I. Osztó, többszörös, prímszámok, összetett számok, számelmélet alaptétele, osztók száma

Átírás

1 0 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó I Osztó, töszörös, prímszámok, összetett számok, számelmélet lptétele, osztók szám Módszertni megjegyzés: Keresd csoportodt! Minden tnulónk dunk egy-egy kártyát, melyen zonos számok vnnk szorzt lkn Ez kiosztás lehet véletlenszerű: például tnulók mguk húznk egy-egy kártyát tnári sztlról, vgy tudtos: figyelünk rr, hogy kinek melyik kártyát djuk A tnulók feldt megkeresni zokt társikt, kiknek kártyáján ugynz szám szerepel A feldt egyen fejszámolási gykorlt is, ne engedjük, hogy számológépet hsználjnk! kártykészlet lklmzás Módszertni megjegyzés: H meglkultk csoportok, kkor írják fel nnk számnk néhány osztóját és néhány töszörösét, melyik kártyájukon szerepel Foglmztssuk meg csoportokkl, hogy mit jelent z, hogy egy szám osztój vgy töszöröse egy másik számnk, mjd eszéljük meg közösen, és írjuk is le füzete pontos meghtározásokt Áltlános iskolán pozitív egész számok hlmzán már értelmeztük z oszthtóságot, ezt most kiterjesztjük természetes számok hlmzár Vizsgáljuk meg z újonnn hozzávett számot oszthtósági szempontól: nullánk minden szám osztój, null viszont egyetlen pozitív egész számnk sem osztój

2 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó Emelt szinten érdemes z oszthtóságot kiterjeszteni z egész számok hlmzár is Sok változást nem jelent, csk minden számnk kétszer nnyi osztój lesz, mint eddig Az és természetes számok esetén kkor mondjuk, hogy z szám osztój -nek, h vn olyn c természetes szám melyre c Jelölés: Akkor mondjuk, hogy egy d természetes számnk töszöröse z f természetes szám, h d osztój f-nek Egy szám -en és önmgán kívüli osztóit szám vlódi osztóink nevezzük Mintpéld Keressük meg következő számok osztóit: 9 9! Módszertni megjegyzés: Az előzőleg meglkult csoportokn dolgozznk tnulók Minden csoporttg válsszon ki három számot, és keresse meg z osztóit egyedül H készen vnnk, ketten-ketten cseréljék ki füzeteiket, és ellenőrizzék, hogy másik jól gondolkodott-e, nem tlálnk-e hiát, vgy esetleg olyn osztót, mi kimrdt osztói: osztói: 9 osztói: 9 osztói: 8 osztói: osztói: osztói: osztói: osztói: osztói: 9 osztói: 9 osztói: 9 8 Módszertni megjegyzés: H csoportok elkészültek, kérdezzük meg, hogy lehetne-e vlmilyen szempont szerint csoportosítni z elői számokt Melyek zok, melyeknek egy, kettő vgy tö osztójuk vn? Hogyn hívjuk ezeket számokt? A tnulók meghtározási lpján írjuk le füzete definíciókt! Azokt természetes számokt, melyeknek pontosn két pozitív osztój vn, prímszámoknk nevezzük Azokt természetes számokt, melyeknek kettőnél tö pozitív osztój vn, összetett számoknk nevezzük

3 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Mi helyzet z -gyel? Vigyázt! Az se nem prím, se nem összetett szám Mintpéld Keressük meg z és 00 között tlálhtó prímszámokt! Ertosztenészi szitávl A prímszámok kiszűrésére vló eljárás z ún ertosztenészi szit Rendezett tálázt írjuk fel -től 00-ig z egész számokt A -t krikázzuk (z árán szürkére színezzük) e, mjd húzzuk ki kettőnél ngyo, -vel oszthtó számokt! Hsonlón -t krikázzuk e, mjd húzzuk ki háromnál ngyo, -ml oszthtó számokt! A következő szám, mi még nincs kihúzv z, krikázzuk e és húzzuk ki nál ngyo, öttel oszthtó számokt! Keressük meg következő nem áthúzott számot, ez, krikázzuk e és húzzuk ki nál ngyo töszöröseit! És így tová, ddig folytssuk z eljárást, míg z -en kívül minden számot vgy ekrikáztunk, vgy áthúztunk Azok számok, melyeket áthúztunk, összetett számok, melyeket ekrikáztunk, pedig prímszámok Az -et nem krikáztuk e, és nem húztuk át, hiszen z egy se nem összetett, se nem prímszám

4 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó Mintpéld Írjuk fel következő számok prímtényezős felontását: Mit jelent z, hogy prímtényezős felontás, hogyn tudjuk ezt könnyen felírni? Biztos, hogy minden csoportnk egyform számolás? Mi z, minek iztosn meg kell egyeznie? Kise természetes számok szorztár ontjuk z dott számot, mjd mindegyik tényezőt tová ontjuk, ezt ddig folyttjuk, míg prímszámot nem kpunk A legkise prímszámtól kezdve egyenként leválsztjuk tényezőket, mjd vonl jo oldlán lévő számokt összeszorozzuk Módszertni megjegyzés: Beszéljük meg közösen, hogy h vlki más sorrenden végezte el z osztásokt, z nem j, de végén kpott prímtényezős felontásnk meg kell egyeznie Egy-két lehetőséget fel is írhtunk tálár Foglmzzuk meg számelmélet lptételét!

5 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Itt érdemes elmondni, hogy mtemtikán z oszthtósági prolémákkl számelmélet foglkozik A számelmélet lptétele: Minden összetett szám felonthtó prímszámok szorztár és ez felontás tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű Figyeljünk rr, hogy prímtényezők közé ne kerüljenek összetett számok Néh odkeveredik vgy 9 is Most tisztázzuk, hogy vonl jo oldlár csk prímszámok kerülhetnek Fedeztessük fel tnulókkl, hogy egy szám prímosztóit négyzetgyökéig kell keresni, h odáig nem tlálunk, kkor szám prímszám A felontásn segítenek z oszthtósági szályok Mintpéld Az dott prímtéglákt hsználv készítsünk ) négyzetszámot, ) köszámot, c) lehető legngyo számot, d) 0-r végződő -ml oszthtó számot! Négyzetszámot úgy kpunk, h minden zonos jelű tégláól páros drot veszünk Köszámot úgy kpunk, h minden zonos jelű tégláól -ml oszthtó drot veszünk A lehető legngyo számot úgy kpjuk, h z összes prímtéglát felhsználjuk Egy szám kkor oszthtó -ml, h prímtényezői között szerepel Mintpéld Htározzuk meg következő számok prímtényezős felontását, osztóit és osztóink számát: 8 9! Módszertni megjegyzés: A csoporttgok osszák fel egymás között, hogy ki melyik számnk készíti el prímtényezős felontását Aki leghmr készen vn, z válszt még egy számot Közösen írják fel z osztókt és állpítják meg számukt H csoportok elkészültek, kkor megoldásokt frontálisn eszéljük meg

6 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó osztói: 9 8 Osztóink szám: d osztói: 8 Osztóink szám: d osztói: 9 8 Osztóink szám: 9 d osztói: Osztóink szám: 8 d 9 osztói: 9 Osztóink szám: d osztói: Osztóink szám: d Mintpéld Htározzuk meg 0 osztóink számát! Vjon megállpíthtó-e csk prímtényezős felontásól, hogy egy számnk hány dr osztój vn? Prímszámok Kitevő Írjuk fel 0 prímtényezős felontását: 0 Úgy kpunk egy tetszőleges osztót, hogy mindhárom soról válsztunk egy-egy számot és z így kiválsztott három számot, összeszorozzuk Az első soról -féle, másodikól -féle, hrmdikól - féle számot válszthtunk, ezért összesen: osztój vn 0-nk Módszertni megjegyzés: Minden csoport összeállít három kérdést z ór nygávl kpcsoltn Például: mit nevezünk prímszámnk sorold fel osztóit hány osztój vn - nek! A kérdéseket oddj egy másik csoportnk Felügyeljük feldt írását, hogy ne djnk egymásnk túl nehéz feldtokt, csk olynokt, miket mguk is meg tudnk oldni Minden csoport közösen megoldj kpott feldtokt, megoldást visszküldi feldóknk, kik kijvítják és értékelik másik csoport munkáját (Megnézzük z elkészült megoldásokt, hogy vn-e enne hi, de ne szóljunk érte rögtön, hnem figyeljük meg, hogy jvító csoport megtlálj-e hiát) Feldtok Keresd meg következő számok osztóit: Melyek ezek közül prímek?

7 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó osztói: Prímszám 9 osztói: 9 osztói: 9 osztói: 9 Prímszám 90 osztói: 90 Bontsd fel következő számokt prímszámok szorztár: Egy hjó hosszánk, z ároc mgsságánk, kpitány kisfiánk és kpitány életkoránk szorzt 0 Hány éves kpitány? éves, mert (prímtényezőkre ontv), és 0 öreg lenne kpitánynk, de jó hjóhossznk túl fitl kpitánynk és rövid ároc mgsságnk, de fi életkor lehet 9 túl fitl kpitánynk, ez lesz z ároc Mitől függ, hogy egy szám osztóink szám páros vgy pártln? Az osztókt pár rendezve, úgy, hogy z osztópárok szorzt számot dj, kkor kpunk pártln számú osztót, h z osztó párj önmg, zz h szám négyzetszám Minden más eseten z osztók szám páros Két testvér életkoránk összege leglá 0, de legfelje 0 esztendő Az életkorok összegének pozitív osztój vn Hány évesek testvérek, h egyikük háromszor nynyi idős, mint másik? Vegyük ki prímeket, hiszen zoknk pontosn két osztójuk vn ( 9) H z összetett szám két prímszám szorzt, kkor osztój vn:, önmg és két prímszám Vegyük ki ezeket is (0 ) Vizsgáljuk megmrdt számok osztóit: osztóink szám: ( + ) ( + ) osztóink szám: +

8 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó 8 osztóink szám: ( + ) ( + ) 0 osztóink szám: ( + ) ( + ) Fogdjuk el, h diákok z osztók számát z osztók felsorolásávl dják meg H együtt évesek, kkor fitl éves, z időse 9 éves H együtt 8 évesek, kkor fitl, éves, z időse, éves Az egész számok hlmzán ez nem megoldás, de feldtn ez nem volt kikötés H együtt 0 évesek, kkor fitl éves, z időse éves A feldt jó péld rr, hogy h kpunk egy megoldást, z nem zt jelenti, hogy más megoldás nincs Hány pozitív osztój vn z -nek? prímtényezős felontás: Ezért osztóink szám: ( + ) ( + ) ( + ) Htározd meg 9 pártln osztóink számát! 9 prímtényezős felontás: 9 A -t nem trtlmzó osztók, mind osztói 9 nk Ezek szám: ( + ) ( + ) Házi feldtnk jvsoljuk: és feldt

9 8 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó II Oszthtósági szályok Mintpéld Írjuk e z lái számokt tálázt! Utolsó számjegy lpján OSZTHATÓSÁG Utolsó két számjegy lpján -vel -tel 0-zel -gyel -tel 0-nel 00- zl Utolsó három számjegy lpján 8-cl - tel 000- rel Számjegyek összege lpján -ml 9-cel Utolsó számjegy lpján OSZTHATÓSÁG Utolsó két számjegy lpján -vel -tel 0-zel -gyel -tel 0-nel 00- zl Utolsó három számjegy lpján Számjegyek összege lpján -ml 9-cel 8-cl - tel rel Próáljuk tálázt lpján megfoglmzttni z oszthtósági szályokt! Utolsó számjegy Egy természetes szám kkor és csk kkor oszthtó -vel, h z utolsó számjegye oszthtó -vel, vgyis h páros (zz, h z utolsó számjegye 0,,,, 8) Egy természetes szám kkor és csk kkor oszthtó -tel, h utolsó számjegye oszthtó -tel (zz, h z utolsó számjegy 0 vgy )

10 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó 9 Utolsó két számjegy Egy természetes szám kkor és csk kkor oszthtó -gyel, h z utolsó két számjegyéől álló legfelje kétjegyű szám oszthtó -gyel Egy természetes szám kkor és csk kkor oszthtó -tel, h z utolsó két számjegyéől álló legfelje kétjegyű szám oszthtó -tel Egy természetes szám kkor és csk kkor oszthtó 0-nel, h z utolsó két számjegyéől álló legfelje kétjegyű szám oszthtó 0-nel Egy természetes szám kkor és csk kkor oszthtó 00-zl, h z utolsó két számjegye 0 (Mivel 00 oszthtó -gyel, -tel, 0-nel és 00-zl, ezért 0-nek minden, kettőnél nem kise egész htvány is oszthtó ezekkel) Számjegyek összege Egy természetes szám kkor és csk kkor oszthtó -ml, h számjegyeinek összege oszthtó -ml Egy természetes szám kkor és csk kkor oszthtó 9-cel, h számjegyeinek összege oszthtó 9-cel (Ugynis 0 htványi felírhtók következő módon: st Az összegek első tgji oszthtók -ml, illetve 9-cel, így megfelelő helyi értékeken álló számok összege szorozv -gyel dönti el z oszthtóságot) Például: ( ) + ( 99 + ) + ( 9 + ) + Elég vizsgálnunk számjegyek összegét: + + +, mivel ez szám oszthtó -ml, de nem oszthtó 9-cel, ezért z eredeti szám is oszthtó -ml, de nem oszthtó 9-cel

11 0 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Mintpéld 8 Egy számlán láthtó következő tétel: d könyv ár 9 Ft Sjnos z első és z utolsó számjegy olvshttln Mennyie került egy könyv? x9y Egy szám kkor és csk kkor oszthtó -vel, h oszthtó 9 8 cl, zz 9-cel is és 8-cl is Egy szám kkor és csk kkor oszthtó 8-cl, h utolsó három számjegyéől álló szám oszthtó 8-cl 8 9y Ez kkor tejesül, h y Egy szám, kkor és csk kkor oszthtó 9-cel, h számjegyeinek összege oszthtó 9-cel 9 x x + Tehát x Tehát könyv 9 Ft-, így egy könyv Ft- került Figyelem! A tényezőnkénti oszthtóság csk reltív prím tényezők esetéen lklmzhtó! Mintpéld 9 Egy szoán kétféle szék vn: háromláú suszterszék és négyláú krosszék Minden széken ül egy gyerek Így összesen lát tudunk megszámolni Hány gyerek vn szoán? A székeken ülő gyerekek kétláúk, így suszterszékek ötláú, krosszékek htláú székként dnk lát Ez z összeg -nek töszöröse, tehát htláú székek szám is -nek töszöröse, mi legfelje lehet, különen tö mint lá lenne szoán Ezek szerint krosszék és suszterszék vn szoán, mindegyiken egy gyerek ül, számuk tehát Módszertni megjegyzés: Jo csoportokn lá helyett djunk ngyo számot, például -t Ez zért is neheze, mert tö megoldás lehetséges A székeken ülő gyerekek kétláúk, így suszterszékek "ötláú", krosszékek "htláú" székként dnk lát Ez z összeg -nk töszöröse, tehát z "ötláú" székek szám is - nk töszöröse, mi mximum ( 0) lehet, különen tö mint lá lenne szoán Ezek szerint krosszék és suszterszék vn szoán, mindegyiken egy gyerek, számuk tehát, vgy krosszék és suszterszék vn szoán, tehát gyerek ül szoán

12 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó Feldtok Módszertni megjegyzés Minden csoport osszunk ki A, B, C, D jelű kártyákt, differenciálv tnulók képességei szerint Szétválnk csoportok z A, B, C, D jelek szerint, ők dolgoznk most együtt H csoportok elkészültek, mindenki visszmegy sját csoportjá, és töieknek elmondj feldtink megoldását Az A jelűek feldt: 8 Milyen számjegyek írhtók helyére, h ) 9 ) 8? ) 0 ) 8 A B jelűek feldt: 9 Milyen számjegyek írhtók helyére, h ) 9, )? ) ) 9 A C jelűek feldt: (Az oszthtóság tényezőnként csk kkor vizsgálhtó, h tényezők reltív prímek) 0 Milyen számjegyek írhtók x és y helyére, h ) xy, ) 8 x0y? ) H y, kkor x 0 9, h y, kkor x, h y, kkor x 8, h y, kkor x 0 9, h y 9, kkor x ) H y 0, kkor x, h y, kkor x, h y, kkor x 8, h y, kkor x, h y 8, kkor x A D jelűek feldt: Milyen számjegyek írhtók x és y helyére, h ) x y, ) xy? ) H y 0, kkor x h y, kkor x ) H y, kkor x y, kkor x Lehet-e két prímszám összege 00? Nem, mert két prímszám összege csk n z eseten lehet pártln, h közülük z egyik Viszont 00 iztosn nem prím, mivel oszthtó -ml

13 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Igz-e, hogy0 + oszthtó -ml? 0 00 K K 00, ennek számjegyeinek összege, tehát szám oszthtó -ml Bizonyítsd e, hogy ! Egy szám kkor és csk kkor oszthtó -tel, h oszthtó 9-cel és -tel Egy szám kkor és csk kkor oszthtó -tel, h utolsó számjegye oszthtó -tel A szám utolsó számjegye: 0, ezért szám iztosn oszthtó -tel Egy szám kkor és csk kkor oszthtó 9-cel, h számjegyeinek összege oszthtó 9-cel A szám számjegyeinek összege: 9, ezért szám iztosn oszthtó 9-cel Így vizsgált szám oszthtó -tel Milyen n egész számok esetén lesz z lái tört értéke egész szám? n + n + ) ) n + n n + ( n + ) + ) + n + n + n + ) Így elég zt vizsgálni, hogy ( n + ) milyen n egész szám esetén teljesül ezek következők: n, n, n, n n + n ( n ) + + n n Így elég zt vizsgálni, hogy ( n ) milyen n egész szám esetén teljesül, ezek következők: n, n, n, n 8 Házi feldt jvslt: és feldt

14 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó III Legngyo közös osztó, legkise közös töszörös Módszertni megjegyzés: Minden csoport külön dolgozik 0 és mintpéldán A leggyorsn elkészülő cspt ismerteti megoldást Közösen megfoglmzzuk, hogy mit nevezünk két szám legngyo közös osztójánk, és legkise közös töszörösének? Hogyn jelöljük, és hogyn tudjuk kiszámolni prímtényezős lkól? Mely számokt nevezünk reltív prímeknek? Mintpéld 0 Felújítjuk lkásunkt! Úgy döntöttünk, hogy konyh pdlójánk urkolásához járólpokt vásárolunk Milyen mximális oldlhosszúságú négyzet lpú lpokt vehetünk, h helység mérete 0 cm x 0 cm és egyetlen járólpot sem krunk szétvágni? Hány d járólpot kell vásárolni? Hány csomg járólpot kell vásárolni, h egy csomgn 0 d vn? Becsüljük meg, hogy mennyi pénzt kell kivenni z utomtáól, hogy iztosn ki tudjuk fizetni járólpokt, h egy csomg ár 90 Ft! (Az utomtáól csk 000 forintot illetve ennek töszöröseit lehet kivenni) Vizsgáljuk meg, hogy pontos volt-e ecslés! A két szám prímtényezős felontás: , 0 A két szám legngyo közös osztój: ( 0 0) 0 Mximum 0 cm x 0 cm-es csempéket vehetünk 0 9 0, 0 0 Összesen 9 dr járólpot, zz csomgot kell vásárolni Így, h néhány (mximum d) selejtes járólp is vn csomgunkn, kkor is e tudjuk fejezni munkát A járólpok ár: 90 0 Ft Az utomtáól 000 Ft-ot kell kivenni Módszertni megjegyzés: Jo csoportoknk úgy nehezíthetjük feldtot, hogy megkérdezzük, hányféle négyzet lkú csempét vehetünk? 0 osztói: osztóink szám: 8 Tehát 8-féle négyzet lkú csempe közül válszthtunk, ár ezekől legkiseek vlóságn csk moziknk képzelhetőek el

15 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Mintpéld A klózok egy lktln szigeten osztozkodnk zsákmányon Hogyn osztották szét rnytllért, 9 ruintot és z gyémántot, h háromféle kincsől mindenki ugynnnyit kpott? Hányn voltk klózok? Megoldás A három szám prímtényezős felontás: (, 9, ) klózok -n voltk Mindenki rnytllért, ruintot és gyémántot kpott zsákmányól Jo csoportoknk feldhtjuk: Egy hónp múlv még ngyo zsákmányr tettek szert klózok, közen cspthoz cstlkozott néhány újonc Hogyn osztották szét rnytllért, 9 ruintot és z 98 gyémántot, h háromféle kincsől mindenki ugynnnyit kpott Hány tgú most cspt?, 9, 98 9, ( 9 98) -en voltk klózok Mindenki rnytllért, ruintot és gyémántot kpott zsákmányól Mit tudunk két szám legngyo közös osztójáról és legkise közös töszöröséről? Hogyn jelöljük? Hogyn tudjuk kiszámolni prímtényezős lkól? Mely számokt nevezünk reltív prímeknek? Két vgy tö pozitív egész szám közös osztói közül legngyot vizsgált számok legngyo közös osztójánk nevezzük (A prímtényezős felontásól közös prímtényezőket kell összeszorozni z előforduló legkise htványon) Jelölés: Az és pozitív egész számok legngyo közös osztój: ( ) H két szám legngyo közös osztój, kkor két számot reltív prímeknek nevezzük Két vgy tö pozitív egész szám közös töszörösei közül legkiseet vizsgált számok legkise közös töszörösének nevezzük (A prímtényezős felontásól minden előforduló prímet összeszorzunk z előforduló legmgs htványon) Jelölés: Az és pozitív egész számok legkise közös töszöröse: [ ]

16 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó Írjunk egy-egy példát!,, ( ),,, ( ), [ ] 9 Módszertni megjegyzés: Minden csoportnk pkli kártyát dunk A csoport minden tgj válszt mgánk egy pklit, mjd megoldj feldtokt Az önálló feldt megoldás után csoport megeszéli minden feldt megoldását, helyes eredményt leírják füzetüke A tnár húz egy csoportszámot, és egy jelet, z diák, kinek jelét kihúzták, tálár felírj z eredményt, töiek ellenőrzik, hogy jót írt-e kártykészlet lklmzás I Pkli II Pkli III Pkli IV Pkli ( 80 ) ( 9 9) ( 0) ( 0) [ 80 ] [ 9 9] [ 0] [ 0] Ismételjük át közösen, hogyn végzünk műveleteket törtekkel Írjunk egy-egy példát Törtek ővítése: (A számlálót és nevezőt ugynzzl nullától különöző egész számml szorozv tört értéke nem változik) Törtek egyszerűsítése: (A számlálót és nevezőt ugynzzl nullától különöző egész 0 számml osztv tört értéke nem változik) 88 Törtek összedás, kivonás: (Törteket kkor könnyű összedni, illetve kivonni, h ugynz 0 9 nevezőjük, ezt ővítéssel mindig elérhetjük): + + Törtek szorzás: (Törtet törttel úgy szorzunk, hogy számlálót számlálóvl nevezőt nevezővel összeszorozzuk) 9 0 Törtek osztás: (Törtet törttel úgy osztunk, hogy z osztó reciprokávl szorozzuk z osztndót) :

17 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Mintpéld A udpesti Jászi Mri térnél lévő troli végállomásról reggel 8-kor egyszerre indulnk 9-es és -os troliuszok Az egyik vonlon percenként, míg másikon percenként indulnk uszok Mennyi idő múlv indul újr egyszerre két troli? [ ] [ ] 0 0 perc, zz ór múlv indul újr egyszerre két troli Feldtok Végezd el következő műveleteket! : 0 : : : Húzd lá zokt számokt, melyekkel reltív prím z Ngyi Mikulásr csomgot készített Hány unokáj vn, h minden csomg teljesen megegyezett és összesen szloncukrot, csoki mikulást és csoki szeletet tett zcskók?

18 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó ( ) Ngyink unokáj vn, és mindegyik 9 szloncukrot, csoki mikulást és csoki szeletet kpott 9 Két ing lengésideje 0, illetve 0 másodperc H két ingát egyszerre indítjuk el, kkor lengésük során leghmr mennyi idő múlv kerülnek egyszerre kiindulási helyzete? [ 0 0] [ ] 0 Leghmr 0 másodperc, vgyis perc után 0 Htározd meg 90 és 90 számok legngyo közös osztóját és legkise közös törtet! töszörösét! Végezd el következő műveletet: [ 90 90] ! Egyszerűsítsd ( 90 90) 0 Töltsd ki űvös négyzeteket! 8 8

19 8 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó x y z Htározd meg x, y és z értékét, h, [ ] 80! ( ) [ ], ( ) 0 x, y, z, Házi feldt jvslt: 9 és feldt

20 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó 9 IV A számfoglom kiterjesztése Módszertni megjegyzés: Dominójáték Az előző órán meglkult csoportok dolgozznk együtt Minden csoport megkpj dominókészletet Elemezzük dominór írt számokt Minden csoportnk djunk dr kártyát Feldtuk először felfelé fordítv kirkni dominókt Mjd összekeverik kártyákt, mindenki kp 8 dr dominót Az első tnuló felfordít egy dominót, következő: h tlál vele egyenértékűt, kkor tesz, h nem, kkor psszol és jön következő Addig játsznk, míg z összes dominó el nem fogy Az nyer, kinek leghmr fogynk el dominói Felügyeljük játék menetét, figyeljünk rr, hogy csoportok dolgozznk, ne csljnk dominókészlet lklmzás Elemezzük dominór írt számokt! Természetes számok: 9 9, 8 8, Tová nem egyszerűsíthető törtek, zz hol számláló és nevező reltív prím:,,,,, Egyenértékű törtek: 0, 0, 9, 8, 8 Tizedestört lkr átírv tizedestört lk: véges:,,, szkszosn végtelen:,

21 0 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Rcionális számok hlmz p Q p, q Z, q 0 q A rcionális számok felírhtók két egész szám hánydosként, tört lkn, hol nevező nem null Bármely rcionális szám felírhtó tizedestört lkn Egy rcionális szám tizedestört lkj véges, h mrdékos osztás során null fellép mint mrdék Egy rcionális szám tizedestört lkj végtelen szkszos, h mrdékos osztás során nem szerepel null mint mrdék, így elő-utó mrdékok ismétlődni kezdenek Minden végtelen szkszos tizedestört felírhtó két egész szám hánydosként Mintpéld 9 Írjuk fel tizedestört lkját! 8 : ,8 :,8 & & :, & 0 0 Véges Tiszt szkszos Vegyes szkszos Hogyn lehet tizedestört lkól megkpni tört lkot? A tnulók ktív közreműködésével oldjuk meg feldtot

22 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó Mintpéld Írjuk fel következő számokt két egész szám hánydosként!,, &,8 & & 0, & &, 000 Egy véges tizedestörtet mindig átírhtunk tört lk: számlálón z értékes jegyekől álló egész szám, míg nevezően egy tíz htvány, minek kitevője tizedes jegyek számát muttj Legyen x, & Tudjuk, hogy 0, & eől dódik, hogy,& + 0,& + Keressünk egy olyn módszert, mi minden végtelen szkszos tizedestörtnél célr vezet Mivel egy jegy ismétlődik, szorozzuk meg számot 0-zel: 0 x,& 0x,& x,& 9x x 9 Legyen y, & 8 & Mivel két jegy ismétlődik, szorozzuk meg 00-zl: 00 y 8,8 & & 00y 8,8 & & y,8 & & 99y z 99 Legyen z 0, & &, mivel három jegy ismétlődik, szorozzuk meg számot 000-rel: 000 x, & &, eől kivonv z eredetit, pont kipotyog végtelen hosszú szksz: 999 x, zz x 999 Ez módszer jól működik, de dolgok hátteréen végtelen mértni sorok állnk Bizonyíthtó, hogy h vlmely végtelen mértni sornál q <, kkor nnk összege: S q A végtelen nem szkszos tizedestörteket nem kpjuk meg két egész szám hánydosként, ezek nem rcionális számok Beszéljük meg, mit nevezünk rcionális, irrcionális, illetve vlós számoknk

23 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Irrcionális számok Irrcionális számoknk nevezzük zokt számokt, miknek tizedestört lkj végtelen nem szkszos Jelölés:Q* Vlós számok A rcionális és irrcionális számok egyesítése vlós számok hlmz Jelölés: R (Rel vlós szó kezdőetűje) Nyomttásn vstgon szedett etűvel, füzete dupl szárrl kell írni Q Q* R Példák irrcionális számokr:,k π,9k 0, K Készítsünk továi irrcionális számokt! (Azt kell iztosítni, hogy ne legyen szkszos) Például: Mindig eggyel növeljük z egyesek számát:,k A pozitív egész számokt írjuk egymás után: 0,890K A prímszámokt írjuk egymás után:,99k Tegyünk említést rról, hogy vlós számok hlmz z legőve számhlmz, mivel középiskolán fogllkozunk, de létezik még ennél is őve számhlmz Árázoljuk z eddig megismert számhlmzokt közös Venn-digrmml! Mintpéld Töltsük ki z árát, írjunk mindenhov két-három számot! Színezzük pirosr, hogy hol helyezkednek el z irrcionális számok! Színezzük kékre, hogy hol helyezkednek el z egész számok! Helyezzük el z lái számokt z árán: 0, π,, & 8,&,8 & &

24 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó Mintpéld Végezzük el z lái műveleteket! Mit tpsztlunk? + + ( + ) ( + 0) ( ) 8 ( 8) ( + ) ( 9 + ) ( + 0) ( ) ( 8) 8 9 ( + ) Tpsztlt: Az egy sorn szereplő kifejezések egyenlőek Már z áltlános iskolán tlálkoztunk rcionális számkören végzett műveletek lptuljdonságivl: felcserélhetőséggel csoportosíthtósággl és széttgolhtósággl Ezek tuljdonságok vlós számkören is érvényen mrdnk Az egész számok köréen értelmeztünk három műveletet, z összedást, kivonást és szorzást Bármely két egész szám összege, különsége és szorzt is egész szám Ezt úgy mondjuk, hogy z egész számok hlmz z összedásr, kivonásr és szorzásr nézve zárt ( ) ( ) ( ) ( ) 9 0 ( ) ( ) + Például + Az egész számok között végezhetünk osztást is Például : ( ) : Az egész számok köréen z osztás nem mindig végezhető el Például : nincs ilyen egész szám H el krjuk végezni z előző osztást, kkor ki kell ővítenünk z egész számok hlmzát törtszámokkl

25 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Bármely két természetes szám összege és szorzt is természetes szám Ezt úgy mondjuk, hogy természetes számok hlmz z összedásr és szorzásr nézve zárt Például A természetes számok között végezhetünk kivonást is, h kiseítendő ngyo, mint kivonndó Például { { { kiseítendő kivonndó különség H kiseítendő kise, mint kivonndó, kkor kivonás nem végezhető el természetes számok köréen Például nincs ilyen természetes szám H el krjuk végezni z előző kivonást, kkor ki kell ővítenünk természetes számok hlmzát negtív egész számokkl Bármely két rcionális szám összege, különsége, szorzt és hánydos (kivéve nullávl vló osztást, mert zt nem értelmezzük) is rcionális szám Ezt úgy mondjuk, hogy rcionális számok hlmz z összedásr, kivonásr, szorzásr és z osztásr (zz négy lpműveletre) nézve zárt Feldtok Helyezd el e következő számokt z árán! 0 π

26 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó 9 Írd át tizedestört lk számokt, és jellemezd őket! (véges, végtelen tiszt szkszos, végtelen vegyes szkszos) :,8 & végtelen vegyes szkszos :,& végtelen tiszt szkszos 9 :,8 véges : 0,8 & & végtelen tiszt szkszos :,& végtelen tiszt szkszos :,08& végtelen vegyes szkszos : 0,8 & & végtelen tiszt szkszos tizedestört Írd fel két egész szám hánydosként! ), ), c), d), & e), & f),98& g), & & h),98 & & i),98 & & & ) ) c) d) e) f) g) h) i) Házi feldt jvslt: feldt

27 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó V Vlós számok és számegyenes Módszertni megjegyzés: A következő mintpéldát csoportmunkán dolgozzuk fel Mintpéld Árázoljuk pirossl számegyenesen következő számokt: 0 0,, Kékkel árázoljuk számok ellentettjét, zölddel számok reciprokit! A szám - Ellentettje - Aszolútértéke Reciprok - 0, -, -0,, 0,, Elemezzük tpsztltokt! Írjnk igz állítást gyerekek feldt megoldás után Például: Minden számnk vn ellentettje és ezek szolútértéke zonos A nullánk nincs reciprok A pozitív számok és null szolútértéke önmg Elevenítsük fel mit jelent egy számnk z ellentettje, szolútértéke, reciprok Minden csoport sját szvivl foglmzz meg Közösen eszéljük meg ezeket! Egy szám ellentettje z szám, mellyel összedv z eredeti számot, nullát kpunk Egy nem null szám reciprok z szám, mellyel z eredeti számot megszorozv egyet kpunk, h 0 Legyen tetszőleges szám, ekkor szám szolútértéke:, h < 0

28 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó Beszéljük meg mit értünk intervllumon, Vlós számok írjuk és le z számegyenes intervllumok fjtáit, és jelöléseit A számegyenes ármely pontj egy vlós számot jelöl és fordítv, minden vlós számnk megfelel egy pont számegyenesen Intervllumok Zárt intervllum: [ ] { x } A szksz mindkét vége z intervllumhoz trtozik Blról zárt, joról nyílt intervllum: [ [ { x < } A szksz l vége z intervllumhoz trozik, jo vége nem Blról nyílt, joról zárt intervllum: ] ] { < x } A szksz jo vége z intervllumhoz trozik, l vége nem Nyílt intervllum: ] [ { < x < } A szksz végpontji nem trtoznk z intervllumhoz Mintpéld 8 Árázoljuk számegyenesen következő intervllumokt: (, ) [ ] [ ) ( ]!

29 8 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Mintpéld 9 Árázoljuk számegyenesen z lái feltételeknek eleget tevő vlós számok hlmzát! ) x, ) x, c) x, d) x e) x nem kise, mint f) x ngyo, mint g) x nem ngyo, mint h) x kise, mint i) x leglá és legfelje j) x leglá és legfelje

30 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó 9 Módszertni megjegyzés: Dominójáték Minden csoportnk djunk 9 dr háromszög lkú kártyát Feldtuk felfelé fordítv kirkni dominókt Figyeljünk, hogy kifejezések minden oldlon megegyezzenek dominókészlet lklmzás Feldtok Melyik ngyo: < > vgy, vgy? Adjuk meg számokkl, és árázoljuk számegyenesen következő intervllumokt! M délelőtt 8-tól -ig rendel z orvos között megy tv-en hírdó 00 -ig kondi teremen kedvezményes jegy kphtó (nyitás órkor) 8 x, x: rendelési idő x 9, x: hírdó sugárzási ideje x, x: kedvezményes időszk

31 0 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó 8 Árázold számegyenesen következő intervllumokt! ( ), [ ], [ ), ( ] 9 Jelöld számegyenesen zokt számokt, melyeknek ( ) -től vló távolság Kise -nél ngyo -nál legfelje leglá ngyo -nél és kise -nál leglá és legfelje 0 Add meg következő intervllumok metszetét, és árázold számegyenesen! [ ] [ 0 ] [ ] ( ) Házi feldt jvslt: 9 és 0 feldt

32 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó VI Betűk hsznált H négy lpműveletet véges sokszor lklmzzuk számokr vgy etűkre, kkor lgeri kifejezést kpunk Az lgeri kifejezéseken előforduló etűket változóknk vgy ismeretleneknek szoktuk nevezni H z lgeri kifejezéseken minden etű számokt tkr, kkor meg kell dnunk, hogy etűk mely számhlmz elemeit helyettesítik Ezt hlmzt nevezzük kifejezés lphlmzánk Például h n + kifejezésen n N, kkor kifejezés pozitív pártln egészszámokt írj le A változók szorzótényezőit együtthtóknk nevezzük Egy lgeri kifejezés értelmezési trtományán z lphlmznk zt legőve részhlmzát értjük, melynek elemeit változók helyére írv, kifejezésen levő műveletek elvégezhetőek Az értelmezési trtományt úgy kpjuk meg, hogy figyeleme vesszük kikötéseket: z lphlmzt szűkítjük zokkl számokkl, melyeket kikötések kizárnk Például h z + kifejezés lphlmz z egész számok hlmz (vgyis x Z), x x kkor z értelmezési trtomány: Z\{0 }, hiszen nullávl nem oszthtunk, nevezők értéke pedig x 0 vgy x esetéen null H z lphlmzól konkrét számokt helyettesítünk változók helyére, kkor műveletek elvégzése után kpott számot z lgeri kifejezés helyettesítési értékének nevezzük Például n + kifejezés helyettesítési értéke n esetén + Az lgeri kifejezéseknek tö típusát különöztetjük meg: lgeri egész kifejezés: vgy nincs enne tört, vgy h vn enne tört, kkor nnk nevezőjéen nem szerepel változó lgeri törtkifejezés: z előforduló tört nevezőjéen vn változó egytgú lgeri kifejezés: olyn lgeri kifejezés, mien számok és etűk lpvetően szorzás vgy z osztás műveletével vnnk összekpcsolv Például z ( x + ) y kifejezés egytgú

33 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Két egytgú lgeri kifejezés egynemű, h legfelje együtthtóikn különöznek egymástól Az egynemű kifejezéseket összevonhtjuk Például, és egynemű kifejezések Az egytgú lgeri egész kifejezések összegét tötgú lgeri kifejezésnek vgy más néven polinomnk nevezzük Mintpéld 0 Htározzuk meg következő kifejezések együtthtóját! d d 0,c c 0, c d 0, 0, Mintpéld Mely kifejezések egyneműek z láik közül? 0, Egyneműek:,, 0,,,,, Módszertni megjegyzés: Minden csoport osszunk ki A, B, C, D jelű kártyákt, differenciálv tnulók képességei szerint Szétválnk csoportok z A, B, C, D jelek szerint, ők dolgoznk most együtt H elkészültek csoportok, mindenki visszmegy sját csoportjá, és töieknek elmondj feldtink megoldását Ismételjük át, hogy mit tudunk műveletek elvégzésének sorrendjéről, illetve zárójel felontásról Műveletek sorrendje: A zárójelen lévő művelet elvégzése megelőzi zárójelen kívüli műveletek elvégzését A szorzások és z osztások elvégzése megelőzi z összedások és kivonások elvégzését A htványozás megelőzi szorzások és osztások elvégzését Zárójelfelontás: H egy zárójel előtt + jel áll, kkor zárójel elhgyhtó H egy zárójel előtt jel áll, kkor zárójel felontáskor zárójelen elül minden tg előjele megváltozik, z összedásól kivonás kivonásól összedás lesz

34 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó Mintpéld Végezzük el kijelölt műveleteket, z eredményeken vonjunk össze, mjd számítsuk ki kifejezés helyettesítési értékét, h,, x Az A jelűek feldt: ) ( + ) A B jelűek feldt: ) ( + )( + ) A C jelűek feldt: c) ( + x ) ( x + ) x A D jelűek feldt: d) ( )( ) ) ( + ) + 90 ) ( + )( + ) + 9 +, c) ( + x ) ( x + ) x + x x 8 x d) ( )( ) 0 Mintpéld Számítsuk ki z lái törtkifejezések helyettesítési értékeit megdott számokkl: x + x Az A jelűek feldt: ), x x A B jelűek feldt: ) +, s A C jelűek feldt: c), s + s + h x h h s + 8 A D jelűek feldt: d) + +, h x + x + ) x x ) c) s s + s + ( ) ( ) + ( ) + + ( ) ( ) + + ( ) ( ) + Nincs értelme: z első tört nevezőjéen 0 áll,

35 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó d) Mintpéld Készíts képleteket! A tudósok ritkán hsználják hőmérséklet mérésére Celsius-fokot, vgy z Amerikán elterjedt Fhrenheit-fokot Számukr Kelvin leggykrn hsznált skál Lássuk csk, hogyn viszonyulnk ezek egymáshoz? Celsius-skál: A legelterjedte hőmérsékleti skál közéleten, z európi kontinensen Ezen skálán z olvdó jég hőmérséklete jelenti 0 értéket, forrásn levő víz hőmérséklete pedig 00 ( 00 MP nyomáson ) Egysége tehát ennek z intervllumnk z -d része Mértékegysége: C (Celsius-fok) 00 Fhrenheit-skál: Az 00-s évektől széles kören hsználják, npjinkn főképp z meriki kontinensen A Fhrenheit-skál nullpontj Fhrenheit áltl kísérleti úton előállított legjon lehűlő sós oldt fgyáspontj, másik lppontj z emeri test hőmérséklete volt, mely hőtrtományt z egyszerű oszthtóság kedvéért 9 egységre ontott (így víz fgyáspontj épp fok) Mértékegysége: F (Fhrenheit-fok) Kelvin-skál: A hőmérsékletnek létezik minimumértéke, ezt nevezzük szolút null foknk, ez z SI mértékegységrendszeren elfogdott Kelvin-skál null pontj Egységének ugynkkorát válsztottk, mint Celsius-skál egy fok Mértékegysége: K (Kelvin) A Kelvin szót fok nélkül hsználják!

36 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó A hőmérséklet átszámítás 9 n n C ( n + ) K + F ( n ) 9 n K ( n ) C + F n F ( n ) ( n ) 9 C 9 + K Feldtok Bontsd fel zárójelet, z eredményeken vonj össze, mjd számítsd ki kifejezés helyettesítési értékét, h x, y Az A jelűek feldt: ) ( x + xy y ) + ( x xy + y ) A B jelűek feldt: ) ( 8x xy + y ) ( x + xy y ) A C jelűek feldt: c) ( x x + x) + ( x x + ) ( x + x ) A D jelűek feldt: d) ( x x + x) + ( x x + ) ( x + x ) ) x + xy y + x xy + y x xy + y ) 8x xy + y x xy + y x xy + y 8 c) x x + x + x x + + x x x x + x + d) x x + x + x x + + x x x + x + x Tekintsd z A 0,0890K számot (A tizedes vessző után sor írd természetes számokt 999-ig) Mi lesz ennek számnk tizedesvessző utáni 00-edik számjegye? (Vrg Tmás mtemtikverseny) Egyjegyűként 0 számot írtunk le, kétjegyűként összesen 80 számot A 0-edik háromjegyű szám hrmdik számjegyét keressük A 0 háromjegyű szám 0, így keresett szám

37 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó ) Helyezd el -től -ig számokt úgy, hogy vonlk mentén z összegük egyenlő legyen Az összeget űvös számnk nevezzük Melyik űvös szám? ) A űvös szám: ) A csillgár minden egyenese mentén egyenlő z lgeri kifejezések összege Mennyi ez z összeg? Milyen lgeri kifejezések kerülnek z üres helyekre? Mennyi űvös szám, h és? A űvös szám: ( ) 0 8 Mely kifejezések egyneműek z láik közül? x xy x x y xy x y x xy 0, x x xy x x x x y x y 0, xy xy

38 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó Végezd el kijelölt műveleteket, z eredményeken vonj össze, mjd számítsd ki kifejezés helyettesítési értékét, h,, x, y! ) ( x ) y + x ) ( y ) y c) ( + )( + ) d) ( + ) e) ( x x + )( x ) f) ( x + )( x ) ) ( x ) x x 9 x ) ( y + ) y y y + y y x c) ( + )( + ) d) ( + ) e) ( x + )( x ) 0x 9x + x x f) ( x + )( x ) 8x x + 0x x Számítsd ki z lái törtkifejezések helyettesítési értékeit: y + y ), h y ) +, y + y p p + h p ) + + ) + + ( ) ( ) Házi feldt jvslt: és feldt

39 8 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó VII Htványozás Mintpéld Írjuk htványlk következő kifejezéseket: ( ) Az lái konkrét példák segítségével elevenítsük fel htványozás zonosságit! ( ) ( ) ( ) + d tényező 0 d tényező + 0 d tényező tényező 8 d tényező { d tényező ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d tényező d tényező d tényező tényező 8 d d tényező d tényező d tényező d tényező d tényező d tényező d tényező ( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) d tényező d tényező Pozitív egész kitevőjű htványok H vlós szám és m pozitív egész szám, kkor z m htvány olyn m tényezős szorztot jelöl, melynek minden tényezője Az m neve htványkitevő, z neve htványlp K m m d Például Bármely szám első htvány önmg Bármely szám nulldik htvány, kivéve 0-t, 0 0 -t nem értelmezzük Tehát 0 esetén 0 Például 0 Megjegyzés: 0 0 -t zért nem értelmezzük, mert z értéke nem lenne egyértelmű 0 0 n Például 0, vgy

40 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó 9 Negtív egész kitevőjű htványok A 0-tól különöző ármely szám negtív egész kitevőjű htvány z lp ellentett kitevővel vett htványánk reciprok n 0 n Például, A htványozás zonossági Azonos lpú htványokt úgy is szorozhtunk, hogy közös lpot kitevők összegére emeljük n m n+ m Indokolás: m n K K m d tényező n d tényező m+ n d tényező m+ n Azonos lpú htványokt úgy is oszthtunk, hogy közös lpot kitevők különségére emeljük, h htvány lpj nem null m mn, h m > n, 0 n Indokolás: m n m d tényező 8 K K n d tényező mn, h m > n Megjegyzés: z zonosság kkor is igz, h m n Azonos kitevőjű mennyiségeket úgy is szorozhtunk, hogy z lpok szorztát közös kitevőre emeljük m m ( ) m m K K K m m Indokolás: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m d tényező m d tényező m d tényező

41 0 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Azonos kitevőjű mennyiségeket, úgy is oszthtunk, hogy z lpok hánydosát közös kitevőre emeljük m 0 m m Indokolás: m K m d tényező m d tényező 8 K K m d tényező m m Htványt úgy is htványozhtunk, hogy z lpot kitevők szorztár emeljük: m n n m ( ) m n d tényező 8 n d tényező 8 n n n n nm Indokolás: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m d tényező nm d tényező n d tényező 8 K K K K K Módszertni megjegyzés: Melyik kkukktojás? Minden csoportnk 0 dr kártyát dunk H elkészültek csoportok, kkor megeszéljük, hogy mely kártyák mrdtk ki, és miért kártykészlet lklmzás ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 9 ( ) ( ) ( ) Mintpéld Számítsuk ki következő törtek pontos értékét: ) 8 8 ) 08!

42 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) Mintpéld Egyszerűsítsük következő törteket! (A nevező helyettesítési értéke nem lehet 0) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 9 ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Feldtok Válszd ki z egyenlőket! ( ) ( ) ( ) Vigyázt! Összeget, különséget nem lehet tgonként htványozni!

43 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó 8 Melyik helyes eredmény? Hol hi? ( ) ( ) 9 A két l oldli egyenlőség hiás, jo oldlik jók Vigyázt! Htványok összegéről és különségéről nincsenek olyn zonosságink, mint szorztukról vgy hánydosukról! 9 Töltsd ki űvösnégyzeteket! (Minden sorn, oszlopn és átlón számok szorzt ugynnnyi) Módszertni megjegyzés: A tnulókt ösztönözzük rr, hogy htványlkn számoljnk!

44 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó 0 Írd fel htványlkn! 8 c c x x x c c 9 c x x x c 9 x Írd át kifejezéseket olyn lk, hogy ne szerepeljen ennük zárójel! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( c) c c d xy 8 c ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 9 8c d ( ) 9 c d 0 ( ) 8 ( c) c c 0 c c d 8 9c d xy 9x y c c 9 8c d 8 c d c d c d Írd át kifejezéseket olyn lk, hogy ne szerepeljen ennük negtív kitevő! 8 8

45 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Végezd el következő szorzásokt és osztásokt! (A nevező helyettesítési értéke nem lehet 0) 8 8 c d ) ) c d x y xy c) : 0 0 d) x 9 y z c x yz : ) c) 8 c d 8 c d 9 0cd ) 9 8 x y xy x : d) 0 0 y x y z 9 c x yz : xy 9cz Egyszerűsítsd következő törteket! (A nevező helyettesítési értéke nem lehet 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) 8 9 ( ) ( ) ( ) ( ) c c c ( ) ( d d d ) c) d) c ( c ) ( d ) d ( ) ( ) ) 8 ( ) ( ) ( c c c ) c) c ( c ) c ( ) ( ) ) 9 ( ) ( ) ( d d d ) d) ( d ) d d Számítsd ki következő törtek pontos értékét! 0 ) 0 0 ) c) 80 d) 0 ) ) 0 0 c) d) 8 8

46 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó Bizonyítsd e, hogy !, -nek minden pártln kitevőjű htvány -re végződik, -nek minden páros kitevőjű htvány -r végződik Ezért 00 (páros kitevő) -r végződik, zz -tel osztv mrdékot d Egy -re végződő szám htványi -re végződnek Ezért 000 is -re végződik, zz -tel osztv mrdékot d H két számot, mely -tel osztv ugynzt mrdékot dj, kivonunk egymásól, kkor különség oszthtó lesz -tel 99 Htározd meg 99 utolsó két számjegyét! (Arny Dániel mtemtikverseny) Sok eseten célrvezető lehet h elkezdjük vizsgálni z utolsó két számjegyet Vizsgáljuk külön elő 99 htványit és után htványit végződésük szempontjáól 99 K 0, 99 K99, 99 K0, 99 K99 Észrevehetjük, hogy páros htvány esetén 0, pártln htvány esetéen 99 végződés, ezért utolsó két számjegye: 99 Most tekintsük htványit K 0, K, K0, K, tehát z előzőhöz hsonlón, páros htványink utolsó két számjegye 0, míg pártln htványoknál ez Eől végződése Ennek kettőnek különsége 99 8 Ez lesz utolsó két számjegye Házi feldt jvslt: és feldt

47 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó VIII Normállk, gyökvonás A htványokkl vló számolás sok tudományágn gykrn előfordul, hiszen sokszor vn szükség ngyon ngy, ill ngyon pici számok felírásár, mi htványok segítségével áttekinthető, és velük vló számolás egyszerű Ehhez nyújt segítséget, h egy számot normállkján írjuk fel Mit értünk egy szám normállkján? Vlmely vlós szám m 0 k lkú felírását szám normállkjánk nevezzük, h m < 0 és k egész szám Példák: 0,089 8,9 0 00, 0 A, 0 nem normállkn felírt szám A normállk első tényezője számjegyeket fejezi ki (neve: mntissz), 0 kitevője szám ngyságrendjét muttj (neve: krkterisztik) Módszertni megjegyzés: A mintpéldák megoldásán csoporttgok együtt dolgoznk Az csoport, melyik jó eredményt kp, felírj zt tálár, töiek pedig ellenőrzik számításikt Mintpéld 8 Írjuk át z lái dtokt normállk! A Föld tömege: kg Az lumíniumtomok távolság: 0, cm A vörösvérsejt átmérője: 0, cm A fény terjedési seessége: s m A proton sugr 0, m Az elektron körpályájánk sugr: 0, m A Föld tömege: 0 kg Az lumíniumtomok távolság:, 0 8 cm A vörösvérsejt átmérője:, 0 cm 8 m A fény terjedési seessége: 0 s A proton sugr, 0 m Az elektron körpályájánk sugr:, 0 m

48 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó Mintpéld 9 Számoljuk ki, hányszoros Np tömege Föld tömegének? (A Np tömege: 0 0 kg, Föld tömege 0 kg) Mekkor lenne Föld tömege, h színrnyól lenne? (A Föld térfogt: k 0 m, z rny sűrűsége: 9, ) kg dm Figyelmeztessük tnulókt mértékegység-átváltásokr! 0 0 A keresett rány: 0, 0 0 A Np tömege szerese 0 Föld tömegének Segítségül felírhtjuk sűrűség képletét tálár, nem iztos, hogy mindenki emlékszik rá! m kg kg kg Képlet: ρ Az rny sűrűsége: 9,,90 0 V dm m m A Föld tömege, h rnyól lenne: m 0 0 kg 0 kg Mintpéld 0 Egy grófnő kertjéen virágágyások m x m-es négyzet lkúk A négyzetek minden srkán egy-egy fűzf áll A grófnő egy szeszélyes reggelen zt mondt kertészének, hogy szeretné, h minden virágágyás dupl olyn ngy területű lenne és ugyncsk négyzet lkú Hogyn oldott meg feldtot furfngos kertész? Milyen hosszúk z új virágágyások oldli? Módszertni megjegyzés: Ismételjük át, hogy mit értettünk egy szám négyzetgyökén! Akinek kell, mutssuk meg, hogy számológép segítségével hogyn tudják kiszámolni egy szám négyzetgyökét! A virágágyások eredeti területe: T 9m Az új virágágyások területe kétszer ekkor, zz: T 8 m Az új virágágyások egy oldlánk hossz: 8 m

49 8 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Vlmely nemnegtív szám négyzetgyöke z nemnegtív szám, melynek négyzete z szám Azz ( ) hol 0 Jelölés: Példák: 9, mert 9, mert 0, 0,, mert 0, 0, 0,009 0,0, mert 0,0 0, 009, mert 0 0, mert nincs értelmezve, mert nincs olyn vlós szám, melynek négyzete 9 Mintpéld Írjuk fel z lái számok négyzetgyökét! , 0,00 0,00009,,, , 0, 0,00 0,0 0, ,00,,,,, Számítsuk ki kétféleképpen szorztok hánydosok négyzetgyökét! Állpítsuk meg, hogy ugynzokt z értékeket kptuk Foglmzzuk meg négyzetgyökvonás zonosságit!

50 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó , 9 0,0 0, A négyzetgyökvonás műveletének zonosságit számolásokn gykrn hsználjuk Szorzt négyzetgyöke egyenlő tényezők négyzetgyökének szorztávl, h tényezők nemnegtív számok, hol 0, 0 Péld: Tört négyzetgyöke egyenlő számláló és nevező négyzetgyökének hánydosávl, h számláló nemnegtív, nevező pozitív szám, hol 0, > 0 Péld: Htvány négyzetgyöke egyenlő z lp négyzetgyökének htványávl! Péld: 9 ( 9) n ( ), n hol 0 Feldtok 8 Keresd meg párját! Mit tpsztlsz?

51 0 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Tpsztlt: összegől, illetve különségől tgonként nem lehet négyzetgyököt vonni Vigyázt! Összeg, különség négyzetgyöke nem egyenlő tgok négyzetgyökének összegével! 9 Mekkor távolság egy fényév? (A szökőévtől eltekintünk) Mennyi idő ltt ér Npról Földre fény? Mennyi idő ltt ér Npról Merkúrr fény? Mennyi idő ltt ér Npról Plútór fény? A fény seessége állndó: 8 m km v 0 0 s s fényév z távolság, melyet fény egy év ltt megtesz Egy év: t s 8 s v t m 8 Np Föld távolság: s 9, millió km,90 km 8 s,9 0 km t 0,98 0 s 98, s 8, perc v km 0 s Np Merkúr távolság: s,9 millió km,90 km s,9 0 km t,90 s 9 s, perc v km 0 s 9 Np Plútó távolság: s 900 millió km,9 0 km 9 s,9 0 km t,9 0 s 9 s,8 perc, ór v km 0 s

52 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó 0 Np és Föld átlgos távolságát nevezzük Csillgászti Egységnek Töltsd ki tálázt hiányzó dtit! A csoportok egyéni tempójukn dolgoznk H egy feldttl készen vnnk, kkor szólnk tnárnk, ki ellenőrzi, hogy helyesen számoltk-e Átlgos nptávolság Bolygó millió km Cs E Merkúr,9 0,8 Vénusz 08, Föld 9, Mrs, Jupiter 8, Szturnusz 9,9 Uránusz 89, Neptunusz 0,0 Plútó 900 9,9 Módszertni megjegyzés: A feldt egy másik megközelítése lehet: Szedjük össze nprendszerünk olygóit, tegyük őket Nptól mért távolságuk szerint sorrende, kezdjük legközeleivel! Bolygó Átlgos nptávolság millió km Cs E Merkúr,9 0,8 Vénusz 08, 0, Föld 9, Mrs 8,0, Jupiter 8,,0 Szturnusz 9,9 Uránusz 89, 9,8 Neptunusz 9, 0,0 Plútó 900 9,9

53 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Klászék évi kidás k 00 ezer ftk Az állm évi kidás k milliárd ftk Hány százlék Klászék évi kidás z állm évi kidásánk? Klászék évi kidás:, 0 ftk Az állm évi kidás: 0 ftk, 0, 0 0, ez 0, 0000% Az állm folyó fizetésimérleg-hiány milliárd ftk Klászék lkáskölcsöntörlesztése évente ftk Hány százlék lkáskölcsön-törlesztés z állm évi dósság szolgáltánk? 0 Az állm folyó fizetésimérleg-hiány:, 0 ftk Klászék lkáskölcsöntörlesztése évente: 9, 0 ftk 9, 0,0 0, 0, ez 0, 00% Számítsd ki következő kifejezések értékét! ) ( )( + ) ) ( 9 )( 9 ) + ) ( )( + ) ) ( 9 )( 9 ) Házi feldt jvslt: és feldt Módszertni megjegyzés: Kizárólg jo képességű csoportokn érdemes felhívni figyelmet rr, hogy zok z (+) és ( ) lkú kifejezések, megyek szorzt, egymás reciproki Péld: +, és esetén ( )( ) +, így és + + Néhány továi péld: + + +

54 modul: MŰVELETEK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Tnári útmuttó IX Számrendszerek Már z őskorn felmerült z igény dolgok megszámlálásár Ehhez z ősemer úgy, mint mi kisgyermekként z ujjit hsznált Ngyo számokt kövekkel vgy csomókkl jelenítettek meg A túl sok kő és csomó kezelése nehézkes volt, így lssn kilkult z átváltásos számárázolás Eleinte 0-s számrendszeren számoltk (Mezopotámi), mjd megjelent -es (ngolszász népek) és 0-es számrendszer (rómik) Az európi számírást z rok áltl közvetített kultúr ngymértéken efolyásolt A m r számoknk nevezett tízes számrendszerünk vlóján indii eredetű, z rok csk közvetítették módszert Kuttómunk: Keress hétköznpi életünken rómi számok jelenlétére példákt! Ötletek: Npjinkn rómi számokt leginká sorszámozásr (pl udpesti kerületek), fejezetszámozásr hsználjuk, illetve dinsztiák neveien is megjelennek (pl VIII Henrik) Ezen kívül épületek építésének évét jelöljük velük, vlmint láthtó még krórák számlpjin is Mintpéld Írjuk fel rómi számok segítségével -től 0-ig számokt! I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII 8, IX 9, X 0, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII 8, XIX 9, XX 0 Mintpéld A gldiátorok vidlán z első sorn CXXXII néző ült, következő sorokn mindig z előző dupláj Hányn voltk kíváncsik vidlr, h soros volt nézőtér? Hányn menjenek át hrmdik soról z elsőe, hogy zonos legyen két sor nézőszám? (Rómi számokkl dolgozz!) sor CXXXII sor CCLXIV sor DXXVIII sor MLVI Összesen: MCMLXXX Az és sorn összesen DCLX néző ült Ennek fele CCCXXX nézőnek kell lennie z ültetés során mindkét sorn Ehhez soról CXCVIII nézőnek kell átmennie z első sor

55 MATEMATIKA A 9 ÉVFOLYAM Tnári útmuttó Természetesen r számokkl számolunk, és zokt írjuk át rómi számokká Rómi számok Rómi számírásnál következő jeleket hsználjuk: I, V, X 0, L 0, C 00, D 00, M 000 A rómi számírás számjegyei z ötös és tízes számrendszer keveredését muttják Tőlünk eltérően rómik nem helyiértékes számírást hsználtk Példák rómi számokr: III ++ VII ++ IX 0-9 XXXIV MCMXCIX A szám értékét jelek összedásávl, illetve kivonásávl számolták ki Rómi számok íráskor legfelje három zonos jel kerülhet egymás mellé A sok zonos jel egymás utáni ismétlésének elkerülésére kivonást is lklmzzák A kivonni kívánt szám nem lehet tetszőleges: V és X elé csk I-t, z L és C elé csk X-et, D és M elé csk C-t írhtunk Ngyo számok helyes leírás következő módon történik: először z ezresek, ztán százsok, mjd tízesek, végül z egyesek Késő szükségessé vált ngyo számok kényelmese leírás: ezerszerest jelentett szám föléhúzás, és százezerszerest ketrece helyezése: XIV 000 V Rómi számírássl nehézkes volt számolás, ezért számolótál (kusz) segítségével dolgoztk Een párhuzmos vájtok szolgáltk z egyesek, ötösök, tízesek, ötvenesek st számár Mnpság, mindegyikünknek természetesnek tűnik tízes számrendszer hsznált, de ez csk fokoztosn lkult ki A régei időken más más népek más-más módon számoltk Ennek nyomi megtlálhtók mi hétköznpi életünken is Kuttómunk: Keress más számrendszerek létezésére utló jeleket hétköznpi életünken! Ötletek: 0-s számrendszer: szögmérés, időmérés -es számrendszer: tuct, év hónpji, óreosztás, rovásírás és z -ös számrendszer kpcsolt, -es számrendszer lklmzás z informtikán st Kpcsolódó Internet címek 00-n: