Idősorok elemzése november 14. Spektrálelemzés, DF és ADF tesztek. Idősorok elemzése

Átírás

1 Spektrálelemzés, DF és ADF tesztek november 14.

2 SPEKTRÁL-ELEMZÉS

3 Példa - BKV villamosenergia-terhelési görbéje Figure: BKV villamosenergia-terhelési görbéje, negyedóránkénti mérések (2 hét adatai, ezer kw-ban mérve) Az idősor alakja sugallja a napi periodicitás jelenlétét.

4 Példa - Fogyasztói árindexek Figure: Fogyasztói árindexek

5 Spektrál-elemzés A Wold-tételben meghatároztuk annak feltételét, hogy egy adott (c 0,..., c q ) sorozat mikor lehet egy q-adrendű MA folyamat autokovariancia függvénye. Ezt most megpróbáljuk általánosítani tetszőleges stacionárius folyamatra. Tétel 1 (Herglotz tétel). Legyen (c k ) egy valós számsorozat. Ekkor létezik olyan (x t ) stacionárius folyamat, melyre c k = E(x t x t+k ) pontosan akkor, ha c k előáll c k = π π e ikλ F (dλ) alakban, ahol i = 1 és F (dλ) szimmetrikus mérték a [ π, π] intervallumon. A tételben szereplő F mértéket spektrális mértéknek nevezzük.

6 Spektrál-elemzés Az F (dλ) szimmetrikus mérték azt jelenti, hogy minden A [ π, π] mérhető halmazhoz tartozik egy véges F (A) 0 szám, melyre F (A B) = F (A) + F (B), ha A B, F (A) = F ( A). Ekkor az integrált közelítő összegekkel definiáljuk az π π e ikλ F (dλ) = lim n max(δ j ) 0 n e ikλ j F ([λ j 1, λ j ]) j=1 formában, ahol π = λ 0 < λ 1 <... < λ n = π az intervallum felosztása, δ j = λ j λ j 1 pedig a j-dik részintervallum nagysága.

7 Spektrál-elemzés 1. eset: F abszolút folytonos a Lebesgue mértékre. Ekkor tetszőleges A [ π, π] mérhető halmaz esetén létezik egy f (λ) integrálható függvény olyan, melyre F (A) = A f (λ)dλ. Ezt hívjuk spektrális sűrűségfüggvénynek. Ekkor c k = π π e ikλ f (λ)dλ, ami éppen f Fourier-transzformáltja (konstanstól eltekintve). Ha egy idősor autokovarianciái a fenti alakban előállíthatók, akkor azt mondjuk, hogy folytonos spektruma van.

8 Spektrál-elemzés Visszafelé elvégezve a transzformációt adódik, hogy f (λ) = 1 2π k= c k e ikλ, ahonnan a c k = c k és e ikλ = cos(kλ) + i sin(kλ) tulajdonságok alapján f (λ) = 1 ( ) c c k cos(kλ). 2π Példák: k=1 ha (ε t ) fehérzaj, akkor f (λ) = σ2 2π ha (x t ) MA(1) folyamat, akkor f (λ) = 1 2π β 0 + β 1 e iλ 2 ha (x t ) AR(1) folyamat, akkor f (λ) = c 0 2π αe iλ

9 Spektrál-elemzés 2. eset: F csak néhány pontra koncentrált mérték. Legyenek ezek a pontok a λ j [ π, π], λ j = λ j, j N pontok, a σj 2 súlyokkal. Ekkor F (A) = σj 2. λ j A Ekkor azt mondjuk, hogy az idősornak diszkrét spektruma van. Ezt felhasználva a (c k ) sorozatra azt kapjuk, hogy c k = σj 2 e ikλ j = σ σj 2 cos(kλ j ) j= j=1 az F mérték szimmetria tulajdonsága miatt.

10 Spektrál-elemzés Természetesen felmerül a kérdés, hogy van-e olyan folyamat, melynek a fenti alakú diszkrét spektruma van. Tétel 2. Ha idősorunk előáll az x t = A 0 + (A j cos(λ j t) + B j sin(λ j t)) j=1 alakban, ahol (A j, B j ) független, 0 várható értékű és σ j 2 szórású v.v-k, akkor (x t ) autokovariancia függvénye éppen a fenti alakú. Azaz a diszkrét spektrum azt jelenti, hogy idősorunk véletlen periódusok összegeként áll elő.

11 Spektrál-elemzés Egyszerűsítsük tovább a modellt: tegyük, fel hogy m x t = a 0 + (a j cos(λ j t) + b j sin(λ j t)) + e t j=1 alakú, ahol a k, b k, λ k konstansok, (e t ) pedig fehérzaj. Ezek az ún. rejtett periódusú idősorok λ 1,..., λ m rejtett periódusokkal. Legyen a fenti idősor egy véges megfigyelése (x 1,..., x N ), és tegyük fel, hogy m és λ 1,..., λ m ismertek. Feladatunk az ismeretlen (a k, b k ) együtthatók becslése a minta alapján. LS-becslés: min a k,b k ( N ) (x t a k cos(λ k t) b k sin(λ k t)) 2 t=1 k = 1,..., m.

12 Spektrál-elemzés Egyszerű számolással adódik, hogy â j = 2 N x t cos(λ j t) és ˆb j = 2 N x t sin(λ j t) N N t=1 t=1 Probléma: a fenti λ j frekvenciák általában nem ismertek! Definíció 1. Minden λ [ π, π] értékre legyen az I N (λ) = (a(λ)) 2 + (b(λ)) 2 függvény az ún. periodogram függvény, ahol 2 N 2 N a(λ) = x t cos(λt) és b(λ) = x t sin(λt). Azaz N N t=1 t=1 I N (λ) = 2 N x N t e itλ. t=1

13 Spektrál-elemzés Tétel 3. Tetszőleges λ [ π, π] esetén teljesül, hogy N 1 I N (λ) = 2 ĉ k cos(λk), k=0 ahol ĉ k = 1 N N k t=1 x t x t+k. Ha a periodogramot éppen a rejtett periódushoz tartozó pontban számoljuk ki, akkor A(λ k ) = N 2 âk, N és B(λ k ) = 2 ˆb k adódik.

14 Spektrál-elemzés Tétel 4. Tegyük fel, hogy a mintabeli megfigyelések száma végtelen tart. Ekkor a periodogram határértékére lim I N(λ) = N { 0, λ λk k = 1,..., m +, λ = λ k valamilyen k-ra adódik. A fenti konvergencia sztochasztikus értelemben értendő. Numerikus számításoknál a periodogramot a λ = 0, 2π N, 4π N,... ún. Fourier-frekvenciákon értékelik ki. Nagy mintaelemszám esetén a periodogram kiugró értékei nagy valószínűséggel rejtett frekvenciákat jelentenek. Ezek tesztelesére számos próba áll rendelkezésre (pl. Fisher-féle g-próba, Whittle-féle módosított g-próba).

15 Példa - BKV adatok spektruma A numerikus adatok alapján megállapítható, hogy a becsült sűrűségfüggvény a 96-os periódusnál (periódus= 2π/λ k ) veszi fel a maximumát, ami a negyedórás megfigyelések miatt egy napos ciklusnak felel meg (24 4 = 96).

16 Példa - BKV villamosenergia-terhelési görbéje Figure: BKV villamosenergia-terhelési görbéje, negyedóránkénti mérések (2 hét adatai, ezer kw-ban mérve)

17 Példa - fogyasztói árindexek spektruma A maximumot a 42, 5 hosszú perióduson veszi fel, ami kb. 3, 5 éves ciklusnak felel meg.

18 Példa - Fogyasztói árindexek Figure: Fogyasztói árindexek

19 STACIONARITÁSI TESZTEK

20 Stacionaritási tesztek Nem stacionárius folyamatok két alapesete: determinisztikus trendet tartalmazó idősorok (trend-stac.) egységgyök (unit root) folyamatok (differencia-stacionárius) Y S Y D values time

21 Példa Figure: Francia frank napi árfolyama 1986 és 1993 között, 2459 megfigyelés

22 Stacionaritási tesztek Tekintsük az alábbi modellt: ahol u t ARMA folyamat, azaz y t = α + δt + u t, (1 α 1 z... α p z p ) u t = (1 + β 1 z β q z q ) ε t. }{{}}{{} A(Z) B(z) Tegyük fel, hogy B invertálható, és legyen A(z) = (1 λ 1 z)(1 λ 2 z)... (1 λ p z). Ekkor, ha λ 1,..., λ p az egységkörön belül helyezkednek el, akkor u t = B(z) A(z) ε t = Ψ(z)ε t jóldefiniált, és Ψ(z) gyökei az egységkörön kívülre esnek. Azaz y t trend-stacionárius folyamat lesz.

23 Stacionaritási tesztek Tegyük fel, hogy λ 1 = 1. Ekkor azaz A(z)u t = (1 z)(1 λ 2 z)... (1 λ p z)u t = B(z)ε t, (1 z)u t = B(z) (1 λ 2 z)... (1 λ p z) ε t = Ψ (z)ε t, ahol Ψ gyökei az egységkörön kívülre esnek. Ekkor y t y t 1 = (1 z)y t = (1 z)α + δt δ(t 1) + (1 z)u t = = 0 + δ + Ψ (z)ε t ún. egységgyök folyamatot kapunk.

24 Stacionaritási tesztek Tehát ha A(z)-nek van 1 darab egységgyöke, a többi gyök pedig az egységkörön kívül van, akkor egységgyök folyamatunk lesz, ha minden gyöke az egységkörön kívülre esik, akkor trend-stacionárius folyamatunk van. Több egységgyök esetén a fenti gondolatmenetet ismételni kell az egységgyökök multiplicitásának megfelelően. Ezek lesznek az ún. ARIMA(p, d, q) folyamatok, ahol d az egységgyökök számát jelöli. Az ilyen folyamatok d-edrendbeli differenciázása vezet stacionárius folyamathoz.

25 Stacionaritási tesztek Hogyan kell ezeknél a folyamatoknál a trendet eltávolítani? Trend-stacionárius esetben egy egyszerű kivonás (osztás) megoldja a problémát Egységgyök folyamat esetén ez nem jó megoldás (ld. például az eltolásos véletlen bolyongást), mert ekkor a kivonás/osztás nem szünteti meg a reziduumok szórásának időbeli változását. Emiatt használjuk ezekben az esetekben a differenciázást. Trend-stacionárius esetben viszont a differenciázás nem jó megoldás, mert ekkor egységgyök kerülne az MA részbe!

26 Stacionaritási tesztek Tehát minden egyes idősornál alapvetően fontos kérdés, hogy vajon a vizsgált folyamat tartalmaz-e egységgyököt vagy sem. Viszont, az egységgyök tesztek tárgyalása előtt figyelembe kell vennünk az alábbiakat: véges minták állnak csak rendelkezésünkre, így nem lehet megállapítani, hogy a folyamat tényleg a fenti, precízen definiált, általános egységgyök folyamat, vagy pedig egy stacionárius folyamat; csak azt lehet tesztelni, hogy előre meghatározott rendű autoregresszív folyamatok tartalmaznak-e egységgyököt, vagy sem; azaz tesztelésre alkalmas hipotézis akkor fogalmazható meg, ha előre korlátozott rendű autoregresszív folyamatok alkotják a vizsgálat tárgyát.

27 Stacionaritási tesztek Dickey-Fuller teszt: autokorrelálatlan reziduumok esetén alkalmazható csak. A becsült regresszió y t = α + ρy t 1 + δt + ε t alakú, ahol ε t N(0, σ) i.i.d. folyamat. A kérdés az, hogy ρ értéke 1 lesz-e, azaz egységgyök folyamatunk van-e, vagy sem. Tehát H 0 : ρ = 1. α és δ értékének függvényében időtrendet tartalmazó ill. nem tartalmazó, eltolásos vagy eltolás nélküli véletlen bolyongás folyamatokat kapunk H 0 teljesülése esetén.

28 Stacionaritási tesztek Autokorrelált reziduumok esetén: a Phillips-Perron (DF teszt korrigált változata) teszt, valamint a kibővített DF-teszt (ADF) alkalmazható, de most eltolás nélküli vagy eltolásos egységgyök folyamatokat keresünk úgy, hogy y t késleltett értékei is megjelennek a modellben, de ezek már csak stacionárius formában. KPSS teszt: trend-stacionaritás vs. stacionaritás tesztelésére LMC teszt: AR(p) vs. ARIMA(p, 1, 1) tesztelésére

29 Példa Figure: Francia frank napi árfolyama 1986 és 1993 között, 2459 megfigyelés Biztos, hogy nem stacionárius az idősor, hiszen egyértelmű lineáris trendet tartalmaz.

30 Példa A nem-stacionárius viselkedés innen is egyértelműen leolvasható.

31 Példa Kivétel nélkül minden késleltetésen szignifikáns az autokorreláció és alig csökkennek az értékek, azaz idősorunk egyértelműen nem stacionáriusnak tűnik.

32 Példa Lineáris trendet illesztve az adatokra jól látszik, hogy idősorunkat a lineáris trendtől megtisztítva kellene stacionarizálni. De hogyan? Determinisztikus avagy sztochasztikus ez a trend?

33 Példa A fenti kérdés eldöntésére a kibővített Dickey-Fuller (ADF) teszt ad választ.

34 Példa Ha az ereseti idősor csak konstanssal integrált, de a konstans és trend körül stacioner, akkor determinisztikus a trend: Ha az idősor konstans és trend körül sem stacioner, akkor differenciázni kell: Mindkét esetben tartható a nullhipotézis, azaz nem stacioner a folyamat. Ezért differenciázni fogunk!

35 Példa Figure: Az idősor első differenciázottja

36 Példa Most már a korrelogram-on is látszik a stacionaritás, a Ljung-Box Q-statisztikák sem szignifikánsak.

37 Példa Ennek teljesen formális igazolásához újra segítségül hívjuk az ADF-tesztet. A nullhipotéziseket elvetjük, azaz a transzformált idősor már stacionárius, nem tartalmaz egységgyököt.