Az online algoritmusok k-szerver probléma
|
|
- Balázs Csonka
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Az online algoritmusok k-szerver probléma Bittner Emese, Imreh Csanád, Nagy-György Judit Szegedi Tudományegyetem
2 Online algoritmusok Online problémáról beszélünk azokban az esetekben, ahol nem ismert az egész input, hanem az algoritmus az inputot részenként kapja meg, és a döntéseit a megkapott részletek alapján a további részekre vonatkozó információk nélkül kell meghoznia. Az algoritmusok hatékonyságát általában a versenyképességi analízis alapján mérik (a másik használt elemzési módszer az átlagos eset analízis). Optimalizálási feladatok esetén minden I inputra OPT (I) jelöli az optimális megoldás célfüggvényértékét és egy A algoritmusra A(I) jelöli az algoritmus által az A inputon felvett célfüggvényértéket. Minimalizálási feladatok esetén egy online A algoritmusra azt mondjuk C-versenyképes, ha minden I inputra teljesül A(I) C OPT (I). Gyakran a definícióban megengednek egy inputtól független D additiv konstanst, azaz az A(I) C OPT (I) + D egyenlőtlenségnek kell teljesülnie minden inputra, ekkor enyhe versenyképességről beszélünk. Egy algoritmus versenyképességi hányadosának a legkisebb C számot nevezzük, amire C-versenyképes.
3 Szórakozott professzor Adott egy parkoló, ahol egy professzor a kocsiját tartja. A parkolóhelyeket egy n és n közötti egész szám azonosítja, az azonosító szerint helyezkednek el balról jobbra. (Az egyszerűbb számolás érdekében tegyük fel, hogy 0-ás parkolóhely nincs.) A professzor kijön az egyetemről az 1 és 1 parkolóhelyek között. Nem tudja hol parkol, és meg akarja keresni a kocsiját.
4 Normális algoritmus: Kipróbáljuk a pozitív irányt, elmegyünk a kocsiig vagy a parkoló végéig, és ha nem találjuk meg a kocsit, akkor visszafordulunk és kipróbáljuk a másik oldalt. A legrosszabb input a n, amelyre az algoritmus költsége 3n, az optimális költség n, így a versenyképességnél számolt hányados 3.
5 Normális algoritmus: Kipróbáljuk a pozitív irányt, elmegyünk a kocsiig vagy a parkoló végéig, és ha nem találjuk meg a kocsit, akkor visszafordulunk és kipróbáljuk a másik oldalt. A legrosszabb input a n, amelyre az algoritmus költsége 3n, az optimális költség n, így a versenyképességnél számolt hányados 3. Az algoritmus nem 3-versenyképes, mivel ez a klasszikus értelemben vett legrosszabb eset. Versenyképesség szempontjából a legrosszabb eset a 1, hiszen ott az algoritmus költsége 2n + 1 az optimális költség 1 és a hányados 2n + 1
6 A következő gondolat, hogy a i-dik fázisban elmegyünk jobbra az i-edik helyig, majd onnan, ha nem találjuk a kocsit balra a i-edik helyig. Ez az algoritmus sem konstans versenyképes, hiszen ha a kocsi a n helyen áll, akkor az optimális költség n az algoritmus költsége 4 n 1 i=1 i + 3n = n(2n + 1). Ezt követően adódik a gondolat, hogy kevesebb irányváltoztatással keressük a kocsit. Az i-dik fázisban elmegyünk jobbra az 2 i -edik helyig, majd onnan, ha nem találjuk a kocsit balra az 2 i -edik helyig. Erről az algoritmusról már belátható, hogy konstans-versenyképes. Tegyük fel, hogy a kocsi a k helyen van. Legyen i olyan kitevő, amelyre 2 i < k 2 i+1. Ekkor az algoritmus által megtett lépések száma kisebb, mint 4 i+1 j=0 2 j < 4 2 i+2 16 k, azaz az algoritmus valóban konstans versenyképes.
7 k-szerver probléma Egy (M,d) párost, ahol M a metrikus tér pontjait tartalmazza, d pedig az M M halmazon értelmezett távolságfüggvény metrikus térnek nevezünk, ha a távolságfüggvényre teljesülnek az alábbi tulajdonságok d(x,y) 0 minden x,y M esetén, d(x,y) = d(y,x) minden x,y M esetén, d(x,y) + d(y,z) d(x,z) minden x,y,z M esetén, d(x,y) = 0 akkor és csak akkor teljesül, ha x = y. A k-szerver problémában adott egy metrikus tér, és van k darab szerverünk, amelyek a térben mozoghatnak. A probléma során a tér pontjaiból álló kérések egy listáját kell kiszolgálni azáltal, hogy a megfelelő kérések helyére odaküldünk egy-egy szervert. A probléma on-line, ami azt jelenti, hogy a kéréseket egyenként kapjuk meg, és az egyes kéréseket a további kérések ismerete nélkül azok érkezése előtt kell kiszolgálnunk. A cél a szerverek által megtett össztávolság minimalizálása.
8 Lapozás mint speciális eset A lapozási probléma a számítógépek gyorsmemóriájának a kezelését modellezi. Adott lapok egy univerzuma, és ebből vett lapok egy sorozata az input. Az algoritmusnak egy k lap kapacítású gyorsmemóriát kell kezelnie. Ha az aktuálisan igényelt lap nincs a memóriában, akkor a lapot az algoritmusnak be kell tennie és ehhez, amennyiben már nincs hely, valamely lapot ki kell raknia. Ezt az eseményt, amikor egy igényelt lap nincs a memóriában hibának hívjuk, és a cél a hibák számának minimalizálása. Ha az univerzum a metrikus tér és a memória celláit a szervereknek feleltetjük meg (egy szerver azon a ponton van, amely lapot a cella tartalmazza), akkor egy k-szerver feladatot kapunk. A metrikus térben bármely két pont távolsága 1. Az ilyen tereket uniform térnek nevezzük. következmény: Uniform tereken vannak k-versenyképes algoritmusok, és nincsen olyan algoritmus, amely versenyképességi hányadosa kisebb, mint k.
9 Mohó algoritmus Természetes gondolat a kéréseket mindig a legközelebbi szerverrel kiszolgálni. 1. ábra. Lemma A mohó algoritmus nem konstans versenyképes.
10 Munkafüggvény algoritmus Azt a metrikus tér pontjaiból álló multihalmazt, amely megadja mely pontokban helyezkednek el a szerverek (azért kell multihalmazokat használnunk, mert egy pontban több szerver is lehet) a szerverek konfigurációjának nevezzük. Legyen A 0 az on-line szerverek kezdeti konfigurációja. Ekkor a t-edik kérés utáni X multihalmazra vonatkozó munkafüggvény w t (X) a minimális költség, amellyel kiszolgálható az első t kérés az A 0 konfigurációból kiindulva úgy, hogy a szerverek az X konfigurációba kerüljenek a kiszolgálás végén. A munkafüggvény algoritmus a munkafüggvényt használja. Legyen A t 1 a szervereknek a konfigurációja közvetlenül a t-edik kérés érkezése előtt. Ekkor a munkafüggvény algoritmus azzal az s szerverrel szolgálja ki az R t pontban megjelent kérést, amelynek a P helyére a w t 1 (A t 1 \ P R t ) + d(p,r t ) érték a minimális.
11 Példa Tekintsük azt a metrikus teret, amelyben három pont van A, B és C, a távolságok d(a,b) = 1, d(b,c) = 2, d(a,c) = 3. A kezdeti szerver konfiguráció legyen A,B. Ekkor a kezdeti munkafüggvények w 0 ({A,A}) = 1, w 0 ({A,B}) = 0, w 0 ({A,C}) = 2, w 0 ({B,B} 1, w 0 ({B,C}) = 3, w 0 ({C,C}) = 4. Legyen az első kérés a C pontban. Ekkor w 0 ({A,B} \ {A} {C}) + d(a,c) = = 5 és w 0 ({A,B} \ {B} {C}) + d(b,c) = = 4, így a MUNKAFÜGGVÉNY algoritmus a B pontban levő szerver küldi a kérés kiszolgálására. Tétel A MUNKAFÜGGVÉNY algoritmus enyhén (2k 1)-versenyképes. Papadimitriou 1995) (Koutsoupias and Sejtés A MUNKAFÜGGVÉNY algoritmus enyhén k-versenyképes.
12 Dupla lefedő algoritmus Egy gyakran vizsgált speciális tér az egyenes. Az egyenes pontjait a valós számoknak feleltetjük meg, és két pontnak a-nak és b-nek a távolsága a b. Erre az esetre, ahol a metrikus tér egy egyenes, Chrobak és Larmore (1990) kifejlesztett egy k-versenyképes algoritmust, amelyet dupla lefedő algoritmusnak nevezünk. Az algoritmus a P kérést a P-hez legközelebb eső s szerverrel szolgálja ki, és amennyiben vannak szerverek P-nek az s-el átellenes oldalán is, akkor azon szerverek közül a P-hez legközelebbit d(s, P) egységnyit mozdítja P felé. A továbbiakban a dupla lefedő algoritmust DL-el jelöljük. Tétel A DL algoritmus enyhén k-versenyképes ha a metrikus tér egy egyenes.
13 Példa ábra.
14 Fa metrikus tér Az egyenes általánosításaként kaphatjuk a fa metrikus teret. vegyünk egy tetszőleges súlyozott fát. A metrikus tér pontjai a fa csúcsai továbbá minden élhez és minden 0 < λ < 1 számhoz definiáljuk az élet λ és 1 λ arányban felosztó pontokat. Mivel a fa körmentes ezért bármely két pont között egyetlen út vezet. A két pont közötti távolság a közöttük vezető út hossza. Az élek belső pontjai esetén az él hosszának a felosztásnak megfelelő részét vesszük figyelmebe. Azt mondjuk, hogy egy szerver lát egy pontot, ha a közte és a pont között levő úton nincs másik szerver. Lefedő algoritmus Az algoritmus egy kérést úgy szolgál ki, hogy minden szervert, ami látja a kérés helyét egyenletes sebességgel mozgat a szerver felé. (A kérést látó szerverek halmaza változik a szerverek mozgatása során.) tétel A lefedő algoritmus enyhén k-versenyképes, ha a metrikus tér egy fa.
15 3. ábra.
16 Visszautasításos online problémák A visszautasításos modellekben az egyes inputrészeknek van egy büntetés értéke is. Az algoritmus visszautasíthatja az egyes részeket a végrehajtásuk helyett, de ekkor ki kell fizetnie a büntetést. Az elfogadott feladatrészekre adott megoldáson vett értékét a célfüggvénynek növeljük a kifizetett büntetésekkel. Bartal et al 00, Seiden 01, Imreh, Németh 09: Visszautasításos ütemezés Dósa, He 06, Nagy-György, Imreh 07: Visszautasításos ütemezés gépköltségekkel Dósa, He 06, Epstein 08: Visszautasításos ládapakolás Epstein et al 08: Visszautasításos gráfszínezés Epstein et al 11: Visszautasításos memóriakezelés Bittner et al 12: Visszautasításos k-szerver feladat Jaillet, Lu 13: Visszautasításos utazó ügynök
17 T HR Algoritmus Uniform terek Minden ponthoz egy számlálót rendelünk 0 kezdeti értékkel. (i) Növeljük a kért pont számlálóját a kérés büntetésével. Ha a számláló értéke eléri az 1-et jelöljük meg a pontot. Amikor a k + 1-dik pont is jelölté válik, akkor töröljük az összes jelölést (az újonnan kért pontét is). Az új pont számlálója csökkenjen 1-el, a többiekét állítsuk 0-ra. (ii) Ha a kérést lefedi egy szerver, akkor nem mozgatunk szervert. Ha a kért pont jelöletlen és nincs rajta szerver, akkor visszautasítjuk. (iii) Ha a kért pont jelölt és nincs rajta szerver, akkor a legrégebben mozgatott szervert küldjük oda a kiszolgálására. Tétel A THR algoritmus (2k + 1)-versenyképes a visszautasításos k-szerver problémára.
18 A MUNKAFÜGGVÉNY algoritmus A MUNKAFÜGGVÉNY algoritmus kiterjeszthető a visszautasításos modellre. A munkafüggvény definíciójában az optimális kiszolgálás költségénél figyelembe kell venni azt is, hogy lehetséges az egyes kérések visszautasítása. Továbbá az aktuális kérésnél is figyelmbe kell venni azt a lehetőséget, hogy nem mozdítunk szervert, hanem visszautasítjuk a kérést. Tétel A MUNKAFÜGGVÉNY algoritmus enyhén 4k 1-versenyképes a visszautasításos k- szerver feladatra. Tétel A MUNKAFÜGGVÉNY algoritmus enyhén 5-versenyképes a visszautasításos k-szerver feladatra, ha k = 2. Tétel A MUNKAFÜGGVÉNY algoritmus enyhén 2k + 1-versenyképes a visszautasításos k- szerver feladatra, ha a metrikus tér az egyenes. Tétel A MUNKAFÜGGVÉNY algoritmus enyhén 2k + 1-versenyképes a visszautasításos k- szerver feladatra, ha a metrikus tér pontosan k + 1 pontot tartalmaz.
19 Egy memóriamentes algoritmus EDC algoritmus Az algoritmus egy r i kérést a következőképpen szolgál ki. (i) Vegyük az r i -hez legközelebbi szerver, jelölje az r i -től vett távolságát d. (ii) Ha d p i /2 akkor az algoritmus kiszolgálja a kérést a legközelebbi szerverrel, továbbá ha van szerver a kérés másik oldalán is, akkor azok közül a legközelebbi is d távolságot mozog a kérés felé. (iii) Ha d > p i /2, akkor a kérést visszautasítjuk, és a legközelebbi szerver mozog p i /2 távolságot a kérés felé. Továbbá ha van szerver a kérés másik oldalán is, akkor azok közül a legközelebbi is p i /2 távolságot mozog a kérés felé. Tétel Az EDC algoritmus 3k-versenyképes.
20 Bizonyítás Vegyünk egy tetszőleges sorozatát a kéréseknek, jelölje ezt az inputot I. Az eljárás elemzése során feltételezzük, hogy párhuzamosan fut a EDC algoritmus és egy optimális off-line algoritmus OPT. Szintén feltesszük, hogy minden kérést elsőként az off-line algoritmus szolgál ki, utána pedig az on-line algoritmus. Az on-line algoritmus szervereit és egyben a szerverek pozícióit, (amelyek valós számok az egyenesen) s 1,...,s k jelöli, az optimális off-line algoritmus szervereit és egyben a szerverek pozícióit x 1,...,x k jelöli. Mivel a szerverek rendszeres átjelölésével ez elérhető feltételezzük, hogy s 1 s 2 s k és x 1 x 2 x k mindig teljesül.
21 A tétel állítását a potenciálfüggvény technikájával igazoljuk. A potenciálfüggvény a szerverek aktuális pozíciójához rendel egy értéket, az on-line és az off-line költségeket a potenciálfüggvény változásainak alapján hasonlítjuk össze. Legyen a potenciálfüggvény Φ = k k i=1 x i s i + (s j s i ). i< j Legyen a potenciálfüggvény értéke Φ i az i-edik kérés kiszolgálása után. És legyen EDC i és OPT i az i-edik kérés kiszolgálásának a költsége az EDC és OPT algoritmusoknál. Igazoljuk, hogy Φ i Φ i 1 k OPT i 1/3 EDC i.
22 OPT kiszolgálja a kérést és EDC csak 1 szervert mozgat. Feltehetjük, hogy a kérés kisebb, mint s 1. Elsőként OPT szolgálja ki és OPT i -t mozog. Ezzel Φ első része legfeljebb k OPT i -vel nő, a második nem változik. Legyen δ = min{d(r i,s 1 ), p i /2}. Ekkor EDC szervere δ távolságot mozog. Ha δ = d(r i,s 1 ) p i /2, akkor eléri a kérést, majd kiszolgálja, és ekkor EDC i = δ. Ha δ = p i /2 < d(r i,s 1 ), akkor EDC nem éri el, így kifizeti a büntetést is, ami 2δ, tehát ekkor EDC i = 3δ. Φ első részében x 1 s 1 csökken δ-val, a második részben az s j s 1 értékek növekednek δ-val. Tehát Φ i Φ i 1 k OPT i k δ + (k 1)δ = k OPT i δ k OPT i 1/3 EDC i.
23 OPT visszautasítja a kérést és EDC csak 1 szervert mozgat. Ismét feltehetjük, hogy a kérés kisebb, mint s 1. OPT visszautasítja a kérést így a költsége p i és Φ nem változik OPT lépése alatt. Legyen δ = min{d(s 1,r i ), p i /2}. Ekkor EDC szervere δ távolságot megy. Ha δ = d p i /2, akkor eléri a kérést, majd kiszolgálja és EDC i = δ. Ha δ = p i /2 < d(r i,s 1 ), akkor EDC nem éri el, így kifizeti a büntetést is, ami 2δ, tehát ekkor EDC i = 3δ. Φ első részében x 1 s 1 csökken δ-val, a második részben az s j s 1 értékek növekednek δ-val. Tehát Φ i Φ i 1 k δ + (k 1)δ = 2k δ δ 2kp i /2 δ k OPT i 1/3 EDC i.
24 OPT kiszolgálja a kérést és EDC két szervert mozgat. Ekkor EDC-nek van a kérés mindkét oldalán szervere, legyenek a legközelebbi s j és a másik oldalról a legközelebbi s j+1. Az offline mozgás növeli Φ első részét legfeljebb k OPT i -vel, a másik rész nem változik. EDC két szervert mozgat, mindkettőt δ = min{d(s j,r i ), p i /2} távolságot. Ha δ = d(s j,r i ) p i /2, akkor kiszolgálja a kérést és EDC i = 2δ. Egyébként büntetést is fizet, ami 2δ, így EDC i = 4δ. Φ első részében a j-dik és j + 1-dik tag változik. Mivel x l = r i valamely l-re, ezért az egyik tag csökken, így az első rész nem nő. Kiszámolható, hogy a második rész változása 2δ. Tehát Φ i Φ i 1 k OPT i 2 δ k OPT i 1/2 EDC i k OPT i 1/3 EDC i.
25 OPT visszautasítja a kérést és EDC két szervert mozgat. Ekkor EDC-nek van a kérés mindkét oldalán szervere, legyenek a legközelebbi s j és a másik oldalról a legközelebbi s j+1. Az offline algoritmus lépése nem változtatja meg Φ-t. EDC két szervert mozgat, mindkettőt δ = min{d(s j,r i ), p i /2} távolságot. Ha δ p i /2, akkor kiszolgálja a kérést és EDC i = 2δ, egyébként büntetést is fizet, így EDC i = 4δ. Φ első részében a j-dik és j + 1-dik tag változhat mindkettő legfeljebb δ-val nő. Kiszámolható, hogy a második rész változása 2δ. Tehát Φ i Φ i 1 2k δ 2δ 2kp i /2 2δ k OPT i 1/2 EDC i k OPT i 1/3 EDC i.
26 Alsó korlát Tétel Tetszőleges, legalább k + 1 pontot tartalmazó metrikus térre igaz, hogy nincs olyan online algoritmus a visszautasításos k-szerver problémára, amelynek kisebb a versenyképességi hányadosa, mint 2k + 1. Következmény A MUNKAFÜGGVÉNY algoritmus eléri a lehetséges legkisebb versenyképességi hányadost a visszautasításos 2-szerver problémára, továbbá tetszőleges k-ra, ha a metrikus tér k + 1 pontot tartalmaz vagy a metrikus tér az egyenes. Következmény A THR algoritmus eléri a lehetséges legkisebb versenyképességi hányadost a visszautasításos k-szerver problémára uniform terek esetén. Következmény Az EDC algoritmus eléri a lehetséges legkisebb versenyképességi hányadost az egyenesen a visszautasításos 1-szerver problémára.
Az online algoritmusok k-szerver probléma
Az online algoritmusok k-szerver probléma Bittner Emese, Imreh Csanád, Nagy-György Judit Szegedi Tudományegyetem Online algoritmusok Online problémáról beszélünk azokban az esetekben, ahol nem ismert az
Részletesebben1. A k-szerver probléma
1. A k-szerver probléma Az egyik legismertebb on-line probléma a k-szerver probléma. A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus
Részletesebben1. Online kiszolgálóelhelyezés
1. Online kiszolgálóelhelyezés A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus tér pontjait tartalmazza, d pedig az M M halmazon
RészletesebbenOnline algoritmusok. Algoritmusok és bonyolultságuk. Horváth Bálint március 30. Horváth Bálint Online algoritmusok március 30.
Online algoritmusok Algoritmusok és bonyolultságuk Horváth Bálint 2018. március 30. Horváth Bálint Online algoritmusok 2018. március 30. 1 / 28 Motiváció Gyakran el fordul, hogy a bemenetet csak részenként
RészletesebbenA k-szerver probléma
Bevezetés A k-szerver probléma Imreh Csanád SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 6720, Szeged, Árpád tér 2. Email: cimreh@inf.u-szeged.hu A gyakorlatban gyakran fordulnak elő olyan optimalizálási feladatok,
RészletesebbenApproximációs algoritmusok
Approximációs algoritmusok Nehéz (pl. NP teljes) problémák optimális megoldásának meghatározására nem tudunk (garantáltan) polinom idejű algoritmust adni. Lehetőségek: -exponenciális futási idejű algoritmus
RészletesebbenAlapfogalmak, bevezető
1. fejezet Alapfogalmak, bevezető példák 1.1. Bevezetés A gyakorlati problémákban gyakran fordulnak elő olyan optimalizálási feladatok, ahol a bemenetet (más néven inputot, vagyis a feladatot definiáló
RészletesebbenOnline migrációs ütemezési modellek
Online migrációs ütemezési modellek Az online migrációs modellekben a régebben ütemezett munkák is átütemezhetőek valamilyen korlátozott mértékben az új munka ütemezése mellett. Ez csökkentheti a versenyképességi
Részletesebben1. Bevezet példák, síbérlés
Gyakorlatokhoz emlékeztet 1. Bevezet példák, síbérlés 1.1. Feladat Adott egy parkoló, ahol egy professzor a kocsiját tartja. A parkolóhelyeket egy n és n közötti szám azonosítja, az azonosító szerint helyezkednek
RészletesebbenÍrta: DÓSA GYÖRGY IMREH CSANÁD ONLINE ALGORITMUSOK. Egyetemi tananyag
Írta: DÓSA GYÖRGY IMREH CSANÁD ONLINE ALGORITMUSOK Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Dósa György, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika Tanszék, Imreh Csanád, Szegedi Tudományegyetem
Részletesebben1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok
1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok (x, y) valós számpárokból állnak, két (a, b) és (c, d) pontnak a távolsága (a c)
Részletesebbeni=1 i+3n = n(2n+1). j=1 2 j < 4 2 i+2 16 k, azaz az algoritmus valóban konstans versenyképes.
1. Feladat Adott egy parkoló, ahol egy professzor a kocsiját tartja. A parkolóhelyeket egy n és n közötti szám azonosítja, az azonosító szerint helyezkednek el balról jobbra. A professzor kijön az egyetemr
RészletesebbenÁltalános algoritmustervezési módszerek
Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás
RészletesebbenElőrenéző és paraméter tanuló algoritmusok on-line klaszterezési problémákra
Szegedi Tudományegyetem Számítógépes Algoritmusok és Mesterséges Intelligencia Tanszék Dr. Németh Tamás Előrenéző és paraméter tanuló algoritmusok on-line klaszterezési problémákra SZTE TTIK, Móra Kollégium,
Részletesebbenp j p l = m ( p j ) 1
Online algoritmusok Online problémáról beszélünk azokban az esetekben, ahol nem ismert az egész input, hanem az algoritmus az inputot részenként kapja meg, és a döntéseit a megkapott részletek alapján
RészletesebbenTovábbi forgalomirányítási és szervezési játékok. 1. Nematomi forgalomirányítási játék
További forgalomirányítási és szervezési játékok 1. Nematomi forgalomirányítási játék A forgalomirányítási játékban adott egy hálózat, ami egy irányított G = (V, E) gráf. A gráfban megengedjük, hogy két
RészletesebbenHa I < B, akkor mind az online algoritmusnak mind pedig az optimális offline algoritmusnak a költsége I, így B(I)/OPT(I)=1.
Olie algoritmusok Olie problémáról beszélük azokba az esetekbe, ahol em ismert az egész iput, haem az algoritmus az iputot részekét kapja meg, és a dötéseit a megkapott részletek alapjá a további részekre
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
Részletesebben1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba
Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebben1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +
RészletesebbenTovábbi programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás
További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás Készítette: Dr. Ábrahám István Hiperbolikus programozás Gazdasági problémák optimalizálásakor gyakori, hogy
Részletesebbenút hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.
1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost
Részletesebben1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenÜtemezési feladatok. Az ütemezési feladatok vizsgálata az 50-es évek elején kezdődött, majd
1 Ütemezési feladatok Az ütemezési feladatok vizsgálata az 50-es évek elején kezdődött, majd tekintettel a feladat gyakorlati fontosságára sok különböző modell tanulmányozására került sor, és a témakör
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 18. előadás
Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/
Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenHAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör. Forrás: (
HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör Teljes gráf: Páros gráf, teljes páros gráf és Hamilton kör/út Hamilton kör: Minden csúcson áthaladó kör Hamilton kör Forrás: (http://www.math.klte.hur/~tujanyi/komb_j/k_win_doc/g0603.doc
RészletesebbenAz optimális megoldást adó algoritmusok
Az optimális megoldást adó algoritmusok shop ütemezés esetén Ebben a fejezetben olyan modellekkel foglalkozunk, amelyekben a munkák több műveletből állnak. Speciálisan shop ütemezési problémákat vizsgálunk.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Részletesebben10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
RészletesebbenAmortizációs költségelemzés
Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenÜtemezési problémák. Kis Tamás 1. ELTE Problémamegoldó Szeminárium, ősz 1 MTA SZTAKI. valamint ELTE, Operációkutatási Tanszék
Ütemezési problémák Kis Tamás 1 1 MTA SZTAKI valamint ELTE, Operációkutatási Tanszék ELTE Problémamegoldó Szeminárium, 2012. ősz Kivonat Alapfogalmak Mit is értünk ütemezésen? Gépütemezés 1 L max 1 rm
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenBeszámoló az "Online er forrás allokációs problémák" cím F048587 számú OTKA kutatási projekt eredményeir l
Beszámoló az "Online er forrás allokációs problémák" cím F048587 számú OTKA kutatási projekt eredményeir l A gyakorlatban el forduló alkalmazásokban sokszor kerülünk szembe olyan problémákkal, hogy korlátozott
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenOn-line előrenéző és paraméter tanuló algoritmusok nyugtázási és ütemezési problémákra
Szegedi Tudományegyetem Számítógépes Algoritmusok és Mesterséges Intelligencia Tanszék On-line előrenéző és paraméter tanuló algoritmusok nyugtázási és ütemezési problémákra Ph.D. értekezés Németh Tamás
RészletesebbenFüggvények növekedési korlátainak jellemzése
17 Függvények növekedési korlátainak jellemzése A jellemzés jól bevált eszközei az Ω, O, Θ, o és ω jelölések. Mivel az igények általában nemnegatívak, ezért az alábbi meghatározásokban mindenütt feltesszük,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 3. Hibaszámítás, lineáris regresszió Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Hibaszámítás Hibák fajtái, definíciók Abszolút, relatív, öröklött
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenOnline ládapakolás. 1. Ládapakolási modellek
Online ládapakolás 1. Ládapakolási modellek A ládapakolási problémában inputként tárgyak egy sorozatát kapjuk meg, ahol az i-edik tárgyat a mérete határozza meg, ami egy a i (0, 1] érték. Célunk a tárgyak
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenFeladatok. 6. A CYK algoritmus segítségével döntsük el, hogy aabbcc eleme-e a G = {a, b, c}, {S, A, B, C}, P, S nyelvtan által generált nyelvnek!
Feladatok 1. A CYK algoritmus segítségével döntsük el, hogy cabcab eleme-e a G = {a, b, c}, {S, A, B, C, D, E}, P, S nyelvtan által generált nyelvnek! P: S AD EB SS A AB a B DD b C CB c D EC a E AD b 2.
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 12. előadás
Algoritmuselmélet 12. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Április 9. ALGORITMUSELMÉLET 12. ELŐADÁS 1 Turing-gépek
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2016.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
RészletesebbenOnline algoritmusok a szállítmánytervezésben
Online algoritmusok a szállítmánytervezésben A szállítási problémák on-line jellege több esetben is előfordulhat. Egyrészt sok esetben a szállítás folyamata során keletkeznek új igények, amelyeket szintén
RészletesebbenFormális nyelvek - 5.
Formális nyelvek - 5. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Lineáris
RészletesebbenMódosítható Prioritási sor Binomiális kupaccal. Wednesday, March 21, 12
Módosítható Prioritási sor Binomiális kupaccal modosit(x,k) {! if (k>x.kulcs) {!! x.kulcs=k ;!! y=x!! z=x.apa ;!! while(z!=nil and y.kulcs
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Részletesebben1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni
1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni a) 5 db 8 cm hosszú, b) 8 db 5 cm hosszú cérnával? Megoldás:
RészletesebbenRSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenHáromszögek fedése két körrel
SZTE Bolyai Intézet, Geometria Tanszék 2010. április 24. Motiváció Jól ismert a kerületi szögek tétele, vagy más megfogalmazásban a látókörív tétel. Motiváció A tételből a következő állítás adódik: Motiváció
Részletesebben19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI
19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,
RészletesebbenHAMILTON ÚT: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó út
SÍKBA RAJZOLHATÓ GRÁFOK ld. előadás diasorozat SZÍNEZÉS: ld. előadás diasorozat PÉLDA: Reguláris 5 gráf színezése 4 színnel Juhász, PPKE ITK, 007: http://users.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/juhasz_5_foku_graf.bmp
RészletesebbenII. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés
II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek
RészletesebbenGráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma
Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKorlátozás és szétválasztás elve. ADAGOLO adattípus
Korlátozás és szétválasztás elve ADAGOLO adattípus Értékhalmaz: E Adagolo : A E Műveletek: A : Adagolo, x : E {Igaz} Letesit(A) {A = /0} {A = A} Megszuntet(A) {Igaz} {A = A} Uresit(A) {A = /0} {A = A}
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
RészletesebbenMohó algoritmusok. Példa:
Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus sokszor olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Ezt gyakran dinamikus programozás alapján
RészletesebbenGRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus
GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,
RészletesebbenA szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
RészletesebbenHALMAZOK TULAJDONSÁGAI,
Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, 1. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A: a csoport tanulói b) B: Magyarország városai ma c) C: Pilinszky
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenAdatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter
Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter 1 Fák Fákat akkor használunk, ha az adatok között valamilyen alá- és fölérendeltség van. Pl. könyvtárszerkezet gyökér (root) Nincsennek hurkok!!! 2 Bináris fák Azokat
RészletesebbenAlap fatranszformátorok II
Alap fatranszformátorok II Vágvölgyi Sándor Fülöp Zoltán és Vágvölgyi Sándor [2, 3] közös eredményeit ismertetjük. Fogalmak, jelölések A Σ feletti alaptermek TA = (T Σ, Σ) Σ algebráját tekintjük. Minden
RészletesebbenRendezések. A rendezési probléma: Bemenet: Kimenet: n számot tartalmazó (a 1,a 2,,a n ) sorozat
9. Előadás Rendezések A rendezési probléma: Bemenet: n számot tartalmazó (a 1,a 2,,a n ) sorozat Kimenet: a bemenő sorozat olyan (a 1, a 2,,a n ) permutációja, hogy a 1 a 2 a n 2 Rendezések Általánosabban:
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenTuring-gépek. Számításelmélet (7. gyakorlat) Turing-gépek 2009/10 II. félév 1 / 1
Turing-gépek Logika és számításelmélet, 7. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (7. gyakorlat) Turing-gépek 2009/10 II. félév 1 / 1 A Turing-gép Az algoritmus fogalmának egy intuitív definíciója:
RészletesebbenHALMAZOK TULAJDONSÁGAI,
Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A:= { a csoport tanulói b) B:= { Magyarország városai ma c) C:=
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
Részletesebben11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2011. április 27. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás Múlt héten nem szerepeltek
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben