Kupac adatszerkezet. 1. ábra.

Átírás

1 Kupac adatszerkezet A bináris kupac egy majdnem teljes bináris fa, amely minden szintjén teljesen kitöltött kivéve a legalacsonyabb szintet, ahol balról jobbra haladva egy adott csúcsig vannak elemek. A fát egy tömbben reprezentáljuk, minden elem a szint szerinti bejárás szerinti sorszámának megfelelő eleme a tömbnek. A kupacot reprezentáló A tömbhöz két értéket rendelünk, hossz(a) a tömb mérete, kupacmeret(a) a kupac elemeinek a száma. A kupac gyökere A[], a szerkezeti kapcsolatok egyszerűen számolhatóak: A[i] bal fia A[i] A[i] jobb fia A[i + ] A[i] apja A[ i/ ] A kupac minden gyökértől különböző elemére teljesül, hogy az értéke nem lehet nagyobb, mint az apjáé. Ennek következménye, hogy a kupac minden részfájára teljesül, hogy a gyökéreleme maximális ábra. A=[,,3,4,,6,7,8,9] MAXIMUM-KUPACOL Eljárás A MAXIMUM-KUPACOL eljárás helyreállítja az A[i] elemre a kupactulajdonságot. Az elemet süllyeszti cserékkel mindaddig, amíg a tulajdonság sérül. MAXIMUM-KUPACOL(A,i) l:=i //az A[i] elem bal fiának indexe r:=i+ //az A[i] elem jobb fiának indexe if l<=kupacmeret(a) and A[l]>A[i] then max:=l else max:=i if r<=kupacmeret(a) and A[r]>A[max] then max:=r // A[max] a három elem közül a legnagyobb if max!=i then {Csere(A[i],A[max]) MAXIMUM-KUPACOL(A,max)}

2 Példa A=[,4,3,8,3,4,6,] MAXIMUM-KUPACOL(A,) A=[4,,3,8,3,4,6,] A=[4,8,3,,3,4,6,] ábra. Kupacrendezés Elsőként a rendezendő elemek tömbjét egy kupaccá kell alakítani. Erre szolgál a // KUPACEPIT eljárás: KUPACEPIT(A) kupacmeret(a):=hossz(a) for i=[hossz(a)/] downto MAXIMUM-KUPACOL(A,i) A kupacrendezés algoritmusa ekkor a következő KUPACREND(A) KUPACEPIT(A) for i=hossz(a) downto {csere(a[],a[i]) kupacmeret(a):=kupacmeret(a)- MAXIMUM-KUPACOL(A,)} A=[,3,,,7,7,0,8,4] KUPACEPIT(A): MAXIMUMKUPACOL(A,4): A=[,3,,,7,7,0,8,4] MAXIMUMKUPACOL(A,3): A=[,3,0,,7,7,,8,4] MAXIMUMKUPACOL(A,): Példa

3 A=[,,0,3,7,7,,8,4] MAXIMUMKUPACOL(A,): A=[,,0,3,7,7,,8,4] A=[,3,0,,7,7,,8,4] A=[,3,0,8,7,7,,,4] A=[4,3,0,8,7,7,,, ] MAXIMUMKUPACOL(A,): A=[0,3,4,8,7,7,,, ] A=[0,3,7,8,7,4,,, ] A=[,3,7,8,7,4,, 0,] MAXIMUMKUPACOL(A,): A=[7,3,,8,7,4,, 0,] A=[,3,,8,7,4, 7,0,] MAXIMUMKUPACOL(A,): A=[3,,,8,7,4, 7,0,] A=[3,8,,,7,4, 7,0,] A=[4,8,,,7, 3,7,0,] MAXIMUMKUPACOL(A,): A=[8,4,,,7, 3,7,0,] A=[8,7,,,4, 3,7,0,] A=[4,7,,, 8,3,7,0,] MAXIMUMKUPACOL(A,): A=[7,4,,, 8,3,7,0,] A=[,4,, 7,8,3,7,0,] MAXIMUMKUPACOL(A,): A=[,4,, 7,8,3,7,0,] A=[,4,,7,8,3,7,0,] MAXIMUMKUPACOL(A,): A=[4,,,7,8,3,7,0,] A=[, 4,,7,8,3,7,0,] Műveletigény elemzése A kupacrendezés során O(n) darab MAXIMUM-KUPACOL eljárást hajtunk végre. Minden MAXIMUM-KUPACOL eljárás műveletigénye legfeljebb az aktuális fa magasságával arányos, azaz O(log n) Következésképpen a kupacrendezés műveletigénye O(nlogn). Priorítási sor megvalósítása kupaccal A maximális elemet a kupac gyökere tartalmazza A maximális elem törlését követően, a kupacot tároló tömb utolsó elemét a helyére rakva, a MAXIMUM- KUPACOL eljárást végrehajtva a kupactulajdonság helyreáll. A sorba művelet esetén az aktuális elemet a tömb végére helyezzük el, majd ha nagyobb az apjánál, akkor kicseréljük az apjával és az új helyén ugyanezt rekurzívan végrehajtjuk. Megjegyzés: A kupacrendezés tulajdonképpen egy priorítási sorba rakja az elemeket, majd rendre kiveszi a maximális elemet. 3

4 Preorder bejárás Fa bejárásán olyan algoritmust értünk, amelynek bemenete egy F fa és egy M művelet, és az algoritmus adott sorrendben pontosan egyszer végrehajtja az M műveletet a fa pontjaiban lévő adatokra. A preorder bejárási sorrend azt jelenti, hogy F minden p és q pontjára ha q fia p-nek, vagy p bal-testvére q-nak, akkor p megelőzi q-t a bejárási sorrendben. A bejárás első eleme a gyökér, utána az első fiú gyökerű részfát járjuk be rekurzívan, majd a második fiú részfáját, és így folytatva a gyökér utolsó fiának a részfáját ábra. Egy rekurzív preorder bejárás Feltesszük, hogy a fa a g gyökérpontja által van megadva elsőfiú testvér reprezentációval, és az M műveletet akarjuk minden ponton végrehajtani. Preorder(g,M) if g=nil then return //Üres fa else {M(g) //gyökéren végrehajtott művelet p:=g.elsofiu while (p!=nil) {Preorder(p,M) p:=p.testver}} // a gyerekeken sorbamenve rekurzív hívás Egy másik rekurzív preorder bejárás Ismét feltesszük, hogy a fa a g gyökérpontja által van megadva elsőfiú testvér reprezentációval, és az M műveletet akarjuk minden ponton végrehajtani. Preorder(g,M) if g=nil then return //Üres fa else {M(g) //gyökéren végrehajtott művelet if g.elsofiu!=nil then Preorder(g.Elsofiu,M) if g.testver!=nil then Preorder(g.Tesver,M)} 4

5 Az első rekurzív hívás az g.elsofiu pontból az elsőfiu és testvér kapcsolatok szerint elérhető pontokra végez helyes preorder bejárást, majd a második rekurzív hívás pedig a g.testver pontból az elsőfiu és testvér kapcsolatok szerint elérhető pontokra végez helyes preorder bejárást, tehát a g gyökerű fa preorder bejárását kapjuk. Kiskérdések Maximum kupacol algoritmus kupacrendezés algoritmusa (kupacepit kell, Maximum-kupacol nem) Kupacrendezés végrehajtása adott tömbön a közbenső kupacok megadásával rekurzív preorder bejárás algoritmus