Fák Témakörök. Fa definíciója. Rekurzív típusok, fa adatszerkezet Bináris keresőfa, bejárások Bináris keresőfa, módosítás B-fa

Átírás

1 Fák PPT 2007/2008 tavasz 1 Rekurzív típusok, fa adatszerkezet Bináris keresőfa, bejárások Bináris keresőfa, módosítás B-fa Témakörök 2 Fa (Tree): csomópontok (nodes) halmaza, amelyeket élek (edges) kötnek össze, és teljesülnek az alábbi feltételek: létezik egy kitüntetett csomópont: a gyökér (root) a gyökértől különböző minden más c csomópont egy éllel van összekötve a szülőjéhez a fa összefüggő: bármely nem-gyökér csomóponttól kiindulva a szülőkön keresztül a gyökérhez eljutunk Gráfelmélet alapján fa definíciója: olyan gráf, amelyik összefüggő, nem tartalmaz kört Fa definíciója 3 1

2 Ha (v, w) E, akkor v-t a w szülőjének, w-t pedig a v gyerekének nevezzük Ha u-ból vezet út w-be, akkor v u a w őse, w az u leszármazottja Ha u w, akkor valódi ős illetve w leszármazott Valódi leszármazottal nem rendelkező csomó-pont a fa levele Egy s csomópont az összes leszármazottjával együtt F részfáját alkotja. Ennek gyökere s Erdő: Fák együtteséből álló irányított gráf Alapfogalmak u F=(V,E) s x y z 4 Csomópont mélysége: a gyökértől a hozzá elvezető út hossza Csomópont magassága: annak az innen kiinduló útnak a hossza, amelyik a leghosszabb a levelekig vezető utak közül Fa magassága: a gyökér magassága Csomópont szintje: a fa magassága a csomópont mélysége Fa jellemzői 5 Kiegyensúlyozott fa: legfeljebb egy szintnyi (mélység) eltérés van az egyes (azonos szinten található) részfái között Teljesen kiegyensúlyozott fa: minden csúcsából leágazó bal- és jobboldali részfa csúcsainak száma legfeljebb egyel különbözik egymáshoz képest Teljes fa: Minden csúcsból leágazó bal- és jobboldali részfa csúcsainak száma azonos Kiegyensúlyozottság 6 2

3 Az adatszerkezetek egy része jól leírható egy rekurzív szerkezettel is, ami fizikailag hasonló tárolást, de egészen más algoritmusokat eredményezhet TLista = Struktúra(tartalom, következő) A lista rekurzív értelmezése szerint minden eleme felfogható egy tartalom résszel, és egy másik (a következő mutató által mutatott elemmel kezdődő) listával rendelkező szerkezetként TFa = Struktúra(tartalom, fák) Egy fa egy eleme elképzelhető egy tartalom résszel, és további részfákkal rendelkező struktúrával TBinárisFa = Struktúra(tartalom, balfa, jobbfa) Bináris fa hasonló mint egy fa, csak definíció szerint legfeljebb két másik fát tartalmazhat Rekurzív típusok 7 Rekurzív típusok, fa adatszerkezet Bináris keresőfa, bejárások Bináris keresőfa, módosítás B-fa Témakörök 8 Bináris fa egy elemének a definíciója: TBinFaElem = Struktúra(tartalom, balgyerek, jobbgyerek) Tartalom (példákban tart): a tárolandó adat egyszerű típus összetett típus objektum referencia Balgyerek, jobbgyerek: a csomópont baloldali illetve jobboldali részfáinak a gyökerére hivatkozik (bal, jobb) A listához hasonlóan a gyerek mezőkben egy kitüntetett érték jelzi, ha hiányzik (példákban ) Általában egy külső változó tartalmaz egy hivatkozást a fa gyökérelemére (gyökér) A csomóponton belül egyéb mezők is lehetnek, pl. gyakran tároljuk a szülő címét is Bináris fa eleme 9 3

4 Példa bináris fára: gyökér * + x - / 6 z y 10 Aritmetikai kifejezés fa: Levelek: operandusok Csomópontok: operátorok Fenti kifejezés: (x + (y 10)) * (6 / z) Példa bináris fára 10 Rendezett fa, emiatt pontosítjuk a struktúrát: TBSTElem = Struktúra(kulcs, tartalom, balgyerek, jobbgyerek) Kulcs alapján rendezett: a fa minden r csomópontjára igaz, hogy r baloldali részfája legfeljebb r.kulcs nagyságú, r jobboldali részfája pedig legalább r.kulcs nagyságú kulcsokat tartalmaz A rendezés természetesen lehet fordított is A kulcs lehetséges megvalósításai különálló kulcs mező a kulcs a tartalom része a kulcs a tartalomból számítható érték Bináris keresőfa (BST) 11 Példa bináris keresőfára: gyökér 55 Megjegyzések: a későbbiekben a záró -eket nem jelöljük, az algoritmusokban azonban számítunk ezekre üres fa esetén: gyökér = Példa bináris keresőfára

5 Bejárás: az adatszerkezet valamennyi elemének egyszeri elérése (feldolgozása) A láncolt listához hasonlóan a bejárás algoritmusa független a végrehajtandó tevékenységtől, ezért az algoritmuson belül csak utalást teszünk erre Mivel a láncolt listával ellentétben egy elemből több irányban is tovább lehet lépni, többféle bejárás is elképzelhető A csomópontokban található adatok (tartalom, bal, jobb) feldolgozásának sorrendje alapján három fő változat különböztethető meg (ezen belül a bal és jobb megcserélhető): PreOrder: tartalom, bal, jobb InOrder bejárás: bal, tartalom, jobb PostOrder: bal, jobb, tartalom Bejárás 13 PreOrder bejárás algoritmusa Eljárás PreOrder(p) Ha p akkor Feldolgozás(p) PreOrder(p.bal) PreOrder(p.jobb) Eljárás vége Bejárás indítása PreOrder(gyökér) rekurzió teljes fa bejárása PreOrder(p) részfa bejárása Gyakorlati alkalmazás: fa elmentése PreOrder bejárás 14 InOrder bejárás algoritmusa Eljárás InOrder(p) Ha p akkor InOrder(p.bal) Feldolgozás(p) InOrder(p.jobb) Eljárás vége Bejárás indítása InOrder(gyökér) rekurzió teljes fa bejárása InOrder(p) Gyakorlati alkalmazás: elemek elérése rendezés szerinti sorrendben (növekvő vagy csökkenő) InOrder bejárás részfa bejárása 15 5

6 PostOrder bejárás algoritmusa Eljárás PostOrder(p) Ha p akkor PostOrder(p.bal) PostOrder(p.jobb) Feldolgozás(p) Eljárás vége Bejárás indítása PostOrder(gyökér) rekurzió teljes fa bejárása PostOrder(p) Gyakorlati alkalmazás: fa felszabadítása részfa bejárása PostOrder bejárás 16 Alapelv: a fa gyökérelemének kulcsa vagy egyenlő a keresett kulccsal, vagy egyértelműen meghatározza, hogy melyik részfában kell a keresést folytatni Ez ugyanúgy igaz a teljes bináris fa gyökérelemére, illetve bármelyik (a keresés során elért) részfájának gyökerére A keresés menete (keresendő kulcs: x) bázis ha T üres, akkor x nincs benne ha T gyökerének címkéje x, akkor talált indukció (legyen T gyökerének kulcsa y) ha x < y, akkor x-et a bal részfában, ha x > y, akkor a jobb részfában keressük Keresés BST-ben 17 Kulcs alapján keresés Függvény Keresés(p, mitkeres) Ha p akkor Ha p.kulcs = mitkeres akkor Keresés p különben Ha p.kulcs > mitkeres akkor Keresés Keresés(p.bal, mitkeres) Különben Keresés Keresés(p.jobb, mitkeres) Különben Keresés Függvény vége Keresés algoritmusa 18 6

7 Rekurzív típusok, fa adatszerkezet Bináris keresőfa, bejárások Bináris keresőfa, módosítás B-fa Témakörök 19 A beszúrás során az elem beláncolásán kívül ügyelnünk kell a keresőfa tulajdonság fenntartására is Ugyanazok az elemek többféleképpen is elhelyezkedhetnek egy bináris keresőfában, beszúráskor ez alapján több stratégiánk is lehet minél kisebb erőforrásigényű legyen a beszúrás minél kiegyensúlyozottabb legyen a fa a beszúrás(ok) után A beszúrás menete (beszúrandó kulcs: x) bázis ha T üres, akkor új csomópontot készítünk x kulccsal és visszatérünk a csomópont címével ha T gyökerének kulcsa x, akkor visszatérünk a csomópont címével indukció (legyen T gyökerének kulcsa y) ha x < y, akkor x-t a bal részfába, ha x > y, akkor a jobb részfába szúrjuk be Beszúrás BST-be 20 Függvény Beszúrás(címszerint p, újkulcs) Ha p = akkor ElemLétrehozás(p) p.kulcs újkulcs; p.bal ; p.jobb Beszúrás p Különben Ha p.kulcs > újkulcs akkor Beszúrás Beszúrás(p.bal, újkulcs) Különben Ha p.kulcs < újkulcs akkor Beszúrás Beszúrás(p.jobb, újkulcs) Különben Beszúrás p Függvény vége Beszúrás algoritmusa 21 7

8 A bináris fa előnyei rendezett ebből adódóan gyors keresés relatíve gyors elem felvétel relatíve gyors elem törlés, legrosszabb esetben sincs szükség a fa nagy részének átalakítására a csomópontok tartalma gyakran egy más adatszerkezet elemére mutat: ideális indexelésre kiegészítő adatszerkezetként A bináris fa hátrányai bonyolult, lásd bejárások rekurzióval a műveletek költségesek, illetve maga a rekurzió az OOP nyelvekben gyakran életidegen módon jelenik meg elemek nem érhetőek el közvetlenül (sőt, maga az indexelés sem egyértelmű, csak a bejárás módjával együtt) a gyors keresés nem garantált, csak kiegyensúlyozott fákban valósul meg a két gyerek címe miatt még nagyobb egy elem helyfoglalása Miért használjuk? 22 Rekurzív típusok, fa adatszerkezet Bináris keresőfa, bejárások Bináris keresőfa, módosítás Piros-fekete fa B-fa Témakörök 23 B-fa: Olyan kiegyensúlyozott keresőfa, amelyet úgy terveztek, hogy hatékonyan lehessen alkalmazni háttértárolón tárolt adatok esetén is Gyakorlati szempontból a futási időt két összetevőre bontjuk fel lemezhozzáférések száma központi egység műveleteinek száma Napjainkban alkalmazott háttértárolók általában nagyságrendekkel nagyobb sebességet tudnak elérni blokkok írása/olvasása során, mintha ugyanezt az adatmennyiséget elemi adatokként írnák/olvasnák A keresés során tehát egy optimalizálási lehetőség, ha a lemezhozzáférések számát blokkonkénti kezeléssel próbáljuk csökkenteni B-fa 24 8

9 n a csúcsban tárolt kulcsok darabszáma (rá vonatkozó korlátokat lásd következő oldalon) levél logikai érték, ami mutatja, hogy levélről vagy belső csúcsról van szó kulcs 1 kulcs 2... kulcs n a csúcsban tárolt kulcsok c 1 c 2... c n+1 a csúcs gyerekeinek (részfáinak) címei tartalom tetszőleges típusú tartalom, a példákban mindig feltételezzük, hogy a kulcsokkal együtt mozog B-fa egy csúcsának felépítése 25 Ha k i egy kulcs a c i gyökerű részfában, akkor: k 1 kulcs 1 k 2 kulcs 2... k n kulcs n k n+1 Minden levél mélysége azonos: h (fa magassága) A csúcsokban található kulcsok darabszáma alulról és felülről is korlátos, ezt egy rögzített t számmal lehet kifejezni (B-fa minimális fokszáma): minden nemgyökér csúcsnak legalább t-1 kulcsa van, tehát minden belső csúcsnak legalább t gyereke minden csúcsnak legfeljebb 2t-1 kulcsa lehet, tehát minden belső csúcsnak legfeljebb 2t gyereke A kulcsok darabszámára más módon is adhatunk korlátot, mi mindig ezt a definíciót használjuk (egyes szakirodalmak azonban ettől eltérhetnek) B-fa további jellemzői 26 gyökér N C F I Q T A B D E G H J K O P R S W X A példában t = 3, tehát a gyökércsúcs kivételével a csúcsokban található kulcsok száma minimum 2 maximum 5 B-fa példa 27 9

10 y = x.c i y x A I U B C D E F G H t = 4 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 x A E I U y = x.c i z = x.c i+1 y B C D F G H z T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 B-fa csúcsának szétvágása 28 A szétvágás lépései 1. Új z csúcs létrehozása 2. Az y utolsó t-1 db kulcsának (és ha van, gyerek mutatójának) átmásolása z-be 3. Az y így maradt legnagyobb kulcsának felvitele x-be 4. A z csúcs legyen x gyereke a 3. pontban felvitt kulcs után Megjegyzés: y telített, x nem telített A vágáshoz szükség van egy hivatkozásra az elem szülőjére. Ezt vagy minden elemben eltároljuk, vagy az algoritmusnak kell nyilvántartania Speciális eset: gyökér szétvágása lépések hasonlóak a fentihez ezt követően a gyökér elem az újonnan létrehozott elem lesz B-fa csúcsának szétvágása 29 Feladat: x csúcsba egy új K kulcs beszúrása Megkülönböztetett esetek x egy levélelem x nem levélelem x a gyökérelem és telített Első két esetben feltételezzük, hogy az x elem nem telített! A) Ha x egy levélelem 1. a K kulcs helyének megkeresése az x.kulcs i - k alapján 2. e mögötti x.kulcs i -k hátraléptetése 3. a K elhelyezése az üres helyre 4. az x.n növelése B-fába új elem beszúrása 30 10

11 Példa: F beszúrása (t = 4) A O U... B C D E H I A O U... B C D E F H I A) x egy levélelem 31 B) Ha x nem levélelem 1. a K kulcsnak megfelelő gyerek meghatározása az x.kulcs i -k alapján 2. az így meghatározott gyerek betöltése x- be 3. ha ez a gyerek telített, szétvágás; vágás esetén ha szükséges (a keresést a létrejött új elemben kell folytatni), x aktualizálása 4. a beszúrást végző rekurzió folytatása az új csúcson B-fába új elem beszúrása 32 Példa: G beszúrása (t = 4) A O U... B C D E F H I A F O U... B C D E G H I B) x nem levélelem 33 11

12 C) Ha x a gyökér és telített: 1. az x szétvágása egy új gyökérelem létrehozásával 2. a beszúrás rekurzió indítása a megfelelő gyerek csúcsban A gyökércsúcs kettévágása az egyetlen művelet, amely a B-fa magasságát növeli A bináris keresőfával ellentétben tehát a B-fa a gyökerénél nő, és nem a fa alján Ennek köszönhetően a B-fa mindig kiegyensúlyozott B-fába új elem beszúrása 34 Példa: X beszúrása (t = 4) B C D E F G H E B C D F G H X C) x a gyökér és telített 35 Törlés Bejárás alapelve hasonló a bináris fáknál megismerttel, kibővítve azzal, hogy egy csúcsnak több tartalma és gyereke lehet, így csúcsokon belül is egy ciklust kell indítani Keresés alapelve hasonló a bináris fáknál megismerttel, kibővítve azzal, hogy egy csúcsnak több tartalma és gyereke lehet, így csúcsokon belül is egy ciklust kell indítani Keresés hatékony, mivel a fa mindig kiegyensúlyozott, így biztosítható az ideális keresési lépésszám mivel egy csúcs több kulcsot tartalmaz, így kevesebb csúcsbetöltést igényel, ezzel kevesebb háttértár műveletet B-fa további műveletei 36 12

13 Cormen, Leiserson, Rivest: Algoritmusok Műszaki Könyvkiadó, 1997 Pap, Szlávi, Zsakó: μlógia27 Rekurzív típusok ELTE TTK, 1994 Javasolt/felhasznált irodalom 37 13