Bevezetés az elméleti zikába

Átírás

1 Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Vektorok, tenzorok Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011

2 TARTALOMJEGYZÉK 1. Ismétlés Indexek, összegzések, szorzatok kezelése Mátrixok A determináns Tenzorok Vektorok A (nabla) operátor A koordináta rendszer folytonos szimmetriatranszformációi A koordinátarendszer eltolása A koordinátarendszer elforgatása Forgatások.verzió Az innitezimális elforgatások A forgatások ábrázolása Tenzorok A háromdimenziós másodrend tenzorok Magasabbrend háromdimenziós tenzorok A tértükrözés A tértükrözés, mint nemfolytonos tértranszformáció Kiegészítések és alkalmazások Cayley-Klein paraméterek Ferdeszög koordinátarendszerek Példák, gyakorlatok és feladatok M veletek vektorokkal A gömbi háromszögek Skalár és vektormez k Vetormez meghatározása divergenciájából és rotációjából Görbe vonalú ortogonális koordonáta-rendszerek Lokális derékszög koordinátarendszer Divergencia, divergencia tétel

3 6 TARTALOMJEGYZÉK

4 1. FEJEZET Ismétlés 1.1. Indexek, összegzések, szorzatok kezelése a R 1 db. szám Lehet a k, vagy a α. i, α szabad index a 1, a,..., a n {a i } i=1,n a i R a 11 a 1... a 1m a 1 a... a m a n1 a n... a nm {a ij } i=1,n,j=1,m R a ij két index mennyiség (i sor index, j oszlop index) n db. szám n m db. szám a i b j a 1 b 1 a 1 b... a 1 b m a b 1 a b... a b m a n b 1 a n b... a n b m a ii, a i b i egy szabad index mennyiségek. c ijk R, i = 1, n, j = 1, m, k = 1, p három index mennyiség, n m p db. szám Három dimenzióban téglatestszer elrendezésben képzelhet el (függ leges réteg, sor, oszlop). Kisebb indexszámú mennyiségekb l nagyobb, pl. a i b jk, a ij b k, a i b j c k. Nagyobb indexszámú mennyiségekb l kisebb, pl. c iij, c jij, c ijj, (kett ) c iii, (egy). a = b egy db. egyenlet a i = b i, i = 1, n azaz a 1 = b 1, a = b,..., a n = b n n db. egyenlet. Érvénytelen egyenl ségek: a i = b k, a = b i a ij = b ij = c i d j, i = 1, n, j = 1, m n m db. egyenlet. Érvénytelen egyenl ségek: a ij = b i, a ij = b ik, a ij = b Szabály: 7

5 8 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS Egy egyenlet mindkét oldalán elhelyezked mennyiségek azonos szabad indexekkel rendelkeznek. A a 1 + a + + a n n i=1 a i i a i, egyetlen érték i futó(összegzési) index B b 1 + b + + b n i b i = k b k = α b α, A + B = i a i + i b i = (a 1 + a + + a n ) + (b 1 + b + + b n ) = = (a 1 + b 1 ) + (a + b ) + + (a n + b n ) = i (a i + b i ) αa = α i a i = α(a 1 + a + + a n ) = αa αa n = i αa i Kétindex mennyiség pl. mátrix a 11 a 1... a 1m a 1 a... a m a n1 a n... a nm n m különböz érték. a 11 + a a 1n = i a 1 + a a n = i. a n1 + a n + + a nn = i a ij, a 1i = b 1, a i = b,. a ni = b n, b j = a j1 + a j + + a jn = i a ji, j szabad index, i futó index, n darab érték b 1 + b + + b n = i b i = i a 11 + a a 1n + a 1 + a a n +. a n1 + a n + + a nn i,k ( ) a ik = k. a ik.

6 1.. MÁTRIXOK 9 Egy index mennyiség felösszegzése szám Két index mennyiség felösszegzése egy szabadindex mennyiség Két index mennyiség kétszeres felösszegzése (mindkét index szerint) szám a ij i,j i a ii. ( n ) ( n ) A B = a i b i = (a 1 + a + + a n ) (b 1 + b + + b n ) = i=1 i=1 a 1 b 1 + a 1 b + + a 1 b n + a b 1 + a b + + a b n +. a n b 1 + a n b + + a n b n = i,j a i b j a 1 b 1 + a b + + a n b n = i a i b i 1.. Mátrixok A {a ij } i=1,n,j=1,m dim(a) = n m A determináns det(a) {P i1 i...in } ( 1) Pi1i...in a1i1 a i... a nin, n = 1, det(a) = a 11 1 MEGJ.: Matrixjelolesrol atterve az indexes jelolesre az egyik szabaly, hogy ket matrix szorzasanal, amennyiben a belso meretek megegyeznek, akkor osszegzes tortenik a megfelelo kozos (a bal oldali matrix masodik es a jobb oldali matrix elso) index szerint (pl. sor matrix szorozva oszlop matrixal). Amennyiben nem, tenzori szorzatot feltetelezunk azaz a belso indexek kulonboznek es nem tortenik osszegzes (pl. oszlop matrix szorozva sor matrixal). Ez forditva is ervenyes: indexes mennyisegek matrixszorzatra valo atirasakor, ha osszegzes tortenik olyan kozos indexre mely egyiknel a masodik es a masiknal az elso index, akkor ez matrix szorzatnak felel meg a ket mennyiseg kozott. Ha kulonboznek, akkor tenzori szorzat. a bemutatasi sorrend: vektor deníciója (iranyitott szakasz nagysaggal), elemi vektormuveletek (osszeadas->paralelogramma szabaly (kommutativ, asszociativ), szammal valo szorzas, egysegvektor de- nicioja, tukrozes, linearis kombinacio, felbontás két/három irány szerint, lineáris függetlenség)), skalaris szorzat es tulajdonsagai (kommutativ, szam kiemelheto, geometriai ertelmezes), ortogonalitás, egységvektor, vetület Descartes-i bázis, komponensek, összeadás, skálázás, tükrözés, skaláris szorzat komponensekkel. Tenzoriális jelöléssel az összest. Kronecker-szimbólum Vektori szorzat deníció, nagyság, irány tul: mikor nulla, antikommutativitás, skálázás, asszociatívitás, Jacobi azonosság, disztributívitás Descartes-i bázisvektorok esetén. Matrixokkal vegzett muveletek ismétlés gyakorlatokkal. Magasabbrendu tenzorokkal vegzett muveletekre peldak pl. xx-es tenzort letrehozni es szorozni mindenfelevel.

7 10 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS n =, det(a) = ( 1) Pij a 1i a j {P ij} P 1 = 0, P 1 = 1 det(a) = a 11 a a 1 a 1 n = 3, det(a) = ( 1) P ijk a 1i a j a 3k {P ijk } P 13 = 0, P 13 = 1, P 13 = 1, P 31 = 1, P 31 =, P 31 = det(a) = a 11 a a 33 + a 1 a 3 a 31 + a 13 a 1 a 3 a 13 a a 31 a 1 a 1 a 33 a 11 a 3 a 3 n det(a) ε i1i...i n a 1i1 a i... a nin, i 1,i...i n=1 ε 1...n = 1, ε...i...j... = ε...j...i... teljesen antiszimmetrikus n-edrend tenzor. ε...i...i... = 0 Ha két indexe megegyezik, akkor az elem értéke nulla. 1. det(a ) = det(a). det(λa) = λ n det(a) 3. det(ab) = det(a)det(b) Tenzorok 1.4. Vektorok Vektor irányított szakasz: nagyság, irány, irányítás a nagysága a = a. Nullvektor nagysága nulla. MEGJ.: Biz: det(a ) i 1,i...i n ε i1 i...i n a 1i 1 a i... a ni n = i 1,i...i n ε i1 i...i n a i1 1a i... a inn Az összeg minden tagjában úgy cserélgetjük fel az a-s tényez ket, hogy a 1k1 a k... a nkn alakúvá váljon. A szükséges permutációk száma ugyanaz lesz, mint ami az 1,,... n-b l i 1 i... i n-t alakít ki, tehát nem változik az egyes tagok el jele. 3 MEGJ.: Biz: n i 1,i...i n=1 ε i1 i...i n det(b) = n j 1,j...j n=1 ε i1 i...i n a 1i1 a i... a nin det(b) = } {{ } det(a) ε j1 j...j n b i1 j 1 b i j... b inj n a 1i1 a i... a nin n n ε j1 j...j n a 1i1 a i... a nin b i1 j 1 b i j... b injn j 1,j...j n=1 i 1,i...i n=1 }{{} (A B) 1j1 (A B) j...(a B) njn

8 1.4. VEKTOROK 11 Két vektor által bezárt szög az ket tartalmazó egyenesek által bezárt szög. Két vektor párhuzamos, ha az egyenesek melyeken fekszenek párhuzamosak és ugyanaz az irányításuk A zikai tér, amiben a körülöttünk zajló jelenségek lejátszódnak, matematikailag egy háromdimenziós Euklideszi-térrel modelezhet. Ez egy vektortér melynek minden pontjához rendelhetünk egy r helyzetvektort. A vektorterek lényege abban áll, hogy bármely két r 1 és r vektorra értelmezett ezek összeadása és valamely α skalár, például valós, számmal való szorzása. Mindkét m velet eredményeképpen egy újabb vektort kapunk. A vektortereknek létezik egy, az összeadásra vonatkoztatott semleges eleme. Ha ezt a vektort hozzáadjuk bármely más vektorhoz az utóbbival megegyez vektort kapunk eredményül. Ezt a zikában a koordinátarendszerünk... pontjának nevezzük. Viszonyitási rendszerként válasszuk az u.n.descartes-féle koordináta rendszert, amely egy O ponton(origón)átmen három egymásra mer leges egyenesböl u.n.koordináta tengelyböl(valós számtengelyböl) áll. Ezt a három tengelyt gyakran x, y és z-vel jelöljük és ezek mentén határozzuk meg mer leges vetitéssel a térbeli pont(esetleg anyagi pont) koordinátáit. A tengelyek mentén ha felvesszük az i, j és k egységvektorokat,akkor az origótol a pontig mutató r u.n. helyzetvektor(1.ábra) felirható: (1.ábra) r = xi + yj + zk A következ kben x x 1, y x és z x 3 illetve i e 1, j e és k e 3, valamint r x jelöléseket használjuk. A fenti összeget egyszer bb alakban is felirhatjuk: x = x 1 e 1 + x e + x 3 e 3 = 3 x i e i i=1 Bevezetjük a következ összegezési megállapodást: ha egy több ingexet tartalmazó kifejezésben két indexnek ugyanaz az értéke, akkor a kifejezéseket összegezzük az indexek teljes halmazán. Latin betükkel jelzet indexek esetén pl. {i, j, k, l, m, n... } stb. az összegezést {1,, 3} index értékekre végezzük. Példák: a ijklj 3 j=1 a ijklj és b ijkijl 3 3 i=1 j=1 b ijkijl. Kettönél több azonos index esetén, a kifejezésre nem alkalmazható az összegezési megállapodás. Két azonos index esetén, csak akkor nem összegezünk, ha erre külön felhivjuk a gyelmet. A helyzetvektor fenti kifejezését, tehát az összegezési megállapodás alapján x = x i e i egyszer formában irható. A háromdimenzios vektorok halmaza R (3) lineáris tér, ami azt jelenti, hogy ha a, b R (3) akkor tetszöleges {α, β} R valos állandók esetén αa + βb R (3). A vektortér dimenzióját a lineárisan független vektorok számával egyenl. Ezt a kérdéskört, mivel az alapzika szempontjábol lényegtelen, tovább nem részletezzük. Az érdeklöd olvasó részleteket,lineáris algebra témakör számtalan könyvben talál. Legyen a és b két azonos tipusú (zikai dimenziojú) vektor és α, β számmennyiségek.ha c = αa + βb akkor c i = αa i + βb i,.

9 1 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS - A vektorok skaláris szorzata Skaláris szorzat révén, két vektorhoz egy skaláris mennyiséget rendelünk. Két a és b skaláris szorzata komutativ müvelet, melynek során a vektorokhoz rendelt skaláris mennyiséget meghatározza, a közöttük lév szög â, b-vel, a vektorok nagysága(modulusza) a illetve b a következ képpen: Két nullátol különböz vektor esetén nyilván: a b = b a = a b cos (â, b) (1.1) a b = 0, a b A skaláris szorzat disztributiv az összeadással szemben és fennáll, hogy: c = a ± b, a (βb + γc) = βa b + γa c c c = (a ± b) (a ± b) c = a + b ± a b cos(â, b). A fentebb bevezetett egységvektorok esetén: e 1 e 1 = 1 ; e 1 e = 0 ;... Általános esetben bevezetve a δ ij ú.n. Kronecker szimbólumot e i e j = δ ij = 1 ha i = j; 0 ha i j; Az a és b vektorok skaláris szorzatát megadhatjuk komponenseik esgítségével: a = a i e i ; b = b j e j = a b = a i b j δ ij = a i b i mivel b j δ ij = b i. Könny belátni, hogy δ ij = δ ji, δ ii = 3, δ ij δ jk = δ ik és x = x x = x i = x. Az a és b vektorok közötti szöget a cos (â, b) = a i b i a b kifejezés adja. Az elemi munka F er hatására dx elemi elmozdulás esetén dl = F dx = F i dx i A teljes munka egy er tér esetén két P 1 és P pont között a C görbe mentén: L C (P 1 P ) = (C) P P 1 P F(x) dx = (C) F i (x)dx i P 1 Ha a görbe parametrikus egyenlete x i = x i (α) és a P 1 ill.p pontoknak az α 1 ill.az α paraméter értékek felelnek meg, a végzett munka kifejezése: L C (P 1 P ) = P P 1 F i (x(α)) dx i(α) dα dα

10 1.4. VEKTOROK 13 V (x) V (x) Potenciáltérben F i = x i és az elemi munka dl = F i dx i = x i dx i = dv (x), egy teljes diferenciál. Ilyen esetben a két pont közötti munka L C (P 1 P ) = (C) P P 1 dv (X) = V (P 1 ) V (P ) tehát független a két pontot összeköt útvonal konkrét alakjátol.ez azt jelenti, hogy zárt görbe mentén (P 1 P ) a végzett munka értéke nulla. Az ilyen id töl független potenciál teret konzervativ er térnek nevezzük. Az A(x, t) vektormez esetén a Γ A (C) = (C) A dx görbevonaló integrált az A vektormez C görbe menti cirkulációjának nevezzük. A vektorokra vonatkozó, egy másik szorzási müvelet, a vektoriális szorzás. Az a és b vektorok vektoriális szorzatának az eredmënye egy vektor, amit c - vel jelölünk. a b = c A c vektor nagysága c = a b sin (â, b),tehát két párhuzamos vektor vektoriális szorzata nulla. a b = 0 a b A c vektor iránya mer leges az a és b vektorok közös sikjára. Az irányítását pedig a furó(jobbkéz)-szabály adja meg. E szerint, az szorzatbeli els a vektort a másodikra b-re forgatva (a kisebb szög mentén),az eképpen forgatott furó elörehaladási iránya adja meg a kelletkezett c vektor irányitását. Másképpen, ha jobbkezünk begörbitett ujai jelölik a forgatás irányát, akkor nagyujunk jelöli a szorzásbol kapott vektor irányitását. Innen azonnal következik, hogy a vektoriális szorzat antikomutatív, tehát; a b = b a A vektoriális szorzat akárcsak a skaláris szorzat szintén disztributiv az összeadásra vonatkozóan: a (βb + γc) = βa b + γa c Három veca, b és vecc vektorok esetén képezhetjük ezek dupla vektoriális szorzatát a következ képpen : (a b) c. Könny belátni, hogy a keletkez vektor benne van a a és a b síkjában, tehát ezek lineáris kombinációja ás ezenkivül lineáris mindhárom vektorban. Tehát (a b) c = αa(b c) + βb(a c) Mivel a = b esetén nullát kell kapnunk, következik, hogy α+β = 0. Válaszuk a vektorokat a következ képpen : c = a b és a = b = 1. Mivel az eredmény b, következik, hogy β = α = 1 és a végsö képlet : (a b) c = b(a c) a(b c) Hasonló gondolatmenet alapján kajuk, hogy : a (b c) = b(a c) c(a b,

11 14 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS tehát a vektoriális szorzat nem asszociativ. Alkalmazva a vektoriális szorzatot a bázisvektorokra: e 1 e 1 = 0 ; e 1 e = e e 1 = e 3 ;... nem nehéz belátni, hogy a többi szorzatot a fenti eredmény indexeinek cirkuláris permutációjábol kaphatjuk meg. Az eredményeket összefoglalhatjuk az alábbi általános kifejezéssel: e i e j = ε ijk e k ahol az ε ijk u.n. Levi-Civita simbolum vagy más nevén harmadrendü teljesen antisimetrikus egységtenzor és azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy ε 13 = 1 és a ε ijk két idex felcserélése (transzpoziciója) során el jelt vált. Innen következik: 1 ha (i,j,k)-bol (1,,3)-hoz az indexek páros számu transzpoziciója során jutunk ε ijk = 1 ha (i,j,k)-bol (1,,3)-hoz az indexek páratlan számu transzpoziciója során jutunk 0 ha két index megegyezik konkrétan: ε ijk = ε jki = ε kij = ε jik = ε ikj = ε kji Amint látható, ε ijk étéke(el jele) nem változik az indexek cirkuláris permutációja során.tehát az elöbbi két vektor vektoriális szorzatából kapott vektor konkrét alakja: a b = a i e i b j e j = a i b j e i e j = ε ijk a i b j e k = = c és a megfelel komponensek kifejezése: c = c k e k = c k = a i b j ε ijk A Levi-Civita szimbolumot kifejezhetjük a Kronecker szimbolumok segitségével az alábbi módon: δ i1 δ j1 δ k1 ε ijk = δ i δ j δ k δ i3 δ j3 δ k3 amiböl következik, hogy δ i1 δ i1 δ i1 ε ijk ε lmn = δ j δ j δ j δ k3 δ k3 δ k3 δ 1l δ l δ 3l δ 1m δ m δ 3m δ 1n δ n δ 3n = δ il δ jl δ kl δ im δ jm δ km δ in δ jn δ kn Az indexek egybeejtése során, felhasználva az összegezési megállapodást, sorra kapjuk, hogy: ε ijk ε lmk = δ il δ jm δ im δ jl ε ijk ε ljk = δ il ε ijk ε ijk = 6

12 1.4. VEKTOROK 15 Tetszöleges 3 3-as tipusu mátrix esetén A = A ik = A 11 A 1 A 13 A 1 A A 3 A 31 A 3 A 33 felhasználva a Levi-Civita szimbolum determináns formáját ha det A A ε i1i i 3 A i1j 1 A ij A i3j 3 = A ε j1j j 3 Legyen a, b és c három tetszöleges vektor, melyböl képezzük az alábbi skaláris mennyiséget, az u.n. vegyes szorzat formában a 1 a a 3 (a b) c = ε ijk a i b j c k (a, b, c) = b 1 b b 3 c 1 c c 3 Mivel a determináns két sorának felcserélésekor, értéke elöjelt vált (a, b, a) = (b, c, a) = (c, a, b) = (b, a, c) = (a, c, b) = (c, b, a) a vegyes szorzat mértani jelentése és alkalmazása a sík egyenleténél, ábra Skalaris szorzat: ε ijk δ jk = 0 δ i1j 1 δ i1j 1 δ i1j 1 ε i1i i 3 ε j1j j 3 = δ i1j 1 δ i1j 1 δ i1j 1 δ i1j 1 δ i1j 1 δ i1j 1 (a b) (c d) = (a c)(b d) (a d)(b c) a = 3 a i e i a i e i ; i=1 3 a i b i a i b i a j b j i=0 e i = 1; i, j, k,... ɛ (1,, 3) a b = a b cos α; α (a, b) a b = b a = Kommutativ a (b ± c) = a b ± a c = Disztributiv a b = 0 a b e i e j δ ij Tulajdonsagok: δ ij = δ ji ; δ ij δ jk = δ ik ; δ ii = 3; a i δ ij a j ; δ i1 δ i δ i3 0; i, j, k ɛ (1,, 3) a a i e i ; b b j e j ; a b = (a i e i ) (b j e j ) = a i b j e i e j = a i b j δ ij = a i b i Vektorialis szorzat: {a, b} = c; a b = c

13 16 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS c {a, b}; c = a b sin α a b = 0 a b a a 0; a b = b a = Antikommutativ a (b ± c) = a b ± a c = Disztributiv (a b) c a (b c) = Nem aszociativ e 1 e = e 3 e e 1 = e 3 e e 3 = e 1 e 3 e = e 1 e 3 e 1 = e e 1 e 3 = e = e i e j = ε ijk e k a b = (a i e i ) (b j e j ) = a i b j e i e j = ε ijk e k = c c k e k = c k = ε ijk a i b j ε ijk = ε jki = ε kij = ε jik = ε ikj = ε kji ; ε 13 = 1 δ i11 δ i1 δ i31 ε i1i i 3 = δ i1 δ i δ i3 δ i13 δ i3 δ i33 δ 1j1 δ 1j δ 1j3 ε j1j j 3 = δ j1 δ j δ j3 δ 3j1 δ 3j δ 3j3 δ i11 δ i1 δ i13 δ 1j1 δ 1j δ 1j3 = ε i1i i 3 ε j1j j 3 = δ i1 δ i δ i3 δ j1 δ j δ j3 δ i31 δ i3 δ i33 δ 3j1 δ 3j δ 3j3 = δ i1j 1 δ i1j δ i1j 3 δ ij 1 δ ij δ ij 3 δ i3j 1 δ i3j δ i3j 3 i 3 = j 3 = k; ε i1i kε j1j k = δ i 1j 1 d i1j δ ij 1 d ij = δ i 1j 1 δ ij δ i1j δ ij 1 i = j = j; ε i1jkε j1jk = δ i1j 1 δ jj δ i1jδ jj1 = 3δ i1j 1 δ i1j 1 = δ i1j 1 i 1 = j 1 = i; ε ijk ε ijk = δ ii = 6 a = a i e i ; b = b j e j ; c = c k e k (a b) c = a i b j c k (e i e j ) e k = a i b j c k ε ijl e l e k = a i b j c k ε ijl ε lkm e m = = a i b j c k ε ijl ε kml e m = a i b j c k (δ ik δ jm δ im δ jk )e m = a i b j c k δ ik e j a i b j c k δ jl e i (a b) c = b(a c) a(b c)? a (b c) = b(a c) c(a b) e 1 e e 3 b c = b j c k ε jkl e l = b 1 b b 3 c 1 c c 3 a 1 a a 3 a (b c) = a i b j c k ε ijk = b 1 b b 3 (a, b, c) c 1 c c 3 (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = (b, a, c) = (a, c, b) = (c, b, a)

14 1.4. VEKTOROK 17 (a b) (c d) =? (a b) e? = e (c d) = (e, c, d) = (c, d, e) = c (d e) = c [d (a b)] = = c [a(b d) b(a d)] = = (a c)(b d) (a d)(b c) (a b) (c d) =? (a b) e? = e (c d) = c(e d) d(e c) = c(a, b, d) d(a, b, c) (c d) f? = (a b) f = b(a f) a(b f) = b(a, c, d) a(b, c, d) A (nabla) operátor b(a, c, d) a(b, c, d) c(a, b, d) d(a, b, c) Descartes-i koordináta rendszerben dolgozzunk, mely rendszer globális, azaz a bázis ugyanaz minden pontban: e i x j = 0, i, j = 1,, 3 Ugyanakkor x i x j = δ ij. Descartes-i koordináta rendszerben a gradiens meghatározása: gradϕ ϕ = ϕ x 1 e 1 + ϕ x e + ϕ x 3 e 3 = ϕ x i e i i ϕe i e i i ϕ, A nabla meghatározás szerint: = x 1 e 1 + x e + x 3 e 3 x i e i i e i = e i i ; Kett s tulajdonsága van. Egyrészt egy dierenciál operátor (mindig jobbra hat) és ugyanakkor vektor. Belátható, hogy az operátor lineáris azaz: (aϕ + bψ) = a ϕ + b ψ Operátor jellege miatt az utóbbi felírás (e i i ) javasolt, mivel más koordináta rendszerekben a bázis helyfügg ezért fontos, hogy a dierenciál operátortól balra, annak hatótávolságán kívül helyezkedjen el. Megfelel zárójelezéssel is biztosítható az egyértelm ség. diva A = (e i i ) (A j e j ) = ( i A j )e i e j + e i A j i e j = ( i A j )δ ij = i A i,

15 18 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS rot A A e 1 e e 3 x 1 x x 3 A 1 A A 3 = ε ijke i j A k (fϕ) = i (fϕ)e i = (f i ϕ + ϕ i f)e i = f ϕ + ϕ f Anélkül, hogy tenzoriális (indexes) jelölést használnánk úgy foghatjuk fel a szorzatra ható nabla operátor hatását, mintha két tagot összegét számolnánk. Az egyikben az egyik tényez lenne állandó másodikban a másik. Azaz: (fϕ) = (f c ϕ) + (fϕ c ) = f c ϕ + ϕ c f A c indexel átmenetileg az állandó jellegét jelezzük az egyes tagoknak. A legvégén egyszer en töröljük ket. f(ϕ) = df(ϕ) dϕ ϕ; (a f + b ϕ) = a f + b ϕ; {a, b} = const. r = (x 1 + x + x 3) = (x 1 e 1 + x e + x 3 e 3 ) r r = x 1 + x + x 3 = r r (A r) = (A j x j ) = e i (A j x j ) = A j e i δ ij + A j x j e i = A + x j A j x i x i A = cons = (A r) = A f(r) = df(r) dr r = f(r) = df(r) r dr r (a (r b)) = (r (b a)) = b a ( a r r n ) = a r)r n(a rn r n+ ((a r) (b r)) = ( (a b)r (a r)(b r) ) = = (a b)r (a r)b (b r)a = a (r b) + b (r a) A = A i x i diva r = x i x i = 3 (aa + bb) = a A + b B; {a, b} = const. (ϕ A) = ( ϕ) A + ϕ( A) (f(r)r) = f (r)r + 3f(r) r r = 3 r r r r 4 = 1 r r r 3 = 3 r 3 3r r r 5 = 0; r 0

16 1.4. VEKTOROK 19 (A B) = B ( A) A ( B) A ( B) = (A c B) (A )B B ( A) = (A B c ) (B )A (A c B) + (A B c ) = (A B) (A B) = A ( B) + B ( A) + (A )B + (B )A (A B) = (A c B) + (A B c ) = A( B) (A )B + (B )A B( A) ϕ rot grad ϕ 0; ( A) div rot A 0; A ( B) = (A c B) (A )B rot rota ( A) = ( A) ( )A div grad = x + 1 x + x 3 = rot rot A = grad diva A dϕ ϕ = ϕ(r, t); dt = ϕ + (v )ϕ t dw w = w(r, t); dt = w + (v )w t Határozzuk meg az alábbi id ben változó terek teljes deriváltját, a hordozó közeg adott sebességter mozgása mellett: ϕ = e t r n, v = e t r, v = v(r, t); dϕ dt =?; w = e t r n a, v = e r r, a = dv dt = v + (v )v t v = e (r+t) r, a =? dw dt =? ab; a b; a b; a b; a b; a b; a; a; a; ab; [(a r) b r ]; (r r a ln r); (r3 a) ; (u v) = (u v) = ( u v + u v) = u v + u v + u v r n ; ln r; (a r) r n ; (x sin(y z)); v = a ln r; v = (x 3 y z )e 1 + (x y z 3 )e + (z x y z)e 3 grad div v =?; rot rot v =? Igazoljuk, hogy az alábbi vektorterek rotációja azonosan zérus (örvénymentesek): a.) v = 3r r ; b.) v = r r ; c.) v = a r + (a r)r ; Igazoljuk, hogy az alábbi vektorterek divergenciája azonosan zérus (forrásmentesek): a.) w = (r a) ; b.) w = r a r ; c.) w = 3(a r).

17 0 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS 1.5. A koordináta rendszer folytonos szimmetriatranszformációi A derékszögü háromdimenziós kooordinátarendszert végtelen sok féleképpen választhatjuk. Abban az esetben ha a tengelyek irányai nem változnak csupán ezek közös metszéspontja - az origó - akkora koordinátarendszer eltolásárol beszélünk. Ha viszont az origó marad változatlan és a koordináta tengelyek rányai változnak megörizve a kölcsönösen meröleges voltukat akkor a koordinátarendszer elforgatásárol beszélünk. Mivel az emlitett koordinátarendszer választása önkényes, nem befolyásolja a testek relativ viszonyát, ezért az egyikröl egy másikra való áttérés egy folytonos szimmetriatranszformáció. Ezekre a transzformációkra az jellemz, hogy folytonosan változó paraméterekkel jellemezhet A koordinátarendszer eltolása ábra A koordináta tengelyek irányai nem változnak, csupán az uj koordinátarendszer O origóját a megelöz O origóhoz képest a -val eltoljuk. x = x a Mivel a koordinátarendszerek bázissai megegyeznek, a koordináták transzformációja: x i = x i a i i {1,, 3} Az a -val történ eltolásnak megfelel transzformációt T (a) -val, majd az ezt követ, b -vel történ eltolásnak megfelel transzformációt T (b) -vel jelölve: ahonnan következik, hogy x = T (a)x ; x = T (b)x x = T (b)t (a)x = x a b A T (a) transzformáció lineáris reprezentációját megadhatjuk mátrix formában a 1 x 1 T (a) a a 3 x = x x ahol fennáll, hogy T (a) T (b) = T (b) T (a) = T (a + b) a transzformáció pedig x 1 x x 3 1 = a a a x 1 x x 3 1

18 1.5. A KOORDINÁTA RENDSZER FOLYTONOS SZIMMETRIATRANSZFORMÁCIÓI1 Mivel létezik az egység- és az inverz-transzformáció T (0) = I 4 ; T (a)t ( a) = I 4 az eltolások, egy három paraméteres, folytonos, abel-féle(komutativ) u.n. Lie-csoportot alkotnak és irhatjuk az alábbi formában T (a) = I 4 + a i T i ahol T 1 = T = T 3 = a Lie-csoport (innitezimális) generátorai és segitségükkel el álíthatunk egy véges eltolást innitezimális eltolások sorozatábol. T (a) = lim N T ( a N )N = lim N (I 4 + at N )N Az eltolás transzformációja, a generátorok és a paraméterek fuggvényében T (a) = exp (a k T k ) exp (a T) Mivel a generátorok komutativak T i T j T j T i [T i, T j ] = 0 T (a) = 3 exp (a i T i ) i=1 ahol a két azonos index ellenére, nem alkalmaztuk az összegezési megállapodást. Javasoljuk az olvasonak, hogy probálja meg, igazolni az alábbi összefüggéseket: 1. feladat f(x + a) = exp (a d dx )f(x). feladat f(x + a) = exp (a )f(x) A koordinátarendszer elforgatása Amint már emlitettük, a koordonátarendszer megválasztásának, egy más módja az amikor nem változtatjuk meg az origó helyzetét, viszont elforgatjuk a koordináta tengelyeket (lásd az ábrát ). A koordináta tengelyek irányának megváltoztatásával a rajtuk elhelyezett egységvektorok megváltoznak. Más szóval, az eredeti {e 1 e e } 3) bázis helyébe az ój {e 1 e e 3} bázis lép amely szintén ortonormált e i e j = δ ij. ábra

19 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS A pont helyzettvektorát felirhatjuk mindkét koordináta rendszerben, a megfelel bázisokat használva, melyekben a koordináták {x 1 x x 3 } ill. {x 1 x x 3} és közöttük fennállnak az alábbi összefüggések: x = x j e j = x ke k = x e i = x j e j e i = x ke k e i = x i = e i e j x j Bevezeetve az R ij = e i e j kétindexü mennyiségeket, megadhatjuk za ój és régi koordináták közötti összefüggést x i = R ij x j A koordinátarendszert mint merev rendszert forgattuk el egy origón átmen tengely körül egy bizonyos szöggel. A forgástengelyt egy n egységvektorral adhatjuk meg, a forgás szögét jelöljük ϕ-el. A feladatunk az marad, hogy a koordináták transzformációját megadó R ij együtthatókat megadjuk a forgástengely irányának és a forgás szögének függvényében! R ji (n, ϕ) =?! ábra Az ábrán látható OA vector, az n irányu tengely körül elforgatva, az OA vektorrá vállik. A vektorok a forgástengely irányába mutató OB összetev i a forgatás során nem változik ezért OA = OB + BA ; OA = OB + BA ahol OB = (OA n)n ; BA = OA OB = OA (OA n)n A forgástengelyre meröleges BA vektor nagysága forgatáskor nem változik BA = BA Válasszunk két egymásra és a forgástengelyre meröleges egységvektort u = BA BA ; v = n BA n BA ; u = v = 1 Mivel n BA = BA ; n BA = n OA a BA vektornak a ϕ szöggel történ elforgatásábol létrejöv BA vektor kifejezése BA = BA (u cos ϕ + v sin ϕ) = BA cos ϕ + n OA sin ϕ ahonnan OA = OB + BA = (OA n)n + (OA (OA n)n) cos ϕ + n OA sin ϕ és csoportositások után OA = OA cos ϕ + (1 cos ϕ)n(n OA) + n OA sin ϕ Az elforgatott vektor legyen éppen a bázisvektor OA e i ; OA e i

20 1.5. A KOORDINÁTA RENDSZER FOLYTONOS SZIMMETRIATRANSZFORMÁCIÓI3 aminek a forgatásbol ered transzformációja e i = e i cos ϕ + (1 cos ϕ)n(n e i ) + n e i sin ϕ és a koordináta transzformációját megadó együttható R ij = e i e j = e i e j cos ϕ + (1 cos ϕ)(n e j )(n e i ) + (n e i ) e j sin ϕ Felhasználva, hogy Az együtthatók végs formája: e i e j = δ ij ; n e i = n i ; n e j = n j (n e i ) e j = (e i e j ) n = ε ijk n k R ij (n, ϕ) = δ ij cos ϕ + (1 cos ϕ)n i n j + ɛ ijk n k sin ϕ A forgatások ábrázolása mátrixok segítségével A forgatásoknak megfelel lineáris transzformáció x i = R ij x j két derészögü koordinátarendszer esetén, ahol R ij (n, ϕ) = δ ij cos ϕ + (1 cos ϕ)n i n j + ɛ ijk n k sin ϕ kifejyezhet mátrixok segitségével az alábbi módon: x 1 R 11 R 1 R 13 x = R 1 R R 3 x 3 R 31 R 3 R 33 A helyzetvektornak az oszlopmátrixot feleltethetjük meg x = x i e i x) = x 1 x x 3 = x 1 x x 3 = x x x 3 ahol a koordinátarendszer bázisát képez egységvektoroknak az e 1 e 1 ) = ; e e ) = ; e 3 e 3 ) =

21 4 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS oszlopmátrixok felelnek meg. A helyzetvektor ezeknek lineáris kombináciojaként irható fel. Egy más lehetöség a vektorábrázolásra a sormátrixxal történik x (x = (x 1, x, x 3 ) = x 1 (1, 0, 0) + x (0, 1, 0) + x 3 (0, 0, 1) amely az oszlopmátrix transzponáltja (x = x) T Az egységvektoroknak sormátrixok is megfeleltethetök e 1 (e 1 = (1, 0, 0) ; e (e = (0, 1, 0) ; e 3 (e 3 = (0, 0, 1) A bázis vektorok ortonormáltságát kifejez skaláris szorzatot e i e j = δ ij mátrix formában felirva (e i e j ) = δ ij. A vektor nagyságának a négyzete x = x x = (x x) Általában két x és y vektorok skaláris szorzatát,irhatjuk az alábbi (x y) = (x y) = x i y i = (y x) formában. A vektornak megfelel sormátrixot brá- mig az oszlop mátrixot ket- vektornak nevezzük. Az elforgatást megadó lineáris transzformációnak, amint látható, egy 3 3 négyzetes R mátrix felel meg: R 11 R 1 R 13 R(n, ϕ) = R 1 R R 3 R 31 R 3 R 33 Az elöz ekben bevezetett jelölések segitségével a következ egyszer módon irhatjuk az elforgatásnak megfelel lineáris transzformáciot és annak transzponált formáját x ) = R x) ; (x = (x R T Ha az n egységvektorral megadott forgástengely a koordinátarendszer egyes tengelyei mentén helyezkedik el, a megfelel elforgatások mátrixai, a megfelel elforgatási szögeket α, β ill. γ-val jelölve: n (1, 0, 0) R (1) (α) = cos α sin α 0 sin α cos α n (0, 1, 0) R () (β) = cosβ 0 sin β sinβ 0 cos β

22 1.5. A KOORDINÁTA RENDSZER FOLYTONOS SZIMMETRIATRANSZFORMÁCIÓI5 n (0, 0, 1) R (3) (γ) = cos γ sin γ 0 sin γ cos γ x t, x t, ϕ, ϕ, x i A forgásmátrix tulajdonságai Mivel a vektor elforgatása során annak nagysága nem változik x = (x x ) = (x R T R x) = (x x) = x amiböl az következik, hogy R T R = RR T = I 3 R T = R 1 tehát az elforgatás mátrixának inverze megegyezik a mátrix transzponáltjával. Az elöz összefüggéseket felirva a mátrix elemeivel R ij R ik = R ji R ki = δ jk a következ képpen értelmezhet. Ha a forgásmátrix egyes sorainak (ill. oszlopainak) elemeit egy - egy vektor elemeinek tekintjük, akkor ezek a vektorok (sorok ill. oszlopok) egy - egy ortonormált rendszert alkotnak. Ez azzal kapcsolatos, hogy ortonormált bázisrol egy másik ortonormált bázisra transzformálunk. Az ilyen transzformáciokat ortogonális transzformációnak nevezzük. ket-vektor ábrázolásnál a forditott transzformáció x ) = R x) = x) = R T x ) mátrixa R T lesz, de ugyanaz marad a bra-vektor ábrázolásban: (x = (x R T = (x = (x R tehát a ket-(oszlop) bra-(sor)cserének az R R T mátrixcsere felel meg. Felhasználva az elöz leg bevezetett jelöléseket, könnyü bizonyitani, hogy két vektor skaláris szorzata nem változik az elforgatás során, tehát egy invariáns, skaláris mennyiség. y ) = R y) ; x ) = R x) = (y x ) = (y x) = inv.

23 6 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS Két pont P 1 (x (1) ) és P (x () ) távolsága sem változik az elforgatás során. Mivel x (1) ) = R x (1)) ; x () ) = R x ()) = x (1) x () ) = R x (1) x () ) a távolság négyzete l (1) = (x (1) x () x (1) x () ) = (x (1) x () x (1) x () ) = inv. Felhasználva azt, hogy a mátrixok szorzatának a determinánsa megegeyezik a mátrixok determinánsainak szorzatával, valamint, hogy egy mátrix determinánsa egyenl a transzponált mátrix determinánsával, következik, hogy: det(rr T ) = det(i 3 ) = (det(r)) = 1 Tehát det(r) = ±1, azonpan " tiszta forgatás" esetén, mindig det(r) = +1. Végül bizonyitsuk be, hogy az elforgatások egy folytonos Lie csoportot alkotnak. Ha R 1 és R két elforgatás mátrixa, tehát R 1 R T 1 = I 3 det(r 1 ) = 1 ; R R T = I 3 det(r ) = 1 Ezek egymásutáni alkalmazásábol kapott R 3 mátrix esetén R 3 = R R 1 = R 3 R T 3 = I 3 det(r 3 ) = 1 A fenti tulajdonságokkal rendelkez mátrixok halmazát jelöljük SO(3, R) -el. Az elöz ek alapján {R 1, R } SO(3, R) = R 1 R = R 3 SO(3, R) Mivel nyilván I 3 és R 1 R T is eleme az emlitett halmaznak az SO(3, R) a háromdimenziós, valós háromparaméteres ortogonális, speciál(egységdeterminánsó) csoport. Nem nehéz belátni, hogy azonos tengely menti forgatások az SO(3, R) csoportnak egy abel-féle (kommutativ) alcsoportját alkotják. Általában R(n, α)r(n, β) = R(n, α + β) = R(n, β)r(n, α) R(n 1, α)r(n, β) R(n, β)r(n 1, α) az egymást követ különböz tengelyek körüli forgatások nem komutativak, tehát fontos sorrendjüknek pontos meghatározása A forgásmátrix forgásszögének és forgástengelyének meghatározása Legyen R = R ij ; RR T = I 3 ; det R = 1 tehát egy forgásmátrix, melynek elemeit felirhatnánk R ij (n, ϕ) = δ ij cos ϕ + (1 cos ϕ)n i n j + ε ijk n k sin ϕ

24 1.5. A KOORDINÁTA RENDSZER FOLYTONOS SZIMMETRIATRANSZFORMÁCIÓI7 formában, ha ismernénk a forgatás ϕ szögét és a forgástengely n egységvektorát. Célunk a következ kben, ezen ϕ =? ; n =? mennyiségek meghatározása lesz. Két különböz módszert mutatunk be, amellyel meghatározhatjuk a keresett mennyiségeket. Legyen A egy 3 3 mátrix. 1.megoldás: A = A ij A mátrix átlós elemeinek összege, nyoma, angolul trace-e T r(a), németül spur-ja Sp(A), tehát A ii T r(a) Sp(A) Két azonos tipusu B és C mátrixok esetén B = B ij C = C ij T r(ab) = A ij B ji B ji A ij = T r(ba) Még több mátrix esetén, az elöz höz hasonló módon, könnyen igazolhatjuk, hogy T r(abc) = T r(bca) = T r(cab) stb. Alkalmazva az R(n ϕ) forgásmátrixra T r(r) = R ii = δ ii cos ϕ + (1 cos ϕ)n i n i + ε iik n k sin ϕ = 1 + cos ϕ ahonnan, az elforgatás szögére cos ϕ = T r(r) 1 A forgástengely irányát megadó n egységvektor meghatározásához felhasználjuk azt a tényt, hogy forgatáskor ez a vektor nem változik n n) = R n) = n) = (R I 3 ) n) = 0 tehát n a forgásmátrix sajátvektora. A megfelel sajátérték egységnyi. Az n sajátvektortol még megköveteljük, hogy egységnyi legyen. (n n) = 1 A fenti lineáris homogén (sajátérték-)egyenletrendszernek, akkor és csak akkor van nullátol különböz megoldása, ha det(r I 3 ) = 0 aminek, minden forgásmátrixra teljesülnie kell. A forgástengely egységvektorának komponenseire fenálló feltételek (R ij δ ij )n j = 0 ; n j n j = 1

25 8 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS A bemutatott módszer hátránya, a kivánt {ϕ n 1 n n 3 } mennyiségek egyértelmü meghatározásának körulményes módja. Ezzel a problémával a következ, bemutatott módszernél, nem találkozunk!.megoldás : Kiindulva a forgásmátrix elemeinek R ij (n, ϕ) = δ ij cos ϕ + (1 cos ϕ)n i n j + ε ijk n k sin ϕ konkrét kifejezéséböl, észrevesszük, hogy a jobboldal els két tagja szimmetrikus, az utolsó pedig antiszimmetikus az i és j indexekben. Fennáll az alábbi összefüggés: konkrétan: R ij = ɛ i j k n k sin ϕ R 3 R 3 = n 1 sin ϕ ; R 31 R 13 = n sin ϕ ; R 1 R 1 = n 3 sin ϕ ahonnan n i n i = 1 - b l következik, hogy sin ϕ = ± 1 (R3 R 3 ) + (R 31 R 13 ) + (R 1 R 1 ) A fenti négy egyenlet, egyértelmüen meghatározza a forgásvektort, mivel ϕ nϕ ( n)( ϕ), és az egyidöben történ egységvektor irányitásának és a forgás irányának a megváltoztatása nem változtatja meg a forgást Az Euler szögek ábra Az elforgatott koodináta-rendszert, általános esetben, három paraméterrel jellemezhetjük. Gyakori, az ó.n. Euler szögekkel megadni a három paramétert, amelyeket a következ képpen határozhatunk meg. Elöször az eredeti koordináta rendszert φ szöggel forgatjuk el a 3-as tengely körül alkalmazva az R 3 (φ) forgásmátrixot. Ezt követöen, az igy kapott x 1 x x 3 uj koordináta rendszer x 1 tengelye körül forgatunk θ szöggel alkalmazva az R 1(θ) forgásmátrixot. Majd az igy kapott x 1 x x 3 koordináta- rendszer x 3 tengelye körül forgatunk ψ szöggel az R 3 (ψ) mátrix alkalmazásával. Az eredmény: R(ψ, θ, φ) = R 3 (ψ)r 1 (θ)r 3 (φ) behelyettesítve a megfelel forgás-mátrixokat = cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ R(ψ, θ, φ) = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ cos φ sin φ 0 sin φ cos φ

26 1.5. A KOORDINÁTA RENDSZER FOLYTONOS SZIMMETRIATRANSZFORMÁCIÓI9 A mátrixok szorzása után kapott végeredmény R(ψ, θ, φ) = cos ψ cos φ sin ψ cos θ sin φ cos ψ sin φ + sin ψ cos θ cos φ sin ψ sin θ sin ψ cos φ cos ψ cos θ sin φ sin ψ sin φ + cos ψ cos θ cos φ cos ψ sin θ sin θ sin φ sin θ cos φ cos θ. alkalmazás : A gömbi ϑ polár és χ azimut szögekkel megadott tengely körüli forgatás A forgástengely egysévektorának komponensei: n (n 1, n, n 3 ) = (sin ϑ cos χ, sin ϑ sin χ, cos ϑ) és e körül forgatunk ϕ szöggel. Határozzuk meg a forgatás R(n, ϕ) mátrixát. A mátrix elemei R ij (n, ϕ) = δ ij cos ϕ + (1 cos ϕ)n i n j + ε ijk n k sin ϕ által képezett mátrix cos ϕ 0 0 R(n, ϕ) = 0 cos ϕ 0 + (1 cos ϕ) 0 0 cos ϕ + 0 n 3 n n 3 0 n 1 n n 1 0 sin ϕ n 1 n 1 n 1 n n 1 n 3 n n 1 n n n n 3 n 3 n 1 n 3 n n 3 n 3 Behelyetesitve a tengely n egységvektorának komponenseit és összevonva a jobboldali els és harmadik mátrixot R(n, ϕ) = = R(ϑ, χ, ϕ) = + sin ϕ cos ϕ cos ϑ sin ϕ sin ϑ sin χ sin ϕ cos ϑ sin ϕ cos ϕ sin ϑ cos χ sin ϕ sin ϑ sin χ sin ϕ sin ϑ cos χ sin ϕ cos ϕ sin ϑ cos χ sin χ sin ϑ sin sin χ sin ϑ cos ϑ sin χ sin ϑ cos χ sin ϑ cos χ sin χ sin ϑ cos ϑ cos χ sin ϑ cos ϑ cos χ sin ϑ cos ϑ sin χ cos ϑ Beátható, hogy R(nϕ)n = n, amint az elvárható. 3. alkalmazás + +

27 30 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS???inkább az R R(n, ϕr 1 = R(R n, ϕ) A koordináta rendszer elöször az x 1 tengely körül forgatjuk el α = π 6 szöggel, majd ezt követöen, az??? x tengely körül forgatunk β = π szöggel. Határozzuk meg;; 3 a) A teljes forgatás mátrixát b) Bizonyitsuk be, hogy valoban egy forgásmátrix c) Ha az eredeti koordinátarendszerben egy pont helyzetvektora (x = (1,, 3), határozzuk meg a vektor komponenseit az uj, elforgatott koordinatarendszerben. d) a teljes forgatás szögét e) a forgástengely egységvektorának komponenseit. Megoldás a) Az els forgatás mátrixa R (1) (α) és az ezt követ, második forgatás mátrixa R (1) (α)r () (β)r 1 (1) (α). A teljes forgatás mátrixa R (1) (α)r () (β) lesz. Tehát: R = R (1) (α)r () (β) = = cos α sin α sin α cos α = cos β 0 sin β sin β 0 cos β = b) Forgatás esetén, a mátrix inverze, meg kell egyezzen annak transzponáltjával RR T = = I Tehát a transzponált mátrix, inverz mátrix és eleme az SO(3R) csoportnak. c) A forgatás során kelletkez uj ket-vektor x ) = R x) [1 3 3]/ x 1 x x 3 = = [ ]/4 [ ]/4 Ellenörzésképpen igazoljuk, hogy forgatáskor a vektor hossza nem változik, tehát (x x) = (x x ) = 14. Ismét megemlitjük, hogy két vektor forgatásakor változatlan marad azok skaláris szorzata, tehát a kettejük közötti szög is. d) A második módszert alkalmazva sin ϕ = 1 (R3 R 3 ) + (R 31 R 13 ) + (R 1 R 1 )

28 1.6. FORGATÁSOK.VERZIÓ 31 Az értékek behelyetesitése után: sin ϕ = 1 3( = , ahonnan ϕ = o. 8 e) A forgástengely egységvektorai, sorra: n 1 = R 3 R 3 sin ϕ = n = R 31 R 13 sin ϕ = n 3 = R 1 R 1 sin ϕ = Forgatások.verzió Egy P pont helyzetvektora a háromdimenziós E 3 euklideszi térben, a K(O, e 1, e, e 3 ) koordináta-rendszerben x = x j e j, ahol a {e 1, e, e 3 } ortonormált bázisvektorok esetén e i e j = δ ij és e i e j = ε ijk e k Választva egy másik, az el z höz képest elforgatott K (O, e 1, e, e 3) koordinátarendszert, ugyanannak a P pontnak a helyzetvektora : x = x ie i. A kapcsolat az új {x 1, x, x 3} és a régi {x 1, x, x 3 } koordináták között, az összefüggés alapján : x = x j e j = x ie i x i = e i e j x j R ij x j Ha a K koordináta rendszert ϕ szöggel van elforgatva a K-hoz képest az n verszor által megadott tengely körül, akkor R ij = R ij (n, ϕ) A következ kben megadjuk a e j bázis vektorok elforgatásából kapott új e i bázisvektorokat, amelyekkel meghatározhatjuk az R ij e i e j együtthatókat. Az OB b vektor ϕ szöggel való forgatás után az OB b vektor (lásd az ábrát) lesz. Az a OA = (b n)n és b = a + AB, b = a + AB = (b n)n + AB. Belátható, hogy AB = AB mivel forgatáskor a forgástengelyt l mért távolság nem változik. Bevezetjük az u = AB AB és a v = n u mer leges egységvektorokat. Látható, hogy AB = AB (cos ϕu + sin ϕv) = cos ϕab + n AB sin ϕ Mivel AB = b a = b (b n)n Tehát AB = cos ϕb cos ϕ(b n)n + n b sin ϕ b = a+ab = (b n)n+cos ϕb cos ϕ(b n)n+n b = cos ϕb+(1 cos ϕ)(b n)n+n b sin ϕ.

29 3 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS Legyen b e i, következik, hogy : e i = cos ϕe i + (1 cos ϕ)n i n + n e i sin ϕ R ij (n, ϕ) = e i e j = cos ϕδ ij + (1 cos ϕ)n i n j + e j (e k e i )n k sin ϕ. Tehát a végeredmény : R ij (n, ϕ) = cos ϕδ ij + (1 cos ϕ)n i n j + ε ijk n k sin ϕ R ij (n, ϕ) e i e j = cos ϕδ ij + (1 cos ϕ)n i n j + ε ijk n k sin ϕ, Hasonlóan : x 1 x = x = x) ket-vektor x x) = x x 1 + x 3 0 = x i e i ) x = (x 1, x, x 3 ) (x ú.n.bra-vektor (x = x 1 (1, 0, 0)+x (0, 1, 0)+x 3 (0, 0, 1) = x i (e i. (1.) ahol : x) T (x (x T x), x x = x i (x x). A bázis vektorok ortonormáltsága és teljessége : (e i e j ) = δ ij, e i )(e i = I egységmátrix (1.3) Az R ij együtthatókból alkotott R(n, ϕ) = R 11 R 1 R 13 R 1 R R 3 R 31 R 3 R 33 ú.n. forgásmátrix segítségével az elforgatott koordonáta-rendszerben a vektor komponenseit röviden az alábbi módon x ) = R(n, ϕ) x), vagy (x = (x R T (n, ϕ) számoljuk. Mivel a vektor nagysága forgatása során nem változik x = (x i ) = (x x) = (x x ) invariáns, és innen : (x x ) = (x R T R x) = (x x) R T R = I 3 R T = R 1.

30 1.6. FORGATÁSOK.VERZIÓ 33 R T R = I 3 = R T ikr kj = I 3ij = R ki R kj = δ ij Tehát az R mátrix oszlopai ortonormált rendszert alkot.hasonlóan RR T = I 3 = R ik R T kj = R ik R jk = δ ij, ami azt jelkenti, hogy a sorok is ortonormáltak (ortogonális transzfonació). Ugyancsak a fenti tulajdonságból következik, hogy a det(r) = ±1. Legyen két tetsz leges R (1), R () forgatás, azaz R (1)T R (1) = R ()T R () = I 3 akkor belátható, hogy R (3) = R () R (1) szintén egy forgatás mivel R (3)T R (3) = I 3. Egy háromkomponens v = v i e i mennyiség vektor ha komponenseinek transzformációja a koordonáta-rendszer forgatásakor : v i = R ij v j. A skalár mennyiségek értéke nem változik a koordináta-rendszer elforgatásakor. Ha x, y, z,... vektorok komponenseib l képezhetünk számtalan módon egy kétindex T ij i, j ε (1,, 3) mennyiséget például a következ módon : T ij = αx i x j + βy i z j ahol α, β,... invariáns skalármennyiségek. A koordonáta-rendszer elforgatásakor az alábbi módon transzformálódnak : T ij = R ik R jl T kl Az így transzformálodó mennyiségeket másodrend hármastenzornak nevezzük. Mivel R ik R il = δ kl, ezért T ii = T kk invariáns (skalár) Legyen A ij és B ij két másodrend hármastenzor. Ezek lineáris kombinácioja szintén egy másodrend tenzor :αa ij + βb ij = C ij. Másodrend tenzort másképpen is kaphatunk :A ij B jk = D ik. A δ ij is egy másodrend, invariáns tenzor, ugyanis : δ ij = R ik R jl δ kl = R ik R jk = δ ij Az innitezimális elforgatások Nagyon kis abszolut értékü, forgásszög esetén 1 ϕ δϕ ; δϕ 1; az alábbi, els rendü, megközelitéseket tehetjük cos δϕ 1 ; sin δϕ δϕ

31 34 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS A forgásmátrix elemei ebben a közelitésben Rij(n, δϕ) δ ij + ε ijk n k δϕ és a koordináta transzformációk x i = R ij x j = x i + ε ijk x j n k δϕ ahonnan következik, hogy δx i x i x i = ε ijk x j n k δϕ vektoriális formában, mivel nδϕ δϕ δx = x nδϕ δx = x δϕ Elosztva az egyenletet δt-vel és bevezetve a δx δt v ; jelöléseket ( a v sebességre és az ω szögsebességre ),következik hogy: δϕ δt ω = v = x ω Itt fontos megjegyezni,hogy a koordinátarendszert forgatom, amennyiben az anyagi pont forogna a koordinátarendszerhez képest akkor: v = ω x Az elforgatások generátorai Bevezetjük a következ mátrixokat I k = iε kij = (I k ) ij ; amelyeket az innitezimális elforgatás-transzformáció generátorainak nevezzük. Felhasználva a Levi-Civita szimbolum értékeit, a generátorok konkrét alakja: I 1 = i 0 i 0 I = 0 0 i i 0 0 I 3 = 0 i 0 i A generátorok tulajdonságainak vizsgálatához, szükségünk van a komutátor fogalmának a felhasználására. Legyen adott a következ három A, B, C azonos tipusu, négyzetes mátrix. Az A és B mátrixok komutátora [A, B] AB BA [B, A]

32 1.6. FORGATÁSOK.VERZIÓ 35 anti-komutativ kifejezés. Könnyen beláthatok a fenti mellett, még a következ alaptulajdonság is fenáll, tetszöleges α és β állandók esetén: [αa + βb, C] = α[a, C] + β[b, C] Az olvasora bizuk a következ egynlöségek igazolását és kifejezések kiszámitását: 4a.feladat 4b.feladat [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B 4c.feladat [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C Igazoljuk a Jacobi azonosságot [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 5a.feladat A (4a) és (4b) alapján számitsuk ki: 5b.feladat 5c.feladat kifejezéseket. Kiszámitva a generátorok komutátorait [AB, CD] = [A, B] = 1 [(A) n, B] = [A, B] = 1 [f(a), B] = [I 1, I ] = ii 3 ; [I, I 3 ] = ii 1 ; [I 3, I 1 ] = ii röviden, az alábbi formákban foglalhatjuk össze: [I i, I j ] = iε ijk I k I I = ii A generátorok komutátorait, minden folytonos Lie-csoport esetén, felirhatjuk a generátorok lineáris kombináciojaként. A generátorok közötti, eképpen létrejött összefüggések, alkotják a Lie-algebrát. A jobboldalon lév generátorok lineáris kombinációjának egyutthatói az u.n. struktura állandók, amelyek között a Jacobi azonosság következtében levezethet a következ összefüggés ε ijk ε klm + ε jlk ε kim + ε lik ε kjm = 0 Az innitezimális, háromdimenzios forgatás kifejezése, a generátorok, valamint az innitezimális δϕ = nδϕ = ( n)( δϕ) = δϕ i e i forgási paraméterek segitségével, felirható az alábbi formában: R(n, δϕ) = I 3 + ii k n k δϕ = I 3 + ii nδϕ = I 3 + ii δϕ

33 36 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS Fennállnak az alábbi összefüggések 0 n 3 n n I = i n 3 0 n 1 n n 1 0 (n I) = I 3 n 1 n 1 n 1 n n 1 n 3 n n 1 n n n n 3 n 3 n 1 n 3 n n 3 n 3 ahol (I n) antiszimmetrikus, az (I n) pedig szimmetrikus mátrixok. Az elöz k fontos következménye: (n I) 3 = n I A forgásmátrix el állítása exponenciális alakban A forgatás " végtelen kis" δϕ szögét irhatjuk δϕ = ϕ N ; N formában. A megfelel forgásmátrix: R(n, ϕ N ) = I 3 + ii n ϕ N melynek egymásutáni N-szeri alkalmazása megadja a véges ϕ szöggel történ forgatás mátrixát, mivel mint láttuk, az adott tengely körüli egymásutáni forgatások forgásszögei összeadódnak. R(n, ϕ) = lim 3 + ii n ϕ N N ) (I 3 + ii n ϕ N ) = lim 3 N }{{} + ii n ϕ N )N N Az eredmény R(n, ϕ) = exp (ii nϕ) viszonylag egyszer formában megadja, a generátorok felhasználásával, a forgatás mátrixát. Bizonyitsuk be, hogy ez a kifejezés megegyezik a forgásmátrixra elöz leg már kapott eredménnyel. Elvégezve az exponenciális függvény Taylor sorba történ kifejtését. exp (ii nϕ) = I ! (ii nϕ) + 1! (ii nϕ) + 1 3! (ii nϕ) ! (ii nϕ)4 + = = I 3 + i 1 1! I nϕ 1! (I n) ϕ i 1 3! (I n)3 ϕ ! (I n)4 ϕ 4 + i 1 5! (I n)5 ϕ 5 1 6! (I n)6 ϕ 6 i 1 7! (I n)7 ϕ Alkalmazva az elöz leg megadott (n I) 3 = n I összefüggést és elvégezve a megfelel csoportosítást: [ ] ϕ exp (ii nϕ) = I 3 + i(i n) 1! ϕ3 3! + ϕ5 5! ϕ7 7!

34 1.6. FORGATÁSOK.VERZIÓ 37 [ ] + (I n) ϕ! + ϕ4 4! ϕ6 6! +... felismerjük, hogy a szögletes zárojelbeli kifejezéesek, a sin ϕ ill. a cos ϕ 1 sorfejtései és az eredmény: R(n, ϕ) = exp (ii nϕ) = I 3 + i(i n) sin ϕ (I n) (1 cos ϕ) A kapott kifejezés, formailag még nem hasonlit a forgásmátrix ismert alakjához, azonban felhasználva az elözöleg már megadott I n és (I n) mátrixok elemeit (I n) ij = iε ijk n k (I n) ij = δ ij n i n j visszakapjuk a forgásmátrix elemeinek R ij = δ ij cos ϕ + (1 cos ϕ)n i n j + ε ijk n k sin ϕ jolismert kifejezésével. Javasoljuk, az olvasónak, hogy igazolja a 6a.feladat (I m)(i n) = (m n)i 3 n m valamint a 6b.feladat összefüggéseket és adja meg a 7a.feledat 7b.feladat (I m)(i n)(i p) = exp(iαi 3 )I 1 exp( iαi 3 ) = exp(iαi 3 ) exp(iβi 1 ) exp( iαi 3 ) = kifejezéseket A forgatások ábrázolása A kétdimenziós ábrázolás Az SO(3, R) háromdimenzios ortogonális valos speciál forgáscsoport elemei 3 3-as mátrixok. Célunk, minden három folytonos paramétert tartalmazó, 3 3-as ortogonális mátrixnak olyan -es mátrixot megfeleltetni, amely megörzi a csoport tulajdonságait, másszóval a háromdimenziós ábrázolást egy kétdimenziós ábrázolással váltjuk fel. A forgáscsoport lineáris ábrázolásának általános elméletét a függelékben fogjuk részletesen kifejteni. Bevezetjük a következ három -es tipusu, u.n. Pauli mátrixokat σ 1 = ( ) σ = ( 0 i i 0 ) σ 3 = ( )

35 38 1. FEJEZET. ISMÉTLÉS melyeknek fontosabb tulajdonságainak megadása elött emlékeztetünk arra, hogy egy négyzetes A = A jk mátrix transzponáltját (A T ) és komplex konjugáltját (A ) a mátrix adjungáltjának (A ) nevezzük: A T A. Amenyiben a mátrix megegyzik annak adjungáltjával, vagyis A = A A jk = A kj, akkor a mátrixot önadjungált-nak, vagy másképpen hermitikus-nak nevezzük. Amenyiben a mátrix adjungáltja megegyezik a mátrix inverzével A = A 1, akkor a mátrixot unitér-nek nevezzük. Megjegyezzük, hogy a forgatás ortogonális transzformáció-ját megadó valos mátrixok is unitér-ek. A Pauli-mátrixok átlos elemeinek összege nulla, determinánsa 1 és hermitikusak, tehát: T r(σ i ) = 0 det(σ i ) = 1 σ T i σ i = σ i i (1,, 3) A közöttük fennálló összefüggések általános kifejezése: amiböl következik, hogy σ i σ j = I δ ij + iε ijk σ k σ i σ j + σ j σ i {σ i, σ j } = δ ij I σ i σ j σ j σ i [σ i, σ j ] = iε ijk σ k Az elöz összefüggés következménye T r(σ i σ j ) = δ ij Javasoljuk, az alábbi kifejezések kiszámitását 8a.feladat T r(σ i σ j σ k ) = 8b.feladat T r(σ i σ j σ k σ l ) = és egyenlöségek igazolását 9a.feladat (a σ)(b σ) = a bi + i(a b) σ (a σ) = a I 9b.feladat [ σi, σ ] j σ k = iε ijk Vegyük észre, hogy a fenti összefüggések megegyeznek a forgáscsoport háromdimenziós ábrázolásának, generátorai közötti Lie-algebrával.Tehát az analogia folytán, a kétdimenziós ábrázolás generátorai I i σ i A -es mátrixokkal megadott(ábrázolt) generátorok, lehetövé teszik a forgás kétdimenziós ábrazolását, exponenciális formában. R(n, ϕ) = exp (in Iϕ) R(n, ϕ) = exp (in σ ϕ )

36 1.6. FORGATÁSOK.VERZIÓ 39 Fejtsük ki a forgáscsoport, kétdimenziós exponenciális ábrázolását. R(n, ϕ) = exp (in σ ϕ ) = I + 1 1! (in σ ϕ ) + 1! (in σ ϕ ) + 1 3! (in σ ϕ )3 + Alkalmazva az alábbi összefüggéseket (n σ) j = I ; (n σ) j+1 = n σ ; j (0, 1,, 3,... ) elvégezhetjük a tagok megfelel csoportositását R(n, ϕ) = I (1 1! (ϕ ) + 1 ) ( 4! (ϕ )4 + i(n σ) 1 1 1! (ϕ ) + 1 ) 3! (ϕ )3 A zárojelekben lév kifejezések a cos ϕ ill. a sin ϕ végeredmény: függvények Taylor sorfejtései, ezért a R(n, ϕ) = I cos ϕ + i(n σ) sin ϕ Behelyetesítve a Pauli-mátrixok konkrét formáit a forgatás kétdimenziós unitér alakja cos ϕ + in 3 sin ϕ (in 1 + n ) sin ϕ R(n, ϕ) = (in 1 n ) sin ϕ cos ϕ in 3 sin ϕ mátrix Alapvet tulajdonságai: R = R 1 ; T rr = cos ϕ ; det R = 1, tehát kétdimenziós, unitér, egységnyi determinánsu (speciális) mátrix. Ezek a mátrixok alkotják az u.n.su() csoportot. Tehát R SU(), ami azt jelenti, hogy az SO(3, R) forgáscsoport homomorf az SU() csoportal. Lényeges megemlítemünk, hogy R(n, π) = = I és nem I. Ez azt jelenti, hogy R(n, ϕ) ± R(n, ϕ) összefüggés van a három- és két- dimenziós ábrázolások között. A forgástengelyeket az egyes koordináta tengelyek irányában választva, a megfelel kétdimenziós forgásmátrixok: n (1, 0, 0) R 1 (α) = cos α i sin α i sin α cos α n (0, 1, 0) R (β) = cos β sin β sin β cos β