Információs társadalom alapismeretek

Átírás

1 Információs társadalom alapismeretek Szabó Péter Gábor Titkosítás és számítástechnika Titkosítás alapfogalmai A Colossus

2 Kriptográfia A rejtjelezés két fı lépésbıl áll: 1) az üzenet titkosítása (kódolás) 2) a titkos üzenet megfejtése (dekódolás). A legtöbb titkosítási eljárás korábban olyan volt, hogy aki tudta, hogy az 1)-et hogyan kell végrehajtani az egyben azt is tudja, hogy a másodikat hogyan kell csinálni, így a kódolás módját szigorúan titokban kellett tartani. Ha az kiderül, más egyszerően csak megfordítja az eljárást és akkor megfejti vele az üzenetet. 2

3 Nyilvános kulcsú titkosírás Az 1970-es évek közepén R. Merkle, W. Diffie és M. Hellman arra jöttek rá, hogy az elıbbi érvelés nem egészen helyes. Gyenge pontja: az egyszerően. Tegyük fel, hogy olyan a titkosító eljárás, hogy a megfordítását nagyon nehéz visszacsinálni (vannak ilyen dolgok az életben: pl. keménytojásfızés). A titkosító eljárást ilyenkor nyugodtan nyilvánosságra lehet hozni. 3

4 Csapóajtófüggvény Legyen U a titkos üzenet. A kódolás ebbıl egy f(u) titkos üzenetet állít elı. Az üzenet dekódolása azt jelenti, hogy keresünk egy olyan inverz függvényt, amelyre f f-et csapóajtófüggvénynek nevezzük, ha f könnyen számolható, de az inverze csak nagyon nehezen (gyakorlati szempontból egyáltalán nem). 1 f 1 ( f ( U )) = U. 4

5 Csapóajtófüggvény A csapóajtófüggvény az elıbbi formájában még nem hasznos, mivel a dekódolónak is így éppen olyan nehéz a megfejtése, mint bárki másnak. Ezért módosítunk egy kicsit a definíción. Legyen f olyan, hogy egyetlen titokban tartott többletinformáció segítségével már az inverz is könnyen számolható legyen. Ezt az információt persze nem szabad senkinek kiadni, csak annak aki elolvashatja az üzenetet. 5

6 Az RSA jegyő számok prímtényezıre való felbontása most még nagyon nehéz feladat. Ha összeszorzunk két 100 jegyő prímet, és csupán a szorzat értékét hozzuk nyilvánosságra, akkor annak a tudásnak, hogy a szorzat milyen prímtényezıkbıl áll, a földkerekségen csak mi leszünk az egyetlen birtokosai (hacsak a titkunkat el nem áruljuk valakinek). 6

7 Az RSA Tegyük fel, hogy a takarítónı tévedésbıl kidobta a p és q számokat, de a pq szorzat megmaradt. Hogyan nyerhetjük vissza a tényezıket? Csakis a matematika vereségeként érzékelhetjük, hogy ennek legreményteljesebb módja a szeméttelep átguberálása és memohipnotikus technikák alkalmazása. Ifj. Hendrik W. Lenstra 7

8 Az RSA módszer lényege Választunk két nagy (kb jegyő) prímszámot: p és q. Kiszámoljuk p és q szorzatát, legyen ez n, valamint a (p-1)(q-1) szorzatot is. Keressünk egy olyan e számot, amely relatív prím a (p-1)(q-1)-hez. Számítsuk ki az e-nek a (p-1)(q-1) számra vonatkozó f inverzét, vagyis amelyre teljesül: ef 1(mod ( p 1)( q 1)). 8

9 Az RSA módszer lényege Titokban tartjuk az f értékét. (Természetesen p-t és q-t is de azokat késıbb közvetlenül nem használjuk, így akár el is felejthetjük ıket.) Nyilvánosságra hozzuk: az n és e értékét. 9

10 Mit tesz az, aki titkos üzenetet akar küldeni nekünk? Adott a P üzenet, ezt kell titkosítani. Elıször is átalakítja egy számmá. Pl. P-t 26-os számrendszerbeli számként kezeli (az angol ábécét használva), vagy egyszerő behelyettesítést használ: 01= A, 02= B, 26= Z. (00=helyköz) P-t ezután n-nél legalább 1 jeggyel rövidebb blokkokra darabolja: p p,..., 1, 2 p k 10

11 Az RSA módszer lényege e e e Kiszámolja a p1, p2, K, pk (mod n) maradékokat. Ezek lesznek az elküldendı c, c, 1 2 K, c k üzenetblokkok. Mindegyikre teljesül, hogy n-nél kisebb szám és e p1 c1 ( mod n) e p c ( mod n) Tehát a rejtjeles üzenet a M p 2 e k c 2 k ( mod n) c, c, 2 K, c 1 k. 11

12 Hogyan olvassuk el az üzenetet? Minden c, c, 1 2 K, c k üzenetblokkra kiszámoljuk annak f kitevıjő hatványának n-nel vett osztási maradékát. (f-et csak mi ismerjük.) c c M c f 1 f 2 f k p p p 1 2 k ( mod n) ( mod n) ( mod n) Vegyük észre, hogy a dekódolás egyértelmő. 12

13 Hogyan lehet feltörni az RSA-t? (Legalábbis mit kellene tudnunk ehhez?) Világos, hogy f ismeretében bárki megfejtheti az üzenetet. De ha f titkos, ki lehet-e találni? Emlékeztetıül: ef 1(mod ( p 1)( q 1)). Ha p-t és q-t tudnánk, akkor csak a fenti kongruenciát kellene megoldani és megvan az f. Csakhogy ha p és q nagy prímszámok, akkor n faktorizálása még számítógéppel is reménytelen, legalábbis nem ismert olyan algoritmus amivel ezt a feladatot hatékonyan meg lehet oldani. 13

14 Kérdezhetné valaki Nekem igazából nem a p-re és a q-ra, hanem a (p-1)(q-1) szorzatra van szükségem. Mi van akkor ha ezt a szorzatot esetleg matematikailag úgy is meg lehet határozni, hogy p és q továbbra is ismeretlen? Azonban (p-1)(q-1) kiszámolása valamint p és q meghatározása egyenértékő probléma pq = n p + q = pq ( p 1)( q 1)

15 Egy további kérdés lehetne Mi van akkor ha f nemcsak így számolható? ef 1(mod ( p 1)( q 1)). Ki tudja??? Mindenesetre ma úgy sejtik, hogy az n faktorizációja és az RSA feltörése ekvivalensek abban az értelemben, hogy ha az egyiket meg tudnánk hatékonyan csinálni, akkor a másikat is. 15

16 Az RSA a gyakorlatban A gyakorlatban az RSA-t a számolási idı miatt általában nem maguknak az üzeneteknek a továbbítására használják. Helyette az üzeneteket valamilyen klasszikus módszer szerint rejtjelezik, de gyakran változtatják a kulcsot. Az RSA szerepe az új kulcs biztonságos elküldésében van. 16

17 Az RSA feltörése A kód felfedezıi a Scientific American lapban 1977-ben kitőzték az alábbi feladatot és 100$ jutalmat ajánlottak fel a megoldónak. A rejtjelezett üzenet: C= A nyilvánosságra hozott kitevı: e=

18 Az RSA feltörése A feltörés az alábbi 129 jegyő n szám faktorizálásával történt: n = n =

19 Az RSA feltörése Az így meghatározott titkos kitevı: f = A hatványozás után a rejtjelezett üzenet: P = =szóköz, 01=A, 02=B,, 26=Z 19

20 Az RSA feltörése A megfejtés THE MAGIC WORDS ARE SQUEAMISH OSSIFRAGE A VARÁZSSZÓ A KÉNYESGYOMRÚ HALÁSZSAS 20

21 1. Szorgalmi feladat Nyilvános kódoló kulcsaink: n =19177 e = 6353 A következı üzenetet kapjuk: Fejtsük meg az üzenetet a titokban tartott f=17 dekódoló kulcs segítségével. 21

22 2. Szorgalmi feladat A következı üzenetet egy n =13843 e = 8165 nyilvános kulcsokkal rendelkezı RSAfelhasználónak küldték. Törjük fel a kódot!

23 Enigma 23

24 Lorenz SZ40 24

25 Colossus 25

26 Irodalomjegyzék Megyesi László, Bevezetés a számelméletbe, Polygon, Szeged,1997. Megyesi Zoltán, Titkosírások, Szalay Könyvkiadó és Kereskedıház Kft., Révay Zoltán, Titkosírások. Fejezetek a rejtjelezés történetébıl, Lazi Könyvkiadó, Szeged, Simon Singh, Kódkönyv. A rejtjelezés és a rejtjelfejtés története, Park Könyvkiadó, Ian Stewart, A matematika problémái, Akadémiai Kiadó, Bp.,