Bevezetés az elméleti zikába

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Bevezetés az elméleti zikába"

Átírás

1 Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Görbék, felületek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 20

2 TARTALOMJEGYZÉK Serret-Frenet képletek Feladatok Felületek Els alapforma Második alapforma Euler-Monge ábrázolás Görbületek Feladatok

3 6 TARTALOMJEGYZÉK A háromdimenziós euklideszi térben egy P pont helyzetét egy rögzített O ponthoz viszonyítva az OP = r helyvektorral adhatjuk meg. Tételezzük fel, hogy a vektor folytonosan függ egy w valós skalár paramétert l, ami a w és w 2 között vesz fel értékeket. Az r : [w, w 2 ] R R 3. Descartes-i koordináta rendszerben r(w) = x(w)e x + y(w)e y + z(w)e z = (x(w), y(w), z(w)), ahol e x, e y és e z a megfelel tengelyek menti egységvektorok. A vektorfüggvény deriváltja egy adott P pontban ṙ(w) dr(w) dw = lim r(w) w 0 w = lim r(w + w) r(w) = ẋ(w)e x + ẏ(w)e y + ż(w)e z w 0 w A derivált is egy vektor, mely érint a görbéhez a P pontban. A vektorfüggvényekb l képezett mennyiségek dierenciálási szabályai azonosak a közönséges függvényekb l képezett mennyiségek dierenciálási szabályaival d (a b) = ȧ b + a ḃ dw d (a b) = ȧ b + a ḃ dw d (ϕa) = ϕa + ϕȧ dw ahol ϕ = ϕ(w) egy skalár függvény. A görbe mentén történ innitezimális elmozdulás (dw 0) esetén és a megfelel dl elemi ívhossz : dr = ṙdw = dxe x + dye y + dze z dl 2 = dr dr = dx 2 + dy 2 + dz 2 = ( ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2) dw 2 = ṙ 2 dw 2. () tehát ṙ = dl dw A görbe P (w ) és P (w 2 ) pontjai közötti szakasz ívhossza (2) l = w2 w dl = w2 w ṙ dw (3) Amennyiben létezik egy w = φ(u) bijektív megfeleltetés, akkor a görbét az u változóval szerint is átparaméterezhetjük: dr dw = r (u) φ (u) dl 2 = ṙ 2 dw 2 = r 2 du 2 (4) ahol kihasználtuk, hogy dw = φ (u)du. Következésképpen a (3) felírása az ívhossznak bármely paraméterezés esetén azonos alakú.

4 TARTALOMJEGYZÉK 7 Kiemelt jelent ség az ún. természetes paraméterezés mely során a paraméter a görbe egy adott pontjától számított ívhossz. u l esetén (4)-b l: dl 2 = r (l) 2 dl 2 ahonnan tehát r (l) = dr(l) dl =, e t r (l) (5) az érint irányába mutató (tangenciális) egységvektor. Vizsgáljuk az e t egységvektor az ívhossztól való függését. Mivel nagysága állandó, e 2 t =, ezért mer leges deriváltjára: de 2 t dl = 2e te t = 0. Bevezetve a e t irányába mutató e n egységvektort fennáll, hogy: Az ABRAXXXXXX alapjan görbe 2 e t e n = 0. e e t (l) e t (l) θ t = lim = e n lim = e n lim l 0 l l 0 l l 0 l = e n R, ahol R annak a körnek a sugara, amely a legjobban illeszkedik a görbéhez a P pontban. Tehát e n = Re t = Rr, (6) ahol R G = lim e t (l) l 0 l a görbe görbülete és R a megfelel görbületi sugara.a görbe P pontjához rendelt kör R sugara annak görbületi sugara, annak C középponja a görbületi középpont ( P C = Ren ). Például az egyenesnek nincsen görbülete (G = 0 R = ), az R sugarú kör görbülete annak minden pontjában G = /R=állandó és görbületi középpontja a kör középpontja. Egy görbe pontjaihoz tartozó görbületi középpontok mértani helyét r C = r P + P C = rp + Re n a görbe evolutájának nevezzük.deriválva az egyenletet a görbe l ívhosszának függvényében, gyelembe véve, hogy az evoluta ívhossza l c és érnt egységvektora e tc, l ce tc = d dl (r + Re n) = r + Re n + R e n = R e n Felhasználtuk még, hogy síkgörbék esetén e n = R e t. Mivel e tc ezért következik, hogy l c = ±R és e tc = ±e n ; és e n egységvektorok

5 8 TARTALOMJEGYZÉK az evoluta C pontjához huzott érint egyenes megegyezik az eredeti görbe P pontjának normálvektora által meghatározott egyenessel.ezért az evolutát, amelyet a görbületi középpontok mértani helyeként deniáltunk, ugyanolyan joggal a görbe normálissainak burkolójaként is deniálhattuk volna. A dl c = ±dr dierenciálegyenletet integrálva azt találjuk, hogy valamilyen a állandóra l c = a ± R. (ABRA)(Coxeter 37 old.)ha a P C egyenes szakaszt olyan merev rúdnak tekintjük, amely (csúszásmenetesen) gördül az evolután, akkor azt látjuk, hogy a rúd P vége az eredeti görbét rajzolja le.máskép kifejezve a P pontok mértani helye a C pontok egy evolvense(involutája). Helyesebb azt mondani, hogy egy evolvense, mint azt, hogy evolvense, ugyanis ha a rúdon különböz helyeken vesszük fel azt a pontot, amely a görbét rajzolja akkor különböz, egymással párhuzamos görbéket kapunk, amelyek mindegyike egy evolvens.(abra) Ha a jelölést megváltoztatjuk(r c, l c, e tc helyett r-et,l-et,e t -t írunk), akkor azt mondhatjuk, hogy adott görbe evolvensét leíró pont helyvektora r + (a l)e t. Bevezethetünk egy, az e t és e n egységvektorok által kifeszített síkra mer leges, újabb binormálisnak nevezett e b egységvektort: e b = e t e n (7) A három egységvektor a görbe adott pontjához kötött lokális koordinátarendszert, az ún. Frenet-féle triédert alkotják. Páronként a következ síkokat határozzák meg:. e t, e n : a görbe adott pontjának simuló síkja. Síkgörbék minden pontjának simulósíkja azonos. 2. e n, e b : a görbére mer leges normálsík. 3. e b, e t : rektikáló sík. A görbületi sugár kiszámításához szorozzuk be vektoriálisan a (6) egyenletet e t -vel. A (5) és (7) felhasználásával: e b = Rr r, ahonnan Mivel r = ṙ dw dl ahonnan a görbület Kifejtést követ en R = r r. (8) és r = d ( ṙ dw ) ( ) 2 dw dw dw dl dl = r + ṙ d dl 2 dw R ṙ r = 3. dl dw (ẋ2 R 2 + ẏ 2 + ż 2) 3 = (ẏ z ÿż) 2 + (żẍ zẋ) 2 + (ẋÿ ẍẏ) 2 ( ) 2 dw, dl

6 TARTALOMJEGYZÉK 9 Gyakran találkozunk a z =állandó, y = y(x) típusú síkgörbékkel. Ebben az esetben R 2 = ( + ẏ 2 ) 3 Alkalmazás: anyagi pont kinematikája A mozgástörvényt r = r(t), t [t, t 2 ] alakban adjuk meg, ahol t az id t jelöli. Az anyagi pont sebességvektora () és (2) felhasználásával ÿ 2 v ṙ = dr dt, (9) v = ve t, ahol v v = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = dl dt. Az anyagi pont gyorsulása (9) alapján Mivel ezért a = a t + a n, ahol a dv dt = v = d2 r = r (0) dt2 a = ve t + ve t = ė t = de t dl dl dt = e n R v, a t = ve t, és a n = v2 R e n. a pont érint - illetve normál gyorsulása. Míg a t a sebesség nagyságának változását, addig a n az irányváltozás miatti gyorsulást jellemzi. Az utóbbit centripetális gyorsulásnak is nevezzük. A teljes gyorsulás nagysága a = a = v 2 + v4 R 2. Síkmozgás esetén gyakran használjuk az x, y Descartes-i koordinátarendszer helyett a ρ, ϕ polárkoordinátákat. A két rendszer az alábbi módon kapcsolódnak: x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. azaz ρ = x 2 + y 2 = r, tan ϕ = y x. Tehát r = xe x + ye y = r(cos ϕe x + sin ϕe y ) re r A sebesség polárkoordinátákban v = ṙe r + rė r v r e r + v ϕ e ϕ,

7 0 TARTALOMJEGYZÉK ahol ugyanakkor e r = cos ϕe x + sin ϕe y, ė r = ϕe ϕ, e 2 r = e 2 ϕ = azaz a két új egységvektor is ortogonális. A gyorsulás ahol a () összefüggésekb l v r = ṙ, és v ϕ = ϕr, e ϕ = sin ϕe x + cos ϕe y, ė ϕ = ϕe r, e ϕ = 0. a = v = v r e r + v r e r + v ϕ e ϕ + v ϕ e ϕ = a r e r + a ϕ e ϕ, a r = r r ϕ 2, a ϕ = r ϕ + 2ṙ ϕ = r d ( r2 ϕ ) dt () A v r és a r mennyiségeket radiális sebességnek illetve gyorsulásnak nevezzük, a v ϕ és a ϕ pedig azimutális megfelel ik. A mozgástörvényt az (0) másodrend dierenciálegyenletrendszer (három egyenlet) megoldásaként kapjuk valamely r(t 0 ) = r 0 és v(t 0 ) = v 0 kezdeti feltételek ismeretében. Amennyiben adott az a(t) gyorsulás id beli változása a mozgástörvény egyszer en kiszámolható: t τ r(t) = r(t 0 ) + v(t 0 )(t t 0 ) + dτ dτ a(τ ). t 0 t 0 A gyakorlati esetek többségében a gyorsulás a helyzett l és akár a sebességt l is függhet explicit módon. Ilyenkor az r = a(t, r, v), típusú általános alakú másodrend dierenciálegyenletrendszer megoldása valamely, a problémára szabott, analitikus vagy numerikus módszer révén kapható meg. A pont helyzetvektora a dr elemi elmozdulás során egy felületet súrol. Az df = 2 r dr Ḟ = 2 r v, (2) vektormennyiséget területi sebességnek nevezzük. Az xoy síkban történ mozgás esetén a területi sebesség nagysága F = 2 (xẏ yẋ) = 2 r2 ϕ (3) Mivel d (r v) = r a, dt radiális gyorsulás esetén (r a) az r v vektormennyiség, és ezáltal a (2) területi sebesség állandó. (3) alapján egy egyszer en összetett D tartomány területe kifejezhet a pereme mentén végzett integrállal: F (D) = xdy ydx. 2 D

8 TARTALOMJEGYZÉK Serret-Frenet képletek Serret(85),Frenet(852); Jean Frederic Frenet(86-900) Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. Mivel e n e n = ezért e n e n = 0 azaz az e n vektor és ívhossz szerinti deriváltja ortogonálisak. Következésképpen a e n = αe t + βe n + γe b Frenet-féle triéder szerinti felbontásban β = 0. Az egyenletet beszorozva skalárisan e t -vel és felhasználva a vektorok ortogonalitásából következ e n e t = e n e t illetve a (6) összefüggéseket, azt kapjuk, hogy α = /R. Ugyanakkor e b = (e t e n ) = e t e n = γe t e b = γe n. A T = /τ = γ együtthatót a görbe torziójának (csavarodásának ) nevezzük míg a τ a torzió (csavarodás) sugara. Segítségével a Serret-Frenet képletekben foglalható össze az egységvektorok ívhossz szerinti deriváltjai: e t = e n R, (4) e n = e t R + e b τ, (5) e b = e n τ. (6) A torzió a binormális vektor és egyúttal a simulósík elfordulásának szögsebességét jellemzi. Síkgörbe esetén T /τ = 0. Könnyen igazolható, hogy a Frenet-képletek felírhatók egységesen a D = Ge b + T e t,darboux-vektor,jean Gaston Darboux (842-97) segítségével,mivel az a = D a (7) összefüggés igaz az a = e t, a = e n és a a = e b esetekben, és ezért bármely olyan a vektorra, amely a mozgó triéderhez mereven kapcsolódik. Ha egy a vektort dϑ szöggel elforgatunk annak változása da = dϑ a vagy másként a = dϑ a. Összehasonlítva az el z kifejezést (7)-al azt kapjuk, hogy dl vagy mozgás esetén dϑ dl = dϑ dt dt dl = ω v D = dϑ dl,, ahol ω a forgás szögsebességének vektora ω = vd = v( e b R + e t τ ), nagysága ω = v G 2 + T 2 = v R + ( ) 2 T. G

9 2 TARTALOMJEGYZÉK A torzió kifejezhet közvetlenül a helyzetvektor deriváltjaival: (5) r = e t, (4) r = e n R, (5) r = e t R 2 + ( ) e n + e b R Rτ, (8) Képezzük a három derivált vegyes szorzatát: (r, r, r ) = (e t, e n, e b ) R 2 τ, ahonnan, az (e t, e n, e b ) = összefüggés és (8) gyelembevételével: τ = (r, r, r... ) (ṙ, r, r ) (r r = ) 2 (ṙ r) 2. Kinematikában a mozgás pályájának torziója: τ = (v, a, ȧ) (v a) 2 Az l természetes (ívhossz) paraméter δ növekménye a helyzetvektor r = r(l + δ) r(l) változását eredményezi. Az r(l) vektorfüggvény Taylor-sorába behelyettesítve a (8) összefüggéseket, a Frenet-triéder segítségével harmadrendig megközelíthet a r: r = r δ δ2 δ3 + r + r! 2! 3! + O(δ4 ) = ( ) ) = e t G2 6 δ δ + e n (G G δ 2 3 δ 2 + e G b 6τ δ3 + O(δ 4 ) (9) A fenti képletb l látható, hogy els rendben az érint irányú elmozdulás jelentkezik, míg a normálirányú elmozdulás csak másodrendben jut szerephez. A torzió egy tisztán harmadrend hatás. 0.. Feladatok Számítsuk ki az alábbi görbék gürbületét és csavarodását a megadott pontban:. r(u) = (u 3 2u 2 )e x +(3u+2)e y +(u 2 5)e z, u 0 =, G() = , τ() = r(u) = cosh ue x + sinh ue y + u(e) z, u 0 = τ; G(τ) = τ(τ) = 2 cosh 2 τ. Igazoljuk, hogy az alábbi görbék görbülete és csavarodása között fennáll, hogy: 3. r(u) = e u cos ue x + e u sin ue y + e u e z, G(u) = 2τ(u). 4. r(u) = e u e x + 2ue y + e u e z, G(u) = τ(u). Számítsuk ki az alábbi felületi görbedarabok ívhosszát:

10 0.2. FELÜLETEK 3 5. r(u, v) = au u2 + v 2 e x + e t, 0 t τ. l = τ a 2 + b 2 ; av u2 + v 2 e y + b arctan v u e z, u = e t cos t, v = 6. a cos u cos ve x + a cos u sin ve y + a sin ue z, u = t, v = log tan ( t 2 + ) π 4, 0 t τ. l = 2aτ; 7. A légcsavarra vonatkozóan adjuk meg a paraméter szerinti változását a következ mennyiségeknek: Frenet triédert ívhosszat görbületi sugarat torziót az elemi elmozdulás vektort harmad rendig Használjunk természetes paraméterezést Felületek Egy háromdimenziós térbeli felület egy kétdimenziós sokaság, melyet megadhatunk különböz formában: implicit: explicit: f(x, y, z) = 0, vagy f(r) = 0. z = z(x, y) Példa parametrikus:. Sík: x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), vagy r = r(u, v) Implicit alak: Ax + By + Cz + D = 0. Az r 0 pontra illeszked és m vektorra mer leges sík: (r r 0 ) m = 0, (20) Az r 0 pontra illeszked valamint az a és b vektorokkal párhuzamos sík parametrikus alakja: r(u, v) = r 0 + ua + vb.

11 4 TARTALOMJEGYZÉK 2. Gömb: x 2 + y 2 + z 2 = R 2, z = ± R 2 x 2 y 2, x = R sin u cos v, y = R sin u sin v, z = R cos v u [0, π), v [0, 2π) 3. Hengerfelület: Az r (u) vezérgörbéj és a alkotó-irányú hengerfelület parametrikus alakja: r(u, v) = r (u) + va 4. Kúpfelület : Az r (u) vezérgörbéj és r 0 csúcspontú kúpfelület felületegyenlete : r(u, v) = r 0 + v(r (u) r 0 ). 5. Csavarfelület: z = b arctan y x, y x tan z b = 0, x = av cos u, y = av sin u, z = bu. u R, v R A e z tengelyirányú és ρ(z) meridiángörbéj forgásfelület: r(u, v) = e x ρ(u) cos v + e y ρ(u) sin v + e z u. 7. Az r (u) vezérgörbéj és r 2 (u) irányhatározójú vonalfelület vektoregyenlete : r(u, v) = r (u) + vr 2 (u). 8. Az r (u) vezérgörbéj és ennek érint i képezte, tehát ṙ (u) irányhatározójú kifejthet vonalfelület vektoregyenlete : r(u, v) = r (u) + vṙ (u). Az explicit felírási mód nem minden esetben alkalmazható. Például egy olyan zárt felület esetén mint a gömb Els alapforma Az r(u, v) felületen meghatározható egy görbe az u és v paraméterekre kiszabott újabb feltétellel. A legegyszer bb esetben az egyik paramétert rögzítve megkapjuk az r(u, c) vagy r(c, v), c=állandó, ún. paramétervonalakat. Meghatározható tetsz leges felületi görbe az u és v parametrikus kapcsolása révén: r = r[u(t), v(t)]. Ha a felületen elhelyezked r(u, v) pontból elmozdulunk egy tetsz legesen közel elhelyezked r(u + du, v + dv) másik pontba, akkor a megfelel elmozdulásvektor dr = r u du + r v dv, ahol r u r u, r v r v, (2)

12 0.2. FELÜLETEK 5 r u és r v a megfelel paramétervonalak és ugyanakkor a sík érint vektorai. A két érint vektor lineárisan független ezért kifeszítik a felület r u r v irányra mer leges érint síkját. (20) alapján a sík egyenlete: (R r) (r u r v ) = 0. A fenti vegyesszorzat koordinátás alakja: X x Y y Z z x u y u z u x v y v z v = 0 A dr elemi elmozduláshoz tartozó ívhossznégyzet: dl 2 = dr 2 = r 2 udu 2 + 2r u r v dudv + r 2 vdv 2 ahonnan ahol dl 2 = Edu 2 + 2F dudv + Gdv 2, (22) E(u, v) = r 2 u, F (u, v) = r u r v, G(u, v) = r 2 v (23) A (22) egyenletet a felület els alapformájának az E, F és G függvényeket pedig Gaussféle els rend f mennyiségeknek nevezzük. A (22) bal oldala pozitív tehát jobboldala is egy pozitív denit bilineáris forma (pozitív tetsz leges du és dv-re). Ezért Sylvester-tétele alapján a megfelel mátrixra fennáll, hogy E F F G = EG F 2 > 0. Az érint síkra mer leges r u r v irány a felületi normális vektor. Nagysága r u r v 2 = r 2 ur 2 v (r u r v ) 2 = EG F 2. A felületi normális egységvektor tehát m = r u r v EG F 2. Az elemi felületvektor ds = r u r v dudv = m EG F 2 dudv. A paramétertérbeli D tartományhoz tartozó felület területe: S(D) = EG F 2 dudv. D Két változó esetén a fenti egyenl tlenséghez juthatunk úgy is, hogy a jobboldalon du -ben kialakított dv másodfokú polinom el jeltartását azaz F 2 EG diszkriminánsának negatív voltát követeljük meg.

13 6 TARTALOMJEGYZÉK Második alapforma A (22) els alapforma a (2) els rend sorfejtésb l lett származtatva. Mint ilyen nem alkalmas olyan másodrend jellemz k leírására mint a görbület. A görbültség fogalmának egyértelm meghatározását adtuk a görbék esetén az e n normális egységvektor bevezetése kapcsán. Ennek segítségével közelítsünk most a felületekhez is. A felület egy adott P (u, v) pontjához egyértelm hozzárendelhet egy m normális egységvektor. Az illet ponton keresztülhaladó, de a felületen maradó, bármely r(l) görbe esetén értelmezett annak, az illet pontban vett e n normális vektora. Lokálisan a görbét úgy tekinthetjük, mint a felület és a görbe simulósíkjának metszetét. Az görbe R görbületi sugara nem jellemzi egyértelm en a felületet mivel végtelen sok síkkal metszhetjük azt. Ha viszont adott az nemezért a sorfejtésben vegyük gyelembe a másodrend tagokat is. A felületvektor növekményét az r = P (u, v) ponthoz képest r = r u du + r v dv + 2 ( ruu du 2 + 2r uv dudv + r vv dv 2) A felület metszése egy síkkal mely magába foglalja a P pontot egy felületi görbét határoz meg. Ha fenti r elmozdulás a görbe mentén történik, akkor a (9) egyenlet jobboldalának δ = dl-ben másodrend megközelítése ( ) r = e t G2 6 dl dl + e n G dl2 2. Ez, a felülethez a P pontban illeszked érint síkhoz képest, r m mérték elmozdulást jelent. Vessük össze a fenti két egyenlet jobboldalainak az m felületi normális egységvektorral képezett skaláris szorzatát. Ugyanakkor vegyük gyelembe, hogy az r u, r v és e t vektorok az m-re mer leges érint síkban helyezkednek el. ϕ-vel jelölve a görbe e n normális vektora és az m felületi normális közötti szöget megkapjuk a felület második alapformáját: cos ϕ R = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv 2 Edu 2 + 2F dudv + Gdv 2. ahol, a Gauss-féle másodrend f mennyiségek kifejezhet k mint: L = r uu m = (r uu, r u, r v ) EG F 2, M = r uv m = (r uv, r u, r v ) EG F 2, N = r vv m = (r vv, r u, r v ) EG F 2. Vegyük észre, hogy a du és dv paramétertérbeli elemi elmozdulások nem függetlenek, hanem össze vannak kapcsolva a felületi görbén keresztül, mely Euler-Monge ábrázolás Ha a felületet az explicit z = z(x, y) alakban adjuk meg akkor ez a parametrikus felírásban az u = x, v = y esetnek felel meg. Ebben az esetben r = (x, y, z(x, y)) és r u r x = (, 0, p), r v r y = (0,, q), p z x, q z y.

14 0.2. FELÜLETEK 7 ahonnan az els rend f mennyiségek E = r 2 x = + p 2, F = r x r y = pq, G = r 2 y = + q 2. Az felület els alapformája tehát míg a felületelem területe Bevezetve a dl 2 = ( + p 2 )dx 2 + 2pqdxdy + ( + q 2 )dy 2. ds = EG F 2 dxdy = + p 2 + q 2 dxdy. r z xx = p x, s z xy = p y = q x, t z yy = q y. jelöléseket, a másodrend f mennyiségek L = r + p2 + q, M = s 2 + p2 + q, N = t 2 + p2 + q. 2 Ha felületet az f(x, y, z) = 0 implicit alakban írjuk fel, akkor f x + f z z x = 0, f y + f z z y = 0, ahonnan p = f x f z, q = f y f z, Görbületek A felület egy P pontjának m normálvektorát tartalmazó sík a felületet egy görbében metszi, amelyet normálmetszetnek nevezzük.vizsgáljuk meg a P ponton átmen normálmetszet görbületének változását, mid n a metsz sík a P -beli felületi normális körül forog. Mivel cos ϕ = ± ahonnan ± R = L du2 + 2M dudv + N dv 2 E du 2 + 2F dudv + G dv 2 Lξ 2 + 2Mξη + Nη 2 = ±, = L ( du dl ) 2 + 2M du dv dl dl + N ξ R du dl, η R dv dl. ( ) 2 dv = dl A fenti egyenlet Dupin-féle indikátrixként ismert kúpszeleteket határoz meg. Ennek geometriai értlemezéséért fejtsük Taylor-sorba az r = r(u, v) felületi vektort egy adott pont körül. r(u + u, v + v) = r + r u u + r v v+ F görbületek: R = Lh2 + 2Mh + N Eh 2 + 2F h + G = f(h), f (h) = 0. h = u v másodfokú polinomiális egyenlet

15 8 TARTALOMJEGYZÉK R 2 2H R + K = 0. H = ( + ) = EN 2F M + GL 2 R R 2 2 EG F 2 közép görbület K = = LN M 2 R R 2 EG F 2 Gauss-féle görbület 0.3. Feladatok Határozzuk meg az alábbi felületek megjelölt pontjához tartozó Gauss-féle els és másodrend f mennyiségeket és a két f görbületet:. r(u, v) = e u e x + e v e y + (u v)e z, u = v = 0. E(0, 0) = 2, F (0, 0) =, G(0, 0) = 2, L(0, 0) = 3, M(0, 0) = 0, N(0, 0) = 3 ; 2. r(u, v) = (u 2 3v 2 )e x + (uv v 3 )e y + (u 4 2v)e z, u =, v = ; E(, ) = 2, F (, ) = 6, G(, ) = 56, L(, ) = , M(, ) = , N(, ) =

Serret-Frenet képletek

Serret-Frenet képletek Serret-Frenet képletek Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. e n = αe t + βe n + γe b, e t e n e n = 1 e n e n = 0 β = 0 e n e t = e n e t illetve a α = 1/R. Ugyanakkor

Részletesebben

v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M

v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M Mképpen függ egy pontrendszer mpulzusa a vonatkoztatás rendszertől? K-ban legyenek a részecskék sebessége v. K -ben mely K-hoz képest V sebességgel halad v = v V. (1) P = m v = m (v V) = m v m V = = P

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes

Részletesebben

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből

Részletesebben

Dierenciálgeometria feladatsor

Dierenciálgeometria feladatsor Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független

Részletesebben

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy

Részletesebben

ANALÍZIS II. Példatár

ANALÍZIS II. Példatár ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3

Részletesebben

Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16

Egyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2012-09-20 Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2012-09-20 1 / 16 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont távolsága 2 Sík Sík

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy

A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy 8 Görbevonalú koordináták A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy tetsz½oleges pont helyvektora ebben a bázisban r =xi+yj+zk ahol x; y; z a pont ún. Descartes-féle

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása

A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása Geometriai alapok. A kúpszeletek polárkoordinátás egyenlete A síkbeli másodrend görbék közül az ellipszist, a hiperbolát és a parabolát mondjuk

Részletesebben

4. Felületek Forgásfelületek. Felületek 1. Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel

4. Felületek Forgásfelületek. Felületek 1. Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel Felületek 1 4. Felületek Legyen adott egy paramétersíkbeli T tartomány. A paramétersíkot az u és v koordinátatengelyekkel adjuk meg. Ekkor egy F felületet az (u, v) r(u, v), (u, v) T kétváltozós vektor-vektor

Részletesebben

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek 1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és

Részletesebben

1 2. Az anyagi pont kinematikája

1 2. Az anyagi pont kinematikája 1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Vektoranalízis Vektor értékű függvények

Vektoranalízis Vektor értékű függvények VS Vektor értékű üggvények VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk azokat a üggvényeket, amelyek értékkészlete a valós számok halmazának egy részhalmaza. Ezek egyrészt az R R típusú egyváltozós, valós

Részletesebben

Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Merev test mozgása Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011 TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések............................

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Bevezetés a görbe vonalú geometriába

Bevezetés a görbe vonalú geometriába Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások

Flat rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások "Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.

Részletesebben

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid

Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános

Részletesebben

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

A Hamilton-Jacobi-egyenlet A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0, Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

Vektoranalízis Vektor értékű függvények

Vektoranalízis Vektor értékű függvények Vektoranalízis VS Vektoranalízis Vektor értékű üggvények A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! Vektoranalízis VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05

Részletesebben

Analízis III. gyakorlat október

Analízis III. gyakorlat október Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy

Részletesebben

Geometriai alapok Felületek

Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C Elliptikus

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Egy mozgástani feladat

Egy mozgástani feladat 1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk.

Részletesebben

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje? Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]

Részletesebben

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje? Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

Számítógépes geometria (mester kurzus) III

Számítógépes geometria (mester kurzus) III 2010 sz, Debreceni Egyetem Felületek A felület megadása implicit: F : R 3 R, F (x, y, z) = 0 Euler-Monge: f : [a, b] [c, d] R, z = f (x, y) paraméteres: r : [a, b] [c, d] R 3 trianguláris háló direkt megadása

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

u u IR n n = 2 3 t 0 <t T

u u IR n n = 2 3 t 0 <t T IR n n =2 3 u() u u u u IR n n = 2 3 ξ A 0 A 0 0 0 < T F IR n F A 0 A 0 A 0 A 0 F :IR n IR n A = F A 0 A 0 A 0 0 0 A F A 0 A F (, y) =0 a = T>0 b A 0 T 1 2 A IR n A A A F A 0 A 0 ξ A 0 = F (ξ) ε>0 δ ε

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont

Részletesebben

Dierenciálgeometria és nemeuklideszi geometriák c. gyakorlat

Dierenciálgeometria és nemeuklideszi geometriák c. gyakorlat matematikatanári szak (2017/18as tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Másodrend görbék a projektív síkon. Konjugált pontok.) A koordinátageometriai feladatoknál feltesszük, hogy a σ euklideszi sík egy derékszög

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

Analízis II. gyakorlat

Analízis II. gyakorlat Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Ismétlés................................................... Integrálás...............................................

Részletesebben

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az

Részletesebben

Végeselem analízis. 1. el adás

Végeselem analízis. 1. el adás Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)

Részletesebben

Lagrange és Hamilton mechanika

Lagrange és Hamilton mechanika Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13. 2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény. Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...

Részletesebben

Mechanika. Kinematika

Mechanika. Kinematika Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék,   Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20 Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

r a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2.

r a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2. Feltételes szélsőérték Keressük úgy egy kétváltozós f (x, y) függvény szélsőértékét, hogy közben eleget tegyünk egy másik, g(x, y) = 0 típusú megszorításnak. Példa Határozzuk meg egy forgásellipszoidba

Részletesebben

MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ

MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

Szeminárium. Kaposvári István október 01. Klasszikus Térelmélet Szeminárium

Szeminárium. Kaposvári István október 01. Klasszikus Térelmélet Szeminárium Klasszikus Térelmélet 2012. október 01. Tartalom: Jelölések bevezetése Kovariáns deriváltak kommutátora és a Riemann-tenzor Vektor megváltozása zárt görbe mentén Riemann-tenzor és a Stokes-tétel Geodetikus

Részletesebben

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1) . Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.

Részletesebben

Egy kinematikai feladat

Egy kinematikai feladat 1 Egy kinematikai feladat Valami geometriai dologról ötlött eszembe az alábbi feladat 1. ábra. 1. ábra Adott az a és b egyenes, melyek α szöget zárnak be egymással. A b egyenesre ráfektetünk egy d hosszúságú

Részletesebben

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban! . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben