Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László

Átírás

1 Logika kiskáté Mihálydeák Tamás és Aszalós László Definíciók 1. Adja meg a klasszikus nulladrendű nyel definícióját! Klasszikus nulladrendű nyelen az L (0) = LC, Con, F orm rendezett hármast értjük, ahol LC = {,,,,, (, )} (a nyel logikai konstansainak halmaza). Con a nyel nemlogikai konstansainak (állítás- agy kijelentés-paramétereinek) legfeljebb megszámlálhatóan égtelen halmaza. Az LC Con =. A nyel formuláinak a halmazát, azaz a F orm halmazt az alábbi induktí definíció adja meg: Con F orm Ha A F orm, akkor A F orm. Ha A, B F orm, akkor (A B) F orm, (A B) F orm, (A B) F orm, (A B) F orm. 2. (2 pont) Adja meg a nulladrendű atomi formula definícióját! Ha L (0) egy nulladrendű nyel (azaz L (0) = LC, Con, F orm ), akkor Con halmaz elemeit nulladrendű atomi formuláknak agy nulladrendű prímformuláknak neezzük. 3. (4 pont) Adja meg a részformula definícióját a nulladrendű nyelben! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy tetszőleges nulladrendű nyel, A F orm pedig a nyel tetszőleges formulája. Az A formula részformuláinak halmaza az a legszűkebb halmaz [jelölés: RF (A)], amelyre teljesül, hogy A RF (A), azaz az A formula részformulája önmagának; ha B RF (A), akkor B RF (A); ha (B C) RF (A), akkor B, C RF (A); 1

2 Logika kiskáté MI, GI 2/33 ha (B C) RF (A), akkor B, C RF (A); ha (B C) RF (A), akkor B, C RF (A); ha (B C) RF (A), akkor B, C RF (A). 4. (4 pont) Adja meg a közetlen részformula definícióját a nulladrendű nyelben! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy tetszőleges nulladrendű nyel. Ha A atomi formula (azaz A Con), akkor nincs közetlen részformulája; A egyetlen közetlen részfomulája A; Az (A B), (A B), (A B), (A B) formulák közetlen részformulái az A és a B formulák. 5. (4 pont) Adja meg a részformula definícióját a közetlen részformula segítségéel nulladrendű nyelben! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy tetszőleges nulladrendű nyel, A F orm pedig a nyel tetszőleges formulája. Egy A formula részformuláinak halmaza az a legszűkebb halmaz [jelölés: RF (A)], amelyre teljesül, hogy A RF (A), (azaz az A formula részformulája önmagának); ha A RF (A) és B közetlen részformulája A -nek, akkor B RF (A) (azaz, ha egy A formula részformulája A-nak, akkor A összes közetlen részformulája is részformulája A-nak). 6. (4 pont) Adja meg a szerkezeti fa definícióját nulladrendű nyel esetén! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy tetszőleges nulladrendű nyel, A F orm pedig a nyel tetszőleges formulája. Az A formula szerkezeti fáján egy olyan éges rendezett fát értünk, amelynek csúcsai formulák, gyökere az A formula, B alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula, (B C), (B C), (B C), (B C) alakú csúcsainak két gyermekét a B, illete a C formulák alkotják, leelei prímformulák (atomi formulák). 7. (2 pont) Adja meg a nulladrendű logika interpretációjának definícióját! A ϱ függényt az L (0) = LC, Con, F orm nulladrendű nyel egy interpretációjának neezzük, ha

3 Logika kiskáté MI, GI 3/33 Dom(ϱ) = Con Ha p Con, akkor ϱ(p) {0, 1}. 8. (6 pont) Adja meg a formula szemantikai értékének definícióját nulladrendű logika esetén (azaz adja meg nulladrendű logika szemantikai szabályait)! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, és ϱ egy nulladrendű interpretáció. Az A F orm formula ϱ interpretáció szerinti szemantikai értékét a köetkező szabályok határozzák meg (jelölés: A ϱ jelöli az A formula ϱ interpretáció szerinti értékét): Ha p Con, akkor p ϱ = ϱ(p) Ha A F orm, akkor A ϱ = 1 A ϱ. Ha A, B F orm, akkor { 0, ha A ϱ = 1 és B (A B) ϱ = ϱ = 0 1, egyébként { 1, ha A ϱ = 1 és B (A B) ϱ = ϱ = 1 0, egyébként. { 0, ha A ϱ = 0 és B (A B) ϱ = ϱ = 0 1, egyébként. { 1, ha A ϱ = B (A B) ϱ = ϱ 0, egyébként. 9. (2 pont) Adja meg a formulahalmaz modelljének definícióját nulladrendű logika esetén! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel és Γ F orm egy tetszőleges formulahalmaz. A ϱ interpretáció nulladrendű modellje a Γ formulahalmaznak, ha minden A Γ esetén A ϱ = (2 pont) Adja meg a formula modelljének definícióját nulladrendű logika esetén! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel és A F orm egy tetszőleges formula. Az A formula modelljén az {A} egyelemű formulahalmaz modelljét értjük. 11. (2 pont) Adja meg a formulahalmaz kielégíthetőségének definícióját nulladrendű logika esetén! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel és Γ F orm egy tetszőleges formulahalmaz. A Γ fomulahalmaz kielégíthető, ha an modellje. 12. (2 pont) Adja meg a formula kielégíthetőségének definícióját nulladrendű logika esetén!

4 Logika kiskáté MI, GI 4/33 Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel és A F orm egy tetszőleges formula. Az A formula kielégíthető, ha az {A} formulahalmaz kielégíthető. 13. (2 pont) Adja meg a formulahalmaz kielégíthetetlenségének definícióját nulladrendű logika esetén! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel és Γ F orm egy tetszőleges formulahalmaz. Az Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, ha nem kielégíthető, azaz nincs modellje. 14. (2 pont) Adja meg a formula kielégíthetetlenségének definícióját nulladrendű logika esetén! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel és A F orm egy tetszőleges formula. Az A formula kielégíthetetlen, ha az {A} formulahalmaz kielégíthetetlen. 15. (2 pont) Adja meg a formulahalmaz logikai köetkezményének definícióját nulladrendű logika esetén! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, Γ F orm egy tetszőleges formulahalmaz, és A F orm egy formula. A Γ formulahalmaznak logikai köetkezménye az A formula, ha a Γ { A} formulahalmaz kielégíthetetlen. Jelölés: Γ = A 16. (2 pont) Adja meg a formula logikai köetkezményének definícióját nulladrendű logika esetén! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel és A, B F orm két tetszőleges formula. Az A formulának logikai köetkezménye a B formula, ha a {A} = B. Jelölés: A = B 17. (2 pont) Adja meg az érényesség definícióját nulladrendű logika esetén! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, és A F orm egy formula. Az A formula érényes, ha = A, azaz ha az A formula logikai köetkezménye az üres halmaznak. Jelölés: = A 18. (2 pont) Adja meg a formulák logikai ekialenciájának definícióját nulladrendű logika esetén! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, és A, B F orm két formula. Az A és a B formula logikailag ekialens, ha A = B és B = A. Jelölés: A B 19. (4 pont) Adja meg a zárójelelhagyási konenciókat nulladrendű nyel esetén!

5 Logika kiskáté MI, GI 5/33 A legkülső zárójelpár mindig elhagyható. A kétargumentumú logikai konstansok elsőbbségi (precedencia) sorrendje:,,, A negáció erősebb bármely kétargumentumú logikai konstansnál. Az azonos kétargumentumú logikai konstansok egymás közötti elsőbbségét a balról jobbra szabály rendezi: először mindig a bal oldali formulát tekintjük külön műeleti komponensnek. 20. (2 pont) Adja meg a literál definícióját! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel. Ha p Con, akkor a p, p formulákat literálnak neezzük. A p, p literálok esetén a p paramétert a literál alapjának neezzük. 21. (2 pont) Adja meg az elemi konjunkció definícióját! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel. Ha az A F orm formula literál agy különböző alapú literálok konjunkciója, akkor A-t elemi konjunkciónak neezzük. 22. (2 pont) Adja meg az elemi diszjunkció definícióját! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel. Ha az A F orm formula literál agy különböző alapú literálok diszjunkciója, akkor A-t elemi diszjunkciónak neezzük. 23. (2 pont) Adja meg a diszjunktí normálforma definícióját! Egy elemi konjunkciót agy elemi konjunkciók diszjunkcióját diszjunktí normálformának neezzük. 24. (2 pont) Adja meg a konjunktí normálforma definícióját! Egy elemi diszjunkciót agy elemi diszjunkciók konjunkcióját konjunktí normálformának neezzük. 25. (4 pont) Adja meg az axiómaséma definícióját nulladrendű kalkulus esetén! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel (a klasszikus állításlogika nyele). A nulladrendű kalkulus (klasszikus állításkalkulus) axiómasémái (alapsémái): (A1) A (B A) (A2) (A (B C)) ((A B) (A C)) (A3) ( A B) (B A)

6 Logika kiskáté MI, GI 6/ (2 pont) Adja meg a axiómaséma szabályos behelyettesítésének definícióját! Az axiómaséma szabályos behelyettesítésén olyan formulát értünk, amely az axiómasémából a benne szereplő betűk tetszőleges formuláal aló helyettesítése útján jön létre. 27. (2 pont) Adja meg az axióma definícióját nulladrendű kalkulus esetén! A nulladrendű kalkulus (klasszikus állításkalkulus) axiómái az axiómasémák szabályos behelyettesítései. 28. (4 pont) Adja meg a formulahalmaz szintaktikai köetkezményének definícióját nulladrendű kalkulus esetén! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, Γ F orm egy tetszőleges formulahalmaz. A Γ formulahalmaz szintaktikai köetkezményeinek induktí definíciója: Bázis: Ha A Γ, akkor Γ A. Ha A axióma, akkor Γ A. Szabály (leálasztási szabály): Ha Γ B, és Γ (B A), akkor Γ A. 29. (2 pont) Adja meg a formula szintaktikai köetkezményének definícióját nulladrendű kalkulus esetén! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel és A, B F orm két tetszőleges formula. Az A formulának szintaktikai köetkezménye a B formula, ha {A} B. Jelölés: A B 30. (2 pont) Adja meg az inkonzisztens formulahalmaz definícióját nulladrendű kalkulus esetén! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel és Γ F orm egy tetszőleges formulahalmaz. A Γ formulahalmaz inkonzisztens, ha Cns(Γ) = F orm. 31. (2 pont) Adja meg az inkonzisztens formula definícióját nulladrendű kalkulus esetén! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel és A F orm egy tetszőleges formula. Az A formula inkonzisztens, ha Cns({A}) = F orm. 32. (2 pont) Adja meg a konzisztens formulahalmaz definícióját nulladrendű kalkulus esetén!

7 Logika kiskáté MI, GI 7/33 Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel és Γ F orm egy tetszőleges formulahalmaz. A Γ formulahalmaz konzisztens, ha nem inkonzisztens. 33. (2 pont) Adja meg a konzisztens formula definícióját nulladrendű kalkulus esetén! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel és A F orm egy tetszőleges formula. Az A formula konzisztens, ha nem inkonzisztens. 34. (2 pont) Adja meg a leezethető formula definícióját! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, és A F orm egy formula. Az A formula leezethető, ha A, azaz ha az A formula szintaktikai köetkezménye az üres halmaznak. Jelölés: A 35. (2 pont) Adja meg a szekencia definícióját! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, Γ F orm egy formulahalmaz és A F orm egy formula. Ha az A formula szintaktikai köetkezménye a Γ formulahalmaznak, akkor a Γ A jelsorozatot szekenciának neezzük. 36. (8 pont) Adja meg a természetes leezetés által bizonyítható köetkezményrelációk definícióját nulladrendű kalkulus esetén (azaz adja meg a természetes leezetés által bizonyítható szekenciák definícióját)! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, Γ, F orm és A, B, C F orm. A természetes leezetés által az L (0) nyelben bizonyítható köetkezményrelációk P rnd halmazát az alábbi induktí definíció adja meg: Bázis: Γ, A A P rnd. Szabályok: Strukturális szabályok: Ha Γ A P rnd, akkor Γ, B A P rnd. Ha Γ, B, B, A P rnd, akkor Γ, B, A P rnd. Ha Γ, B, C, A P rnd, akkor Γ, C, B, A P rnd. Ha Γ A P rnd és,, A B P rnd, akkor Γ B P rnd. Logikai szabályok: Ha Γ, A B P rnd, akkor Γ (A B) P rnd.

8 Logika kiskáté MI, GI 8/33 Ha Γ A P rnd és Γ (A B) P rnd, akkor Γ B P rnd. Ha Γ, A B P rnd és Γ, A B P rnd, akkor Γ A P rnd. Ha Γ A P rnd, akkor Γ A P rnd. Ha Γ A P rnd és Γ B P rnd, akkor Γ (A B) P rnd. Ha Γ, A, B C P rnd, akkor Γ, (A B) C P rnd. Ha Γ A P rnd, akkor Γ (A B) P rnd. Ha Γ B P rnd, akkor Γ (A B) P rnd. Ha Γ, A C P rnd és Γ, B C P rnd, akkor Γ, (A B) C P rnd. Ha Γ, A B P rnd és Γ, B A P rnd, akkor Γ (A B) P rnd. Ha Γ A P rnd és Γ (A B) P rnd, akkor Γ B P rnd. Ha Γ B P rnd és Γ (A B) P rnd, akkor Γ A P rnd. 37. (8 pont) Adja meg a klasszikus elsőrendű nyel definícióját! Klasszikus elsőrendű nyelen az rendezett ötöst értjük, ahol L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm LC = {,,,,, =,,, (, )} (a nyel logikai konstansainak halmaza). V ar (= {x n n = 0, 1, 2,...}) a nyel áltozóinak megszámlálhatóan égtelen halmaza. Con = n=0 (F(n) P(n)) a nyel nemlogikai konstansainak legfeljebb megszámlálhatóan égtelen halmaza. F(0) a néparaméterek (nékonstansok), F(n) az n argumentumú (n = 1, 2,...) függényjelek (műeleti jelek), P(0) az állításparaméterek (állításkonstansok), P(n) az n argumentumú (n = 1, 2,...) predikátumparaméterek (predikátumkonstansok) halmaza. Az LC, V ar, F(n), P(n) halmazok (n = 0, 1, 2,...) páronként diszjunktak. A nyel terminusainak a halmazát, azaz a T erm halmazt az alábbi induktí definíció adja meg: V ar F(0) T erm Ha f F(n), (n = 1, 2,...), és t 1, t 2,..., t n T erm, akkor f(t 1, t 2,..., t n ) T erm. A nyel formuláinak a halmazát, azaz a F orm halmazt az alábbi induktí definíció adja meg: P(0) F orm

9 Logika kiskáté MI, GI 9/33 Ha t 1, t 2 T erm, akkor (t 1 = t 2 ) F orm Ha P P(n), (n = 1, 2,...), és t 1, t 2,..., t n T erm, akkor P (t 1, t 2,..., t n ) F orm. Ha A F orm, akkor A F orm. Ha A, B F orm, akkor (A B), (A B), (A B), (A B) F orm. Ha x V ar, A F orm, akkor xa, xa F orm. 38. (4 pont) Adja meg az elsőrendű atomi formula definícióját! Ha L (1) egy elsőrendű nyel (azaz L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm ), akkor az elsőrendű atomi formulák halmazát (jelölés: AtF orm) az alábbi induktí definíció adja meg: P(0) AtF orm Ha t 1, t 2 T erm, akkor (t 1 = t 2 ) AtF orm Ha P P(n), (n = 1, 2,...), és t 1, t 2,..., t n T erm, akkor P (t 1, t 2,..., t n ) AtF orm. 39. (6 pont) Adja meg az elsőrendű nyel részformuláinak definícióját! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy tetszőleges elsőrendű nyel, A F orm pedig a nyel tetszőleges formulája. Az A formula részformuláinak halmaza az a legszűkebb halmaz [jelölés: RF (A)], amelyre teljesül, hogy A RF (A), azaz az A formula részformulája önmagának; ha B RF (A), akkor B RF (A); ha (B C) RF (A), akkor B, C RF (A); ha (B C) RF (A), akkor B, C RF (A); ha (B C) RF (A), akkor B, C RF (A); ha (B C) RF (A), akkor B, C RF (A); ha xb RF (A), akkor B RF (A); ha xb RF (A), akkor B RF (A). 40. (4 pont) Adja meg a közetlen részformula definícióját az elsőrendű nyelben! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy tetszőleges elsőrendű nyel. Ha A elsőrendű atomi formula, akkor nincs közetlen részformulája; A egyetlen közetlen részfomulája A; Az (A B), (A B), (A B), (A B) formulák közetlen részformulái az A és a B formulák.

10 Logika kiskáté MI, GI 10/33 xa egyetlen közetlen részformulája A; xa egyetlen közetlen részformulája A. 41. (4 pont) Adja meg a részformula definícióját közetlen részformulák segítségéel elsőrendű nyel esetén! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy tetszőleges elsőrendű nyel, A F orm pedig a nyel tetszőleges formulája. Egy A formula részformuláinak halmaza az a legszűkebb halmaz [jelölés: RF (A)], amelyre teljesül, hogy A RF (A), (azaz az A formula részformulája önmagának); ha A RF (A) és B közetlen részformulája A -nek, akkor B RF (A) (azaz, ha egy A formula részformulája A-nak, akkor A összes közetlen részformulája is részformulája A-nak). 42. (4 pont) Adja meg a szerkezeti fa definícióját elsőrendű nyel esetén! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy tetszőleges elsőrendű nyel, A F orm pedig a nyel tetszőleges formulája. Az A formula szerkezeti fáján egy olyan éges rendezett fát értünk, amelynek csúcsai formulák, gyökere az A formula, B alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula, (B C), (B C), (B C), (B C) alakú csúcsainak két gyermekét a B, illete a C formulák alkotják, xb alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula, xb alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula, leelei prímformulák (atomi formulák). 43. (4 pont) Adja meg a formula szabad áltozói halmazának definícióját! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, és A F orm egy formula. Az A formula szabad áltozóinak F reev ar(a)-al jelölt halmazát az alábbi induktí definíció adja meg: Ha A atomi formula (azaz A AtF orm), akkor a F reev ar(a) halmaz elemei az A formulában előforduló áltozók. Ha az A formula B alakú, akkor F reev ar(a) = F reev ar(b). Ha az A formula (B C), (B C), (B C) agy (B C) alakú, akkor F reev ar(a) = F reev ar(b) F reev ar(c). Ha az A formula xb agy xb alakú, akkor F reev ar(a) = F reev ar(b) \ {x}.

11 Logika kiskáté MI, GI 11/ (4 pont) Adja meg a formula kötött áltozói halmazának definícióját! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, és A F orm egy formula. Az A formula kötött áltozóinak BoundV ar(a)-al jelölt halmazát az alábbi induktí definíció adja meg: Ha A atomi formula (azaz A AtF orm), akkor a BoundV ar(a) =. Ha az A formula B alakú, akkor BoundV ar(a) = BoundV ar(b). Ha az A formula (B C), (B C), (B C) agy (B C) alakú, akkor BoundV ar(a) = BoundV ar(b) BoundV ar(c). Ha az A formula xb agy xb alakú, akkor BoundV ar(a) = BoundV ar(b) {x}. 45. (2 pont) Adja meg a áltozó szabad előfordulásának definícióját! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, A F orm egy formula és x V ar egy áltozó. Az x áltozó alamely A-beli előfordulását szabadnak neezzük, ha a tekintett előfordulás nem esik az A formula alamely xb agy xb alakú részformulájába. 46. (2 pont) Adja meg a áltozó kötött előfordulásának definícióját! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, A F orm egy formula és x V ar egy áltozó. Az x áltozó alamely A-beli előfordulását kötöttnek neezzük, ha a tekintett előfordulás nem szabad előfordulás. 47. (4 pont) Adja meg a zárójelelhagyási konenciókat elsőrendben! A legkülső zárójelpár mindig elhagyható. A kétargumentumú logikai konstansok elsőbbségi (precedencia) sorrendje:,,, A negáció erősebb bármely kétargumentumú logikai konstansnál. Az azonos kétargumentumú logikai konstansok egymás közötti elsőbbségét a balról jobbra szabály rendezi: először mindig a bal oldali formulát tekintjük külön műeleti komponensnek. A kantorok erősebbek bármely állításlogikai műeletnél. Az unierzális és az egzisztenciális kantor egyenrangú (azaz erősségben egyik sem előzi meg a másikat). 48. (4 pont) Adja meg az elsőrendű logika interpretációjának definícióját!

12 Logika kiskáté MI, GI 12/33 Az U, ϱ párt az L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm elsőrendű nyel egy interpretációjának neezzük, ha U, azaz U nemüres halmaz; Dom(ϱ) = Con, azaz a ϱ a Con halmazon értelmezett függény, amelyre teljesülnek a köetkezők: Ha a F(0), akkor ϱ(a) U; Ha f F(n) ahol n 0, akkor ϱ(f) az U (n) halmazon értelmezett az U halmazba képező függény (ϱ(f) : U (n) U); Ha p P(0), akkor ϱ(p) {0, 1}; Ha P P(n) ahol n 0, akkor ϱ(p ) U (n). 49. (2 pont) Adja meg az U, ϱ interpretációra támaszkodó értékelés definícióját! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, U, ϱ pedig a nyel egy interpretációja. Az U, ϱ interpretációra támaszkodó értékelésen egy olyan függényt értünk, amely teljesíti a köetkezőket: Dom() = V ar; Ha x V ar, akkor (x) U. 50. (2 pont) Definiálja a módosított értékelés fogalmát! Legyen egy tetszőleges U, ϱ interpretációra támaszkodó értékelés, x V ar egy áltozó és u U egy objektum. Ekkor bármely y V ar esetén { u, ha y = x; [x : u](y) = (y), egyébként. 51. (8 pont) Adja meg az elsőrendű logika szemantikai szabályait! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, U, ϱ a nyel egy interpretációja, pedig az U, ϱ interpretációra támaszkodó értékelés. Ha a F(0), akkor a U,ϱ Ha x V ar, akkor x U,ϱ = ϱ(a). = (x). Ha f F(n), (n = 1, 2,...), és t 1, t 2,..., t n T erm, akkor Ha p P(0), akkor p U,ϱ f(t 1, t 2,..., t n ) U,ϱ = ϱ(p) = ϱ(f)( t 1 U,ϱ, t 2 U,ϱ,..., t n U,ϱ )

13 Logika kiskáté MI, GI 13/33 Ha t 1, t 2 T erm, akkor { (t 1 = t 2 ) U,ϱ 1, ha t1 U,ϱ = t = 2 U,ϱ 0, egyébként. Ha P P(n) ahol n 0, t 1,..., t n T erm, akkor P (t 1,..., t n ) U,ϱ = Ha A F orm, akkor A U,ϱ { 1, ha t1 U,ϱ 0, egyébként. = 1 A U,ϱ.,..., t n U,ϱ ϱ(p ); Ha A, B F orm, akkor { (A B) U,ϱ U,ϱ 0 ha A = 1, és B U,ϱ = 0; = 1, egyébként. Ha A F orm, x V ar, akkor { { (A B) U,ϱ U,ϱ 1 ha A = 0, egyébként. { (A B) U,ϱ U,ϱ 0 ha A = 1, egyébként. { (A B) U,ϱ U,ϱ 1 ha A = 0, egyébként. xa U,ϱ = xa U,ϱ = { = 1, és B U,ϱ = 1; = 0, és B U,ϱ = 0; = B U,ϱ ; 0, ha an olyan u U, hogy A U,ϱ [x:u] = 0; 1, egyébként. 1, ha an olyan u U, hogy A U,ϱ [x:u] = 1; 0, egyébként. 52. (4 pont) Adja meg egy formulahalmaz elsőrendű modelljének definícióját! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel és Γ F orm egy tetszőleges formulahalmaz. Az U, ϱ, rendezett hármas elsőrendű modellje a Γ formulahalmaznak, ha U, ϱ egy interpretációja az L (1) nyelnek; egy U, ϱ interpretációra támaszkodó értékelés; minden A Γ esetén A U,ϱ = (2 pont) Adja meg egy formula elsőrendű modelljének definícióját!

14 Logika kiskáté MI, GI 14/33 Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel és A F orm egy tetszőleges formula. Az A formula modelljén az {A} egyelemű formulahalmaz modelljét értjük. 54. (2 pont) Adja meg egy formulahalmaz kielégíthetőségének definícióját elsőrendű logika esetén! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel és Γ F orm egy tetszőleges formulahalmaz. A Γ fomulahalmaz kielégíthető, ha an (elsőrendű) modellje. 55. (2 pont) Adja meg egy formula kielégíthetőségének definícióját elsőrendű logika esetén! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel és A F orm egy tetszőleges formula. Az A formula kielégíthető, ha az {A} formulahalmaz kielégíthető. 56. (2 pont) Adja meg egy formulahalmaz kielégíthetetlenségének definícióját elsőrendű logika esetén! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel és Γ F orm egy tetszőleges formulahalmaz. A Γ fomulahalmaz kielégíthetetlen, ha nem kielégíthető, azaz nincs modellje. 57. (2 pont) Adja meg egy formulahalmaz kielégíthetetlenségének definícióját elsőrendű logika esetén! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel és A F orm egy tetszőleges formula. Az A formula kielégíthetetlen, ha az {A} formulahalmaz kielégíthetetlen. 58. (2 pont) Adja meg egy formulahalmaz logikai köetkezményének definícióját elsőrendű logika esetén! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendűrendű nyel, Γ F orm egy tetszőleges formulahalmaz, és A F orm egy formula. A Γ formulahalmaznak logikai köetkezménye az A formula, ha a Γ { A} formulahalmaz kielégíthetetlen. Jelölés: Γ = A 59. (2 pont) Adja meg egy formula logikai köetkezményének definícióját elsőrendű logika esetén! Legyen L (1) = LC, V ar, T erm, Con, F orm egy elsőrendű nyel és A, B F orm két tetszőleges formula. Az A formulának logikai köetkezménye a B formula, ha a {A} = B. Jelölés: A = B 60. (2 pont) Adja meg az érényesség definícióját elsőrendű logika esetén! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, és A F orm egy formula. Az A formula érényes, ha = A, azaz ha az A formula logikai köetkezménye az üres halmaznak. Jelölés: = A

15 Logika kiskáté MI, GI 15/ (2 pont) Adja meg a logikai ekialencia definícióját elsőrendű logika esetén! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, és A, B F orm két formula. Az A és a B formula logikailag ekialens, ha A = B és B = A. Jelölés: A B 62. (6 pont) Adja meg a behelyettesítőségre onatkozó definíciókat! Az alábbi definíciókban legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, A F orm egy formula, x, y V ar két áltozó és t T erm egy terminus. Definíció (Változó áltozóal aló helyettesíthetősége) Az A formulában az x áltozó behelyettesíthető y áltozóal, ha az A formulában az x áltozó egyetlen szabad előfordulása sem esik az A formula alamely yb agy yb alakú részformulájába. Definíció (Változó terminussal aló helyettesíthetősége) Az A formulában az x áltozó behelyettesíthető a t terminussal, ha az A formulában az x áltozó behelyettesíthető minden olyan áltozóal, amely a t terminusban előfordul. Definíció (Behelyettesítés eredménye) Tegyük föl, hogy az A formulában az x áltozó behelyettesíthető a t terminussal. Ekkor az [A] t x kifejezéssel jelöljük azt a formulát, amely úgy keletkezik az A formulából, hogy benne az x áltozó minden szabad előfordulását a t terminussal helyettesítjük. Más jelölés: A t/x, A(x t), A( x t ) 63. (6 pont) Adja meg az átneezésre onatkozó definíciót! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, A, B, C F orm három formula, x, x 1, y, y 1, z, z 1 V ar hat áltozó. Ha az A formula xa 1 alakú (A 1 F orm), alamint az A 1 formulában az x áltozó behelyettesíthető az x 1 áltozóal, és x 1 / F reev ar(a 1 ), akkor a x 1 [A 1 ] x1 x formula az A formula szabályosan égrehajtott átneezése. Ha az A formula xa 1 alakú (A 1 F orm), alamint az A 1 formulában az x áltozó behelyettesíthető az x 1 áltozóal, és x 1 / F reev ar(a 1 ), akkor a x 1 [A 1 ] x1 x formula az A formula szabályosan égrehajtott átneezése. Ha 1. a yb formula egy olyan részformulája az A formulának, amely különbözik A-tól, 2. a y 1 [B] y1 y formula a yb formula szabályosan égrehajtott átneezése (köetkezésképpen teljesül, hogy a B formulában a y áltozó behelyettesíthető az y 1 áltozóal, és y 1 / F reev ar(b)), 3. az A formula úgy keletkezik az A formulából, hogy A-ban a yb formula alamely előfordulását a y 1 [B] y1 y formuláal helyettesítjük,

16 Logika kiskáté MI, GI 16/33 akkor az A formula az A formula szabályosan égrehajtott átneezése. Ha 1. a zc formula egy olyan részformulája az A formulának, amely különbözik A-tól, 2. a z 1 [C] z1 z formula a zc formula szabályosan égrehajtott átneezése (köetkezésképpen teljesül, hogy a C formulában a z áltozó behelyettesíthető az z 1 áltozóal, és z 1 / F reev ar(c)), 3. az A formula úgy keletkezik az A formulából, hogy A-ban a zc formula alamely előfordulását a z 1 [C] z1 z formuláal helyettesítjük, akkor az A formula az A formula szabályosan égrehajtott átneezése. 64. (4 pont) Definiálja az egy formuláal kongruens formulák halmazát! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel és A F orm egy formula. Az A formuláal kongruens formulák Cong(A)-al jelölt halmazát az alábbi induktí szabályrendszer adja meg: A Cong(A) (minden formula kongruens önmagáal); ha B Cong(A) és a B formula a B formula szabályosan égrehajtott átneezése, akkor B Cong(A). 65. (2 pont) Definiálja, hogy mikor kongruens két formula! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel és A, B F orm két formula. Ha B Cong(A), akkor az A formula kongruens a B formuláal. 66. (2 pont) Definiálja a formula szintaktikai szinonimáját! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel és A, B F orm két formula. Ha B Cong(A), akkor a B formulát az A formula szintaktikai szinonimájának neezzük. 67. (4 pont) Definiálja a áltozóiban tiszta formulát! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel és A F orm egy formula. Az A formulát áltozóiban tisztának neezünk, ha szabad és kötött áltozói diszjunkt halmazt alkotnak, azaz F reev ar(a) BoundV ar(a) =, minden kötött áltozó pontosan egyszer fordul elő kantort közetlenül köető pozícióban (minden kötött áltozó pontosan egy kantornak a áltozója). 68. (4 pont) Definálja a prenex alakú formulát!

17 Logika kiskáté MI, GI 17/33 Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy tetszőleges elsőrendű nyel. Az A F orm formulát prenex alakúnak neezzük, ha az alábbi két feltétel alamelyike teljesül: az A formula kantormentes, azaz sem a sem a kantor nem szerepel benne; az A formula Q 1 x 1 Q 2 x 2... Q n x n B (n = 1, 2,...) alakú, ahol B F orm kantormentes formula; x 1, x 2... x n V ar különböző áltozók; Q 1, Q 2,..., Q n {, } kantorok. 2. Tételek 69. (6 pont) Kielégíthető formulahalmaz minden részhalmaza kielégíthető. Adja meg pontosan a nulladrendű nyelre onatkozó tételt, és bizonyítsa be! Tétel Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, Γ F orm egy formulahalmaz. Ha Γ kielégíthető formulahalmaz és Γ, akkor kielégíthető formulahalmaz. Bizonyítás Legyen Γ F orm egy tetszőleges kielégíthető formulahalmaz, és Γ! Γ kielégíthetősége miatt a Γ formulahalmaznak an modellje, legyen Γ egy modellje a ϱ interpretáció. ϱ tulajdonsága: Ha A Γ, akkor A ϱ = 1. Miel Γ, ha A, akkor A Γ, s így A ϱ = 1. Azaz a ϱ interpretáció modellje -nak, tehát kielégíthető. 70. (6 pont) Kielégíthetetlen formulahalmaz minden bőítése kielégíthetetlen. Adja meg pontosan a nulladrendű nyelre onatkozó tételt, és bizonyítsa be! Tétel Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, Γ F orm egy formulahalmaz. Ha Γ kielégíthetetlen formulahalmaz, és Γ, akkor kielégíthetetelen formulahalmaz. Indirekt bizonyítás Tegyük fel, hogy Γ F orm tetszőleges kielégíthetetlen formulahalmaz, és F orm olyan formulahalmaz, amelyre teljesül, hogy Γ. Indirekt feltétel: Γ kielégíthetetlen, és kielégíthető. A tétel feltétele szerint Γ. A kielégíthetőségre onatkozó tétel miatt Γ kielégíthető, ez pedig ellentmondás. 71. (8 pont) Adja meg a köetkezményreláció és a modell kapcsolatáról szóló tételt, és bizonyítsa!

18 Logika kiskáté MI, GI 18/33 Tétel Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, Γ F orm, és A F orm. Γ = A akkor és csak akkor, ha a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az a A formulának (azaz az {A} egyelemű formulahalmaznak) is. Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ = A és an olyan modellje a Γ formulahalmaznak, amely nem modellje az A formulának. Legyen ez a modell a ϱ interpretáció! A ϱ tulajdonságai: minden B Γ esetén B ϱ = 1; A ϱ = 0, azaz A ϱ = 1 Ekkor a Γ { A} formulahalmaz minden eleme igaz ϱ-ban, tehát Γ { A} kielégíthető, azaz Γ = A nem teljesül, ami ellentmondás. Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az A formulának, de Γ = A nem teljesül. Ekkor a Γ { A} formulahalmaz kielégíthető, azaz an modellje. Legyen ez a modell a ϱ interpretáció! A ϱ tulajdonságai: minden B Γ esetén B ϱ = 1; A ϱ = 1, azaz A ϱ = 0 Tehát a Γ formulahalmaznak an olyan modellje, ami nem modellje az A formulának, s ez ellentmondás. 72. (4 pont) Érényes formula minden formulahalmaznak köetkezménye. Adja meg pontosan a nulladrendű nyelre onatkozó tételt, és bizonyítsa! Tétel Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, A F orm. Ha A érényes formula ( = A), akkor minden Γ F orm formulahalmaz esetén Γ = A. Bizonyítás Ha A érényes formula, akkor a definíció szerint = A. Így { A} (= { A}) kielégíthetetlen, s így a kielégíthetetlenségre kimondott tétel alapján ennek a halmaznak a bőítései is kielégíthetetlenek. Γ { A} bőítése { A}-nak, így kielégíthetetlen, tehát Γ = A. 73. (4 pont) Kielégíthetetlen formulahalmaznak minden formula köetkezménye. Adja meg pontosan a nulladrendű nyelre onatkozó tételt, és bizonyítsa! Tétel Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel és Γ F orm egy formulahalmaz. Ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor minden A formula esetén Γ = A. Bizonyítás A már bizonyított tétel szerint ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor Γ minden bőítése is kielégíthetetlen. Γ { A} bőítése Γ-nak, így kielégíthetetlen, tehát Γ = A. 74. (2 pont) Adja meg a köetkezményreláció és a modell kapcsolatát leíró tétel köetkezményét!

19 Logika kiskáté MI, GI 19/33 Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, Γ F orm és A F orm. Γ = A akkor és csak akkor, ha minden olyan interpretációban, amelyben a Γ formulahalmaz minden eleme igaz, igaz az A formula is. 75. (6 pont) Adja meg a dedukció tételt, és bizonyítsa! Tétel Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, Γ F orm egy formulahalmaz és A, B F orm két formula. Ha Γ {A} = B, akkor Γ = (A B). Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ {A} = B teljesül, de Γ = (A B) nem teljesül. Így Γ { (A B)} kielégíthető, tehát an modellje. Legyen egy modellje a ϱ interpretáció! A ϱ tulajdonságai: Γ minden eleme igaz a ϱ interpretáció szerint. (A B) ϱ = 1 (A B) ϱ = 0, azaz A ϱ = 1 és B ϱ = 0. Így B ϱ = 1. Γ {A} { B} formulahalmaz minden eleme igaz a ϱ interpretáció szerint, azaz a formulahalmaz kielégíthető, tehát Γ {A} = B nem teljesül, ami ellentmondás. 76. (8 pont) Adja meg a dedukció tétel megfordítását, és bizonyítsa! Tétel Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, Γ F orm egy formulahalmaz és A, B F orm két formula. Ha Γ = (A B), akkor Γ {A} = B. Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ = (A B), és ugyanakkor Γ {A} = B nem teljesül. Így Γ {A} { B} kielégíthető, tehát an modellje. Legyen egy modellje a ϱ interpretáció! A ϱ tulajdonságai: Γ minden eleme igaz a ϱ interpretáció szerint. A ϱ = 1 B ϱ = 1, így B ϱ = 0 Így a ϱ interpretáció szerint (A B) ϱ = 0, köetkezésképpen (A B) ϱ = 1. Γ { (A B)} formulahalmaz minden eleme igaz a ϱ interpretáció szerint, azaz a ϱ interpretációja modellje a formulahalmaznak, ami egyben azt is jelenti, hogy a formulahalmaz kielégíthető. Tehát Γ = (A B) nem teljesül, ami ellentmond indirekt feltételünknek. 77. (4 pont) Adja meg a köetkezményreláció és implikáció kapcsolatát leíró tételt, és bizonyítsa!

20 Logika kiskáté MI, GI 20/33 A dedukciótétel és megfordításának köetkezménye: Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, és A, B F orm két formula. A = B akkor és csak akkor, ha = (A B). Bizonyítás Alkalmazzuk a dedukció tételt és megfordítását abban az esetben, amikor Γ =. 78. (2 pont) Adja meg a logikai és materiális ekialencia kapcsolatát leíró köetkezményt! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel és A, B F orm két formula. A B akkor és csak akkor, ha = (A B). 79. (8 pont) Adja meg a metszet tételt és bizonyítsa! Tétel (Metszet tétel) Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel, Γ, F orm két formulahalmaz és A, B F orm két formula. Ha Γ {A} = B és = A, akkor Γ = B. Indirekt bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ {A} = B és = A, de Γ = B nem teljesül. Ekkor Γ { B} kielégíthető (a köetkezményreláció definíciója miatt), azaz an modellje. Legyen a formulahalmaz egy modellje a ϱ interpretáció. A ϱ interpretáció tulajdonságai: Γ minden eleme igaz a ϱ interpretációban. minden eleme igaz a ϱ interpretációban. B ϱ = 1 Miel = A és minden eleme igaz a ϱ interpretációban, A ϱ = 1. Köetkezésképpen a Γ {A} { B} halmaz minden eleme igaz a ϱ interpretációban, ami azt jelenti, hogy a Γ {A} { B} formulahalmaz kielégíthető. Ekkor azonban a köetkezményreláció definíciója miatt Γ {A} = B nem teljesül. Ez pedig ellentmond indirekt feltételünknek. 80. (2 pont) Adja meg a normálforma tételt! Legyen L (0) = LC, Con, F orm egy nulladrendű nyel és A F orm egy formula. Ekkor létezik olyan B F orm, hogy A B B diszjunktí agy konjunktí normálformájú. 81. (4 pont) A szintaktikai köetkezményreláció reflexí. Adja meg pontosan a nulladrendű nyelre onatkozó tételt, és bizonyítsa!

21 Logika kiskáté MI, GI 21/33 Tétel Γ, A A (azaz a szintaktikai köetkezményreláció reflexí). Bizonyítás Jelölés: a röidség kedéért Γ {A} helyett Γ, A -t írunk. Miel A Γ {A}, így a szintaktikai köetkezményreláció definíciójának második pontja miatt Γ {A} A, azaz Γ, A A. 82. (6 pont) A szintaktikai köetkezményreláció monoton. Adja meg pontosan a nulladrendű nyelre onatkozó tételt, és bizonyítsa! Tétel Ha Γ A, akkor Γ A. Bizonyítás (strukturális indukcióal) Ha A axióma, akkor minden formulahalmaznak szintaktikai köetkezménye, így a Γ formulahalmaznak is. Ha A Γ, akkor A Γ, így A Γ A Tegyük fel, hogy A nem axióma, A / Γ és Γ A. Ekkor an olyan B F orm formula, hogy Γ B és Γ B A. Indukciós felteés: Tegyük fel, hogy állításunk teljesül a B és a B A formulára, azaz ha Γ B, akkor Γ B, és ha Γ B A, akkor Γ B A. Ekkor be kell látni, hogy Γ A. Miel Γ B és Γ B A, így a szintaktikai köetkezményreláció definíciójának harmadik pontja miatt ekkor a Γ A is teljesül. 83. (8 pont) Adja meg a kalkulus dedukció tételét, és bizonyítsa! (Segédtétel bizonyítása plusz pont.) Tétel (Dedukció tétel, kalkulus) Ha Γ, A B, akkor Γ A B. Bizonyítás (strukturális indukcióal) Legyen B egy axióma. Ekkor Γ B. Miel a B (A B) formula is axióma, így Γ B (A B). Ha Γ B és Γ B (A B), akkor a szintaktikai köetkezményreláció definíciójának 3. pontja miatt Γ (A B). Legyen B Γ {A}. Ha B = A, akkor a segédtétel szerint A A. A monotonitás miatt Γ A A. Ha B Γ, akkor Γ B. Miel B (A B) axióma, így Γ B (A B). Ha Γ B és Γ B (A B), akkor a szintaktikai köetkezményreláció definíciójának 3. pontja miatt Γ (A B). Tegyük fel, hogy B nem axióma, B / Γ {A} és Γ, A B. Ekkor an olyan C F orm formula, hogy Γ, A C és Γ, A C B. Indukciós felteés: Tegyük fel, hogy állításunk teljesül a C és a C B formulára, azaz ha Γ, A C, akkor Γ A C, és ha Γ, A C B, akkor Γ A (C B). Ekkor be kell látni, hogy Γ A B. Γ A C (indukciós felteés) Γ A (C B) (indukciós felteés)

22 Logika kiskáté MI, GI 22/33 Γ (A (C B)) ((A C) (A B)) miel a (A (C B)) ((A C) (A B)) formula axióma. Γ (A C) (A B) (A 2. és a 3. pontból leálasztással nyerhető.) Γ (A B) (A 1. és a 4. pontból leálasztással nyerhető.) Segédtétel A A Bizonyítás (A ((C A) A)) ((A (C A)) (A A)) (A második axióma a köetkező álasztással: A := A; B := C A; C := A) (A ((C A) A)) (Az első axióma a köetkező álasztással: A := A; B := C A) (A (C A)) (A A) (A leálasztási szabály alkalmazása az 1. és 2. pontra.) (A (C A)) (Az első axióma a köetkező álasztással: A := A; B := C) A A (A leálasztási szabály alkalmazása az 3. és 4. pontra.) 84. (4 pont) Adja meg a kalkulus dedukció tételének megfordítását, és bizonyítsa! Tétel Ha Γ A B, akkor Γ, A B Bizonyítás A monotonítás miatt Γ, A A B. A reflexiitás miatt Γ, A A. A leálasztási szabályt alkalmaza az előző két pontra kapjuk, hogy Γ, A B. 85. (4 pont) Adja meg a kalkulus metszet tételét és bizonyítsa! Tétel Ha Γ A és, A B, akkor Γ B. Bizonyítás A monotonitás miatt Γ A. A dedukció tétel miatt A B, s így a monotonitás miatt Γ A B. Az előző két pontra alkalmaza a leálasztási szabályt kapjuk, hogy Γ B. 86. (4 pont) Adja meg az elsőrendű szemantika alaptételeit! Tétel Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, A F orm egy formula, U, ϱ egy elsőrendű interpretáció és egy U, ϱ interpretációra támaszkodó értékelés. Ekkor az A U,ϱ érték egyértelműen meghatározott. Tétel Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, A F orm egy formula, U, ϱ egy elsőrendű interpretáció és 1, 2 két U, ϱ interpretációra támaszkodó értékelés. Ha minden x F reev ar(a) esetén 1 (x) = 2 (x), akkor A U,ϱ 1 = A U,ϱ (6 pont) A logikai ellentmondástalanság szűkítéssel nem rontható el. Adja meg pontosan az elsőrendű tételt, és bizonyítsa!

23 Logika kiskáté MI, GI 23/33 Tétel Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, Γ F orm egy formulahalmaz. Ha Γ kielégíthető formulahalmaz és Γ, akkor kielégíthető formulahalmaz. Bizonyítás Legyen Γ F orm egy tetszőleges kielégíthető formulahalmaz, és Γ! Γ kielégíthetősége miatt a Γ formulahalmaznak an modellje. Legyen Γ egy modellje az U, ϱ, rendezett hármas. U, ϱ, modell tulajdonsága: Ha A Γ, akkor A U,ϱ = 1 Miel Γ, ha A, akkor A Γ, s így A U,ϱ -nak, tehát kielégíthető. = 1. Azaz az U, ϱ, rendezett hármas modellje 88. (8 pont) Adja meg a köetkezményreláció és a modell kapcsolatáról szóló tételt elsőrendben, és bizonyítsa! Tétel Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, Γ F orm, és A F orm. Γ = A akkor és csak akkor, ha a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az a A formulának (azaz az {A} egyelemű formulahalmaznak) is. Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ = A és an olyan modellje a Γ formulahalmaznak, amely nem modellje az A formulának. Legyen ez a modell az U, ϱ, rendezett hármas! A U, ϱ, tulajdonságai: minden B Γ esetén B U,ϱ = 1; A U,ϱ = 0, azaz A U,ϱ = 1 Ekkor a Γ { A} formulahalmaz minden eleme igaz a U, ϱ interpretációban a értékelés szerint, tehát Γ { A} kielégíthető (hiszen modellje az U, ϱ, rendezett hármas), azaz Γ = A nem teljesül, ami ellentmondás. Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az A formulának, de Γ = A nem teljesül. Ekkor a Γ { A} formulahalmaz kielégíthető, azaz an modellje. Legyen ez a modell az U, ϱ, rendezett hármas! Az U, ϱ, tulajdonságai: minden B Γ esetén B U,ϱ = 1; A U,ϱ = 1, azaz A U,ϱ = 0 Tehát a Γ formulahalmaznak an olyan modellje (az U, ϱ, rendezett hármas), ami nem modellje az A formulának, s ez ellentmondás. 89. (4 pont) Érényes formula minden formulahalmaznak köetkezménye. Adja meg pontosan a tételt elsőrendben, és bizonyítsa!

24 Logika kiskáté MI, GI 24/33 Tétel Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, A F orm. Ha A érényes formula ( = A), akkor minden Γ F orm formulahalmaz esetén Γ = A. Bizonyítás Ha A érényes formula, akkor a definíció szerint = A. Így { A} (= { A}) kielégíthetetlen, s így a kielégíthetetlenségre kimondott tétel alapján ennek a halmaznak a bőítései is kielégíthetetlenek. Γ { A} bőítése { A}-nak, így kielégíthetetlen, tehát Γ = A. 90. (4 pont) Kielégíthetetlen formulahalmaznak minden formula köetkezménye. Adja meg pontosan a tételt elsőrendben, és bizonyítsa! Tétel Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy nulladrendű nyel és Γ F orm egy formulahalmaz.. Ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor minden A formula esetén Γ = A. Bizonyítás A már bizonyított tétel szerint ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor Γ minden bőítése is kielégíthetetlen. Γ { A} bőítése Γ-nak, így kielégíthetetlen, tehát Γ = A. 91. (6 pont) Adja meg a dedukció tételt elsőrendű logika esetén, és bizonyítsa! Tétel Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, Γ F orm egy formulahalmaz és A, B F orm két formula. Ha Γ {A} = B, akkor Γ = (A B). Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ {A} = B teljesül, de Γ = (A B) nem teljesül. Így Γ { (A B)} kielégíthető, tehát an modellje. Legyen egy modellje az U, ϱ, rendezett hármas! Az U, ϱ, modell tulajdonságai: Γ minden eleme igaz az U, ϱ interpretáció és a értékelés szerint. (A B) U,ϱ = 1 = 1. Γ {A} { B} formulahalmaz minden eleme igaz az U, ϱ interpretáció és a értékelés szerint, azaz a formulahalmaz kielégíthető, tehát Γ {A} = B nem teljesül, ami ellentmondás. (A B) U,ϱ = 0, azaz A U,ϱ = 1 és B U,ϱ = 0. Így B U,ϱ 92. (8 pont) Adja meg a dedukció tételének megfordítását elsőrendű logika esetén, és bizonyítsa! Tétel Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, Γ F orm egy formulahalmaz és A, B F orm két formula. Ha Γ = (A B), akkor Γ {A} = B. Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ = (A B), és ugyanakkor Γ {A} = B nem teljesül. Így Γ {A} { B} kielégíthető, tehát an modellje. Legyen egy modellje az U, ϱ, rendezett hármas! Az U, ϱ, modell tulajdonságai: Γ minden eleme igaz az U, ϱ interpretáció és értékelés szerint.

25 Logika kiskáté MI, GI 25/33 A U,ϱ = 1 B U,ϱ = 1, így B U,ϱ = 0 Így (A B) U,ϱ = 0, köetkezésképpen (A B) U,ϱ = 1. Γ { (A B)} formulahalmaz minden eleme igaz az U, ϱ interpretáció és értékelés szerint, azaz az U, ϱ, rendezett hármas modellje a formulahalmaznak, ami egyben azt is jelenti, hogy a formulahalmaz kielégíthető. Tehát Γ = (A B) nem teljesül, ami ellentmond indirekt feltételünknek. 93. (4 pont) Adja meg a köetkezményreláció és implikáció kapcsolatát leíró tételt elsőrendű logika esetén, és bizonyítsa! Tétel Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, és A, B F orm két formula. A = B akkor és csak akkor, ha = (A B) Bizonyítás Alkalmazzuk a dedukció tételt és megfordítását abban az esetben, amikor Γ =. 94. (2 pont) Adja meg a logikai és materiális ekialencia kapcsolatát leíró köetkezményt elsőrendű logika esetén! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel és A, B F orm két formula. A B akkor és csak akkor, ha = (A B). 95. (8 pont) Adja meg a metszet tételt elsőrendű logika esetén, és bizonyítsa! Tétel Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, Γ, F orm két formulahalmaz és A, B F orm két formula. Ha Γ {A} = B és = A, akkor Γ = B. Indirekt bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ {A} = B és = A, de Γ = B nem teljesül. Ekkor Γ { B} kielégíthető (a köetkezményreláció definíciója miatt), azaz an modellje. Legyen a formulahalmaz egy modellje az U, ϱ, rendezett hármas. Az U, ϱ, modell tulajdonságai: Γ minden eleme igaz az U, ϱ interpretáció és értékelés szerint. minden eleme igaz az U, ϱ interpretáció és értékelés szerint. B U,ϱ = 1 Miel = A és minden eleme igaz az U, ϱ interpretáció és értékelés szerint, A U,ϱ = 1. Köetkezésképpen a Γ {A} { B} halmaz minden eleme igaz az U, ϱ interpretáció és értékelés szerint, ami azt jelenti, hogy a Γ {A} { B} formulahalmaz kielégíthető. Ekkor azonban a köetkezményreláció definíciója miatt Γ {A} = B nem teljesül. Ez pedig ellentmond indirekt feltételünknek. 96. (8 pont) Adja meg és bizonyítsa az első de Morgan törényt elsőrendű logika esetén!

26 Logika kiskáté MI, GI 26/33 Tétel Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, A F orm egy formula és x V ar egy áltozó. Ekkor xa x A. Bizonyítás A törény bizonyításához először lássuk be, hogy xa = x A. Indirekt tegyük fel, hogy nem teljesül a köetkezményreláció, azaz a { xa, x A} halmaz kielégíthető. Ekkor a halmaznak an modellje, legyen a tekintett formulahalmaz egy modellje az U, ϱ, rendezett hármas. Az U, ϱ, modell tulajdonságai: xa U,ϱ x A U,ϱ = 1, és így xa U,ϱ = 0 = 1, azaz x A U,ϱ = 0 Az unierzális kantor szemantikai szabálya szerint a 2. pont akkor teljesül, ha an olyan u U, hogy A U,ϱ [x:u] = 0, azaz A U,ϱ [x:u] = 1. Ez pedig az egzisztenciális kantor szemantikai szabálya szerint azt jelenti, hogy xa U,ϱ = 1, ami ellentmond az első pontnak. Most lássuk be, hogy x A = xa! Indirekt tegyük fel, hogy nem teljesül a köetkezményreláció, azaz a { x A, xa} halmaz kielégíthető. Ekkor a halmaznak an modellje, legyen a tekintett formulahalmaz egy modellje az U, ϱ, rendezett hármas. Az U, ϱ, modell tulajdonságai: x A U,ϱ = 1 xa U,ϱ = 1, azaz xa U,ϱ = 1 Az egzisztenciális kantor szemantikai szabálya szerint a 2. pont akkor teljesül, ha an olyan u U, hogy A U,ϱ [x:u] = 1, azaz A U,ϱ [x:u] = 0. Ez pedig az unierzális kantor szemantikai szabálya szerint azt jelenti, hogy x A U,ϱ = 0, ami ellentmond az első pontnak. 97. (4 pont) Sorolja fel a kantorok hatásköre bőítésének törényeit! Tétel Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, A, B F orm két formula és x V ar egy áltozó. Ha x / F reev ar(a), akkor A xb x(a B) A xb x(a B) A xb x(a B) A xb x(a B) A xb x(a B) xb A x(b A) A xb x(a B) xb A x(b A)

27 Logika kiskáté MI, GI 27/ (2 pont) Adja meg a fiktí kantorokra onatkozó törényeket! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel, A F orm egy formula és x V ar egy áltozó. Ha x / F reev ar(a), akkor xa A xa A 99. (4 pont) Adja meg a szinonimákra onatkozó tételeket! Tétel A formulák között értelmezett kongruencia reláció ekialencia reláció, azaz: reflexí: A Cong(A); szimmetrikus: ha B Cong(A), akkor A Cong(B); tranzití: ha B Cong(A) és C Cong(B), akkor C Cong(A). Tétel A kongruens formulák logikailag ekialensek, azaz ha B Cong(A), akkor A B (2 pont) Adja meg a áltozótisztaságra onatkozó tételt! Tétel Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy elsőrendű nyel és A F orm egy formula. Ekkor létezik olyan B F orm formula, hogy a B formula áltozóiban tiszta, a B formula kongruens az A formuláal, azaz B Cong(A) (2 pont) Adja meg a prenex alakra onatkozó tételt! Legyen L (1) = LC, V ar, Con, T erm, F orm egy tetszőleges elsőrendű nyel és A F orm. Ekkor létezik olyan B F orm, hogy a B formula prenex alakú, A B. 3. Feladatok 102. (4 pont) Bizonyítsa be, hogy egy kielégíthetetlen formulahalmazban mindig an hamis elem! 103. (4 pont) Igaz-e, hogy minden kielégíthetetlen formulahalmaznak an kielégíthető része?

28 Logika kiskáté MI, GI 28/ (4 pont) Igaz-e, hogy minden kielégíthetetlen formulahalmaznak an nem üres kielégíthető része? 105. (4 pont) Igaz-e, hogy minden kielégíthető formulahalmaznak an kielégíthetetlen bőítése? 106. (4 pont) Igaz-e, hogy egy kielégíthetetlen formulahalmaznak minden része kielégíthetetlen? 107. (4 pont) Kielégíthető agy kielégíthetetlen az üres formulahalmaz? Formulahalmaz kielégíthető, ha an modellje, azaz a halmaz minden formulája igaz ebben a modellben. Másképp fogalmaza nics a halmaznak olyan eleme, mely hamis lenne ebben az interpetációban. Ha a halmaz üres, akkor bármely ϱ függényt álaszta egyetlen formula a halmazból sem lesz hamis (miel nincs is ilyen). Így bármely interpretáció modellje az üres formulahalmaznak (4 pont) Adjon példát kielégíthető, illete kielégíthetetlen formulahalmazra! Kielégíthető formulahalmaz a {p}, míg kielégíthetetlen a {q, q} 109. (4 pont) Bizonyítsa be, hogy A = B (A, B F orm) akkor és csak akkor, ha minden olyan interpretáció, amely A-t igazzá teszi, igazzá teszi B-t is! 110. (4 pont) Bizonyítsa be, hogy A = B akkor és csak akkor nem teljesül, ha an olyan interpretáció, amelyben A igaz és B hamis! Definíció alapján pontosan akkor A = B, ha a {A, B} kielégíthetetlen. Tegyük fel, hogy A = B nem teljesül, ekkor {A, B} kielégíthető, tehát ennek a formulahalmaznak an modellje, agyis olyan interpretáció, melyben mindkét formula igaz. Legyen az interpretáció ϱ, ekkor A ϱ = 1 és B ϱ = 0. Ez az, amit bizonyítani kellett.. Tegyük fel, hogy an egy interpretáció, melyben A igaz, B pedig hamis. Ebben az interpretációban B igaz, így a {A, B} formulahalmaz kielégíthető, tehát az A = B nem teljesülhet (4 pont) Bizonyítsa be, hogy egy kielégíthetetlen formulahalmaznak minden formula köetkezménye! 112. (4 pont) Bizonyítsa be, hogy egy érényes formula minden formulahalmaznak köetkezménye! 113. (4 pont) Igazak-e az alábbi állítások? (Ha igaz, akkor bizonyítsa, ha hamis, akkor ellenpéldáal cáfolja!) (a) Minden A formula esetén ha az A formula kielégíthető (azaz a {A} halmaz kielégíthető), akkor a A is kielégíthető. p p formula kielégíthető, de a tagadása nem. Tehát az állítás hamis! (b) Ha A érényes akkor A nem kielégíthető. (c) Ha A kielégíthető, akkor A érényes formula. (d) Ha A érényes formula, akkor A kielégíthető. (e) Ha A kielégíthető, akkor A érényes formula. (f) Minden A formula esetén létezik olyan A-tól különböző B formula, amelyre teljesül, hogy A = B. (g) Minden A formula esetén létezik olyan A-al nem logikailag ekialens B formula, amelyre teljesül, hogy A = B.

29 Logika kiskáté MI, GI 29/33 Legyen A egy érényes formula. Ha A = B, akkor definíció alapján az {A, B} formulahalmaz kielégíthetetlen. Miel A minden interpretációban igaz, így B-nek minden interpretációban hamisnak kell lennie, azaz B-nek igaznak minden interpretációban. Ezek szerint B érényes formula. Összefoglala: érényes formulának csak érényes formula lehet a logikai köetkezménye. Ebből köetkezik, hogy a feladat állítása hamis! (h) Minden A formula esetén létezik olyan A-tól különböző B formula, amelyre teljesül, hogy B = A. Tételünk szerint a {B} kielégíthetetlen formulahalmaz bármely bőítése kielégíthetetlen, így a {B, A} is, tehát B = A. Így ha B = p p, akkor B = A minden A formulára. Az állítás igaz. (Ha pedig A = p p, akkor speciálisan legyen B = q q) (i) Minden A formula esetén létezik olyan A-al nem logikailag ekialens B formula, amelyre teljesül, hogy B = A. (j) Minden A, B formula esetén teljesül, hogy A = B agy B = A. (k) Létezik olyan formula, amely minden formulának köetkezménye. (l) Minden A, B formula esetén teljesül, hogy ha A = B, akkor B = A. (m) Minden A, B formula esetén teljesül, hogy ha A = B, akkor B-nek nem logikai köetkezménye az A. (n) Létezik olyan A, B formula, hogy A = B, de B-nek nem köetkezménye A. (o) Ha Γ = A agy Γ = B, akkor Γ = (A B). Legyen speciálisan Γ = {p}, A = p és B = q. Ekkor p = p. Igaz hogy, p = q nem teljesül, de a feltétel szerint a két állítás közül elég, ha az egyik teljesül. A feladat állítása (p = p q) szintén nem teljesül, így az egész állítás hamis. (p) Ha Γ = A és Γ = B, akkor Γ = (A B). (q) Ha Γ = A B, akkor Γ = A agy Γ = B. (r) Ha Γ = (A B) és Γ = (A C), akkor Γ, A = (B C). (s) Ha Γ = (A B) és Γ = (A C), akkor Γ, C = (A B). (t) Ha Γ = (A C) és Γ = (B C), akkor Γ, (A B) = C. (u) Ha Γ = (A C) és Γ = (B C), akkor Γ, (A C) = B Bizonyítsa be az alábbiakat! (a) (4 pont) Ha Γ = A és Γ = (A B), akkor Γ = B. (b) (4 pont) Ha Γ = A és Γ = B, akkor Γ = (A B). Az indirekt bizonyításhoz tegyük fel, hogy Γ = A, Γ = B, de Γ = (A B) nem teljesül! Így a Γ { (A B)} formulahalmaz kielégíthető. Tekintsük azt az interpretációt, melyben Γ minden eleme igaz, ahogy (A B) is. Innen A B hamis, ami szerint A agy B hamis ebben az interpretációban. Ha A lenne hamis, akkor A igaz lenne, ahogy Γ minden eleme, tehát Γ { A} kielégíthető lenne, így Γ = A nem teljesülnek feltételünkkel ellentétben. Ha B lenne hamis, akkor B igaz lenne, ahogy Γ minden eleme, tehát Γ { B} kielégíthető lenne, így Γ = B nem teljesülnek feltételünkkel ellentétben. Mindkét esetben ellentmondásra jutottunk, tehát ha Γ = A agy Γ = B, akkor Γ = (A B). (c) (4 pont) Ha Γ, A = C és Γ, B = C, akkor Γ, (A B) = C.