A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

Átírás

1 ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig terjedő számok jegyeinek az összegét számítjuk ki; egyszerűség kedvéért itt minden számot nullákkal háromjegyűvé egészítünk ki (p. helyett 00-t írunk). Ezeket a számokat egymás alá írjuk; mivel minden ilyen háromjegyű számot úgy kaphatunk meg, hogy minden jegyét 0 jegy közül tetszőlegesen választhatjuk, ezért minden oszlopban minden jegyből ugyanannyi lesz, ti. 00 darab. Az egy oszlopban levő számjegyek összege így 00( ) 4500, a három oszlopban pedig összesen ; a számok jegyeinek összege tehát 500. Az számokat úgy kaphatjuk meg, hogy a fenti oszlopban minden sor elé egy -est írunk, ezért az számok jegyeinek összege: A számok jegyeinek összege 4, ezért a kérdéses jegyösszeg pont pont $ %& '()(* $ Határozzuk meg azokat a valós számokat, amelyek kielégítik a következő egyenletrendszert: + &,- ')./ $ lg( 45) + lg (lg 4lg 5), lg(+ 5) 4lg (lg 5 4lg )0 Egyenletrendszerünk logaritmusmentes alakja: ( 45) 5, , mivel logaritmusaik léteznek. + 5 Összesen: 7 pont 5 0

2 E két egyenlet megfelelő oldalainak a hányadosa: () Ugyanezek szorzata: () 6( 45) ( 45 ), azaz ( 45 ) 0 Az () egyenlet bal oldali törtjének a számlálóját és nevezőjét elosztjuk 5-nal, majd bevezetjük a következő jelölést: 5 0 Ebből és így ( 6 ) , azaz , 5, Ezeket az értékeket ()-be helyettesítve kapjuk: 5, 5 0 pont (95 45 ), Mivel az ismeretlenek számértéke csak pozitív lehet, 5 4, 4 0 Továbbá: (45 45 ), 5, 5, 0 A megoldások tehát: ( ) 4, 4 ezek valóban ki is elégítik az egyenletrendszert. és (, ), Összesen: 7 pont

3 A feladat más gondolatmenettel is megoldható; pl. ()-ből, illetve ()-ből átalakításokkal kapjuk, hogy () , illetve E két egyenlet összevetéséből Ezt ()-ba helyettesítve a egyenlet adódik, ebből , pont , 5, a továbbiak az előző megoldás mintájára folytathatók. Általában pontozásnál a következőket tartsuk szem előtt: a logaritmusmentes alakért, az egyik ismeretlen közvetlen kifejezéséért a másik ismeretlennel pont, gyökpáronként - adható. $ %& '()(* $ Az,, 0 0 0, 80 nyolcvantagú sorozatban a tagok pozitívak, az első és utolsó tagon kívül minden tag egyenlő két szomszédjának a szorzatával. Az első 40 tag szorzata 8, ugyanennyi mind a 80 tag szorzata is. Írjuk fel a sorozat első 8 tagját. + &,- ')./ $ Ha a sorozat valamely belső tagja, a feltétel szerint +, azaz () + 0 Ez azt jelenti, hogy minden tag a megelőző kettő hányadosa, tehát két egymást követő tag egyértelműen meghatározza az összes utánuk következőt. Egyszerűség kedvéért legyen,, ekkor a sorozat kezdő tagjai az () képzési szabály szerint,,,,,,,, ezek szerint a sorozat tagjai a hetediktől kezdve újra ismétlődnek, 6-os periódussal rendelkeznek, +6 0 Az első 40 tag szorzata, mivel : pont ( ) 6 6,

4 ezért 80 () A 80 tag szorzata ( ):, () 80 A () és () egyenletek megfelelő oldalainak a szorzata: 64, ebből A sorozat első 8 tagja: 4 és 0, 4,,, 4,,, 40 $ %& '()(* $ Kivágtuk papírból a 7 cm területű téglalapot, majd összehajtottuk úgy, hogy a csúcs éppen az csúcsot fedje. Az összehajtott papírlap pontosan egy olyan ötszög alakját veszi fel, amelynek a területe a téglalap területének a 68,75%-a. Mekkorák az téglalap oldalai? # $ &,- ')./ $ Legyen,. Egy Összesen: 7 pont összehajtott papírlapon azok a pontok fedik egymást, amelyek eredeti helyzetükben tükrösek arra az egyenesre, amely mentén az összehajtás történt; ezért az és csúcsok tükrösek az átló felező merőlegesére. Jelölje metszéspontját -vel, -vel, az összehajtással az ötszöget kapjuk, ahol a csúcs -re vonatkozó tükörképe. Az összehajtás az derékszögű háromszöget az háromszögbe viszi át, ezért, és így () ,75 Az ötszög területe a feladat szerint 49,5 (cm -ekben mérve). Az 00 négyszög éppen fele a téglalapnak, ezért a területe 6, az derékszögű háromszög területére tehát 49,5 46,5 marad. 4

5 Az,, méretek között a következő összefüggések ismertek: a téglalap területe 7; az derékszögű háromszög kétszeres területe,5 7; ugyanerre Pitagorasz tételéből Mivel 7, 7, ezeket az előbbi egyenletbe helyettesítve egyismeretlenes egyenletet kapunk: + ( 4) , 4 96, 6, és így. Az téglalap oldalai: cm és 6 cm. Összesen: 7 pont ')./ $ &,- $ Megoldásunk első része a ()-gal jelzett pontig megegyezik előző megoldásunkkal. Mivel az négyszög területe a téglalap területének az 50%-a, azért az háromszög területe a téglalap területének a 68, ,75%-a. Viszont 8,75% 8,75 00, tehát az háromszög területe a téglalap területének része, 6 6 ezért amiből 4 5 6, ebből 8, következik. Ezekkel az adatokkal alkalmazzuk Pitagorasz tételét az 8 háromszögre: + ( ) 8 ( 5 ), 64 6, 8 0 A téglalap területe: amiből 6 cm és cm. 7, Összesen: 7 pont 5

6 $ %& '()(* $ Az paralelogramma oldalán úgy jelöljük ki az és a oldalán az pontot, hogy teljesüljön; az és egyenesek metszéspontját jelölje. Bizonyítsuk be, hogy a egyenes felezi a paralelogramma -nél levő szögét. # $ &,- ')./ $ (. ábra). ábra. ábra Jelölje a -ből az,,, oldalegyenesekre állított merőleges szakaszok hosszát rendre,,, 5, és legyen. Elegendő megmutatnunk, hogy 5, mert ez azt jelenti, hogy egyenlő távol van az szög száraitól, tehát rajta van a szög felezőjén. Írjuk fel az háromszög kétszeres területét két különböző módon: 4 (+ ) 4, 4 ( + 5) 4 50 A területek egyenlősége miatt 5, amiből a bizonyítandó 5 következik. $ &,- ')./ $ (. ábra) A egyenest a -n át -vel húzott párhuzamos -ban, a egyenes pedig -ben metszi; továbbá: a egyenest a -n át -vel húzott párhuzamos -ben, az egyenes pedig -ben metszi. Vezessük be az,,, 5,, jelöléseket. Összesen: 7 pont Állításunk bizonyítására elegendő megmutatnunk, hogy 5, mert ebben az esetben a négyszög rombusz, és így a átló szögfelező. Alkalmazzuk most kétszer a párhuzamos szelők tételét a szögre:, azaz +, azaz +45 +, ebből: , ebből: 0 4 6

7 Az -ra kapott két kifejezés egymással egyenlő: +5 4, 4 4 ( 4) ( 4 )(+5 4), () pont Ha most a párhuzamos szelők tételét az előzőkhöz hasonlóan a szögre alkalmazzuk, meggondolásainkban az és, valamint az és 5 szerepet cserélnek; ennek megfelelően ()-ből azt kapjuk, hogy () () és () megfelelő oldalainak különbségéből adódik, ami éppen a bizonyítandó 5 egyenlőséget jelenti. Összesen: 7 pont 7

8 ! "#$% " # # & ' () *+,+-' Az./0 trapéz párhuzamos oldalai./ és 0. Az./ alap felezőpontja, a 0 alap felezőpontja, az. szár felezőpontja 4. Határozza meg az.04 és a /4 négyszögek területének arányát! 5 )67 *,89 ' Jelöléseink az. ábrán láthatók. < : 4. ; /. /. ábra. ábra Az.04 négyszög területének kiszámításához tekintsük a. ábrát! Az ábráról leolvasható, hogy >?@A >B@C D?B@ D@CAE A szereplő területek ;, <, : -ből kiszámíthatók: >B@C ; + < F :,?B@ ; F : ; : F F < : < : F F F E 4 Így: () >?@A ; : F + < : F D; : 4 F >?@A ; + < 4 F : >B@CE D< F : 4, Hasonlóképpen számítjuk a /4 négyszög területét: BGCA >B@C D@GB D>BAE

9 4. / 0 A szereplő területek: Az () és () összefüggések együtt azt jelentik, hogy >?@A BGCA, vagyis a két négyszög területének aránya :. >B@C ; + < F < F : < : F F E 4 >BA ; : ; : F F F E 4 Innen már látható, hogy BGCA ; + < >B@C () E 4 ' () *+,+- ' Oldja meg a egyenletet, ha valós szám! [sin ] F sin sin (Az valós szám esetén [ ] az egész D része jelöli E azt az egész számot, amelyre [ ] Az valós szám esetén az törtrésze jelöli azt a számot, amelyre D [ ] E 5 )67 *,89 ' Ha sin, akkor sin 0, tehát az egyenlet bal oldala 0, ezért a jobb oldal is 0 kell legyen, vagyis amiből sin 0, Összesen: 8 pont () F ( ) E Ha 0 sin, akkor [sin ] 0, vagyis ismét sin 0 kellene, hogy teljesüljön, de a feltétel szerint sin 0, így ekkor nincs megoldása az egyenletnek. Ha pedig D sin 0, akkor [sin ] D, és sin sin +, ezért egyenletünk a következő: D ( ) (sin + ) sin, F

10 átrendezve E sin D Ennek megoldásai: () 7 F + 6 F, ( ), F +: F, (: ) E () pont 6 A megoldás során lépéseink ekvivalensek voltak, ezért az (), () és () pont alatti megoldások az eredeti egyenletnek is gyökei. () és () összevontan írható ( D ) + F 6 +, ( ) alakban is. F ' () *+,+- ' A valós számok halmazán értelmezett () függvényről tudjuk, hogy továbbá () ; F + + F D + < F D, D D E ( ) 8; () és (5) 6 Határozza meg az () függvényt! Vázolja a függvény grafikonját a [ D ; 5] intervallumban! Adja meg a függvény legkisebb értékét, és azt, hogy ezt a legkisebb értéket a függvény hol veszi fel! 5 )67 *,89 ' Az ( D ) 8 feltételből () ; + + 5< 8, az () D feltételből () ; ++< D, az (5) 6 feltételből () 6; + 4+ < 6 következik. Összesen: 8 pont Az (), () és () egyenletekből álló egyenletrendszer megoldása: ; D, 5 és < D E Ezért tehát amivel ()-et meghatároztuk. () D F F D D D,

11 Az () függvény grafikonjának elkészítéséhez felírjuk az egyes intervallumokon a megfelelő lineáris függvényeket. Eredményeinket táblázatba is foglalhatjuk. + D D D D + D + D D D D + D + D + D ] D ; D ] [ D ; [ [; [ [; [ () D + 4 D 6 4 D 0 D 4 Ennek alapján a grafikon: 6 D D D 6 Az () függvény minimumának helye tehát D E, a minimum értéke pedig () 6. Ha a versenyző a grafikon lineáris szakaszait leíró képleteket táblázat nélkül adja meg, természetesen akkor is kapja meg az erre a részre járó ot. Ha a versenyző a grafikont néhány pont alapján a lineáris szakaszokat leíró képletek nélkül adja meg, akkor csupán ot kapjon a részre. Összesen: 0 pont 4

12 ' () *+,+- ' Felveszünk egy 00 mm hosszúságú./ szakaszt, majd felosztjuk 00 egyenlő részre. Ezután az./ szakaszra az. pontjában 8 mm hosszúságú merőleges szakaszt állítunk. Ennek 0 végpontját összekötjük /-vel és az./ szakasz összes osztópontjával. Az így keletkezett összes háromszög közül melyek azok, amelyekben minden oldal hossza milliméterben mérve egész szám? 0 5 )67 *,89 ' Készítsünk vázlatos ábrát! :. 4 / A Pitagorasz-tétel szerint: ahonnan () 8 +:, 64 D:, 64 ( D : ) F ( + : ) Válasszuk ki az. és a 0 pontokat, valamint az egyik osztópontot, 4-t, és jelöljük : -mel az.4 távolságot. Az.40 háromszög.-ban derékszögű, így oldalaira érvényes a Pitagorasztétel. Jelölje a 40 átfogó hosszát (nyilván teljesül, hogy : ). adódik, ahol és : pozitív egész számok, valamint D : és +: is pozitív egészek, és nyilvánvaló, hogy D : +:. Ezek szerint fel kell bontanunk 64-et két különböző pozitív egész szám szorzatára. Ezt a következőképpen tehetjük meg: Eszerint három eset lehetséges: Ha D : és +: 64, akkor az egyenletrendszerből 64 F 64 F 4 F 6E,5; :,5, mivel ezek nem egészek, ezért a feladatnak nem megoldásai. Ha D : és +:, akkor az egyenletrendszer megoldása: amelyek az összes feltételnek megfelelnek. Ha D : 4 és +: 6, akkor az egyenletrendszerből adódik 7 és : 5, 0 és : 6, ez a számpár szintén eleget tesz minden feltételnek. pont 5

13 Azt kaptuk tehát, hogy két olyan derékszögű háromszög van, amely megfelel a feladat feltételeinek. Jelöljük ezután a 6. osztáspontot -vel, a 5. osztáspontot -vel! Az.0 derékszögű háromszög oldalainak hossza 8 mm, 6 mm és 0 mm, az. 0 derékszögű háromszög oldalainak hossza 8 mm, 5 mm és 7 mm Így azonban a 0 háromszög oldalainak hossza is egész szám lesz, mégpedig 0 0 mm, 0 7 mm, (5 D 6) mm 9 mm. Tehát ez is megoldása a feladatnak A feladat összes feltételének tehát három háromszög felel meg, mégpedig az.0, az. 0 és a 0 háromszög. ' () *+,+- ' Határozza meg az összes olyan pozitív egész számot, amelyre teljesül az, hogy ha egymás után leírjuk és 4 tízes számrendszerbeli alakját, akkor a kapott tízjegyű számban mind a tíz számjegy pontosan egyszer fordul elő! 5 )67 *,89 ' Ha 0 0 és, akkor 000, tehát legfeljebb -jegyű, és , így 4 legfeljebb 4-jegyű. A számokat egymás után leírva így legfeljebb 7-jegyű számot kapnánk, ezért 0 Összesen: 0 pont nem lehet megoldása a feladatnak. Másrészt ha 0 4 lenne, azaz legalább 5-jegyű, akkor és így 0 4, 4 0 6, vagyis 6

14 4 0 5 F 0, ami azt jelenti, hogy 4 legalább 6-jegyű, és ekkor a feladat utasítását követve legalább -jegyű számot kapnánk, amelyben legalább egy számjegy legalább kétszer kell szerepeljen (a skatulya-elvnek megfelelően), tehát a feladatnak nem lehet ilyen megoldása. Ezekől következik, hogy csakis 4-jegyű, és emiatt 4 csakis 6-jegyű szám lehet, azaz () és () Az () és () alatti egyenlőtlenségekből azt kapjuk, hogy E () 0 és E (Ugyanis valamint és , , E ) A () alatti feltételeket összevetve: (4) 8, ami azt jelenti, hogy csak a számok közül kerülhet ki. 8, 9, 0, Figyelembe vehetjük még, hogy a tíz egymás mellé írt számjegy összege mindenképpen osztható kell, legyen 9-cel. Ebből következik, hogy 9 és 0 nem lehetséges. Az 8 és az számokra elvégezve a számolást, látjuk, hogy nem felel meg a feltételeknek (a tízjegyű számot kapnánk), de 8 igen, ekkor a * 8 58 és a számokat egymás mellé írva valóban olyan tízjegyű számot fogunk kapni, amelyik mind a tíz számjegyet pontosan egyszer tartalmazza (ez a szám a ). A *-gal jelzett ot akkor is kapja meg a versenyző, ha más módon zárja ki a 9 és a 0 számokat. Összesen: 7

15 ' () *+,+- ' Egy előadáson 50 személy vett részt. Tudjuk, hogy bármely négy résztvevő között van olyan, aki a másik három személy mindegyikével találkozott már korábban. Bizonyítsa be, hogy bármely négy résztvevő között van olyan személy, aki korábban már mindegyik résztvevővel találkozott! 5 )67 *,89 ' Feltételezhetjük, hogy van a hallgatóság között két olyan személy (nevezzük őket.-nak és /-nek), akik korábban még nem találkoztak. Ha ugyanis ilyen hallgatópár nem létezne, akkor bármelyik hallgató megfelelne a feladat követelményének. Ha az. / páron kívül nincs olyan pár, amelynek tagjai korábban nem találkoztak, akkor.-n és /-n kívül bármelyik hallgató megfelel a feltételnek. Tegyük fel ezért, hogy létezik egy, az. /-től különböző pár, amelynek tagjai korábban még nem találkoztak. Ebben a párban azonban szerepelnie kell vagy.-nak, vagy /-nek, ellenkező esetben az. / és egy ezektől különböző 0 pár olyan négyest alkotna, amelyben., /, 0, közül egyik sem találkozott volna korábban mindhárom másik résztvevővel, így ezekre nem teljesülne a feladat feltétele. Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy. / mellett még. 0 az a pár, amelynek tagjai, vagyis. és 0 korábban még nem találkoztak. Vegyünk most hozzá az., /, 0 hármashoz negyediknek egy -vel jelölt résztvevőt! Azt állítjuk, hogy olyan személy, aki korábban minden hallgatóval találkozott. Az előzőek alapján ugyanis az., /, 0, négyesből csak lehet az, aki korábban találkozott mindhárom másik hallgatóval. Ezért, ha most 0 helyébe bármelyik, -szel jelölt hallgatót írjuk, akkor a feltétel szerint vagy, vagy az a személy, aki korábban már találkozott a másik hárommal (. és / nyilván nem lehet). Ez azonban azt jelenti, hogy találkozott már -szel (a találkozás kölcsönös!). Eszerint valóban találkozott mindenkivel. Ebből pedig következik a feladat állítása. Ha ugyanis az 50 fős hallgatóságból kiválasztunk négy főt úgy, hogy a kiválasztottak között nem szerepel., /, 0 egyike sem, akkor az állítás a fentieknek megfelelően nyilvánvaló. Ha viszont., /, 0 valamelyike (vagy akár mindegyikük) szerepel a kiválasztott négyesben, a társaság negyedik tagja (-hez hasonlóan) akkor is ismer mindenkit az 50 fős hallgatóságból. Ezzel a bizonyítást befejeztük. pont pont pont pont A feladat állítása általánosítható úgy, hogy az 50 fős hallgatóságból bizonyíthatóan van legalább 47 fő olyan, aki az összes többi hallgatóval már találkozott. Az a versenyző, aki ezt az általánosítást bizonyítja, kapjon jutalompontot. Összesen: 8