os, hedecimális számrendszert hsználják, mi felépíthetõ kettesõl. Mtemtiktörténeti vontkozások: Az egyiptomi Rhind-ppiruszon (Kr.e ) törzstörtek felsorolásán csk pártln nevezõjû törtek szerepeltek, tehát z egyiptomik különséget tettek páros és pártln számok között. Az öttel vló oszthtóságot z ókori hinduk is ismerték. A háromml vló oszthtóság szályát elõször pizi Leonrdo (00 körül) írt le. 0

21 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 A tizeneggyel vló oszthtóság szályát XI. százdi r mtemtikusok ismerték, viszont sztosn csk Lgrnge (736 83) frnci mtemtikus foglmzt meg: páros helyiértéken álló számjegyeinek összege megegyezik pártln helyiértéken álló számjegyek összegével, vgy kettõ különsége -nek töszöröse. Pscl (63 66) frnci mtemtikus teljes áltlánosságn vizsgált z oszthtóságot természetes számok köréen. Prímszámok meghtározás z ertoszthenészi (K.r.e. III. százd) szitávl: Felírjuk -tõl kezdõdõen z egész számokt (õ 00-ig csinált). A -t ekeretezzük, ez z elsõ prímszám, mjd kihúzzuk z összes olyn számot, mi töszöröse (minden másodikt). Bekeretezzük z elsõ át nem húzott számot, 3-t, ez következõ prímszám. Innen kezdve áthúzzuk 3 töszöröseit (minden hrmdikt). Ezt z eljárást folyttv megkpjuk prímszámokt (ekeretezett számok). A sumérok (Kr.e. 000 elõtt) 0-es, -és és 60-s lpú számrendszer kominációját hsználták z sztronómii és egyé számításiknál. Ezt rendszer átvették görögök, rómik és z egyiptomik. A 60-s számrendszer mrdványit felismerhetjük mi idõ- (órák, percek) és szögmérésen (szögpercek). A -es számrendszer ngyon népszerû volt, mert mrdék nélkül oszthtó -vel (felezhetõ), 3-ml (hrmdolhtó), 4-gyel (negyedelhetõ), 6-tl (htodolhtó). A m hsznált nptárn z év hónpr oszlik, ór nppl és ór z éjszk z év mind 365 npján. Csknem minden nyelven külön szó vn dologól álló csoportr, például mgyr tuct, z ngol dozen, német ds Dutzend, z orosz djuzsin st. Nyelvészeti kuttások szerint z õsmgyrok hetes számrendszert ismerték, hsználták: mesék hétfejû sárkány, hetedhét ország, hétmérföldes csizm, hétpecsétes titok, hétszerte sze lett, st. A -es lpú ináris számrendszert már 7. százdn Leiniz ismertette, ki Kínán hllott ról, de áltlános hsznált 0. százdn, számítógépek megjelenésével terjedt el. Neumnn János ( ) mgyr szármzású mtemtikus ról elnevezett elven megfoglmzt számítógépek mûködési elvét. Een számítógépek hsználjnk kettes számrendszert, z összes mûvelet kettes számrendszereli logiki mûveletre redukálhtó.

22 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, A mtemtiki logik elemei. Logiki mûveletek. Állítás és megfordítás, szükséges és elégséges feltételek, emuttásuk tételek megfoglmzásán és izonyításán. Vázlt: I. A mtemtiki logik foglm II. Logiki mûveletek (tgdás, diszjunkció, konjunkció, implikáció, ekvivlenci), mûveletek tuljdonsági III. Állítás és megfordítás Szükséges és elégséges feltétel, emuttásuk IV. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. A mtemtiki logik foglm A mtemtiki logik gondolkodás mtemtiki formán kifejezhetõ, mtemtiki eszközökkel vizsgálhtó összefüggéseinek, törvényeinek feltárásávl fogllkozik. Fõ feldt következtetések helyességének vizsgált. II. Logiki mûveletek DEFINÍCIÓ: Az állítás (vgy kijelentés) olyn kijelentõ mondt, melyrõl egyértelmûen el lehet dönteni, hogy igz vgy hmis. DEFINÍCIÓ: Az igz és hmis kijelentés logiki értéke. H z A állítás igz, B állítás hmis, kkor úgy is mondhtjuk, hogy z A logiki értéke igz, B logiki értéke hmis. Jelekkel: ΩAΩ = i és ΩBΩ = h. Az igz értéket szokták -gyel, hmis értéket 0-vl jelölni. DEFINÍCIÓ: A kijelentéseket összekpcsolhtjuk. Azokt kijelentéseket, melyeket más kijelentésekõl lehet elõállítni, összetett kijelentéseknek nevezzük. DEFINÍCIÓ: H z összetett kijelentések logiki értéke csk z õt lkotó állítások logiki értékétõl és z elõállítás módjától függ, kkor logiki mûveletekrõl eszélünk. A logiki mûveleteket igzságtál segítségével végezhetjük el. DEFINÍCIÓ: Az állítás tgdás egyváltozós mûvelet. Egy A kijelentés negációj (tgdás) z kijelentés, mely kkor igz, h A hmis és kkor hmis, h A igz. Jele: A vgy ÿa. TÉTEL: Egy állítás tgdásánk tgdás mg z állítás (kettõs tgdás törvénye). Jele: A= A. TÉTEL: Egy állítás és tgdás nem lehet egyszerre igz (ellentmondásmentesség elve). TÉTEL: Egy állítás és tgdás nem lehet egyszerre hmis ( hrmdik kizárásánk elve). DEFINÍCIÓ: Két, A-tól és B-tõl függõ állítás kkor egyenlõ, h A és B minden lehetséges logiki értékére két állítás igzságértéke egyenlõ. A logiki mûveletek eredménye csk tgok logiki értékétõl függ.

23 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 DEFINÍCIÓ: Állítások diszjunkciój: logiki vgy : Két kijelentés diszjunkciój pontosn kkor igz, h leglá z egyik kijelentés igz, különen hmis. Jele: A B. DEFINÍCIÓ: Állítások konjunkciój: logiki és : Két kijelentés konjunkciój pontosn kkor igz, h mindkét kijelentés igz, különen hmis. Jele: A Ÿ B. Logiki mûveletek tuljdonsági: Tuljdonság Diszjunkció Konjunkció Kommuttív (felcserélhetõ) Asszocitív (csoportosíthtó) Disztriutív (széttgolhtó) De-Morgn zonosságok Továi zonosságok A B = B A A Ÿ B = B Ÿ A (A B) C = A (B C) (A Ÿ B) Ÿ C = A Ÿ (B Ÿ C) A (B Ÿ C) = (A B) Ÿ (A C) A Ÿ (B C) = (A Ÿ B) (A Ÿ C) A A = A A A = i A= A A B= A B és A B= A B A Ÿ A = A A Ÿ A = h DEFINÍCIÓ: Állítások implikációj: A h A, kkor B kpcsoltnk megfelelõ logiki mûveletet implikációnk nevezzük. Az implikáció logiki értéke pontosn kkor hmis, h A igz és B hmis, különen z implikáció igz. Az A állítást feltételnek, B-t következménynek nevezzük. A következtetés csk kkor hmis, h feltétel igz, de következmény hmis. Hmis állításól ármi következhet. Jele: A Æ B. DEFINÍCIÓ: Állítások ekvivlenciáj: Az A kkor és csk kkor B kpcsoltnk megfelelõ logiki mûveletet ekvivlenciánk nevezzük. Az ekvivlenci logiki értéke pontosn kkor igz, h A és B logiki értéke zonos, különen hmis. H z A B igz, kkor zt mondjuk, hogy A és B állítások ekvivlensek egymássl. Jele: A B. Igzságtálávl: A B A Æ B A B A B i i i i i i i h h i h h h i i h i h h h i h h i TÉTEL: Tetszõleges A és B kijelentésekre AÆ B= A B. BIZONYÍTÁS: Igzságtálázttl: A B A A B A Æ B i i h i i i h h h h h i i i i h h i i i 3

24 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 A negyedik oszlop igzságértékei megegyeznek z implikáció igzságértékeivel, tehát z egyenlõség A és B minden lehetséges logiki értékére fennáll, zz zonosság. TÉTEL: Tetszõleges A és B kijelentésekre A B = (A Æ B) Ÿ (B Æ A) BIZONYÍTÁS: Igzságtálázttl: A B A Æ B B Æ A (A Æ B) Ÿ (B Æ A) A B i i i i i i i h h i h h h i i h h h h h i i i i Az ötödik oszlop igzságértékei megegyeznek z ekvivlenci igzságértékeivel, tehát z egyenlõség A és B minden lehetséges logiki értékére fennáll, zz zonosság. III. Állítás és megfordítás, szükséges és elégséges feltétel Az állításokt gykrn H A igz, kkor B igz (A fi B) formán foglmzzuk meg. Tehát egy A állítás igzságáól következik egy B állítás igzság (vgyis, h z A Æ B implikáció igz), zt mondjuk, hogy z A állításól következik B állítás, vgy zt, hogy A állítás B állításnk elégséges feltétele (hiszen B állítás igzságánk izonyításához elég z A állítás igzságát izonyítni). Ilyenkor B állítás z A állításnk szükséges feltétele (hiszen z A állítás nem lehet igz, h B állítás nem igz). H ilyen eseten z A állítás igzságáól B állítás igzságár következtetünk, z helyes következtetés. H zt krjuk kimuttni, hogy z A állításól nem következik B állítás, elég egyetlen példát muttni olyn esetre, mikor A igz és B hmis. H ilyen eseten A állításól B állításr következtetünk, z nem helyes, vgyis helytelen következtetés. H z A állításól következik B állítás, és fordítv is: B állításól következik z A állítás, kkor zt mondjuk, hogy z A állításnk B állítás szükséges és elégséges feltétele. Jele: A B (A kkor és csk kkor igz, mikor B). Ez zt jelenti, hogy A és B egyszerre igz, vgyis ekvivlensek (egyenértékûek). Példák feltételekre: Állítás: H egy szám oszthtó 4-gyel, kkor oszthtó -vel. Ez igz állítás. Ekkor 4-gyel vló oszthtóság elégséges feltétele -vel vló oszthtóságnk, -vel vló oszthtóság szükséges feltétele 4-gyel vló oszthtóságnk. Vgyis 4-gyel vló oszthtóság elégséges, de nem szükséges feltétele -vel vló oszthtóságnk, vlmint -vel vló oszthtóság szükséges, de nem elégséges feltétele 4-gyel vló oszthtóságnk. Állítás: H egy szám oszthtó -vel, kkor oszthtó 4-gyel. Ez hmis állítás. Ekkor -vel vló oszthtóság nem elégséges feltétele 4-gyel vló oszthtóságnk, 4- gyel vló oszthtóság elégséges feltétele -vel vló oszthtóságnk. Vgyis -vel vló oszthtóság nem elégséges, de szükséges feltétele 4-gyel vló oszthtóságnk, vlmint 4-gyel vló oszthtóság elégséges, de nem szükséges feltétele -vel vló oszthtóságnk. Egy tétel feltételeinek és feltételei következményeinek felcserélésével kpjuk tétel megfordítását. Így fenti tétel megfordítás: H B igz, kkor A igz. (B fi A) H tétel és megfordítás is igz, kkor két tétel ekvivlens. (A B) Erre péld Thlész-tétel, illetve Pitgorsz tétel: 4

25 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 TÉTEL: Thlész-tétel: h egy kör átmérõjének két végpontját összekötjük kör ármely más pontjávl, kkor derékszögû háromszöget kpunk. BIZONYÍTÁS: O középpontú kör, AB átmérõ, C tetszõleges pont körvonlon. C A O B OA = OC = r fi OAC háromszög egyenlõ szárú fi OAC = OCA =. OC = OB = r fi OBC háromszög egyenlõ szárú fi OBC = BCO =. Az ABC háromszög elsõ szögeinek összege 80º fi + = 80º fi + = 90º fi ACB = 90º. TÉTEL: Thlész-tétel megfordítás: h egy háromszög derékszögû, kkor köré írhtó körének középpontj z átfogó felezõpontj. BIZONYÍTÁS: ABC derékszögû háromszöget tükrözzük z átfogó F felezõpontjár. A tükrözés tuljdonsági mitt BC = AC és CA = BC és AC = BC szögei 90º-osk. A tégllp átlói egyenlõk és felezik egymást fi FA = FB = FC fi F z ABC háromszög köré írt kör középpontjávl egyenlõ. B C F C A TÉTEL: Thlész-tétel és megfordítás összefogllv: sík zon pontjink hlmz, melyekõl egy megdott szksz derékszögen látszik, szkszhoz, mint átmérõhöz trtozó kör, elhgyv elõle szksz végpontjit. TÉTEL: Pitgorsz-tétel: h egy háromszög derékszögû, kkor efogók négyzetének összege egyenlõ z átfogó négyzetével. BIZONYÍTÁS: (4. tétel) t t g c c g t 3 g c c g + = 90º + 4t + = c + + 4t = c + 4t 5

26 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 TÉTEL: Pitgorsz-tétel megfordítás: h egy háromszög két oldlhosszánk négyzetének összege egyenlõ hrmdik oldl négyzetével, kkor háromszög derékszögû. BIZONYÍTÁS: (4. tétel) Tudjuk, hogy + = c. Tegyük fel, hogy háromszög nem derékszögû. Ekkor tudunk szerkeszteni olyn derékszögû háromszöget, minek efogói és, átfogój legyen c. Mivel ez derékszögû háromszög, Pitgorsz-tétel mitt: + = (c ). Az eredeti feltétellel összevetve c = (c ), miõl pozitív mennyiségekrõl lévén szó, következik, hogy c = c. Ez ellentmond kiinduló feltételnek, így háromszög derékszögû. IV. Alklmzások: Mtemtiki definíciók, tételek pontos kimondás, tételek izonyítás Tétel megfordításánk kimondás Bizonyítási módszerek kidolgozás (direkt, indirekt, sktuly elv, teljes indukció) Komintorik, vlószínûségszámítás hsználj logiki mûveleteket és zok tuljdonságit. Automták tervezése prolémák részekre ontásávl. A logiki mûveletek és hlmzmûveletek párhuzm állíthtók. Egyenletek, egyenlõtlenségek megoldás során sokszor végzünk logiki mûveleteket (ekvivlens átlkítások). Mtemtiktörténeti vontkozások: Az ókori filozófi vetette fel zokt kérdéseket, melyek vizsgált logik kilkulásához vezetett. A görög logosz szó jelentése gondolt, igzság, görög logiké szó érvelést, következtetést jelent. A logik segíti definíciók, állítások pontos megfoglmzását, fontos szerepe vn prolémák megfoglmzásán, tudományos, lkotó kommunikáción. Boole (85 864) ngol mtemtikus vezette e kijelentések szerkezetének szimólumokkl és mûveletekkel vló leírását. Az áltl létrehozott lger célj z volt, hogy összekösse logikát mtemtikávl, ez Boole-lger. Az 930-s éveken Shnnon (96 00) meriki mtemtikus Boole-lgerát felhsználv z elektromos kpcsolók tuljdonságit hsznált logiki mûveletekhez, ez lett z elméleti lpj digitális korszknk, z információelméletnek. de Morgn (806 87) ngol mtemtikus evezette m De Morgn zonosságként ismert szályokt. Ezzel ngyn hozzájárult mtemtiki logik megreformálásához, jelölésrendszerének egyszerûé tételéhez. 6

27 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, Htványozás, htványfoglom kiterjesztése, htványozás zonossági. Az n-edik gyök foglm. A négyzetgyök zonossági. Htványfüggvények és négyzetgyökfüggvény. Vázlt: I. Pozitív egész kitevõjû htványok, htványozás zonossági II. Permnenci-elv III. Negtív egész, törtkitevõs, irrcionális kitevõjû htvány IV. Az n-edik gyök foglm (n ŒN +, n π ). V. A négyzetgyök zonossági VI. Htványfüggvények és zok tuljdonsági VII. Négyzetgyökfüggvény és tuljdonsági VIII. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Pozitív egész kitevõjû htványok A htványozást ugynz z igény hívt létre, mint szorzást. A szorzás z ismételt összedást jelenti, htványozást zonos számok szorzásár vezették e, késõ kiterjesztették értelmezését. DEFINÍCIÓ: H tetszõleges vlós szám és n -nél ngyo természetes szám, kkor n htvány zt z n tényezõs szorztot jelenti, melynek minden tényezõje. H n =, kkor =. Az számot htvány lpjánk, z n számot htvány kitevõjének nevezzük, ez utói megmuttj, hogy htványlpot hányszor kell szorzótényezõül venni. A htványozás zonossági pozitív egész kitevõ esetén: (, ŒR, m, n ŒN + ) TÉTEL: Azonos lpú htványokt úgy is szorozhtunk, hogy közös lpot kitevõk összegére emeljük: m n = m + n BIZONYÍTÁS: = ( ) ( ) = = + m n m n htv. def. szorzás htv. def. md nd sszoc. m+ nd TÉTEL: Azonos lpú htványokt úgy is oszthtunk, hogy közös lpot kitevõk különségére emeljük: m = m n, h π 0, m > n. n. BIZONYÍTÁS: md m nd m = = = n htv. def. egysze- htv. def. rûsítés n d m n. 7

28 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 TÉTEL: Szorztot tényezõként is htványozhtunk: ( ) n = n n Tétel visszfele olvsv: Azonos kitevõjû htványokt úgy is szorozhtunk, hogy z lpok szorztát közös kitevõre emeljük. BIZONYÍTÁS: ( ) = ( ) ( ) ( ) = = n htv. def. szorzás szorzás n d sszoc. kommut. = = n n. htv. def. n d n d TÉTEL: Törtet úgy is htványozhtunk, hogy számlálót és nevezõt külön-külön htványozzuk és kpott htványoknk kívánt sorrenden hánydosát vesszük. ( ) n n n =, h π 0. Tétel visszfele olvsv: Azonos kitevõjû htványokt úgy is oszthtunk, hogy z lpok hánydosát közös kitevõre emeljük. BIZONYÍTÁS: n ( ) ( ) ( ) ( ) n d = = = htv. def. törtek htv. def. szorzás n d n d n n. TÉTEL: Htványt úgy is htványozhtunk, hogy z lpot kitevõk szorztár emeljük: ( n ) m = n m. BIZONYÍTÁS: ( n) m = ( n) ( n) ( n) = = m. htv. def. n. htv. def. szorzás m d nd nd nd sszoc. m d = = mn. htv. def. mn d II. Permnenci-elv A htványozás foglmát kiterjesztjük minden egész kitevõre, mjd egész kitevõrõl rcionális kitevõre, mjd rcionálisról irrcionális kitevõre úgy, hogy z elõi, pozitív egész kitevõre teljesülõ zonosságok továr is teljesüljenek. A foglom értelmezésének kiterjesztése esetén ezt z igényt nevezzük permnenci-elvnek. III. A htványozás kiterjesztése A. zonosság segítségével htványozás foglm kiõvíthetõ z egész számokr következõ módon: DEFINÍCIÓ: Tetszõleges π 0 vlós számr 0 =. Minden nullától különözõ vlós számnk nulldik htvány. 8

29 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, t nem értelmezzük (nem lehet úgy értelmezni, hogy összhngn legyen htványozás értelmezéseivel: 0 0 = 0 kellene, mert 0 minden pozitív egész kitevõ htvány = kellene, mert minden egyé szám nulldik htvány.) Bizonyíthtó, hogy ezzel z értelmezéssel htványozás zonossági érvényen mrdnk. Pl. 0 n = 0 + n = n 0 n n n = = DEFINÍCIÓ: Tetszõleges π 0 vlós szám és n pozitív egész szám esetén n =. Minden 0-tól n különözõ vlós szám negtív egész kitevõjû htvány szám megfelelõ pozitív kitevõjû htványánk reciprok (vgy szám reciprokánk megfelelõ pozitív kitevõjû htvány). Bizonyíthtó, hogy ezzel z értelmezéssel htványozás zonossági érvényen mrdnk. Pl. n n = n+ n = 0 = n n n = n = = n n n m Ezzel két definícióvl. zonosság igz minden n, m ŒZ-re: H n = m, kkor m m = =. n m H m < n, kkor m dr -vl egyszerûsítünk, számlálón, nevezõen pedig n - m dr szorzótényezõ mrd, mi htvány definíciój mitt. Alklmzv negtív egész kitevõjû htvány definícióját = = m n. n m ( m n) A htványozás foglmát ezután rcionális kitevõre terjesztjük ki: DEFINÍCIÓ: Az pozitív vlós szám p -dik htvány z pozitív vlós szám, melynek q-dik q htvány p, zz ( p ) q q = p. p q A definícióól következik: q = p. Az lp csk pozitív szám lehet, mert például ( ) = ( ) = 4 = = értelmes, 4 ( ) = ( ) = nem értelmezhetõ, pedig két htvány értékének (zonos lp, zonos kitevõ) meg kell egyeznie. Bizonyíthtó, hogy ezzel z értelmezéssel htványozás zonossági érvényen mrdnk. Pl. n ( ) n = n = n k ( n ) ( ) k k n k n n k k = = A htványozást kiterjeszthetjük tetszõleges vlós kitevõre. Ehhez z irrcionális kitevõt kell értelmeznünk. 9

30 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Az értelmezés zon lpul, hogy ármely irrcionális szám tetszõlegesen közelíthetõ két oldlról rcionális számokkl. Így h pl.: htványt szeretnénk meghtározni, kkor ehhez értékét közelítjük nál kise, illetve nál ngyo rcionális számokkl, mjd közelítõ értékekre, mint kitevõre emeljük -t. Bizonyíthtó, hogy értéke létezik, és ily módon tetszõlegesen közelíthetõ (rendõr elv). DEFINÍCIÓ: Az pozitív vlós szám irrcionális kitevõjû htvány, zz jelentse z r sorozt htárértékét, hol r egy rcionális számsorozt tgjit jelöli és r Æ. Képlettel: lim r = α. r α IV. Az n-edik gyök foglm A gyökvonás mûvelete htványkitevõ és htvány ismeretéen z lp kiszámolását teszi lehetõvé. A gyökvonás htványozás egyik fordított mûvelete: z vlós szám n-edik gyöke (n ŒZ +, n π ) z n = egyenlet megoldás. Az szám n-edik gyökének jelölése: n, h n ŒN +. A gyökvonás értelmezésénél különséget kell tenni páros és pártln gyökkitevõ között (hiszen páros n-re és negtív -r z n = egyenletnek nincs megoldás, mivel vlós számok páros kitevõjû htvány nem lehet negtív. Tehát páros n-re és negtív -r z szám n-edik gyöke nem értelmezhetõ.) DEFINÍCIÓ: Egy vlós szám (k + )-edik (k ŒN + ) gyökén zt vlós számot értjük, melynek (k + )-edik htvány. Képlettel: ( ) k+ k+ =, hol k ŒZ +. DEFINÍCIÓ: Egy nemnegtív vlós szám k-dik (k ŒN + ) gyökén zt nemnegtív vlós számot értjük, melynek k-dik htvány. Képlettel: ( ) k k =, hol 0, k 0, k ŒZ +. DEFINÍCIÓ: Egy nemnegtív vlós szám négyzetgyökén zt nemnegtív vlós számot értjük, melynek négyzete. Képlettel: ( ) =, hol 0, 0. A páros és pártln gyökkitevõre vontkozó definíciók közötti különségõl dódón: ( k ) k =ΩΩ és ( ) k+ k+ =, pl. 6 ( 5) 6 = 5, de 5 ( 5) 5 = 5. V. A négyzetgyök zonossági TÉTEL: =, h, nemnegtív vlós számok. Szorzt négyzetgyöke egyenlõ tényezõk négyzetgyökének szorztávl. Tehát szorztól tényezõnként vonhtunk gyököt. BIZONYÍTÁS: Vizsgáljuk mindkét oldl négyzetét: négyzetgyök definíciój mitt. ( ) =, ( ) ( ) ( ) = =, szorzt htványánk zonosság és négyzetgyök definíciój mitt. A két oldl négyzete egyenlõ. 30

31 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 H mindkét oldl értelmes, vgyis nemnegtív, kkor htványozás zonosságáól következik két oldl egyenlõsége., h, nemnegtív vlós számok, π 0. Tört négyzetgyöke egyenlõ számláló és nevezõ négyzetgyökének hánydosávl. TÉTEL: = =, h k egész, > 0 vlós szám. A htványozás és gyökvonás sorrendje felcserélhetõ egymássl pozitív lp esetén. Figyelni kell rr, hogy négyzetre emelés és négyzetgyökvonás sorrendje nem cserélhetõ fel, h z lp negtív. Így áltlánosn: =. TÉTEL: k ( ) k VI. Htványfüggvények és zok tuljdonsági DEFINÍCIÓ: Az f: R Æ R, f() = n függvényt, hol n ŒN +, htványfüggvénynek nevezzük. A htványfüggvények értelmezhetõek n = 0 esetre is, de ettõl most eltekintünk. A htványfüggvény vizsgáltát két részre kell ontnunk szerint, hogy n páros-e vgy pártln. Jellemzés: A függvény f: R Æ R, f() = k g: R Æ R, g() = k + árázolás: y y= k y y= + k értelmezési trtomány: vlós számok hlmz: R vlós számok hlmz: R értékkészlete: monotonitás: nemnegtív vlós számok hlmz: R 0 + h < 0, kkor szigorún monoton csökken, h > 0, kkor szigorún monoton nõ szélsõértéke: szolút minimum vn z = 0 helyen, minimum értéke f() = 0. vlós számok hlmz: R szigorún monoton nõ nincs görülete: lulról konve h < 0, kkor lulról konkáv, h > 0, kkor lulról konve zérushelye: = 0 = 0 pritás: páros: f(-) = f() pártln, vgyis g(-) = -g() korlátosság: invertálhtóság: lulról korlátos, felülrõl nem korlátos. invertálhtó, h 0: inverze z f - : R 0 + Æ R, f - () = k függvény nem korlátos invertálhtó: inverze z g - : R Æ R, g - () = k + függvény 3

32 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Görület szempontjáól külön kell venni z n = esetet: ekkor függvény se nem konve, se nem konkáv. A htványfüggvények folytonosk, minden pontn deriválhtók, minden korlátos intervllumon integrálhtók. VII. Négyzetgyökfüggvény és tuljdonsági DEFINÍCIÓ: Az f: R 0 + Æ R, f() = Jellemzés: függvényeket négyzetgyökfüggvényeknek nevezzük. A függvény f: R 0 + Æ R, f() = árázolás: y y= értelmezési trtomány: + nemnegtív vlós számok hlmz: R 0 értékkészlete: + nemnegtív vlós számok hlmz: R 0 monotonitás: szigorún monoton nõ szélsõértéke: szolút minimum vn z = 0 helyen, minimum értéke f() = 0. görülete: lulról konkáv zérushelye: = 0 pritás: nincs: nem páros, nem pártln korlátosság: lulról korlátos, felülrõl nem korlátos invertálhtóság: invertálhtó: inverze z f - + : R 0 Æ R, f - () = függvény A gyökfüggvények folytonosk, differenciálhtók, integrálhtók. Példák négyzetgyökfüggvényre: f( ) = + f( ) = + + y y 3

33 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 f( ) = + = ( ) + f( ) = = ( ) y y VIII. Alklmzások: Htványozás: Prímtényezõs felontásn pozitív egész kitevõjû htványok, legngyo közös osztó, legkise közös töszörös, osztók szám Normállkn: egyszerû kicsi és ngy számokkl vló mûveletek elvégzése A számrendszerek felépítése htványozáson lpul Mértni sorozt: n, S n kiszámolás Ismétléses vriációk szám: n k Hsonló testek felszínének rány l, térfogtánk rány l 3 Kmtos kmt számítás Négyzetes úttörvény: s= t Rdioktív omlás Mértékegységváltás Binomiális eloszlás Nevezetes zonosságok Gyökvonás: Mgs fokú egyenletek megoldás Pitgorsz-tétel (négyzetre emelés, gyökvonás) Mértni közép (gyökvonás) Mgsság-, illetve efogótétel (négyzetre emelés, gyökvonás) Kock élének, vgy göm sugránk kiszámolás térfogtól l hosszúságú fonáling lengésideje: T = π l g h mgsságól szdon esõ test seessége: v= gh Kmtos kmtnál kmttényezõ kiszámítás Hrmonikus rezgõmozgás körfrekvenciájánk kiszámítás Mtemtiktörténeti vontkozások: Már idõszámításunk kezdetén ismerték kíni mtemtikusok négyzetgyök és kögyök foglmát, mi jelölésrendszere XVI. százdn lkult ki. A 3. százdi kíni mtemtikusok z egyenletet meg tudták oldni, zz tetszõleges pozitív számól tudtk gyököt vonni. Oresmicus (33 38) frnci mtemtikus fogllkozott elõször törtkitevõs htványokkl. Stifel ( ) német mtemtikus írt le nulldik és negtív egész kitevõjû htványokt. 33

34 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, A logritmus foglm és zonossági. Az eponenciális és logritmusfüggvény. Vázlt: I. A logritmus definíciój II. A logritmus zonossági III. Eponenciális függvény, tuljdonsági IV. Logritmusfüggvény, tuljdonsági V. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Logritmus definíciój Az = ( > 0, > 0, π ) egyenlet megoldáskor z kitevõt keressük. Ennek z egyenletnek z egyetlen megoldás = log. DEFINÍCIÓ: A logritmus htványozás egyik fordított mûvelete: log ( lpú logritmus ) z z egyetlen vlós kitevõ, melyre -t emelve -t kpunk: log =, ( > 0, > 0, π ), vgyis log = c egyenértékû zzl, hogy c =. (A kitevõt fejezzük ki htványlp és htványérték ismeretéen.) Elnevezések: = logritmus lpj, = htványérték. A logritmus lpját zért válsztjuk pozitív számnk, mert negtív lp esetén törtkitevõs htvány nem értelmezhetõ. h z lp 0 lenne, kkor htványérték ármilyen (0-tól különözõ) kitevõre 0, így kitevõkeresés nem egyértelmû. h z lp lenne, htványérték kitevõ ármely értékére, így sem egyértelmû kitevõkeresés. H logritmus lpj 0, kkor jelölés: log 0 = lg. H logritmus lpj e, kkor természetes lpú logritmusról eszélünk, így jelölés: log e = ln. II. Logritmus zonossági TÉTEL: Szorzt logritmus egyenlõ tényezõk logritmusánk összegével: log ( y) = log + log y, hol, y > 0, > 0, π. BIZONYÍTÁS: A logritmus definíciój lpján: = log és y= log y, illetve y= log ( y ) Nézzük z állítás l oldlát: log ( ) log ( log log ) log log log y = y = + y = log+ logy, z zonos lpú htványok szorzás és logritmus definíciój mitt. Így izonyítndó állítás igz. TÉTEL: Tört logritmus megegyezik számláló és nevezõ logritmusánk különségével: log = log log y y, hol, y > 0, > 0, π. 34

35 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 TÉTEL: Htvány logritmus z lp logritmusánk és kitevõnek szorzt: log k = k log, hol > 0, > 0, π, k ŒR. TÉTEL: Áttérés más lpú logritmusr: logc log =, hol,, c > 0,, c π. log BIZONYÍTÁS: A logritmus definíciój lpján: = log. Írjuk fel: log = log log c c = log logc, logritmus definíciój és htvány logritmus mitt. Kptuk: log c = log log c /: log c π 0 feltételek mitt. logc Így: log =. Ez izonyítndó állítás. log III. Eponenciális függvény: c c DEFINÍCIÓ: Az f: R Æ R, f() = ( > 0) függvényt eponenciális függvénynek nevezzük. Az = esetén z eponenciális függvény konstns: f() = =. Jellemzés: A függvény f: R Æ R, f() =, 0 < < eseten árázolás: y= 0< < y g: R Æ R, g() =, < eseten y y= > értelmezési trtomány: vlós számok hlmz: R vlós számok hlmz: R értékkészlete: pozitív vlós számok hlmz: R + pozitív vlós számok hlmz: R + monotonitás: szigorún monoton csökken szigorún monoton nõ szélsõértéke: nincs nincs görülete: lulról konve lulról konve zérushelye: nincs nincs pritás: nincs: nem páros, nem pártln nincs: nem páros, nem pártln korlátosság: invertálhtóság: lulról korlátos, felülrõl nem korlátos invertálhtó: inverze z f - : R + Æ R, f - () = log függvény Az eponenciális függvény folytonos, differenciálhtó, integrálhtó. lulról korlátos, felülrõl nem korlátos invertálhtó: inverze z g - : R + Æ R, g - () = log függvény 35

36 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 IV. Logritmusfüggvény DEFINÍCIÓ: Az f: R + Æ R, f() = log, ( > 0, π ) függvényt logritmusfüggvénynek nevezzük. Jellemzés: A függvény f: R Æ R, f() = log, 0 < < eseten árázolás: y g: R Æ R, g() = log, < eseten y y=log > y=log 0< < értelmezési trtomány: pozitív vlós számok hlmz: R + pozitív vlós számok hlmz: R + értékkészlete: vlós számok hlmz: R vlós számok hlmz: R monotonitás: szigorún monoton csökken szigorún monoton nõ szélsõértéke: nincs nincs görülete: lulról konve lulról konkáv zérushelye: = = pritás: nincs: nem páros, nem pártln nincs: nem páros, nem pártln korlátosság: nem korlátos nem korlátos invertálhtóság: invertálhtó: inverze z f - : R Æ R, f - () = (0 < < ) függvény A logritmusfüggvény folytonos, differenciálhtó, integrálhtó. Kpcsolt z eponenciális és logritmusfüggvények között: 0 < < < invertálhtó: inverze z g - : R Æ R, g - () = ( < ) függvény y y= y= 0< < y y= y= > y=log > y=log 0< < Az eponenciális függvény π esetén invertálhtó, inverze z f - : R + Æ R, f - () = log ; > 0, π logritmusfüggvény. 36

37 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 A logritmusfüggvény invertálhtó, inverze z f - : R Æ R, f - () = ; > 0, π eponenciális függvény. Kiegészítés: DEFINÍCIÓ: Az f függvény inverze g függvény, h z f értelmezési trtományánk minden elemére igz, hogy f() eleme g értelmezési trtományánk és g(f()) =. Az inverz függvény jelölése: g = f -. H z f és g függvények egymásnk inverzei, kkor z f értelmezési trtomány g értékkészlete, z f értékkészlete g értelmezési trtomány. H két függvény egymásnk inverzei, kkor grfikonjik egymásnk tükörképei z y = egyenletû egyenesre. V. Alklmzások: = 3 egyenlet megoldás logritmussl mtemtiki mûveletek visszvezetése egyszerû mûveletek elvégzésére (szorzás helyett összedás, htványozás helyett szorzás) kmtos kmtszámításnál z lptõke, z n-edik év végi tõke, és kmttényezõ ismeretéen z n meghtározás: n t 0 0 n n t lg lg lg n lg n t lg n t n lg n t t = t q = q = q = n q n= t0 t0 t0 lgq számolás gépe nem férõ ngy számokkl, pl.: 00 = 85 lg = 00 lg85 0 lg30 = 3, 300 = 03, = 03 00, =,68 03 grvitációs erõtéren rometrikus mgsságformulán levegõ sûrûsége mgssággl eponenciálisn csökken Richter-skál (földrengések méretét htározz meg) logritmus lpú ph érték: z oldtok szd oónium-ion koncentrációjánk negtív 0-es lpú logritmus: ph = -lg[h 3 O + ] eponenciális függvény írj le: rdioktív izotópok omlását, z oldódás folymtát, kondenzátor feltöltõdésének és kisülésének folymtát. Mtemtiktörténeti vontkozások: A logritmust Npier (550 67) skót mtemtikus tlált ki, logritmus szót logosz (viszony) és z ritmosz (szám) görög szvkól lkott. Elsõsorn mtemtiki számításokt megkönnyítését segítõ módszereket tlált ki, így logritmust, mely csillgászti számításokn izonyult hsznosnk. Kepler hsznált csillgászti tálázti elkészítésekor. Npier feltlált ról elnevezett számolópálcákt, melyek segítségével szorzás és z osztás gyorsn volt elvégezhetõ. A trigonometrikus függvények logritmusánk táláztát is elkészítette, táláztán logritmus lpj e volt. Bürgi (55 63) svájci órásmester és mtemtikus csillgászti eszközökkel is fogllkozott Kepler munktársként. Segített Keplernek csillgászti számításokn, ehhez meglkott z elsõ logritmustáláztot. Az ofordi egyetem tnár Briggs (56 630) ngol mtemtikus és Npier közösen kidolgozták z elsõ 0-es lpú 8 jegyû logritmustáláztot. Npier számolópálcáiól z 600-s éveken kifejlesztették logrlécet, melyet z 970-es évekig hsználtk. A logrléc és logritmustáláztok tö száz évig nélkülözhetetlen eszközei voltk onyolult számításokkl fogllkozó emereknek. Szerepük csk z elektromos számológépek és számítógépek megjelenésével szûnt meg fokoztosn. 37

38 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, Egyenletmegoldási módszerek, ekvivlenci, gyökvesztés, hmis gyök. Másodfokú és másodfokúr visszvezethetõ egyenletek. Vázlt: I. Egyenlet, egyenlet gyökének foglm II. Egyenlet-megoldási módszerek III. Ekvivlenci IV. Gyökvesztés V. Hmis gyök VI. Másodfokú egyenletek, megoldásuk VII. Új ismeretlennel másodfokúr vezetõ egyenletek VIII. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Egyenlet DEFINÍCIÓ: Az egyenlet ármely két egyenlõségjellel összekötött kifejezés. A kifejezésen szereplõ változók z ismeretlenek. Az egyenlet olyn változótól függõ állítás (nyitott mondt), melynek z lphlmz számhlmz. DEFINÍCIÓ: Az lphlmz z ismeretlenek zon értékeinek hlmz, hol z egyenletet vizsgáljuk, hol megoldásokt keressük. DEFINÍCIÓ: Az egyenlet értelmezési trtomány z lphlmznk z legõve részhlmz, hol z egyenleten szereplõ kifejezések értelmezhetõek. DEFINÍCIÓ: Az egyenletet igzzá tevõ értékek z egyenlet megoldási vgy gyökei. DEFINÍCIÓ: Az lphlmz zon elemeinek hlmz, melyekre z egyenlet igz, vgyis z egyenlet megoldásink (vgy gyökeinek) hlmz z egyenlet megoldáshlmz (vgy igzsághlmz). DEFINÍCIÓ: Az zonosság olyn egyenlet, melynek megoldáshlmz megegyezik z egyenlet értelmezési trtományávl. II. Egyenlet-megoldási módszerek:. Mérlegelv: z egyenlet két oldlánk egyform változttásánk módszere. A mérlegelv szerint egy egyenlet gyökeinek hlmz nem változik, h z egyenlet mindkét oldlához ugynzt számot hozzádjuk, vgy mindkét oldláól kivonjuk; z egyenlet mindkét oldlát ugynzzl 0-tól különözõ számml szorozzuk, osztjuk.. Grfikus megoldás: Az egyenlet két oldlán álló kifejezést, mint függvényt árázoljuk. Ilyenkor két grfikon közös pontjink szcisszái dják megoldást. Hátrány: ponttln lehet leolvsás. 38

39 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, Szorzttá lkítás: Bonyolultnk tûnõ vgy túl mgsfokú egyenlet megoldáskor kiemeléssel vgy megfelelõ csoportosítás utáni kiemeléssel szorzttá lkítjuk z egyik oldlt úgy, hogy másik oldl 0 legyen. Egy szorzt kkor és csk kkor 0, h leglá z egyik tényezõje 0. Ezzel egyszerû, vgy lcsony fokú egyenlethez jutunk. Pl.: ( - )( + 4) + ( - )(3 - ) = 0 fi ( - )( ) = Értelmezési trtomány vizsgált: Bizonyos eseteken z értelmezési trtomány egyetlen szám, vgy üres hlmz. H egy szám, kkor ellenõrizzük, hogy vlón megoldás-e, h üres hlmz, kkor nincs megoldás. = 0 fi D f = {} fi ellenõrzés fi = z egyetlen megoldás. = fi D f = {} fi nincs megoldás. 5. Értékkészlet vizsgált: Bonyolultnk tûnõ vgy tö ismeretlent trtlmzó egyenlet megoldáskor lklmzhtjuk, h z egyenlet trtlmz pl. négyzetre emelést, négyzetgyökvonást, szolút értéket, eponenciális kifejezést, szinuszt, koszinuszt. 3 + ( y+ 4) + z+ 4 = 0 = 3, y= 4, z=. 3-4 = -, de 3-4 > 0 π - fi nincs megoldás + =, de + 0 fi nincs megoldás sin sin + + sin 4sin + 4 = 4 sin + sin = 4 sin [,0] sin = sin + negtív sin + sin + = 4 sin = sin [ 3, ] sin = sin + negtív 6. Új ismeretlen evezetése: Bonyolultnk tûnõ egyenlet megoldását visszvezetjük egy már ismert egyenlettípus megoldásár. Pl.: III. Ekvivlenci (egyenértékûség) tg 4-5tg + 4 = 0 fi := tg fi = 0 DEFINÍCIÓ: Két egyenlet ekvivlens, h lphlmzuk és megoldáshlmzuk is zonos. DEFINÍCIÓ: Ekvivlens átlkítás z olyn átlkítás, mit egyenletek megoldás közen végzünk és ezzel z átlkítássl z eredetivel ekvivlens egyenletet kpunk. Ekvivlens átlkítás például z egyenlet mérlegelvvel történõ megoldás. Nem ekvivlens átlkítás például változót trtlmzó kifejezéssel osztni z egyenlet mindkét oldlát, vgy négyzetre emelni z egyenlet mindkét oldlát. Az egyenletek megoldás során nem mindig vn lehetõségünk ekvivlens átlkításokt végezni. H lehet, ilyen eseteken vgy értelmezési trtomány, vgy értékkészlet vizsgálttl próálunk feltételeket felállítni. De még így is elõfordulht, hogy olyn átlkítást végzünk, mely során z új egyenletnek szûke z értelmezési trtomány, mint z eredetinek, ekkor gyökvesztés állht fenn; z új egyenletnek õve z értelmezési trtomány, mint z eredetinek, ekkor gyöknyerés állht fenn. 39

40 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 IV. Gyökvesztés Gyökvesztés következhet e, h változót trtlmzó kifejezéssel osztjuk z egyenlet mindkét oldlát, vgy olyn átlkítást végzünk, mely szûkíti z értelmezési trtományt. Pl. hiás megoldás: helyes megoldás: 3+ + = = 0 : ( + + ) = = 0 = 0 = vgy + + = 0 = Pl. hiás megoldás: lg( + ) = lg5 Df = R { } lg( + ) = lg5 Df = ], [ lg( + ) = lg5 + = 5 = 3 V. Hmis gyök helyes megoldás: lg( + ) = lg5 Df = R { } lg( + ) = lg5 ( + ) = 5 + = 5 = 3 vgy + = 5 = 7 Hmis gyököt kpunk, h z egyenlet mindkét oldlát négyzetre emeljük, vgy mindkét oldlt z ismeretlent trtlmzó kifejezéssel szorozzuk, vgy olyn átlkítást végzünk, mi õvíti z értelmezési trtományt. Pl. 7 = /(). Eredeti feltétel: 7-0 fi 7 fi D f = ]-, 7]. A gyöknyerés kiküszöölhetõ közülsõ feltétellel: - 0 fi fi D fúj = ]-, ]. 7 - = ( - ) fi = 0 fi = 3 œd fúj, = - ŒD fúj Pl. + = + / fi = fi =. A gyöknyerés ekkor is kiküszöölhetõ, h z eredeti egyenletre írunk D f -et. Pl = + 8. Eredeti feltételek: fi -6; + 0 fi -; fi -4; fi D f = [-; [. H z egyenletet elõször rendezzük úgy, hogy mindkét oldl nemnegtív legyen, négyzetre emeljük mindkét oldlt, rendezzük úgy, hogy gyökös kifejezés z egyik oldlr kerüljön, töi tg másik oldlr, mjd négyzetre emelés elõtt közülsõ feltételt írunk, hogy gyöknyerést kiküszööljük: + 6 = / négyzetre emelés + 6 = /rendezés 4= közülsõ feltétel írás: jo oldl nemnegtív, l oldlnk is nnk kell lennie, mivel egyenlõk, zz fi - fi D fúj = {-}. Een z eseten nem is kell elvégezni négyzetre emelést, hiszen csk egy szám felel meg z értelmezésnek, h vn megoldás, kkor csk ez z egy szám lehet. Ennek ellenõrzésével eldönthetõ, hogy ez vlón megoldás-e. Akár gyökvesztés, kár hmis gyök elkerülhetõ, h z egyenlet megoldás során mindig figyelünk z értelmezési trtomány változásár, h lehet, z értékkészletet is vizsgáljuk, mert így szûkíteni lehet z lphlmzt. 40

41 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 VI. Másodfokú egyismeretlenes egyenlet DEFINÍCIÓ: Másodfokú egyismeretlenes egyenlet + + c = 0 lkr hozhtó, hol,, c ŒR, π 0. Megoldás lehetséges megoldóképlettel, szorzttá lkítássl, teljes négyzetté lkítássl, Viète-formulávl. Pl. + 3 = 0 vgy = 0 TÉTEL: Az + + c = 0 ( π 0) egyenlet megoldóképlete: 4c, = ±, hol - 4c 0. BIZONYÍTÁS: c = 0 / c = 0 / 4 teljes négyzetté lkítássl: ( + ) - + 4c = 0 / + - 4c - 4c - + 4c( + ) = - 4c / c Mivel l oldlon négyzetszám vn, mi nem lehet negtív, így - 4c sem lehet z. (H - 4c < 0, kkor nincs megoldás). H - 4c 0, kkor vonjunk mindkét oldlól gyököt, figyelve, hogy elkerüljük gyökvesztést: + = 4 c + =± 4c = ± 4c 4c, = ± DEFINÍCIÓ: Az + + c = 0 ( π 0) másodfokú egyenlet diszkrimináns D = - 4c. H D > 0, kkor z egyenletnek két különözõ vlós gyöke vn: 4c, = ±. H D = 0, kkor z egyenletnek két egymássl egyenlõ gyöke, vgyis vlódi gyöke vn: =, ezt kétszeres gyöknek is nevezzük, mert =. H D < 0, kkor z egyenletnek nincs vlós gyöke. TÉTEL: A másodfokú egyenlet gyöktényezõs lkj: H egy + + c = 0 ( π 0) egyenlet megoldhtó (zz D 0) és két gyöke vn és, kkor z + + c = ( - )( - ) minden vlós -re igz. TÉTEL: Viète-formulák: másodfokú egyenlet gyökei és együtthtói közti összefüggések: Az + + c = 0 ( π 0) lkn felírt (D 0) másodfokú egyenlet gyökeire: + = és c =. Grfikus megoldás: z + + c ( π 0) függvény zérushelyei dják megoldást. (Sõt > 0 esetre törekszem!) + + c= 4c ( + ) + c= ( ) c 4 ( + + = + ) +. 4 Olyn prol kép, melynek tengelypontj T, 4 c 4. 4

42 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 VII. Speciális egyenletek Mgs fokú, illetve izonyos eponenciális, logritmikus, szolút értékes, gyökös, trigonometrikus egyenletek új ismeretlen evezetésével másodfokú egyenletre vezethetõk vissz = 0 3 4= 0 lg 3lg 4 = 0 ( ) 3 4= = 0 sin 3sin 4 = 0 Ezek z egyenletek mind z = 0 másodfokú egyenletre vezethetõk vissz. VIII. Alklmzások: egyenes, kör, prol dott szcisszájú vgy ordinátájú pontjánk meghtározás mgs fokú egyenletek megoldás Pitgorsz-tétel koszinusztételõl oldl kiszámítás mély szkdék mélységének meghtározás: egy ledoott kõ doásától szkdék lján történõ koppnás hngjánk meghllásáig eltelt idõ mérésével. Mtemtiktörténeti vontkozások: Az ókori Mezopotámiáól Kr.e. 000-õl szármzó ékírásos tálákon tlálhtó jelek lpján tudjuk, hogy z kkori írástudók már meg tudtk oldni elsõ és másodfokú egyenleteket és egyenletrendszereket. A legrégei írásos emléken, Rhind-ppíruszon (~Kr.e. 750) láthtjuk nyomit gykorltól eredõ lgeri ismereteknek: 85, hétköznpi élettel összefüggõ számolási és geometrii feldtot trtlmz. Ezek között megtlálhtók z egyszerû elsõfokú egyismeretlenes egyenletek megoldási módszerei. Idõszámításuk kezdete körül keletkezett Kínán Mtemtik kilenc fejezeten címû mû. Ennek utolsó fejezetéen már megtlálhtó másodfokú egyenlet megoldásánk szály, mely zonos m hsznált megoldóképlettel. Euklidesz Kr.e. 300 körül élt görög mtemtikus Elemek címû mûvéen geometrikus tárgylásn vizsgált másodfokú egyenlet megoldásit, szkszok rányávl szerkesztette meg z ismeretlen szkszt. Viète ( ) frnci mtemtikus hsznált elõször etûket z együtthtók jelölésére, õ írt fel elõször gyökök és együtthtók közti összefüggéseket. Crdno (50 576) olsz mtemtikus meglkott hrmdfokú egyenlet megoldóképletét, negyedfokú egyenlet megoldását visszvezette hrmdfokú egyenlet megoldásár. Ael (80 89) norvég mtemtikus eizonyított, hogy z áltlános ötödfokú-, vgy mgsfokú egyenletekre nem létezik univerzális megoldóképlet (ról nevezték el mtemtiki Noel-díjnk megfelelõ Ael-díjt). Glois (8 83) frnci mtemtikus megmuttt, melyek zok z egyenlettípusok, melyek 4 lpmûvelettel és gyökvonássl megoldhtók. 4

43 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, A leíró sttisztik jellemzõi, digrmok. Nevezetes közepek. Vázlt: I. Adtsokságok jellemzõi (digrm, tálázt, osztályok sorolás) II. A leíró sttisztik jellemzõi: tálázt, osztály sorolás, mintvétel, gykoriság, reltív gykoriság III. Digrmok: kör-, oszlop-, vonldigrm, gykorisági digrm IV. Adtok jellemzése: középértékek (módusz, medián, átlg), terjedelem, szórás V. Nevezetes közepek (számtni, mértni, hrmonikus, négyzetes) Közepek közti összefüggések VI. Nevezetes közepek lklmzás szélsõérték-feldtokn összeg állndóság esetén szorzt mimlizálás szorzt állndóság esetén összeg minimlizálás VII. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Adtsokságok jellemzõi DEFINÍCIÓ: A sttisztik feldti közé trtozik, hogy izonyos egyedek meghtározott tuljdonságiról tájékozódjék, mjd szerzett (áltlán számszerû) dtokt feldolgozz, elemzi. Az elemzéshez összegyûjtött dtok hlmzát dtsokságnk, mintánk, meghtározott tuljdonságot ismérvnek, változónk nevezzük. A sokság elemeinek z ismérv szerinti tuljdonságát sttisztiki dtnk, z dtsokság elemeinek számát sokság méretének nevezzük. II. A leíró sttisztik jellemzõi A leíró sttisztik tömegesen elõforduló jelenségekkel, jelenségekõl nyert dtok vizsgáltávl, elemzésével (leírásávl) fogllkozik. A sttisztik egyik fontos feldt z dtok összegyûjtése. H vizsgálndó egyedek szám ngyon ngy, kkor nem minden egyedet vizsgálunk meg tuljdonság lpján, hnem z dtsokságnk vesszük egy részhlmzát, vgyis z egyedek közül mintát veszünk. A megfelelõen kiválsztott mint elemzéséõl következtethetünk sokság dtir. A reprezenttív mintvételnél törekedni kell rr, hogy vizsgált tuljdonság elõfordulás mintán közelítse sokságn vló elõfordulását. Pl. közvélemény-kuttás. Véletlenszerû mintvételnél sokság elemei egyenlõ vlószínûséggel kerülnek mintá. Pl. urnáól húzás. DEFINÍCIÓ: Az egyes dtok elõfordulásánk szám gykoriság. Az dtok összehsonlíthtóság mitt sokszor gykoriságnk teljes dtsoksághoz viszonyított rányávl, reltív gykorisággl dolgozunk, zz gykoriságot osztjuk z dtok számávl. Az dtokt megdhtjuk táláztos formán, így z dtok áttekinthetõen láthtók. Tálázt hsználtánk elõnye, hogy ngyo dthlmzokt tömören, helytkrékosn árázolhtunk. Leggykrn gykorisági táláztot hsználjuk, ez lehetséges dtokt és hozzájuk trtozó gykoriságokt trtlmzz. Osztályok soroljuk z dtokt, h ngy méretû (sok dtól álló) dtsoksággl dolgozunk, vgy h sok különözõ érték vn közel zonos gykorisággl sokságn, kkor z egymáshoz közeli értékek összevonásávl z dtokt osztályok rendezzük. Az osztály sorolásnál fontos szempont, hogy z osztályoknk diszjunktknk (különállóknk), de hézgmentesnek kell lennie. 43

44 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 III. Digrmok Az dtok grfikus megjelenítése digrmon történik, melynek típusát feldt htározz meg. Oszlopdigrm: z dtok egymáshoz vló viszonyát árázolj. Nem célszerû hsználni, h z dtok közt vn - kiugró érték (túl ngy: nem fér rá digrmr, túl kicsi: eltörpül töi oszlop közt), vgy h z dtok közötti eltérés ngyon kicsi (közel zonosnk látsznk z értékek). A vízszintes tengelyen z dtfjtáknk megfelelõ intervllumokt jelöljük, ezek fölé olyn tégllpokt rjzolunk, melyeknek területe rányos z dtfjt gykoriságávl. Hisztogrm (gykorisági digrm): z dtok gykorisági eloszlását oszlopdigrmon árázolj úgy, hogy z oszlopok hézgmentesen helyezkednek el. Sávdigrm: fordított oszlopdigrm, melyen két tengely helyet cserél, z oszlopok vízszintesek, zz sávok. Kördigrm: részdtoknk z egészhez vló viszonyát árázolj. Alklms %-os formán megdott dtok árázolásár. A teljes szög (360º) 00%-nk felel meg, megfelelõ százlékérték egyenesen rányos körcikk középponti szögével. Nem célszerû hsználni, h ngyon sok z dt (túl kicsik középponti szögek, nem összehsonlíthtók) Vonldigrm: koordinátrendszeren pontként árázolj z összetrtozó számpárokt, és ezeket töröttvonlll köti össze. Különözõ dtok (pl. idõeli) változását árázolj. A gykoriságok vonldigrmját gykorisági poligonnk nevezzük. IV. Sttisztiki muttók A középértékek Az dtsokság egészét csk leegyszerûsítéseket lklmzv tudjuk jellemezni. Ezt célt szolgálják középértékek, melyek egyetlen számml írnk le egy dthlmzt. Ezek elõnye, hogy megfelelõen lklmzv jól jelenítik meg z egész dtsokság vlmilyen tuljdonságát, ugynkkor hátrányuk, hogy nem nyújtnk képet z egyes dtokról. DEFINÍCIÓ: Egy dtsokságn leggykrn elõforduló dt mint módusz. H legngyo gykoriság csk egyszer fordul elõ z dtsokságn, kkor z egymóduszú, h töször is elõfordul, kkor tömóduszú, tehát módusz tö elem is lehet, h ugynkkor gykoriságuk. A módusz elõnye, hogy könnyen meghtározhtó, hátrány, hogy csk kkor d hsználhtó jellemzést mintáról, h töi dthoz képest sokszor fordul elõ. DEFINÍCIÓ: Az dtok összegének és z dtok számánk hánydos mint átlg (számtni közepe). H egyes dtok töször is elõfordulnk, kkor z összegen szorozni kell õket gykoriságukkl és z összeget gykoriságok összegével osztjuk. Ez súlyozott számtni közép. Az átlg fontos tuljdonság, hogy nál ngyo dtoktól vett eltéréseinek összege egyenlõ nál kise dtoktól vett eltéréseinek összegével. Hátrány, hogy egyetlen, töitõl jelentõsen eltérõ dt eltorzíthtj, így ekkor már nem jól jellemzi mintát. DEFINÍCIÓ: Pártln számú dt mediánj ngyság szerinti sorrendjüken középsõ dt, páros számú dt mediánj pedig két középsõ dt átlg. A definícióól dódik, hogy z összes elõforduló ismérvérték fele kise vgy egyenlõ, fele ngyo vgy egyenlõ, mint medián. Fontos tuljdonság, hogy z dtoktól mért távolságink összege minimális. A medián elõnye, hogy vlón középérték, hiszen ugynnnyi dt ngyo nál, mint hány kise. 44

45 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 A szóródás jellemzõi DEFINÍCIÓ: Az dtok legngyo és legkise elemének különségét mint terjedelmének nevezzük. Minél kise mint terjedelme, nnál jon jellemzi mintát. DEFINÍCIÓ: Az dtok átlgtól vló eltérések négyzetének átlg mint szórásnégyzete, ennek négyzetgyöke mint szórás: S = n i= ( ) i n A szórás megmuttj, hogy mint dti mennyire térnek el z átlgtól. Minél kise szórás, nnál jon jellemzi z átlg z dtsokságot. V. Pozitív számok nevezetes közepei DEFINÍCIÓ:,, 3,..., n nemnegtív számok számtni (ritmetiki) közepe: A = n mértni (geometrii) közepe: négyzetes (kvdrtikus) közepe: Q = 3 3 n G= n 3 n hrmonikus közepe: H = n n 3 n n., h,, 3,..., n > 0. TÉTEL: Közepek közti összefüggés: H G A Q. Egyenlõség kkor és csk kkor, h = = 3 =... = n. TÉTEL: Két nemnegtív vlós szám esetén +. BIZONYÍTÁS I.: Mivel z egyenlõtlenség mindkét oldl nemnegtív, ezért négyzetre emelés z eredetivel ekvivlens állítást foglmz meg. Tehát / / / nevezetes szorzttá lkítjuk 0 ( ) Az utolsó egyenlõtlenség igz, így z eredeti is z. Az eredmény lpján megállpíthtó, hogy két közép kkor és csk kkor lesz egymássl egyenlõ, h =. Ekkor = = + =. 45

46 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 BIZONYÍTÁS II.: Legyen 0 <. Vegyünk fel egy + oldlú négyzetet, és z oldlit osszuk fel z árán láthtó módon! t t t t A ngy négyzet területe egyenlõ keletkezõ részek területének összegével: ( + ) = 4t + ( - ) A kis tégllp területe: t =. Mivel ( - ) 0, ezért ezt tgot elhgyv z ( + ) 4t egyenlõtlenséghez jutunk. Behelyettesítve t helyére: ( + ) 4. Mivel feltétel mitt mindkét oldl pozitív, ezért gyököt vonhtunk: +. Amiõl +. BIZONYÍTÁS III.: Legyen, > 0, r = +. Vegyünk fel egy r sugrú kört, enne egy AB átmérõt, körvonlon egy A, B-tõl különözõ C pontot. C m A O B A Thlész-tétel mitt ACB = 90º. ABC háromszögre lklmzv mgsságtételt: m=. De kören m r, zz +. VI. Nevezetes közepek lklmzás szélsõérték-feldtokn. Összeg állndóság esetén szorztot tudjuk mimlizálni. Pl.: Azon tégltestek közül, melyek éleinek összege 60 cm, melyiknek térfogt mimális? Legyenek tégltest élei:, és c. Ekkor tégltest térfogt V = c, z élek összege: 4( + + c) = 60. Eõl + + c = 5. A számtni és mértni közép közti egyenlõtlenséget kihsználv: 5 ( ) ( ) c c + + c c c 5 c 5 V Mivel egyenlõség csk = = c esetén teljesül, így térfogt z 5 cm élû kock esetén mimális. 46

47 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07. Szorzt állndóság esetén z összeget tudjuk minimlizálni. Pl.: Azon tégllpok közül, melyeknek területe 00 cm, melyiknek kerülete minimális? Legyenek tégllp oldli és. Ekkor tégllp területe t = = 00, kerülete k = ( + ), miõl k = +. 4 A számtni és mértni közép közti egyenlõtlenséget kihsználv: + k 00 k 0 k Mivel egyenlõség csk = esetén teljesül, így kerület 0 cm oldlú négyzet esetén minimális. Pl.: f: R + Æ R, f( ) = +. Htározzuk meg z f() függvény minimumát! A számtni és mértni közép közti egyenlõtlenséget kihsználv: f( ). Ekkor z f minimumánk értéke f()=, minimum helye: VII. Alklmzások: = =. Sttisztik: közvélemény-kuttások, szvzások, gzdsági muttók, osztályátlgok, hiányzási sttisztikák, felvételi átlgpontok. Nevezetes közepek: számtni közép: sttisztiki átlg kiszámítás, mértni közép: átlgos növekedési ütem kiszámítás, mgsságtétel, efogótétel, négyzetes közép: sttisztiki szórás kiszámítás, hrmonikus közép: átlgseesség meghtározás. Mtemtiktörténeti vontkozások: A különféle középértékeket görög Pitgorsz és tnítványi vezették e Kr.e. VI-V. százdn. Õk fogllkoztk z : = : c ránypár vizsgáltávl. Így jutottk el mértni középrányos foglmához. Vlószínûleg z és mértni közepének keresésekor tlálták meg z elsõ irrcionális számot, -t. A sttisztik eredetileg állmszámtn volt. A sttisztik kifejezés ltin sttus (állm, állpot) és z olsz sttist (köztisztviselõ, politikus) szvkól szármztthtó. A sttisztik már z ókortól kezdve rról tájékozttt z állmok vezetõit, hogy mekkor dókt vethetnek ki z lttvlóikr, zokól mennyi evételük vn, mekkor ktonsággl számolhtnk egy eljövendõ háorún. Kínán már 4000 évvel ezelõtt összeírták lkosságot, z ingtlnokt, z ingóságokt. Anglián már XI. százdn összeírták földirtokokt, mely z dózás és hdsereg céljit szolgált. Mgyrországon középkorn dézsmjegyzékek (kilenced, tized), mjd z újkorn z uráriumok 530-tól (trtlmzt joágyok álltállományát, eszközeit, szerszámit, telkének ngyságát és milyenségét is), joágyösszeírások 700-s éveken, népszámlálások 800-s évektõl jelentették sttisztik lpjit. 47

48 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 A sttisztik polgári forrdlmk után vált igzi tudománnyá. A kpitlizmusn állmok vezetõin kívül tõkéseket is érdekelni kezdték sttisztiki felmérések, egyre komoly eszközöket hsználtk fel dtik feldolgozásár hsznuk növelése érdekéen. A XVII. százd ót mtemtiki sttisztik mtemtik önálló ágává fejlõdött, melynek fõ célj minél megízhtó hsznosíthtó információt nyerni felmérési, megfigyelési, mérési dtokól. Az 890-es Egyesült Állmokeli népszámlálásr Hollerith feltlált zt gépet, mely sttisztiki dtokt lyukkártyák elektromos leolvsásávl és rendszerezésével dolgozt fel. A gép gyártásár Hollerith céget lpított, melyõl késõ z IBM jött létre. 48

49 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, Számsoroztok és tuljdonságik (korlátosság, monotonitás, konvergenci). Mûveletek konvergens soroztokkl. A számtni sorozt, z elsõ n tg összege. Vázlt: I. Számsorozt definíciój, megdási módji II. Tuljdonsági: monotonitás, korlátosság, konvergenci; kpcsoltuk III. Mûveletek konvergens soroztokkl IV. Számtni sorozt V. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Számsorozt DEFINÍCIÓ: A számsorozt olyn függvény, melynek értelmezési trtomány pozitív egész számok hlmz, értékkészlete pedig vlmilyen számhlmz. Az,,, n tgokól álló soroztot { n }-nel vgy ( n )-nel jelöljük. A sorozt n-edik tgj: n. Soroztok megdás történhet: Függvényszerûen: f: N + Æ R,, tgji, 4, 9, 6, Az n-edik áltlános tgot elõállító formulávl: n = 3 n. Az elemeit egyértelmûen meghtározó utsítássl: { n } = { n utolsó számjegye}. A sorozt tgjivl: 3, 6, 9,, 5, 8, Rekurzív módon: megdjuk sorozt elsõ néhány tgját, vlmint képzési szályt, mellyel sorozt következõ tgji megelõzõkõl megkphtók. Pl.: Fioncci sorozt: =, =, n = n - + n -, h n 3. A tgok:,,, 3, 5, 8, 3,. II. Soroztok tuljdonsági: DEFINÍCIÓ: Az { n } sorozt szigorún monoton növõ, h minden pozitív egész n-re teljesül: n < n +. DEFINÍCIÓ: Az { n } sorozt szigorún monoton csökkenõ, h minden pozitív egész n-re teljesül: n > n +. H nem szigorú monotonitást, csk monotonitást kérjük, kkor megengedett z egyenlõség is. H egy sorozt monotonitását keressük, kkor áltlán nem z < n > n + kpcsoltot vizsgáljuk, hnem vgy n+ < n> 0, vgy n+ < >. H sorozt szigorún monoton növõ, kkor n 49

50 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 n n+ - n > 0, illetve + >, h sorozt szigorún monoton csökkenõ, kkor n+ - n < 0, n n illetve + <. H ármelyik eseten reláció mellett z egyenlõség is teljesül, kkor sorozt csk monoton. Tönyire feldt típus dönti el, hogy melyik módszerrel vizsgáljuk n sorozt monotonitását. Mgs kitevõjû vgy fktoriálist trtlmzó összefüggések esetén célszerû hánydossl vló vizsgált, gykrn hsználjuk különséggel vló számolást. DEFINÍCIÓ: Egy { n } soroztnk K felsõ korlátj, h n K minden pozitív egész n-re teljesül. Ilyenkor soroztot felülrõl korlátosnk nevezzük. DEFINÍCIÓ: Egy { n } soroztnk k lsó korlátj, h n k minden pozitív egész n-re teljesül. Ilyenkor soroztot lulról korlátosnk nevezzük. DEFINÍCIÓ: Egy sorozt korlátos, h lulról és felülrõl is korlátos. DEFINÍCIÓ: A felülrõl korlátos sorozt legkise felsõ korlátját sorozt felsõ htáránk, lulról korlátos sorozt legngyo lsó korlátját sorozt lsó htáránk nevezzük. TÉTEL: Felülrõl korlátos soroztnk vn felsõ htár, lulról korlátos soroztnk vn lsó htár. TÉTEL: Végtelen sok egymás sktulyázott, zárt intervllumnk vn közös pontj. H z intervllumok hossz minden pozitív számnál kiseé válik, kkor pontosn egy közös pont vn. DEFINÍCIÓ: Az { n } sorozt konvergens és htárértéke z A szám, h minden pozitív e számhoz létezik olyn N pozitív egész, hogy sorozt N utáni tgji mind z A szám e sugrú környezetée esnek, vgyis minden pozitív e számhoz létezik olyn N pozitív egész, hogy minden n > N esetén Ω n - AΩ < e. Jelölése: lim = A, vgy n Æ A. n Ez szemléletesen zt jelenti, hogy ármilyen kis pozitív e-r soroztnk csk véges sok tgj esik z ]A - e, A + e[ intervllumon kívülre. DEFINÍCIÓ: Az olyn soroztokt, melyeknek nincs htárértéke, divergens soroztoknk nevezzük. TÉTEL: A konvergens soroztok tuljdonsági: Konvergens soroztnk csk egy htárértéke vn. H egy sorozt konvergens, kkor korlátos. H egy sorozt monoton és korlátos, kkor konvergens. A sorozt htárértéke monoton növekedés esetéen sorozt felsõ, monoton csökkenés esetéen sorozt lsó htár. H minden n ŒN + -r n n c n és n Æ A, c n Æ A, kkor n Æ A. Ez rendõr-elv. III. Mûveletek konvergens soroztokkl: H { n } és { n } konvergens és n Æ A, n Æ B, kkor n ± n Æ A ± B n n Æ A B c n Æ c A, hol c ŒR n A, hol n π 0, B π 0 B n n 50

51 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 IV. Számtni sorozt DEFINÍCIÓ: Azt számsoroztot, melyen második tgtól kezdve ármely tg és közvetlenül elõtte álló tg különsége állndó, számtni soroztnk nevezzük. Ez különség differenci, jele d. H egy számtni soroztnál d > 0, kkor sorozt szigorún monoton növõ, és lulról korlátos. d = 0, kkor sorozt konstns. d < 0, kkor sorozt szigorún monoton csökkenõ, és felülrõl korlátos. TÉTEL: H egy számtni sorozt elsõ tgj, differenciáj d, kkor n-edik tgj n = + (n - )d. BIZONYÍTÁS: teljes indukcióvl. Definíció szerint - = d = + d. Tegyük fel, hogy k-dik elemre igz z állítás, zz k = + (k - )d. Bizonyítni kell, hogy (k + )-edik elemre öröklõdik, zz k + = + ((k + ) - )d = = + kd. A definíció szerint k + - k = d k + = k + d = + (k - )d + d = + kd. Így eizonyítottuk z öröklõdést, tehát igz z állítás. TÉTEL: A számtni sorozt elsõ n tgjánk összege (S n ) z elsõ és z n-edik tg számtni közepének n-szeresével egyenlõ: Sn = n. + n BIZONYÍTÁS: z összeget felírjuk z., ztán z n-edik tgtól kiindulv: S n = n - + n - + n S n = n + n - + n S n = + ( + d) + ( + d) ( + (n - 3)d) + ( + (n - )d) + ( + (n - )d) S n = n + ( n - d) + ( n - d) ( n - (n - 3)d) + ( n - (n - )d) + ( n - (n - )d) Összedv: Sn = ( + n) + ( + n) + + ( + n). Ezzel tételt izonyítottuk. + ( n ) d TÉTEL: S n másik lkj: Sn = n. n Sn = ( + n) n + n Sn = n TÉTEL: Tetszõleges elem tõle szimmetrikusn elhelyezkedõknek számtni közepe: n k+ n+ k n =. Számtni sorozt konvergenciáj: Csk d = 0 esetén konvergens számtni sorozt. V. Alklmzások: A Fioncci-sorozt elemeivel sok helyen tlálkozhtunk természeten. Például fenyõtooz, z nnász pikkelyei, nprforgó mgji Fioncci spiráln helyezkednek el. Speciális soroztok htárértéke: lim 0 n n = 5

52 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 n lim ( ) e n n Következmény: lim ( ) lim q n n + =, mi természetes lpú logritmus lpszám (Euler típusú sorozt). n + e n n =. 0, h q < =, h q >. Ez mértni sorozt. nem létezik, h q, h q = Anlízis: függvény htárértékénél, folytonosságánál. Irrcionális kitevõjû htvány foglm sorozt htárértékével. Mtemtiktörténeti vontkozások: Bilónián Kr.e. VI. III. százdn már ismerték számtni hldvány összegképletének megfelelõ eljárást. Utsítást dtk z elsõ n négyzetszám összegének kiszámításár (4. tétel). A pitgoreusok (Pitgorsz tnítványi) Kr.e körül tudták számtni sorozt tgjit összegezni, ismerték z elsõ n pártln szám összegét (4. tétel). A számtni sorozt összegképletére hinduk z V. XII., kínik pedig VI. IX. százdn jöttek rá. Euler (77 783) német mtemtikus vezette e ról elnevezett sorozt htárértékét e-nek. Cuchy ( ) frnci mtemtikus fektette szilárd lpokr mtemtik lpvetõ foglmit (mint például konvergenci, sorozt, htárérték), õ definiált ezeket mtemtikán megkövetelt sztossággl. 5

53 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, Mértni sorozt, z elsõ n tg összege, végtelen mértni sor. Kmtszámítás, gyûjtõjárdék, törlesztõrészlet. Eponenciális folymtok társdlomn és természeten. Vázlt: I. Mértni sorozt, sorozt áltlános tgj, z elsõ n tg összege II. Végtelen mértni sor III. Kmtszámítás IV. Gyûjtõjárdék V. Törlesztõjárdék VI. Eponenciális folymtok társdlomn és természeten VII. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Mértni sorozt, sorozt áltlános tgj, z elsõ n tg összege DEFINÍCIÓ: A számsorozt olyn függvény, melynek értelmezési trtomány pozitív egész számok hlmz, értékkészlete pedig vlmilyen számhlmz. Az,,, n tgokól álló soroztot { n }-nel vgy ( n )-nel jelöljük. A sorozt n-edik tgj: n. DEFINÍCIÓ: Azt számsoroztot, melyen második tgtól kezdve ármely tg és közvetlenül elõtte álló tg hánydos állndó, mértni soroztnk nevezzük. Ez hánydos kvóciens, jele q. A definíció kizárj, hogy sorozt ármely eleme 0 legyen, továá hánydos sem lehet 0. TÉTEL: H egy mértni sorozt elsõ tgj, hánydos q, kkor n-edik tgj n = q n -. BIZONYÍTÁS: teljes indukcióvl számtni sorozt n-edik tgjához hsonlón. TÉTEL: A mértni sorozt elsõ n tgjánk összege: h q =, kkor S n = n qn h q π, kkor Sn = q. BIZONYÍTÁS: n h q =, kkor sorozt minden tgj, így Sn = = n. h q π, kkor z összeget írjuk fel -gyel, és q-vl: S n = + q + q q n - + q n -. Szorozzuk meg mindkét oldlt q-vl: S n q = q + q + q q n - + q n. 53

54 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Vonjuk ki két egyenletet egymásól: S n q - S n = q n -. S n (q - ) = (q n - ). Osszuk mindkét oldlt (q - ) π 0-vl: qn Sn =, q így állításunkt eláttuk. TÉTEL: Bármely elem négyzete egyenlõ tõle szimmetrikusn elhelyezkedõ tgok szorztávl: =. n n k n+ k TÉTEL: Pozitív tgú soroztnál ármely elem tõle szimmetrikusn elhelyezkedõ elemek mértni közepe: n = n k n+ k. Mértni sorozt konvergenciáj: n Æ, h q =. n Æ 0, h ΩqΩ <. { n } divergens, h q = -, vgy ΩqΩ >. II. Végtelen mértni sor DEFINÍCIÓ: Legyen dott egy { n } számsorozt. Az n - + n - + n +... végtelen sok tgú összeget végtelen sornk (vgy röviden sornk) nevezzük. Jelölés: n + n + n + = i i = DEFINÍCIÓ: H z n - + n - + n +... végtelen sorn z,, 3,..., n -, n -, n,... tgok egy mértni sorozt tgji, kkor sort mértni sornk nevezzük. Felmerül kérdés, hogy mit értsünk végtelen sok szám összegén, hiszen véges sok szám esetén megszokott módszerek nem lklmzhtók. DEFINÍCIÓ: A sor összegén z S = S = + S n = n úgynevezett részletösszegek soroztánk htárértékét értjük, mennyien ez htárérték létezik. Tehát sor összegét egy olyn sorozt htárértékével definiáljuk, mely sorozt elsõ tgj, n-edik tgj z eredeti sorozt elsõ n tgjánk összege. TÉTEL: H egy mértni sorn ΩqΩ <, kkor mértni sor konvergens, és összege S =, h q ΩqΩ, kkor nem konvergens. 54

55 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 III. Kmtszámítás Pénzügyi folymtokn kmt kölcsöndott, illetve letéte helyezett pénzösszeg, vgyis tõke hsználtáért járó díj egy dott idõszkr. A kmt ngyságát tõke százlékán fejezzük ki, ez kmtlá (p%). De számolhtunk kmttényezõvel (q) is, mi kmtlá 00-d részével tér el p p z -tõl: értéknövekedés esetén q = +, értékcsökkenés esetén q = Kmtos kmtról kkor eszélünk, h kmtozási idõszk végén kmtot hozzádják tõkéhez, és után ez megnövekedett érték kmtozik. A kmtos kmt számítás mértni sorozt lklmzásánk olyn speciális esete, mikor soroztnk vn nulldik tgj, mit pénzügyi számításokn -vl (nnuitás rövidítése) jelölünk. Kmtoskmt-számítás: h egy összeg p%-kl kmtozik évente, kkor z n-edik év végére z n p összeg n = H p q = + kmttényezõ, kkor n = q n. Ez olyn mértni sorozt n-edik eleme, melynek elsõ eleme q, hánydos q. 00 Az n összefüggéséen négy mennyiség szerepel, közülük ármely hármt ismerve negyedik kiszámolhtó. A kmtozás üteme nem csk éves, hnem hvi, npi, st. Ekkor figyelni kell rr, hogy kmttényezõ és z idõszk hossz zonos ngyságú idõszkr vontkozzon. p H z éves kmtlá p%, z éves kmttényezõ q, kkor hvi kmttényezõ + = q, 00 p hsonlón npi kmttényezõ = 365 q. 00 IV. Gyûjtõjárdék Gyûjtõjárdékról kkor eszélünk, h egy lpösszeget egyenlõ idõközönként ugynkkor öszszeggel növelünk, vgyis egyenlõ idõközönként zonos összeget elhelyezünk nkn ugynzon számlán, vgyis gyûjtjük pénzt, minden etett összegünk kmtos kmttl kmtozik. Gyûjtõjárdék számítás: minden év elején egy összeget teszünk nk, és ez p%-kl kmtozik évente úgy, hogy következõ év elején megnövekedett összeghez tesszük hozzá z újt. p H q = + kmttényezõ, kkor z n-edik év végén rendelkezésre álló összeg egy olyn 00 mértni sorozt elsõ n elemének összege, hol = q. Ekkor z n-edik év végére összeget gyûjtünk. qn Sn = q q V. Törlesztõrészlet Törlesztõrészletrõl kkor eszélünk, h egy hitelt egyenlõ idõközönként ugynkkor összeggel fizetünk vissz, zz egyenlõ idõközönként zonos összeggel csökkentjük trtozásunkt, vgyis törlesztjük hitelt, minden efizetett összeg után csk fennálló trtozásr fizetünk kmtos kmtot. Törlesztõrészlet számítás: felveszünk n évre S n ngyságú hitelt évi p%-os kmtr, és minden éven összeget törlesztünk. Az n-edik év végére efizetéseknek kmtokkl megnövelt értékének egyenlõ kell lennie kölcsön n év ltt p%-os kmtozássl megnõtt értékével. H q = + p 00 kmttényezõ, kkor hitelre fennálló összefüggés: n n q Sn q = q. 55

56 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 VI. Eponenciális folymtok társdlomn és természeten A társdlomn és természeten lejátszódó eponenciális folymtok fõ típusi z idõen, illetve téren lejátszódó, vlmint z eponenciálisn növekedõ, illetve csökkenõ folymtok. Az idõen lezjló eponenciálisnövekedést N t = N 0 e lt, csökkenést N t = N 0 e lt képlet írj le, hol N 0 kezdeti mennyiség és N t t idõponteli mennyiség. Az eponenciális folymtr jellemzõ l prméter, mit rendszerint pozitívnk válsztnk csökkenés esetén is. Az eponenciálisn növekedõ mennyiségek minél ngyok, nnál gyorsn növekszenek. A növekedés mértéke rányos mennyiség ngyságávl. Az eponenciálisn növekvõ mennyiségek változását eponenciális függvény írj le. Az eponenciális változás lehet folytonos (pl. populáció növekedése), illetve diszkrét (pl. kmtos kmt). Az egyik legjellemzõ prolém Föld túlnépesedése. Egy mtemtiki modell szerint népesség 837 ót (kkor lkosság k milliárd volt) z elõzõ évinek,%-ávl növekedett. Ez zt jelenti, hogy837 ót Föld lkosságát leíró képlet: N t =,0 t. A modell szerint Föld lkosság k 63 évente megduplázódik (,0 63 ª ). Mi ismereteink szerint 06-r dott 8 milliárd lkos ecslés közel áll vlósághoz. Az eponenciális népességnövekedés ezek szerint zt is jelenti, hogy ugynnnyi idõközönként egyre ngyo számml növekszik népesség. A rendelkezésre álló erõforrások például energi, nyersnyg, élelem zonn nem tudnk lépést trtni ezzel növekedéssel. Így vgy z életfeltételek romlnk drámin, vgy népesség növekedési ütemének kell drsztikusn csökkennie. A természeten populációk növekedési folymt kezdeten eponenciális függvénnyel írhtó le (ideális körülmények között: táplálékõség, rgdozók hiány). Elõ-utó zonn eljön telítõdés ideje, mikor is növekedés különözõ okok mitt erõsen lelssul; természeten ilyen okok terület eltrtóképessége és fjtársk vetélkedése. A diszkrét eponenciális növekedés leggykori felhsználási területe kmtos kmt számítás, ekkor kmtot évente egyszer és nem kmt keletkezésének idõpontján tõkésítik, vgyis veszik hozzá tõkéhez. A diszkrét eponenciális csökkenés elsõsorn tárgyk (pl. utó, számítógép) értékcsökkenésének számolás, ekkor csökkenés mértéke z elõzõ idõszk százlékán dott. Évi p%-os értékcsökkenés esetén n év múlv tárgy értéke: n = 00 n p. Pl. h évente %-kl csökken tárgy értéke, kkor k 6 év ltt tárgy értéke felére csökken, 6 év een z eseten tárgy értékének felezési ideje. Téren eponenciális folymt pl z egyes sugárzások elnyelõdése homogén közegen. Ezek hsonló képletekkel írhtók fel, mint z idõen eponenciális folymtok, de idõ helyett távolság változó. Az eponenciális folymtok lényege tehát z, hogy egyenlõ idõközök ltt mindig ugynnnyiszorosár változik vizsgált mennyiség. 56

57 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 VII. Alklmzások: Végtelen szkszos tizedestörtek közönséges tört lkr hozáskor konvergens mértni sor tuljdonságit hsználjuk. 0, h q < lim n q =, h q >. Ez mértni sorozt. n nem létezik, h q, h q = Az N = N 0 e l(t - t 0) omlási törvényen, hol N még el nem ontott részecskék szám, N 0 kezdeti részecskeszám, l z nygr jellemzõ omlási állndó. A felezési idõ ltt rdioktív tomok szám kezdeti érték felére csökken, kármelyik pillnt z idõ mérésének kezdete. Eponenciális függvénnyel írhtó le, zz mértni sorozt szerint változó folymtok pl rdioktív izotópok omlási egyenletei, vgy z oldódás folymt, kondenzátor feltöltõdésének és kisülésének folymt, ktériumok számánk változás. Mtemtiktörténeti vontkozások: A legrégei írásos emléken, Rhind-ppíruszon (~Kr.e. 750) tlálhtó egy mértni soroztos feldt: 7 ház mindegyikéen 7 mcsk él, mindegyik mcsk 7 egeret õriz. Hány egér volt összesen? Vlószínûleg z egyiptomik ismerték mértni sorozt összegképletének kiszámítási módját (nem mgát képletet, hnem módszert). A mértni sorozt összegképletét z 300-s éveken Beldomndi olsz mtemtikus tlált ki. Koch (870 94) svéd mtemtikus meglkott Koch-görét: egy szályos háromszög oldlit hrmdoljuk, középsõ hrmd fölé írjunk kifele egy új szályos háromszöget, mjd ezen háromszögön hjtsuk végre z oldl hrmdolását, középsõ hrmd fölé írjunk kifele egy új szályos háromszöget, mjd ezt z eljárást folytssuk végtelenségig. Mekkor kilkult lkzt kerülete, területe? Megoldás végtelen mértni sorrl. 57

58 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07. Függvények lokális és gloális tuljdonsági. A differenciálszámítás és lklmzási. Vázlt: I. Függvény foglm, értelmezési trtomány, értékkészlet II. Függvénytuljdonságok: Lokális függvénytuljdonságok: zérushely, monotonitás, lokális (helyi) szélsõérték, görület, infleió, folytonosság. Gloális függvénytuljdonságok: értelmezési trtomány, értékkészlet, gloális (szolút) szélsõérték, pritás, periodikusság, folytonosság, korlátosság. III. Differenciálszámítás IV. A differenciálszámítás lklmzás: Függvény érintõje Függvényvizsgált V. Szélsõérték-prolémák vizsgált differenciszámítássl VI. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Függvény foglm, értelmezési trtomány, értékkészlet DEFINÍCIÓ: Legyen A és B két nem üres hlmz. Azt mondjuk, hogy megdunk egy A hlmzon értelmezett B-eli értéket felvevõ függvényt, h A minden eleméhez hozzárendeljük B egy és cskis egy elemét. Jele: f: A Æ B. DEFINÍCIÓ: Értelmezési trtománynk nevezzük z A hlmzt. Jele D f. DEFINÍCIÓ: Értékkészlet B hlmz zon elemeiõl álló hlmz, melyek hozzárendelésnél fellépnek (vgyis z f() értékek). Jele z R f. DEFINÍCIÓ: H c ŒD f, kkor c helyen felvett függvényértéket f(c)-vel jelöljük, ez helyettesítési vgy függvényérték. DEFINÍCIÓ: H z értelmezési trtomány és z értékkészlet is számhlmz, kkor függvényt grfikonon tudjuk szemléltetni. A grfikon z (; f()) pontok hlmz. II. Függvénytuljdonságok Lokális függvénytuljdonságok: zérushely, monotonitás, lokális (helyi) szélsõérték, görület, infleió, ponteli folytonosság. DEFINÍCIÓ: zérushely: Az értelmezési trtomány zon 0 eleme, hol függvény értéke 0. f( 0 ) = 0. DEFINÍCIÓ: monotonitás: Az f függvény z értelmezési trtományánk egy intervllumán monoton nõ, h z intervllum minden olyn, helyén, melyre <, kkor f( ) f( ) teljesül. Az f függvény z értelmezési trtományánk egy intervllumán monoton csökken, h z intervllum minden olyn, helyén, melyre <, kkor f( ) f( ) teljesül. H z egyenlõtlenségen z egyenlõség nincs megengedve, kkor szigorú monotonitásról eszélünk. 58

59 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 DEFINÍCIÓ: lokális (helyi) szélsõérték: Az f függvénynek z 0 ŒD f helyen lokális mimum vn, h z 0 -nk vn olyn I környezete, melynek minden ŒD f pontján f() f( 0 ). Az 0 helyet lokális (helyi) mimumhelynek nevezzük. Az f függvénynek z 0 ŒD f helyen lokális minimum vn, h z 0 -nk vn olyn I környezete, melynek minden ŒD f pontján f() f( 0 ). Az 0 helyet lokális (helyi) minimumhelynek nevezzük. A monotonitás és szélsõérték definíciójáól következik, hogy hol függvény monotonitást vált, ott lokális szélsõértéke vn. DEFINÍCIÓ: görület: A függvényt egy intervllumn konvenek nevezzük, h z intervllum + f( ) + f( ) ármely két, pontjár teljesül z f egyenlõtlenség. H z egyenlõtlenség fordított irányú, kkor függvény konkáv z dott intervllumon. Szemléletesen konve (illetve konkáv) görékre jellemzõ, hogy göre ármely két pontját összekötõ szksz göre felett (illetve ltt) hld. y f ( )+ f ( ) + f + DEFINÍCIÓ: infleió: A függvénygörének zt pontját, hol göre konveõl konkáv, vgy konkávól konvee megy át, infleiós pontnk nevezzük. DEFINÍCIÓ: ponteli folytonosság: Az f függvény z értelmezési trtománynk egy 0 pontján folytonos, h létezik z 0 pontn htárértéke és z megegyezik helyettesítési értékkel, vgyis f( ) = lim f( ). 0 0 Gloális függvénytuljdonságok: értelmezési trtomány, értékkészlet, gloális (szolút) szélsõérték, pritás, periodikusság, intervllumeli folytonosság, korlátosság. DEFINÍCIÓ: gloális (szolút) szélsõérték: Az f függvénynek z 0 ŒD f helyen gloális mimum vn, h minden ŒD f pontján f() < f( 0 ). Az 0 helyet gloális mimumhelynek nevezzük. Az f függvénynek z 0 ŒD f helyen gloális minimum vn, h minden ŒD f pontján f() > f( 0 ). Az 0 helyet gloális minimumhelynek nevezzük. Tehát szélsõérték szolút (gloális) szélsõérték 0 -n, h z értelmezési trtomány minden pontjár igzk z egyenlõtlenségek. DEFINÍCIÓ: pritás: Az f függvény páros, h értelmezési trtományánk minden elemére is eleme z értelmezési trtománynk, továá z értelmezési trtomány minden elemére f() = f(-). Az f függvény pártln, h értelmezési trtományánk minden elemére is eleme z értelmezési trtománynk, továá z értelmezési trtomány minden elemére f() = -f(-)). A páros függvénynek grfikonj tengelyesen szimmetrikus z y tengelyre. (pl. n, ΩΩ, cos). A pártln függvények grfikonj középpontosn szimmetrikus z origór. (pl. n +,, sin, tg). 59

60 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 DEFINÍCIÓ: periodikusság: Az f függvény periodikus, h létezik olyn p π 0 vlós szám, hogy függvény értelmezési trtományánk minden elemére + p is eleme z értelmezési trtománynk, továá z értelmezési trtomány minden elemére f( + p) = f(), hol p függvény periódus (pl. trigonometrikus függvények, törtrész függvény). DEFINÍCIÓ: intervllumeli folytonosság: Az f függvény egy nyílt intervllumn folytonos, h z intervllum minden pontján folytonos (pl.: folytonos: n, log,, sin, cos; nem folytonos: egészrész,, tg, ctg). DEFINÍCIÓ: korlátosság: Az f függvény felülrõl korlátos z értelmezési trtományánk egy intervllumán, h létezik olyn K szám, hogy z intervllum minden pontján f() K. Egy függvény felsõ korláti közül legkiseet függvény felsõ htáránk (szuprémumánk) nevezzük. Az f függvény lulról korlátos z értelmezési trtományánk egy intervllumán, h létezik olyn k szám, hogy z intervllum minden pontján f() k. Egy függvény lsó korláti közül legngyot függvény lsó htáránk (infimumánk) nevezzük. Korlátos egy függvény, h lulról és felülrõl is korlátos. III. Differenciálszámítás: DEFINÍCIÓ: Legyen f egy ], [ intervllumon értelmezett függvény és 0 z értelmezési trtomány f( ) f( 0 ) egy pontj. Ekkor g ( ) = függvényt z f függvény 0 ponthoz trtozó különségi hánydos (differencihánydos) függvényének 0 nevezzük. f () y f ( 0) f () f( 0 ) 0 0 DEFINÍCIÓ: Az f függvény 0 ponthoz trtozó különségi hánydosánk z 0 helyen vett htárértékét (h ez htárérték létezik és véges) z f függvény 0 ponteli differenciálhánydosánk vgy deriváltjánk nevezzük. f( ) f( Jel: 0 ) f ( 0 ) = lim. 0 0 DEFINÍCIÓ: H egy függvénynek egy pontn vn deriváltj, kkor zt mondjuk, hogy függvény een pontn differenciálhtó (deriválhtó). Az 0 ponteli differenciálhánydos egy árázolhtó függvény esetéen függvény grfikonjánk ( 0, f( 0 )) pontjához húzott érintõ meredeksége. Pl.: f: R Æ R, f() = Differencihánydos 0 = pontn: ( 4+ 5) ( 4 + 5) ( 3)( ) g ( ) = = 4+ 3 = = 3, h π. g nincs értelmezve z = helyen, de lim( 3) = létezik és véges fi f () = -. Tehát prol érintõjének meredeksége = helyen -. 60

61 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Differencihánydos 0 -n: ( 4+ 5) ( ) g ( ) = = = 0 0 ( + 0)( 0) 4( 0) ( 0)( + 0 4) = = = h π 0 f ( 0 ) = lim ( + 0-4) = 0-4 fi tetszõleges pontn: f () = DEFINÍCIÓ: H f függvénynél z értelmezési trtomány minden olyn pontjához, hol f differenciálhtó hozzárendeljük differencihánydos értékét, kkor z f függvény differenciálhánydos (derivált) függvényét kpjuk. Jelölés: f (). TÉTEL: Deriválási szályok (f és g függvények deriválhtók z helyen, és deriváltjuk itt f (), illetve g ()):. f() = c, c = állndó fi f () = 0. (c f()) = c f (), c ŒR 3. (f() ± g()) = f () ± g () 4. (f() g()) = f () g() + f() g () f( ) f ( ) g( ) f( ) g ( ) 5. g ( ) = g ( ) 6. (f(g())) = f (g()) g () TÉTEL: Elemi függvények deriváltji:. ( n ) = n n -, h > 0, n ŒN +.. ( ) = ln, h > 0, π. (e ) = e. 3. (log ) = ln, h > 0, π, > (ln ) =, h > (sin) = cos. 6. (cos) = -sin. TÉTEL: Htványfüggvény deriváltfüggvénye: ( n ) = n n -, h > 0, n ŒN +. BIZONYÍTÁS: teljes indukcióvl n = -re igz: f() = esetéen f( ) f( 0) 0 l oldl: f ( = = = = 0 ) lim lim lim ( ) = igz. jo oldl: = 0= Tegyük fel, hogy n = k-r igz: ( k ) = k k -. Bizonyítjuk z öröklõdést: ( k + ) = (k + ) k. Bl oldl: ( ) = ( ) = + ( ) = + k = + k = ( k+ ) k+ k k k k k k k k htványozás szorzt zonosság deriváltj Ez pedig pontosn jo oldl, ezzel állításunkt eizonyítottuk. 6

62 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 IV. A differenciálszámítás lklmzás Függvény dott ponteli érintõje H z f() függvény z 0 pontn differenciálhtó, kkor grfikonjánk z ( 0 ; f( 0 )) pontn vn érintõje és f ( 0 ) een pontn z érintõ meredeksége. Ekkor függvény 0 -eli érintõjének egyenlete: y = f ( 0 ) ( - 0 ) + f( 0 ). Függvényvizsgált TÉTEL: Az f függvény z ], [ intervllum minden pontján differenciálhtó. H z intervllum minden pontján f () > 0, kkor f z ]; [-n szigorún monoton nõ. f () < 0, kkor f z ]; [-n szigorún monoton csökken. f () 0, kkor f z ]; [-n monoton nõ. f () 0, kkor f z ]; [-n monoton csökken. TÉTEL: Legyen z f függvény z ], [ minden pontján differenciálhtó. H z intervllum egy 0 pontján deriváltj 0 és ott derivált függvény elõjelet vált, kkor 0 -n z f függvénynek lokális szélsõértéke vn. H negtívól pozitív vált deriváltfüggvény elõjele (z f szigorún monoton csökkenõõl vált szigorún monoton növõre), kkor lokális minimum, h pozitívól negtív vált, kkor lokális mimum vn. TÉTEL: Legyen z f függvény z ], [ minden pontján kétszer differenciálhtó. H z intervllum egy 0 pontján z elsõ derivált 0 és második derivált nem null, kkor 0 -n z f függvénynek lokális szélsõértéke vn. H f ( 0 ) > 0, kkor lokális minimum, h f ( 0 ) < 0, kkor lokális mimum vn. TÉTEL: Legyen z f függvény egy [, ]-n deriválhtó és legyen z f függvény is deriválhtó [, ]-n. H z [, ] minden pontján f () 0, kkor f z [, ]-n konve, h f () 0, kkor konkáv. TÉTEL: Legyen z f függvény egy [, ]-n deriválhtó és legyen z f függvény is deriválhtó [, ]-n. H z intervllum egy 0 pontján f () = 0 és itt z f függvény elõjelet vált, kkor 0 pontn z f függvénynek infleiós pontj vn. V. Szélsõérték-prolémák vizsgált differenciálszámítássl A szélsõérték feldt szövegének értelmezése után felírjuk változók közti összefüggéseket. H tö változó vn, kkor z egyik segítségével kifejezzük töit és eírjuk kifejezése, melynek szélsõértékét vizsgáljuk. Így kpunk egy egyváltozós függvényt, minek szélsõértékét kell meghtározni. Ezt nevezetes közepek közti összefüggésekkel, függvénytuljdonságok (trnszformáció) lpján, vlmint deriválássl lehet megállpítni: Lokális szélsõértéke vn differenciálhtó függvénynek 0 -n, h ott z elsõ derivált 0, és derivált een pontn elõjelet vált, zz második derivált nem null. A derivált zérushelye szükséges, de nem elégséges feltétele helyi szélsõérték létezésének. Minimum vn, h z elsõ derivált negtívól pozitív vált, illetve h második derivált ezen helyen pozitív; mimum vn, h z elsõ derivált pozitívól negtív vált, illetve h második derivált negtív ezen helyen, Szélsõértékvizsgált f () segítségével: z f() differenciálhtó függvényt deriváljuk, kiszámoljuk zérushelyét, mjd zérushely segítségével megállpítjuk deriváltjánk elõjelét. Ehhez vgy z lpfüggvények tuljdonságit hsználjuk, vgy szorzt, illetve hánydos elõjelét vizsgáljuk. Utóir kkor vn szükség, h z elsõ derivált nem z lpfüggvények közül kerül ki, ekkor deriváltt lehetõ legjon szorzttá, illetve hánydossá lkítjuk. Az elsõ derivált elõjeléõl következtetni 6

63 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 tudunk függvény monotonitási viszonyir is: zon z intervllumon, hol függvény elsõ deriváltj pozitív, függvény nõ, hol negtív, ott függvény csökken. Pl.: f: R + Æ R, f() = 3-3 fi f () = 3-3. f () zérushelye: = ± f () elõjele: f () > 0, h < -, f () < 0 h - < <, tehát lokális mimum vn z = - helyen, értéke f(-) =. f () < 0 h - < <, f () > 0, h >, tehát lokális minimum vn z = + helyen, értéke f() = - A függvény szigorún monoton nõ, hol f () > 0, zz Œ]- ; -[» ]; [, szigorún monoton csökken, hol f () < 0, zz Œ]-; [. Szélsõértékvizsgált f () segítségével: z f() kétszer differenciálhtó függvényt kétszer deriváljuk, kiszámoljuk z elsõ derivált zérushelyét, mjd zérushelyeket ehelyettesítjük második derivált, megállpítjuk második deriváltjánk elõjelét. A második derivált elõjeléõl következtetni tudunk függvény görületi viszonyir is: zon z intervllumon, hol második deriváltj pozitív, függvény konve, hol negtív, ott függvény konkáv, hol második derivált elõjelet vált és függvény folytonos een pontn, infleiós pontj vn függvénynek. Pl.: f: R + Æ R, f() = 3-3 fi f () = 3-3 fi f () = 6. f () zérushelye: = ± f () elõjele: f (-) = -6, tehát lokális mimum vn z = - helyen, értéke f(-) =. f () = 6, tehát lokális minimum vn z = + helyen, értéke f() = -. f () = 0, h = 0, és een pontn elõjelet vált, negtívól pozitív megy át, zz függvény konkávól konvee vált, vgyis infleiós pontj vn z = 0 pontn. VI. Alklmzások: gzdsági prolémák megoldás: H egy áru iránti kereslet függ termék árától, kkor milyen ár esetén érhetõ el mimális összevétel? H egy termék elõállítási költsége függ termék reklámozásár fordított összegtõl, kkor mekkor reklámköltség esetén érhetõ el egy termék minimális elõállítási költsége? mtemtiki prolémák megoldás: Adott térfogtú folydéknk milyen méretekkel rendelkezõ hengeres doozt tervezzünk, hogy felhsznált csomgolónyg mennyiség minimális legyen? Adott sugrú göme írt hengerek közül melyiknek térfogt mimális? Adott lpkörsugrú és mgsságú forgáskúp olyn forgáshengert írunk, melynek lpköre kúp lpkörének része, fedõköre pedig illeszkedik kúp plástjár. Milyen eseten lesz henger térfogt mimális? Mtemtiktörténeti vontkozások: A XVII. százdn Descrtes ( ) frnci mtemtikus fogllkozott elõször függvényekkel: evezette változó foglmát, függvényt megfeleltetésnek tekintette. Ezután elkezdték vizsgálni mtemtikusok függvénygörék és érintõinek kpcsoltát. Az érintõket vizsgálv eljutottk differenciálhánydos foglmához, módszert dolgoztk ki függvények menetének vizsgáltár, szélsõértékeinek megállpításár. Az nlízis lpvetõ foglmit (pl, sorozt, konvergenci, htárérték) Cuchy ( ) frnci mtemtikus definiált. Õ z, ki pontosn leírt differenciál- és integrálszámítást, elõtte zonn pontosított htárérték foglmát. 63

64 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07. Derékszögû háromszögekre vontkozó tételek. A hegyesszögek szögfüggvényei. A szögfüggvények áltlánosítás. Vázlt: I. Derékszögû háromszögek definíciój II. Pitgorsz-tétel és megfordítás Thlész tétel és megfordítás Mgsságtétel, efogótétel Beírt kör sugrár vontkozó tétel III. Hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciój IV. Összefüggések hegyesszögek szögfüggvényei között V. A szögfüggvények áltlános definíciój VI. Kpcsoltok egyzon szög szögfüggvényei közt VII. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Derékszögû háromszögek DEFINÍCIÓ: Azokt háromszögeket, melyeknek vlmely szöge 90º, zz derékszög, derékszögû háromszögeknek nevezzük. A derékszöget ezáró két oldlt efogónk, derékszöggel szemközti, egyen leghossz oldlt átfogónk nevezzük. II. Derékszögû háromszögekre vontkozó tételek A derékszögû háromszögekre vontkozó tételek közül Pitgorsz-tétel teremt kpcsoltot háromszög oldli között. TÉTEL: Pitgorsz-tétel: H egy háromszög derékszögû, kkor efogóink négyzetösszege egyenlõ z átfogó négyzetével. BIZONYÍTÁS I.: Bizonyítni kell: + = c. Vegyünk fel két + oldlú négyzetet. A két négyzet területe egyenlõ. t t g c c g t 3 g c c g + = 90º Az elsõ négyzet feloszthtó egy t = és egy t = területû négyzetre ( felosztásáól eredõ párhuzmosság mitt), továá 4 olyn derékszögû háromszögre, melynek efogói, illetve. Ez 4 háromszög egyevágó egymássl és z eredeti háromszöggel, tehát területük egyenlõ. 64

65 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 A második négyzeten elhelyezkedõ négyszög négyzet, mivel oldli egyenlõ hosszúk (egyevágó derékszögû háromszögek átfogói), szögei pedig 90º-osk (egyevágó derékszögû háromszögen + = 90º). H derékszögû háromszögek átfogój c, kkor területe t 3 = c. c Mindkét ngy négyzet területéõl kivonv 4-4 egyevágó háromszög területét, fennmrdó területek egyenlõk lesznek. BIZONYÍTÁS II.: Vegyünk fel egy derékszögû háromszöget, melynek efogói és, és egy + oldlú négyzetet. A négyzeten helyezzük el háromszögeket: t t g c c g g c c g + = 90º ABCD négyszög négyzet, mert oldli egyenlõk (c), és szögei 90º-osk (g = 80º - ( + ) = = 80º - 90º = 90º), így z + oldlú négyzet területe kétféleképpen: t = ( + ), illetve t = 4 + c, zz ( + ) = 4 + c + + = + c + = c. c BIZONYÍTÁS III.: Befogótétellel Befogótétel mitt: = p c, illetve = q c = ( c p) c. Eõl = p c, illetve = (c - p) c = c - p c. m q c P 65

66 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Összedv z utolsó két egyenlõséget: + = p c + c - p c = c fi + = c. BIZONYÍTÁS IV.: Koszinusztétellel c = + cos90 = + 0 = + c = +. 0 TÉTEL: Pitgorsz-tétel megfordítás: h egy háromszög két oldlhosszánk négyzetösszege egyenlõ hrmdik oldl hosszánk négyzetével, kkor háromszög derékszögû. BIZONYÍTÁS: B B c c C A Tudjuk, hogy z ABC háromszög oldlir igz: + = c. Az, efogókkl rjzolunk egy AB C derékszögû háromszöget, melyre Pitgorsz tétele mitt + = (c ) fi c = (c ) fi c = c. Ekkor z ABC ill. AB C háromszög oldli páronként megegyeznek fi két háromszög egyevágó fi megfelelõ szögeik páronként egyenlõk fi C-nél ABC háromszögen derékszög vn. TÉTEL: Thlész-tétel: h egy kör átmérõjének két végpontját összekötjük kör ármely más pontjávl, kkor derékszögû háromszöget kpunk. BIZONYÍTÁS: O középpontú kör, AB átmérõ, C tetszõleges pont körvonlon. C A O B OA = OC = r fi OAC háromszög egyenlõ szárú fi OAC = OCA =. OC = OB = r fi OBC háromszög egyenlõ szárú fi OBC = BCO =. Az ABC háromszög elsõ szögeinek összege 80º fi + = 80º fi + = 90º fi ACB = 90º. TÉTEL: Thlész-tétel megfordítás: h egy háromszög derékszögû, kkor köré írhtó körének középpontj z átfogó felezõpontj. BIZONYÍTÁS: ABC derékszögû háromszöget tükrözzük z átfogó F felezõpontjár. A tükrözés tuljdonsági mitt BC = AC és CA = BC és AC = BC szögei 90º-osk. A tégllp átlói egyenlõk és felezik egymást fi FA = FB = FC fi F z ABC háromszög köré írt kör középpontjávl egyenlõ. B C F C A 66

67 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 TÉTEL: Thlész-tétel és megfordítás összefogllv: sík zon pontjink hlmz, melyekõl egy megdott szksz derékszögen látszik, szkszhoz, mint átmérõhöz trtozó kör, elhgyv elõle szksz végpontjit. TÉTEL: Mgsságtétel: Derékszögû háromszögen z átfogóhoz trtozó mgsság hossz mértni közepe zon két szksz hosszánk, melyekre mgsság z átfogót osztj. TÉTEL: Befogótétel: Derékszögû háromszög efogójánk hossz mértni közepe z átfogó és efogó átfogór esõ merõleges vetülete hosszánk. TÉTEL: Beírt kör sugrár vontkozó tétel: Derékszögû háromszög átfogój két efogó összegével és eírt kör sugrávl kifejezve: c = + - r. BIZONYÍTÁS: Körhöz húzott érintõszkszok egyenlõsége mitt c = - r + - r = + - r. r r r r r r r r r A Thlész-tétel mitt c = R, hol R háromszög köré írt kör sugr. Eõl és z elõzõ tételõl következik: R = + - r fi R+ r = +. III. Hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciój A hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögû háromszögekkel is evezethetjük. Kihsználjuk, hogy két derékszögû háromszög hsonló, h vlmely hegyesszögük megegyezik. A hsonlóság következtéen egy derékszögû háromszög oldlink rányát háromszög egyik hegyesszöge egyértelmûen meghtározz. Erre függvényszerû kpcsoltr vezetjük e szögfüggvényeket: DEFINÍCIÓ: Az hegyesszöget trtlmzó tetszõleges derékszögû háromszögen sin = -vl szemközti efogó hosszánk és z átfogó hosszánk hánydos. cos = melletti efogó hosszánk és z átfogó hosszánk hánydos. tg = -vl szemközti efogó hosszánk és z melletti efogó hosszánk hánydos. ctg = melletti efogó hosszánk és z -vl szemköztes efogó hosszánk hánydos. B c C A sin =, cos =, tg =, ctg = c c 67

68 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 IV. Összefüggések hegyesszögek szögfüggvényei között A definíciók lpján könnyen igzolhtók következõ zonosságok, hol 0º < < 90º: tg = sin cos, Nevezetes szögek szögfüggvényei: ctg = cos sin, tg = ctg sin = cos(90º - ), cos = sin(90º - ) 30 tg = ctg(90º - ), ctg = tg(90º - ) sin + cos = sin cos tg ctg V. Szögfüggvények áltlánosítás DEFINÍCIÓ: A koordinátrendszeren z i(; 0) ázisvektor origó körüli szöggel vló elforgtásávl keletkezõ e egységvektor elsõ koordinátáj z szög koszinusz, második koordinátáj z szög szinusz. ŒI. ŒII. ŒIII. ŒIV. 0 < < p p < < p p < < 3 p 3p < < p y (cos ;sin ) (cos ;sin ) y y y O e i e p O i i O p e O e i p cos = -cos(p - ) sin = sin(p - ) (cos ;sin ) cos = -cos( - p) sin = -sin( - p) (cos ;sin ) cos = cos(p - ) sin = -sin(p - ) 68

69 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 DEFINÍCIÓ: A sin cos hánydost, h cos π 0, vgyis h p +kp (k ŒZ), z szög tngensének nevezzük. A koordinátrendszeren z i vektortól szöggel elforgtott e egységvektor egyenese áltl z origó középpontú, egységsugrú kör (; 0) pontján húzott érintõõl kimetszett pont. koordinátáj z szög tngense. ŒI. ŒII. ŒIII. ŒIV. 0 < < p p < < p p < < 3 p 3p < < p y y y y O e i tg e i tg e O i tg O e i tg DEFINÍCIÓ: A cos sin tg = -tg(p - ) tg = tg( - p) tg = -tg(p - ) hánydost, h sin π 0, vgyis h π kp (k ŒZ), z szög kotngensének nevezzük. A koordinátrendszeren z i vektortól szöggel elforgtott e egységvektor egyenese áltl z origó középpontú, egységsugrú kör (0;) pontján húzott érintõõl kimetszett pont. koordinátáj z szög kotngense. ŒI. ŒII. ŒIII. ŒIV. 0 < < p p < < p p < < 3 p 3p < < p y ctg ctg y y ctg ctg y O e i e i e O i O e i ctg = -ctg(p - ) ctg = ctg( - p) ctg = -ctg(p - ) VI. Kpcsoltok egyzon szög szögfüggvényei között: TÉTEL: ctg = tg, h k p (k ŒZ) tg = ctg, h k p (k ŒZ) fi tg ctg = ( k p ) 69

70 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 TÉTEL: sin + cos = minden vlós -r (Pitgorszi összefüggés). BIZONYÍTÁS: A szögfüggvények definíciój szerint z irányszögû e egységvektor koordinátái: (cos; sin). y sin e j O cos i Egyrészt z egységvektor hossz : (ΩeΩ= ), másrészt z e vektor hossz: ΩeΩ = e + e = sin + cos. Eõl = sin + cos. Mivel nemnegtív számok állnk két oldlon, négyzetre emeléssel: sin + cos =. KÖVETKEZMÉNY: tetszõleges szög esetén: VII. Alklmzások: sin = cos, illetve cos = sin Pitgorsz-tétel: síkgeometri: háromszög, trpéz mgsságánk számolás koordinátgeometri: két pont távolság, vektor hossz Thlész-tétel: síkgeometri: körhöz külsõ pontól húzott érintõk szerkesztése koordinátgeometri.: érintõk egyenlete Mgsságtétel: mértni közép szerkesztése D Ö A O B C Forgásszögek szögfüggvényei: Háromszög trigonometrikus területképlete Szinusztétel, koszinusztétel e f sin Négyszög területe: t = (e, f átlók, = átlók szöge) Rezgõmozgás kitérés-idõ, seesség-idõ, gyorsulás-idõ függvénye trigonometrikus függvény 70

71 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Mtemtiktörténeti vontkozások: A derékszögû háromszögekrõl fennmrdt elsõ írásos emlékek Rhind-ppíruszon k. Kr.e. 750-õl tlálhtók: ismerték 3, 4, 5 oldlú derékszögû háromszöget. Kr.e. 000 körül z egyiptomi ppok derékszögszerkesztésre csomózott kötelet hsználtk, mihez ismerniük kellett Pitgorsz tételt: terepen derékszög kitûzését csomós kötél és 3 kró segítségével: végezték. Kínán Kr.e. 00 és 00 közötti nptárn olyn rjz láthtó, mely zt muttj, hogy ismerték Pitgorsz tételt leglá 3, 4, 5 oldlú derékszögû háromszög esetéen. Ezen rjzon egy 3+4 egység oldlú négyzet kerületén vn elsõ 5 egység hosszúságú négyzet csúcspontji ( Pitgorsz tétel I. izonyításán szereplõ árához hsonlón). Pitgorsz Kr.e. VI. százdn z ókori Görögországn élt, tételét viszont már ilóniik 4000 évvel ezelõtt is ismerték, Pitgorszhoz csk zért fûzõdik tétel, mert rájött egy új izonyításr. Thlész szintén Kr.e. VI. százdn élt z ókori Görögországn, z elsõ olyn mtemtikus volt, kinek izonyítási igénye volt. Neki tuljdonítják szög foglmánk kilkítását. Ptolemiosz görög csillgász Kr.u. II. százdn 30 percenkénti eosztássl készített húrtáláztokt, mi késõ kilkult trigonometrikus függvények elõdei voltk. A trigonometrikus függvények közti összefüggések és zonosságok felfedéséen ngy érdemei vnnk Viète ( ) frnci mtemtikusnk. 7

72 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, Háromszögek nevezetes vonli, pontji és körei. Vázlt: I. Oldlfelezõ merõlegesek, háromszög köré írt kör középpontj II. Szögfelezõk, háromszöge, illetve háromszöghöz írt kör középpontj III. Mgsságvonlk, háromszög mgsságpontj IV. Súlyvonlk, háromszög súlypontj V. Középvonlk VI. Euler-egyenes, Feuerch kör VII. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Oldlfelezõ merõlegesek, háromszög köré írt kör középpontj DEFINÍCIÓ: A síkon egy szksz felezõmerõlegese z z egyenes, mely szksz felezõpontjár illeszkedik és merõleges szkszr. TÉTEL: A szksz felezõmerõlegese szksz két végpontjától egyenlõ távol lévõ pontok hlmz. TÉTEL: A háromszög három oldlfelezõ merõlegese egy pontn metszi egymást. Ez pont háromszög köré írt kör középpontj. BIZONYÍTÁS: ABC háromszögen AB és AC oldlfelezõ merõlegeseit tekintsük. Ezek z egyenesek metszik egymást, mert háromszög oldli nem párhuzmosk egymássl. Legyen két oldlfelezõ merõleges metszéspontj K. Ekkor K egyenlõ távolságr vn A-tól és B-tõl (mert K illeszkedik f c -re), illetve A-tól és C-tõl (mert K illeszkedik f -re) is. Következésképpen egyenlõ távol vn B-tõl és C-tõl is, zz K illeszkedik BC szkszfelezõ merõlegesére. fi KA = KB = KC, zz A, B és C egyenlõ távolságr vnnk K-tól fi mindhárom pont illeszkedik egy K középpontú KA = KB = KC = r sugrú körre. C K f B f c A K hegyesszögû háromszög esetén háromszögön elül, derékszögû háromszögnél z átfogó felezõpontjá (Thlész tétele), tompszögû háromszögnél háromszögön kívül esik. O O O 7

73 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 II. Szögfelezõk, háromszöge, illetve háromszöghöz írt kör középpontj DEFINÍCIÓ: Egy konve szög szögfelezõje szög csúcsáól kiinduló, szögtrtományn hldó zon félegyenes, mely szöget két egyenlõ ngyságú szögre ontj. TÉTEL: Egy konve szögtrtományn szárktól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz szögfelezõ. TÉTEL: A háromszög három elsõ szögfelezõje egy pontn metszi egymást. Ez pont háromszöge írt kör középpontj. BIZONYÍTÁS: C T f f T 3 O A T B Két elsõ szögfelezõ metszéspontjáról elátjuk, hogy rjt vn hrmdikon. Vegyük fel z és szögfelezõjét: f és f. Ez két félegyenes metszi egymást, mert 0º < + < 80º. Így f és f metszéspontj z O pont. A szögfelezõ szög száritól egyenlõ távol lévõ pontok hlmz szögtrtományn, így mivel O illeszkedik f -r fi OT = OT 3, illetve O illeszkedik f -r fi OT = OT, tehát OT = OT 3, vgyis O egyenlõ távol vn z AC és CB szögszárktól, így O illeszkedik f g -r, zz O z f, f és f g egyetlen közös pontj. A izonyítás során kiderült, hogy O egyenlõ távol vn háromszög oldlitól, ezért köréje egy olyn kör írhtó, mely háromszög oldlit érinti. TÉTEL: A háromszög egy elsõ, és másik két csúcshoz trtozó külsõ szögfelezõje egy pontn metszi egymást, ez pont háromszög hozzáírt körének középpontj. A háromszögnek 3 hozzáírt köre vn. O C O O A B O 3 TÉTEL: A háromszög ugynzon szögének külsõ és elsõ szögfelezõje merõleges egymásr. III. Mgsságvonlk, háromszög mgsságpontj DEFINÍCIÓ: A háromszög mgsság z egyik csúcsól szemközti oldl egyenesére ocsátott merõleges szksz. A háromszög mgsságánk egyenese háromszög mgsságvonl. TÉTEL: A háromszög mgsságvonli egy pontn metszik egymást. Ez pont háromszög mgsságpontj. 73

74 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 BIZONYÍTÁS: Visszvezetjük háromszög oldlfelezõ merõlegeseire vontkozó tételre. B C A A c m c B C Vegyük fel z ABC háromszöget, és mindhárom csúcsán keresztül húzzunk párhozmos egyenest szemközti oldlll. A B C háromszög. Belátjuk, hogy m c z A B oldlfelezõ merõlegese: m c merõleges AB-re és A B párhuzmos AB-vel m c merõleges A B -re. AB párhuzmos A B -vel és BC párhuzmos B C -vel ABCB prlelogrmm CB = AB, hsonlón ABA C prlelogrmm A C = AB, eõl B C = CA C felezõpontj A B -nek m c oldlfelezõ merõlegese A B -nek. Hsonlón eláthtó, hogy m és m is z A B C háromszög oldlfelezõ merõlegesei. Az oldlfelezõ merõlegesekre vontkozó tétel lpján tudjuk, hogy ezek egy pontn metszik egymást, tehát eláttuk, hogy z ABC háromszög mgsságvonli is egy pontn metszik egymást. A mgsságpont hegyesszögû háromszög esetén háromszög elsejéen, derékszögû háromszögnél derékszögû csúcsn, tompszögû háromszögnél háromszögön kívül helyezkedik el. A A B C B M C=M A B C M IV. Súlyvonlk, háromszög súlypontj DEFINÍCIÓ: A háromszög csúcsát szemközti oldl felezõpontjávl összekötõ szksz háromszög súlyvonl. TÉTEL: A háromszög súlyvonli egy pontn metszik egymást, ezt pontot háromszög súlypontjánk nevezzük. A súlypont hrmdolj súlyvonlkt úgy, hogy csúcs felé esõ szksz úgy ránylik z oldl felé esõ szkszhoz, mint :. C F F S A F c B 74

75 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 V. Középvonlk DEFINÍCIÓ: A háromszög két oldlfelezõ pontját összekötõ szkszt háromszög középvonlánk nevezzük. Minden háromszögnek 3 középvonl vn. TÉTEL: A háromszög középvonl párhuzmos felezõpontokt nem trtlmzó oldlll, és fele olyn hosszú. F C AB c FF = =, F FF AB A c B VI. Euler-egyenes, Feuerch-kör TÉTEL: A háromszög mgsságpontj, súlypontj és körülírt kör középpontj egy egyenesen vn (Euler-féle egyenes). A súlypont másik kettõ távolságát hrmdolj és körülírt kör középpontjához vn közele. C F AC M S F BC A K F AB TÉTEL: Egy háromszög oldlink felezõpontji, mgsságink tlppontji és mgsságpontot csúcsokkl összekötõ szkszok felezõpontji egy körön vnnk (Feuerch-kör). A Feuerch kör középpontj (O) felezi mgsságpontot (M) és köré írhtó kör középpontját (K) összekötõ szkszt, sugr háromszög köré írhtó kör sugránk fele. Vgyis z M pontól köré írt kör középpontjáól l = -es rányú kicsinyített képe Feuerch kör. B C M A F B F A C M A F B F A M B M B M O K A A B M C B F C M C F C 75

76 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 VII. Alklmzások: háromszögszerkesztési feldtok koordinát-geometri: 3 ponton átmenõ kör egyenlete, háromszög súlypontjánk kiszámítás súlyvonl, súlypont (homogén nygeloszlású háromszög esetén) fizikán: súlyvonl mentén, illetve súlypontn látámsztv háromszög egyensúlyn vn kör középpontjánk szerkesztése területszámítási feldtok nevezetes körök sugrink felhsználásávl R = c, r = t, hol s = k. 4t s Mtemtiktörténeti vontkozások: A geometri görög szó, eredeti jelentése földmérés. A geometri z ókori görög mtemtikusok tevékenysége áltl vált tudománnyá. Thlészen, mtemtik tyján kívül legngyo görög geométernek trtott Apollóniusz (Kr.e. III. százdi görög mtemtikus) is sokt fogllkozott háromszögekkel és velük kpcsoltos összefüggésekkel. A tételen szereplõ ismeretek ngy részét már õk is tudták. Thlész Kr.e. VI. százdn élt z ókori Görögországn, z elsõ olyn mtemtikus volt, kinek izonyítási igénye volt, fogllkozott állítási megfordításávl is: így jutott el derékszögû háromszög köré írt kör középpontjához. Euklidesz Kr.e. 300 körül élt görög mtemtikus Elemek címû mûvéen meghtározt geometrii lpszekesztések iómáit, szögletes síkidomok tuljdonságit, A Pitgorsz-tételt, kör és vele kpcsoltos tételeket, kerületi és középponti szögeket, szályos sokszögek szerkesztését. Euler ( ) svájci mtemtikus háromszög nevezetes vonlit, pontjit is vizsgált, ismerte Feuerch-kört, de ez tétel feledése merült. Feuerch ( ) német mtemtikus újr felfedezte z Euler áltl már megtlált kört, mit ezután Feuerchról neveztek el. 76

77 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, Összefüggések z áltlános háromszögek oldli között, szögei között, oldli és szögei között. Vázlt: I. Háromszögek csoportosítás szögeik és oldlik szerint II. Összefüggések háromszög oldli között (háromszög egyenlõtlenségek, Pitgorsz-tétel) III. Összefüggések háromszög szögei között (elsõ, külsõ szögek) IV. Összefüggések háromszög szögei és oldli között (koszinusztétel, szinusztétel, szögfüggvények) V. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Háromszögek csoportosítás szögeik és oldlik szerint DEFINÍCIÓ: Háromszög z zárt szögvonl, melyeknek 3 oldl és 3 csúcs vn. DEFINÍCIÓ: Egy háromszög hegyesszögû, h minden szöge hegyesszög. DEFINÍCIÓ: Egy háromszög derékszögû, h vn egy 90º-os szöge. DEFINÍCIÓ: Egy háromszög tompszögû, h vn egy tompszöge. DEFINÍCIÓ: Egy háromszög szályos (vgy egyenlõ oldlú), h három oldl egyenlõ hosszú. DEFINÍCIÓ: Egy háromszög egyenlõ szárú (vgy szimmetrikus), h vn két egyenlõ oldl. háromszögek hegyesszögû derékszögû tompszögû egyenlõ oldlú egyenlõ szárú II. Összefüggések háromszög oldli közt: TÉTEL: Háromszög egyenlõtlenségek: háromszög ármely két oldlánk összege ngyo hrmdiknál: + > c, + c >, + c >. TÉTEL: Egy háromszögen ármely két oldl különségének szolút értéke kise hrmdiknál: Ω - cω<, Ω - Ω< c, Ω - cω<. TÉTEL: Pitgorsz tétel: Bármely derékszögû háromszögen két efogó négyzetének összege egyenlõ z átfogó négyzetével. 77

78 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 III. Összefüggések háromszög szögei közt: TÉTEL: A háromszög elsõ szögeinek összege 80º. TÉTEL: A háromszög külsõ szögeinek összege 360º. TÉTEL: A háromszög egy külsõ szöge egyenlõ nem mellette fekvõ két elsõ szög összegével. IV. Összefüggések háromszög oldli és szögei között: TÉTEL: Egy háromszögen egyenlõ hosszúságú oldlkkl szemen egyenlõ ngyságú szögek vnnk, egyenlõ ngyságú szögekkel szemen egyenlõ hosszúságú oldlk vnnk. TÉTEL: Bármely háromszögen két oldl közül hosszikkl szemen ngyo elsõ szög vn, mint rövideikkel szemen, illetve két szög közül ngyoikkl szemen hossz oldl vn, mint kiseikkel szemen. DEFINÍCIÓ: Derékszögû háromszögen evezetjük szögfüggvények foglmát hsonló háromszögek tuljdonságit kihsználv: sin z szöggel szemközti efogó és z átfogó hánydos, cos z szög melletti efogó és z átfogó hánydos, tg z szöggel szemközti efogó és z szög melletti efogó hánydos, ctg z szög melletti efogó és z szöggel szemközti efogó hánydos. sin =, cos =, tg =, ctg = c c B c C A TÉTEL: Szinusztétel: Egy háromszögen két oldl hosszánk rány egyenlõ velük szemközti szögek szinuszánk rányávl: sin = sin A szinusztétel háromszög három oldlár is felírhtó, ekkor : : c = sin : sin : sing. Szinusztétel lklmzás: H dott háromszög egy oldl és két szöge, kkor ármely oldl kiszámolhtó (mert ekkor kiszámolhtó elsõ szögösszegõl hrmdik szög). H dott háromszög két oldl és nem z áltluk közezárt szög ismert, kkor két eset lehetségséges: H két oldl közül ngyoikkl szemköztes szög ismert, kkor kiszámolhtó kiseik oldlll szemköztes szög. Een z eseten háromszög egyértelmûen meghtározott. H háromszög két oldlát és rövideel szemköztes szöget ismerjük, kkor kiszámolhtó ngyoik oldlll szemköztes szög, mire háromféle megoldás is lehet:. h szög szinuszár pozitív, de -nél kise értéket kpunk, kkor két megoldás vn, szög lehet hegyesszög és tompszög is. Ekkor háromszög nem egyértelmûen meghtározott, két ilyen háromszög létezik. 78

79 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07. h szög szinuszár -et punk, kkor egy megoldás vn, szög 90º, ez egy derékszögû háromszög. 3. h szög szinuszár -nél ngyo számot kpunk, kkor nincs ilyen szög, zz nincs z dtoknk megfelelõ háromszög. Een z eseten inká koszinusz tételt lklmzzuk, ekkor másodfokú egyenletet kpunk hrmdik oldlr, így viszont egyértelmûen eldönthetõ z oldl hossz ( másodfokú egyenletnek 0,, megoldás vn, illetve feltétel, hogy z oldl hossz pozitív, vgy háromszög-egyenlõtlenség is segíthet n, hogy eldöntsük, hogy melyik eredmény megoldás feldtnk). TÉTEL: Koszinusztétel: egy háromszög egyik oldlhosszánk négyzetét megkpjuk, h másik két oldl négyzetösszegéõl kivonjuk két oldl hosszánk és közezárt szög koszinuszánk kétszeres szorztát: c = + - cosg. BIZONYÍTÁS: Vektorok skláris szorztánk felhsználásávl fogjuk izonyítni, ezért háromszög oldlit irányítjuk: CB =, CA =, BA = c. Jelölje =, = és c = c. g C CA CB A BA B Ekkor c=. Az egyenlet mindkét oldlát önmgávl sklárisn szorozv: c = ( ) c = +. c = c c cos0º = c c = c. Hsonlón = és =. = cosg = cosg. Ezeket eírv c = + egyenlete kpjuk: c = + - cosg. Következmények: h g = 90º, vgyis háromszög derékszögû, kkor c = +, mi Pitgorsz-tétel. h g < 90º, kkor ármely két oldlánk négyzetösszege ngyo hrmdik oldl négyzeténél. h g > 90º, kkor két rövide oldl négyzetösszege kise hrmdik oldl négyzeténél. Koszinusztétel lklmzás: H dott háromszög két oldl és z áltluk közezárt szög, kkor kiszámíthtó szöggel szemeni oldl. H dott háromszög három oldl, kkor kiszámolhtó háromszög ármely szöge. H keressük háromszög szögeit, kkor een z eseten háromszög legngyo szögét érdemes kiszámolni koszinusztétellel, mi leghossz oldlll szemen vn, mert z hegyes-, derék- és tompszögre is egyértelmû megoldást d. 79

80 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 V. Alklmzások: Háromszögek szerkesztése, háromszög ismeretlen dtink kiszámítás. Sokszögeken oldlk, átlók, szögek kiszámolás háromszögekre ontássl. Földmérésen, térképészeten, csillgásztn mért dtokól távolságok és szögek kiszámolás. Terepfeldtok megoldásánál: pl.: megközelíthetetlen pontok helyének meghtározás. Modern helymeghtározás: GPS. Mtemtiktörténeti vontkozások: Thlész Kr.e. VI. százdn élt z ókori Görögországn, z elsõ olyn mtemtikus volt, kinek izonyítási igénye volt. Õ mondt ki, hogy háromszög elsõ szögeinek összege 80º, megállpított, hogy egyenlõ szárú háromszögen z egyenlõ hosszúságú oldlkkl szemen egyenlõ szögek vnnk. A szinusztétel felfedezõje Au Nsr (000 körül) r mtemtikus. Regiomontnus ( ) német mtemtikus részletes trigonometrii evezetést írt háromszögekrõl. Készített szinusztáláztot is. A ngy humnist Vitéz János rátjként éveket töltött Esztergomn, mjd Mátyás király udvrán Corvin könyvtár rendezésével foglltoskodott. A legrégi térképeket tö, mint 4000 évvel ezelõtt készítették. Snellius hollnd mérnök 7. százdn kidolgozott olyn, háromszögek dtink meghtározásár épülõ (trigonometrii) módszert, melynek lklmzásávl térképek pontosá váltk. 80

81 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, Egyevágóság és hsonlóság. A hsonlóság lklmzási geometrii tételek izonyításán. Vázlt: I. Egyevágósági trnszformációk Eltolás, tengelyes tükrözés, pontr vontkozó tükrözés, pont körüli elforgtás II. Alkztok egyevágóság (háromszögek, sokszögek) III. Hsonlósági trnszformáció: Középpontos hsonlósági trnszformáció IV. Alkztok hsonlóság (háromszögek, sokszögek) V. Trnszformációk tuljdonsági VI. Hsonlóság lklmzás háromszögekre vontkozó tételeken ) középvonlr vontkozó tétel ) súlyvonlkr vontkozó tétel c) szögfelezõtétel d) mgsságtétel e) efogótétel VII. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Trnszformációk: DEFINÍCIÓ: Geometrii trnszformációk zok függvények, melyek egy ponthlmzt ponthlmzr képeznek le. (D f = R f = ponthlmz) DEFINÍCIÓ: A geometrii trnszformációk közül távolságtrtó trnszformációkt egyevágósági trnszformációknk nevezzük. Távolságtrtó leképezés: ármely két pont távolság egyenlõ képeik távolságávl. Síkeli egyevágósági trnszformációk: tengelyes tükrözés, pontr vontkozó (középpontos) tükrözés, pont körüli elforgtás, eltolás. DEFINÍCIÓ: Tengelyes tükrözés: dott sík egy t egyenese, ez tengelyes tükrözés tengelye. A t tengelyre vontkozó tengelyes tükrözés sík tetszõleges t-re nem illeszkedõ P pontjához zt P' pontot rendeli, melyre fennáll, hogy PP' szksz felezõmerõlegese t tengely. A t egyenes képe önmg. t P T P DEFINÍCIÓ: Középpontos tükrözés: dott sík egy O pontj, középpontos tükrözés középpontj. Az O pontr vontkozó középpontos tükrözés sík egy tetszõleges O-tól különözõ P pontjához zt P' pontot rendeli, melyre z O pont PP' szksz felezõpontj. Az O pont képe önmg. 8

82 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 P P O DEFINÍCIÓ: Pont körüli forgtás: dott sík egy O pontj és egy α irányított szög. Az O pont körüli szögû, dott irányú forgtás sík egy tetszõleges O-tól különözõ P pontjához zt P' pontot rendeli, melyre teljesül, hogy POP' szög irány és ngyság szerint megegyezik -vl és OP = OP'. O pont képe önmg. P Q Q P >0 pozitív irányú forgtás O <0 negtív irányú forgtás DEFINÍCIÓ: Eltolás: dott egy v vektor. A v vektorrl vló eltolás sík (tér) tetszõleges P pontjához zt P' pontot rendeli, melyre PP' = v. v P P II. Alkztok egyevágóság (háromszögek, sokszögek) DEFINÍCIÓ: Két lkzt egyevágó, h vn olyn egyevágósági trnszformáció, mely z egyik lkztot másik viszi. Jele: B. TÉTEL: Két háromszög kkor és csk kkor egyevágó, h: megfelelõ oldlik hossz páronként egyenlõ, két-két oldluk hossz páronként egyenlõ és z ezek áltl közezárt szögek ngyság egyenlõ, két-két oldluk hossz páronként egyenlõ és e két-két oldl közül hosszikkl szemközti szögük ngyság egyenlõ, egy-egy oldluk hossz páronként egyenlõ és két-két szögük páronként egyenlõ. TÉTEL: Két sokszög kkor és csk kkor egyevágó, h következõ feltételek egyike teljesül: megfelelõ oldlik hossz és megfelelõ átlóik hossz páronként egyenlõ, megfelelõ oldlik hossz páronként egyenlõ és megfelelõ szögeik páronként egyenlõk. III. Hsonlósági trnszformáció: középpontos hsonlóság DEFINÍCIÓ: Középpontos hsonlósági trnszformáció: dott egy O pont és egy l 0-tól különözõ vlós szám. A tér minden P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot következõképpen:. h P = O, kkor P = P.. h P π O, kkor P z OP egyenes zon pontj, melyre OP' =ΩlΩ OP és h l > 0, kkor P z OP félegyenes pontj, h l < 0, kkor O elválsztj egymástól P-t és P -t. 8

83 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Az O pont középpontos hsonlósági trnszformáció középpontj, l középpontos hsonlóság rány. H ΩlΩ>, kkor középpontos ngyításról, h ΩlΩ<, kkor kicsinyítésrõl eszélünk, h pedig ΩlΩ=, kkor trnszformáció egyevágóság. DEFINÍCIÓ: Véges sok középpontos hsonlósági trnszformáció és véges sok egyevágósági trnszformáció egymás utáni végrehjtásávl kpott trnszformációkt hsonlósági trnszformációnk nevezzük. IV. Alkztok hsonlóság (háromszögek, sokszögek) DEFINÍCIÓ: Két lkzt hsonló, h vn olyn hsonlósági trnszformáció, mely z egyik lkztot másik viszi. Jele: A ~ B. TÉTEL: Két háromszög kkor és csk kkor hsonló, h:. megfelelõ oldlik hosszánk rány páronként egyenlõ, zz = = c =l, ' ' c'. két-két oldlhosszuk rány és z ezek áltl közezárt szögek ngyság egyenlõ, pl.: = =l és g = g', ' ' 3. két-két oldlhosszuk rány egyenlõ, és e két-két oldl közül hosszikkl szemközti szögük ngyság egyenlõ, pl.: = =l és = ' (h > ), ' ' 4. két-két szögük páronként egyenlõ, pl.: = ' és = '. TÉTEL: Két sokszög kkor és csk kkor hsonló, h megfelelõ oldlhosszik rány és megfelelõ szögeik ngyság páronként egyenlõ ngyságú. V. Trnszformációk fõ tuljdonsági: tengelyes tükrözés Egyevágósági trnszformációk középpontos tükrözés pont körüli elforgtás eltolás Hsonlóság: középpontos hsonlósági trnszformáció fipont (képe önmg) t egyenes minden pontj egyetlen fipont: O pont egyetlen fipont: O pont (h π 0º) nincs fipontj (h v 0 ) egyetlen fipont: O pont (h l π ) fiegyenes (minden pontj fipont) t egyenes nincs fiegyenes nincs fi egyenes (h π 0º) nincs fiegyenes nincs fiegyenes (h l π ) invriáns egyenes (képe önmg, de pontonként nem fi) t-re merõleges egyenesek minden O-r illeszkedõ egyenes invriáns nincs invriáns egyenes (h π 0º, π 80º) z dott vektorrl párhuzmos egyenesek minden O-r illeszkedõ egyenes invriáns (h l π ) VI. Hsonlóság lklmzás háromszögekre vontkozó tételeken TÉTEL: A háromszög középvonlir vontkozó tétel: A háromszög középvonl párhuzmos felezõpontokt nem trtlmzó oldlkkl, és fele olyn hosszú, mint nem felezett oldl. 83

84 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 BIZONYÍTÁS: A tétel izonyításánál z ABC és EFC háromszögek hsonlóságát hsználjuk. C E F A B TÉTEL: A háromszög súlyvonlir vontkozó tétel: A háromszög súlyvonli egy pontn metszik egymást. Ez pont mindhárom súlyvonlnk csúcstól távoli hrmdolópontj. BIZONYÍTÁS: A tétel izonyításánál z ASB és SF F háromszögek hsonlóságát hsználjuk. C F F s S s A B TÉTEL: Szögfelezõtétel: Egy háromszög elsõ szögfelezõje szemközti oldlt szomszédos oldlk rányán osztj. BIZONYÍTÁS: Az ABC háromszög A csúcsáól induló elsõ szögfelezõ BC oldlt z S pontn metszi. D A c C S B A BA szkszt hosszítsuk meg A-n túl és legyen AD =. Ekkor AD = AC =, eõl következik, hogy z ACD háromszög egyenlõ szárú, C-nél és D-nél levõ elsõ szögek egyenlõk, z A-nál levõ külsõ szög. Tudjuk, hogy háromszög külsõ szöge egyenlõ vele nem szomszédos elsõ szögek összegével, tehát ACD = ADC =. 84

85 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Ekkor viszont BAS = ADC =. Eõl következik, hogy z AS ª CD. A B csúcsnál levõ szögre lklmzv párhuzmos szelõk tételét kpjuk: CS = DA = AC. SB AB AB TÉTEL: Mgsságtétel: Derékszögû háromszögen z átfogóhoz trtozó mgsság hossz mértni közepe zon két szksz hosszánk, melyekre mgsság z átfogót osztj. BIZONYÍTÁS: A tétel izonyításánál TBC és TAC háromszögek hsonlóságát hsználjuk. m q = = = p m m p q m p q C m A q O T p B TÉTEL: Befogótétel: Derékszögû háromszög efogójánk hossz mértni közepe z átfogó és efogó átfogór esõ merõleges vetülete hosszánk. BIZONYÍTÁS: A tétel izonyításánál TBC és z ABC háromszögek hsonlóságát hsználjuk. = c = = p p c p c C m A q O T p B VII. Alklmzások: A kör kerületének és területének meghtározását végezhetjük köre, illetve kör köré írt szályos sokszögek kerületének, illetve területének segítségével. Ez egyen π értékének közelítése. Arnymetszés rány = szályos ötszög átlóink osztásrány Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése derékszögû háromszögek hsonlóságán lpul. Hsonlóságot hsználnk térképészeten, z építészeten (tervek, mkettek), z optiki lencsék lklmzáskor. Szksz egyenlõ részekre osztás párhuzmos szelõk tételének segítségével történik. Mtemtiktörténeti vontkozások: Euklidesz Kr.e. 300 körül élt görög mtemtikus Elemek címû mûvéen meghtározt geometrii lpszekesztések iómáit, egyevágósággl és hsonlósággl kpcsoltos tételeket. Pl. hsonló körszeletek területei úgy ránylnk egymáshoz, mint húrjik négyzetei. 85

86 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Thlész Kr.e. VI. százdn élt z ókori Görögországn, kiszámolt z egyiptomi pirmisok mgsságát hsonlóság segítségével: Egy földe szúrt ot segítségével mérte pirmisok mgsságát: mikor ot és z árnyék egyenlõ hosszú, kkor pirmis árnyék is egyenlõ pirmis mgsságávl, így elegendõ csk pirmis árnyékát és lpját megmérni, mert ezekõl már számolhtó pirmis mgsság: AC = AB AC = A' C' = AC ' ' AB ' ' AB AB ' ' A'B' = A'C' = y + z C C = ot A 45 = árnyék B A z y árnyék B Az egyevágóság jelét (@) Leiniz (646 76) német mtemtikus vezette e. 86

87 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, A kör és részei. Kerületi szög, középponti szög, látószög. Húrnégyszögek, érintõnégyszögek. Vázlt: I. Kör és részei (kör, körlp, körcikk, körgyûrû, körgyûrûcikk, körszelet) II. Kerületi, középponti szög, látószög, látókörív, kerületi és középponti szögek tétele, rdián III. Húrnégyszög: definíció, tétel, terület (Heron-képlet) IV. Érintõnégyszög: definíció, tétel, terület V. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás I. Kör és részei DEFINÍCIÓ: Azoknk pontoknk hlmz síkon melyeknek sík egy dott O pontjától dott r távolságr (dott r távolságnál nem ngyo / dott r távolságnál kise) vnnk O középpontú, r sugrú körnek (zárt körlpnk / nyílt körlpnk) nevezzük. A kör területe t = r p, kerülete k = rp. DEFINÍCIÓ: A körvonl két különözõ pontját összekötõ szkszt húrnk nevezzük DEFINÍCIÓ: A húr egyenesét szelõnek, középponton áthldó húrt átmérõnek nevezzük. Az átmérõ kör leghossz húrj, hossz: r. HÚR ÁTMÉRÕ SZELÕ TÉTEL: A kör középpontján áthldó tetszõleges egyenesre nézve tengelyesen szimmetrikus középpontjár nézve középpontosn szimmetrikus középpontj körüli forgtásr forgtásszimmetrikus DEFINÍCIÓ: A körlpnk két sugár közé esõ drj körcikk. DEFINÍCIÓ: Egy szelõ áltl körlpól lemetszett rész körszelet. DEFINÍCIÓ: Két kör koncentrikus, h középpontjik egyeesnek. DEFINÍCIÓ: Két koncentrikus körvonl közé esõ rész körgyûrû. DEFINÍCIÓ: H egy szög csúcs kör középpontj kkor szöget középponti szögnek nevezzük. 87

88 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 koncentrikus (egyközepû) körök KÖRSZELET KÖRCIKK KÖRÍV KÖRGYÛRÛ TÉTEL: Egy dott kören két középponti szöghöz trtozó ívek hosszánk rány, vlmint körcikkek területének rány megegyezik középpont szögek rányávl. i t = = i t r r i i TÉTEL: Egy kören α középponti szögû körcikk területe: t º = t = r p t º r, illetve = t = r p 360º 360º r, p p hozzátrtozó ív hossz: i = º i = rp i º, illetve = t = r rp 360º 360º r. p p TÉTEL: Egy kören középponti szögû körcikk területe z ívhosszl kifejezve: t r i =. TÉTEL: R és r htároló körgyûrû területe t = R p - r p. TÉTEL: Körszelet területe: t = r r sin r = ( sin ). II. Középponti és kerületi szögek DEFINÍCIÓ: H egy szög csúcs egy dott kör középpontj, kkor szöget középponti szögnek nevezzük, szög szári két sugárr illeszkednek. DEFINÍCIÓ: H egy szög csúcs egy dott körvonl egy pontj, szári kör húrji, kkor szöget kerületi szögnek nevezzük. Speciális: érintõszárú kerületi szög: egyik szár kör húrj, másik szár kör érintõje húr egyik végpontján. A középponti szögek kpcsoltát egy körön elül már tárgyltuk. 88

89 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 TÉTEL: Középponti és kerületi szögek tétele: Adott kören dott ívhez trtozó ármely kerületi szög ngyság fele z ugynzon ívhez trtozó középponti szög ngyságánk. BIZONYÍTÁS: középponti és kerületi szögek helyzetének 4 esete vn:. A középponti és kerületi szög egy szár egy egyenese esik. C O A B BOC háromszög egyenlõ szárú OB = OC = r fi OCB = CBO = fi = OBC háromszög külsõ szöge, mi egyenlõ nem mellette lévõ két elsõ szög összegével = fi =.. A középponti szög csúcs kerületi szög elsejée esik: Húzzuk e z OC-re illeszkedõ átmérõt, mely z szöget és, szöget és részekre osztj. C A O D B A BD, illetve AD ívekhez trtozó kerületi és középponti szögek elhelyezkedése z. esetnek megfelelõ, tehát = és =. Eõl következik, hogy = + = + = ( + ) = fi =. 3. A középponti szög csúcs kerületi szög szögtrtományán kívül esik: Húzzuk e z OC-re illeszkedõ átmérõt. Az = - és = - összefüggések írhtók fel DB és DA ívekhez trtozó kerületi és középponti szögek elhelyezkedésére z. esetnek megfelelõ, tehát = és =. Eõl következik, hogy = - = - = ( - ) = fi =. D O A C B 89

90 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, H kerületi szög érintõszárú, kkor 3 eset vn: Jelölje z AB íven nyugvó érintõszárú kerületi szög. ) ) B c) B -90º O O 80º O A T B -90º A A < 90º = 90º 90º< ) 0º < < 90º. Ekkor BAO = ABO = 90º - fi AOB = = fi =. ) = 90º fi = 80º fi =. c) 90º < < 80º. Ekkor BAO = ABO = - 90º fi AOB = 80º - ( - 90º) = 360º - fi = fi =. TÉTEL: Kerületi szögek tétele: dott kör dott ívéhet trtozó kerületi szögek egyenlõ ngyságúk vgy dott kör dott AB húrj z AB ív elsõ pontjiól ugynkkor szögen látszik. TÉTEL: Áltlánosn: egyenlõ sugrú köröken z zonos hosszúságú ívekhez trtozó kerületi szögek egyenlõ ngyságúk. TÉTEL: Eõl megfoglmzhtó Thlész tétele és nnk megfordítás: Azon pontok hlmz síkon, melyekõl sík egy AB szksz derékszögen látszik, z AB átmérõjû körvonl, kivéve z A és B pontokt. DEFINÍCIÓ: Tekintsünk síkon egy AB szkszt és egy P pontot. Legyen APB =. Ekkor zt mondhtjuk, hogy P pontól z AB szksz szög ltt látszik. Az szöget látószögnek nevezzük. DEFINÍCIÓ: Azon pontok hlmz melyekõl sík egy AB szksz dott (0º < < 80º) szög ltt látszik, két, z AB egyenesre szimmetrikusn elhelyezhetõ körív, melynek neve z AB szksz szögû látóköríve. A szksz két végpontj nem trtozik ponthlmz. O O A B A O B A B O O = 90º 0 < < 90º 90º< < 80º 90

91 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 III. Húrnégyszög DEFINÍCIÓ: Azokt négyszögeket, melyeknek vn köré írhtó körük, húrnégyszögeknek nevezzük. Ezzel ekvivlens: húrnégyszög olyn négyszög, melynek oldli ugynnnk körnek húrji. TÉTEL: H egy négyszög húrnégyszög, kkor szemközti szögeinek összege 80º. BIZONYÍTÁS: Vegyük fel egy ABCD húrnégyszöget, és köré írt kört. Legyen négyszögen DAB =, BCD = g. D g C A O g B Ekkor C csúcsot trtlmzó BD ívhez, g pedig z A csúcsot trtlmzó DB ívhez trtozó kerületi szög. A kerületi és középponti szögek tételéõl következõen z ugynezeken z ívekhez trtozó középponti szögek ngyság, illetve g. Ezek összegérõl tudjuk, hogy + g = 360º. Mivel négyszög elsõ szögeinek összege 360º, ezért másik két szemközti szög összege is 80º. TÉTEL: H egy négyszög szemközti szögeinek összege 80º, kkor z húrnégyszög. BIZONYÍTÁS: indirekt Tegyük fel, hogy szemközti szögeinek összege 80, és négyszög nem húrnégyszög. Tehát z egyik csúcs (C) nem illeszkedik másik három áltl meghtározott körre. Legyen P DC egyenesének és körnek metszéspontj. Legyen DAB =, feltétel szerint BCD = 80º - fi BCP =. D C A P B Ekkor ABPD négyszög húrnégyszög, mirõl már eláttuk, hogy szemközti szögeinek összege 80º, tehát DPB = 80º -. Eõl viszont z következik, hogy BPC háromszög egyik szöge (BCP ), egy másik (BPC ) pedig 80º -. Ezek összege hrmdik szög nélkül is 80º, mi ellentmond elsõ szögek összegére vontkozó tételnek. Mivel helyesen következtettünk, csk kiindulási feltételen lehet hi, tehát nem igz, hogy C nincs körön fi C illeszkedik körre. Ez viszont zt jelenti, hogy ABCD mindegyik csúcs ugynzon körön vn fi ABCD húrnégyszög. TÉTEL: Húrnégyszög-tétel: egy négyszög kkor és csk kkor húrnégyszög, h szemközti szögeinek összege 80º. 9

92 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 TÉTEL: A nevezetes négyszögek közül iztosn húrnégyszög szimmetrikus trpéz (húrtrpéz), tégllp és négyzet. TÉTEL: A prlelogrmm kkor és csk kkor húrnégyszög, h tégllp. TÉTEL: A húrnégyszög területe kifejezhetõ négyszög kerületével és z oldlkkl: H kkor t = ( s )( s )( s c)( s d). Ez Heron-képlet húrnégyszögekre. IV. Érintõnégyszög s = k, DEFINÍCIÓ: Azokt négyszögeket, melyeknek vn eírt körük, érintõnégyszögeknek nevezzük. Ezzel ekvivlens: z érintõ négyszög olyn négyszög, melynek z oldli ugynnnk körnek érintõi. TÉTEL: H egy konve négyszög érintõnégyszög, kkor szemközti oldlink összege egyenlõ. D u z C u z y A y B TÉTEL: H egy konve négyszög szemközti oldlink összege egyenlõ, kkor z érintõnégyszög. TÉTEL: Érintõnégyszög tétel: Egy konve négyszög kkor és csk kkor érintõnégyszög, h szemközti oldlink összege egyenlõ. TÉTEL: A nevezetes négyszögek közül iztosn érintõnégyszög deltoid, így romusz és négyzet. TÉTEL: A prlelogrmm kkor és csk kkor érintõnégyszög, h romusz. TÉTEL: Érintõnégyszög területe kifejezhetõ négyszög kerületével, és eírt kör sugrávl: V. Alklmzások: t = k r = s r. Körhöz húzott érintõ és szelõszkszok tételével egy szkszt rnymetszésnek megfelelõen ( ngyo rész és z egésznek z rány egyenlõ kise rész és ngyo rész rányávl) feloszthtunk. + C O A B Körrel kpcsoltos ismeretek: Körmozgás, forgómozgás, építészet (oltívek, román és gótikus stílusú lkok tervezése) 9

93 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Látószög: háromszög szerkesztéséen (pl.: dott, α, m esetén háromszög szerkesztése), terepfeldtokn, csillgásztn, színházi nézõtéren legjo ülõhely kiválsztás, ldrúgásn és kézildán legjo szögõl vló kpurlövés helyének meghtározás A kör területe, kerülete: térgeometrii számítások Csonkkúp, illetve csonkgúl eírt gömjének sugár meghtározás megfelelõ síkmetszettel (pl. érintõtrpéz) Csonkkúp körülírt gömjének sugár meghtározás Mtemtiktörténeti vontkozások: A kör és részei közötti viszonyok feltárását már z ókori gondolkodóknál megtlálhtjuk. Számukr kör tökéletességet szimolizált, isteni eredetûnek trtották. M mtemtik számos területe támszkodik z idõk folymán felfedezett összefüggésekre. Euklidesz Kr.e 300 körül élt görög mtemtikus Elemek címû mûvéen meghtározt geometrii lpszekesztések iómáit, kerületi és középponti szögekkel kpcsoltos tételeket, hsonlósággl kpcsoltos tételeket. Pl. hsonló körszeletek területei úgy ránylnk egymáshoz, mint húrjik négyzetei. Heron Kr.e. I. százdn élt görög mtemtikus, síkidomok területének és testek térfogtánk kiszámításávl is fogllkozott. A háromszög területét számító Heron-képlet, melynek geometrii izonyítását dt, vlószínûleg Arkhimédész felfedezése. Leonrdo d Vinci (45 59) olsz festõ, mtemtikus számos festményéen hsznált z rnymetszést, pl z egyik leghírese festményéen, Mon Lis-n tö, mint száz rnymetszéses rány tlálhtó. 93

94 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, Vektorok, vektormûveletek. Vektorfelontási tétel. Vektorok koordinátái. Skláris szorzt. Vázlt: I. Vektor, vektor hossz, vektorok egyenlõsége, párhuzmosság II. Vektormûveletek, tuljdonságik III. Vektorok felontás IV. Vektorok koordinátái V. Skláris szorzt VI. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Vektor Az eltolás, mint egyevágósági trnszformáció megdhtó z eltolás irányávl és ngyságávl, vgyis egy vektorrl. Az irányított szkszt vektornk nevezzük. Jel: AB = v, A: kezdõpont, B: végpont (ez szemléletes megoldás, vektor lpfoglom, nem definiáljuk). A v B DEFINÍCIÓ: A vektor szolút értéke vektort meghtározó irányított szksz hossz. Jele: AB. DEFINÍCIÓ: Az vektor melynek szolút értéke null, nullvektor. Jele: 0. A nullvektor irány tetszõleges, tehát minden vektorr merõleges, és minden vektorrl párhuzmos. DEFINÍCIÓ: Két vektor egyirányú, h két vektor párhuzmos, és zonos irány mutt. DEFINÍCIÓ: Két vektor ellentétes irányú, h két vektor párhuzmos, de ellentétes irány mutt. DEFINÍCIÓ: Két vektor egyenlõ, h egyirányúk és szolút értékük egyenlõ. DEFINÍCIÓ: Két vektor egymás ellentettje, h ellentétes irányúk és szolút értékük egyenlõ. II. Vektormûveletek DEFINÍCIÓ: Az és vektorok összege nnk z eltolásnk vektor, mellyel helyettesíthetõ z vektorrl és vektorrl történõ egymásutánj. Jele: +. 94

95 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 háromszög-szály + prlelogrmm-szály + Ellentett vektorok összege nullvektor: + ( ) = 0. Vektorösszedás tuljdonsági:. kommuttív: + = + (összeg nem függ z összedndók sorrendjétõl).. sszocitív: ( + ) + c= + ( + c) (z összeg független z összedndók csoportosításától). DEFINÍCIÓ: Az különségvektor z vektor, melyhez vektort dv z vektort kpjuk. Jele:. Az és egymás ellentettjei. DEFINÍCIÓ: Egy nullvektortól különözõ vektor tetszõleges l vlós számml (sklárrl) vett szorzt egy olyn vektor, melynek szolút értéke l és l > 0 esetén -vl egyirányú, l < 0 esetén -vl ellentétes irányú. A nullvektort ármilyen vlós számml szorozv nullvektort kpunk. Sklárrl vett szorzás tuljdonsági: + = ( + ). disztriutív: + = ( + ). sszocitív: ( ) = ( ) III. Vektorok felontás DEFINÍCIÓ: Tetszõleges, vektorokkl és, vlós számokkl képzett v= + vektort z és vektorok lineáris kominációjánk nevezzük. TÉTEL: H és nullvektortól különözõ párhuzmos vektorok, kkor pontosn egy olyn vlós szám létezik, melyre =. TÉTEL: H és nullvektortól különözõ, nem párhuzmos vektorok, kkor velük egy síkn levõ minden c vektor egyértelmûen elõáll és vektorok lineáris kominációjként, zz c= + lkn, hol és egyértelmûen meghtározott vlós számok. Ez zt jelenti, hogy c egyértelmûen felonthtó -vl és -vel párhuzmos összetevõkre. DEFINÍCIÓ: A lineáris komináción szereplõ és vektorokt ázisvektoroknk nevezzük. 95

96 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 IV. Vektorok koordinátái DEFINÍCIÓ: A síkeli derékszögû (; y) koordinát-rendszer ázisvektori z origóól z (; 0) pont muttó i és (0; ) pont muttó j egységvektorok. DEFINÍCIÓ: A derékszögû koordinát-rendszeren z A(, ) pont helyvektor z origóól z A pont muttó vektor. y A.j j 0 i.i DEFINÍCIÓ: A derékszögû koordinát-rendszeren egy vektor koordinátáink nevezzük z origó kezdõpontú, vele egyenlõ helyvektor végpontjánk koordinátáit. Jele: (, ). TÉTEL: (Az elõiek lpján) koordinátsík összes v vektor egyértelmûen elõáll i és j vektorok lineáris kominációjként v= v i+ v j lkn. Az így meghtározott (v, v ) rendezett számpárt v vektor koordinátáink nevezzük. Jele: vv (, v ). TÉTEL: Vektor koordinátáink kiszámítás kezdõ- és végpontjánk segítségével: A(, ), B(, ) fi AB(, ). TÉTEL: H v vektor koordinátái vv (, v ), kkor vektor hossz v = v + v. Vektormûveletek koordinátákkl: Legyenek (, ) és (, ) dott vektorok. TÉTEL: Két vektor összegének koordinátái z egyes vektorok megfelelõ koordinátáink összegével egyenlõk: + ( +, + ). TÉTEL: Két vektor különségének koordinátái z egyes vektorok megfelelõ koordinátáink különségével egyenlõ: (, ). TÉTEL: Vektor számszorosánk koordinátái: l( l, l ). TÉTEL: Vektor ellentettjének koordinátái: (, ). TÉTEL: H egy vektort 90º-kl elforgtunk, koordinátái felcserélõdnek és z egyik elõjelet vált: Az (, ) vektor +90º-os elforgtottjánk koordinátái: '(, ). -90º-os elforgtottjánk koordinátái: (, ). V. Skláris szorzt DEFINÍCIÓ: Két vektor szöge: Egyállású vektorok szöge 0º, h egyirányúk; vgy 80º, h ellentétes irányúk. 96

97 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Nem egyállású vektorok esetén vektorok hjlásszögén közös pontól kiinduló vektorok félegyenesei áltl ezárt konve szöget értjük. DEFINÍCIÓ: Tetszõleges két vektor skláris szorzt két vektor szolút értékének és hjlásszögük koszinuszánk szorzt: = cos. Skláris szorzt tuljdonsági:. kommuttív: =. l ( ) = ( l ) = ( l ). disztriutív: ( + ) c= c+ c TÉTEL: Két vektor skláris szorzt kkor és csk kkor 0, h két vektor merõleges egymásr: = 0. TÉTEL: Két vektor skláris szorzt koordinátákkl: = +, zz megfelelõ koordináták szorztánk összege. BIZONYÍTÁS: (, ) = i + j (, ) = i + j = ( i+ j) ( i+ j) = i + i j+ i j+ j i = cos0 = j = cos0 = ij = ji = cos90 = 0 = + VI. Alklmzások: vektorok izonyításn: háromszög súlypontj hrmdolj súlyvonlkt; Euler-egyenes: háromszög köré írhtó kör középpontj, súlypontj, mgsságpontj egy egyenesen vn és KS SM =. szögfüggvények tetszõleges forgásszögre történõ definiálás egységvektorok segítségével történik fizikán vektormennyiségek (erõ, elmozdulás) összedásán, felontásán, munk egyenlõ z erõ és z elmozdulás skláris szorztávl skláris szorzt: koszinusztétel izonyítás koordinátgeometrián z egyenes normálvektor, illetve irányvektor segítségével z egyenes egyenletének felírás Mtemtiktörténeti vontkozások: A vektor foglm sztrkció útján lkult ki, hsznált mtemtikán és fizikán végigkíséri tnulmányinkt. Elõször z eltolás, mint geometrii trnszformáció kpcsán t- 97

98 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 nulmányozzuk, ezltt tpsztljuk, hogy vektormodellen vló gondolkodás segít prolémmegoldásn, fizikán jelenségek értelmezéséen, pl. elmozdulás, erõ, seesség leírásán, munk jellemzéséen. Descrtes frnci mtemtikus z 600-s éveken lkott meg derékszögû koordinátrendszert, geometrii prolémák megoldáskor sokszor lklmzott lgeri módszereket. Írt egy Geometri címû könyvet, melyen egy pont helyzetét két koordinátájávl djuk meg. Hmilton ír mtemtikus és csillgász hsznált elõször vektor elnevezést z 800-s éveken. 98

99 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, Szkszok és egyenesek koordinátsíkon. Párhuzmos és merõleges egyenesek. Elsõfokú egyenlõtlenségek, egyenletrendszerek grfikus megoldás. Vázlt: I. Szkszok koordinátsíkon: szksz hossz, osztópontok II. Az egyenest meghtározó dtok III. Az egyenes egyenletei IV. Egyenesek párhuzmosságánk és merõlegességének feltételei V. A lineáris függvény grfikonjánk és z egyenesnek kpcsolt VI. Elsõfokú egyenlõtlenségek grfikus megoldás VII. Elsõfokú egyenletrendszerek grfikus megoldás VIII. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Szkszok koordinátsíkon: szksz hossz, osztópontok TÉTEL: A síkeli derékszögû koordinátrendszeren z A(, ) és B(, ) végpontokkl meghtározott szksz hossz z AB hossz: AB = ( ) + ( ), mi egyen z A és B pontok távolság. Szksz osztópontjink koordinátái, hol A(, ) és B(, ): + + TÉTEL: Szksz felezõpontjánk koordinátái F ;. + BIZONYÍTÁS: AF = f = + =. y A( ; ) f F (; y) B ( ; ) 0 99

100 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 TÉTEL: Szksz hrmdolópontjink koordinátái + + H ; G ; 3 3 BIZONYÍTÁS: + h= + AH = + AB = + = ( ) + = + = + g AG AB = + = A( ; ) y H( ; y) h h H( ; y) B( ; ) 0 TÉTEL: Az AB szkszt p : q rányn osztó pont koordinátái: q+ p q + p R ; + +. p q p q BIZONYÍTÁS: AR p p p = AR = AB = ( ) RB q p + q p + q p OR = r = OA + AR = + ( ) p+ q ( p + q) + p( ) p + q + p p q + p OR = = =. p+ q p+ q p+ q A( ; ) AR p p+q AB R (; y) r y AB q p+q AB B( ; ) 0 00

101 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 II. Egyenest meghtározó dtok Egy egyenest síkn egyértelmûen meghtározhtunk pontj, vgy egy pontj és egy, z állását jellemzõ dt segítségével. Ilyen, z egyenes állását jellemzõ dt: z egyenes irányvektor, normálvektor, irányszöge, iránytngense. DEFINÍCIÓ: Az egyenes irányvektor ármely, z egyenessel párhuzmos, nullvektortól különözõ vektor. Jele: vv ( ; v ). DEFINÍCIÓ: Az egyenes normálvektor ármely, z egyenesre merõleges, nullvektortól különözõ vektor. Jele: nab. ( ; ) DEFINÍCIÓ: Az egyenes irányszögének nevezzük zt tengely pozitív irányávl ezár. p < p szöget, melyet z egyenes z DEFINÍCIÓ: Az egyenes irányszögének tngensét (mennyien létezik) z egyenes iránytngensének (iránytényezõjének vgy meredekségének) nevezzük. Jele: m = tg. Az = p = 90º irányszögû, vgyis z y tengellyel párhuzmos egyenesnek nincs iránytngense. y e e y y e vv ( ; v ) na ( ; B ) >0 <0 f Összefüggések z egyenes állását meghtározó dtok között: h z egyenes egy irányvektor vv ( ; v ), kkor normálvektor lehet n( v; v) vgy v nv ( ; v), illetve meredeksége m = = tg, eõl felírhtó z irányszög is. v h z egyenes egy normálvektor nab, ( ; ) kkor irányvektor lehet v( B; A) vgy vb ( ; A) ; illetve meredeksége m = A (B π 0) = tg, eõl felírhtó z irányszög is. B h z egyenes meredeksége m, kkor eõl irányszöge = rctgm, irányvektor lehet: v(; m ), normálvektor n( m;) vgy nm ( ; ). h z egyenes irányszöge, kkor meredeksége m = tg. Eõl irányvektor és normálvektor is meghtározhtó. H = 90º, kkor m nem létezik, de v (0;), illetve n (; 0). Összefüggés z egyenes két dott pontj és z egyenes állását meghtározó dtok között: H z egyenes két különözõ pontj A( ; ) és B( ; ), kkor AB lehet z egyenes egy irányvektor: v ( ; ) egy normálvektor n ( ; ) vgy n ( ; ), meredeksége m = ; eõl felírhtó irányszöge is: = rctgm. 0

102 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 III. Az egyenes egyenletei DEFINÍCIÓ: Egy lkzt egyenletén, síkeli y koordinát-rendszeren, olyn egyenletet értünk, melyet z lkzt pontjink koordinátái kielégítenek, de más síkeli pontok nem. TÉTEL: H egy egyenesnek dott P 0 ( 0 ; y 0 ) pontj és egy nab ( ; ) normálvektor, kkor z egyenes normálvektoros egyenlete: A + By = A 0 + By 0. BIZONYÍTÁS: Egy P(; y) pont kkor és csk kkor vn rjt z e egyenesen, h PP 0 vektor merõleges z egyenes nab ( ; ) normálvektorár. H P 0 pont helyvektorát r 0, P pont helyvektorát r jelöli, kkor PP 0 = r r 0, koordinátákkl PP 0 = ( 0; y y0). y e Py (; ) r PP 0 = r r0 r 0 P0( 0; y0) 0 na ( ; B ) PP 0 kkor és csk kkor merõleges z egyenes normálvektorár, h skláris szorztuk 0, zz PP 0 n= 0, vgyis ( - 0 ) A + (y - y 0 ) B = 0, rendezve A + By = A 0 + By 0. TÉTEL: H egy egyenesnek dott P 0 ( 0 ; y 0 ) pontj és egy vv ( ; v ) irányvektor, kkor z egyenes irányvektoros egyenlete: v - v y = v 0 - v y 0. BIZONYÍTÁS: H vv ( ; v ) irányvektor, kkor nv ( ; v) egy normálvektor. Ezt helyettesítve (A = v ; B = -v ) normálvektoros egyenlete, kész izonyítás. TÉTEL: H dott z y tengellyel nem párhuzmos egyenes egy P 0 ( 0 ; y 0 ) pontj és m iránytngense, kkor iránytényezõs egyenlete y - y 0 = m ( - 0 ). BIZONYÍTÁS: H m iránytényezõ, kkor v(; m ) irányvektor, vgyis nm ( ; ) normálvektor. Ezt ehelyettesítve (A = m; B = -) normálvektoros egyenlete m - y = m 0 - y 0 y - y 0 = = m - m 0 y - y 0 = m ( - 0 ). TÉTEL: Az y tengellyel párhuzmos, P 0 ( 0 ; y 0 ) ponton átmenõ egyenes egyenlete: = 0. DEFINÍCIÓ: Két egyenes metszéspontj (h létezik) egy olyn pont, mely illeszkedik mindkét egyenesre. A metszéspont koordinátái két egyenes egyenletéõl álló egyenletrendszer megoldási. DEFINÍCIÓ: Két egyenes hjlásszöge visszvezethetõ irányvektorik vgy normálvektorik szögére. ne nf Két vektor szögét skláris szorzttl számolhtjuk ki: cosj =, vgy ne nf ve vf cosj =. v v e f 0

103 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 IV. Két egyenes merõlegessége és párhuzmosság: Legyen két egyenes e és f, irányvektorik v e és v f, normálvektorik: n e és és f, iránytngenseik m e és m f (h léteznek) e ª f v e ª v f, zz vn olyn l (π 0) vlós szám, hogy ve = l vf, vgy ne ª nf, zz vn olyn l (π 0) vlós szám, hogy ne = l nf, vgy e = f, vgy m e = m f. e ^ f v e ^ v f, zz ve vf = 0, vgy n ^ n, zz n n = 0, vgy n e e f = l v (l π 0), vgy f ve = l nf (l π 0), vgy m e m f = -. e f n f, irányszögeik e V. Elsõfokú egyenlõtlenségek DEFINÍCIÓ: Elsõfokú egyismeretlenes egyenlõtlenségek + > 0 ( π 0) lk hozhtók. H > 0, kkor > H < 0, kkor < y y = + y y = Megengedett z egyenlõség is, így természetesen megoldásn is. DEFINÍCIÓ: Elsõfokú kétismeretlenes egyenlõtlenségek + y + c > 0 ( π 0) lk hozhtók. H > 0, kkor H < 0, kkor H = 0, kkor y> c y c < + c > 0. (egyismeretlenes) y y <0 c y= c > 0 c c y=

104 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 VI. Alklmzások: Adott tuljdonságú ponthlmzok keresése, h elemi módszerrel nem oldogulunk. Kétismeretlenes egyenlõtlenségrendszer megoldás Pl.: + y< y< + 3 y, y y 3 + < Z < + 6, y Z + y> 5 y 5 > + y y = + y y = + y y = + y = + 5 y < + y = + 5 y = + 5 y > y < +6 3 y = +6 3 y = +6 3 y = +6 A három terület metszete: y y = + y = + 5 (; ) 3 y = +6 P(; ) z egyetlen megfelelõ pont fi =, y =. 04

105 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 A lineáris progrmozás (egyes folymtok leggzdságos megszervezésének módszere) izonyos lineáris egyenlõtlenségrendszerek megoldásávl és ennek feltételeivel fogllkozik. Elemi geometrii prolémák egyszerû megoldás. Pl.: háromszög mgsságvonli egy pontn metszik egymást. Eddig ezt geometrii módon izonyítottuk, koordinát-geometrii ismeretekkel eláthtjuk lgeri módszerekkel. Célszerû A(; 0), B(; 0) C(c ; c ) helyzete illeszteni háromszöget, zz z tengelyre felvenni háromszög két csúcspontját. Egyenletes mozgások út-idõ grfikonj mindig egyenes (szksz); mozgások vizsgáltkor mozgás pályájánk ismeretéen információkt kphtunk mozgásról: s t Mtemtiktörténeti vontkozások: A koordinát-geometri (nlitikus geometri) lpvetõ jellemzõje, hogy geometrii prolémákt, feldtokt lgeri módszerekkel, koordinát-rendszer segítségével tárgylj és oldj meg. A geometriánk ez megközelítése elõször Apollóniusz kúpszeletekrõl írt könyvéen jelenik meg Kr.e. 3. százdn. Ptolemiosz (Kr.e. k.50) Föld egy pontjánk helyét mi földrjzi szélességnek és hosszúságnk megfelelõ dtokkl htározt meg, tehát gömi koordinátákt hsznált. Descrtes 637-en megjelent Geometri c. könyvét tekintjük z elsõ koordinátgeometrii mûnek, een már következetesen hsználj z újkori mtemtiki jelöléseket. Een könyvéen ritmetizált z Euklideszi geometriát: Descrtes középpont állítj z origót, centrumot, és elõle sugárzó lpirányokt, zz vertikális és horizontális tengelyt. A descrtes-i koordinátrendszernek köszönhetõen görék leírhtók egyenlettel. A koordinát szó z 700-s évek elejétõl Leiniz német mtemtikustól szármzik. 05

106 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, A kör és prol koordinátsíkon. Kör és egyenes, prol és egyenes kölcsönös helyzete. Másodfokú egyenlõtlenségek grfikus megoldás. Vázlt: I. Kör definíciój, egyenlete II. Prol definíciój, egyenletei III. Kör és egyenes kölcsönös helyzete IV. Prol és egyenes kölcsönös helyzete V. Másodfokú egyenlõtlenségek VI. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás I. Kör és egyenlete DEFINÍCIÓ: A kör zon pontok hlmz síkon, melyek egy dott ponttól dott távolságr vnnk. Az dott pontot kör középpontjánk, z dott távolságot kör sugránk nevezzük. Tehát kört síkon egyértelmûen meghtározz középpontj és sugr. TÉTEL: A C(u; v) középpontú, r sugrú kör egyenlete ( - u) + (y - v) = r. BIZONYÍTÁS: A P(; y) pont kkor és csk kkor vn körön, h CP távolság éppen r, zz CP = r. y k P (; y) r Cu (; v) 0 CP ( u) ( y v) r = + = fi mivel mindkét oldl nemnegtív, négyzetre emeléssel ekvivlens kifejezéshez jutunk: ( - u) + (y - v) = r, mit kör pontji kielégítenek, de más pontok nem. A kör egyenlete kétismeretlenes másodfokú egyenlet, hiszen z egyenlete: + y - u - vy + u + v - r = 0 lkr hozhtó, zz átlkíthtó: + y + A + By + C = 0 lkúr, hol A, B, C olyn vlós számok, melyekre A + B - 4C > 0. Ekkor kör középpontjánk koordinátáir: u= A u= A ; v= B v= B ; illetve 06

107 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 u + v - r = C fi A B r = C fi Azz kör középpontj A ( ; B) r = A + B C fi 4 A + B 4C A + B 4C r = =. 4 r + 4 = A B C fi 4 C, sugr r = A + B 4C. Eõl láthtjuk, hogy nem minden + y + A + By + C = 0 egyenlet kör egyenlete. II. Prol és egyenletei DEFINÍCIÓ: A prol zon pontok hlmz síkon, melyek sík egy v egyenesétõl és z egyenesre nem illeszkedõ F ponttól egyenlõ távolságr vnnk. Az dott egyenes prol vezéregyenese (direktrie), z dott pont prol fókuszpontj. t P d p F T A vezéregyenes és fókuszpont távolság prol prmétere (p > 0). A fókuszpontr illeszkedõ és vezéregyenesre merõleges egyenes prol szimmetritengelye, röviden tengelye (t). A prol tengelyen lévõ pontj prol tengelypontj (T). A tengelypont felezi fókusz és vezéregyenes távolságát. p TÉTEL: Az F ( 0; ) fókuszpontú p y = vezéregyenesû prol egyenlete: y=. p Ez zt is jelenti, hogy prol tengelypontj T(0; 0), prmétere p (és fókusz tengelypont felett vn, zz prol pozitív állású), ekkor prol egyenlete y=. p BIZONYÍTÁS: y y= p p F 0; 0 P (; y) p Q y p A vezéregyenes egyenlete: y =. Egy síkeli P pont kkor és csk kkor illeszkedik prolár, h prol fókuszától és vezéregyenesétõl egyenlõ távolságr vn. A P pont és vezéregyenes távolság egyenlõ PQ távolsággl, hol Q P pont merõleges vetülete v p vezéregyenesen, ezért Q( ; ). 07

108 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 zz p p ( ) ( ) p p ( ) ( ) = + + = + PQ ( ) y y PQ = PF, = + = + PF ( 0) y y p p ( y ) ( y ) + = +. Mivel mindkét oldl nemnegtív, négyzetre emelés ekvivlens egyenletet d: py = fi (mivel p > 0): y p tengelyponti egyenlete). p p ( y+ ) = + ( y ) p p y + py+ = + y py+ 4 4 p = (origó tengelypontú ( 0; ) F fókuszpontú prol TÉTEL: A p prméterû T(u, v) tengelypontú prolák tengelyponti egyenlete és jellemzõik: y = ( u ) v p + y= ( u ) + v p p F u; v+ Tu ( ; v) p v: y v t: u p v: y v+ Tu ( ; v) p F u; v t: u = ( y v ) + u p p v: u = ( y v ) + u p p v: u+ t: y v Tu ( ; v) F u p + ; v p F u ; v t: y v Tu ( ; v) Minden másodfokú függvény grfikonj z y tengellyel párhuzmos tengelyû prol, és minden y tengellyel párhuzmos tengelyû prol vlmelyik másodfokú függvény grfikonj. fi f() = + + c = y teljes négyzetté lkítv átlkíthtó y=± ( u ) + v lk. p Minden y=± ( u ) + v prol esetén zárójelfelontás, összevonás után megkphtó z p y = + + c lk. 08

109 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 III. Kör és egyenes kölcsönös helyzete Egy síkn egy körnek és egy egyenesnek háromféle helyzete lehet: nincs közös pontjuk, egy közös pontjuk vn (z egyenes érinti kört), két közös pontjuk vn (z egyenes metszi kört). k e E M e M e eçk= Æ eç k= E eç k={ M; M} Egy kör és egy egyenes közös pontjink meghtározás z egyenleteikõl álló egyenletrendszer megoldásávl történik következõ módon: Az egyenes egyenletéõl kifejezzük z egyik ismeretlent, és zt kör egyenletée ehelyettesítjük. Így egy másodfokú egyismeretlenes egyenletet kpunk. Az egyenlet diszkrimináns htározz meg közös pontok számát. H D > 0, kkor z egyenletnek megoldás vn, vgyis z egyenes metszi kört. H D = 0, kkor z egyenletnek egy megoldás vn, vgyis z egyenes érinti kört. H D < 0, kkor z egyenletnek nincs megoldás, vgyis z egyenesnek és körnek nincs közös pontj. IV. Prol és egyenes kölcsönös helyzete Prol és egyenes közös pontjink szám lehet,, 0. p p p p e vgy e e e közös pont közös pont 0 közös pont Az tény, hogy prolánk és z egyenesnek egy közös pontj vn, nem jelenti zt, hogy z egyenes érintõje prolánk, mert z is lehetséges, hogy z egyenes párhuzmos prol tengelyével. DEFINÍCIÓ: A prol érintõje olyn egyenes, melynek egy közös pontj vn prolávl és nem párhuzmos prol tengelyével. Prol és érintõjének meghtározás kétféle módon: Az egyenes egyenletét egy prméterrel felírv (célszerû prméternek z m meredekséget válsztni), ilyenkor is figyelni kell, hogy m ne tengellyel párhuzmos egyenesre utljon. Olyn m értéket keresünk, mely z egyenesre felírt elsõfokú, prméteres, kétismeretlenes egyenletnek, vgyis egyenletrendszernek pontosn egy megoldáspárját dj. A megoldás módj pl. prol egyenletéõl ehelyettesítünk z egyenes egyenletée (vgy fordítv), ekkor egy prméteres, egyismeretlenes, másodfokú egyenletet kpunk. Az egyenes kkor és csk kkor érinti prolát, h z egyenlet diszkrimináns 0. Az így kpott (áltlán m-re nézve másodfokú) egyenlet vlós megoldási (h léteznek) dják kérdéses érintõk meredekségét, miõl egyenletük már felírhtó. Az y tengellyel párhuzmos tengelyû prol érintõjének meredeksége prol egyenletéõl kphtó másodfokú függvény deriváltjáól htározhtó meg (ez jóvl gyors és egy- 09

110 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 szerû z elõzõ módszernél). Az y tengellyel nem párhuzmos tengelyû, vgyis z tengellyel párhuzmos tengelyû prol érintõjének meredeksége prol egyenletéõl kphtó gyökfüggvény (figyelni kell, hogy melyik ágát nézzük) deriváltjáól htározhtó meg (ez onyolult, ngyo odfigyelést kíván z elõzõ módszernél). V. Másodfokú egyenlõtlenségek DEFINÍCIÓ: Egyenlõtlenségrõl eszélünk, h lgeri kifejezéseket <, >,, jelek vlmelyikével kpcsoljuk össze. H ezek kifejezések másodfokúk, kkor másodfokú egyenlõtlenségrõl eszélünk. Az egyenlõtlenségek megoldási módszerei hsonlók z egyenletek megoldási módszereihez:. A mérlegelv lklmzásánál z egyik eltérés negtív értékkel vló szorzás, illetve osztás, mert ekkor z egyenlõtlenség irány megváltozik. Ezért el kell kerülni z ismeretlent trtlmzó kifejezéssel történõ szorzást, osztást. Ehelyett 0-r rendezés után elõjelvizsgáltot kell végezni, mit célszerû grfikusn megoldni. Másik eltérés két oldl reciprokánk vételekor áll fenn. Mindkét oldl reciprokát véve, h z egyenlõtlenség mindkét oldlán negtív kifejezés áll, kkor reláció irány megváltozik, különen reláció nem változik.. Grfikus megoldás: A másodfokú egyenlõtlenségek megoldásánál fontos szerepet játszik, hogy z egyenlõtlenségeken szereplõ másodfokú kifejezések grfikonj koordinátrendszeren prol. A másodfokú egyenlet megoldásához hsonlón 0-r rendezünk úgy, hogy fõegyütthtó pozitív legyen, tehát > 0. Ekkor + + c 0, + + c > 0, + + c 0 vgy + + c < 0 lkú minden másodfokú egyenlõtlenség. H l oldlon álló kifejezés áltl meghtározott függvényt (f() = + + c) árázoljuk, kkor, mivel értéke pozitív, ezért felül nyitott, pozitív állású prolát kpunk. Az egyenlõtlenség megoldás ekkor egyenértékû z f() 0, f() 0, f() > 0, illetve f() < 0 vizsgálttl. Ehhez elõször htározzuk meg z f() függvény zérushelyeit: H két zérushely vn, és (hol < ), kkor lehetõségeink z f() függvény elõjelére (f( ) = f( ) = 0): Egyenlõtlenség + + c c > 0 Megoldáshlmz Œ]-, ]» [, [ Œ]-, [» ], [ + + c 0 Œ[, ] + + c < 0 Œ], [ Azz, h helyett >, helyett < szerepel csk, kkor megoldásunkn zárt intervllumvégeket nyitottr cseréljük. 0

111 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 H egy zérushely vn,, kkor lehetõségeink z f() függvény elõjelére (f( ) = 0): Egyenlõtlenség + + c 0 Megoldáshlmz ŒR + + c > 0 ŒR \ { } + + c 0 = + + c < 0 Œ{ } H 0 zérushely vn, kkor f () mindenütt pozitív: Egyenlõtlenség Megoldáshlmz + + c 0 ŒR + + c > 0 ŒR + + c 0 Œ{ } + + c < 0 Œ{ } VI. Alklmzások: Koordinátgeometri segítségével elemi geometrii feldtok lgeri úton oldhtók meg: Adott tuljdonságú ponthlmz keresése: Mi zon P pontok hlmz, melyekre dott A, B esetén PA PB = 3? (Apollóniosz-kör) A B

112 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Kör területének meghtározás integrálássl (kell hozzá z integrálndó függvény) r + y = r y= r T = r d r π = 4 0 r y r A prolntenn mûködésének lényege prol és fókuszánk tuljdonságávl mgyrázhtó: tengellyel párhuzmosn eesõ jel fókuszon keresztül verõdik vissz. t v E e Mesterséges égitestek pályáj z úgynevezett szökési seesség esetén prol. Szélsõérték-feldtok megoldás. Mtemtiktörténeti vontkozások: Már Kr.e. 3. százdn élt ngy görög mtemtikus, Apollóniusz is fogllkozott kúpszeletekkel: körrel, z ellipszissel, prolávl és hiperolávl. 8 kötetes mûvének óriási htás volt késõi korok mtemtikusir (Arkhimédész-re, Descrtes-r, Fermt-r). Az õ munkásságától függetlenül elõször Euler írt kúpszeletekrõl 748-n. Fermt (60 665) frnci mtemtikus Descrtes elõtt meglkott koordináták módszerét, megkereste z egyenes és kúpszeletek egyenletét. Viszont kuttás nem volt htássl z nlitikus geometri fejlõdésére, ugynis gondoltit csk levelezõprtnereivel osztott meg. Descrtes 637-en megjelent Geometri c. könyvét tekintjük z elsõ koordinátgeometrii mûnek, een már következetesen hsználj z újkori mtemtiki jelöléseket. Een könyvéen ritmetizált z Euklideszi geometriát: Descrtes középpont állítj z origót, centrumot, és elõle sugárzó lpirányokt, zz vertikális és horizontális tengelyt. A descrtes-i koordinátrendszernek köszönhetõen görék leírhtók egyenlettel. Euler ( ) svájci szármzású mtemtikus kúpszeletekrõl végzett kuttásin elsõként hldt meg Apollóniusz áltl megállpítottkt. Az nlitikus geometri keretéen szinte egymg lkott meg m hsználtos trigonometriát.

113 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, Térelemek távolság és szöge. Téreli lkztok. Felszín- és térfogtszámítás. Vázlt: I. Térelemek, ezek illeszkedése, párhuzmosság, szöge, távolság II. Téreli lkztok: testek csoportosítás III. Testek felszíne IV. Testek térfogt V. Testek felszíne, térfogt képletekkel VI. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás: I. Térelemek Pont, egyenes, sík lpfoglmk, nem definiáljuk õket, hnem szemléletõl kilkult jelentésükre hgytkozunk. DEFINÍCIÓ: Két térelem illeszkedõ, h egyik részhlmz másiknk. DEFINÍCIÓ: Két egyenes párhuzmos, h egy síkn vnnk és nem metszik egymást. DEFINÍCIÓ: Egyenes és sík, illetve sík párhuzmos, h nincs közös pontjuk. DEFINÍCIÓ: Egy egyenest egy rá illeszkedõ pont két félegyenesre oszt, ez pont mindkét félegyenes kezdõpontj. DEFINÍCIÓ: Egy síkn két, zonos pontól kiinduló félegyenest és z áltluk meghtározott ármelyik síkrészt szögnek nevezzük. A közös kezdõpont szög csúcspontj, két félegyenes szög szári, síkrész szögtrtomány. DEFINÍCIÓ: Illeszkedõ vgy párhuzmos térelemek szöge 0º. DEFINÍCIÓ: Két metszõ egyenes 4 szöget lkot, ezek közül - egyenlõ. H két egyenes nem merõleges egymásr, kkor két egyenes hjlásszöge kétfjt szög közül kiseik. H két egyenes merõleges egymásr, kkor hjlásszögük derékszög. Eszerint két metszõ egyenes hjlásszöge 90º-nál nem ngyo. DEFINÍCIÓ: Két egyenes kitérõ, h nincsenek egy síkn. DEFINÍCIÓ: Két kitérõ egyenes hjlásszöge egyenlõ tér egy tetszõleges pontján átmenõ és z dott egyenesekkel párhuzmos egyenesek hjlásszögével. Ez szög pont megválsztásától független. TÉTEL: Egy, síkot metszõ egyenes merõleges síkr, h merõleges sík minden egyenesére (síkr merõleges egyenes tétele). Definíció szerint egy egyenes merõleges síkr, h merõleges sík minden olyn egyenesére, mely átmegy z egyenes és sík metszéspontján. 3

114 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 DEFINÍCIÓ: H z e egyenes nem merõleges síkr, kkor z egyenes merõleges vetülete síkon szintén egyenes (e ). Een z eseten z egyenes és sík hjlásszögén z egyenes és vetülete hjlásszögét értjük. Ez szög legkise z egyenes és sík egyenesei áltl ezárt szögek között. e S DEFINÍCIÓ: H két sík nem párhuzmos egymássl, kkor metszésvonluk egy pontján mindkét síkn merõlegest állítunk metszésvonlr. A két sík hjlásszöge e két egyenes hjlásszögével egyenlõ. Ez szög pont megválsztásától független. DEFINÍCIÓ: Két illeszkedõ vgy metszõ térelem távolság 0. DEFINÍCIÓ: Két pont távolság pontokt összekötõ szksz hossz. DEFINÍCIÓ: Pont és egyenes távolság pontól z egyenesre ocsátott merõleges szksz hoszsz. DEFINÍCIÓ: Pont és sík távolság pontól síkr ocsátott merõleges szksz hossz. P P S DEFINÍCIÓ: Párhuzmos egyenesek távolság: ármelyik egyenes egy tetszõleges pontjánk távolság másik egyenestõl, zz két egyenest összekötõ, mindkettõre merõleges szksz hossz. P e Q d( e; f ) =d( P; f ) =d( Q; e ) =PQ f DEFINÍCIÓ: Két kitérõ egyenes távolság z õket összekötõ, mindkettõre merõleges szksz hossz. Azt z egyenest, mely mindig létezik és egyértelmû és mely mindkét kitérõ egyenesre merõleges, két egyenes normáltrnszverzálisánk nevezzük. Így két kitérõ egyenes távolság normáltrnszverzálisuk közéjük esõ részének hossz. e f 4

115 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 DEFINÍCIÓ: Egyenes és vele párhuzmos sík távolság z egyenes egy tetszõleges pontjánk síktól vló távolságávl egyenlõ, zz z egyenes ármely pontjáól síkr ocsátott merõleges szksz hosszávl egyenlõ. P e des, P S DEFINÍCIÓ: Két párhuzmos sík távolság z egyik sík egy tetszõleges pontjánk másiktól vett távolság, zz ármelyik sík egy tetszõleges pontjáól másik síkr ocsátott merõleges szksz hossz. P S ds, S P S II. Téreli lkztok DEFINÍCIÓ: A térnek véges felületekkel htárolt részét testnek nevezzük. DEFINÍCIÓ: A sokszöglpokkl htárolt testek poliéderek. DEFINÍCIÓ: A szályos testek olyn poliéderek, melynek lpji egyevágó szályos sokszögek, vlmennyi lpszögük és élszögük egyenlõ. tetréder oktéder ikozéder heéder (kock) dodekéder DEFINÍCIÓ: Hengerszerû testek: egy síkidom kerületén levõ pontokon keresztül párhuzmosokt húzunk egy, síkidom síkjávl nem párhuzmos egyenessel. Az így kpott plástfelületet z eredeti síkidom síkjávl és egy vele párhuzmos síkkl elmetszünk. A kpott véges test hengerszerû test. H test lplpj sokszög, kkor hsánk, h kör, hengernek nevezzük. H párhuzmos egyenesek merõlegesek z lplp síkjár, kkor testet egyenes hengerszerû testnek, különen ferde hengerszerû testnek nevezzük. 5

116 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 DEFINÍCIÓ: Kúpszerû testek: egy síkidom kerületén levõ pontokon keresztül egyeneseket húzunk egy, síkidom síkjár nem illeszkedõ ponton keresztül. A kpott véges test kúpszerû test. H test lplpj sokszög, kkor gúlánk, h kör, kúpnk nevezzük. H kúp minden lkotój (z egyeneseknek z dott pont és síkidom közti szksz) egyenlõ hosszú, kkor egyenes kúpszerû testnek, különen ferde kúpszerû testnek nevezzük. Csonkkúpszerû testek: h egy kúpszerû testet z lplpjávl párhuzmos síkkl elmetszünk, kkor két párhuzmos sík közti testet csonkkúpszerû testnek nevezzük. H test lplpj sokszög, kkor csonkgúlánk, h kör, csonkkúpnk nevezzük. DEFINÍCIÓ: Gömfelület: egy dott ponttól egyenlõ távolságr levõ pontok hlmz téren. Gömöt kpunk, h egy kört vlmelyik átmérõje mentén megforgtunk. III. Testek felszíne A felszín jele: A Poliéderek felszíne poliédert htároló véges számú sokszöglp területének z összege. Poliéderektõl különözõ testek felszíne: H test felülete sík kiteríthetõ, kkor ennek kiterített felületnek területe dj test felszínét (pl. henger, kúp). Bármely nem poliéder felszíne test áltl trtlmzott, illetve testet trtlmzó poliéderek felszíneivel htározhtó meg kétoldli közelítés módszerével. H egyetlen olyn pozitív vlós szám vn, mely z dott testet trtlmzó poliéderek felszíneinél nem ngyo, vlmint z dott test áltl trtlmzott poliéderek felszíneinél nem kise, kkor zt test felszínének tekintjük. Forgástestek felszíne: TÉTEL: H f() függvény z [; ] intervllumon folytonos és f() 0, kkor z f() függvény grfikonjánk z tengely körüli megforgtásávl keletkezett forgástest plástjánk felszíne: ( ) ( ( )) d A= p f + f. H forgástest teljes felszínét krjuk meghtározni, kkor kpott plásthoz hozzá kell dni z lplp és fedõlp területét is. TÉTEL: Hsonló testek felszínének rány megegyezik hsonlóság rányánk négyzetével. IV. Testek térfogt A térfogt jele: V Poliéder térfogt poliéderre jellemzõ pozitív szám, mely rendelkezik következõ tuljdonságokkl: Az egységkock térfogt. Az egyevágó poliéderek térfogt egyenlõ. H egy poliédert részpoliéderekre vágunk szét, kkor részek térfogtánk összege egyenlõ z egész poliéder térfogtávl. Poliéderektõl különözõ testek térfogt: A test áltl trtlmzott, illetve testet trtlmzó poliéderek térfogtivl kétoldli közelítés módszerével htározhtó meg. H egyetlen olyn pozitív vlós szám vn, mely z dott testet trtlmzó poliéderek térfogtinál nem ngyo, vlmint z dott test áltl trtlmzott poliéderek térfogtánál nem kise, kkor zt test térfogtánk tekintjük. 6

117 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Forgástestek térfogt: TÉTEL: H f() függvény z [; ] intervllumon folytonos és f() 0, kkor z f() függvény grfikonjánk z tengely körüli megforgtásávl keletkezett forgástest térfogt: TÉTEL: Az r sugrú göm térfogt: V = 4 r3p 3 V = p f ( )d. BIZONYÍTÁS: A göm szármztthtó egy félkör átmérõ körüli megforgtásávl, ezért térfogt V = p f ( )d összefüggéssel meghtározhtó. Az origó középpontú, r sugrú kör egyenlete + y = r, eõl [-r; r] intervllumon értelmezett f( ) = r függvény grfikonj egy félkör, melynek tengely körüli megforgtásávl szármztthtó z r sugrú göm. Így göm térfogt: r r r 3 3 r r r V = p f ( )d = p ( r )d = p r d = ( ) ( r) = p r r r ( r) r r 4 = = r 3 3 p 3 3 p r TÉTEL: Hsonló testek térfogtánk rány megegyezik hsonlóság rányánk köével. V. Testek felszíne és térfogt Hsá Test Felszín Térfogt A = T lp + T plást V = T lp m m Tégltest D A = ( + c + c) V = c c A B C 7

118 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 Kock Test Felszín Térfogt A = 6 V = 3 Henger r A = rp(r + ) V = r pm m= Gúl m A = T lp + T plást T V = lp 3 m T Kúp m A = rp(r + ) V = r pm 3 r Csonk gúl t A = T + t + T plást ( ) m V = m T + T t + t 3 T Csonk kúp r m A = p(r + r + (R + r)) V = mp ( R + Rr+ r) 3 R Göm A = 4r p 4 3 V = r p 3 r r 8

119 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 TÉTEL: Egy r sugrú, lkotójú kúp felszíne A = rp(r + ) BIZONYÍTÁS: A kúp plástj kiteríthetõ sík, lkj olyn körcikk, melynek sugr kúp lkotój, ívhossz z lpkör kerülete. Így plást területe: T plást sugár ív = = rp = rp Így forgáskúp teljes felszíne A = r p + rp = rp(r + ). VI. Alklmzások Térképészeten, földmérésen: távolságmérés, szögmérés Építészmérnöki munkán: távolságmérés, szögmérés, felszín-, térfogtszámítás Fizikán sûrûségszámításkor: térfogtszámítás Geometrii vlószínûség számoláskor: h z esemény ekövetkezésének vlószínûsége rányos z eseményt szemléltetõ geometrii lkzt mértékével, kkor z esemény ekövetkezésének vlószínûségét megkpjuk, h z eseményt és z eseményteret szemléltetõ lkztok mértékeit elosztjuk egymássl (felszín, térfogt) Mtemtiktörténeti vontkozások: A legkorái írásos emlékek hengerszerû testekrõl Kr.e. 000 körül keletkeztek. Ezek szerint Egyiptomn henger lkú gontrtályok térfogtát meg tudták htározni. Kr.e. 35 körül Euklidesz megírt Elemek címû mûvét, mien geometriát iomtikusn építette fel, zz szemléletre hgytkozv lpfoglmkt (iómákt) htározott meg, és ezek segítségével izonyított állításokt. A hsáok, gúlák, göm térfogtánk vizsgáltár kimerítés módszerét (eírt és körülírt hsáok térfogtávl vló közelítést) hsznált. Vizsgált z öt szályos testet, meghtározt térfogtukt, eizonyított, hogy csk öt szályos test létezik. Arkhimédész (Kr.e III.sz.) eizonyított, hogy göm felszíne megegyezik köré írt hengerplást területével, és térfogt köré írt henger térfogtánk /3 része. Egy másik nevezetes tétele szerint z egyenlõ oldlú henger, ele írhtó göm és hengere írhtó kúp térfogtink rány 3::. Heron Kr.e. I. százdn élt görög mtemtikus síkidomok területének és testek térfogtánk kiszámításávl is fogllkozott. Jnus Pnnonius (434 47) mgyr költõ szépen körülírt térelemeket, melyeket mtemtikán nem definiálunk. Jnus Pnnonius: A geometrii idomokról Pont z, melynek részét felfogni sem tudnád, megnyújtod, s krcsú egyenes fut ármely irányn. Sík felület születik, h meg is duplázz futását: széltéen terjed,nem nyílik meg soh mélye. Két-két sík szilárd testet jellemzi, kidj hosszúságát és szélességét, meg mélyét. Kockánk, könek hívják s négyzetlpú testnek, árhogy esik, midig jól látni részeit ennek; ht síkot fogll mgá, szöglete épp nyolc (Kurcz Ágnes fordítás) Császár Ákos 949-en készített egy olyn testet, melynek ármely két csúcspontj szomszédos. A Császár-poliédernek 7 csúcs, 4 háromszöglpj és éle vn (ez nem egyszerû poliéder) Szilssi Ljos szegedi mtemtikus 977-en olyn testet készített, melynek hét lpj vn, és ármely két lpj szomszédos. A Szilssi-féle poliédert elkészítették rozsdmentes célól és Fermt frnci mtemtikus szülõházán, születésének 400. évfordulóján vtták fel. 9

120 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07. A terület foglm. Területszámítás elemi úton és z integrálszámítás felhsználásávl. Vázlt: I. Területszámítás II. Síkidomok területe: tégllp, prlelogrmm, háromszög, trpéz, deltoid, négyszögek, sokszögek, kör III. Htározott integrál IV. Göre ltti terület V. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás I. Területszámítás A mérés egy egységnyinek tekintett értékkel vló összehsonlítást jelent. Ahhoz, hogy mérni tudjunk, rögzíteni kell mérés szályit. DEFINÍCIÓ: A terület mérése zt jelenti, hogy minden síkidomhoz hozzárendelünk egy pozitív vlós számot, melyet síkidom területének nevezünk. Ez hozzárendelés z lái tuljdonságokkl rendelkezik: Az egységnyi oldlhosszúságú négyzet területe egységnyi. Egyevágó sokszögek területe egyenlõ. H egy sokszöget véges számú sokszögre drolunk, kkor z egyes részek területének összege egyenlõ z eredeti sokszög területével. II. Síkidomok területe Beizonyíthtó, hogy ilyen területértelmezés mellett igzk következõ állítások: TÉTEL: A tégllp területe két szomszédos oldlánk szorztávl egyenlõ. t =. Minden prlelogrmm átdrolhtó tégllppá, így TÉTEL: prlelogrmm területe: t = m. m m Minden háromszöget vlmely oldlánk felezõpontjár tükrözve z eredeti háromszög és (z eredetivel egyevágó) képe együtt egy prlelogrmmát lkot, így prlelogrmm területének fele C g A A m g B 0

121 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 m TÉTEL: háromszög területe: t =. Tükrözve ármely trpézt z egyik száránk felezõpontjár olyn prlelogrmmát kpunk, melynek területe kétszerese trpéz területének. TÉTEL: A trpéz területe z lpok számtni közepének és trpéz mgsságánk szorzt: t = + c m. D c C= B d g A F g A B= C c d D Minden sokszög véges számú háromszögre drolhtó, így TÉTEL: sokszög területe egyenlõ ezeknek háromszögeknek területösszegével. m sing TÉTEL: Háromszög területei: t = = = r s= c = s ( s ) ( s ) ( s c) 4R hol r eírt kör sugr, R körülírt kör sugr, s félkerület. c m g TÉTEL: t = r s. BIZONYÍTÁS: A háromszög eírt körének középpontj szögfelezõk metszéspontj. C r r O r A c B Berjzoljuk szögfelezõket, így ABC háromszöget felontjuk három d háromszögre: ABO, BCO és CAO háromszögekre, mindhárom háromszögen z egyik oldlhoz trtozó mgsság r. Így felírhtó z eredeti háromszög területe részháromszögek területének összegével. TÉTEL: t = c. 4R tabc = tabo + t cr r r c BCO + tcao = + + = r + + = r s è è è è. BIZONYÍTÁS: A háromszög körülírt körének középpontj z oldlfelezõ merõlegesek metszéspontj.

122 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 A B R O R C H CAB kerületi szög, kkor COB középponti szög (ugynhhoz z ívhez trtoznk). COB egyenlõ szárú háromszög fi sin = =. R R c t = c sinα = R = c. 4R TÉTEL: Négyszög területe: z átlói hossz és z átlók áltl ezárt szög szinuszánk szorztánk e f sinj fele: t =. BIZONYÍTÁS: Az ABCD konve négyszög, átlóink metszéspontj M. M z átlókt, e -, illetve y, f - y részekre osztj. A két átló 4 d háromszögre osztj négyszöget, így négyszög területe egyenlõ négy háromszög területének összegével: D C A 80 j y j e M j 80 j f y B t ABCD = t ABMè + t BCMè + t CDMè + t DAMè ( f y) sin j ( e ) ( f y) sin(80º j) ( e ) y sinj y sin(80º j) t = sin(80º - j) = sinj, mert 0º < j < 80º, ekkor sin -t kiemelve: j sinj sinj t = [ ( f y) + ( e ) ( f y) + ( e ) y+ y ] = [ ( f y) e+ y e] = sinj sinj e f sinj = [ f y+ y] e= f e=.

123 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 ABCD konkáv négyszög, átlóink metszéspontj M virtuális átlót, e - részekre osztj, míg vlódi átló: CA = AM - CM. D M e B j y 80 j C f A Az ABD háromszög területe egyenlõ z ABCD négyszög területének és BCD háromszög területének összegével t ABCD = t ABDè - t BCDè = t ABMè + t AMDè - t CBMè - t CMDè. TÉTEL: deltoid területe z átlói szorztánk fele TÉTEL: Szályos sokszög területét úgy kpjuk, hogy középpontjukt összekötjük csúcsokkl és így n d egyenlõ szárú háromszögre ontjuk sokszöget: R sin 360º t = n r = n n, hol r: eírt kör sugr, R: körülírt kör sugr. TÉTEL: r sugrú kör területe: r p (soroztok htárértékével) III. Htározott integrál: A htározott integrál segítségével, függvénygöre vonlávl htárolt síkidomok területét is meg tudjuk htározni. Ehhez elõször göre ltti területet kell vizsgálnunk. DEFINÍCIÓ: Göre ltti területnek nevezzük egy [; ] intervllumon folytonos, korlátos, pozitív értékû f függvény göréjének z intervllumhoz trtozó íve, z =, z = egyenesek és z tengely áltl htárolt területet. y = = DEFINÍCIÓ: A göre ltti területet tégllpok egyesítésével létrejött sokszögekkel közelítjük. Ehhez z [; ] intervllumot z = 0,,, n = pontokkl n részre osztjuk. Ezt z intervllum egy felosztásánk nevezzük. Tekintsük ennek felosztásnk z intervllumát: [ i - ; i ]. Jelölje m i z f függvénynek een z intervllumn felvett értékeinek lsó htárát (z lsó korlátok közt legngyo), M i pedig felsõ htárát ( felsõ korlátok közt legkise). Bizonyíthtó, hogy korlátos függvényeknél ezek z értékek léteznek. 3

124 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 y M m m M = 0 n = Az [ i - ; i ] intervllum fölé szerkesszünk olyn tégllpokt, melyeknek másik oldl m i, illetve M i. Végezzük el szerkesztést felosztás minden intervllumán és egyesítsük kise tégllpokt és ngyo tégllpokt külön két sokszöge. Ekkor vizsgált trtomány egy eírt, illetve egy körülírt sokszögét kpjuk. Ezeknek sokszögeknek területét vizsgáljuk. A eírt sokszög területe z lsó közelítõ összeg: s n = m ( - 0 ) + m ( - ) m n ( n - n - ). A körülírt sokszög területe felsõ közelítõ összeg: S n = M ( - 0 ) + M ( - ) M n ( n - n - ). Továi osztópontokt véve meglévõkhöz felosztást finomítjuk, kkor s n áltlán nõ, S n áltlán csökken, és ekkor leghossz részintervllumok hossz is 0-hoz trt. Így végtelen sok lsó és felsõ összeg keletkezik. Beláthtó, hogy ármely lsó összeg nem lehet ngyo ármely felsõ összegnél. n n n n DEFINÍCIÓ: Az [; ] intervllumon korlátos, f függvény integrálhtó, h ármely, minden htáron túl finomodó felosztássoroztához trtozó lsó és felsõ összegei soroztánk közös htárértéke vn, zz lim s = lim S. Ezt közös htárértéket nevezzük z f függvény [; ] intervllumon vett htározott integráljánk. Jelölés: f( )d. IV. Göre ltti terület Így tehát nemnegtív, integrálhtó függvények htározott integrálj megdj függvény ltti területet. Az integrál területszámítási lklmzásánál figyeleme kell venni, hogy z tengely ltti terület negtív elõjellel dódik. TÉTEL: H z [; ]-on folytonos f függvény nem vált elõjelet, kkor =, =, és z tengely és függvény grfikonj áltl közrezárt síkidom területe: t = f ( )d. y y De: 4

125 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 TÉTEL: Két függvény áltl közrezárt síkidom területe: t = ( f ( ) g ( ))d (h f() > g()) y f () g () Ilyenkor áltlán két függvény metszéspontját kell elõször meghtározni. Mjd két függvény különségét kell integrálni, legvégén pedig Newton-Leiniz formulávl kiszámolni htározott integrál értékét. V. Alklmzások: Pitgorsz-tétel izonyítás terület-összerkássl Geometrii vlószínûségek kiszámításkor szükség vn geometrii lkztok területének meghtározásár Kör területe Síkidomokkl, illetve sík kiteríthetõ felületekkel htárolt testek felszínének meghtározás (hsá, henger, kúp, gúl, csonk kúp, csonk gúl) Mtemtiktörténeti vontkozások: Síkidomok területével már z ókorn is fogllkoztk: Hippokrtész Kr.e. 450 körül egy rendszerezõ mtemtiki mûvet írt, melyen sokt fogllkozott különözõ egyenesek és körívek áltl meghtározott területek kiszámításávl. Hippokrtész holdcskái : A derékszögû háromszög oldli fölé rjzoljunk félköröket. Ekkor két holdcsk területének összege egyenlõ háromszög területével. C A c B K. 50 évvel késõ Arkhimédész mûveien is tlálunk területszámításról említést: õ is kimerítés módszerét hsznált (körülírt és eírt tégllpok területével vló közelítés). Riemnn (86 866) német mtemtikus fejlesztette ki ról elnevezett integrálást. A htározott integrál definíciój pontosítv: Riemnn szerint integrálhtó Leiniz (646 76) német és Newton (64 77) ngol mtemtikusok egymástól függetlenül felfedezték differenciál- és integrálszámítást. A mi jelölések tönyire Leiniztõl szármznk: differenciálhánydos d y d és z integrál ( d) jele. Õ hsznált elõször függvény, differenciálszámítás, z integrálszámítás elnevezéseket. Newton Leiniz elõtt dolgozt ki mindkét számítást, de nem tette közzé, jelölésrendszere is onyolult volt, mint Leinizé, így z utókor Leiniz-féle elveket fogdt el. A htározott integrál kiszámításánk képletét mindkettejük munkásságánk elismeréseként nevezzük Newton-Leiniz formulánk. 5

126 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07. Kominációk. Binomiális tétel, Pscl háromszög. A vlószínûség kiszámításánk komintorikus modellje. A hipergeometrikus eloszlás Vázlt: I. Kominációk (ismétlés nélküli, ismétléses) II. Binomiális tétel, Pscl háromszög III. Események: elemi események, eseménytér, iztos-, lehetetlen esemény IV. Mûveletek eseményekkel (A + B, A B, A ) V. Vlószínûség definíciój, mûveletek vlószínûsége, iómák VI. Hipergeometrikus eloszlás VII. Alklmzások, mtemtiktörténeti vontkozások Kidolgozás I. Kominációk (ismétlés nélküli, ismétléses) A komintorik, vlószínûség-számítás és mtemtiki sttisztik véletlen tömegjelenségek törvényszerûségével fogllkozik. A komintorik tárgyát képezik sor rendezési és részhlmz kiválsztási prolémák, komintorik rendszerint dolgok megszámlálásávl fogllkozik. DEFINÍCIÓ: Legyen n egymástól különözõ elemünk. H ezekõl k (k n) d-ot kiválsztunk minden lehetséges módon úgy, hogy kiválsztott elemek sorrendjére nem vgyunk tekintettel, zz n elem k-d osztályú ismétlés nélküli kominációját kpjuk. TÉTEL: Az n elem k-d osztályú z ismétlés nélküli kominációink szám: n ( n ) ( n )... ( n k+ ) n! n = k ( k )... k! ( n k)! =. k BIZONYÍTÁS: A kiválsztást úgy képzelhetjük el, minth elõször sor állítnánk k d kiválsztott elemet. Az elsõ helyre n d-ól, második helyre (n - ) d-ól, k-dik helyre már csk megmrdt (n - k + ) d-ól válszthtunk, ezzel lehetõségek szám n (n - ) (n - )... (n - k + ). Mjd sorrendek számát k elem összes sorrendjével, k!-rl osztjuk, hiszen sorrend nem számít. n ( n ) ( n )... ( n k+ ) = k! n ( n ) ( n )... ( n k+ ) ( n k) ( n k )... = = n! k!( n k) ( n k )... k!( n k)! Erre pedig evezetjük z n k szimólumot. DEFINÍCIÓ: H n különözõ elemõl kell k elemet kiválsztni úgy, hogy kiválsztás sorrendje nem számít és már kiválsztott elemeket újr kiválszthtjuk, kkor z n elem k-d osztályú ismétléses kominációját kpjuk. 6

127 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 TÉTEL: Az n elem k-d osztályú ismétléses kominációjánk szám: n+ k. k II. Binomiális tétel n n n n n ( + ) = n n A tételen szereplõ n együtthtókt inomiális együtthtóknk nevezzük. k TÉTEL: n n 0 n n n 0 n BIZONYÍTÁS: ( + ) n = ( + )( + )( + )...( + ). Bontsuk fel jo oldlon álló n dr zárójelet: mindegyik összegõl ki kell válsztni z egyik tgot, ezeket tgokt össze kell szorozni, mjd kpott szorztokt össze kell dni. Mindegyik kpott szorzt n tényezõõl áll, mindegyiken szerepel és, mégpedig n - k k lkn, mert zárójelõl vgy -t, vgy -t válsztunk, -ól n - k drot, -õl k drot. n -féleképpen lehet z n dr tényezõõl zt k drot kiválsztni, melyikõl k szorzótényezõt vesszük. Tehát z n - k k tgól n dr vn, tehát ez tg együtthtój. k Így szorzt tételeli lk írhtó. A inomiális együtthtók tuljdonsági: n n 0! definíció szerint, ezért = és =. n 0 Az n elem közül ugynnnyiféleképpen lehet k elemet kiválsztni, mint n - k elemet otthgyni, így =. k n k n n A inomiális tétel következménye: H z összeg mindkét tgj, kkor n ( ) n n n n n n = + = n n Pscl háromszög: A háromszögen sorok számozás nullávl kezdõdik, pártln és páros sorokn számok el vnnk csúszttv egymáshoz képest. A háromszöget következõ egyszerû módon lehet felírni: A nulldik sorn csk egy dr-es vn. A következõ sorok felírásánál szály következõ: z új számot úgy kpjuk meg, h összedjuk felette lr és felette jor tlálhtó két számot. H z összeg vlmelyik tgj hiányzik (sor széle), kkor nullánk kell tekinteni. Például z -es sor elsõ szám 0 + =, míg -es sor középsõ szám + =. Ez meghtározás Pscl képletén lpul, mely szerint z n-edik sor k-dik eleme következõ n n n képlettel számolhtó: = + ármely nem negtív egész n és ármely 0 és n közötti k egész k k k esetéen. 7

128 MATEMATIKA EMELT SZINTÛ SZÓBELI ÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK, 07 n n A Pscl-háromszög szimmetriáj mitt is láthtó, hogy =. k n k A meghtározásól látszik, hogy z n-edik sorn kéttgú összeg n-edik htványánk együtthtói, zz inomiális együtthtók állnk III. Események A vlószínûség-számítás véletlen tömegjelenségek vizsgáltávl fogllkozik. DEFINÍCIÓ: Véletlen jelenségnek nevezzük zokt jelenségeket, melyeket leírhtó körülmények nem htározzák meg egyértelmûen. Pl. egy doókock feldoás. DEFINÍCIÓ: Kísérletnek nevezzük véletlen jelenség megfigyelését. DEFINÍCIÓ: Elemi eseménynek nevezzük kísérlet során ekövetkezõ lehetséges kimeneteleket. Pl. kock doásánál zt, hogy hánys számot dounk. DEFINÍCIÓ: Az eseménytér z elemi események hlmz. Pl. kock doásánál {; ; 3; 4; 5; 6}. DEFINÍCIÓ: Az elemi események egy hlmzát, zz z eseménytér egy részhlmzát eseménynek nevezzük. Pl. esemény kockdoásnál páros szám doás. Az eseményeket ngyetûvel jelöljük. Pl. A = {; 4; 6} DEFINÍCIÓ: Az eseménytérhez trtozó zon esemény, mely iztosn ekövetkezik, iztos esemény, mely semmiképpen sem következhet e, lehetetlen esemény. A iztos esemény jele: H, lehetetlen esemény jele:. Pl. kockdoásnál iztos esemény: 7-nél kise számot dounk, lehetetlen esemény: 8-nál ngyot dounk. IV. Mûveletek eseményekkel DEFINÍCIÓ: Az A esemény komplementere z z esemény, mely kkor következik e, mikor A nem következik e. Jele: A. DEFINÍCIÓ: Az A és B események összege z z esemény, mely kkor következik e, mikor A vgy B ekövetkezik. Jele: A + B. DEFINÍCIÓ: Az A és B események szorzt z z esemény, mely kkor következik e, mikor A és B ekövetkezik. Jele: A B. DEFINÍCIÓ: Az A és B események egymást kizárják, h egyszerre nem következhetnek e. Az eseményekkel kpcsoltos mûveletek tuljdonsági, zonossági hlmzmûveletekre megismert tételekhez hsonlón leírhtók, illetve izonyíthtók. 8