Bevezetés az elméleti zikába
|
|
- Egon Nagy
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Görbék, felületek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 20
2 TARTALOMJEGYZÉK Serret-Frenet képletek Feladatok Felületek Els alapforma Második alapforma Euler-Monge ábrázolás Görbületek Feladatok
3 6 TARTALOMJEGYZÉK A háromdimenziós euklideszi térben egy P pont helyzetét egy rögzített O ponthoz viszonyítva az OP = r helyvektorral adhatjuk meg. Tételezzük fel, hogy a vektor folytonosan függ egy w valós skalár paramétert l, ami a w és w 2 között vesz fel értékeket. Az r : [w, w 2 ] R R 3. Descartes-i koordináta rendszerben r(w) = x(w)e x + y(w)e y + z(w)e z = (x(w), y(w), z(w)), ahol e x, e y és e z a megfelel tengelyek menti egységvektorok. A vektorfüggvény deriváltja egy adott P pontban ṙ(w) dr(w) dw = lim r(w) w 0 w = lim r(w + w) r(w) = ẋ(w)e x + ẏ(w)e y + ż(w)e z w 0 w A derivált is egy vektor, mely érint a görbéhez a P pontban. A vektorfüggvényekb l képezett mennyiségek dierenciálási szabályai azonosak a közönséges függvényekb l képezett mennyiségek dierenciálási szabályaival d (a b) = ȧ b + a ḃ dw d (a b) = ȧ b + a ḃ dw d (ϕa) = ϕa + ϕȧ dw ahol ϕ = ϕ(w) egy skalár függvény. A görbe mentén történ innitezimális elmozdulás (dw 0) esetén és a megfelel dl elemi ívhossz : dr = ṙdw = dxe x + dye y + dze z dl 2 = dr dr = dx 2 + dy 2 + dz 2 = ( ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2) dw 2 = ṙ 2 dw 2. () tehát ṙ = dl dw A görbe P (w ) és P (w 2 ) pontjai közötti szakasz ívhossza (2) l = w2 w dl = w2 w ṙ dw (3) Amennyiben létezik egy w = φ(u) bijektív megfeleltetés, akkor a görbét az u változóval szerint is átparaméterezhetjük: dr dw = r (u) φ (u) dl 2 = ṙ 2 dw 2 = r 2 du 2 (4) ahol kihasználtuk, hogy dw = φ (u)du. Következésképpen a (3) felírása az ívhossznak bármely paraméterezés esetén azonos alakú.
4 TARTALOMJEGYZÉK 7 Kiemelt jelent ség az ún. természetes paraméterezés mely során a paraméter a görbe egy adott pontjától számított ívhossz. u l esetén (4)-b l: dl 2 = r (l) 2 dl 2 ahonnan tehát r (l) = dr(l) dl =, e t r (l) (5) az érint irányába mutató (tangenciális) egységvektor. Vizsgáljuk az e t egységvektor az ívhossztól való függését. Mivel nagysága állandó, e 2 t =, ezért mer leges deriváltjára: de 2 t dl = 2e te t = 0. Bevezetve a e t irányába mutató e n egységvektort fennáll, hogy: Az ABRAXXXXXX alapjan görbe 2 e t e n = 0. e e t (l) e t (l) θ t = lim = e n lim = e n lim l 0 l l 0 l l 0 l = e n R, ahol R annak a körnek a sugara, amely a legjobban illeszkedik a görbéhez a P pontban. Tehát e n = Re t = Rr, (6) ahol R G = lim e t (l) l 0 l a görbe görbülete és R a megfelel görbületi sugara.a görbe P pontjához rendelt kör R sugara annak görbületi sugara, annak C középponja a görbületi középpont ( P C = Ren ). Például az egyenesnek nincsen görbülete (G = 0 R = ), az R sugarú kör görbülete annak minden pontjában G = /R=állandó és görbületi középpontja a kör középpontja. Egy görbe pontjaihoz tartozó görbületi középpontok mértani helyét r C = r P + P C = rp + Re n a görbe evolutájának nevezzük.deriválva az egyenletet a görbe l ívhosszának függvényében, gyelembe véve, hogy az evoluta ívhossza l c és érnt egységvektora e tc, l ce tc = d dl (r + Re n) = r + Re n + R e n = R e n Felhasználtuk még, hogy síkgörbék esetén e n = R e t. Mivel e tc ezért következik, hogy l c = ±R és e tc = ±e n ; és e n egységvektorok
5 8 TARTALOMJEGYZÉK az evoluta C pontjához huzott érint egyenes megegyezik az eredeti görbe P pontjának normálvektora által meghatározott egyenessel.ezért az evolutát, amelyet a görbületi középpontok mértani helyeként deniáltunk, ugyanolyan joggal a görbe normálissainak burkolójaként is deniálhattuk volna. A dl c = ±dr dierenciálegyenletet integrálva azt találjuk, hogy valamilyen a állandóra l c = a ± R. (ABRA)(Coxeter 37 old.)ha a P C egyenes szakaszt olyan merev rúdnak tekintjük, amely (csúszásmenetesen) gördül az evolután, akkor azt látjuk, hogy a rúd P vége az eredeti görbét rajzolja le.máskép kifejezve a P pontok mértani helye a C pontok egy evolvense(involutája). Helyesebb azt mondani, hogy egy evolvense, mint azt, hogy evolvense, ugyanis ha a rúdon különböz helyeken vesszük fel azt a pontot, amely a görbét rajzolja akkor különböz, egymással párhuzamos görbéket kapunk, amelyek mindegyike egy evolvens.(abra) Ha a jelölést megváltoztatjuk(r c, l c, e tc helyett r-et,l-et,e t -t írunk), akkor azt mondhatjuk, hogy adott görbe evolvensét leíró pont helyvektora r + (a l)e t. Bevezethetünk egy, az e t és e n egységvektorok által kifeszített síkra mer leges, újabb binormálisnak nevezett e b egységvektort: e b = e t e n (7) A három egységvektor a görbe adott pontjához kötött lokális koordinátarendszert, az ún. Frenet-féle triédert alkotják. Páronként a következ síkokat határozzák meg:. e t, e n : a görbe adott pontjának simuló síkja. Síkgörbék minden pontjának simulósíkja azonos. 2. e n, e b : a görbére mer leges normálsík. 3. e b, e t : rektikáló sík. A görbületi sugár kiszámításához szorozzuk be vektoriálisan a (6) egyenletet e t -vel. A (5) és (7) felhasználásával: e b = Rr r, ahonnan Mivel r = ṙ dw dl ahonnan a görbület Kifejtést követ en R = r r. (8) és r = d ( ṙ dw ) ( ) 2 dw dw dw dl dl = r + ṙ d dl 2 dw R ṙ r = 3. dl dw (ẋ2 R 2 + ẏ 2 + ż 2) 3 = (ẏ z ÿż) 2 + (żẍ zẋ) 2 + (ẋÿ ẍẏ) 2 ( ) 2 dw, dl
6 TARTALOMJEGYZÉK 9 Gyakran találkozunk a z =állandó, y = y(x) típusú síkgörbékkel. Ebben az esetben R 2 = ( + ẏ 2 ) 3 Alkalmazás: anyagi pont kinematikája A mozgástörvényt r = r(t), t [t, t 2 ] alakban adjuk meg, ahol t az id t jelöli. Az anyagi pont sebességvektora () és (2) felhasználásával ÿ 2 v ṙ = dr dt, (9) v = ve t, ahol v v = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = dl dt. Az anyagi pont gyorsulása (9) alapján Mivel ezért a = a t + a n, ahol a dv dt = v = d2 r = r (0) dt2 a = ve t + ve t = ė t = de t dl dl dt = e n R v, a t = ve t, és a n = v2 R e n. a pont érint - illetve normál gyorsulása. Míg a t a sebesség nagyságának változását, addig a n az irányváltozás miatti gyorsulást jellemzi. Az utóbbit centripetális gyorsulásnak is nevezzük. A teljes gyorsulás nagysága a = a = v 2 + v4 R 2. Síkmozgás esetén gyakran használjuk az x, y Descartes-i koordinátarendszer helyett a ρ, ϕ polárkoordinátákat. A két rendszer az alábbi módon kapcsolódnak: x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. azaz ρ = x 2 + y 2 = r, tan ϕ = y x. Tehát r = xe x + ye y = r(cos ϕe x + sin ϕe y ) re r A sebesség polárkoordinátákban v = ṙe r + rė r v r e r + v ϕ e ϕ,
7 0 TARTALOMJEGYZÉK ahol ugyanakkor e r = cos ϕe x + sin ϕe y, ė r = ϕe ϕ, e 2 r = e 2 ϕ = azaz a két új egységvektor is ortogonális. A gyorsulás ahol a () összefüggésekb l v r = ṙ, és v ϕ = ϕr, e ϕ = sin ϕe x + cos ϕe y, ė ϕ = ϕe r, e ϕ = 0. a = v = v r e r + v r e r + v ϕ e ϕ + v ϕ e ϕ = a r e r + a ϕ e ϕ, a r = r r ϕ 2, a ϕ = r ϕ + 2ṙ ϕ = r d ( r2 ϕ ) dt () A v r és a r mennyiségeket radiális sebességnek illetve gyorsulásnak nevezzük, a v ϕ és a ϕ pedig azimutális megfelel ik. A mozgástörvényt az (0) másodrend dierenciálegyenletrendszer (három egyenlet) megoldásaként kapjuk valamely r(t 0 ) = r 0 és v(t 0 ) = v 0 kezdeti feltételek ismeretében. Amennyiben adott az a(t) gyorsulás id beli változása a mozgástörvény egyszer en kiszámolható: t τ r(t) = r(t 0 ) + v(t 0 )(t t 0 ) + dτ dτ a(τ ). t 0 t 0 A gyakorlati esetek többségében a gyorsulás a helyzett l és akár a sebességt l is függhet explicit módon. Ilyenkor az r = a(t, r, v), típusú általános alakú másodrend dierenciálegyenletrendszer megoldása valamely, a problémára szabott, analitikus vagy numerikus módszer révén kapható meg. A pont helyzetvektora a dr elemi elmozdulás során egy felületet súrol. Az df = 2 r dr Ḟ = 2 r v, (2) vektormennyiséget területi sebességnek nevezzük. Az xoy síkban történ mozgás esetén a területi sebesség nagysága F = 2 (xẏ yẋ) = 2 r2 ϕ (3) Mivel d (r v) = r a, dt radiális gyorsulás esetén (r a) az r v vektormennyiség, és ezáltal a (2) területi sebesség állandó. (3) alapján egy egyszer en összetett D tartomány területe kifejezhet a pereme mentén végzett integrállal: F (D) = xdy ydx. 2 D
8 TARTALOMJEGYZÉK Serret-Frenet képletek Serret(85),Frenet(852); Jean Frederic Frenet(86-900) Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. Mivel e n e n = ezért e n e n = 0 azaz az e n vektor és ívhossz szerinti deriváltja ortogonálisak. Következésképpen a e n = αe t + βe n + γe b Frenet-féle triéder szerinti felbontásban β = 0. Az egyenletet beszorozva skalárisan e t -vel és felhasználva a vektorok ortogonalitásából következ e n e t = e n e t illetve a (6) összefüggéseket, azt kapjuk, hogy α = /R. Ugyanakkor e b = (e t e n ) = e t e n = γe t e b = γe n. A T = /τ = γ együtthatót a görbe torziójának (csavarodásának ) nevezzük míg a τ a torzió (csavarodás) sugara. Segítségével a Serret-Frenet képletekben foglalható össze az egységvektorok ívhossz szerinti deriváltjai: e t = e n R, (4) e n = e t R + e b τ, (5) e b = e n τ. (6) A torzió a binormális vektor és egyúttal a simulósík elfordulásának szögsebességét jellemzi. Síkgörbe esetén T /τ = 0. Könnyen igazolható, hogy a Frenet-képletek felírhatók egységesen a D = Ge b + T e t,darboux-vektor,jean Gaston Darboux (842-97) segítségével,mivel az a = D a (7) összefüggés igaz az a = e t, a = e n és a a = e b esetekben, és ezért bármely olyan a vektorra, amely a mozgó triéderhez mereven kapcsolódik. Ha egy a vektort dϑ szöggel elforgatunk annak változása da = dϑ a vagy másként a = dϑ a. Összehasonlítva az el z kifejezést (7)-al azt kapjuk, hogy dl vagy mozgás esetén dϑ dl = dϑ dt dt dl = ω v D = dϑ dl,, ahol ω a forgás szögsebességének vektora ω = vd = v( e b R + e t τ ), nagysága ω = v G 2 + T 2 = v R + ( ) 2 T. G
9 2 TARTALOMJEGYZÉK A torzió kifejezhet közvetlenül a helyzetvektor deriváltjaival: (5) r = e t, (4) r = e n R, (5) r = e t R 2 + ( ) e n + e b R Rτ, (8) Képezzük a három derivált vegyes szorzatát: (r, r, r ) = (e t, e n, e b ) R 2 τ, ahonnan, az (e t, e n, e b ) = összefüggés és (8) gyelembevételével: τ = (r, r, r... ) (ṙ, r, r ) (r r = ) 2 (ṙ r) 2. Kinematikában a mozgás pályájának torziója: τ = (v, a, ȧ) (v a) 2 Az l természetes (ívhossz) paraméter δ növekménye a helyzetvektor r = r(l + δ) r(l) változását eredményezi. Az r(l) vektorfüggvény Taylor-sorába behelyettesítve a (8) összefüggéseket, a Frenet-triéder segítségével harmadrendig megközelíthet a r: r = r δ δ2 δ3 + r + r! 2! 3! + O(δ4 ) = ( ) ) = e t G2 6 δ δ + e n (G G δ 2 3 δ 2 + e G b 6τ δ3 + O(δ 4 ) (9) A fenti képletb l látható, hogy els rendben az érint irányú elmozdulás jelentkezik, míg a normálirányú elmozdulás csak másodrendben jut szerephez. A torzió egy tisztán harmadrend hatás. 0.. Feladatok Számítsuk ki az alábbi görbék gürbületét és csavarodását a megadott pontban:. r(u) = (u 3 2u 2 )e x +(3u+2)e y +(u 2 5)e z, u 0 =, G() = , τ() = r(u) = cosh ue x + sinh ue y + u(e) z, u 0 = τ; G(τ) = τ(τ) = 2 cosh 2 τ. Igazoljuk, hogy az alábbi görbék görbülete és csavarodása között fennáll, hogy: 3. r(u) = e u cos ue x + e u sin ue y + e u e z, G(u) = 2τ(u). 4. r(u) = e u e x + 2ue y + e u e z, G(u) = τ(u). Számítsuk ki az alábbi felületi görbedarabok ívhosszát:
10 0.2. FELÜLETEK 3 5. r(u, v) = au u2 + v 2 e x + e t, 0 t τ. l = τ a 2 + b 2 ; av u2 + v 2 e y + b arctan v u e z, u = e t cos t, v = 6. a cos u cos ve x + a cos u sin ve y + a sin ue z, u = t, v = log tan ( t 2 + ) π 4, 0 t τ. l = 2aτ; 7. A légcsavarra vonatkozóan adjuk meg a paraméter szerinti változását a következ mennyiségeknek: Frenet triédert ívhosszat görbületi sugarat torziót az elemi elmozdulás vektort harmad rendig Használjunk természetes paraméterezést Felületek Egy háromdimenziós térbeli felület egy kétdimenziós sokaság, melyet megadhatunk különböz formában: implicit: explicit: f(x, y, z) = 0, vagy f(r) = 0. z = z(x, y) Példa parametrikus:. Sík: x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), vagy r = r(u, v) Implicit alak: Ax + By + Cz + D = 0. Az r 0 pontra illeszked és m vektorra mer leges sík: (r r 0 ) m = 0, (20) Az r 0 pontra illeszked valamint az a és b vektorokkal párhuzamos sík parametrikus alakja: r(u, v) = r 0 + ua + vb.
11 4 TARTALOMJEGYZÉK 2. Gömb: x 2 + y 2 + z 2 = R 2, z = ± R 2 x 2 y 2, x = R sin u cos v, y = R sin u sin v, z = R cos v u [0, π), v [0, 2π) 3. Hengerfelület: Az r (u) vezérgörbéj és a alkotó-irányú hengerfelület parametrikus alakja: r(u, v) = r (u) + va 4. Kúpfelület : Az r (u) vezérgörbéj és r 0 csúcspontú kúpfelület felületegyenlete : r(u, v) = r 0 + v(r (u) r 0 ). 5. Csavarfelület: z = b arctan y x, y x tan z b = 0, x = av cos u, y = av sin u, z = bu. u R, v R A e z tengelyirányú és ρ(z) meridiángörbéj forgásfelület: r(u, v) = e x ρ(u) cos v + e y ρ(u) sin v + e z u. 7. Az r (u) vezérgörbéj és r 2 (u) irányhatározójú vonalfelület vektoregyenlete : r(u, v) = r (u) + vr 2 (u). 8. Az r (u) vezérgörbéj és ennek érint i képezte, tehát ṙ (u) irányhatározójú kifejthet vonalfelület vektoregyenlete : r(u, v) = r (u) + vṙ (u). Az explicit felírási mód nem minden esetben alkalmazható. Például egy olyan zárt felület esetén mint a gömb Els alapforma Az r(u, v) felületen meghatározható egy görbe az u és v paraméterekre kiszabott újabb feltétellel. A legegyszer bb esetben az egyik paramétert rögzítve megkapjuk az r(u, c) vagy r(c, v), c=állandó, ún. paramétervonalakat. Meghatározható tetsz leges felületi görbe az u és v parametrikus kapcsolása révén: r = r[u(t), v(t)]. Ha a felületen elhelyezked r(u, v) pontból elmozdulunk egy tetsz legesen közel elhelyezked r(u + du, v + dv) másik pontba, akkor a megfelel elmozdulásvektor dr = r u du + r v dv, ahol r u r u, r v r v, (2)
12 0.2. FELÜLETEK 5 r u és r v a megfelel paramétervonalak és ugyanakkor a sík érint vektorai. A két érint vektor lineárisan független ezért kifeszítik a felület r u r v irányra mer leges érint síkját. (20) alapján a sík egyenlete: (R r) (r u r v ) = 0. A fenti vegyesszorzat koordinátás alakja: X x Y y Z z x u y u z u x v y v z v = 0 A dr elemi elmozduláshoz tartozó ívhossznégyzet: dl 2 = dr 2 = r 2 udu 2 + 2r u r v dudv + r 2 vdv 2 ahonnan ahol dl 2 = Edu 2 + 2F dudv + Gdv 2, (22) E(u, v) = r 2 u, F (u, v) = r u r v, G(u, v) = r 2 v (23) A (22) egyenletet a felület els alapformájának az E, F és G függvényeket pedig Gaussféle els rend f mennyiségeknek nevezzük. A (22) bal oldala pozitív tehát jobboldala is egy pozitív denit bilineáris forma (pozitív tetsz leges du és dv-re). Ezért Sylvester-tétele alapján a megfelel mátrixra fennáll, hogy E F F G = EG F 2 > 0. Az érint síkra mer leges r u r v irány a felületi normális vektor. Nagysága r u r v 2 = r 2 ur 2 v (r u r v ) 2 = EG F 2. A felületi normális egységvektor tehát m = r u r v EG F 2. Az elemi felületvektor ds = r u r v dudv = m EG F 2 dudv. A paramétertérbeli D tartományhoz tartozó felület területe: S(D) = EG F 2 dudv. D Két változó esetén a fenti egyenl tlenséghez juthatunk úgy is, hogy a jobboldalon du -ben kialakított dv másodfokú polinom el jeltartását azaz F 2 EG diszkriminánsának negatív voltát követeljük meg.
13 6 TARTALOMJEGYZÉK Második alapforma A (22) els alapforma a (2) els rend sorfejtésb l lett származtatva. Mint ilyen nem alkalmas olyan másodrend jellemz k leírására mint a görbület. A görbültség fogalmának egyértelm meghatározását adtuk a görbék esetén az e n normális egységvektor bevezetése kapcsán. Ennek segítségével közelítsünk most a felületekhez is. A felület egy adott P (u, v) pontjához egyértelm hozzárendelhet egy m normális egységvektor. Az illet ponton keresztülhaladó, de a felületen maradó, bármely r(l) görbe esetén értelmezett annak, az illet pontban vett e n normális vektora. Lokálisan a görbét úgy tekinthetjük, mint a felület és a görbe simulósíkjának metszetét. Az görbe R görbületi sugara nem jellemzi egyértelm en a felületet mivel végtelen sok síkkal metszhetjük azt. Ha viszont adott az nemezért a sorfejtésben vegyük gyelembe a másodrend tagokat is. A felületvektor növekményét az r = P (u, v) ponthoz képest r = r u du + r v dv + 2 ( ruu du 2 + 2r uv dudv + r vv dv 2) A felület metszése egy síkkal mely magába foglalja a P pontot egy felületi görbét határoz meg. Ha fenti r elmozdulás a görbe mentén történik, akkor a (9) egyenlet jobboldalának δ = dl-ben másodrend megközelítése ( ) r = e t G2 6 dl dl + e n G dl2 2. Ez, a felülethez a P pontban illeszked érint síkhoz képest, r m mérték elmozdulást jelent. Vessük össze a fenti két egyenlet jobboldalainak az m felületi normális egységvektorral képezett skaláris szorzatát. Ugyanakkor vegyük gyelembe, hogy az r u, r v és e t vektorok az m-re mer leges érint síkban helyezkednek el. ϕ-vel jelölve a görbe e n normális vektora és az m felületi normális közötti szöget megkapjuk a felület második alapformáját: cos ϕ R = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv 2 Edu 2 + 2F dudv + Gdv 2. ahol, a Gauss-féle másodrend f mennyiségek kifejezhet k mint: L = r uu m = (r uu, r u, r v ) EG F 2, M = r uv m = (r uv, r u, r v ) EG F 2, N = r vv m = (r vv, r u, r v ) EG F 2. Vegyük észre, hogy a du és dv paramétertérbeli elemi elmozdulások nem függetlenek, hanem össze vannak kapcsolva a felületi görbén keresztül, mely Euler-Monge ábrázolás Ha a felületet az explicit z = z(x, y) alakban adjuk meg akkor ez a parametrikus felírásban az u = x, v = y esetnek felel meg. Ebben az esetben r = (x, y, z(x, y)) és r u r x = (, 0, p), r v r y = (0,, q), p z x, q z y.
14 0.2. FELÜLETEK 7 ahonnan az els rend f mennyiségek E = r 2 x = + p 2, F = r x r y = pq, G = r 2 y = + q 2. Az felület els alapformája tehát míg a felületelem területe Bevezetve a dl 2 = ( + p 2 )dx 2 + 2pqdxdy + ( + q 2 )dy 2. ds = EG F 2 dxdy = + p 2 + q 2 dxdy. r z xx = p x, s z xy = p y = q x, t z yy = q y. jelöléseket, a másodrend f mennyiségek L = r + p2 + q, M = s 2 + p2 + q, N = t 2 + p2 + q. 2 Ha felületet az f(x, y, z) = 0 implicit alakban írjuk fel, akkor f x + f z z x = 0, f y + f z z y = 0, ahonnan p = f x f z, q = f y f z, Görbületek A felület egy P pontjának m normálvektorát tartalmazó sík a felületet egy görbében metszi, amelyet normálmetszetnek nevezzük.vizsgáljuk meg a P ponton átmen normálmetszet görbületének változását, mid n a metsz sík a P -beli felületi normális körül forog. Mivel cos ϕ = ± ahonnan ± R = L du2 + 2M dudv + N dv 2 E du 2 + 2F dudv + G dv 2 Lξ 2 + 2Mξη + Nη 2 = ±, = L ( du dl ) 2 + 2M du dv dl dl + N ξ R du dl, η R dv dl. ( ) 2 dv = dl A fenti egyenlet Dupin-féle indikátrixként ismert kúpszeleteket határoz meg. Ennek geometriai értlemezéséért fejtsük Taylor-sorba az r = r(u, v) felületi vektort egy adott pont körül. r(u + u, v + v) = r + r u u + r v v+ F görbületek: R = Lh2 + 2Mh + N Eh 2 + 2F h + G = f(h), f (h) = 0. h = u v másodfokú polinomiális egyenlet
15 8 TARTALOMJEGYZÉK R 2 2H R + K = 0. H = ( + ) = EN 2F M + GL 2 R R 2 2 EG F 2 közép görbület K = = LN M 2 R R 2 EG F 2 Gauss-féle görbület 0.3. Feladatok Határozzuk meg az alábbi felületek megjelölt pontjához tartozó Gauss-féle els és másodrend f mennyiségeket és a két f görbületet:. r(u, v) = e u e x + e v e y + (u v)e z, u = v = 0. E(0, 0) = 2, F (0, 0) =, G(0, 0) = 2, L(0, 0) = 3, M(0, 0) = 0, N(0, 0) = 3 ; 2. r(u, v) = (u 2 3v 2 )e x + (uv v 3 )e y + (u 4 2v)e z, u =, v = ; E(, ) = 2, F (, ) = 6, G(, ) = 56, L(, ) = , M(, ) = , N(, ) =
Serret-Frenet képletek
Serret-Frenet képletek Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. e n = αe t + βe n + γe b, e t e n e n = 1 e n e n = 0 β = 0 e n e t = e n e t illetve a α = 1/R. Ugyanakkor
v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M
Mképpen függ egy pontrendszer mpulzusa a vonatkoztatás rendszertől? K-ban legyenek a részecskék sebessége v. K -ben mely K-hoz képest V sebességgel halad v = v V. (1) P = m v = m (v V) = m v m V = = P
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
Dierenciálgeometria feladatsor
Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes
Analitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
Matematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy
ANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
Bevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete
x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek
Egyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2012-09-20 Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2012-09-20 1 / 16 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont távolsága 2 Sík Sík
sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Matematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
Felületek differenciálgeometriai vizsgálata
Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy
8 Görbevonalú koordináták A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy tetsz½oleges pont helyvektora ebben a bázisban r =xi+yj+zk ahol x; y; z a pont ún. Descartes-féle
2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Függvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása
A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása Geometriai alapok. A kúpszeletek polárkoordinátás egyenlete A síkbeli másodrend görbék közül az ellipszist, a hiperbolát és a parabolát mondjuk
4. Felületek Forgásfelületek. Felületek 1. Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel
Felületek 1 4. Felületek Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel adjuk meg. Ekkor egy F felületet az (u, v) r(u, v), (u, v) T kétváltozós vektor-vektor
{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek
1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és
1 2. Az anyagi pont kinematikája
1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni
Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Vektoranalízis Vektor értékű függvények
VS Vektor értékű üggvények VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk azokat a üggvényeket, amelyek értékkészlete a valós számok halmazának egy részhalmaza. Ezek egyrészt az R R típusú egyváltozós, valós
Bevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Merev test mozgása Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011 TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések............................
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Bevezetés a görbe vonalú geometriába
Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások
"Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.
VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.
VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid
Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános
A Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
Dierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.
1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az
Számítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Többváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
Számítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Vektoranalízis Vektor értékű függvények
Vektoranalízis VS Vektoranalízis Vektor értékű üggvények A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! Vektoranalízis VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk
Lineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05
Analízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
Geometriai alapok Felületek
Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C Elliptikus
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Egy mozgástani feladat
1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk.
A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?
Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]
A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?
Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]
Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
Számítógépes geometria (mester kurzus) III
2010 sz, Debreceni Egyetem Felületek A felület megadása implicit: F : R 3 R, F (x, y, z) = 0 Euler-Monge: f : [a, b] [c, d] R, z = f (x, y) paraméteres: r : [a, b] [c, d] R 3 trianguláris háló direkt megadása
Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
u u IR n n = 2 3 t 0 <t T
IR n n =2 3 u() u u u u IR n n = 2 3 ξ A 0 A 0 0 0 < T F IR n F A 0 A 0 A 0 A 0 F :IR n IR n A = F A 0 A 0 A 0 0 0 A F A 0 A F (, y) =0 a = T>0 b A 0 T 1 2 A IR n A A A F A 0 A 0 ξ A 0 = F (ξ) ε>0 δ ε
Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont
Dierenciálgeometria és nemeuklideszi geometriák c. gyakorlat
matematikatanári szak (2017/18as tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Másodrend görbék a projektív síkon. Konjugált pontok.) A koordinátageometriai feladatoknál feltesszük, hogy a σ euklideszi sík egy derékszög
Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Analízis II. gyakorlat
Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Ismétlés................................................... Integrálás...............................................
Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által
Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az
Végeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
Lagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó
Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:
Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.
Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...
Mechanika. Kinematika
Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat
Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
Lin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
Lin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Vektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
r a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2.
Feltételes szélsőérték Keressük úgy egy kétváltozós f (x, y) függvény szélsőértékét, hogy közben eleget tegyünk egy másik, g(x, y) = 0 típusú megszorításnak. Példa Határozzuk meg egy forgásellipszoidba
MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ
Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)
1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
Szeminárium. Kaposvári István október 01. Klasszikus Térelmélet Szeminárium
Klasszikus Térelmélet 2012. október 01. Tartalom: Jelölések bevezetése Kovariáns deriváltak kommutátora és a Riemann-tenzor Vektor megváltozása zárt görbe mentén Riemann-tenzor és a Stokes-tétel Geodetikus
Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
Az egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
Egy kinematikai feladat
1 Egy kinematikai feladat Valami geometriai dologról ötlött eszembe az alábbi feladat 1. ábra. 1. ábra Adott az a és b egyenes, melyek α szöget zárnak be egymással. A b egyenesre ráfektetünk egy d hosszúságú
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett