Vágó István VILLAMOS HÁLÓZATOK SZÁMÍTÁSA A GRÁFELMÉLET ALKALMAZÁSÁVAL

Átírás

1

2 Vágó István VILLAMOS HÁLÓZATOK SZÁMÍTÁSA A GRÁFELMÉLET ALKALMAZÁSÁVAL Akadémiai Kiadó, Budapest 3

3 A kiadvány a Magyar Tudományos Akadémia támogatásával készült ISBN Kiadja az Akadémiai Kiadó, az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztők Egyesülésének tagja 1117 Budapest, Prielle Kornélia u Első magyar nyelvű kiadás: 2014 Vágó István, 2014 Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a nyilvános előadás, a rádió- és televízióadás, valamint a fordítás jogát, az egyes fejezeteket illetően is. Printed in Hungary 4

4 TARTALOM BEVEZETÉS... 9 JELÖLÉSEK fejezet GRÁFELMÉLETI ALAPFOGALMAK A gráf fogalma és ábrázolása Részgráfok és speciális gráfok Út Hurok Tag Fa és erdő Vágat Csúcs sormátrixa Fundamentális vágatrendszer Fundamentális hurokrendszer A gráfot jellemző mátrixok Csúcsmátrix Hurokmátrix Vágatmátrix Speciális hálózatok számításához szükséges mátrixok A gráfot jellemző mátrixok kapcsolata egymással és a gráffal Speciális gráfok

5 2. fejezet KÉTPÓLUSOKBÓL ÉS KÉTKAPUBÓL ÁLLÓ LINEÁRIS VILLAMOS HÁLÓZATOK ANALÍZISE A villamos hálózatok alapvető elemei Ohm-törvény Általánosítás időben szinuszosan változó jelek esetén Általánosítás periodikus jelek esetén Általánosítás be-, át- és kikapcsolásoknál létrejövő jelek esetén A Kirchhoff-törvények Az ágáramok és ágfeszültségek számítása Számítás, ha a hálózat zérus impedanciájú és zérus admittanciájú ágat egyaránt tartalmaz A hurokáramok módszere A vágatfeszültség módszere A csomóponti potenciálok módszere Áramforrást, feszültségforrást, rövidzárat, szakadást tartalmazó hálózat számítása fejezet A TÖBBPÓLUSOKBÓL ÁLLÓ VILLAMOS HÁLÓZATOK JELLEMZŐI A passzív n-pólus A hurokáramok módszere A vágatfeszültségek módszere Az aktív n-pólus A passzív m n pólus A hurokáramok módszere A vágatfeszültségek módszere Az aktív m n pólus Az átviteli mátrix A hurokáramok módszere A vágatfeszültségek módszere fejezet TÁVVEZETÉK-HÁLÓZATOK Vezetőpárból álló távvezeték

6 Távvezeték-hálózat A hálózat bemeneti impedancia és admittancia mátrixa Csatolt távvezetékek Föld feletti csatolt távvezeték Föld-visszavezetéses távvezeték Föld feletti csatolt vezetékekből álló távvezetékszakasz Föld feletti csatolt távvezetékekből álló hálózat fejezet JELFOLYAMGRÁFOK A jelfolyamgráf fogalma, főbb tulajdonságai és jellemzői Villamos hálózatok jelfolyamgráfja A jelfolyamgráf átviteli mátrixának számítása Mintavételezés Mintavételező eszközt tartalmazó jelfolyamgráf átviteli mátrixának számítása MATEMATIKAI FÜGGELÉK A Laplace-transzformációval kapcsolatos kiegészítések A Laplace-transzformáció egyes tételei A gyakorlatban előforduló függvények Laplace-transzformáltjai Mátrixok A mátrix és egyes speciális mátrixok definíciója Műveletek mátrixokkal Mátrixfüggvények a Lagrange-féle interpolációs polinom alkalmazásával Egységugrás és a Dirac-delta IRODALOM TÁRGYMUTATÓ

7 BEVEZETÉS A gráfelmélet valamilyen fizikai, például úthálózat, csőhálózat, villamos hálózat leírására alkalmas matematikai módszer, amellyel a hálózatban lejátszódó fizikai törvények is leírhatók. A gráfelmélet történetében első ismeretes feladat Euler nevéhez kapcsolódik, aki a Königsberg hídjaival kapcsolatos problémát oldotta meg. Később a villamos hálózatok alaptörvényeinek felírásához Kirchhoff [4] alkalmazta a csomópont és a hurok fogalmát. Ezek ma már a gráf elemei. Az átfogó gráfelmélet Kőnig Dénes magyar matematikus alkotása, akinek a témáról szóló könyve 1936-ban jelent meg német nyelven [5]. Érdekes, hogy ez a könyv a 2. világháborúban egy katonai logisztikával foglalkozó egyén kezébe került, aki észrevette, hogy ez munkájához alkalmazható, és a könyvet gyorsan kiadták. A gráfelmélet villamos hálózatokra való alkalmazását Seshu és Reed alkotta meg [9]. Ennek alapján a BME Villamosmérnöki karán egyes tankönyvekben és jegyzetekben a téma megjelent és oktatásra is került [1, 2, 8]. A témáról e könyv szerzője írt először átfogó magyar nyelvű munkát [21], amely angol nyelven is megjelent. Jelen munka a korábbinak egy átdolgozott alakja, 5 fejezetből és a matematikai függelékből áll. Az első fejezet az alkalmazásra kerülő gráfelméleti ismereteket foglalja össze. A második fejezet a villamos hálózatban a gerjesztő forrásjelek (áramok és feszültségek) hatására a passzív elemeken fellépő áramok és feszültségek közötti kapcsolat számításával foglalkozik. A harmadik fejezet az egyes többpólusú hálózatok jellemzői, a bemeneti vagy átviteli mátrixok meghatározását ismerteti. A negyedik fejezetben a távvezeték-hálózatok vizsgálatára kerül sor. Az ötödik fejezet a jelfolyamgráfok átviteli mátrixának számításával foglalkozik folyamatos és mintavételezett jelek esetén. Valamennyi tárgyalt módszert példa illusztrálja. 9

8 Az összes fejezet alkalmazza a mátrixalgebrát. A matematikai függelék három különböző típusú számítást mutat be. Az elsőben a Laplace-transzformáció fontosabb összefüggései és a könyvben található módszerek leggyakrabban előforduló feladatokhoz szükséges függvények Laplace-transzformáltjai találhatók. A Laplace-transzformáció alkalmazására a be-, ki- és átkapcsolásoknál és a nem folytonos gerjesztő jelek esetén van szükség. A továbbiakban a könyvben előforduló mátrixfajták definíciójára, a mátrixokkal kapcsolatos műveletek ismertetésére, a negyedik fejezetben alkalmazott mátrixfüggvények kiszámításának módjára, végül a Dirac-delta és az egységugrás értelmezésére kerül sor. Erre a mintavételezett jeleket tartalmazó jelfolyamgráfok esetén van szükség. Végül itt köszönöm meg mindazoknak a segítségét, akik a jelen könyv megjelenéséhez hozzájárultak. Dr. Vágó István 10

9 JELÖLÉSEK A A t A 0 A T B B B t B T C F G I I g I J J L L L k L T L L 1 Q Q t Q T R redukált csúcsmátrix teljes csúcsmátrix irányítatlan gráf csúcsmátrixa a csúcsmátrix egyik sormátrixa, egy csúcsot jellemző sormátrix szubtancia redukált hurokmátrix teljes hurokmátrix a hurokmátrix egyik sormátrixa, egy hurkot jellemző sormátrix kapacitás a hurokmátrix egy meghatározott részmátrixa vezetés, konduktancia áramerősség, áram áramforrás áramokból képzett oszlopmátrix hurokáram hurokáramokból képzett oszlopmátrix induktivitás, út útmátrix Lagrange-féle mátrix polinom egy utat jellemző sormátrix Laplace-transzformációs művelet inverz transzformációs művelet redukált vágatmátrix teljes vágatmátrix a vágatmátrix egyik sormátrixa, egy vágatot jellemző mátrix ellenállás, rezisztencia 11

10 T periódusidő, időtartam U feszültség U feszültségekből képzett oszlopmátrix V vágatfeszültség V Q vágatfeszültség oszlopvektora W átviteli tényező W átviteli mátrix Z impedancia Z impedanciamátrix Z B hurokimpedancia-mátrix Y admittancia Y 0 hullámadmittancia Y admittanciamátrix Y A csúcsadmittancia-mátrix Y 0 hullámadmittancia-mátrix Y Q vágatadmittancia-mátrix X mátrix X hipermátrix X oszlopmátrix X hiperoszlopmátrix X T mátrix transzponáltja X T sormátrix, oszlopmátrix transzponáltja a a csúcsmátrix eleme b a gráf ágainak száma c a gráf tagjainak száma f*(t) mintavételezett függvény i(t) az áramerősség időfüggvénye i g (t) az áramforrás időfüggvénye m összefüggő gráf kötőéleinek száma, nullitás n összefüggő gráf csúcsainak száma r a gráf rangja s Laplace-transzformáció változója q vágatmátrix eleme t idő u(t) feszültség időfüggvénye u g (t) forrásfeszültség időfüggvénye 12

11 C kapacitás G vezetés L induktivitás R ellenállás csillapítási együttható hurokmátrix eleme, fázistényező (t) Dirac-delta (t) egységugrás potenciál terjedési együttható körfrekvencia fázistényező x 1 x 2 x n diagonális mátrix x x idő szerinti deriváltja 1 egységmátrix 0 nullmátrix 1, 2, 3, ágak számozása (1), (2), (3), csúcsok számozása I, II, III, hurkok számozása 1, 2, 3, vágatok számozása Számozások 13

12 1. fejezet GRÁFELMÉLETI ALAPFOGALMAK A gráf fogalma és ábrázolása A gyakorlatban sokféle hálózat fordul elő. Így például találkozunk úthálózattal, csővezeték-hálózattal, villamos hálózattal. Ami ezekben közös, hogy tartalmaznak két véggel rendelkező elemeket, amelyek végükön egymáshoz csatlakoznak. A következőkben az ilyen elemet élnek vagy ágnak nevezzük. A csatlakozási helyet csúcsnak vagy csomópontnak hívjuk. Az így általánosított, a tényleges fizikai elemektől és fizikai csatlakozási helyektől elvonatkoztatott matematikai hálózatot hívjuk gráfnak. A gráf tehát az élek és csúcsok egymáshoz rendelését fejezi ki. I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 8 I 7 1 (1) 2 (2) 3 (3) a) (4) b) 1.1. ábra c) 15

13 A gráfelmélet módot ad a gráfok matematikai leírására. Ha ezt összekapcsoljuk egy villamos hálózat elemeivel kapcsolatos fizikai folyamatok leírására vonatkozó egyenleteivel, akkor kaphatunk egy, a teljes vizsgált villamos hálózatra vonatkozó mátrixegyenletet. Ebből meghatározhatjuk a hálózat ismeretlen mennyiségeit, jellemzőt. A gráfot a következőképpen ábrázolhatjuk. Az éleket egy vonaldarab, a csúcsokat egy kis kör, úgynevezett nullkör jelképezi. Így például az 1.1a ábrán látható villamos hálózathoz rendelhető egyik gráfot az 1.1b ábrán láthatjuk. Az éleket és a csúcsokat az ábrán látható módon megszámozzuk. (A csúcsok számozását zárójel különbözteti meg. A csúcshoz csatlakozó (illeszkedő) élek száma a csúcs fokszáma. Például az 1. ábrán az (1) csúcshoz illeszkedik az 1, 2, 4, 8 jelű él. Így az (1) fokszáma 4. A gráf éleihez irányítást rendelhetünk, amit nyíllal jelölünk (1.1c ábra). Az irányított gráf valamennyi éle irányított. Mint ismeretes, a villamos hálózat alapegyenleteinek, a Kirchhoff-egyenleteknek a felírásához a hálózat ágáramaihoz, ágfeszültségeihez irányítás tartozik. Célszerű ezt az irányítást az ág irányításával összehangolni. Az eddig tárgyalt gráfelemeken kívül vannak speciális elemek. Az olyan csúcs, amely csak egyetlen élhez illeszkedik: végcsúcs, és a végcsúcshoz illeszkedő él neve: végél (1.2. ábra). A gráfelméletben szerepel hurokél. Ez olyan él, amelynek mindkét vége ugyanahhoz a csúcshoz illeszkedik (1.2. ábra). Ilyen elemeket speciális hálózatok gráfjainál (távvezeték-hálózatokhoz rendelt gráfnál, jelfolyamgráfoknál) alkalmazunk. Előfordul még két speciális gráfelem. Az olyan élt, amely egyik végpontjában sem illeszkedik csúcshoz, nyitott élnek hívjuk (1.3a ábra). Az olyan csúcs, amely nem illeszkedik egyetlen élhez sem, az izolált csúcs (1.3b ábra). végél nyitott ág végcsúcs a) izolált csúcs hurokél 1.2. ábra b) 1.3. ábra 16

14 Részgráfok és speciális gráfok Egy gráf elemeinek egy részéből alkotott részhalmaz az illető gráf részgráfja. Az 1.4a ábrán látható gráf néhány részgráfját az 1.4b c ábrán vázoltuk. Ha a gráf két részgráfja együttesen tartalmazza az eredeti gráf minden élét és csúcsát, és a két részgráf egyetlen közös élt nem tartalmaz, akkor a két részgráf egymást kiegészítő részgráf, komplementum. Az 1.4. ábrán látható gráf egymást kiegészítő részgráfja az 1.4c és d ábrán látható. (1) 1 (2) (4) (1) 1 (2) 4 a) (3) 6 (1) 1 (2) (4) (3) (4) b) c) (1) (3) (2) (4) (3) (4) (3) 4 6 d) e) 1.4. ábra 17

15 A részgráfokat matematikailag egy sormátrixszal leírhatjuk. Ha a gráf b számú élt tartalmaz, akkor a sormátrix b számú elemből áll: X T = [x 1 x 2 x j x b ], (1.1) ahol irányítatlan gráfoknál x j = 1, ha a j él a vizsgált részgráf eleme, egyébként x j = 0. Egyes részgráfoknak is adhatunk irányítást. Ez független az élek irányításától. Ekkor a részmátrixot matematikailag leíró (1.1) sormátrix elemei: x j = 1, ha a j jelű él a részgráf eleme, és irányítása a részgráf irányításával megegyező. x j = 1, ha a j él a részgráf eleme, és irányításuk ellentétes. x j = 0, ha a részgráf a j jelű élt nem tartalmazza. Út Az olyan részgráfot, amelynek két végcsúcsa van, és a többi csúcsának a fokszáma a részgráfban kettő, útnak nevezzük. Ez azt jelenti, hogy az egyik végcsúcsból a másikba a gráfon keresztül az út mentén el lehet jutni. Az út egy ágon csak egyszer haladhat át. Például az 1.5a ábrán látható gráf esetében L 1, L 2 és L 3 -mal jelölt gráfok (1.5b ábra) képeznek utat az (1)-es és a (2)-es csúcs között. Ezeknek adhatunk irányítást. Az egyes utakat jellemző L sormátrixok (j = 1, 2, 3) irányított gráf esetén: T j T T T L, L, L Ha egy gráf bármely két csúcsa között van út, akkor összefüggő gráfnak hívjuk. A nem összefüggő gráf több összefüggő gráfból, az úgynevezett komponensekből áll. Jelölje az 1.6. ábrán látható irányított gráf fájában a (i) csúcstól a (j) T csúcsig mutató utat L ij sormátrix és (j) csúcstól az (m) csúcsba mutató utat pedig L T jm. Minthogy a fában két csúcs között csak egy út van: T T T im ij jm L L L. (1.2) 18

16 L 1 5 (1) 1 (2) (1) 1 (2) (1) (2) L 2 (1) L 3 (2) 4 (4) (3) (4) a) b) 1.5. ábra (3) Így az 1.6. ábrán látható fa (1) és (4) csúcsa közötti út sormátrixa: L T A (4) és (7) csúcs közötti út sormátrixa: L T A kettő összege az (1) és (7) csúcs közötti út: L T (1) (4) (7) 1 L 14 4 L 47 L 17 6 (2) 2 (3) 3 (5) 5 (6) 7 (8) 1.6. ábra 19

17 IRODALOM [1] Carson, J. R.: Wave Propagation in Overhead Wires with Ground Return. Bell System Technical Journal, 1926 (Oct.) [2] Fodor Gy. Simonyi K. Vágó I.: Elméleti villamosságtan példatár. Tankönyvkiadó, Budapest, 1967 [3] Geszti P. O. Benkő I. Reguli Z.: Villamos hálózatok. I. Tankönyvkiadó, Budapest, 1968 (egyetemi jegyzet) [4] Kirchhoff, G.: Über die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen Verteilung galvanischer Ströme geführt wird. Ann. Phys. Chem., 1847 (72), [5] König, D.: Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. Chelsea Publishing Company, New York, 1950 [6] Mason, S. J.: Feedback theory: Further Properties of Signal Flow Graph. Proc. IRE, 1956 (44), [7] Rózsa P.: Lineáris algebra és alkalmazásai. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974 [8] Sebestyén I.: n-pólus paraméterek meghatározása topológiai módszerrel. Elektrotechnika, 1972 (65), [9] Seshu, S. Reed, M. B.: Linear graphs and electrical networks. Addison Wesley, London, 1961 [10] Simonyi, K.: Elméleti villamosságtan. Tankönyvkiadó, Budapest, 1974 [11] Szendi K.: Korszerű hálózatszámítási módszerek. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1967 [12] Szigorszkij, V. P. Petrenko, A. I.: Algoritmi analiza elektonnih szhem. Tehnika, 1970 [13] Szigorszkij, V. P. Petrenko, A. I.: Osznovi teorii elektonnih szhem. Tehnika, 1967 [14] Vágó I.: A gráfelmélet alkalmazása távvezeték-hálózatok számítására. Elektrotechnika, 1969 (62), [15] Vágó I.: A gráfelmélet alkalmazása villamos hálózatok számításában. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976 [16] Vágó I.: Graph Theory. Application to the Calculation of Electrical Networks. Elsevier, Amsterdam Oxford New York Tokyo, 1985 [17] Vágó I.: Távvezetékrendszerek elméletének néhány kérdése. Elektrotechnika, 1965 (58), ,

18 [18] Vágó I.: The calculation of transfer matrices of linear systems with continuous and sampleddata signals by signal flow graphs. Circuit Theory Applications, 1983 (11), [19] Vágó I.: Villamosságtan. Tankönyvkiadó, Budapest, 1988 (egyetemi jegyzet) [20] Vágó I. Bárdi I.: Ideális generátort tartalmazó hálózat számítása topológiai mátrixok felhasználásával. Elektrotechnika, 1974 (67), [21] Vágó I. Hollós E.: A gráfelmélet alkalmazása villamos hálózatok számítására. BME Továbbképző Intézete, Budapest, 1971 [22] Vágó I. Hollós E.: Villamosságtan. III. LSI Oktatóközpont, é. n. 208

19 TÁRGYMUTATÓ admittancia 54 hullám~ 136 ~mátrix 83, 91, 100, 104, 107, 109, 116, 120, 123, 125, 143, 146 alapelem 49 50, 171 artikulációs csúcs 21 ág 15 16, 22 23, 54 55, 73, 88, 119, 138, 171 nyitott 16 ágáramok számítása 62 63, 71, ágfeszültségek számítása 62 63, áramforrás 49 50, 52 átviteli tényező 127, , 132, 189 átviteli mátrix 128, 177, 179, ciklikusan összefüggő gráf 21, 26 csillapítási együttható 136 csomópont 15, 61, csúcs 16, 19, 27, 61, , 177 artikulációs 21 izolált 16 ~mátrix 33 35, 37, sormátrixa 27 vég~ 16 csúcsérték 53 komplex 53 csúcsadmittancia-mátrix 142 Dirac-delta 185, , 193 eltolt 185, 193, 205 duálgráf 48 egyenáramú hálózat 52, 63, 69, 83 egységugrás 59, , 193 eltolt 60 ellenállás 50, 54 hosszegységre eső 136 erdő 22 él 16 nyitott 16 faág 22 fakomplementum 23 fázis 53 feszültség átviteli mátrix 128 feszültségforrás 49, 51 fokszám 20 források 49, 51 föld-visszavezetéses távvezeték 157, 159 föld feletti csatolt távvezeték 159, 162 fundamentális hurokrendszer 31 32, 62, 71, 75, 101, 103, 108, 122, 134 fundamentális vágatrendszer 28 29, 62, 82, 86, 109, 118, 125, 132 Fourier-sor 56 Fourier-együttható 56 földimpedancia 158 generátor 49 gráf ciklikusan összefüggő 21 duál~ 48 homeomorf 48 irányított 16,

20 irányítatlan 18 izomorf 47 Kuratowski~ 45 összefüggő 24 rangja 25 sík~ 48 gráfot jellemző mátrixok 33 hatásvázlat , 189 hibridparaméter 176 hullám 136 ~admittancia 136 ~hossz 137 ~impedancia 136 hurok 20, ~áram 71 74, ~él 16, 43 ~mátrix 36 37, 39, 41 redukált ~mátrix hurokáramok módszere 71, 101, 116 fundmentális 71 impedancia 54 kölcsönös komplex 53 mátrix 146 indukciós együttható 50 induktivitás 50, 54 hosszegységre eső 135 kölcsönös 51 jel 172 analóg, folyamatos 183 átviteli, traszfer 179 belső 177 bemeneti, gerjesztő 177 folytonos 183 kvantált 183 jelfolyamgráf 171 átviteli mátrixa 173, 177, 181, 183 mintavételezett tranziens 58 válasz 177 kapacitás 50, 54, 58 hosszegységre eső 136 kétkapu 49, 122, 176 Kichhoff-törvények 53, 61 62, 89 komplementum 23 kötőél 23, 101 lépésfüggvény 203 Lagrange-féle interpoláció , mátrixfüggvény esetére Laplace-transzformáció 58, 192 tételei függvények transzformáltjai mátrix 194 determinánsa 198 diagonális 195 ~függvények 199, 201 kvadratikus 195 műveletek inverze 199 oszlop~ 194 sor~ 194 transzponáltja 197 mintavételezés , 186 mintavételező eszköz 184, 186 m n pólus 99, , 118, 126 Norton-generátor n-pólus 99, 101, 104 aktív 100 passzív 99 nullitás 25, Ohm-törvény 52, általánosítás időben szinuszos jelekre 52, általánosítás időben periodikus jelekre általánosítás be-, ki-, átkapcsolás esetére ortogonalitási reláció 40 41, 44, 46 önindukciós együttható paraméterek 176 admittancia~ 176 hibrid ~ 176 impedancia~

21 inverz hibrid ~ 176 lánc~ 176 periodikus rang 25, 29, 38 39, reaktancia 53 rezisztencia 53 részgráf 17 18, 20, 22 26, 48 rövidzár 67, 92, 96, 98, 108, , 144, 146, 148 sajátérték 200 sajátvektor 200 szakadás 67, 92, 96, 108, 113 szkinimpedancia 152, 160 tag 21, 26, 28, 38, 41 távíróegyenletek 155 távvezeték 135 hálózat 136, 162 csatolt 151, 157 föld-visszavezetéses 157 föld feletti csatolt 157, 162 terjedési együttható 136 Thevenin-generátor transzformátor 51 transzfer út 18, 19, 22, 31 vágat 25 27, 29 31, ~mátrix 40, redukált ~mátrix vágatfeszültségek módszere 53, 61, 80, 82, 104, 116, vágatrendszer 28, 70, 92 fundamentális vezetés 50, 54 vezetőpárból álló távvezeték 135 villamos hálózat jelfolyamgráfja

22 212 A kiadásért felelős az Akadémiai Kiadó Zrt. igazgatója Szerkesztette: Stark Mariann Felelős szerkesztő: Tárnok Irén Termékmenedzser: Egri Róbert Nyomdai előkészítés: Debre Ferenc A nyomdai munkálatokat a NestPress Kft. végezte Felelős vezető: Fekete Iván Budapest, 2014 Kiadványszám: TK Megjelent 13,25 (A/5) ív terjedelemben