Visszalépéses keresés
|
|
- Tibor Soós
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Visszalépéses keresés Backtracking előadás Szénási Sándor Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar
2 Alapvető működése Továbbfejlesztési lehetőségek Gyakorlati példák Visszalépéses keresés
3 3 Egy megoldásra váró feladat Egy építkezésen több egymástól független munkafázist kell elvégezni. Osszuk szét a munkákat az arra alkalmas személyek között (úgy, hogy mindenki csak egyet vállalhat)! Géza Miklós Miklós András Zsolt Géza Miklós Klaudia András Zsolt Palika András Géza Szponzor Irányítás Alap Végigpróbálgathatjuk az összes lehetséges változatot, (amelyekből összesen = 96 db van), ezek túlnyomó többsége azonban nem megoldása a feladatnak Olyan algoritmust keresünk, ami a megoldás keresése során eleve nem folytat olyan utakat, amelyek láthatóan nem vezethetnek megoldáshoz Fal Engedély Lefizetés
4 Feladat általánosítása 4 N darab részeredményt keresünk (E 1, E 2... E N ) Mindegyikhez ismerjük a véges értékkészletet (pl. E 1 -hez ennek mérete M 1, elemei: R 1,1, R 1,2,... R 1,M1 ) M 1 =2 M 2 =2 M 3 =2 R 2,1 R 3,1 M 4 =3 R 4,1 R 4,2 M 5 =2 M 6 =2 R 1,2 R 2,2 R 3,2 R 4,3 R 1,1 R 6,2 R 5,1 R 6,1 R 5,2 E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E 6 N=6 A visszalépéses keresés olyan feladat típusoknál alkalmazható hatékonyan, ahol A megoldandó feladat több, egymástól csak közvetve függő részfeladat megoldásából áll Már a részfeladatok egy részéből is lehet arra következtetni, hogy az azokra adott részmegoldásokkal biztosan nem érhető el a teljes megoldás
5 5 Visszalépéses keresés paraméterei Keresés bemenete: N megoldandó részfeladatok száma M szint szint-edik részfeladat lehetséges részmegoldásainak a száma R szint,i szint-edik részfeladat i. lehetséges részmegoldása Keresés kimenete: van van-e teljes megoldás? E részmegoldásokat tartalmazó vektor (E i az i. részmegoldás értéke) A feladattól függő szabályokat általában két függvény segítségével adjuk meg: F t (szint, s) Egy függvény, ami azt határozza meg, hogy a szint-edik részfeladat esetében lehetséges megoldás-e az s? F k (szint, s, E) Azt határozza meg, hogy a szint-edik részfeladat esetében választhatjuk-e az s részmegoldást, amennyiben az előző szinteken az E vektorban található részmegoldásokat választottuk? Az előző példa esetében az F t mindig igaz (hiszen csak olyanokat soroltunk fel, akik megfelelnek az adott feladatra), az F k pedig akkor igaz, ha a megadott embert még nem választottuk más munkára
6 6 Rekurzív visszalépéses keresés Visszalépéses keresés egy lehetséges megvalósítása eljárás VisszalépésesKeresés(szint, címsz. E, címsz. van) i 0 ciklus amíg van i < M szint i i + 1 ha F t (szint, R szint,i ) akkor ha F k (szint, R szint,i, E) akkor E szint R szint,i ha szint = N akkor van igaz különben VisszalépésesKeresés(szint + 1, E, van) ciklus vége eljárás vége van hamis VisszalépésesKeresés(1, E, van)
7 Alapvető működése Továbbfejlesztési lehetőségek Gyakorlati példák Visszalépéses keresés
8 8 Rekurzív visszalépéses keresés egymást kizáró részmegoldásokkal Amennyiben az egyes részeredmények páronként kizáróak eljárás VisszalépésesKeresés(szint, címsz. E, címsz. van) i 0 ciklus amíg van i < M szint i i + 1 ha F t (szint, R szint,i ) akkor k 1 ciklus amíg k < szint F k (szint, R szint,i, k, E k ) k k + 1 ciklus vége ha k = szint akkor E szint R szint,i ha szint = N akkor van igaz különben VisszalépésesKeresés(szint + 1, E, van) ciklus vége eljárás vége van hamis VisszalépésesKeresés(1, E, van)
9 9 Minden megoldás kiválogatása Az első megoldás után nem állunk meg, keressük a többit eljárás VisszalépésesKeresés(szint, címsz. E, címsz. van, címsz. MIND) i 0 ciklus amíg van i < M szint i i + 1 ha F t (szint, R szint,i ) akkor ha F k (szint, R szint,i, E) akkor E szint R szint,i ha szint = N akkor van igaz MIND MIND E különben VisszalépésesKeresés(szint + 1, E, van, MIND) ciklus vége eljárás vége van hamis MIND VisszalépésesKeresés(1, E, van, MIND)
10 10 Optimális megoldás keresése Keresés helyett tulajdonképpen minimumkiválasztás eljárás VisszalépésesKeresés(szint, címsz. E, címsz. van, címsz. OPT) i 0 ciklus amíg van i < M szint i i + 1 ha F t (szint, R szint,i ) akkor ha F k (szint, R szint,i, E) akkor E szint R szint,i ha szint = N akkor ha van Jóság(E) > Jóság(OPT) akkor OPT E van igaz különben VisszalépésesKeresés(szint + 1, E, van, OPT) ciklus vége eljárás vége van hamis VisszalépésesKeresés(1, E, van, OPT)
11 11 Vágás Az optimális megoldás keresése során a visszalépéses keresés is átvizsgálja a problématér jelentős részét Bizonyos feladatoknál a keresés közben nem csak azt tudjuk megállapítani, hogy egy úton lehet-e jó teljes megoldás, hanem azt is, hogy ez a megoldás lehet-e jobb mint az eddig talált legjobb A vágás lépései: Minden megtalált végeredmény esetén eltároljuk annak értékét Minden továbblépés előtt adunk egy felső becslést arra vonatkozóan, hogy ha azon úton minden a legjobban alakul, akkor mi lehet a maximális érték Amennyiben ez kisebb, mint az eddig talált legjobb megoldás, akkor felesleges tovább haladni ezen az úton Pl. hátizsák pakolási probléma esetén a továbblépéskor megnézhetjük, hogy ha az üresen maradt helyre el tudnánk helyezni az összes abba önmagában beleférő tárgyat, akkor milyen végeredményhez jutunk. Ha ez rosszabb mint az eddig talált legjobb, akkor nem is kell keresni tovább ezen az úton
12 Alapvető működése Továbbfejlesztési lehetőségek Gyakorlati példák Visszalépéses keresés
13 13 Visszalépéses kereséssel kezelhető problémák osztályozása Részfeladatok egymást kizárják igen (ilyenkor használható az általános algoritmus) nem (erre láttuk a második algoritmust) Részmegoldások száma logikai változók minden részfeladatnál két lehetőség közül választhatunk M darab több előre rögzített feltétel közül választhatunk előzményfüggő egy adott helyen a lehetséges választások száma attól függ, hogy az előző szinteken milyen értékeket választottunk (ilyenkor úgy kell az F t függvényt módosítani, hogy az is hozzáférjen az eddigi részeredményekhez) Logikai átfedések, időzítés Backtrack Kölcsönösen kizáró Összetett feltétel M darab Előzményfüggő Logikai M darab Előzményfüggő 8 királynő, sudoku, feladat kioszt. szólánc hátizsák pakolás összetett feladatkiosztás optimális útkeresés, huszár útja
14 14 Problématér átalakítása A visszalépéses keresés általunk vizsgált algoritmusa egy vektor elemeinek keresi az értékét A feladatok azonban gyakran több dimenzióban vannak meghatározva, pl. töltsünk ki egy sudoku táblát helyezzünk el egy sakktáblán királynőket járjunk be egy sakktáblát egy huszárral Megoldási lehetőségek algoritmus módosítása: az i ciklus cseréje egy két vagy többdimenziós teret bejáró egymásba ágyazott ciklusokkal problématér átalakítása: az eredetileg többdimenziós problémát felírjuk egydimenziós formában (erre látunk példákat a következő diákon) 1,1 1,2 1,3 szint N = 6 2,1 2,2 2,3 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,1 3,2 3,3
15 15 8 királynő a sakktáblán Klasszikus feladat: helyezzünk el úgy 8 királynőt a sakktáblán, hogy azok ne üssék egymást A lehetséges elhelyezések száma meglehetősen nagy: ,78 * A visszalépéses keresés jól használható, mivel ha bármelyik két már lerakott királynő üti egymást, akkor nem is kell vizsgálni a többieket Problématér átalakítása: minden oszlopba pontosan egy királynőt kell elhelyeznünk, így valójában 8 darab 1..8 közötti számot keresünk, ez már egyszerű egydimenziós probléma A kölcsönösen kizáró algoritmus így már alkalmazható: N = 8 M i = 8 ; R i,j = j (i=1..8 ; j = 1..8) F t (i, r) = igaz F k (i, r, j, q) = akkor igaz, ha a sakk szabályai szerint az i,r és a j,q pozícióban lévő királynők nem ütik egymást
16 16 8 királynő a sakktáblán (2) Egy lehetséges elhelyezés F k megvalósítása: (x 1,y 1 ) és (x 2, y 2 ) helyen álló királynők akkor ütik egymást, ha az alábbiak közül bármelyik teljesül: x 1 = x 2 y 1 = y 2 x 1 - x 2 = y 1 - y 2
17 17 Huszár útja a sakktáblán Klasszikus feladat: egy fix kezdőpontból be lehet járni egy huszárral az egész táblát úgy, hogy minden mezőt pontosan egyszer érintünk? Egy huszár 8 irányba tud lépni, így az ellenőrizendő kombinációk száma: kb ,84 * Visszalépéses keresés jól használható, mivel egy n-edik rossz lépés után nem kell foglalkozni az utána következő (63-n) darabbal Problématér átalakítása: tudjuk, hogy 63 lépésünk lesz, így a feladat valójában a 63 megfelelő irány megtalálása (minden lépésnél 8 lehetőség közül választhatunk) Az algoritmus előzményfüggő változata használható: N = 63 M i = 8 ; R i,j = a j. lehetséges lépés iránya (pl. 2 fel+1 balra, 2 fel+1 jobbra, stb.) F t megadott helyre léphet-e a huszár (táblán belül marad?). Mivel ez egy előzményfüggő feladat, itt az F t is megkapja az előző lépések értékét (E vektor), ami alapján tudja hogy épp hol jár, és ez alapján tud dönteni F k az előző lépések nem zárják-e ki az új helyet? (járt már ott?)
18 18 Sudoku feladat megoldó Egy 9x9-es táblázat tartalmaz előre beírt és üres mezőket. Az n darab üres mezőt kell kitölteni az alábbi szabályok szerint minden üres helyre egy szám írható 1..9 között egy sorban, illetve egy oszlopban nem szerepelhet kétszer ugyanaz a szám a tábla 3x3-as blokkokra oszlik, egy blokkon belül nem lehet kétszer ugyanaz Lineáris kereséssel a lépésszám: kb. n 9 Visszalépéses keresés jól használható, mivel ha két mezőbe beírt érték kizárja egymást, akkor a többi mezőt nem is kell vizsgálni Problématér átalakítása: maga a tábla kétdimenziós, azonban egy listába felsorolhatjuk az üres mezőket. Így megfelelően n darab részfeladatunk lesz, amelyekbe 1..9 közötti értéket keresünk Az algoritmus előzményfüggő változata használható: N = üres mezők száma M i = 9 ; R i,j = j (i=1..n ; j = 1..9) F t (i, j) az i. számú üres mezőbe beírható-e a j érték (a fix mezők alapján) F k (i,r,j,q) az i. üres mezőbe írt r szám nem zárja ki a j. üres mezőbe írt q-t
19 Sudoku feladat megoldó Kétdimenziós tábla átalakítása egydimenziós szerkezetté Ezzel a módszerrel jelentősen kibővíthető a visszalépéses kereséssel megoldható feladatok köre Fix mezők: (0,0) (0,2) (0,3) (1,0) Üres mezők: (0,1) (0,4) (1,2) (1,3) Az egyes szinteknek az egyes üres mezők felelnek meg, ezek között kell keresni megfelelő számokat 1..9 között szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu 19
20 20 Hátizsákba pakolás Adott egy megadott méretű hátizsák és n darab tárgy, amelyeknek ismert a méretük és az értékük. Keressük a tárgyak azon halmazát, amelyek összmérete kisebb mint a hátizsák mérete, és a tárgyak összértéke maximális A visszalépéses keresés használható: ha néhány tárgy együtt nem fér a hátizsákba, akkor az ezen az úton nem kell tovább vizsgálódni A feladat egyszerűen leírható logikai típusú részeredményekkel. A részfeladatok száma egyenlő a tárgyak darabszámával, és minden részeredmény azt mutatja, hogy az adott tárgy bekerül a zsákba (igaz) vagy nem (hamis) Az algoritmus előzményfüggő változata használható: N = tárgyak száma M i = 2 ; R i,1 = igaz (adott tárgy bekerül), R i,2 = hamis (adott tárgy nem kerül be) F t igaz, ha a tárgy önmagában belefér a zsákba F k igaz, ha az előző tárgyakkal együtt sem lépte túl a maximális méretet Az optimális megoldás keresést gyorsíthatjuk vágással
21 21 További ötletek Logikai értékkészlet használata egymást (nem) kizáró esetek kezelése egy tartományból elemek kigyűjtése stb. Előre nem ismert értékkészlet használata síkbeli/térbeli pozíciók meghatározása Előre nem ismert részfeladatszám használata útkeresés
22 22 Irodalomjegyzék Javasolt/felhasznált irodalom Pap, Szlávi, Zsakó: μlógia4 Módszeres programozás: Rekurzió ELTE TTK, 2004 Szénási: Algoritmusok, adatszerkezetek II., Óbudai Egyetem, 2014 Wikipedia.org megfelelő szócikkek
Optimalizációs stratégiák 2.
Optimalizációs stratégiák 2. Visszalépéses keresés, szétválasztás és korlátozás előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai
RészletesebbenRekurzió. Témakörök. Rekurzió alapelve. Rekurzió alapjai Rekurzív algoritmusok végrehajtása Visszalépéses keresés Programtranszformációk
Rekurzió szenasi.sandor@nik.bmf.hu PPT 2007/2008 tavasz http://nik.bmf.hu/ppt 1 Témakörök Rekurzió alapjai Rekurzív algoritmusok végrehajtása Visszalépéses keresés Programtranszformációk 2 Rekurzió alapelve
RészletesebbenProgramozás II. előadás
Nem összehasonlító rendezések Nem összehasonlító rendezések Programozás II. előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Programozás II. 2 Rendezés
RészletesebbenOptimalizációs stratégiák 1.
Optimalizációs stratégiák 1. Nyers erő, Oszd meg és uralkodj, Feljegyzéses, Dinamikus, Mohó előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János
RészletesebbenB-fa. Felépítés, alapvető műveletek. Programozás II. előadás. Szénási Sándor.
B-fa Felépítés, alapvető műveletek előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar B-fa Felépítése Beszúrás művelete Törlés
RészletesebbenRekurzió. Működése, programtranszformációk. Programozás II. előadás. Szénási Sándor.
Rekurzió Működése, programtranszformációk előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Rekurzió Rekurzió alapjai Rekurzív
RészletesebbenBACKTRACKING Visszalépéses keresés
BACKTRACKING Visszalépéses keresés I. rész A wiki.prog.hu weboldal az alábbi leírással vezeti fel a visszalépéses keresés algoritmus bemutatását: A visszalépéses keresés (Backtracking) olyan esetekben
RészletesebbenLáncolt listák. Egyszerű, rendezett és speciális láncolt listák. Programozás II. előadás. Szénási Sándor
Láncolt listák Egyszerű, rendezett és speciális láncolt listák előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Láncolt
RészletesebbenInformatikai tehetséggondozás:
Ég és Föld vonzásában a természet titkai Informatikai tehetséggondozás: isszalépéses keresés TÁMOP-4.2.3.-12/1/KON A visszalépéses keresés (backtrack) a problémamegoldás igen széles területén alkalmazható
RészletesebbenAlgoritmusok és adatszerkezetek I. 1. előadás
Algoritmusok és adatszerkezetek I 1 előadás Típusok osztályozása Összetettség (strukturáltság) szempontjából: elemi (vagy skalár, vagy strukturálatlan) összetett (más szóval strukturált) Strukturálási
RészletesebbenGráfok 1. Tárolási módok, bejárások. Szoftvertervezés és -fejlesztés II. előadás. Szénási Sándor
Gráfok 1. Tárolási módok, bejárások előadás http://nik.uni-obuda.hu/sztf2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Gráfok 1. Tárolási módok Szélességi
RészletesebbenEgyszerű programozási tételek
Egyszerű programozási tételek 2. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. szeptember 15. Sergyán (OE NIK) AAO 02 2011. szeptember 15.
RészletesebbenAlgoritmizálás, adatmodellezés tanítása 8. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 8. előadás Elágazás és korlátozás A backtrack alkalmas-e optimális megoldás keresésére? Van költség, és a legkisebb költségű megoldást szeretnénk előállítani. Van
RészletesebbenÖsszetett programozási tételek
Összetett programozási tételek 3. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. szeptember 19. Sergyán (OE NIK) AAO 03 2011. szeptember
RészletesebbenGráfok 2. Legrövidebb utak, feszítőfák. Szoftvertervezés és -fejlesztés II. előadás. Szénási Sándor
Gráfok 2. Legrövidebb utak, feszítőfák előadás http://nik.uni-obuda.hu/sztf2 Szénási Sándor Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Legrövidebb utak keresése Minimális feszítőfa keresése Gráfok 2
Részletesebben29. Visszalépéses keresés 1.
29. Visszalépéses keresés 1. A visszalépéses keresés algoritmusa Az eddig megismert algoritmusok bizonyos értelemben nyílegyenesen haladtak elôre. Tudtuk, hogy merre kell mennünk, és minden egyes lépéssel
RészletesebbenAlgoritmusok, adatszerkezetek II.
NEUMANN JÁNOS INFORMATIKAI KAR Szénási Sándor Algoritmusok, adatszerkezetek II. ÓE-NIK 50 Budaest, 05. Készült az Óbudai Egyetem án az ÓE-NIK 50. sz. jegyzetszerz dés keretein belül 04-ben. Szerz : Dr.
RészletesebbenAlgoritmizálás és adatmodellezés tanítása 2. előadás
Algoritmizálás és adatmodellezés tanítása 2. előadás Tartalom Összegzés vektorra, mátrixra Megszámolás vektorra, mátrixra Maximum-kiválasztás vektorra, mátrixra Eldöntés vektorra, mátrixra Kiválasztás
RészletesebbenPermutáció n = 3 esetében: Eredmény: permutációk száma: P n = n! romámul: permutări, angolul: permutation
Visszalépéses módszer (Backtracking) folytatás Permutáció n = 3 esetében: 1 2 3 2 3 1 3 1 2 Eredmény: 3 2 3 1 2 1 123 132 213 231 312 321 permutációk száma: P n = n! romámul: permutări, angolul: permutation
RészletesebbenHaladó rendezések. PPT 2007/2008 tavasz.
Haladó rendezések szenasi.sandor@nik.bmf.hu PPT 2007/2008 tavasz http://nik.bmf.hu/ppt 1 Témakörök Alapvető összehasonlító rendezések Shell rendezés Kupacrendezés Leszámláló rendezés Radix rendezés Edényrendezés
RészletesebbenProgramozási módszertan. Mohó algoritmusok
PM-08 p. 1/17 Programozási módszertan Mohó algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu PM-08 p. 2/17 Bevezetés Dinamikus programozás
RészletesebbenVisszalépéses kiválogatás
elépő a tudás közösségébe Informatika szakköri segédanyag Heizlerné akonyi iktória, Horváth Győző, Menyhárt László, Szlávi Péter, Törley Gábor, Zsakó László Szerkesztő: Abonyi-Tóth Andor, Zsakó László
RészletesebbenMesterséges Intelligencia. Csató Lehel. Csató Lehel. Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007/2008
Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007/2008 Az Előadások Témái Bevezető: mi a mesterséges intelligencia... Tudás reprezentáció Gráfkeresési stratégiák Szemantikus hálók
RészletesebbenMesterséges Intelligencia. Csató Lehel. Csató Lehel. Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2010/2011 1/363
1/6 Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2010/2011 Az Előadások Témái 46/6 Bevezető: mi a mesterséges intelligencia... Tudás reprezentáció stratégiák Szemantikus hálók
RészletesebbenSzámítógép és programozás 2
Számítógép és programozás 2 6. Előadás Problémaosztályok http://digitus.itk.ppke.hu/~flugi/ Emlékeztető A specifikáció egy előfeltételből és utófeltételből álló leírása a feladatnak Léteznek olyan feladatok,
RészletesebbenProgramozási nyelvek a közoktatásban alapfogalmak I. előadás
Programozási nyelvek a közoktatásban alapfogalmak I. előadás Szempontok Programozási nyelvek osztályozása Felhasználói kör (amatőr, professzionális) Emberközelség (gépi nyelvektől a természetes nyelvekig)
RészletesebbenStruktúra nélküli adatszerkezetek
Struktúra nélküli adatszerkezetek Homogén adatszerkezetek (minden adatelem azonos típusú) osztályozása Struktúra nélküli (Nincs kapcsolat az adatelemek között.) Halmaz Multihalmaz Asszociatív 20:24 1 A
RészletesebbenHasító táblázatok. Hasító függvények, kulcsütközés kezelése. Programozás II. előadás. Szénási Sándor
Hasító táblázatok Hasító függvények, kulcsütközés kezelése előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Felépítése
RészletesebbenA félév során előkerülő témakörök
A félév során előkerülő témakörök rekurzív algoritmusok rendező algoritmusok alapvető adattípusok, adatszerkezetek, és kapcsolódó algoritmusok dinamikus programozás mohó algoritmusok gráf algoritmusok
RészletesebbenProgramozás I. Egyszerű programozási tételek. Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu
Programozás I. 3. előadás Egyszerű programozási tételek Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Alkalmazott Informatikai Intézet 2015. szeptember
RészletesebbenAlkalmazott modul: Programozás 4. előadás. Procedurális programozás: iteratív és rekurzív alprogramok. Alprogramok. Alprogramok.
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás 4. előadás Procedurális programozás: iteratív és rekurzív alprogramok Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto
RészletesebbenInformatikai tehetséggondozás:
Ég és Föld vonzásában a természet titkai Informatikai tehetséggondozás: isszalépéses kiválogatás TÁMOP-4.2.3.-12/1/KON isszalépéses kiválogatás 1. Az összes lehetséges sorrend Sokszor előfordul feladatként,
Részletesebben2. Visszalépéses keresés
2. Visszalépéses keresés Visszalépéses keresés A visszalépéses keresés egy olyan KR, amely globális munkaterülete: egy út a startcsúcsból az aktuális csúcsba (az útról leágazó még ki nem próbált élekkel
RészletesebbenAlgoritmusok és adatszerkezetek I. 3. előadás
Algoritmusok és adatszerkezetek I. 3. előadás Kupac A kupac olyan véges elemsokaság, amely rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: 1. Minden elemnek legfeljebb két rákövetkezője (leszármazottja) lehet.
RészletesebbenProgramozás alapjai II. (7. ea) C++ Speciális adatszerkezetek. Tömbök. Kiegészítő anyag: speciális adatszerkezetek
Programozás alapjai II. (7. ea) C++ Kiegészítő anyag: speciális adatszerkezetek Szeberényi Imre BME IIT M Ű E G Y E T E M 1 7 8 2 C++ programozási nyelv BME-IIT Sz.I. 2016.04.05. - 1
RészletesebbenSpeciális adatszerkezetek. Programozás alapjai II. (8. ea) C++ Tömbök. Tömbök/2. N dimenziós tömb. Nagyméretű ritka tömbök
Programozás alapjai II. (8. ea) C++ Kiegészítő anyag: speciális adatszerkezetek Szeberényi Imre BME IIT Speciális adatszerkezetek A helyes adatábrázolás választása, a helyes adatszerkezet
RészletesebbenBevezetés a programozásba. 5. Előadás: Tömbök
Bevezetés a programozásba 5. Előadás: Tömbök ISMÉTLÉS Specifikáció Előfeltétel: milyen körülmények között követelünk helyes működést Utófeltétel: mit várunk a kimenettől, mi az összefüggés a kimenet és
RészletesebbenProgramozás alapjai II. (7. ea) C++
Programozás alapjai II. (7. ea) C++ Kiegészítő anyag: speciális adatszerkezetek Szeberényi Imre BME IIT M Ű E G Y E T E M 1 7 8 2 C++ programozási nyelv BME-IIT Sz.I. 2016.04.05. - 1
RészletesebbenProgramozás I. Egyszerű programozási tételek. Sergyán Szabolcs
Programozás I. 3. előadás Egyszerű programozási tételek Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Alkalmazott Informatikai Intézet 2015. szeptember
RészletesebbenAlgoritmizálás, adatmodellezés tanítása 7. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 7. előadás Oszd meg és uralkodj! Több részfeladatra bontás, amelyek hasonlóan oldhatók meg, lépései: a triviális eset (amikor nincs rekurzív hívás) felosztás (megadjuk
RészletesebbenAlgoritmusok és adatszerkezetek 2.
Algoritmusok és adatszerkezetek 2. Varga Balázs gyakorlata alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. gyakorlat Nyílt címzéses hash-elés A nyílt címzésű hash táblákban a láncolással ellentétben egy indexen
RészletesebbenA 2007/2008 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló feladatainak megoldása. II. (programozás) kategória
Oktatási Hivatal A 2007/2008 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló feladatainak megoldása II. (programozás) kategória Kérjük a tisztelt tanár kollégákat, hogy a dolgozatokat az egységes
RészletesebbenMiskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Informatikai Intézet Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék
Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Informatikai Intézet Alkalmazott Informatikai Intézeti Tanszék 2016/17 2. félév 8. Előadás Dr. Kulcsár Gyula egyetemi docens Kereső algoritmusok alkalmazása
RészletesebbenHORVÁTH ZSÓFIA 1. Beadandó feladat (HOZSAAI.ELTE) ápr 7. 8-as csoport
10-es Keressünk egy egész számokat tartalmazó négyzetes mátrixban olyan oszlopot, ahol a főátló alatti elemek mind nullák! Megolda si terv: Specifika cio : A = (mat: Z n m,ind: N, l: L) Ef =(mat = mat`)
RészletesebbenAlgoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 03 Oszd meg és uralkodj. Nagy
Algoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 03 Oszd meg és uralkodj Divide & Conquer (,,Oszd meg és uralkodj ) paradigma Divide: Osszuk fel az adott problémát kisebb problémákra. Conquer: Oldjuk meg a kisebb
RészletesebbenÖsszetett programozási tételek Rendezések Keresések PT egymásra építése. 10. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 10.
Összetett programozási tételek Sorozathoz sorozatot relő feladatokkal foglalkozunk. A bemenő sorozatot le kell másolni, s közben az elemekre vonatkozó átalakításokat lehet végezni rajta: Input : n N 0,
RészletesebbenRekurzió. Dr. Iványi Péter
Rekurzió Dr. Iványi Péter 1 Függvényhívás void f3(int a3) { printf( %d,a3); } void f2(int a2) { f3(a2); a2 = (a2+1); } void f1() { int a1 = 1; int b1; b1 = f2(a1); } 2 Függvényhívás void f3(int a3) { printf(
RészletesebbenProgramozási tételek. PPT 2007/2008 tavasz.
Programozási tételek szenasi.sandor@nik.bmf.hu PPT 2007/2008 tavasz http://nik.bmf.hu/ppt 1 Témakörök Strukturált programozás paradigma Alapvető programozási tételek Összetett programozási tételek Programozási
RészletesebbenAdatszerkezetek II. 10. előadás
Adatszerkezetek II. 10. előadás Kombinatorikai algoritmusok A kombinatorika: egy véges halmaz elemeinek valamilyen szabály alapján történő csoportosításával, kiválasztásával, sorrendbe rakásával foglalkozik
RészletesebbenAlgoritmusokfelülnézetből. 1. ELŐADÁS Sapientia-EMTE
Algoritmusokfelülnézetből 1. ELŐADÁS Sapientia-EMTE 2015-16 Algoritmus Az algoritmus kifejezés a bagdadi arab tudós, al-hvárizmi(780-845) nevének eltorzított, rosszul latinra fordított változatából ered.
RészletesebbenRendezések. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar október 24.
Rendezések 8. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. október 24. Sergyán (OE NIK) AAO 08 2011. október 24. 1 / 1 Felhasznált irodalom
RészletesebbenEseménykezelés. Szoftvertervezés és -fejlesztés II. előadás. Szénási Sándor.
Eseménykezelés előadás http://nik.uni-obuda.hu/sztf2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Függvénymutatókkal Származtatással Interfészekkel Egyéb
RészletesebbenPartíció probléma rekurzíómemorizálással
Partíció probléma rekurzíómemorizálással A partíciószám rekurzív algoritmusa Ω(2 n ) műveletet végez, pedig a megoldandó részfeladatatok száma sokkal kisebb O(n 2 ). A probléma, hogy bizonyos már megoldott
RészletesebbenFelvételi tematika INFORMATIKA
Felvételi tematika INFORMATIKA 2016 FEJEZETEK 1. Természetes számok feldolgozása számjegyenként. 2. Számsorozatok feldolgozása elemenként. Egydimenziós tömbök. 3. Mátrixok feldolgozása elemenként/soronként/oszloponként.
RészletesebbenA programozás alapjai előadás. Amiről szólesz: A tárgy címe: A programozás alapjai
A programozás alapjai 1 1. előadás Híradástechnikai Tanszék Amiről szólesz: A tárgy címe: A programozás alapjai A számítógép részegységei, alacsony- és magasszintű programnyelvek, az imperatív programozási
RészletesebbenProgramozás I. 1. előadás: Algoritmusok alapjai. Sergyán Szabolcs
Programozás I. 1. előadás: Algoritmusok alapjai Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Alkalmazott Informatikai Intézet 2015. szeptember 7. Sergyán
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenAdatszerkezetek I. 4. előadás
Adatszerkezetek I. 4. előadás Kupac A kupac olyan véges elemsokaság, amely rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: 1. Minden elemnek legfeljebb két rákövetkezője (leszármazottja) lehet. Azaz bináris fának
RészletesebbenInformatikai tehetséggondozás:
Ég és Föld vonzásában a természet titkai Informatikai tehetséggondozás: Visszalépéses maximumkiválasztás TÁMOP-4.2.3.-12/1/KONV 1. Munkásfelvétel: N állás N jelentkező Egy vállalkozás N különböző állásra
Részletesebben1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +
RészletesebbenBevezetés a programozásba I 3. gyakorlat. PLanG: Programozási tételek. Programozási tételek Algoritmusok
Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai Kar Bevezetés a programozásba I 3. gyakorlat PLanG: 2011.09.27. Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Algoritmusok
RészletesebbenLOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA
LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Logika és érveléstechnika NULLADREND LOGIKA 3. Készítette: Szakmai felel s: 2011. február Készült a következ m felhasználásával: Ruzsa
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre
RészletesebbenKiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése
Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Az Ordó jelölés Azt mondjuk, hogy az f(n) függvény eleme az Ordó(g(n)) halmaznak, ha van olyan c konstans (c
RészletesebbenVisszalépéses maximumkiválasztás
Belépő a tudás közösségébe Informatika szakköri segédanyag Visszalépéses maximumkiválasztás Heizlerné Bakonyi Viktória, Horváth Győző, Menyhárt László, Szlávi Péter, Törley Gábor, Zsakó László Szerkesztő:
RészletesebbenTérinformatikai algoritmusok Elemi algoritmusok
Cserép Máté Analóg programozásnak nevezzük azt, amikor egy feladat megoldásához egy már ismert és megoldott feladat megoldását használjuk fel. Általában nem pontosan ugyanazt a feladatot oldottuk meg korábban,
RészletesebbenGráfok. Programozás II. előadás. Szénási Sándor.
Gráfok előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Tárolási módok Szélességi bejárás Mélységi bejárás Legrövidebb
RészletesebbenGráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 3. Előadás
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 3. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Pék Máté 2009. szeptember 21. 1. Folyamok 1.1. Definíció. G = (V, E, K, B) irányított gráf, ha e! v : ekv
RészletesebbenFák 2009.04.06. Témakörök. Fa definíciója. Rekurzív típusok, fa adatszerkezet Bináris keresőfa, bejárások Bináris keresőfa, módosítás B-fa
Fák szenasi.sandor@nik.bmf.hu PPT 2007/2008 tavasz http://nik.bmf.hu/ppt 1 Rekurzív típusok, fa adatszerkezet Bináris keresőfa, bejárások Bináris keresőfa, módosítás B-fa Témakörök 2 Fa (Tree): csomópontok
RészletesebbenBináris keresőfa. Felépítés, alapvető műveletek. Programozás II. előadás. Szénási Sándor
Bináris keresőfa Felépítés, alapvető műveletek előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Bináris keresőfa Rekurzív
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix
RészletesebbenTájékoztató. Használható segédeszköz: -
A 35/2016. (VIII. 31.) NFM rendelet szakmai és vizsgakövetelménye alapján. Szakképesítés, azonosító száma és megnevezése 54 481 06 Informatikai rendszerüzemeltető Tájékoztató A vizsgázó az első lapra írja
Részletesebben1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb
1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb #include main() { int a, b; printf( "a=" ); scanf( "%d", &a ); printf( "b=" ); scanf( "%d", &b ); if( a< b ) { inttmp = a; a =
RészletesebbenAdatszerkezetek Tömb, sor, verem. Dr. Iványi Péter
Adatszerkezetek Tömb, sor, verem Dr. Iványi Péter 1 Adat Adat minden, amit a számítógépünkben tárolunk és a külvilágból jön Az adatnak két fontos tulajdonsága van: Értéke Típusa 2 Adat típusa Az adatot
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenAlgoritmusok pszeudókód... 1
Tartalomjegyzék Algoritmusok pszeudókód... 1 Abszolút érték... 1 Hányados ismételt kivonással... 1 Legnagyobb közös osztó... 2 Páros számok szűrése... 2 Palindrom számok... 2 Orosz szorzás... 3 Minimum
RészletesebbenA 2013/2014 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló javítási-értékelési útmutató. INFORMATIKA II. (programozás) kategória
Oktatási Hivatal 2013/2014 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló javítási-értékelési útmutató INFORMTIK II. (programozás) kategória Kérjük a tisztelt tanár kollégákat, hogy a dolgozatokat
Részletesebbenangolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy
Mohó algoritmusok angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy 1. feladat. Gazdaságos telefonhálózat építése Bizonyos városok között lehet direkt telefonkapcsolatot kiépíteni, pl. x és y város
RészletesebbenAmortizációs költségelemzés
Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük
RészletesebbenAdatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter
Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter 1 Fák Fákat akkor használunk, ha az adatok között valamilyen alá- és fölérendeltség van. Pl. könyvtárszerkezet gyökér (root) Nincsennek hurkok!!! 2 Bináris fák Azokat
RészletesebbenTartalomjegyzék Algoritmusok - pszeudókód... 1 42
Tartalomjegyzék Algoritmusok - pszeudókód... 1 42 Abszolút érték...1 Hányados ismételt kivonással...1 Legnagyobb közös osztó... 1 2 Páros számok szűrése...2 Palindrom számok... 2 3 Orosz szorzás...3 Minimum
RészletesebbenTérinformatikai algoritmusok Elemi algoritmusok
Cserép Máté 2016. szeptember 14. Analóg programozásnak nevezzük azt, amikor egy feladat megoldásához egy már ismert és megoldott feladat megoldását használjuk fel. Általában nem pontosan ugyanazt a feladatot
RészletesebbenMakay Géza, makayg@math.u-szeged.hu, SZTE, Bolyai Intézet
Makay Géza, makayg@math.u-szeged.hu, SZTE, Bolyai Intézet A SUDOKU szabályai, története A Sudoku egy cellából álló rács. A rács kilenc kisebb, -as blokkra oszlik, amelyben elszórva néhány -től -ig terjedő
RészletesebbenAlgoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 9. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 18 Közelítő algoritmusok ládapakolás (bin packing) Adott n tárgy (s i tömeggel) és végtelen sok 1 kapacitású láda
RészletesebbenBevezetés az informatikába
Bevezetés az informatikába 6. előadás Dr. Istenes Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Programozáselmélet és Szoftvertechnológiai Tanszék Matematikus BSc - I. félév / 2008 / Budapest Dr.
RészletesebbenFUNKCIONÁLIS PROGRAMOZÁS
FUNKCIONÁLIS PROGRAMOZÁS A funkcionális programozás néhány jellemzője Funkcionális programozás 1-2 Funkcionális, más néven applikatív programozás Funkcionális = függvényalapú, függvényközpontú Applikatív
RészletesebbenHalmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A
Halmazok Érdekes feladat lehet, amikor bizonyos mennyiségű adatok között keressük az adott tulajdonsággal rendelkezők számát. A következőekben azt szeretném megmutatni, hogy a halmazábrák segítségével,
RészletesebbenGépi tanulás a gyakorlatban. Lineáris regresszió
Gépi tanulás a gyakorlatban Lineáris regresszió Lineáris Regresszió Legyen adott egy tanuló adatbázis: Rendelkezésünkre áll egy olyan előfeldolgozott adathalmaz, aminek sorai az egyes ingatlanokat írják
RészletesebbenDinamikus programozás vagy Oszd meg, és uralkodj!
Dinamikus programozás Oszd meg, és uralkodj! Mohó stratégia Melyiket válasszuk? Dinamikus programozás vagy Oszd meg, és uralkodj! Háromszögfeladat rekurzívan: c nj := a nj ha 1 j n c ij := a ij + max{c
RészletesebbenBranch-and-Bound. 1. Az egészértéketű programozás. a korlátozás és szétválasztás módszere Bevezető Definíció. 11.
11. gyakorlat Branch-and-Bound a korlátozás és szétválasztás módszere 1. Az egészértéketű programozás 1.1. Bevezető Bizonyos feladatok modellezése kapcsán előfordulhat olyan eset, hogy a megoldás során
RészletesebbenAlgoritmusok, adatszerkezetek II.
NEUMANN JÁNOS INFORMATIKAI KAR Szénási Sándor Algoritmusok, adatszerkezetek II. ÓE-NIK 0 Budaest, 0. Készült az Óbudai Egyetem án az ÓE-NIK 0. sz. jegyzetszerz dés keretein belül 0-ben. Szerz : Dr. Szénási
Részletesebben2019/02/11 10:01 1/10 Logika
2019/02/11 10:01 1/10 Logika < Számítástechnika Logika Szerző: Sallai András Copyright Sallai András, 2011, 2012, 2015 Licenc: GNU Free Documentation License 1.3 Web: http://szit.hu Boole-algebra A Boole-algebrát
RészletesebbenProgramozás II gyakorló feladatok
Programozás II gyakorló feladatok Feladat Programozási tételek összeépítése 1. Programozási tételek összeépítése Feladat - mintaadatok Állatkertünkben háromféle állat tárolunk különböző méretű ketrecekben
RészletesebbenProgramozás alapjai. 6. gyakorlat Futásidő, rekurzió, feladatmegoldás
Programozás alapjai 6. gyakorlat Futásidő, rekurzió, feladatmegoldás Háziellenőrzés Egészítsd ki úgy a simplemaths.c programot, hogy megfelelően működjön. A program feladata az inputon soronként megadott
Részletesebben2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
RészletesebbenOEP Gregorics Tibor: Minta dokumentáció a 3. házi feladathoz 1. Feladat. Elemzés 1
OEP Gregorics Tibor: Minta dokumentáció a 3. házi feladathoz 1. Feladat Különféle élőlények egy túlélési versenyen vesznek részt. A lények egy pályán haladnak végig, ahol váltakozó terep viszonyok vannak.
RészletesebbenA programozás alapjai előadás. [<struktúra változó azonosítók>] ; Dinamikus adatszerkezetek:
A programozás alapjai 1 Dinamikus adatszerkezetek:. előadás Híradástechnikai Tanszék Dinamikus adatszerkezetek: Adott építőelemekből, adott szabályok szerint felépített, de nem rögzített méretű adatszerkezetek.
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Részletesebben1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex
RészletesebbenRegresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.
Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert
Részletesebben