Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Átírás

1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása 0. Ha a tömegpont egy ilyen pontban tartózodi, és nincs sebessége, aor a továbbiaban is ott fog maradni. dimenziós mozgáso esetében az -gal jelölt egyensúlyi ponto definíciója így írható: mẍ 0, () amiből a mozgásegyenlet szerint a övetező feltétel adódi: dv() d = 0. (2) z a éplet más megfogalmazásban azt jelenti, hogy egyensúlyi pontban a potenciálna szélsőértée ell legyen (vagy infleiós pontja). Az. ábrán ét, dinamiai szempontból alapvetően ülönböző egyensúlyi pont látható. Teintsü először az 2 egyensúlyi pontot, és tegyü fel, hogy benne tartózodi a tömegpont. V() 2. ábra. gy V() potenciálfüggvény ét egyensúlyi ponttal. Az egyensúlyi pont stabil, az 2 instabil. Mi történi aor, ha a tömegpontot is mértében elmozdítju? or a potenciál deriváltja, azaz a tömegpontra ható erő nem lesz 0. Ha a tömegpontot balra mozdítottu i, aor F() dv/d < 0, azaz az erő negatív irányban hat, ami a tömegpontot az 2 egyensúlyi ponttól távolítja. Az erő hasonló módon távolít az 2 jobb oldalán is. Az ilyen típusú egyensúlyi pontot instabilna nevezzü. Az instabilitás matematiai feltétele, hogy a potenciálfüggvény másodi deriváltja az egyensúlyi pontban negatív legyen: d 2 < 0. (3) Az ábra egyensúlyi pontja viszont másmilyen: stabil. Stabil egyensúlyi pontot aor apun, ha d 2 > 0. (4)

2 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 2 Ilyenor létezi az egyensúlyi pontna olyan örnyezete, amiben a tömegpontra ható erő visszatérítő irányú. z lehetővé teszi, hogy a tömegpont ebben a örnyezetben rezgőmozgást végezzen, amit a 2. ábra szemléltet. V() ẋ 2. ábra. Felső grafion: egy V() potenciálfüggvény stabil egyensúlyi ponttal. A jelölt mechaniai energiával a tömegpont az egyensúlyi pont örül rezeg, ahogyan ez a vonatozó fázistérbeli trajetóriából is leolvasható (alsó grafion) Stabil egyensúlyi pont örüli is rezgése Láttu tehát, hogy stabil egyensúlyi pont valamely örnyezetében oszcilláció (rezgőmozgás) mehet végbe. Ha enne icsi az amplitúdója, vagyis a tömegpont a mozgás során nem távolodi el túlságosan az egyensúlyi ponttól, aor a V() potenciált jól özelíthetjü anna vezető rendig teintett Taylor-sorával: V() V( )+ dv() d = V( )+ 2 d 2 ( )+ 2 d 2 ( ) 2 ( ) 2. (5) Az -ben lineáris tag együtthatója, azaz a potenciál első deriváltja egyensúlyi pontban (2) szerint 0. A onstans V( ) tagna nincs jelentősége, az nem jeleni meg a mozgásegyenletben. Így önnyen észrevehető, hogy az (5) ifejezés éppen egy -ban elhelyezett harmonius oszcillátor potenciálja (lásd Függelé.0, (8) éplet). A rugóállandó megfeleltethető a potenciál másodi

3 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 3 deriváltjána az egyensúlyi pontban: = d2 V() d 2. (6) Azt találtu tehát, hogy egy tömegpontna valamely tipius stabil egyensúlyi pont örül végzett is amplitúdójú rezgése özelítőleg harmonius rezgőmozgás, amelyne a örfrevenciája a Függelé.0 (8) éplete szerint ω = m = m d 2 (7). Az egyetlen ivétel, atipius eset, amior ez nem így van, a /d 2 = 0 helyzet. Az (5) ifejezésben hallgatólagosan feltételeztü, hogy a másodi derivált nem tűni el az egyensúlyi pontban. Ha eltűni, aor a sorfejtésben tovább ell mennün, és az így adódó rezgőmozgás nem lesz harmonius. A tipius esetről mondottaat grafiusan a 3. ábrán övethetjü. A stabil egyensúlyi pontot a örnyezetében ialauló fázistérbeli strutúra miatt elliptius pontna is szoás nevezni. V() ẋ 3. ábra. Felső grafion: a V() potenciálfüggvényt (feete vonal) az stabil egyensúlyi pont örül parabolával özelíthetjü (világosé vonal). Ha az mechaniai energia nem túl nagy (övetezéséppen a rezgés amplitúdója sem), aor a tömegpont trajetóriája a fázistérben (piros vonal, alsó grafion) jól özelíthető ellipszissel (világosé vonal).

4 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4 Példa Teintsü a övetező, az [0,λ) intervallumon értelmezett potenciált: ( ) 2π V() = V 0 sin λ, ahol V 0,λ > 0. Adju meg az egyensúlyi ponto helyét, és vizsgálju meg a stabilitásuat! Határozzu meg a stabil egyensúlyi ponto örül ialauló is rezgése örfevenciáját! A potenciálfüggvény alaja a övetező: V() V 0 λ/4 λ/2 3λ/4 λ Az egyensúlyi ponto helyéne a meghatározásához i ell számítani a potenciálfüggvény deriváltját: ( ) dv() 2π 2π = V 0 d λ cos λ. Innen az egyensúlyi ponto: dv() d = 0, ( ) 2π 2π V 0 λ cos λ = 0. nne ét megoldása van: = λ π 2π 2 = λ 4, 2 = λ 3π 2π 2 = 3λ 4, összhangban az ábrával. A stabilitás vizsgálatához szüségün van a potenciál másodi deriváltjára: ( ) d 2 2 ( ) V() 2π 2π = V d 2 0 sin λ λ.

5 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 5 Az egyensúlyi pontoban: d 2 d 2 ( ) 2 ( 2π 2π = V 0 sin λ λ ( ) 2 ( 2π 2π = V 0 sin λ λ 2 ) ( ) 2 λ 2π = V 0 < 0, 4 λ ) 3λ 4 = V 0 ( 2π λ ) 2 > 0. Tehát instabil, 2 stabil, ahogyan az ábra alapján várhattu is. 2 örül ialaulhatna is rezgése, eze örfrevenciája: ( ) d ω = 2 V() 2 2π m d 2 = m V 0 = 2π V0 λ λ m. 2 Függelé: A harmonius oszcillátor örfrevenciája Az dimenziós harmonius oszcillátor (az előző összefoglaló idolgozott példája) iemeledő jelentőségű fiziai rendszer. Lényeges tulajdonsága, hogy a periódusideje (és így a örfrevenciája) egzatul iszámítható, a III. rész (4) épleténe a segítségével. A teljesség edvéért ezt a számítást az alábbiaban részletezem, de az anyag többi részéne a megértéséhez elegendő a potenciálalana és a levezetés eredményéne az ismerete. A harmonius oszcillátor potenciálfüggvénye általánosan a övetező alaú: V() = V ( a)2, (8) ahol > 0. A V 0 onstans potenciáltag és a parabola minimumpontjána az a helye nem játszi lényeges szerepet, a harmonius oszcillátor potenciáljából eze mindig eltüntethető, ha megfelelően választju meg a oordináta-rendszerün origóját és a potenciál nullszintjét. A továbbiaban ezért a övetező alaot fogju használni: V() = 2 2. (9) A periódusidő iszámításána érdeében először fel ell idéznün, hogy adott > 0 mechaniai energia mellett hol vanna a (9) potenciál fordulópontjai: fp,2 =. (0)

6 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 6 A periódusidőne a fentebb hivatozott éplete szerint: T p = 2m fp2 fp V( ) d = 2m 2 2 d = 2m d. () 2 Éljün a övetező változócserével: így u := arcsin ( ), (2) = sinu, (3) d = cosudu. (4) A határo így alaulna: ( ) ( ) u = = arcsin = arcsin( ) = π 2, (5) ( ) ( ) u = = arcsin = arcsin() = π 2. (6)

7 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 7 Behelyettesítve mindezeet ()-be: T p = = π 2 2m 2m m = 2 π 2 sin 2 u cosudu π 2 du cosu cosudu m = 2 [u]π 2 m ( π = π 2) m = 2π. (7) ljutottun tehát a harmonius oszcillátor periódusidejéne a jól ismert épletéhez. Figyelemreméltó, hogy a periódusidő nem függ az mechaniai energiától, és így, a (0) összefüggés értelmében, a rezgés amplitúdójától sem. A örfevencia innen már egyszerűen adódi: ω 2π T p = m. (8)