A fenti funkcionál variációjakor a jobboldali két állandó eltűnik, tehát

Átírás

1 Vannak olyan esetek, amkor az F alapfüggvény alakjában eszközölt változtatások egyáltalán nem módosítják az Euler-Lagrange egyenletet. 1. Mvel az egyenlet lneárs F -ben, tetszőleges F = c F többszöröse s ugyanahhoz az egyenlethez vezet, azaz F y d dx F y = Fy d dx F y = 0. Ezt nem csak formalag, hanem ntutíven s könnyen beláthatjuk, ha fgyelembe vesszük, hogy az F (x, y, y ) alapfüggvényhez egy I [y] = c I [y] funkconál tartozk, mely szélsőértékét ugyanarra az y(x) függvényre vesz fel, mnt I [y]. Függvények esetében s az f (x) és c f (x) függvények szélsőértékhelye megegyeznek. 2. Az F (x, y, y ) F (x, y, y ) = F (x, y, y ) + d f (x, y) dx alapfüggvények s egyenértékűek a varácós feladat szempontjából hszen I [y] = x1 F (x, y, y )dx = I [y] + f (x 1, y(x 1)) f (, y()). A fent funkconál varácójakor a jobboldal két állandó eltűnk, tehát δi [y] = δi [y]. Ez egyúttal azt s jelent, hogy az alapfüggvényből addtív módon leválasztható teljes dervált kfejezés egyszerűen elhagyható.

2 Példa x1 δ y (x 2 y + 2)dx = δ δ x1 x1 (xy ) 2 + 2y dx = δ x1 (xy ) 2 dx x1 (xy d + y 4x)dx = δ dx (xy 2x 2 )dx = 0

3 3. Ha az F (x, y, y ) alapfüggvényhez hozzáadunk egy G(x, z, z ) másk függvényt, akkor az így képezett I [y, z] = funkconál szélsőértékét az x1 [ F (x, y, y ) + G(x, z, z ) ] dx F y d dx F y = 0, Gz d dx G z = 0 (1) független egyenletek megoldása adják, tehát ugyanazok az y(x) és z(x) függvények, melyek az F lletve G alapfüggvényekkel megadott független varácós feladatok esetén s kapnánk.

4 Az alapfüggvény F (x, y ) alakú Az F (x, y, y ) alapfüggvény gyakran hányos, vagys nem függ explcten x-től, vagy nem tartalmazza y-t vagy y -t. Ilyen esetekben az Euler-Lagrange egyenlet sokkal könnyebben ntegrálható. Ha F = F (x, y ), akkor F y = 0, és az Euler-Lagrange egyenletből csupán marad, ahonnan nylván d dx F y = 0 F y = C 1 következk, amely már csak egy elsőrendű dfferencálegyenlet.

5 Példa Erre az esetre példa az L[y] = x y 2 dx funkconál, amely a P 0(, y 0) és P 1(x 1, y 1) pontok, között y = y(x) egyenletű görbe mentén mért távolságot adja meg. M azt a görbét keressük, amely mentén ez a távolság mnmáls. Az L funkconál szélsőértékének szükséges feltétele F y = y 1 + y 2 = C1 lesz. Vezessük be az y = m állandó jelölést, ahonnan a dfferencálegyenletet nyerjük, és így az dy = mdx y = mx + n egyenletű egyenes lesz a két pontot összekötő legrövdebb útnak megfelelő görbe. Az m és n ntegrácós paraméterek értékét az y 0 = m + n és y 1 = mx 1 + n egyenletekből számíthajuk k. F y y = 1 (1 + y 2 ) 3/2 > 0 matt az egyenes valóban az L funkconál mnmumát adja.

6 Az alapfüggvény F (y, y ) alakú F = F (y, y ) y1 I [x] = F (y, 1x ) x dy y 0 y = 1/x és független változónak az y-t tekntjük. Ha az y-tól és x -től függő új F ( ) y, 1 x x alapfüggvényt F (y, x )-tel jelöljük, a funkconál. I [x] = y1 y 0 F ( y, x ) dy alakú lesz. Mvel F nem függ explcten az x függvénytől, alkalmazhatjuk a 4 pontban tárgyalt eljárást, vagys és smét y = 1/x helyettesítéssel: F x = C1 [ F (y, 1x ) ] x = C x 1 ből F (y, 1x ) 1x F y (y, 1x ) = C 1 F (y, y ) y F y (y, y ) = C 1

7 Kezdetérték és peremérték feladatok egyenértékűsége Sok esetben, különösen a fzkában, az y(x) függvényre krótt két plusz feltételt nem a végpontokra kötjük k y 1 = y(x 1) és y 2 = y(x 2) formában, hanem csupán a kezdet pontban úgy a függvényre mnt annak derváltjára. Azaz y(x 1) = y 1, y (x 1) = y 1. (2) A varácós feladat lényege ezzel nem változk, tehát az Euler-Lagrange egyenlet megoldásaként kapott kétparaméteres y = y(x, C 1, C 2) függvényben az ntegrálás állandók meghatározhatók a kezdet feltételekből. Ha vesszük azon peremfeltételek halmazát, melyekre létezk megfelelő C 1 és C 2 ntegrálás állandó, akkor ezen a peremfeltételek mndegykének egyértelműen megfeleltethetűnk egy egyenértékű (2) típusú kezdet feltételt.

8 A brachsztochron probléma megoldása F (y, y ) = 1 + y 2 2gy, nem függ explcten x től. F y F y = C 1 2gC 2 y = 1 + y 2 Legyen y = cot θ/2 és 1/2gC 2 = 2r, ahol θ paraméter, r pedg egy állandó. Így azonnal kjön, hogy y = 2r sn 2 θ = r(1 cos θ). 2 dy = r sn θdθ és ezáltal y = cot θ/2-ből dx = dy cot θ = 2r sn 2 θ 2 dθ 2 x = r(θ sn θ) + K. A P 0 pontban x = y = 0 P 0-ban θ = 0, és ezért K = 0 lesz. A P 0P 1 görbe paraméteres egyenlete x = r(θ sn θ), y = r(1 cos θ).

9 Ez az úgynevezett cklosz, amelyet egyenes vonal mentén csúszás nélkül gördülő r sugarú kör kerületének egy pontja ír le. Az r állandót abból a feltételből számítjuk k, hogy az anyag pontnak át kell haladna a P 1(x 1y 1) ponton. A cklosznak még az érdekes tulajdonsága van, hogy két azonos magasságban levő pontja között súrlódás nélkül csúszó pont mozgása zochron, azaz a mogás peródusa nem függ a két pont között távolságtól. Ezt a tuljdonságot Chrstan Huygens ( ) alkalmazta pontos ngaóra készítésére.

10 Ha a P 1 pont szntén az O x tengelyen található, tehát y 1 = 0, akkor az y = r(1 cos θ) = 0 egyenletből a végpontra θ 1 = 2π értéket kapunk. Ezt behelyettesítve az x = r(θ sn θ) kfejezésbe, következk, hogy r = x1 2π. Határozzuk meg most az dőtartamot megadó funkconál értékét a P 0(0, 0) és a P 1(x 1, 0) pontok között: θ1 x T cklos = 2 + y 2 r dθ = 2gy g θ1. 0 Behelyettesítve θ 1-t és r-t, a teljes cklosív megtételéhez szükséges dő 2πx1 x1 T cklos = g g. Ha megvzsgáljuk a fent P 0 és P 1 pontok között út megtételéhez szükséges dőt egy x 1/2 sugarú félkör mentén, akkor a körív paraméteres egyenlete x = x1 (1 + cos ϕ), 2 y = x1 2 sn ϕ ϕ [0, π] T félkör = x1 > T cklos

11 Mnmáls forgásfelület Az P 0(, y 0) és P 1(x 1, y 1) (y 0, y 1 > 0) y = y(x) ds = 2πydl = 2πy 1 + y 2 S[y] = 2π y 1 + y 2 y x1 y 1 + y 2 dx F y F y = C 1 yy = y = C1, 1 + y y 2 ( ) 2 y y = ± 1 c 1 dy dx = ( ) 2 ± y c 1 1 láncgörbe. y(x) = C 1 cosh x C2 C 1

12 Lánc alakja homogén gravtácós térben Egyensúly állapotban a lánc (deálsan hajĺıtható huzal) olyan helyzetet foglal el, amelyben helyzet energája mnmáls. du = ρsgydl = ρsgy 1 + y 2 dx U[y] = ρsg F y y = x1 y 1 + y 2 dx y (1 + y 2 ) 3/2 > 0

13 Több egyváltozós függvénytől függő funkconál F = F (x, y 1, y 2,..., y n; y 1, y 2,..., y n), y : [, x 1] R, ( = 1,..., n) Keressük azokat az y (x), ( = 1,..., n) függvényeket, amelyekre az I [y 1, y 2,..., y n] = x1 F (x, y 1, y 2,..., y n; y 1, y 2,..., y n)dx funkconál szélsőértéket vesz fel az y () = y (0) és y (x 1) = y (1) adott peremfeltételek mellett. Az (x, y 1, y 2,..., y n) egy (n + 1) dmenzós térbel pont y 1 = y 1(x), y 2 = y 2(x),..., y n = y n(x) egy görbe egyenlete ebben a térben térbel varácós probléma. y = (y 1, y 2,..., y n) y = (y 1, y 2,..., y n) y() = y (0), y(x 1) = y (1). I [y] = x1 F (x, y, y )dx

14 Az első varácónak kell eltűnne ahhoz, hogy a funkconál staconárus függvényet megtaláljuk: δ 1 I = x1 [(F y1 δy 1 + F y2 δy F yn δy n)+ F y δy δ 1 I = = d dx (F y =1 [ F y δy x (F y 1 δy 1 + F y 2 δy F y n δy n)]dx = ( ) d δy ) dx F y δy, ( = 1,..., n) x1 ( F y d ) ] dx F y δy dx = 0 δy () = δy (x 1) = 0, ( = 1,..., n). A δy varácók egymástól teljesen függetlenek, és tetszőlegesek: x1 ( F y d ) dx F y δy dx = 0, ( = 1,..., n) F y d dx F y = 0, ( = 1,..., n) Euler-Lagrange másodrendű dfferencál-egyenletrendszer. y = y (x, C 1, C 2,..., C 2n), ( = 1,..., n), 2n számú peremfeltétel segítségével megkapjuk az állandókat.

15 A kapott megoldás a funkconál szélsőértéke-e? Az [, x 1] ntervallum mnden pontjában az F y 1 y 1 0 ; F y 1 y 1 F y 2 y 1 F y 1 y 2 F y 2 y 2 0 ;... ; F y 1 y 1 F y 2 y 1. F y n y 1 F y 1 y 2 F y 2 y 2. F y n y 2... F y 1 y n... F y 2 y n F y n y n A maxmum feltétele megegyezk a F alapfüggvényre fennálló fent mnmumfeltételekkel. 0

16 Az Euler-Lagrange dfferencálegyenlet-rendszerek prmntegrálja Ha az alapfüggvény nem tartalmazza valamelyk y függvényt, csak ennek derváltját y függvény cklkus változó F y = 0 d dx F y = 0 F y = C Ha az F alapfüggvény nem függ explcten az x független változótól: df dx = (F y y + F y y =1 ) F y = d (F dx y ) prmntegrál df dx = [ =1 [ d F dx F =1 y =1 d dx F y y F y ] ] + F y y = 0 y F y = C (3)

17 Két pont között mnmáls távolság a térben P 0(, y 0, z 0) és P 1(x 1, y 1, z 1) a tér két tetszőleges pontja. Keressük azon görbét, amely mentén mért távolság a két pont között a lehető legksebb. Eukldesz térben dl = dx 2 + dy 2 + dz 2 = 1 + y 2 + z 2 dx, l[y, z] = x1 1 + y 2 + z 2 dx. y = C1 1 + y 2 + z 2 z = C2 1 + y 2 + z 2 ahonnan y = α 1 (állandó) és z = α 2 (állandó). y = α 1x + β 1 z = α 2x + β 2 Két sík metszete egy egyenes.

18 Geodetkus görbék mnt varácós feladat Két pont között a legrövdebb út az egyenes. Egy adott felület két pontja között mely görbe adja meg a legrövdebb távolságot. Ezeket a görbéket a felület geodetkus vonalanak nevezzük. Egy Σ felületet megadjuk parametrkus x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) egyenletekkel. A felületen elhelyezkedő görbéket u = u(v) vagy általánosabban az u = u(t) és v = v(t) parametrkus egyenletekkel adhatjuk meg Az (u, v) pontból az (u + du, v + dv) pontba mutató vektor d r = r udu + r v dv. A nek megfelelő távolság négyzete pedg dl 2 = (d r) 2 = Edu 2 + 2Fdudv + Gdv 2 alakban írható (ez a felület első alapformája), ahol 2 E = r u = xu 2 + yu 2 + zu 2, F = r u r v = x ux v + y uy v + z uz v, G = r 2 v = x 2 v + y 2 v + z 2 v,

19 Legyen P 0(u 0, v 0) és P 1(u 1, v 1) a felület két adott pontja. Határozzuk meg a felületen azt a P 0 és P 1 pontokat összekötő u = u(t) és v = v(t) egyenletű görbét, amely mentén mért távolság a két pont között a lehető legksebb. Ezt a távolságot az t1 l[u, v] = Eu 2 + 2Fu v + Gv 2 dt t 0 funkconál fejez k, ahol u = du/dt, v = dv/dt és u(t 0) = u 0, v(t 0) = v 0, valamnt u(t 1) = u 1, v(t 1) = v 1. A geodetkus görbe u = u(t) és v = v(t) egyenletet, ennek a funkconálnak megfelelő Euler-Lagrange egyenletrendszer megoldásával számíthatjuk k.

20 Geodetkus vonalak forgásfelületeken Mutassuk be ezeket a számításokat konkréten egy forgásfelület esetében. Itt u = ρ, v = ϕ paraméterekkel az Oz tengelyű forgásfelület egyenlete: x = ρ cos ϕ, y = ρ sn ϕ, z = f (ρ). Innen E = 1 + f 2, F = 0, és G = ρ 2. Keressük a felületen a ρ = ρ(ϕ) egyenletű geodetkus görbét. Ennek szükséges feltétele az, hogy az I [ρ] = funkconál mnmáls legyen. Ábra a következő dán ϕ1 ϕ 0 (1 + f 2 )ρ 2 + ρ 2 dϕ

21

22 Mvel az F alapfüggvény nem függ explcten ϕ-től, az Euler-Lagrange egyenletből F ρ F ρ = állandó prmntegrál következk, avagy ρ 2 (1 + f 2 )ρ 2 + ρ 2 = állandó, vagy pedg fgyelembe véve, hogy rövden írhatjuk, hogy dl = (1 + f 2 )ρ 2 + ρ 2 dϕ ρ 2 dϕ = állandó. dl ρdϕ = sn ω. dl Így az Euler-Lagrange egyenletből kapott összefüggést ρ sn ω = állandó alakban írhatjuk, am Claraut tétele néven smeretes.

23 Henger A merda nok (alkoto k) pa rhuzamos egyenesek, a geodetkus go rbe megfelelo je pedg sznte n egyenes, amely ezeket a llando szo g alatt metsz (tt a ρ=a llando a henger sugara). Teha t a geodetkus go rbe k csavarvonalak. Ku p A ρ sn ω=a llando a ku pnak a sı kra kfejtett pala stja n a geodetkus go rbe nek sznte n egy egyenes felel meg Sı kra kfejtheto felu letek geodetkus go rbe je megkaphato, ha a kfejtett felu leten egyenessel ko tju k o ssze a ke t pontot. Go mb A fo ko ro k (olyan ko r melynek ko ze ppontja egybeesk a go mb ko ze ppontja val) teljesı tk a Claraut-te telt,.

24 Loxodromák Egy forgásfelület olyan görbéje, amely mnden egyes merdángörbét állandó ω szög alatt metsz. Mvel a forgástengelytől mért távolság változó a geodetkus vonalak ρ sn ω =állandó feltétele nem vezet az ω =állandó-val jellemzett loxodromához. Csupán a körhenger esetében egyezk meg a loxodroma a geodetkus vonallal. A hajók és a repülők bzonyos navgácós szempontok matt a loxodroma mentén haladnak. Példa Bukarest és Melbourne között a távolság körülbelül km a geodetkus vonal (főkör) mentén, a loxodroma csak 120 km-rel hosszabb, 0.8% eltérés. Bukarest és Hokkadó szgete (Melbournel azonos hosszúságú körön helyezkedk el), mvel ezek ugyanazon a szélesség körön találhatók, a loxodroma éppen a szélesség kör lesz, a geodetkus vonal vszont tt jóval rövdebb (12%).

25 A térbel egyenes megegyezk a kfeszített fonal alakjával, lletve a szabadon mozgó anyag pont pályájával s, fény terjedés rányával. Egy felület mentén az egyenes szerepét a geodetkus vonal tölt be. A szabadon mozgó pontra mnden pllanatban hat a felületre merőleges, kényszererő, amely egyben a mozgásgörbének geodetkus vonalnak s a főnormálsa rányában hat. Innen adódk a geodetkus vonalaknak az a fontos tulajdonsága, hogy a főnormáls ránya mnden pontban megegyezk az adott pontban a felületre húzott normáls rányával.

26 Geodetkus vonalak a Remann-térben Kterjesszük a kétdmenzós felületek vzsgálatát olyan n-dmenzós, úgynevezett Remann-terekre, amelyben az ívelemnégyzet dl 2 = g k (x 1,..., x n)dx dx k,k=1 g k = g k a Remann-tér metrkus alaptenzora. A tanulmányozott kétdmenzós felület esetén u = x 1, v = x 2, E = g 11, F = g 12 = g 21 és G = g 22. Határozzuk meg e tér geodetkus vonalat. P 0(x (0) 1, x (0) 2,..., x n (0) ) P 1(x (1) 1, x (1) 2,..., x n (1) ) pontokat összekötő x = x (t), ( = 1,..., n) görbe hosszát megadó funkconál P1 t1 l[x 1,..., x n] = g k dx dx k = g k ẋ ẋ k dt, P 0,k=1 t 0,k=1 ahol t egy tetszőleges paraméter. Természetes paraméterrel (l ívhossz): g k ẋ ẋ k = 1.,k=1 d dl F ẋ j F xj = 0, (j = 1,..., n), F = gkẋ ẋ k

27 Fẋj = 1 2F d dl F x j = = (g k ẋ k + g kj ẋ k ) = k=1 g jk ẍ k + k=1 g jk ẍ k k=1 Γ jk = 1 2 elsőfajú Chrstoffel-szmbólumok a,k=1 g jk ẋ ẋ k x,k=1 ( gjk x F xj = 1 g k ẋ ẋ k. 2 x j ( gjk x g jk ẍ k = k=1 g jk ẋ k, k=1 + g j g k x k x j Γ jk ẋ ẋ k,k=1 + g ) j ẋ ẋ k x k )

28 g jk ẍ k = k=1 Γ jk ẋ ẋ k,k=1 A g jk mennységekhez hozzárendelhetjük egyértelműen úgy a g jk mennységeket (nverz), hogy g jk g jl = δ kl Γ l k = j=1 g lj Γ jk, másodfajú Chrstoffel-szmbólum j=1 ẍ l = Γ l kẋ ẋ k, (l = 1,..., n),k=1 A Remann-térben tehetelenség mozgást végző anyag pont pályáját. A fzka tér nem eukldesz, hanem Remann-metrkával rendelkezk. Remann és Clfford sejtését Ensten öntötte olyan elmélet formába, amely a kísérletekkel s egyező eredményeket nyújtott. A remann tér-dő szerkezetét (metrkáját) megadó g k (, k = 1, 2, 3, 4) mennységeket a térben jelenlévő anyageloszlás határozza meg. A gravtácós térben való mozgás a megfelelő remann (görbült) térben létrejövő ( szabad ) tehetetlenség mozgás.

29 Egy rugo bo l e s merev ru dbo l a llo rendszer N = 2 anyag pontra, amelyek ko zu l az egyk a vı zszntes Ox tengely mente n su rlo da s ne lku l mozoghat a tengely mente n elhelyezkedo k rugalmassa g egyu tthato ju rugo ve ge re kapcsolva. A ma sodk m2 to megu teste egy olyan l hosszu sa gu, elhanyagolhato to megu merev ru d egyk ve ge hez kapcsoljuk, amelyeknek ma sk ve ge az elso m1 to megu testhez kapcsolo dk, e s a llando an a fu ggo leges xoy sı kban tala lhato. Jelen van a Fo ld homoge n gravta co s tere.

30 Kötések, szabadság fokok Az m 1 tömegű test x tengely ment mozgása két kötést jelent az m 2 test függőleges síkban való mozgása adja a harmadk kényszerfeltételt, és a kettő között állandó l távolság eredményez a negyedk kötést. A meghatározandó általános koordnáták száma megegyezk a rendszer n = 3N s = = 2 szabadságfokával. Ezeke legyenek q 1 = x és q 2 = θ, ahol x az első pont abszcsszája, θ pedg a rúdnak az y tengellyel bezárt szöge. Koordnátatranszformácó Sebességtranszformácó x 1 = x, x 2 = x + l sn θ, y 1 = 0, y 2 = l cos θ, z 1 = 0, z 2 = 0, ẋ 1 = ẋ, ẋ 2 = ẋ + l θ cos θ, ẏ 1 = 0, ẏ 2 = l θ sn θ, ż 1 = 0, ż 2 = 0.

31 Lagrange függvény A rendszer T mozgás energája az U potencáls energa pedg T = 1 2 m1(ẋ ẏ ż 2 1 ) m2(ẋ ẏ ż 2 2 ) = = 1 2 (m1 + m1)ẋ 2 m 2lẋ θ cos θ m2l 2 θ 2, U = 1 2 kx 2 m 2gl cos θ a rugalmasság és gravtácós energákból tevődk össze. A Lagrange-függvény tehát L = L(x, θ, ẋ, θ) = T U = = 1 2 (m1 + m1)ẋ 2 m 2lẋ θ cos θ m2l 2 θ kx 2 + m 2gl cos θ.

32 (Euler-)Lagrange egyenletek Teljesül a Hamlton-elv: a mozgás olyan x = x(t), θ = θ(t) egyenletekkel írható le, amelyek esetében az S[x, θ] = t 1 t 0 Ldt hatásntegrál staconárus (mnmáls), tehát a δ 1 S = 0 alapján a a d dt L ẋ L x = 0, d dt L θ L θ = 0 (m 1 + m 2)ẍ m 2l θ cos θ + m 2l θ 2 sn θ + kx = 0, l θ ẍ cos θ + ẋ θ sn θ + g sn θ = 0. Egyenletek ntegrálása Ennek a másodrendű dfferencálegyenlet-rendszernek az ntegrálása után négy ntegrácós állandót kapunk, amelyek meghatározása a kezdet feltételek alapján történk: x(t 0) =, θ(t 0) = θ 0, ẋ(t 0) = ẋ 0 és θ(t 0) = θ 0

33 Prmntegrálok: cklkus koordnáták, energamegmaradás Melőtt megoldanánk az egyenleteket ellenőrzzük prmntegrálok meglétét. A Lagrange-függvény nem tartalmazott cklkus koordnátát, azonban nem függ explcten a t dőtől, és ezért a rendszer teljes energája E = ẋlẋ + θl θ L = T + U = állandó a mozgás dfferencálegyenletenek prmntegrálja. E = 1 2 (m1 + m2)ẋ 2 m 2lẋ θ cos θ m2l 2 θ kx 2 m 2gl cos θ Felhasználható a negyedrendű dfferencálegyenlet rendszernek harmadrendűre való redukálására.