Egy csonkakúp alakú farönk behajlása a saját súlya alatt

Átírás

1 1 Egy csonkakúp alakú farönk behajlása a saját súlya alatt Az jutott eszünkbe, hogy nemigen találkoztunk még ilyen feladattal, illetve annak részletes megoldásával. Valóban: hosszas keresés után sem jutottunk előrébb, már ami a lényeget illeti. Így aztán nekiláttunk egy saját verzió kidolgozásának. Erről lesz most szó. Először tekintsük az 1. ábrát! Itt a csonkakúp alakú fatestet szemléltettük, melynek jellemző adatai: ~ R: a tő felőli végkeresztmetszeti kör sugara; ~ r: a csúcs felőli végkeresztmetszeti kör sugara; ~ l: a fatest hossza; ~ α: a kúp félnyílásszöge. 1. ábra Utóbbiak összefüggése: ( 1 ) Első feladatunk az önsúly - teher megoszlása jellegének tisztázása, vagyis a q = f(x) függvénykapcsolat felírása. A tartó egy dx hosszúságú szakaszához tartozó dv térfogatú, dm tömegű elemi részének dg súlya: tehát: ( 2 )

2 2 Mivel a kúp alkotója ferde egyenes, így írható, hogy: tehát: ( 3 ) Most ( 2 ) és ( 3 ) - mal: innen: tehát:. ( 4 ) Látjuk, hogy az önsúlyteher - intenzitás másodfokú parabola szerinti lefutású. ( 4 ) ábrázolásához adatok: ( A ) 2. ábra A teherábra a 2. ábrán szemlélhető meg.

3 3 Jól látható, hogy a választott adatokkal kapott függvény alig tér el az egyenestől. Minthogy az ( A ) adatok is hibával terheltek, illetve valamelyest bizonytalanok, így nem lenne meglepő, ha egy ilyen fagerenda önsúlyterhét lineárisan változónak vennénk fel. Mi ezt itt nem tesszük: a ( 4 ) függvénnyel dolgozunk a továbbiakban. Most állítsuk fel a gerenda meggörbült tengelyvonalának egyenletét! A Szilárdságtan tanítása szerint [ 1 ] : ( 5 ) ahol: ~ E: a homogénnek tekintett tartó anyagának rugalmassági ( Young - féle) modulusa; ~ I y ( x ): az x koordinátájú keresztmetszet hajlítás tengelyére vett másodrendű nyomatéka; ~ w( x ): a tartó tengelyvonalának lehajlása az x koordinátájú keresztmetszetben; itt lefelé pozitív; ~ M( x ): a hajlítónyomaték értéke a tartó x koordinátájú keresztmetszetében. A keresztmetszetek másodrendű nyomatékának kifejezése az alábbi. Ismét szilárdságtani ismeretekkel, a ρ sugarú kör keresztmetszetre [ 1 ] : ( 6 ) majd ( 3 ) és ( 6 ) szerint: ( 7 ) Ezután határozzuk meg a hajlítónyomaték M( x ) függvényét ld.: 3. ábra! Ez alapján: ( 8 ) Az A reakció meghatározása így megy: nyomatéki egyensúlyi egyenlet A - ra: ( 9 ) majd függőleges tengelyre vett vetületi egyenlettel: majd ( 9 ) és ( 10 ) - zel: ( 10 ) ( 11 )

4 4 Látjuk, hogy a ( 8 ) szerinti műveletek elvégzéséhez szükséges Q és x Q kifejezésének előállítása. Ez az alábbiak szerint alakul: ( 12 ) ( 13 ) 3. ábra Ha ( 12 ) és ( 13 ) szerint elállítottuk Q és x Q kifejezéseit, akkor ( 11 ) szerint A, ezzel pedig ( 8 ) szerint M( x ) is számítható. Az itteni integrálás elvégzéséhez útmutatás: ( 14 ) ahol: ( 15 )

5 5 Miután ( 8 ) jobb oldala az előbbiek szerint előállt, jön ( 5 ) integrálása: ( 16 ) ( 17 ) ( 18 ) A c 1 és c 2 integrálási állandókat az alábbi feltételek teljesítésével állítjuk elő: ( 19 ) A fellépő integrálok primitív függvényei integráltáblázatból pl. [ 2 ] vehetők ki. A meglehetősen hosszú számítások során kapott képletekkel és az ( A ) adatokkal előállí - tott lehajlási függvény képe a 4. ábrán látható. Erről leolvasható a maximális behajlás helye és nagysága is: ( E ) 4. ábra

6 6 Megjegyzések: M1. Az a tény, hogy a csonkakúp alakú, egyneműnek tekintett fagerenda önsúlyteher - intenzitása parabola szerinti, elsőre meglepőnek tűnhet. Talán másodikra is. M2. Az az eredmény, hogy a legnagyobb behajlás nem a gerenda közepén, hanem egy másik, attól ( itt ) kissé jobbra eső keresztmetszetben lép fel, a szemléletre alapozott elvá - rásnak megfelel. M3. A maximális behajlásra vonatkozó szélsőérték - keresést a Graph ingyenesen le - tölthető szoftver egy szolgáltatásával végeztük el. M4. A fent kijelölt számítással kapcsolatban több kérdés is felmerülhet. Ezekhez csak annyit, hogy a vázoltakat tekintsük egy jó közelítésnek. M5. Említettük, hogy a lineáris lefutású teherábra alkalmazása is indokolt lehet ebben az esetben. Jó tudni, hogy egy ilyen típusú számítás található pl. [ 3 ] - ban, az egyik végén befogott, másik végén szabad, csonkakúp alakú tartó modelljére. M6. A fenti számítások során a faanyag rugalmassági modulusára felvett érték: ( A+ ) M7. A fentiekben kétszer is alkalmaztuk a ró betűt: ρ fa a faanyag sűrűségét, ρ(x) pedig a változó sugarat jelöli. Ezek nem tévesztendők össze! Továbbá γ fa a faanyag fajsúlyát, ill. térfogatsúlyát jelöli, ahol γ fa = g ρ fa ; itt g a nehézségi gyorsulás nagysága. ( A faanyag sűrűsége helyett néha térfogattömeget említenek. ) Az itt alkalmazott fajsúly számértéke így adódott: ( A++ ) A felvett sűrűség - adat megfelel a duglaszfenyő légszáraz sűrűségének [ 4 ]. M8. A 3. ábra alsó részén egy a gerendából kimetszettnek képzelt x hosszúságú részt és az arra ható külső és belső erőket ( igénybevételi komponenseket ) is feltüntettük. Itt V a nyíróerő. M9. Az általunk alkalmazott koordináta - rendszer és előjelszabály szerint ( 5 ) azt fejezi ki, hogy a pozitív hajlítónyomaték negatív görbületet okoz.

7 7 M10. Nem árt szóba hozni, hogy a forgástestnek tekintett gerenda alkotója nem csak egyenes lehet. Ekkor a feladat / megoldás tovább bonyolódik. M11. Az itt alkalmazott eljáráson vagyis a hajlított tartó ( 5 ) differenciálegyenletének analitikus megoldásán kívül még más lehetőségek is vannak. Az egyik ilyen az alkalma - zott akár az ( 5 ) - től eltérő, egyéb differenciálegyenlet numerikus megoldása lehet. Előfordul a Mohr - integrál, illetve Castigliano tételének alkalmazása is. Mi itt a teljes rugalmas vonal előállítására törekedtünk, ezért választottuk a fenti megoldási módot. Meg azért is, mert ehhez viszonylag kevés numerikus segítségre volt szükségünk. M12. Nem mellékes körülményként említjük, hogy e feladatban a gerenda a két végén úgy van alátámasztva, hogy tengelyvonala vízszintes. Ha ez nem így lenne, akkor már egy má - sik, általánosabb feladattal állnánk szemben, ahol a hajlításért a megoszló önsúlyteher ten - gelyre merőleges komponense felelős, feltéve, hogy a normális terhelések hajlításra gya - korolt hatásától eltekintünk. Ahogyan a nyírási alakváltozásoktól is. M13. Ügyelni kell arra a körülményre is, hogy a tartó hossza ne legyen viszonylag kicsi a keresztmetszeti méretekhez képest. A fenti példában l = 10 D, ahol D = 2R. M14. A [ 3 ] - talált rokon feladat egy fatörzs csúcsa elmozdulásának meghatározására vonatkozik. Ezzel kapcsolatban fontosnak véljük megemlíteni, hogy ~ a feladat eredetije az [ 5 ] munkában található; ~ úgy tűnik, hogy az ott alkalmazott közelítések lényegesen erősebbek, mint az itteniek, mégis végigvitték a pontos számítást; ~ ezt a feladatot bátran tekinthetjük az általunk Erdészeti Mechanika névvel illetett, csak a mi gondolatainkban és a honlapunkon létező fiktív tudományterülethez tartozónak. M15. Számításunk szerint a példabeli fagerenda behajlása nem éri el a 0,3 mm - t. Ez igen kis érték, melyet mintegy elfedhetnek más okokból előálló alakváltozások. Faanyagnál ilyen lehet a nedvességtartalom változása miatti deformáció is. Megesik, hogy a fatest növekedési eredetű fahibával bír, amilyen pl. a görbeség. Az 5. ábrán látható fagerendák egymáson fekszenek, kéttámaszú tartók soraként. Úgy tűnik, hogy a felső oszlopfák görbék. Ennek mértéke olyan nagy is lehet, hogy az önsúly hatására bekövetkező lehajlás emellett meg sem látszik. Az 5. ábrán látható villanyoszlop - anyagon nem látszik a rudak sudarlóssága, azaz a hossza menti átmérőváltozása sem, mivel a perspektivikus rövidülés azt akár teljesen el is fedheti. A [ 6 ] műben az olvasható, hogy

8 8 Az oszlop lefelé vastagodik; a szilárdsági számításnál ha a valóságos adatok nem ismertek azt kell feltételezni, hogy ez a vastagodás a fejtől lefelé 0,7 cm / fm 5. ábra forrása: Eszerint a fa villanyoszlopok esetében számolnak / számoltak azzal a ténnyel, hogy a fatest nem henger, hanem csak hengeres. Megeshet, hogy egy teljesen elméletinek tűnő feladat akár gyakorlatilag is hasznos lehet. M16. Az ( E / 2 ) eredményre végezzünk egy - két hozzávetőleges ellenőrzést! 1. ellenőrzés: Itt azzal a kézenfekvőnek látszó feltevéssel élünk, hogy a végig állandó sugarú gerendák lehajlásai közrefogják a változó sugarú gerenda lehajlását: ( 20 ) A szükséges képletek az elemi Szilárdságtan tanítása szerint [ 1 ] :

9 9 ( 21 ) most ( 4 ) - ből x = 0 - val: ( 22 ) majd ( 4 ) - ből x = l - lel, ( 1 ) - gyel is: ( 23 ) Ezután ( 7 ) - ből x = 0 - val: ( 24 ) majd ( 7 ) - ből x = l - lel, ( 1 ) - gyel is: ( 7 ) - ből x = 0 - val: ( 25 ) A fenti képletekkel és az ( A ), ( A+ ) adatokkal és ( E ) - vel ( 20 ) így alakul: ( E1 ) Az ( E1 ) eredmény - reláció első része látszik ellentmondásosnak. Lehet, hogy ( 20 ) nem is annyira kézenfekvő? ( E1 ) - ben annyi az összeegyeztethetetlenség, hogy w max,r, ill. w max,r a tartó közepén, w max,ρ pedig attól kissé jobbra lép fel. Nagyságrendileg jók az eredmények. Egy átlagértéket képezve: ( E2 ) 2. ellenőrzés: Itt a csonkakúp alakú gerendát egy átlag - átmérővel bíró hengerrel helyettesítjük. Ekkor a tartó közepén fellépő legnagyobb lehajlás az alábbi képletből számítható: ( 26 ) itt pl. ( 22 ) - ből: ( 27 )

10 10 majd pl. ( 24 ) - ből: ( 28 ) Az utóbbi képletekkel és a korábbi adatokkal kapjuk, hogy: ( E* ) Az ( E* ) eredmény is megerősíti a pontos eredmény valószínű értékét, ill. nagyság - rendjét: ( E* / 1 ) Látjuk, hogy a közelítő ( E2 ) és ( E*) eredmények egyezése jó. Továbbá azt is, hogy ellenőrzéseink a legnagyobb lehajlás helyére nézve nem adnak ellenőrzést. M17. A 6. ábrán egy más úton nyert eredmény - ábrát szemlélhetünk. 6. ábra Ezt a feladat ( 29 )

11 11 alakú, a hajlított gerenda másik differenciálegyenletének integrálásával kaptuk, a peremfeltételek előírása mellett, a korábbi adatok alkalmazásával. Az eredmények: Ideírjuk ( E ) - t is, a könnyebb összehasonlítás miatt: ( 30 ) ( E** ) ( E ) Látjuk, hogy a legnagyobb behajlás helye itt kb. 3 cm - rel jobbra tolódott, a behajlás pedig mintegy 0,07 mm - rel nagyobbra adódott. Ezeket az eltéréseket a kétféle számítás során fellépő numerikus jelenségeknek is betudhatjuk. Ami az igazán meglepő, az pedig az a tény, hogy ( E* ) vagyis a 2. közelítő számítás adta behajlási eredmény teljesen elfogadhatónak tűnik, ügyelve arra, hogy az a gerenda közepétől mintegy 8 ~10 cm - re jobbra lép el. Ezek az eredmények a gyakorlat számára elegendő pontosságúak lehetnek. A 6. ábrához vezető számítást a Függelékben mutatjuk be. Függelék Az általunk is alkalmazott előjelszabályok szerint fennállnak az alábbi differenciális összefüggések 7. ábra : 7. ábra

12 12 ( 31 ) ( 32 ) Majd ( 31 ) és ( 32 ) - vel: ( 33 ) Most ideírjuk ( 5 ) - öt is, kicsit átalakítva: ( 34 ) Ezután ( 33 ) és ( 34) - gyel, álladó E - vel: tehát: ( 29 ) Így állt elő a fentebb hivatkozott ( 29 ) egyenlet. Az ( 5 ), illetve ( 34 ) egyenlet előállítá - sához ajánlott a szakirodalomhoz fordulni, ha kell. Most ( 4 ) és ( 29 ) - cel: rendezve: ( 35 ) ( 35 ) - öt integráljuk egyszer x szerint! Ekkor: ( 36 ) Helyettesítést alkalmazunk: ( 37 ) most ( 36 ) és ( 37 ) - tel: ( 38 ) így ( 37 ) és ( 38 ) szerint:

13 13 ( 39 ) Majd ( 36 ) és ( 39 ) - cel: ( 40 ) Ismét integrálunk, melynek eredménye: ( 41 ) Most ( 7 ) és ( 41 ) - gyel: Egyszerűsítve: ( 42 ) Bevezetve a ( 43 ) átmeneti egyszerűsítő jelölést, ( 42 ) és ( 43 ) - mal: ( 44 ) Most érvényesítjük a hajlítónyomatékra vonatkozó rúdvégi peremfeltételeket; ( 5 ) - tel is: ( 45 ) ( 46 ) Most ( 44 ) és ( 45 ) - tel: ( 47 ) A ( 44 ) - beli zárójeles mennyiség értéke x = l - nél, ( 1 ) - gyel is: ( 48 ) Majd ( 44 ), ( 46 ), ( 47 ) és ( 48 ) - cal:

14 14 tehát: ( 49 ) Most ( 44 ) jobb oldala ( 47 ) és ( 49 ) - cel is: ( 50 ) majd ( 43 ), ( 44 ) és ( 50 ) - nel: egyszerűsítve és rendezve: ( 51 ) Bevezetve a ( 52 ) újabb egyszerűsítő jelölést, ( 51 ) és ( 52 ) - vel kapjuk, hogy ( 53 ) Osztással: ( 54 ) Az újabb feladat ( 54 ) megoldása. ( 54 ) - et egyszer integrálva:

15 15 ( 55 ) Az integrálokat a szokásos módon számítva vagy táblázatból véve: ( 56 ) ( 57 ) Ezután ( 55 ), ( 56 ) és ( 57 ) - tel: ( 58 ) Rendezve: ( 59 ) Újabb rövidítő jelöléseket vezetünk be: ( 60 ) ( 61 ) Most ( 59 ), ( 60 ) és ( 61 ) szerint: ( 62 ) Ismét integrálva: ( 63 )

16 16 az integrálok kifejezései: ( 64 ) ( 65 ) Most ( 63 ), ( 64 ) és ( 65 ) szerint: ( 66 ) A két állandó értékét abból a két feltételből határozzuk meg, hogy a tartó végein a függőleges elmozdulás zérus. Képlettel: ( 67 ) ( 68 ) Ezután ( 66 ) és ( 67 ) szerint: ( 69 ) Majd ( 66 ) és ( 68 ) - cal: rendezve: ( 69 ) - cel is: végül: ( 70 ) A kiszámított állandókkal és a korábbi számadatokkal a behajlás - függvény konkrét kifejezése az alábbi:

17 17 A 6. ábrán a ( 71 ) függvény grafikonja szerepel. ( 71 ) Irodalom: [ 1 ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [ 2 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [ 3 ] Szerk. Fazekas Ferenc: Műszaki matematikai gyakorlatok A. V.** Határozott integrál ( Második rész ) 3. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974., 61 ~ 63. oldalak [ 4 ] Molnár Sándor: Faanyagismerettan Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 1999., 184. oldal [ 5 ] V. Sz. Jablonszkij ~ V. P. Jablonszkaja: Szbornyik zadacs po tyehnyicseszkoj hidromehanyike Goszizdat, Moszkva - Lenyingrad, 1951., 172* feladat [ 6 ] Verebély László: Villamos erőátvitel Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1958., 345. oldal Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár